@063

5. Kvadratická funkce

Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě.

Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem

f: y = ax2 + bx + c , kde a, b, c R, a 0.

názvosloví:

a = koeficient u kvadratického členu, ax2 kvadratický člen,

b = koeficient u lineárního členu, bx lineární člen

c = absolutní člen

Poznámka: Ze základní školy víte, že grafem kvadratické funkce je parabola.

Úkol: Proč je v definici kvadratické funkce podmínka a 0?

výsledek

@066

Poznámka: Stačí-li nám náčrtek grafu, využijeme výše uvedených znalostí, aniž bychom

cokoli dalšího počítali.

Pokud potřebujeme přesnější graf, využijeme toho, že grafem je parabola, která musí protnout

osu y v bodě [0; c] a osu x v bodech odpovídajících kořenech kvadratické rovnice. Pokud

kořeny neexistují, musíme si pomoci výpočtem jiných bodů.

Také je vhodné využít skutečnosti, že rovnoběžka s osou y procházející bodem minima resp.

maxima, je osou symetrie paraboly.

Protože předpis kvadratické funkce obsahuje tři parametry, stačí k jednoznačnému určení

paraboly tři body.

Prozkoumejme trochu blíže vliv jednotlivých koeficientů na průběh kvadratické funkce a

porovnejme získané výsledky s výše uvedenou teorií.

Úkol: Načrtněte grafy funkcí y = ax2

pro a = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2.

výsledek

zpět

@069

Načrtněte grafy funkcí y = x2 + c pro c = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2.

pokračování

zpět

@072

Shrnutí do atlasu funkcí:

3 kvadratická funkce

název: kvadratická funkce

předpis: y ax bx c 2, a0

zařazení: patří do skupiny polynomických funkcí

definiční obor: celá množina reálných čísel R

obor hodnot: pro a>0 interval 4

4

2ac b

a

, ) , pro a<0 interval ( ,

4

4

2ac b

a

graf: směr otevření určuje znaménko koeficientu a

křivka: parabola

asymptoty: nemá

funkce inverzní: kvadratická funkce není prostá

derivace: y´= 2ax + b

užití: velmi pestré; spolu s lineární funkcí je kvadratická funkce numericky i logicky dostupná

široké veřejnosti

poznámka: v bodě xb

a

2 má funkce extrém; pro a>0 minimum a pro a<0 maximum

Úkol: Je kvadratická funkce prostá? Je kvadratická funkce omezená (shora, zdola,

oboustranně)? Je kvadratická funkce periodická ?

není prostá, není omezená, není periodická

není prostá, je omezená, není periodická

je prostá, není omezená, je periodická

zpět

@075

Správně.

Není prostá, protože rovnoběžka s osou x protíná parabolu většinou ve dvou různých bodech,

což znamená, že dvěma různým reálným číslům je přiřazena táž funkční hodnota.

Není periodická, nic se na ní neopakuje.

Je omezená. Pro a>0 je omezená zdola, stačí vzít jakékoli číslo menší než minimum.

Pro a<0 je omezená shora, stačí vzít jakékoli číslo větší než maximum.

pokračování

zpět

@078

Největší obsah ze všech rovinných útvarů při zadaném obvodu má kruh.

Příklad: Pojďme spolu navštívit Tajemný hrad ve Středočeském kraji. Kastelán nám ukazuje

hradní studnu a tvrdí, že je 60 metrů hluboká. Hodíme si kontrolní kamínek, aby nás neviděl,

a uslyšíme šplouchnutí za 2 vteřiny. Závěr:

kastelán lže

kastelán mluví pravdu

zpět

@081

Příklad: Julie stojí na balkoně, který je 5 metrů nad ulicí. Romeo se jí snaží hodit růži.

Rozpřáhl se a vymrštil ji rychlostí 10,6 m/s . Má Julie šanci růži chytit?

Úkol: a) Sestavte funkci popisující vzdálenost růže od Romea v závislosti na čase.

b) Nakreslete graf této funkce.

c) Zodpovězte položenou otázku.

výsledek

zpět

@463

Proč je v definici kvadratické funkce podmínka a 0?

Pro a=0 nejde o kvadratickou funkci, ale o lineární funkci s předpisem y = bx + c.

Nyní prozkoumáme kvadratickou funkci a její průběh f: y = ax2 + bx +c

A) Definiční obor funkce:

Není žádný důvod nějaké reálné číslo vylučovat, proto Df = R

B) Symetrie

Musíme prozkoumat f(-x) = a(-x)2 + b(-x) + c = ax

2 – bx + c

Obecně není kvadratická funkce ani lichá ani sudá. Ovšem pro případ b = 0, tzv. ryze

kvadratické funkce g(x) = ax2 + c,

platí

g(-x)=a(-x)2 + c = ax

2 + c = g(x)

Ryze kvadratická funkce je sudá.

C) Derivace

Vypočítáme derivaci a najdeme body – možné extrémy – a určíme, ve kterých intervalech je

funkce rostoucí, klesající, konstantní.

f’(x) = 2ax + b

V bodech, kdy f’(x) = 0, jsou možná minima nebo maxima. U kvadratické funkce jde o jediný

bod a to

(*) a

bx

2

Celý definiční obor se tedy rozpadá na dva intervaly: );2

(),2

;( a

b

a

b

Ze základní školy víme, že grafem kvadratické funkce je parabola s osou rovnoběžnou s osou

y. Kde je kvadratická funkce rostoucí resp. klesající záleží na hodnotách a, b. Základní

rozlišení se provádí podle parametru a.

Pro a > 0 je parabola typu , tedy nejprve klesá, v bodě (*) má své minimum, a pak roste.

Pro a < 0 je parabola typu , nejprve roste, v bodě (*) nabývá maxima a poté klesá.

D) Funkční hodnoty - asymptoty

Žádné asymptoty kvadratická funkce nemá. Jedinou funkční hodnotu, kterou má smysl

vypočíst je a

D

a

bac

a

bf

44

4)

2(

2

, kde D značí známý diskriminant. Nemá však

smysl si tento vzorec pamatovat; podle potřeby vždy hodnotu spočítáme dosazením konkrétní

hodnoty do konkrétního zadání funkce.

E) Průsečíky se souřadnými osami

Průsečík s osou y získáme snadno. Je to bod [0; f(0)] – získáme ho výpočtem funkční

hodnoty pro x = 0. => [0; c]

Průsečík s osou x se získá obtížněji. Je to bod [x; f(x)=0] – abychom získali hodnotu x, pro

kterou je funkční hodnota rovna nule, musíme vyřešit rovnici

f(x) = 0

tj.

ax2 + bx + c = 0

Jak víme ze základní školy nebo z našeho kurzu Rovnice řešení kvadratické rovnice závisí na

hodnotě diskriminantu, tj. čísla

D = b2 - 4ac

Pro

D>0 existují dvě řešení a

Dbx

a

Dbx

2,

221

a tedy i dva průsečíky grafu

funkce s osou x.

D = 0 má rovnice jediné řešení a tedy existuje jediný společný bod s osou x ]0;2

[a

b

D < 0 rovnice nemá žádný reálný kořen, tedy není ani žádný společný bod s osou x.

Úkol: Načrtněte grafy kvadratických funkcí pro všech šest případů (znaménko koeficientu a

kombinováno s počtem řešení kvadratické rovnice, tj. počtu průsečíků s osou x)

výsledek

zpět

@067

Načrtněte grafy funkcí y = ax2

pro a = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2.

pokračování

zpět

@070

Zbývá nám prozkoumat vliv parametru b. Víme, že kvadratická funkce má v bodě a

bx

2

extrém a jeho hodnota je a

D

a

bac

44

42

znamená to, že parametr b ovlivňuje polohu

a velikost extrému.

Úkol: Načrtněte grafy funkcí y = x2 + bx pro b = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2.

Doplňte obrázek grafem funkce y = -x2 .

výsledek

zpět

@073

Ale, ale. Správně, není prostá, protože rovnoběžka s osou x protíná parabolu většinou ve dvou

různých bodech, což znamená, že dvěma různým reálným číslům je přiřazena táž funkční

hodnota.

Správně, není periodická, nic se na ní neopakuje.

Ale je omezená. Pro a>0 je omezená zdola, stačí vzít jakékoli číslo menší než minimum.

Pro a<0 je omezená shora, stačí vzít jakékoli číslo větší než maximum.

Tato znalost je důležitá, proto zpět na obrázky!

@076

Příklad: Lev Nikolajevič Tolstoj napsal povídku o muži Ivanovi:

Kolik půdy člověk potřebuje.

Už nevím proč, dostal Ivan od vrchnosti možnost získat tolik půdy, kolik jí dokáže za den

obejít. Vyrazil hned, jak slunce vyšlo a s ním stráž na koních, kteří kolíkovali jeho majetek.

Ivan cestou viděl tu lesík, tu rybníček, tu ... Vždy si ho zahrnul do svého záboru. Atd, atd. Při

západu slunce sice dorazil na místo startu a tak splnil podmínku, že jeho chůze musí být

uzavřená křivka a půda se stala jeho, ale byl tak vyčerpaný, že padnul a byl na místě mrtev.

Takže mu nakonec stačili dva sáhy pro hrob.

Zde se nebudeme zabývat morálními kvalitami muže Ivana (nechť si závěry udělá každý

sám), nás bude zajímat problém záboru půdy.

Řekněme, že jsme schopni za den ujít 20 km, 40 km, 60 km (spočítáme všechny tři případy,

nicméně každý nechť posoudí svoje schopnosti), že se omezíme pouze na obcházení území ve

tvaru obdélníku a nenecháme se zlákat pěkným remízkem, starým hradem a pod. (i když je to

reálně nemožné).

Úkol: a) Sestavte funkci našeho problému včetně definičního oboru.

b) Sestrojte graf této funkce

c) Odpovězte na otázku: Jak velké území a jakého tvaru (rozměry obdélníku) lze

získat pro zadané tři délky pochodu.

výsledek

zpět

@079

Z fyziky víme, že jde o volný pád. Průběh volného pádu popisuje kvadratická funkce.

Vypustíme-li kamínek volně z ruky, bude klesat podle vzorce

2

2

1gts , kde g=9,8 ms

-2 ~ 10 ms

-2 .

Dosadíme naše hodnoty h = 10.22/2 = 20 m

Výška studny od okraje k hladině vody je 20 metrů. Kastelán možná lže možná mluví pravdu,

protože nevíme, jak je velký sloupec vody ve studni.

pokračování

zpět

@065a

pokračování

zpět

@065b

pokračování

zpět

@065c

pokračování

zpět

@065d

pokračování

zpět

@065e

pokračování

zpět

@065f

pokračování

zpět

@068

Úkol: Načrtněte grafy funkcí y = x2 + c pro c = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2.

výsledek

zpět

@071

Načrtněte grafy funkcí y = x2 + bx pro b = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2.

Doplňte obrázek grafem funkce y = -x2 .

pokračování

zpět

@073

Ale, ale. Správně, není prostá, protože rovnoběžka s osou x protíná parabolu většinou ve dvou

různých bodech, což znamená, že dvěma různým reálným číslům je přiřazena táž funkční

hodnota.

Správně, není periodická, nic se na ní neopakuje.

Ale je omezená. Pro a>0 je omezená zdola, stačí vzít jakékoli číslo menší než minimum.

Pro a<0 je omezená shora, stačí vzít jakékoli číslo větší než maximum.

Tato znalost je důležitá, proto zpět na obrázky!

@074

Ale, ale. Není prostá, protože rovnoběžka s osou x protíná parabolu většinou ve dvou

různých bodech, což znamená, že dvěma různým reálným číslům je přiřazena táž funkční

hodnota.

Není periodická, nic se na ní neopakuje.

Je omezená. Pro a>0 je omezená zdola, stačí vzít jakékoli číslo menší než minimum.

Pro a<0 je omezená shora, stačí vzít jakékoli číslo větší než maximum.

Tato znalost je důležitá, proto zpět na obrázky!

@077

Řešení:

Označme si A délku pochodu (přece nebudeme provádět třikrát stejnou činnost; úlohu

vyřešíme jednou obecně a pak dosadíme konkrétní hodnoty)

x jednu stranu obdélníka

s

obvod obdélníka = ušlá délka

A = 2x + 2s

x

Tedy s = (A - 2x)/2

a obsah obdélníka = zabraná půda P = xs = x(A – 2x)/2

pro stranu x platí, že musí být kladná x>0

a nemůže být větší než polovina obvodu x<A/2

a) Sestavte funkci našeho problému včetně definičního oboru.

Funkce modelující náš příklad proto je

)2

;0(2

:2 A

xxA

xyP

b) Sestrojte graf této funkce

c) Odpovězte na otázku: Jak velké území a jakého tvaru (rozměry obdélníku) lze získat pro

zadané tři délky pochodu.

Největšího obsahu dosáhneme tehdy, když bude jedna strana obdélníka rovna x = A/4

a druhá strana s = (A - 2x)/2 = A/4

Největší obsah ze všech obdélníku při zadaném obvodu má čtverec.

Pro A=20 km získáme čtverec o straně x = 5 km a obsahu P = 25 km2

pro A=40 km získáme čtverec o straně x =10 km a obsahu P =100 km2

pro A=60 km získáme čtverec o straně x =15 km a obsahu P =225 km2

Úkol: Zkuste odhadnout (nebudeme to odvozovat ani dokazovat) jaký geometrický útvar v

rovině má největší obsah při zadaném (pevném) obvodu.

výsledek

zpět

@082

Julie stojí na balkoně, který je 5 metrů nad ulicí. Romeo se jí snaží hodit růži. Rozpřáhl se a

vymrštil ji rychlostí 10,6 m/s . Má Julie šanci růži chytit?

Řešení:

a) Sestavte funkci popisující vzdálenost růže od Romea v závislosti na čase.

Z fyziky víme, že jde o vrh svislý. Vzhůru se růže pohybuje rovnoměrně přímočaře a zároveň

padá dolů rovnoměrně zrychleně.

02

2

1: hvtgthR

Počáteční výška h0 je nulová (počítáme výšku od Romea), jinak dosadíme zadané hodnoty

R: h = -5t2 + 10,6t

Funkce je věcně smysluplná jen, je-li h > 0.

b) Nakreslete graf této funkce.

c) Má Julie šanci růži chytit?

Uvážíme-li, že rychlost 10,6 m/s = 38,16 km/hod je rychlost slušného větru, tak Romeo ze

sebe vydal všechno a Julie jen taktak růži zachytila, protože

maximum = 5,618 m > 5 m = výška balkonu

zpět

KONEC LEKCE