2. 1 1. 200 5

KVAZISTACIONÁRNÍ STAVY a RELACE E.t

WIGNER—WEISSKOPFŮV ROZPAD

(Abstraktní Andersonův

Hamiltonián)

2. 11. 2005

III.

2.11.2005 Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 2

GF a spektrální hustota

tGtEAEAEtG EtEt

i/2

1i/ eded

Fourierova transformace tam a zpět

0)ˆ(000 HEEAEEEA

Výraz pro spektrální hustotu

explicitní (definice) invariantní

Dvě základní vlastnosti … a NIC víc

1 2 0EA 1d EAEnezáporná sumační pravidlo

5.10.2005:

0e00î/ tHttG

amplituda přežití

pravdě-podobnosti

ve skutečnosti

10 ( )

iGF t t

Moje definice Greenovy funkce



tGtEAEAEtG EtEt

i/2

1i/ eded


0)ˆ(000 HEEAEEEA






pravdě-podobnosti

ve skutečnosti

10 ( )

iGF t t


î/ '( )1 1' ' ( ', 0 e )

i0

iH ttG t tt t t t



tGtEAEAEtG EtEt

i/2

1i/ eded


0)ˆ(000 HEEAEEEA






pravdě-podobnosti

ve skutečnosti

10 ( )

iGF t t


J I N A K

î/ '( )1 1' ' ( ', 0 e )

i0

iH ttG t tt t t t


Fourierova transformace v QT

i/ i/d e d e2

Et EtEf t f E f E t f t


0

0

0

1 1 2 2 1 1 2 2

i /0

i / /

0

i /

0

( ) ( ) ( ) ( )

i ( ) ( )

d ( ) ( ) ( ) ( )

e 2 ( )

ie ( )

i

ie ( )

i0

E t

E t t

E t

c f t c f t c f E c f E

f t Ef Et

t f t t g t f E g E

E E

tE E

tE E


i/ i/de i0 i0 d e

2Et E tE

G t G E G E t G t

Fourierova transformace Greenovy funkce


1ˆ0 ( ) 0 Im ( i0)A E E H A E G E


ˆ ( 'i/ )1 1' ' ( ', 0 e 0 )

i i( ')H ttG t t G t tt t t t

1ˆ ˆ( i0) 0 ( i0) 0 ( )ˆ

G E G E G zz H

ˆ ˆ( i0) i ( )ˆ

G E E HE H


Zavedení spektrální hustoty a Krylovova representace

... převedení GF na spektrální hustotu --- dá se lépe porozumět ... nízké momenty se Fourierovou transformací přenášejí do krátkých časů. Neurčitost energie je 2. moment spektr. hustoty.

5.10.2005:


Zavedení spektrální hustoty a Krylovova representace

... převedení GF na spektrální hustotu --- dá se lépe porozumět ... Fourierovou transformací dostaneme GF jako maticový element resolventy – primární ... z ní teprve spektrální hustotu


Rozpadový zákon

Zatím jsme uvažovali amplitudu (pravděpodobnosti) přežití stavu

ttG 0Příslušná pozorovatelná je však sama pravděpodobnost přežití

2||)( tGtW ROZPADOVÝ ZÁKON

Hustota pravděpodobnosti rozpadu za jednotku času

)(

)()(ln

dd

)( dd

tW

tWtW

ttw t

Kdyby platilo , pak rozpadový zákon by byl To je známý radioaktivní rozpad, monomolekulární luminiscence, … Proto je to centrální případ a náš úkol bude zejména najít podmínky a meze platnosti tohoto Wigner-Weisskopfova rozpadu

.const)( tw )exp()( twtW

Rozpadový zákon pomocí spektrální hustoty

'''ded|)(| i/2 EAEEAEEtG Et

autokorelační funkce

5.10.2005:


Rozpadový zákon

Zatím jsme uvažovali amplitudu (pravděpodobnosti) přežití stavu

0 i ,0t G t Příslušná pozorovatelná je však sama pravděpodobnost přežití

22 2( ) 0 ,0W t t G t ROZPADOVÝ ZÁKON

Hustota pravděpodobnosti rozpadu za jednotku času

)(

)()(ln

dd

)( dd

tW

tWtW

ttw t

Kdyby platilo , pak rozpadový zákon by byl To je známý radioaktivní rozpad, monomolekulární luminiscence, … Proto je to centrální případ a náš úkol bude zejména najít podmínky a meze platnosti tohoto Wigner-Weisskopfova rozpadu

.const)( tw )exp()( twtW


Rozpadový zákon

... můžeme pokračovat s GF a hledat rozpadové zákony pro modelové spektr. hustoty

5.10.2005:


Rozpadový zákon

... můžeme pokračovat s GF a hledat rozpadové zákony pro modelové Hamiltoniány


Modelové příkladyTUNELOVÁNÍ (-ROZPAD)

... bariera v reálném prostoru odděluje konečnou a nekonečnou oblast

FERMIHO ZLATÉ PRAVIDLO

… diskrétní hladina je slabě vázána na překrývající kontinuum stavů

( )V x

0 ( )x

x0E

A(E

)

( )V x

0 ( )x

x0E

A(E

)

bod větvení

resonance

0E

A(E

)

bod větvení

resonance

5.10.2005:






( )V x

0 ( )x

x0E

A(E

)

( )V x

0 ( )x

x0E

A(E

)

bod větvení

resonance

0E

A(E

)

bod větvení

resonance

"ROZMAZANÁ

delta-FUNKCE"






( )V x

0 ( )x

x0E

A(E

)

( )V x

0 ( )x

x0E

A(E

)

bod větvení

resonance

0E

A(E

)

bod větvení

resonance




MODELOVÝ HAMILTONIÁN


( )V x

0 ( )x

x0E

A(E

)

( )V x

0 ( )x

x0E

A(E

)

bod větvení

resonance

0E

A(E

)

bod větvení

resonance

NECHÁME JAKO ZVLÁŠTNÍ ODDĚLENOU ÚLOHU


Modelový Hamiltonián

… diskrétní hladina je vázána na kontinuum stavů

0E

A(E

)

bod větvení

resonance

*

0

ˆ

ˆ ˆ

a b b bb b

H a E a b E b a u b b u a

H U


Modelový Hamiltonián… diskrétní hladina je vázána V Hilbertově prostoru stavů zavedu na kontinuum hladin projektory na oba ortogonální podprostory

0E

*

0

0 0

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

a b b bb b

H a E a b E b a u b b u a

H U

H PH P QH Q PUQ QUP

0H

0HU

UP

P

Q

Q

2 2

ˆ

ˆ

ˆ ˆˆ ˆ= =

ˆ ˆˆ ˆ 0

b

P a a

Q b b

P P Q Q

PQ QP


Příklady použití modelového Hamiltoniánu

Tunelovací Hamiltoniány ... Gamov, Oppenheimer, Bardeen příště

Metastabilní hladina v QED ... Wigner&Weisskopf

holá (atomová) hladina překrytá jedno-fotonovými stavy

Polaron slabé vazby ... Fröhlich, Landau, Pekar

holý jednoelektronový stav v krystalu a kontinuum jednofononových stavů

d- nebo f-hladiny transitivních příměsí v sp-matrici ... P W Anderson

např. d- hladina niklu v aluminiu, překrytá sp vodivostním pásem

adsorbáty na povrchu krystalů

atd.


Od evolučního operátoru ke GFNeporušený a úplný evoluční operátor

jsou spojeny integrální rovnicí

Zavedeme

Výsledná rovnice nemá číselné faktory a má implicitní meze, formálně

0ˆ î/ ( ') i/ ( ')

0ˆ ˆ( , ') e ( , ') eH t t H t tS t t S t t

0 0

'

1ˆ ˆ ˆ ˆˆ( , ') ( , ') d ( , ) ( , ')i

t

t

S t t S t t t S t t US t t

0 0 00

1ˆ ˆ( ') exp( i ( ') / ) ( ')i1ˆ ˆ( ') exp( i ( ') / ˆ ˆ ˆ) ( ')i

ˆˆ ˆPG P QG

G t t H t t t t

G t t H t t t Qt

0 0ˆ ˆ ˆ ˆˆ( , ') ( , ') d ( , ) ( , ')G t t G t t t G t t UG t t

Proměnná mez – rovnice Volterrova

typu


Od evolučního operátoru ke GFNeporušený a úplný evoluční operátor

jsou spojeny integrální rovnicí

Zavedeme

Výsledná rovnice nemá číselné faktory a má implicitní meze, formálně

0ˆ î/ ( ') i/ ( ')

0ˆ ˆ( , ') e ( , ') eH t t H t tS t t S t t

0 0

'

1ˆ ˆ ˆ ˆˆ( , ') ( , ') d ( , ) ( , ')i

t

t

S t t S t t t S t t US t t

0 0 00

1ˆ ˆ( ') exp( i ( ') / ) ( ')i1ˆ ˆ( ') exp( i ( ') / ˆ ˆ ˆ) ( ')i

ˆˆ ˆPG P QG

G t t H t t t t

G t t H t t t Qt


Proměnná mez – rovnice Volterrova

typu

místo toho

Fredholmova integrální rovnice


Od evolučního operátoru ke GFRovnici

přepíšeme symbolicky

Iterativní formální řešení

Greenova funkce

Dosadíme iterativní řadu:


0 0ˆ ˆ ˆ ˆˆG G G UG

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆG G G UG G UGUG G UGUGUG

ˆ( , ') ( , ')G t t a G t t a

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

G G G a U a G G a UQG QU a G

G a UQG QU a G a U a G


Od evolučního operátoru ke GFRovnici

přepíšeme symbolicky

Iterativní formální řešení

Greenova funkce

Dosadíme iterativní řadu:


0 0ˆ ˆ ˆ ˆˆG G G UG

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆG G G UG G UGUG G UGUGUG

ˆ( , ') ( , ')G t t a G t t a

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ




0

0


Od evolučního operátoru ke GF

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ




= + ...+ +

= +Obrázkově odvozená

Dysonova rovnice

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

0 0( )

G G G G

G G G G G G G

G G G G G

P

Q

0ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ') ( ')t t a UQG t t QU a


Zacházení s Dysonovou rovnicí

0 0

0 0

( ') ( ') d d ( ) ( ) ( ')G t t G t t t t G t t t t G t

G G G

t

G

0 0

0

0

( i0) ( i0) ( i0) ( i0) ( i0)

( i0)( i0)

1 ( i0) ( i0)

G E G E G E E G E

G EG E

G E E

Symbolicky

Časově

V energiích

explicitně

)0(0

1)0(

iEEiEiEG

a

holá energie renormalizace



0

-i ( ') /2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ') ( ')

1| | e ( ')

ibE t t

bb

t t a UQG t t QU a

u t t

2| |( i0)

i0b

b b

uE

E E

)(

)(0

1d

2

b

bb EuiE

Analogie spektrální hustoty pro GF:

Jediná funkce, určuje vše ostatní

VLASTNÍ ENERGIE

V časech

Explicitně

V energiích

Spektrální representace



0

-i ( ') /2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ') ( ')

1| | e ( ')

ibE t t

bb

t t a UQG t t QU a

u t t

2| |( i0)

i0b

b b

uE

E E

)(

)(0

1d

2

b

bb EuiE

Analogie spektrální hustoty pro GF:

Jediná funkce, určuje vše ostatní

VLASTNÍ ENERGIE

V časech

Explicitně

V energiích

Spektrální representace

Máme všechno


Praktický výpočet GF

Spektrální repres. FFT

Dysonova rovnice diferenc. Dysonova rovnice

FFT

)(E

)0( iE )(t

)0( iEG )(tG

)(tG

Rovnocenný výsledek


Pólová aproximace (Wigner-Weisskopf)

0

)(0

1)0(

a

a

aaaa

ziE

Z

EEEiEiEG


přesně

a

aaa

aa

aaaa

EzZ

iEE

iE

1

1

1

)0()0(

)0(0

1)0(

iEEiEiEG

a

linearisace

pól

renorm. konst.


Pólová aproximace (Wigner-Weisskopf)

0

)(0

1)0(

a

a

aaaa

ziE

Z

EEEiEiEG


přesně

a

aaa

aa

aaaa

EzZ

iEE

iE

1

1

1

)0()0(

)0(0

1)0(

iEEiEiEG

a

linearisace

pól

renorm. konst.

Platí pro Ea ,kde vlastní energie je hladká


Polaron nad prahem

)(E

)(E

Epráh aE

loga

( )( )

ritmická derivac

( )

e

ddt G ttG t

( )W t

( )A E

( )t

2b t


Polaron pod prahem

)(E

EpráhaE

loga

( )( )

ritmická derivac

( )

e

ddt G ttG t

( )W t

( )A E

( )t

2b t


Polaron těsně nad prahem

)(E

Epráh

aE

loga

( )( )

ritmická derivac

( )

e

ddt G ttG t

( )W t

( )A E

( )t

2b t


Polaron těsně pod prahem

)(E

EpráhaE

loga

( )( )

ritmická derivac

( )

e

ddt G ttG t

( )W t

( )A E

( )t

2b t

The end


Modelové příklady: úvodní poznámkyJEDNOTKY

… vlastně na nich nezáleží, ale pro názornost volím jednotky vhodné pro GF v CM

energie 1 eV 1,60210 -19 J

čas 1 fs 1,00010 -15 s

0,6582~ eV.fs 1,05510 -34 J.s32


Modelové příklady: úvodní poznámkyJEDNOTKY

… vlastně na nich nezáleží, ale pro názornost volím jednotky vhodné pro GF v CM

energie 1 eV 1,60210 -19 J

čas 1 fs 1,00010 -15 s

0,6582~ eV.fs 1,05510 -34 J.s

délka 1 nm 1,00010 -9 m

c 299,8 nm/fs 2,998 10 8 m/s

1/137,0 1/137,0

me 5,685 9,109 10 -31 kg

e'2 1,440 2,306 10 -34 J.m

32

Date post:	03-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	phyllis-nguyen
View:	38 times
Download:	0 times

2. 1 1. 200 5

Documents