AST007:ZÁKLADY ASTRONOMIE A ASTROFYZIKY II

Látka přednášená P. Harmancem

Petr HarmanecAstronomický ústav Univerzity Karlovy

Verze 11: 24. března 2021

Části tohoto textu týkající se záření a hvězdných spekter, doplněné o řaduobrázků, jsou zpracovány v učebnici P. Harmance a M. Brože

Stavba a vývoj hvězd.Učebnici lze zakoupit v nakladatelství Matfyzpress a také studovatna webové adrese

http//www.mff.cuni.cz/fakulta/mfp/stahnout.htma je doporučena jako studijní materiál pro kurzy NAST007 a NAST014.

1

Obsah

1 Jednotky a veličiny používané v astronomii 31.1 Soustavy fyzikálních jednotek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Astronomické jednotky času . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Astronomické jednotky vzdálenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Hmotnosti a rozměry hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Elektromagnetické záření 122.1 Intenzita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Hustota zářivé energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Tlak záření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Koeficient opacity (absorpce) a optická tloušťka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Mechanická síla, kterou záření působí na vrstvu plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Emisní koeficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8 Rovnice přenosu energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9 Termodynamická rovnováha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10 Záření absolutně černého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.11 Lokální termodynamická rovnováha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.12 Efektivní teplota hvězdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Klasické způsoby pozorování hvězd 283.1 Spektrální klasifikace hvězdných spekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Hvězdná fotometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Jasnosti hvězd, Pogsonova rovnice, hvězdné velikosti v různých mezinárodně přijatých systémech . . . . 303.2.2 Různé druhy hvězdných velikostí, fotometrické systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3 Redukce fotoektrických měření jasnosti hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.4 Praktické aspekty fotometrických pozorování a redukcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.5 Převody mezi fotometrickými systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Určování fyzikálních vlastností hvězd z fotometrických měření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Modul vzdálenosti, bolometrická korekce a zářivý výkon hvězdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 Efektivní teplota hvězdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.3 Hertzsprungův-Russellův diagram pro jednotlivé hvězdy a pro hvězdokupy . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.4 Poloměry hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.5 Absolutní vizuální hvězdná velikost z poloměru a monochromatického toku . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.6 Blackwellova-Shallisova metoda určování úhlových průměrů hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Redukce spektrogramů hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Analýza časových řad a hledání periodicity u proměnných hvězd 614.1 Úvodní úvahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Obecné zákonitosti a problémy při hledání period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Metody minimalizace fázového rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Metody založené na modelování periodických změn matematickými funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5 Odstranění neperiodické změny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6 Numerický příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.7 Existující algoritmy a programy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2

1 Jednotky a veličiny používané v astronomii

Patří k samotné povaze astronomie a astrofyziky, že naprostou většinu informací o kosmických objektechnám zprostředkovává od nich přicházející elektromagnetické záření, ať už jimi vyzařované nebo pouzeodražené. Se základními pojmy, které se záření týkají, se proto budeme opakovaně setkávat a je důležité ses nimi důkladně obeznámit.

1.1 Soustavy fyzikálních jednotek

Na samotný úvod je třeba si stručně povědět něco o jednotkách měření, které se v dnešní astronomii aastrofyzice používají.

Mezinárodní astronomická unie již před delší dobou rozhodla, že se mají používat jednotky SI soustavy,vycházející z následujících základních jednotek:

kg (kilogram)... pro hmotnost,s (sekunda) ... pro čas,m (metr) ... pro délku aK (kelvin) ... pro absolutní teplotu.

1 sekunda je v současnosti definována jako čas, který uplyne během 9 192 631 770 period či ‘zavlnění’záření vznikajícího přechodem mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia133, nacházejícího se v klidu při teplotě absolutní nuly. Původně byla ovšem sekunda odvozena z astrono-mického měření délky pozemského dne.

1 metr byl původně definován jako jedna desetimiliontina (10−7) vzdálenosti od geografického póluZemě k rovníku měřená podél poledníku procházejícího Paříží. V současnosti je 1 metr definován jakovzdálenost, kterou ve vakuu urazí elektromagnetické záření za 1/299792458 = 3, 335640952×10−9 sekund.Povšimněme si, že tím je zároveň definována rychlost světla ve vakuu jako neměnná konstanta o přesněznámé hodnotě.

1 kilogram je definován jako hmotnost konkrétního mezinárodního etalonu vyrobeného ze slitiny platinya iridia a uloženého v Mezinárodním úřadu pro míry a váhy v Sèvres u Paříže. Původně byl i 1 kilogramdefinován jinak a to jako hmotnost 1 litru = 10−3 m3 čisté vody.

1 kelvin či 1 stupeň Kelvina je definován jako 1/273,16 = 3, 66086 × 10−3 termodynamické teplotytrojného bodu vody. Při teplotě 0 K ustává veškerý pohyb atomů a molekul, voda mrzne při 273,16 K a bodvaru vody odpovídá 373,16 K. Kelvinova teplotní škála tedy odpovídá Celsiově stupnici posunuté o 273,16stupňů.

V SI soustavě jsou dovoleny pouze ty odvozené jednotky pro větší či menší množství, které jsou vůčizákladním jednotkám soudělné tisícem, tedy např. nanometr, milimetr nebo kilometr:

nm = 10−9m, mm = 10−3m, km = 103m

a podobně.

3

Za zmínku stojí i některé důležitější odvozené jednotkyN (newton) = kg m s−2 ... pro sílu,J (joule) = N m = kg m2 s−2 ... pro energii či práci aW (watt) = J s−1 = kg m2 s−3 ... pro výkon.

Je třeba ovšem říci, že zmíněná reforma “na povel” se příliš nevžila a právě v oblasti záření jsou ve světovéastronomické literatuře i nadále používany (a redakcemi časopisů tolerovány) jednotky starší soustavy cgs.Je to vcelku pochopitelné, neboť SI jednotky nejsou někdy příliš praktické a kromě toho existuje spoustarozsáhlých souborů dat, např. modely hvězdných atmosfér či tabulky vlnových délek spektrálních čar (jakse o nich zmíníme později), které jsou uvedeny ve starších jednotkách.

Základními jednotkami cgs soustavy jsou:

g (gram) ... pro hmotnost (1 g = 10−3kg),cm (centimetr) ... pro délku (1 cm = 10−2m),s (sekunda) ... pro čas aK (kelvin) ... pro absolutní teplotu,

a také odvozené jednotky jakodyn = g cm s−2 = 10−5N ... pro sílu čierg = g cm2 s−2 = 10−7J ... pro energii či práci.

Používají se i některé starší tradiční jednotky jako jednotka délky

Å(angström): 1 Å= 10−10m = 10−1nm.

V astronomii se běžně používají jednotky odvozené ze základních fyzikálních vlastností Země, Slunce asluneční soustavy.

1.2 Astronomické jednotky času

Je celkem přirozené, že astronomické jednotky času byly historicky odvozovány z rotační periody Země a zdoby oběhu Země kolem Slunce. V posledních letech se ale s přibývající přesností měření začaly prosazovatčasové škály založené striktně na 1 sekundě SI soustavy.

Dosud se používají následující jednotky:

• Střední sluneční den či jen den (zkratka d) = 86400 s.• Siderický rok je doba oběhu Země kolem Slunce vůči inerciální vztažné soustavě (vzdáleným hvězdám).

Jeho délka je 365,256363 dne.

• Juliánský rok je hodnota siderického roku s tou přesností, jaká byla známa tvůrcům Juliánskéhokalendáře: 365,25 dne. Tato hodnota se dodnes při některých úvahách používá.

• Tropický rok zvaný též sluneční či astronomický rok je doba mezi dvěma průchody Slunce jarnímbodem. V současnosti je to 365,24219 dne.

4

• Anomalistický rok je doba mezi dvěma průchody Země přísluním (pericentrem) její mírně eliptickédráhy kolem Slunce. Tato elipsa se totiž vlivem poruchového působení ostatních planet zvolna stáčív prostoru. Hodnota anomalistického roku je 365,259636 dní.

• Hvězdný den je siderická doba rotace Země (=doba rotace v inerciální soustavě čili vůči hvězdám).Měřena v jednotkách středního slunečního dne činí 365,24219/366,24219 = 0,997269566 dne.

• Juliánské dny, někdy též Juliánská data, zkratka JD se používají v astronomii všude, kde je třebaanalyzovat souvislé časové řady pozorování. Jsou to střední sluneční dny, které začínají vždy v polednesvětového času (SČ) (=lokální čas na poledníku procházejícím observatoří v Greenwichi), přičemžpočátek, tedy JD 0, připadá na střední poledne na Greenwichi 1. ledna roku 4713 před naším letopočtem(což je rok −4712 astronomického letopočtu). Např. Juliánské datum 1. ledna 2004 v 0 hodin SČ jeJD 2453005,5.

• Modifikované juliánské dny, zkratka MJD se používají v některých oborech astronomie v posledníchdesetiletích. Souvisí to s tím, že po většinu doby, pro kterou existují kvantitativní astrofyzikální měřeníjsou první dvě cifry Juliánského data 24. Modifikované Juliánské datum začíná o půlnoci daného dnea je tedy dáno vztahem

MJD = JD− 2400000, 5 . (1)Velmi osobně doporučuji se použití MJD alespoň ve stelární astronomii vyhnout, neboť to vede k řaděchyb. Důvodem je, že v mnoha případech se data publikují ve tvaru JD−2400000,0 a pokud někdotyto údaje omylem zkombinuje s MJD o půl den posunutými, dospěje k chybným výsledkům při určeníperiody proměnné hvězdy a podobně. Poslední dobou se proto v astronomických publikacích začínáobjevovat dosud neoficiální redukované Juliánské datum

RJD = JD− 2400000, 0 . (2)

• Heliocentrický Juliánský den, zkratka HJD se používá všude, kde je třeba vysoká přesnost časovéhoúdaje, např. při studiu rychle proměnných objektů. Je to časový údaj měřený v Juliánských dnech,ale vztažený k okamžiku, kdy by záření studovaného objektu dorazilo do místa, kde se nachází středSlunce. Jeho okamžitá hodnota je pro každý pozorovaný objekt různá. To je dáno konečnou rychlostísvětla ve vakuu a oběhem Země okolo Slunce a její rotací. Představme si třeba, že pozorujeme zcelaperiodicky se opakující zjasňování a slabnutí nějaké hvězdy. Kdybychom okamžiky maxim jasnostiměřili v Juliánských dnech přímo pro pozorovací místo, pak zjistíme zdanlivé prodlužování a zkracováníperiody, protože světlo z hvězdy putuje k Zemi různě dlouho podle toho, kde se Země ve své oběžnédráze kolem Slunce zrovna nachází. To je důvodem, proč je před vlastní analýzou časových řadpozorování nutné udat čas každého pozorování v heliocentrických Juliánských dnech.

• Barycentrický Juliánský den, zkratka BJD je přesnější analogii heliocentrického Juliánského dne. Prodaný objekt je to čas vztažený k těžišti neboli barycentru naší sluneční soustavy. Je dobré vědět, žerozdíl mezi JD a HJD se projeví až na třetím desetinném místě, rozdíl mezi HJD a BJD až na pátémdesetinném místě.

5

S rostoucí přesností astronomických a obecněji fyzikálních měření narůstají i požadavky na přesnéměření času. Konkrétně v astronomii vyvstává taková potřeba např. při analýze dlouhých časových řad.Je totiž třeba mít jistotu, že např. nějaká malá změna periody pravidelně se opakujícího děje je reálná anení jen důsledkem ne zcela přesného měření času pro jednotlivá pozorování. V současnosti je nejpřesnějšírovnoměrně plynoucí mezinárodní atomový čas TAI definován chodem souboru nejpřesnějších atomovýchhodin. Současná přesnost měření atomového času je lepší než 1 nanosekunda. Z atomového času se odvozujeterestrický čas TT používáný v geocentrických efemeridách těles sluneční soustavy. Platí vztah

TT = TAI + 32, 184s . (3)

Jako standardní referenční epocha, označovaná J2000.0 se pro současná astrometrická data používá čas1. ledna 2000 ve 12 hodin terestrického času vztaženého ke středu Země (JD 2451545.0 TT).

Nejčastěji jsou ovšem okamžiky středů astronomických pozorování udávány ve světovém čase (UniversalTime) UT. Světový čas je vztažen k rotaci Země, která ale není zcela rovnoměrná. Přibližně tedy odpovídálokálnímu střednímu slunečnímu času na zeměpisné délce nula, tedy na greenwichskému poledníku. Měříse jako občanský čas od půlnoci každého dne. Je ale dobře vědět, že do konce roku 1924 používaliastronomové greenwichský střední čas (Greenwich Mean Time) GMT, ve kterém začínal den vždyv poledne. Konkrétní realizace světového času se často v literatuře označuje jako UT1. Přesně se otáčeníZemě vztažené k Mezinárodní nebeské souřadnicové soustavě (International Celestial Reference Frame,ICRF) určuje pomocí radiové interferometrie 212 vybraných extragalaktických radiových zdrojů, převážněkvasarů. Resolucí B1.8 Mezinárodní astronomické unie z r. 2000 (s doplňkem v roce 2006) bylo rozhodnuto,že rovnoměrně plynoucí čas UT1 se má určovat z lineární závislosti na úhlu natočení Země (the EarthRotation Angle θ) podle vztahu

θ(UT1)[d] = 0, 7790572732640 + 1, 00273781191135448(JD(UT1)− 2451545, 0) . (4)

Úhel natočení Země je přitom definován jako geocentrický úhel mezi dvěma směry v rovině zemského rov-níku vůči mezilehlému zemskému pólu (Celestial Intermediate Pole, CIP): totiž mezi mezilehlým nebeskýmpočátkem (Celestial Intermediate Origin, CIO) a zemským mezilehlým počátkem (Terrestrial IntermediateOrigin, TIO). Výpočet polohy těchto směrů je podobně vyložen v práci Capitaine a kol. (2000). Všim-něme si, že při zápise použitém v rovnici (4) udává veličina θ počet otáček Země od referenční epochyJ2000.0 ve dnech. Doba jedné takové idealizované (rovnoměrně plynoucí) otáčky při použitých konstan-tách činí 86164.0989036903511 sekund času UT1. To odpovídá střední úhlové rotační rychlosti Země7, 292115 · 10−5 radian s−1. Pro různé transformace souřadnicových soustav se ovšem úhel natočení Zeměvyjadřuje buď v radiánech nebo ve stupních a důležitá je pak pouze zlomková část otočky a tu lze zpravidlas poněkud vyšší přesností získat ze vztahu

θ(UT1)[d] = 0, 7790572732640+0, 00273781191135448(JD(UT1)−2451545, 0)+frac(JD(UT1)) , (5)

kde funkce frac označuje zlomkovou část veličiny.Světový čas se původně odvozoval od rotace Země a nutně zahrnoval implicitní předpoklad, že rok trvá

celý počet sekund. To ovšem není striktně splněno a navíc v rotaci Země dochází ke změnám. Pro civilnípoužití byl proto zaveden t.zv. koordinovaný universální čas UTC, který je měřen v sekundách podle

6

současné definice, tj. atomovými hodinami. UTC je čas, který je šířen rozhlasovými stanicemi. Elektronickyi některými rozhlasovými stanicemi je také šířen aktuální rozdíl mezi UTC a UT1. Platí také, že UTC se odatomového času TAI liší vždy o celý počet sekund a to tak, aby rozdíl mezi UTC a UT1 nebyl nikdy většínež 0,9 sekundy. V praxi to znamená, že zpravidla jedenkrát za rok až rok a půl vkládá či vypouští přestupnásekunda. V posledních několika letech však tato korekce nebyla nutná.

Celý problém nicméně narůstá a i pro civilní použití by bylo výhodnější používat skutečně rovnoměrněplynoucí čas. Zvažuje se proto i možnost přestat přestupné sekundy vkládat vůbec. Rotace Země se totiždlouhodobě zpomaluje a současný systém měření času je fakticky založen na úhlové rychlosti rotace Zeměz poloviny devatenáctého století.

Pokud tedy potřebujeme analyzovat časové řady s vysokými požadavky na přesnost, je dobré převéstuniversální čas na čas terestrický, a to podle vztahu

TT = UTC +△T, (6)

kde △T je pravidelně zveřejňovaná korekce, dosahující zhruba 63 s na začátku roku 1998 a 65 s na začátkuroku 2007.

Detaily této problematiky jsou podrobně popsány např. v pracech Seidelmanna a Fukushimy (1992) azejména Kaplana (2005) a lze je také konsultovat s ing. Janem Vondrákem, DrSc. z Astronomického ústavuAV ČR či s mými kolegy Prof.Dr. Davidem Vokrouhlickým, DrSc. a Dr. Miroslavem Brožem. Dobrý přehledčtenaři naleznou také v elektronické publikaci Hrudková (2009).

Celá věc se zřejmě bude dále vyvíjet a pro velmi přesné měření času se již nyní berou v potaz relativistickéefekty, které mají za následek to, že je třeba rozlišovat čas vztažený ke středu Země a čas vztažený k težištisluneční soustavy. Jak je podrobně vysvětleno v práci Seidelmana a Fukushimy (1992), resolucemi IAUje stanoveno používat časy založené na 1 sekundě SI soustavy ve všech barycentrech nějakého uskupeníhmot jako je těžiště sluneční soustavy nebo Země. Referenčním bodem, kde se čas vztažený k barycentrusluneční soustavy a označovaný TCB (Barycentric Coordinate Time) a čas vztažený ke středu Země TCG(Geocentric Coordinate Time) shodují, byl stanoven 1. leden 1977 0h0m32.s184 TAI v centru Země. Tyto dvačasy by měly nahradit dříve používaný terestrický dynamický čas TDT přejmenovaný r. 1991 na terestrickýčas TT. Důsledkem relativistických efektů je i to, že je třeba rozlišovat hodnoty součinu gravitační konstantya hmoty Země či Slunce vztažené buď k času TCB či TCG. Situaci ilustruje obrázek (1) převzatý z práceSeidelmana a Fukushimy (1992), ve které jsou uvedeny i podrobné převodní vztahy mezi jednotlivými časy.

Velmi užitečnou sadu interaktivních programů na konverze údajů v různých časech lze nalézt na adrese

http://astroutils.astronomy.ohio-state.edu/time.

Užitečný program HEC19, který vytvořil autor tohoto textu (zčásti s využitím některých podprogramůposkytnutých ing. Vondrákem), umožňuje převod z občanského času (i pro starší data tabelovaná v GMT)do HJD. Program je zájemcům se stručným návodem k dispozici – viz

http://astro.troja.mff.cuni.cz:/ftp/hec/HEC19.

Jeden z patrně nejpřesnějších programů na určení BJD je rovněž volně dostupný – viz Hrudková (2009).V tomto programu je BJD počítáno se zahrnutím aktuální korekce na terrestrický čas podle vztahu (6).

7

Obrázek 1: Ilustrace rozílu mezi různými uvažovanými časy za období let 1950 a 2020. Periodické členy v časech TCB a TDB jsou stokrátzvětšeny kvůli názornosti. Čas TAI je použit jako referenční a časy ET, TDT a TT jsou všechny brány jako TAI+32.s184.

8

1.3 Astronomické jednotky vzdálenosti

• V pracech, zabývajících se objekty sluneční soustavy se často za jednotku vzdálenosti přijímá astro-nomická jednotka (zkratka AU = astronomical unit), což je střední vzdálenost středu Země od středuSlunce. Podle definice Mezinárodní astronomické unie se astronomická jednotka chápe jako poloměrničím nerušené kruhové dráhy, po které oběhne tělísko o zanedbatelné hmotnosti kolem Slunce za 1siderický rok. Její v současnosti nejpřesnější hodnota je stanovena resolucí Mezinárodní astronomickéunie z r. 2009:

1 AU = (149 597 870,700± 0,003) km = (149 597 870 700 ± 3) m.• Astronomická jednotka se někdy užívá i ve hvězdné astronomii. Z ní také vychází jednotka vzdálenosti

hvězd a dalších kosmických těles od nás, zvaná parsek (zkratka pc). Je to vzdálenost, ze které by sestřední poloměr zemské dráhy kolem Slunce (=1 AU) jevil pod úhlem jedné obloukové vteřiny. Je tedy

1 pc =1 AU

sin 1′′= 206264, 806247904× 1, 49597870700× 1011m= (3, 085677581503± 0, 000000000062)× 1016m. (7)

Důvodem zavedení této jednotky bylo to, že trigonometricky určovaná hvězdná paralaxa p je právě úhel,pod kterým je vidět z dané hvězdy poloměr zemské dráhy. Vzhledem k obrovským vzdálenostem hvězdod nás jsou jejich paralaxy velmi malé a udávají se v obloukových vteřinách. Platí tedy jednoduchývztah mezi vzdáleností a paralaxou:

d(pc) =1

p(′′). (8)

• Pro úplnost ještě dodejme, že ve sdělovacích prostředcích a při popularizaci astronomie se často užívájednotka vzdálenosti s poněkud matoucím názvem světelný rok. Rozumí se tím dráha, kterou urazísvětlo ve vakuu za 1 rok. Nejde o oficiálně uznanou a řádně definovanou jednotku, takže se lze setkats hodnotami světelného roku odvozenými jak od tropického, tak od siderického roku. Nejčastěji se alesvětelným rokem rozumí dráha, kterou urazí ve vakuu elektromagnetické záření za 1 Juliánský rok(365,25 dne).

1 světelný rok = 9,4607305×1015m,

a tedy

1 pc = 3,26156 světelného roku.

1.4 Hmotnosti a rozměry hvězd

Hmotnosti a rozměry hvězd se obvykle vyjadřují v jednotkách hmotnosti Slunce M⊙ a rovníkového poloměruSlunce R⊙. To ale vzhledem k rostoucí přesnosti našich pozorování začíná být určitým problémem, neboťznalost hmotnosti i poloměru Slunce se s postupem doby zpřesňuje a každý autor používá trochu jiné hodnoty.

9

Kromě toho je zřejmé, že nejde o konstanty v pravém slova smyslu: hmotnost Slunce se v důsledku ztrátyhmoty dlouhodobě poněkud zmenšuje, zatímco jeho poloměr se mírně mění např. během jedenáctiletéhoslunečního cyklu (jak ukazují přesná inteferometrická měření) a sekulárně z vývojových důvodů zvolnaroste.

Velmi dlouho se užívala hodnota R⊙ = 696260 km, zatímco novější pozorování vedla např. na středníhodnotu R⊙ = 695508 km – viz Brown a Christensen-Dalsgaard (1998); jejich určení slunečního poloměrubylo přijato i v posledním vydaní tabulek Allena. Zdálo by se, že rozdíl mezi oběma uvedenými hodnotamije zanedbatelný. Nemusí tomu ale tak být. Uvažme např., že rotační rychlosti hvězd (o jejichž měřeníse zmíníme později) se udávají v absolutních jednotkách km s−1 a pro pomaleji rotující hvězdy je lzesnadno určit s přesností na 1 km s−1. Kdybychom určovali rotační periodu obří hvězdy s poloměrem 30 R⊙ aobvodovou rotační rychlostí 5 km s−1, pak pro první výše uvedenou hodnotu slunečního poloměru dostaneme303,d801, zatímco pro druhou 303,d473. Rozdíl mezi oběma hodnotami je již po několika cyklech snadnoměřitelný.

Dlouho přetrvával i určitý rozpor v hodnotách slunečního poloměru určovaného různými metodami. Tense – jak se zdá – podařilo vyřešit ve studii Haberreitera, Schmutze a Kosovicheva (2008), kteří dospělik závěru, že správná hodnota slunečního poloměru je R⊙= (695658± 0.098) km.

Harmanec a Prša (2011) proto navrhli, aby byla všeobecně přijata jedná pevná, nominální hodnotaslunečního poloměru, označovaná RN⊙, která by fungovala jako převodní konstanta mezi poloměry hvězdvyjadřenými v jednotkách poloměru Slunce a poloměry udanými v SI soustavě, tedy např. v km. Oni saminavrhovali kvůli kontinuitě s existujícími pozorováními hodnotu přijatou v nejnovějším vydání Allenovýchtabulek, tedy RN⊙= 695508 km. Jejich iniciativu podpořila Komise 42 Mezinárodní astronomické unie,vznikne ale pracovní skupina, která bude zvažovat výběr vhodné nominální hodnoty tak, aby byla přijatelnápro astronomy z různých oborů.

Na první pohled by se zdálo, že lze analogicky definovat nominální hmotnost Slunce a přijmout třebahodnotu

M⊙ = (1,988435±0,000027)×1030 kgz práce Gundlacha a Merkowitze (2000). Situace je ale složitější. Uvažujme 3. Keplerův zákon prodvojhvězdu ve tvaru

a3 =G

4π2P 2(M1 +M2) (9)

a upravme jej numericky tak, abychom mohli hmotnosti primáru M1 a sekundáru M2 udávat v hmotnostechnašeho Slunce, oběžnou perioduP ve dnech a velkou poloosu dráhy a ve slunečních poloměrech. Dostanemeužitečný pracovní vztah

a3 = 864002G

4π2M⊙R3⊙

P 2(M1 +M2)

=864002 · 1, 988435× 1030 · (6,67428± 00067)× 10−11

4π2 · 6955080003 P2(M1 +M2)

= (74,5894± 0,0075)P 2(M1 +M2), (10)

10

a můžeme si snadno spočítat, že třeba oběžná perioda dvojhvězdy sestávající ze dvou podobných neutro-nových hvězd o hmotnostech 1,4 M⊙ a poloměrech 10 km, které obíhají po kruhové dráze tak, že se jejichpovrchy prakticky dotýkají, tedy, že vzdálenost jejich středů a = 20 km, by činila pouhých 0,00092 sekundy.Povšimněme si, že pokud použijeme extrémní hodnoty převodní konstanty 74,59 v rámci uvedených chyb,budou krajní odhady periody činit 0,00092186 a 0,00092196. Dosud přetrvávající nejistota v určení gravi-tační konstanty G (zde použitá hodnota byla doporučena resolucí Mezinárodní astronomické unie z r. 2009)tedy znamená, že odhad oběžné periody z 3. Keplerova zákona je spolehlivý pouze na 3 platné cifry.

Naproti tomu součin gravitační konstanty a hmotnosti Slunce je znám ze studia pohybu těles ve slunečnísoustavě s mimořádně vysokou přesnostíGM⊙ = 1.32712442099(10)× 1020 m3s−2 (TCB)

při použití času TCB vztaženého k inerciální soustavě se středem v barycentru sluneční soustavy. Použijeme-li tuto přesnou hodnotu, vzroste podstatným způsobem i přesnost převodní konstanty ve 3. Keplerově zákoně

a3 = (74,5886934487± 0,0000000058)P 2(M1 +M2), (11)Stejná je situace ve vztahu pro určení hmotností složek dvojhvězdyMj, (j=1,2) ze znalosti oběžné periody

P , výstřednosti a sklonu oběžné dráhy e a i a polovičních amplitud křivek radiálních rychlostí obou složekK1 a K2:1

Mj sin3 i =

1

2πGK3−j(K1 +K2)

2P (1− e2) 32 . (12)

Pro hmotnosti vyjadřené v hmotnostech Slunce, periodu ve dnech a poloviční amplitudy křivek radiálníchrychlostí v km s−1 dostaneme numerickou konstantu v rovnicích (12) ve tvaru

86400 · 100032π · (6, 67428± 0, 00067)× 10−11 · 1, 988435× 1030 = (1, 03614± 0, 00010)× 10

−7 (13)

a tedy

Mj sin3 i = (1, 03614± 0, 00010)× 10−7K3−j(K1 +K2)2P (1− e2)

3

2 , (14)

Při použití výše uvedené velmi přesné hodnoty součinu gravitační konstanty a sluneční hmotnosti dosta-neme opět mnohem přesnější vztah

Mj sin3 i = (1, 036149050206± 0, 000000000078)× 10−7K3−j(K1 +K2)2P (1− e2)

3

2 . (15)

Hmotnosti hvězd získané s použitím součinu G2009M2010⊙ budou vyjádřeny v jednotkách M2010⊙ . Ažse v budoucnosti podaří určit přesnější hodnotu gravitační konstanty Gnew, a při rozumném předpokladu,že současná hodnosta součinu G2010M2010⊙ se nijak významně nezmění, bude snadné hmotnosti hvězdpřepočítat podle vztahu

M

Mnew⊙=

M

M2010⊙Gnew

G2009

1Podrobněji viz skripta NAST019 Harmance a Mayera: http://astro.mff.cuni.cz/predmety.html

11

bez toho, aby bylo třeba opakovat celé dráhové řešení.Pro účely tohoto textu tedy provizorně přijmeme jako konstanty tyto nominální hodnoty hmotnosti a

poloměru Slunce:

RN⊙ = 6, 95508× 108 m a M2010⊙ = 1, 988547× 1030 kg.V tomto textu budu tedy vycházet z SI soustavy, ale všude, kde to bude vhodné, budu uvádět i jiné dosud

používané jednotky. Přehled jednotek a různých zde používaných konstant a jejich numerických hodnot jeuveden v příloze na konci textu.

2 Elektromagnetické záření

Jak je známo z fyziky, má elektromagnetické záření duální povahu: má současně charakter vlnění a částicovoupovahu.

Jako vlnění se může šířit i prázdným prostorem a lze jej charakterizovat vlnovou délkou (tedy délkoujedné vlny) λ nebo frekvencí ν (počtem kmitů na jednotku délky). Obě tyto veličiny spolu souvisí známýmvztahem

ν =cnλ, (16)

kde cn je rychlost, jakou se elektromagnetické záření šíří v uvažovaném prostředí. V prázdném kosmickémprostoru se elektromagnetické záření šíří konstantní rychlostí c, které se nejčastěji říká rychlost světla akterá je významnou fyzikální konstantou. Protože právě o záření šířící se kosmickým prostorem se budemezajímat nejvíce, budeme vztah mezi frekvencí a vlnovou délkou uvažovat obvykle ve tvaru

ν =c

λ. (17)

Z fyziky dále víme, že jedno kvantum elektromagnetického záření o frekvenci ν, tedy foton záření,s sebou nese energii

Eν = hν (18)

kde h = 6, 626.10−34 Js je Planckova konstanta. Podle známé Einsteinovy rovnice

Eν = mfc2 (19)

lze pak ovšem pohybujícímu se fotonu přiřadit i hmotnost mf a tedy i hybnost mfc.Je tedy zřejmé, že energie fotonu je přímo úměrná jeho frekvenci a nepřímo úměrná jeho vlnové délce.

Jinak řečeno, kvantum krátkovlnného záření odpovídá vyšší energii než kvantum záření dlouhovlnného. Tonení ani intuitivně tak překvapivé, neboť jaksi cítíme, že na to, aby se na dané délce záření zavlnilo vícekrát,je třeba, aby mělo větší energii. Také si můžeme uvědomit, že částicová povaha světla se bude více uplatňovatna krátkovlnném konci elektromagnetického záření, zatímco jeho vlnová povaha na dlouhém.

Je také dobré si uvědomit, že je-li rychlost světla ve vakuu nepřekročitelnou mezí, pak se rychlostelektromagnetického záření vysílaného i rychle se pohybujícím zdrojem již nemůže zvýšit. Co se ale změní,

12

je energie fotonů. Pokud se zdroj pohybuje ve směru k pozorovateli, energie fotonu se zvýší o přidanoukinetickou energii a světlo se posune k vyšším frekvencím, tedy do fialova. Naopak u zdroje letícíhosměrem od pozorovatele se energie fotonu sníží a světlo se posune směrem do červena. Tento jev se nazýváDopplerovým jevem a pro elektromagnetické záření jej lze v klasické fyzice (tj. pro vzájemnou rychlostzdroje a pozorovatele, která je mnohem menší, než rychlost světla ve vakuu) popsat vztahem

RV =c

λlab(λ− λlab), (20)

kde RV je radiální rychlost zdroje vůči pozorovateli, tedy rychlost ve směru zorného paprsku (zpravidla sebere kladně při vzdalování zdroje), λ je pozorovaná vlnová délka, λlab je laboratorní klidová vlnová délka ac je opět rychlost světla ve vakuu.

Elektromagnetické záření můžeme vnímat buď globálně nebo podle jednotlivých vlnových délek. Častose používá termín spektrum elektromagnetického záření. Tím se rozumí funkce vyzařování nějakého zdrojev závislosti na vlnové délce či frekvenci. Reálné zdroje elektromagnetického záření totiž obvykle nejsoumonochromatické, ale vyzařují přes velký rozsah vlnových délek, ač pro různé vlnové délky s různouvydatností.

Podle délky vlny se historicky vyvinulo schematické dělení elektromagnetického záření na několikplynule na sebe navazujících oblastí. Je ovšem třeba upozornit, že různé prameny udávají hranice oblastíponěkud různě, někdy i s vzájemným překryvem. Zde uvedené dělení je proto jen informativní:

1. Záření γ Vlnové délky kratší než 0,1 nm.

2. Rentgenové (X) záření Vlnové délky mezi 0,1 nm a zhruba 4 nm.

3. Ultrafialové (UV) záření Vlnové délky mezi 4 nm a zhruba 370 nm.

4. Optické záření = viditelné světlo Vlnové délky v rozsahu asi 370–750 nm; s rostoucí vlnovou délkouvnímáme toto záření jako světlo fialové, modré, zelené, žluté, oranžové a červené barvy.

5. Infračervené (IR) záření Vlnové délky mezi 750 nm a zhruba 1 mm.

6. Mikrovlnné záření Vlnové délky mezi 1 mm a zhruba 100 mm.

7. Rádiové záření Vlnové délky delší než asi 100 mm; v řadě případů se lze setkat s tím, že částmikrovlnného záření se považuje za podskupinu radiového záření.

Vlnová délka elektromagnetického záření se měří ve zlomcích, případně násobcích základní SI jednotkyjednoho metru. Frekvence se v zásadě měří v jednotkách odvozené SI jednotky zvané Hertz (zkratka Hz) apříslušných násobcích:

1Hz = 1s−1. (21)

Vzhledem k obrovskému rozpětí mnoha řádů se v různých oblastech elektromagnetického záření vlnovádélka a frekvence udávají z praktických důvodů v různých tradičně zaváděných jednotkách. V oblasti záření

13

γ se většinou vůbec nepoužívá vlnová délka ani frekvence, ale jednotky energie odpovídající kvantu zářenío dané frekvenci, nejčastěji udávané v elektronvoltech (zkratka eV):

1eV = (1, 602176462± 0, 000000063)× 10−12erg = (1, 602176462± 0, 000000063)× 10−19J. (22)

V UV oboru a v optickém oboru se nejčastěji používá vlnová délka, udaná buď v nm nebo v Å.V infračerveném oboru se nejčastěji udává vlnová délka v µm = 10−6 m.Konečně pro rádiové vlny se udává jejich vlnová délka v m, případně frekvence v kHz či MHz.

Příklad:Spočítejte, jakou frekvenci a jakou vlnovou délku má foton o energii 1 eV.

Řešení:Podle vztahu (18) je

ν =E

h=1, 602176462× 10−19J6, 62606876× 10−34J s = 2, 41798949× 10

14Hz. (23)

Podle vztahu (17) je odpovídající vlnová délka

λ =c

ν=2, 99792458× 108ms−12, 41798949× 1014Hz = 1, 23984186× 10

−6m = 1, 23984186µm. (24)

Na základě právě uvedeného jednoduchého příkladu tedy vidíme, že lze napsat jednoduchý obecně platnývztah mezi vlnovou délkou záření v µm a jeho energií E na 1 foton udanou v eV:

λ[µm] =hc

E=1, 23984186

E[eV]. (25)

2.1 Intenzita

Monochromatická intenzita Iν je množství zářivé energie procházející v daném místě prostoru v danémsměru kolmo jednotkovou ploškou do jednotkového prostorového úhlu v jednotkovém intervalu frekvencíza jednotku času. Množství zářivé energie dEν vycházející v daném směru z plošky ds do prostorového úhludω pod úhlem ϑ vůči normále k plošce ve frekvenčním intervalu (ν, ν + dν) za čas dt je pak dáno vztahem

dEν = Iν(x, y, z, ϕ, ϑ, t)dνds cosϑdωdt. (26)

Úhel ϑměříme od osy z v intervalu od nuly do π, úhel ϕ od osy x v rozsahu od 0 do 2π. Rozměr intenzity najednotku frekvence se zpravidla udává v W.m−2Hz−1sr−1 (abychom zdůraznili, jak je intenzita vyjádřena,i když je zřejmé, že např. 1 Hz = s−1). Daleko častěji se však v astronomické literatuře dosud setkámes rozměrem v soustavě cgs: erg.s−1cm−2Hz−1sr−1. Platí zřejmě, že

Iν (cgs) = 10−3Iν (SI).

14

ds

1

ds

2

#

1

#

2r

d!

1

d!

2

Obrázek 2: Intenzita záření v různých místech prázdného prostoru.

Intenzitu lze ovšem udávat i na jednotku vlnové délky a označovat ji jako Iλ a vztah (26) psát ve tvaru

dEλ = Iλ(x, y, z, ϕ, ϑ, t)dλds cosϑdωdt. (27)

Mají-li výrazy dEν a dEλ v rovnicích (26) a (27) vyjadřovat stejné množství energie, musí platit

Iλdλ = Iνdν (28)

a po diferencování rovnice (17) dostáváme zřejmé vztahy mezi oběma veličinami:

Iλ =ν2

cIν a Iν =

λ2

cIλ (29)

(záporné znaménko z diferencování se ”ztratí” v opačné orientaci kladných diferenciálů dν a dλ).

Uvažme situaci, kdy záření v prázdném prostoru prochází v daném směru postupně dvěma elementárními ploškami ds1 a ds2, jejichžnormály svírají se směrem záření dva různé úhly ϑ1 a ϑ2, přičemž r je vzdálenost mezi středy obou složek – viz obr. 2. Energii záření jdoucíhoz místa plošky ds1 ve směru plošky ds2, které právě prochází ploškou ds2 je

dEν = Iνdνds1 cos ϑ1dω1dt, (30)

kde pro úhel dω1 zjevně platí

dω1 =ds2 cosϑ2

r2. (31)

Rovnici (30) lze proto přepsat do tvaru

dEν = Iνdνds1 cosϑ1ds2 cos ϑ2

r2dt. (32)

15

Ploška ds1 je vidět z plošky ds2 pod úhlem dω2, pro který analogicky platí

dω2 =ds1 cosϑ1

r2→ ds1 cosϑ1 = r

2dω2, (33)

takže rovnici (32) lze upravit do tvaru

dEν = Iνdνds2 cos ϑ2dω2dt. (34)

Intenzita Iν je ovšem stejné množství energie v místě plošky ds1 jak v rovnici (30), tak v rovnici (34), takže je zřejmé, že pokud v prostředí

mezi oběma ploškami nedochází ani k pohlcování ani k uvolňování zářivé energie, nezávisí intenzita na místě, kde ji uvažujeme.

Intenzita je tedy obecně funkcí frekvence, místa a směru. Nezávisí však na tom, kde ji registrujeme.Někdy se místo a směr záření popisují vektorově; poloha vektorem

~r = (x, y, z) (35)

a směr jednotkovým vektorem ~n, který s kolmicí na plošku ds svírá úhel ϑ. Rovnici (26) lze pak psát vetvaru

dEν = Iν(~r, ~n, t)dν~n.d~sdωdt, (36)

kde skalární součin ~n.d~s = ds cosϑ.

Často se také používá střední intenzita záření Jν , tj. intenzita středovaná přes celý prostorový úhel ω,mnohdy též nazývaná nultý moment intenzity:

Jν =

4π∫

0Iνdω

4π∫

0dω

=1

4π

4π∫

0

Iνdω. (37)

V řadě případů – např. v normálních hvězdných atmosférách – lze předpokládat osovou symetrii, tedyto, že intenzita záření nezávisí na úhlu ϕ. Označme ji pro odlišení symbolem Isν . S uvážením toho, že

dω = sinϑdϑdϕ, (38)

a po integraci přes úhel ϕ lze pak ovšem psát

J sν =1

2

π∫

0

Isν sin ϑdϑ. (39)

Někdy je užitečné používat celkovou, integrální či bolometrickou intenzitu I záření získanou integracípřes celé elektromagnetické spektrum:

I =

∞∫

0

Iνdν =

∞∫

0

Iλdλ. (40)

16

2.2 Tok

Celkové množství záření procházející ploškou ds za čas dt ve frekvenčním rozsahu (ν, ν + dν) ze všechsměrů je

dEν = Fνdνdsdt. (41)Funkce Fν(x, y, z, t) se nazývá monochromatický tok záření plochou a jak ihned vyplyne z dalšího výkladu,je to jedna z nejzáludnějších v astrofyzice používaných veličin, na kterou je třeba si dávat zvlášť velký pozor,neboť ji různí autoři používají různě. Je zřejmě

Fν =4π∫

0

Iν cosϑdω. (42)

Rozměr toku je W.m−2Hz−1 (nebo erg.cm−2s−1Hz−1).Stejně jako intenzitu lze i tok alternativně udávat na jednotku vlnové délky, s převodními vztahy analo-

gickými rovnici (29):

Fλ =ν2

cFν a Fν =

λ2

cFλ. (43)

V teorii hvězdných atmosfér se velmi často používá transformace µ ≡ cosϑ; příslušné integrace přesinterval 〈0, π〉 v úhlu ϑ se pak změní v integrace přes interval 〈−1, 1〉 v proměnné µ. Zde se však pronázornost přidržím explicitního zápisu.

Pokud budeme opět předpokládat, že intenzita záření nezávisí na úhlu ϕ a připomeneme si vztah (38),dostáváme pro tok výraz

F sν = 2ππ∫

0

Isν sinϑ cos ϑdϑ. (44)

Pokud je intenzita záření do všech směrů stejná tj. pokud nezávisí v daném místě ani na úhlu ϑ, hovořímeo isotropním záření s intenzitou I iν . Je zřejmé, že pro isotropní záření je celkový tok plochou nulový, neboť

F iν = 2πI iνπ∫

0

sinϑ cosϑdϑ = πI iν [sin2 ϑ]πϑ=0 = 0. (45)

Naproti tomu tok isotropního záření Iν do poloprostoru

F iν = 2πI iν

π2∫

0

sin ϑ cosϑdϑ = πI iν [sin2 ϑ]

π2

ϑ=0 = πIiν . (46)

Pozor! V řadě publikací se lze setkat s tím, že tok do celého prostoru je označován výrazem πFν , kdeFν je tzv. astrofyzikální tok související se zde zavedeným tokem vztahem

πFν = Fν . (47)

17

Astrofyzikální tok Fλ je tabelován např. ve velmi často užívaných Kuruczových modelech atmosfér hvězd– viz Kurucz (1979).

Množství energie procházející celým povrchem sférické hvězdy o poloměru R v daném frekvenčnímintervalu dν je zřejmě dáno součinem plochy povrchu hvězdy a toku v uvažovaném intervalu frekvencí,tedy výrazem 4πR2Fνdν. Je-li uvažovaná hvězda ve vzdálenosti d od nás a označíme-li tok z hvězdyregistrovaný na Zemi symbolem fν , pak pro energii procházející sférou o poloměru dmusí analogicky platitvýraz 4πd2fνdν a porovnáním dostaneme vztah

fν =R2

d2Fν =

(

R

d

)2

πFν . (48)

Vidíme tedy, že tok ubývá se čtvercem vzdálenosti od zdroje.V teoretických modelech se nejčastěji používá tzv. Eddingtonův tok neboli první moment intenzity

Hν =1

4π

4π∫

0

Iν cos ϑdω, (49)

který souvisí s tokem zde zavedeným vztahem

Hν =1

4πFν . (50)

Vzhledem k tomu, že v klasických modelech atmosfér hvězd se uvažují homogenní, ploché rovinné atmo-sféry, kde intenzita nezávisí na úhlu ϕ, je vystupující tok dobře popsán rovnicí (44). Eddingtonův tok lzepak psát ve tvaru

Hν =1

4πF sν =

1

2

π∫

0

Isν sinϑ cos ϑdϑ. (51)

Je tedy zřejmé, že při praktických numerických aplikacích je třeba si dávát velmi dobrý pozor na to, jakýtok záření a v jakých jednotkách ten který autor používá.

Je přirozeně opět možné závést i celkový, integrální neboli bolometrický tok:

F =∞∫

0

Fνdν =∞∫

0

Fλdλ =4π∫

0

I cosϑdω. (52)

Příklad:Hayes a Latham (1975) publikovali absolutní kalibraci toku jasné hvězdy Vega (α Lyr). Pro vlnovou

délku 550 nm udávají tok Fλ=3,39×10−9 erg.cm−2s−1Å−1. Vypočtěte odpovídající frekvenci tohoto zářenía odpovídající tok na jednotku frekvence udaný v SI soustavě.

Řešení:

18

Frekvence záření o vlnové délce 550 nm je podle vztahu (17) rovna

ν =2, 99792458× 108ms−1

550× 10−9m = 5, 45077196× 1014Hz. (53)

Tok Fλ v SI soustavě je 3,39×10−9 × 10−7 J×104m−2s−1Å−1= 3,39×10−12Wm−2Å−1.Protože tok na jednotku frekvence musí označovat stejné množství zářivé energie za jednotku času jako

tok na jednotku vlnové délky, platí zřejmě

Fνdν = Fλdλ = Fλc

ν2dν, (54)

a tedy

Fν =c

ν2Fλ =

2, 99792458× 108m.s−15, 450771962 × 1028Hz2 · 3, 39× 10

−12Wm−21010m−1 = 3, 42× 10−23Wm−2Hz−1. (55)

2.3 Hustota zářivé energie

Hustotou zářivé energie rozumíme množství zářivé energie nacházející se v daném místě a čase v objemovéjednotce. Množství zářivé energie dEν procházející ploškou ds ze směru svírajícího s kolmicí na ploškuúhel ϑ za čas dt bude zřejmě

dEν = Iν cosϑdνdsdtdω. (56)

Protože toto záření se pohybuje rychlostí světla c, naplní za čas dt objem dV = cdtds cos ϑ. Hustota zářenípřicházejícího z daného směru bude tedy

dEνdV=1

cIνdωdν. (57)

Integrací přes celý prostorový úhel dostaneme pak hustotu záření v daném intervalu frekvencí

uνdν =1

c

4π∫

0

Iνdωdν =4π

cJνdν (58)

a integrací přes celé spektrum pak celkovou hustotu záření

u =

∞∫

0

uνdν =1

c

4π∫

0

Idω =4π

cJ. (59)

2.4 Tlak záření

Označme hybnost záření v dané frekvenci, které přichází z určitého směru, symbolem dpν . Je-li celkováhmotnost tohoto záření mν , lze pro jeho hybnost psát dpν = mνc. S použitím Einsteinovy rovnice (19)

dEν = mνc2 (60)

19

je tedy výraz pro příspěvek hybnosti záření

dpν =dEνc

(61)

takže síla působící na plošku ds od uvažovaného příspěvku záření je podle druhého Newtonova zákona as využítím vztahu (56)

df =dpνdt=1

c

dEνdt=Iνccosϑdsdωdν. (62)

Složka síly působící kolmo na uvažovanou plošku bude ovšem df ′ = df cosϑ. Tlak je výsledná síla působícína jednotkovou plochu ze všech směrů, tedy

Pr,νdν =1

ds

4π∫

0

df ′ =dν

c

4π∫

0

Iν cos2 ϑdω (63)

Zavedeme-li ještě druhý moment intenzity Kν vztahem

Kν =1

4π

4π∫

0

Iν cos2 ϑdω, (64)

můžeme pro tlak monochromatického záření psát

Pr,ν =4π

cKν . (65)

Pro celkový tlak záření všech frekvencí pak přirozeně platí

Pr =∫ ∞

0Pr,νdν =

1

c

4π∫

0

I cos2 ϑdω (66)

2.5 Koeficient opacity (absorpce) a optická tloušťka

Uvažme situaci, kdy záření o intenzitě Iν prochází vrstvou plynu. V důsledku různých atomárních procesůse energie záření může zčásti pohltit a zčásti rozptýlit do jiných směrů. K popisu toho, kolik energie sena dráze paprsku pohltí, se zavádí tzv. lineární koeficient opacity ξν představující úbytek intenzity poté,co paprsek urazí ve hmotném prostředí jednotkovou vzdálenost. Jinak řečeno, prochází-li záření hmotnýmprostředím, pak při průchodu o délku dz dojde k úbytku intenzity dIν , pro který platí

Iν(z + dz)− Iν(z) ≡ dIν = −ξνIνdz. (67)

Často se též zavádí také hmotnostní opacitní koeficient daný vztahem

κν =ξνρ, (68)

20

kde ρ je hustota v uvažovaném prostředí. Lineární absorbční koeficient má rozměr m−1, zatímco rozměrhmotnostního absorbčního koeficientu je m2kg−1.

Uvažujme nyní úbytek záření po průchodu vrstvou plynu o tloušťce dx, jestliže předpokládáme, že jdeo záření, vstupující ploškou ds do vrstvy pod úhlem ϑ. Při průchodu vrstvou o tloušťce dx urazí toto zářenízřejmě dráhu dx · cos−1 ϑ a pro energii pohlceného záření tedy můžeme psát

dEν = Iνξνdx cos−1 ϑds cosϑdωdνdt = Iνκνρdxdsdωdνdt. (69)

V teorii hvězdných atmosfér se používá bezrozměrná veličina nazývaná optická tloušťka τν zavedenávztahem

dτν = κνρdx (70)

nebo integrálním vztahem

τν =∫ x

0κνρdx, (71)

kde x je celková tloušťka vrsty plynu podél zorného paprsku. Vztah pro změnu intenzity pak lze psát ve tvaru

dIν = −Iνdτν . (72)

2.6 Mechanická síla, kterou záření působí na vrstvu plynu

Uvažme nyní, jakou mechanickou silou působí záření o intenzitě Iν na výše uvažovanou tenkou vrstvu plynuo síle dx, na kterou dopadá pod úhlem ϑ z prostorového úhlu dω. Jak víme již z rovnice (61), bude příspěvekhybnosti dpν dán výrazem

dpν =dEνc, (73)

kde c opět označuje rychlost světla a dEν je množství energie pohlcené v uvažované tenké vrstvě, které jedáno rovnicí (69). Příspěvek mechanické síly působící kolmo na uvažovanou tenkou vrstvu bude tedy

dpνdtcosϑ =

κνρdxdsdν

cIν cosϑdω . (74)

Celkovou mechanickou sílu záření fr,ν působící kolmo na plochu ds uvažované vrstvy v jednotkovémfrekvenčním intervalu tedy získáme integrací přes celý prostorový úhel:

fr,ν =κνρdxdsdν

c

4π∫

0

Iν cosϑdω =

=κνρdxdsdν

cFν =

dνdsdτνc

Fν , (75)

kde Fν je celkový monochromatický tok záření v daném místě.Celková mechanická síla působená tlakem záření všech vlnových délek pak bude

fr =

∞∫

0

fr,ν =ρdxds

c

∞∫

0

κνFνdν. (76)

21

2.7 Emisní koeficient

Emisní koeficient je množství zářivé energie emitované jednotkovou hmotou za jednotku času do jednotko-vého prostorového úhlu. Množství zářivé energie vysílané z elementárního válečku o podstavě ds a výšcedx, tedy z objemu dx · ds o hustotě ρ do prostorového úhlu dω za čas dt je pak

dEν = jνρdxdsdνdωdt, (77)

kde jν je emisní koeficient na jednotku hmoty.Pro změnu intenzity záření podél zorného paprsku můžeme tedy psát

dIν = jνρdx. (78)

Rozměr emisního koeficientu zřejmě je W kg−1Hz−1sr−1.

2.8 Rovnice přenosu energie

Uvažujme o energetické bilanci infinitesimálního válečku s podstavou ds a výškou dx. Za čas dt vstoupí doválečku z prostorového úhlu dω ve frekvenčním rozsahu dν záření

Iνdsdωdνdt. (79)

Na druhém konci bude z válečku vystupovat záření

(Iν + dIν)dsdωdνdt. (80)

Ve válečku se pohltí

κνIνρdxdsdωdνdt, (81)

kde κν je absorpční koeficient na jednotku hmoty. Váleček sám bude do daného směru vyzařovat energii

jνρdxdsdωdνdt. (82)

Má-li být zachována energetická rovnováha, musí tedy platit

(Iν + dIν)dsdωdνdt =

Iνdsdωdνdt + jνρdxdsdωdνdt − κνIνρdxdsdωdνdt. (83)Po úpravě dostáváme obecnou rovnici přenosu záření ve tvaru

dIνdx= jνρ− κνρIν . (84)

Pro sférickou atmosféru lze ještě psát

dIν(r, ϑ) =∂Iν∂rdr +

∂Iν∂ϑdϑ, (85)

což lze upravit pomocí geometrických vztahůdr = dx. cos ϑ a dϑ = −r−1dx. sinϑ

do tvaru∂Iν∂rcos ϑ− sinϑ

r

∂Iν∂ϑ+ κνρIν − jνρ = 0. (86)

22

2.9 Termodynamická rovnováha

Termodynamický systém je ve stavu rovnováhy, jestliže

1. všechny veličiny, které jej charakterizují, jsou nezávislé na místě a čase, a

2. jeho stav by se nezměnil, kdybychom jej dokonale isolovali od okolí.

V takovém případě závisí intenzita záření pouze na teplotě a frekvenci a od místa k místu se nemění. Jestližetuto intenzitu označíme Bν(T ) a uvážíme-li, že výraz dIνdx v rovnici (84) bude v daném případě nulový,dostáváme pro stav tepelné rovnováhy z rovnice (84) Kirchhoffův zákon

jνκν= Bν(T ). (87)

2.10 Záření absolutně černého tělesa

Absolutně černé těleso je takové těleso, které veškeré dopadající záření pohlcuje, žádné nepropouští anineodráží.

Obecně lze definovat koeficienty absorpce κν , odrazivosti Rν a propustnosti Dν jako tu část záření, která se z dopadajícího záření Iν pohltí,resp. odrazí nebo projde, a tedy Iνpohlc. = κνIν atd. Zřejmě musí platit

κν +Rν +Dν = 1. (88)

Záření, které vysílá nějaké těleso, závisí pouze na jeho teplotě. Uvažme, jaké výsledné množství záření přechází mezi dvěma tělesy oteplotách T1 a T2, která žádné záření nepropouštějí, tj. pro něž platí Dj = 0 a tedy Rj = 1− κj , j = 1, 2.

Těleso 1 vyšle v dané frekvenci záření E1, z něj těleso 2 pohltí κ2E1 a odrazí (1− κ2)E1. Z toho těleso 1 odrazí (1− κ1)(1− κ2)E1 atd.Celkem putuje od tělesa 1 k tělesu 2 záření

E1(1 + (1− κ1)(1− κ2) + (1− κ1)2(1− κ2)

2 + ...). (89)

Označíme-li ještě k = (1− κ1)(1− κ2), lze předchozí výraz zapsat jako součet geometrické řady

E1(1 + k + k2 + k3 + ....) =

E1

1− k. (90)

Záření, které se vrátí na těleso 1, je zřejmě

E1(1− κ2)(1 + k + k2 + k3 + ....) =

E1(1− κ2)

1− k. (91)

Protože pro záření druhého tělesa musí platit zcela analogické vztahy, lze úhrnně pro záření jdoucí z tělesa 1 na těleso 2 psát

E1

1− k+

E2(1− κ1)

1− k=

E1 + E2 − E2κ11− k

, (92)

zatímco úhrnné záření jdoucí naopak z tělesa 2 na těleso 1 je

E1 + E2 − E1κ21− k

. (93)

V případě, že obě tělesa budou mít stejnou teplotu, pak pro dva systémy v rovnováze musí být oba příspěvky identické a musí tedy platit

E1

κ1=

E2

κ2. (94)

23

Pokud obě tělesa budou absolutně černá, platí, že κ1 = κ2 = 1 a ze vztahu (94) plyne, že dvě absolutně černá tělesa o stejné teplotě vysílajíidentické záření.

Označíme-li monochromatickou intenzitu záření absolutně černého tělesa o teplotě T symbolem Bν(T ) a symbolem jν(T ) vyzařovánínějakého nečerného tělesa, které je v rovnovážném stavu, plyne z rovnice (94) opět Kirchhoffův zákon

jν(T )

κν(T )= Bν(T ), (95)

který jsme odvodili bez použití rovnice přenosu.

Z aplikace Bose-Einsteinovy statistiky na fotonový plyn plyne pro monochromatickou intenzitu absolutněčerného tělesa, nazývanou též Planckova funkce, výraz

Bν(T ) =2hν3

c21

ehνkT − 1

, (96)

kde

h = (6, 6260693± 0, 0000011) · 10−34J s, (97)k = (1, 3806505± 0, 0000024).10−23JK−1, (98)c = 2, 99792458.108ms−1 (99)

jsou Planckova konstanta, Boltzmannova konstanta a rychlost světla ve vakuu.

Integrací Planckovy funkce (96) přes celé elektromagnetické spektrum dostáváme integrální intenzituzáření černého tělesa

B(T ) =

∞∫

0

Bν(T )dν =2h

c2

∞∫

0

ν3dν

ehνkT − 1

=

=2h

c2

(

kT

h

)4 ∞∫

0

x3dx

ex − 1 =2π4k4

15c2h3T 4. (100)

(Integrace uvedeného vztahu není triviální. Platí

∞∫

0

x3dx

ex − 1= lim

ε→0

∞∫

ε

(e−xx3 + e−2xx3 + ...)dx =

= 6(1

14+1

24+1

34+ ...) =

6π4

90, (101)

protože

∞∫

0

e−jxx3dx =6

j4. (102)

V aplikaci na rovnici (100) je

x =hν

kT→ ν =

kT

hx, (103)

24

a tedy

ν3dν =

(

kT

h

)4

x3dx. (104)

Jelikož záření černého tělesa je isotropní, nezávisí jeho intenzita na směru a místo integrálu hustotyenergie pro integrální hustotu záření černého tělesa dostáváme

u(T ) =4π

cB(T ) =

8π5k4

15c3h3T 4 = aT 4, (105)

kde a je konstanta hustoty záření daná následujícím vztahem

a =8π5k4

15c3h3= 7, 56577.10−16 Jm−3K−4. (106)

Zavedeme-li ještě Stefanovu-Boltzmannovu konstantu σ vztahem

σ =ac

4= (5, 670400± 0, 000040).10−8Wm−2K−4, (107)

dostáváme pro Planckovu funkci výraz

B(T ) =σ

πT 4. (108)

Jak jsme si již řekli v úvodu, v optickém a v dlouhovlnějších oborech spektra se většinou nepoužíváfrekvence, ale vlnová délka záření. Je proto užitečné znát i výraz pro Planckovu funkci vyjádřený pomocívlnové délky λ

Bλ(T ) =2hc2

λ51

ehc

kTλ − 1, (109)

který plyne z Planckovy funkce zapsané pomocí frekvence záření (96) s využítím vztahů (17) a (29).Můžeme se také zajímat, u které vlnové délky dosahuje pro danou teplotu funkceBλ(T )maxima. Jestliže

výraz (109) přepíšeme do tvaru

Bλ(T ) =k1λ5(e

k2Tλ − 1)−1, (110)

kde

k1 = 2hc2 a k2 =

hc

k(111)

jsou konstanty, lze podmínku maxima funkce psát jako

dBλ(T )

dλ= −5k1

λ6(e

k2Tλ − 1)−1 + k1

λ5(e

k2Tλ − 1)−2e

k2Tλ

k2Tλ2

= 0. (112)

25

Zavedeme-li novou proměnnou x = k2Tλ

, lze tuto podmínku přepsat do tvaru

−5 + xex(ex − 1)−1 = 0, (113)

což vede na rovnici

x = 5− 5e−x. (114)

Její iterační řešení vede k hodnotě x = 4, 96511.., což s přihlédnutím k definici proměnné x a hodnoty k2vede konečně na podmínku

λ T = 2897768, 6 , (115)

kde teplota je udána v K a vlnová délka λ v nm. Vztah, který jsme si právě odvodili, se nazývá Wienovýmposunovacím zákonem a plyne z něj, že maximum vyzařování absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotouposouvá ke kratším vlnovým délkám, což odpovídá i běžné lidské zkušenosti: barva zahřívaného tělesa semění od červené k bílé až namodralé, jak roste jeho teplota. A jak uvidíme, červené hvězdy jsou skutečněchladnější, než hvězdy bílé či namodralé.

PříkladSpočtěte, u kterých vlnových délek dosahuje Planckova funkce maximum pro absolutně černá tělesa

s teplotami 3000 K, 6000 K, 10000 K a 30000 K.

ŘešeníJednoduchým dosazením do Wienova zákona (115) dostáváme vlnové délky 965,9 nm, 483,0 nm,

289,8 nm a 96,59 nm. Vidíme, že vyzařovací maximum se pro tento rozsah teplot posouvá od infračer-vené do ultrafialové oblasti spektra.

Pozor ale! Kdybychom podobně, jako jsme to právě učinili, vyšetřovali, kde dosahuje maxima Planckovafunkce Bν(T ) definovaná vztahem (96), zjistili bychom, že nikoliv pro frekvenci odpovídající vlnové délcemaxima funkce Bλ(T ), ale někde úplně jinde. Pokud budeme funkci Bν(T ) vyšetřovat také jako funkcivlnové délky, odvodíme pro její maximum podmínku

λ T = 5099437, 0 , (116)

kde je opět teplota udána v K a vlnová délka λ v nm. Pro teplotu 6000 K dosahuje tedy tato funkce maximaaž u vlnové délky 849,9 nm. Vidíme tedy, že funkce Bν(T ) a Bλ(T ) vyšetřované obě současně pro danouteplotu buď jako funkce vlnové délky nebo frekvence záření jsou dvě různé funkce s různým průběhem.

V krátkovlnné oblasti spektra je ehc

kTλ >> 1, takže lze Planckovu funkci Bλ(T ) aproximovat vztahem

Bλ(T ).=2hc2

λ5e−

hckTλ . (117)

To se obvykle nazývá Wienovou aproximací.

26

Naopak v dlouhovlnné oblasti spektra je hckTλ

2.12 Efektivní teplota hvězdy

Z rovnic (46) a (108) plyne pro tok záření absolutně černého tělesa do poloprostoru vztah

πB(T ) = σT 4. (123)

Absolutní měření rozložení energie elektromagnetického záření v závislosti na vlnové délce ve spektrechhvězd vedlo ke zjištění, že záření hvězd se v hrubém příblížení svým průběhem podobá záření absolutněčerného tělesa. Vzhledem k tomu je pro mnohé úvahy užitečné zavést parametr, kterým lze popisovat celkový(bolometrický) zářivý výkon hvězdyL, tj. celkový tok záření z povrchu hvězdy do okolního prostoru. Za tentoparametr byla zvolena efektivní teplota hvězdy, definovaná rovnicí

L = 4πR2πB(Teff) = 4πR2σT 4eff , (124)

kde R označuje poloměr hvězdy. Efektivní teplota je rovna teplotě absolutně černého tělesa o stejnémrozměru jako uvažovaná hvězda a vysílajícím do vnějšího prostoru stejný tok záření jako dotyčná hvězda.

3 Klasické způsoby pozorování hvězd

Elektromagnetické záření přicházející z hvězd lze zkoumat v zásadě dvojím způsobem:

1. Buď se zajímáme přímo o spojité záření hvězdy, tedy o integrální tok záření v nějakém rozsahuvlnových délek a jeho změny od jedné oblasti vlnových délek ke druhé (tedy jeho “barvu”), případněo časové změny pozorovaného integrálního toku v dané oblasti vlnových délek. Pak hovoříme o hvězdnéfotometrii.

2. Druhou možností je, že studujeme světlo rozložené na barvy nějakým disperzním elementem jako jehranol či mřížka neboli spektrum hvězdy. V atmosférách hvězd, které jsou obvykle chladnější, než vrstvypod nimi, dochází k pohlcování světla určitých vlnových délek odpovídajících změnám energetickýchstavů atomů či molekul v atmosférách. Spojité spektrum hvězdy je tedy obvykle přerušeno temnýmiproužky v odpovídajích vlnových délkách a toto čárové spektrum nám poskytuje velké množstvíinformací, jak o tom bude řeč později. Právě popsaný typ pozorování se nazývá hvězdná spektroskopie.

3. Oba popsané způsoby lze kombinovat: Můžeme světlo mřížkou rozložit na barvy a poté nějakýmdetektorem zjišťovat monochromatický tok v každé vlnové délce. Podle toho, bude-li použitý detektorkalibrován v absolutních jednotkách toku nebo ne, hovoříme pak o absolutní či relativní spektrofoto-metrii.

V následujícím výkladu si o hvězdné fotometrii a spektroskopii, metodách prvotního zpracování i o tom,co se lze pomocí fotometrie a spektroskopie o hvězdách dozvědět, povíme podrobněji.

3.1 Spektrální klasifikace hvězdných spekter

Soustavnější pozorování spekter hvězd byla započata v devatenáctém století, nejprve visuálně pomocí spek-troskopu a později ve spektrografech, se záznamem na fotografickou desku. Významná byla práce Josepha

28

Fraunhofera, který roku 1814 studoval sluneční spektrum a popsal v něm asi 600 absorbčních čar. WilliamHuggins v roce 1864 prokázal, že absorbční čáry pozorované u Slunce i jiných hvězd odpovídají absorbčnímspektrům různých pozemských látek. Byly činěny různé pokusy spektra podle vzhledu klasifikovat (páterSecchi v Itálii, prof. Vogel v Německu na observatoři v Potsdamu), ale nakonec se ujala klasifikace, kteroupostupně za základě mnoha tisíců spekter vypracovala na Harvardově observatoři v USA v letech 1918-1924slečna Annie J. Cannonová. Spektra hvězd se podle svého vzhledu dělí do následujících spektrálních tříd:

• třída O Jsou přítomny čáry ionizovaného helia He II, neutrálního helia He I a neutrálního vodíku H Ia též čáry dvakrát ionizovaného kyslíku, uhlíku a dusíku O III, C III a N III.

• třída B Dominují čáry neutrálního helia He I a neutrálního vodíku H I a přítomny jsou též čary O II,C II, N II, Fe III a Mg II.

• třída A Chybí čáry neutrálního helia He I a dominují čáry neutrálního vodíku H I, nápadné jsou jednouionizované čary kovů skupiny železa jako Fe II, Ti II, V II či Cr II.

• třída F Čáry neutrálního vodíku H I jsou výrazně slabší, i když stále dominují a ve spektru přibýváčar kovů.

• třída G Čáry H a K ionizovaného vápníku (Ca II 393,3 a 396,9 nm) jsou ve spektru dominantní,objevují se první molekulární pásy.

• třída K Spektrum je bohaté na čary neutrálních kovů.• třída M Ve spektru převládají molekulární pásy TiO a VO.• třída L Tato třída byla zavedena až poměrně nedávno v práci Kirkpatricka a kol. (1999) v souvislosti

s hledáním tzv. hnědých trpaslíků. Ve spectrech hvězd třídy L mizí molekulární pásy TiO a VO aobjevují se silné čáry neutrálního draslíku K I a také čáry Rb I, Cs I a CrH.

• třída T I tato třída byla zavedena až nedávno a vyznačuje se zejména čarami methanu CH4 a širokýmispektrálními pásy vodních par H2O – viz práce Burgassera a kol. (1999).

Je nutno si uvědomit, že laboratorní analýza čarových spekter se rozvíjela souběžně se studiem spekterhvězd a zpočátku nebylo vůbec jasné, že ve hvězdách musí existovat stejné chemické prvky jako na Zemi.Výrazné spektrální čáry byly označovány velkými písmeny a teprve postupně byla nacházena jejich identifi-kace s pozemskými prvky Mendělejevovy tabulky. Proto byl zásadním zjištěním fakt, že hvězdy spektrálníchtypů O a B se jevily jako modré a namodralé, hvězdy A a F jako bílé, G žluté, K oranžové a M červené.Ve dvacátých letech 20. století bylo již jasné, že existuje úzká vazba mezi spektrálními typy a povrchovýmiteplotami příslušných hvězd.

Současně se ale ukazovalo, že při stejné spektrální třídě se vyskytují rozdíly ve vzhledu některýchčar. V okamžiku, kdy bylo dostatek údajů o vzdálenostech jednotlivých hvězd, vyšlo najevo, že tyto rozdílysouvisí s rozdíly v jasnostech hvězd stejného spektrálního typu, tedy s jejich třídou svítivosti neboli s rozdílemjejich poloměrů.

To se stalo základem dvourozměrné spektrální klasifikace, která je užívána dodnes.

29

3.2 Hvězdná fotometrie

3.2.1 Jasnosti hvězd, Pogsonova rovnice, hvězdné velikosti v různých mezinárodně přijatých systémech

Asi 150 let před začátkem našeho letopočtu publikoval Hipparchos katalog poloh a jasností asi 800 hvězd.Jasnosti hvězd v něm rozdělil do šesti kategorií, přičemž v první byly hvězdy nejjasnější. Ptolemaios pozdějitento katalog rozšířil o dalších 200 hvězd. To se stalo základem postupně se vytvořivší škály hvězdnýchvelikostí, což jsou jasnosti hvězd seřazené sestupně, tj. hvězda druhé hvězdné velikosti je méně jasná,než hvězda první velikosti, atd. Významně v těchto ranných stádiích hvězdné fotometrie přispěli zkušenípozorovatelé Herschel a Argenlander. Ukázalo se, že pro empiricky se vyvinuvší škálu hvězdných velikostívelmi přibližně platí, že rozdílu pěti hvězdných velikostí odpovídá stonásobný rozdíl jasností. Jasnostízde rozumíme veličinu úměrnou množství zářivé energie z uvažované hvězdy, které prochází jednotkovouplochou v místě použitého detektoru. Jinak řečeno, veličinu úměrnou toku záření z hvězdy jednotkovouplochou v místě našeho detektoru. Lidské oko vnímá lineárně se měnící osvětlení na logaritmické škále.Na základě tohoto zjištění byla zavedena moderní škála hvězdných velikostí na návrh Pogsona (1856) tak,že zmíněný přibližný vztah byl přijat jako platící přesně.

Chceme-li tedy zapsat definici hvězdných velikostí v matematickém tvaru, je to tak, že hledáme loga-ritmický vztah, který zároveň převrací směr číselné osy tak, aby většímu toku odpovídala menší hvězdnávelikost, tedy

m2 −m1 = a logF1F2, (125)

kde mi a Fi, i = 1, 2 označují hvězdné velikosti a na Zemi měřený tok zářivé energie, pro hvězdu 1 ahvězdu 2. Konstantu a zjistíme z přijaté definice škály hvězdných velikostí, neboť musí platit, že

5 = a log 100.

Pracovní vztah pro výpočet hvězdných velikostí, nazývaný dnes Pogsonova rovnice, je tedy

m2 −m1 = 2, 5 logF1F2. (126)

Můžeme napsat i vztah opačný

F1F2= 100,4(m2−m1) = 1000,2(m2−m1), (127)

kde 1000,2 = 5√100

.= 2,511886431. Jak vidíme, je pátá odmocnina ze sta numericky podobná konstantě

úměrnosti v rovnici (126) a proto může docházet k záměně. Ač jde o jednoduchou věc, je dobře si právěřečené dobře promyslet a vyhnout se tak při výpočtu hvězdných velikostí zbytečným chybám.

Hvězdné velikosti se udávají v jednotkách nazývaných magnituda označovaných horním indexem ‘m’nebo zkratkou ‘mag.’ za číselnou hodnotou. Jinak řečeno, hvězda třetí velikosti je hvězda s magnitudou 3,m0nebo 3,0 mag. atd.

Závěrem této části ještě několik jednoduchých úvah o tom, jak se hvězdné velikosti skládají. Často totižstojíme před úlohou určit hvězdné velikosti složek dvojhvězdy, kterou pro velkou vzdálenost od nás vidíme

30

jen jako jediný svítící bod a pro kterou tedy přímým měřením můžeme pozorovat pouze celkovou jasnostzpůsobenou součtem světla obou složek. Protože rovnice (126) je v diferenčním tvaru, je jasné, že nezáležípři udávání jasností na použitých jednotkách. Z řešení světelných křivek zákrytových dvojhvězd lze obvykleurčit poměr jasností obou složek L2/L1 a tedy i relativní jasnosti L1 a L2 vyjádřené v jednotkách celkovéjasnosti v daném oboru vlnových délek (L1+L2 = 1). Hvězdné velikosti jednotlivých složek proto můžemeurčit z pozorované hvězdné velikosti dvojhvězdy m podle vztahů

m1 −m = 2, 5 log(L1 + L2L1

) = 2, 5 log(1 +L2L1), (128)

m2 −m = 2, 5 log(L1 + L2L2

) = 2, 5 log(1 + (L2L1)−1). (129)

Z těchto vztahů snadno odhadneme, že bude-li např. dvojhvězda složena ze dvou stejně jasných složek,bude se dvojhvězda jevit o 2, 5 log 2 .=0,m75 jasnější, než by se ve stejné vzdálenosti od nás jevila každá zesložek dvojhvězdy. Kdyby byla přítomna tři stejně jasná tělesa, bude rozdíl činit již 1,m19.

Analogicky můžeme odhadnout, jakou celkovou hvězdnou velikost m naměříme, pokud se do zornéhopole našeho fotometru dostanou dvě velmi blízké hvězdy o známých hvězdných velikostechm1 am2. Podlepředchozího platí zřejmě

m = m1 − 2, 5 log(1 + 10−0,4(m2−m1)). (130)

3.2.2 Různé druhy hvězdných velikostí, fotometrické systémy

Je zřejmé, že rovnice (126) nedefinuje nulový bod škály hvězdných velikostí. Navíc je jasné, že záření hvězdje rozloženo do celého elektromagnetického spektra, a proto musíme při praktickém používání dodat, projakou vlnovou délku hvězdnou velikost udáváme. Obvykle se hvězdné velikosti v různých mezinárodněpřijatých fotometrických systémech, jak o nich zde bude řeč, volí tak, aby nulový bod škály odpovídalhistoricky vzniklé škále hvězdných velikostí.

Žádný detektor a žádná detekční soustava nedokáže se stejnou účinností registrovat tok záření v různýchvlnových délkách. Většina detektorů má u určité vlnové délky maximum citlivosti a na obě strany od níjejich citlivost klesá. Výsledná funkce relativní citlivosti detekční soustavy v závislosti na vlnové délce seobvykle označuje výrazem spektrální propustnost Rλ. Můžeme ji zásadním způsobem ovlivnit, jestliže připozorování jasnosti hvězd zařadíme před detektor nějaký barevný filtr propouštějící záření pouze v určitémznámém intervalu vlnových délek. Ať už při měření použijeme filtr nebo budeme měřit bez filtru (v rolivelmi širokopásmového filtru pak stejně bude vystupovat spektrální propustnost celého systému), můžemeobecně pro tok zářivé energie zaznamenaný fotometrem F , který měří tok zdroje F(λ), psát

F =∞∫

0

F(λ)R(λ)dλ. (131)

Visuální hvězdné velikosti mvisLidské oko je nejcitlivější ke žluté barvě a proto je historická škála hvězdných velikostí vázána na jasnosti

hvězd ve žluté části spektra. Visuální odhady jasností jsou tabelovány již v několika velkých katalozích

31

z minulého století, např. v Henry Draper katalogu. Přesnost takových odhadů – pokud byly založeny pouzena pozorování lidským okem – je obvykle několik málo desetin magnitudy. Musím ovšem dodat, že poměrněnedávno jsem se přesvědčil, že existují pozorovatelé, kteří pro jasné hvězdy dosahují přesnosti asi 0,m03. Jeto dáno jednak osobní dispozicí, ale také tím, že svá měření důsledně vztahují na fotoelektricky změřenévisuální jasnosti všech použitých srovnávacích hvězd. Příkladem takového talentovaného pozorovatele jeSebastian Otero z argentinské amatérské organizace Liga Iberoamericana de Astronomía – viz Otero (2000).Podobnou přesnost dosahoval ale již dříve např. Rigolet (1936).

Fotografické hvězdné velikosti mpgPo vynálezu fotografických emulzí začaly být jasnosti hvězd získávány proměřováním fotografií hvězd.

Dosahovaná přesnost určení hvězdných velikostí činí zhruba 0,m1. Při velmi pečlivé redukci může být ilepší. Protože ale běžné fotografické desky mají maximum citlivosti v modré oblasti spektra, liší se taktozískané hvězdné velikosti od velikostí visuálních v závislosti na barvě (a tedy povrchové teplotě) hvězdy.Astronomové velmi brzo zjistili, že existuje dobře definovaný vztah mezi spektrálním typem hvězd (určenýpodle vzhledu jejich čárového spektra) a mezi barevným indexem (mpg −mvis).

Fotometrie s prvními fotocitlivými diodamiPrvní fotoelektrická měření jasnosti hvězd prováděli Stebbins na Lickově observatoři v USA (viz např.

Stebbins 1916, 1921) a Guthnick a Prager (1918) v Potsdamu v Německu. Přesnost měření tak vzrostlana 0,m01-0,m02. Maximum citlivosti diody používané Stebbinsem se nacházelo v zelené barvě kolem 500 nm.Naproti tomu dvě různé diody používané v Potsdamu měly maximum citlivosti v modré barvě. Za zmínkustojí, že pozorování se s Guthnickem a Pragerem jeden čas účastnil i známý český astronom BohumilŠternberk.

Fotometrie s fotonásobiči a barevnými filtryV období mezi dvěma válkami se postupně začaly používat fotometry s fotonásobičem a zdrojem vy-

sokého napětí. Vzhledem k vyšší citlivosti fotonásobičů bylo možné začít používat různé barevné filtry.Existují i měření v šesti barvách, ale žádné z měření té doby nebylo důsledně standardizováno.

Z hlediska šířky pásma barevné propustnosti se rozlišují filtry širokopásmové (propustnost v šíři několikamálo stovek nm), středopásmové (několik desítek nm) a úzkopásmové (obvykle méně než 20 nm).

Standardní barevné systémy

Johnsonův UBV systémNejznámějším a nejrozšířenějším standardním systémem založeným na 3 širokopásmových filtrech je

UBV systém zavedený Johnsonem a jeho spolupracovníky (Johnson a Morgan 1953, Johnson a kol. 1966).Ten je definován třemi filtry:U : propustnost od 300 nm do 420 nm s maximem u 360 nm;B: propustnost od 360 nm do 560 nm s maximem u 420 nm;V : propustnost od 460 nm do 740 nm s maximem u 535 nm;

tedy ultrafialovým, modrým a žlutým.Johnson a jeho spolupracovníci proměřili s použitím amerického fotonásobiče 1P21 mnoho tisíc hvězd a

publikovali jejichUBV magnitudy. Díky tomu a díky jasně definovaným vztahům mezi určitými fyzikálnímivlastnostmi hvězd a barvami vUBV systému (ty lze charakterizovat tzv. barevnými indexy (B−V ) a (U−B),

32

tj. rozdíly měřených hvězdných velikostí ve dvou sousedních filtrech) se jejich systém stal velmi populárnía dodnes patří mezi nejužívanější.

Podařilo se jim rovněž nalézt velmi užitečné závislosti mezi charakteristikami hvězd a jejich UBVbarvami, jak o tom bude řeč později.

Strömgrenův uvby systémUrčitou nevýhodou Johnsonova systému je to, že filtr U zahrnuje oblast vlnových délek před i za

Balmerovým skokem. Aby bylo možno výšku Balmerova skoku z fotometrie určovat, navrhl Strömgrenstředněpásmový systém s následujícími čtyřmi filtry:u : pološířka 38 nm, maximum u 350 nm;v : pološířka 20 nm, maximum u 410 nm;b : pološířka 10 nm, maximum u 470 nm;y : pološířka 20 nm, maximum u 550 nm.

Díky užším pásmům propustnosti poskytuje tento systém přesnější a lépe definovaný odhad některýchzákladních vlastností hvězd. Obsáhlý popis vlastností Strömgrenova systému byl publikován Strömgrenem(1966). Kalibrovaná veličina y magnitudy je přímo navázána na Johnsonovu magnitudu V , což je možnédíky obvykle hladkému průběhu spojitého záření hvězd ve žluté oblasti spektra. Strömgren zavedl několikbarevných indexů: Kromě indexů (b− y) a (u− b), analogických Johnsonovu systému, jsou to ještě

c1 = (u− v)− (v − b) = u+ b− 2v, (132)m1 = (v − b)− (b− y) = v + y − 2b, (133)

které jsou citlivé na chemické pekuliarity a překrývání spojitého spektra spektrálními čarami. V některýchzdrojích bývají uvedeny pro jednotlivé hvězdy pouze hodnoty V , (b− y), c1 a m1. Jak je zřejmé z definiceindexů, můžeme v tom případě jednotlivé magnitudy a index (u− b) vypočítat ze vztahů

b = V + (b− y), (134)v = b+ (b− y) +m1 == V + 2(b− y) +m1, (135)

u = v + (b− y) +m1 + c1 == V + 3(b− y) + 2m1 + c1, (136)

(u− b) = 2(b− y) + 2m1 + c1. (137)

Další systémyJohnsonůvUBV systém byl záhy rozšířen do červené a infračervené oblasti spektra pomocí širokopásmo-

vých filtrů R (700 nm), I (900 nm), J (1250 nm), K (2200 nm) a L (3400 nm) – viz např. obsáhlou práciJohnsona a spol. (1966), která obsahuje pozorování velkého počtu jasných hvězd.

Johnson a spol. (1975) publikovali měření 1380 jasných hvězd ve 13-tibarevném středněpásmovémsystému, jehož filtry pokrývají rozsah od 330 do 1110 nm a jsou kalibrovány i absolutně, takže lze pomocínich studovat rozložení spojitého spektra hvězd.

Mezi kanadskými astronomy dosáhl určité obliby DAO systém (podle Dominion Astrophysical Observa-tory ve Victorii), který používá tři filtry, [55], [44] a [35] a je dosti blízký UBV systému. Žlutá magnituda

33

Tabulka 1: Filtry systému ženevské observatoře, všechny údaje jsou v nm

Filtr: U B V B1 B2 V1 G

λeff.: 345,8 424,8 550,8 402,2 448,0 540,8 581,4pološířka: 17,0 28,3 29,8 17,1 16,4 20,2 20,6

je opět redukována tak, aby plně odpovídala V magnitudě Johnsonova systému. V tomto systému byloproměřeno nezanedbatelné množství hvězd – viz např. Hill a spol. (1976) a citace tam uvedené.

Známý je sedmibarevný systém středo- a širokopásmové fotometrie, používaný od roku 1960 astronomyženevské observatoře. Jeho charakteristiku shrnuje tabulka 1.

Katalog informací o měření jasností hvězd v těchto a některých dalších systémech lze nalézt na počítačovéadrese

http://obswww.unige.ch/gcpd/cgi-bin/photoSysHtml.cgi?0 .Existují i různé systémy používané na družicích, které byly kalibrovány, např. systém UV hvězdných

velikostí získaný pro řadu hvězd holandskou astronomickou družicí ANS nebo americkým satelitem OAO2.V nedávné době se stala velmi populární širokopásmová a velmi přesná a dobře standardizovaná měřeníjasnosti získávaná družicí Hipparcos v širokopásmovém Hp filtru.

Situace bohužel není dosud takto příznivá v hodně krátkovlnných oborech rentgenového a gama záření.Tam jednotlivé družice měří v pásmech, která jsou dána konstrukcí použitých detektorů družice. Jsou všakalespoň kalibrována pomocí některého známého zdroje vyskoenergetického záření na obloze.

3.2.3 Redukce fotoektrických měření jasnosti hvězd

Fotoelektrická měření jasnosti hvězd jsou nejpřesnější měřící technikou, která se používá již od dob prvnísvětové války. Třebaže by se zdálo, že postupy měření a zpracování musí být za takovou dobu již zcelastandardizovány, je to pravda jen částečně.

Jak jsme to již probrali výše, je intensita světla každé hvězdy funkcí vlnové délky záření a ve velmihrubém přiblížení lze záření hvězdy aproximovat zářením absolutně černého tělesa s teplotou odpovídajícíefektivní teplotě hvězdy. Pro reálné hvězdy – stejně jako pro absolutně černá tělesa – platí, že maximálníintenzita jejich záření se s rostoucí teplotou posouvá směrem ke kratším vlnovým délkám.

Přechod od měřených k mezinárodně srovnávatelným hvězdným velikostemOsvětlení, které zaznamená detektor našeho fotometru (citlivá dioda, fotonásobič nebo CCD prvek),

ovšem neodpovídá barevnému rozložení jasnosti hvězdy, protože dopadající záření je dvojím způsobemtransformováno.

Prvním transformačním prostředím je zemská atmosféra. V optické oblasti spektra platí, že čím kratší jevlnová délka dopadajícího záření, tím více je zemskou atmosférou zeslabováno. Tomuto zeslabení se říkáatmosferická extinkce a je – stejně jako ve hvězdných atmosférách – výsledným efektem absorpce a rozptyludopadajícího záření. Extinkční koeficient v dané barvě používaný v praktické hvězdné fotometrii udáváprocento zeslabení dopadajícího světla v magnitudách po průchodu vrstvou atmosféry pro hvězdu v zenitu,tedy na jakýsi jednotkový sloupec vzdušné hmoty. Je zřejmé, že světlo hvězdy u obzoru prochází daleko

34

větším sloupcem vzdušné hmoty. Bylo zjištěno, že pro ekvivalentní sloupec vzdušné hmotyX v hvězdnýchveličinách zhruba platí, že je nepřímo úměrný kosinu zenitové vzdálenosti z. Pro celý rozsah vzdušnýchhmot, ve kterých má ještě smysl provádět fotoelektrická měření jasnosti, se dobře osvědčuje aproximačnívztah

X = (1− 0, 0012 tan2z) secz. (138)

Je možné se o tom přesvědčit, porovnáme-li tento vztah numericky s přesnějším vztahem, který odvodilBemporad:

X = sec z − 0, 0018167Q− 0, 02875Q2 − 0, 0008083Q3, (139)

kde

Q = sec z − 1. (140)

Označíme-li m a m0 měřenou hvězdnou velikost hvězdy a hvězdnou velikost, kterou bychom stejnýmpřístrojem naměřili vně zemské atmosféry a k lineární extinkční koeficient, platí tedy

m = m0 + kX. (141)

Správná interpretace tohoto jednoduchého vztahu zasluhuje určitý komentář. Stav zemského ovzduší, jehoprůzračnost i barevná propustnost se s časem dosti rychle mění. Tyto změny jsou – jak se dá očekávat– tím výraznější, čím hlouběji na dně vzdušného oceánu se nacházíme. Na horských observatořích sestabilními klimatickými podmínkami (La Silla v Chile, Sutherland v Jižní Africe, Maidanak ve střední Asiiči observatoře na Havaji) jsou tyto změny relativně malé, ani zde je však nelze pro přesná měření přehlížet.V případě proměnlivého počasí takové změny nastávájí i v průběhu noci a běžné jsou zejména od jedné nocike druhé, kdy se během dne atmosféra zahřeje přímým slunečním zářením. V důsledku změn stavu ovzdušídochází přirozeně ke změnám extinkčního koeficientu a jeho závislosti na vlnové délce.

Jestliže je přístroj stabilní a měří tok z pozorovaného objektu ve formě nějak kalibrované výchylkyměřicího přístroje či jako počet pulsů v přístrojích počítajících fotony, tedy nějakou veličinu, kterou budemeoznačovat N , pak platí

m = 2, 5 logN + c, (142)

kde c je libovolně zvolený nulový bod škály přístrojových hvězdných velikostí. Zde ovšem implicitněpředpokládáme, že měřená veličina N je lineární funkcí dopadajícího toku záření. Tak tomu je pouzev omezeném pracovním rozsahu použitého detektoru. Zařízení, která počítají dopadající fotony záření,obvykle přestávají být lineární pro příliš jasné zdroje, kdy již detektor “nestihá” spočítat všechny dopadajícífotony. Proto je třeba u zařízení počítajících fotony jako první krok zpracování aplikovat korekci na tzv.mrtvý čas (dead-time) podle následujícího vztahu

N = n · ed·N , (143)

kde N je skutečný a n přístrojem zaznamenaný počet fotomů a d je koeficient mrtvého času (dead-timecoefficient), který je třeba pro dané detekční zařízení empiricky zjistit. Hodnota koeficientu mrtvého času

35

na 1 s bývá zpravidla kolem 10−7–10−8. Veličinu N , kterou je třeba použít v rovnici (142), vypočtemeze vztahu (143) iteračně.

Méně známo je, že i analogový výstup fotonásobiče se může pro hodně jasné zdroje chovat nelineárně,ale v opačném smyslu: měřené výchylky jsou větší, než odpovídá skutečné jasnosti měřeného objektu.Označíme-li opět symbolemN správnou výchylku, n výchylku zaznamenanou přístrojem a V vysoké napětízdroje fotonásobiče ve voltech, platí

N = n(

1− nkV

)

, (144)

kde k je konstanta daná vlastnostmi ohmických odporů na dynodách fotonásobiče a jeho anodovým proudem.Např. pro starší fotometr používaný na observatoři Hvar činila hodnota této konstanty 37,5.

Zkušenost ukazuje, že velmi často není detekční aparatura během noci dokonale stabilní a že se tedymění nulový bod měřené škály hvězdných velikostí. Změny přístrojového nulového bodu mohou nastávatnapř. v důsledku změn vysokého napětí, měnit se může i citlivost samotného fotonásobiče (zejména pokudnení temperován na stálou teplotu), a to jak s měnící se pracovní teplotou přístroje, tak se změnami teplotyovzduší během noci. Jak vidíme z rovnice (141), je extinkční koeficient k směrnicí přímky udávající, jakrychle se v daném místě a v daném čase mění hvězdná velikost v závislosti na měnící se vzdušné hmotě.Pokud budeme určovat extinkční koeficient z našich měření v situaci, kdy dochází ke změnám nulového bodupřístroje, pak se přirozeně můžeme dočkat toho, že námi určený extinční koeficient bude zcela nesprávný.Jin�