3.2 Základy pevnosti materiálu
Ing. Pavel Bělov23.5.2018
2
Normálové napětí
● představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit
● je kolmé na rovinu řezu● v případě že je rovnoměrně rozloženo po řezu jedná se o tah nebo
tlak
σ=FS
[N ]
[mm2]=[MPa ]
3
Poměrné prodloužení
● Jedná se o bezrozměrné číslo vyjadřující délkové prodloužení původního tělesa
ε=Δ ll0
[-]● poměrné
prodloužení
● prodloužení
● poměrné prodloužení v procentech
Δ l=l−l0 [mm]
ε=Δ ll0
∗100 []
4
Hookeův zákon
● Napětí je přímo úměrné deformaci● Při tahové zkoušce se materiál podle Hookeova zákona chová do
meze úměrnosti● Základní formulace
σ1ε1
=σ2ε2
=σUεU
=tgα=E
σ=E∗ε [MPa]
5
Modul pružnosti v tahu
● E [MPa] – modul pružnosti v tahu (Youngův modul)
● základní materiálovou konstantu● pro ocel 2.1*105 MPa do teploty okolo
100°C● pro hliník 0.7*105 MPa
6
Koeficient příčné kontrakce (Poissonova konstanta)
● Popisuje závislost mezi podélným poměrným prodloužením a příčným poměrným zkrácením
● značka Poissonovy konstanty je μ
ε y=εz=−μ∗εx ε y=εz=Δh
h0
=Δb
b0
7
Smykové napětí
● představuje vazbu, která brání částicím tělesa se od sebe oddálit ve směru roviny řezu
● je rovnoběžné s rovinou řezu● v případě rovnoměrného rozložení po rovině řezu se jedná o
prostý smyk
τ=FS
[N ]
[mm2]=[MPa ]
8
Zkos
● elementární těleso je zatíženo silou vyvolávající změnu pravého úhlu tělesa
● pro malé úhly lze psát tg γ∼γ=BCAB
9
Hookův zákon pro smyk
● Platí pouze pro malé deformace
● Hodnota modulu pružnosti ve smyku pro ocel 8*104MPa
● Základní vyjádření pro smyk
τ=G∗γ
τ - napětí v materiálu
G – modul pružnosti ve smyku
γ – zkos
● Vztah mezi modulem pružnosti ve smyku a v tahu
G=E
2∗(1+μ)
10
Tahový diagram
● Slouží pro určení základních materiálových vlastností
● Jedná se o jednu z nejběžnějších zkoušek● Při zkoušce je materiál zatěžován jednoosou
napjatostí● Výsledný graf určuje závislost síly na
deformaci F-Δl nebo napětí na poměrné deformaci σ-ε
11
Tahový diagram
12
Tahový diagram různých materiálů
13
Charakteristiky získané z tahové zkoušky
● Smluvní mez pevnosti Rm
● Smluvní mez kluzu Re
● Tažnost A
● Kontra Z
A=Lu−L0
L0
∗100 []
Z=S0−Su
S0
∗100 []
Rm=Fm
S0
[MPa]
Re=F e
S0
[MPa]
14
Smluvní mez kluzu
● U materiálů s nevýraznou mezí kluzu se používá smluvní mez kluzu
● Smluvní mez kluzu Rp0.2 je napětí, které způsobí trvalou deformaci o velikosti 0.2% z L0
15
Elastická a plastická deformace
Drtivá většina strojních konstrukcí se provozuje v oblasti elastických deformací (do meze kluzu Re)
16
Metoda řezů
● těleso je v klidu a pomocí myšleného řezu ho rozdělíme na dvě části
● aby zůstala část A i B v rovnováze musíme do rovin řezů připojit takové vnitřní síly, které zajistí rovnovážný stav
● vnitřní síly se následně stávají silami vnějšími a je možno je řešit metodami statiky
∑ F x=0 ∑M x=0
∑ F y=0 ∑M y=0
∑ F z=0 ∑M z=0
17
Metoda řezu
● VVU – výsledné vnitřní účinky● VVU v bodě střednice – výsledné vnitřní účinky se vyšetřují na středníci prutu v
daném bodě● VVU prutu – jedná se o funkční závislost vyjadřující průběh VVU po střednici prutu
● N – normálová síla
● T – posouvající síla
● Mk – kroutící moment
● Mo – ohybový moment
18
Př:1 Vyšetřete průběh VVU
Vyšetřete průběh VVU u vetknutého prutu zatíženého dvěma silami
● F1 = 500N● F2 = 800N● a = 400mm● b = 700mm
19
Př:1 Stanovení VVU
∑ F x=0
−N=0
∑ F z=0
−T+F2=0T=F2
∑M y=0
−M o−F2∗x1=0M o=−F2∗x1
∑ F z=0
−T+F1+F2=0T=F1+F2
∑ M y=0
−M o−F1∗(x2−b)−F2∗x2=0M o=−F1∗(x2−b)−F2∗x2
20
Př:1 Výsledný průběh VVU
21
Př:2 Vyšetřete průběh VVU
Vyšetřete průběh VVU u prutu na dvou podporách● zatěžující síla F=1000N● rozměr a=300mm● rozmer b=1000mm
22
Př:2 Stanovení síly v podporách
∑ Fz=0
−F Az+F−FBz=0F Az=F−FBz
F Az=1000−230.8F Az=769.2N
∑ M Ay=0
−F∗a+F Bz∗(a+b)
FBz=F∗a(a+b)
FBz=1000∗300(300+1000)
FBz=230.8N
∑ Fx=0
23
Př:2 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech
∑ F z=0
−F Az+T=0T=FAz
∑M y=0
M o−F Az∗x1=0M o=F Az∗x1
∑ F x=0
N=0
∑ F z=0
−F Az+F+T=0T=F Az−F
∑M y=0
M o−F Az∗x2+F∗(X 2−a)=0M o=F Az∗x2−F∗(x2−a)
24
Př:2 Výsledný průběh VVU v prutu
25
Základní druhy namáhání materiálu
● Tah a tlak● Prostý smyk● Ohyb● Krut
26
Tah a tlak
Výpočet napětí v materiálu
Zatěžující síla je kolmá na příčný průřez prutu a napětí je rovnoměrně rozloženo po průřezu.
σ=FS
[N ]
[mm2]=[MPa]
σ - napětí v materiálu
F – zatěžující síla
S – příčný průřez
27
Př:3
Vetknutý nosník z materiálu S235 je zatížen břemenem. Vypočtěte velikost napětí v nosníku a bezpečnost vůči mezi kluzu Re
28
Př:3 řešení
● Zatěžující síla
● Plocha příčného průřezu
● Napětí v nosníku
● Koeficient bezpečnosti
F=Q∗q=2000∗9.81=19620 N
S=20∗10=200mm2
σ=FS=
519620200
=98.1N
mm2
k=Reσ =
23598.1
=2.4
29
Prostý smyk
Výpočet napětí v materiálu
Zatěžující síla je rovnoběžná s příčným průřezem a napětí je rovnoměrně rozloženo po průřezu (pouze teoreticky).
τ - napětí v materiálu
F – zatěžující síla
S – příčný průřez
τ=FS
[N ]
[mm2]=[MPa ]
30
Př:4
Jakou sílu je třeba vyvodit pro ustřižení kulatiny z materiálu 11 373. Mez pevnosti ve smyky je přibližně 0.8*Rm.
31
Př:4 řešení
● Výpočet plochy příčného průřezu
● Výpočet meze pevnosti ve smyku
● Výpočet potřebné síly
S=π∗d2
4=
π∗202
4=314mm2
τ=Rm∗0.8=373∗0.8=298.4N
mm2
F=τ∗S=298.4∗314=93697.6N
32
Ohyb
Výpočet napětí v materiálu
Zatěžující moment působí kolmo na osu prutu a způsobuje jeho průhyb.
σo - napětí v materiálu
Mo – zatěžující moment
Wo – průřezový modul v ohybu
σo=M o
W o
[N∗mm]
[mm3]
=[MPa]
33
34
Př:5 Vyšetřete průběh VVU a zkontrolujte maximální ohybové napětí na nosníku
Vyšetřete průběh VVU u prutu na dvou podporách● zatěžující síla F=5000N● rozměr a=450mm● rozmer b=700mm● materiál nosníku S235
35
Př:5 Stanovení síly v podporách
∑ Fz=0
F−F Az+FBz=0F Az=F+FBz
F Az=5000+3214.3F Az=8214.3 N
∑ M Ay=0
F∗a−F Bz∗b
FBz=F∗ab
FBz=5000∗450(700)
FBz=3214.3 N
∑ Fx=0
36
Př:5 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech
∑ F z=0
F+T=0T=−F
∑M y=0
M o+F∗x1=0M o=−F∗x1
∑ F x=0
N=0
∑ F z=0
−F Az+F+T=0T=F Az−F
∑M y=0
M o−F Az∗(x2−a)+F∗x2=0M o=F Az∗(x2−a)−F∗x2
37
Př:5 Výsledný průběh VVU v prutu
38
Př:5 Výpočet maximálního ohybového napětí a porovnání s mezí kluzu
● Průřezový modul v ohybu
● Maximální ohybový moment
● Maximální ohybové napětí
● Koeficient bezpečnosti
Wo=BH 2
6=
30∗502
6=12500mm3
M omax=F∗a=5000∗450=2250000 N∗mm=2250 N∗m
σo=M o
W o
=2250000
12500=180
N
mm2
k=Reσo
=235180
=1.3
39
Krut
Výpočet napětí v materiálu
Zatěžující moment působí v ose prutu a způsobuje jeho kroucení.
τk - napětí v materiálu
Mk – zatěžující moment
Wk – průřezový modul v krutu
τk=M k
W k
[N∗mm]
[mm3]
=[MPa]
40
Př:6 Navrhněte průměr kruhové tyče zatížené silovou dvojicí
● F = 100● h = 500● τdk = 200MPa
● d = ?
41
Př:6 řešení
● Zatěžující kroutící moment
● Výpočet průřezového modulu v krutu
● Výpočet minimálního průřezu
M k=F∗h=100∗500=50000 N∗mm=50N∗m
W k=M kτdk
=50000
200=250mm3
d=3√ 16∗W k
π =3√ 16∗250
π =10.8mm
42
Př:7 Vyšetřete průběh VVU v nosníku
● Nosník na dvou podporách● F1 = 1000N● F2 = 1500N● a = 1000 mm● b =700 mm● c = 800 mm
43
Př:7 Stanovení síly v podporách
∑ Fz=0
−F Az+F1−F2+FBz=0FAz=F1−F2+FBz
FAz=1000−1500+620FAz=120 N
∑M Ay=0
−F1∗a+F2∗(a+b)−FBz∗(a+b+c)
FBz=−F1∗a+F2∗(a+b)
(a+b+c)
FBz=−1000∗1000+1500∗(1000+700)
(1000+700+800)FBz=620 N
∑ Fx=0
44
Př:7 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech
∑ F z=0
−F Az+T=0T=FAz
∑M y=0
M o−F Az∗x1=0M o=F Az∗x1
∑ F x=0
N=0
∑ F z=0
−F Az+F1+T=0T=F Az−F1
∑M y=0
M o−F Az∗x2+F1∗(x2−a)=0M o=F Az∗x2−F1∗(x2−a)
45
Př:7 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech
∑ F z=0
−F Az+F1−F2+T=0T=F Az−F1+F 2
∑M y=0
M o−F Az∗x3+F1∗(x3−a)−F2∗(x3−a−b)=0M o=F Az∗x3−F1∗(x3−a)+F2∗(x3−a−b)
46
Př:7 Výsledný průběh VVU v prutu