1 Kinematika

Kinematika se zabývá vyšetřováním pohybu tělesa a zjišťuje jejich dráhy, rychlosti, zrychlení

v závislosti na čase.

Důležitost kinematiky je při navrhování strojů a zařízení s pohybujícími se částmi a při

vyšetřování kinematických závislostí jednotlivých mechanických převodů a mechanizmů.

1) přímočarý pohyb rovnoměrný

- po přímce

- konstantní velikost rychlosti v každém časovém úseku

tj. v = s

t = konst.

s = v . t v = s

t popř. t =

s

v

vztah s = v . t je dána jako funkce času

2) přímočarý pohyb nerovnoměrný

- ve směru přímky

- proměnná velikost rychlosti

a) rovnoměrně zrychlený

b) rovnoměrně zpožděný

poměr změny rychlosti pohybu v za určitý časový úsek je stálý

tj. a = v

t = konst.

a = 2 1 2 1

2 1

v v v vv v at t

t a

Výpočet dráhy z plochy obrazce – jde o lichoběžník: s = 1 2 .2

v vt ,

kde 1 2

2

v v = vstř.

můžeme tedy psát: s = vstř . t

pokud dosadíme za t = 2 1v v

a, dostaneme jiný vztah pro výpočet dráhy:

s = 2 2

1 2 2 1 2 1.2 2

v v v v v v

a a a z tohoto výrazu můžeme vytáhnout, že v2

2 = 2 .s.a+ v1

2

Abychom dostali známý vztah pro výpočet dráhy při známém zrychlení a čase, je třeba si

uvědomit, že lze lichoběžník, který představuje plochy dráhy – rozdělené na dvě části a to na

obdélník a trojúhelník.

Dostávám: s = v1 . t + 2 1 .2

v vt

vezmeme – li a = 2 1

2 1 .v v

v v a tt

nyní dostaneme: s = v1 . t + .

.2

a tt = v1 . t +

2

2

at

je – li v2 v1 a 0 – zde jde o rovnoměrně zrychlený pohyb

je – li v2 v1 a 0 – zde jde o rovnoměrně zpožděný pohyb

2 Kinematika

pokud v1 = 0 pak máme pouze rychlost koncovou, v tom případě je obecné řešení: s = 2

2

at

3) Volný pád – svislý vrh

směr pohybu dolů - a = g = 9,81 m.s-2

směr pohybu nahoru – a = - g = - 9,81 m.s-2

použití vztahů z předchozí kapitolky

4) Rotační pohyb

- po kružnici – směr se pohybuje

a) rychlost pohybu konstantní – v tomto případě je rotační pohyb

rovnoměrný

b) rychlost pohybu není konstantní – v tomto případě jde o rotační

pohyb nerovnoměrný

je zde analogie: s (dráha – úhlová dráha)

v (rychlost – úhlová rychlost )

a ( zrychlení – úhlové zrychlení)

převodní vztahy mezi veličinami přímočarého pohybu (s; v; a) a veličinami rotačního pohybu

( ; ; ):

s = . r

v = . r

a = . r

Kromě úhlové rychlosti zde užíváme u rotačního pohybu otáčky n:

1 otočení odpovídá dráze 2 , což odpovídá vztahu = 2 n - n [ot..s-1

]

nebo = .

30

n - n [ot.min

-1]

ad.a) konstantní velikost úhlové rychlosti

výpočet úhlové dráhy = . t, potom můžeme mít i vztah pro úhlovou rychlost = t

,

případně výpočet času t =

Pozn. 1) Všechny body ležící na kružnici určitého poloměru mají stejnou rychlost obvodovou.

2) Obvodová rychlost se mění podle přímky z nulové hodnoty ve středu kružnice do

hodnoty maximální ( na obvodu kružnice) v = . r

ad.b) proměnná velikost úhlové rychlosti

Budeme uvažovat, že změna rychlosti za určitý časový úsek t je stejná.

tj. t

= konst.,

kde - úhlové zrychlení (zpoždění)

analogicky s pohybem přímočarým nerovnoměrným platí:

2 1

t 2 = 1 + . t

t = 2 1 ,

3 Kinematika

kde 2 – velikost konečné úhlové rychlosti [s-1

]

1 – velikost počáteční úhlové rychlosti [s-1

]

= 2 1

2. t,

kde 2 1

2 = stř - střední úhlová rychlost

- úhlová dráha [rad]

= stř . t

dosadíme – li za čas a střední úhlovou rychlost, dostaneme:

= 2 1

2. 2 1 =

2 2

2 1

2

na základě funkční závislosti úhlové dráhy na čase můžeme odvodit výpočet úhlové dráhy

v závislosti na úhlovém zrychlení a čase.

= 1 .t + 2 1

2 . t

dosadíme – li následující vztah: 2 - 1 = . t

dostaneme = 1 .t + 2.

2

t

Je – li 2 1 0 – jde o pohyb zrychlený

Je – li 2 1 0 – jde o pohyb zpomalený

Pozn. pohyb z klidu 1 = 0; 2 =

5. Složený pohyb

a) složený pohyb ze dvou přímočarých pohybů

aa) směry obou pohybů jsou rovnoběžné – výsledný pohyb je algebraický součet (rozdíl) obou

pohybů

ab) směry obou pohybů jsou různoběžné – výsledný pohyb je geometrický součet obou pohybů

b) šikmý vrh – složený pohyb ze dvou přímočarých pohybů a to ve směru svislém a vodorovném

ve směru vodorovném jde o pohyb přímočarý rovnoměrný (rychlost pohybu se nemění)

ve směru svislém jde o pohyb přímočarý nerovnoměrný – zde jde o volný pád, za zrychlení

(zpoždění) dosazujeme tíhové zrychlení (zpoždění) g

c) složený pohyb z pohybu rotačního a přímočarého

- patří sem valení těles

- rychlost pohybu bodu A lze zjistit jako výslednici rychlosti rotačního pohybu vr a

rychlosti přímočarého pohybu rychlostí vp

- valení je však také rotační pohyb kolem okamžitého pólu P, který mění neustále svou

polohu. Rychlost bodu A proto musí směřovat kolmo na spojnici PA :

vA = ρ . ω

pro všechny body ležící na spojnici PR , tedy i pro střed S platí, že rychlosti musí být

rovnoběžné se směrem valení. Vyjádříme – li nejdříve rychlost středu S jako rychlost

složenou z rychlostí přímočarého pohybu vp a rychlosti rotačního pohybu vr, dostaneme

vs = vp,

protože rychlost rotačního pohybu vr je pro střed S nulová.

Pokud vyjádříme rychlost středu S jako rychlost rotačního pohybu kolem okamžitého pólu

P, dostaneme následující vztahy: vs = r . ω

4 Kinematika

Protože pro střed S je ρ = r

Porovnáním vztahů vs = vp a vs = r . ω dostaneme, že vp = r . ω

Maximální rychlost koná bod R: vR = 2. r. ω,

kdežto rychlost pólu P je nulová, tj. vp = 0

5 Kinematika

Mechanické převody

- jsou to strojní zařízení sloužící k přenosu a přeměně rotačního pohybu a kroutícího

momentu, a to od motoru k pracovnímu stroji

- mechanické převody přesné (řetězové nebo ozubenými koly) – závislost velikosti otáček

výstupních je na velikosti vstupních otáček

- mechanické převody nepřesné (řemenové) – otáčky výstupní závisí jednak na velikosti

vstupních otáček a jednak na silovém zatížení převodů

Nejdůležitější kinematickou charakteristikou všech mechanických převodů je tzv.

převodový poměr i, který vypočteme ze vztahu: i = 1

2

n

n,

kde n1 – otáčky vstupní , tj. otáčky hnacího kola

n2 – otáčky výstupní, tj. otáčky hnaného kola

převodový poměr lze určit geometrických charakteristik mechanických převodů tj.

z průměrů kol nebo počtu zubů

pro převody přesné platí: i = 2 2

1 1

D z

D z,

kde D1 – průměr roztečné kružnice hnacího kola [mm]

D2 – průměr roztečné kružnice hnaného kola [mm]

z1 – počet zubů hnacího kola

z2 – počet zubů hnaného kola

Výše uvedený vztah lze zjistit na základě podmínky rovnosti obvodových rychlostí obou

kol na roztečných kružnicích.

Pro převody nepřesné platí vztah: i = 2

1 .

D

D,

kde -součinitel, zahrnující vliv skluzu ( 1)

D1 – průměr hnacího kola

D2 – průměr hnaného kola [mm]

U převodů složených z několika dílčích převodů se celkový převodní poměr

ic = i1 . i2 . i3 . … . in,

kde ii jsou převodové poměry jednotlivých dílčích převodů

obdobný vztah platí i pro celkový převodový poměr složeného převodu:

ic = 1

n

n

n,

kde n1 – jsou otáčky vstupní tj. otáčky prvního kola složeného převodu

n2 – jsou otáčky výstupní tj. otáčky posledního kola složeného převodu

je – li ic 1, jde o převod dorychla, tzn. že otáčky výstupní (posledního kola) jsou větší než

otáčky vstupní (prvního kola)

je – li ic 1, jde o převod dopomala, tzn. že otáčky výstupní (posledního kola) jsou menší

než otáčky vstupní (prvního kola).

Převodový poměr je číslo bezrozměrné.

6 Kinematika

Převody řemenové

Nepřesný převod

Vzdálenost hřídelů příliš veliká

Řemeny ploché nebo klínové Hnací pásy – kožené, bavlněné, pryžové n. ocelové

Max. délka 60 cm, dlouhé pásy se slepují n. sešívají

Řemen se maže na vnitřní straně lojem n. tukem – řemen se zkrátí, větší přilnavost,

ohebnost a trvanlivost

Převody s plochým řemenem

a) otevřené opásání

b) zkřížené

c) polozkřížené ad.a)

-hřídele jsou rovnoběžné a smysl otáčení

je stejný

-nejvýhodnější je pohon vodorovný

ad.b)

-hřídele se otáčí v opačných smyslech

-vzdálenost hřídelů je přiměřená tj.

a ≥20b, kde b je šíře řemene

-nevhodné pro velké rychlosti a široké

řemeny

ad.c)

- pro pohon mimoběžných hřídelů

- řemen má nabíhat na obě řemenice v jejich středních rovinách – při odvinování řemenu se může

řemen odchylovat od střední roviny nejvýše o 30° - vzdálenost středu hřídelů závisí na b; je-li b≤100 mm nemá být a menší než 3 m

Převody klínovým řemenem

-přenášejí poměrně velké silové zatížení

7 Kinematika

Stavba: dvě litinové řemenice s klínovými drážkami a jeden n. více klínových řemenů

Klínové řemeny: uzavřené lichoběžníkového průřezu; pryžové se zalitou ztužovací vložkou

zvětšující pevnost řemenu; na užší straně zuby (méně trpí ohybem). Normalizovány b x h např.

6x4, 10x6 apd.

Převody řetězové

Pro přesné převody;

pro vlhké a prašné prostory

Pružný, neztrácí v čase účinnost

Menší tlak na ložiska ve srovnání s řemenovými převody (řetěz nemusí být napnutý)

Stavba převodu: pastorek, velké řetězové kolo a řetěz

Rozdělení řetězů: článkové (svařované), zubové, kloubové

Článkové řetězy

A, B, C – pro článkové řetězy, D –řetězová kladka,

tzv. ořech, se čtyřmi zuby, opatřená krytem ke

správnému vedení řetězu

Zubové řetězy - (bezhlučný – Renoldův řetěz)

Řetězy kloubové

Ewartovy řetězy -Obdélníkový tvar –na jednom konci čep a

na druhém hákovitě otevřenou objímku

8 Kinematika

Používané pro pohony o malé rychlosti (do 1m/s)

Gallovy řetězy – složen z článků, které jsou otočně uloženy na

čepech,lehké řetězy mají dva pásy, těžké až 10 pásů.

Použití: ke zdvíhání a přenosu břemen u kladkostrojů,

jeřábů a nákladných výtahů

Převody ozubenými koly

- patří mezi převody přesné

- přenos otáčivého pohybu nebo přenos mechanické energie bezprostředním stykem

- stavba převodu: velké kolo a pastorek (případně ochranný kryt)

- podle vzájemné polohy rozeznáváme: rovnoběžná, různoběžná a mimoběžná

- podle relativního vzájemného pohybu základních

těles:valivá, šroubová

Šroubové mimoběžné soukolí

Valivá soukolí:

Čelní vnější ozubení čelní vnitřní ozubení

9 Kinematika

10 Kinematika

11 Kinematika

12 Kinematika

13 Kinematika

Příklady z kinematiky

Př.1:

Zjistěte rychlost automobilu, jestliže za čas t ujel dráhu s.

(t = 5 hod; s = 300 km)

Př. 2:

Zjistěte celkovou dráhu pohybu vozidla, jede-li p dobu t1 rychlostí v1 a po dobu t2 rychlostí v2.

(t1 = 1,5 h; v1 = 60 km.h-1

; t2 = 2 h; v2 = 90 km.h-1

)

Př. 3:

Ze stanoviště A bylo nutné doručit zprávu do stanoviště B.Jelikož nebylo možné použít ani

rádiového ani telefonického spojení, bylo rozhodnuto, doručit zprávu pomocí motospojky. Dále

bylo rozhodnuto, že ze stanoviště B bude vyslán automobil, který pojede motospojce naproti.

Průměrná rychlost motospojky je vm a automobilu va. Vzdálenost obou stanovišť je s. Proveďte

analýzu dané situace pro tři alternativní případy:

vm va

vm = va

vm va

14 Kinematika

Př. 4:

Odvoďte obecný vztah pro výpočet průměrné rychlosti v , jede-li vozidlo v určitém úseku s1

rychlostí v1, v úseku s2 rychlostí v2, v úseku s3 rychlostí v3 atd., to znamená, že v libovolném

úseku si jede vozidlo rychlostí vi, přičemž těchto úseků může být libovolný počet, obecně n.

Př. 5:

Vypočtěte průměrnou rychlost v případě, že vozidlo jede ze stanoviště A do stanoviště B

rychlostí v1 a zpět rychlostí v2.

(v1 = 40 km.h-1

, v2 = 60 km.h-1

)

Př. 6:

Kosmická raketa startující ze Země a letící na Měsíc dosáhla za čas t1 první kosmickou rychlost

v1k. Touto rychlostí se pohybuje po čas t2. Potom je znovu zapnut hlavní motor a během času t3

dosáhne raketa druhou kosmickou rychlost v2k. Touto rychlostí se raketa pohybuje v čase t4.

V určité vzdálenosti od povrchu Měsíce jsou zapnuty brzdící motory, které pracují po čas t5, až

přistávací modul rakety dosedne na povrch Měsíce. Určete celkovou dráhu s, kterou raketa

proletí.

(t1 = 120 s; t2 = 1,5h; t3 = 90 s; t4 = 10 h; t5 = 4 min; v1k = 7,9 km.s-1

; v2k = 11,2 km.s-1

)

Př.7: Zjistěte celkovou dráhu automobilu, je –li t1 doba rozjezdu, t2 doba rovnoměrného pohybu

rychlostí v a t3 doba brzdění.

(t1 = 20s; t2 = 50s; t3 = 15 s; v = 100 km.h-1

)

Př. 8:

Z povrchu Země je vystřelen kolmo vzhůru dělostřelecký granát. Výstřelná rychlost je v1. Určete:

a) maximální výšku výstřelu hmax

b) rychlost granátu při dopadu zpět na zem vd.

c) celkovou dobu letu granátu t. Odpor vzduchu neuvažujte.

Př. 9:

Setrvačník průměru D koná n otáček za minutu. Vypočtěte dráhu s, kterou urazí bod na obvodu

setrvačníku za čas t. a jeho obvodovou rychlost v.

Př. 10:

Mezi telekomunikační zařízení, určené k přenosu rádiových a televizních signálů na velké

vzdálenosti, patří i tzv. stacionární družice, „zavěšené“ v určité výšce nad povrchem Země. Jsou

to družice, které vzhledem k povrchu Země nemění svou polohu. Pohybují se tak, jakoby byly

pevně spojeny se zeměkoulí. Analyzujte pohyb této družice z hlediska kinematiky.

Př. 11:

Setrvačník se rozbíhá z klidu a za čas t dosáhne otáček n. Zjistěte jeho úhlové zrychlení ,

úhlovou rychlost , a obvodovou rychlost v na průměru D na konci rozběhu a počet otočení i,

které vykoná během rozběhu.

(d = 2 m; r = 10s; n = 50s-1

)

Př. 12:

15 Kinematika

Zjistěte otáčky n2 a n3 řemenového převodu dle obr.

(n1 = 1000 min-1

; D1 = 100 mm; D2 = 200 mm; d2 = 150 mm; D3 = 300 mm; = 0,9)

Př. 13:

Zjistěte celkový převodový

poměr ic složeného převodu

ozubenými koly, který je na

obr.

(z1 = 26; z2 = 72; z3 = 30; z4 =

96.)

Př. 14:

Pokud se dvě tělesa pohybují proti sobě, zmenšuje se vzdálenost mezi nimi o 16m za každých 10

s. Když se tatáž tělesa budou pohybovat stejnými rychlostmi jako v prvním případě, ale v jednom

směru, bude se zmenšovat vzdálenost mezi nimi o 3 m za každých 5 s. Jak velké jsou rychlosti?

Př. 15:

Dva cyklisté jsou od sebe vzdáleni 130 m. Jeden z nich se pohybuje rychlostí 18 km.h-1

a nahoru

do vrchu stoupá se zrychlením – 20 cm.s-2

, druhý má rychlost 5,4 km.h-1

a spouští se z vrchu se

zrychlením 0,2m.s-2

. Za jak dlouho se setkají a jakou vzdálenost ujedou do setkání?

Př. 16

Hnací řemenice má průměr D1 = 200 mm; a její otáčky jsou n1 = 12,4 s-1

. Otáčky hnané řemenice

je třeba snížit na n2 = 4,7 s-1

. Jaký průměr bude mít řemenice?

Př. 17.

Hnací řemenice má průměr D1 = 250 mm, hnaná řemenice má průměr D2 = 350 mm a její otáčky

jsou n2 = 6 s-1

. Vypočítejte převodový poměr a otáčky hnací řemenice.

Př. 18.

Počet zubů ozubených kol je z1 = 16, z2 = 40, modul těchto kol je m = 3 mm. Otáčka hnaného

kola jsou 8 s-1

. Vypočítejte převodový poměr kol, otáčky hnacího kola a průměry obou

ozubených kol.

Př. 19.

Celkový převodový poměr třístupňové převodovky je 20. Navrhněte dílčí převodové poměry.

16 Kinematika

Př. 20.

Hřídel elektromotoru koná n1 = 48 s-1

otáček. Je na něm naklínováno ozubené kolo, počet zubů z1

= 20. Určete převodový poměr a počet zubů ostatních ozubených kol, je – li průměr kola D3 =

1,5. D1. Hnaný hřídel má mít n2 = 4 s-1

otáček. Jde o dvoustupňový převod, kde převodový stupeň

jednoho soukolí nemá být větší než 4.

17 Kinematika

18 Kinematika

19 Kinematika

20

Kinematika