I. Měřítka kvantového

světa Cvičení

KOTLÁŘSKÁ 2. BŘEZNA 2011

F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav

letní semestr 2009 - 2010

2

Šikovné jednotky

Pro odhady veličin v atomárním světě je vhodná

volba jednotek velmi důležitá

3

me= 9.1110-31 kg

e = 1.60 10-19 C = 1.05 10-34 Js

c = 3.00 108 ms-1

kB= 1.38 10-23 JK-1

Jednotky atomistice přiměřené v rámci soustavy SI

nm, eV, fs, V, K (místo m, kg, s, A, K)

1 eV je energie, kterou elementární náboj získá při

průchodu potenciálním rozdílem 1 V,

1 eV = 1.60 10-19 J

Pak

= 0.66 eVfs me=5.7 eVfs2nm -2

e = 1.00 eVV-1 kB=1/11604 eVK -1

c = 3.00 102 nmfs-1

Šikovné jednotky -- k zapamatování

4

Relace neurčitosti

Odhad bez počítání pro ionisační potenciály

atomů

5

Harmonický oscilátor

Odhad z Heisenbergových relací:energie nulových kmitů

6

3. Planckova konstanta jako hraniční hodnota relace neurčitostix p

Toto je generická forma Heisenbergových relací. Vlastně je to , ne Pořádně odvozeno

To se nám teď hodí na oscilátor, kde pracujeme vlastně přesně, i když tak dalece bez počítání. Musí se ale připomenout

12

22 2

relace neurči

,

tostix p

x x x p

op op op( ) ( )O O dx x O x

7

Odhad z relace neurčitosti

To je standard, takže jen schematicky

Energie nulových kmitů podle očekávání

2 2 21 12 2

2 2 21 12 2

2 221 12 2

2 22 21 12 2

2 21 12 4

10 2

z relace neurč. pro rovnost

protože

Z podmínk

0

/

0

y

m

m

m

m

m

H p m x

E H p m x

p m x x p

p m p

q m q

E

q

E

8

Velikost atomů

Jaké jsou empirické údaje o velikosti atomů

Jaké jsou teoretické důvody pro tyto údaje

9

Opakování o atomech

atom XAZ

OBALZ elektronů

JÁDROZ protonů

N=A-Z neutronů

náboj jádra

hmotnost atomu

poloměr jádra

Q = Z |e|

M ~ A uR = r0 A1/3

r0 = 1,2 10-15 m

V cm3atomový objem = rel. at. hmotnost g/ 103 hustota

objem na atom = atomový objem / Avogadr. číslo

13

3

34

10 /

Ar N

V M

V/

… odhad z empirických dat

Výpočet empirických poloměrů

10

13

1 13 3

13

34

-2 7

7 134

nmchceme molární (atomový) objem v

1 cm=10 m=10 nm

10

0.0734

A

A

r N

r N

r

V/

V

V

11

Relace neurčitosti -- aplikace

relace neurčitostix p Propojíme prostorovou rozlehlost L a energii E vázaného stavu částice o hmotnosti m … kriterium ultrakvantového režimu

1. krok kinetická energie částice ve vázaném stavu (v potenciál. jámě)

2. krok odhad z relace neurčitosti

3. krok kinetická a celková energie stejného řádu

2kinmE p

~ příznak ultrakvantového stavu

px L

2 2m E L Platí pro coulombickou interakci:

Stabilita atomů a hmoty vůbec

energie kvant. fluktuací

12

Odhad ionizační energie atomu z relace neurčitosti

2 2

2 2

obecný vztah

odhad ionizačního potenciálu

e

m E L

m I r

použijeme našich jednotek nm, eV, fs

2 2

e

0,660.076

5,7m

Empirické poloměry atomů mají hodnoty v řádu 0,1 nm (1Å)

Energie valenčních elektronů v atomech pak vycházejí v řádu eV

Atomové (protonové) číslo

Ionizační energie atomů

Ioni

začn

í e

nerg

ie

eV

Atomové (protonové) číslo

Ato

mov

ý po

lom

ěr

nm

0,25

0,15

0,10

0,05

0,20

15

Atomové jednotky

Rozměrové úvahy

16

Přirozené soustavy jednotek závisejí na výběru fundamentálních konstant

Atomové přirozené jednotky

0

2

020

2

0 ,a

eE

amE

e

Atomové jednotky

• Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha relevantní veličiny• Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii (rozměrové kombinace … kinetická energie a Coulomb. potenciál. energie)

• Výsledek

2

4

02

2

0 ,

emE

ema e

e

v plné shodě s Bohrovou teorií

2e pjednotky hodí se v

Planckovy kvantové gravitaci

relativistické kvantové elektrodynamice

atomové atomové fysice

( )

G c e m m

17

Přirozené soustavy jednotek závisejí na výběru fundamentálních konstant

Atomové přirozené jednotky

0

2

020

2

0 ,a

eE

amE

e

Atomové jednotky

• Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha relevantní veličiny• Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii (rozměrové kombinace … kinetická energie a Coulomb. potenciál. energie)

• Výsledek

2

4

02

2

0 ,

emE

ema e

e

v plné shodě s Bohrovou teorií

2e pjednotky hodí se v

Planckovy kvantové gravitaci

relativistické kvantové elektrodynamice

atomové atomové fysice

( )

G c e m m

19

Zobecnění Bohrovy teorie

Iont s jediným elektronem

Meze nerelativistické teorieO konstantě jemné

struktury

20

Semiklasický popis vodíkupodobného iontu podle Bohra

iont ( -1)+A ZZA

OBAL 1 elektron

JÁDROZ protonů

náboj jádra

hmotnost atomu

poloměr jádra

Q = Z |e|

M ~ A u>2Z u >> me

R = r0 A1/3 << r

r0 = 1,2 10-15 m

e<0

• Elektron obíhá rychlostí v kolem nehybného jádra. Má hybnost p= me v, moment

hybnosti me vr, odstředivá síla je me v2/r … všecho klasické

• Přitahován je coulombickou silou

• Připojeno je kvantování, prostřednictvím kvanta akce, Planckovy konstanty .

• Veličina ke kvantování vhodná má rozměr akce. To je právě moment hybnosti.

2 2

2 20

1 '

4

Ze Ze

r r

21

Bohrova teorie vodíkupodobného iontu•Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii

2 2

2em v Ze

r r

odstř. síla= dostř. síla Klasická podmínka

,2,1, kkrvemkvantování momentu hybnosti

Kvantová podmínka

2 212,k Z k Zr a k E E k

•Výsledek

2 422

0 02 2

1, e

Z Ze

Z m ea a E Z E

ZZm e

Vztah k relativitě

22

2 422

0 02 2

2

20

2 2 20

1 1Compton

konstanta jemné struktury, bezrozměrná vazbová konstanta

nere

1,

1=

137

/ / /

( )

( ) / ( )

1 137

eZ Z

e

Z Z e e Z

Z e

Z e

Z m ea a E Z E

ZZm e

e

c

v p m m a Ze Zv Z c

E Z E Z m c

a Z m c Z

ZZ

lativistická podmínka

23

Planckovy přirozené jednotky

ověříme průsečík v Bičákově diagramu

24

2e pjednotky hodí se v

Planckovy kvantové gravitaci

relativistické kvantové elektrodynamice

atomové atomové fysice

( )

G c e m m

Přirozené soustavy jednotek závisejí na výběru fundamentálních konstant

Planckovy "přirozené" jednotky

Planckovy jednotky

• Sestavíme veličiny o rozměru délka, hmotnost, čas• To jsou Planckovy jednotky, historicky první přirozené jednotky ... jak je navrhl 1899, sotva svou konstantu zavedl, ještě bez dnešní interpretace• Hodnoty Planckových jednotek jsou poněkud zarážející

12

12

12

3 35P

8P

5 43P

/ 4.13 10 m

/ 5.56 10 kg

/ 1.38 10 s

hG c

m hc G

t hG c

25

2

2

SS R

Gm

R

c

mcC 2

],[ PP m

a hmotnosti

L (m)

Hm

otn

ost

M (

kg)

(známá baryonová hmotnost)

The end