AB k BC AC · 2020. 5. 26. · - 1 - 5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle...

- 1 -

5. Konstrukce trojúhelníků

Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

1. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 cm, BC = 4,2 cm, AC = 5,6 cm

Řešení:

a) rozbor:

Pro strany trojúhelníku musí platit trojúhelníková

nerovnost:

a + b = 9,8 cm

a + c = 11,8 cm

b + c = 13,2 cm

a + b > c

a + c > b

b + c > a

c = 7,6 cm

b = 5,6 cm

a = 4,2 cm

Trojúhelník lze narýsovat.

b) konstrukce:

A B

C

lk

postup:

1. AB ; AB 7,6 cm

2. k ; ( , 5,6 cm)k A

3. l ; ( , 4,2 cm)l B

4. C ; lkC

5. trojúhelník ABC

c) Ověření a diskuse:

Trojúhelník vyhovuje zadání a v polorovině je právě 1 řešení.

- 2 -

2. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: c = AB = 3,2 cm, a = BC = 4,6 cm, b = AC = 3,9 m

Řešení:

a) rozbor:

Pro strany trojúhelníku musí platit

trojúhelníková nerovnost:

a + b = 8,5 cm

a + c = 7,8 cm

b + c = 7,1 cm

a + b > c

a + c > b

b + c > a


b) konstrukce:

A B

Cl

k

postup:

1. AB ; AB 3,2 cm

2. k ; ( , 3,9 cm)k A

3. l ; ( , 4,6 cm)l B

4. C ; lkC




- 3 -

3. Narýsuj trojúhelník KLM, je-li dáno: m = KL = 7,5 cm, k = LM = 6,1 cm,

l = KM = 2,5 cm

Řešení:

a) rozbor:

b) konstrukce:

K L

M

l

k

postup:

1. ; 7,5 cmKL KL

2. k ; ( , 2,5 cm)k K

3. l ; ( , 6,1 cm)l L

4. ;M M k l

5. trojúhelník KLM





k + l = 8,6 cm

k + m = 13,6 cm

l + m =10,0

k+ l> m

k+ m> l

l+ m> k


- 4 -


l = KM = 3,5 cm

Řešení:

a) rozbor:

b) konstrukce:

K L

M

l

k

postup:

1. ; 5,5 cmKL KL

2. k ; ( , 3,5 cm)k K

3. l ; ( , 6,1 cm)l L

4. ;M M k l






k + l = 9,6 cm

k + m = 11,6 cm

l + m = 9,0

k+ l>

m

k+ m>

l

l+ m>

k


- 5 -


l = KM = 4,8 cm

Řešení:

a) rozbor:

b) konstrukce:

K L

M

l

k

postup:

1. ; 2,1 cmKL KL

2. k ; ( , 4,8 cm)k K

3. l ; ( , 3 cm)l L

4. ;M M k l






k + l = 7,8 cm

k + m = 5,1 cm

l + m = 6,9

k+ l> m

k+ m> l

l+ m> k


- 6 -

6. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 9,9 cm, BC = 4,2 cm, AC = 5,6 cm

Řešení:

a) rozbor:



a + b = 9,8 cm

a + c = 14,1 cm

b + c =15,5 cm

a+ b> c

NEPLATÍ

a+ c> b

b+ c> a

Trojúhelník NELZE narýsovat.

- 7 -

7. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 cm, BC = 4,2 cm, 35

Řešení:

a) rozbor:

Vrchol C leží na polopřímce BX a

na kružnici k (B, 4,2 cm).

b) konstrukce:

A B

k

X

C

postup:

1. AB ; AB 7,6 cm

2. ; ( , 4,2 cm)k k B

3.; ; 35ABX ABX

4. ;C C k BX



Polopřímka BX má s kružnicí k právě 1 společný bod, proto má úloha v polorovině právě

1 řešení, které vyhovuje zadání úlohy. (Je to podle věty sus.)

- 8 -

8. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 4,5 cm, AC = 4,2 cm, 84

Řešení:

a) rozbor:

Vrchol C leží na polopřímce AX a na

kružnici k (A, 4,2 cm).

b) konstrukce:

A B

kC

X

postup:

1. AB ; AB 4,5 cm

2. ; ( , 4,2 cm)k k A

3.; ; 84BAX BAX

4. ;C C k AX



Polopřímka AX má s kružnicí k právě 1 společný bod, proto má úloha v polorovině právě


- 9 -

9. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AC = 5,3 cm, BC = 4,1 cm, 111

Řešení:

a) rozbor:

Vrchol B leží na polopřímce CX a na

kružnici k (C, 4,1 cm).

b) konstrukce:

A

C

X

k

B

postup:

1. ; 5,3 cmAC AC

2. ; ( , 4,1 cm)k k C

3.; ; 111ACX ACX

4. ;B B k CX



Polopřímka CX má s kružnicí k právě 1 společný bod, proto má úloha v polorovině právě


- 10 -

10. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 cm, 37 , 58

a) rozbor:

Vrchol B leží na polopřímce CX a na

kružnici k (C, 4,1 cm).

Pro velikosti úhlů musí platit, že

velikost součtu dvou úhlů je menší

než 180°.

95 180


b) konstrukce:

A B

XY

C

postup:

1. ; 7,6 cmAB AB

2. ; 58BAX BAX

3. ; 37ABY ABY

4. ;C C AX BY



Polopřímky se protínají právě v jednom bodě. Proto má úloha právě jedno řešení, které

vyhovuje zadání úlohy. (Je to podle věty usu).

- 11 -

11. Narýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 8,4 cm, 112 , 15

Řešení:

a) rozbor:

Pro velikosti úhlů musí platit, že

velikost součtu dvou úhlů je menší než

180°.

127 180


b) konstrukce:

A B

X

Y

C

postup:

1. ; 8,4 cmAB AB

2. ; 15BAX BAX

3. ; 112ABY ABY

4. ;C C AX BY



Polopřímky se protínají právě v jednom bodě. Proto má úloha právě jedno řešení, které

vyhovuje zadání úlohy. (Je to podle věty usu).

- 12 -

12. Sestroj trojúhelník ,ABC je-li 05 cm, 4,6 cm, 58AB AC .

Řešení:

a) rozbor:

Vrchol C leží: na BX a na

( , 4,6 cm)k A

b) konstrukce:

A B

k

X

C

C´

postup:

1. AB ; 5 cmAB

2. ABX ; 058ABX

3. k ; ( , 4,6 cm)k A

4. C ; BXkC



Polopřímka BX má s kružnicí k právě 2 společné body, proto má úloha v polorovině právě

2 řešení: , 'ABC ABC . Oba trojúhelníky vyhovují zadání úlohy. (Je to podle věty ssu.)

- 13 -

Konstrukce s využitím dalších prvků: Příklady jsou dány obecně.

1. trojúhelník ),,( cvcABC :

Řešení:

a) rozbor:

C leží na: p || c ve vzdálenosti cv

,AX XAB

b) konstrukce (obecně pouze postup, konkrétní příklady viz níže):

postup:

1. AB ; cAB

2. ;XAB XAB

3. ; , Cp p c p c v

4. C ; AXpC


c) Diskuse a ověření:

Polopřímka AX protíná přímku p právě v jednom bodě, úloha má v polorovině právě

1 řešení.

- 14 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,8 cm, vc = 3 cm, α = 100o.

a) rozbor:

C leží na: p c ve vzdálenosti cv

,AX XAB

b) konstrukce:

A B

X

pC

postup:

1. ; 3,8 cmAB AB c

2. ; 100XAB XAB

3. ; , 3 cmp p c p c

4. ;C C AX p

5. ABC



1 řešení.

- 15 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: α = 87°, c = 3 cm, vc = 2,7 cm.

Řešení:

a) rozbor:

C leží na: p c ve vzdálenosti cv

,AX XAB

b) konstrukce

A B

X

pC

postup:

1. ; 3 cmAB AB c

2. ; 87XAB XAB

3. ; , 2,7 cmp p c p c

4. ;C C AX p

5. ABC



1 řešení.

- 16 -

2. trojúhelník ),,( ctcABC :

Řešení:

a) rozbor:

C leží na: XABAX , a

k ; 00 ),,( CtCk c je střed

strany AB


postup:

1. AB ; cAB

2. ;XAB XAB

3. 0C ; ,0 ABC BCAC 00

4. k ; ),( 0 ctCk

5. C ; kAXC



Obecně kružnice a přímka mají 0, 1 nebo 2 společné body.

Pokud k neprotíná AX , není žádné řešení, dotýká-li se AX , je právě 1 řešení

a protíná-li k AX , jsou právě 2 řešení v polorovině.

- 17 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,8 cm, tc = 2,7 cm, α = 52°.

Řešení:

a) rozbor:

C leží na: ,AX XAB

k ; 00 ),,( CtCk c je střed strany AB

b) konstrukce:

A BC0

kX

C

postup:

1. ; 3,8 cmAB AB c

2. ; 52XAB XAB

3. 0 0 0 0;C C AB AC BC

4. 0; ( , 2,7 cm)k k C

5. ;C C AX k

6. ABC


Kružnice k a polopřímka AX má právě 1 společný bod. Správným řešením je právě

jeden trojúhelník.

- 18 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, tc = 3,4 cm, α = 110°.

Řešení:

a) rozbor:



b) konstrukce:

A BC0

k

X

C

postup:

1. ; 5 cmAB AB c

2. ; 110XAB XAB

3. 0 0 0 0;C C AB AC BC

4. 0; ( , 3,4 cm)k k C

5. ;C C AX k

6. ABC




- 19 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,2 cm, α = 75°, tc = 4,3 cm.

Řešení:

a) rozbor:



b) konstrukce:

A BC0

k

X

C

postup:

1. ; 4,2 cmAB AB c

2. ; 75XAB XAB

3. 0 0 0 0;C C AB AC BC

4. 0; ( , 4,3 cm)k k C

5. ;C C AX k

6. ABC




- 20 -

4.Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,2 cm, α = 75°, tb = 4,3 cm.

Řešení:

a) rozbor:

C leží na: 0,AX AX AB

0 0AB CB

K sestrojení je nutné využít středovou

souměrnost se středem v bodě B0, která bod A

zobrazí jako bod C.

b) konstrukce:

A B

X

k

B0

C

postup:

1. ; 4,2 cmAB AB c

2. ; 75XAB XAB

3. ; ( , 4,3 cm)k k B

4. 0 0;B B AX k

5. 0

; :BC S A C

6. ABC




- 21 -

3. trojúhelník ( , , ) :c cABC c v t

Řešení:

a) rozbor:

C leží na: p // c , cvcp ,

k ; 00 ),,( CtCk c je střed strany c


postup:

1. AB ; cAB

2. p ; cvcp ,

3. 0C ; ,0 ABC BCAC 00

4. k ; ),( 0 ctCk

5. C ; kpC



Obecně kružnice a přímka mají 0, 1 nebo 2 společné body.

Pokud ct < cv , není žádní řešení (kružnice a přímka se neprotnou),

když ct = cv , je v polorovině právě 1 řešení (kružnice se přímky dotýká)

a pokud ct > cv , jsou v polorovině právě 2 řešení (kružnice a přímka se protínají ve dvou

bodech.)

- 22 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, tc = 3,4 cm, vc = 3 cm.

Řešení:

a) rozbor:


k ; 00 ),,( CtCk c je střed

strany c

b) konstrukce:

A B

p

C0

k

C C´

postup:

1. ; 5 cmAB AB c

2. ; , 3 cmp p c p c

3. 0 0 0 0;C C AB AC BC

4. 0; ( , 3,4 cm)k k C

5. ;C C p k

6. ABC


Kružnice a přímka mají 2 společné body. V polorovině jsou právě 2 řešení.

- 23 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,5 cm, vc = 2,5 cm, tc = 3 cm.

Řešení:

a) rozbor:



b) konstrukce:

A B

p

C0

kC C´

postup:

1. ; 4,5 cmAB AB c

2. ; , 2,5 cmp p c p c

3. 0 0 0 0;C C AB AC BC

4. 0; ( , 3 cm)k k C

5. ;C C p k

6. ABC


Kružnice a přímka mají 2 společné body. V polorovině jsou právě 2 řešení.

- 24 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,6 cm, va = 3,3 cm, tc = 6 cm.

Řešení:

a) rozbor:

C leží na: 1BA , kde A1 je pata

kolmice, 1A BC , (tzn. 1av AA )


Bod A1 leží na Thaletově kružnici nad

stranou AB.

b) konstrukce:

A BC0

t

lA1

kC

postup:

1. ; 4,5 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 0 0; ( , )t t C r C A

4. ; ( , 3,3 cm)l l A

5. 1 1;A A t l

6. 0; ( , 6 cm)k k C

7. 1;C C BA k

8. ABC


Kružnice l a kružnice t mají právě 1 společný bod A1. Polopřímka BA1 a kružnice k mají

právě 1 společný bod. V polorovině je právě 1 trojúhelník, který splňuje zadání úlohy.

- 25 -

4. trojúhelník :),,( ac vvcABC

Řešení:

a) rozbor:

C leží na: 1BA , 1A je pata av

p // c ve vzdálenosti cv


postup:

1. ;AB AB c

2. ; , cp p c p c v

3. 0 0 0 0;C C AB C A C B

4. 0; ( , )2

ct t C

5. ; ( , )ak k A v

6. 1 1;A A t k

7. 1;C C p BA

8. ABC


Dvě kružnice k a h mohou mít dva ( v a <c ), jeden ( av = c a BA 1 , trojúhelník je

pravoúhlý), nebo žádný společný bod 1A ( av > c ).

- 26 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: b = 4,5 cm, va = 3,4 cm, vb = 4 cm.

Řešení:

a) rozbor:

B leží na: 1CA , 1A je pata av

p // c ve vzdálenosti bv

b) konstrukce:

C

A

pB0

tk

A1

B

postup:

1. ; 4,5 cmAC AC b

2. ; , 4 cmp p b p b

3. 0 0 0 0;B B AC B A B C

4. 0 0; ( , )t t B r B A

5. ; ( , 3,4 cm)k k A

6. 1 1;A A t k

7. 1;B B CA p

8. ABC


Dvě kružnice k a t mají v polorovině 1 společný bod A1. Polopřímka CA1 a přímka p mají

1 společný bod B. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině.

- 27 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5,2 cm, vc = 4,1 cm, va = 3,8 cm.

Řešení:

a) rozbor:



b) konstrukce:

A B

p

C0

t

k

A1

C

postup:

1. ; 5,2 cmAB AB c

2. ; , 4,1 cmp p c p c

3. 0 0 0 0;C C AB C A C B

4. 0 0; ( , )t t C C A

5. ; ( , 3,8 cm)k k A

6. 1 1;A A t k

7. 1;C C p BA

8. ABC


Dvě kružnice k a t mají v polorovině 1 společný bod A1. Polopřímka BA1 a přímka p mají

1 společný bod C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině.

- 28 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 6,3 cm, vc = 4,6 cm, va = 5,4 cm.

Řešení:

a) rozbor:



b) konstrukce:

A B

p

C0

t

k

A1

C

postup:

1. ; 6,3 cmAB AB c

2. ; , 4,6 cmp p c p c

3. 0 0 0 0;C C AB C A C B

4. 0 0; ( , )t t C C A

5. ; ( , 5,4 cm)k k A

6. 1 1;A A t k

7. 1;C C p BA

8. ABC


Dvě kružnice k a t mají v polorovině 1 společný bod A1. Polopřímka BA1 a přímka p mají

1 společný bod C. Řešením je právě jeden trojúhelník v polorovině.

- 29 -

5. trojúhelník ),,( ca vtcABC

Řešení:

a) rozbor:

Doplníme na rovnoběžník ABDC :

D leží na: p //c a ).2,( atAk

Nebo využijeme vlastnosti, že střední

příčka spojuje středy stran (a půlí

příslušnou výšku na 2 shodné části):

C leží na: 1BA , 1A je pata av ,

),( atAl


postup: jsou 2 různé

1. ;AB AB c

2. ; , cp p c p c v

3. ; ( ,2 )ak k A t

4. ;D D k p

5. 1 1 1 1;A A AD A A A D

6. 1;C C BA p

7. ABC

1. AB ; cAB

2. n ; 2

, avcn

3. l ; ),( atAl

4. 1A ; 11 , BAnkA

5.C ; CBAS :)( 1

6. ABC


Kružnice a přímka mají dva, jeden nebo žádný společný bod.

Jestliže je at.2 > cv , kružnice k protíná přímku p ve dvou bodech a jsou v polorovině

právě 2 řešení,

když at.2 = cv , kružnice k se dotýká přímky p a je právě 1 řešení

a když at.2 < cv , kružnice k neprotíná přímku p a není žádné řešení.

- 30 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, vc = 4 cm, ta = 3,5 cm

Řešení:

a) rozbor:


D leží na: p //c

).2,( atAk

b) konstrukce:

AB

pkD

l

C

postup:

1. ; 5 cmAB AB c

2. ; , 4 cmp p c p c

3. ; ( , 7 cm)k k A

4. ;D D k p

5. ; ( , 5 cm)l l D

6. ;C C l p

8. ABC


Kružnice k a přímka p mají dva společné body. Dostáváme 2 řešení v polorovině.

- 31 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,2 cm, vc = 4,3 cm, ta = 4,7 cm

Řešení:

a) rozbor:


D leží na: p //c

).2,( atAk

b) konstrukce:

AB

p

k

D

l

C

postup:

1. ; 4,2 cmAB AB c

2. ; , 4,3 cmp p c p c

3. ; ( , 9,4 cm)k k A

4. ;D D k p

5. ; ( , 4,2 cm)l l D

6. ;C C l p

8. ABC


Kružnice k a přímka p mají dva společné body. Dostáváme 2 řešení v polorovině.

- 32 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,8 cm, vc = 3,8 cm, ta = 1,7 cm

Řešení:

a) rozbor:


D leží na: p || c

).2,( atAk

b) konstrukce:

A B

p

k

postup:

1. ; 3,8 cmAB AB c

2. ; , 3,8 cmp p c p c

3. ; ( , 3,4 cm)k k A

4. ;D D k p

5. ; ( , 3,8 cm)l l D

6. ;C C l p

8. ABC


Kružnice k a přímka p nemají společný bod. Tato úloha nemá řešení.

- 33 -

6. trojúhelník ),,( ba vvcABC

Řešení:

a) rozbor:

Bod C leží na: 1AB

1BA


postup:

1. ;AB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB C A C B

3. 0 0; ( , )t t C r C B

4. ; ( , )ak k A v

5. 1 1;A A k t

6. ; ( , )bl l B v

7. 1 1;B B l t

8. 1 1;C C BA AB

9. ABC


Jestliže délky výšek budou větší než délka strany c , nebude mít úloha žádné řešení.

Kružnice se neprotnou.

Jestliže délky obou výšek budou rovny délce strany c , obě paty by byly ve vrcholech A a

B a nebude žádné řešení.

Jestliže délka jedné výšky bude rovna c a délka druhé bude menší než c , bude

v polorovině právě jedno řešení.

Jestliže délky obou výšek bude menší než délka c , budou v polorovině právě 2 řešení.

- 34 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 3,6 cm, va = 3,3 cm, vb = 2,8 cm

Řešení:

a) rozbor:


1BA

b) konstrukce:

A BC0

t

kl

A1

B1

C

postup:

1. ; 3,6 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB C A C B

3. 0 0; ( , )t t C r C B

4. ; ( , 3,6 cm)k k A

5. 1 1;A A k t

6. ; ( , 2,8 cm)l l B

7. 1 1;B B l t

8. 1 1;C C BA AB

8. ABC


Jestliže délka jedné výšky bude rovna c a délka druhé bude menší než c , bude

v polorovině právě jedno řešení.

- 35 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7,2 cm, va = 6,3 cm, vb = 5,8 cm.

Řešení:

a) rozbor:


1BA

b) konstrukce:



A BC0

t

kl

A1

B1

C

postup:

1. ; 7,2 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB C A C B

3. 0 0; ( , )t t C r C B

4. ; ( , 6,3 cm)k k A

5. 1 1;A A k t

6. ; ( , 5,8 cm)l l B

7. 1 1;B B l t

8. 1 1;C C BA AB

8. ABC

- 36 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, va = 4,5 cm, vb = 3,8 cm

Řešení:

a) rozbor:


1BA

b) konstrukce:



A BC0

t

k l

A1

B1

C

postup:

1. ; 5 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB C A C B

3. 0 0; ( , )t t C r C B

4. ; ( , 4,5 cm)k k A

5. 1 1;A A k t

6. ; ( , 3,8 cm)l l B

7. 1 1;B B l t

8. 1 1;C C BA AB

8. ABC

- 37 -

7. trojúhelník ( , , )a cABC c v t

a) rozbor:

Vrchol C leží na: 1BA

),( 0 ctCl

b) konstrukce:

postup:

1. ;AB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 0 0; ( , )t t C r AC

4. ; ( , )ak k A v

5. 1 1;A A t k

6. 0; ( , )cl l C t

7. 1;C C l BA

8. ABC


Jestliže av > c , úloha nemá řešení.

Jestliže av = c , bude trojúhelník pravoúhlý a v rovině bude právě 1 řešení.

Jestliže av < c , budou mít kružnice h a k 2 společné body a v rovině budou právě 2

řešení.

- 38 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, va = 3,5 cm, tc = 3 cm

Řešení:

a) rozbor:


),( 0 ctCl

b) konstrukce:

postup:

1. ; 5 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 0 0; ( , )t t C r AC

4. ; ( ,3,5 cm)k k A

5. 1 1;A A t k

6. 0; ( ,3 cm)l l C

7. 1;C C l BA

8. ABC


Kružnice t a k mají v polorovině právě 1 společný bod. Vznikne právě jedna polopřímka

BA1 a ta se protne s kružnicí l právě v 1 bodě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC.

A BC0

t

k

l

A1

C

- 39 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7,4 cm, va = 2,8 cm, tc = 3,4 cm

Řešení:

a) rozbor:


),( 0 ctCl

b) konstrukce:

postup:

1. ; 7,4 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 0 0; ( , )t t C r AC

4. ; ( ,2,8 cm)k k A

5. 1 1;A A t k

6. 0; ( ,3,4 cm)l l C

7. 1;C C l BA

8. ABC


Kružnice t a k mají v polorovině právě 1 společný bod. Vznikne právě jedna polopřímka

BA1 a ta se protne s kružnicí l právě v 1 bodě. Řešením je právě 1 trojúhelník ABC.

A BC0

tklA1

C

- 40 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 4,2 cm, va = 4,3 cm, tc = 4,2 cm

Řešení:

a) rozbor:


),( 0 ctCl

b) konstrukce:

postup:

1. ; 4,2 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 0 0; ( , )t t C r AC

4. ; ( ,4,3 cm)k k A

5. 1 1;A A t k

6. 0; ( ,4,2 cm)l l C

7. 1;C C l BA

8. ABC


Kružnice t a k nemají v polorovině společný bod. Zadaná úloha nemá řešení.

A BC0

t

k

l

- 41 -

8. Sestrojte trojúhelník ),,( ba ttcABC

a) rozbor:

Těžiště T získáme podle věty sss

Platí: 02 TB TB


0( ) :S A B C

b) konstrukce:

postup:

1. ;AB AB c

2. 2

; ( , )3

ak k A r t

3. 2

; ( , )3

bl l B r t

4. ;T T k l

5. 0 0 0; aA A AT AA t

6. 0; ( ) :C S A B C

7. ABC


Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě

1 řešení.

- 42 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, ta = 4,5 cm, tb = 3,6 cm

a) rozbor:


Platí: 02 TB TB


0( ) :S A B C

b) konstrukce:

postup:

1. ; 5 cmAB AB c

2. 2

; ( , 3 cm)3

ak k A r t

3. 2

; ( , 2,4 cm)3

bl l B r t

4. ;T T k l

5. 0 0 0; 4,5 cmaA A AT AA t

6. 0 0 0; 3,6 cmbB B BT BB t

7. 0 0;C C AB BA

8. ABC


Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině

právě 1 řešení.

AB

k

l

T

B0

A0

C

- 43 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 6,2 cm, ta = 4,2 cm, tb = 4,8 cm

Řešení:

a) rozbor:


Platí: 02 TB TB


0( ) :S A B C

b) konstrukce:

postup:

1. ; 6,2 cmAB AB c

2. 2

; ( , 2,8 cm)3

ak k A r t

3. 2

; ( , 3,2 cm)3

bl l B r t

4. ;T T k l

5. 0 0 0; 4,2 cmaA A AT AA t

6. 0 0 0; 4,8 cmbB B BT BB t

7. 0 0;C C AB BA

8. ABC


Trojúhelník ABT NELZE sestrojit podle trojúhelníkové nerovnosti:

2,8 + 3,2 = 6,0

6,0 < 6,2 (součet dvou stran trojúhelníku musí být větší než strana třetí).

Trojúhelník ABC nemá řešení.

A

B

k

l

- 44 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7 cm, ta = 6,9 cm, tb = 8,1 cm

Řešení:

a) rozbor:

Těžiště T získáme podle

věty sss

Platí: 02 TB TB


0( ) :S A B C

b) konstrukce:

postup:

1. ; 7 cmAB AB c

2. 2

; ( , 4,6 cm)3

ak k A r t

3. 2

; ( , 5,4 cm)3

bl l B r t

4. ;T T k l

5.

0 0 0; 6,9 cmaA A AT AA t

6.

0 0 0; 8,1 cmbB B BT BB t

7. 0 0;C C AB BA

8. ABC




A B

k l

T

B0

A0

C

- 45 -

9. Sestrojte trojúhelník ),,( ca ttcABC

a) rozbor:

Těžiště T získáme podle věty sss .

Vrchol C leží na: TC0

),( 0 ctCl

b) konstrukce:

postup:

1. ;AB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 2

; ( , )3

ak k A r t

4. 0

1; ( , )

3cl l C r t

5. ;T T k l

6. 0 0; cC C C T CC t

7. ABC


Jestliže trojúhelník ABT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě

1 řešení.

- 46 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, ta = 4,5 cm, tc = 3,6 cm

a) rozbor:

Těžiště T získáme podle věty

sss .


),( 0 ctCl

b) konstrukce:

postup:

1. ; 5 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 2

; ( , 3 cm)3

ak k A r t

4. 0

1; ( , 1,2 cm)

3cl l C r t

5. ;T T k l

6. 0 0; 3,6 cmcC C C T CC t

7. ABC

A BC0

1,21 cm3,01 cm

T

3,61 cm

C




- 47 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7,2 cm, ta = 6,9 cm, tc = 6,3 cm

Řešení:

a) rozbor:



),( 0 ctCl

b) konstrukce:

postup:

1. ; 7,2 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 2

; ( , 4,6 cm)3

ak k A r t

4. 0

1; ( , 2,1 cm)

3cl l C r t

5. ;T T k l

6. 0 0; 6,3 cmcC C C T CC t

7. ABC

A

BC

0

7,20 cm2,11 cm4,63 cm

T

6,31 cm

C




- 48 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 6,3 cm, ta = 5,1 cm, tc = 5,7 cm

Řešení:

a) rozbor:



),( 0 ctCl

b) konstrukce:

postup:

1. ; 6,3 cmAB AB c

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 2

; ( , 3,4 cm)3

ak k A r t

4. 0

1; ( , 1,9 cm)

3cl l C r t

5. ;T T k l

6. 0 0; 5,7 cmcC C C T CC t

7. ABC

A

BC

0

k

l

6,29 cm1,91 cm3,40 cm

T

5,71 cm

C




- 49 -

10. Sestrojte trojúhelník (ABC ),, cba ttt

a) rozbor:

Budeme řešit pomocí pomocného trojúhelníku ADT (podle věty sss):

2 2 2, ,

3 3 3a b cAT t AD t TD t

b) konstrukce:

postup:

1. 2

;3

aAT AT t

2. 2

; ( , )3

bk k A r t

3. 2

; ( , )3

cl l T r t

4. ;D D k l

5. ; ( ) :C S T D C

6. 0 0 0 0;C C DT DC TC

7. 0; ( ) :B S C A B

8. ABC


Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině právě 1

řešení.

- 50 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta = 3 cm, tb = 4,5 cm, tc = 6 cm

a) rozbor:

Budeme řešit pomocí pomocného

trojúhelníku ADT (podle věty sss):

2 2 2, ,


b) konstrukce:

postup:

1. 2

; 2 cm3

aAT AT t

2. 2

; ( , 3 cm)3

bk k A r t

3. 2

; ( , 4 cm)3

cl l T r t

4. ;D D k l

5. ; ( ) :C S T D C

6. 0 0 0 0;C C DT DC TC

7. 0; ( ) :B S C A B

8. ABC

A

T

1,99 cm3,02 cm

3,98 cm

D

C

C0

B


Jestliže trojúhelník ADT existuje (trojúhelníková nerovnost), potom je v polorovině


- 51 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta = 6,3 cm, tb = 5,1 cm, tc = 5,7 cm

Řešení:

a) rozbor:



2 2 2, ,


b) konstrukce:

postup:

1. 2

; 4,2 cm3

aAT AT t

2. 2

; ( , 3,4 cm)3

bk k A r t

3. 2

; ( , 3,8 cm)3

cl l T r t

4. ;D D k l

5. ; ( ) :C S T D C

6. 0 0 0 0;C C DT DC TC

7. 0; ( ) :B S C A B

8. ABC

A

T

k l

4,17 cm3,40 cm

3,83 cm

B




- 52 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ta = 6,9 cm, tb = 8,1 cm, tc = 3,3 cm

Řešení:

a) rozbor:



2 2 2, ,


b) konstrukce:

postup:

1. 2

; 4,6 cm3

aAT AT t

2. 2

; ( , 5,4 cm)3

bk k A r t

3. 2

; ( , 2,2 cm)3

cl l T r t

4. ;D D k l

5. ; ( ) :C S T D C

6. 0 0 0 0;C C DT DC TC

7. 0; ( ) :B S C A B

8. ABC

A

T

k

l

4,58 cm5,42 cm2,23 cm

B




- 53 -

11. Sestrojte trojúhelník ( 6 cm, 4,5 cm, 60 )bABC c v

Řešení:

a) rozbor:

Tuto úlohu můžeme řešit pomocí

posunutí nebo pomocí úsekového

úhlu.

Hledáme množinu vrcholů úhlu

o velikosti 060 , pod kterou vidíme

danou úsečku AB.

Vrchol C leží na: 1AB

na příslušném oblouku ),( SASk

Jinou možností je využití množiny

bodů dané vlastnosti. Konstrukci

trojúhelníku začínáme sestrojením

úhlu γ.

b) konstrukce:

Postup 1:

1. ; 60

2. ; ; 4,5 cm

3. ;

4. ; ; 6 cm

5. ;

6.

XAY XAY

p p CX Xp

B B p CY

k k b c

A A k CX

ABC

C

X

Y

59,9 ° 4,51 cm

p

B

k

6,00 cm

A


Průnikem polopřímky a přímky p je právě jeden bod B. Kružnice k a polopřímka CX má

právě jeden společný bod A. Řešením úlohy je právě jeden trojúhelník ABC.

- 54 -

Postup 2 (úsekový úhel):

1. ; 6 cmAB AB

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC

3. 0;AB AB ABo C o o AB

4. ; 60BAX BAX (úsekový

úhel)

5. ; 90XAY XAY

6. ; ABS S o AY

7. ; ( , )k k S SA

8. 0 0; ( , 3 cm)t t C C A

9. ; ( ,4,5 cm)l l B

10. 1 1;B B t l

11. 1;C C AB k

12. ABC

AB

6,03 cm

C0

oAB

X

60,2 °

YS

k

t

l

4,51 cm

B1

C


V polorovině ABY existuje právě jeden střed S . Polopřímka 1AB protíná oblouk kružnice

k v jediném bodě C. V polorovině je právě 1 řešení.

- 55 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 5 cm, vb = 4,5 cm, γ = 50°

Řešení:

a) rozbor:


úsekového úhlu.


o velikosti 060 , pod kterou vidíme

danou úsečku AB.

Vrchol C leží na: 1AB


b) konstrukce:

postup 1:

1. ; 50XCY XCY

2. , , 4,5 cmbp p CX p C v

3. ;B B CY p

4. ; ( ,5 cm)k k B

5. ;A A k CX

6. ABC

- 56 -

1. ; 5 cmAB AB

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC



úhel)

5. ; 90XAY XAY

6. ; ABS S o AY

7. ; ( , )k k S SA

8. 0 0; ( , 2,5 cm)t t C C A

9. ; ( ,4,5 cm)l l B

10. 1 1;B B t l

11. 1;C C AB k

12. ABC

AB

5,00 cm

C0

oAB

X

50,0 °

Y

S

k

t

l

4,51 cm

C


V polorovině ABY existuje právě jeden střed S . Polopřímka 1AB protíná oblouk

kružnice k v jediném bodě C. V polorovině je právě 1 řešení.

- 57 -


Řešení:

a) rozbor:


posunutí nebo pomocí

úsekového úhlu.


o velikosti 050 , pod kterou

vidíme danou úsečku AB.

Vrchol C leží na:

; , cp p c p c v


b) konstrukce:

postup:

1. ; 4 cmAB AB

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC



úhel)

5. ; 90XAY XAY

6. ; ABS S o AY

7. ; ( , )k k S SA

8. 0 0; ( , )t t C C A

9. ; ( ,3,5 cm)l l B

10. 1 1;B B t l

11. 1;C C AB k

12. ABC

AB

4,00 cm

C0

oAB

X

30,0 °

Y

S

k

t

l

3,51 cm

C


V polorovině ABY existuje právě jeden střed S . Polopřímka 1AB protíná oblouk

kružnice k v jediném bodě C. V polorovině je právě 1 řešení.

- 58 -


Řešení:

a) rozbor:


posunutí nebo pomocí úsekového

úhlu.

Hledáme množinu vrcholů úhlu o

velikosti 050 , pod kterou vidíme

danou úsečku AB.

Vrchol C leží na:

; , cp p c p c v


b) konstrukce:

postup:

1. ; 4 cmAB AB

2. 0 0 0 0;C C AB AC BC


4. ; 40BAX BAX (úsekový úhel)

5. ; 90XAY XAY

6. ; ABS S o AY

7. ; ( , )k k S SA

8. 0 0; ( , )t t C C A

9. ; ( ,4,3 cm)l l B

10. 1 1;B B t l

11. 1;C C AB k

12. ABC

AB

4,00 cm

C0

oAB

X

40,4 °

Y

S

k

t

l

4,27 cm


V polorovině ABY existuje právě jeden střed S . Polopřímka 1AB neprotíná oblouk

kružnice k . V polorovině není řešení.

- 59 -

12. trojúhelník ),,( cca vttABC

a) rozbor:

Využijeme vlastnosti výšky cv a potom buď zvolíme 0C pomocí ct sestrojíme C nebo

naopak. Najdeme T a pomocí at3

2najdeme A a podle BACS :)( 0 .

b) konstrukce:

0 0

0 0

1 1

0

0 1

0

1. ;

2. ;

3. ; ( ; )

4. ; ( ; )

5. ;

26. ;

3

27. ; ( ,

3

8. ;

9. ; ( ) :

10.

c

c

c

a

CC CC t

X X CC XC XC

t t X XC

k k C v

C C k t

T T CC TC t

l l T t

A A l C C

B S C A B

ABC

c) diskuse:

- 60 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 3 cm, 4,5 cm, 4 cma c ct t v

Řešení:

a) rozbor

Využijeme vlastnosti výšky cv a

potom buď zvolíme 0C pomocí

ct sestrojíme C nebo naopak.

Najdeme T a pomocí

at3

2najdeme A a podle

BACS :)( 0 .

b) konstrukce:

Postup:

0 0

0 0

1 1

0

0 1

0

1. ; 4,5 cm

2. ;

3. ; ( ; )

4. ; ( ; 4 cm)

5. ;

26. ; 3 cm

3

27. ; ( , 2 cm)

3

8. ;

9. ; ( ) :

10.

c

c

c

a

CC CC t

X X CC XC XC

t t X XC

k k C v

C C k t

T T CC TC t

l l T t

A A l C C

B S C A B

ABC

C

4,49 cm

X

t

k

4,02 cm

C1

3,00 cm

2,04 cm

A

A' B

B'

c) diskuse:

Kružnice k a t mají 2 společné body. Řešením jsou 2 body C1. Kružnice k a přímka CC1

mají 2 společné body A, A‘. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině celkem 4 různá

řešení.

- 61 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7,5 cm, 6 cm, 3 cma c ct t v

Řešení:

a) rozbor:

Využijeme vlastnosti výšky cv a

potom buď zvolíme 0C pomocí

ct sestrojíme C nebo naopak.

Najdeme T a pomocí at3

2najdeme

A a podle BACS :)( 0

.

b) konstrukce:

Postup:

0 0

0 0

1 1

0

0 1

0

1. ; 6 cm

2. ;

3. ; ( ; )

4. ; ( ; 3 cm)

5. ;

26. ; 4 cm

3

27. ; ( , 5 cm)

3

8. ;

9. ; ( ) :

10.

c

c

c

a

CC CC t

X X CC XC XC

t t X XC

k k C v

C C k t

T T CC TC t

l l T t

A A l C C

B S C A B

ABC

C

6,00 cm

X

t

k

3,02 cm

C1

4,02 cm

5,00 cm

A

A'

B

B'

c) diskuse:

Kružnice k a t mají 2 společné body. Řešením jsou 2 body C1. Kružnice k a přímka CC1

mají 2 společné body A, A‘. V polorovině jsou 2 různá řešení, v rovině celkem 4 různá

řešení.

- 62 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7,5 cm, 6 cm, 6,5 cma c ct t v

Řešení:

a) rozbor:

Využijeme vlastnosti výšky

cv a potom buď zvolíme 0C

pomocí ct sestrojíme C nebo

naopak. Najdeme T a

pomocí at3

2najdeme A a podle

BACS :)( 0 .

b) konstrukce:

Postup:

0 0

0 0

1 1

0

0 1

0

1. ; 6 cm

2. ;

3. ; ( ; )

4. ; ( ; 6,5 cm)

5. ;

26. ; 4 cm

3

27. ; ( , 5 cm)

3

8. ;

9. ; ( ) :

10.

c

c

c

a

CC CC t

X X CC XC XC

t t X XC

k k C v

C C k t

T T CC TC t

l l T t

A A l C C

B S C A B

ABC

C

6,00 cm

X

t

k

6,50 cm

4,02 cm

5,00 cm

c) diskuse:

Kružnice k a t nemají společné body. Úloha nemá řešení.

- 63 -

13. trojúhelník ( , , )cABC c v r

a) rozbor:

Buď začneme rýsovat od strany c (řešení

v polorovině), nebo od kružnice (řešení

v rovině). Musíme řešit vztah mezi

r a c (a samozřejmě i s cv ).

b) konstrukce

Postup:

1. ;

2. ; ( , )

3. '; ' ( ; )

4. ; '

5. ; ( ; )

6. ; ;

7. ;

8.

c

AB AB c

k k B r

k k A r

S S k k

o o S r

p p AB Ap v

C C p o

ABC

c) diskuse:

Kružnice k, k‘ mohou mít společné 0, 1 nebo 2 body .Kružnice o a přímka p mohou mít

společné 0, 1 nebo 2 body. Potom můžeme dostat 0, 2 nebo 4 řešení v rovině.

- 64 -

1. Sestrojte trojúhelník ABC: c = 5 cm, vc = 2,5 cm, r = 3 cm

Řešení:

a) rozbor:

Buď začneme rýsovat od strany c (řešení

v polorovině), nebo od kružnice (řešení

v rovině). Musíme řešit vztah mezi r a

c (a samozřejmě i s cv ).

b) konstrukce

Postup:

1. ; 5 cm

2. ; ( , 3 cm)

3. '; ' ( ; 3 cm)

4. ; '

5. ; ( ; 3 cm)

6. ; ; 2,5 cm

7. ;

8.

AB AB c

k k B

k k A

S S k k

o o S

p p AB Ap

C C p o

ABC

A B

5,03 cm

kk'

3,03 cm

3,03 cm

o

2,50 cm

c) diskuse

Kružnice k a k‘ mají 2 společné body, vzniknou 2 středy kružnic opsaných v rovině.

Kružnice o a přímka p mají 2 společné body C a C‘. Úloha má 2 řešení v polorovině,

4 řešení (osově souměrné) v rovině.

- 65 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC: c = 5 cm, vc = 6 cm, r = 3,5 cm

Řešení:

a) rozbor

Buď začneme rýsovat od strany c

(řešení v polorovině), nebo od

kružnice (řešení v rovině). Musíme

řešit vztah mezi r a c (a samozřejmě

i s cv ).

b) konstrukce

Postup:

1. ; 5 cm

2. ; ( , 3,5 cm)

3. '; ' ( ; 3,5 cm)

4. ; '

5. ; ( ; 3,5 cm)

6. ; ; 6 cm

7. ;

8.

AB AB c

k k B

k k A

S S k k

o o S

p p AB Ap

C C p o

ABC

A B

5,00 cm

kk'

3,51 cm

3,50 cm

S

o

5,97 cm

C

c) diskuse


Kružnice o a přímka p mají 2 společné body C a C‘. Úloha má 2 řešení v polorovině,

4 řešení (osově souměrné s osou AB) v rovině.

- 66 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC: c = 5 cm, vc = 3,8 cm, r = 2,6 cm

Řešení:

a) rozbor

Buď začneme rýsovat od strany c

(řešení v polorovině), nebo od

kružnice (řešení v rovině). Musíme

řešit vztah mezi

r a c (a samozřejmě i s cv ).

b) konstrukce

Postup:

1. ; 5 cm

2. ; ( , 2,6 cm)

3. '; ' ( ; 2,6 cm)

4. ; '

5. ; ( ; 2,6 cm)

6. ; ; 3,8 cm

7. ;

8.

AB AB c

k k B

k k A

S S k k

o o S

p p AB Ap

C C p o

ABC

A B

5,00 cm

kk'

2,60 cm

2,60 cm

S

o

3,82 cm

c) diskuse


Kružnice o a přímka p mají 0 společných bodů. Úloha nemá řešení.

- 67 -

14. trojúhelník ),,( rtcABC c

a) rozbor

Vrchol C leží na průniku kružnice k (ze

středu úsečky AB s poloměrem tc)

a kružnice trojúhelníku opsané.

b) konstrukce

Postup:

0 0 0 0

0

1. ;

2. ; ( ; )

3. '; '( ; )

4. ; '

5. ; ( ; )

6. ;

7. ; ( ; )

8. ;

9.

c

AB AB c

k k B r

k k A r

S S k k

o o S r

C C AB AC BC

l l C r t

C C l o

ABC

c) diskuse

Jestliže existuje bod S, potom hledáme počet průsečíků kružnic l a o. Podle počtu

průsečíků máme počet řešení v polorovině.

- 68 -

1. Sestroj trojúhelník ABC: c = 5 cm, tc = 4 cm, r = 3 cm

Řešení:

a) rozbor

Vrchol C leží na průniku

kružnice k (ze středu úsečky

AB s poloměrem tc) a

kružnice trojúhelníku

opsané.

b) konstrukce

Postup:

0 0 0 0

0

1. ; 5 cm

2. ; ( ; 3 cm)

3. '; '( ; 3 cm)

4. ; '

5. ; ( ; 3 cm)

6. ;

7. ; ( ; 4 cm)

8. ;

9.

c

AB AB c

k k B r

k k A r

S S k k

o o S r

C C AB AC BC

l l C r t

C C l o

ABC

A BC0

5,00 cm

k

k'

3,01 cm

3,02 cm

o

4,00 cm

C C'

c) diskuse

Kružnice l a kružnice trojúhelníku opsaná o mají 2 společné body. Řešením úlohy jsou

2 trojúhelníky ABC a ABC‘.

- 69 -

2. Sestroj trojúhelník ABC: c = 6 cm, tc = 5,3 cm, r = 3,5 cm

Řešení:

a) rozbor

Vrchol C leží na průniku kružnice k

(ze středu úsečky AB s poloměrem tc)


b) konstrukce

Postup:

0 0 0 0

0

1. ; 6 cm

2. ; ( ; 3,5 cm)

3. '; '( ; 3,5 cm)

4. ; '

5. ; ( ; 3,5 cm)

6. ;

7. ; ( ; 5,3 cm)

8. ;

9.

c

AB AB c

k k B r

k k A r

S S k k

o o S r

C C AB AC BC

l l C r t

C C l o

ABC

A BC0

6,00 cm

k

k'

3,49 cm

3,49 cm

o

5,26 cm

C C'

c) diskuse

Kružnice l a kružnice trojúhelníku opsaná o mají 2 společné body. Řešením úlohy jsou 2

trojúhelníky ABC a ABC‘.

- 70 -

3. Sestroj trojúhelník ABC: c = 5,5 cm, tc = 5 cm, r = 3 cm

Řešení:

a) rozbor

Vrchol C leží na průniku kružnice k

(ze středu úsečky AB s poloměrem tc)


b) konstrukce

Postup:

0 0 0 0

0

1. ; 5,5 cm

2. ; ( ; 3 cm)

3. '; '( ; 3 cm)

4. ; '

5. ; ( ; 3 cm)

6. ;

7. ; ( ; 5 cm)

8. ;

9.

c

AB AB c

k k B r

k k A r

S S k k

o o S r

C C AB AC BC

l l C r t

C C l o

ABC

A BC0

5,50 cm

k

k'

3,01 cm

3,02 cm

o

4,99 cm

c) diskuse

Kružnice l a kružnice trojúhelníku opsaná o nemají společné body. Úloha nemá řešení.

- 71 -

15. trojúhelník ),,( cABC

a) rozbor:

Střed kružnice vepsané leží: na ose úhlu a na n //c , cn,

b) konstrukce

Postup:

1 1

1

1. ;

2. ;

3. ; je osa úhlu

4. ; ,

5. ;

6. ; ( ; )

7. ; ,

8. ; ( , )

9. ;

10. ;

11.

AB AB c

XAB XAB

o o

n n c

S S o n

k k S

O O SB OS OB

t t O OB

T T k t

C C AX BT

ABC


Kružnice k a h mají 2 společné body, ale to jsou body dotyku, takže v polorovině je právě

1 řešení.

- 72 -

1. Sestroj trojúhelník ABC: c = 5 cm, α = 80°, ρ = 1,5 cm

Řešení:

a) rozbor

Střed kružnice vepsané leží: na

ose úhlu a na n //c , cn,

b) konstrukce

Postup:

1 1

1

1. ; 5 cm

2. ; 80

3. ; je osa úhlu

4. ; ,

5. ;

6. ; ( ; 1,5 cm)

7. ; ,

8. ; ( , )

9. ;

10. ;

11.

AB AB c

XAB XAB

o o

n n c

S S o n

k k S

O O SB OS OB

t t O OB

T T k t

C C AX BT

ABC

A B

5,00 cm

X

80,0 °

n

1,53 cm

k

O

t


Kružnice k a t mají 2 společné body, ale to jsou body dotyku, takže v polorovině je


- 73 -

2. Sestroj trojúhelník ABC: c = 7 cm, α = 40°, ρ = 2 cm

Řešení:

a) rozbor


ose úhlu a na

n // c , cn,

b) konstrukce

Postup:

1 1

1

1. ; 7 cm

2. ; 40

3. ; je osa úhlu

4. ; ,

5. ;

6. ; ( ; 2 cm)

7. ; ,

8. ; ( , )

9. ;

10. ;

11.

AB AB c

XAB XAB

o o

n n c

S S o n

k k S

O O SB OS OB

t t O OB

T T k t

C C AX BT

ABC

AB

7,00 cm

X

40,0 °

n

2,00 cm

k

O

t


Kružnice k a t mají 2 společné body, ale to jsou body dotyku, takže v polorovině je


- 74 -

3. Sestroj trojúhelník ABC: c = 6 cm, α = 40°, ρ = 2,3 cm

Řešení:

a) rozbor


ose úhlu a na

n // c , cn,

b) konstrukce

Postup:

1 1

1

1. ; 6 cm

2. ; 40

3. ; je osa úhlu

4. ; ,

5. ;

6. ; ( ; 2,3 cm)

7. ; ,

8. ; ( , )

9. ;

10. ;

11.

AB AB c

XAB XAB

o o

n n c

S S o n

k k S

O O SB OS OB

t t O OB

T T k t

C C AX BT

ABC

AB

6,03 cm

X

39,5 °

n

2,29 cm

k

Ot


Kružnice k a t nemají společné body. Úloha nemá řešení.

- 75 -

16. Sestroj trojúhelník ABC: α = 35°, β = 80°, ρ = 2 cm

Řešení:

a) rozbor

Nejprve sestrojíme trojúhelník

AB’C‘, pro který platí α = 35°, β

= 80°. Potom dle podobnosti

trojúhelníků nalezneme střed

kružnice vepsané (využijeme

poloměru ρ a v této vzdálenosti

sestrojíme rovnoběžku s přímkou

AB‘) a bod B.

b) konstrukce

Postup:

1. '; ' 35

2. ' ; ' 80

3. '; ' '

4. ; je osa úhlu '

5. ; je osa úhlu '

6. '; '

7. ; ', , 2 cm

8. ;

9. ; ', ' '

10. ; , ' '

11.

XAB XAB

AB Y AB Y

C C AX B Y

o o XAB

o o AB Y

S S o o

p p AB p A

S S p o

B B AB SB S B

C C AX BC B C

ABC

A

X

B'

35,0 °

Y

80,0 °

C'

oa

ob

S '

p

2,21 cm

S

B

C

c) diskuse

Pokud je součet úhlů menší než 180°, lze najít řešení. Průnik různoběžných polopřímek je

vždy právě jeden. Právě jedno je řešení úlohy.

- 76 -

17. Sestroj trojúhelník ABC: 2,1 , 5 , 6,6 ccm v cm SB cm (S je střed kružnice

opsané)

Řešení:

a) rozbor

Nejprve sestrojíme pravoúhlý

trojúhelník BSX. Dále musíme

využít body dotyku (tečna ke

kružnici je vždy kolmá na poloměr

kružnice) a nalézt chybějící vrcholy.

b) konstrukce

Postup:

1. , ; , , 2,1 cm

2. ;

3. ; ( ;6,6 cm)

4. ;

5. ; ,

6. ; ( ; )

7. ;

8. ; ( ) :

9. ; , , 5 cm

10. ;

11. '; ( ) : '

12. ; '

13.

p c p c p c

S S p

k k S

B B k c

Z Z BS BZ SZ

t t Z ZB

X X t k

Y O BS X Y

q q c q c

C C q BY

Y O CS Y Y

A A c CY

ABC

c

p

q

2,11 cm

5,00 cm

S

k

6,60 cm

BB'

Z

t

X

YY'

A A'

c) diskuse

Kružnice k a přímka c mají právě 2 společné body. Řešením jsou 2 trojúhelníky.

- 77 -

18. trojúhelník 0: 8 cm, 45 , 4 cmABC c a b

Řešení:

a) rozbor

Trojúhelník CBD je

rovnoramenný, proto

osa úsečky CD vytne

na AD bod .B

b) konstrukce

Postup:

1. ; 8 cm

2. ; 45

3. ; , 4 cm

4. ; je osa úsečky CD

5. ;

6.

AD AD

XAD XAD

C C AX AC

o o

B B o AD

ABC

A D

C

8,03 cm

4,00 cm

45,0 °

o

B

X


Jelikož přímky se protínají v jediném bodě, je v polorovině právě 1 řešení.

- 78 -

Souhrnná cvičení 1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 5 cm, 3 cmaa b v .

a) rozbor:

Umístíme úsečku BC (dané délky a), vrchol A leží

jednak na kružnici bCk ; , jednak na rovnoběžce

s přímkou BC ve vzdálenosti av .

b) postup a konstrukce:

1. ; 6 cm

2. ; , ; 5 cm

3. , ; ; , , 3,5 cm

4. ;

5.

BC BC a

k k C b b

p q p q BC p BC q BC

A A k p q

ABC

c) ověření a diskuze:

Sestrojený trojúhelník ABC má stranu BC délky 6 cm. Protože kA , platí

5 cmAC b . Protože qpA , má bod A od přímky BC vzdálenost 3,5 cmav .

Trojúhelník ABC splňuje zadání úlohy.Úloha má 2 řešení.

- 79 -

2. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5 cm, 60 , 3 cmbb v .

a) rozbor:

Umístíme stranu AC (dané délky b), hledaný vrchol

B leží jednak na polopřímce AX , jednak na

rovnoběžce s přímkou AC ve vzdálenosti bv .


1. ; 5 cm

2. ; 60

3. , ; ; , , 3 cm

4. ;

5.

AC AC b

CAX CAX

p q p q AC p AC q AC

B B AX p q

ABC


Sestrojený trojúhelník ABC má stranu AC délky 5 cm. Vrchol B leží na přímce p,

trojúhelník ABC má požadovanou výšku a současně leží na polopřímce AX. Trojúhelník

vyhovuje zadání úlohy.

Úloha má 1 řešení.

- 80 -

3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7 cm, 30 , 5,5 cmcc t .

a) rozbor:

Umístíme stranu AB. Hledaný vrchol C leží jednak

na kružnici k a na polopřímce ; 30AX CAX .


1. ; 7 cm

2. ; 30

3. ; ;

4. ; ; , 5,5 cm

5. ;

6.

c c

AB AB

BAX BAX

S S AB AS BS

k k S t t

C C k AX

ABC


Trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 81 -

4. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6,5 cm, 4 cm, 3 cma aa t v .

a) rozbor:

Sestrojíme úsečku BC. Hledaný vrchol leží jednak na

kružnici atSk ; ,jednak na rovnoběžce s BC ve

vzdálenosti av .


1. ; 6,5 cm

2. ; ;

3. ; ; , 4 cm

4. , ; ; , , 3 cm

5. ;

6.

a a

BC BC

S S BC BS CS

k k S t t


A A k p q

ABC


Protože bod qpA , má trojúhelník ABC požadovanou výšku av . Protože bod

kA , platí i cmta 4 , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 82 -

5. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 4 cm, 5,2 cm, 4,5 cmbb c v .

a) rozbor:

Umístíme stranu AC. Hledaný vrchol B leží jednak

na kružnici k, jednak na přímce p rovnoběžné s AC

ve vzdálenosti bv .


1. ; 4 cm

2. ; , ; 5,2 cm

3. , ; ; , , 4,5 cm

4. ;

5.

AC AC b

k k A c c

p q p q AC p AC q AC

A A k p q

ABC


Protože bod qpB , má trojúhelník ABC požadovanou výšku bv . A protože bod

kB , pak sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 83 -

6. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 80 , 4,5 cmcc v .

a) rozbor:

Umístíme stranu AB. Hledaný vrchol C leží jednak

na polopřímce 80ABXBX , jednak na přímce

p rovnoběžné s AB ve vzdálenosti cv .


1. ; 6 cm

2. ; 80

3. , ; / / / / ; , , 4,5 cm

4. ;

5.

AB AB c

ABX ABX

p q p q AB p AB q AB

C C BX p q

ABC


Protože bod qpC , má trojúhelník ABC požadovanou výšku cv ; C leží na

polopřímce BX, tedy sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadání.


- 84 -

7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 4 cm, 100 , 5,5 cmac t .

a) rozbor:

Umístíme stranu BC . Hledaný vrchol A leží jak na

polopřímce CX , tak na kružnici atSk ; .


1. ; 4 cm

2. ; 100

3. ; ;

4. ; ; , 5,5 cm

5. ;

6.

a a

BC BC

BCX BCX

S S BC BS CS

k k S t t

A A k CX

ABC


Sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 85 -

8. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 8 cm, 3 cm, 60bb t .

a) rozbor:

Umístíme stranu AC. Hledaný vrchol B leží jednak

na polopřímce CX , jednak na kružnici btSk ; .


1. ; 8 cm

2. ; ;

3. ; ; , 3 cm

4. ; 60

5. ;

6.

b b

AC AC

S S AC AS CS

k k S t t

ACX ACX

B B k CX

ABC


Vzhledem k zadaným podmínkám trojúhelník ABC nelze sestrojit, neboť polopřímka

CX a kružnice k nemají žádný společný bod.

Úloha nemá řešení.

- 86 -

9. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6,8 cm, 7,2 cm, 5 cmaa b t .

a) rozbor:

Umístíme stranu BC. Hledaný vrchol A leží jednak

na kružnici atSk ; , jednak na kružnici bCl ; .


1. ; 6,8 cm

2. ; ;

3. ; ; , 5 cm

4. ; ; , 7, 2 cm

5. ;

6.

a a

BC BC

S S BC BS CS

k k S t t

l l C b b

A A k l

ABC


Hledaný trojúhelník má strany BCAC, daných délek ab, . Vrchol A je bodem kružnice

k, pak i 5 cmat . Sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 87 -

10. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 3 cm, 4,3 cm, 75ca t .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník BCS podle věty Ssu. Vrchol A

je obrazem bodu B ve středové souměrnosti se

středem S.


1. ; 8 cm

2. ; ; , 4,3 cm

3. ; 75

4. ;

5. ; ;

6.

c c

BC BC a

k k C t t

CBX CBX

S S k BX

A A BX BS AS

ABC




- 88 -

11. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 4 cm, 4 cma cc v t .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník aABP podle věty Ssu, bod

C leží jednak na přímce BPa , jednak na kružnici

ctSk ; , bod S je střed úsečky AB.


1. ; 6 cm, 4 cm, 90

2. ;

3. ; ;

4. ; ; , 4 cm

5. ;

6.

a a a a

a

c c

ABP AB c AP v AP B Ssu

p p P B

S S AB AS BS

k k S t t

C C k p

ABC


Protože bod pC , má trojúhelník ABC požadovanou výšku av . Protože bod kC ,

platí i cmtc 4 , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 89 -

12. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 3 cm, 5 cmc cc v t .

a) rozbor:

Umístíme stranu AB dané délky, bod C leží na

přímce p rovnoběžné s přímkou AB ve vzdálenosti vc

a současně na kružnici ctSk ; , S je střed úsečky AB.


1. 6 cm

2. ; , , 3 cm

3. ; ;

4. ; ; , 5 cm

5. ;

6.

c

c c

AB c

p p AB p AB v

S S AB AS BS

k k S t t

C C k p

ABC


Protože bod pC ,má bod C od přímky AB vzdálenost vc. Protože kC , má těžnice

cCS délku tc.


- 90 -

13. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 8 cm, 5 cm, 5,5 cma ba v v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník bBCP podle věty Ssu, bod A

leží jednak na přímce bCP , jednak na přímce p ve

vzdálenosti av od úsečky BC .


1. ; 8 cm, 5,5 cm, 90

2. ;

3. , ; ; , , 5 cm

4. ;

5.

b b b b

b

a

b

BCP BC a BP v CP B Ssu

p p PC

m n m n BC m BC n BC v

A A PC m n

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že 8 cmBC a a že bod B je od přímky bCP vzdálen

5,5 cmbv . Protože bod A je vzdálen od přímky BC 5 cmav a leží na přímce bCP ,

sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 91 -

14. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5 cm, 7 cm, 4,5 cmab c v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník aACP podle věty Ssu, bod B

leží jednak na přímce aCP , jednak na kružnici

cAk ; .


1. ; 5 cm, 4,5 cm, 90

2. ;

3. ; ; ; 7 cm

4. ;

5.

a a a a

a

a

ACP AC b AP v CP A Ssu

p p P C

k k A c c

B B P C k

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že 5 cmAC b a že bod A je od přímky aCP vzdálen

4,5 cmav . Protože bod B leží na kružnici cAk ; a na přímce aCP , sestrojený

trojúhelník vyhovuje zadání.


- 92 -

15. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 9 cm, 5,5 cm, 5 cmb ac v v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelníky ab ABPABP , podle věty Ssu, bod C leží jednak na

polopřímce aBP a polopřímce bAP .


1. ; 9 cm, 5 cm, 90

2. ; 9 cm, 5,5 cm, 90

3. ,

4. ;

5.

a a a a

b b b b

b a

b a


ABP AB c BP v AP B Ssu

AP BP

C C AP BP

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že 9 cmAB c a že bod A je od přímky aBP vzdálen

cmva 5 . Analogie platí i v případě kroku 2. Protože bod C leží na polopřímce

ba APBP , , pak sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 93 -

16. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 4 cm, 85ca v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník cBCP podle věty Ssu, bod A

leží jednak na polopřímce cBP a na polopřímce

85CX BCX .


1. ; 6 cm, 4 , 90

2. , 85

3.

4. ;

5.

c c c c

c

c

BCP BC a CP v cm BPC Ssu

BCX BCX

BP

A A BP CX

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že 6 cmBC a a že bod C je od přímky cBP vzdálen

4 cmcv . Protože bod A leží na polopřímce CXBPc , , pak sestrojený trojúhelník

vyhovuje zadání.


- 94 -

17. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5 cm, 4 cm, 5,5 cma cc v v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník aABP podle věty Ssu, bod C

leží jednak na polopřímce aBP a na přímce p ve

vzdálenosti av od přímky AB .


1. ; 5 cm, 4 cm, 90

2. ; ; , 5,5 cm

3.

4. ;

5.

a a a a

c

a

a


p p AB p AB v

BP

C C BP p

ABC


Protože 5 cmAB c , bod C je od přímky AB vzdálen 5,5 cmcv a současně leží

na polopřímce aBP , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 95 -

18. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5,5 cm, 4 cm, 3,5 cmca b v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník cBCP podle věty Ssu, bod A

leží jednak na polopřímce cBP a na kružnici bCk ; .


1. ; 5,5 cm , 3,5 cm , 90

2. ; ; ; 4

3.

4. ;

5.

c c c c

c

c

BCP BC a CP v CP B Ssu

k k C b b

BP

A A BP k

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že 5,5 cmBC a a bod C je od přímky cBP vzdálen

3,5 cmcv . Bod A leží současně na polopřímce cBP a na kružnici k , tedy sestrojený



- 96 -

19. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5,4 cm, 5,1 cm, 5 cmb ca v v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelníky bc BCPBCP , podle věty Ssu,

bod A leží jednak na polopřímce cBP a polopřímce

bCP .


1. ; 5,4 cm, 5 cm, 90

2. ; 5,4 cm, 5,1 cm, 90

3. ,

4. ;

5.

c c c c

b b b b

b c

b c

BCP BC a CP v CP B Ssu

BCP BC a BP v AP B Ssu

CP BP

A A CP BP

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že 5,4 cmBC a a že bod C je od přímky

cBP vzdálen 5 cmcv . Analogie platí i v případě kroku 2. Protože bod A leží na

polopřímce bc CPBP , , pak sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 97 -

20. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 5 cm, 5,6 cma ba t v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník bBCP podle věty Ssu, bod A

leží jednak na přímce bCP , jednak na kružnici

atSk ; , bod S je střed úsečky BC.


1. ; 6 cm, 5,6 cm, 90

2. ;

3. ; ;

4. ; ; , 5 cm

5. ;

6.

b b b b

b

a a

BCP BC a BP v BPC Ssu

p p PC

S S BC BS CS

k k S t t

A A k p

ABC


Protože bod pA , má trojúhelník ABC požadovanou výšku bv . Protože bod kA ,

platí i cmta 5 , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 98 -

21. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 8 cm, 4,2 cm, 6 cmb cb t t .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník TCSb podle věty sss, vrchol B

leží na polopřímce TSb ve vzdálenosti bt , vrchol A je

obrazem bodu C ve středové souměrnosti se středem

bbb ASCSS .


1 2 11. ; 4 cm, 4 cm, 1,4 cm

2 3 3

2. ; ; 4,2 cm

3. ; :

4.

b b c b b

b b b

b

CS T CS b CT t TS t sss

B B S T S B t

A S S C A

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že bod T je těžištěm hledaného trojúhelníku a úsečky,

cb tt , těžnicemi. Vrchol B leží ve vzdálenosti bt od bodu bS a vrchol A je obrazem bodu

C ve středové souměrnosti se středem C; tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 99 -

22. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6,5 cm, 3,7 cm, 3,5 cmb ba t v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník bBCP podle věty Ssu, vrchol

A leží na polopřímce bCP ;

bb tBkASCSCPkS ,;; .


1. ; 6,5 cm, 3,5 cm, 90

2. ; ; ; 3,7 cm

3.

4. ;

5. ; ;

6.

b b b b

b b

b

b

b


k k B t t

CP

S S CP k

A A CP CS SA

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že cmaBC 5,6 a bod B je od přímky bCP vzdálen

cmvb 5,3 . Bod A leží současně na polopřímce bCP a platí SASCS ; je průsečíkem

kružnice k a polopřímky bCP , tedy sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 100 -

23. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7 cm, 6 cm, 4,5 cma ba t t .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník TBS a podle věty sss, vrchol

A leží na polopřímce TSa ve vzdálenosti at od jejího

počátku aS , bod C na polopřímce aBS ve

vzdálenosti a od počátku B.


1 1 21. ; 3,5 cm, 2 cm, 3 cm

2 3 3

2.

3. ; , 6 cm

4.

5. ; ; 7 cm

6.

a a a a b

a

a a a

a

a

BS T BS a S T t BT t

S T

A A S T S T t

BS

C C BS BC a

ABC


Z postupu konstrukce vyplývá, že strana BC má délku a, těžnici z vrcholu A at . Vrchol

T je těžištěm trojúhelníku ABC, neboť leží na jeho těžnici aAS , přičemž

1:2:¨ aTSTA , proto má těžnice bBS délku bt .


- 101 -

24. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 8 cm, 4,8 cm, 5,4 cma ba t t .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník TBS a podle věty sss, vrchol

A leží na polopřímce TSa ve vzdálenosti at od jejího

počátku aS , bod C na polopřímce aBS ve

vzdálenosti a od počátku B.


1 1 21. ; 4 cm, 1,6 cm, 3,6 cm

2 3 3

2.

3. ; , 4,8 cm

4.

5. ; ; 8 cm

6.

a a a a b

a

a a a

a

a

BS T BS a S T t BT t

S T

A A S T S T t

BS

C C BS BC a

ABC


Z postupu konstrukce vyplývá, že strana BC má délku a, těžnici z vrcholu A at . Vrchol

T je těžištěm trojúhelníku ABC, neboť leží na jeho těžnici aAS , přičemž

1:2:¨ aTSTA , proto má těžnice bBS délku bt .


- 102 -

25. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 2 cm, 4,5 cm, 2,5 cma b r .

a) rozbor:

Sestrojíme kružnici rOk ; a na ní zvolíme bod C.

Vrcholy A, B najdeme jako průsečíky kružnice

k s kružnicemi aCnbCm ;;; .


1. ; ; ; 2,5 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 4,5 cm

4. ;

5. ; ; ; 2 cm

6. ;

7.

k k O r r

C C k

m m C b b

A A k m

n n C a a

B B k n

ABC


Protože kCkBkA ,, je 2,5 cmr poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.

Protože ,mA platí 4 cmAC b , podobně pro vrchol B.


- 103 -

26. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7 cm, 75 , 4 cmb r .

a) rozbor:

Sestrojíme kružnici rOk ; a na ní zvolíme bod C. Vrchol A leží jednak na kružnici k a

na kružnici bCl ; , vrchol B leží jednak na kružnici k a na polopřímce

, 75CX BCX .


1. ; ; ; 4 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 7 cm

4. ;

5. ; 75

6. ;

7.

k k O r r

C C k

l l C b b

A A k l

ACX ACX

B B k CX

ABC


Protože kCkBkA ,, je 4 cmr poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.

Protože ,lA platí cmbAC 4 ,vrchol B leží jednak na kružnici k a na polopřímce

CX, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 104 -

27. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7,5 cm, 3,5 cm, 5,5 cmbc v r .

a) rozbor:

Sestrojíme kružnici rOk ; a na ní zvolíme bod A.

Vrchol B leží jednak na kružnici k a na kružnici

cAl ; , pak sestrojíme bod bb ABPP ,vrchol C leží

jednak na kružnici k a na polopřímce bAP .


1. ; ; ; 5,5 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 7,5 cm

4. ;

5. ; ...Thaletova kružnice nad AB

6. ; ; ; 3,5 cm

7. ;

8.

9. ;

10.

b b

b b

b

b

k k O r r

A A k

l l A c c

B B k l

m m B v v

P P m

AP

C C AP k

ABC



Protože ,lB platí 7,5 cmAB c ,vrchol C leží jednak na kružnici k a na

polopřímce bAP , tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 105 -

28. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5 cm, 2,5 cm, 3 cma cc t v .

a) rozbor:

Označíme X bod souměrně sdružený s bodem A

podle středu Sa. Čtyřúhelník ABXC je rovnoběžník,

neboť jeho úhlopříčky AX a BC se navzájem půlí.

Proto má bod X od přímky AB vzdálenost vc a od

bodu A vzdálenost 2ta. Umístíme-li úsečku AB dané

délky c, pak bod X bude ležet jednak na přímce p

rovnoběžné s AB a jednak na kružnici atAk 2; .


1. ; 5 cm

2. ; ; , 3 cm

3. ; ;2 ,2 5 cm

4. ;

5. ; ,

6. ;

7.

c

a a

AB AB c

p p AB p AB v

k k A t t

X X k p

q q BX A q

C C p q

ABC


Sestrojený trojúhelník ABC má stranu AB délky 5 cmc . Protože bod pC , má

trojúhelník ABC výšku z vrcholu C rovnou 3 cmcv . Protože bod kX , platí

atAX 2 . Sestrojený čtyřúhelník ABXC je rovnoběžník, protože se jeho úhlopříčky

protínají v takovém bodě, který je středem každé z nich. Úsečka aAS je tedy těžnicí

trojúhelníku ABC a pro její délku platí: aaa ttAXAS 22

1

2

1.


- 106 -

29. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 5 cm, 4 cmca b t .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník ACX (bod X je souměrně

sdružený s bodem C podle středu S) podle věty sss.

Vrchol B je čtvrtým vrcholem rovnoběžníku AXBC.


1. ; 5 cm; 6 cm; 2 8 cm; podle

2. ; ;

3. ; ;

4. ;

5.

cACX AC b AX a CX t sss

p p AC X p

q q AX C q

B B p q

ABC


Sestrojený trojúhelník ABC má strany AC, BC požadovaných délek b, c. Protože pro

bod X platí: ctCX 2 ; sestrojený čtyřúhelník AXBC je rovnoběžník, protože se jeho

úhlopříčky protínají v takovém bodě, který je středem každé z nich. Úsečka CS je tedy

těžnicí trojúhelníku ABC a pro její délku platí: cc ttCXCS 22

1

2

1.


- 107 -

30. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7 cm, 4 cm, 4,5 cmb ca v t .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník bBCP podle věty Ssu, bod X

je obrazem vrcholu C ve středové souměrnosti se

středem S. Ten leží jednak na přímce p rovnoběžné

s přímkou bCP procházející bodem B,jednak na

kružnici ctCk 2; .Vrchol A je čtvrtým vrcholem

rovnoběžníku BCAX.


1. ; 7 cm, 4 cm, 90

2. ; ;2 ;2 9 cm

3. ; ;

4. ;

5. ; ;

6. ;

7.

b b b b

c c

b

b


k k C t t

p p CP B p

X X k p

q q BC X q

A A CP q

ABC


Z 1. kroku konstrukce platí, že bod B je od přímky bCP vzdálen 4 cmbv , dále bod X

leží jak na kružnici k, tak na přímce p vedené vrcholem B. Vrchol A je čtvrtým vrcholem



- 108 -

31. Sestrojte trojúhelník MNO, jestliže 7 cmMO , výška ke straně MO je 4 cm , těžnice

procházející vrcholem N měří 5 cm .

a) rozbor:

Umístíme stranu MO dané délky, bod N leží na

přímce p rovnoběžné s přímkou MO ve vzdálenosti v

a současně na kružnici tSk ; , S je střed úsečky

MO.


1. 7 cm

2. ; , , 4 cm

3. ; ;

4. ; ; , 5 cm

5. ;

6.

MO

p p MO p MO v

S S MO MS OS

k k S t t

N N k p

MNO


Protože bod pN ,má bod N od přímky MO vzdálenost v. Protože kN , má těžnice

NS délku t.


- 109 -

32. Sestrojte trojúhelník KLM, jestliže 4 cmML , těžnice procházející vrcholem L měří

6 cm , těžnice procházející vrcholem M měří 4,2 cm .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník LMT podle věty sss (T je

těžiště trojúhelníku KLM), najdeme středy ml SS ,

stran KM, KL. Body ml SS , leží na polopřímkách LT,

MT ve vzdálenosti ml tt , od bodu T. Vrchol K leží

jednak na polopřímce lm MSLS , .


2 21. ; 4 cm, 4 cm, 2,8 cm

3 3

2. ; ; 6 cm

3. ; , 4,2 cm

4. ;

5.

l m

l l l l

m m m m

m l

LMT LM k LT t MT t

S S LT S T t

S S MT S M t

K K LS MS

KLM


Jestliže trojúhelník LMT existuje (trojúhelníková nerovnost), pak úloha má v dané

polorovině řešení.


- 110 -

33. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 3,7 cm, 3,5 cmb c r .

a) rozbor:


Vrchol C leží jednak na kružnici k a na kružnici

bAl ; , vrchol B leží jednak na kružnici k, jednak na

kružnici cAm ; .


1. ; ; ; 3,5 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 6 cm

4. ;

5. ; ; , 3,7 cm

6. ;

7.

k k O r r

A A k

l l A b b

C C k l

m m A c c

B B k m

ABC



Protože ,lC platí 6 cmAC b ,vrchol B leží jednak na kružnici k,jednak na

kružnici m, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 111 -

34. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 3 cm, 70 , 2,5 cma r .

a) rozbor:

Sestrojíme kružnici rOk ; a na ní zvolíme bod B.

Vrchol C leží jednak na kružnici k,jednak na kružnici

aBl ; , vrchol A leží jednak na kružnici k a na

polopřímce , 70BX CBX .


1. ; ; ; 2,5 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 3 cm

4. ;

5. ; 70

6. ;

7.

k k O r r

B B k

l l B a a

C C k l

CBX CBX

A A k BX

ABC



Protože ,lC platí 3 cmBC a ,vrchol A leží jednak na kružnici k a na polopřímce

BX, tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 112 -

35. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 6 cm, 4,6 cm, 3,7 cmaa v r .

a) rozbor:


Vrchol C leží jednak na kružnici k a na kružnici

aBl ; .Vrchol A leží jednak na kružnici k a na

rovnoběžce p s přímkou BC ve vzdálenosti av .


1. ; ; ; 3,7 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 6 cm

4. ;

5. ; / / ; , 4,6 cm

6. ;

7.

a

k k O r r

B B k

l l B a a

C C k l

p p BC p BC v

A A p k

ABC



Protože ,lC platí 6 cmBC a ,vrchol A leží jednak na kružnici k a na přímce p,

tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 113 -

36. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7 cm, 4,6 cm, 4 cmbb t r .

a) rozbor:


Vrchol C leží jednak na kružnici k, jednak na

kružnici bAl ; .Vrchol B leží jednak na kružnici k,

jednak na kružnici bt tSm ; .


;

1. ; ; ; 4 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 7 cm

4. ;

5. ; ; , 4,6 cm

6. ;

7.

b b b

k k O r r

A A k

l l A b b

C C k l

m m S t t

B B m k

ABC


Protože kCkBkA ,, je 4 cmr poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.

Protože ,lC platí 7 cmAC b ,vrchol B leží jednak na kružnici k, jednak na



- 114 -

37. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5,3 cm, 3,2 cm, 3,5 cmba c t .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník BCX (bod X je souměrně sdružený s bodem B podle středu S)

podle věty sss. Vrchol A je pak čtvrtým vrcholem rovnoběžníku ABCX.


1. ; 5,3 cm; 3,2 cm; 2 7 cm; podle

2. ; ;

3. ; ;

4. ;

5.

bBCX BC a CX c BX t sss

p p BC X p

q q CX B q

A A p q

ABC


Sestrojený trojúhelník ABC má strany AB, BC požadovaných délek c, a.Protože pro bod

X platí: btBX 2 ; sestrojený čtyřúhelník ABCX je rovnoběžník, protože se jeho

úhlopříčky protínají v takovém bodě, který je středem každé z nich. Úsečka BS je tedy

těžnicí trojúhelníku ABC a pro její délku platí: bb ttBXBS 22

1

2

1.


- 115 -

38. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 5 cm, 5,5 cm, 4 cma ca v t .

a) rozbor:

Umístíme stranu BC, nalezneme obraz X bodu C ve

středové souměrnosti se středem S. Bod X leží jednak

na kružnici k, jednak na rovnoběžce p s přímkou BC

ve vzdálenosti va. Vrchol A je čtvrtým vrcholem



1. ; 5 cm

2. ; ;2 ; 4 cm

3. ; / / ; , 5,5 cm

4. ;

5. ; ; ; 5 cm

6. ;

7.

c c

a

BC BC a

k k C t t

p p BC p BC v

X X p k

l l X a a

A A l p

ABC


Sestrojený trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám, pro bod X platí: ctCX 2 ;

sestrojený čtyřúhelník BCAX je rovnoběžník, protože se jeho úhlopříčky protínají

v takovém bodě, který je středem každé z nich. Úsečka CS je tedy těžnicí trojúhelníku

ABC a pro její délku platí: cc ttCXCS 22

1

2

1.


- 116 -

39. Sestrojte trojúhelník XYZ,jestliže 5 cmXZ , výška ke straně XY měří cm3,4 a

poloměr kružnice opsané je cm2,3 .

a) rozbor:

Sestrojíme libovolnou kružnici k na ní zvolíme

vrchol X, dále vrchol Z leží jednak na kružnici k a na

kružnici XZXl ; , dále sestrojíme patu zP výšky ke

straně XY. Vrchol Y leží jednak na kružnici k,

jednak na polopřímce zXP .


1. ; ; ; 3, 2 cm

2. ; libovolně

3. ; ; 5 cm

4 ;

5. ; ...Thaletova kružnice nad

6. ; ; 4,3 cm

7. ;

8. ;

9.

z z

z

k k O r r

X X k

l l X r

Z Z k l

XZ

m m Z r

P P m

Y Y k XP

XYZ


Sestrojený trojúhelník XYZ vyhovuje zadaným podmínkám, body X, Y, Z leží na

kružnici cmrrOk 2,3;; . Vrchol Y leží jednak na kružnici k a na polopřímce zXP .


- 117 -

40. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník EFG s přeponou EF, odvěsnou FG délky 4,7 cm

a s kružnicí opsanou o poloměru 2,8 cm .

a) rozbor:

Sestrojíme libovolnou kružnici k, zvolíme její

libovolný průměr EF. Vrchol G leží jednak na

kružnici k, jednak na kružnici FGFm ; .


1. ; ; ; 2,8 cm

2. , ; , ;

3. ; ; 4,7 cm

4 ;

5.

k k O r r

E F E F k EO OF

m m F r

G G k m

EFG


Sestrojený pravoúhlý trojúhelník EFG vyhovuje zadaným podmínkám, body E, F,

G leží na kružnici ; ; 2,8 cmk O r r . Vrchol G leží jednak na kružnici k, jednak na

kružnici m.


- 118 -

41. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 2 cm, 7,5 cm, 2 cmca c v .

a) rozbor:

Umístíme úsečku AB (dané délky c), vrchol C leží

jednak na kružnici aBk ; , jednak na rovnoběžce

s přímkou AB ve vzdálenosti cv .


1. ; 7,5 cm

2. ; , ; 2 cm

3. , ; ; , , 2 cm

4. ;

5.

AB AB c

k k B a a

p q p q AB p AB q AB

C C k p q

ABC


Sestrojený trojúhelník ABC má stranu AB délky 7,5 cm. Protože kC , platí

cmaBC 2 . Protože qpC , má bod C od přímky AB vzdálenost 2 cmcv .

Trojúhelník ABC splňuje zadání úlohy.


- 119 -

42. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 4,5 cm, 60 , 7 cmaa v .

a) rozbor:

Umístíme stranu BC (dané délky a), hledaný vrchol A

leží jednak na polopřímce CX , jednak na

rovnoběžce s přímkou ABC ve vzdálenosti av .


1. ; 4,5 cm

2. ; 60

3. , ; ; , , 7 cm

4. ;

5.

BC BC a

BCX BCX


A A CX p q

ABC


Sestrojený trojúhelník ABC má stranu BC délky 4,5 cm. Vrchol A leží na qp , tedy

trojúhelník ABC má požadovanou výšku a současně leží na polopřímce CX. Trojúhelník

vyhovuje zadání úlohy.


- 120 -

43. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7 cm, 35 , 3 cmbb t .

a) rozbor:

Umístíme stranu AC . Hledaný vrchol B leží jak na

polopřímce AX , tak na kružnici btSk ; .


1. ; 7 cm

2. ; 35

3. ; ;

4. ; ; , 3 cm

5. ;

6.

b b

AC AC

CAX CAX

S S AC AS CS

k k S t t

B B k AX

ABC




- 121 -

44. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7 cm, 35 , 6 cmab v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník aCAP podle věty Ssu, bod B

leží jednak na polopřímce aCP a na polopřímce

35AX CAX .


1. ; 7 cm, 6 cm, 90

2. , 35

3.

4. ;

5.

a a a a

a

a

CAP AC b AP v AP C Ssu

CAX CAX

CP

B B CP AX

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že 7 cmAC b a že bod A je od přímky

aCP vzdálen cmva 6 . Protože bod B leží na polopřímce AXCPa , , pak sestrojený



- 122 -

45. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: cmtcmb a 3,48,5,3 .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník ACS podle věty Ssu. Vrchol B

je obrazem bodu C ve středové souměrnosti se

středem S.


1. ; 3,5 cm

2. ; ; , 3 cm

3. ; 48

4. ;

5. ; ;

6.

a a

AC AC b

k k A t t

ACX ACX

S S k CX

B B CX CS BS

ABC




- 123 -

46. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 4 cm, 2,5 cm, 4,3 cmc cc v t .

a) rozbor:

Umístíme stranu AB dané délky, bod C leží na

přímce p rovnoběžné s přímkou AB ve vzdálenosti vc

a současně na kružnici ctSk ; , S je střed úsečky AB.


1. 4 cm

2. ; , , 2,5 cm

3. ; ;

4. ; ; , 4,3 cm

5. ;

6.

c

c c

AB c

p p AB p AB v

S S AB AS BS

k k S t t

C C k p

ABC


Protože bod pC ,má bod C od přímky AB vzdálenost vc. Protože kC , má těžnice

cCS délku tc.


- 124 -

47. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 3 cm, 2,4 cm, 4 cmaa r t .

a) rozbor:


Vrchol C leží jednak na kružnici k, jednak na

kružnici aBl ; .Vrchol A leží jednak na kružnici

k,jednak na kružnici at tSm ; .


;

1. ; ; ; 2, 4 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 3 cm

4. ;

5. ; ; , 4 cm

6. ;

7.

a a a

k k O r r

B B k

l l B a a

C C k l

m m S t t

A A m k

ABC



Protože ,lC platí cmaBC 3 ,vrchol A leží jednak na kružnici k, jednak na



- 125 -

48. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7 cm, 3,7 cm, 5,4 cmac r v .

a) rozbor:


Vrchol B leží jednak na kružnici k a na kružnici

cAl ; , dále sestrojíme bod aa ABPP ,vrchol C leží

jednak na kružnici k a na polopřímce aBP .


1. ; ; ; 3,7 cm

2. ; libovolně

3. ; ; , 7 cm

4. ;

5. ; ...Thaletova kružnice nad

6. ; ; ; 5, 4 cm

7. ;

8.

9. ;

10.

a a

a a

a

a

k k O r r

A A k

l l A c c

B B k l

AB

m m A v v

P P m

BP

C C BP k

ABC



Protože ,lB platí 7 cmAB c , vrchol C leží jednak na kružnici k a na polopřímce

aBP , tedy trojúhelník ABC vyhovuje zadaným podmínkám.


- 126 -

49. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: 7,2 cm, 6,6 cm, 6,3 cmbc a v .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník bABP podle věty Ssu, bod C

leží jednak na polopřímce bAP a na kružnici aBk ; .


1. ; 7,2 cm, 6,3 cm, 90

2. ; ; ; 6,6 cm

3.

4. ;

5.

b b b b

b

b

ABP AB c BP v AP B Ssu

k k B a a

AP

C C AP k

ABC


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že cmcAB 2,7 a bod B je od přímky bAP vzdálen

cmvb 3,6 . Bod C leží současně na polopřímce bAP a na kružnici k , tedy sestrojený



- 127 -

50. Sestrojte trojúhelník XYZ, jehož strana XZ má délku 7,8 cm , výška k této straně je

2,3 cm a výška ke straně ZY je 6,6 cm .

a) rozbor:

Sestrojíme trojúhelník xZXP podle věty Ssu, bod Y

leží jednak na přímce xZP , jednak na přímce p ve

vzdálenosti xv od úsečky ZX .


1. ; 7,8 cm, 6,6 cm, 90

2. ;

3. , ; ; , , 2,3 cm

4. ;

5.

x x x

x

x

ZXP ZX XP XP Z Ssu

p p ZP

m n m n XZ m XZ n XZ

Y Y ZP m n

XYZ


Z 1. kroku konstrukce vyplývá, že 7,8 cmXZ a že bod X je od přímky xZP vzdálen

6,6 cm . Protože bod Y je vzdálen od přímky XZ 2,3 cm a leží na přímce xZP ,

sestrojený trojúhelník vyhovuje zadání.


- 128 -

51. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB| = 6,7 cm, |BC| = 4, 3 cm, |AC| = 5,5 cm.

Rozbor: Konstrukce podle věty sss.

Rozbor 4,3 5,5 9,8

4,3 6,7 11

5,5 6,7 12,2

a b a b c

a c a c b

b c b c a

Postup:

1) ; 6,7 cm

2) ; ; 5,5 cm

3) ; ; 4,3 cm

4) ;

5)

AB AB

k k A

l l B

C C k l

ABC

Konstrukce:

Ověření a diskuse Trojúhelník vyhovuje zadání a v dané polorovině je právě 1

řešení.

- 129 -

52. Sestrojte trojúhelník KLM, je-li dáno: |KL| = 7,6 cm, |KM| = 5,3 cm, | LKM| = 65°.

Rozbor:

Konstrukce podle věty sus.

Postup:

1) ; 7,6 cm

2) ; 65

3) ; h ; 5,3 cm

4) ; M

5)

KL KL

LKX LKX

h K

M KL k

KLM

Konstrukce:

Ověření a diskuse: Trojúhelník vyhovuje zadání a v polorovině,.je právě 1

řešení.

- 130 -

5. Konstrukce trojúhelníků ..................................................................................................... 1

Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): ................................................... 1

Souhrnná cvičení .................................................................................................................. 78

Date post:	15-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

AB k BC AC · 2020. 5. 26. · - 1 - 5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle...

Documents