1. V krystalové struktuře chloridu cesného CsCl tvoří …...c) [0,3 b] Kdyby byl bod P velmi...

transcript

Příklady: 22. Elektrický náboj

1. V krystalové struktuře chloridu cesného CsCl tvoří ionty Cs+ vrcholy krychle a iont Cl− leží v jejímstředu (viz obrázek 1). Délka hrany krychle je 0,40 nm. Každému z iontů Cs+ chybí jeden elektron(má tedy náboj +e), iont Cl− má jeden elektron navíc (má tedy náboj −e).

a) [0,3 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou na iont Cl− působí jeden iont Cs+ nacházejícíse v jednom z rohů krychle? Nakreslete obrázek a směr síly vyznačte.

b) [0,3 b] Jaká je velikost a směr výslednice elektrostatických sil, kterými na iont Cl− působí všechosm iontů Cs+ nacházejících se v každém z rohů krychle? Nakreslete další obrázek a směr výslednicevyznačte.

c) [0,4 b] Jestliže jeden z iontů Cs+ chybí, říkáme, že krystal má defekt. Jaká je v tomto případěvelikost a směr výslednice elektrostatických sil, kterými na iont Cl− působí sedm zbývajících iontůCs+? Nakreslete další obrázek a směr výslednice vyznačte.

Obr. 1.

2. Na obr. 2 jsou dvě malé vodivé kuličky o stejné hmotnostim a stejném náboji Q zavěšené v tíhovémpoli Země na nevodivých závěsech o délce d. Předpokládejme, že úhel θ je tak malý, že přibližně platítgθ ≈ sin θ. Soustava se nachází v rovnováze.

a) [0,2 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou působí kulička vlevo na kuličku vpravo? Vobrázku vektor síly vyznačte.

b) [0,8 b] Určete vzdálenost x mezi kuličkami pomocí zadaných veličin m, Q a d.

Obr. 2.

16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

3. Na obrázku 3 je centrální částice s nábojem −Q obklopená dvěma soustřednými kružnicemis poloměry r a R, R > r. Na kružnicích jsou rozmístěny nabité částice.

a) [0,6 b] Jakou velikost má výsledná elektrostatická síla, kterou na centrální částici působí všechnyostatní částice?

b) [0,4 b] V obrázku směr této výsledné elektrostatické síly vyznačte.

Obr. 3.

4. Na obr. 4 leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka se stranou délky d tři stejné vodivé kouleA, B, C, jejichž počáteční náboje jsou −2Q, −4Q, +8Q.a) [0,2 b] Jaká je velikost elektrostatické síly, která působí mezi koulemi A a C?b) [0,4 b] Pak proběhnou následující procesy: A a B jsou spojeny tenkým vodičem a pak rozpojeny; Bje uzemněna vodičem a pak je vodič odstraněn; B a C jsou spojeny vodičem a pak rozpojeny. Jakábude nyní velikost elektrostatické síly mezi koulemi A a C?

c) [0,4 b] Jaká bude nyní velikost elektrostatické síly mezi koulemi B a C?

Obr. 4.

5. Dvě pevné částice s náboji Q1 = +1, 0 · 10−6 C a Q2 = −3, 0 · 10−6 C jsou ve vzdálenosti 10 cm.a) [0,2 b] Jaká je velikost a směr elektrostatické síly, kterou působí náboj Q1 na náboj Q2? Nakresleteobrázek a vektor síly vyznačte.

b) [0,8 b] Určete bod (včetně vzdáleností od nábojů Q1 a Q2), kam by měl být umístěn náboj Q3,aby výsledná elektrostatická síla, která na Q3 působí, byla nulová. Nakreslete další obrázek a polohunáboje Q3 vyznačte.

6. Na obr. 5 je nevodivá tyč délky d zanedbatelné hmotnosti, otočná kolem svého středu. Na oboukoncích tyče jsou připevněny malé vodivé koule zanedbatelných hmotností s kladnými náboji +Q1 a+2Q1. Tyč je vyvážena závažím G dle obrázku. Ve vzdálenosti h přímo pod každou z koulí je pevněumístěna koule s kladným nábojem +Q.

a) [0,5 b] Určete vzdálenost x, pro níž je tyč vodorovná a je v rovnováze.b) [0,5 b] Pro jakou hodnotu hR bude tyč v rovnováze ve vodorovné poloze a nebude přitom vůbeczatěžovat čep, na němž je upevněna? Vypočítejte též novou polohu xR, kam musíme umístit závažíG.

Obr. 5.

7. Náboje a souřadnice dvou nabitých částic, pevně umístěných v rovině xy, jsou: Q1 = +3, 0·10−6 C,x1 = 3, 5 cm, y1 = 0, 50 cm; Q2 = −4, 0 · 10−6 C, x2 = −2, 0 cm, y2 = 1, 5 cm.a) [0,5 b] Určete vektor elektrostatické síly působící na náboj Q2. Nakreslete obrázek a vektor sílyvyznačte.

b) [0,5 b] Kam umístíte třetí náboj Q3 = +4, 0 · 10−6 C, aby výsledná elektrostatická síla působící naQ2, byla nulová? Vyznačte do obrázku polohu náboje Q3.

8. Dvě pohyblivé částice nabité souhlasným nábojem stejné velikosti jsou původně od sebe vzdálenéd = 3, 2 · 10−3 m. Velikost počátečního zrychlení první částice je a1 = 7, 0 m/s2, velikost počátečníhozrychlení druhé částice je a2 = 9, 0 m/s2. Hmotnost první částice je m1 = 6, 3 · 10−7 kg.a) [0,2 b] Určete velikost síly, která působí na první částici. Nakreslete obrázek a vektor síly vyznačte.b) [0,2 b] Určete hmotnost druhé částice.c) [0,6 b] Určete velikost náboje každé z částic.

9. Na obrázku 6a) jsou ve vzdálenosti d dva náboje Q1 a Q2. Předpokládejme, že Q1 = Q2 =20, 0 · 10−6 C a d = 1, 50 m.

a) [0,5 b] Jaká je velikost elektrostatické síly, která působí na Q1? V obrázku 6a) vektor síly vyznačte.b) [0,5 b] Přidáme třetí náboj Q3 = 20, 0 ·10−6 C podle obrázku 6b). Jaká je nyní velikost elektrostatickésíly, která působí na Q1? V obrázku 6b) vektor síly vyznačte.

Obr. 6.

10. Na obr. 7 jsou čtyři náboje uspořádány do čtverce o straně a = 5, 0 cm, přičemž Q = 1, 0 ·10−7 C.Zvolte souřadný systém xy tak, aby osa x směřovala vodorovně zleva doprava a osa y svisle zdolanahoru.

a) [0,8 b] Určete vektor (všechny složky) výsledné elektrostatické síly ~F , která působí na náboj v levémdolním rohu čtverce.

b) [0,2 b] V obrázku vektor ~F vyznačte.

Obr. 7.

11. Mějme dva náboje Q1 = 26, 0 · 10−6 C a Q2 = −47, 0 · 10−6 C.a) [0,3 b] Jaká musí být vzdálenost d mezi oběma náboji, aby elektrostatická síla ~F , která mezi nimipůsobí, měla velikost F = 5, 7 N?

b) [0,5 b] Přidejme třetí náboj Q3 = 13, 0 · 10−6 C. Do jaké vzdálenosti l od Q1 jej musíme umístit, abyvýsledná elektrostatická síla, která na něj působí, byla rovna nule? (Použijte vzdálenost d mezi Q1 aQ2 z předchozí podúlohy.)

c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a polohy nábojů Q1, Q2 a Q3 vyznačte.

Příklady: 23. Elektrické pole

1. Tenká nevodivá tyč konečné délky d je rovnoměrně nabita nábojem Q (viz obr. 1).

a) [0,2 b] Určete lineární hustotu τ náboje tyče.b) [0,6 b] Určete intenzitu ~E elektrického pole v bodě P ve vzdálenosti y od středu tyče. V obrázkuvektor ~E vyznačte.

c) [0,2 b] Ukažte, že je-li y d, vypočtená intenzita přechází na vztah pro intenzitu pole bodovéhonáboje Q ve vzdálenosti y.

Obr. 1.

2. Mějme tenký prstenec poloměru R, který je rovnoměrně nabit kladným nábojem délkové hustotyτ .

a) [0,2 b] Jaký celkový náboj Q se na prstenci nachází?b) [0,4 b] Určete velikost a směr intenzity ~E elektrického pole buzeného prstencem v bodě P , který senachází na ose prstence ve vzdálenosti z od jeho středu. Nakreslete obrázek a vyznačte směr intenzity.

c) [0,4 b] Ze závislosti E(z) zjištěné v úloze (b) určete vzdálenost z = zm, ve které je velikost intenzitymaximální.

Agojendzadani

3. Na obr. 2 je nevodivá tyč délky d rovnoměrně nabita nábojem −Q.

a) [0,2 b] Určete délkovou hustotu τ náboje tyče.b) [0,5 b] Určete velikost a směr elektrické intenzity v bodě P ve vzdálenosti a od konce tyče. Nakresleteobrázek a vektor intenzity vyznačte.

c) [0,3 b] Kdyby byl bod P velmi daleko od tyče vzhledem k její délce d, chovala by se tyč jako bodovýnáboj. Ukažte, že se velikost intenzity v předchozí podúloze pro a d redukuje na vztah pro intenzitupole bodového náboje.

Obr. 2.

4. Elektrický dipól se skládá z nábojů +2e a −2e, jejichž vzdálenost je d = 0, 78 nm. Nachází sev elektrickém poli o velikosti intenzity E = 3, 4 · 106 N/C.

a) [0,1 b] Vypočítejte velikost elektrického dipólového momentu p tohoto dipólu. Nakreslete obrázek asměr vektoru ~p vyznačte.

b) [0,3 b] Vypočítejte velikost momentu elektrostatických sil působícího na dipól, je-li dipólový momentorientován souhlasně rovnoběžně,

c) [0,3 b] kolmo,d) [0,3 b] svírá-li dipólový moment ~p s vektorem intenzity ~E úhel 60.

5. Na obr. 3 dvě plastikové tyče ohnuté do tvaru půlkružnice tvoří kružnici o poloměru R ležící v ro-vině xy. Osa x prochází styčnými body půlkružnice a náboj na obou tyčích je rozložen rovnoměrně.Jedna tyč má kladný náboj +Q, druhá záporný náboj −Q.

a) [0,2 b] Vypočítejte délkovou hustotu náboje τ na tyči s kladným nábojem.b) [0,5 b] Jaká je velikost a směr vektoru intenzity ~E v bodě P ve středu kružnice? Nakreslete obrázeka vektor intenzity vyznačte.

c) [0,3 b] Jaká by byla velikost intenzity E v bodě P ve středu kružnice, kdyby obě tyče měly stejný,homogenně rozložený kladný náboj +Q?

Obr. 3.

6. Elektron je uvolněn z klidu v homogenním elektrickém poli o velikosti intenzity E = 2, 0 ·104 N/C.Vliv gravitační síly zanedbejte.

a) [0,5 b] Určete velikost a směr jeho zrychlení. Nakreslete obrázek a vektory intenzity elektrického polea zrychlení vyznačte.

b) [0,3 b] Vypočítejte velikost rychlosti v čase t1 = 1 ns po uvolnění. Do obrázku vyznačte směr vektorurychlosti v tomto čase.

c) [0,2 b] Změnila by se situace, kdyby byl ve stejném elektrickém poli z klidu uvolněn proton? Pokudano, nakreslete nový obrázek a všechny vektory vyznačte.

7. Na obr. 4 je kruhový disk o poloměru R, v němž byl vyříznut otvor o poloměru r (r < R). Nadisku je rovnoměrně rozložen elektrický náboj s konstantní plošnou hustotou σ.

a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q rozložený na disku s otvorem.b) [0,5 b] Určete velikost intenzity E elektrického pole v bodě P , který se nachází ve vzdálenosti z odstředu disku tak, jak ukazuje obrázek.

c) [0,1 b] Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity ~E v bodě P vyznačte.d) [0,2 b] Jaká je velikost intenzity elektrického pole ve středu disku?

Obr. 4.

8. Elektron pohybující se rychlostí v0 = 5, 00 · 108 cm/s vletí do homogenního elektrického poleo intenzitě velikosti E = 1, 00 · 103 N/C. Elektron se pohybuje ve směru vektoru intenzity.

a) [0,6 b] Určete velikost síly, která působí na elektron. Nakreslete obrázek a vektory intenzity a sílyvyznačte.

b) [0,2 b] Za jak dlouho se elektron zastaví?c) [0,2 b] Jakou dráhu elektron během této doby urazí?

9. Elektron se nachází v homogenním elektrickém poli o velikosti intenzity E = 1, 40 · 106 N/C.Elektron je na počátku v klidu. Pro výpočty užijte newtonovskou mechaniku.

a) [0,3 b] Určete velikost zrychlení a elektronu.b) [0,3 b] Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity ~E a vektor zrychlení ~a elektronu nakreslete.c) [0,2 b] Za jak dlouho by dosáhl rychlosti rovné jedné desetině rychlosti světla?d) [0,2 b] Jakou dráhu by za tuto dobu urazil?

10. Na obrázku 5 je polonekonečná nevodivá tyč rovnoměrně nabitá nábojem o délkové hustotě τ .

a) [0,4 b] Určete x-ovou složku Ex elektrické intenzity v bodě P .b) [0,4 b] Určete y-ovou složku Ey elektrické intenzity v bodě P .c) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E v bodě P . Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity

~E vyznačte.

Obr. 5.

11. Elektrický kvadrupól (obrázek 6) je vytvořen dvěma elektrickými dipóly, jejichž dipólové mo-menty ~p, −~p jsou stejně velké, opačně orientované a posunuté o d vůči sobě (~d ‖ ~p).

a) [1 b] Určete elektrickou intenzitu v bodě P na jeho ose daleko od jeho středu (z d).

Obr. 6.

12. Na obr. 7 je elektrický dipól, který je tvořen dvěma náboji +Q a −Q vzdálených od sebe o d.

a) [0,5 b] Zvolte vhodnou souřadnou soustavu a určete vektor elektrické intenzity ~E v bodě P vevzdálenosti r od středu spojnice nábojů dipólu (viz obr. 7).

b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor elektrické intenzity ~E v bodě P vyznačte.c) [0,3 b] Vyjádřete vektor elektrické intenzity ~E pro r d pomocí dipólového momentu ~p.

Obr. 7.

13. V prostoru mezi dvěma opačně nabitými deskami (se stejnou velikostí plošné hustoty náboje)vyplněném vakuem je homogenní elektrické pole. Z povrchu záporně nabité desky se z klidu uvolníelektron a dopadne za dobu ∆t = 1, 5 · 10−8 s na protější desku, která je ve vzdálenosti d = 2, 0 cm.a) [0,3 b] S jakou velikostí rychlosti v dopadne elektron na druhou desku?b) [0,2 b] Jaká je velikost elektrické intenzity E mezi deskami?c) [0,3 b] S jakou hustotou σ je náboj rozložen na kladné desce?d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte polaritu desek a vektor elektrické intenzity ~E.

Příklady: 24. Gaussův zákon elektrostatiky

1. Na obrázku je řez dlouhou tenkostěnnou kovovou trubkou o poloměru R, která nese na povrchunáboj s plošnou hustotou σ. Vyjádřete velikost intenzity E jako funkci vzdálenosti r od osy trubkypro

a) [0,4 b] r < R,b) [0,4 b] r ≥ Rc) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty.

Obr. 1.

2. V plné nevodivé kouli o poloměru R je nerovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou%(r) = %0(r/R), kde %0 je konstanta a r je vzdálenost od středu koule.

a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kouli rozložen.b) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r ≥ R.c) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r < R.d) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu koule. Určete ma-ximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte dografu.

3.Na obrázku 2 je nevodivá kulová vrstva o vnitřním poloměru a, vnějším poloměru b s nerovnoměrnouobjemovou hustotou náboje %(r) = A/r (uvnitř vrstvy), kde A je konstanta a r je vzdálenost odstředu kulové vrstvy. Do středu kulové slupky je umístěn bodový náboj Q.

a) [0,4 b] Jak velký náboj je v materiálu kulové vrstvy rozmístěn?b) [0,2 b] Určete velikost intenzity elektrického pole v dutině (tj. pro 0 < r < a) jako funkci r.c) [0,4 b] Jaká musí být hodnota konstanty A, aby velikost elektrické intenzity v materiálu vrstvy (tj.pro a ≤ r ≤ b) byla konstantní (tj. nezáležela na r)?

Obr. 2.

4. Na obr. 3 je znázorněna část dvou velkých rovnoběžných nevodivých desek, z nichž každá nesena jedné stěně rovnoměrně rozložený náboj. Plošné hustoty nábojů jsou σ(+) = 6, 8 mC ·m−2 prokladně nabitou desku a σ(−) = −4, 3 mC ·m−2 pro záporně nabitou desku.a) [0,3 b] Určete velikost intenzity výsledného elektrického pole ~E vlevo od desek. Nakreslete obrázek avektor výsledné intenzity vyznačte.

b) [0,3 b] Totéž určete pro výsledné elektrické pole vpravo od desek ac) [0,4 b] mezi deskami.

Obr. 3.

5. Dva dlouhé nabité souosé válce mají poloměry r1 = 3 cm a r2 = 6 cm. Tloušťku stěn válcůzanedbejte. Délková hustota kladného náboje na vnitřním válci je τ1 = +5 · 10−6 C/m, délkováhustota záporného náboje na vnějším válci je τ2 = −7 · 10−6 C/m.

a) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r < r1.b) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r1 ≤ r < r2.c) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r ≥ r2.d) [0,4 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od osy válců. Určete maximálnía minimální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r těchto hodnot nabývá. Vše vyznačte dografu.

6. V elektrickém poli je umístěna krychle o hraně a = 1, 40 m (obr. 4). Levý zadní dolní roh krychlesplývá s počátkem souřadné soustavy. Vypočtěte tok elektrické intenzity pravou stěnou krychle, je-liintenzita vyjádřena v N/C:

a) [0,2 b] ~E(x, y, z) = 4~ı,b) [0,2 b] ~E(x, y, z) = −10~,c) [0,4 b] ~E(x, y, z) = 4~ı+ 5y~− 8y2~k.d) [0,2 b] Jaký je celkový tok elektrické intenzity povrchem krychle pro každé z těchto polí?

Obr. 4.

7. V plné nevodivé kouli o poloměru R je rovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ρ.

a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kouli rozložen.b) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r < R.c) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r ≥ R.d) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu koule. Určete ma-ximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte dografu.

8. Ve výšce d1 = 350 m byla naměřena intenzita elektrického pole o velikosti E1 = 50 N/C, ve výšced2 = 200 m pak E2 = 100 N/C. V obou případech směřovala elektrická intenzita svisle k Zemi.Uvažte krychli o hraně a = 150 m, jejíž spodní stěna leží ve výšce d2. Zanedbejte zakřivení Země.

a) [0,3 b] Určete tok elektrické intenzity ΦE,1 horní stěnou krychle.b) [0,3 b] Určete tok elektrické intenzity ΦE,2 dolní stěnou krychle.c) [0,4 b] Stanovte celkový náboj Q uzavřený v krychli.

9. Náboj je rovnoměrně rozložen v objemu nekonečně dlouhého nevodivého válce o poloměru Rs konstantní objemovou hustotou náboje ρ.

a) [0,4 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od osy válce pro r < R.b) [0,4 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od osy válce pro r ≥ R.c) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od osy válce. Určete maximálníhodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do grafu.

10. V elektrickém poli o intenzitě ~E = 4~i − 3(y2 + 2)~j (N/C) je umístěna krychle (viz obrázek 5).Určete tok intenzity

a) [0,2 b] horní podstavou,b) [0,2 b] dolní podstavou,c) [0,2 b] levou stěnou ad) [0,2 b] zadní stěnou krychle.e) [0,2 b] Jaký je celkový tok intenzity všemi stěnami krychle?

Obr. 5.

11. Na obr. 6 je znázorněna nabitá kulová vrstva (vnitřní poloměr a = 10 cm, vnější poloměrb = 20 cm) s konstantní objemovou hustotou náboje ρ = 1, 0 · 10−6 C/m3.

a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kulové vrstvě rozložen.b) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro

r < a.c) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro

a ≤ r < b.d) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro

r ≥ b.e) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy. Určetemaximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte dografu.

Obr. 6.

12. Tok elektrické intenzity každou stěnou hrací kostky (v jednotkách 103 Nm2/C) má velikostdanou počtem N ok na stěně (tj. má-li stěna např. dvě oka, tok elektrické intenzity touto stěnou je2 · 103 Nm2/C). Tok pro lichá čísla (tj. 1 , 3 a 5) je záporný, pro sudá čísla (tj. 2, 4, 6) je kladný.a) [0,5 b] Určete celkový tok elektrické intenzity celým povrchem hrací kostky.b) [0,5 b] Určete celkový náboj, který se uvnitř kostky nachází.

13. V nevodivé kouli je rovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ρ. Nechť ~r je polohovývektor obecného bodu P uvnitř koule vzhledem k jejímu středu.

a) [0,5 b] Určete velikost intenzity E elektrického pole v bodě P .b) [0,5 b] Poté do koule vyvrtáme nesoustřednou kulovou dutinu, jak je znázorněno na obrázku 7.Určete velikost intenzity elektrického pole E1 v každém bodě dutiny. Je velikost intenzity v dutiněkonstantní?

Obr. 7.

14. Kulově symetrické, ale nehomogenní rozložení nábojů v nevodivé kouli vytváří elektrické poleo velikosti intenzity E(r) = Kr4, které směřuje radiálně od středu koule, přičemž r je vzdálenost odstředu a K je konstanta.

a) [0,5 b] Jaká je objemová hustota ρ nábojů?b) [0,5 b] Koule má poloměr R. Jaký úhrnný náboj Q je v kouli rozložen?

15. Rovinná vrstva tloušťky d je rovnoměrně nabitá s objemovou hustotou náboje ρ. Určete velikostelektrické intenzity E jako funkci x, tj. kolmé vzdálenosti měřené od střední roviny vrstvy, v bodech

a) [0,5 b] uvnitř ab) [0,5 b] vně vrstvy.

16. Vodivá koule o poloměru R = 10 cm nese na svém povrchu neznámý náboj Q. Intenzita elek-trostatického pole ve vzdálenosti d1 = 15 cm od středu koule má velikost E1 = 3, 0 · 103 N/C asměřuje ke středu koule.

a) [0,5 b] Určete náboj Q na povrchu koule.b) [0,2 b] Určete plošnou hustotu σ náboje na povrchu koule.c) [0,3 b] Určete velikost elektrické intenzity E2 ve vzdálenosti d2 = 20 cm od středu koule.

17. Dvě tenké a rovnoběžné kovové desky tvaru čtverce o straně a = 8, 5 cm, leží ve vzdálenostid = 1, 5 mm od sebe. Jedna deska nese náboj Q1 = −1, 2 · 10−16, druhá Q2 = 1, 2 · 10−16.a) [0,2 b] Určete plošné hustoty σ1 a σ2 nábojů na obou deskách (vliv konečných rozměrů desek zane-dbejte).

b) [0,3 b] Určete velikosti výsledné elektrické intenzity E mezi deskami ac) [0,3 b] vlevo a vpravo od desek.d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor výsledné elektrické intenzity ~E v jednotlivých oblastech vyznačte.

Příklady: 25. Elektrický potenciál

1. Na obrázku 1 je plochý prstenec o vnějším poloměru R a vnitřním poloměru r = 0, 2R, na němžje rozložen elektrický náboj s konstantní plošnou hustotou σ. Osa z je rovnoběžná s osou prstence,jak je naznačeno na obrázku.

a) [0,2 b] Určete náboj Q, který se na prstenci nachází.b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P na ose prstence ve vzdálenosti z odjeho středu.

c) [0,3 b] Pomocí potenciálu z předchozí úlohy určete velikost a směr z-ové složky vektoru elektrickéintenzity ~E v bodě P . Nakreslete obrázek a vyznačte tuto složku.

Obr. 1.

2. Částice o hmotnosti m s kladným elektrickým nábojem Q0 a s počáteční kinetickou energií Ek jevystřelena (z velké vzdálenosti) na střed velmi hmotného atomového jádra majícího elektrický nábojQ1. Jádro považujte za nehybné.

a) [0,5 b] Jak nejblíže ke středu jádra se částice přiblíží?b) [0,2 b] V jaké vzdálenosti od středu jádra bude velikosti zrychlení částice maximální?c) [0,3 b] Určete tuto maximální velikost zrychlení.

3. Potenciál ve středu rovnoměrně nabitého kruhového disku o poloměru R je ϕ0.

a) [0,5 b] Jak velký je celkový náboj Q na disku?b) [0,5 b] Jaký potenciál je na ose disku ve vzdálenosti z = 5R od středu disku?

4. Tyč z plastu, stočená do tvaru kružnice o poloměru R, nese kladný náboj +Q rovnoměrně rozloženýna jedné čtvrtině obvodu a záporný náboj −6Q rovnoměrně rozložený na zbytku kružnice (obrázek2). Zvolte ϕ’ = 0 v nekonečnu a vypočítejte hodnotu potenciálu

a) [0,5 b] ve středu S kružnice,b) [0,5 b] v bodě P na ose symetrie kružnice kolmé k její rovině ve vzdálenosti z od jejího středu.

Obr. 2.

5. Disk o poloměru R je nabit od svého středu r = 0 až do vzdálenosti r = R/2 s konstantní plošnouhustotou náboje σ1 a od r = R/2 až do r = R s konstantní hustotou σ2.

a) [0,2 b] Jaký je úhrnný náboj Q na disku?b) [0,5 b] Jaký je potenciál na ose disku ve vzdálenosti z od jeho středu, jestliže zvolíme ϕ = 0 vnekonečnu?

c) [0,3 b] Z výsledku předchozí podúlohy (s využitím symetrie úlohy) určete intenzitu elektrického polena ose disku ve vzdálenosti z od jeho středu. Nakreslete obrázek a vektor intenzity elektrického polevyznačte.

6. Na obr. 3 je plastová tyč délky L, ležící v ose x, rovnoměrně nabitá kladným elektrickým nábojemQ.

a) [0,2 b] Určete délkovou hustotu náboje τ na tyči.b) [0,5 b] Je-li ϕ = 0 v nekonečnu, vypočítejte potenciál v bodě P ležící na ose x ve vzdálenosti d odjejího levého konce.

c) [0,3 b] Z výsledku předchozí podúlohy určete velikost intenzity elektrického pole v bodě P . Nakresleteobrázek a vektor intenzity vyznačte.

Obr. 3.7. Obr. 4 znázorňuje nevodivou tyč délky L, která je rovnoměrně nabita kladným nábojem s délkovouhustotou τ .

a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q na tyči.b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P .c) [0,3 b] Z výsledku z předchozí úlohy a s využitím symetrie úlohy určete intenzitu ~E elektrického polev bodě P . V obrázku vektor intenzity ~E vyznačte.

Obr. 4.8. Nevodivá tyč délky L na obr. 5 je nabita s proměnnou délkovou hustotou náboje τ(x) = cx, kdec je kladná konstanta.

a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q na tyči.b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P .c) [0,3 b] Z výsledku z předchozí podúlohy určete velikost a směr y-ové složky intenzity elektrickéhopole v bodě P . Nakreslete obrázek a vektor y-ové složky intenzity vyznačte.

Obr. 5.

9. Náboj Q je rovnoměrně rozložen v celém objemu nevodivé koule o poloměru R.

a) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu. Určete potenciál ϕ(r) ve vzdálenosti r < R od středu koule.b) [0,5 b] Jak velké je napětí U mezi povrchem a středem koule?

10. Tlustá kulová slupka s vnitřním poloměrem r1 a vnějším r2 je nabita nábojem Q rovnoměrněrozloženým v celém jejím objemu s hustotou ρ. Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete elektrický potenciálϕ(r) jako funkci vzdálenosti r od středu kulové slupky. Uvažujte samostatně oblasti:

a) [0,3 b] r > r2,b) [0,4 b] r2 > r > r1 ac) [0,3 b] r < r1.

11. Disk z nevodivého plastu byl nabit s konstantní plošnou hustotou σ. Poté byly tři kvadrantydisku odstraněny. Zbývající čtvrtina disku je zobrazena na obr. 6. Osa z je rovnoběžná s osou disku,jak je naznačeno na obrázku.

a) [0,2 b] Určete náboj Q, který se nachází na zbývající čtvrtině disku.b) [0,5 b] Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete potenciál v bodě P , který leží na ose disku ve vzdálenosti

z od jeho středu.c) [0,3 b] Pomocí výsledku z předchozí podúlohy určete z-ovou složku intenzity elektrického pole v bodě

Obr. 6.

a) [1 b] Jaký je potenciál v bodě P uprostřed čtverce, v jehož rozích se nacházejí bodové elektrické náboje(obr. 7) Délka strany čtverce je d = 1,3 m a náboje mají velikosti Q1 = +12 nC, Q2 = -24 nC, Q3 =+31 nC, Q4 = +17 nC

Obr. 7.

Příklady: 26. Kapacita

1. Baterie B na obr. 1 poskytuje napětí 12 V. Kapacity kondenzátorů mají hodnoty C1 = 1, 0 µF,C2 = 2, 0 µF, C3 = 3, 0 µF a C4 = 4, 0 µF.

a) [0,5 b] Určete náboje Q1, Q2, Q3 a Q4 na kondenzátorech v případě, že je zapnut pouze spínač S1.b) [0,5 b] Určete náboje Q1, Q2, Q3 a Q4 na kondenzátorech v případě, že jsou sepnuty oba spínače S1i S2.

Obr. 1.

2. Na horní elektrodu deskového kondenzátoru s elektrodami o obsahu S byl přiveden náboj +Q a naspodní elektrodu náboj −Q. Poté byla měděná deska tloušťky b vsunuta doprostřed mezi elektrodytak, jak ukazuje obr. 2.

a) [0,2 b] Jaká je kapacita C0 kondenzátoru před vsunutím měděné vodivé desky?b) [0,2 b] Jaká je kapacita C1 kondenzátoru po vsunutí měděné vodivé desky?c) [0,2 b] Jaká je energie kondenzátoru Eel,0 před vsunutím desky?d) [0,2 b] Jaká je energie kondenzátoru Eel,1 po vsunutí desky, jestliže náboj na elektrodách zůstanenezměněn?

e) [0,2 b] Jak velká práce W je vykonána při vsunutí desky?

Obr. 2.

3. Deskový kondenzátor má elektrody o obsahu S, které se nacházejí ve vzdálenosti d od sebe. Naelektrodách je napětí U0. Mezi elektrody byla vsunuta deska z dielektrika tloušťky b (b < d) o relativnípermitivitě εr. Pomocí zadaných veličin určete,

a) [0,1 b] jaká byla kapacita C0 kondenzátoru před vsunutím dielektrika,b) [0,1 b] jak velký je volný náboj Q na kondenzátoru,c) [0,2 b] jaká je velikost intenzity elektrického pole E0 v mezeře mezi elektrodami a dielektrickou deskou,d) [0,2 b] jaká je velikost intenzity elektrického pole E1 v dielektrické desce,e) [0,2 b] jaké je napětí U1 mezi elektrodami po vsunutí dielektrické desky af) [0,2 b] jaká je kapacita C1 kondenzátoru se vsunutým dielektrikem.

4. Kapacity kondenzátorů v bloku na obrázku 3 jsou C1=10,0µF, C2=5,0µF, C3=4,0µF, napětí U= 120V.

a) [0,3 b] Určete výslednou kapacitu bloku kondenzátorů.b) [0,3 b] Určete náboj na kondenzátoru C1.c) [0,1 b] Určete napětí na kondenzátoru C2.d) [0,3 b] V kondenzátoru C2 došlo k elektrickému průrazu a kondenzátor se stal pro elektrický proudprůchodným. Jaké změny napětí a náboje následovaly na svorkách kondenzátoru C1?

Obr. 3.

5. Kapacity kondenzátorů v bloku na obrázku 4 jsou C1=15,0µF, C2=2,0µF, C3=10,0µF, napětí U= 220V.

a) [0,3 b] Určete výslednou kapacitu bloku kondenzátorů.b) [0,3 b] Určete náboj na kondenzátoru C2.c) [0,1 b] Určete napětí na kondenzátoru C3.d) [0,3 b] V kondenzátoru C3 došlo k elektrickému průrazu a kondenzátor se stal pro elektrický proudprůchodným. Jaké změny napětí a náboje následovaly na svorkách kondenzátoru C1?

Obr. 4.

6. Deskový kondenzátor má elektrody kruhového tvaru o poloměru R = 8, 2 cm vzdálené od sebed = 1, 3 mm. Prostor mezi elektrodami je vyplněn dielektrikem mající relativní permitivitu εr = 4, 8.

a) [0,5 b] Vypočítejte jeho kapacitu.b) [0,2 b] Jak velký náboj Q se objeví na elektrodách, když na kondenzátor vložíme napětí U0 = 120 V?c) [0,3 b] Použijte náboj vypočítaný v předchozí podúloze a určete napětí na kondenzátoru U1, kdyžodstraníme dielektrikum mezi deskami (počítejte s relativní permitivitou vzduchu rovnou 1).

7. Elektrody kulového kondenzátoru mají poloměry r1 a r2 (r2 > r1). Prostor mezi elektrodami jevyplněn vzduchem s relativní permitivitou εr

∼= 1.a) [0,3 b] Na vnitřní elektrodu přivedeme náboj Q, na vnější elektrodu přivedeme náboj −Q. Určetezávislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu elektrod, pro r1 ≤ r < r2.

b) [0,3 b] Určete napětí U mezi elektrodami.c) [0,2 b] Vypočítejte kapacitu kulového kondenzátoru.d) [0,2 b] Jaká by byla kapacita kulového kondenzátoru, kdyby se poloměr r2 blížil nekonečnu?

8. Deskový kondenzátor s elektrodami o obsahu S a vzdáleností d mezi elektrodami je vyplněn dvěmadielektriky s relativními permitivitami εr,1 a εr,2. Obě dielektrika mají stejnou tloušťku d/2 (viz obr.5). Na jednu elektrodu byl přiveden náboj +Q a na druhou −Q.

a) [0,4 b] Určete velikosti elektrických intenzit E1 v prvním dielektriku a E2 v druhém dielektriku.b) [0,4 b] Určete napětí U mezi elektrodami.c) [0,2 b] Určete kapacitu C tohoto deskového kondenzátoru.

Obr. 5.

9. Deskový kondenzátor s elektrodami o obsahu S je vyplněn dvěma dielektriky s relativními permi-tivitami εr,1 a εr,2 tak, jak je znázorněno na obrázku 6. Na jednu z elektrod byl přiveden náboj +Q,na druhou −Q. Určete

a) [0,4 b] jeho kapacitu C,b) [0,3 b] hustoty náboje σ1 a σ2 na levé, resp. pravé polovině elektrody ac) [0,3 b] napětí U mezi elektrodami.

Obr. 6.

10. Tři kondenzátory jsou zapojeny podle obrázku 7. Jejich kapacity mají hodnoty C1 = 10, 0 mF,C2 = 5, 00 mF a C3 = 4, 00 mF. Přiložené napětí je U = 100 V.

a) [0,2 b] Vypočítejte výslednou kapacitu C bloku všech tří kondenzátorů.b) [0,4 b] Určete pro každý z kondenzátorů jejich náboje Q1, Q2 a Q3c) [0,4 b] a jejich napětí U1, U2 a U3.

Obr. 7.

11. Na mýdlovou bublinu poloměru R0 je pomalu předáván náboj Q. V důsledku vzájemného od-puzování povrchových nábojů se poloměr bubliny mírně zvětší na velikost R. Následkem expanze setlak vzduchu uvnitř bubliny sníží na velikost p = p0V0/V , kde p0 je atmosférický tlak, V0 je počátečníobjem a V je koncový objem.

a) [1 b] Dokažte, že mezi uvedenými veličinami platí vztah Q2 = 32π2ε0p0R(R3 −R30).

12. Deskový vzduchový kondenzátor o ploše elektrod S = 40 cm2 a vzdálenosti elektrod d = 1, 0 mmje nabit na napětí U = 600 V. Určete

a) [0,2 b] jeho kapacitu C,b) [0,2 b] velikost náboje Q na každé z elektrod,c) [0,2 b] energii Eel elektrického pole vzniklého mezi jeho elektrodami,d) [0,2 b] velikost intenzity elektrického pole E mezi elektrodami ae) [0,2 b] hustotu energie wel elektrického pole mezi elektrodami.

Příklady: 27. Proud a odpor

1. Velikost hustoty proudu v prvním válcovém vodiči o poloměru R se mění podle vztahu J1 =J0(1 − r/R), kde r je vzdálenost od osy válce. Hustota proudu tedy dosahuje maximální hodnotyJ0 v ose vodiče (r = 0) a lineárně klesá k nule na povrchu vodiče (r = R). Velikost hustoty prouduve druhém válcovém vodiči o stejném poloměru R se mění podle vztahu J2 = J0r/R, kde r je opětvzdálenost od osy válce. Hustota proudu tedy v tomto případě dosahuje maximální hodnoty J0 napovrchu vodiče (r = R) a lineárně klesá k nule směrem k ose vodiče (r = 0).

a) [0,4 b] Vypočítejte celkový proud I1 tekoucí prvním vodičem.b) [0,4 b] Vypočítejte celkový proud I2 tekoucí druhým vodičem.c) [0,2 b] Zdůvodněte, proč se oba proudy I1 a I2 nerovnají.

2. Na obrázku 1 je nakreslen elektrický obvod se spirálou umístěnou uvnitř tepelně izolovaného válces ideálním plynem. Válec je uzavřen pístem, který se pohybuje bez tření. Spirálou prochází proudI = 240 mA, její odpor je R = 550 Ω, hmotnost pístu je m = 12 kg.

a) [1 b] Jak velkou rychlostí v se musí píst zvedat, aby se teplota T plynu ve válci neměnila?

Obr. 1.

3. Ke koncům měděného drátu o průměru d = 1 mm a délce l = 33, 0 m je přiloženo napětíU = 1, 20 V. Rezistivita mědi je ρCu = 1, 69 · 10−8 Ωm. Vypočtětea) [0,3 b] proud I tekoucí drátem,b) [0,2 b] velikost hustoty proudu J v drátu,c) [0,3 b] velikost intenzity E elektrického pole v drátu,d) [0,2 b] výkon P , s jakým se v drátu vyvíjí teplo.

4. Vzdálenost mezi přední a zadní stěnou kvádru je a = 15, 8 cm, obsah každé z nich je S = 3, 50 cm2

a odpor (měřený mezi nimi) je R = 935 Ω. Koncentrace vodivostních elektronů v materiálu, z něhožje kvádr vyroben, je n = 5, 33 · 1022 m−3. Mezi přední a zadní stěnu kvádru je přiloženo napětíU = 35, 8 V.

a) [0,2 b] Jaký proud I prochází kvádrem?b) [0,2 b] Jaká je velikost hustoty proudu J (předpokládáme-li, že je konstantní v celém průřezu)?c) [0,2 b] Jaká je velikost driftové rychlosti vd vodivostních elektronů?d) [0,2 b] Jaká je velikost intenzity E elektrického pole v kvádru?e) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a vektory ~J , ~vd a ~E.

5. Rezistor má tvar komolého kužele (viz obrázek 2). Poloměry jeho kruhových podstav jsou a, ba jeho výška je L. Jestliže se kužel zužuje jen málo, můžeme předpokládat, že zvolíme-li libovolnýprůřez kolmý k ose, bude v něm hustota proudu konstantní (a ovšem jiná než v jiném průřezu).Materiál, z něhož je rezistor vyroben, má rezistivitu ρ.

a) [0,6 b] Vypočtěte odpor R rezistoru.b) [0,4 b] Určete odpor R′ rezistoru v případě, že a = b, tj. rezistor má tvar válce.

Obr. 2.

Příklady: 28. Obvody

1. V obvodu na obrázku je dáno E1 = 6, 0 V, E2 = 5, 0 V, E3 = 4, 0 V, R1 = 100 Ω, R2 = 50 Ω. Oběbaterie jsou ideální. Vypočtěte

a) [0,3 b] napětí mezi body a a b ab) [0,7 b] proudy I1 a I2 procházející oběma rezistory.

Obr. 1.

2. V obvodu na obrázku je dáno E1 = 3, 00 V, E2 = 1, 00 V, R1 = 5, 00 Ω, R2 = 2, 00 Ω, R3 = 4, 00 Ω.Obě baterie jsou ideální.

a) [0,4 b] Určete proudy I1, I2 a I3 tekoucí rezistory R1, R2 a R3.b) [0,3 b] S jakým výkonem je elektrická energie disipována v rezistorech R1, R2 a R3?c) [0,3 b] Jaký je výkon baterií 1 a 2?

Obr. 2.

3. Uvažujme dva stejné kondenzátory o kapacitách C1 = C2 = C. Jeden kondenzátor je nabitnábojem Q0. Druhý nenabitý kondenzátor je pak k němu připojen vodiči o odporu R.

a) [0,2 b] Vypočtěte celkovou energii obou kondenzátorů před jejich spojením.b) [0,2 b] Určete náboje Q1 a Q2 na obou kondenzátorech po jejich spojení a dosažení ustáleného stavu.c) [0,4 b] Vypočtěte celkovou energii kondenzátorů po jejich spojení a dosažení ustáleného stavu.d) [0,2 b] Případný rozdíl energií před a po spojení kondenzátorů vysvětlete.

4. Je dán obvod na obrázku. Jaký odpor musí mít rezistor R, aby ideální baterie dodávala do obvoduenergii s výkonem

a) [0,2 b] 60,0 W,b) [0,2 b] maximálně možným,c) [0,4 b] minimálně možným?d) [0,2 b] Vypočtěte výkon v případech (b) a (c).

Obr. 3.

5. V obvodu na obr. 4 je kondenzátor o kapacitě C = 10 µF, dvě ideální baterie o elektromotorickýchnapětích E1 = 1, 0 V a E2 = 3, 0 V, dva rezistory o odporech R1 = 0, 20 Ω a R2 = 0, 40 Ω a spínač S.Spínač byl nejprve dlouhou dobu rozpojen.

a) [0,2 b] Určete náboj na kondenzátoru.b) [0,3 b] Poté, co byl spínač S velmi dlouho rozpojen, byl na dlouhou dobu sepnut. Určete proud(velikost a směr) protékající rezistory R1 a R2. V obrázku vyznačte směry proudů.

c) [0,3 b] Jak se změnil náboj na kondenzátoru?d) [0,2 b] Poté, co byl spínač S na dlouhou dobu sepnut, byl opět rozpojen. Určete proud (velikost asměr), který poteče rezistorem R2 ihned po rozpojení spínače S.

Obr. 4.

6. Máte k dispozici dvě stejné baterie o elektromotorickém napětí E = 12 V a vnitřním odporur = 25 mΩ. Baterie mohou být spojeny paralelně – obrázek (a), nebo sériově – obrázek (b) apřipojeny k rezistoru o odporu R = 10 Ω. Určete

a) [0,2 b] proud tekoucí rezistorem R pro zapojení (a) ab) [0,2 b] pro zapojení (b) ac) [0,3 b] rychlost disipace energie rezistorem R pro zapojení (a) ad) [0,3 b] pro zapojení (b).

Obr. 5.

7. Na obr. 6 je obvod, jehož prvky mají hodnoty E1 = 3, 0 V, E2 = 6, 0 V, R1 = 2, 0 Ω, R2 = 4, 0 Ω.Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje.

a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I1, I2 a I3 (uvažujte směry proudůzvolené na obrázku).

b) [0,3 b] Pomocí 2. Kirchhoffova zákona sestavte další dvě rovnice takové, aby dohromady tvořily systémtří lineárních rovnic tří neznámých I1, I2 a I3.

c) [0,4 b] Určete velikosti a směry proudů v každé ze tří větví obvodu. Nakreslete obrázek a směryproudů vyznačte.

Obr. 6.

8. Na obrázku je obvod, jehož prvky mají hodnoty E1 = 3, 0 V, E2 = 6, 0 V, R1 = 2, 0 Ω, R2 = 4, 0 Ω.Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje.

a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I1, I2 a I3 (uvažujte směry proudůzvolené na obrázku.)

Obr. 7.

9. Na obrázku je obvod, jehož prvky mají hodnoty E1 = 3, 0 V, E2 = 6, 0 V, R1 = 2, 0 Ω, R2 = 4, 0 Ω.Tři baterie v obvodu jsou ideální zdroje.

a) [0,3 b] Pomocí 1. Kirchhoffova zákona sestavte rovnici pro proudy I1, I2 a I3 (uvažujte směry proudůzvolené na obrázku.)

Obr. 8.

10. Kondenzátor o kapacitě C se vybíjí přes rezistor o odporu R.

a) [0,3 b] Vyjádřete pomocí časové konstanty, za jak dlouho klesne náboj kondenzátoru na polovinu svépočáteční hodnoty.

b) [0,5 b] Za jak dlouho klesne elektrická potenciální energie kondenzátoru na polovinu své počátečníhodnoty?

c) [0,2 b] S jakým výkonem se v rezistoru vyvíjí teplo během vybíjení?

11. Na obr. 9 je obvod s pěti rezistory připojenými k ideální baterii o elektromotorickém napětíE = 12, 0 V.a) [0,3 b] Určete ekvivaletní odpor R systému rezistorů připrojených k baterii.b) [0,3 b] Určete proud I tekoucí baterií.c) [0,4 b] Jaké napětí je na rezistoru o odporu 5, 0 Ω?

Obr. 9.

12. Na obrázku je rezistorová síť připojená k ideální baterii. Údaje na jednotlivých prvcích jsou:R1 = 100 Ω, R2 = R3 = 50 Ω, R4 = 75 Ω, E = 6, 0 V.a) [0,4 b] Určete ekvivaletní odpor R systému rezistorů připrojených k baterii.b) [0,4 b] Jaké proudy procházejí jednotlivými rezistory?c) [0,2 b] Jaký výkon dodává obvodu baterie?

Obr. 10.

13. V sériovém RC obvodu je E = 12, 0 V, R = 1, 40 MΩ, C = 1, 80 mF.a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τc.b) [0,4 b] Určete maximální náboj Qmax, který kondenzátor získá během nabíjení.c) [0,4 b] Za jak dlouho se kondenzátor nabije nábojem Q = 16 mC?

14. V okamžiku t = 0 je sepnut spínač a kondenzátor o počátečním napětí U0 = 100 V se začnevybíjet přes rezistor o odporu R = 0, 1 Ω. V okamžiku t1 = 10, 0 s je napětí na kondenzátoruU1 = 1, 00 V.

a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τc.b) [0,4 b] Jaké bude napětí U2 na kondenzátoru v čase t2 = 17, 0 s?c) [0,4 b] Jaký bude proud I2 tekoucí obvodem v čase t2 = 17, 0 s?

15. Kondenzátor o kapacitě C = 25 µF s počátečním nábojem Q0 se vybíjí přes rezistor o odporuR = 80 kΩ.

a) [0,2 b] Vypočtěte časovou konstantu τc.b) [0,4 b] Za jak dlouho kondenzátor ztratí třetinu svého náboje ac) [0,4 b] dvě třetiny svého náboje?

16. V obvodu na obrázku 11 je E = 1, 2 kV, C = 6, 5 mF, R1 = R2 = R3 = 0, 73 MΩ. KondenzátorC je bez náboje, v okamžiku t = 0 je sepnut spínač S.

a) [0,3 b] Vypočtěte hodnotu napětí U2 na rezistoru R2 pro t = 0b) [0,3 b] a pro t→∞.c) [0,2 b] Vypočtěte proudy I1, I2 a I3 procházející každým z rezistorů pro t = 0d) [0,2 b] a pro t→∞.

Obr. 11.

17. Dva rezistory R1 a R2 mohou být připojeny sériově, nebo paralelně k ideální baterii o elektro-motorickém napětí E .a) [0,3 b] Určete celkový ztrátový výkon Pp při paralelním zapojení těchto rezistorů ab) [0,3 b] celkový ztrátový výkon Ps při sériovém zapojení těchto rezistorů.c) [0,4 b] Je dán odpor R1 = 100 Ω. Jaký má být odpor R2, aby ztrátový výkon Pp při jejich paralelnímzapojení byl pětinásobkem ztrátového výkonu Ps při jejich sériovém zapojení?

Příklady: 29. Magnetické pole

1. Na obrázku je obdélníková cívka skládající se z N závitů drátu. Strany cívky mají délku a a b aprotéká jí elektrický proud I naznačeným směrem. Osa, kolem níž se může cívka otáčet, má směr jejídelší strany a je totožná s osou y. Magnetické pole má velikost indukce B a směr vektoru ~B svíráúhel 30 s rovinou xy, v níž cívka leží.

a) [0,5 b] Určete velikost a směr magnetického dipólového momentu ~µ cívky. Nakreslete obrázek a vektor~µ vyznačte.

b) [0,5 b] Určete velikost a směr silového momentu ~M působícího na cívku vzhledem k její ose otáčení.Do stejného obrázku vyznačte vektor ~M .

Obr. 1.

2. Kovový vodič má hmotnost m a klouže bez tření po dvou vodorovných kolejnicích s rozchodemd, jak je ukázáno na obrázku. Celá soustava se nachází ve svislém magnetickém poli o indukci B.Stejnosměrný elektrický proud I, dodávaný generátorem G, protéká první kolejnicí, vodičem a druhoukolejnicí, kterou se vrací zpět.

a) [0,4 b] Určete velikost magnetické síly, kterou působí magnetické pole na kovový vodič.b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr pohybu vodiče.c) [0,4 b] Určete velikost jeho rychlosti jako funkci času za předpokladu, že v čase t = 0 byl v klidu.

Obr. 2.

3. Na obr. 3 je schematicky znázorněn princip hmotnostního spektrometru, který slouží k měřeníhmotností iontů: iont o hmotnostim (která má být změřena) s nábojem Q vzniká s nulovou počátečnírychlostí ve zdroji Z a poté je urychlen elektrickým polem vytvořeným napětím U . Iont opustí zdrojZ a vlétá štěrbinou do separační komory, ve které na něj působí homogenní magnetické pole ~B,kolmé k jeho rychlosti ( ~B je kolmé k rovině obrázku a směřuje k nám). Magnetické pole způsobí, žese iont bude pohybovat po půlkružnici, dopadne na fotografickou desku ve vzdálenosti x od štěrbinya exponuje ji tam. Pomocí zadaných veličin určete,

a) [0,4 b] s jakou rychlostí vlétne iont do magnetického pole,b) [0,4 b] jaká je velikost síly, kterou působí magnetické pole na iont ac) [0,2 b] jaká je hmotnost iontu.

Obr. 3.

4. Částice s nábojem Q se pohybuje po kružnici poloměru r rychlostí velikosti v. Považujte jejíkruhovou dráhu za proudovou smyčku.

a) [0,2 b] Jaký proud I představuje tato částice pohybující se po kružnici?b) [0,4 b] Určete velikost magnetického dipólového momentu µ této myšlené proudové smyčky.c) [0,4 b] Určete velikost momentu sil, kterým působí na tuto smyčku s magnetickým dipólovým mo-mentem ~µ homogenní magnetické pole s indukcí velikosti B svírající s normálou smyčky úhel ϕ = 90.

5. Elektron má kinetickou energii Ek = 1, 20 keV a pohybuje se po kružnici v rovině kolmé k vektorumagnetické indukce ~B. Poloměr této kružnice je r = 25, 0 cm. Určete:

a) [0,2 b] velikost rychlosti v elektronu,b) [0,4 b] velikost magnetické indukce B pole,c) [0,2 b] frekvenci f pohybu ad) [0,2 b] periodu T pohybu.

6. Elektron je urychlován z klidu napětím U = 350 V. Poté vletí do homogenního magnetického poleo indukci B = 300 mT kolmo k vektoru magnetické indukce. Vypočtěte:

a) [0,3 b] velikost rychlosti v elektronu v magnetickém poli,b) [0,3 b] velikost magnetické síly FB, která působí na elektron v magnetickém poli, ac) [0,4 b] poloměr r jeho dráhy v magnetickém poli.

7. Vodičem dlouhým l = 50 cm a rovnoběžným s osou x protéká proud I = 0, 50 A v kladném směruosy x. Vodič se nachází v magnetickém poli o indukci ~B = (0, 003~j + 0, 010~k) T.

a) [0,5 b] Určete velikost Ampérovy síly FB působící na vodič.b) [0,5 b] Nakreslete obrázek a osy, vodič i vektor Ampérovy síly vyznačte.

8. Kovový vodič má hmotnost m = 0, 1 kg a klouže bez tření po dvou vodorovných kolejnicíchs rozchodem d = 50 cm, jak je ukázáno na obr. 4. Celá soustava se nachází ve svislém magnetickémpoli o indukci ~B o velikosti B = 10 mT. Stejnosměrný elektrický proud I, dodávaný generátorem G,protéká první kolejnicí, vodičem a druhou kolejnicí, kterou se vrací zpět. Závislost velikosti rychlostityče na čase je dána funkcí v(t) = 0, 125 t.

a) [0,3 b] Určete velikost výsledné síly F působící na vodič.b) [0,5 b] Určete velikost proudu I tekoucí vodičem.c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor rychlosti ~v vodiče vyznačte.

Obr. 4.

9. Měděný proužek široký d = 150 mm, mající tloušťku t = 10 mm se nachází v homogennímmagnetickém poli o indukci ~B, jejíž velikost je B = 1, 5 T; ~B je kolmé k ploše proužku. Jestližeproužkem protéká elektrický proud I = 10, 3 A, naměříme na jeho šířce Hallovo napětí UH = 1, 1 ·10−7 V. Určete

a) [0,2 b] velikost hustoty proudu J v proužku,b) [0,2 b] velikost intenzity elektrického pole EH napříč proužku,c) [0,3 b] driftovou rychlost vd elektronů procházejících proužkem ad) [0,3 b] počet n elektronů v objemové jednotce.

10. Při experimentu s Hallovým jevem protéká vodivým proužkem v podélném směru elektrickýproud I = 3, 0 A. Proužek je dlouhý l = 4, 0 cm, široký d = 1, 0 cm a tlustý t = 10 mm. Magneticképole o indukci B = 1, 5 T je kolmé k ploše proužku (ve směru tloušťky) a na jeho šířce bylo naměřenoHallovo napětí UH = 10 mV. Z uvedených údajů určete

a) [0,4 b] driftovou rychlost vd nosičů náboje ab) [0,4 b] počet nosičů n náboje v objemové jednotce vodiče.c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I tekoucího proužkem, vektor magnetické indukce

~B a polaritu Hallova napětí UH. Nosiče náboje jsou elektrony.

11. Proudovou smyčkou, tvořenou jedním závitem, protéká proud I = 4, 00 A. Smyčka má tvarpravoúhlého trojúhelníku se stranami a = 50, 0 cm, b = 120 cm a c = 130 cm. Smyčka se nacházív homogenním magnetickém poli o indukci velikosti B = 75, 0 mT a směru rovnoběžném se směremelektrického proudu tekoucího nejdelší stranou (přeponou) smyčky.

a) [0,5 b] Určete velikosti Ampérových sil Fa, Fb a Fc působících na každou ze tří stran smyčky.b) [0,5 b] Jaká je celková síla ~F působící na smyčku?

12. Obrázek 5 zobrazuje dřevěný válec o hmotnosti m = 0, 250 kg a délce L = 0, 100 m, kolem něhožje v podélném směru hustě navinuto N = 10 závitů vodiče.

a) [1 b] Jaký minimální proud I, protékající cívkou, zabrání válci ve valivém pohybu po nakloněné rovině,jestliže se válec s cívkou nachází v magnetickém poli o indukci B = 0, 500 T, které je orientováno svislevzhůru? Rovina závitů cívky je rovnoběžná s nakloněnou rovinou, úhel nakloněné roviny je θ.

Obr. 5.

13. Elektrické pole o velikosti intenzity E = 1, 50 kV/m a magnetické pole o velikosti indukceB = 0, 400 T působí současně na pohybující se elektron, přičemž výslednice těchto dvou sil je rovnanulovému vektoru.

a) [0,5 b] Určete minimální velikost rychlosti vmin elektronu.b) [0,5 b] Nakreslete obrázek a vektory ~E, ~B a ~vmin vyznačte.

Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1.Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

a) [1 b] Jaký musí být proud (velikost a směr) ve vodiči 2, aby výsledné magnetické pole v bodě P bylonulové?

Obr. 1.

2. Na obrázku 2 protéká dlouhým přímým vodicem proud 30A a obdélníkovou smyčkou proud 20A.Dosaďte hodnoty a = 1,0 cm, b = 8,0 cm a L = 30 cm.

a) [1 b] Vypočtěte výslednou sílu působící na smyčku.

Obr. 2.

3. Čtvercovou smyčkou s délkou strany a protéká proud I.

a) [0,6 b] Určete velikost magnetické indukce B1, kterou vytváří proud tekoucí jednou z jejích stran, vestředu smyčky.

b) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B, kterou vytváří proud tekoucí celou smyčkou, ve středusmyčky.

c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a směr proudu a vektoru magnetické indukce ~B ve středu smyčky vyznačte.

4. Na obrázku 3 je průřez dlouhým válcovým vodičem o poloměru a, kterým protéká homogenněrozložený proud I směrem k nám. Dosaďte hodnoty a = 2, 0 cm a I = 100 A.

a) [0,4 b] Určete magnetickou indukci ~B pro r ≥ a. V obrázku vektor ~B vyznačte.b) [0,4 b] Určete magnetickou indukci ~B pro r < a. V obrázku vektor ~B vyznačte.c) [0,2 b] Nakreslete závislost B(r) pro 0 < r < 6, 0 cm.

Obr. 3.

5. Na obr. 4 je průřez dlouhým přímým vodičem válcového tvaru o poloměru a s válcovou dutinouo poloměru b. Osy válce a dutiny jsou rovnoběžné a jejich vzdálenost je d. Proud I je ve vodičirozložen homogenně v celém vyznačeném průřezu.

a) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B ve středu dutiny.b) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B ve středu dutiny, jestliže b = 0 nebo d = 0.c) [0,4 b] Dokažte, že velikost magnetické indukce v dutině je konstantní.

Obr. 4.

6. Magnetická indukce v určité oblasti prostoru je dána vztahem ~B = (3, 0~i+ 8, 0(x2/d2)~j) mT, kded je konstanta s rozměrem délky a x i d jsou vyjádřeny v metrech. Víme, že toto pole je způsobenoelektrickým proudem.

a) [0,3 b] Vypočítejte integrál∮c

~B ·d~s po lomené Ampérově křivce c vedoucí po úsečkách z bodu (0, 0, 0)

přes (d, 0, 0), (d, d, 0) a (0, d, 0) zpět do (0, 0, 0).b) [0,5 b] Dosaďte hodnotu d = 0, 50 m do výrazu pro indukci ~B a pomocí Ampérova zákona vypočtětevelikost elektrického proudu I tekoucího ve směru kolmém ke čtverci o délce strany a = 0, 5 m. Čtverecleží v prvním kvadrantu roviny xy a má jeden z vrcholů v počátku soustavy souřadnic.

c) [0,2 b] Určete, zda-li je tento proud ve směru jednotkového vektoru +~k, nebo −~k.

7. Na obr. 5 je průřez dutého dlouhého přímého válcového vodiče, jehož vnější, resp. vnitřní poloměrje a, resp. b. Vodičem protéká proud I homogenně rozložený v celém průřezu vodiče (tj. s konstantníproudovou hustotou) směrem k nám.

a) [0,4 b] Určete magnetickou indukci ~B pro r ≥ a, kde r je vzdálenost od osy vodiče. V obrázku vektor~B vyznačte.

b) [0,4 b] Určete magnetickou indukci ~B pro b ≤ r < a. V obrázku vektor ~B vyznačte.c) [0,2 b] Určete magnetickou indukci ~B pro r < b. V obrázku vektor ~B vyznačte.

Obr. 5.

8. Na obr. 6 je řez dlouhým přímým koaxiálním kabelem. Každým z vodičů protéká co do velikostistejný, ale co do směru opačný proud I homogenně rozložený v jejich průřezu.

a) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r < c.b) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro c ≤ r < b.c) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro b ≤ r < a.d) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r ≥ a.e) [0,2 b] Dosaďte hodnoty a = 2, 0 cm, b = 1, 8 cm, c = 0, 40 cm a I = 120 A a vyneste závislost B(r)pro r v intervalu 0 < r < 3 cm.

Obr. 6.

9. Hustota elektrického proudu ~J uvnitř dlouhého válcového vodiče o poloměru a má směr jeho osy ajejí velikost lineárně roste se vzdáleností r od osy podle vztahu J = J0r/a, kde J0 je hustota prouduna povrchu vodiče.

a) [0,2 b] Určete celkový proud I tekoucí vodičem.b) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r < a.c) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r ≥ a.d) [0,2 b] Nakreslete závislost B(r) a vyznačte na osách všechny důležité hodnoty.

10. Smyčka má tvar podle obr. 7 a protéká jí elektrický proud I.

a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P .b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce ~B vyznačte.c) [0,3 b] Určete velikost magnetického dipólového momentu µ smyčky.

Obr. 7.

11. Dlouhým solenoidem s hustotou n = 100 závitů na centimetr protéká proud I. Elektron sepohybuje uvnitř solenoidu po kružnici o poloměru r = 2, 30 cm kolmo na osu solenoidu (osa kružniceje shodná s osou solenoidu). Velikost rychlosti elektronu je v = 0, 046c, kde c = 3 ·108 m/s je rychlostsvětla.

a) [0,2 b] Určete velikost výsledné síly F , která působí na elektron. Nakreslete obrázek a směr pohybuelektronu a vektor síly ~F vyznačte.

b) [0,3 b] Určete velikost indukce B magnetického pole, ve kterém se elektron pohybuje. Do obrázkudokreslete vektor magnetické indukce ~B.

c) [0,5 b] Určete proud I, který za těchto okolností solenoidem protéká.

12. Toroid byl vytvořen stočením solenoidu s N = 500 čtvercovými závity o délce strany a = 5 cmdo prstence s vnitřním poloměrem r1 = 25 cm (vnější poloměr je tedy r2 = 30 cm). Toroidem tečeproud I. Určete

a) [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro 0 ≤ r < r1,b) [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro r1 ≤ r ≤ r2 ac) [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro r > r2.d) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti B(r) pro 0 ≤ r ≤ 40 cm a na osách vyznačte všechny důležitéhodnoty.

e) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a indukční čáry. Zakreslete též vektor magnetickéindukce ~B v jednom libovolném bodě, kde je pole nenulové.

13. Na obr. 8 je průřez dlouhého vodiče obdélníkového průřezu o šířce D a zanedbatelné výšky.Vodičem protéká stejnoměrně rozložený elektrický proud I kolmo k obrázku, směrem od nás.

a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P ležícím v rovině proužku ve vzdálenosti d odjeho hrany.

b) [0,4 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce ~B v bodě P vyznačte.c) [0,1 b] Ze závislosti B(d) určené v první podúloze ukažte, že pro d >> D velikost magnetické indukce

B přechází ve vztah pro magnetické pole tenkého vodiče, kterým prochází proud I. (Tip: ln(1+x) .= x.)

Obr. 8.

14. Na obr. 9 je přímý vodič o délce L, kterým protéká proud I.

a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P ležícím ve vzdálenosti R od středu vodiče (vizobrázek 9).

b) [0,3 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce ~B v bodě P vyznačte.c) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v tomtéž bodě pro případ, že L →∞.

Obr. 9.

15. Na obrázku 10 protéká dlouhým přímým vodičem proud I1 = 30 A a obdélníkovou smyčkouproud I2 = 20 A. Jsou dány rozměry: a = 1, 0 cm, b = 8, 0 cm a L = 30 cm.

a) [0,4 b] Určete velikost magnetické indukce B od přímého vodiče ve vzdálenosti R od tohoto příméhovodiče.

b) [0,4 b] Vypočtěte velikost výsledné síly F působící na smyčku.c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směry proudů I1 a I2 a vektor výsledné síly ~F působící nasmyčku. Rovněž naznačte magnetické pole od přímého vodiče.

Obr. 10.

Příklady: 31. Elektromagnetická indukce

1. Tuhý drát ohnutý do půlkružnice o poloměru a se rovnoměrně otáčí s úhlovou frekvencí ω v ho-mogenním magnetickém poli o indukci ~B, jak ukazuje obr. 1. Pomocí kontaktů tvoří vodivou smyčkus celkovým odporem R.

a) [0,3 b] Je-li drát v pozici jako na obrázku, tok magnetické indukce smyčkou je maximální a je rovenΦB,max. Určete závislost toku magnetické indukce ΦB na čase t.

b) [0,3 b] Určete indukované emn Eind v závislosti na čase t.c) [0,1 b] Jaká je amplituda Emax indukovaného emn?d) [0,2 b] Určete indukovaný proud I ve smyčce v závislosti na čase t.e) [0,1 b] Jaká je amplituda Imax indukovaného proudu?

Obr. 1.

2. Kovovou tyč posunujeme podle obr. 2 konstantní rychlostí ~v po dvou rovnoběžných kovovýchkolejnicích spojených kovovým páskem na jednom konci. Magnetické pole o indukci velikosti B =0, 350 T směřuje k nám.

a) [0,5 b] Jaké indukované emn vzniká, jsou-li kolejnice vzdáleny L = 25, 0 cm a rychlost tyče má velikostv = 55, 0 cm/s?

b) [0,3 b] Jaký proud teče tyčí, má-li odpor R = 18, 0 Ω a kolejnice a spojovací pásek mají odporzanedbatelný?

c) [0,2 b] S jakým výkonem se uvolňuje Joulovo teplo ve smyčce?

Obr. 2.

3. Obr. 3 ukazuje v průřezu dva souosé solenoidy. Solenoidem 1, který má n1 závitů na jednotkudélky a poloměr R1, protéká proud, který závisí na čase vztahem I1(t) = I1,m sin(ωt). Solenoid 2 mán2 závitů na jednotku délky, poloměr R2 a délku l.

a) [0,5 b] Jaké indukované emn Eind vzniká v solenoidu 2?b) [0,5 b] Jaká je vzájemná indukčnost M této sestavy?

Obr. 3.

4. Obr. 4 znázorňuje tyč o délce L, která se pohybuje konstantní rychlostí v po vodivých vodorovnýchkolejnicích. Magnetické pole není v tomto případě homogenní, ale je vytvořeno proudem I v dlouhémvodiči, rovnoběžném s kolejnicemi. Je dáno: v = 5, 00 m/s, a = 10, 0 mm, L = 10, 0 cm a I = 100 A.

a) [0,3 b] Vypočtěte emn Eind indukované ve smyčce tvořené kolejnicemi, spojovacím páskem a tyčí).b) [0,1 b] Jak velký bude proud ve vodivé smyčce? Odpor tyčky je R = 0, 400 Ω, odpor kolejnic aspojovacího pásku je zanedbatelný.

c) [0,2 b] S jakým výkonem P1 se vyvíjí teplo v tyči?d) [0,2 b] Jaká velikost vnější síly F je nutná k udržení tyče v pohybu?e) [0,2 b] Jaký je při tom výkon P2 této síly?

Obr. 4.

5. Měděný drát o délce l = 50, 0 cm a průměru d = 1, 00 mm má tvar kruhové smyčky, jejíž plochaje kolmá k homogennímu magnetickému poli rostoucímu konstantní rychlostí ∆B/∆t = 10, 0 mT/s.Rezistivita mědi je ρCu = 1, 62 · 10−8 Ωm.a) [0,3 b] Vypočtěte emn Eind indukované ve smyčce.b) [0,3 b] Vypočtěte indukovaný proud Iind ve smyčce.c) [0,2 b] Nakreslete obrázek s kruhovou smyčkou, zvolte orientaci vektoru ~B a vyznačte odpovídajícísměr indukovaného proudu Iind.

d) [0,2 b] Vypočtěte Joulovo teplo Qt, které se vyvine ve smyčce za dobu 10 s.

6. Elektrický generátor používá cívku oN = 100 závitech drátu ve tvaru obdélníkové smyčky rozměrůa = 50, 0 cm, b = 30, 0 cm. Cívka je umístěna v homogenním magnetickém poli velikosti B = 3, 50 T.Smyčka se otáčí s frekvencí f = 1000 krát za minutu kolem osy kolmé k ~B.

a) [0,3 b] Určete tok magnetické indukce ΦB plochou smyčky, když její normála svírá s vektorem mag-netické indukce ~B úhel α.

b) [0,4 b] Vypočtěte indukované napětí v cívce v závislosti na čase.c) [0,3 b] Určete maximální napětí, které se v cívce indukuje.

7. Homogenní magnetické pole je kolmé k rovině kruhové smyčky o průměru D = 10 cm zhotovenéz měděného drátu o průměru d = 2, 5 mm.

a) [0,3 b] Vypočtěte odpor R drátu, jestliže rezistivita mědi je ρCu = 1, 62 · 10−8 Ωm.b) [0,3 b] Velikost magnetické indukce je nějaká neznámá hodnota B. Určete tok magnetické indukceΦB plochou smyčky.

c) [0,4 b] Jakou rychlostí ∆B/∆t se musí měnit velikost magnetické indukce, aby se ve smyčce indukovalproud I = 10 A?

8. Dvě rovnoběžné vodivé smyčky na obrázku 5 mají společnou osu. Menší smyčka (poloměr r)je nad větší smyčkou (poloměr R) ve vzdálenosti x, přičemž x R. Proto můžeme považovatmagnetické pole způsobené proudem I větší smyčkou za přibližně konstantní v oblasti menší smyčky.Předpokládejme, že vzdálenost x roste konstantní rychlostí dx/dt = v.

a) [0,2 b] Učete velikost magnetické indukce B v oblasti malé smyčky buzenou proudem I. (Připomínáme,že pro vzdálenost x R můžeme magnetické pole v oblasti malé smyčky považovat za stejné jako naose smyček).

b) [0,2 b] Určete magnetický indukční tok ΦB plochou ohraničenou malou smyčkou jako funkci x.c) [0,4 b] Určete indukované emn v menší smyčce.d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a směr indukovaného proudu vyznačte.

Obr. 5.

9. Dvě přímé vodivé kolejnice jsou svařeny do pravého úhlu. Vodivá tyč (v kontaktu s nimi) začínápohyb v čase t = 0 od místa spoje a pohybuje se konstantní rychlostí o velikosti v = 5, 20 m/s podélkolejnic, jak ukazuje obrázek 6. Magnetické pole o velikosti indukce B = 0, 350 T směřuje kolmok nám. Tyč má průřez S = 0, 1 cm2 a je vyrobena z mědi (ρCu = 1, 69 · 10−8 Ωm). Odpor kolejnic jezanedbatelný. Vypočtěte

a) [0,3 b] magnetický indukční tok ΦB trojúhelníkem tvořeným kolejnicemi a tyčí v závislosti na čase ajeho hodnotu v čase t1 = 2 s,

b) [0,4 b] elektromotorické napětí indukované v trojúhelníku v závislosti na čase a jeho hodnotu v časet2 = 3 s,

c) [0,3 b] proud indukovaný v trojúhelníku v závislosti na čase a jeho hodnotu v čase t3 = 4 s. Nakresleteobrázek a směr indukovaného proudu vyznačte.

Obr. 6.

10. V situaci na obr. 7 je a = 12, 0 cm a b = 16, 0 cm. Závislost proudu dlouhým drátem na čase jedána vztahem I(t) = 4, 50t2 − 10, 0t, kde I a t jsou v jednotkách SI. Čtvercová smyčka má celkovýodpor R = 2, 5 Ω.

a) [0,2 b] Určete závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od dlouhého drátu.b) [0,3 b] Jaký je magnetický tok ΦB čtvercovou smyčkou?c) [0,2 b] Vypočítejte emn indukované v čtvercové smyčce v čase t = 3, 00 s.d) [0,1 b] Určete proud indukovaný ve smyčce v čase t = 3, 00 s.e) [0,2 b] Nakreslete obrázek a směr magnetického pole i indukovaného proudu vyznačte.

Obr. 7.

11. Dlouhý solenoid má průměr D = 12, 0 cm. Protéká-li jeho závity proud I = 48 A, vytvoří uvnitřsolenoidu homogenní magnetické pole o velikosti indukce B = 30, 0 mT. Rovnoměrným snižovánímproudu slábne rovnoměrně i magnetické pole, a to rychlostí ∆B/∆t = 6, 50 mT/s.

a) [0,2 b] Určete počet závitů n solenoidu na jeden metr.b) [0,3 b] Vypočítejte velikost intenzity E indukovaného elektrického pole ve vzdálenosti r1 = 2, 20 cma

c) [0,3 b] r2 = 8, 20 cm od osy solenoidu.d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a vektor magnetické indukce ~B. Dále vyznačtevektor elektrické intenzity ~E v obou vzdálenostech r1 a r2 od osy solenoidu.

1. V krystalové struktuře chloridu cesného CsCl tvoří …...c) [0,3 b] Kdyby byl bod P velmi...

Documents