1eres Approches GCs BEP, BAc Pro- VF

8/18/2019 1eres Approches GCs BEP, BAc Pro- VF

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1. PREMIÈRES APPROCHES

La Découverte de la TI-82 STATS.FR

Les Essentiels

La TI-82 Stats. fr reprend toutes les fonctions de la TI-83. Autant au niveauStatistique qu’au niveau graphique. Elle possède également un module de calculs

financiers.

Sa capacité mémoire est de 32 Ko (dont 27 Ko de disponibles pour l’utilisateur).Son écran, très contrasté et très lisible, possède 8 lignes de 16 caractères.

Soit 96 × 64 pixels.

Elle possède une prise permettant une liaison « Calculatrice – Calculatrice » (le câbleest fourni) pour des échanges de données. Il est également possible de la relier à un Mac

ou à un PC via un câble « TI-Graph-Link » et les logiciels « TI-Graph-Link » ou « TI-Connect ».

La liaison avec des interfaces de type CBL/CBL2 ou CBR est possible en installant

les programmes « ChimBio » ou « Physique » en software.

Zone 1 Touches réservées à la

partie graphique de la

machine.

Zone 2

Touches permettant

d’utiliser les fonctions« seconde » ou

« alphabétique » des

touches.

Zone 3

Touches numériques qui

permettent d’entrer des

nombres.Attention : on remarquera

que le séparateur décimal

est un point « . » et qu’ilexiste un signe négatif

pour les nombres « (–) » à

ne pas confondre avec le« – » de soustraction.

Zone 4

Touches de déplacement

utiles dans les menus pour

un déplacement vertical.Elles sont également utiles

dans la partie graphique

pour un déplacement dans

la fenêtre ou pour passerd’une courbe à l’autre.

Zone 5

Touches d’opérations.

Attention : le signe « – » placé ici ne s’utilise que

pour la soustraction.

Zone restante

Cette zone correspond aux

différentes fonctions de lamachine. C’est la partie

scientifique.

© 2007 Texas Instruments / T3 Photocopie autorisée 2


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Touchez Zone 6

Touches permettant

d’obtenir des menus

déroulant. Aussi bien en

fonction 1

Touche permettant

de paramétrer lacalculatrice (pour sa

fonction première) et de

sortir d’une boîte de

dialogue ou d’un menu pour revenir à l’écran de

calcul grâce à sa fonction

y 5.

re que 2

nd .

Zone 7

Dans cette zone nousregarderons les fonctions

2

nd

de notre partie

numérique. Nous trouvonsles six listes par défaut de

la machine, les variables

pour les suites numériques

ainsi que le catalogue detoutes les fonctions de la

machine (c’est très utile

lorsqu’on ne sait pas oùtrouver une fonction peu

usitée).

Touche…

Touche permettant d’aller

dans les fonctionsstatistiques Stats

ou dans les listes dedonnées en fonction 2nde

[listes].Touche [mém]

Cette touche permet de

vérifier la place restantedans la machine, de gérer

la mémoire (effacer des programmes, des listes,

des données, …) ou

d’effectuer un « Efface ». Touchev

Touche [entrer]Cette touche permet de

stocker des données (dans

des listes, des variables oudes chaînes de caractères).

Cette touche permet de

récupérer la ligne decalcul précédente. Ceci

évite de devoir retaper une

longue séquence detouches. Cette touche

donne aussi accès au

« resol » de la machine.

Sa fonction 2nde

[rappel]

permet de récupérer une« Variable », « Liste »,

« Image », « Chaine » ou

tout autre donnéesauvegardée (ou stockée).



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2. LES CALCULS DE BASE

Les Essentiels : Calculs numériques

1) Étudions l’affichage desnombresCalculons le quotient de

2 par 3.

L’affichage peut se faire

avec un nombre fixe de

décimales, ici 2.

Les décimales non affichées

ne sont pas perdues.

Le retour au mode Float

permet de les retrouver.

2) Calculons avec desfractions

a) Transformons 9,235en une fraction.

La fraction affichée est

irréductible.

b) Simplifions la fraction :

90

306.

c) Donnons l’écriture

décimale de :5

17.

d) Calculs mixtesDonnons sous formefractionnaire le résultat de :

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−×

8

7

1

5

2

3

1

17

3.

z

y 5 Pour revenir à l’écran de calcul.

Á¥ Â Í

z

y 5 Í

® Ë Á Â ·

Í Í

Â Ê ¸ ¥ ® Ê

Í Í

À ¬ ¥ ·

† Í Í

Â ¥ À ¬ ¯ £

À ¥ Â ¹ Á ¥

· Ã À ¥ £ ¬

¥ − ¤ ¤

Í Í

Nombre de chiffres affichés : z

Fractions :

Puissances : y D ¢ ›

Notation scientifique, ingénieur : z



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3) Calculons avec des puissances :35

2 – 3

On peut obtenir l’écriture

fractionnaire du dernier

résultat.

Travaillons avec des

puissances de 10.

Calculons :

5 × 1012 5 × 106 5 × 10 – 3 × 8 × 109 Tant que la calculatrice peut

afficher le résultat du calcul

elle abandonne l’écriture

utilisant les puissances

de 10.

4) Calculons en modescientifique :4 587,695

0,01392

Tous les résultats, même de

calculs très simples, seront

donnés sous formescientifique :

2 × 3457,78 × 10-5

5) Calculons en modeingénieur :345678,2

5,47 × 1011 × 32 × 10 – 5

Les exposants seront

toujours multiples de 3.On peut revenir à l’écriture

scientifique ou à la notation

normale en changeant

le mode.

Â › · Í

Á › Ì Â Í

Í Í

· y D À Á

Í

· y D ¸

Í

· y D k Â

¯ − y D ®

z

¶ · − ¬ ¢ ¸

® · Í

Ê Ë Ê À Â ®

Á Í

Á ¯ Â Í

¶ · ¬ Ë ¬ −

y D k ·

Í

Â ¶ · ¸ ¬ −

Ë

Á

Í

· Ë ¶ ¬ y D

À ¯ Â Á y

D k ·



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3. EXPLORATION GRAPHIQUE

Les Essentiels

Savoir représenter une fonction : choisir la fenêtre :p

Utiliser les zooms :q Savoir faire des résolutions graphiques sur un intervalle : équations, inéquations, recherche

d’extremums.

Voici un exemple traité à partir d’une partie du sujet de Baccalauréat Professionnel Maintenance des

matériels (A, B et C), Session 2004.

Partie B : Modélisation mathématique

Soit f la fonction définie pour tout x de l’intervalle [2 ; 8] par :

f(x) = 4 x3− 120 x2 + 900 x.

1 ) Tracer dans le plan rapporté à un repère (Ox , Oy) :

a) la courbe Cf représentative de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8] ;

b) la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x = 2.

2 ) Résoudre l’équation : f(x) = 0 pour x appartenant à l’intervalle [2 ; 8].

3 ) Déterminer les coordonnées de l’extremum de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8].

1) Entrons la fonction.On règle la fenêtre pour les

abscisses.

Pour les ordonnées, il fautregarder dans la table de

valeurs le maximum et le

minimum de la fonction

sur l’intervalle [2 ; 8].

Mais il est plus rapide

d’utiliser le ZMinMax pourajuster automatiquement les

ordonnées.

o

p

q }

Í



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Pour obtenir les axes du

repères, on change la fenêtre.

2) Traçons la tangente à lacourbe au point d’abscisse 2 Il faut utiliser le menu

[dessin].

La TI-82 STATS. fr donne en plus l’équation de la tangente.

3) Résolution de l’équationf(x) = 0Le graphique montre

clairement que l’équation

f(x) = 0 n’a pas de solution sur

l’intervalle [2 ; 8].

On vérifie avec la TI-82STATS. fr. On utilise le menu

[calculs].

On choisit l’intervalle borne

inférieure et borne supérieure.

TI-82 STATS. fr confirme

l’absence de solution surl’intervalle [2 ; 8].

Par la même méthode on

détermine le maximum de la

fonction sur l’intervalle [2 ; 8].

p

y

· Tangente £

Á Ligne £

Í

y r

Á zéroÍ

− Í

Í

y r

¶ Í



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4. GESTION DE LISTES

1) Qu’est-ce qu’une liste ?C’est un tableau numérique àune colonne.Il existe dans la calculatrice 6listes nommées L1, L2,…,L6.On peut créer ses propres listesen les nommant avec un nom

d’au plus 5 caractèresalphanumériques.

Les Essentiels

Éditer une liste : … 1 :Edite

Effacer le contenu d’une liste :… 4 : EffListe

Pour entrer dans lemenu liste :

…

1 :Edite

2) Comment remplir uneliste ?

On place le curseur sur le premier élément.On écrit la valeur.On valide.La valeur s’inscrit dans lacolonne. Le curseur descendd’un cran.

On écrit la deuxième valeur.On valide.

Pour insérer un élément, (parexemple le nombre 17 entre lesnombres 15 et 19 placer lecurseur sur l’élément suivant.

À Á Í

À Â Í



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Taper :y 6 Un 0 s’inscrit dans la colonne.On écrit la valeur à insérer.En validant elle s’inscrit dans lacolonne.

Pour effacer une valeur on

utilise la touche :{

y6

y6

3) Comment créer une liste àpartir d’autres listes ?

On place le curseur sur le nomde la liste à créer. En validant,le curseur descend en bas àgauche. On écrit la relation de laliste avec les autres listes.

En validant cette expression lesvaleurs calculées s’affichentautomatiquement.

Si on écrit la relation entreguillemets la nouvelle listedépendra des autres listes.

La calculatrice affiche uncadenas à côté du nom de laliste.

y d Ã y

e

t ã y d

Ã y e

t ã



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En modifiant un des élémentsdes listes apparaissant dans larelation, l’élément résultant dela liste est automatiquementmodifié.

4) Comment effacer lecontenu d’une liste ?

Exemple : EffListe L1, L2.

… 4 : EffListe



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5. RESOLUTIONS D’EQUATIONS&

SYSTÈMES D’EQUATIONS

5.1 Résolutions d’équations : Méthode numérique

Soit à résoudre l’équation suivante : x +27

4x =

1) Utilisons la fonction« résol »La calculatrice étant allumée

avec l’écran de calcul affiché,

aller chercher la fonction résoldans le catalogue des fonctions

de la machine.

2) Complétons les argumentsde la fonction résolLa fonction résol demande

trois arguments au minimum :

– l’expression, qui doit être

égale à zéro (on transforme

l’équation en l’expression :

x +27

4x = ) ;

– la lettre de l’inconnue

(ici x) ;

– une valeur numérique1

(ici 0).

y [catalog]

r † ...†

£ ¯ Ã ¯ ¥ ¶

¹

¬ ¥ Á Ë − ¯

Ë Ê

¤ Í

Les Essentiels : Résolution numérique d’une équation à une inconnue

Utilisation de la fonction résol : y [catalog] r † ...†

1 La valeur numérique attendue est une estimation de la solution cherchée. Cela peut dans certains cas accélérer la vitesse de

calcul. Si on n’a aucun ordre d’idée concernant cette solution, on peut indiquer une valeur numérique quelconque.



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Rechercher les zéros de la fonction définie sur R+ par y = 4ln(x) – x

3) Fonction « résol » avec unintervalle de recherche

L’étude des variations a permisde montrer que 4 ln(x) – x

s’annule pour x1 compris entre

0 et 4 et pour x2 compris entre

4 et 10.

On calcule successivement une

valeur approchée de x1 et de

x2.

Noter la syntaxe : L’intervalle

de recherche est écrit entre

accolades {0,4}.



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SYSTÈMES D’EQUATIONS

5.2 Résolutions d’équations : Méthode graphique

Résoudre l’équation : x2 – x – 1 = 0

1) Définir une fonction

Définir une des fonctions ο par

x2 – x – 1 (si vous avez défini

des fonctions précédemment, il

peut être nécessaire de les

supprimer).

2) Obtenir le tracéBasculer dans l’écran graphique,

régler éventuellement le cadrage

(6 donne le cadrage standard).

3) Chercher la solutionnégativeL’équation proposée a 2

solutions. Pour chercher la

solution voulue, on utilise la

commande zéro du menu/

On entrera successivement les

bornes de l’intervalle de travail

(borneinf, bornesup) puis une valeur numérique

estimée (Valeur Init : on peut se contenter de valider par

Í).

4) Chercher la solution positive

On utilise la même méthodeen choisissant comme

intervalle de recherche [1 ; 3] par exemple.

o „ ¡ ¹

„ ¹ À Í

s

q ¸

y / zéro

| .. | Í

~ .. ~ Í

Í

Les Essentiels : Résolution graphique d’une équation à une inconnue

Représenter la fonction correspondant à l’expression :o puiss

Utiliser les fonctions de calcul de l’écran graphique :y / zéro



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SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

5.3 Systèmes d’équations : Méthode numérique

Résoudre le système :⎩⎨⎧

=+−

=−

14

432

y x

y x

1) Entrer les coefficients dusystème dans 2 matrices [A] et[B]

Éditer la matrice [A] à 2 lignes et2 colonnes et lui affecter les

coefficients du

système.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

41

32

Faire de même pour la matrice[B] à 2 lignes et une colonne qui

sera définie par : .⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1

4

2) Effectuer le produit[A]-1 × [B]Se replacer dans l’écran decalcul.Effectuer le produit de matricessuivant : [A]-1 × [B].

3) Obtenir un résultatrationnelSi les coefficients sontrationnels, le résultat l’est

également.On peut donc demander sonaffichage sous forme d’unefraction :

56et

519 == y x .

~ ~ À

~ ~ Á …

y 5

À — ¯

Á Í

À Í

Les Essentiels : Résolution numérique d’un système de deux équations du premier degré à deuxinconnues

Utilisation de la fonction matrice :



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SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

5.4 Systèmes d’équations : Méthode graphique

Les Essentiels : Résolution graphique d’un système de deux équations du premier degré à deuxinconnues, recherche de l’intersection de deux courbes

Utilisation de l’écran graphique :s et menu/

Trouver les coordonnées du point d’intersection des droites D1 et D2 ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

−=

5:

13

2:

2

1

x y D

x y D

1) Entrons les équations des

droites dans l’éditeurSi vous avez défini desfonctions précédemment,

il peut être nécessaire de les

supprimer.

2) Affichonsl’écran graphiqueRégler éventuellement le

cadrage de la fenêtre (q ¸ pour un cadrage standard).

3) Utilisation du menu

[CALC] pour rechercherl’intersection

Ouvrir le menu /. etchoisir 5 : intersect.

On désigne successivement les

deux courbes et une valeur

numérique estimée (valeur

estimée, particulièrement utile

pour des courbes ayant

plusieurs points

d’intersection).

Il suffit ici de valider 3 fois

pour accepter les valeurs

par défaut. Remarque : Cette méthode peut

être utilisée pour rechercher

l’intersection de deux courbes

quelconques, ici un logarithme et

une parabole .

o

Á ¥ Â „ j À Í

Ì „ Ã Â Í

s

y / ·

Í Í Í



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6. ÉTUDE D’UNE FONCTION

Étude de la fonction définie par f(x) = x3 – x² – 2x + 2 ; résolution graphique de l'équation f(x) = 0

1) Configurons la calculatriceIl s’agit de régler la calculatrice enmode Fonction (Fct ) et points reliés( Relié ) conformément à l’écran ci-

contre.

2) Entrons la fonctionIl faut saisir l'expression de f(x).

3) Procédons au calcul de quelques

valeurs de f(x) Définissons les paramètres de la table.

Utilisons pour lire quelques valeurs :nous observons en particulier quef(1) = 0, que f(0) = 2.

À l’aide de la table de valeurs,résolvons le problème : « trouver unencadrement de largeur 0,1 de lasolution négative à l'équation f(x) = 0 ».(L'écran précédent montre qu'il existeune solution entre – 1,5 et – 1).

z Valider chaque

choix par Í

o „ ›

Â

j „ ¡ j

Á „ Ã Á

y -

y 0

y -

Les Essentiels : Fonction numérique à variable réelle définie par y= f(x).

Calcul des valeurs de f(x) pour x donné :o y - y 0 y /

Représentation graphique :p s r q



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La lecture de ce tableau permetd'affirmer qu'il existe une solution dansl’intervalle] – 1,5 ; –1,4[.

Calcul direct de f(x) pour une valeur

quelconque de x, par exemple :f(– 1,45), f(– 1,4), f(– 1,41) pourtrouver un encadrement plus précis dela solution au problème précédent.

Remarque : le premier calcul fait, il suffit

d'utilisery Í pour rappelerl'expression et changer la valeur de x.

4) Représentons graphiquement la

fonctionDéfinissons une fenêtre d’affichageadéquate pour la fonction f, pour xallant de – 3 à 3.

Visualisons la représentation graphiquede la fonction f.

Remarque :r ets donnent la

même figure ;r présente l'avantage d'afficher la fonction et les coordonnées

du point courant.

L’étude graphique précédente permetd’envisager une étude intéressante auxalentours de x = 1 ; il est possible, en particulier, de se demander s'il existedes valeurs positives de x rendant f(x)négatif.

Nous pouvons donc conclure que f(x) prend des valeurs négatives, mêmelorsque x est positif.

5) Résolvons l'équation f(x) = 0L’observation du graphique précédent permet de conjecturer que l’équationf(x) = 0 admet deux solutions positivesdont les valeurs approchées peuvent êtreobtenues en utilisant l’option zéro du

menu/.

puis

y 0

y

5

pourrevenir à l’écraninitial, puis :

~ À

Í

£ Ì À Ë

¶ · ¤ Í

p

r

~ jusque vers x = 1(une quinzaine de

fois) puis

q Á Í

r

y / Á puis

~…….~



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Conclusion : f(x) = 0 admet deuxsolutions positives dont les valeursapprochées sont 1 et 1,414.

Remarque : il est facile de vérifierqu’effectivement 1 est solution.

La deuxième solution semble être 2; il

est possible de le vérifier :y 1

y ¤ y y Á ¤ affiche0.

Nous venons donc de trouver deux

solutions à l’équation f(x) = 0.Le premier graphique nous avait montréqu’il existait une autre solution,négative. Pour l’obtenir avec la mêmeméthode il nous faut revenir à unefenêtre d’affichage plus grande que ladernière ; nous allons pour cela utiliser

l’option 3 (Zoom -) du menuq

Il ne reste plus alors qu’à déterminer la

troisième solution :y / Á avecun intervalle correct donne une valeur

approchée qui permet de penser à – √ 2ce qu’il est facile de vérifier pary

/ À En conclusion, l’équation f(x) = 0 atrois solutions : 1, √ 2 et – √ 2 ; ce qu’ilreste à vérifier en développant(x – 1)(x² – 2).

y / Á puis

~…….~

q Â Í

etr

suivi de| (autant de fois que

nécessaire).

y / Á



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7. LES SUITES

7.1 Suites arithmétiques

Les Essentiels : Suite définie par son premier terme et sa raison

Calcul du terme de rang n :o „ y - y 0 Représentation graphique des termes :p s r

Calcul de la somme des n premiers termes :y 9

Étude de la suite définie par u1 = – 15 et un = un –1 + 4

1) Configurons la calculatriceIl s’agit de régler la calculatrice

en mode Suite conformément àl’écran ci-contre.

2) Entrons la suiteIl faut saisir la formulede récurrence et le premier termedéfinissant la suite dans l’éditeurde fonction.u s’écrit avec la touche :n s’écrit avec la touche :

3) Procédons au calcul desvaleurs de u0, u1,..., unDéfinissons les paramètresde la table.

À l’aide de la table de valeurs,résolvons le problème :« déterminer le plus petit rang ntel que un > 25 ». On lit n = 12.

Lecture directe de un pourune valeur quelconque de n, par exemple u100, u457.

z Valider chaque choix

ParÍ

o

y õ

„

y -

y 0

y 5 pour revenir à l’écran

initial

y ’ £ À Ê

Ê ¤

y ’ £ ¶ ·

¬ ¤



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4) Représentons graphiquementla suiteDéfinissons une fenêtred’affichage adéquate pour la suite(un) pour n allant de 1 à 10.

Visualisons la représentationgraphique de la suite :un = un – 1 + 4.

Visualisons les valeurssuccessives des termesde cette suite.

5) Calculons la sommedes termes de la suiteSoit à calculer :S10 = u1 + u2 + …+ u10.

On crée dans L1 la liste desentiers naturels de 1 à 10.

Dans L2 on crée u(L1) pourcalculer les 10 premiers termesde la suite.

On calcule dans L3 à chaque foisla somme cumulée des termes dela liste L2.

On vérifie que pour n = 10 lasomme demandée est S10 = 30.

p Les paramètres à

intégrer :(1, 10, 1, 1, 0, 10, 1,

– 15, 21, 4).

s

r Utiliser les flèches

droite – gauche du pavédirectionnel.

… À Se positionner sur L1

Í

y 9 ~ ·

y ’ £ y

¤ d

Í

y 9 ~ ¸

y e ¤

| | t †

t †



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7. LES SUITES

7.2 Suites géométriques

Les Essentiels : Suite définie par son premier terme et sa raison

Calcul du terme de rang n :o „ y - y 0

Représentation graphique des termes :p s r

Suite définie par le terme général :y 9

Calcul de la somme des n premiers termes :y 9

Étude de la suite définie par u1 = 3 et un = 2 un – 1

1) Configurons lacalculatrice et entrons lasuiteLe réglage de la calculatriceet la saisie de la formule derécurrence se font comme pour les suitesarithmétiques.

2) Établissons la tableLe calcul des valeurssuccessives de u1, u2, …un se fait comme pour lessuites arithmétiques.

À l’aide de la table devaleurs, résolvons le problème : « déterminer le plus petit rang n tel queun > 100 ». On lit n = 7.

3) Représentonsgraphiquement la suiteDéfinissons une fenêtred’affichage adéquate pourla suite (un) pour n allant de1 à 10.

z Valider chaque choix par

Í o

y ’ „

y -

y 0

y 5 pourrevenir à l’écran initial.

p Les paramètres à

intégrer sont donnés parles écrans.



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Visualisons lareprésentation graphique dela suite un = 2 un - 1Visualisons les valeurssuccessives des termes de

cette suite.

À l’aide d’un écran partagéverticalement, on visualisesimultanément la table devaleurs et la représentationgraphique.Le mode TRACE permet dedéplacer le curseur sur lareprésentation et sur latable.À l’aide d’un écran partagéhorizontalement, onvisualise la représentationgraphique et on a la possibilité de calculer unevaleur particulière dans la partie « écran de calcul ».

4) Calculons la somme destermes de la suiteSoit à calculer :S10 = u1 + u2 + …+u10On crée dans L1 la liste desentiers naturels de 1 à 10 puis on procède commeexpliqué dans la fiche« Suites arithmétiques ».

5) Utilisons la formulegénérale : u1 q

n – 1.Dans L2 on crée u1q

L1–1 pour calculer les 10 premiers termes de la suite.On calcule dans L3 àchaque fois la sommecumulée des termes de laliste L2.

On vérifie que la somme S10 demandée est 3069.

s

r Utiliser les flèches droite

– gauche du pavédirectionnel.

z

s r

z

s r

… À Se positionner sur L1

Í

y N µ et descendre pour

obtenir suite(

Â ¯ Á › £

y d ¹ À ¤

Í

y 9 ~ ¸

Í

y e Í



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8. ÉTUDE D’UNE SÉRIE DE DONNÉES

8.1 Série statistique à une variable

Les Essentiels : Calculs des paramètres d’une série statistique et représentations graphiques

Saisie des données :…

Représentation graphique de la série :y , p q s

Calculs des paramètres :… y 9

Les résultats d’une enquête concernant l’âge des salariés d’une entreprise a fourni les

résultats suivants.

Âge Effectif[ 20 ; 25[

[ 25 ; 30[

[ 30 ; 35[[ 35 ; 40[

[ 40 ; 45[[ 45 ; 50[

[ 50 ; 55[

12

18

2822

3325

22

1°) On veut représenter cette série à l’aide d’un histogramme. 2°) On demande de calculer l’âge moyen, l’âge médian des salariés.

3°) On veut enfin l’écart type des âges des salariés de l’entreprise.

PréliminaireSi on a déjà utilisé le

tableau statistique il peut

être nécessaire de

« nettoyer » les listes.

Soit toutes les listes, soit

certaines listes seulement.

1) Entrer dans le tableaustatistiques

y L ¶ Ou

… ¶ suivi des noms des listes

à nettoyer.

y d ¢ y e

… À ou

… Í



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2) Entrer les donnéesIl faut entrer les centres des

intervalles des âges dans la

liste L1 et les effectifs dans

la liste L2.

3) Histogramme Pour représenter la série

Avec un histogramme il

faut tout d’abord :

Configurer le graphique

statistiques.

Régler la fenêtre.

Afficher le graphique

(écran de gauche).

On peut ensuite parcourir

l’histogramme(écran de droite).

3) Calcul des paramètresPour afficher la moyenne, la

médiane, et l’écart type de

cette série.

est la moyenne

σx est l’écart type

Med est la médiane.

Á Á Ë ·

Í jusqu’à

· Á Ë ·

Í puis~

À Á jusqu’à

Á Á

y - Í Valider les choix de

l’écran de droite ci-

contre.

p

Remarque :Xscl

représente l’amplitude

des classes.

s

r et

… ~ Pour avoir le menu

[CALC]

Í ou À

Puis

y d ¢ y e

L1 contenant les valeurset L2 les effectifs.



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8. ÉTUDE D’UNE SÉRIE DE DONNÉES

8.2 Série statistique à deux variables – Ajustement affine

Les Essentiels : Représentation d’un nuage de points et ajustement affine d’une série statistique double

Saisie des données :…

Représentation graphique de la série :y , p q s

Ajustement affine :o s

On a relevé dans un snack l’évolution du nombre de clients suivant le montant de

l’addition (en euros). L’enquête a fourni les résultats suivants.

Prix en € 2,5 5 5,5 6 6,5 8,5 9 10

Nombre de clients 24 22 20 19 18 16 14 13

1°) On veut représenter cette série à l’aide d’un nuage de points. 2°) On veut calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. 3°) On veut calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 (des quatre premiers points et des quatre derniers points).

4°) On veut déterminer une équation de la droite (G1 G2).

1) Entrer dans le tableau

statistiques Nettoyer si nécessaire les

listes auparavant (voir au

chapitre 4).

2) Entrer les donnéesLes montants des additions

dans la liste L1 et le nombre

de clients dans la liste L2.

3) Nuage de pointsPour représenter la série

avec un nuage de points il

faut tout d’abord :

– configurer le graphiquestatistiques ;

… À ou

… Í

Á Ë · Í

puis

~ Á ¶ Í

y , Í

Valider les choix de

l’écran de droite

ci-contre.



26/40

– régler la fenêtre ;

– afficher le nuage de

points.

4) Calcul des coordonnéesde GLes coordonnées de G sont :

(6,625 ; 18,25).

5) Calcul des coordonnées

de G1 et G2On recopie dans L3 et L4

les 4 premiers termes de L1

et L2 et on répète l’étape 4.

On obtient :

G1 : x 1 = 4,75 ; y1 = 21,25.Puis on recopie dans L5 et

L6 les 4 derniers termes de

L1 et L2 et on répète l’étape

4. On obtient :

G2 : x 2 = 8,5 ; y2 = 15,25.

6) Droite de Mayer(ajustement affine)Cette équation a pour

coefficient directeur :

a =y 2 – y 1

x 2 – x 1 = –

24

17et

pour équation :

y = a ( x – x 1 ) + y 1

p Valider les choix ci-

contre ou utiliser.

q ®

s

… ~ pour avoir le menu

CALC puisÁ

ou† Í Puis

y d ¢ y e

L1 contenant lesmontants et L2 le

nombre de clients.

… ~ Á f

¢ g Í

… ~ Á h

¢ i Í

o Entrer l’équation puis

s



27/40

9. SPÉCIALITÉS INDUSTRIE/AGRICULTURE

9.1 Le théorème de Thalès

Les Essentiels : Pratiquer la propriété de Thalès

Utiliser la TI-82 STATS.FR pour réaliser les calculs en utilisant les mémoires de lacalculatrice.

Tourniquette sur un triangle

Soit ABC un triangle et M1 un point de [AB]On effectue la construction suivante :

– M2 point de [AC] tel que (M1M2) // (BC)

– M3 point de [BC] tel que (M2M3) // (AB) – M4 point de [AB] tel que (M3M4) // (AC)

– M5 sur [AC] ...

– M6 sur [BC] ...

A

B C

M1M2

M3

M4

On entre les longueurs des trois côtésdu triangle et AM1.BC = a, AC = b, AB = c.

On choisi ici AM1 = 2.

En route pour un premier tour

Calcul de AM2 On utilise la propriété de Thalès pour le

triangle ABC avec la droite ( )

parallèle à BC.

1 2M M

2AM AM=AC AB

1 donc AM2 = AM1 c b .

Calcul de BM3 On utilise la propriété de Thalès pour le


parallèle à AB.

2 3M M

3

2

BM BC=

AM AC donc BM3 = AM2 b

a .

¸ ¿ t A

− ¿ t B

Á Ê ¿ t C

Á Í

¯ t B¥ t C

¯ t A¥ t B



28/40

Calcul de AM4 On utilise la propriété de Thalès pour le


parallèle à AC

3 4M M

4

3

AM AB=CM BC

donc4 3 cAM =(a-BM )

a

En route pour un second tour

On réitère le procédé.

La ligne se ferme au second tour.

Recommençons avec un autre point M1 par exemple avec AM1 = 3,5.

La ligne se ferme encore au second tour.

Pour aller encore plus vite, taper les trois

formules séparées par « : ».

La frappeÍ relance le dernier calcul.La ligne se ferme encore au second tour.

Essayer en changeant de triangle.

Que concluez-vous ?

Reprendre le même exercice avec un

quadrilatère, avec un pentagone, etc.

£ t A¹ y Z ¤

¯ t C¥ t A

On rappelle les frappes

précédentes avecy Í

Il est possible de faire la lignecomplète en séparant les

opérations successives

par :ƒ :

Í



29/40


9.2 Le théorème de Pythagore

Les Essentiels : Pratique à l’aide de la TI-82 STATS.FR du théorème de Pythagore et de sa

réciproque

Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC2 = AB

2 + AC

2.

Si le triangle ABC vérifie BC2 = AB

2 + AC

2 alors le triangle est rectangle en A.

Reconnaître un triangle rectangle

AB AC BC ABC est rectangle ?

3 4 57 12 8

1.25 2.25 4

108 40 62

1.5 2 2.5

On utilise les listes de la calculatrice

pour automatiser les calculs.

On entre dans la liste L1 la longueur

du plus grand côté.

On entre dans L2 et L3 les longueurs

des deux autres côtés.

On entre dans L4 la relation

de Pythagore :

L12 – (L22 + L32).

Le triangle est rectangle sur les lignes

où la cellule de la liste L4 vaut zéro.

… Í



30/40

Une autre solution consiste à utiliser

la possibilité de rentrer plusieurs

instructions à la suite en les séparant

par « : ».

On entre les longueurs des côtés, puis

la relation de Pythagore.

Le triangle est rectangle.

On rappelle la ligne et l’on recommence

en modifiant les données.

Le triangle n’est pas rectangle.

Une troisième solution consiste à réaliser

un programme : PYTHA.On entre en premier la longueur du plus

grand côté.

Taper le programme suivant :

EffEcrPrompt A,B,CIf A^2=B^2+C^2ThenDisp "RECTANGLE"ElseDisp "NON RECTANGLE"

~ ~ Í

choisir PYTHA

et valider parÍ

Í relance le programme.



31/40


9.3 Les relations métriques dans un triangle

Les Essentiels : Les relations métriques dans un triangle ABC

Notations (a = BC, b = AC, c = AB, S est la surface du triangle et R le rayon du cerclecirconscrit).

La formule d’Al Kashi : 2 2 2 2 cos(a b c bcc A= + − )

La loi des aires ou formule de Carnot : 1

sin( )2

S bc A=

La loi des sinus :

2sin( ) sin( ) sin( )

a b c R

A B C

= = =

A

BC

c

b

a

R

Dans un triangle il y a six données : trois côtés et trois angles.

Compléter si possible le tableau suivant en utilisant la TI-82 STATS.FR. Il faut trouver la formule à appliquer puis la rentrer dans le Solveur et lancer le calcul.

Données a b c A B C

TI-82 STATS.FR A B C D E FExercice 1 4 5 45°Exercice 2 2 3 25°Exercice 3 6 8 10Exercice 4 7 20° 25°Exercice 5 50 70



32/40

On règle l’unité angulaire.z

Exercice 1 : calcul de AOn utilise Al Kashi pour trouver a.On ouvre le Solveur et on entre la

formule.

On entre les données.

On lance le calcul de a.

} Í

ƒ Í

Exercice 2 : calcul de BOn utilise Al Kashi pour trouver la

mesure de l’angle B, (E sur la TI-82STATS.FR).On ouvre le Solveur et on modifie

la formule.

Les données sont encore dans

la machine !

On lance le calcul de E.

Placer le curseur sur la ligne E.

Exercice 3 : calcul de CLe calcul de la mesure de l’angle

en C est immédiat 180 – (D + E).

} Í

ƒ Í

y z pour revenir

sur l’écran principal

À vous de jouer !Solution des exercices

Formule utilisée a b c A B CExercice 1 Al kashi 3.5 4 5 45° 52.5 82.5Exercice 2 Al kashi 2 3 2.3 21.2 133.9 25°Exercice 3 Al kashi 6 8 10 36.9 53.1 90Exercice 4 Loi des sinus 5.7 7 7 20° 25° 145Exercice 5 Somme des angles ? ? ? 60 50 70

Il n’est pas possible de déterminer un triangle par la seule donnée des trois angles.



33/40


9.4 Surfaces et volumes

Les Essentiels : Manipuler les formules de calculs de surfaces et de volume

Aire d’un trapèze :21 (B + b)h.

Aire d’un disque : πR 2.

Volume d’un cylindre de révolution ou d’un prisme droit d'aire de base B et de hauteur h : Bh.

Aire d’une sphère de rayon R : ; volume de la sphère :24πR 34πR

3

Volume d’un cône de révolution ou pyramide de base B et de hauteur h :31 Bh.

Mettre en œuvre les calculs sur la TI-82 STATS.FR.

1) Utilisation en mode directCalculer le volume d’un cône de

révolution de hauteur 5 de rayon 4.

On utilise la formule :

V =31πR

2h.

· ¿ ƒ H

¶ ¿ ƒ R

À ¥ Â ¯ y

B ƒ R› Á

¯ ƒ H

2) Calcul interactif en utilisant leSolveur Une pyramide à base carrée a pour

hauteur 5 m et pour volume 5 m3.

Quelle est la longueur a du côté ?

On utilise la formule :

V =31 a

2h.

On entre les données.

On lance le calcul de a.

} Í

Í t

Í



34/40

Calcul automatisé à l’aide d’unprogrammeRéalisation d’un formulaire interactifsur les volumesil suffit d’utiliser le programme suivant :

Lbl MMenu("CALCUL DEVOLUMES","CUBE",1,"PAVE",2,"SPHERE",3,"CONE",4,"FIN",5

Lbl 1EffEcrDisp "COTE:"Prompt A

Disp "VOLUME DU CUBE:",A›Â PauseGoto M

Lbl 2EffEcrDisp "LONGUEUR:"Prompt LDisp "LARGUEUR:"Prompt TDisp "HAUTEUR:"Prompt HDisp "VOLUME:",L*T*HPauseGoto M

Lbl 3EffEcrDisp "RAYON:Prompt R

Disp "VOLUME:",¶¥Â¯P¯R›Â PauseGoto M

Lbl 4EffEcrDisp "RAYON:Prompt RDisp "HAUTEUR:Prompt H

Disp

"VOLUME:",À¥Â¯P¯R›Á¯HPauseGoto M

Lbl 5ClrHomeStop

Í



35/40

10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES

10.1 Série chronologique

Les Essentiels : Étude d’une série chronologique – Tendance générale – Coefficient de

variations saisonnières – Donnée corrigée, donnée brute

Saisie des données et calculs :…

Représentation graphique de la série :y - p q s

Calculs des indices :… y 9

Une entreprise de jouets étudie les ventes de poupées sur les douze derniers trimestres.Le directeur commercial dispose du tableau suivant (représentant le nombre de poupées

vendues chaque trimestre des trois dernières années).

2002 2003 20041er

trimestre 170 195 225

2e trimestre 160 185 195



On vous demande de :

1°) représenter graphiquement cette série en reliant les points ;2°) déterminer l’équation de la droite de Mayer en fractionnant la série en deux et tracercette droite ;

3°) calculer les Coefficients de Variations Saisonnières (C.V.S.) pour chacun des quatretrimestres ;

4°) le nombre de poupées que l’on peut prévoir de vendre au 3e trimestre 2005 (donnée

corrigée des variations saisonnières) et la donnée brute de ce nombre.

1) Saisie des donnéesProcéder comme au

chapitre 4.

On inscrit le numéro du

trimestre (de 1 à 12) dans

L1 et la production dans L2.

2) ReprésentationgraphiqueConfigurer le graphique

avec des points reliés.

… À Ou

… Í

y ,

Í Valider les choix de l’écran

ci-contre.



36/40

Régler la fenêtre.

Afficher le graphique.

3) Droite de MayerOn coupe la série en deux,

on obtient :

G1 (3,5 ; 182,5) ;

G2 (9,5 ; 225) ;

a ≈ 7 et l’équation

y = 7x + 157,7.

4) Coefficients devariations saisonnièresIl faut calculer la moyenne

des ventes d’un trimestre et

diviser par la moyenne

globale des ventes.

Donc :

C.V.S.1 ≈ 0.965

C.V.S.2 ≈ 0.883

C.V.S.3 ≈ 1.039

C.V.S.4 ≈ 1.112

5) Donnée corrigée,donnée bruteLa donnée corrigée du 3e trimestre 2005 correspond à

la valeur obtenue pour y

dans l’équation de la droitede Mayer lorsque :

x = 15 (15 e trimestre).

donnée brute =donnée corrigée × C.V.S.

p En validant les choix del’écran de gauche ou en

utilisant :

q ®

o

Y1 = ¬ „ Ã

À · ¬ Ë ¬

s

Pour calculer la moyenneglobale :

y 9 ~ ~ Â

y e ¤ Í

Puis pour calculer les

coefficients trimestriels :

£ À ¬ Ê Ã À ®

· Ã Á Á · ¤ ¥

Â Í y Í ¥ Á Ê Â

Ë ¬ ·

~ À À ou

~ Í Í

Si l’équation du 3) est dans

Y1 puis faire

£ À · ¤ Í

ensuite y Í

ou directement

¯ À Ë Ê Â ®

Í



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10. SPÉCIALITÉ DES SERVICES

10.2 Intérêts simples

Les Essentiels : Intérêts simples et valeur acquise

Calculs de valeurs acquises : o „ y - y 0

Un capital de 6 000 € est placé à intérêts simples au taux mensuel de 0,25 % pendant 10 mois.

Calculer la valeur de ce capital chaque mois, ainsi que les intérêts acquis chaque mois.

Les calculs avec des intérêts

simples sont des calculs de

suite arithmétique.

Il convient donc de configurer

la machine comme expliquédans le chapitre 7.1.

Les intérêts sont chaquemois :I = 6000 × 0,25 ÷ 100

= 15 €.

La valeur acquise est chaque

mois :

V = 6000 + I.

On saisit donc les deux

suites : (après avoir choisile bon mode)

Danso se placerdevant :u(n)=

À · ¯ „

représentant les

intérêts et devant

v(n)=

¸ Ê Ê Ê Ã

À · „

représentant la valeur

acquise.

y - On valide le réglage de la

table comme indiqué sur

l’écran de gauche.

On affiche la table

y 0

10.3 Intérêts composés

Les Essentiels : Intérêts composés et valeur acquises

Calculs de valeurs acquises :o „ y - y 0

Un capital de 3 000 € est placé à intérêts composés au taux semestriel de 2,1 % pendant 12

semestres. La capitalisation est semestrielle.

Calculer la valeur de ce capital chaque semestre, ainsi que les intérêts acquis chaque semestre.



38/40

Les calculs avec des intérêts

composés sont des calculs

de suite géométrique.

Il convient donc de

configurer la machine

comme expliqué dans le

chapitre 7.2.

Chaque semestre lecapital acquis est :

C n = 3000 x (1 +2,1

100 ) n.

et les intérêts acquis sont :

I n = Cn – C0.

On saisit donc les deux

suites :

Indiquées dans

l’Ecran de droite

avec u(n)

représentant lecapital acquis et

v(n) représentant les intérêts

acquis.

y - On valide le réglage de

la table comme indiquésur l’écran de gauche.

On affiche la table

y 0

10.4 Annuités

Les Essentiels : Capital acquis après des versements réguliers ou remboursement d’emprunts

Calculs :Ã ¹ ¯ ¥ £ ¤ « ›

1 ) On verse 1 000 € chaque année pendant 8 ans. Calculer la valeur acquise au moment duhuitième versement. Capitalisation annuelle au taux de 5 %. 2 ) Combien de versements semestriels de 1 060,79 € une personne doit-elle effectuer pourrembourser un emprunt de 5 000 € à capitalisation semestriel au taux semestriel de 2 % ?

Si a est le montant du

versement périodique,

t le taux périodique et n le

nombre de versement, la

valeur acquise Vn est :

Vn = a(1 + t )n – 1

t

et la valeur actuelle est :

V0 = a1 – ( 1 + t ) – n

t

1)À Ê Ê Ê ¯

£ £ À Ë Ê ·

› − ¤ ¹ À ¤

¥ Ê Ë Ê ·

2) Ì « Ê Ë

® Ê · ¬ Â

¥ « À Ë

Ê Á ¤



39/40


40/40

On donne le tableau suivant.

Année 2001 Année 2004Produits Quantité Q0 Prix unitaire P0 Quantité Q 1 Prix Unitaire P 1

A

BC

7

210

5 €

3,5 €2,7 €

5

413

9,8 €

4,2 €2,3 €

Calculer à 0,1 près, l’indice composé des prix I 04/01.1°) Par la méthode de Lapeyres. 2°) Par la méthode de Paasche.

1) Méthode de Lapeyres

I04/01 =Σ Q0 x P1

Σ Q0 x P0 × 100

On saisit le tableau dans les

listes L1, L2, L3 et L4.On calcule les produits dans L5 et L6.

On calcule les sommes de

L5 et L6.

Ainsi I04/01 ≈ 144,9, avec la méthode de

Lapeyres.

2) Méthode de Paasche

I 04/01 =Σ Q1 x P1

Σ Q1 x P0 × 100

On procède de la même

façon avec des listes L5 et

L6 modifiées.

Ainsi I 04/01 ≈ 129,1,avec la méthode de

Paasche.

… À ou

… Í

Monter avec} sur les bandeauxh et i

et inscrire

L5 = y d ¯

y g

L6 = y d ¯

y e

y 5 y 9 ~ ~ · et continuercomme sur l’écran de

droite

L5 = y f ¯

y g

L6 = y f ¯

y e

Date post:	07-Jul-2018
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1eres Approches GCs BEP, BAc Pro- VF

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