Středoškolská odborná činnost

Obor SOČ: 1. Matematika a statistika

Aplikace pro vykreslování

grafů elementárních funkcí

Autor: Jan Procházka

Škola: Střední škola spojů a informatiky Tábor

Bydlinského 2474

390 11 Tábor

Kraj: Jihočeský kraj

Konzultant: Mgr. Jiřina Bartoňová

Tábor 2016

Prohlášení:

Prohlašuji, že jsem mojí práci SOČ vypracoval samostatně a použil jsem

pouze podklady uvedené v seznamu vloženém v práci SOČ.

Prohlašuji, že tištěná verze a elektronická verze soutěžní práce SOČ jsou

shodné.

Nemám závažný důvod proti zpřístupňování této práce v souladu se

zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem

autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění.

V Táboře dne Podpis:

Poděkování:

Děkuji Mgr. Jiřině Bartoňové za obětavou pomoc a podnětné připomínky, které

mi během práce poskytovala.

ANOTACE

Cílem práce bylo vytvořit v jazyce C aplikaci, která vykresluje grafy

elementárních funkcí, jak v základním tvaru, tak i s posunem ve směru os x a y.

Klíčová slova:

SOČ, matematika, grafy funkcí, elementární funkce, soustava souřadná,

jednotka, C#, objektově orientované programování, Microsoft Visual Studio 2008

5

Obsah:

strana

Úvod 6

1. Seznámení s programovacím jazykem a vývojovým prostředím 7

2. Úvodní formulář aplikace 8

3. Princip vykreslování grafu 9

3.1 Soustava souřadná a nastavení jednotky 9

3.2 Graf funkce 11

4. Okna jednotlivých funkcí 13

4.1 Lineární funkce 13

4.2 Kvadratická funkce 14

4.3 Nepřímá úměrnost 15

4.4 Funkce lineární lomená 16

4.5 Mocninná funkce 17

4.6 Exponenciální funkce 19

4.7 Logaritmická funkce 20

4.8 Sinus 21

4.9 Kosinus 22

4.10 Tangens 23

4.11 Kotangens 24

Závěr 25

Přílohy 26

Zdroje 28

6

Úvod

Cílem práce bylo vytvořit aplikaci, která po zadání vstupních parametrů

vykresluje grafy funkcí, jak v základním tvaru, tak i s posunem ve směru os x a y.

Při volbě tématu pro tuto práci jsem se inspiroval při hodinách matematiky ve

druhém ročníku. Probírali jsme postupně různé funkce. U každé jsme sestrojovali její

graf. Z grafu funkce v základním tvaru jsme pak odvozovali grafy funkcí, které vznikly

přičtením konstanty k argumentu nebo hodnotě základní funkce. U některých funkcí

jsme řešili i to, jak se změní graf funkce po vynásobení argumentu nebo hodnoty

funkce.

Pro vytvoření aplikace, která by se dala využít při výuce matematiky, jsem se

rozhodl poté, co jsem se v hodinách programování seznámil s programovacím jazykem

C#, hlavně s tvorbou grafiky v tomto jazyce.

7

1. Seznámení s programovacím jazykem a vývojovým

prostředím

Microsoft Visual Studio je bohaté integrované vývojářské prostředí od společnosti

Microsoft, ve kterém je možné vytvořit úžasné programy či aplikace a to například

jazycích C#, C++, Basic, F#, Java, PHP a mnoho dalších.

www.visualstudio.com

Aplikace je vytvořena v programovacím jazyce C#. Tento jazyk je určen pro tvorbu

různých aplikací běžící v rozhraní NET Framework. Tento jazyk je jednoduchý,

výkonný, přehledný a objektově orientovaný. Řada inovací v jazyce C# umožňuje

rychlý vývoj aplikací a zároveň expresivity a elegance jazyků C.

Obr. 1 – vývojové prostředí

8

2. Úvodní formulář aplikace

Obr. 2 – úvodní formulář

9

3. Princip vykreslování grafu

3.1 Soustava souřadná a nastavení jednotky

Obr.3 –soustava souřadná v okně pro kvadratickou funkci

Pro vykreslení grafu funkce je použit ovládací prvek Panel. Velikost panelu je

600px na šířku i na výšku. K překreslení panelu dojde vždy, když nastane událost

Paint. V obslužné metodě této události je vytvořena kreslící plocha s názvem kp.

Graphics kp=e.Graphics;

Tato plocha je totožná s celou plochou panelu. Při kreslení se používají

souřadnice v pixelech. Levý horní roh má souřadnice [0;0]. Souřadnice ve vodorovném

směru roste směrem doprava. Souřadnice ve svislém směru roste směrem dolů, tedy

obráceně než v soustavě souřadné pro vykreslení grafu.

Do panelu se vykresluje soustava souřadná se všemi čtyřmi kvadranty. Středem

této soustavy je přibližně střed panelu, tedy bod [300,300]. Jednotka je nastavena

v celočíselné proměnné jednotka. Ve výchozím nastavení je hodnota této proměnné

20px. Pokud uživatel usoudí, že jednotku by bylo vhodné změnit, má možnost pomocí

10

přepínače v pravé části okna zvolit jednotku 10px nebo 30px a stiskem tlačítka „Graf

funkce“ znovu vykreslit graf do nové soustavy souřadné. Nastavení jednotky je pomocí

neúplných podmínek, ve kterých se testuje „zaškrtnutí“ jednotlivých přepínačů.

if (jednotkaDeset.Checked) jednotka = 10;

if (jednotkaDvacet.Checked) jednotka = 20;

if (jednotkaTřicet.Checked) jednotka = 30;

Soustava souřadná a následně i graf funkce se kreslí pomocí nástroje nazvaného

tužka. Tato „tužka“ kreslí plnou čáru tloušťky 1px. V průběhu kreslení se mění pouze

její barva.

Pen tužka = new Pen(Color.LightGray);

Nejprve se vykreslují světle šedé vodící čáry, poté černé souřadnicové osy,

popisky na osách a čárky označující jednotky na jednotlivých osách. Vodící čáry

a čárky na osách se vykreslují po čtyřech najednou, vždy v každém kvadrantu jedna.

Počet vodících čar samozřejmě závisí na zvolené jednotce a prostoru, který máme pro

každý kvadrant k dispozici.

int početČárek = 290 / jednotka;

Po vykreslení soustavy souřadné se testuje, zda byly zadány parametry pro

funkci. Pokud ano, tak se tužkou červené barvy vykreslí křivka tvořená body zadanými

v poli body[].

if (zadáno)

{

tužka.Color = Color.Red;

kp.DrawCurve(tužka, body);

}

Pro „vyhlazení“ křivky je v úvodu metody příkaz:

kp.SmoothingMode = System.Drawing.Drawing2D.SmoothingMode.AntiAlias;

Celý zdrojový kód metody panelGraf_Paint je součástí přílohy 1.

11

3.2 Graf funkce

Postup při vykreslování grafu budu vysvětlovat na příkladu okna pro

kvadratickou funkci.

Graf funkce se vykreslí po zadání vstupních parametrů a stisknutí tlačítka „Graf

funkce“. Pro toto tlačítko tímto nastane událost Click. V obslužné metodě pro tuto

událost je nejprve nastavení jednotky, které jsem popsal v předchozí kapitole. Poté se

z textových polí v pravé části okna načtou vstupní parametry. Zadané hodnoty jsou typu

string (textový řetězec), ale pro výpočty je potřeba provést typovou konverzi na typ

double (desetinné číslo). Konverze probíhají pomocí konstrukce try – catch. Ve

větvi try se provede pokus o konverze a ve větvi catch se zachytí případná chyba

a provádění metody se zastaví. K chybě dojde, pokud je v poli hodnota, kterou nelze

převést na desetinné číslo, např. text nebo je textové pole prázdné.

try

{

a = Convert.ToDouble(PoleA.Text);

b = Convert.ToDouble(PoleB.Text);

c = Convert.ToDouble(PoleC.Text);

}

catch

{

MessageBox.Show("Chybně zadaná vstupní data", "CHYBA!");

return;

}

Dále se, pokud je to potřeba, testují vstupní parametry. U kvadratické funkce

musí být 0a . Při správně zadaných vstupních parametrech se naplní pole body[].

Poté se logická proměnná zadáno nastaví na true a voláním metody

panelGraf.Refresh() se vyvolá překreslení panelu s grafem funkce.

Pro vykreslování křivky grafu funkce metodou DrawCurve()je potřeba

vytvořit pole bodů. Pokud je graf tvořen více křivkami (např. dvě větve hyperboly

u nepřímé úměrnosti nebo jednotlivé křivky u tangens a kotangens), pak musíme

vytvořit pole pro každou křivku. Pole je datová struktura s daným počtem složek

stejného typu, které se vzájemně rozlišují indexem. V jazyce C# se indexuje celými

čísly od 0.

Souřadnice bodů v poli jsou v pixelech vzhledem k souřadnicím panelu. Při

výpočtu souřadnic nejprve musíme vypočítat bod v souřadnicích x, y vzhledem

12

k soustavě souřadné pro vykreslení grafu. K tomu slouží reálné proměnné x a y. Z nich

poté vytvoříme hodnoty proměnných xpx a ypx.

xpx = (int) (x * jednotka + 300);

ypx = (int) (-y * jednotka + 300);

Dále vytvoříme bod, který zapíšeme do pole body[] na pozici danou

proměnnou index.

Point bod = new Point(xpx,ypx);

body[index]=bod;

Hodnotu proměnné x nastavíme na začátek intervalu, ve kterém vykreslujeme

graf. Konkrétně u kvadratické funkce je to -4 jednotky od vrcholu paraboly. Po

dopočítání y podle předpisu funkce a vytvoření bodu v pixelech se x zvětší o 0,5

jednotky. Cyklus pro výpočet x končí +4 jednotky od vrcholu. Vytvoříme tak pole o

celkem 17 bodech (8 doleva od vrcholu, vrchol a 8 doprava). Pro každou funkci je

vytvořeno pole o jiném počtu bodů, protože se liší intervaly, ve kterých se funkce kreslí

a také velikost posunu x.

Celý zdrojový kód metody tlačítkoKresliGraf_Click je součástí přílohy.

13

4. Okna jednotlivých funkcí

4.1 Lineární funkce

Předpis lineární funkce je 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Grafem lineární funkce je přímka. Graf

se vykresluje jako úsečka s body pro 101 a

bx a 2012 xx . Tedy - 10 jednotek

od průsečíku s osu x.

Obr.4 –graf lineární funkce

14

4.2 Kvadratická funkce

Předpis kvadratické funkce je 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, kde 0a . Tuto skutečnost

jsem zohlednil v testování podmínky pro zadané a

Grafem kvadratické funkce je parabola. Pole pro vykreslení křivky má 17 bodů.

Počáteční x je nastaveno na -4 jednotky od vrcholu paraboly a

b

2 . Posun je o 0,5

jednotky.

Obr. č. 5-graf kvadratické funkce

15

4.3 Nepřímá úměrnost

Předpis nepřímé úměrnosti je 𝑦 = 𝑘

𝑥+𝑚+ 𝑛 Grafem nepřímé úměrnosti je

rovnoosá hyperbola. Nepřímá úměrnost je na rozdíl od předchozích funkcí vykreslována

ne jednou, ale dvěma křivkami. Počítání pro x je nastaveno -4 jednotky od vrcholu

hyperboly. Posun je 0,2 jednotky.

Obr. č. 6 - graf nepřímé úměrnosti

16

4.4 Funkce lineární lomená

Předpis funkce je 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏

cx+d, kde 𝑐 ≠ 0. Tuto skutečnost jsem zohlednil

v testování podmínky pro zadané c.

Grafem funkce je hyperbola. Funkce lineárně lomená se stejně jako nepřímá

úměrnost vykresluje dvěma křivkami. Pole pro vykreslení křivky mají 20 bodů. Pro

levou křivku je x nastaveno 𝑥 =−𝑑

𝑐− 4. Posun je o 0,2 jednotky. Pravá křivka začíná

0,2 jednotky od nulového bodu, tedy 𝑥 =−𝑑

𝑐+ 0,2

Obr. č. 7 - graf lineárně lomené funkce

17

4.5 Mocninná funkce

Předpis mocninné funkce je 𝑦 = (𝑥 + 𝑚)𝑘 + 𝑛, kde 𝑘𝜖𝑍, 𝑘 ≠ 0. Tuto skutečnost

jsem zohlednil v testování podmínky pro zadané k a datovým typem proměnné k. Pro

k>0 je grafem funkce jedna křivka, při jejím vykreslení postupujeme stejně jako u

kvadratické funkce. Pro k<0 tvoří graf funkce dvě křivky, při jejich vykreslení

postupujeme stejně jako u nepřímé úměrnosti.

Při testování mocninné funkce se vyskytl problém. Pro k>3 měla křivka

nesprávný tvar. Chyba byla způsobena velmi vysokými nebo velmi malými funkčními

hodnotami, které způsobily „přetečení“ proměnné a k tím chybnému výpočtu

souřadnice bodu křivky. Pro vyřešení tohoto problému jsem pro tuto funkci musel zvolit

jinou datovou strukturu pro zadání bodů. Statickou datovou strukturu pole body [] jsem

nahradil dynamickou datovou strukturou seznamBodů.

List<Point> seznamBodů=new List<Point>();

Pole bylo nevyhovující, protože má pevnou délku, kterou je nutné zadat již při

deklaraci. Datová struktura seznam je dynamická, to znamená, že nemusíme předem

vědět, kolik bodů bude obsahovat. Můžeme do něj body vkládat, až po otestování, zda

se nám vejdou do vykreslované části grafu. Metoda pro vykreslení křivky bohužel umí

pracovat pouze s polem. Je proto nutné před vykreslením zjistit délku seznamu,

deklarovat stejně velké pole a seznam převést na pole.

int početBodů=seznamBodů.Count();

Point[] body = new Point[početBodů];

for (int index = 0; index < početBodů; index++)

body[index] = seznamBodů[index];

kp.DrawCurve(tužka, body);

seznamBodů=new List<Point>();

18

Obr. č. 8 - graf mocninné funkce pro k>0

Obr. č.9 - graf mocninné funkce pro k<0

19

4.6 Exponenciální funkce

Předpis exponenciální funkce je 𝑦 = 𝑎𝑥+𝑚 + 𝑛, kde 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1. Tuto

skutečnost jsem zohlednil v testování podmínky pro zadané a.

Grafem exponenciální funkce je exponenciální křivka. Pole pro vykreslení

křivky má 41 bodů. Počítání pro x je nastaveno na -4 od jednotky od bodu –m

exponenciální křivky. Posun je o 0,2 jednotky.

Obr. č. 10 - graf exponenciální funkce

20

4.7 Logaritmická funkce

Předpis logaritmické funkce je 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥 + 𝑚) + 𝑛, kde 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1. Tuto

skutečnost jsem zohlednil v testování podmínky pro zadané a.

Grafem logaritmické funkce je logaritmická křivka. Pole pro vykreslení

obsahuje 40 bodů. Počáteční x je nastaveno na 0,1 jednotky od –m. Posun je o 0,2

jednotky.

Obr. č. 11 - graf logaritmické funkce

21

4.8 Sinus

Předpis funkce sinus je 𝑦 = 𝑎 ∗ sin(𝑏 ∗ 𝑥 + 𝑚) + 𝑛. Grafem funkce sinus je

sinusoida. Pole pro vykreslení křivky má 81 bodů. Počáteční x je nastaveno na -4 π od

vrcholu sinusoidy. Posun je o 0,1 π jednotky.

Obr. č. 12 - graf funkce sinus

22

4.9 Kosinus

Předpis funkce kosinus je 𝑦 = 𝑎 ∗ cos(𝑏 ∗ 𝑥 + 𝑚) + 𝑛. Grafem funkce kosinus

je kosinusoida. Pole pro vykreslení křivky má 81 bodů. Počáteční x je nastaveno na -4 π

od vrcholu sinusoidy. Posun je o 0,1 π jednotky.

Obr. č. 13 - graf funkce kosinus

23

4.10 Tangens

Předpis funkce je 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑡𝑔(𝑏 ∗ 𝑥 + 𝑚) + 𝑛. Grafem funkce je nekonečně

mnoho křivek posunutých o celočíselné násobky π. Pole pro vykreslení křivky

v intervalu (−𝜋

2− 𝑚;

𝜋

2− 𝑚) má 9 bodů. Počáteční x je nastaveno na -0,4π jednotky od

bodu –m. Posun je o 0,1 π jednotky. Celkem se vykreslují 3 křivky. Pole bodů pro

posunuté křivky se vytvářejí z pole pro původní křivku tím, že se x-ová souřadnice

všech bodů zvětší nebo zmenší o π.

Obr. č. 14 - graf funkce tangens

24

4.11 Kotangens

Předpis funkce je 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑏 ∗ 𝑥 + 𝑚) + 𝑛. Grafem funkce je nekonečně

mnoho křivek posunutých o celočíselné násobky π. Pole pro vykreslení křivky

v intervalu (−𝑚; 𝜋 − 𝑚) má 9 bodů. Počáteční x je nastaveno na +0,1π jednotky od

bodu –m. Posun je o 0,1 π jednotky. Celkem se vykreslují 3 křivky. Pole bodů pro

posunuté křivky se vytvářejí z pole pro původní křivku tím, že se x-ová souřadnice

všech bodů zvětší nebo zmenší o π. Hodnoty funkce kotangens se počítají jako

převrácená hodnota funkce tangens. Důvodem je chybějící funkce pro kotangens v třídě

matematických funkce Math() .

Obr. č. 15 - graf funkce kotangens

25

Závěr

Při tvorbě aplikace jsem si osvěžil znalosti o grafech funkcí. Zároveň jsem si

poprvé vyzkoušel vytvořit kompletní aplikaci od návrhu vzhledu a návrhu algoritmu až

po realizaci a testování funkčnosti aplikace na vzorových datech.

Do aplikace jsem zahrnul všechny funkce, o kterých jsme se učili. Zároveň jsem

chtěl zpracovat i všechny možné změny grafu funkce, tedy co se s grafem funkce děje

při přičítání a násobení argumentu nebo hodnoty funkce. Jediné co jsem v aplikaci

neřešil, je vliv absolutní hodnoty na graf funkce. K určení absolutní hodnoty slouží

funkce Math.Abs(). Její použití není problém. Nevím si ovšem rady se způsobem

zadání vstupních dat, konkrétně s rozsahem platnosti absolutní hodnoty.

Aplikaci jsem předvedl vyučujícím matematiky na naší škole. Hodnotili ji jako

zajímavou a chtějí tuto aplikaci využívat při výuce.

26

Přílohy

Příloha 1

Zdrojový kód pro okno „Kvadratická funkce“

public partial class kvadratickáFunkce : Form

{

double a = 0;

double b = 0;

double c = 0;

bool zadáno = false;

Point [] body = new Point [17];

int jednotka = 20;

public kvadratickáFunkce()

{

InitializeComponent();

}

private void tlačítkoKresliGraf_Click(object sender, EventArgs e)

{

if (jednotkaDeset.Checked) jednotka = 10;

if (jednotkaDvacet.Checked) jednotka = 20;

if (jednotkaTřicet.Checked) jednotka = 30;

try

{

a = Convert.ToDouble(PoleA.Text);

b = Convert.ToDouble(PoleB.Text);

c = Convert.ToDouble(PoleC.Text);

}

catch

{

MessageBox.Show("Chybně zadaná vstupní data", "CHYBA!");

return;

}

if (a == 0)

MessageBox.Show("Chybně zadaná vstupní data", "CHYBA!");

else

{

double vrcholX = -b / (2 * a);

double x = vrcholX - 4;

double y;

int xpx, ypx;

for (int index = 0; index <= 16; index++)

{

y = a * x * x + b * x + c;

xpx = (int) (x * jednotka + 300);

ypx = (int) (-y * jednotka + 300);

Point bod = new Point(xpx,ypx);

body[index]=bod;

x += 0.5;

}

zadáno = true;

panelGraf.Refresh();

}

}

27

private void panelGraf_Paint(object sender, PaintEventArgs e)

{

Graphics kp=e.Graphics;

kp.SmoothingMode = System.Drawing.Drawing2D.SmoothingMode.AntiAlias;

Pen tužka = new Pen(Color.LightGray);

int početČárek = 290 / jednotka;

for (int index = 1; index < početČárek; index++)

{

kp.DrawLine(tužka,300+index*jednotka,10,300+index*jednotka,589);

kp.DrawLine(tužka,300-index*jednotka,10,300-index*jednotka,589);

kp.DrawLine(tužka,10,300+index*jednotka,589,300+index*jednotka);

kp.DrawLine(tužka,10,300-index*jednotka,589,300-index*jednotka);

}

tužka.Color = Color.Black;

kp.DrawLine(tužka, 10, 300, 589, 300);

kp.DrawLine(tužka, 300, 10, 300, 589);

kp.DrawString("0", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 290, 301);

kp.DrawString("-10", new Font("Arial", 8), Brushes.Black,

69 + jednotka, 302); //číslo -10 na X

kp.DrawString("-5", new Font("Arial", 8), Brushes.Black,

172 + jednotka, 302); //číslo -5 na X

kp.DrawString("5", new Font("Arial", 8), Brushes.Black,

375 + jednotka, 302); //číslo 5 na X

kp.DrawString("10", new Font("Arial", 8), Brushes.Black,

473 + jednotka, 302); //číslo 10 na X

kp.DrawString("-10", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 278,

513 - jednotka); //číslo -10 na Y

kp.DrawString("-5", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 285,

414 - jednotka); //číslo -5 na Y

kp.DrawString("5", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 289,

214 - jednotka); //číslo 5 na Y

kp.DrawString("10", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 283,

113 - jednotka); //číslo 10 na Y

kp.DrawString("x", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 585, 301);

kp.DrawString("y", new Font("Arial", 8), Brushes.Black, 289, 5);

for (int index = 1; index < početČárek; index++)

{

kp.DrawLine(tužka, 300 + index * jednotka, 297,

300 + index * jednotka, 303);

kp.DrawLine(tužka, 300 - index * jednotka, 297,

300 - index * jednotka, 303);

kp.DrawLine(tužka, 297,300 + index * jednotka, 303,

300 + index * jednotka);

kp.DrawLine(tužka, 297, 300 - index * jednotka, 303,

300 - index * jednotka);

}

if (zadáno)

{

tužka.Color = Color.Red;

kp.DrawCurve(tužka, body);

}

}

}

28

Příloha 2

Obsah vloženého CD

Text práce ve formátu PDF.

Složka s kompletním zdrojovým kódem aplikace.

Samostatně spustitelná aplikace

Zdroje

www.matematika.cz

www.visualstudio.com

www.msdn.microsoft.com

ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia, Funkce. Prometheus,2007.

ISBN 978-80-7196-164-2

ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia, Goniometrie. Prometheus, 1994.

ISBN 80-85-849-57-7