I. MECHANIKA

4. Soustava hmotných bodů I

1

Obsah

Pojem soustavy hmotných bodů.

Vazebné podmínky. Počet stupňů volnosti.

Hmotný střed.

Vnitřní a vnější síly.

Hybnost, moment hybnosti.

První a druhá impulsová věta.

Těžišťová soustava souřadnic.

Zákony zachování hybnosti a momentu hybnosti.

Kinetická a potenciální energie soustavy hmotných bodů.

Königova věta.

Zákon zachování energie.

Izolovaná soustava hmotných bodů.

Problém dvou těles.

Soustavy s proměnnou hmotností (Měščerského rovnice, Ciolkovského rovnice).

Srážky těles.

2

Co rozumíme soustavou hmotných bodů

3

N diskrétních hmotných bodů

hmotnosti nm pro Nn ,1 (nemění se průběžně)

polohové vektory )(trn

pro Nn ,1

celková hmotnost soustavy

N

n

nmM1

Základní druhy soustav hmotných bodů

4

1) Volná soustava hmotných bodů

polohové vektory jednotlivých bodů jsou nezávislé

uspořádání má 3N stupňů volnosti

2) Tuhá soustava hmotných bodů

mezi jednotlivými hmotnými body neproměnné vzdálenosti

konst|||| mnmn rrr

polohu jednoznačně určíme zadáním 3 bodů – 9 parametrů

svázány 3 rovnicemi pro 3 pevné vzdálenosti 6 nezávislých parametrů

uspořádání má 6 stupňů volnosti

Hmotný střed soustavy hmotných bodů

5

další pohybové charakteristiky získáme ze znalosti časové závislosti polohových vektorů:

rychlost i-tého h.b. ... dt

trdtv i

i

)()(

zrychlení i-tého h.b. ... dt

tvd

dt

trdta ii

i

)()()(

2

2

hybnost i-tého h.b. ... )()( tvmtp iii

poloha hm. středu ...

N

i

i

M

m

i

N

i

i

w

iN

i

iiN

i

i

N

i

ii

s rwrM

mrm

Mm

rm

r

i

i

111

1

1 1

rychlost hm. středu ...

N

i

ii

N

i

ii

N

i

iis

s vmMdt

rdm

Mrm

Mdt

d

dt

rdv

111

111

totéž jinak ... M

P

P

pM

p

vmM

vN

i

i

N

i

i

iis

11

11

celková hybnost soustavy svMP

rovna hybnosti h.b. o hmotnosti M a rychlosti sv

v hmotném středu nemusí ležet žádný z bodů soustavy

Pohybová rovnice i-tého bodu

6

na i-tý hmotný bod působí síla 2

2

dt

rdmF i

ii

výslednice externích sil působících na i-tý bod E

iF

výslednice interních sil, jimiž na i-tý bod působí ostatní body I

iF

celková síla na i-tý bod E

i

I

ii FFF

k-tý bod působí na i-tý bod silou ikF

podle 3.NZ platí kiik FF

kvůli sčítání zavedeme 0iiF

výslednice vnitřních sil působících na i-tý bod

N

k

ik

I

i FF1

pohybová rovnice i-tého bodu E

i

N

k

iki

i FFdt

rdm

12

2

1. impulsová věta

7

pohybová rovnice i-tého bodu E

i

N

k

iki

i FFdt

rdm

12

2

součet přes všechny body

N

i

E

i

N

i

N

k

ik

N

i

ii FF

dt

rdm

11 112

2

protože kiik FF

a 0iiF

bude suma NN členů 01 1

N

i

N

k

ikF

z linearity derivace a konstantnosti hmotností im plyne

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

ii vm

dt

d

dt

rdm

dt

d

dt

rdm

111

2

2

do výsledné rovnice zavedeme součtové veličiny

E

N

i

E

i

N

i

i

ii

F

F

P

p

vmdt

d

11

1. impulsová věta EFPdt

d

Časová změna celkové hybnosti soustavy je rovna výslednici vnějších sil působících na soustavu.

1. impulsová věta

8

1. impulsová věta EFPdt

d

integrální tvar 1. impulsové věty 2

1

12

t

t

EdtFPP

užijeme rychlost hmotného středu

N

i

iis

s vmMdt

rdv

1

1

vyjádříme celkovou hybnost PPvmvMN

i

i

N

i

iis

11

dosadíme do 1. impulsové věty E

sss FaM

dt

rdM

dt

vdMP

dt

d

2

2

věta o pohybu hmotného středu soustavy E

s FaM

Hmotný střed soustavy se pohybuje jako hmotný bod, který má hmotnost rovnu

celkové hmotnosti soustavy a na nějž působí výslednice vnějších sil EF

působících na soustavu. Důsledek: často lze s hmotným středem soustavy zacházet jako s hmotným bodem

Pohybová rovnice pro rotaci i-tého bodu

9

na i-tý hmotný bod působí moment síly a mění jeho točivost dt

bdM i

i

(pozor na značení: hmotnost soustavy M vs. moment sil M

)

vztažným bodem může být počátek v.s.s. iiiii vmrdt

dFr

výslednice externích sil působících na i-tý bod E

iF

výslednice interních sil, jimiž na i-tý bod působí ostatní body I

iF

celková síla na i-tý bod E

i

I

ii FFF

k-tý bod působí na i-tý bod silou ikF

podle 3.NZ platí kiik FF

kvůli sčítání zavedeme 0iiF

výslednice vnitřních sil působících na i-tý bod

N

k

ik

I

i FF1

pohybová rovnice i-tého bodu iii

E

i

N

k

iki vmrdt

dFFr

1

Momenty působící na hmotné body

10

pohybová rovnice i-tého bodu iii

E

i

N

k

iki vmrdt

dFFr

1

součet přes všechny body

N

i

iii

N

i

E

i

N

k

iki vmrdt

dFFr

11 1

rozdělíme levou stranu

N

i

iii

N

i

E

ii

N

i

N

k

iki vmrdt

dFrFr

111 1

moment vnitřních sil

1. člen lze přepsat

N

i

N

k

iki

N

i

N

k

iki FrFr1 11 1

Výpočet momentu vnitřních sil

11

pro další úpravu momentu vnitřních sil použijeme trik

N

i

N

k

kik

N

i

N

k

iki

N

k

N

i

kik

N

i

N

k

iki

N

i

N

k

iki FrFrFrFrFr1 11 11 11 11 1 2

1

2

1

0

||2

1

2

1

2

1

1 11 11 1

N

i

N

k

ikki

ikki

N

i

N

k

ikkiki

N

i

N

k

ik

kikiki

Frr

FrrFrFr

F

FrFr

méně matematicky: vnitřní síly ikF

a kiF

leží

v přímce a mají vzhledem k libovolnému bodu stejné rameno, proto se jejich momenty ruší

celkový moment vnitřních sil je nulový vzhledem k libovolnému bodu prostoru

ikF

kiF

ir

kr

ki rr

km

im

jen přeznačení ki změna pořadí sumace

2. impulsová věta

12

z linearity derivace plyne

Bdt

d

B

bdt

d

b

vmrdt

d

M

M

FrFrN

i

i

N

i

i

iii

E

N

iE

i

E

ii

N

i

N

k

iki

1111 1

0

2. impulsová věta EMB

dt

d

Časová změna celkového momentu hybnosti soustavy je rovna výslednici momentů vnějších sil působících na soustavu. Předpokládá se, že všechny momenty jsou vyjádřeny k témuž bodu.

integrální tvar 2

1

12

t

t

EdtMBB

2. impulsová věta – Fesselův přístroj

experiment

vyvážení hmotnosti setrvačníku

roztočení setrvačníku

vektor momentu hybnosti

setrvačníku je orientován

souhlasně s osou rotace

posun závaží doleva na

rameno působí síla , což

vyvolá moment síly

impuls momentu síly je dle 2. i.v.

roven změně momentu hybnosti

ta se projeví otočením osy rotace

setrvačníku ve směru šipky kolem

svislé osy

13

GF

EM

2B

Bd

1B

dtMBd E

GF

EM

1B

Těžišťová soustava souřadnic

14

počátek vztažné soustavy spojen s hmotným středem soustavy hmotných bodů

veličiny vyjádřené vzhledem k těžišťové soustavě označujeme indexem c

ostatní veličiny jsou vyjádřeny vzhledem k laboratorní inerciální soustavě

rychlost soustavy v t.s.s. 0csv

celková hybnost v t.s.s. 0 csc vMP

můžeme také vyjít z Galileiho principu relativity:

rychlost n-tého bodu v t.s.s. sncn vvv

hybnost n-tého bodu v t.s.s. snnncnncn vmvmvmp

celková hybnost v t.s.s.

011111

s

N

n

ns

N

n

n

nn

N

n

sn

N

n

nn

N

n

cnc vMP

M

mv

P

p

vmvmvmpP

pro polohové vektory sncn rrr

platí (viz definice sr

) 01111

N

n

ns

N

n

nn

N

n

snn

N

n

cnn mrrmrrmrm

Moment hybnosti v těžišťové soustavě

15

moment hybnosti soustavy v l.s.s. lze rozdělit na dvě části

ss

c

N

n

ncn

s

N

nnns

N

n

nns

N

n

n

nn

cn

sn

N

n

nnn vMr

B

pr

vMP

vmr

vmr

p

vm

r

rrvmrB

1

1

111

)(

ukážeme, že moment hybnosti soustavy vzhledem k hmotnému středu cB

je nezávislý na výběru

počátku s.s. (vzhledem k němuž se měří rychlosti nv

)

N

n

cncn

s

N

ncnn

N

n

sncn

N

n

cn

cn

snncn

N

n

nncn

N

n

ncnc pr

vrm

vmr

p

v

vvmrvmrprB1

0

1

1111

)(

Tedy moment hybnosti soustavy vzhledem k počátku laboratorní soustavy souřadnic B

je roven

součtu momentu hybnosti vzhledem k hmotnému středu cB

a momentu celkové hybnosti

soustavy PrvMr sss

vzhledem k počátku l.s.s. PrBvMrBB scssc

Moment sil v těžišťové soustavě

16

podobně celkový moment sil v lab.s.s. (už víme, že moment vnitřních sil je vždy nulový)

E

c

E

s

Ec

N

n

E

ncn

E

N

n

E

ns

N

n

E

ns

N

n

E

ncns

N

n

E

nn

E MFr

M

Fr

F

Fr

FrFrrFrM

1

1

111

Výsledný moment vnějších sil EM

vzhledem k počátku laboratorní soustavy je roven

součtu momentu vnějších sil E

cM

vzhledem k hmotnému středu soustavy hmotných

bodů a momentu výslednice vnějších sil E

s Fr

působících na hmotný střed vzhledem

k počátku laboratorní soustavy. E

s

E

c

E FrMM

2. impulsová věta vzhledem k těžišti

17

v inerciální laboratorní soustavě platí 1. a 2. impulsová věta

EMBdt

d E

s

E

csc FrMPrBdt

d

EFPdt

d

0

E Ec ss c s

s

s

s s

dB dr dPP r M r F

dt dt dtMv

v

Mv v

E

cc M

dt

Bd

rovnice analogická k 2. impulsové větě, ale je tu rozdíl:

2.i.v. platí pro veličiny vyjádřené vzhledem k nepohyblivému bodu (například počátku laboratorní – inerciální – soustavy)

tato rovnice platí pro veličiny vyjádřené vzhledem k hmotnému středu soustavy hmotných bodů (a tento bod nemusí být v inerciální soustavě v klidu!)

tato věta bude důležitá pro popis pohybu tuhého tělesa

Důsledky impulsových vět

18

Zákon zachování hybnosti

0EF

konstP

konstsvM

konstsv

Zákon zachování momentu hybnosti

0EM

konstB

Pozor: Pokud předpoklad platí pro jeden – vhodně vybraný – vztažný bod, pak tvrzení platí také jen pro tento vztažný bod!

Práce a kinetická enegie

19

N hmotných bodů, působením sil nF

dojde k posunům o nrd

síla působící na n-tý h.b. E

n

N

k

nkn FFF

1

celková práce mezi stavy )()( BA bude součtem

N

n

B

A

nnBA rdFW1

)(

)(

tedy EI

E

N

n

B

A

n

E

n

I

N

n

B

A

n

N

k

nk

N

n

B

A

n

E

n

N

k

nkBA WW

W

rdF

W

rdFrdFFW

1

)(

)(1

)(

)( 11

)(

)( 1

práce se rovná přírůstku kinetické energie soustavy kkkEIBA EAEBEWWW )()(

kinetickou energii soustavy ovlivňují nejen vnější, ale ve volné soustavě i vnitřní síly!

v tuhé soustavě se vzájemné vzdálenosti h.b. nemění, a proto tam vnitřní síly práci nekonají.

ve volné soustavě se může změnit kinetická energie, i když na ni nepůsobí vnější síly!

Königova věta

20

kinetická energie soustavy je součtem K.E. jednotlivých h.b.

N

n

nnk vmE1

2

2

1

uvažujme laboratorní (inerciální) soustavu souřadnic a těžišťovou s.s., jejichž pohyb

propojuje Galileiho transformace cnsn vvv

kIs

kI

N

n

cnns

c

N

n

cnn

N

n

ns

N

n

cnscnsn

N

n

cnscnsn

N

n

nnk

EvM

E

vmv

P

vm

M

mv

vvvvmvvvvmvmE

2

1

2

11

2

1

22

11

2

2

1

2

1

0

2

1

22

1

2

1

2

1

vztah kIsk EvME 2

2

1 (Königova věta) říká, že celková kinetická energie soustavy

h.b. se rovná součtu kinetické energie bodu o hmotnosti soustavy pohybujícího se rychlostí hmotného středu a tzv. vnitřní kinetické energie soustavy h.b. vnitřní kinetická energie je kinetická energie vypočtená v těžišťové soustavě

Potenciální energie

21

N hmotných bodů v polohách nr

působí na sebe vzájemně (vnitřními) silami mnF

předpokládejme pouze gravitační působení

síla v poli tvořeném n-tým h.b. působí na m-tý nm

nm

mnmn r

r

mmF

3

, kde nmnm rrr

každý z bodů vytváří takové centrální pole (konzervativní)

výsledné pole je superpozicí dílčích konzervativních polí, a tedy je též konzervativní

při přechodu mezi stavy )()( BA vykonají vnitřní síly práci podle následující formule

ukážeme, že součin nmnm rdF

zahrnující práci vykonanou silou nmF

pro interakci n-tého a m-tého

bodu je vždy zahrnut dvakrát; v předchozí definici IW byly použity diferenciály nrd

pro jednotlivé

body – proto je ve formuli faktor ½

I

N

n

B

A

N

m

mnm

N

n

N

m

B

A

mnm

N

n

N

m

B

A

mnm

N

n

N

m

B

A

mnm

N

m

N

n

B

A

mnm

N

n

N

m

B

A

mnm

N

m

B

A

N

n

mmn

N

n

B

A

N

m

mnm

N

n

B

A

N

m

nnm

N

n

B

A

N

m

mnm

N

n

B

A

N

m

nmnm

N

n

B

A

N

m

nmnm

WrdFrdFrdFrdF

rdFrdFrdFrdF

rdFrdFrrdFrdF

1

)(

)( 11 1

)(

)(1 1

)(

)(1 1

)(

)(

1 1

)(

)(1 1

)(

)(1

)(

)( 11

)(

)( 1

1

)(

)( 11

)(

)( 11

)(

)( 11

)(

)( 1

2

1

2

1

2

1

2

1)(

2

1

2

1

Práce konzervativních vnitřních sil

22

práce vnitřních sil

N

n

N

m nmnm

mn

N

n

N

m

B

A

nm

nm

mnI

ArBrmmdr

r

mmW

1 1

*

1 1

)(

)(

2

*

)(

1

)(

1

2

1

2

1

sumační znaménko označené hvězdičkou nezapočítává členy pro m = n (pro ně

jsme měli definováno 0mmF

ze stejného důvodu).

)(

)(2

1

)(

)(2

1

)(

1

)(

1

2

1

1 1

*

1 1

*

1 1

*

AE

Ar

mm

BE

Br

mm

ArBrmmW

pI

N

n

N

m nm

mn

pI

N

n

N

m nm

mnN

n

N

m nmnm

mnI

vykonaná práce (vnitřních sil) je úbytkem vnitřní potenciální energie

)()( BEAEW pIpII .

pro nenulové, ale konzervativní vnější síly analogicky )()( BEAEW pEpEE

Zákon zachování mechanické energie

23

ZZME pro soustavu hmotných bodů konst pEpIk EEE

důležité: 1) potenciální energie závisí na vzdálenostech, proto se nemění při změně

vztažné soustavy

2) kinetická energie naopak závisí na rychlostech, proto se při změně vztažné

soustavy mění (Königova věta); nemění se vnitřní kinetická energie kIE

vnitřní energie soustavy h.b. IpIkI EEE se často užívá při diskusi pohybu s.h.b.

Potenciál n-tého bodu soustavy

24

zavedení potenciálu nIU pro n-tý h.b.

N

n

nInpI

N

n

nI

N

m nm

mnpI

N

n

N

m nm

mnpI

UmE

U

r

mmE

r

mmE

1

1 1

*

1 1

*

2

1

2

1

2

1

Izolovaná soustava hmotných bodů

25

0E

nF

konstP

konstsvM

konstsv

0E

nF

0E

nM

konstB

(toto platí pro všechny vztažné body)

konstE

celkem 7 nezávislých konstantních veličin

zákony zachování zjednodušují výpočet (např. v případě pohybu

s vazbovými silami)

pohybové rovnice obsahují druhé derivace souřadnic (zrychlení), zatímco

zákony zachování obsahují nejvýše první derivace (rychlosti)

snížení řádu derivace zákony zachování = prvé integrály pohybových

rovnic

Problém dvou těles

26

gravitační interakce 2 těles, hmotnosti souměřitelné nelze uvažovat, že se pohybuje jedno těleso v poli vytvořeném druhým nehybným izolovaná soustava h.b. : 2 tělesa hmotností

1m a 2m

jediná interakce )(||

123

12

211221 rr

rr

mmFF

pro 12 rrr

odpovídá funkci pro centrální sílu ||

)()(r

rrfrF

a ta je konzervativní

těžišťová soustava:

02211 vmvm

0222111 Bvmrvmr

počátek souřadnic v hmotném středu:

02211 rmrm

rmm

mr

21

21

rmm

mr

21

12

rv

vmm

mrv

21

211

vmm

mrv

21

122

S

1r

2r

r

1m

2m

Problém dvou těles

27

konzervativní síly ZZME:

0

21

2

22

2

11||2

1

2

1E

rrvmvm

parametr

21mm jako v řešení Keplerovy úlohy (KÚ)

0

21

2

21

12

2

21

21

||2

1

2

1E

rrv

mm

mmv

mm

mm

0

21

2

21

21

21

2

2

21

2

2

1

2

21

||2

1

||2

1E

rrv

mm

mm

rrv

mm

mmmm

zákon zachování momentu hybnosti:

0

21

12

21

1

21

21

21

2 Bvmm

mmr

mm

mv

mm

mmr

mm

m

02

21

2

2

1

2

21

2

21 Bvrmm

mmvr

mm

mm

0

21

21 Bvrmm

mm

rovnice pohybu virtuální částice s redukovanou hmotností 21

21

mm

mm

se řeší pomocí KÚ

0

2

||2

1E

rv

0Bvr

KÚ )(rr )(11 rr a )(22 rr - rozměry kuželoseček v převráceném poměru hmotností částic

1

2

2

1

m

m

r

r ; hmotný střed soustavy leží v jejich společném ohnisku

Soustavy s proměnnou hmotností

28

izolovaná soustava h.b. s hmotností M a rychlostí v

během času dt se oddělí část 0dM s rychlostí 1v

(spaliny z raketového motoru)

během času dt se připojí část 0dM s rychlostí 1v

(kapka nabírá vlhkost při pádu)

zákon zachování hybnosti

1

2

1

plynyraketa P

vM

P

vdMvdvdMM

nekonečně malou veličinu druhého řádu zanedbáme

vMvdMvdMdvMdvdMvM

1

0

změna nastala za čas dt: dMvvvMd

1

dt

dM

u

vv

a

dt

vdM

r

1

rovnice popisující zrychlení rakety (systém s proměnnou hmotností)

dt

dMuaM r

0dt

dM rel. rychlost výfukových plynů vvu

1 a zrychlení rakety ra

mají opačný směr

Aplikace soustav s proměnnou hmotností

29

Působení vnější síly (gravitace): dtF

P

vM

P

vdMvdvdMM E

1

2

1

plynyraketa

výsledná rovnice tvaru Er Fdt

dMuaM

motoru síla

reaktiv ní

... Měščerského rovnice

Vícestupňová raketa

skalárně rovnice pro 0EF

: dt

dMu

dt

dvM

zajímá nás, jaké rychlosti může vícestupňová raketa dosáhnout v závislosti na zásobě paliva dMudvM

řešení diferenciální rovnice za předpokladu konstu separací proměnných

ik

i

i

i

M

M

v

vM

dMudv

0

1

iv a 0iM rychlost a hmotnost rakety před zažehnutím i-tého stupně, 1iv a ikM po jeho vyhoření

číslo hoCiolkovské

ik

iii

M

Muvv 0

1 ln ... Ciolkovského rovnice

Balistické kyvadlo

30

měření rychlosti střely balistickým kyvadlem ZZH: uMmmv )(

(proto nevadí, že při zachycení dojde k přeměně K.E. v teplo)

ZZME: ghMmuMm )()(2

1 2

ghm

Mmv 2

A kolik energie se nepřemění v teplo?

Mm

m

ghm

Mmm

ghMm

E

E

2

1

2

22

1

)(

Rázy těles

31

tělesa se dotknou v jediném bodě bod rázu bodem rázu vedena tečná rovina

normála k tečné rovině ráz středový hmotné středy na normále (v případě koulí vždy) ráz výstředný ostatní případy ráz přímý hmotné středy se před rázem pohybují po normále ráz šikmý ostatní případy (dokonale) nepružný ráz tělesa se spojí a pohybují jako jediné (dokonale) pružný ráz zachovává se celková kinetická energie nedokonale pružný odrazí se, ale celková kinetická energie po odrazu klesne interakční síly

vnitřní síly soustavy těles – nemění celkovou hybnost a moment hybnosti

nesledujeme jejich detailní průběh

Rázy těles

32

počet stupňů volnosti

rychlosti 6

momenty hybnosti 6

pozor: pokud nechápeme tělesa jako hmotné body, celkový moment hybnosti každého z nich zahrnuje 2 členy: vlastní moment hybnosti tělesa (vzhledem k jeho hmotnému středu) a moment hybnosti hmotného středu tělesa vůči vztažnému bodu (ten musí být stejný před a po rázu – např. bod rázu)

zákony zachování

hybnosti

momentu hybnosti

mechanické energie (v případě pružného rázu)

celkem 6 resp. 7 rovnic zjednodušení

pouze postupný pohyb 6 stupňů volnosti, 3 resp. 4 rovnice

jen obecné zákonitosti

nutné další informace o interakci

Nepružný ráz

33

jen 3 stupně volnosti – stačí ZZH

21

2211

22

11

,

,

mm

vmvmu

vm

vm

1m

2m

1v

2v

u

energie přeměněná teplo

2 21 21 2 1 2

1 2

1 1( ) ( )

2 2teplo

m mE v v v v

m m

2 stupně volnosti – ZZH, ZZME, skalární popis, kladný směr – zleva doprava

2

22212

11212

22212

1121

22112211

22

11

,

,

umumvmvm

umumvmvm

vm

vm řeší

21

21122112

21

21222111

)(

)(

mm

vvmvmvmu

mm

vvmvmvmu

k rázu dojde jen pro 21 vv a pak musí platit 21 uu

21

21122112

21

21222111

)(

)(

mm

vvmvmvmu

mm

vvmvmvmu

21

212112

21

221211

)(2

2)(

mm

vmmvmu

mm

vmvmmu

spec. případ

21 mm 12

21

vu

vu

1m2m

1m 2m

1v 2v

1u 2u

Pružný ráz v přímce

34

(spec.případ)2

02

1

21

v

vv

mm

vu

u

2

1 0

pozorování z různých vztažných soustav

Pružný ráz v přímce

35

Pružné srážky částic (hmotných bodů)

36

ZZH, ZZME – 4 rovnice pro 6 stupňů volnosti

2

22212

11212

22212

1121

22112211

22

11

,

,

umumvmvm

umumvmvm

vm

vm

rozbor v těžišťové soustavě souřadnic transformace rychlostí do těžišťové soustavy

sc

sc

svvv

vvv

mm

vmvmv

vm

vm

22

11

21

2211

22

11

,

,

ZZH a ZZME v těžišťové soustavě

2

22212

11212

22212

1121

22112211

22

11 0

,

,

cccc

cccc

c

c

umumvmvm

umumvmvm

vm

vm

2v

1v

Pružné srážky částic (hmotných bodů)

37

1cp

2cp

2ch

1ch

z vlastností těžišťové soustavy plyne pro hybnosti:

2

12

2

2

12

2

2

12

2

2

12

2

2

2

2

1

2

2

2

1

21

21

212

111

222

111

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

um

mu

vm

mv

hh

pp

hh

pp

umh

umh

vmp

vmp

ZZME:

2

12

2

2

122

12

11212

12

2

2

122

12

1121

cccc um

mmumv

m

mmvm

2

1

2

112

12

1

2

112

1 11 cc um

mmv

m

mm

|||| 11 cc uv

analogicky |||| 22 cc uv

velikosti a směry rychlostí v t.s.s. vzájemně svázány

každá z částic se pohybuje před i po srážce stejně velkou rychlostí

částice se pohybují po společných přímkách před srážkou k sobě, po srážce od sebe

Pružné srážky částic (hmotných bodů)

38

1cp

2cp

2ch

1ch

velikosti a směry rychlostí v t.s.s. vzájemně svázány

každá z částic se pohybuje před i po srážce stejně velkou rychlostí

částice se pohybují po společných přímkách před srážkou k sobě, po srážce od sebe

zbývají přesto ještě dva úhly, k jejichž určení jsou nutné další informace

jednou z nich může být zachování roviny pohybu určené výchozí hodnotou momentu hybnosti v původní s.s.

je-li určena rovina, zbývá jediný

parametr – úhel

jiná možnost

dva směrové úhly odpovídají zadání

jednotkového vektoru n

ve směru pohybu jedné z částic po srážce (použije se v dalším výpočtu)

Pružné srážky částic (hmotných bodů)

39

z vlastností těžišťové soustavy plyne pro rychlosti (viz např. problém dvou těles):

vmm

mv

vmm

mv

vvvvv

c

c

cc

21

12

21

21

2121

umm

mu

umm

mu

uuuuu

c

c

cc

21

12

21

21

2121

víme, že platí |||| 11 cc uv

, resp. |||| 22 cc uv

, a proto |||| uv

rychlosti po srážce tedy můžeme vyjádřit na základě

velikostí plynoucích z rozboru

směrového vektoru pohybu jedné z částic po srážce (druhá se pohybuje po stejné přímce v opačném směru)

nvmm

mu

nvmm

mu

c

c

||

||

21

12

21

21

Pružné srážky částic (hmotných bodů)

40

pak rychlosti v původní vztažné soustavě budou (převod zpět z t.s.s.)

s

sc

s

sc

v

mm

vmvmnv

mm

mvuu

v

mm

vmvmnv

mm

mvuu

21

2211

21

122

21

2211

21

211

||

||

pro hybnosti dostaneme

)(||)(||

)(||)(||

21

1

2211

21

2

21

212

21

2

2211

21

1

21

211

ppm

nvvmvmmm

mnv

mm

mmh

ppm

nvvmvmmm

mnv

mm

mmh