Obsah 1 Částicová fyzika, ekvipartiční teorém 1 2 Vlastnosti vzduchu 2 2.1 Průměrná hmotnost částice vzduchu ................................... 2 2.2 Jaká je hustota vzduchu při 20 ◦ C a tlaku 101325 Pa? .......................... 3 2.3 Jak se tlak mění s výškou – ze začátku (tj. derivace)! .......................... 3 2.4 Horkovzdušný balón ............................................ 3 2.5 Jaký objem má jeden mol plynu při teplotě 0 ◦ C a tlaku 101,325 kPa? ................ 3 3 Větrání (izobarický děj) 4 4 Vlhkost vzduchu 5 4.1 Parciální tlak ................................................ 5 4.2 Tlak nasycených vodních par ....................................... 6 4.3 Absolutní vlhkost .............................................. 6 4.4 Relativní vlhkost .............................................. 6 4.5 Rosný bod .................................................. 6 5 Zvlhčování vzduchu 6 6 Tepelné stroje a jejich účinnost 8 6.1 Účinnost stroje, který koná práci na základě rozdílu teplot ....................... 9 6.2 Účinnost ledničky nebo klimatizace .................................... 9 6.3 Účinnost tepelného čerpadla ........................................ 9 7 Nakreslete a popište princip tepelného čerpadla/ledničky/klimatizace 9 8 Spalování zemního plynu v kondenzačním kotli 10 8.1 Rosný bod spalin metanu při nadbytku vzduchu ............................ 11 9 Elektromagnetické záření/vlnění a jeho spektrum 11 10 Záření černého tělesa, Sluneční záření 11 11 Záření tělesa, které není dokonale černé 12 12 Energie 13 1 Částicová fyzika, ekvipartiční teorém co je to stupeň volnosti; co je to ekvipartiční teorém, co když smícháme velké množství různých částic s různým počtem stupňů volnosti; co říká nultý zákon termodynamiky Představme si krychli o straně a, která obsahuje N částic. Pohyb částic je chaotický, ale můžeme uvažovat o středních hodnotách fyzikálních veličin – tj. nechť každá částice má střední velikost rychlosti v a střední energii E, nechť na každou stěnu působí střední hodnota tlaku p a nechť se v každé souřadné ose (x, y, z ) pohybuje průměrně třetina celkového počtu částic. 1
Transcript
Obsah1 Částicová fyzika, ekvipartiční teorém 1
2 Vlastnosti vzduchu 22.1 Průměrná hmotnost částice vzduchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Jaká je hustota vzduchu při 20◦C a tlaku 101325 Pa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Jak se tlak mění s výškou – ze začátku (tj. derivace)! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Horkovzdušný balón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Jaký objem má jeden mol plynu při teplotě 0◦C a tlaku 101,325 kPa? . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7 Nakreslete a popište princip tepelného čerpadla/ledničky/klimatizace 9
8 Spalování zemního plynu v kondenzačním kotli 108.1 Rosný bod spalin metanu při nadbytku vzduchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9 Elektromagnetické záření/vlnění a jeho spektrum 11
10 Záření černého tělesa, Sluneční záření 11
11 Záření tělesa, které není dokonale černé 12
12 Energie 13
1 Částicová fyzika, ekvipartiční teorémco je to stupeň volnosti; co je to ekvipartiční teorém, co když smícháme velké množství různých částic s různýmpočtem stupňů volnosti; co říká nultý zákon termodynamiky
Představme si krychli o straně a, která obsahuje N částic. Pohyb částic je chaotický, ale můžeme uvažovat ostředních hodnotách fyzikálních veličin – tj. nechť každá částice má střední velikost rychlosti v a střední energii E,nechť na každou stěnu působí střední hodnota tlaku p a nechť se v každé souřadné ose (x, y, z) pohybuje průměrnětřetina celkového počtu částic.
1
Jestliže na každou stěnu působí tlak p a tlak je síla na plochu, můžeme psát p = F/S. Sílu F lze dále rozepsatpomocí 2. Newtonova zákona (síla je rovna derivaci hybnosti):
F = dpdt
Změna hybnosti dp nastane po nárazu částice na stěnu. Předpokládejme, že na stěnu naráží (kolmo) třetina všechčástic. Každá částice se po odrazu pohybuje opačnou rychlostí, a proto se její hybnost odrazem změnila o 2mv.Doba dt, za kterou se náraz opakuje, je dána délkou hrany krychle a tuto vzdálenost musí částice překonat dvakrát,protože letí tam i zpět. Proto platí, že dt = 2a/v. Rozepišme vztah pro sílu:
F = dpdt
= N
32mv
2av
= N
3mv2
a= N
23E
a
Při poslední úpravě se využila skutečnost, že E = 12mv
2. Nyní rozepišme vztah pro tlak:
p = F
S= N
23E
aa2 = N23E
V
Tento výsledek jsme získali pouhou úvahou, tj. pouze teoreticky. Nyní vztah porovnejme se stavovou rovnicípV = NkT , která naopak vychází z mnoha pokusů a experimentů. Bude platit
NkT = 23NE
kT = 23E
E = 32kT = f
2kT
Předpokládali jsme, že každá částice se může pouze pohybovat ve třech osách a jiný druh pohybu jsme nepřipouš-těli. Každá částice měla proto tři stupně volnosti (f = 3). Výsledek, který jsme dostali, říká, že střední energie nakaždý stupeň volnosti je 1
2kT , což je tak důležitý závěr, že dostal i své pojmenování – ekvipartiční teorém.Nultý zákon termodynamiky říká, že každé dva systémy si (časem) vyrovnají svou teplotu. Z ekvipartičního
teorému pak můžeme usuzovat, že střední energie na každý stupeň volnosti u obou systémů bude stejná.Stupně volnosti lze snadno ukázat u plynů, protože v plynném skupenství můžeme každou částici považovat za
samostatnou a počet stupňů volnosti není ovlivněn okolními částicemi. Počet stupňů volnosti je u jednoatomovýchmolekul roven třem (f = 3). Jednoatomové molekuly se vyskytují u vzácných plynů, tj. He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn.
U dvouatomových molekul je počet stupňů volnosti roven pěti (f = 5). Dvouatomové molekuly mohou býttvořeny buď dvěma atomy stejného prvku (H2, N2, O2, F2, Cl2, Br2 a I2), ale také mohou být tvořeny dvěmarůznými prvky (CO, NO, HF, HCl). Vzhledem k tomu, že dusík a kyslík tvoří přibližně 99% vzduchu, můžemevzduch považovat za plyn s pěti stupni volnosti.
2 Vlastnosti vzduchuCo je to mol a molární hmotnost; Jak spolu souvisí Avogadrovo číslo (NA = 6,022 · 1023), Bolztmannova kon-stanta k = 1,3806504 · 10−23 J K−1 a univerzální plynová konstanta R = 8,314472 JK−1 mol−1; jaké je složenívzduchu a jeho obvyklá teplota a tlak; srovnejte hmotnost molekuly vody a vzduchu; jak závisí hustota na teplotě(horkovzdušný balón), jaká je tepelná kapacita při izochorickém ději, jaký je počet stupňů volnosti
2.1 Průměrná hmotnost částice vzduchum = 0,78 · 2 · 14 + 0,21 · 2 · 16 + 0,01 · 40 = 28,96 g mol−1
m = 0,028966,022 · 1023 = 4,80903 · 10−26 kg
2
2.2 Jaká je hustota vzduchu při 20◦C a tlaku 101325 Pa?
% = mvšechčásticV
= Nm
V⇒ N = %V
m
pV = NkT
pV = %V
mkT
p = %kT
m
% = pm
kT= pm
kT= pM(vzduch)
kTNA= pM(vzduch)
RT= 101325 · 28,96 · 10−3
8,314472(20 + 273,15)= 1,2039 kg m−3
2.3 Jak se tlak mění s výškou – ze začátku (tj. derivace)!
p = h%g ⇒ dpdh
= %g = 1,2 · 10 = 12Pa m−1
Většina běžných barometrů má citlivost 100Pa, což odpovídá výškovému rozdílu 8,3 metrů. Tlak se ale měnís výškou exponenciálně (nikoli po přímce), takže vypočtená hodnota platí jen pro malé nadmořské výšky.
2.4 Horkovzdušný balónTíha všech součástí balónu (posádka, plášť, koš, bomby, . . . ) spolu s tíhou vzduchu uvnitř musí být rovna vztlakovésíle. Tu vypočteme z Archimédova zákona.
Mg + V %tg = V %sg
M + V %t = V %s
M = V %s − V %t
M = V (%s − %t)
V = M
%s − %t= MpmkTs− pmkTt
= Mk
pm(
1Ts− 1Tt
) = MkNA
pM(vzduch)(
1Ts− 1Tt
) =
= 732 · 8,314
105 · 29 · 10−3(
120+273,15 −
1100+273,15
) .= 2870m3
Snadno lze dopočítat, jaký průměr by měla koule o tomto objemu.
2.5 Jaký objem má jeden mol plynu při teplotě 0◦C a tlaku 101,325 kPa?
pV = NkT
V = NkT
p= NAkT
p= RT
p= 8,314472(0 + 273,15)
101325= 0,022414 m3
Jakou tepelnou kapacitu má vzduch při konstantním objemu?
E = f12kT ⇒ dE
dT= fk
2
dQ = mc dT ⇒ dQdT
= mc
fk
2= mc
c = fk
2m= fkNA
2M(vzduch)= 5 · 8,314
2 · 28,96 · 10−3.= 717,7 J kg−1 K−1
3
3 Větrání (izobarický děj)Proč větrání není izochorický děj? Vyjděte z prvního zákona termodynamiky a odvoďte, jaká energie je potřeba,chceme-li získat určitý objem vzduchu o teplotě T2, jestliže teplota okolí je T1. Odhadněte náklady na ohřevvzduchu. Okomentujte svůj odhad – za jakých podmínek platí?
Izobarický děj (p = konst.):
pV = NkT ⇒ N = pV1kT1
= pV2kT2
V = NkT
p⇒ dV = Nk
pdT
dQ = dU + pdV =
= Nf12kdT + pdV =
Nyní můžeme dosadit za dV , což jsme odvodili ze stavové rovnice.
= Nf12kdT + p
Nk
pdT =
= Nf12kdT +NkdT =
= Nk
(f
2+ 1)
dT =
Ve vztahu vystupuje N , což je počet částic. Ten vyjádříme ze stavové rovnice pomocí V2, protože V2 je objemzahřátého vzduchu. Ten odpovídá objemu větraného prostoru.
= pV2kT2
k
(f
2+ 1)
dT =
= pV2
(f
2+ 1)
dTT2
=
= pV2
(f
2+ 1)T2 − T1T2
=
= pV2
(f
2+ 1)T2 − T1T2
=
= pV2
(f
2+ 1)(
1− T1T2
)
Vzhledem k tomu, že vzduchu má 5 stupňů volnosti (f = 5), můžeme vztah ještě dále zjednodušit na konečnývzorec
∆Q = 72pV2
(1− T1
T2
)Mezi obvyklé úlohy patří výpočet, jaký výkon potřebujeme k trvalému ohřívání vzduchu, jehož průtok známe.V takovém případě postačí předchozí vztah zderivovat podle času a dostáváme
dQdt
= 72pdV2dt
(1− T1
T2
)přičemž člen na levé straně rovnice je výkon ve wattech (tj. joulech za sekundu) a člen dV2
dt je průtok ohřátéhovzduchu v metrech krychlových za sekundu.
P = 72p
dV2dt
(1− T1
T2
)Pro úplnost – objemový průtok ohřátého vzduchu je větší než průtok studeného vzduchu.
4
4 Vlhkost vzduchuCo je to vlhký vzduch, co je to parciální tlak vody, co lze vyčíst z tabulky pro tlak nasycených vodních par,kdy dochází ke kondenzaci, co je to rosný bod, co je to absolutní a relativní vlhkost, jak souvisí bod varu vodys tlakem.
Vlhký vzduch je směs dvou složek – vodní páry a suchého vzduchu. Tyto dvě složky se navzájem téměř vůbecneovlivňují. Vodní pára se chová stále podle stejných zákonitostí a nezáleží na tom, zda je smíchána se suchýmvzduchem či nikoli. Vodní pára, stejně jako každý jiný plyn, má tlak, teplotu, objem, hustotu, molární hmotnost,počet stupňů volnosti a další veličiny. Jestliže ji přidáme k suchému vzduchu, budou obě složky sdílet stejný objema stejnou teplotu. U každé složky však můžeme uvažovat, že má svůj tzv. parciální tlak a svou parciální hustotu.
Tlak nasycených vodních par
Následující tabulka udává tlak nasycených vodních par, což je totéž, co tlak vodní páry nad vodní hladinou, a toje totéž, co rosný bod při daném tlaku vodní páry. Tabulka byla získána dosazením do empirického vzorce1,2.
4.1 Parciální tlakParciální tlak je pojem, který se užívá u směsí plynů. Každou složku plynu budeme označovat indexem. Je možné sipředstavit, že každá složka směsi má svůj vlastní tlak a tomuto tlaku říkáme parciální. Platí, že součet parciálních
1Buck (1996), Buck Research Manual2http://en.wikipedia.org/wiki/Arden_Buck_equation
5
tlaků všech složek dává celkový tlak:p = p1 + p2 + p3 + . . .+ pN
Tato skutečnost se obvykle označuje jako Daltonův zákon.Tlak plynu je určen stavovou rovnicí
pV = NkT ⇒ p = NkT
V
a přesně tento vztah platí i pro každou složku plynu a její parciální tlak. Ze stavové rovnice vyplývá, že tlak – aťuž celkový nebo parciální – je úměrný počtu částic plynu a je lhostejné, o jaké částice se jedná3. Proto platí
p
N= p1N1
= p2N2
= p3N3
= . . . = pNNN
Je celkem samozřejmé, že musí současně platit
N = N1 +N2 +N3 + . . .+NN
4.2 Tlak nasycených vodních parBudeme-li mít v uzavřené nádobě pouze vodu a její páru, pak pára bude mít při dané teplotě právě takový tlak,který je uveden v tabulce. Zajímavé je, že i kdyby nad hladinou vody byl vzduch, nebude mít na chování vodyžádný vliv. Vodní pára vytvoří úplně stejný tlak, jako by tam žádný vzduch nebyl. Přesněji řečeno, parciální tlakvodní páry ve vzduchu bude úplně stejný jako tlak samotné vodní páry.
4.3 Absolutní vlhkostAbsolutní vlhkost je pouze jiný pojem pro parciální hustotu. Absolutní vlhkost udává, jaká hmotnost vody jeobsažena v jednom metru krychlovém vlhkého vzduchu. Jednotka je kgm−3. Podobnost s hustotou je natolikvýznamná, že ji budeme označovat %. Pro hustotu plynu platí vztah
% = pm
kT= pM
RT
a právě tento vztah platí taktéž pro absolutní vlhkost až na to, že za p musíme dosadit parciální tlak vodní páry.Můžeme vzorec přepsat do tvaru
% = pH2O18 · 10−3
8,314472T
4.4 Relativní vlhkostRelativní vlhkost φ udává poměr parciálního tlaku pH2O vůči tlaku, který by při dané teplotě měla nasycená pára.Platí
φ = pH2Opn
kde pn je tlak nasycených par při stejné teplotě. Relativní vlhkost se obvykle udává v procentech. Snižujeme-liteplotu, pak se zvyšuje relativní vlhkost až do hodnoty 100%, která nastane, jestliže dosáhneme rosného bodu.
4.5 Rosný bodRosný bod je taková teplota, při které bude vodní pára nasycená. Právě při teplotě rosného bodu bude dosaženostoprocentní relativní vlhkosti.
5 Zvlhčování vzduchuOdvoďte vztah pro výpočet energie, která je potřeba na zvlhčování vzduchu.
3Například, tvoří-li molekuly vody jedno procento všech molekul, bude parciální tlak vody jedno procento celkového tlaku.
6
Při zahřátí vzduchu klesne jeho relativní vlhkost. Je to způsobeno tím, že vyšší teplotě odpovídá vyšší tlaknasycených par vody. Při zahřátí se parciální tlak vody nezmění4. Důsledkem je, že klesne tento podíl (zvýší sejmenovatel)
φ = pH2Opn
a tudíž klesne relativní vlhkost.Vzduch ve větraném a vytápěném prostoru by byl (především v zimě) příliš suchý, a tak je potřeba vlhkost
přidat, abychom dosáhli přijatelné minimální hodnoty. Tuto vlhkost přidáváme v podobě vodní páry a k jejímuzískání je potřeba odpařit vodu. Voda má velké výparné teplo, a proto se ukazuje, že energetické výdaje nejsouzanedbatelné.
Obr. 1: Krychle nalevo symbolizuje objem vzduchu, který pochází zvenčí. Obsahuje směs suchého vzduchu (index 1) a vodnípáry (index 2). V pravé části obrázku je znázorněna situace, kdy vzduch zahřejeme a přidáme do něj dodatečně vodní páru.Objem napravo je složen ze tří složek – suchý vzduch (index 1), vodní pára, která již byla ve vzduchu obsažena (index 2) avodní pára, která byla přidána (index 3). Parciální tlak vodní páry je součtem složek 2 a 3.
a) V1 + V2 + V3 = V ⇒ V1 + V2 = V − V3
b) p̄2p
= V̄2
V̄1 + V̄2= V2V1 + V2
= V2V − V3
⇒ V2 = p̄2p
(V − V3)
c) p23p
= V2 + V3V
p23p
=p̄2p (V − V3) + V3
Vp23pV = p̄2
pV − p̄2
pV3 + V3
p23pV − p̄2
pV = V3
(1− p̄2
p
)Vp23 − p̄2
p= V3
p− p̄2p
V3 = Vp23 − p̄2p− p̄2
Z toho lze vypočítat, jakou hmotnost má vodní pára o objemu V3. Využijeme skutečnosti, že hustota plynu (a tedyi vodní páry) lze napsat jako % = pM/(RT ).
m = %V3 = pH2OM
RTV3
4Máme na mysli izobarický děj. Vzduch sice zvětší svůj objem, ale jeho tlak zůstane stejný a parciální tlaky jednotlivých složek téžzůstanou stejné.
7
To je současně hmotnost vody, kterou je nutno odpařit. Známe-li výparné5 teplo vody lv, můžeme vyjádřit energii,která je zapotřebí ke zvlhčení vzduchu:
∆Qzvlhčení = mlv = pH2OM
RTV3lv
V předchozí kapitole jsme počítali energii potřebnou k ohřátí vzduchu. Předpokládali jsme, že ohřátý vzduchvyplní celý větraný prostor. Jestliže ale část tohoto objemu vyplní dodaná vodní pára o objemu V3, pak bychomměli své předchozí úvahy upřesnit a psát raději
∆Qzahřátí = 72p(V − V3)
(1− T1
T2
)ale ve skutečnosti toto opravdu není nutné. Objem V3 bývá cca stonásobně menší než V , takže původní představa,že
∆Qzahřátí = 72pV
(1− T1
T2
)zůstává nadále v platnosti – dopustíme se chyby cca jednoho procenta.
6 Tepelné stroje a jejich účinnostZ druhého zákona termodynamiky vyplývá, že Q1/T1 = Q2/T2 (viz přednášky) – z toho vycházejte. Jak souvisíúčinnost strojů s pracovními teplotami? Odvoďte a vypočtěte teoretickou účinnost tepelného čerpadla, ledničkya klimatizace za různých podmínek, kdyby jejich cyklus byl vratný. Reálná účinnost je u těchto strojů cca 50%maximální účinnosti – jak to ovlivní výsledky? Kdy se vyplatí tepelné čerpadlo (k tomu je potřeba porovnat cenuelektřiny a plynu)? Ukažte, jak se zhoršuje účinnost tepelného čerpadlo při zvyšování teplotního rozdílu a proč sečasto tepelné čerpadlo kombinuje s podlahovým vytápěním.
Jakou účinnost má jaderná elektrárna Temelín? S jakými teplotami pracuje?Co je to perpetuum mobile druhého druhu?
Tepelné stroje lze rozdělit do dvou skupin:
1. Stroje, jejichž účelem je konat (mechanickou) práci. K tomu je potřeba mít dvě místa s různou teplotou.
2. Stroje, jejichž účelem je přemísťovat teplo z chladnějšího tělesa na teplejší. K tomu je potřeba dodat částvýkonu zvenčí. Nejběžnějšími představiteli těchto strojů jsou lednička, klimatizace a tepelné čerpadlo. Jejichobvyklou součástí je kompresor poháněný elektromotorem s účinností cca 50%.
Pro vratný stroj platí:
Pro stroj platí:každý
Obr. 2: Tepelné stroje lze rozdělit do dvou skupin. Obrázek nalevo znázorňuje stroj, ve kterém teplo přechází z teplejšíhotělesa na chladnější a část energie lze přeměnit na mechanickou práci. Obrázek napravo představuje obrácený tok tepla –z chladnějšího tělesa na teplejší, kterého lze dosáhnout jedině tím, že část výkonu dodáme zvenčí. Je-li stroj vratný, pakv obou případech platí vztah Q1/T1 = Q2/T2. Dokonale vratný stroj však nelze sestrojit.
Vypočítejme, jaké jsou účinnosti různých strojů, pokud by jejich pracovní cyklus byl vratný,5Výparné teplo vody samo o sobě poněkud závisí na teplotě. Lze říci, že se zvyšující se teplotou stačí méně energie na odpaření.
Při teplotě 25◦C je výparné teplo lv = 2442 kJ/kg, což je asi o deset procent více než lv = 2219 kJ/kg při běžné teplotě varu 100◦C.Kdybychom teplotu zvyšovali ještě více, dospějeme k tzv. kritické teplotě 374◦C, při které je výparné teplo vody nulové a přestaneexistovat rozdíl mezi kapalinou a plynem.
8
6.1 Účinnost stroje, který koná práci na základě rozdílu teplot
η = W
Q1= Q1 −Q2
Q1=Q1 −Q1
T2T1
Q1=Q1
(1− T2
T1
)Q1
= 1− T2T1
= T1 − T2T1
= ∆TT1
Příkladem takového stroje je parní stroj, spalovací motor (benzínový nebo naftový), parní turbína v uhelné nebojaderné elektrárně, plynová turbína v teplárnách, Stirlingův motor atd. Všechny tyto stroje mají svou maximálníúčinnost určenou teplotami T1 a T2. Teplota T2 je obvykle teplota okolí. Teplota T1 by měla být co nejvyšší a jeobvykle limitována vlastnostmi použitých materiálů.
6.2 Účinnost ledničky nebo klimatizace
η = Q2W
= Q2Q1 −Q2
= Q2
Q2T1T2−Q2
= 1T1T2− 1
= 1T1−T2T2
= T2∆T
Lednička i klimatizace obvykle obsahuje kompresor, jehož účinnost bývá kolem 50%.Účinnost závisí na teplotě T2, kterou ale příliš ovlivnit nemůžeme – tu požadujeme. Rozdíl teplot byl měl
být co nejnižší, ale ten je limitován teplotou okolí. Pro zlepšení účinnosti se můžeme snažit zmenšit rozdíl teplottím, že zlepšíme přestup tepla na obou stranách. Například, v případě klimatizace, velkými rozměry a proudícímvzduchem. Proto jsou klimatizace velké a jejich ventilátory hlučné. Anebo můžeme odstranit námrazu v ledničcea podobně . . .
6.3 Účinnost tepelného čerpadla
η = Q1W
= Q1Q1 −Q2
= Q1
Q1 −Q1T2T1
= Q1
Q1
(1− T2
T1
) = 11− T2
T1
= 1T1−T2T1
= T1∆T
Má-li být účinnost tepelného čerpadla co nejvyšší, pak by měl být co nejmenší rozdíl teplot T1 − T2. TeplotaT1 je ale právě ta teplota, kterou u tepelného čerpadla využíváme. Proto bývá snaha navrhnout vytápění tak,aby mohlo pracovat s nižší teplotou. Například, klasické radiátory používají vodu o teplotě 70◦C, zatímco propodlahové vytápění postačí teplota vody 50◦C.
Na druhou stranu je potřeba, aby teplota T2 byla co nejvyšší. Ta je obvykle limitována teplotou studničnívody, teplotou vrtu nebo teplotou okolního vzduchu.
Účinnost, kterou vypočteme pomocí výše uvedeného vztahu, je kvůli nedokonalosti kompresoru nutno ještěnásobit přibližně číslem 0,5 podobně jako v případě ledničky a klimatizace.
Při posuzování výhodnosti tepelného čerpadla je nutno uvažovat, že elektřina, která tepelné čerpadlo pohání,je přibližně čtyřikrát dražší než plyn. Má-li tepelné čerpadlo konkurovat vytápění pomocí plynu, musí mít lepšíúčinnost než 400%, což může mít, ale nemusí.
7 Nakreslete a popište princip tepelného čerpadla/ledničky/klimatizacepopište celý cyklus – kde se mění tlak, kde se mění teplota, kde se médium vypařuje a kde kondenzuje, jak semění bod varu, jak se jmenují jednotlivé části, kterou část musíme pohánět (elektrickou) energií, co jsou freony aproč škodí . . .
9
kompresor
výparník
škrtící ventil
kapalinakapalina
snížení tlaku – tím i snížení bodu varu
vypařování (var)
plynplyn
adiabatická komprese:
zvýšení tlaku, teploty i bodu varu
teplota výrazně vyšší
než teplota okolí
teplota jen o málo vyšší
než teplota okolí
kondenzátor
kondenzace
ochlazení
nízká teplota
8 Spalování zemního plynu v kondenzačním kotliNapište a vyrovnejte chemickou rovnici spalování metanu a vypočítejte rosný bod spalin pro stechiometrickýpoměr, ale i pro spalování při nadbytku vzduchu. Jaké vlastnosti má kondenzační kotel?
Jedním z produktů při spálení, takřka jakýchkoli paliv obsahujících vodík, je voda. Tuto vlastnost má většinapoužívaných paliv, ať už se jedná o uhlovodíky6 (metan, propan-butan, benzín, nafta, parafin, petrolej, topné olejeatd.) či dřevo, biomasu, komunální odpad a podobně. Výjimku tvoří černé uhlí, které se skládá především z uhlíku,a hlavním produktem spalování je proto oxid uhličitý. Vodík bývá v uhlí přítomen jen v malé koncentraci, a protoi obsah vody ve spalinách není příliš významný.
Voda, která vzniká při spálení, může být v plynném skupenství v podobě páry nebo ve skupenství kapalném.Je zřejmé, že pára, která odchází komínem či výfukem obsahuje určité množství energie, které je dáno výparnýmteplem vody. Tuto energii lze využít v takzvaných kondenzačních kotlech, ve kterých spaliny procházejí místems teplotou nižší, než je rosný bod spalin. Na chladnějších plochách voda kondenzuje a stéká do sběrné nádoby. Přikondenzaci se využilo výparné teplo vody.
Spočítejme, při jaké teplotě začíná kondenzovat voda v produktech spalování, jestliže uvažujeme kotel spalujícízemní plyn. Zemní plyn obsahuje především metan a při jeho spálení vzniká oxid uhličitý a voda, což můžemepopsat pomocí chemické reakce:
CH4 + 2O2 → 2H2O + CO2
Předpokládejme, že přibližně pětina vzduchu je kyslík. To znamená, že na každou kyslíkovou molekulu připadnoučtyři dusíkové.
8N2 + CH4 + 2O2 → 2H2O + CO2 + 8N2
Výsledkem je celkem 11 molekul plynu. Dvě z nich jsou molekuly vodní páry. To znamená, že parciální tlak vodnípáry bude představovat 2/11 celkového tlaku. Při běžném atmosférickém tlaku vychází
pH2O = pa211
.= 18181Pa
Jak lze usoudit z tabulky, tento tlak bude mít nasycená vodní pára při teplotě cca 58◦C. Tím je určen rosný bod.6Uhlovodíky obsahují pouze uhlík a vodík a jejich stechiometrický vzorec lze zapsat jako CmHn. Při dokonalém spalování uhlovodíků
vzniká oxid uhličitý a voda, přičemž příslušnou chemickou reakci lze zapsat takto: CmHn + (n4 +m)O2 → mCO2 + n2 H2O
10
8.1 Rosný bod spalin metanu při nadbytku vzduchuV běžném kotli se ale nespaluje zemní plyn přesným množstvím vzduchu, které by vycházelo z výše uvedenéchemické reakce. Ve skutečnosti se k hořáku přivádí více vzduchu než je nezbytně nutno. Dělá se to proto, abybyla jistota, že se všechno palivo spálí7. Důsledkem je, že pouze část kyslíku se účastní hoření, ale část odcházíkomínem beze změny. Poměr, který udává, kolikanásobně je vzduchu více než je potřeba se označuje λ. Chemickoureakci přepíšeme do tvaru
λ8N2 + CH4 + λ2O2 → 2H2O + CO2 + λ8N2 + (2λ− 2)O2
Na pravé straně rovnice jsou opět dvě molekuly vody. Ale celkový počet molekul závisí na konstantě λ. Vypočtemeparciální tlak vodní páry:
pH2O = pa2
2 + 1 + 8λ+ (2λ− 2)= pa
23 + 8λ+ 2λ− 2
= pa2
1 + 10λ
Jestliže za λ dosadíme jedničku, jedná se o stechiometrický poměr a rosný bod spalin jsme již získali v předchozímvýpočtu. Nyní ale můžeme vyzkoušet jiné poměry, například 2 nebo 3. Z toho vycházejí rosné body 45◦C a38◦C. Výpočty jsou pouze orientační a reálná hodnota je ovlivněna především obsahem vodní páry ve vstupujícímvzduchu i zemním plynu (oboje jsme zanedbali). Závěr však je, že rosný bod se sníží, jestliže do hořáku přidámevíce vzduchu.
Konstrukce kondenzačního kotle musí zajišťovat dokonalé spalování. Tento požadavek lze splnit nadbytkempřiváděného vzduchu, tj. zajistit, aby koeficient λ byl větší než jedna. Na druhou stranu, přidávání vzduchu vedeke snižování rosného bodu. Jeho příliš nízká hodnota pak může vést k tomu, že vodní pára obsažená ve spalináchnebude dostatečně kondenzovat, což zhorší účinnost kotle.
9 Elektromagnetické záření/vlnění a jeho spektrumCo to (alespoň přibližně) je; jakou rychlostí se šíří, srovnejte jeho rychlost s rychlostí zvuku; jak záření dělímepodle vlnové délky či frekvence; Na co se jednotlivé druhy používají; co bývá jejich zdrojem; jaký rozsah vlnovýchdélek vidí lidské oko . . .
viz např. wikipedie, heslo „elektromagnetické spektrum“
10 Záření černého tělesa, Sluneční zářeníOkomentujte Planckův vyzařovací zákon dI
dλ= 2πhc2
λ5(ehcλkT − 1
) . Co když tuto funkci zintegrujeme v mezích od
λ1 do λ2? Co je Wienův posunovací zákon (b = 0,0028977685 mK)? Co je Stefan-Boltzmannův zákon (σ =5,6704 · 10−8 Wm−2K−4)? Vyberte si nějaké těleso z reálného života (Slunce, vlákno žárovky, lidské tělo . . . ) anakreslete jeho vyzařovací křivku. Jaký výkon má Slunce (teplota 5770K a poloměr 700 000 km)? Co je to solárníkonstanta a jak se vypočítá (jedna astronomická jednotka je 150 miliónů kilometrů). Nakreslete obrázek, kterýznázorňuje tepelné toky u předmětu, který v noci vychládá a který je přes den vystaven přímému slunci. Jak byšlo teplotu vypočítat?
dIdλ
= 2πhc2
λ5(ehcλkT − 1
)Wienův posunovací zákon: Tato funkce má maximum v bodě λ = b
T , kde b je rovno
b = 0,0028977685 mK
Stefan Boltzmannův zákon:I =
∫ ∞0
2πhc2
λ5(ehcλkT − 1
)dλ = σT 4
7Nedostatek vzduchu vede ke špatnému spalování, při kterém zůstává část paliva nevyužita, může vznikat jedovatý oxid uhelnatý,pevné organické částice, toxické uhlovodíky, saze a podobně.
11
0 500 1000 1500 2000 2500 3000λ [nm]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9dI
dλ
[Wm−
3]
×1013
0 10 20 30 40 50λ [µm]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
dI
dλ
[Wm−
3]
×108
Obr. 3: Grafy znázorňují Planckovu vyzařovací funkci. Obrázek nalevo odpovídá záření Slunce, které má teplotu povrchu5770K. Je zde vyznačena oblast viditelného záření. Na grafu napravo jsou vyneseny vyzařovací funkce pro teploty 0◦, 20◦, 40◦,60◦, 80◦ a 100◦. Z grafů je zřejmé, že zvyšováním teploty záření narůstá a současně se vyzařovací maximum posouvá směremke kratším vlnovým délkám. Pro solární kolektory je důležitý bod kolem 4 mikrometrů. V rozmezí od nuly (od nejkratšíchvlnových délek) až po tuto hranici vyzařuje Slunce naprostou většinu svého záření, ale přitom v této oblasti běžné předmětytéměř nevyzařují.
11 Záření tělesa, které není dokonale černéodrazivost, pohltivost, propustnost, emisivita, skleníkový efekt, solární kolektory
Záření, které dopadne na povrch tělesa, se vždy částečně odrazí, částečně pohltí uvnitř tělesa (tím se tělesoohřívá) a část záření projde skrz. Existují proto tři koeficienty, které určují, jak se záření zachová. Je to odrazivost% (reflektance8), pohltivost α (absorbance9) a propustnost τ (transmitance10). Součet všech tří koeficientů je vždyroven jedné (%+ α+ τ = 1), takže z libovolných dvou lze dopočítat třetí. U těles, kterými záření neprojde téměřvůbec (τ = 0), stačí znát pouze odrazivost (ta se lépe měří) a pohltivost se dopočítá. Dokonale černé těleso máα = 1 a % = τ = 0.
Pohltivost α velmi úzce souvisí s tepelným zářením tělesa. Z jistých důvodů (které zde nebudeme rozebírat)musí platit, že schopnost tělesa vyzařovat záření (tedy ochlazovat se) je stejná jako schopnost záření pohlcovat(tedy zahřívat se). Planckův vyzařovací zákon platí pouze pro těleso, které je dokonalý zářič a tedy současnědokonale záření pohlcuje. Takové těleso budeme vnímat jako černé a proto Planckův vyzařovací zákon platí pouzepro dokonale černé těleso.
Žádné reálné těleso ale není dokonale černé a nedokáže pohltit veškeré záření, které na něj dopadne. Důsledkemje, že ani nedokáže vyzařovat v souladu s Planckovým zákonem. Vždy bude vyzařovat méně. Planckův zákon jeproto potřeba vynásobit koeficientem ε (emisivita11). Z předchozích tvrzení by mělo být zřejmé, že
α = ε
Planckův zákon pro reálné těleso by měl tvar
dIdλ
= ε(λ) 2πhc2
λ5(ehcλkT − 1
)Celá věc se poněkud komplikuje tím, že všechny koeficienty závisejí na vlnové délce. Například obyčejným sklemUV záření neprochází, ale viditelné ano. Cihlovou zdí viditelné záření neprochází, ale rádiové vlny mohou. Černýmigelitem viditelné záření neprochází, ale blízké infračervené ano (dálkové ovládání bude fungovat i skrz něj). Protoje potřeba být obezřetný v používání Stefan-Boltzmannova zákona – ten platí pouze pro dokonale černé těleso.
Skutečnost, že pohltivost (emisivita) závisí na vlnové délce, se využívá v solárních kolektorech, ve kterých sevoda ohřívá slunečním zářením. Používají se materiály, které dobře pohlcují sluneční záření, ale špatně vyzařují své
vlastní teplo. Sluneční záření má vlnové délky v řádu stovek nanometrů, zatímco záření běžných těles se odehrávána vlnových délkách řádu mikrometrů a více. Je tedy možné vyrobit solární kolektor, který má lepší vlastnostinež dokonale černé těleso. Tentýž princip využívá i skleník.
0 5 10 15 20 25 30λ [µm]
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Obr. 4: Planckova funkce odpovídající Slunečnímu záření a záření černého tělesa o teplotě 50 ◦C (solárního kolektoru). Jezřejmé, že ideální solární kolektor by měl pohltit co nejvíce Slunečního záření (tj. být černý až do 4µm) a současně sámzářit co nejméně, tj. od 4µm by se měl chovat jako „lesklý“. Nejsnáze dostupný materiál, který alespoň částečně vykazujezmíněnou vlastnost, je zoxidovaný měděný plech.
Jak už to bývá, nikomu se nechce používat integrál. Proto, v rámci „zjednodušení“ bývá zaveden pojem šedétěleso, u kterého je emisivita konstantní a nezávisí na vlnové délce. Výhoda je, že Stefan-Boltzmannovu konstantulze vynásobit jinou konstantou bez použití integrálu. Nevýhoda – veškeré informace jsou ztraceny. A krom toho všezávisí na teplotě. Další marný pokus o zjednodušení můžeme vidět v samotných veličinách α a ε. Oba parametryby měly být stejné, ale bývá podivným zvykem je udávat tak, že nejsou. Bývají totiž určeny jen jejich středníhodnoty(?) na „vhodných“ rozsazích vlnových délek. Užitek z toho mají asi jen prodejci solárních kolektorů,protože mohou uvádět zajímavé parametry. Existuje také pojem albedo, což je něco jako střední hodnota emisivity(nebo pohltivosti) v rozsahu asi někde zhruba kolem viditelného záření, není-li řečeno jinak.
Není lepší umět integrovat?
12 EnergieJaký je rozdíl mezi energií a výkonem? V čem se oboje měří? Kolik se platí za různé formy energie? Z čeho a jak seenergie „vyrábí“ v České republice (nebo i jinde) a na co se spotřebovává – pokud možno uveďte reálné hodnoty.Uveďte několik příkladů, které se týkají přímo vás (např. výkon motoru vašeho auta, vyúčtování za plyn, vášvýkon při běhu do schodů atd.) Popište problémy související s pálením fosilních paliv, s uskladněním jadernéhoodpadu, globálním oteplováním vlivem emisí CO2 a skleníkového efektu atd..
