Základy mechaniky, 3. přednáška
Obsah přednášky :
těžiště čar, ploch a těles,
Pappus - Guldinovy věty
Doba studia :
asi 1,5 hodiny
Cíl přednášky :
Seznámit studenty se způsobem určování polohy těžiště,se způsobem výpočtu povrchu a objemu rotačně symetrických těles.
Těžiště.
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště je velmi důležitý bod tělesa, se kterým se budeme v mechanice často setkávat.Než se seznámíme se způsobem jeho určení, je třeba jej definovat.
Těžiště je působiště výslednice tíhových sil.
Představme si, že těleso je složeno z několika menších těles (v některých případechdokonce z nekonečně mnoha nekonečně malých těles).Na každé dílčí těleso působí dílčí tíhová síla. Jejich součet pak dává tíhu celého tělesa.Ta však, jako výslednice silové soustavy, má i své působiště; a to je právě těžiště.Je zřejmé, že pro stanovení těžiště využijeme poznatky, se kterými jsme se seznámiliv kapitole o určování výslednice silové soustavy s různými působišti.
Někdy se pojem „těžiště“ vysvětluje jako „bod, v němž je soustředěna hmota tělesa“.Tato formulace je nepřesná a nemá charakter definice.Je rovněž nesprávná, protože hmota tělesa není koncentrovaná v jednom bodě,naopak je rovnoměrně rozložena v objemu tělesa.Jako výraz elementárního porozumění pojmu „těžiště“ je však vcelku přijatelná.
V následujícím textu budeme určovat polohu těžiště tří různých typů objektů :- těleso (trojrozměrné),- plocha (dvojrozměrná - plech, vystřižený do určitého tvaru),- čára (jednorozměrná - tvarovaný drát).
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Postup si vysvětlíme na těžišti plochy, protože pro tento typ objektu je výklad nejnázornější.
T
x
y
xT1xT2
xT3
xTC
a1 a2 a3
b1
b2
b3
VGr
1Gr
2Gr
3Gr
Představme si plošný útvar, složený ze tříobdélníků. Jde o reálné těleso s určitou hmotností, např. výstřižek z plechu. Tíha každého ze tří obdélníků (úměrná jejich ploše) působí v těžišti obdélníku (v průsečíku úhlopříček). Tyto tíhové síly tvoří silovou soustavu, jež má svou výslednici. Vzhledem k tomu, že síly jsou navzájem rovnoběžné, je jejich výslednice dána prostým součtem dílčích tíhových sil. Působiště výslednice pak je těžištěm tělesa (plochy). Umístíme-li plochu do souřadného systému, doplníme o rozměry a vyjádříme dílčí tíhové síly a jejich součet -výslednici, můžeme polohu těžiště vyjádřit z momentové podmínky rovnováhy.
gStgStgStGgmgmgmG
GGGGGGGG
333222111V
321V
321V
321V
⋅⋅⋅ρ+⋅⋅⋅ρ+⋅⋅⋅ρ=⋅+⋅+⋅=
++=++=rrrr
Zde ρ1, ρ2 a ρ3 jsou hustoty materiálů jednotlivých obdélníků, t1, t2 a t3 jsou jejich tloušťky,a1, a2, ... b3 jsou rozměry obdélníků a S1=a1·b1, S2=a2·b2 a S3=a3·b3 jsou plochy obdélníků.Konečně g je gravitační zrychlení.
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Postup si vysvětlíme na těžišti plochy, protože pro tento typ objektu je výklad nejnázornější.
T
x
y
xT1xT2
xT3
xTC
a1 a2 a3
b1
b2
b3
VGr
1Gr
2Gr
3Gr
Jsou-li dále xT1=a1/2, xT2=a1+a2/2 a xT3=a1+a2+a3/2 souřadnice těžišť jednotlivých obdélníků a xTC je souřadnice těžiště celkovéplochy, lze vyjádřit rovnost momentu výslednice k počátku souřadného systému a součtu momentů dílčích tíhových sil.
3T32T21T1TCV xGxGxGxG ⋅+⋅+⋅=⋅
a odtud konečně určitsouřadnici těžiště celkové plochy :
V
3T32T21T1TC G
xGxGxGx
⋅+⋅+⋅=
333222111
3T3332T2221T111TC StStSt
xStxStxStx
⋅⋅ρ+⋅⋅ρ+⋅⋅ρ⋅⋅⋅ρ+⋅⋅⋅ρ+⋅⋅⋅ρ
=Jsou-li všechny tři obdélníkyze stejného materiálu a je-li tedyρ1=ρ2=ρ3=ρ, lze hustotu v čitatelia jmenovateli vykrátit. Souřadnice těžiště pak je :
332211
3T332T221T11TC StStSt
xStxStxStx
⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=
Mají-li všechny obdélníky stejnou tloušťkut1=t2=t3=t, lze rovněž tuto tloušťku vykrátita souřadnice těžiště pak je dána výrazem :
321
3T32T21T1TC SSS
xSxSxSx
++⋅+⋅+⋅
=
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Postup si vysvětlíme na těžišti plochy, protože pro tento typ objektu je výklad nejnázornější.
T
x
y
xT1xT2
xT3
xTC
a1 a2 a3
b1
b2
b3
VGr
1Gr
2Gr
3Gr
T
Těžiště tělesa je jednoznačný bod, jehož poloha je s tělesem pevně spojena.Poloha těžiště v tělese se nezmění, jakkoliv změníme polohu tělesa.Otočíme-li například těleso o 90º, poloha těžiště se nezmění.Vyšetříme-li opět souřadnici těžiště, nebude to jižsouřadnice v původním směru, ale ve směru kolmém.
Abychom to provedli, nenínutné kreslit nový obrázek,stačí když pomyslně otočíme o 90º směr působení tíhových sil.
T
x
y
yT1 yT2 yT3 yTC
b1
b2
b32G
r3G
r
1Gr
VGr
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Postup si vysvětlíme na těžišti plochy, protože pro tento typ objektu je výklad nejnázornější.
T
x
y
yT1 yT2 yT3 yTC
b1
b2
b32G
r3G
r
1Gr
VGr
Souřadnice těžišť jednotlivých obdélníků jsouyT1=b2-b1/2, yT2=b2/2 a yT3=b3/2,rovnice vyjadřující rovnost momentu výslednicea součtu momentů dílčích tíhových sil má tvar :
3T32T21T1TCV yGyGyGyG ⋅+⋅+⋅=⋅
a odtud výraz pro souřadnici těžiště :
V
3T32T21T1TC G
yGyGyGy
⋅+⋅+⋅=
333222111
3T3332T2221T111TC StStSt
yStyStySty
⋅⋅ρ+⋅⋅ρ+⋅⋅ρ⋅⋅⋅ρ+⋅⋅⋅ρ+⋅⋅⋅ρ
=
resp. při stejném materiálu obdélníků(hustota se vykrátí) : 332211
3T332T221T11TC StStSt
yStyStySty
⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=
resp. při shodné tloušťce obdélníků(tloušťka se vykrátí) : 321
3T32T21T1TC SSS
ySySySy
++⋅+⋅+⋅
=
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Postup si vysvětlíme na těžišti plochy, protože pro tento typ objektu je výklad nejnázornější.
B
H
φd
a
yk
xk
Stejně postupujeme, když je třeba „odečíst“ plochu.Uvedeme číselný příklad.Těleso má tvar pravoúhlého lichoběžníka o celkových rozměrechB=4,5 cm a H=5 cm. Délka kratší strany lichoběžníka je a=3 cm.V ploše je kruhový otvor o průměru d=2 cm, poloha středu kruhuvůči levému dolnímu okraji je dána souřadnicemi xk=1,75 cma yk=3 cm. Celé těleso je ze stejného materiálu, o stejné tloušťce.Výsledná plocha je dána součtem ploch obdélníka (S1)a trojúhelníka (S2),od nichž odečítámeplochu kruhu (S3).
aHS1 ⋅= cHS 21
2 ⋅⋅= 241
3 dS ⋅π⋅=
kde c = B-a = 4,5-3 = 1,5 cm
B
H
φd
a c=B-a
yTC
yk
xTC
xk
Celková plocha je :321C SSSS −+=
Souřadnice těžiště celkové plochy jsou dány vztahy :
321
3T32T21T1TC SSS
xSxSxSx
−+⋅−⋅+⋅
=
321
3T32T21T1TC SSS
ySySySy−+
⋅−⋅+⋅=
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Postup si vysvětlíme na těžišti plochy, protože pro tento typ objektu je výklad nejnázornější.
B
H
φd
a
yk
xk
B
H
φd
a c=B-a
yTC
yk
xTC
xk
i Si xTi yTi Si·xTi Si·yTi
[cm2] [cm] [cm] [cm2·cm] [cm2·cm]
obdélník 1 15,00 a/2=1,5 H/2=2,5 → 22,5 37,5
trojúhelník 2 3,75 a+c/3=3,5 H/3=1,67 → 13,125 6,25
kruh 3 -3,14 xk=1,75 yk=3 → -5,495 -9,42
↓ ↓ ↓
lichoběžník Σ 15,61 xTC=1,93 yTC=2,2 ← 30,13 34,33
aHS1 ⋅= cHS 21
2 ⋅⋅= 241
3 dS ⋅π⋅=
kde c = B-a = 4,5-3 = 1,5 cmCelková plocha je :
321C SSSS −+=
Souřadnice těžiště celkové plochy jsou dány vztahy :
321
3T32T21T1TC SSS
xSxSxSx
−+⋅−⋅+⋅
=
321
3T32T21T1TC SSS
ySySySy−+
⋅−⋅+⋅=
Výpočet můžeme uspořádat do přehledné tabulky :
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Na dvou příkladech jsme ukázali postup určení souřadnic těžiště tělesa,které lze považovat za dvourozměrný objekt (plochu).Zobecníme-li tento postup, dospějeme ke vztahům pro souřadnice těžiště v podobě
∑∑
⋅⋅ρ
⋅⋅⋅ρ=
iiii
iTiiii
TC St
xStx
∑∑
⋅⋅ρ
⋅⋅⋅ρ=
iiii
iTiiii
TC St
ySty
Zde :ρi hustota i-té plochy,ti tloušťka i-té plochy,Si velikost i-té plochy,xTi, yTi x-ová a y-nová souřadnice těžiště i-té plochy.Výraz ve jmenovateli je celková hmotnost tělesa. Plocha, která je ve skutečnosti prázdná,se jak v čitateli, tak ve jmenovateli dosazuje jako záporná. Pokud je celé tělesoze stejného materiálu, lze hustotu v čitateli a jmenovateli vykrátit. Vztahy pak mají tvar :
∑∑
⋅
⋅⋅=
iii
iTiii
TC St
xStx
∑∑
⋅
⋅⋅=
iii
iTiii
TC St
ySty
V tomto případě představuje výraz ve jmenovateli celkový objem tělesa. Pokud je tloušťkatělesa všude stejná, lze ji vykrátit. Dostáváme pak výrazy v nejjednodušší možné podobě.
∑∑ ⋅
=
ii
iTii
TC S
xSx
∑∑ ⋅
=
ii
iTii
TC S
ySy
Suma ve jmenovateli je přirozeně celková plocha tělesa.
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Uvedeným způsobem lze určit souřadnice těžiště plochy, již lze rozložit na několikdílčích ploch, jejichž těžiště (jeho poloha) je známo.Takovýchto ploch je poměrně málo (obdélník, trojúhelník, plný kruh, rovnoběžníka snad ještě několik dalších).V podstatě stejným způsobem, ale s použitím diferenciálního počtu, stanovíme souřadnicetěžiště plochy, kterou nelze rozložit na konečný počet „jednoduchých“ ploch.Plocha ovšem musí být matematicky definována.
x
y
x dx
dS
y
dyy=f(x)
Libovolnou plochu můžeme chápat jako složenouz nekonečně mnoha nekonečně malých obdélníčkůdS=dx·dy.Zde dx a dy jsou nekonečně malé změny souřadnicx a y - diferenciály souřadnic.Souřadnice těžiště určíme způsobem, popsaným výše.Při tom součet nekonečně mnohanekonečně malých prvků je integrál.
S
dSx
dS
dSxx S
S
ST
∫
∫
∫ ⋅=
⋅=
S
dSy
dS
dSyy S
S
ST
∫
∫
∫ ⋅=
⋅=
Konkrétní provedení se může případ od případu v detailech lišit. Ukážeme si řešení dvou úloh.
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.
x
y
h
b xT
yT
T
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅== 2
2
x bx1hfy
Těžiště pravoúhlé úseče paraboly o rozměrech b×h.V souřadném systému x-y je parabola dána rovnicí :
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=⋅−== 2
22
2x bx1hx
bhhfy
Souřadnice těžiště jsou dány dříve uvedenými vzorci.
∫
∫ ⋅=
S
ST dS
dSxx
∫
∫ ⋅=
S
ST dS
dSyy
Pro parabolu mají tvar :
∫∫∫∫
⋅
⋅⋅=
dydx
dydxxx T ∫∫
∫∫⋅
⋅⋅=
dydx
dydxyyT
Integrál ve jmenovateli přirozeně vyjadřuje plochu parabolické úseče.( )
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=⋅=⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅= ∫∫∫∫∫ ∫∫∫
b
02
2b
0
b
02
2b
0
xf0
b
0
xf
0
dxbxdxhdx
bx1hdxydxdydydxS
( )bbh3x
b1xhS 3
1
b
0
3
2b
0−⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅−⋅=
hbS 32 ⋅⋅=
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.
x
y
h
b xT
yT
T
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅== 2
2
x bx1hfy
Integrály v čitateli pak jsou statické momenty plochy.( )
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅⋅=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅=
=⋅⋅=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⋅⋅
∫∫∫
∫∫ ∫∫∫b
02
3b
0
b
02
2
b
0
xf0
b
0
xf
0
dxbxdxxhdx
bx1hx
dxyxdxdyxdydxx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅=⋅⋅∫∫ 4
b2
bhb4
x2
xhdydxx22b
02
4b
0
2
hbdydxx 241 ⋅⋅=⋅⋅∫∫
( ) ( )
∫∫∫ ∫∫∫ ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⋅⋅
b
0
2
2
2b
0
xf
0
2b
0
xf
0
dxbx1h
21dx
2ydxdyydydxy
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅+⋅−⋅=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫
b
0
5
4
b
0
3
2
b
0
2b
04
4
2
22
5x
b1
3x
b2x
2hdx
bx
bx21
2hdydxy
( ) 2154
51
322
21 hbbbbhdydxy ⋅⋅=+−⋅⋅=⋅⋅∫∫
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.
x
y
h
b xT
yT
T
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅== 2
2
x bx1hfy
Souřadnice těžiště pak tedy jsou :
∫∫∫∫
⋅
⋅⋅=
dydx
dydxxx T
∫∫∫∫
⋅
⋅⋅=
dydx
dydxyyT
bhbhb
x 83
32
241
T =⋅⋅⋅⋅
= hhbhb
y 52
32
2154
T =⋅⋅⋅⋅
=
Pokud se jedná o symetrickou parabolickou úseč,je x-ová souřadnice těžiště, s ohledem na symetrii, nulová,y-nová zůstává beze změny.
x
y
h
2b
yT
T
y=f(x)
hy0x
52
T
T
=
=
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Výpočet se může poněkud lišit, např. je-li vhodné použít jiný souřadný systém, než kartézský.Ukážeme si výpočet polohy těžiště kruhové výseče o poloměru r a vrcholovém úhlu α.
x
ρφ
dφ
α
r
dS=ρ·dφ·dρ
dρ
xT
T
V tomto případě použijeme polární souřadný systém,jehož souřadnice jsou průvodič ρ a úhel φ od řídící osy xk průvodiči.Elementární ploška dS je obdélníček o stranách dρ a ρ·dφ.Je-li řídící osa osou symetrie, leží na ní těžiště,a jediným údajem, jenž je třeba vypočíst, je vzdálenost xTtěžiště od vrcholu výseče - počátku souřadného systému.
∫
∫ ⋅=
S
ST dS
dSxx
Jmenovatel vyjadřuje plochu kruhové výseče.
( ) 221
r
0
22
2
r
0
2
2S
r2
dddddS ⋅α⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ρ⋅φ=ρ⋅ρ⋅φ=φ⋅ρ⋅ρ=
α
α−
α
α−∫∫∫∫∫
)
Poznámka : Úhel α se zde dosazuje v obloukové míře (radiány).
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Výpočet se může poněkud lišit, např. je-li vhodné použít jiný souřadný systém, než kartézský.Ukážeme si výpočet polohy těžiště kruhové výseče o poloměru r a vrcholovém úhlu α.
x
ρφ
dφ
α
r
dS=ρ·dφ·dρ
dρ
xT
T
V tomto případě použijeme polární souřadný systém,jehož souřadnice jsou průvodič ρ a úhel φ od řídící osy xk průvodiči.Elementární ploška dS je obdélníček o stranách dρ a ρ·dφ.Je-li řídící osa osou symetrie, leží na ní těžiště,a jediným údajem, jenž je třeba vypočíst, je vzdálenost xTtěžiště od vrcholu výseče - počátku souřadného systému.
∫
∫ ⋅=
S
ST dS
dSxx
Čitatel vyjadřuje statický moment plochy k počátku souřadného systému.
( ) ( ) 321
32
r
0
32
2
r
0
22
2S
r3
dddddSx ⋅α⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ρ⋅φ=ρ⋅ρ⋅φ⋅φ=φ⋅ρ⋅ρ⋅φ⋅ρ=⋅
α
α−
α
α−∫∫∫∫∫ sinsincoscos
Souřadnice těžiště pak je :α
α⋅⋅=
α⋅⋅α⋅⋅
=⋅
=∫
∫))
21
21
221
213
32
S
ST r
32
rr
dS
dSxx sinsin
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště plochy.Například souřadnice těžiště půlkruhu (α=180º=3,14 rad, α/2=90º=1,57 rad) je :
π⋅⋅
=3
r4x T r
T
xT
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště tělesa.Při hledání těžiště trojrozměrného tělesa postupujeme stejně jako u plochy,pouze přibývá třetí souřadnice.Pro souřadnice těžiště tělesa, složeného z konečného počtu jednoduchých těles(t.j. takových, jejichž těžiště známe) lze shrnout :
∑∑ ⋅
=
ii
iTii
TC V
xVx
∑∑ ⋅
=
ii
iTii
TC V
yVy
∑∑ ⋅
=
ii
iTii
TC V
zVz
Zde samozřejmě součet ve jmenovateli vyjadřuje celkový objem, součty v čitateli vyjadřujístatické momenty objemů k jednotlivým osám.V případě různých materiálů jsou dílčí objemy Vi jak v čitateli, tak ve jmenovatelinavíc vynásobeny hustotou jednotlivých materiálů ρi.
Samozřejmě i v tomto případě jsou objemy, jež jsou ve skutečnosti prázdné, záporné(odečítají se).
Základy mechaniky, 3. přednáška
x
y
z a b
h1
h2
c
e
φd
yk
zk
Pro ilustraci uvedeme výpočet těžiště trojrozměrnéhotělesa, jež lze rozložit na velký a malý kvádr,trojúhelníkový hranol a válcovitý otvor,vyvrtaný do velkého kvádru.Rozměry jsou :a = 12 cm b = 10 cm h1 = 10 cmc = 8 cm e = 7,5 cm h2 = 8 cmd = 6 cm yk = 5 cm zk = 4 cm
Dílčí objemy, souřadnice jejich těžišťa statické momenty objemů k souřadným osám,jakož i výsledné součty opět uspořádáme do tabulky.
i Vi xTi yTi zTi Vi·xTi Vi·yTi Vi·zTi
[cm3] [cm] [cm] [cm] [cm4] [cm4] [cm4]
velký kvádr 1 a·b·h1=1200 a/2=6 h1/2=5 b/2=5 → 7200 6000 6000
malý kvádr 2 c·e·h2=480 c/2=4 h1+h2/2=14 e/2=3,75 → 1920 6720 1800
trojúh. hranol 3 (a-c)·e·h2/2=120 c+(a-c)/3=9,33 h1+h2/3=12,67 e/2=3,75 → 1120 1520 450
válcový otvor 4 π·d2·a/4=-339 a/2=6 yk=5 zk=4 → -2034 -1695 -1356
↓ ↓ ↓ ↓
Σ 1461 5,62 8,59 4,72 ← 8206 12545 6894
Těžiště tělesa.
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště tělesa.Podobně pro jakýkoliv matematicky definovaný objem platí.
∫
∫ ⋅=
V
VT dV
dVxx
∫
∫ ⋅=
V
VT dV
dVyy
∫
∫ ⋅=
V
VT dV
dVzz
x
y
z
a
b
c
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
ax1by
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅=
by
ax1cz
Jako příklad určíme souřadnice těžiště pravoúhlého trojbokého jehlanu.Strany u pravoúhlého vrcholu jsou a, b a c.Strana jehlanu v rovině x-y má rovnici :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=⋅−=
ax1bx
abby
Čelní rovina jehlanu pak :⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅=⋅−⋅−=
by
ax1cy
bcx
accz
Integrály ve výše uvedených výrazech pro souřadnice těžiště mají tvar :
( )∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅=⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⋅⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅
a
0
ax1b
0
by
ax1c
0
a
0
ax1b
0
by
ax1c
0V
dxdyzdxdydzdzdydxdV
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště tělesa.Integrály ve výše uvedených výrazech pro souřadnice těžiště mají tvar :
( )∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅=⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⋅⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅
a
0
ax1b
0
by
ax1c
0
a
0
ax1b
0
by
ax1c
0V
dxdyzdxdydzdzdydxdV
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅=⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅= ∫∫∫
a
0
2a
0
2
2
V
dxax1cb
21dx
b2ax1
bax1b
ax
ax1bcdV
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
−⋅⋅⋅=∫
a
0
3
V ax1
3acb
21dV
cbaVdV 61
V
⋅⋅⋅==∫Tento integrál samozřejmě vyjadřuje celkový objem.
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště tělesa.Integrály v čitateli vyjadřují statický moment objemu k souřadným osám :
( ) =⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅=⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅=⋅⋅⋅=⋅ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅
a
0
ax1b
0
by
ax1c
0
a
0
ax1b
0
by
ax1c
0V
dxdyzxdxdydzxdzdydxxdVx
=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
−⋅−⋅⋅=⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅⋅=⋅ ∫∫ ∫∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
a
0
ax1b
0
2a
0
ax1b
0V
dxb2
yyaxyxcdxdy
by
ax1cxdVx
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅⋅=⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅=⋅ ∫∫∫
a
0
2a
0
2
2
V
dxax1xcb
21dx
b2ax1
bax1b
ax
ax1bxcdVx
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⋅−⋅⋅⋅=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅+⋅−⋅⋅⋅=⋅ ∫∫
a
0
4
2
32a
0
32
2
V 4x
a1
3x
a2
2xcb
21dxx
a1x
a2xcb
21dVx
cbadVx 2241
V
⋅⋅⋅=⋅∫
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště tělesa.Integrály v čitateli vyjadřují statický moment objemu k souřadným osám :
cbadVx 2241
V
⋅⋅⋅=⋅∫
Cyklickou záměnou pak : cbadVy 2241
V
⋅⋅⋅=⋅∫2
241
V
cbadVz ⋅⋅⋅=⋅∫Z výše uvedených vztahů vyplývá, že souřadnice těžiště jsou :
cbacba
V
dVxx
61
2241
VT ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅=
∫ax 4
1T =
cbacba
V
dVyy
61
2241
VT ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅=
∫by 4
1T =
cbacba
V
dVzz
61
2241
VT ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅=
∫cz 4
1T =
x
y
z
a
b
c
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
ax1by
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅=
by
ax1cz
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště čáry.Posledním typem objektu, jehož těžištěm se budeme zabývat, je čára.I v tomto případě bude základní postup stejný, jako u plochy a objemu(čáru si můžeme představit jako drát určitého tvaru).
li
x
y
xTi
yTi
Je-li čára složena z několika jednoduchých čar,jsou souřadnice jejího těžiště :
∑∑ ⋅
=
ii
iTii
T
xx
l
l
∑∑ ⋅
=
ii
iTii
T
yy
l
l
∑∑ ⋅
=
ii
iTii
T
zz
l
l
kde li je délka i-té jednoduché čáry, xTi (yTi, zTi) je x-ová(y-nová, z-tová) souřadnice těžiště jednoduché čáry.
Existuje prakticky jediný typ jednoduché čáry, jejíž těžiště je přímo známo - úsečkas těžištěm ve svém středu. Těžiště jiných typů čar (kruhový oblouk apod.) je třeba stanovit.Jestliže jednotlivé jednoduché čáry jsou dráty odlišných průřezů, je třeba do výrazůpro souřadnice těžiště doplnit průřez jednotlivých čar Si.
∑∑
⋅
⋅⋅=
iii
iTiii
T S
xSx
l
l
∑∑
⋅
⋅⋅=
iii
iTiii
T S
ySy
l
l
∑∑
⋅
⋅⋅=
iii
iTiii
T S
zSz
l
l
Konečně jsou-li jednotlivé čáry - dráty z různých materiálů o různých hustotách ρi,budou ve výrazech i tyto hustoty.
∑∑
⋅⋅ρ
⋅⋅⋅ρ=
iiii
iTiiii
T S
xSx
l
l
∑∑
⋅⋅ρ
⋅⋅⋅ρ=
iiii
iTiiii
T S
ySy
l
l
∑∑
⋅⋅ρ
⋅⋅⋅ρ=
iiii
iTiiii
T S
zSz
l
l
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště čáry.
1
3 2
H
h
B
b
x
y
T
xT
yT
Postup si ukážeme na výpočtu souřadnic těžiště dvakrát zalomené čáry o rozměrechB=40 cm, H=30 cm, b=20 cm a h=10 cm (viz obrázek).
i lixTi yTi li·xTi li·yTi
[cm] [cm] [cm] [cm2] [cm2]
1 36 10 15 → 360 540
2 20 30 30 → 600 600
3 10 40 25 → 400 250
↓ ↓ ↓
Σ 66 20,6 21,1 ← 1360 1390
Poznámka : Těžiště čáry samozřejmě nemusí ležet na této čáře.
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště čáry.Stejně jako u ploch a objemů, i u čar určujeme polohu těžiště matematicky definovanéčáry (křivky) tak, že místo sumy použijeme integrál (křivkový).
∫
∫ ⋅=
L
LT d
dxx
l
l
∫
∫ ⋅=
L
LT d
dyy
l
l
∫
∫ ⋅=
L
LT d
dzz
l
l
Jako příklad ukážeme výpočet souřadnice těžiště kruhového oblouku o poloměru ra vrcholovém úhlu α. Jeho těžiště leží na ose symetrie ve vzdálenosti xT od středu oblouku.
x
φ
dφ
α
r
dl=r·dφ
xT T
Integrály ve zlomku, určujícím souřadnici těžiště, jsou :
Lrrdrd 2
2
2
2L
=α⋅=φ⋅=φ⋅=α
α−
α
α−∫∫
)l
α⋅⋅=φ⋅=φ⋅⋅φ⋅=⋅α
α−
α
α−∫∫ 2
122
2
22
2L
r2rdrrdx sinsincosl
souřadnice těžiště pak je :
αα
=α⋅
α⋅⋅=
⋅=
∫
∫))
l
l
21
21
212
L
LT r
rr2
d
dxx sinsin
Přirozeně i zde se úhel α ve jmenovateli dosazuje v obloukové míře (v radiánech).
Základy mechaniky, 3. přednáškaTěžiště čáry.Například pro půlkružnici (samozřejmě bez průměru) dosadíme :α = 180º = π rad, α/2 = 90º = π/2 rad.
r2x T ⋅π
=
r
T
xT
Základy mechaniky, 3. přednáškaObjem a povrch rotačně symetrických těles - Guldin-Pappovy věty Poznatků o určování souřadnic těžiště využijeme ještě pro jiný účel- určení objemu a povrchu rotačně symetrického tělesa.Takové těleso vznikne rotací plošného útvaru okolo osy, ležící v rovině tohoto útvaru.
Je-li např. tvořícíplochou kruh,rotací okolo osy vznikneanuloid, tedy „duše“.
Při výpočtu objemu takového tělesa využijeme rotační souměrnosti. Tvořící plochurozdělíme na nekonečně mnoho elementárních plošek dS = dx·dy.Rotací této plošky okolo osy rotační symetrie vznikne nekonečně tenká obruč o poloměru x.
x dx
dy dS=dx·dy
x
yS
Vzhledem k nekonečně malým příčným rozměrům obručemůžeme její objem (nekonečně - diferenciálně malý) vypočístjako součin příčné plochy dS a obvodu obruče O=2·π·x.Celkový objem tělesa je pak dán součtem objemů těchtoobručí, tedy integrálem přes tvořící plochu S.
dSx2dV ⋅⋅π⋅= ∫∫ ⋅⋅π⋅=⋅⋅π⋅=SS
dSx2dSx2V
Integrál v tomto výrazu je rovněž ve vzorci pro souřadnici těžiště plochy :
S
dSxx S
T
∫ ⋅=Je tedy : SxdSx T
S
⋅=⋅∫Objem tělesa pak je : Sx2V T ⋅⋅π⋅=
Základy mechaniky, 3. přednáškaObjem a povrch rotačně symetrických těles - Guldin-Pappovy věty Podobným způsobem určíme povrch tělesa. Vybereme-li na obvodu tvořící plochy nekonečněkrátkou úsečku dl, vznikne její rotací „prstýnek“ nekonečně malé šířky dl, o poloměru x.
x
dl
x
y S
Plocha prstýnku je : ll dx2dOdS ⋅⋅π⋅=⋅=
Obvod prstýnku je : x2O ⋅π⋅=
Povrch tělesa je pak dán součtem ploch těchto „prstýnků“,tedy integrálem.Přesněji křivkovým integrálem po obvodu tvořící plochy.
∫∫ ⋅⋅π⋅=⋅⋅π⋅=LL
dx2dx2S ll
Integrál v tomto výrazu však je čitatelem ve vzorci pro souřadnici těžiště čáry (obvodu) :
L
dlxx L
T
∫ ⋅=
Lxdlx TL
⋅=⋅∫
Lx2S T ⋅⋅π⋅=
Je tedy :
Povrch tělesa pak je :
Základy mechaniky, 3. přednáška
Takto tedy můžeme poměrně snadno vypočíst objem a povrch rotačně symetrického tělesa,známe-li těžiště tvořícího útvaru. Pro přehlednost zopakujme :
Objem a povrch rotačně symetrických těles - Guldin-Pappovy věty
Objem Povrch
Objem vznikne rotací plochy(tvořícím útvarem je plocha)
Povrch vznikne rotací obvodové čáry(tvořícím útvarem je obvodová čára)
V je objem tělesaS je obsah tvořící plochyxT je souřadnice těžiště tvořící plochy
S je plocha povrchu tělesaL je délka tvořící obvodové čáryxT je souřadnice těžiště tvořící čáry
Sx2V T ⋅⋅π⋅= Lx2S T ⋅⋅π⋅=
Poznámka : Pozor ! Označení S a xT znamená v obou případech něco jiného !
Základy mechaniky, 3. přednáškaObjem a povrch rotačně symetrických těles - Guldin-Pappovy věty Pomocí těchto vzorců snadno vypočteme objem a povrch zmíněného anuloidu, tedy útvaru,který vznikne rotací kruhu okolo osy, ležící vně kruhu (v rovině kruhu).Poloměr tvořícího kruhu je r, poloměr rotace středu tvořícího kruhu je R.
R
r
Obsah tvořící plochy S a délka tvořící obvodové čáry L jsou :2rS ⋅π= r2L ⋅π⋅=
Souřadnice těžiště jak tvořící plochy, tak tvořící obvodové čáry je xT = R.Objem anuloidu V a jeho povrch S pak jsou :
22
2
rR2VrR2V
⋅⋅π⋅=
⋅π⋅⋅π⋅=
rR4Sr2R2S
2 ⋅⋅π⋅=
⋅π⋅⋅⋅π⋅=
Základy mechaniky, 3. přednáška
Obsah přednášky :
těžiště čar, ploch a těles,
Pappus - Guldinovy věty