Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný učební text
Petra Pirklová
Liberec, listopad 2015
2
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V E3
V tomto textu uvedeme některé poznatky vektorového počtu pro popis lineárních útvarů (bodů, přímek, rovin) v prostoru E3. Také budeme zkoumat jejich polohové a metrické vztahy. Používat bu-deme výhradně popis pomocí rovnic, tzv. analytickou metodu.
VEKTOR
Veličina, která je udána pouze číslem (velikostí) se nazývá skalár. Pokud je udána nejen veli-kostí, ale také směrem, pak ji nazýváme vektor.
Vektor zpravidla graficky znázorňujeme úsečkou, která vychází z určitého počátečního bodu a jejíž délka udává velikost vektoru a směr udává směr vektoru. Ke koncovému bodu připisujeme šipku, abychom vyznačili orientaci vektoru, tj. na kterou stranu směřuje. Tuto úsečku nazýváme ori-entovanou úsečkou.
A
B
Orientovaná úsečka AB
Velikostí orientované úsečky AB rozumíme vzdálenost jejího počátečního a koncového bo-du, značíme ji |AB|. Splývá-li počáteční bod a koncový bod orientované úsečky, pak je její velikost rovna nule.
Definice: Vektorem �⃗� nazveme množinu všech rovnoběžných, stejně velkých a stejně orientovaných
úseček. Každou z těchto úseček nazýváme umístěním vektoru. (Např. orientovaná úsečka 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ je umís-těním vektoru �⃗�.)
A
B
a
a
a
Vektor
Velikostí vektoru pak rozumíme velikost jeho libovolného umístění. Je-li |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = |�⃗�| = 1, nazývá-me vektor �⃗� jednotkovým vektorem. Nulový vektor značíme �⃗�.
Operace s vektory
1. Rovnost vektorů
Dva vektory �⃗�, �⃗⃗� jsou si rovny, jsou-li reprezentovány stejnou množinou rovnoběžných, sou-hlasně orientovaných a stejně velkých orientovaných úseček.
3
2. Součet vektorů
Předpokládejme, že jsou dány dva vektory �⃗� a �⃗⃗�. Součet vektorů �⃗�, �⃗⃗� získáme, jestliže do
koncového bodu vektoru �⃗� umístíme počáteční bod vektoru �⃗⃗�, pak vektor 𝑐 s počátečním
bodem v počátečním bodě vektoru �⃗� a s koncovým bodem v koncovém bodě vektoru �⃗⃗� je
součtem vektorů �⃗� a �⃗⃗� (𝑐 = �⃗� + �⃗⃗�).
ab
c
Součet vektorů
Pro sčítání dvou vektorů platí komutativní zákon a pro sčítání více vektorů platí také asociativní zákon.
3. Násobek vektoru reálným číslem k
Vektor 𝑐 = 𝑘 · �⃗�, kde k je reálné číslo, dostaneme tak, že k-krát sečteme vektor �⃗�. Velikost takového vektoru je |𝑘|-násobek velikosti vektoru �⃗�, tj. |𝑐| = |𝑘| ∙ |�⃗�|. Je-li k = 0, pak je 𝑐 ⃗⃗⃗= k · �⃗� = 0.
Orientace vektoru 𝑐 = k · �⃗� je stejná jako orientace vektoru �⃗�, je-li k > 0, a opačná jako orientace vektoru �⃗�, je-li k < 0.
Opačný vektor k vektoru �⃗� je takový, mají-li stejný směr a velikost, ale opačnou ori-entaci. Opačný vektor k vektoru �⃗� můžeme získat také tak, že vektor �⃗� násobíme číslem -1. Opačný vektor k vektoru �⃗� se obvykle značí −𝑎⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ .
Z definice plynou tyto vlastnosti: 1. Komutativnost: 𝑘 ∙ �⃗� = �⃗� ∙ 𝑘 2. Asociativnost: (𝑘 ∙ ℎ) ∙ �⃗� = 𝑘 ∙ (ℎ ∙ �⃗�) 3. Distributivnost vzhledem ke sčítání čísel: (𝑘 + ℎ) ∙ �⃗� = 𝑘 ∙ �⃗� + ℎ ∙ �⃗�
4. Distributivnost vzhledem ke sčítání vektorů: 𝑘(�⃗� + �⃗⃗�) = 𝑘 ∙ �⃗� + 𝑘 ∙ �⃗⃗�
4. Odčítání vektorů
Odčítání vektoru �⃗⃗� od vektoru �⃗� je definováno jako součet vektoru �⃗� s vektorem opačným k
vektoru �⃗⃗�, tj. �⃗� − �⃗⃗� = �⃗� + (−𝑏⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ).
a
b
-b
a-b
Odčítání vektorů
4
Lineární kombinace vektorů
Lineární kombinací vektorů 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ nazveme vektor �⃗�, jestliže existují reálná čísla k1, k2, …, kn taková, že
�⃗� = 𝑘1𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑘𝑛𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗.
Vektory 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ pro něž platí,
𝑘1𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑘𝑛𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = �⃗�
a zároveň alespoň jeden koeficient je nenulový, pak se nazývají lineárně závislé.
Naopak, jestliže pro vektory 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ platí 𝑘1𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑘𝑛𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = �⃗�, pouze když 𝑘1 = 𝑘2 = ⋯ = 𝑘𝑛 = 0, pak se nazývají lineárně nezávislé.
Vektory kolineární
Nechť jsou dány dva lineárně závislé vektory �⃗�, �⃗⃗�, pak můžeme psát např.
�⃗⃗� = 𝑘 · �⃗�.
Z definice k násobku vektoru víme, že umístění vektorů �⃗�, �⃗⃗� jsou rovnoběžná s touž přímkou (tj. vek-
tory �⃗�, �⃗⃗� jsou rovnoběžné). Vektory rovnoběžné se stejnou přímkou nazýváme kolineární.
Vektory komplanární
Skupina tři a více vektorů, které leží v téže rovině, jsou vektory navzájem lineárně závislými. Všechny vektory, které leží v jedné rovině, nebo které lze do jedné roviny umístit, říkáme vektory kom-planární.
Máme-li dány tři lineárně závislé vektory �⃗�, �⃗⃗�, 𝑐, pak alespoň jeden z nich je lineární kombi-nací ostatních dvou. Např.:
𝑐 = 𝑘1 · �⃗� + 𝑘2 · �⃗⃗�.
Báze vektorového prostoru
Vektorový prostor je každá soustava vektorů, které mají tuto vlastnost: Obsahuje-li vektorový pro-stor všechny vektory nějaké skupiny 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗, obsahuje i každou jejich lineární kombinaci
𝑘1𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝑘𝑛𝑎𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗,
ať jsou jejich koeficienty k1, k2, …, kn jakékoliv.
Nechť jsou ve vektorovém prostoru E3 dány tři lineárně nezávislé vektory �⃗�, �⃗⃗�, 𝑐 a libovolný vektor �⃗⃗� vektorového prostoru lze vyjádřit jednoznačně jako jejich lineární kombinaci, tj.
𝑢 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑘1 · �⃗� + 𝑘2 · �⃗⃗� + 𝑘3 · 𝑐, {𝑘1, 𝑘2, 𝑘3} ∈ ℝ,
pak tyto vektory tvoří v daném vektorovém prostoru bázi.
5
Souřadnice vektoru a bodu v prostoru
V kartézské soustavě souřadnic budeme za bázi vektorového prostoru volit vždy trojici jednotkových
navzájem kolmých vektorů 𝑖, 𝑗, �⃗⃗�.
Tato trojice jednotkových vektorů 𝑖, 𝑗, �⃗⃗� je lineárně nezávislá, proto lze jakýkoliv vektor �⃗� v prostoru vyjádřit jako jejich lineární kombinaci,
�⃗� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧�⃗⃗�.
Uspořádanou trojici čísel koeficientů 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦, 𝑎𝑧 nazýváme souřadnice vektoru a vektory
𝑎𝑥 , 𝑖, 𝑎𝑦𝑗, 𝑎𝑧 �⃗⃗� nazýváme složkami vektoru. Vektor �⃗� pak píšeme ve tvaru �⃗� = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦, 𝑎𝑧).
a i
a j
a k
x
y
z
ij
ak
Souřadnice vektoru
Předpokládejme, že ve vektorovém prostoru E3 máme dané dva vektory �⃗� = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) a
�⃗⃗� = (𝑏𝑥, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧) pomocí souřadnic, pak platí následující pravidla:
a) dva vektory �⃗�, �⃗⃗� jsou si rovny, tj. �⃗� = �⃗⃗�, právě když 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, 3;
b) souřadnice součtu vektorů dostaneme ze vztahu �⃗� + �⃗⃗� = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 , 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 , 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧);
c) souřadnice 𝑘 - násobku vektoru jsou určeny vztahem 𝑘 · �⃗� = (𝑘𝑎𝑥 , 𝑘𝑎𝑦, 𝑘𝑎𝑧);
d) souřadnice nulového vektoru jsou dány předpisem �⃗� = (0, 0, 0);
e) velikost vektoru je �⃗� dána předpisem
|�⃗�| = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧2;
f) jednotkový vektor �⃗⃗� příslušný k vektoru �⃗� je dán předpisem
�⃗⃗� = (𝑎𝑥
|�⃗�|,
𝑎𝑦
|�⃗�|,
𝑎𝑧
|�⃗�|) .
Umístíme-li jednotkové vektory 𝑖, 𝑗, �⃗⃗� na souřadnicové osy x, y, z a jejich počáteční body do počátku soustavy souřadnic a jejich směr bude shodný s kladným směrem os (souřadnice jednotko-
vých vektorů na souřadnicových osách jsou dány předpisy 𝑖 = (1, 0, 0), �⃗⃗⃗� = (0, 1, 0), 𝑘 ⃗⃗⃗ ⃗ = (0, 0, 1)), pak z vektorového prostoru přejdeme k prostoru bodovému. Počátkem a osami je dána soustava bodových souřadnic v prostoru. Každý bod A v prostoru pak můžeme vyjádřit jeho polohovým vek-torem, tedy vektorem, jehož počáteční bod je v počátku soustavy souřadnic a koncový bod je v daném bodu A.
6
Bod A v prostoru má tedy tři souřadnice, které jsou shodné se souřadnicemi jeho polohové-ho vektoru. Tyto souřadnice bodu A budeme zapisovat 𝐴[𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴].
ij
k
x
y
z
A
x iA
y jA
z kA
Souřadnice bodu
Máme-li dány dva body 𝐴[𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴], 𝐵[𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵], pak souřadnice vektoru 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ s počátečním bodem A a koncovým bodem B získáme takto:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴, 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 ).
SKALÁRNÍ SOUČIN
Skalární součin dvou vektorů �⃗�, �⃗⃗� je číslo
�⃗� ∙ �⃗⃗� = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ cosφ,
kde |�⃗�|, |�⃗⃗�| je velikost vektorů a je velikost úhlu, který tyto vektory svírají (0° ≤ 𝜑 ≤ 180°).
b
a
Velikost úhlu dvou vektorů
Mají-li vektory souřadnice �⃗� = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) a �⃗⃗� = (𝑏𝑥 , 𝑏𝑦, 𝑏𝑧), pak je skalární součin:
�⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧.
Vlastnosti skalárního součinu:
a) komutativnost: �⃗� ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� ∙ �⃗�,
b) distributivnost vzhledem ke sčítání vektorů: �⃗� ∙ (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� ∙ �⃗⃗� + �⃗� ∙ 𝑐,
c) (𝑘�⃗�) ∙ �⃗⃗� = 𝑘(�⃗� ∙ �⃗⃗�) = �⃗� ∙ (𝑘�⃗⃗�),
d) �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0, pak �⃗� nebo �⃗⃗� je nulový vektor nebo nenulové vektory jsou k sobě kolmé.
Ze skalárního součinu vyplývá, že velikost úhlu mezi vektory �⃗� a �⃗⃗� můžeme vypočítat ze vztahu
cosφ =𝑎𝑥𝑏𝑥+𝑎𝑦𝑏𝑦+𝑎𝑧𝑏𝑧
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|.
7
VEKTOROVÝ SOUČIN
Vektorovým součinem dvou vektorů �⃗�, �⃗⃗� je vektor 𝑐 (𝑐 = �⃗� × �⃗⃗�), který je kolmý na oba dva vektory, orientovaný tak, aby všechny tři vektory tvořily pravotočivý systém.
Velikost vektorového součinu je určena vztahem: |𝑐| = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| sin 𝜑, kde je úhel, který
svírají vektory �⃗�, �⃗⃗�.
ab
c
Vektorový součin
Vektorový součin vektorů �⃗� = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) a �⃗⃗� = (𝑏𝑥 , 𝑏𝑦, 𝑏𝑧) vypočteme jako hodnotu de-
terminantu:
𝑐 = �⃗� × �⃗⃗� = |
𝑖 𝑗 𝑘𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
| = (𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦)𝑖 + (𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧)𝑗 + (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)𝑘 =
(𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦, 𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧, 𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥) = (𝑐𝑥 , 𝑐𝑦, 𝑐𝑧).
Vlastnosti vektorového součinu:
a) �⃗� × �⃗⃗� = − 𝑏⃗⃗⃗ × �⃗� (vzhledem ke smyslu otáčení)
b) �⃗� × (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� × �⃗⃗� + �⃗� × 𝑐
c) (�⃗� + �⃗⃗�) × 𝑐 = �⃗� × 𝑐 + �⃗⃗� × 𝑐
d) (𝑘�⃗�) × �⃗⃗� = �⃗� × (𝑘�⃗⃗�) = 𝑘(�⃗� × �⃗⃗�)
e) �⃗� × �⃗⃗� = �⃗� , jestliže jeden z vektorů je nulový nebo oba vektory jsou nenulové a navzájem rovnoběžné
f) 𝑖 × 𝑗 = �⃗⃗�, 𝑗 × �⃗⃗� = 𝑖, 𝑖 × �⃗⃗� = 𝑗 g) Velikost vektorového součinu se rovná ploše rovnoběžníku, jehož strany jsou určeny vektory
�⃗�, �⃗⃗�. Výška rovnoběžníku je 𝑣 = |�⃗⃗�|𝑠𝑖𝑛𝜑 a jeho plocha 𝑃 = |�⃗�|𝑣 = |�⃗�||�⃗⃗�|𝑠𝑖𝑛𝜑 = |�⃗� × �⃗⃗�|.
va
b
Vektorový součin
8
ROVNICE PŘÍMKY
Přímku v analytické geometrii lze vyjádřit několika způsoby:
1. Vektorová rovnice přímky
Přímka p prochází bodem A[xA, yA, zA] rovnoběžně s nenulovým vektorem �⃗� = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦, 𝑎𝑧),
který nazýváme směrovým vektorem přímky p. Bod X[x, y, z] ležící na přímce určuje
s bodem A vektor 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , který musí být násobkem vektoru �⃗�. Tedy 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘�⃗�, kde k je reálné číslo, tzv. parametr bodu X.
pa
A
X
k a
Vektorová rovnice přímky
2. Parametrické vyjádření přímky
Přepíšeme-li vektorovou rovnici přímky pomocí bodů A, X, dostáváme
𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑋 − 𝐴 = 𝑘�⃗�,
𝑋 = 𝐴 + 𝑘�⃗�.
Dosazením souřadnic bodů A, X a vektoru �⃗� do uvedené rovnice dostaneme trojici tzv. parametric-kých rovnic přímky
𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑘𝑎𝑥
𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑘𝑎𝑦
𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑘𝑎𝑧
Každý bod na přímce má jiný parametr 𝑘 ∈ ℝ. Směrový vektor přímky není určen jedno-značně, je-li určen vektorem �⃗�, pak může být určen také jakýmkoliv vektorem 𝑠�⃗�, 𝑠 ≠ 0.
3. Kanonický tvar rovnice přímky
Jsou-li všechny tři souřadnice směrového vektoru přímky nenulová čísla, můžeme z trojice parametrických rovnic přímky vyjádřit parametr 𝑘, čímž získáme kanonický tvar rovnice přímky
𝑘 =𝑥 − 𝑥𝐴
𝑎𝑥=
𝑦 − 𝑦𝐴
𝑎𝑦=
𝑧 − 𝑧𝐴
𝑎𝑧
4. Přímka jako průsečnice rovin
V prostoru může být přímka určena jako průsečnice dvou rovin 𝛼, 𝛽. Potom její rovnice je ur-čena soustavou obecných rovnic rovin 𝛼, 𝛽, tj.
𝛼: 𝑎𝛼𝑥 + 𝑏𝛼𝑦 + 𝑐𝛼𝑧 + 𝑑 = 0
𝛽: 𝑎𝛽𝑥 + 𝑏𝛽𝑦 + 𝑐𝛽𝑧 + 𝑑 = 0
9
Tato soustava je soustavou dvou rovnic o třech neznámých 𝑥, 𝑦, 𝑧. Abychom mohli soustavu vyřešit, zvolíme si jednu neznámou za parametr. Ostatní dvě neznámé pak vyjádříme pomocí tohoto parametru. Odtud pak dostáváme parametrické vyjádření přímky.
Směrový vektor �⃗� přímky je kolmý na normálové vektory rovin 𝛼, 𝛽, proto může být určen
jako jejich vektorový součin �⃗� = 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ × 𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
n
na
Směrový vektor průsečnice rovin
ROVNICE ROVINY
Také rovinu lze v prostoru vyjádřit několika způsoby:
1. Normálový tvar rovnice roviny
Je-li dána rovina α bodem M[xM, yM, zM] a dvěma lineárně nezávislými vektory �⃗⃗�, �⃗�, pak ne-nulový vektor �⃗⃗� kolmý k rovině α je určen vektorovým součinem vektorů �⃗⃗�, �⃗�, tj.
�⃗⃗� = �⃗⃗� × �⃗⃗⃗�.
Tento vektor �⃗⃗� nazýváme normálovým vektorem roviny α.
Je-li bod X libovolný bod roviny α, pak jsou vektory �⃗⃗� a 𝑀𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ na sebe kolmé, tj. platí
�⃗⃗� ∙ 𝑀𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 0.
Tato rovnice se nazývá normálový tvar rovnice roviny .
M X
u
v
n
Normálový tvar rovnice roviny
2. Obecná rovnice roviny
Dosadíme-li do normálového tvaru rovnice roviny souřadnice bodů M[xM, yM, zM], X [x, y, z] a souřadnice nenulového normálového vektoru �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐), pak dostáváme
�⃗⃗� ∙ 𝑀𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 0,
(𝑋 − 𝑀)�⃗⃗� = 0,
(𝑥 − 𝑥𝑀 , 𝑦 − 𝑦𝑀 , 𝑧 − 𝑧𝑀) ∙ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0,
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − (𝑎𝑥𝑀 + 𝑏𝑦𝑀 + 𝑐𝑧𝑀) = 0.
Označíme-li 𝑑 = −(𝑎𝑥𝑀 + 𝑏𝑦𝑀 + 𝑐𝑧𝑀), pak získáme tvar obecné rovnice roviny, tj.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.
10
3. Úsekový tvar rovnice roviny
Neprochází-li rovina počátkem soustavy souřadnic, pak ji lze určit pomocí úseků, které vytíná na souřadnicových osách.
Úsekový tvar rovnice roviny odvodíme z obecného tvaru rovnice roviny. Je-li 𝑑 ≠ 0, pak jím můžeme obecnou rovnici roviny vydělit.
𝑎
𝑑𝑥 +
𝑏
𝑑𝑦 +
𝑐
𝑑𝑧 + 1 = 0
Dosazením 𝐴 = −𝑑
𝑎, 𝐵 = −
𝑑
𝑏, 𝐶 = −
𝑑
𝑐 dostaneme úsekový tvar rovnice roviny
𝑥
𝐴+
𝑦
𝐵+
𝑧
𝐶= 1,
kde čísla A, B, C určují úseky, v nichž rovina protíná souřadnicové osy.
Trojice čísel A, B, C by neměla být nulová, pokud by bylo některé číslo rovno nule, pak je ro-vina rovnoběžná s příslušnou souřadnicovou osou.
4. Vektorová rovnice roviny
Je-li dána rovina α bodem M[xM, yM, zM] a dvěma směrovými vektory �⃗⃗�, �⃗�, pak bod roviny
X[x, y, z] vytvoří s bodem M vektor 𝑀𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗, který je lineární kombinací vektorů �⃗⃗�, �⃗�. Můžeme tedy psát,
𝑀𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 𝑋 − 𝑀 = 𝑘�⃗⃗� + 𝑙�⃗�,
kde 𝑘, 𝑙 jsou reálná čísla. Uvedená rovnice je vektorovou rovnicí roviny.
5. Parametrické vyjádření roviny
Vyjádříme-li z vektorové rovnice roviny bod X, pak platí, že
𝑋 = 𝑀 + 𝑘�⃗⃗� + 𝑙�⃗�.
Dosadíme-li do této rovnice souřadnice vektorů �⃗⃗� = (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧), �⃗� = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧) a souřadnice bodu
M[xM, yM, zM] dostáváme, že pro souřadnice libovolného bodu X roviny platí
𝑥 = 𝑥𝑀 + 𝑘𝑢𝑥 + 𝑙𝑣𝑥
𝑦 = 𝑦𝑀 + 𝑘𝑢𝑦 + 𝑙𝑣𝑦
𝑧 = 𝑧𝑀 + 𝑘𝑢𝑧 + 𝑙𝑣𝑧
Pokud bychom z těchto rovnic vyjádřili parametry k, l, pak získáme obecný tvar rovnice rovi-ny.
POLOHOVÉ ÚLOHY
1. Vzájemná poloha dvou přímek
V prostoru máme dány dvě přímky bodem a směrovým vektorem:
𝑝: 𝑋 = 𝑃 + 𝑡�⃗⃗�, 𝑡 ∈ ℝ
𝑞: 𝑋 = 𝑄 + 𝑟�⃗�, 𝑟 ∈ ℝ
11
Vzájemnou polohu těchto přímek určíme podle vektorů �⃗⃗�, �⃗�, 𝑃𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ :
Vzájemná poloha dvou přímek
�⃗⃗�, �⃗� kolineární vektory �⃗⃗�, �⃗� nekolineární vektory
�⃗⃗�, 𝑃𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ kolineární vektory
�⃗⃗�, 𝑃𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ nekolineární vektory
�⃗⃗�, �⃗�, 𝑃𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ lineárně závislé �⃗⃗�, �⃗�, 𝑃𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ lineárně nezá-
vislé
totožné přímky různé rovnoběžky různoběžky mimoběžky
P
Q
u
v
p=q
vu
P
Q
p
q
pq
P Q
u
v
P
Q
p
q
u
v
2. Vzájemná poloha dvou rovin
Zadáme-li v prostoru dvě roviny v normálovém tvaru, pak jejich vzájemnou polohu můžeme
určit pomocí normálových vektorů 𝑛𝛼,⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ rovin a vektoru 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , přičemž bod A leží v rovině a bod B
leží v rovině .
𝛼: 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0
𝛽: 𝐵𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0.
Vzájemná poloha dvou rovin
𝑛𝛼,⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ kolineární vektory 𝑛𝛼 ,⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
nekolineární vektory 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ≠ 0
totožné roviny různé rovnoběžné roviny různoběžné roviny
n n
AB
n
nA
B
nn
12
3. Vzájemná poloha přímky a roviny
Nechť je v prostoru dána přímka 𝑝: 𝑋 = 𝐴 + 𝑡�⃗⃗�, 𝑡 ∈ ℝ, a rovina 𝛼: 𝐵𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0.
Vzájemnou polohu přímky a roviny budeme posuzovat podle skalárního součinu �⃗⃗� ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ a ska-
lárního součinu 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
Vzájemná poloha přímky a roviny
�⃗⃗� ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0
�⃗⃗� ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ≠ 0 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ≠ 0
přímka je rovnoběžná s rovinou a leží v ní
přímka je rovnoběžná s rovinou a neleží v ní
přímka a rovina jsou různoběžné
nn
p
AB
u
A
B
u
n
n
p
n
n
u
p
A
B
METRICKÉ ÚLOHY
Vzdálenost
1. Vzdálenost dvou bodů A, B
Vzdálenost dvou bodů 𝐴[𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴], 𝐵[𝑥𝐵, 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵] v prostoru je určena velikostí vektoru 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ :
𝑑 = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)2.
2. Vzdálenost bodu A od přímky q
Vzdálenost bodu od přímky je možné vypočítat dvěma různými způsoby:
a. Bodem A proložíme rovinu kolmou na přímku q a určíme průsečík M přímky q s rovinou ρ. Pak vzdálenost bodu A od přímky q je stejná jako vzdálenost bodu A od průsečíku M:
𝑑(𝐴, 𝑞) = |𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗|.
13
A
M
q
Vzdálenost bodu od přímky – rovina kolmá
b. Pomocí vlastností vektorového součinu:
Přímka q je určena bodem B a směrovým vektorem �⃗⃗�. Vektory 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ a �⃗⃗� jsou nekolineární a tedy určují rovnoběžník ABCD. Plocha rovnoběžníku ABCD o stranách AB a u je:
𝑃 = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ × �⃗⃗�| (z vlastností vektorového součinu).
Z geometrických vlastností rovnoběžníka zase získáme 𝑃 = |�⃗⃗�| ∙ 𝑑. Tedy vzdálenost d bodu od přímky vypočítáme:
𝑑 =|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ × �⃗⃗�|
|�⃗⃗�|
A
B
C
D
u
d q
Vzdálenost bodu od přímky – vektorový součin
3. Vzdálenost bodu A od roviny
Konstruktivní postup řešení úlohy vede k určení paty Q kolmice k vedené z bodu A k rovině
. Analogickým způsobem budeme postupovat i při výpočtu vzdálenosti bodu A od roviny .
Stejně jako v konstruktivním postupu vedeme bodem 𝐴[𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴] kolmici k k rovině . Smě-
rový vektor �⃗⃗� kolmice k je stejný jako normálový vektor 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) roviny . Pak parametrické rovnice kolmice k jsou tvaru:
𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑡𝑎,
𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑡𝑏,
𝑧 = 𝑧𝐴 + 𝑡𝑐, 𝑡 ∈ ℝ.
14
A
Q
n
k
n
Kolmice k rovině daným bodem
Dosazením parametrických rovnic kolmice do obecné rovnice roviny určíme průsečík
𝑄[𝑥𝑄, 𝑦𝑄 , 𝑧𝑄] roviny s kolmicí:
𝑎(𝑥𝐴 + 𝑡𝑎) + 𝑏(𝑦𝐴 + 𝑡𝑏) + 𝑐(𝑧𝐴 + 𝑡𝑐) + 𝑑 = 0.
Vyjádříme parametr t průsečíku Q z této rovnice:
𝑡 = −𝑎𝑥𝐴+𝑏𝑦𝐴+𝑐𝑧𝐴+𝑑
𝑎2+𝑏2+𝑐2 .
Dosazením souřadnic bodů A a Q do vztahu pro velikost vektoru 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , získáme vzdálenost bodu od roviny:
|𝐴𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √(𝑥𝑄 − 𝑥𝐴)2
+ (𝑦𝑄 − 𝑦𝐴)2
+ (𝑧𝑄 − 𝑧𝐴)2
,
|𝐴𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √(𝑥𝐴 + 𝑡𝑎 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐴 + 𝑡𝑏 − 𝑦𝐴)2 + (𝑧𝐴 + 𝑡𝑐 − 𝑧𝐴)2,
|𝐴𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = |𝑡|√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2,
|𝐴𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | =|𝑎𝑥𝐴+𝑏𝑦𝐴+𝑐𝑧𝐴+𝑑|
𝑎2+𝑏2+𝑐2 √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2,
|𝐴𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | =|𝑎𝑥𝐴+𝑏𝑦𝐴+𝑐𝑧𝐴+𝑑|
√𝑎2+𝑏2+𝑐2.
4. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek p a q
Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek p a q určujeme jako vzdálenost zvoleného bodu na jedné z daných přímek od druhé přímky.
5. Vzdálenost přímky p od rovnoběžné roviny
Vzdálenost přímky p od rovnoběžné roviny je stejná jako vzdálenosti zvoleného bodu
přímky p od dané roviny .
6. Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin ,
Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin , se rovná vzdálenosti zvoleného bodu v jedné ro-vině od druhé roviny.
15
Odchylka
1. Odchylka dvou přímek
Velikost odchylky úhlu dvou přímek p, q, je stejná jako velikost odchylky směrových vekto-rů �⃗⃗�, �⃗� těchto přímek. Tuto odchylku zjistíme z definice skalárního součinu. Odchylku dvou přímek vždy volíme od 0° do 90°, proto musí být hodnota skalárního součinu vždy kladná a tedy skalární součin musí být v absolutní hodnotě.
𝜑 = arccos|�⃗⃗⃗�∙�⃗⃗�|
|�⃗⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|.
2. Odchylka dvou rovin
Odchylka φ dvou rovin , je určena odchylkou jejich normálových vektorů 𝑛𝛼 ,⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. Platí tedy
𝜑 = arccos|𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
|𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |∙|𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |.
3. Odchylka přímky a roviny
Odchylka φ přímky p od roviny je úhel, který svírá přímka p a její pravoúhlý průmět p0 do
roviny . Odchylka přímky od roviny je dána vzorcem
sin 𝜑 = cos 𝜔 =|𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙�⃗⃗⃗�|
|𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |∙|�⃗⃗⃗�|,
kde 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ je normálový vektor roviny , �⃗⃗� je směrový vektor přímky p a je úhel, který svírá normálo-
vý vektor 𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ roviny a směrový vektor �⃗⃗� přímky p. Přitom platí, že 𝜑 =𝜋
2− 𝜔.
