P4 LOGICKÉ OBVODY
I. Kombinační Logické obvody
I. a) Základy logiky
Zákony Booleovy algebry1. Komutativní zákon duální forma
a + b = b + a a . b = b . a
2. Asociativní zákon
(a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c)
3. Zákon idempotence
a + a = a a . a = a
4. Zákon absorpce
a + (a . b) = a a . (a + b ) = a
5. Zákon agresivnosti nuly a jedničky
a . 0 = 0 a + 1 = 1
Zákon neutrálnosti nuly a jedničky
a + 0 = a a . 1 = a
Distributivní zákon
a . (b + c) = (a . b) + (a . c) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
Zákon sporu a vyloučeného třetího
Zákon involuce neboli dvojí negace
= a
Zákon absorpce negace
De Morganovy zákony
a
b a ba.a +=+ a.b b) aa.( =+
z...cbaz....c . b.a ++++=z...c.b.az ... c ba =++++
1 aa 0 a.a =+=1aa 0a.a =+=
Shannonův expanzní teorém - rozklad logické funkce
I. verze součtová :
F(x1, x2, … , xn) = x1 . F(1, x2, … , xn) + . F(0, x2, … , xn)
II. verze součinová :
F(x1, x2, … , xn) = [x1+F(0, x2, … , xn)] . [ + F(1, x2, … , xn)]
D U A L I T A F U N K C Í
FD(x1 , x2, x3, … , xn , 0 , 1 , + , .) = F(x1 , x2, x3, … , xn , 1 , 0 , . , + )
1x
1x
Základní logické funkce
Schematické značky logických členů
Funkce majority
Funkce majority je souměrná logická funkce, která nabývájedničkové hodnoty tehdy, když většina vstupních logických proměnných nabývá logické hodnoty jedna.
Př.: Majorita ze tří je rovna jedné právě když 2 nebo 3 logické
vstupní proměnné nabývají jedničkovou hodnotu.
Označíme ji následovně: M3(x , y , z ) nebo x # y # z
nebo ji můžeme zapsat jako logickou funkci tří proměnných:
M3(x , y , z) = a tu je možné
realizovat : 1 log. členem OR - čtyřvstupovým a
4 log. členy AND – třívstupovými a
3 log. členy NOT – invertory
Tedy bylo by zapotřebí celkem 8 logických členů(prvků)
xyz zxy z yx yz x +++
Můžeme ale udělat úpravu – vytkneme z posledních čl. xy
M3 = =
= = 1
Tuto upravenou funkci můžeme realizovat
1 x OR – třívstupový
2 x AND – třívstupový
1 x AND – dvouvstupový
2 x NOT – invertory
Tedy celkem by bylo třeba 6 logických členů!
A posléze můžeme udělat další úpravu pokud rozšíříme funkci na bázi zákona idempotence : xyz = xyz + xyz + xyz - pak
M3 = =
= = xy + xz + yz
xyz zxy z yx yz x +++ )( z zxy z yx yz x +++
xy z yx yz x ++
xyz zxy z yx yz x +++
)()()( z zxy xz y y yz x x +++++
)( z zxy z yx yz x +++
Nyní již budeme realizovat majoritní funkci se 4 logickými členy:
1 x OR – třívstupový
3 x AND – dvouvstupový Pozn: Invertory nepotřebujeme!
Zápis logické funkce pravdivostní tabulkou a mapou
Zobrazení do mapy :
Mapy pro 3 a 4 proměnné :
Poznámka: Jedna jedničková hodnota zadané logické funkce může
být pokývána libovolněkrát, ale musí být splněna zmíně-
ná kriteria minimality.
Příklad Karnaughovy mapy pro 5 proměnných: použit Grayův kód
Normální formy logických funkcí
a) Úplná normální disjunktní forma (úndf) - součtová
V úplné normální formě je každá jedničková hodnota zadanélogické funkce „pokrývána“ jedním termem resp. implikantem. Takový součinový term obsahuje všechny proměnné zadanélogické funkce jako přímé nebo negované (minterm).
Na příklad u zmíněné majority ze tří (funkce je dána třemi proměnnými) jsou implikanty délky 3 – tj. Prvotní popis majoritní funkce ze 3 je zapsán úplnou normálníformou.
b) Úpná normální konjunktní forma (únkf) - součinová
Konjunktní forma pokrývá nulové hodnoty zadané logické funkce svými součtovými termy – např. (maxtermy –obsahuje opět všechny proměnné).
atd. , zyx ,z x ,xyz yx ,yz
... ).).(( z yxz yx ++++
c) Minimální normální disjunktní forma (mndf)
Minimální normální disjunktní forma (mndf) obsahuje nejmenšímožný počet nejkratších implikantů(součinových termů), tj. přímých implikantů. Kriteria minimality tedy jsou:
1) má minimální délku formy (tj. počet přímých implikantů)
2) má minimální délku implikantů(tj. s min.počtem prom.)
3) eventuelně obsahuje minimální počet negací
Minializace pomocí mapy:Pokrýváním jedničkových stavů zadané logické funkce vytvoříme
nejmenší počet co největších smyček! Řešení nemusí být jediné. Ukázka viz Karnaughova mapa pro 4 proměnné v předchozím slajdu – řešení jsou dvě :
1. F1(a,b,c,d) =
2. F2(a.b.c.d) = dba dcbcbac +++adcb dcbcbac +++a
Příklad na tabulku pokrytí
Je daná následující logická funkce 4 proměnných
Úplná množina přímých implikantů {PI}:
}c.b.a , dc.b , d.b.a , ca. , cb. , a.d , d.c{ {PI} .=
Nejvýhodnějším řešení je první funkce - doplňující implikant má
délku 2 (dvě proměnné) :
Realizace log. funkce s členy NAND (NOR)
Další aplikace logických obvodů s členy NAND
Realizace kaskády NAND : Náhrada NAND
Realizace součtové formy s NAND členy
Návrh kombinačních obvodů s členy NANDVýchozí podmínky: - minimální forma logické funkce - jsou dané typy
logických členů, resp. se volí pro danou technologii- je daná rychlost logického
---------------------------------------------------------------------------------------------- požaduje se snadná diagnostika a oživování- bere se ohled na konstrukční řešení
I. OBECNÁ a KLASICKÁ STRUKTURA AND – OR
Uvažujme realizaci dané logické v minimálním tvaru:
Tuto minimální součtové funkci (mndf) můžeme zakreslit ve struktuře AND - OR
c . b . a d . c . a d . b . a d . a b . a d) c, b, (a,F3 ++++=
Úprava minimální logické funkce pro realizaci s členy NAND
c . b . a d . c . a d . b . a d . a b . a d) c, b, (a,F3 ++++=
Použijeme zákona dvojí negace (involuce) a
De Morganových pravidel
c . b . a d . c . a d . b . a d . a b . a d) c, b, (a,F3 ++++=
)c . b . a( . )d . c . a( . )d . b . a( . )d . a( . )a.b( d) c, b, (a,F3 =
Z této úpravy lze již snadno nakreslit schéma se členy NAND neboťkaždé závorce odpovídá logický člen NAND a negace celého výrazu odpovídá pětivstupovému NAND výstupnímu
Výsledné schéma se členy NAND max. třívstupovými - bylo třeba nahradit výstupní log, člen pětivstupový
Úprava logické funkce
c . b . a . d . c . a . d . b . a . d . a . b . a d) c, b, (a,F3 =
Funkci rozdělíme na 2 větve
c . b . a d . c . a d . b . a d . a b . a d) c, b, (a,F3 ++++=
Další úprava
c . b . a . d . c . a d . b . a . d . a . b . a d) c, b, (a,F3 +=
1. větev 2. větev
Upravené schéma – s 2 a 3 vstupovými log. členy
Prodloužení větví znamená delší reakce na výstupech!!
Příklad sčítačky :