II

55

! "

#

! ! ! ! #! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!! ! ! ! !!# #

! ! ! ! $ ! ! ! % #! !! !! ! ! ! #

! !! !! ! !"!

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"!

!# #

! $ % ! #

#&'()#*+, #

#

&'()#*+" -! ! ! . ##! ! #

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!! ! ! ! !!!# #

! !! !! ! !"!

! ! ! ! ! ! ! ! ! !!"!"

!!

!!!"## #

# !!!"

!!"!"

!

!!"!"

!

!!"!"

!

# #

! $ % !!!!!! ! !!! ! #

! !! !! ! !"!

! ! !! !! ! !"!!

! ! !! !! ! !"!!

!!! ! !! !! ! !"!!

## #

! % $ !! ! #

! !! !! ! !"!!

! ! ! !! !! ! !"!

## #

A

B

C

AB

C

x

y

f (x, y)f

A

B

II

56

-*+,. !! ! ! !"# ! ! ! !"# ! !!!!! ! ! ! ! !! ! !! ! ! !!!! ##-*+". # ! ! ! ! !! ! !!! $#/#-+,0#+"0#1. %#/#-,0#"0#1.

# !!!!"! # #

#-*+2. # ! ! ! !"# ! ! ! !"# ! ! ! !!!# $# /# -,0# 10# 1. %# /# -,0# 10# *!.

! ! ! !! ! !! ! !!# ##-*+3. ! !

! ! #

! ! ! ! !!!

# #

! ! !!"! ! !!! ! !!###

-4. !! ! !!! ! ! !!# -10#10#1. -20#*0#*. #-5. !! ! !! !!!!! ! ! !# -10#10#1. -20#*0#1. #

" !! #

! ! ! ! !!!!!!!!! ! ! ! !!!!#!

! !! ! #

#&'()#*+2#" #

#

#&'()#*+3#

! !! ! !"!#!

! ! !! ! !"!!!!

!!!!!"

!

!

&'()#*+3 ! ! #

! ! !"!#!

# #

! ! !!!! !!# -6#1. ! ! ! 78 #

! ! !!!! !!!"!#!

# #

#

###

! ! !!!! !!! ! ! !!!! !! !! ! #

!!!! !!!"!#!

! ! ! !! ! ! ! !! ! ! !"!#!!

# #

x

y

R

h(x)

g(x)

a b

x

y

f (x, y)

z

R

II

57

! #

! !!!!! !!!!!! !!

!

!"!"

!"!"

!"!"

!"!"

!!"!"

!!"!"

!!"!"

!!"!"

# #

##

! ! ! !"# ! ! ! ! ! !"# !# #

! !!!!! !!!!!! !!

! !"# ! !! !"# !!"# ! ! !"# ! ! !# #

!!!! !!!"!#!

! ! ! !"# ! ! ! !"# ! !"!"#!!

# #

#

-*+9. !!!!! ! !! ! !! ! ! !# !! ! !!! ! !!# ##-*+*. !!!! ! ! ! ! ! !!! ! ! ! ! !!# !! ! !!#

#

! ! ! ! 7!!!! !! !!!! !! ! #

!!"!"

!!"!!!!"!#

!! !!"# ! !"#!

!# #

#

-*+:.# ! !!"# ! !"#!! # #

-4. ! ! !!! ! !! ! ! !!!!!!!!!! !! ! ! !! ! ! !! ! # #-5. ! ! !!"!! ! ! !!!!!!!!!!!!!!! ! !! ! !#

II

58

!!!! !! !! ; !"

&'()#*+9

&'()#*+*

!!!! !! !!!"!

!!!! !! !!!! ! ;! !! ! ! ! !! ! ! ! ! !! ! ! ! ! !! ! !<# !!! !! ! # =#

## !!!! !! !! !

# !!# &'()#*+*# !! !" !!!!# # !! !" !!

!! ! !!!! ! !!

!" !!!!"

!!!!"

!"!#

!!!! !! !! ! !"

!!!! !! !!!"!

! !!! !! ! ! ! !! ! ! ! !! ! !!!!"

!!!!"

!"!#!!!

-*+>. ! ;

! !! !! ! !"! # #

-4. ! ! ! ! !!!!!!!! !! ! !! ! !! ! ! ! ! !#-5. ! ! !! ! !! !!!!!!!!!!! ! !! ! !! ! !!!!!!!! ! !! ! !!!#

!!!! !! !! ; ! ! !!!! !! !!! !!!

! !! !! ! ! !"! ! ! ! #

&'()#*+:

! !! !! ! !"!

! ! !! !!! !! ! !"!

! !!!! !!!!!! !!!!!!"!!!!"

!"!#!!!

#-*+?. !! ! !! ! !! ! ! ! ! !! ! !! ! !!!!!!!! ! !! ! !!!

! !! !! ! !"! # !#

xy

f (x,y,z)z

S!r!u"u

!r!v"v

v

u

!A = "r!u"!r!v

"u"v

(u, v)

(u+!u, v+!v)(u, v+!v)

(u+!u, v)

!A

!r!u"u

!r!v"v

x

y

z =! (x,y)z曲面S

領域R

II

59

# ! ! !

&'()#*+># ! !

!"#!!!" !!

! ! !!!

! ! ! ! !!! #

! ! !!# !! ! #

!! ! ! ! !#

!"#!!!" !!

!!!"!

# #

! ! !!"! !!"! ! ## # !!! !! ! !! ! !! ! !!!!! ! !! #!!! !! ! !! ! !!!!! ! !!# ; #

!!!"! # #

##; ; 7 #

!!!"! # # !"#!!!"! #

!"#!! ! !!# #

#&'()#*+?#

!!!" ! !!!!!"!#!$!!

# #

!! !! ! ;, ;" #! ! ! ! ! ! !! ! !! !!!!! ! ! !! ! ! ! ! ! !! !!!!! ! ! ! ! ! #

!!!" ! ! !!!"!!!!!!!

!!"

!!!!

! !!!!!"

!

!!!# #

! ! ! ! !! ! !! !"!!!!

! !!!!!"

!

!!# #

! ! ! !"# !! ! ! ! !"# ! # ! ! !! ! ! ! !!!!!! ! ! ! !!# # ! ! ! ! ! !! ! !! ! ! ! !!! #

!!!" ! ! ! ! !! !!!"!"

!!"

!

!!! !"## #

#

xy

z 閉曲面S

領域R

0

n

n

n

x

y

z

22

2

-2

-2

S1: x2 +y2 +z2 =4!(z " 0)

S2: x2 +y2 # 4!(z = 0)

II

60

-*+,1. ! ! !! !! ! ## !!" ! !" ! ! ! ! ! !

! ! ! !!!"! # #

#! !"#

!

! !"#!! ! !!"#!! ! ! !"#!! ! !

! !

! ! !! ! ! ! !!! !

= ( )

#

II

61

#!!!! ! !!!! !! !! ! !!!! ! #

#! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!! # !! ! ! ! !!#

!!!! !! !# &'()#*+,1#

! ! ! !!!

! !!!" ! !!!" ! !!!"!

! !!

!" ! !!

!" ! !!

!"

! !!"!"

!

!!" ! !

!"!"

!

!!" ! !

!"!"

!

!!"#

! ! ! !!!

! ! ! !!!!"

!

!!" ! ! ! ! !! !

!

!!"

!! ! !"!"! !"!"! !"!"

! ! ! !!!!

! ! ! ! ! !!!

!!! !!! ! !! !!!! ! !

! ! ! !!!

!! ! ! ! !!!!

! ! ! ! !!!!

!!! ! ! ! !!!!

!

! ! !! ! !! ! !!!! #

空間ベクトル場!!!! !! !! ! !!! !! !! ! ! ! !! ! ! !!! ! ! ! ! !# !! ! ! ! !!

! ! ! !!! #

! ! ! ! !! !!! ! ! !! !!! ! ! ! !! #

! ! ! !!!

! !!!

!" ! !!

!" ! !!!

!"#

! ベクトル関数は、 ! !! !! ! ! !!! !! !! ! !!! !! ! ! ! ! #! !! #!"!"!" ! !!!"!

!"!"!" ! !!!!"!

!"!"!" ! !!!!"#

! ! ! !!!

! !!"!"

!

!!" ! !

!"!"

!

!!" ! !

!"!"

!

!!" #

&'()#*+,,#

x

y

z

p'(t)

p(t)=[x(t), y(t), z(t)]

P

0A

B曲線C

p (t)(t=b)

(t=a)

x

y

z

0

1

1

曲線C : x=t, y=t2, z=1-t(t=0)

(t=1)

1

II

62

! !! ! !!

!!" ! ! ! !!

!

!!" ! ! ! ! ! ! !!

!

!!" ! !! !

!!

!!!!

!

!! ! !

!!!! ! !

!

!#

!!!#

! ! !!!! ! ! !#

!"#!! ! !!

!" ! ! !!

!!## ##

! ! !"#!! !"#!! ! #!"#!! ! ! !"#!! ! !###

!! !!!!"!!" ! !!! ! !!"#

! !! ! ! !! #

&'()#*+,"#!"#!! !!"

!! ! !

!!!! ! !!" ! !!!"

!## ##

! #! #

#! ! ! ! ! !!!! !

##

! # !! ! !! ! !! ! ! !!#

! ! !! ! !!!! ! !!!!## !!!"! # #

! # !! ! !! ! !! ! ! !!# ; ! !## @AA #!"#!! ! ! !"#!! ! ! ! !! ! !#

! ! !!# !"#!! ! ! !!"##

!!!"!

! !"#!! !!"!

! !!" !"!

! !!"!!! ! !!!"##

! !"! # ! 3! #

-*+,,. ! ! !!! !! ! ## ! !!! ! !! ! !!!! ! !! !! ! ! !

##

閉曲線Cn

p'

曲面S