51
بسم ا... الرحمن الرحیمس کنترل درجیت دی ال مهر1391 دکتر بهمن قربانی
الرحمن ... بسم االرحیم
الدیجیتدرس کنترل 1391مهر
قربانیدکتر بهمن
تطبیقیكنترل روزمرهزباندرتطبیق.جدیدوضعبایافتنوفقبرایرفتارتغییر
حسیطوربهتطبیقیكنندهكنترلتعریف.دهدغییرتاغتشاش هاوفرآینددینامیكبهپاسخدررارفتارشبتواندكهكننده ایكنترل
تطبیق.می بخشدبهبودراكنترلعملكردوكردهتصحیحرافرآیندساختمانپارامترهایكهاستفرآیندیتطبیقیكنترل
منظورهبوفرآیندفعلیحالتهایوضعیتمورددرپیوسته ایاطلاعاتكهاستسیستمیبهینهیاوبمطلوضعیتبافعلیسیستمعملكردسپس.می كندتولید،فرآیندشناسایینهایتدر.می گیردصورتسیستمتطبیقبمنظورتصمیم گیریآناساسبروشدهمقایسهسهابراینبن.می شوداعمالسیستمدرمناسبتصحیحمطلوب،وضعیتبهرسیدنبمنظور.داشتواهدخوجودتطبیقیسیستمیكدرتصحیحوتصمیم گیری،شناساییعمل
تطبیقیسیستمیكفرآیندهای.(IP)عملكردشاخصیكاندازه گیرییاناشناختهپارامترهایشناسایی(1.كنترلروشرویبرتصمیم گیری(2ورودیسیگنالیاكنترلرپارامترهایتصحیح(3
كیلتشحلقهدوازتطبیقیكنترلسیستمیك:می شود
نترلكوفرآیندشاملمعمولیفیدبكحلقه،یك-1كننده
پارامترتنظیمحلقه-2
سیستم تطبیقییكساختار
ADAPTIVE CONTROL; Def.
A person who can driveany of these vehicles inall kinds of roadconditions can beconsidered to be a veryadaptive system.
:مثال
LINEAR MODEL DESCRIPTION OF A CONTROL SYSTEM
An example of a conventional pole assignment control design for a simpleProportional + Integral Controller:
ADAPTATION TO INTERNAL CHANGE IN PLANT DYNAMICS
If the dynamics of theoriginal systemchanges, then theresultant closed-loopsystem will behavedifferently.
Adaptation may berequired when parametersof the plant change.
ADAPTATION TO EXTERNAL CONDITION
Adaptation (control strategy) may be required depending on external operation conditions.
You may use different control gains depending on the error between reference and output.
DEFINE ADAPTIVE CONTROLLER ?
تطبیقیاصول كنترل
فرآیندیدینامیكمشخصه هایهنگامیكه،كنترلسیستمهایدربالاعملكردبهدستیابی•باشندنامعلومزیادیحدتاكنترلتحت
می شوندپیش بینیقابلغیرووسیعتغییراتدچارسیستمكارطیدرمشخصه هااینهنگامیكه•یابدتطبیقاغتشاشمشخصه هایوفرآینددینامیكتغییربابتواندكهاستكنترلریطراحیایده•
هچتاریخدر کنترلرهای معمول صنعتی مورد استفاده قرار گرفتتطبیقی روشهای 1980از دهه •
شکها،مووهواپیماموشکها،اتوپایلوت:مانندکنترلمسائلازوسیعیمحدودهرهالکنتراین•ها،کوره،یشیمیایراکتورهای،تقطیربرجهایقدرت،سیستمهایصنعتی،رباتهایموتور،کنترل.گیردمیبردرراتهویهوحرارت
مواجكه ر قبیكل زیكاز مشككلاتی ممكن است با عملی كنترل ل یمسااز بسیاری در كلی به طور :شویم
.مسیستضرایبتغییرواولیهمقادیربودننامشخصو،فرآیندتبدیلتابعدرتغییر(1شاشاغت(2.ورودیطبیعتومشخصاتدرتغییر(3..بیوشیمیاییوشیمیاییپیچیدهسیستمهایدرخطیغیرعملكرد(4.می شودابانتخجدیدفرآیندیكبرایكنترلیسیستمكهزمانیدرفرآیندناشناختهپارامترهای(5
:انتخابوتعریفقابلكلیراهكارسه
متدل ترهتای تغییترات پارامحلقه بستته را نستبت بته سیستم كه عملكرد فیدبكی حلقه كنترل طراحی -1خگو پارامترهتا پاستتغییترات از كتوچكی تنهتا در محتدوده (حساسیت). نمایدحساس سیستم اصلی غیر
.خواهد بود
.آنحسببركنترلقانونپارامترهایاصلاحوسیستممدلپارامترهایلحظهبهلحظهاندازه گیری-2آنهالحظهبهلحظهتعیینواندازه گیریامكانعدمحداقلیاوپارامترهاازبرخیاندازه گیریامكانعدم)
(.می باشد
ص هایشاخباكنترلسیستمواقعیعملكردازنظرموردشاخص هایلحظهبهلحظهمقایسه-3دوآنبینشدهمشاهدهاختلافاساسبرفیدبككنترلقانوناصلاحومطلوب
تطبیقیكنترل روش های
بهرهجدول بندی مدل مرجع(تطبیقیسرو سیستم )
تنظیمخود رگولاتورهای كنترل دوگان
اندازه گیریبر اساس فرآیندكار شرایط
چگونگی تغییرات دینامیككار معلوم استتغییر شرایط با
مشخصات مورد نظر در قالبمی شودمدل مطرح یك
روش های مستقیم روش های غیرمستقیم
:حلقه2شامل
(كنترلر+فرآیند)درونیحلقه-1بیرونیحلقه-2(كنترلرپارامترهایتنظیم)
پارامترهای فرآیندابتدا می شوند زده تخمین
:حلقه2شامل
(كنترلر+فرآیند)درونیحلقه-1بیرونیحلقه-2(كنترلرپارامترهایتنظیم+تخمینگر)
قطعیت های پارامترهایعدم در كنترلر تخمینی می شود محسوب
است وپیچیده روش این كاربردعملی مسائل برای
ندارد
دینامیك های فرآیند
استفاده از نوع كنترل كننده بطور معمولتصمیم گیری روش
متغیر ثابت
پارامترهایبا كننده ای از كنترل كنیداستفاده متغیر
پارامترهایبا كننده ای از كنترل كنیدثابت استفاده
تطبیقیكنترل كننده یك از كنیداستفاده
بهرهبندی از جدول كنیداستفاده
تغییرات غیرقابل پیش بینی
ل قابتغییرات پیش بینی
بهرهجدول بندی
مزایا معایب
می توان بسیاركنترلر را پارامترهای تغییرات فرآیند در پاسخ به سریع
دادتغییر
روشاین در هیچگونه تخمینی وجود ندارد
كنترلسیستم های در پیاده سازی ساده استكامپیوتری بسیار
اصلاحهیچگونه فیدبكی برای جدول نادرست وجود ندارد
زیادی برای طراحیزمان می شودصرف
تعداد باید برای كنترلر پارامترهای كار مشخص شودشرایط از زیادی
ازدقیق به شناخت نیاز فیزیك سیستم
روشهای اصلی سیستمهای تطبیقی
تنظیمخود رگولاتورهای ( 2
(MRAC)مدل ت مرجع تطبیقی كنترل ( 1
مدل مرجعتطبیقی كنترل
Some of the basic methods used to design adjustment mechanism are(i) MIT Rule(ii) Lyapunov rule
:مستقیمغیرروشمی شوندتصحیحمقادیرایناساسبركنترلرپارامترهایوشدهزدهتخمین،فرآیندپارامترهایروشایندر
General MRACوجیخربینخطایكردنحداقلبمنظوركنترلرپارامترهایروشایندر:مستقیموشر
.درمی آیندروزبهمستقیما ،فرآیندومدل (Direct MRAC)
(Indirect MRAC)
مدل مرجعطراحی سیستمهای تطبیقی مراحل
.كنیدمشخصرابستهحلقهسیستممطلوبرفتار(1.كنیدتعیینتنظیمقابلپارامترهایباهمرارامناسبیكنترلقانون(2.بیابیدپارامترهاتنظیمبرایمكانیزمی(3.كنیدپیادهراكنترلقانون(4
ملكردعشاخص هایبیشترهرچهتطبیقیاوساختننزدیك،سیستمهاایندراصلیهدفومدلردتغییراتوجودوقطعیتعدمحضوردرمطلوبشاخص هایبهبستهحلقهسیستم.استسیستمكاریشرایط
مدل مرجعMRAC
مزایا معایب
براحتی قابل اعمال به سیستم های غیرخطی پیچیده است
پایداری سیستم از روش لیاپانوف قابل اثبات است
قانون تطبیق از روش لیاپانوف قابل استخراج است
روش تئوری عمومی برای طراحیمکانیزم تطبیق وجود ندارد
برای اغتشاش های نامشخصیا فرآیندهای ناشناخته ، تطبیق با
مشکل مواجه می شود
انتخاب پارامترهای طراحی دشوار است
برای ورودی تعریف شده، تطبیقسریع انجام می گیرد
برای اغتشاش های نامشخصیا فرآیندهای ناشناخته تطبیق با
مشکل مواجه می شود
شرایط اولیه سیستم در همگرایی تطبیق موثر است
رگولاتورهای خود تنظیمSTC
مزایا معایب
براحتی قابل اعمال به سیستم های غیرخطی پیچیده است
پایداری سیستم از روش لیاپانوف قابل اثبات است
قانون تطبیق از روش لیاپانوف قابل استخراج است
روش تئوری عمومی برای طراحیمکانیزم تطبیق وجود ندارد
برای اغتشاش های نامشخصیا فرآیندهای ناشناخته ، تطبیق با
مشکل مواجه می شود
برای ورودی تعریف شده، تطبیقانتخاب پارامترهای طراحی دشوار استسریع انجام می گیرد
برای اغتشاش های نامشخصیا فرآیندهای ناشناخته تطبیق با
مشکل مواجه می شود
شرایط اولیه سیستم در همگرایی تطبیق و تخمین موثر است
با مشخص بودن مرتبه و تاخیر سیستم قابل طراحی است
تنها با اندازه گیری ورودی وخروجی قابل طراحی است
به روش حداقل مربعات خطاسیستم مدل الگوریتم تخمین پارامترهای
)(
)()(
1
11
qA
qBqzG d
p m
m
n
n
qbqbqbqB
qaqaqA
ˆˆˆ)(
ˆˆ1)(
2
2
1
1
1
1
1
1
)()(ˆ)(ˆ kkky T
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
1
1
kb
kb
ka
ka
k
m
n
)(
)1(
)(
)1(
)(
mdku
dku
nky
ky
k
)()1(ˆ)()( kkkyk T
عاتمربحداقلروشبهسیستممدلپارامترهایتخمینالگوریتمخطا
)()1(ˆ)()( kkkyk T
)()1()(
)()1()(
2
1 kkFk
kkFkG
T
)()()1(ˆ)(ˆ kkGkk
)1()()(1
)(1
kFkkGIkF T
شدهیکی طراحی کنترلر به روش كلی مراحل
0,)(
1)(
)()()()(
0
1
10
1
2
2
1
1
1
11
bqbqbbqB
qaqaqaqA
kuqBqkyqA
b
B
a
A
n
n
n
n
d
P
)(),( kyku P
خطی سیستم خروجی و ورودی شده
Unified Approach
دینامیک : مثال ربات
ii
i
i
boqB
qqA
d
)(
1)(
2
1
11
'21 )()()1( iiii dkuboqkXvq
:می گیریمدرنظر زیر اهداف کنترل را بصورت
که خروجی شودطراحی بگونه ای باید ، کنترلر ردیابی فرآیندعمل تضمین به منظور -1.را برآورده سازدزیر رابطه فرآیند واقعی،
)()()()( 11
1 krqDqkyqC d
P
)( 1
1
qC)( 1qD می شودبوده كه توسط طراح انتخاب جمله ای های پایدار مجانبی چند و
)(kr می باشدمرجع محدود ورودی
طای اولیه خ، سیستمدر شرایط اولیه شود که با وجود طراحی بگونه ای باید کنترلر -2:یعنی . مشخص، صفر شوددینامیكهای با
0
0)()( 1
2
k
dkyqC p
)( 1
2
qCر زیمجانبی بوده كه توسط طراح و بصورت پایدار چند جمله ای ک ی:درنظر گرفته می شود
2
2...1)( 1
1
1
2
C
C
n
n qcqcqC
درنظر زیر شده، مدل مرجع مطلوب را بصورت بیان بمنظور حصول اهداف :می گیریم
)()()()( 11
1 krqDqkyqC d
M
بگیریمدرنظر زیر اگر خطای خروجی را بصورت
)()()( kykyke MP
برقرار باشد زیر باید شده در فوق، رابطه بیان مشاهده می شود که بمنظور تحقق اهداف
0
0)()( 1
2
k
dkeqC
)( 1
2
qC نمودزیر بازنویسی بصورت می توان را:
)()()()( 1111
2
qTqqSqAqC d
)()()()( 1111
2
qTqqSqAqC d
T
T
S
S
n
n
n
n
qtqtqttqT
qsqsqsqS
...)(
...1)(
2
2
1
10
1
2
2
1
1
1
),1max(
1
2dnnn
dn
CAT
S
دینامیک : مثال ربات
ii
i
i
boqB
qqA
d
)(
1)(
2
1
11
01
1)( 11
i
ii
crv
qcrvqC
001.0icrv
)()()()( 1111 qTqqSqAqC i
d
iii
ii
ii
roqT
qsqS
)(
1)(
1
1
1
1
999.0)(
999.01)(
1
11
qT
qqS
i
i 999.01 is
999.0iro
)]()()()()()()([)()( 1
2
1111
2 dkyqCkyqTkuqSqBdkeqC MP
)()()(
)()()()(
1
2
1
2000
dkyqCk
dkyqCkkub
M
T
M
T
];[
)]();([)(
],.....,;,....,,[
)](),...,();1(),...,1([)(
00
0
01211201100
0
TT
TT
ndn
T
TPPB
T
b
kkuk
ttsbbsbsbbsb
nkykyndkukuk
TB
دینامیک : مثال ربات
1)()(
)2()()1(
'
1
kuk
dbo
kkXvq
i
T
i
ii
T
i
i
T
ii
'21 )()()1( iiii dkuboqkXvq
: محاسبه می شودزیر قانون کنترل مطلوب بصورت
)]()()()()()([1
)( 111
2
0
kuqBkyqTdkyqCb
ku spM
0
111 )()()( bqSqBqBs
می شودخلاصه زیر قانون كنترل بصورت بنابراین
)]()()([1
)( 00
1
2
0
kdkyqCb
ku T
M
])()()2()([1
)1()( '11
1 iiiiii
i
iii dqSkXvrokXvdqCbo
kusku
دینامیک : مثال ربات
Unified Approach
:ناشناخته باشندپارامترهای سیستم اما اگر
)(ˆ)()(ˆ
1)( 00
1
2
0
kdkyqCb
ku T
M
];[
)]();([)(
]ˆ,.....,ˆ;ˆˆ,....,ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆ[ˆ
)](),...,();1(),...,1([)(
00
0
01211201100
0
TT
TT
ndn
T
TPPB
T
b
kkuk
ttsbbsbsbbsb
nkykyndkukuk
TB
دینامیک : مثال ربات
'1
1ˆ)()2()(
)(ˆ
1)1(.)( iiiii
oi
iii dkXvrokXvdqCkb
kusku
:می كنیمخلاصه زیر را بصورت برای سیستمهای پیچیده شده یكی روش .می گیریمدرنظر برای فرآیند مناسب خطیمدل یك ، تأخیر سیستمبا مشخص بودن مرتبه و ( 1
روشبهپارامترهاتخمینالگوریتمازاستفادهوفرآیندخروجیوورودیاندازه گیریبا(2.می شودبرازاندهكنترلتحتفرآیندبهخطیمدلیكخطا،مربعاتحداقل
.می نماییماعمال سیستم اصلی محاسبه كرده و به خطی مدل برای قانون كنترل را ( 3
:بر شمردچنین می توان روش را مهمترین مزایای این
.قابل استفاده استردیابی روش هم در حالت رگولاتور و هم در حالت این ( ر مورد مرتبه و داطلاعاتی شده تنها داشتن یكی به روش تطبیقی كنترل كننده طراحی به منظور ( 2
.تأخیر سیستم كافی می باشد
، قدرت قبرای تعیین مكانیزم تطبیبرخوردار بوده و پایداری تضمین شده ای از این الگوریتم ( 3.می دهدطراح قرار اختیار در بیشتری انتخاب
.برخوردار استپیاده سازی خوبی و سهولت قابلیت بالا و تطبیق روش از سرعت این (
Reduced Order Unified Approach
بیرونیدر حلقه موقعیتطراحی کنترلر
از دیل تب، تابع موقعیتدنبال کننده مدل برای حلقه کنترلی تطبیقی به منظور طراحی کنترل کننده :گیریم درنظر می زیر واقعی را بصورت موقعیت به مطلوبموقعیت
2
1
2
12
.1
)()(
)(
)(
qrp
qCrp
rpZ
qCrpZ
kXpd
kXp
i
i
i
i
i
i 21 .1)( qcrpqCrp ii
ام به صورت iنک موقعیت لیبرای حلقه کنترلی تطبیقی به منظور عمل دنبال کنندگی کامل، کنترلر : زیر تعیین می شود
iii
iiiii
crvrpcrp
kXprpkXpdqCrpkup
)(.)2()()( 1
)2()2()( kupkXpdskXvd iii
4132 /)1(.)(.)1(.)3()( ZkXpdZkXpdZkXpdZkXpdkXpds iiiii
2
2
1
5.0
4
13
12
1
Z
ZZ
ZZ
Z
:مطلوبموقعیت قدم جلوتر از تقریباً تخمین یك
دهشیكی به روش یافته گسسته مرتبه كاهش تطبیقی كنترل كننده طراحی
)),(),(()(
)()(
ttutXftX
tXtX
V
VP
1)(),(),()( FAGVM T
دینامیک :مثال ربات
2
1
2
1
2
1
G
GG
2
1
0
0
M
MM
2
1
V
VV
Unified Approach
)),(),(()( ttutXftX
Xi
i
)()()(
)(
)()(
tdtqdt
tdXvtm
tXvdt
tdXp
iii
i
ii
)]1()1()[/()1()(
)1()1()/(5.0)1()1()( 2
kdkqmTkXvkXv
kdkqmTkTXvkXpkXp
iiiii
iiiii
)1()( kukq ii
Unified Approach
'21 )()()1( iiii dkuboqkXvq
)]1()1()[/()1()(
)1()1()/(5.0)1()1()( 2
kdkqmTkXvkXv
kdkqmTkTXvkXpkXp
iiiii
iiiii
iii
ii
dbod
mTbo
.
/
'
'
idمی سیستم در کوپلینگ از اثر تخمینی
.باشد
Unified Approach
پارامترهایوداشتهبرعهدهرامفاصلزاویه ایسرعتهایکنترلکهداخلیحلقه(1یکحلقهنایدر.می شوندزدهتخمینتطبیقیصورتبهوحلقهایندرسیستمناشناخته
.می آیددستبهسیستمواکنشیاثروجودبدونومفصلهربرایخطیمدل
برعیتموقکنترلروداشتهعهدهبررامفصلیزوایایموقعیتکنترلکهخارجیحلقه(2یردیابعملکهمی شودطراحیگونه ایبهداخلی،حلقهازآمدهبدستخطیمدلاساس
.شودانجامخوبیبهمدل
تشکیل ، از دوحلقه روشاین ساختار کنترلی در بنابراین :می شود
Unified Approach
ربات با سه مفصلنتایج شبیه سازی برای یك
0 50 100 150 200 250 300-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Velocity of joint 1 for arm A
K
Rad
ian
/Sec
DesiredActual
0 50 100 150 200 250 300-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Velocity of joint 2 for arm A
K
Rad
ian
/Sec
DesiredActual
0 50 100 150 200 250 300-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1Velocity of joint 3 for arm A
K
Rad
ian
/Sec
DesiredActual
Adaptive Control of Manipulator
• Two types– MRAC (Model Reference Adaptive
Control)– STC (Self-Tuning Control)
Adaptive Mechanism of MRAC• Gradient method (MIT rule)• Lyapunov direct method• Hyperstability and positivity concept
• The reference model is given by
• The adjustable system is given by
( ) ( ) ( )m m m mx t A x t B u t
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ), (0) , (0) , (0)x t A t x t Bu t x x A A B B
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
m m m
m m m m
m m m
e t A x t B u t A t x t B t u t
A x t x t A A t x t B B t u t
A e t A A t x t B B t u t
The goal is lim( ( ) ( )) lim ( ) 0
lim ( ) , lim ( )
mt t
m mt t
x t x t e t
A t A B t B
1
1
{[ ( )] [ ( )]}
{[ ( )] [ ( )]}
T T
r m m
T
r m m
V e Pe T A A t M A A t
T B B t N B B t
-1 -1where , , 0 p.d.mP M N
1( ) 2 [ ( )] [ ( )]T T T T
m m r mV e A P PA e T A A t Pex M A t & &
2 [ ( )] [ ( )]T T T
r mT B B t Peu N B t
Define , 0T
m mA P PA Q Q
1
1
( ) 0
( ) 0
T
T
Pex M A t
Peu N B t
&
&matching conditions
0 n.d.m
( )
( )
T
T
T
v e Qe
A t MPex
B t NPeu
&
&
&
0
0
( ) (0)
( ) (0)
tT
tT
A t A MPex dt
B t B NPeu dt
Adaptive Computed-Torque Control-Based on Parameter Linearization
Manipulator
ˆˆ ˆ ˆ( )[ ] ( , ) ( ) ( ) (2)d v p mM q q K e K e V q q q G q F q
Controller( ) ( , ) ( ) ( ) (1)mM q q V q q q G q F q
From (1)
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) (3)mM q q V q q q G q F q W q q q
Known time function Unknown
constant
ex) Consider the dynamics of a two-link planar arm
2 2
1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1
2 2
2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2
1 2 1 1 2 2 12
ˆ ˆ ˆ ˆ(2 ( ) )
ˆ ˆ ˆ ( ) (2 )
ˆ ˆ ˆ ( )
m l l c m l m m l q
m l m l l c q m l l q q q s
m m gl c m gl c
2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 12ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )m l l c m l q m l q m l l q s m gl c
11 12 1
21 22 2
2
11 1 1 1 1
2 2 2
12 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2
2 12 1 1
21
2
22 1 2 2 2 1 2 2 1 2 12
ˆ( , , ) ,
ˆ
where
( ) ( ) 2
0
W W mW q q q
W W m
W l q l gc
W l q q l l c q q l q l l s q l l s q q
l gc l gc
W
W l l c q l l s q l gc
&&&
&&
&& && && && && & &&
&& & 2
2 1 2( )l q q&& &&
•
• From (4) and (3)1ˆ ˆ( ) ( , , ) where (5)v pe K e K e M q W q q q
In the state-space form
1ˆ ( ) ( , , ) (6)
0 0where = , =
p v
e Ae BM q W q q q
IA B
K K I
1Let 0T TV e Pe 1 2,where [ , ] T
rdiag
From (2) and (3)ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )[ ] ( ) ( , ) ( ) ( )
ˆ ˆ ( )[ ] ( , , ) (4)
v p m
v p
M q e K e K e M q q V q q q G q F q
M q e K e K e W q q q
1
1 1 1
1 1
2
ˆ ˆ ( ( ) ( , , ) ) ( ( ) ( ) ) 2
ˆ 2 ( ( ) ( ) )
T T T
T T T
T T T T
V e Pe e Pe
e P Ae BM q W q q q Ae BM q W Pe
e Qe W M q B Pe
ˆSince ,
1ˆˆ ( , , ) ( )T TW q q q M q B Pe
1ˆ < 0 if ( ) ( )T T TV e Qe W M q B Pe
• Remarks:• The tracking error vector e is
asymptotically stable.• and should be measured.• should exist.• For preventing parameter estimate
drifting, the parameters are forced to remain within some known values.
1ˆ ( )M q
q&&q&
3.22
8.01
m
m
2 2
1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1
2 2
2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2
1 2 1 1 2 2 12
ˆ ˆ ˆ ˆ(2 ( ) )
ˆ ˆ ˆ ( ) (2 )
ˆ ˆ ˆ ( )
m l l c m l m m l q
m l m l l c q m l l q q q s
m m gl c m gl c
2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 12ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )m l l c m l q m l q m l l q s m gl c
12
11
l
l
Example :
2.22ˆ
85.01ˆ
m
m
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
X: 2650
Y: 0.8022
time(sec)
kg
m1hat
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40001.9
1.95
2
2.05
2.1
2.15
2.2
2.25
2.3
2.35
X: 2438
Y: 2.316
Time(sec)
Kg
m2-hat
