Vodíkový atomMiloslav Pekař

UMF, 2010

Schrödingerova rovnice

Aplikujeme Schrödingerovu rovnici (bezčasovou, 3D) na vodíkový atom

sféricky symetrický elektrostatický potenciál

Sférické souřadnice

Transformujeme Schrödingerovu rovnici do sférických souřadnic

Transformace rovnice

označuje redukovanou hmotnost (m odteď značí něco jiného)

Separace řešení

Předpokládejme, že je řešení transformované rovnice (vlnová funkce) separabilní

Po dosazení řešení do rovnice obdržíme 2 části, radiální a úhlovou

Úhlová část

Řešením této rovnice jsou kulové harmonické funkce

Opět použijeme trik se separabilitou

Řešení úhlové části

Obě strany úhlové části se musí rovnat stejné konstantě, položme ji rovnou

Azimutální část

Elevační část

Řešení azimutální části

Řešení ve tvaru

Řešení elevační části

Substituce

Legendrova rovnice

Řešení Legendrovy rovnice

Řešením jsou Legendrovy funkce, jejich definice se v literatuře neshoduje

Maple – LegendreP Generace Legendových polynomů

pomocí Rodriguezovy formule

Finální tvar řešení úhlové části

Produkt je řešením úhlové části vlnové funkce

Úhlová část v Maple

Napište 2 funkce› Legendrův polynom› řešení

Radiální část

Řešení ve tvaru mocninné řady (nehodí se nám)

Použijeme řešení pro Coulombický potenciál – Laguerrovy polynomy

Radiální část v Maple

Využijeme Rodriguezovu formuli a funkci Maplu – LaguerreL (definice polynomů se opět neshodují)

Hustota pravděpodobnosti

Podle postulátu kvantové mechaniky

Hustota pravděpodobnosti radiální části vlnové funkce

Vlnová funkce

Vykreslete hustotu pravděpodobnosti nalezení elektronu v prostoru pro různé stavy vodíkového atomu

Nutné použít funkci implicitplot3d a implicitplot

+++ Děkuji za pozornost +++