MATEMATIKAlences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/Skripta/BA02...MATEMATIKA II MODUL 4 OBYCEJNˇ E...

VYSOKE UCENI TECHNICKE V BRNEFAKULTA STAVEBNI

MATEMATIKA II

MODUL 4

OBYCEJNE DIFERENCIALNI ROVNICE 2

STUDIJNI OPORYPRO STUDIJNI PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Typeset by LATEX2εc© Josef Diblık, Oto Pribyl 2004

Obsah

1 Struktura resenı LDR 31.1 Jake linearnı diferencialnı rovnice budeme studovat? . . . . . . . . . . 41.2 Zakladnı pojmy z teorie LDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Pocatecnı uloha pro LDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Princip superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Linearnı zavislost systemu funkcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Wronskian systemu resenı LDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Pocatecnı podmınky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Obecne resenı HLDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Pocet nezavislych resenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Obecne resenı NHLDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11 LDR s pravou stranou nezavislou na resenı . . . . . . . . . . . . . . . 221.12 Snızenı radu homogennı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Homogennı LDR s konstantnımi koeficienty 292.1 Exponencialnı tvar resenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Symbolicke operatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Obecne resenı homogennı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Aplikace rovnic druheho radu – harmonicke kmity . . . . . . . . . . . 41

3 Partikularnıho resenı nehomogennı LDR 473.1 Metoda odhadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Metoda variace konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

i

ii OBSAH

Uvod

Cıle modulu

Cıle studia tohoto modulu jsou prubezne popisovany na zacatku kazde kapitoly,ke ktere se vztahujı.

Pozadovane znalosti

Pro zvladnutı tohoto modulu je nezbytne zvladnout problematiku modulu BA02_M03:Obycejne diferencialnı rovnice 1.

Doba potrebna ke studiu

Priblizne lze odhadnout potrebnou dobu ke studiu tohoto modulu na 25 hodin. Prozıskanı dostatecne pocetnı praxe bude jeste zrejme zapotrebı dalsı cas zavisly naindividualnıch schopnostech studenta.

Klıcova slova

Homogennı linearnı rovnice, linearnı diferencialnı rovnice, nehomogennı linearnırovnice, princip super pozice, linearnı nezavislost systemu funkcı, Wronskian, funda-mentalnı system resenı, exponecialnı tvar resenı, charakteristicka rovnice, symbol-icky diferencialnı operator, harmonicke kmity, kriticky tlumene kmity, silne tlumenekmity, slabe tlumene kmity, amplituda, netlumene kmity, metoda neurcitych koefi-cientu, metoda odhadu, rezonance, metoda variace konstant.

1

2 OBSAH

Kapitola 1

Struktura resenı linearnıchdiferencialnıch rovnic vyssıchradu;linearnı nezavislost resenı,wronskian

Pan Hodny, vas hodny pruvodce studiem: V teto casti bude osvetlenastruktura obecneho resenı linearnı diferencialnı rovnice n-teho radu. Uvidıme, zeobecne resenı ma jednoduchy a logicky tvar. Pravem je tato cast chloubou obycejnychdiferencialnıch rovnic. Pochopenım tvaru resenı vstrebate jakysi nadhled nad situacı,ktery budete potrebovat v dalsıch castech modulu pri resenı konkretnıch diferencialnıchrovnic.

Dılcı cıl:Po prostudovanı teto casti:

• si dale upevnıte znalosti zıskane v 1. kapitole prvnıho modulu o diferencialnıchrovnicıch;

• budete vedet, jak ma obecne resenı vypadat, i kdyz jeho presny konkretnı tvarvypocıtat nepujde;

• naucıte se pracovat s pojmem linearnı zavislosti a nezavislosti resenı difer-encialnıch rovnic;

• poznate wronskian a nacıte se s nım pracovat.

Pan Prısny, vas prısny pruvodce studiem: Vyuzijeme nekterych poznatkuz predchozıho modulu. Pujde, naprıklad, o samotny pojem linearnı diferencialnı

3

4 KAPITOLA 1. STRUKTURA RESENI LDR

rovnice n-teho radu, pojem resenı diferencialnı rovnice, partikularnıho resenıa parametricke mnoziny resenı, definici a pojem obecneho resenı. Proto jebezpodmınecne nutne, si tyto pojmy opet radne zopakovat!

Pan Hodny, vas hodny pruvodce studiem: Alespon male ,,osvezenı“ bymelo prijıt i v prıpade pocatecnı ulohy pro rovnici n-teho radu.

1.1 Jake linearnı diferencialnı rovnice budeme stu-

dovat?

V centru nası pozornosti bude specialnı prıpad linearnı diferencialnı rovnice n-tehoradu

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x). (1.1)

Bez omezenı obecnosti predpokladejme nejenom, ze an(x) 6= 0 na intervalu I (vopacnem prıpade by rovnice nebyla rovnicı n-teto radu), ale i to, ze tento koeficientpolozıme identicky roven jedne, tj. an(x) ≡ 1 na intervalu I. Pokud tento predpokladnenı splnen, lze jednoduse takovou rovnici na rovnici s jednotkovym koeficientemprevest. To je mozne zajistit vzdy delenım cele rovnice na nenulovy koeficient an(x) anaslednych preznacenım nove vzniklych koeficientu. Tento postup ilustrujme takto:Za predpokladu an(x) 6= 0 na intervalu I z rovnice (1.1) delenım na an(x) dostaneme

y(n) +an−1(x)

an(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)

an(x)y′ +

a0(x)

an(x)y =

g(x)

an(x).

Utvorıme-li nove funkce pomocı predpisu

An−1(x) :=an−1(x)

an(x), . . . , A1(x) :=

a1(x)

an(x), A0(x) :=

a0(x)

an(x), G(x) :=

g(x)

an(x),

pak ma nova linearnı rovnice n-teho radu tvar

y(n) + An−1(x)y(n−1) + · · ·+ A1(x)y′ + A0(x)y = G(x).

Bez omezenı obecnosti se pridrzıme puvodnıho znacenı pomocı malych pısmen abudeme se dale odvolavat na linearnı rovnici n-teho radu

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x). (1.2)

1.2. ZAKLADNI POJMY Z TEORIE LDR 5

1.2 Homogennı a nehomogennı rovnice,

dalsı pouzite termıny a nektere zakladnı vlast-

nosti

V teorii linearnıch diferencialnıch rovnic se vzily a dodnes se pouzıvajı urcite nazvya termıny. Nebylo by vsak ucelne kdybychom se s nimi neseznamili nebo kdyby-chom se je snazili nahradit nejakymi jinymi, ktere by dle naseho nazoru byly trebai vystiznejsı. Hodne bychom tım ztratili a ztrata pravdepodobne nejzavaznejsı bybyla ve ztızenı nebo dokonce znemoznenı komunikace s temi odbornıky, kterı byuzıvali terminologii standardnı. K tomu, bohuzel, nekdy ve vedeckych a odbornychdisciplınach dochazı. Mozna je to castecne podmıneno bourlivym vyvojem nekterychz nich, kdy je nutno v kratke dobe pojmenovat nove jevy, tj. zavest ,,novou“ termi-nologii. Stava se vsak, ze odbornıci si v prekotne praci nevsimnou, ze neco podobnehoje treba jiz pojmenovano v jinem vednım oboru. Tak muze vzniknout a vzıt se jinenazvoslovı. Nechme ale tuto sirokou problematiku termınoveho chaosu ci termınovehobabylnu stranou a vrat’me se k linearnım diferencialnım rovnicım a k prıslusne ter-minologii.

V rovnici (1.2), tj. v rovnici

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)

je y = y(x), y : I → R hledanou funkcı a y(i)(x) = y(i), i = 1, 2, . . . , n jsoujejı derivace. Pripomenme, ze symbol I ma stale stejny vyznam, tj., je jednım zcıselnych intervalu tvaru [a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a,∞), (a,∞),nebo (−∞,∞), kde a < b. Funkce ai : I → R, i = 0, 1, . . . , n − 1 nazyvamekoeficienty rovnice (1.2). Pravou stranou rovnice (1.2) nazyvame funkci g : I → R.Predpokladame, ze vsechny koeficienty ai, i = 0, 1, . . . , n − 1 i prava strana g jsouspojitymi funkcemi na intervalu I.

Homogennı a nehomogennı rovnice

Pokud nenı v rovnici (1.2) prava strana identicky nulova, tj., pokud g 6≡ 0 naintervalu I, pak rovnici nazyvame (krome jiz dalsıch prıvlastku, tj. linearnı a n-tehoradu) rovnicı nehomogennı. V opacnem prıpade, tj., pokud g ≡ 0 na intervalu I jerovnice (1.2) nazyvana homogennı.

Pridruzena homogennı rovnice

Je-li dana rovnice (1.2), pak rovnici se stejnymi koeficienty a s nulovou pravoustranou

u(n) + an−1(x)u(n−1) + · · ·+ a1(x)u′ + a0(x)u = 0


nazyvame pridruzenou (nebo asociovanou) homogennı rovnicı k rovnici (1.2). Bezztraty obecnosti uvah nenı nutne v pridruzene rovnici znacit hledanou funkcı jinymsymbolem (v nasem prıpade jsme uzili pısmena u) a muzeme hledanou funkci znacitstejne jako v nehomogennı rovnici, tj., muzeme pridruzenou rovnici psat ve tvaru

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0 (1.3)

s vedomım, ze resenı pridruzene homogennı rovnice (1.3) a resenı vychozı neho-mogennı rovnice (1.2) jsou ruznymi funkcemi.

1.3 Pocatecnı uloha pro linearnı rovnice vyssıch

radu

Slıbili jsme, ze se jeste vratıme k otazce existence resenı pocatecnı ulohy pro linearnırovnice. Uvazujme tedy pocatecnı ulohu pro linearnı nehomogennı rovnici n-tehoradu (1.2), tj. uvazujme ulohu:

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x),

y(x0) = y0,

y′(x0) = y′0,

. . .

y(n−1)(x0) = y(n−1)0 .

(1.4)

kde x0 ∈ I. Nasledujıcı veta ma na rozdıl od vet, uvedenych v Kapitole ?? nelokalnıcharakter.

Veta 1. Predpokladejme, ze koeficienty an−1(x), . . . , a1(x), a0(x) rovnice (1.2) ajejı prava strana - funkce g(x) - jsou spojitymi funkcemi na intervalu I. Pak mapocatecnı uloha (1.4) jedine resenı y = y(x), ktere je definovano na celem intervaluI.

1.4 Princip superpozice

V takzvanem principu superpozice je soustredena nejdulezitejsı vlastnost resenılinearnıch diferencialnıch rovnic. Tyka se struktury resenı jak homogennıch tak inehomogennıch rovnic. V prıpade homogennıch rovnic (po formulaci principu sipromyslete jakou volbou funkcı k homogennımu prıpadu dospejete) rıka, ze soucetresenı homogennı rovnice je opet resenım homogennı rovnice a ze vysledek nasobenıresenı homogennı rovnice libovolnou konstantou je opet resenım homogennı rovnice.V nehomogennım prıpade si princip superpozice muzeme zjednodusene vylozit tak,ze kdyz ma prava strana komplikovany tvar a lze ji rozlozit na soucet nekolika(jednodussıch) funkcı tak, ze substituce kazde z techto jednodussıch funkcı mısto

1.4. PRINCIP SUPERPOZICE 7

puvodnı do rovnice vede k rychlemu nalezenı partikularnıho resenı, je soucet techtopartikularnıch resenı take partikularnım resenım vychozı rovnice. Uved’me znenıtohoto principu.

Veta 2 (Princip superpozice) Predpokladejme, ze funkce g : I → R je linearnıkombinacı dvou funkcı g1 a g2 s konstantami K1, K2, tj.,

g(x) = K1g1(x) + K2g2(x).

Oznacme y = y1(x) partikularnı resenı nehomogennı rovnice

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g1(x) (1.5)

a y = y2(x) partikularnı resenı nehomogennı rovnice

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g2(x). (1.6)

Predpokladejme dale, ze funkce u = u1(x) a u = u2(x) jsou resenı asociovane ho-mogennı rovnice se stejnymi koeficienty

u(n) + an−1(x)u(n−1) + · · ·+ a1(x)u′ + a0(x)u = 0.

Pak je linearnı kombinace

y(x) = K1y1(x) + K2y2(x) + C1u1(x) + C2u2(x)

s libovolnymi konstantami C1, C2 resenım rovnice (1.2) na intervalu I .

Dukaz. Charakter dukazu ma vypocetnı charakter a proto jej v ramci procvicenıpocetnıch ukonu probıhajıcıch v linearnıch rovnicıch provedeme. Dosazenı funkcey(x) do leve strany rovnice (1.2) dava (samostatne zduvodnete rozepsanı prvnıhovyrazu na nasledujıcı ctyri)

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y

= K1

(y

(n)1 + an−1(x)y

(n−1)1 + · · ·+ a1(x)y′1 + a0(x)y1

)+ K2

(y

(n)2 + an−1(x)y

(n−1)2 + · · ·+ a1(x)y′2 + a0(x)y2

)+ C1

(u

(n)1 + an−1(x)u

(n−1)1 + · · ·+ a1(x)u′1 + a0(x)u1

)+ C2

(u

(n)2 + an−1(x)u

(n−1)2 + · · ·+ a1(x)u′2 + a0(x)u2

)= K1g1(x) + K2g2(x) + 0 + 0 = g(x). 2

Na zaver jeste poznamenejme, ze jsme uvedli variantu principu superpozice se dvemafunkcemi g1(x) a g2(x) a dvema resenımi u1(x) a u2(x). Lze podle vaseho nazorutento princip formulovat pro libovolny konecny pocet funkcı

g1(x), g2(x), . . . , gm(x)


a pro libovolny pocet resenı

u1(x), u2(x), . . . , us(x)?

Musı pritom platit m = s nebo muze byt m 6= s? Podporte vas nazor konkretnımiargumenty!

Prıklad 1. Proverte, ze funkce u1(x) = e3x a u2(x) = e−3x vyhovujı diferencialnırovnici druheho radu

u′′ − 9u = 0 (1.7)

na intervalu I = R. Sestavte s pomocı principu superpozice dalsı resenı teto rovnice.

Resenı. Pro dane funkce platı

u1(x) = e3x, u′1(x) = 3e3x, u′′1(x) = 9e3x

a

u2(x) = e−3x, u′1(x) = −3e−3x, u′′1(x) = 9e−3x.

Nynı je zrejme, ze se jedna o resenı rovnice (1.7). Podle principu superpozice jeresenım take kazda funkce

u(x) = C1u1(x) + C2u2(x) = C1e3x + C2e

−3x

s libovolnymi parametry C1 a C2.

Prıklad 2. Proverte, ze partikularnım resenım nehomogennı rovnice

y′′′ + y′′ − 2y′ = x (1.8)

je funkce

y = y1(x) = −1

4x(x + 1)

a partikularnım resenım nehomogennı rovnice

y′′′ + y′′ − 2y′ = −ex (1.9)

je funkce

y = y2(x) = −1

3xex.

Sestavte s pomocı principu superpozice partikularnı resenı rovnice

y′′′ + y′′ − 2y′ = x− ex. (1.10)

1.5. LINEARNI ZAVISLOST SYSTEMU FUNKCI 9

Resenı. Pro dane funkce platı

y1(x) = −1

4(x2 + x), y′1(x) = −1

4(2x + 1), y′′1(x) = −1

2, y′′′1 (x) = 0

a

y2(x) = y′2(x) = y′′2(x) = y′′′2 (x) = −ex.

Nynı je zrejme, ze se jedna o resenı rovnic (1.8), (1.9). Podle principu superpoziceje partikularnım resenım rovnice (1.10) funkce

y(x) = y1(x) + y2(x) = −1

4x(x + 1)− 1

3xex.

1.5 Co je to linearnı zavislost a linearnı nezavislost

systemu funkcı?

Vysvetlıme pojmy takzvane linearnı zavislosti a linearnı nezavislosti systemufunkcı. Jejich uzitecnost brzy ocenıme pri konstrukcıch obecnych resenı homogennıcha nehomogennıch linearnıch diferencialnıch rovnic n-teho radu.

Definice 1. 1d26.2.04[Linearnı zavislost] System funkcı v1, v2, . . . , vk, zobrazujıcıchinterval I do R nazyvame linearne zavislym systemem na intervalu I, existujı-likonstanty

C1, C2, . . . , Ck,

ktere nejsou vsechny rovne nule tak, ze pro kazde x ∈ I platı

C1v1(x) + C2v2(x) + · · ·+ Ckvk(x) = 0. (1.11)

Jinymi slovy muzeme rıci, ze system funkcı je linearne zavisly, pokud existujı-likonstanty C1, C2, . . . , Ck, ktere nejsou vsechny rovne nule tak, ze linearnı kom-binace danych funkcı s temito konstantami je identicky rovna nule na intervaluI. Opakem teto definice je vysvetlenı pojmu linearnı nezavislosti systemu funkcı.Uved’me prıslusnou definici.

Definice 2. 2d26.2.04[Linearnı nezavislost] System funkcı v1, v2, . . . , vk, zobrazujıcıchinterval I do R nazyvame linearne nezavislym systemem na intervalu I, platı-livztah (1.11) pro kazde x ∈ I pouze tehdy, kdyz jsou vsechny konstanty nulove, tj.v prıpade, ze

C1 = C2 = · · · = Ck = 0.


Pro uplnost jeste dodejme nasledujıcı. Nase definice predpokladaly, ze systemyfunkcı jsou systemy realnych funkcı. Je ovsem mozne predpokladat, ze pracujeme sfunkcemi, ktere nabyvajı komplexnıch hodnot a znenı definic zustane stejne.

Prıklady linearnı (ne:-)zavislosti systemu funkcı

Prıklad 3. Jsou funkce

v1(x) = 2, v2(x) = cos 2x, v3(x) = sin2 x

jsou linearne zavisle na libovolnem intervalu I?

Resenı. Protoze platıcos 2x = 1− 2 sin2 x

vidıme, ze take platı1

2· v1(x)− v2(x)− 2v3(x) = 0

pro kazde x ∈ I ⊆ R. Pro k = 3 a

C1 =1

2, C2 = −1, C3 = −2

je splnena Definice ?? o linearnı zavislosti systemu funkcı. Dany system funkcıje linearne zavislym systemem funkcı na libovolnem intervalu I.

Prıklad 4. Zjistete, zda jsou linearne zavisle funkce v1, v2 : I := (−1, 1) → R,definovane predpisy

v1(x) =

{x5 je-li −1 < x ≤ 0,0 je-li 0 < x < 1;

v2(x) =

{0, je− li −1 < x ≤ 0,x5, je− li 0 < x < 1.


Resenı. Proved’me analyzu vztahu

C1v1(x) + C2v2(x) = 0 (1.12)

na intervalu I. Ma-li tento vztah platit na celem intervalu I, pak musı platit ipro hodnotu x = −1/2 ∈ I. V tomto, prıpade je vztah (1.12) redukovan na

−C1 ·1

32+ C2 · 0 = 0,

tj., vztah (1.12) muze platit jen tehdy, kdyz C1 = 0. Dosad’me dale (za podmınky,ze C1 = 0) hodnotu x = 1/2 ∈ I do vztahu (1.12). Potom

C2 ·1

32= 0

a C2 = 0. Tım jsme proverili, ze vztah (1.12) muze platit na celem intervalu Ijen tehdy, kdyz

C1 = C2 = 0.

Podle Definice ?? jsou funkce v1, v2 linearne nezavisle na intervalu I.

Prıklad 5. Jsou funkce

ω1(x) = 2√

x + 4, ω2(x) = −√

x + 4x, ω3(x) = 2x + 1, ω4(x) = x5

linearne zavisle na intervalu I = (0,∞)?

Resenı. Prokazeme linearnı zavislost tohoto systemu funkcı. Muzeme sepresvedcit, ze na intervalu I platı

1

2· ω1(x) + ω2(x)− 2 · ω3(x) + 0 · ω4(x) = 0.

Pro k = 4 a

C1 =1

2, C2 = 1, C3 = −2, C4 = 0

je splnena Definice ?? o linearnı zavislosti systemu funkcı. Dany system funkcıje linearne zavislym systemem funkcı na intervalu I.

Prıklad 6. System funkcı, ktere se casto objevujı jako resenı linearnıch diferencialnıchrovnic je system

eλx, xeλx, . . . , xk−1eλx,


ve kterem je cıslo λ ruzne od nuly. Ukazme, ze se jedna o system linearne nezavislychfunkcı na intervalu I = R.

Resenı. Pri resenı postupujeme standardne. Sestavıme linearnı kombinaci

C1eλx + C2xeλx + · · ·+ Ckx

k−1eλx = 0,

ktera se po kracenı nenulovym vyrazem eλx stava linearnı kombinacı

C1 + C2x + · · ·+ Ckxk−1 = 0. (1.13)

Zkuste chvilku premyslet o tom, jak zduvodnit, proc je poslednı vztah nulovy na in-tervalu I pouze, kdyz jsou vsechny koeficienty nulove, tj. kdyz C1 = C2 = · · · = Cn =0. Cest k tomu vede nekolik a vetsinou vyuzıvajı poznatky, ktere byly probırany jizna strednıch skolach. Ukazeme dve moznosti. Dosad’me do poslednıho vztahu mıstox postupne k navzajem ruznych hodnot

x = λ1, x = λ2, . . . , x = λk.

Tım zjistıme, ze koeficienty C1, C2, · · · , Ck vyhovujı k linearnım algebraickym rovnicım

C1 + C2λ1 + · · ·+ Ckλk−11 = 0,

C1 + C2λ2 + · · ·+ Ckλk−12 = 0,

. . .

C1 + C2λk + · · ·+ Ckλk−1k = 0.

(1.14)

Determinant tohoto systemu rovnic∣∣∣∣∣∣∣∣1 λ1 . . . λk−1

1

1 λ2 . . . λk−12

. . . . . . . . . . . .1 λk . . . λk−1

k

∣∣∣∣∣∣∣∣je tzv. Vandermonduv determinant, ktery je uvazovan v Prıkladu 8, kde je ukazano,ze za uvedeneho predpokladu navzajem ruznych hodnot λ1, λ2, . . . , λk, je Vander-monduv determinant ruzny od nuly. Pak ma system (1.14) pouze resenı C1 = C2 =· · · = Cn = 0 a nezavislost daneho systemu funkcı je prokazana.

Ukol pro vas:Ukazte, ze dany determinant a Vandermonduv determinant z Prıkladu 8 jsou skutecnestejne. Pritom vyuzijte svych poznatku o vlastnostech determinantu.

Uved’me i odlisny zpusob resenı predchozı ulohy. Vyuzijeme pouze tzv. hlavnı vetualgebry.Tato veta rıka, ze kazda polynomialnı rovnice stupne s ma prave s korenu (kazdy


koren je pocıtan tolikrat, jaka je jeho nasobnost). Necht’ vztah (1.13) platı pro nejakekonkretnı a ne vsechny nulove hodnoty C∗

1 , C∗2 , · · · , C∗

k na intervalu I. Pak ma poly-nomialnı rovnice

C∗1 + C∗

2x + · · ·+ C∗kx

k−1 = 0 (1.15)

vzhledem k nezname velicine x nejvyse k− 1 korenu x = x1, x = x2, . . . , x = xk−1.(Prijdete na to, proc za teto situace nemusı byt pocet korenu roven presne cıslu k−1a kdy je pocet korenu presne roven cıslu k − 1?) Pak je ale vyraz uvedeny v (1.15)roven nule pouze pro tyto uvedene hodnoty. Vezmeme-li jinou hodnotu, naprıkladx = x∗ tak, aby x∗ 6= x1, x∗ 6= x2, . . . , x∗ 6= xk−1, musı platit

C∗1 + C∗

2x∗ + · · ·+ C∗kx

k−1∗ 6= 0.

To je ale spor s vychozım predpokladem. Proto C∗1 = C∗

2 = · · · = C∗k = 0 a nezavislost

daneho systemu funkcı je take tımto postupem prokazana.

Jak poznat linearnı nezavislost systemu funkcı,pojem wronskianu

Nenı nutne vzdy zjist’ovat linearnı zavislost ci linearnı nezavislost systemu funkcıprımo podle uvedenych definic nebo na zaklade nasich kombinacnıch schopnostı.V teto casti predkladame postacujıcı podmınku pro zjistenı, zdali je dany systemfunkcı linearne nezavisly. Nejprve zavedeme nazev pro jeden konkretnı druh deter-minantu, ktery nazyvame wronskianem.

Definice 3. prib1 Necht’ je dan system funkcı v1, v2, . . . , vk zobrazujıcıch interval Ido R. Predpokladejme navıc, ze tyto funkce majı na intervalu I spojite derivace doradu k − 1 vcetne. Pak determinant W : I → R definovany predpisem

W (x) = W (v1(x), v2(x), . . . , vk(x)) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣v1(x) v2(x) . . . vk(x)v′1(x) v′2(x) . . . v′k(x)· · · · · · · · · · · ·

v(k−1)1 (x) v

(k−1)2 (x) . . . v

(k−1)k (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣ .nazyvame wronskianem systemu funkcı v1, v2, . . . , vk.

Veta 3. Predpokladejme, ze realne funkce v1, v2, . . . , vk jsou definovane na intervaluI a majı zde spojite derivace do radu k− 1 vcetne. Jestlize pro nektere x1 ∈ I platı:

W (x1) = W (v1(x1), v2(x1), . . . , vk(x1)) 6= 0, (1.16)

pak jsou funkce systemu v1, v2, . . . , vn linearne nezavisle na intervalu I. Opacnetvrzenı neplatı, tj., pro system linearne nezavislych funkcı nemusı v zadnem bodex1 ∈ I platit nerovnost (1.16).


Dukaz. Proverka formulovane vlastnosti je pripomenutım poznatku o resenı alge-braickych rovnic. Pro snazsı prehlednost budeme uvazovat jen system dvou funkcı,tj. polozıme k = 2. Predpokladejme, ze pro nektere x1 ∈ I platı W (x1) 6= 0 a zeexistujı konstanty C1 a C2 takove, ze

C1v1(x) + C2v2(x) = 0 (1.17)

pro vsechny hodnoty x ∈ I. Ukazeme, ze obe konstanty musı byt nulove. De-rivovanım vztahu (1.17) dostavame

C1v′1(x) + C2v

′2(x) = 0. (1.18)

Uvazujme system linearnıch algebraickych rovnic vzhledem ke konstantam C1 a C2,ktery vznikne dosazenım hodnoty x = x1 do vztahu (1.17) a (1.18):

C1v1(x1) + C2v2(x1) = 0,

C1v′1(x1) + C2v

′2(x1) = 0.

(1.19)

System (1.19) sestava ze dvou rovnic o dvou neznamych. Determinant jeho maticekoeficientu je wronskianem W (x1). Podle predpokladu je W (x1) 6= 0. Proto masystem (1.19) pouze jedine resenı. Protoze jako resenı vyhovujı hodnoty C1 = C2 = 0nemuze jina alternativa existovat. Jsou splneny podmınky Definice ??, uvazovanysystem funkcı je tedy linearne nezavisly. Tım je prvnı cast vety dokazana.To, ze opacne tvrzenı neplatı proverıme na konkretnım prıkladu. Stacı, naprıklad,polozit k = 2 a pouzıt funkce v1 a v2, ktere byly definovany v Prıkladu 4. Snadnooverıme, ze pro wronskian tohoto systemu funkcı na intervalu (−1, 1) platı

W (x) = W (v1, v2) = 0.

Vıme ale, ze Prıklad 4 ukazoval, ze funkce v1 a v2 jsou na intervalu (−1, 1) linearnenezavisle. Opacne tvrzenı tedy neplatı. 2

Prıklad 7. Ukazme, ze funkce v1(x) = eλ1x a v2(x) = eλ2x jsou na intervalu I = Rlinearne nezavisle v prıpade, kdy pro konstanty λ1 a λ2 platı λ1 6= λ2.

Resenı. Ulohu vyresıme pomocı wronskianu uvedenych funkcı, vypocıtany vbode x1 = 0. Wronskian v libovolnem bode je

W (x) = W(eλ1x, eλ2x

)=

∣∣∣∣ eλ1x eλ2x

λ1eλ1x λ2e

λ2x

∣∣∣∣a

W (0) =

∣∣∣∣ 1 1λ1 λ2

∣∣∣∣ = λ2 − λ1 6= 0.

Tım je podle Vety 3 prokazana linearnı nezavislost uvedenych exponencialnıchfunkcı.

1.6. WRONSKIAN SYSTEMU RESENI LDR 15

Prıklad 8 (Vandermonduv determinant) Funkce testovane v prave vyresenemPrı-kladu 7 se casto objevujı jako resenı linearnıch diferencialnıch rovnic. Resmeproto obecnejsı ulohu - ukazme, ze system exponencialnıch funkcı

eλ1x, eλ2x, . . . , eλkx,

ve kterem jsou vsechna cısla λ1, λ2, . . . , λk navzajem ruzna, je systemem linearnenezavislych funkcı na intervalu I = R.

Resenı. Ulohu resıme podobne jako v Prıkladu 7. Sestavıme wronskian

W (x) = W(eλ1x, eλ2x, . . . , eλkx

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣eλ1x eλ2x . . . eλkx

λ1eλ1x λ2e

λ2x . . . λkeλkx

. . . . . . . . . . . .λk−1

1 eλ1x λk−12 eλ2x . . . λk−1

k eλkx

∣∣∣∣∣∣∣∣a najdeme jeho hodnotu, naprıklad, v bode x = 0, tj. vypocıtame

W (0) =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 . . . 1λ1 λ2 . . . λk

. . . . . . . . . . . .λk−1

1 λk−12 . . . λk−1

k

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Prave tento determinant se nazyva Vandermondovym determinantem.

Pripomenme jeste, ze predchozı prıpad je specialnım prıpadem nası ulohy. Odpoved’uvadıme pro vsechny kategorie resitelu (postup je uveden, naprıklad, v knize [10]).Hodnota determinantu je:

W (0) =∏

1≤i<j≤k

(λj − λi).

Protoze podle predpokladu nemuze byt zadny z rozdılu cısel nulovy, platı W (0) 6= 0.

Pan Hodny, vas hodny pruvodce studiem: Vandermonduv determinantje jeden z vyznacnych determinantu, hodnotu ktereho lze vypocıtat. Nenı to alejednoduche. Muze to pro vas byt vyzvou, pokusit se treba behem vıkendove ,,necinnosti“ho pokorit. Jedna se o ulohu typu rekreacnı matematiky a hodne bude zalezet navasem duvtipu.

1.6 Wronskian systemu resenı rovnice (1.3)

V procesu vyuzitı wronskianu nynı nastava kvalitativnı skok. Nebudeme jiz vyuzıvatwronskian ke zkoumanı linearnı nezavislosti libovolneho systemu funkcı. Nynı budeme


predpokladat, ze zkoumane systemy funkcı jsou resenımi linearnı homogennı rovnicen-teho radu (1.3), tedy rovnice

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0.

Teprve pri zkoumanı takovych systemu resenı nabyva wronskian nove diagnostikacnısıly a dava jednoznacnou odpoved’ na otazku, zdali je nebo nenı dany system resenılinearne zavisly nebo linearne nezavisly na intervalu I. Pak tedy platı tvrzenı opacnek prvnımu tvrzenı Vety 3.

Veta 4. Je-li na intervalu I dan system resenı

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

rovnice (1.3), pak je tento system linearne nezavislym systemem resenı tehdy a jentehdy, kdyz

W (x) = W (y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) 6= 0

pro kazde x ∈ I.

Dukaz. Prvnı cast vety je dusledkem predchazejıcı Vety 3. Druha cast proverkyje zajımavym zurocenım tvrzenı vety o jednoznacnosti resenı pocatecnı ulohy (vizVeta 1) a proverı vasi schopnost logicke dedukce. Opet se, kvuli prehlednosti, omezımena prıpad n = 2, tedy na rovnici druheho radu. Predpokladejme opak toho, co vetauvadı. Tedy predpokladejme, ze W (x1) = 0 pro nekterou hodnotu x1 ∈ I. Ukazeme,ze pak je system dvou resenı linearne zavislym systemem funkcı. Uvazujme systemdvou rovnic

C1y1(x1) + C2y2(x1) = 0,

C1y′1(x1) + C2y

′2(x1) = 0,

(1.20)

vzhledem k neznamym velicinam C1 a C2. Z poznatku o resenı rovnic pak vyplyva,ze system (1.20) ma netrivialnı resenı C1 = C∗

1 , C2 = C∗2 , tj. ma takove resenı, ze obe

dve hodnoty C∗1 , C∗

2 nejsou nulove. Vezmeme tyto hodnoty a uvazujme na intervalu Iresenı rovnice (1.3) urcene nasledujıcı linearnı kombinacı (linearnı kombinace resenıje dle principu superpozice opet resenım - viz Vetu 2):

y(x) ≡ C∗1y1(x) + C∗

2y2(x).

Potom z jednotlivych radku systemu (1.20) vyplyva, ze

y(x1) = C∗1y1(x1) + C∗

2y2(x1) = 0

ay′(t1) = C∗

1y′1(x1) + C∗

2y′2(x1) = 0.

Podle jiz zmınene vety o jednoznacnosti resenı pocatecnı ulohy je resenı y = y(x)rovnice druheho radu urcene pocatecnımi podmınkami

y(x1) = 0, y′(x1) = 0

1.7. POCATECNI PODMINKY 17

jedine. Protoze homogennı linearnı rovnice ma trivialnı (nulove) resenı y = y(x) ≡ 0,je temito podmınkami urceno prave toto resenı a zadne jine. Proto musı na intervaluI platit: y(x) ≡ 0, tj.

C∗1y1(x) + C∗

2y2(x) ≡ 0.

V poslednım vztah vyjadruje linearnı zavislost resenı y1 a y2. Logicky tedy - pokudma byt tento system linearne nezavislym, musı byt jejich wronskian nenulovy provsechny hodnoty x ∈ I. To je spor s nasım vyse uvedenym predpokladem. Tım jetvrzenı prokazano. 2

Okamzitym dusledkem Vety 4 je nasledujıcı tvrzenı.

Dusledek 1. Necht’ je dan na intervalu I system resenı

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

rovnice (1.3). Pak je wronskian W (x) tohoto systemu bud’ identicky nulovy na in-tervalu I, anebo nenı roven nule v zadnem bode x ∈ I.

Pan Hodny, vas hodny pruvodce studiem: Pokud jste si promysleli i tentodusledek, a shledali ho spravny, nezbyva nez vam gratulovat. Preklenuli jste se presvrchol teto problematiky a o uspesnem zvladnutı zbytku modulu jiz ve vasem prıpadenenı nejmensıch pochyb, protoze dalsı konstrukce budou vyuzıvat jiz jen logickych akonstruktivnıch obratu, ktere jsou analogicke vyse uplatnenym.

1.7 Jak volit pocatecnı podmınky, abychom dostali

linearne nezavisla resenı

Poukazme na nektere linearnı prıklady, jimiz jsme se zabyvali, ze zretelem na pocetlinearne nezavislych resenı, ktere jsme v techto prıkladech vyuzili. Pri rozborulinearnı rovnice

y′′ − 4y′ + 4y = 0

v Prıkladu 3 na strane 9 predchozıho modulu se ukazalo, ze jejımi resenımi jedvouparametricka mnozina funkcı

y = (C1 + C2x)e2x.

Fakticky je tato mnozina vytvorena superpozicı (to jest linearnı kombinacı) dvouresenı

y1(x) = e2x, y2(x) = xe2x.

Tato resenı jsou linearne nezavisla, protoze jsou tvorena funkcemi, ktere jsme proverovaliv Prıkladu 6.Podobne pri studiu linearnı rovnice (1.7) v Prıkladu 1 jsme pracovali s jejımi resenımi

u1(x) = e3x, u2(x) = e−3x.


Take tato dve resenı jsou linearne nezavisla, protoze jsou tvorena funkcemi z Prıkla-du 8.Muzeme si polozit otazku, jedna-li se o zakonitost, kterou nynı zformulujeme ponekudobecneji: Linearnı homogennı rovnice n-teho radu ma alespon n-linearne nezavislychresenı. Brzy uvidıme, ze jsme tımto tvrzenım temer vystihli podstatu problematiky.Upresnenı je pouze v tom smyslu, ze techto linearne nezavislych resenı je presnen, tedy ani vıce ani mene. Pro system n-linearne nezavislych resenı byl dokoncezaveden specialnı nazev, kterym je nazvana nasledujıcı pasaz.

Fundamentalnı system resenı homogennı rovnice

V teorii linearnıch homogennıch diferencialnıch rovnic n-teho radu hraje pri kon-strukci obecneho resenı zasadnı roli pojem takzvaneho fundamentalnıho systemuresenı:

Definice 4. prib2[Fundamentalnı system] Predpokladejme, ze system funkcı

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

je systemem linearne nezavislych resenı rovnice (1.3) na intervalu I. Pak tento systemnazyvame fundamentalnım systemem resenı rovnice (1.3) na intervalu I.

Pocatecnı podmınky vytvarejıcı fundamentalnı system

Z Dusledku 1 ihned vyplyva, ze na intervalu I budou fundamentalnı system resenıtvorit, naprıklad, resenı y1, y2, . . . , yn definovana temito pocatecnımi podmınkami

y1(x0)y′1(t0). . .

y(n−1)1 (x0)

=

10. . .0

,

y2(x0)y′2(x0)

. . .

y(n−1)2 (x0)

=

01. . .0

, . . . ,

yn(x0)y′n(x0)

. . .

y(n−1)n (x0)

=

00. . .1

,

kde x0 ∈ I. Vysvetlenı je snadne. Podle Dusledku 1 je wronskian techto resenı vbode x = x0:

W (x0) =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0.

Resenı s takto vybranymi pocatecnımi podmınkami jsou tedy linearne nezavislana celem intervalu I. Podtrhneme jeste, ze tyto pocatecnı podmınky urcujı je-den konkretnı fundamentalnı system. Jina mnozina linearne nezavislych pocatecnıchpodmınek muze urcovat jiny fundamentalnı system. Vsechny fundamentalnı systemymajı nektere zajımave vlastnosti. Nebudeme se jimi ale zabyvat, nebot’ tato prob-lematika jiz vybocuje za omezenı nasich modulu.

1.8. OBECNE RESENI HLDR 19

1.8 Obecne resenı homogennı rovnice

Pristupme k vyvrcholenı teto kapitoly. Je jım tvrzenı o tom, jak vytvorit obecneresenı homogennı rovnice. Hlavnım predmetem teto casti je tedy vyjasnenı struk-tury obecneho resenı linearnı homogennı rovnice n-teho radu (1.3). Nasledujıcı vetaobsahuje prıslusne tvrzenı:

Veta 5. Je-li na intervalu I dan fundamentalnı system resenı

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

rovnice (1.3), pak je jejı obecne resenı (1.3) urcene linearnı kombinacı

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · ·+ Cnyn(x), (1.21)

s libovolnymi konstantami C1, C2, . . . , Cn.

Dukaz. Opet uved’me jen to, co je podstatne. Proto se omezıme na prıpad dvourovnice a polozıme n = 2. Z principu superpozice (Veta 2) vyplyva, ze linearnı kom-binace (1.21) je resenım rovnice (1.3) pro libovolne konstanty. Tedy v nasem prıpade(n = 2) pro libovolne konstanty C1 a C2. To znamena, ze zbyva dokazat opacnetvrzenı, totiz ze kazde dane resenı rovnice (1.3) je obsazeno v mnozine resenı (1.21),ktera ma v nasem prıpade tvar

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x). (1.22)

Jinymi slovy, stacı ukazat, ze pocatecnım podmınkam

y(x0) = b0, y′(x0) = b1, (1.23)

kde x0 ∈ I a b0, b1 jsou libovolne realne konstanty, vyhovuje prave jedno resenımnoziny (1.22). Derivovanım vyrazu (1.22), tj. v nasem prıpade vyrazu

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x),

dostavame vztah

y′(x) = C1y′1(x) + C2y

′2(x).

Dohromady budeme na oba vztahy pohlızet jako na system dvou rovnic vzhledemke koeficientum C1 a C2 a zapıseme je takto:{

C1y1(x) + C2y2(x) = y(x),C1y

′1(x) + C2y

′2(x) = y′(x).

(1.24)

Nynı sem dosad’me pocatecnı hodnotu x = x0 a vyuzijme pocatecnı podmınky (1.23).System (1.24) se zmenı takto:{

C1y1(x0) + C2y2(x0) = b0,C1y

′1(x0) + C2y

′2(x0) = b1.

(1.25)


System (1.25) je systemem dvou linearnıch algebraickych rovnic o dvou neznamychC1 a C2. Podle Vety 4 je hodnota determinantu matice daneho systemu, tj., hodnotawronskianu

W (x0) = W (y1(x0), y2(x0)) 6= 0.

Proto ma uvazovany system (1.25) jedine resenı C1 = C01 , C2 = C0

2 . Vyslednalinearnı kombinace (1.22), tj. kombinace

y(x)u = C01y1(x) + C0

2y2(x) (1.26)

je jedinym resenım pocatecnı ulohy (1.3), (1.23). Tım je nase veta dokazana. 2

1.9 Muze mıt homogennı rovnice vıce linearne

nezavislych resenı nez je jejı rad?

Dusledkem prave zformulovane a dokazane Vety 5 je tvrzenı o maximalnım poctulinearne nezavislych resenı, tj., o maximalnım poctu resenı tvorıcıch fundamentalnısystem. Tento pocer je roven cıslu n.

Dusledek 2. Rovnice (1.3) nemuze mıt na intervalu I vıc nez n linearne nezavislychresenı.

Dukaz. Pokusme se tento dusledek osvetlit. Predpokladejme, ze mame n+1 linearnenezavislych resenı

y1(x), y2(x), . . . , yn(x), yn+1(x) (1.27)

rovnice (1.3) na intervalu I. Pak jsou na intervalu I linearne nezavisla taky resenı

y1(x), y2(x), . . . , yn(x). (1.28)

Podle predchozı Vety 5 musı pro nektere vhodne konstanty

C1 = C∗1 , C2 = C∗

2 , . . . , Cn = C∗n

na intervalu I platit

yn+1(x) = C∗1y1(x) + C∗

2y2(x) + · · ·+ C∗nyn(x).

Tento vztah ale vyjadruje, ze resenı yn+1(x) je linearnı kombinacı resenı systemu (1.28).Proto je system resenı (1.27) systemem linearne zavislych resenı. 2

Poznamka 1. Poznamenejme, ze z Vety 5 vyplyva, ze resenı rovnice n-teho radu (1.3)tvorı na intervalu I vektorovy prostor dimenze n, jehoz bazı je libovolny funda-mentalnı system resenı.

1.10. OBECNE RESENI NHLDR 21

1.10 Obecne resenı nehomogennı rovnice

Zbyva jeste osvetlit strukturu resenı linearnı nehomogennı rovnice n-teho radu. To jeprovedeno v nasledujıcım tvrzenı, ktere rıka, ze obecne resenı linearnı nehomogennırovnice n-teho radu je rovno souctu obecneho resenı asociovane homogennı rovnicea nektereho partikularnıho resenı nehomogennı rovnice.

Veta 6. Je-li na intervalu I system resenı

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

rovnice (1.3) fundamentalnım systemem a je-li yp(x) nektere partikularnı resenırovnice (1.2) na I, pak je obecne resenı rovnice (1.2) dane linearnı kombinacı

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · ·+ Cnyn(x) + yp(x), (1.29)

kde C1, C2, . . . , Cn jsou libovolne konstanty.

Dukaz. Dukaz provedeme pro n = 2 podobne jako v predchozı Vete 5. Z principusuperpozice (Veta 2) vyplyva, ze vyraz (1.29), tj. v nasem prıpade vyraz

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yp(x), (1.30)

je resenım rovnice (1.2) pro libovolne konstanty C1 a C2. Zbyva dokazat, ze pocatecnımpodmınkam (1.23) vyhovuje prave jedno resenı mnoziny (1.30). Derivovanım vz-tahu (1.30) dostaneme

y′(x) = C1y′1(x) + C2y

′2(x) + y′p(x).

Dohromady budeme na oba vztahy pohlızet jako na system dvou rovnic vzhledemke koeficientum C1 a C2 a zapıseme je takto:{

C1y1(x) + C2y2(x) = y(x)− yp(x),C1y

′1(x) + C2y

′2(x) = y′(x)− y′p(x).

(1.31)

Nynı sem dosad’me pocatecnı hodnotu x = x0 a vyuzijme pocatecnı podmınky (1.23).System (1.31) se zmenı takto:{

C1y1(x0) + C2y2(x0) = b0 − yp(x0),C1y

′1(x0) + C2y

′2(x0) = b1 − y′p(x0).

(1.32)

System (1.32) je systemem dvou linearnıch algebraickych rovnic o dvou neznamychC1 a C2. Tento system ma jedine resenı vzhledem ke koeficientum: C∗∗

1 a C∗∗2 , protoze

wronskian W (x0) = W (y1(x0), y2(x0)) 6= 0. Pak je prıslusna funkce dana vzta-hem (1.30), tj., funkce

y(x) = C∗∗1 y1(x) + C∗∗

2 y2(x) + yp(x),

jedinym resenım ulohy (1.2) s n = 2, (1.23). 2


1.11 Rovnice y(n) = f (x)

Uvazujme nynı na intervalu I diferencialnı rovnici n-teho radu

y(n) = f(x) (1.33)

se spojitou funkcı f . Jde o velmi specialnı prıpad linearnı nehomogennı diferencialnırovnice n-teho radu, ktere jsme v teto casti probırali. Rovnici (1.33) muzeme inte-grovat vzhledem k jejı jednoduchosti bud’ prımo, nebo muzeme ilustrovat vylozenouteorii. Zvolıme druhou variantu. (V dalsıch castech modulu budou probırany linearnırovnice s konstantnımi koeficienty. Zpusob resenı, ktery bude ukazan lze pro resenırovnice (1.33) vyuzıt tez.)

Obecne resenı homogennı rovnice y(n) = 0

V souladu s obecnou teorii linearnıch rovnice je obecne resenı nehomogennı rovnice (1.33)tvoreno souctem asociovane homogennı rovnice

y(n) = 0 (1.34)

a nektereho partikularnıho resenı yp(x) rovnice (1.33). Protoze y(n) =(y(n−1)

)′,

muzeme rovnici (1.34) prepsat ve tvaru(y(n−1)

)′= 0,

odkud integracı dostavamey(n−1) = C1,

kde C1 je libovolna konstanta. Podobny postup v dalsıch krocıch dava

y(n−2) = C1x + C2,

y(n−3) =C1

2x2 + C2x + C3,

. . .

y′ =C1

(n− 2)!xn−2 +

C2

(n− 3)!xn−3 +

C3

(n− 4)!xn−4 + · · ·+ Cn−1,

y =C1

(n− 1)!xn−1 +

C2

(n− 2)!xn−2 +

C3

(n− 3)!xn−3 + · · ·+ Cn−1x + Cn,

kde C1, C2, . . . , Cn jsou libovolne konstanty. Poslednı vztah obsahuje vsechna resenırovnice (1.34) a je tedy obecnym resenım homogennı rovnice (1.34). Volbou novychlibovolnych konstant

D1 =C1

(n− 1)!, D2 =

C2

(n− 2)!, D3 =

C3

(n− 3)!, . . . , Dn−1 = Cn−1, Dn = Cn

lze obecne resenı prepsat ve tvaru

y = D1xn−1 + D2x

n−2 + D3xn−3 + · · ·+ Dn−1x + Dn.

1.11. LDR S PRAVOU STRANOU NEZAVISLOU NA RESENI 23

Partikularnı resenı nehomogennı rovnice

Najdeme nynı partikularnı resenı nehomogennı rovnice

y(n)p = f(x). (1.35)

Budeme postupovat podobne jako v predchozı casti. Pritom se domluvıme, ze uneurcitych integralu nebudeme psat integracnı konstanty, protoze nas zajıma pouzejedno partikularnı resenı. Dostavame(

y(n−1)p

)′= f(x),

odkud integracı

y(n−1)p =

∫f(x)dx.

Podobny postup v dalsıch krocıch dava

y(n−2)p =

∫∫f(x)dxdx,

y(n−3)p =

∫∫∫f(x)dxdxdx,

. . .

y′p =

∫∫· · ·∫

︸︷︷︸(n−1)-krat

f(x) dxdx . . . dx︸︷︷︸(n−1)-krat

,

yp =

∫∫· · ·∫

︸︷︷︸n-krat

f(x) dxdx . . . dx︸︷︷︸n-krat

.

Obecne resenı

Napisme vysledek - obecne resenı nehomogennı rovnice (1.33) je rovno souctu obecnehoresenı asociovane homogennı rovnice (1.34) a partikularnıho resenı yp(x) nehomogennırovnice (1.35), tj.

y(x) = D1xn−1 +D2x

n−2 +D3xn−3 + · · ·+Dn−1x+Dn +

∫∫· · ·∫

︸︷︷︸n-krat

f(x) dxdx . . . dx︸︷︷︸n-krat

,

kde D1, D2, . . . , Dn jsou libovolne konstanty.

Prıklad

Najdeme resenı pocatecnı ulohy{y′′ = xe−x,

y(0) = 1, y′(0) = 0.(1.36)


Resenı. Nejprve najdeme obecne resenı nehomogennı rovnice

y′′ = xe−x.

Obecne resenı odpovıdajıcı asociovane homogennı rovnici y′′ = 0 ma tvar

y(x) = D1x + D2,

kde D1 a D2 jsou libovolne konstanty. Najdeme partikularnı resenı nehomogennırovnice. Procvicte si metodu integrace po castech na nasledujıcıch dvou inegralech.Prvnı integracı metodou per partes dostaneme (integracnı konstanty v souladu spredchozım postupem nebudeme zapisovat)

y′ =

∫xe−xdx = −xe−x − e−x.

Dalsı integrovanı per partes vede k vysledku

y =

∫(−xe−x − e−x + C1) dx = xe−x + 2e−x.

Obecne resenı nehomogennı rovnice ma tvar

y = D1x + D2 + (x + 2)e−x.

Nakonec pouzijeme pocatecnı podmınky. Pouzitı prvnı z nich dava:

y(0) = 1 = D2 + 2,

odkud mame D2 = −2. Pouzijeme druhou pocatecnı podmınku. Nejprve nalezame

y′ = D1 − xe−x − e−x,

a po dosazenı dostaneme

y′(0) = 0 = D1 − 1,

odkud D1 = 1. Resenım pocatecnı ulohy je funkce

y = (x + 2)e−x + x− 1.

Pruhyb nosnıku

Uved’me jeste jednu aplikaci ze stavebnictvı.

1.11. LDR S PRAVOU STRANOU NEZAVISLOU NA RESENI 25

Prıklad 9. Pruhyb homogennıho nosnıku (naprıklad tramu tvaru pravouhleho hra-nolu) je casto modelovan diferencialnı rovnicı ctvrteho radu

EIy(4) = w(x), (1.37)

kde E je Younguv modul pruznosti, I je moment setrvacnost prurezu tramu vzhle-dem k neutralnı ose, y(x) je staticky pruhyb tramu v bode x a w(x) je zatızenı tramuvztazene na jednotku delky. Predpokladejme, ze tram ma delku L, je ve vodorovnepoloze a je na koncıch pevne uchycen. Dale predpokladejme, ze zatızenı w(x) jekonstantnı, tj. ze w(x) ≡ w0. Najdete funkci popisujıcı staticky pruhyb tramu.

Resenı. V teto uloze vyuzijeme podmınky, ktere nejsou ryze pocatecnı. Rıkamejim okrajove podmınky. Pruhyb tramu vyhovuje temto podmınkam:

y(0) = 0, y′(0) = 0, y(L) = 0, y′(L) = 0.

Podmınky y(0) = 0, y(L) = 0 vyjadrujı, ze tram je na koncıch pevne uchycen.Podmınky y′(0) = 0, y′(L) = 0 vyjadrujı, ze tram je na koncıch v horizontalnıpoloze. Prepisme rovnici (1.37) na tvar

y(4) =w0

EI. (1.38)

Obecne resenı rovnice (1.38) je

y(x) = D1x3 + D2x

2 + D3x + D4 +

∫∫∫∫w0

EIdxdxdxdx

= D1x3 + D2x

2 + D3x + D4 +w0

24EI· x4,

kde D1, D2, . . . , Dn jsou libovolne konstanty. Vyuzitım prvnı podmınky dostavame

y(0) = 0 = D4.

Potom

y′(x) = 3D1x2 + 2D2x + D3 +

w0

6EI· x3,

a vyuzitı druhe podmınky dava

y′(0) = 0 = D3.

Pouzitı zbyvajıcıch dvou podmınek vede k rovnicım:

y(L) = 0 = D1L3 + D2L

2 +w0

24EI· L4,

y′(L) = 0 = 3D1L2 + 2D2L +

w0

6EI· L3,


Resenı teto soustavy vede k hodnotam

D1 = − w0L

12EI, D2 =

w0L2

24EI.

Pruhyb tramu je urcen krivkou

y(x) = − w0L

12EI· x3 +

w0L2

24EI· x2 +

w0

24EI· x4 =

w0

24EI· x2(x− L)2.

Rada dalsıch prıkladu, ukazujıcıch aplikace diferencialnıch rovnic ve stavebnictvı, jeobsazena ve skriptu [8].

1.12 Snızenı radu homogennı rovnice

Tuto kapitolu zakoncıme navodem, jak je mozne snızit rad homogennı linearnırovnice za predpokladu, ze zname nejake jejı (nenulove) partikularnı resenı y =y∗(x). Uvahy provadıme na nekterem intervalu na intervalu I. Ukazeme, ze v tomtoprıpade lze rad rovnice o jednicku snızit, tj., ze lze rovnici n-teho radu (1.3) prevestna homogennı linearnı rovnici radu n−1. Pro vetsı srozumitelnost budeme uvazovatjen rovnice radu druheho n = 2, tedy rovnici

y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0. (1.39)

Zaved’me substituci

y(x) = y∗(x) · z(x), (1.40)

kde z je nova hledana funkce. Potom derivovanım vztahu (1.40) dostavame

y′(x) = y′∗(x) · z(x) + y∗(x) · z′(x),

y′′(x) = y′′∗(x) · z(x) + 2y′∗(x) · z′(x) + y∗(x) · z′′(x).

Po dosazenı do rovnice (1.39) dostaneme novou rovnici

y∗(x) · z′′ + (a1(x)y∗(x) + 2y′∗(x))z′ + (y′′∗(x) + a1(x)y′∗(x) + a0(x)y∗(x)) · z(t) = 0.

Podle naseho predpokladu je funkce y∗(x) nenulovym resenım rovnice (1.39). Platıtedy

y′′∗(x) + a1(x)y′∗(x) + a0(x)y∗(x) ≡ 0

a nova rovnice ma tvar

y∗(x) · z′′ + (a1(x)y∗(x) + 2y′∗(x))z′ = 0.

Zavedeme-li novou promennou w(t) predpisem

w(x) = z′(x),

1.12. SNIZENI RADU HOMOGENNI ROVNICE 27

dostavame nakonec vysledny tvar homogennı linearnı rovnice prvnıho radu:

w′(x) +(a1(x)y∗(x) + 2y′∗(x))

y∗(x)w(x) = 0. (1.41)

Ke stejnemu vysledku bychom dospeli pomocı jedne substituce tvaru

y(x) = y∗(x)

∫w(x)dx, (1.42)

kde nebereme do uvahy integracnı konstantu v integralu. Rovnice (1.41) je linearnırovnicı prvnıho radu, kterou umıme resit (viz cast ??). Zamyslete se nad tım kjakym zmenam dojde v prıpade, ze metodu pouzijeme k rovnicım radu vyssıho nezdruheho.

Prıklad 10. Najdete obecne resenı rovnice

y′′ − 2

xy′ +

2

x2y = 0 (1.43)

na intervalu I = (−∞, 0), vıte-li ze jeho partikularnım resenım je funkce y∗(x) = x.

Resenı. V rovnici (1.43) pouzijeme substituci (1.42), tj. substituci

y(x) = x

∫w(x)dx. (1.44)

Potom

y′(x) =

∫w(x)dx + xw(x), y′′(x) = 2w(x) + xw′(x).

Po dosazenı do rovnice (1.43) dostavame linearnı rovnici

2w(x) + xw′′(x)− 2

x

(xw(x) +

∫w(x)dx

)+

2

x2· x∫

w(x)dx = 0,

tj., rovnicixw′(x) = 0 neboli rovnici w′(x) = 0,

ktera ma obecne resenıw(x) = C1

s libovolnou konstantou C1. Uzitım (1.44) mame

y(x) = x

∫w(x)dx = C1x

2 + C2x,

kde C1 a C2 jsou libovolne konstanty.


Kapitola 2

Homogennı linearnı diferencialnırovnice s konstantnımi koeficienty

Tato cast je venovana problematice nalezenı obecneho resenı linearnıch diferencialnıchrovnic s konstantnımi koeficienty. Z teoretickeho pohledu jiz nic noveho neprinası,protoze otazky struktury resenı byly vyreseny v Kapitole 1. Z praktickeho pohleduje vsak tato kapitolka (a take ta nasledujıcı) nesmırne uzitecna. Dava praktickynavod, jak obecne resenı sestavit. Nası odmenou za cas straveny nad temito modulymuze byt uspokojenı z uzitecnosti cele problematiky a z pruhlednosti celeho pos-tupu sestavenı obecneho resenı. Abychom tedy byli konkretnı. Budeme se zabyvatkonstrukcı obecneho resenı linearnı homogennı rovnice n-teho radu s konstantnımikoeficienty. Linearnı diferencialnı homogennı rovnicı n-teho radu s konstantnımi ko-eficienty nazyvame rovnici (1.3) ve ktere jsou mısto funkcı an−1(t), . . . , a1(t), a0(t)konstanty. Budeme tedy uvazovat rovnici

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = 0, (2.1)

kde an−1, . . . , a1, a0 jsou realna cısla. Protoze v rovnici (2.1) nejsou zadne funkce,ktere by nejakym zpusobem zuzovaly definicnı obor, budou vsechny nase uvahyplatit na cele oboru realnych cısel a muzeme polozit I = R.

Cıl:Po prostudovanı teto kapitoly by kazdy mel:

• rozpoznat to, cemu budeme rıkat homogennı linearnı diferencialnı rovnice skonstantnımi koeficienty;

• umet nalezt obecne resenı takoveto rovnice.

29

30 KAPITOLA 2. HOMOGENNI LDR S KONSTANTNIMI KOEFICIENTY

Pan Prısny, vas prısny pruvodce studiem: V nasledujıcı casti budemehodne pracovat s korenovymi vlastnostmi polynomu s realnymi koeficienty jednepromenne. Pred vlastnım studiem teto kapitoly nejprve v oboru komplexnıch cıselvyreste nasledujıcı algebraicke rovnice, urcene nasobnost korenu danych rovnic aproved’te zkousku spravnosti resenı:

1) λ2 − 4λ + 3 = 0, 2) λ2 + 2λ + 1 = 0, 3) λ2 + 4 = 0,4) λ3 + λ = 0, 5) λ3 − 6λ2 + 11λ− 6 = 0, 6) λ4 − 1 = 0,7) λ4 + 4 = 0, 8) λ4 + 8λ2 + 16 = 0, 9) λ5 + λ3 = 0.

2.1 Exponencialnı tvar resenı linearnı homogennı

rovnice s konstantnımi koeficienty,

charakteristicka rovnice

Obecna teorie pro linearnı diferencialnı rovnice musı platit i pro rovnici (2.1). Jakale najıt jejı fundamentalnı system resenı? Vzpomınate si na vyznacnou vlastnostexponencialnı funkce y = ex? Ano, je to vysledek jejıho derivovanı, ktery je identickys puvodnı funkcı. A jake derivace ma funkce jen o neco malo slozitejsı - funkcey(x) = eλx, kde λ je nejake nenulove cıslo (treba i komplexnı)? I to je jednoduchaotazka. Derivace takove funkce jsou:

y(x) = eλx, y′(x) = λeλx, y′′(x) = λ2eλx, . . . , , y(n)(x) = λneλx.

Zkusme hledat nektere resenı rovnice (2.1) prave v exponencialnım tvaru, tj. vetvaru funkce y(x) = eλx, kde λ = const je prozatım neznamy koeficient. Dosazenımexponencialnıho tvaru

y(x) = eλx, λ = const (2.2)

do uvazovane rovnice (2.1) dostavame (z kazdeho vyrazu vytkneme funkci eλx)

(λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ + a0)e

λx = 0.

Charakteristicka rovnice

Vzhledem k dulezitosti pojmu, ktery nynı zavedeme jsme si dovolili vlozit do textumezititulek. Pokracujme v nasich uvahach dale. Exponencialnı funkce eλx nenı nikdyrovna nule. Proto muzeme touto funkcı kratit. Pak dostavame vztah - rovnici vzh-ledem ke hledanemu koeficientu λ

λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ + a0 = 0. (2.3)

Rovnice (2.3) je polynomialnı rovnicı n-teho radu. Je pro ni uzıvan nazev charak-teristicka rovnice, odpovıdajıcı rovnici (2.1). Mnohoclen (polynom) v leve stranerovnice (2.3) nazyvame charakteristicky polynom a budeme pro nej uzıvat znacenı

p(λ) := λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ + a0. (2.4)

2.1. EXPONENCIALNI TVAR RESENI 31

Tzv. hlavnı vetu algebry jsme se jiz v nasich modulech pripomenuli (viz Prıklad 6na strane 11). Proto nynı muzeme rıci, ze rovnice (2.3) ma celkem n korenu (pritomkazdy koren pocıtame tolikrat, jaka je jeho nasobnost). Koreny charakteristickerovnice (2.3) jsou casto nazyvany charakteristickymi koreny. Dale muzeme rıci, zejsme jiz nasli resenı rovnice (2.1) v exponencialnım tvaru (2.2)? Kazdy koren

λ1, λ2, . . . , λn (2.5)

(nynı je kazdy koren vypsan tolikrat jaka je jeho nasobnost) rovnice (2.3) skutecneurcuje nektere resenı diferencialnı rovnice (2.1) v predpokladanem exponencialnımtvaru, tj. kazda funkce

yj(x) = eλjx, j = 1, 2, . . . , n. (2.6)

je resenım diferencialnı rovnice (2.1).

Je jiz nalezen fundamentalnı system resenı?

Logicka otazka nynı je - tvorı n exponencialnıch funkcı uvedenych v predpisu (2.6)fundamentalnı systeme resenı diferencialnı rovnice (2.1)? Pokud bedlive sledujetetento vyklad odpovıte asi vyhybave - pravdepodobne ne vzdy je tento system systememfundamentalnım. A zrejme tuto odpoved’ zduvodnıte poukazem na koreny charak-teristicke rovnice, ktere mohou byt nasobne. Skutecne je to tak. Pokud jsou korenynasobne, pak se v seznamu funkcı (2.6) musı objevit funkce, ktere jsou stejne. Vzh-ledem k linearite rovnice (2.1) je kazda linearnı kombinace techto resenı

y(x) = C1eλ1x + C2e

λ2x + · · ·+ Cneλnx (2.7)

s konstantami C1, C2, . . . , Cn take nekterym resenım. Tak jsme zıskali resenı difer-encialnı rovnice (2.1) s celkovym poctem n libovolnych parametru. Bohuzel vsak vteto linearnı kombinaci je pouze tolik linearne nezavislych exponencialnıch funkcı,kolik je ruznych korenu ve vyctu (2.5). Pokud jsou vsak vsechny koreny ve vyctukorenu (2.5) navzajem ruzne, tj. pokud jsou navzajem ruzne koreny charakteri-sticke rovnice (2.3), pak nenı problemem se presvedcit, ze system resenı diferencialnırovnice (2.1)

y1(x) := eλ1x, y2(x) := eλ2x, . . . , yn(x) := eλnx

je fundamentamentalnım systemem resenı. Overenı tohoto tvrzenı je snadne. Proved’teho samostatne na zaklade vysledku Prıkladu 8 na strane 15.

Jak doplnit system resenı, aby byl fundamentalnım?

Jak ale postupovat v prıpade, kdyz ma charakteristicka rovnice (2.3) nasobne koreny?Predpokladejme, naprıklad, ze existuje s ruznych korenu

λ1, λ2, . . . , λs


charakteristicke rovnice (2.3), kde s < n . V tomto prıpade lze vztah (2.7) zapsatpouze s pomocı s libovolnych konstant a proto tento vztah nenı obecnym resenımdiferencialnı rovnice (2.1). Problem doplnenı systemu na fundamentalnı budeme resitpostupne a pouzijeme pritom zjednodusujıcıho zapisu diferencialnı rovnice (2.1) po-mocı symbolu, kterym rıkame symbolicke operatory. Nynı ale ukazeme jaka dalsıresenı mohou vznikat. V nasledujıcım prıkladu je v prıpade nasobneho korene charak-teristicke rovnice ukazan tvar dalsıho resenı, linearne nezavisleho s exponencialnımtvarem (2.2). Teoreticky vyklad teto konstrukce je dan v nasledujıcı casti. V uve-denem prıkladu jsou dalsı resenı, odlisna od vychozıho exponencialnıho tvaru ,,uhod-nuta“.

Prıklad 11. Zkonstruujte obecne resenı rovnice tretıho radu

y′′′ − 2y′′ + 4y′ − 8y = 0. (2.8)

Resenı. Charakteristicka rovnice, odpovıdajıcı diferencialnı rovnici (2.8) je

λ3 − 2λ2 + 4λ− 8 = (λ− 2)3 = 0

a ma trojnasobny realny koren λ1,2,3 = 2. Snadno overıme, ze krome expo-nencialnıho resenı (2.2), tj., krome resenı y1(x) = e2x existujı dalsı dve, linearnenezavisla resenı, y2(x) = xe2x a y3(x) = x2e2x. Venujte chvilku samostatnemuproverenı tohoto tvrzenı! Tato tri resenı tvorı fundamentalnı system resenı. Protoje obecne resenı vyjadreno vztahem

y(x) = C1ex + C2xe2x + C3x

2e2x,

kde C1, C2 a C3 jsou libovolne konstanty.

Pan Hodny, vas hodny pruvodce studiem: Porovnejte tuto situaci s dalsımiprıklady, ktere jsme jiz resili (viz Prıklad 1 na 5. strane a Prıklad 3 na 9. stranepredchozıho modulu Obycejne diferencialnı rovnice 1).

2.2 Uzitecnı pomocnıci - symbolicke operatory

Prave reseny Prıklad 11 ukazuje na obecnou situace ve vytvarenı fundamentalnımnoziny resenı. Abychom obecnou situaci zvladli budeme potrebovat pomoc - veforme tzv. pomocnych operatoru.

2.2. SYMBOLICKE OPERATORY 33

Zavedenı diferencialnıho operatoru

V matematice je derivace casto znacena pısmenem D. Tım mınıme, ze mısto symboluderivovanı muzeme psat pouze

dy

dx= Dy.

Symbol D nazyvame symbolicky diferencialnı operator. Jeho cinnost je stejnajako operace derivovanı. Casto take pouze schematicky pıseme

D :=d

dx.

Tento zapis vystihuje jen to, co operator dela. Vyzkousejme, zdali jste cinnostoperatoru pochopili. Proverte, ze

D(e8x) = 8e8x, D(sin 5x) = 5 cos 5, D(3x7 − ln x) = 21x6 − 1

x.

Spravne! Vidıme, ze diferencialnı operator je jen jinym zapisem derivace. Proto,podle znamych vzorcu pro derivovanı, bude platit

D(af(x) + bg(x)) = aDf(x) + bDg(x),

kde a a b jsou konstanty a f(x) a g(x) jsou funkce Vzhledem k teto vlastnosti rıkame,ze diferencialnı operator je linearnı.

Derivace vyssıch radu s pomocı diferencialnıho operatoru

Co bude znamenat zapis D2? Vyznam tohoto symbolu spocıva ve dvojnasobnempouzitı diferencialnıho operatoru a je tedy zkratkou pro operaci nalezenı druhederivace:

D2y = D(Dy) = D(y′) = y′′.

O symbolu D2 hovorıme jako o druhe mocnine operatoru D. Podobne pro derivacik=teho radu uzıvame operator Dk a hovorıme o k-te mocnine operatoru D. Mınımetım:

Dky = D(Dk−1y) = D(y(k−1)) = y(k).

Pro uplnost a spravne definovanı dalsıch vyrazu jeste nadefinujeme operator, kteremurıkame identicky I a jehoz cinnost je charakterizovana tım, ze objekty na kterepusobı nechava beze zmeny. Mohli bychom rıci, ze se jedna o diferencialnı operatornuloveho radu a definovat D0 := I. Tedy, naprıklad,

Iy = y, I(x5 − 6) = x5 − 6.

Diferencialnı operator muzeme kombinovat a vytvaret linearnı operatory, napr. (D−5I), (D3 + 2D + 4I) jsou linearnı operatory, ktere pusobı na dane vyrazy takto:

(D−5I)u = u′−5u, (D3+2D2+4I) cos x = sin x−2 cos x+4 cos x = sin x+2 cos x.


Jak pracujeme se s diferencialnımi operatory?

S diferencialnım operatorem D, s jeho mocninami a s identickym operatorem Ipocıtame podobne jako s polynomy. Vysvetleme to na prıkladu operatoru D2 − I.Jeho pusobenı bude zrejme. Platı naprıklad

(D2 − I)x2 = D2x2 − Ix2 = 2− x2.

Chovejme se tedy k vyrazum, obsahujıcımi diferencialnı operatory podobne jako kpolynomialnım vyrazum. Pak muzeme napsat tento rozklad:

D2 − I = (D − I)(D + I),

protoze platı

(D−I)(D+I) = (D−I)D+(D−I)I = DD−ID+DI−II) = D2−D+D−I = D2−I.

Presvedcıme se, ze poslednı rozklad pusobı na dany vyraz stejne jako puvodnı nero-zlozeny polynomialnı operator (nejprve pusobı pravy vyraz a pak levy vyraz), tj.:

(D−I)(D+I)x2 = (D−I)[(D+I)x2] = (D−I)(2x+x2) = 2+2x−2x−x2 = 2−x2.

Navıc lze ukazat, ze vyrazy v rozkladu komutujı. Tedy, je-li dan rozklad difer-encialnıho operatoru na soucin diferencialnıch operatoru, pak muzeme poradı jed-notlivych soucinitelu libovolne menit. V nasem prıpade platı

D2 − I = (D − I)(D + I) = (D + I)(D − I).

Proverme jeste toto poslednı tvrzenı na stejnem prıkladu:

(D+I)(D−I)x2 = (D+I)[(D−I)x2] = (D+I)(2x−x2) = 2−2x+2x−x2 = 2−x2.

Na zaklade uvedenych zduvodnenı lze zapsat homogennı linearnı diferencialnı rovnicin-teho radu (2.1) v operatorove podobe. Proto definujeme operator, ktery tutorovnici kopıruje. Nazyva se

Symbolicky polynomialnı operator

Jeho definice je nasledujıcı. Symbolicky polynomialnı operator p(D) vzhledemk operatoru D je definovany predpisem:

p(D) := Dn + an−1Dn−1 + · · ·+ a1D + a0I,

kde I je identicky operator. Potom pro kazdou funkci y = y(x), ktera ma n derivacı,je

p(D)y = Dny + an−1Dn−1y + · · ·+ a1Dy + a0Iy.

Dale predpokladejme, ze uvazovane funkce majı tolik derivacı, kolik jich budeme privypoctech potrebovat.

2.2. SYMBOLICKE OPERATORY 35

Jak zapsat homogennı rovnici pomocı symbolickeho poly-nomialnıho operatoru?

Nynı se muzeme snadno presvedcit, ze pomocı definovanych operatoru lze zapsathomogennı rovnici (2.1) jednoduchym vztahem

p(D)y = 0. (2.9)

Vlastnosti symbolickych polynomialnıch operatoru

Zrekapitulujme a zobecneme vlastnosti o diferencialnıch operatorech a o symbol-ickych polynomialnıch operatorech, ktere jsme jiz uvedli v predchozım textu. Zakladnıvlastnostı symbolickeho polynomialnıho operatoru p(D) je jeho linearita. Definu-jme soucet a nasobenı dvou polynomialnıch operatoru p(D) a q(D), kde

q(D) := Dm + bm−1Dm−1 + · · ·+ b1D + b0I

a bm−1, . . . , b1, b0 jsou konstanty, jako nove vznikle polynomialnı symbolicke operatorys konstantnımi koeficienty, pomocı predpisu pro soucet

[p(D) + q(D)]y := p(D)y + q(D)y

a pro soucin

[p(D)q(D)]y := p(D)[q(D)]y.

Nasledujıcı veta shrnuje nektere vlastnosti polynomialnıch operatoru, ktere budoudale pouzity.

Veta 1. Necht’ R(λ) a S(λ) jsou obycejne polynomy definovane predpisy

R(λ) := p(λ) + q(λ), S(λ) := p(λ)q(λ).

Potom pro soucet polynomialnıch operatoru platı:

p(D) + q(D) = R(D)

a pro jejich soucin:

p(D)q(D) = S(D).

Overenı platnosti tohoto tvrzenı nebudeme provadet. Je vsak jednoduche a a spocıvav porovnanı vyrazu na levych a pravych stranach danych vztahu. Pokuste se vsakpromyslet, jak byste pri overenı postupovali. Z uvedenych vlastnostı polynomialnıchoperatoru take vyplyva, ze soucet a nasobenı polynomialnıch operatoru (zavisejıcıchna D) je asociativnı, komutativnı a distributivnı. Proto tedy platı to, co jsme jiz naprıkladu provadeli - symbolicky polynomialnı operator lze rozlozit stejnym zpusobemjako normalnı polynom. Tento zaver hned pouzijeme.


Rozklad symbolickeho polynomialnıho operatoru, prıslusejıcıhohomogennı rovnici

Predpokladejme, ze koreny charakteristicke rovnice (2.3), tj. koreny rovnice p(λ) =0, kde polynom p(λ) je definovan vztahem (2.4), jsou cısla

λ1, λ2, . . . , λn

(ktera nemusı byt vsechna navzajem ruzna). Pak platı

p(λ) = (λ− λ1)(λ− λ2) . . . (λ− λn)

a taktez (v souladu s vyse uvedenymi vlastnostmi symbolickeho polynomialnıhooperatoru) platı

p(D) = (D − λ1I)(D − λ2I) . . . (D − λnI).

2.3 Obecne resenı homogennı rovnice s konstantnımi

koeficienty

V teto casti uvedeme prvnı variantu konstrukce funkcı, tvorıcıch fundamentalnısystem resenı homogennı rovnice (2.1). Vyhodou teto varianty je jednodussı for-mulace vysledku. Nevyhodou je, ze resenı mohou byt komplexnımi funkcemi. Tutonevyhodu v dalsı casti odstranıme, formulace vysledku pak bude o neco tezkopadnejsı.

Jake funkce mohou byt resenımi homogennı rovnice?

Ukazeme, jake funkce jsou anulovany (tj. vynulovany nebo agresivneji receno ,,znice-ny“) symbolickym polynomialnım operatorem v prıpade, ze se nejedna o ciste ex-ponencialy a mohou tedy slouzit jako resenı homogennıch diferencialnıch rovnic.Nektere resene prıklady nam tvary techto funkcı napovedely (viz treba Prıklad 11)Jinymi slovy - ukazeme mozne tvary resenı homogennı rovnice (2.1) v (zejmena)prıpade nasobnych korenu charakteristicke rovnice. Tvrzenı o tvaru techto funkcısformujeme jako nasledujıcı lemmu a provedeme overenı jejı spravnosti. Uzity sym-bol λ ∈ C znacı, ze cıslo λ je v obecnem prıpade komplexnı.

Lemma 1. Predpokladejme, ze λ ∈ C a ze m je cele kladne cıslo. Pak pro kazdex ∈ R a kazde k = 0, 1, . . . ,m− 1 platı

(D − λI)m(xkeλx

)= 0.

Dukaz. Nezavisle na tom, je-li cıslo λ realne nebo komplexnı platı

(D − λI)(xkeλx

)= kxk−1eλx + λxkeλx − λxkeλx = kxk−1eλx.

2.3. OBECNE RESENI HOMOGENNI ROVNICE 37

Prave zıskany vztah muzeme aplikovat k vypoctu vyrazu

(D−λI)2(xkeλx

)= (D−λI)

(kxk−1eλx

)= k(D−λI)

(xk−1eλx

)= k(k−1)xk−2eλx.

Tak muzeme pokracovat dale:

(D − λI)3(xkeλx

)= k(k − 1)(k − 2)xk−3eλx

az po k-krocıch dostaneme

(D − λI)k(xkeλx

)= k! eλx.

V prıpade pokracovanı dostaneme

(D − λI)k+1(xkeλx

)= k!(D − λI)eλx = k!(λeλx − λeλx) = 0.

Proto v prıpade m > k platı

(D − λI)m(tkeλt

)= 0. 2

Ukazeme, ze prave testovane funkce tvaru

xkeλx

mohou slouzit jako resenı homogennı diferencialnı rovnice.

Obecne resenı homogennı rovnice vyjadrene v komplexnımtvaru

Prave dosazeny vysledek o tvaru funkcı, ktere jsou symbolickym polynomialnımoperatorem anulovany vyuzijeme v nasledujıcı uvaze. Predpokladejme, ze charak-teristicka rovnice (2.3) ma koreny λj ∈ C, j = 1, 2, . . . , q s nasobnostmi mj kdem1 + m2 + · · ·+ mq = n. Pak muzeme charakteristicky polynom

p(λ) = λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ + a0,

vyjadrit jako soucin

p(λ) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)

m2 . . . (λ− λq)mq .

Potom, na zaklade vlastnostı symbolickych diferencialnıch operatoru, muzeme poly-nomialnı operator p(D) rozlozit podobne

(D − λ1I)m1(D − λ2I)m2 . . . (D − λI)mqy

a diferencialnı rovnici (2.1) lze prepsat ve tvaru

(D − λ1I)m1(D − λ2I)m2 . . . (D − λqI)mqy = 0.


Krome toho muzeme jednotlive soucinitele tohoto soucinu zapisovat v libovolnemporadı. Pak z Lemmy 1 vyplyva, ze kazda funkce

xkeλjx, (2.10)

kde k = 0, 1, . . . ,mj − 1 a j = 1, 2, . . . , q, definuje nektere resenı rovnice (2.1).Obecne resenı rovnice (2.1) je pak definovane jako linearnı kombinace takovychtofunkcı, proto je taktez resenım rovnice (2.1). Snadno se da overit, ze vsechny funkcedefinovane pomocı vztahu (2.10) (tj. cely system techto funkcı odpovıdajıcıch vsemhodnotam k = 0, 1, . . . ,mj − 1 a j = 1, 2, . . . , q) jsou linearne nezavisle a jejichcelkovy pocet je n. Tuto proverku jsme provadeli jen castecne pro dva vyznacnepodsystemy tohoto systemu funkcı (viz Prıklad 6 a Prıklad 8). Celkovou proverkujiz provadet nebudeme, i kdyz nenı komplikovana. Zesumarizujeme provedene uvahydo nasledujıcı vety. Pripomenme jeste, ze vyraz (2.11) v teto je obecnym resenımrovnice (2.1) podle Vety 5.

Veta 7 (Obecne resenı rovnice (2.1)) Necht’ ma charakteristicka rovnice (2.3)koreny λj ∈ C, j = 1, 2, . . . , q s nasobnostmi mj (kde m1 + m2 + · · ·+ mq = n). Pakje vyraz

y(x) = P1(x)eλ1x + P2(t)eλ2x + · · ·+ Pq(x)eλqx, (2.11)

kde Pj(x) jsou libovolnymi polynomy stupne mj − 1 obecnym resenım rovnice (2.1).

Mozna vas prekvapilo, ze se ve vzorci (2.11) nehovorı o libovolnych konstantach.Vse je ale v naprostem poradku. Libovolnych konstant je v obecnem resenı celkemn. Jake k tomuto prıpadu podate vysvetlenı?

Prıklad 12. Najdete obecne resenı linearnı homogennı diferencialnı rovnice ctvrtehoradu

y(4) − 6y(3) + 12y′′ − 8y′ = 0. (2.12)

Resenı. Charakteristicka rovnice odpovıdajıcı rovnici (2.12) je

λ4 − 9λ3 + 27λ2 − 27λ = 0.

Snadno se presvedcıme, ze platı rozklad

λ4 − 9λ3 + 27λ2 − 27λ = λ(λ− 3)3

a proto jsou jejı koreny koreny λ1 = 0 a λ2,3,4 = 3. Podle Vety 7 je obecne resenırovnice (2.12) dane vzorcem

y(x) = C1 + C2e3x + C3xe3x + C4x

2e3x,

kde C1, C2, C3 a C4 jsou libovolne konstanty.

2.3. OBECNE RESENI HOMOGENNI ROVNICE 39

Prıklad 13. Najdete obecne resenı linearnı homogennı diferencialnı rovnice ctvrtehoradu

y(4) − 6y(3) + 12y′′ − 8y′ = 0. (2.13)

Resenı. Charakteristicka rovnice odpovıdajıcı rovnici (2.13)

λ4 − 6λ3 + 12λ2 − 8λ = 0,

ma koreny λ1 = 0 a λ2,3,4 = 2. Proto, dle Vety 7, je obecne resenı rovnice (2.13)dane relacı

y(x) = C1 + C2e2x + C3te

2x + C4x2e2x,

kde C1, C2, C3 a C4 jsou libovolne konstanty.

Transformace komplexnıch resenı homogennı rovnice na realnaresenı

Ve Vete 7 byl uveden presny tvar obecneho resenı rovnice (2.1). Casto je vsakpotrebne pracovat pouze s realnymi vyrazy. Tento doplnujıcı pozadavek Veta 7nebere do uvahy, protoze v jejı formulaci je predpoklad, ze koreny charakteristickerovnice mohou byt komplexnı.Predpokladali jsem, ze koeficienty an−1, . . . , a1, a0 jsou realnymi cısly. Proto jsou takekoeficienty odpovıdajıcı charakteristicke rovnice (2.3) realne. Pripomenme znamouvlastnost korenu polynomialnıch rovnic s konstantnımi koeficienty - ma-li charak-teristicka rovnice komplexnı koren, pak je korenem charakteristicke rovnice taktezcıslo komplexne sdruzene; ma-li charakteristicka rovnice nasobny komplexnı koren,pak je korenem charakteristicke rovnice taktez cıslo komplexne sdruzene se stejnounasobnostı. Jinak receno, existuje-li q ruznych korenu λ1, λ2, . . . , λq charakteristickerovnice (2.3), kde q < n a je-li (pro nektere j ∈ {1, 2, . . . , q}) cıslo

λj = µ + iω

komplexnım korenem nasobnosti mj = m, potom pro nektery jiny index k ∈{1, 2, . . . , q}, k 6= j platı

λk = λj = µ− iω a mk = m.

Temto korenum charakteristicke rovnice odpovıdajı ve vzorci (2.11) vyrazy ob-sahujıcı komplexnı cısla:

Pj(x) · eλjx + Pk(x) · eλkx, (2.14)


kde Pj a Pk jsou polynomy stupne ne vyssıho nez m− 1. Ukazme postup vedoucı kzıskanı realnych resenı. Upravıme uvedene vyrazy pomocı Eulerova vzorce. Predtımho jeste pripomeneme - platı

eλjx = eµx · (cos ωx + i · sin ωx)

a podobne

eλkx = eµx · (cos ωx− i · sin ωx) ,

kde i je tzv. komplexnı jednotka (platı pro ni i2 = −1). Nynı provedeme slibovanoutransformaci:

Pj(x) · eλjx + Pk(x) · eλkx =

Pj(x) · eµx · [cos ωx + i · sin ωx] + Pk(x) · eµx · [cos ωx− i · sin ωx] =

[Pj(x) + Pk(x)] · eµx · cos ωx + i · [Pj(x)− Pk(x)] · eµx · sin ωx) =

Q(x) · eµx · cos ωx + i ·R(x) · eµx · sin ωx,

kde Q a R jsou polynomy stupne nejvyse m− 1, definovane predpisy

Q(x) := Pj(x) + Pk(x), R(x) := Pj(x)− Pk(x).

Vyraz (2.14) je resenım rovnice (2.1), proto je i ekvivalentnı vyraz

Q(x) · eµx cos ωx + i ·R(x) · eµx sin ωx (2.15)

jejım resenım. Komplexnı cısla, zapsana v algebraickem tvaru jsou stejna, majı-li stejne realne a imaginarnı slozky. Poslednı vyraz (2.15) je zapsan v algebraickemtvaru. Protoze je po dosazenı do rovnice (2.1) nasoben pouze realnymi cısly, dospıvamek zaveru, ze resenım rovnice (2.1) bude jak jeho samostatna realna slozka, takjeho samostatna imaginarnı slozka. Proto muzeme komplexnı resenı (2.14) nahraditdvema realnymi resenımi

Q(x) · eµx · cos ωx a R(t) · eµt · sin ωt.

Vetu 7 muzeme preformulovat takto:

Veta 8 (Konstrukce obecneho resenı v realnem tvaru)a) Kazdemu k-nasobnemu realnemu korenu λ charakteristicke rovnice (2.3) odpovıdacelkem k partikularnıch (a linearne nezavislych) resenı

eλx, xeλx, x2eλx, . . . , xk−1eλx.

b) Kazde dvojici s-nasobnych komplexne sdruzenych korenu

λ1 = α + β · i, λ2 = α− β · i, α, β ∈ R

2.4. APLIKACE ROVNIC DRUHEHO RADU – HARMONICKE KMITY 41

charakteristicke rovnice (2.3) odpovıda celkem 2s partikularnıch (a linearne nezavislych)resenı tvaru

eαx cos βx, xeαx cos βx, x2eαx cos βx, . . . , xs−1eαx cos βx,eαx sin βx, xeαx sin βx, x2eαx sin βx, . . . , xs−1eαx sin βx.

c) Soucet nasobnostı vsech korenu je roven stupni n charakteristicke rovnice (2.3),proto je pocet vsech partikularnıch resenı, konstruovanych podle bodu a) a b) rovenn. Obecne resenı homogennı rovnice (2.1) je linearnı kombinacı vsech techto par-tikularnıch resenı s n libovolnymi koeficienty.

Prıklad 14. Najdete obecne resenı linearnı homogennı diferencialnı rovnice patehoradu

y(5) + 2y(4) + 2y′′′ + 4y′′ + y′ + 2y = 0. (2.16)

Resenı. Nenı tezke uhodnout, ze jeden koren charakteristicka rovnice

λ5 + 2λ4 + 2λ3 + 4λ2 + λ + 2 = 0

odpovıdajıcı rovnici (2.16) je λ1 = −2. Rozkladem polynomu na leve stranedostavame

λ5 + 2λ4 + 2λ3 + 4λ2 + λ + 2 = (λ + 1)(λ4 + 2λ2 + 1) = (λ + 2)(λ2 + 1)2.

Rovnice(λ2 + 1)2 = 0

ma korenyλ2 = λ3 = i, λ4 = λ5 = −i.

Podle Vety 8 je obecne resenı diferencialnı rovnice (2.16)

y = C1e−2x + (C2 + C3x) cos x + (C4 + C5x) sin x,

kde C1, C2, . . . , C5 jsou libovolne konstanty.

2.4 Aplikace rovnic druheho radu – harmonicke

kmity

K dulezitym typum rovnic s konstantnımi koeficienty patrı linearnı rovnice druhehoradu. Lze jimi popisovat, naprıklad, kmity pruziny, jednoduche elektricke obvody itreba zjednoduseny pohyb fyzikalnıho kyvadla. Proto se budeme podrobneji zabyvatlinearnı rovnicı druheho radu s konstantnımi koeficienty tvaru

y′′ + 2ay′ + b2y = 0, (2.17)


kde predpokladame a ≥ 0, b > 0. Tato rovnice uvedene jevy dobre popisuje.Rovnici (2.17) nazyvame rovnicı tzv. linearnıho oscilatoru. Charakteristicka rovnice

λ2 + 2aλ + b2 = 0, (2.18)

odpovıdajıcı rovnici (2.17), ma koreny

λ1 = −a +√

a2 − b2, λ2 = −a−√

a2 − b2.

Proved’me nynı diskusi resenı rovnice (2.17).

Prıpad I: a2 < b2. Charakteristicka rovnice (2.18) ma komplexne sdruzene koreny:

λ1 = −a + i√

b2 − a2, λ2 = −a− i√

b2 − a2.

Pak je obecne resenı rovnice (2.17) dano vzorcem

y(x) = e−ax(C1 cos

√b2 − a2 x + C2 sin

√b2 − a2 x

)kde C1, C2 jsou libovolne konstanty. V tomto prıpade rıkame, ze jde o periodickekmity, ktere se nazyvajı podkriticky utlumene nebo slabe tlumene (viz nacrtek 2.1).

Prıpad II: a2 = b2. Charakteristicke rovnice (2.18) ma dvojnasobny realny korenλ = λ1,2 = −a. Obecne resenı rovnice (2.17) je popsano vzorcem

y(x) = C1e−ax + C2xe−ax

neboy(x) = e−ax (C1 + C2x)

kde C1, C2 jsou libovolne konstanty. V tomto prıpade jde o aperiodicke kmity, kterejsou kriticky tlumene (viz nacrtek 2.2).Prıpad III: a2 > b2. Koreny charakteristicke rovnice (2.18) jsou realne a ruzne.Obecne resenı rovnice (2.17) je

y(x) = C1eλ1x + C2e

λ2x

neboy(x) = e−ax

(C1e

√a2−b2 x + C2e

−√

a2−b2 x)

kde C1, C2 jsou libovolne konstanty. V tomto prıpade rıkame, ze jde o aperiodickekmity, ktere jsou silne tlumene (viz nacrtek 2.3).Prıpad IV: a = 0. Koreny charakteristicke rovnice (2.18) jsou ryze imaginarnı:

λ1 = ib, λ2 = −ib.


y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx


Obrazek 2.1: Slabe tlumene kmity

Obrazek 2.2: Kriticky tlumene kmity


Obrazek 2.3: Silne tlumene kmity

Obrazek 2.4: Harmonicke kmity


kde C1, C2 jsou libovolne konstanty. V tomto prıpade rıkame, ze jde o tzv. harmon-icky linearnı oscilator jehoz kmity jsou netlumene (viz nacrtek 2.4).

Pro netrivialnı resenı C21 + C2

2 6= 0 upravme poslednı vztah takto:

y(x) =√

C21 + C2

2

(C1√

C21 + C2

2

cos bx +C2√

C21 + C2

2

sin bx

).

Kladne cıslo

A =√

C21 + C2

2

se nazyva amplitudou kmitanı a uhel φ vyhovujıcı vztahum

sin φ =C1√

C21 + C2

2

, cos φ =C2√

C21 + C2

2

nazyvame fazı kmitanı. Cıslo b nazyvame kruhovou frekvencı kmitanı. Nynı muzemeresenı zapsat ve tvaru

y(x) = A (sin φ · cos bx + cos φ · sin bx)

neboy(x) = A sin(bx + φ).

Pan Prısny, vas prısny pruvodce studiem: Hodne zjednodusene se da rıci,ze kapitola, kterou jste prave prostudovali, vam vytvorila jen urcite ,,predmostı“pro studium dalsı teorie – jen jakysi ,,odrazovy mustek“ pro Vas skok k dalsımupokorenı vyssı matematiky (jak se kdysi temto partiım matematiky bezne rıkalo).

A jak by vas poucil kazdy elementarnı kurz vojenske taktiky (o takove jste byli vdusledku zrusenı vojenskych kateder na civilnıch vysokych skolach ochuzeni), nenıradno poustet se do ,,nepratelskeho vnitrozemı“, nenı-li radne zajisteno ,,predmostıutoku“.A zkuste si zaskakat, kdyz ,,odrazovy mustek“ je nakrivo nebo nedejboze dokoncenepruzı.

Proto jeste nez pristoupıte ke studiu dalsı kapitoly, ktera je jakymsi vyvrcholenımtohoto modulu a tesne navazuje na kapitolu prave prostudovanou, peclive si vyresteulohy nasledujıcıho autotestu.

Autotest:Urcete obecne resenı danych homogennıch linearnıch diferencialnıch rovnic s kon-stantnımi koeficienty:

1) y′′ − 4y′ + 3y = 0, 2) y′′ + 2y′ + y = 0, 3) y′′ + 4y = 0,4) y′′′ + y′ = 0, 5) y′′′− 6y′′ + 11y′− 6y = 0, 6) y(4) − y = 0,7) y(4) + 4y = 0, 8) y(4) + 8y(2) + 16y = 0, 9) y(5) + y(3) = 0


a jedna mala, takova ,,na vydychanı“, nakonec10) y′ − 541147606y = 0.Vysledky:1 ) y = c1e

3x + c2e2x

2 ) y = (c1 + c2x)e−x

3 ) y = c1 cos 2x + c2 sin 2x4 ) y = c1 + c2 cos x + c3 sinx5 ) y = c1e

x + c2e2x + c3e

3x

6 ) y = c1ex + c2e

−x + c3 cos x + c4 sinx7 ) y = (c1e

x + c2e−x) cos x + (c3e

x + c4e−x) sinx

8 ) y = (c1 + c3x) cos 2x + (c2 + c4x) sin 2x9 ) y = c1 + c2x + c3x

2 + c4 cos x + c5 sinx10) y = ce541147606x

Pan S., ikona nove doby, ktery tady ale nema vubec co delat: Pokud seVam predchozı prıklady lıbily, volejte na brnenske telefonnı cıslo uvedene v indexuv poslednım prıkladu (s vypustenım koncoveho x) a chtejte pana Jana.A pokud se nelıbily, tak si trhnete...

Chvilka trapneho ticha.

Jan Amos, vsemi mileny a rad vıtany nejenom na strankach teto ucebnıopory, se ktery jsme se potkali uz v uvodu predchozıho modulu: Ja pa-matuju tricetiletou valku – to se tenkrat soldateska nechovala zrovna vychovane,a zazil jsem uz kde co, ale poustet takova individua do studijnıch opor, to je tedaskandal! To ani za Habsburka nebylo! Kde je poradkova sluzba!? A co pravı Pruvodci,aby dohledli na poradek a zabranili neopravnenemu pronikanı?! Hanba!!

Dalsı, ponekud kratsı chvilka ticha.

Pan Hodny, hodny pruvodce studiem teto ucebnı opory: Vazeny JeneAmosi, prosım uklidnete se. Osobne a i jmenem pana Prısneho slibuji, ze bude nas-tolen poradek, aby uz k zadnemu dalsımu neopravnenemu vniknutı nedoslo.Navıc si davam predsevzetı, ze se pokusım napravit pana S. Ale ja s nım prom-luvım soukrome a verım, ze kdyz se mi podarı ho nasmerovat k nejake uslechtilejsıcinnosti, stane se i z nej radny clen lidske spolecnosti, ktery nebude obtezovat sveokolı vulgarnım chovanım.Silne verım, ze prave ja mam dost trpelivosti a sil ke splnenı tohoto jiste nelehkehoukolu. Jen si pockejte na vysledek.

Kapitola 3

Nehomogennı linearnı diferencialnırovnice. Stanovenı partikularnıhoresenı

Predbezne cıle studia teto kapitoly, motivacnı poznamky:

O nehomogennı linearnı diferencialnı rovnici n-teho radu jsme jiz diskutovali v Kapi-tole 1. Tam jsme uvedli poznatek o tom, z ceho se sklada jejı obecne resenı. Vıme(podıvejte se na znenı Vety 6), ze obecne resenı linearnı nehomogennı rovnice n-tehoradu je rovno souctu obecneho resenı asociovane homogennı rovnice a nekterehopartikularnıho resenı nehomogennı rovnice. Vedeme-li opet debatu o nehomogennırovnici, ma to tento duvod: je mozne najıt jejı partikularnı resenı? To nenı jednoduchaotazka. Ukazuje se, ze diskutovat o nalezenı partikularnıch resenı nehomogennıchrovnic nenı mozne bez toho, aniz bychom znali vlastnosti obecneho resenı asociovanehomogennı rovnice. Muzeme to vyjadrit jeste vystizneji: tvar partikularnıho resenızavisı nejen na tvaru prave strany rovnice, ale je podmınen i tvarem obecneho resenıpridruzene homogennı rovnice.

V teto kapitole se budeme venovat postupum, jak partikularnı resenı urcit. Jakjsme jiz naznacili, bude pritom potreba znat, jak vypada obecne resenı asociovanehomogennı rovnice nebo vedet o tomto obecnem resenı nektere informace, ktere jsouvlastne jejımu sestavenı ekvivalentnı.

Vysvetlıme dve nejznamejsı metody sestavenı partikularnıho resenı linearnı neho-mogennı diferencialnı rovnice n-teho radu. Jako prvnı bude vylozena tzv. metodaodhadu (nebo tez metoda neurcitych koeficientu). Tuto metodu muzeme pouzıtjen tehdy jestlize ma prava strana nehomogennı rovnice specialnı tvar (kombinacepolynomu, exponencial, sinu a kosinu) a je-li pridruzena homogennı rovnice rovnicıs konstantnımi koeficienty. Pak muzeme funkci, ktera bude partikularnım resenım,,odhadnout“ jako nekterou funkci podobneho typu jako byla prava strana a to spresnostı do koeficientu jistych polynomu. Tyto koeficienty je potom nutno dourcitdosazenım predpokladaneho tvaru partikularnıho resenı do vychozı nehomogennı

47

48 KAPITOLA 3. PARTIKULARNIHO RESENI NEHOMOGENNI LDR

rovnice a porovnanım koeficientu, kterymi jsou nasobeny stejne typy funkcı.Druha metoda je tzv. metoda variace konstant. Jde o metodu univerzalnı v tomsmyslu, ze pokud zname obecne resenı asociovane homogennı rovnice (muze to bytobecna homogennı rovnice nikoliv s nutne konstantnımi koeficienty), nalezneme par-tikularnı resenı nehomogennı rovnice v prıpade jakkoliv zadane prave strany neho-mogennı rovnice. Myslenka teto metody je ve strucnosti tato - partikularnı resenınehomogennı rovnice lze najıt ve tvaru, ktery je formalne podobny obecnemu resenıhomogennı rovnice, a ktery vznika nahradou libovolnych konstant v obecnem resenıvhodnymi funkcemi. Nase uvahy se v teto kapitole vztahujı k urcitemu intervalu I.

Po prostudovanı teto kapitoly by kazdy mel:

• umet se efektivne rozhodnout, kterou metodu pro hledanı partikularnıho resenınehomogennı linearnı diferencialnı rovnice s konstantnımi koeficienty zvolit;

• a nasledne takove partikularnı resenı nehomogennı LDR s konstantnımi koefi-cienty najıt.

3.1 Urcenı partikularnıho resenı nehomogennı

linearnı diferencialnı rovnice metodou odhadu

Nasım cılem bude urcit partikularnı resenı nehomogennı linearnı diferencialnı rovnicen-teho radu tvaru

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = g(x), (3.1)

kde an−1, . . . , a1, a0 jsou konstanty za predpokladu, ze prava strana g(x) ma specialnıpredepsany tvar, ktery za chvıli uvedeme. Vıme, ze z Vety 6 vyplyva, ze obecne resenırovnice (3.1) je rovne souctu obecneho resenı pridruzene homogennı rovnice

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = 0 (3.2)

a nektereho partikularnıho resenı nehomogennı rovnice. Postup konstrukce obecnehoresenı pridruzene homogennı rovnice s konstantnımi koeficienty byl vylozen v Kapi-tole 2. Informace o tomto obecnem resenı homogennı rovnice nam budou uzitecne pronalezenı partikularnı resenı nehomogennı rovnice. Nıze uvedena metoda se nazyvametodou odhadu nebo tez metodou neurcitych koeficientu. Nektere ucebnice takepısı o zvlastnı prave strane. Jejı pouzitı je mozne jen v prıpade, ze prava stranarovnice (3.1) ma specialnı tvar. Naformulujeme tvrzenı o tom, ze partikularnı resenıma jisty a dosti konkretnı tvar. Dukaz tohoto tvrzenı nebudeme uvadet. Nebyloby vsak obtızne ho provest, protoze dukaz tvrzenı, ze jiste funkce mohou byt par-tikularnımi resenımi lze provest s pomocı symbolickych polynomialnıch operatorupodobnym zpusobem, jakym jsme v casti 2.3 (viz Lemma 1) proverovali, ze funkceuvedenych typu jsou resenımi homogennı rovnice.

3.1. METODA ODHADU 49

Veta o metode odhadu

Pouzitı metoda odhadu je zalozena na nasledujıcı vete.

Veta 9 (Metoda odhadu) Predpokladejme, ze prava strana rovnice (3.1) ma tvar

g(x) = eαx ·[P 1

s (x) cos βx + P 2m(x) sin βx

], (3.3)

kde P 1s (x) a P 2

m(x) jsou polynomy stupnu s a m. Potom ma partikularnı resenırovnice (3.1) (s presnostı do koeficientu polynomu) tvar

yp(x) = xkeαx ·[R1

r(x) cos βx + R2r(x) sin βx

],

kde R1r(x) a R2

r(x) jsou polynomy stupnu nejvıce r = max{s, m}. Cıslo k je rovnenule, nenı-li vyraz α + i · β korenem charakteristicke rovnice asociovane homogennırovnice. V opacnem prıpade udava cıslo k nasobnost tohoto korene.

Poznamka 2. Koeficienty polynomu R1r(x) a R2

r(x) lze urcit presne dosazenımtvaru partikularnıho resenı yp(x) do rovnice (3.1) a porovnanım koeficientu pristejnych funkcionalnıch vyrazech. Takovy je prakticky postup presneho ,,dourcenı“.Jak jiz bylo uvedeno, v prıpade, ze prava strana g(x) rovnice (3.1) nema uvedenytvar, metoda odhadu nenı funkcnı. V takovem prıpade lze uzıt univerzalnı metodu- metodu varice konstant, kterou uvedeme v casti 3.2.

Ilustrace metody odhadu

Ukazeme na prıkladech, jak lze metodu odhadu pouzıt.

Prıklad 15. Naleznete resenı pocatecnı ulohy{y′′ − 2y′ + y = 2− x,y(0) = 3, y′(0) = 6.

(3.4)

Resenı. Prava strana rovnice je polynomem prvnıho stupne. Je tedy funkcı, defi-novanou na celem intervalu I = R. Proto zde bude definovano take resenı pocatecnıulohy (3.4). Resenı ulohy najdeme ve trech krocıch:a) Prvnı krok spocıva v nalezenı obecneho resenı asociovane homogennı rovnice

y′′ − 2y′ + y = 0.

Charakteristicka rovnice ma tvar

λ2 − 2λ + 1 = 0

a jejı koreny jsou

λ1 = λ2 = 1.


Obecne resenı asociovane homogennı rovnice je (podle Vety 8) urceno tvarem

y = (C1 + C2x)ex,

kde C1 a C2 jsou libovolne konstanty.b) Ve druhem kroku najdeme partikularnı resenı nehomogennı rovnice. Snadno lzeoverit, ze prava strana uvazovane rovnice ma tvar (3.3), uvedeny ve Vete 9 pro

α = 0, β = 0, P 11 (x) = −x + 2.

Cıslo α + i · β = 0 nenı korenem charakteristicke rovnice. Proto budeme hledatpartikularnı resenı ve tvaru

yp(x) = x0e0·x [(ax + b) cos(0 · x) + R2(x) sin(0 · x)] = ax + b

kde a a b jsou vhodne konstanty. Muzeme je najıt dosazenım predpokladaneho par-tikularnıho resenı yp(x) do vychozı nehomogennı diferencialnı rovnice. Dostavame

y′′p − 2y′p + yp = −2a + ax + b = 2− x,

odkud a = −1 a b = 0. Po dosazenı vidıme, ze partikularnı resenı je urcene vztahemyp(t) = −x.c) Ve tretım a poslednım kroku sestavıme obecne resenı vychozı nehomogennı rovnicea zvolıme hodnoty libovolnych konstant tak, abychom obdrzeli resenı, vyhovujıcıdanym pocatecnım podmınkam. Obecnym resenım asociovane nehomogennı rovniceje funkce

y(x) = (C1 + C2x)ex − x,

kde C1 a C2 jsou libovolne konstanty. Urceme je tak, aby partikularnı resenı vyhovo-valo pocatecnım podmınkam. Dosazenı pocatecnıch podmınek do nalezeneho resenıa do jeho derivace

y′(x) = C2ex + (C1 + C2x)ex − 1

vede ke vztahum3 = C1,6 = C2 + C1 − 1.

Tento system ma resenı C1 = 3, C2 = 4. Hledane resenı pocatecnı ulohy je

y(t) = (3 + 4x)ex − x.

Prıklad 16. Najdete obecne resenı nehomogennı rovnice

y′′ + y = x cos x + sin x. (3.5)


Resenı. I v tomto prıkladu je prava strana funkcı, definovanou na celem intervaluI = R. Na tomto intervalu bude urceno take obecne resenı rovnice (3.5). Ulohuvyresıme ve dvou krocıch:a) Prvnı krok opet spocıva v nalezenı obecneho resenı asociovane homogennı rovnice

y′′ + y = 0.

Charakteristicka rovnice je tvaru

λ2 + 1 = 0

a ma korenyλ1,2 = ±i.

Obecne resenı asociovane homogennı rovnice urcıme (podle Vety 8) jako

y = C1 cos x + C2 sin x,

kde C1 a C2 jsou libovolne konstanty.b) Druhy krok spocıva v hledanı partikularnı resenı nehomogennı rovnice. Snadnolze overit, ze prava strana uvazovane rovnice ma tvar (3.3), uvedeny ve Vete 9 pro

α = 0, β = 1, P 11 (x) = x, P 2

0 (x) = 1.

Cıslo α + i · β = i je korenem charakteristicke rovnice. Proto budeme hledat par-tikularnı resenı ve tvaru

yp(x) = xe0·x [(ax + b) cos x + (cx + d) sin x)] = (ax2 + bx) cos x + (cx2 + dx) sin x,

kde a, b, c a d jsou vhodne konstanty. Najdeme je dosazenım predpokladaneho par-tikularnıho resenı yp(x) do vychozı nehomogennı diferencialnı rovnice. Po predbeznempomocnem vypoctu

y′p(x) = (2ax + b) cos x + (2cx + d) sin x− (ax2 + bx) sin x + (cx2 + dx) cos x =(cx2 + (d + 2a)x + b

)cos x +

(−ax2 + (−b + 2c)x + d

)sin x

a

y′′p(x) = (2cx + d + 2a) cos x + (−2ax− b + 2c) sin x−(cx2 + (d + 2a)x + b

)sin x +

(−ax2 + (−b + 2c)x + d

)cos x =(

−ax2 − bx + 4cx + 2d + 2a)cos x +

(−cx2 − 4ax− dx + 2c− 2b

)sin x

dostavame

y′′p + yp = (4cx + 2d + 2a) cos x + (−4ax + 2c− 2b) sin x = x cos x + sin x.

Porovnanım koeficientu pri stejnych funkcıch vede k hodnotam koeficientu

a = 0, b = −1

4, c =

1

4, d =

1

2.

Obecnym resenım nehomogennı rovnice je funkce

y(x) = C1 cos x + C2 sin x− 1

4x cos x +

1

4

(x2 + x

)sin x,



Vznik rezonance

Vyuzijeme metody odhadu k objasnenı matematicke podstaty jevu, ktery nazyvamerezonance. Hovorili jsme o nı v uvodu prvnı modulu – vzpomente si na obrazkypochodujıcıho vojska. Take jsme se zmınili o tom, co se muze stat, pokud rezonancevznikne.Vztah tohoto jevu a stavebnictvı je velmi uzky – kmity konstrukcı, desek, vyskovychbudov – to jsou jen nektere prıklady, kde k tomuto jevu muze dojıt.V casti 2.4 na strane 41 jsme vedli diskuzi o rovnici s konstantnımi koeficienty (2.17),ktera ma bohate uplatnenı v ruznych disciplınach. Tuto rovnici jsme nesestavovali,i kdyz to nenı obtızne. Naprıklad, pri popisu kmitu zavazı (hmotneho bodu), up-evneneho na pruzine je vyuzit druhy Newtonuv zakon. Pokud ve svych uvahachzanedbame trenı, potom ma rovnice popisujıcı kmity zavazı tvar rovnice (2.17), kdea = 0, tj. rovnice ma tvar

y′′ + b2y = 0. (3.6)

Jako y je znacena odchylka zavazı od nektereho zvoleneho pocatku souradnic. Rovnice (3.6)byla v casti (2.4) vyresena a jejı resenı melo tvar

y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx (3.7)

kde C1 a C2 jsou libovolne konstanty. Vidıme, ze kmity jsou periodicke s periodou2π/b. Predpokladejme, ze na pruzinu pusobı nejaka (nezanedbatelna) periodickavnejsı sıla s periodou 2π/ϕ popsana vztahem

F (x) = F0 sin ϕx,

kde F0 je jejı amplituda. Rovnice, popisujıcı pohyb zavazı na pruzine ma v takovemprıpade tvar

y′′ + b2y = F0 sin ϕx. (3.8)

Najdeme obecne resenı rovnice (3.8). Obecne resenı asociovane homogennı rovnice jepopsano vztahem (3.7). Proto zacneme sestavovat partikularnı resenı nehomogennırovnice. Charakteristicka rovnice odpovıdajıcı rovnici (3.6):

λ2 + b = 0

ma korenyλ1,2 = ±b.

Proto se, v souladu s navodem danym ve Vete 9, budeme zabyvat dvema prıpady:b 6= ϕ a b = ϕ.

Otazka pro vas:Dokazete uspokojive zduvodnit, proc nelze hledanı omezit jen na jeden prıpad?


a) Prıpad b 6= ϕ. Tento prıpad znacı, ze perioda vlastnıch (nebo tez vnitrnıch)kmitu zavazı na pruzine (cıslo 2π/b) je ruzna od periody vnejsı sıly (tj. cısla 2π/ϕ).Partikularnı resenı hledame ve tvaru

yp(x) = M cos ϕx + N sin ϕx,

kde musıme urcit konstanty M a N . Protoze

y′p(x) = −Mϕ sin ϕx + Nϕ cos ϕx,

y′′p(x) = −Mϕ2 cos ϕx−Nϕ2 sin ϕx,

dosazenı partikularnıho resenı do rovnice (3.8) dava

M(−ϕ2 + b2) cos ϕx + N(−ϕ2 + b2) sin ϕx = F0 sin ϕx.

Odtud vyplyva:

M = 0, N =F0

−ϕ2 + b2.

Partikularnı resenı ma tvar

yp(x) =F0

−ϕ2 + b2sin ϕx.

Obecne resenı rovnice (3.8) je popsano vzorcem

y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx +F0

−ϕ2 + b2sin ϕx, (3.9)

kde C1 a C2 jsou libovolne konstanty. Toto resenı je rovno souctu dvou typu period-ickych funkcı s ruznymi periodami. Graf partikularnıho resenı yp(x) je na nacrtku(viz obr. 3.1)b) Prıpad b = ϕ. Tento prıpad znacı, ze perioda vlastnıch kmitu zavazı na pruzineje stejna s periodou vnejsı sıly. Tento prıpad popisuje naprosto jiny mechanismuskmitu. Protoze v tomto prıpade je cıslo ϕ korenem charakteristicke rovnice, hledamepartikularnı resenı ve tvaru

yp(x) = Mx cos bx + Nx sin bx,

kde urcıme konstanty M a N . Protoze

y′p(x) =M cos bx + N sin bx−Mbx sin bx + Nbx cos bx,

y′′p(x) =−Mb sin bx + Nb cos bx−Mb sin bx + Nb cos bx

−Mb2x cos bx−Nb2x sin bx =

2Nb cos bx− 2Mb sin bx−Mb2x cos bx−Nb2x sin bx,

dosazenı partikularnıho resenı do rovnice (3.8) dava

2Nb cos bx− 2Mb sin bx−Mb2x cos bx−Nb2x sin bx +

b2(Mx cos bx + Nx sin bx) = F0 sin bx.


Odtud vyplyva:2Nb cos bx− 2Mb sin bx = F0 sin bx

a proto

N = 0, M = −F0

2b.


yp(x) = −F0

2bx cos bx.

Obecne resenı rovnice (3.8) je nynı popsano vztahem

y(x) = C1 cos bx + C2 sin bx− F0

2bx cos bx, (3.10)

kde C1 a C2 jsou libovolne konstanty. Graf partikularnıho resenı yp(x) je na nacrtku(viz obr. 3.1)Vyznacnou zmenou, ktera nastala ve vzorci (3.10) vzhledem k predchozımu obecnemuresenı (3.9), je prıtomnost vyrazu yp(x) s neohranicenou amplitudou.Interpretujeme-li x jako cas, potom s jeho rustem (tj. pro x →∞) roste amplitudavyrazu do nekonecna. Proto popis kmitu zavazı na pruzine jiz nenı periodickymvyrazem. Vnejsı sıla, ktera pusobı na zavazı ma v tomto prıpade stejnou periodujakou majı vlastnı kmity zavazı na pruzine. Popsana situace se nazyva rezonancı.Dochazı k stale vetsımu rozkmitu a nakonec az k destrukci systemu, coz jste si jisteschopni barvite (i kdyz mozna nekterı mene nadanı jen cernobıle:-) predstavit.

Uzitım metody odhadu urcete obecne resenı danych diferencialnıch rovnic:1) y′′ + y = sin x 3) y′′ + y = sin x + cos 2x

2) y′′ + y = cos 2x 4) y′′ − 3y′ + 2y = x + 1− e−2x

Vysledky:1) y = c1 cos x + c2 sin x− 1

2x cos x; 2) y = c1 cos x + c2 sin x− 1

3cos 2x;

4) y = c1ex + c2e

2x − 112

e−2x + 12x + 5

4.


Obrazek 3.1: Ilustrace ke vzniku rezonance


3.2 Urcenı partikularnıho resenı nehomogennı

linearnı diferencialnı rovnice metodou variace

konstant

Budeme se zabyvat nehomogennı linearnı diferencialnı rovnici n-teho radu (1.2).

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x).

Ukazeme, jak lze najıt jejı partikularnı resenı za predpokladu, ze zname obecneresenı asociovane homogennı linearnı diferencialnı rovnice (1.3)

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0.

Predpokladejme, ze system funkcı

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

je fundamentalnım systemem resenı asociovane homogennı rovnice. Jejı obecne resenıma potom tvar

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · ·+ Cnyn(x),

kde C1, C2, . . . , Cn jsou libovolne konstanty. Pokusıme se najıt partikularnı resenıy = yp(x) rovnice (1.2) ve tvaru, ktery pripomına obecne resenı asociovane rovnice:

yp(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + · · ·+ Cn(x)yn(x), (3.11)

kde

C1(x), C2(x), . . . , Cn(x) (3.12)

jsou prozatım nezname funkce. Dalsı postup ma svym cılem urcit system funkcı (3.12).Pritom budeme pozadovat, aby nektere dalsı vlastnosti vyrazu (3.11) byly analogickevlastnostem obecneho resenı homogennı rovnice. Pri vysvetlenı podstaty se omezımena prıpad rovnic druheho radu.

Variace konstant v prıpade rovnic druheho radu

Uvazujme rovnici

y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = g(x).

Predpokladejme, ze system funkcı y1(x), y2(x) je fundamentalnım systemem resenıasociovane homogennı rovnice.

y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0.

3.2. METODA VARIACE KONSTANT 57

Jejı obecne resenı ma potom tvar

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x),

kde C1, C2 jsou libovolne konstanty. Pokusıme se najıt partikularnı resenı y = yp(x)nehomogennı rovnice ve tvaru

yp(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x), (3.13)

kde

C1(x) a C2(x) (3.14)

jsou prozatım nezname funkce. Najdeme prvnı derivaci vyrazu (3.13). Pritom budemepredpokladat, ze vysledek bude mıt formalnı tvar stejny, jako kdyby se jednalo oderivaci obecneho resenı homogennı rovnice, tj., jako kdyby funkce C1(x) a C2(x)byly konstantami. Tento predpoklad vede k pozadavku, aby byla oznacena castvysledku rovna nule:

y′p(x) = C1(x)y′1(x) + C2(x)y′2(x) + C ′1(x)y1(x) + C ′

2(x)y2(x)︸︷︷︸=0

=

C1(x)y′1(x) + C2(x)y′2(x).

Najdeme druhou derivaci. Na rozdıl od predchozıho vypoctu budeme predpokladat,ze oznacena cast vysledku je rovna prave strane nehomogennı rovnice, tj. funkcig(x):

y′′p(x) = C1(x)y′′1(x) + C2(x)y′′2(x) + C ′1(x)y′1(x) + C ′

2(x)y′2(x)︸︷︷︸=g(x)

=

C1(x)y′′1(x) + C2(x)y′′2(x) + g(x).

Napisme oba predpoklady, ktere jsme ucinili. Prvnı derivace hledanych funkcı C1(x)a C2(x) musı vyhovovat systemu rovnic:{

C ′1(x)y1(x) + C ′

2(x)y2(x) = 0,

C ′1(x)y′1(x) + C ′

2(x)y′2(x) = g(x).(3.15)

System (3.15) je systemem algebraickych rovnic vzhledem k neznamym derivacımC ′

1(x) a C ′2(x). Determinant tohoto systemu je wronskian

W (x) = W (y1(x), y2(x)),

ktery je na uvazovanem intervalu I nenulovy. Proto ma system (3.15) jedine resenı.Z principialnıho hlediska nenı podstatne znat presny tvar tohoto resenı (ktere muzebyt snadno zapsano s pomocı determinantu). Spokojıme se jen s konstatovanım, zetoto resenı muze byt zapsane ve tvaru{

C ′1(x) = ω1(x),

C ′2(x) = ω2(x),

(3.16)


kde funkce ω1(x) a ω2(x) jsou spojitymi funkcemi na intervalu I. Integracı jed-notlivych vztahu, uvedenych v (3.16) dostavame hledane funkce C1(x), C2(x), vy-hovujıcı vsem zapsanym pozadavkum. Jejich dosazenım do predpokladaneho tvarupartikularnıho resenı (3.11) dostavame

yp(x) = y1(x)

∫ω1(x)dx + y2(x)

∫ω2(x)dx.

O tom, ze tento vyraz je skutecne partikularnım resenım nehomogennı rovnice svedcızpusob jeho konstrukce. Muzeme se vsak zkouskou prımo presvedcit o spravnostitohoto tvrzenı. Poznamenejme jeste, ze v prıpade, kdyz budeme pri integraci funkcıω1(x) a ω2(x) zapisovat i prıslusne libovolne integracnı konstanty, dostaneme podosazenı do predpokladaneho tvaru partikularnıho resenı (3.13) obecne resenı danenehomogennı rovnice.

Modifikace metody variace konstant v prıpade rovnic libo-volneho radu

Vyse uvedeny postup zustane stejny. Vypisme jen tvar systemu, ktery je analogickyuvedenemu systemu (3.15). Rovnice, kterym musı vyhovovat nezname funkce (3.14),jsou

C ′1(x)y1(x) + · · ·+ C ′

n(x)yn(x) = 0,

C ′1(x)y′1(x) + · · ·+ C ′

n(x)y′n(x) = 0,

. . .

C ′1(x)y

(n−2)1 (x) + · · ·+ C ′

n(x)y(n−2)n (x) = 0,

C ′1(x)y

(n−1)1 (x) + · · ·+ C ′

n(x)y(n−1)n (x) = g(x).

Dale postupujeme obdobne jako v prıpade rovnic druheho radu. Ukazme pouzitımetody variace konstant na prıkladu.

Prıklad 17. Najdete obecne resenı rovnice

y′′ − 2y′ + y =ex

x2. (3.17)

Resenı. Resenı rovnice (3.17) bude definovane na mnozine I = R\{0} (zduvodneteproc). Postup resenı rozdelıme do dvou kroku:a) Nejprve najdeme obecne resenı pridruzene homogennı rovnice

y′′ − 2y′ + y = 0.

Odpovıdajıcı charakteristicka rovnice

λ2 − 2λ + 1 = 0

3.2. METODA VARIACE KONSTANT 59

ma dvojnasobny koren λ1,2 = 1 a obecne resenı je

y = C1ex + C2xex,


b) Partikularnı resenı nehomogennı rovnice hledame v souladu s metodou variacekonstant ve tvaru

yp(x) = C1(x)ex + C2(x)xex.

Zapisme prıslusny system (3.15):

C ′1(x)ex + C ′

2(x)xex = 0,

C ′1(x)ex + C ′

2(x)(1 + x)ex =ex

x2.

Po uprave (kracenı vyrazem et) dostaneme

C ′1(x) + C ′

2(x)x = 0,

C ′1(x) + C ′

2(x)(1 + x) =1

x2,

odkud

C ′1(x) = −1, C ′

2(x) =1

x2

a po integraci

C1(x) = −x, C2(x) = −1

x.


yp(x) = −xex − 1

x· ex.


y = C1ex + C2xex − xex − 1

x· ex.

Toto obecne resenı muzeme upravit takto (na zaklade vasich znalostı provedenouupravu zduvodnete)

y = D1ex + D2xex − 1

x· ex,

kde D1 a D2 jsou libovolne konstanty.

Cvicenı:Uzitım metody variace konstant urcete obecne resenı danych diferencialnıch rovnic:


a) y′′ + y = sin x[y = c1 cos x + c2 sin x− 1

2x cos x

],

b) y′′ + y = tan x[y = c1 cos x + c2 sin x + cos ln cos x

1+sin x

],

c) y′′ + y = sin x + tan x

d) y′′ − 2y′ + y = ex

x[y = (c1 + c2x + x ln x)ex].

Panove Hodny a Prısny, tentokrat netradicne spolu:Zvladli jste poslednı kapitolu tohoto soumodulı o diferencialnıch rovnicıch, gratulu-jeme! Verıme, ze vedomosti, ktere jste studiem techto textu zıskali, nekdy v budoucnuuplatnıte ve Vası inzenyrske praxi. A na zaver, jako darek na rozloucenou, maly au-totest.

Autotest:Vhodnymi metodami naleznete obecne prıpadne partikularnı resenı danych difer-encialnıch rovnic:

a) y′′ − 4y = 8x3 [y = c1e2x + c2e

−2x − 3x− 2x3],

b) y′′ + y′ = x[y = c1 + c2e

−x + 12x2 − x

],

c) y′′ + y′ = 11+ex [y = c1 + c2e

−x + x− (1 + e−x) · ln(1 + ex)],

d) y′′ + y′ = x + 11+ex .

Literatura

[1] Aramanovic, I.G., Lunc, G.L., Elsgolc, L.E.: Funkcie komplexnej premennej,operatorovy pocet, teria stability, Alfa, Bratislava, SNTL Praha, 1973.

[2] Boruvka, O.: Diferencialne rovnice, SPN Bratislava, 1961.

[3] Diblık, J., Ruzickova,M.: Positive solutions of singular initial problems for sys-tems of ordinary differential equations, Studies of the University of Zilina, Mathe-matical Series, vol. 17 (2003), 47–60.

[4] Driver, R.D.: Ordinary and Delay Differential Equations, Springer-Verlag NewYork Inc., 1977.

[5] Gregus, M., Svec, M., Seda, V.: Obycajne diferencialne rovnice, Alfa, Bratislava,SNTL, Praha, 1985.

[6] Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, Second Edition, Birkhauser, 1982.

[7] Hairer, E., Norsett, S.P., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential EquationsI, Springer-Verlag, 1987.

[8] Havelka, J., Cermakova, H.: Matematika II4, Obycejne diferencialnı rovnice,Akademicke nakladatelstvı CERM, s.r.o. Brno, 1997.

[9] Hronec, J.: Diferencialne rovnice I, Slovenska akademia vied, Bratislava, 1956.

[10] Chudy, J.: Determinanty a matice, SNTL, Prace, 1971.

[11] Jirasek, F., Benda, J., Cipera, S., Vacek, M.: Sbırka resenych prıkladu zmatematiky III, SNTL, Praha, 1989.

[12] Kalas, J., Rab, M.: Obycejne diferencialnı rovnice, MU Brno, PrF, 2001.

[13] Kamke, E.: Lsungsmethoden und Lsungen. I. Gewhnliche Differentialgleichungen.,9. Aufl. Unvernd. Nachdr. d. 8., durchges. Aufl. (German) Stuttgart: B.G. Teubner.XXVI, 1977

[14] Kluvanek, I., Misık, L., Svec, M.: Matematika II, Alfa, Bratislava, 1961.

[15] Kuben, J.: Obycejne diferencialnı rovnice, VA Brno, 2000.

[16] Kurzweil, J.: Obycejne diferencialnı rovnice, SNTL Praha, 1978.

61

62 LITERATURA

[17] Lakshmikantham, V., Leela, S., Differential and Integral Inequalities, Vol. I -Ordinary Differential Equations, Academic Press, New York, London, 1969.

[18] Matvejev, N.M., Metody integrirovanija obyknovennych differencialnych uravnenij,Vyshejshaja shkola, Minsk, 1974.

[19] Medved’, M.: Dynamicke systemy, VEDA, Bratislava, 1988.

[20] Neuman, F.: Global Properties of Linear Ordinary Differential Equations, Academia,Praha, 1991.

[21] Nagy, J.: Elementarnı metody resenı obycejnych diferencialnıch rovnic, MVST IX,SNTL, Praha, 1978.

[22] Nagy, J.: Soustavy obycejnych diferencialnıch rovnic, MVST XV, SNTL, Praha,1980.

[23] Nagy, J.: Stabilita resenı obycejnych diferencialnıch rovnic, MVST IX, SNTL,Praha, 1980.

[24] Ptak, P.: Diferencialnı rovnice, Laplaceova transformace, CVUT v Praze, 1999.

[25] Rab, M.: Metody resenı obycejnych diferencialnıch rovnic, MU Brno, PrF, 1998.

Index

ResenıExponencialnı tvar, 30

Amplituda, 45

Charakteristicka rovnice, 30Komplexnı koreny, 39

DeterminantVandermonduv, 15

Faze, 45Frekvence, 45Fundamentalnı system resenı, 18

Harmonicke kmity, 41Homogennı linearnı rovnice, 5Homogennı rovnice

Obecne resenı, 19Snızenı radu, 26

Identicky operator, 32

KmityAmplituda, 45Faze, 45Frekvence, 45Harmonicke, 41Kriticky tlumene, 42Netlumene, 45Silne tlumene, 42Slabe tlumene, 42

KorenyKomplexnı, 39

Kriticky tlumene kmity, 42

Linearnı diferencialnı rovniceAsociovana, 5, 6Pridruzena, 5, 6

Linearnı rovniceHomogennı, 5

Nehomogennı, 5Obecne resenı

Exponencialnı tvar, 30Linearnı diferencialnı rovnice, 4Linearnı oscilator, 41

Metoda neurcitych koeficientu, 48Metoda odhadu, 48Metoda variace konstant, 56

Nehomogennı linearnı rovnice, 5Nehomogennı linearnı rovnice

Metoda neurcitych koeficientu, 48Metoda odhadu, 48Metoda variace konstant, 56Partikularnı resenı, 47

Nehomogennı rovniceObecne resenı, 21

Netlumene kmity, 45Neurcite koeficienty, 48

Obecne resenı, 19, 21Operator

Diferencialnı, 32Identicky, 32Symbolicky, 32

Pocatecnı uloha, 6Pocatecnı podmınky, 17Princip superpozice, 6

Rezonance, 52Rovnice

Charakteristicka, 30Rovnice y(n) = f(x), 22

Silne tlumene kmity, 42Slabe tlumene kmity, 42Snızenı radu, 26Superpozice, 6Symbolicky diferencialnı operator, 32

63

64 INDEX

Symbolicky operator, 32Symbolicky polynomialnı operator, 32System resenı

Fundamentalnı, 18System funkcı

Linearnı nezavislost, 9Linearnı zavislost, 9Wronskian, 15, 18

Vandermonduv determinant, 15Variace konstant, 56

Wronskian, 13, 15

Mohl by Komensky napsat svuj Labyrint v dnesnı dobe?Mel by pruvodce s potrebnymi schopnostmi?

Uznavany amatersky komeniolog Frantisek Pluhacek z Lesne u Zlına se zamyslı, jak by toasi vypadalo, kdyby se Komenskeho hrdina dostal do dnesnı doby.Do doby, ktera rozsahem dosazeneho vedeckeho poznanı uz dlouho nepreje polyhistorumruzneho razenı a vseznalosti–vsudybylstvı obecne.Poslednım Mohykanem kmene vsudyprıtomnych byl jisty hrdina jednoho v dnesnı dobeuz mezi mladezı zapomenuteho autora, Ondreje Sekory.Jmenoval se Pytlık, mezi prateli nazyvany Brouk.A jak jeho pruvodcovanı dopadalo, radeji zamlcet!

Esej Frantiska Pluhacka Lesenskeho se nedochovala v uplnosti – stala se obetı velkehopozaru, vznikleho z neopatrnosti svedske turistky Ulmy Johnssonove pri manipulaci sotevrenym ohnem. Prinasıme cast prezivsıho torza, kapitolu o tom, jaky dojem udelalopusobenı Vsudybyla na vedecke konferenci o diferencialnıch rovnicıch.

Varujeme ctenare s pokleslejsım literarnım vkusem, ze styl Frantiska Pluhacka silne koke-tuje se surrealismem. Uz to, ze hlavnı hrdina, Vsudybyl, je prıtomen na mıste konfer-ence, ale jen v duchovnım vyznamu, je experiment docela nadrealny. Ne kazdemu se necotakoveho muze lıbit. Proto prosıme o pochopenı.

Strucne uvedenı:

Vedecka konference o diferencialnıch rovnicıch.Organizacnı vybor se rozhodl pozvednout konferencnı pracovnı moralku ucastnıkutım, ze provadı dukladnou kontrolu prıtomnosti pred kazdou plenarnı prednaskouzvlast’, pred kazdym jednanım v sekcıch.Je potreba vymytit nesvary, ktere lze jednoduse shrnout do sloganu: Kdyz je moznobyt alespon na dvou mıstech, clovek nemusı byt nikde.

Pred prednesenım prednasky prof. RNDr. S. Stanka, CSc., na tema Singularnı okra-jove ulohy, nastava pozdvizenı: Chybejı Jose Chroustal z Brna a jakysi Vsudybyl,podepisujıcı se jako Vsudybyl Komensky.Nasleduje prısne vysetrovanı. Prokazı se zavazne skutecnosti: Jose Chroustal nikdyna zadne konferenci nebyl, ani nikdy nebude, nemuze byt, snad jen kdyby si nechaluvest podrobne znenı prıspevku v elektronicke casti sbornıku. Jedna se fiktivnıpostavu, duchovnı dıte jakehosi Frantiska Kocourka – ucastnicky poplatek byl protozabaven ve prospech organizacnıho vyboru. Kdo ho zaplatil, se dodnes nevı. (Radejise po tom uz nepatralo, byl-li problem uspesne vyresen. Kaz na duslednosti orga-nizacnıho vyboru.)S panem Vsudybylem je to tezsı. Nekolik jedincu se pri vyslechu priznalo, ze ho nakonferenci osobne videli, ze s nım mluvili. Byl tu navıc jeho podpis na prezencnılistine. Proc se ale zapsal, vyslechl uvodnı rec a zmizel?Vysvetlenı podala az jista Rossa Mamenyi. Ta se doznala, ze je s panem Vsudybylemv kontaktu uz z drıvejska.

Tolik strucne uvedenı, prevypravene z textu Frantiska Pluhacka autory teto ucebnı opory.A nynı vlastnı Pluhackuv text – cast, kdy Ruzena Mameniova (dovolili jsme si, pro internıpotreby tohoto textu, pocestit jejı jmeno) vysvetluje chovanı pana Vsudybyla:

Kdyz on porad nekde lıta. Onehda sestavoval vladu.

Nebo dneska: Rano seka drevo pod Hostynem - bzum, a hned v poledneKralicky Sneznık - tam byl u sklizne ovsa. Meli byste ho videt s temi vi-dlemi, co mu tam dali do rukou. A jeste vecer ho ceka Odesa. Mezitımvase konference.

To vsechno se on snazı stıhat...

Pan Prısny: ,,Tak to uz ja nevydrzım. Pche, pekne surrealno! Spıs pekne ujeta postmo-derna. Takove vrsenı slov bez ladu a skladu, bez jakekoliv logiky. Vidle a vlada. Nebo kdomi vysvetlı, jaka je souvislost mezi Hostynem, Kralickym Sneznıkem a Odesou? Je vubecnejaka? Proste pitomina, ktera ani do takoveto ucebnı opory nepatrı. Jenom to zabıramısto!“

Pan Hodny: ,,Pane Prısny, nebud’te tak prıkry. Dockejte casu a pochopıte. Jenomtrpelivost. Byl jste preci na zacatku varovan, ze to nenı pro lidi s pokleslym vkusem. Takse tak neprojevujte. Radeji se vrat’me k panı Mameniove.“

Ptate se me, proc on pribyl na konferenci, sotva pobyl a uz tu zas nenı?

Ma toho moc!

To vıte, kdyz se chce clovek dneska udrzet na spici v oboru, musı na sobehodne pracovat. A on ma tak tezky obor!

Jo, kdyby si zvolil treba takovou matematiku. Ale on musel mıtvsudybylstvı! Ze si to bral.

To mate tak. Dneska musı byt jeden na vsudybylstvı pekny diblık, abyvsechno stıhal. Ono se totiz porad neco deje. A polevit, to by se mu ta jehozivnost pekne svezla: To by byl za chvilku jenom Jenon-nekde-nebyl a zanedlouho Jenom-nekde-byl. Pak by to uz nasledovalo v rychlem tempu. Rel-ativne-skoro-nikde-nebyl a nakonec Vlastne-nikde-nebyl. To jsou ty konce.

Proto se on snazı vsechno stihnout a proto uz tu nenı...

Temito slovy torzo textu kdysi tak nadejneho komeniologa Frantiska Pluhacka koncı.

Tato cast studijnı opory byla autory pojata jako hold a podekovanı pruvodcumteto ucebnı opory, panum Hodnemu a Prısnemu, za jejich nelehky a odpovednyukol, ktereho se tak nezistne zhostili.

Aby bylo videt, ze v dnesnı dobe, kdy lehce selhavajı, sklouzavajı k povrch-nosti a neduslednosti i v minulosti tak osvedcene kapacity, napr. KomenskehoVsudybyl, je nekdo schopny pruvodcovanı s plnym nasazenım a odpovednostık Poutnıkovi poznanım.

Za to jim patrı dık!

Autori

Date post:	22-Jan-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

MATEMATIKAlences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/Skripta/BA02...MATEMATIKA II MODUL 4 OBYCEJNˇ E...

Documents