Betonové konstrukce (S)Přednáška 5
Mezní stavy únosnosti
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem předpoklady řešení
základní předpínací síla
ohybová únosnost
obecná metoda
Prvky namáhané smykem a kroucením analýza napjatosti (pružná, plastická)
dimenzování
.
1
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem (se soudržnou výztuží)
Předpoklady řešení:
1. Platí hypotéza o rovinnosti průřezů po deformaci
2. Existuje dokonalá soudržnost mezi oceli a betonem
Fp
σc
MRd
Fc
Fp
rc
rp
Fpt
MEd
cu= 0,0035
x
2
1
4
3
5
2
c = Δp
3. V tažené části beton nepůsobí
4. Napětí určujeme z pracovních diagramů materiálu v závislosti na
přetvoření (návrhové pracovní diagramy betonu a výztuží – typy)
5. Mezní stav únosnosti nastane, je-li dosaženo:
mezního poměrného přetvoření betonu v tlaku nebo
mezního přetvoření předpínací, příp. betonářské výztuže v tahu
Fp
σc
Fc
Fp
rc
rp
Fpt
MEd
cu= 0,0035
x
2
1
4
3
5
c = Δp
3
MRd
Mgo
dp ds
hf
Ap
As
Pm,0 =pm,0 Ap
(Ngo)
dp ds
hf
Ap
As
Pm,0 =pm,0 Appm,0
c=0
Stav napjatosti u PPB těsně před vnesením předpětí do betonu t=0-:
- --
+ + +pm,0
-
ve výztuži působí
na ideální průřez působí
cp≠0
Stav napjatosti u PPB těsně po vnesením předpětí do betonu t=0+ :
Základní napětí v předpínací výztuži
(základní předpínací síla)
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem
Základní napětí nebo základní předpínací síla odvozuje z napětí ve
výztuži pm,0 těsně před vnesením předpětí do betonu (kdy cp=0).
Lze ho určit v kterékoli fázi působení konstrukce (čas t0, tg1,ti, t∞ )
takto:
v čase t0 (po vnesení předpětí) z napětí se zohlednění výrobních
ztrát (kromě ztrát pružným přetvořením betonu)
v čase t > t0 : z napětí se zohledněním výrobních i provozních ztrát
(bez ztrát pružným přetvořením betonu)
p(+)
pmt
pmpm0
p,m
ax
p
t 0 t
stá
dium
pro
vozn
í
pře
dpín
ání
výzt
uže
vnes
ení
pře
dpě
tíd
o pr
vku
(stá
dium
pře
dpín
ání)
5
-
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem
Výpočet základního napětí v předpínací výztuži
Předem předpjaté prvky
V okamžiku těsně před vnesením předpětí je v betonu napětí nulové,
tzn. základní napětí je rovno skutečnému napětí ve výztuži (veškerá
další zatížení od předpětí působí na ideálním průřezu).
Dodatečně předpjaté prvky
Pomocí předchozího vztahu pro napětí σp a σcp způsobená zatíženími
působícími před i po zakotvení předpínací výztuže (tj. na oslabený i
ideální průřez)
Poznámka: v dalším textu zde použitý horní index 0 bude vynechán.
cp
c
p
ppE
E
0
pp 0
6
Předpínací síla v MSÚ
7
Pdt(x) = P Pmt(x)
kde
P je součinitel spolehlivosti předpětí
P = 1,0.….pro trvalé a dočasné návrhové situace
P = 1,2 … při posouzení lokálních účinků (např.
v kotevních oblastech)
Pmt(x) střední hodnota základní předpínací síly ve
vyšetřovaném okamžiku t
Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výztuž Model 1 - pouze zatížení ohybovým momentem
cu = 0,0035 fcd
pPpmt
fpd
Ppm,t
MEd
fyd
s
x
Fcd
Fpd= fpdAp
Fsd
beff
dp ds
hf
Ap
As
x
Podmínka pro plné využití předpínací výztuže:
xbalxp,bal
𝑥 ≤ 𝑥𝑝,𝑏𝑎𝑙 =𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢 + ∆𝜀𝑝𝑑𝑝 =
𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢 +𝑓𝑝𝑑 − 𝛾𝑃𝜎𝑝𝑚,𝑡
𝐸𝑝
𝑑𝑝
∆𝜀𝑝 + 𝛾𝑃𝜎𝑝𝑚,𝑡 ≥ Τ𝑓𝑝𝑑 𝐸𝑝 𝑓𝑝𝑑
Odtud poloha neutrálné osy:
Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výztuž Model 1 - pouze zatížení ohybovým momentem
cu = 0,0035 fcd
pPpmt
fpd
Ppm,t
MEd
fyd
s
x
Fcd
Fpd= fpdAp
Fsd
beff
dp ds
hf
Ap
As
x
Silová podmínka rovnováhy:
𝑁𝑅𝑑 = 0
xbalxp,bal
Momentová podmínka spolehlivosti:
𝑀𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝐸𝑑
−𝐹𝑐𝑑 + 𝐹𝑝𝑑 + 𝐹𝑠𝑑 = 0 𝑥
𝐹𝑝𝑑𝑧𝑝 + 𝐹𝑠𝑑𝑧𝑠 ≥ 𝑀𝐸𝑑
zs zp
x
fpd
Ppm,t
Ohybová únosnost - předpjatý průřez - soudržná výstužModel 2 - zatížení ohybovým momentem a normálovou silou
cu = 0,0035
Fcd
fcd
pFpd = pApPpm,t
fpd
Ppm,t
P
p
MEd,z
fyd
Fsd
beff
dp ds
hf
s
x
Ap
As
x
Npd=Ppm,t Ap
tNMpd=epNpd
p=fpd-Ppm,t
Silová podmínka rovnováhy:
𝑁𝑅𝑑= 𝑁𝐸𝑑
Momentová podmínka spolehlivosti:
𝑀𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝐸𝑑
−𝐹𝑐𝑑 + ∆𝐹𝑝𝑑 + 𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝐸𝑑,𝑧 −𝑁𝑝𝑑 𝑥
𝐹𝑐𝑑𝑧𝑝 + ∆𝐹𝑝𝑑𝑧𝑝 + 𝐹𝑠𝑑𝑧𝑠 ≥ 𝑀𝐸𝑑,𝑧 −𝑀𝑝𝑑
NEd,z
zp=ep
zc
zs
Postup (model 2)
∆𝐹𝑝𝑑 = ∆𝜎𝑝𝐴𝑝
∆𝜎𝑝 = 𝑓𝑝𝑑 − 𝛾𝑝𝜎𝑝𝑚,𝑡
−𝐹𝑐𝑑 + ∆𝐹𝑝𝑑 + 𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝐸𝑑,𝑧 −𝑁𝑝𝑑 𝑥
𝑁𝑝𝑑 = 𝛾𝑝𝜎𝑝𝑚,𝑡 𝐴𝑝
2) Předpoklad plného využití výztuže (plastická větev):
1) Základní předpínací síla jde na stranu zatížení
𝑀𝑝𝑑 = 𝑒𝑝𝑁𝑝𝑑
3) Výpočet 𝑥 z podmínky rovnováhy sil:
4) Ověření předpokladu 2) přes kontrolu přetvoření
předpínací výztuže
cu
pPpmt
x
dp
∆𝜀𝑝 =𝜀𝑐𝑢𝑥(𝑑𝑝 − 𝑥)
∆𝜀𝑝+ 𝛾𝑝𝜀𝑝𝑚𝑡 ≥ Τ𝑓𝑝𝑑 𝐸𝑝
5) Výpočet momentu na mezi únosnosti a ověření
podmínky spolehlivosti
fpd
Ppm,t
p
p
𝐹𝑐𝑑𝑧𝑝 + ∆𝐹𝑝𝑑𝑧𝑝 + 𝐹𝑠𝑑𝑧𝑠 ≥ 𝑀𝐸𝑑,𝑧 −𝑀𝑝𝑑
P
pokud předpoklad neplatí –viz následujícíc slide, jinak:
Postup (model 2)
∆𝐹𝑝𝑑 = ∆𝜎𝑝𝐴𝑝
∆𝜎𝑝 = ∆𝜀𝑝𝐸𝑝 ≤ 𝑓𝑝𝑑 − 𝛾𝑝𝜎𝑝𝑚,𝑡 kde
−𝐹𝑐𝑑 + ∆𝐹𝑝𝑑 + 𝐹𝑠𝑑 = 𝑁𝐸𝑑,𝑧 −𝑁𝑝𝑑 𝑥
předpínací výztuž není plně využitá (pružná větev)
4) Pokud předpoklad 2) neplatí, tj.
2) Výpočet 𝑥 z podmínky rovnováhy sil:
4) Ověření předpokladu 2)
cu
p Ppmt
x
dp
∆𝜀𝑝 =𝜀𝑐𝑢𝑥(𝑑𝑝 − 𝑥)
∆𝜀𝑝+ 𝛾𝑝𝜀𝑝𝑚𝑡 ≤ Τ𝑓𝑝𝑑 𝐸𝑠
5) Výpočet momentu na mezi únosnosti a ověření
podmínky spolehlivosti
fpd
Ppm,t
p
p𝐹𝑐𝑑𝑧𝑝 + ∆𝐹𝑝𝑑𝑧𝑝 + 𝐹𝑠𝑑𝑧𝑠 ≥ 𝑀𝐸𝑑,𝑧 −𝑀𝑝𝑑
P∆𝜀𝑝 =
𝜀𝑐𝑢𝑥(𝑑𝑝 − 𝑥)
∆𝜀𝑝+ 𝛾𝑝𝜀𝑝𝑚𝑡 ≤ Τ𝑓𝑝𝑑 𝐸𝑝
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem
Určení mezní únosnosti Významné polohy přetvoření průřezu (viz interakční diagram
u železobetonových prvků namáhaných N a M)
13
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem
Obecnější metoda řešení MSÚ Počáteční napjatost v průřezu je vyvolaná
předpětím,
stálým zatížením,
smršťováním a dotvarováním betonu.
Z této napjatosti se vychází při analýze působení proměnných
zatížení.
14
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem
15
Stav napjatosti je obvykle výsledkem lineárního řešení (platnost Hookova
zákona) – a proto nemusí odpovídat skutečnosti (viz tvar pracovních
diagramů materiálů)
napětí v některých vrstvách mohou být větší než mezní - nepřenesená napětí:
ve vrstvě 1 ve vrstvě 3 ve vrstvě 4
Mezní únosnost prvků namáhaných osovou silou a ohybem
16
Na straně zatížení: - proměnná zatížení
- výslednice nepřenesených napětí
Na straně únosnosti: - výchozí stav napjatosti průřezu, tzn. pro každá vlákna
betonu (vrstvičku) jiný počáteční stav napjatosti (posun
pracovního diagramu )
Prvky namáhané smykem a kroucením
Prvky namáhané smykem a kroucením
Analýza napjatosti – namáhání předpjatých prvků
1. Ohybový moment a posouvající síla od zatížení
Smyková trhlina – vzniká ve stojině nosníku, typická pro PB
Ohybově smyková trhlina – vzniká v tažených vláknech – typická
pro ŽB
σ1 – hlavní tah
σ2 – hlavní tlak
σx – normálové napětí
τxz - smykové napětíσx=0
Trajektorie hlavních
napětí:
Prvky namáhané smykem a kroucením
2. Kroucení – trajektorie hlavních napětí ve tvaru šroubovice –
tahové a tlakové trajektorie kolmo na sebe
3. Kombinace M, N, V, T od zatížení – prostorová napjatost
Trajektorie hlavních napětí pro kroucení:
- čárkovaně pro tlak
- plnou čarou pro tah
Prvky namáhané smykem a kroucením
4. Vliv předpětí (působí proti zatížení):
Ovlivnění směru a snížení velikosti hlavních
napětí:
Redukce posouvající síly od vnějšího
zatížení
posouvající silou způsobenou předpětím
Vpp (viz průběhy vnitřních sil)
(v případě náběhů svislými složkami sil
v šikmém taženém nebo tlačeném pásu
(podle EN na stranu únosnosti VRd =
VRd,s + Vccd + Vtd ))
Příčné předepnutí (příčný ohyb – deska,
konzola) - σy
Svislé předpětí – předpínací tyče – σz ,
zvětšení únosnosti ve smyku
Analýza za předpokladu pružného chování
Analýza za předpokladu pružného chování
Běžné provozní zatížení – nevznikají trhlinky (napětí v betonu v
tahu je většinou menší než přípustné)
Při statické analýze lze brát vztahy z teorie pružnosti
Předpoklad pružného chování pro stanovení únosnosti betonu
ve smyku využívají i normy vycházející z teorie mezních stavů
(neočekává se ohybová trhlina, tj. když σct ≤ fctd):
ČSN EN 1992-1-1
Pozn.: Při vzniku trhlin podobný postup jako u ŽB zohledňující
vliv trhlin (viz EN 1992-1-1).
Analýza za předpokladu pružného chování
Smyková napětí od V
Kombinace zatížení (většinou max.V, odp. M,N,T)
Napětí od svislé posouvající síly
ve stojině txz
v přírubě txy
Ověření rozhodujících řezů
Vodorovný
ve stojině v těžišti
při přechodu stojiny do příruby
Svislý přírubou při napojení stěny )z(bI
UV
y
yz
xz t
Smykové napětí:
Analýza za předpokladu pružného chování
Smyková napětí od T
kroucení může být
Prosté – rovinné průřezy, jen T
Při němž dochází k deplanaci
Volné kroucení-neomezena
Vázané kroucení-omezena
průřezy a stanovení napětí:
tenkostěnné (vzhledem k okrajovým podmínkám nelze zanedbat vázané kroucení) –odvozeny zjednodušené vzorce -např. Bredtův vztah
masivní – vychází z rovnic pro prostorovou napjatost, smyková napětí získáme derivací Prandtlovyfunkce podle z resp. y. U obecných průřezů pouze s použitím moderních numerických metod.
τt = T / (2.Ak.t)
Analýza za předpokladu pružného chování
Smyková napětí způsobená V a T se superponují
Výpočet hlavního napětí – obecně pro prostorovou napjatost –
běžně si vystačíme s rovinnou napjatosti (Mohrova kružnice):
2
2
2,122
xy
yxyxt
Např. pro horní desku
komorového průřezu:
Ze vztahu je zřejmé, že
max. hlavní napětí je v
místě největšího
smykového napětí a tam,
kde je minimální tlakové
normálové napětí.
V tažené části se hlavní
napětí nepočítá.
Analýza za předpokladu pružného chování
Určení nebezpečného průřezu:
řez I - 0,0 m
v těžišti průřezu nebo přechod do horní příruby
řez II - 1,0 m a III - 2,0 m
posun k menšímu tlakovému napětí v přechodu stěny do dolní příruby
řez IV - 3,0 m
v místě neutrální osy
v místě přechodu do dolní příruby při nulovém normálovém napětí
tahy v tažené oblasti přenese výztuž
poznámka – ve skutečnosti může mít prvek v podpoře plný průřez (s půdorysným náběhem) – nebezpečný průřez bude tam, kde směrem od
podpory začíná být stojina nejtenčí
Mezní plastická únosnost průřezu
Mezní plastická únosnost průřezu překročí-li hodnota napětí v hlavním tahu pevnost betonu v tahu
– vznikne trhlina, neplatí pružnost.
Řešení pro namáhání posouvající silou:
zb
V
w
t1) Z rovnováhy normálových a podélných
smykových napětí odvodil Mörsch vztah pro max. hodnotu smykového napětí v průřezu porušeném ohybovou trhlinou.
2) Ritter a Mörsch – model – zatížení přenášeno systémem betonových vzpěr a ocelových táhel – diagonální vzpěry se po vzniku trhliny tvoří pod úhlem 45° -příhradová analogie s konstantním úhlem diagonál.
Mezní plastická únosnost průřezu
3) V průběhu vývoje změna – příhradová analogie s variabilním úhlem diagonál (např. ČSN EN 1992-1-1).
Předpokládejme betonový vyztužený element namáhaný pouze posouvající silou,
porušen šikmými trhlinami pod úhlem θ = úhel tlakové diagonály.
S ohledem na šikmé trhliny vzdoruje beton pouze v tlakové diagonále D.
Svislou sílu přenáší třmínky (obr. (c)) VE.
Vodorovnou složku zachycuje podélná předpínací popř. betonářská výztuž Fs+ΔFp.
Mezní plastická únosnost průřezu
Síla v diagonále (b): D = σc . bw . z . cos θ →
D = VE / sin θ →
Napětí v tlakové diagonále: σc = VE / (bw . z . sin θ . cos θ) =
= VE . (tg θ + cotg θ ) / (bw . z) →
Lze při známém úhlu θ a při volbě napětí σc rovné pevnosti betonu v
tlaku určit VRd,max .
Mezní plastická únosnost průřezu
Svislá síla (c) : Fsw = σc . bw . s . sin2 θ
Síla v třmíncích: Fsw = Asw . σw
Svislá síla = síla v třmíncích (po dosazení za σc – viz předcházející list):
Asw . σw / s = VE . tg θ / z → při σw = fywd se určí VRd,s.
Mezní plastická únosnost průřezu
Vodorovná síla: Fs + ∆Fp = VE . cotg θ
kde Fs je výslednice tahu v betonářské výztuži od posouvající síly,
∆Fp je výslednice tahu v předpínací výztuži od posouvající síly.
Mezní plastická únosnost průřezu
Ve třech předcházejících rovnicích (podmínkách rovnováhy) jsou 4
neznámé: σc , θ , σw , Fs + ∆Fp
Možnosti řešení (stanovení sil pro únosnost):
- vhodná volba úhlu tlakové diagonály θ (má mnoho řešení),
- předpoklad dosažení pevnosti betonu v tlaku fcd (nutno zahrnout vliv
snížení v důsledku příčných tahů),
- dosažení meze kluzu (resp. návrhové pevnosti) ve výztuži:
příčná výztuž: σw = fywd , podélná výztuž: Fs + ∆Fp = Fy
Význam metody:
- vysvětluje nárůst síly v podélné výztuži – pravidlo o posunu obrazce
této síly,
- vysvětluje princip požadované únosnosti ve smyku – třmínky v šikmém
řezu musí přenést posouvající sílu na konci tohoto řezu,
- je to metoda založená na teorii plasticity, protože splňuje podmínky
rovnováhy, plasticity (nesplňuje podmínky kompatibility přetvoření).
Mezní plastická únosnost průřezu
Mezní plastická únosnost průřezu
Řešení pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin):
nejúčinnější výztuž sledující trajektorie hlavních napětí (tvar šroubovice)
– to nelze, proto se používá výztuž jako:
uzavřené třmínky svařované nebo kotvené přesahem
podélná výztuž rozmístěná rovnoměrně po obvodě
Tyto tvoří složky výsledné tahové síly ve směru hlavních tahů.
rovnováhu zajišťují
betonové vzpěry ve směru hlavních tlaků
Toto vyztužení se superponuje se stávajícím vyztužením na M a V.
Vnitřní síly v průřezu přenášející kroucení
Mezní plastická únosnost průřezu
Mezní plastická únosnost průřezu
Řešení pro namáhání kroucením (po vzniku trhlin):
kroucení vzdoruje účinný průřez
(nebezpečí odprýskání betonu) –
používá se model tzv. ekvivalentního
tenkostěnného uzavřeného průřezu (i
pro plné průřezy),
složené průřezy lze rozdělit na dílčí
průřezy, stanovit pro ně únosnost v
kroucení a následně stanovit celkovou
únosnost jako součet únosností
jednotlivých dílčích průřezů,
dalším modelem je prostorová násobná
příhradová
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1
Porušení smykem od V podle ČSN EN 1992-1-1
Prvky bez smykové výztuže
1) V oblastech bez ohybových trhlin (pokud napětí v tahu za ohybu je
menší než fctk,0,05/c) má být únosnost ve smyku omezena pevností betonu
v tahu. V těchto oblastech je únosnost ve smyku dána vztahem:
l
bV f f
S
2wRd,c ctd cp ctd
kde
I je moment setrvačnosti plochy průřezu
bw šířka průřezu na těžišťové ose (nutno zohlednit kanálky)
S statický moment plochy průřezu nad těžišťovou osou k této ose
αI = lx/lpt2 ≤ 1,0 pro předem napjatou výztuž,
= 1,0 pro ostatní druhy předpínání;
lx vzdálenost uvažovaného průřezu od počátku přenášecí délky
lpt2 horní hraniční hodnota přenášecí délky u předpjatého prvku
σc napětí betonu v tlaku v těžišťové ose průřezu od normálové síly a/nebo
předpětí (σc = NEd /Ac v MPa, NEd > 0 značí tlak).
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1
2) U předpjatých nosníků bez smykové výztuže lze vypočítat únosnost ve smyku
v oblastech s ohybovými trhlinami s použitím vztahu :
VRd,c = [CRd,c · k ·(100 · l · fck)1/3 + k1 · cp] · bw · d
při minimu VRd,c = (vmin + k1 · cp) · bw · d
kde
CRd,c = 0,18/ γc ,
k = 1 + (200/d)1/2 ≤ 2,0 , (d v mm),
ρl = Asl /(bw · d) ≤ 0,02 ,
vmin = 0,035 · k3/2 · fck1/2 ,
cp = NEd/Ac < 0,2 fcd [MPa],
NEd normálová síla v průřezu od zatížení nebo předpětí [v N] (NEd > 0 pro
tlak). Vliv vnesených deformací na NEd lze zanedbat,
AC plocha betonového průřezu [mm2],
k1 je 0,15.
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1
Prvky se svislou smykovou výztuží
VRd,s = (Asw / s) · z · fywd · cotg
VRd,max = cw · bw · z · 1 · fcd / (cotg + tan )
síla v podélné výztuží FEd = 0,5 · VEd · (cotg - tan ) + NEd = VEd · al / z + NEd
duktilita: Asw,max /s ≤ 0,5 · cw · 1 · fcd · bw / fywd ( pro cotg =1,0)
cw součinitel, kterým se zohledňuje stav napětí v tlačeném pásu:
1,0 pro nepředpjaté konstrukce
(1 + cp/fcd) pro 0 < cp 0,25 fcd
1,25 pro 0,25 fcd < cp 0,5 fcd
2,5 (1 - cp/fcd) pro 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd
kde cp je průměrné napětí betonu v tlaku uvažované jako kladné, vyvolané návrhovou
normálovou silou. Toto napětí se má získat zprůměrováním po betonovém průřezu
při uvažování výztuže. Hodnota cp se nemusí počítat ve vzdálenosti menší než
0,5d · cot od líce uložení.
𝛼𝑐𝑤
𝜎𝑐/𝑓𝑐𝑑
1,001,25
10,25 0,5 0,75
Smyk podle EN ČSN 1992-1-1
Porušení smykem od T podle ČSN EN 1992-1-1
VEi = TE · zi / (2 · Ak) = TE / (2 · Ak ·cot θ) pro zi ≈ z,
prvky bez
trhlin
prvky
s trhlinami