МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА 12 – 13 март 2016 г., Бургас Тема за 7. клас Задача 1. “Черни кутии“ с електрически схеми. Целта на някои задачи по физика е да разберем какво има в някаква „черна кутия“ (кутия с неизвестно съдържание), като за да решим задачата, трябва да направим някакви наблюдения или измервания. В задачите за електрически черни кутии трябва да разберем вида, броя, разположението и стойностите на конкретни елементи на електрически схеми. Тук ще разгледаме задача за „черна кутия“, съдържаща 3 резистора. а) На Фиг. 1а е показана черна кутия, от която излизат три проводника – А, B, и C. Знаем, че вътре в нея има 3 резистора, свързани по начина, показан на фигурата (който се нарича „триъгълник“). Техните електрични съпротивления са съответно r AB = 20 Ω, r BC = 30 Ω и r CA = 50 Ω. Какво електрично съпротивление бихме измерили с омметър между всяка една двойка проводници, т.е. R AB = ?, R BC = ?, R CA = ? [3 т.] б) На Фиг. 1б е показана друга черна кутия, от която също излизат три проводника – А, B, и C. Знаем, че вътре в нея има 3 резистора, свързани по начина, показан на фигурата (който се нарича „звезда“). Измерили сме с омметър електричното съпротивление между всяка една двойка точки, съответно X AB = 16 Ω, X BC = 21 Ω, X CA = 25 Ω. Изчислете големината на електричното съпротивление на трите резистора, r A = ?, r B = ?, r C = ? [4 т.] в) Какво съпротивление Y AB бихме измерили между проводниците А и В в схемата „триъгълник“ от Фиг. 1а (и подусловие а)), ако по време на измерването дадем „накъсо“ (допълнително свържем с проводник с пренебрежимо малко, „нулево“ съпротивление) точките A и C? [1 т.] г) Какво съпротивление Z AB бихме измерили между точките А и В в схемата „звезда“ от Фиг. 1б (и подусловие б)), ако по време на измерването дадем „накъсо“ (допълнително свържем с проводник с пренебрежимо малко, „нулево“ съпротивление) точките A и C? [2 т.] A B C r CA r BC r AB Фиг. 1а A B C r C r A r B Фиг. 1б
Transcript
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА
12 – 13 март 2016 г., Бургас
Тема за 7. клас
Задача 1. “Черни кутии“ с електрически схеми.
Целта на някои задачи по физика е да разберем какво има в някаква „черна кутия“
(кутия с неизвестно съдържание), като за да решим задачата, трябва да направим
някакви наблюдения или измервания. В задачите за електрически черни кутии трябва
да разберем вида, броя, разположението и стойностите на конкретни елементи на
електрически схеми. Тук ще разгледаме задача за „черна кутия“, съдържаща 3
резистора.
а) На Фиг. 1а е показана черна кутия, от която излизат три проводника – А, B, и
C. Знаем, че вътре в нея има 3 резистора, свързани по начина, показан на фигурата
(който се нарича „триъгълник“). Техните електрични съпротивления са съответно rAB =
20 Ω, rBC = 30 Ω и rCA = 50 Ω. Какво електрично съпротивление бихме измерили с
омметър между всяка една двойка проводници, т.е. RAB = ?, RBC = ?, RCA = ? [3 т.]
б) На Фиг. 1б е показана друга черна кутия, от която също излизат три
проводника – А, B, и C. Знаем, че вътре в нея има 3 резистора, свързани по начина,
показан на фигурата (който се нарича „звезда“). Измерили сме с омметър електричното
съпротивление между всяка една двойка точки, съответно XAB = 16 Ω, XBC = 21 Ω, XCA =
25 Ω. Изчислете големината на електричното съпротивление на трите резистора, rA = ?,
rB = ?, rC = ? [4 т.]
в) Какво съпротивление YAB бихме измерили между проводниците А и В в
схемата „триъгълник“ от Фиг. 1а (и подусловие а)), ако по време на измерването дадем
„накъсо“ (допълнително свържем с проводник с пренебрежимо малко, „нулево“
съпротивление) точките A и C? [1 т.]
г) Какво съпротивление ZAB бихме измерили между точките А и В в схемата
„звезда“ от Фиг. 1б (и подусловие б)), ако по време на измерването дадем „накъсо“
(допълнително свържем с проводник с пренебрежимо малко, „нулево“ съпротивление)
точките A и C? [2 т.]
A B
C
rCA rBC
rAB
Фиг. 1а
A B
C
rC
rA rB
Фиг. 1б
Задача 2. Колона от слоеве течности.
Разполагате с висок стъклен цилиндър, 7 течности (наредени по азбучен ред те са веро,
вода, глицерин, кленов сироп, олио, пчелен мед и спирт за горене) и 4 малки тела
(наредени по азбучен ред те са гумено топче, парче дърво, пластмасово зарче и
стоманена гайка). Техните плътности са дадени в таблицата:
Вид течност Плътност, g/cm3 Вид тяло Плътност, g/cm
3
1 веро 1,06 1 гумено топче 1,40
2 вода 1,00 2 парче дърво 0,71
3 глицерин 1,26 3 пластмасово зарче 1,17
4 кленов сироп 1,37 4 стоманена гайка 7,81
5 олио 0,92
6 пчелен мед 1,42
7 спирт за горене 0,79
Оказва се, че ако наливаме внимателно течностите една по една в подходяща
последователност в цилиндъра, те ще образуват слоеве, лежащи един над друг и дълго
време няма да се смесят една с друга.
а) Как трябва да наредим течностите (ако ги изброяваме отдолу нагоре)? [3 т.]
б) Ако всяка една от течностите, която наливаме, има обем 100 ml, колко ще е
масата на цялото количество течност в цилиндъра? [3 т.]
в) Ако пускаме внимателно четирите тела последователно в така образуваната
колона от слоеве течности, на какви места в колоната те ще останат в равновесие? [4 т.]
Задача 3. Движение по река. (Две независими подзадачи)
А. Първа подзадача
Разстоянието между Видин и Русе по река Дунав е 300 км. Реката влачи плаващо дърво
от Видин до Русе за 4 денонощия и 4 часа.
а) Колко е скоростта vТ на течението на реката (в km\h)? [1 т.]
Кораб се придвижва от Видин до Русе за 12 ч и 30 мин.
б) Колко е скоростта vK на кораба спрямо водата (в km\h)? [3 т.]
в) Колко време tР-В ще пътува корабът от Русе до Видин? ((в h и min)) [2 т.]
Б. Втора подзадача
г) Между два града А и Б, разстоянието l между които е неизвестно, тече река с
неизвестна скорост на течението vР. Кораб се движи спрямо водата с неизвестна
скорост vН. От град А до град Б корабът пътува време t1, a от град Б до град А корабът
пътува време t2 (t2 > t1). Намерете формула за отношението на скоростта на кораба към
скоростта на реката 𝑣Н
𝑣Р , изразено чрез времената t2 и t1. [3 т.]
д) Проверете формулата, получена в подусловие г), използвайки числените
резултати от първите три подусловия. [1 т.]
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА
12 – 13 март 2016 г., Бургас
Тема за 7. клас, решения и указания
Задача 1. “Черни кутии“ с електрически схеми.
а) За да намерим
съпротивлението RAB,
разсъждаваме така: rCA и rBC са
последователно свързани. Тяхното
общо („еквивалентно“)
съпротивление е 𝑟ACB = 𝑟CA + 𝑟BC
= 50 Ω + 30 Ω = 80 Ω. [0.5 т.] Това
общо съпротивление 𝑟ACB и
резисторът rAB са успоредно
свързани. Следователно
омметърът ще измери
съпротивление 𝑅AB = 𝑟ACB .𝑟AB
𝑟ACB+𝑟AB=
80Ω.20Ω
80Ω+20Ω = 16 Ω. [0.5 т.] Аналогично за втория случай,
в) Телата ще застанат в такова положение, че да плават в течност с плътност, по-
голяма от тази на тялото, но да са потънали в течност с плътност, по-малка от тази на
тялото. Сравнявайки плътностите на телата и течностите можем да заключим, че:
стоманената гайка ще потъне на дъното на цилиндъра, [1 т.]
гуменото топче ще плава на границата между пчелния мед и кленовия сироп [1 т.],
пластмасовото зарче ще плава на границата между глицерина и верото [1 т.],
а парчето дърво ще плава на горната повърхност на спирта за горене. [1 т.]
Задача 3. Движение по река. (Две независими подзадачи)
A. Първа подзадача
а) Скоростта vТ на течението на реката е 𝑣Т =𝑠
𝑡=
300 𝑘𝑚
100 ℎ = 3 km/h. [1 т.]
б) Скоростта на кораба спрямо брега, когато се движи по течението, е сума на
скоростта му спрямо повърхността на реката и скоростта на течението. [1 т.]
Следователно 𝑣К + 𝑣Т = 𝑣К + 3km
h=
300km
121
2h
= 24 km/h. [1 т.] 𝑣К = 21 km/h. [1 т.]
в) Скоростта на кораба спрямо брега, когато се движи срещу течението, е
разлика на скоростта му спрямо повърхността на реката и скоростта на течението. [1 т.]
Следователно корабът ще пътува от Русе до Видин за време tР-В = 300km
21km
h−3
km
h
= 16 h 40
min [1 т.]
Б. Втора подзадача
г) Връзките между разстояние, скорост и време в двете посоки са 𝑣Н + 𝑣Р =𝑙
𝑡1
(1), 𝑣Н − 𝑣Р =𝑙
𝑡2 (2). [1 т.] Ако веднъж съберем, а после извадим уравнения (1) и (2),
получаваме 𝑣Н =𝑙
2(
1
𝑡1+
1
𝑡2) , 𝑣Р =
𝑙
2(
1
𝑡1−
1
𝑡2). [1 т.] За отношението им получаваме
𝑣Н
𝑣Р=
𝑡2+𝑡1
𝑡2−𝑡1 . [1 т.]
д) Замествайки числените резултати, получени в първите 3 подусловия, във
формулата, получена в предното подусловие, получаваме 𝑣Н
𝑣Р=
21km/h
3km/h= 7 =
𝑡2+𝑡1
𝑡2−𝑡1=
162
3h+12
1
2h
162
3h−12
1
2h = 7. [1 т.]
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Национално пролетно състезание по физика гр. Бургас, 12-13 март 2016 г.
ТЕМА за 8. клас
Задача 1. Лещи (задачи за построение – без формули)
Част I. Събирателна леща. 1. На фиг.1 са отделени области пред и зад събирателна леща с фокусно разстояние f. Чрез построение определете в коя област (do – разстояние от образа до лещата) се намира образът на предмет, ако самият предмет е на разстояние dп пред лещата:
а) dп > 2f; б) dп = 2f; в) 2f > dп > f.
Фиг. 1.
2. Точков източник на светлина е поставен върху главната оптична ос на събирателна леща.
а) В коя от означените на фиг.1 области трябва да се намира източникът, за да съществуват точки (зони), от които да можем да наблюдаваме едновременно източника и неговия действителен образ? Направете чертеж, на който да се виждат тези зони.
б) При какво положение на източника няма нито една точка, от която да се наблюдават едновременно източникът и неговият образ? Направете чертеж.
Част II. Разсейвателна леща. На фиг. 2. е показан ходът на лъча ABC през разсейвателна леща. Чрез построение определете фокуса на лещата.
Фиг. 2.
Полезна теория. Когато върху разсейвателна леща пада успореден сноп лъчи, който обаче не е успореден на главната оптична ос, продълженията на пречупените от лещата лъчи се събират в точка от фокалната равнина на лещата. Фокалната равнина е равнина, която преминава през фокуса на лещата и е перпендикулярна на главната оптична ос.
Задача 2. Праволинейно движение с постоянно ускорение
Част I. Камък е пуснат да пада свободно без начална скорост. Определете височината h, от която е пуснат камъкът, ако той изминава втората половина от пътя си (h/2) за време t2 = 0,41 s. Земното ускорение е g = 10 m/s2. Съпротивлението на въздуха се пренебрегва.
Част II. Тяло се движи праволинейно с постоянно ускорение и преминава последователно два съседни участъка от пътя с еднаква дължина S (фиг. 3).
Фиг. 3.
Тялото изминава първия участък за време t1, а втория за време t2 (t2 > t1). Определете ускорението a на тялото
Задача 3. Движение и покой
а) Тяло с маса m се притиска към вертикална стена от хоризонтална сила F (фиг. 4а). При какви стойности на големината на силата F тялото няма да се хлъзга по стената? Коефициентът на триене при покой между тялото и стената е k.
а б в
Фиг. 4.
б) Тяло с маса m е поставено върху блок с маса M, чиято повърхност е хоризонтална. Блокът може да се хлъзга без триене по хоризонтална равнина. Към блока е приложена хоризонтална сила F (фиг. 4б). При какви стойности на големината на силата F тялото и блокът ще се движат като едно цяло (тялото няма да се хлъзга по повърхността на блока)? Коефициентът на триене при покой между тялото и блока е k.
в) Нека сега тялото да е поставено, както е показано на фиг. 4в. Стената на блока, към която се допира тялото, е вертикална. При какви стойности на големината на хоризонталната сила F тялото ще бъде в покой спрямо блока? Блокът се хлъзга без триене по хоризонталната равнина. Коефициентът на триене при покой между тялото и блока е k.
Земното ускорение е g.
Полезна формула: максимална сила на триене при покой Fmax = kN, където k e коефициентът на триене при покой, а N е силата на нормална реакция на опората.
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Национално пролетно състезание по физика гр. Бургас, 12-13 март 2016 г.
Решения и указания към темата за 8. клас
Зад. 1. Част I. 1. Когато предметът е в област I, образът е в област V………………………………………………………………………… 1 точка
Когато предметът е в област II, образът е в област VI ............................... 1 точка
При dп = 2f, d0 = 2f (фиг. 1) ……………………………………………….……….1 точка
Фиг.1.
2. а) Нека точковият източник И се намира на разстояние dп > 2f от лещата. Тогава 2f > dо > f. Разходящият сноп от лъчи, излизащ от образа О, е по-широк от снопа лъчи, преминал през лещата. Затова в пространството има област, в която лъчите от образа се пресичат от лъчите, които излизат от предмета и преминават извън лещата (защрихованите участъци на фиг. 2а). Ако окото на наблюдателя се намира в тази област, той ще вижда едновременно и източника, и неговия образ.
……………………………………………………………………………………… … 2 точки
Фиг. 2 а б
б) Когато източникът е на разстояние dп = 2f от лещата, неговият образ е на същото разстояние от другата страна на лещата (dо = 2f). Тогава крайните лъчи на двата снопа са успоредни и няма област, в която лъчи, излизащи от източника и преминаващи извън лещата, да се пресичат с лъчи, излизащи от образа (фиг. 2б). Ако 2f > dп > f, излизащият от образа сноп лъчи става още по-тесен и също не се пресича с лъчите от източника, преминаващи извън лещата. Следователно при 2f ≥ dп > f няма
нито една точка, от която точковият източник и неговият действителен образ да се наблюдават едновременно…..……………………………………………... 2 точки
Част II. Построяваме лъч, успореден на лъча AB, който преминава през центъра на лещата и не се пречупва (фиг. 3). Този лъч се пресича с продължението на пречупения лъч BC в точка D от фокалната равнина на лещата. Спускаме перпендикуляр от точка D към главната оптична ос. Той пресича оста в търсения фокус F на лещата.................................................................................................. 3 точки
Фиг. 3.
Зад. 2. Част I. От закона за пътя при свободно падане = 212
h gt ……. 0,5 точки
изразяваме цялото време на свободното падане =2htg
…………… 0,5 точки
и времето за изминаване на първата половина от пътя =1htg
…….. 1 точка
Времето за изминаване на втората половина от пътя е
= − = −2 12h ht t tg g
………………………………………………….. 0,5 точки
От горното равенство определяме височината h:
=−
22
2( 2 1)gth или ( 2
2 (3 2 2)h gt= + …………………………………..2 точки
h = 10 m……………………………………………………………………..0,5 точки
Част II. Тъй като вторият участък е изминат за по-голямо време, правим извода, че движението е равнозакъснително……………………………..……..…….. 1 точка
Да означим с v0 скоростта на тялото в началото на първия участък. От закона за пътя при равнозакъснително движение следват равенствата:
2 20 1 1 0 1 2 1 2
1 1; 2 ( ) ( )2 2
S v t at S v t t a t t= − = + − + …………………........…..….2 точки
От първото равенство изразяваме скоростта v0 и я заместваме във второто равенство. След съответните алгебрични преобразования за ускорението получаваме
−=
+2 1
1 2 1 2
2 ( )( )
S t ta
t t t t .......................................................................................... 2 точки
Задача 3. а) На фиг. 4а са показани силите, които действат на тялото. Тялото е в покой. Следователно силата на реакция на стената уравновесява силата F:
N = F....................................................................................................... 0,5 точки
Силата на тежестта се уравновесява от силата на триене при покой:
mg = f ………………………………………………………………………... 0,5 точки
Максималната сила на триене при покой е f max = kN = kF………………….. 1 точка
Тялото няма да се хлъзга, ако f max > mg или mgFk
> ……………………….. 1 точка
а б в
Фиг. 4
б) Тялото и блокът се движат като едно цяло с ускорение FaM m
=+
........... 1 точка
Разглеждаме отделно движението на тялото. То се движи под действие на силата на
триене f, с която му действа блокът (фиг. 4б): mFf maM m
= =+
....................... 1 точка
Тялото няма да се хлъзга по повърхността на блока, ако f < f max = kmg …..... 1 точка
Това условие се изпълнява при ( )F k M m g< + ...................................................1 точка
в) Тялото се движи с ускорение FaM m
=+
под действие на силата на реакция N, с
която му действа блокът: mN ma FM m
= =+
………………………….…...……...1 точка
Силата на тежестта се уравновесява от силата на триене при покой: mg = f.
Максималната сила на триене при покой е f max = kN = km FM m+
…......…….. 1 точка
Тялото няма да се хлъзга, ако f max > mg или ( )M m gFk+
> ………………….. 1 точка
Министерство на образованието и науката
Национално пролетно състезание по физика
Бургас, 1213 март 2016 г. Тема 9. клас
Задача 1. Електрически вериги
Част А: Заряд на кондензатор. На фиг.1 е показана електрическа верига, в която
кондензаторите 1 и 2 имат капацитети съответно CC 21 и CC 32 . Напрежението на
източника е U , а съпротивленията на резисторите 1 и 2 удовлетворяват равенството
21 2RR . Намерете заряда q на кондензатора, включен между точките М и N, при
условие, че във веригата се е установил постоянен ток.
Част Б: Потенциометър. Регулирането на напрежението между краищата на
резистор със съпротивление R2 става чрез потенциометър със съпротивление R (фиг. 2).
В началото резисторът е свързан към половината съпротивление на потенциометъра. Към
каква част xR от съпротивлението на потенциометъра трябва да се свърже резисторът, за
да нарасне напрежението му един път и половина? Начертайте схемата на електрическата
верига във всеки един от случаите.
R1
C1
R2
C2
C
U
A
N
M
Фиг. 1
B
2R
R
Фиг. 2
Задача 2. Потопено тяло
Дървено кълбо се намира в съд с вода, като половината от него е потопено във водата и то
се допира до дъното на съда. Натискът на кълбото върху дъното на съда е N6F ,
теглото на кълбото във въздух е N16P , а плътността на водата е 33
0 kg/m10.1 .
а) Намерете плътността на дървото, от което е направено кълбото.
б) Какъв допълнителен обем V от кълбото трябва да се потопи чрез наливане на
минимално количество вода в съда, за да се анулира натискът на кълбото върху дъното на
съда. Приемете земното ускорение 2m/s10g .
Задача 3. Топлина
Част А: Смес от лед с маса kg1,2m и неизвестно количество вода се намират в
топлинно равновесие в топлинноизолиран съд. След започване на нагряване на сместа
температурата й остава постоянна в продължение на време min111 t , а след това за
време min62 t тя се повишава с K30T . Определете масата M на сместа, ако
количеството топлина, получавано от сместа за единица време, е постоянно.
Специфичната топлина на топене на леда е kJ/kg330 , а специфичният топлинен
капацитет на водата е kJ/kg.K2,4c . Топлинният капацитет на съда е пренебрежим.
Част Б: Лек автомобил се движи с постоянна скорост. Разходът на гориво при тази
скорост е l8V бензин за изминато разстояние km100s . Намерете силата на
съпротивление f (съпротивление на въздуха, съпротивление поради триенето в осите на
автомобила, както и деформацията на гумите) при движението на автомобила. КПД на
двигателя на автомобила е %30 , специфичната топлина на изгаряне на горивото е
J/kg10.6,4 7q , а плътността на бензина е 3kg/m700 .
Министерство на образованието и науката
Национално пролетно състезание по физика
Бургас, 1213 март 2016 г. Тема 9. Клас
Решения и указания за оценяване
Задача 1. Електрически вериги
Част А: Заряд на кондензатор. Токът, който тече във веригата, е
221 3R
U
RR
UI
. [0,5 т.]
Тогава напреженията между краищата на всеки от резисторите са съответно
UIRU3
211 , UIRU
3
122 . [0,5 т.]
Нека приемем, че електродът на кондензатора с капацитет C , свързан с т. N , има
положителен заряд. (Ако зарядът на този електрод се окаже отрицателен, във всички
уравнения трябва да заменим qq , при което електродите на този кондензатор ще
сменят знаците на зарядите си.) Напрежението между точките А и М е сума от
напреженията на кондензаторите с капацитет 1C и C . Тогава имаме
UC
q
C
q
3
2
1
1 . [1 т. ]
Аналогично напрежението между точките А и В е
UC
q
C
q
2
2
1
1 , [1 т. ]
а от закона за запазване на електричния заряд в т. N намираме
21 qqq . [1 т. ]
Решаването на тази система уравнения дава
CUq18
1 . [1 т. ]
Част Б: Потенциометър. На фиг. 1, а е показана еквивалентната схема на свързване в
първия случай. [0,5 т. ] Нека означим напрежението на източника с U . Тогава за еквива-
лентното съпротивление на успоредно свързаните резистор и половината от
потенциометъра имаме
RRR
RRR
5
2
2/2
)2/.(21
. [0,5 т.]
Тогава напрежението върху резистора е
UURR
RU
9
4
2/1
11
. [0,5 т.]
Във втория случай (фиг. 1, б) [0,5 т. ] резисторът се свързва успоредно на съпротивление-
то xR на част от потенциометъра. Тогава еквивалентното им съпротивление е
x
x
RR
RRR
2
22 [0,5 т.]
а напрежението между краищата на резистора е
UURRRR
RRU
RRR
RU
xx
x
x 3
2
2
222
2
22
. [1 т.]
Търсеното съпротивление xR се определя от квадратното уравнение
022 22 RRRR xx . [0,5 т.]
Следователно търсеното съпротивление е
RRRRx4
373,0)13( . [1 т.]
2R
R – Rx
Фиг. 1, б
Rx
U2 U
2R
R/2
Фиг. 1, a
R/2
U1 U
Задача 2. Потопено тяло
а) На кълбото действат три сили: сила на тежестта mg , насочена надолу [0,5 т.], сила на
Архимед AF [0,5 т.] и реакцията на опората (дъното) R [0,5 т.], насочени нагоре. При
равновесие имаме
0A RFmg . [1 т.]
В дадения случай
2
0A
VgF , [0,5 т.]
където V е обемът на кълбото. По третия принцип на механиката FR [0,5 т.] и
Pmg [0,5 т.]. Освен това имаме
Vm , g
PV
. [1 т.]
След заместване в условието за равновесие на потопеното кълбо намираме
02
0
FPP , [1 т.]
откъдето следва
3
0 kg/m800)(2
FP
P. [1 т.]
б) Натискът върху дъното на съда става нула, когато се изравнят силата на тежестта и
Архимедовата сила, т.е. AFmg [0,5 т.]. В този случай
V
VgF
20A . [0,5 т.]
Тогава от уравнението
V
VV
20 [1 т.]
намираме
l6,012
2
11
2
2
1
00
g
PVV . [1 т.]
Задача 3. Топлина
Част А: Началната температура на сместа е C0 , която остава постоянна до пълното
разтопяване на леда [0,5 т.]. За това е необходимо количество топлина
mQ1 . [1 т.]
След като в съда има само вода с маса M , започва нейното нагряване. Количеството
топлина 2Q , което отива за повишаване на температурата на водата с T , е
TMcQ 2 . [1 т.]
От друга страна имаме
11 PtQ , 22 PtQ , [1 т.]
където P е постъпилото количество топлина за единица време. От тези равенства следва
2
1
t
t
TMc
m
, [0,5 т.]
откъдето намираме
kg31
2
m
t
t
TcM . [1 т.]
Част Б: Нека лекият автомобил изминава разстояние s [0,5 т.]. Автомобилът ще
изразходва бензин с маса Vm [0,5 т.], при изгарянето на който в двигателя се получава
количество топлина
VqmqQ . [1 т.]
Разглеждайки двигателя на автомобила като топлинна машина, можем да определим
извършената от него работа
VqQA . [1 т.]
От друга страна, поради движението на автомобила с постоянна скорост, силата на
съпротивление извършва работа по големина
AfsAf . [1 т.]
След заместване намираме N773
s
Vqf . [1 т.]
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА,
12 – 13 март 2016 г., Бургас Тема за 10. клас
Задача 1. Електростатика.
Четири положително заредени малки топчета са свързани с еднакви непроводящи неразтегливи нишки, както е показано на Фиг. 1. Големините на зарядите са указани на фигурата, а дължината на всяка еднa от нишките е 𝑙. Константата в закона на Кулон е 𝑘. Силата на тежестта да не се отчита. а) Намерете силата на опън 𝑇 на нишката, свързваща централните два заряда. [7 т.]
б) На колко е равен електричният потенциал 𝑈 в средата на нишката, свързваща централните два заряда? [2 т.]
в) Намерете приближен израз за големината на интензитета �⃗� , който създава системата от заряди в точка, която е отдалечена на много голямо разстояние 𝑑 от центъра на системата от заряди. [1 т.]
Задача 2. Електрическа верига. Резисторите в електрическата верига, показана на Фиг. 2, са с еднакво съпротивление 𝑅. а) Намерете съпротивлението 𝑅𝐀𝐁 между точките A и B. Начертайте еквивалентната схема, от която сте определили съпротивлението. [3 т.] б) Към двата края на веригата е свързан източник на електродвижещо напрежение ℰ = 7 V. Ако през резистора, който е най-отдалечен от краищата на веригата, протича ток 𝐼 = 0,2 A, намерете на колко е равно съпротивлението 𝑅. [4 т.]
в) Нека да откачим диагонално разположения резистор от веригата. На колко е равна електричната мощност 𝑃, която се отделя в получената верига, ако към нея е свързан източника на електродвижещо напрежение от предната подточка? [3 т.]
Задача 3. Равнозакъснително движение. Два автомобила се движат по прав път с една и съща неизвестна постоянна скорост 𝑣0. Първоначално разстоянието между тях е неизвестно 𝑙0. В един момент предният автомобил започва да се движи равнозакъснително с ускорение 𝑎1 = 0,5m s2⁄ . След време 𝑡0 = 10 s задният автомобил също започва да намалява своята скорост, но с ускорение 𝑎2 = 1,5m s2⁄ . При решаването на задачата размерите на автомобилите се пренебрегват. а) Най-малкото разстояние между автомобилите по време на тяхното движение е 𝑙min = 0,2 km. Намерете първоначалното разстояние между тях 𝑙0. [5 т.] б) След какво време от момента на най-голямо доближаване автомобилите ще се намират отново на разстояние 𝑙0 един от друг? [2 т.] в) След като единият от автомобилите е спрял да се движи, другият автомобил е продължил да се движи за време 2𝑡0. На колко е равна скоростта 𝑣0? [2 т.] г) Намерете разстоянието между автомобилите, след като са спрели да се движат. [1 т.]
𝑞 𝑙
Фиг. 1
𝑄
𝑄
𝑞
A
B
Фиг. 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА,
12 – 13 март 2016 г., Бургас Тема за 10. клас, Решения и указания
Задача 1. Електростатика.
а) Системата е симетрична спрямо вертикалната права, минаваща през средните заряди, и хоризонталната права, минаваща през крайните два заряда. Tърсената сила на опън означаваме с 𝑇. Силата на опън на останалите четири нишки е с една и съща големина 𝑇′. [0,5 т.] От условието за равновесие на системата следват две независими уравнения, които свързват големините на силите на опън с големините на Кулоновите сили, които
действат на зарядите. На левия заряд действат две сили на опън с големина 𝑇′, които сключват ъгъл 60° помежду си, както е показано на фиг. 1. Тяхната геометрична сума е
вектор, насочен хоризонтално надясно, с големина √3𝑇′, което може да се получи, като се използва Питагоровата теорема. [0,5 т.] По аналогичен начин векторната сума на силите, с които горният и долният заряди действат на левия заряд, дава сила с
големина √3𝑘𝑞𝑄
𝑙2 , насочена хоризонтално наляво. [1 т.] На левия заряд действа също така
и десният заряд със сила с големина 𝑘𝑞2
3𝑙2 , насочена хоризонтално наляво. [0,5 т.] За
получаване на тази сила използваме, че разстоянието между крайните заряди е
2√𝑙2 − 𝑙2 4⁄ = √3𝑙. [0,5 т.] От условието за равновесие на левия заряд имаме, че 𝑘𝑞2
3𝑙2+
√3𝑘𝑞𝑄
𝑙2= √3𝑇′. [0,5 т.] На горния заряд действа силата на опън на централната
нишка с големина 𝑇, насочена вертикално надолу, и две сили на опън с големина 𝑇′, които сключват ъгъл 120° помежду си, както е показано на фиг. 1. Тяхната геометрична сума е вектор, насочен вертикално надолу, с големина 𝑇′. [0,5 т.] По аналогичен начин векторната сума на силите, с които левият и десният заряди действат на горния заряд,
т.] От условието за равновесие на горния заряд следва, че 𝑘𝑄2
𝑙2+
𝑘𝑞𝑄
𝑙2= 𝑇 + 𝑇′. [0,5 т.]
Като изразим 𝑇′ от уравнението, което дава условието за равновесие на левия заряд, и
го заместим в последното уравнение, получаваме 𝑇 =𝑘𝑄2
𝑙2 −√3𝑘𝑞2
9𝑙2 . [1 т.]
б) Потенциалът в средата на централната нишка е алгебрична сума от потенциалите на
четирите заряда в тази точка: 𝑈 =4𝑘𝑄
𝑙+
4√3𝑘𝑞
3𝑙. [2 т.]
в) Интензитетът на много голямо разстояние от центъра на системата от заряди ще приеме вида на интензитета, създаван от един заряд с големина, равна на сумата от
големините на зарядите на системата, т.е. 𝐸 ≈2𝑘(𝑞+𝑄)
𝑑2 . [1 т.]
𝑞
𝑙
Фиг. 1
𝑄
𝑄
𝑞
𝑇′
𝑇′
√3𝑇′
𝑇′ 𝑇′
𝑇′
Задача 2. Електрическа верига. а) Еквивалентната схема на свързване е представена на фиг. 2. [1 т.] Съпротивлението, което ще се измери между точките A и B, е
𝑅AB =21𝑅
8. [2 т.]
б) Даденият в условието ток 𝐼 протича през двата най-горни
резистора на еквивалентната схема. [0,5 т.] Токът през цялата схема е 𝐼AB =ℰ
𝑅AB=
8ℰ
21𝑅.
[0,5 т.] Съпротивлението на оградената с пунктирна линия част от схемата е 𝑅′ =5𝑅
3.
Следователно през тази част от схемата протича ток 𝐼′ =𝑅
𝑅+𝑅′𝐼AB =
3
8𝐼AB. [1 т.]
Съпротивлението на успоредно свързаните резистори в частта оградена с пунктирна
линия е 𝑅′′ =2𝑅
3. Напрежението върху тези успоредно свързани резистори е 𝐼′𝑅′′ = 2𝐼𝑅.
[1 т.] От последното уравнение следва, че 𝑅 =ℰ
21𝐼≈ 1,7 Ω. [1 т.]
в) В този случай съпротивлението между точките A и B ще бъде 𝑅AB′ =
11𝑅
4. [1,5 т.]
Мощността, която се отделя във веригата, e 𝑃 =ℰ2
𝑅AB′ =
4ℰ2
11𝑅=
84𝐼ℰ
11≈ 11 W. [1,5 т.]
Задача 3. Равнозакъснително движение. а) Нека да отчитаме разстоянията спрямо положението на задния автомобил в момента, когато предният автомобил започва да се движи равнозакъснително. Скоростта на предния автомобил като функция на изминалото време от този момент е 𝑣1 = 𝑣0 − 𝑎1𝑡 [0,5 т.], а скоростта на задния автомобил е 𝑣2 = 𝑣0 − 𝑎2(𝑡 − 𝑡0). [0,5 т.] Автомобилите се намират най-близо един от друг, когато относителната скорост на предния автомобил спрямо задния стане равна на нула, т.е. 𝑣1 − 𝑣2 = 𝑎2(𝑡 − 𝑡0) − 𝑎1𝑡 =
0. [0,5 т.] Това става при време 𝑡min =𝑎2𝑡0
𝑎2−𝑎1. [0,5 т.] Положението на предния автомобил
като функция на изминалото време е 𝑥1 = 𝑙0 + 𝑣0𝑡 − 𝑎1𝑡2 2⁄ . [0,5 т.] Задният автомобил се движи равномерно за време 𝑡0 и след това започва да се движи равнозакъснително. Следователно неговото положение се дава с 𝑥2 = 𝑣0𝑡0 + 𝑣0(𝑡 − 𝑡0) − 𝑎2(𝑡 − 𝑡0)2 2⁄ =𝑣0𝑡 − 𝑎2(𝑡 − 𝑡0)2 2⁄ . [1 т.] Разстоянието между автомобилите по време на тяхното движение е 𝑙 = 𝑥1 − 𝑥2 = 𝑙0 − 𝑎1𝑡2 2⁄ + 𝑎2(𝑡 − 𝑡0)2 2⁄ . [0,5 т.] Минималното разстояние между тях се реализира при 𝑡 = 𝑡min, т.е. 𝑙min = 𝑙0 − 𝑎1𝑡min
2 2⁄ + 𝑎2(𝑡min − 𝑡0)2 2⁄ = 𝑙0 −𝑎1𝑎2𝑡0
2
2(𝑎2−𝑎1). [0,5 т.] Следователно 𝑙0 = 𝑙min +
𝑎1𝑎2𝑡02
2(𝑎2−𝑎1)= 237,5 m. [0,5 т.]
б) Автомобилите ще се намират отново на разстояние 𝑙0 един от друг, когато
𝑎1𝑡2 = 𝑎2(𝑡 − 𝑡0)2 [0,5 т.], т.е. при 𝑡 = √𝑎2
√𝑎2−√𝑎1𝑡0. [0,5 т.] Търсеното време е 𝑡 − 𝑡min =
√𝑎1𝑎2
𝑎2−𝑎1𝑡0 ≈ 8,7 s. [1 т.]
в) Предният автомобил спира да се движи при 𝑡1 =𝑣0
𝑎1, а задният автомобил спира при
𝑡2 = 𝑡0 +𝑣0
𝑎2. [0,5 т.] Следователно 2𝑡0 = |𝑡1 − 𝑡2| = |
𝑣0
𝑎1−
𝑣0
𝑎2− 𝑡0|. [0,5 т.] От това
уравнение получаваме, че 𝑣0 =3𝑎1𝑎2𝑡0
𝑎2−𝑎1= 22,5 m/s. [1 т.]
г) Разстоянието между автомобилите след тяхното спиране е 𝑥1(𝑡1) − 𝑥2(𝑡2) = 𝑙0 +𝑣0
2
2𝑎1−
𝑣0𝑡0 −𝑣0
2
2𝑎2= 𝑙0 +
3𝑎1𝑎2𝑡02
2(𝑎2−𝑎1)= 𝑙min +
2𝑎1𝑎2𝑡02
𝑎2−𝑎1= 350 m. [1 т.]
A
B
Фиг. 2
v
1
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТA НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА
12 – 13 март 2016 г., Бургас Тема за 11-12. клас
Задача 1. Механика
Фиг. 1 а Фиг. 1 б
Клин с маса М и с форма на правоъгълен триъгълник е поставен върху равнина, както е показано на фиг. 1 а и б. Всички повърхности по-долу са гладки, т.е. отсъства сила на триене.
а) Клинът се захваща неподвижно за равнината. Две малки тела с маси m са поставени неподвижно върху клина, при което започват да се пързалят по него (фиг. 1 а). Определете нормалната сила N, с която системата от трите тела действа върху равнината. [3т]
б) Клинът вече може да се движи свободно без триене по равнината. Определете ускорението а, с което се движи той, докато телата се пързалят по него. [3т] Намерете силата N, с която системата от трите тела действа върху равнината. [1т]
в) Нека в началото е поставено неподвижно само едно тяло с маса m на височина H (фиг. 1 б). Намерете скоростите на тялото и клина в момента, когато тялото достига основата на клина. Намерете числен резултат за стойностите 10g = m/s2 , 3H = m, о45α = , 1m = kg, 2M = kg. Приемете, че малкото тяло е с пренебрежими размери. [3т]
Задача 2. Флуиди
Фиг. 2 а Фиг. 2 б Фиг. 2 в
а) В правоъгълен съд с площ S е налята вода до височина Н, както е показано на фиг. 2 а. Водата изтича през дупчица с площ S0, намираща се на дъното на съда. Нека с vy означим скоростта, с която спада нивото на водата, а с v0 – скоростта на водната струя, изтичаща през дупчицата. Намерете vy и v0 като функция на нивото на водата y. [3т]
б) В съд с ротационна форма е налята вода, която изтича през дупка на дъното на съда (фиг. 2б). Дупката е симетрична, като краищата ѝ са с координати (-x0,y0) и (x0,y0). Формата на съда е
2
такава, че нивото на водата y спада равномерно с времето. Следователно тази система може да се използва за измерване на времето. Намерете формата на съда y = f(x). [4т]
Упътване за а) и б): Водата да се разгледа като течност с пренебрежим вискозитет.
в) На фиг. 2 в е показана сграда, която е изложена на вятър със скорост v. Пресметнете минималната скорост v0, при която вятърът ще отдели покрива от сградата. Максималната допустима сила на опън на конструкцията, поддържаща покрива, е F0, площта и масата на покрива са съответно S и m, а плътността на въздуха е .ρ [3т]
Задача 3. Оптика Част А
а) Светлинен лъч преминава последователно през среди с различни показатели на пречупване 1 2, ,..., Nn n n , както е показано на фиг. 3 а). Границите на средите, N-1 на брой, са успоредни една на друга. Намерете изходния ъгъл Nαпри даден входен ъгъл 1α . [1т]
б) Лъч пада под ъгъл α върху плоско-паралелна пластинка с дебелина d. Показателите на пречупване на средите са показани на фиг. 3 б). Намерете отместването на лъча x∆ . Намерете числен резултат за стойностите
о45α = , 1 1n = , 2 1.5n = , 1d = см. [3т]
Част Б
Фотоапарат има прост обектив, който се състои от една леща с фокусно разстояние 1f = см и диаметър 1d = см. Сензорът, върху който се проектира изображението от обектива, представлява квадрат със страна 20L = mm.
а) Апаратът е фокусирал обект на разстояние 1a = m. Намерете зрителното поле φ на фотоапарата. Зрително поле е максималният ъглов диаметър, който може да се заснеме с дадения фотоапарат. [2т]
б) Фотографът насочва фотоапарата към Слънцето и го оставя с отворена бленда, така че то да осветява сензора за продължително време. Слънчевата светлина преминава през филтър, така че интензитетът ѝ е 0 0.1I = W/m2, а ъгловият диаметър на Слънцето е приблизително О0.5α =. Намерете равновесната температура 0T на осветената част от сензора. [4т]
Упътване б): Равновесна температура се постига, когато за единица време тялото поглъща и излъчва еднакво количество енергия.
Приемете, че сензорът поглъща целия светлинен поток и че е с нулева топлинна проводимост (не провежда топлина към неосветената си част и към останалата част от фотоапарата). Сензорът излъчва топлина единствено от осветената от Слънцето страна.
Константа на Стефан-Болцман 85.67x10−σ = 2 4Wm K− − .
Фиг. 3
3
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТA
НАЦИОНАЛНО ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА 12 – 13 март 2016 г., Бургас
Тема за 11-12. клас, Решения и указания Задача 1. Механика - решение а) Работим в инерциална отправна система, т.е. разглеждаме силите в координатна система, която е неподвижна спрямо хоризонталната равнина. Налице са следните сили: върху телата действат реакциите на опората 1N и 2N и силите на тежестта G (изобразени на фиг. 1 а). Имаме
1
2
cos ,cos .
N mgN mg
= α= β
[1т]
За компонентите по вертикалната ос намираме 2
1
22
cos ,
cos .y
y
N mg
N mg
= α
= β[1т]
Така за пълната сила намираме ( ) ( )2 2cos cos ,N mg Mg m M g= α + β + = + [1т]
където сме отчели, че 2π
α +β = .
б) Клинът вече може да се движи свободно без триене по равнината. Приемаме, че се движи с ускорение а надясно. Върху клина действат реакциите на опората от страна на телата (3-ти принцип на Нютон), както и силите на тежестта. Следват динамичните уравнения, разложени по координатните оси. За лявото тяло (маса m):
1 1
1 1
sin ,cos .
x
y
N maN mg ma− α =
α − =[0.5т]
За дясно тяло (маса m): 2 2
2 2
sin ,cos .
x
y
N maN mg ma
β =β− =
[0.5т]
За клина (маса M): 1 2sin sin .N N Maα − β =
Телата се движат успоредно на повърхността на клина и затова векторите на ускоренията 1a a−
и 2a a−
също сочат успоредно на тези повърхности. Така за компонентите на 1a и 2a намираме
1
1
tany
x
aa a
= α−
, 2
2
tany
x
aa a
= − β−
. [1т]
Изразяваме всяка от компонентите от динамичните уравнения и ги заместваме в горните две уравнения:
Фиг. 1 а
4
1
2
cos sin ,
cos sin .
N g amN g am
= α − α
= β+ β
Заместваме получените изрази в уравнението за клина, при което получаваме 2 2(sin cos sin cos ) (sin sin ) .m g a Ma α α − β β − α + β =
Налагаме условието2π
α +β = , при което получаваме
( ) 0.m M a+ = Така намираме ускорението на клина
0.a = [1т] Тъй като 0,a = за силата, с която телата действат на равнината, отново получаваме
( ) .N m M g= + [1т]
в) Запазват се механичната енергия и импулса на системата по х: 2 21
1
,2 2
0.x
mv MvmgH
mv Mv
= +
+ =[1т]
Имаме и връзките 1
12 2 21 1 1
tan ,
.
y
x
x y
vv vv v v
= α−
+ =
[1т]
Намираме
Така получаваме
2 22
2
1 tan
gHvM M Mm m m
= + + + α
[0.4т]
и
21 2
2
12 2 11 1 tan
Mv gH v gHm M m M
m M m
= − = − + + + α
.[0.4т]
За съответните стойности намираме 2v = m/s [0.1т] и 1 2 13 m / s 7.21 m / s.v = ≈ [0.1т]
2 2 21 1
1
1
2 ,
,
1 tan .
x y
x
y
MgH v v vm
Mv vm
Mv vm
= + +
= −
= − + α
5
Задача 2. Флуиди - решение а) Прилагаме закона на Бернули за точка от водната повърхност с височина y и за точка от дъното с височина 0:
2 20
0 02 2yv vP gy P
ρ ρ+ρ + = + [1т].
В опростен вид изразът приема вида: 2 202 ygy v v+ = . В сила е и принципът за непрекъснатостта:
0 0yv S v S= [1т].
От последните две уравнения получаваме:
0 2 20
2y
gyv SS S
=−
[0.5т] и 0 2 20
2gyv SS S
=−
[0.5т].
б) Отново прилагаме закона на Бернули между повърхността и дъното: 2 2
00 0 02 2
yv vP gy P gyρ ρ
+ρ + = +ρ + [1т].
В опростен вид изразът има вида: 2 20 02 ( ) yg y y v v− + = . Прилагаме и принципа за
непрекъснатостта: 2 2
0 0yv x v xπ = π [1т],
където сме използвали формулата за площ на кръг. Така намираме
2 4004 4
0
2yy yv g xx x−
=−
[1т].
Налагаме условието за постоянна скорост, откъдето намираме формата на съда: 2 2 4
0 402 2
y yv v xy yg g x
= − + [1т].
в) На покрива действат следните сили: тежестта mg (посока надолу), натиск от страна на въздуха над покрива 1PS (надолу) и натиск от страна на въздуха под покрива 0P S (нагоре). Максимално допустимият дисбаланс между тези сили, такъв че покривът да не се отдели от сградата, се компенсира от силата на опън 0F (надолу). Получаваме следното уравнение
1 0 0 0.PS P S mg F− + + = [1т]
В сила е уравнението на Бернули, свързващо налягането в сградата с налягането непосредствено над покрива (токовата линия „влиза“ в сградата):
20
0 1 ,2vP P ρ
= + [1т]
където 0v е търсената минимална скорост. Така намираме
00
2( )mg FvS+
=ρ
.[1т]
6
Задача 3. Оптика – решение
Част А
а) Прилагаме закона на Снелиус за всяка една граница:
1 1 2 2
2 2 3 3
1 1
sin sin ,sin sin ,
sin sin .N N N N
n nn n
n n− −
α = αα = α
α = α
[0.5т]
Така намираме уравнението 1 1sin sin ,N Nn nα = α откъдето получаваме
11arcsin sin .N
N
nn
α = α
[0.5т]
б) Законът на Снелиус за първата граница е
1 2sin sinn nα = β .[0.25т]
Лъчът в третата среда е успореден на падналия. За отместването намираме
( )sin sin cos cos sincos cos
x d dα −β α β− α β
∆ = =β β
,[1т]
където сме ползвали, че sin( ) sin cos cos sinα −β = α β− α β . Така намираме
2
sin sinsin cos sin cos .cos 1 sin
x d d β β ∆ = α − α = α − α β − β
[0.5т]
Използваме закона на Снелиус:
1
22
1
2
cossin 1
1 sin
nnx d
nn
α
∆ = α −
− α
.[1т]
За дадените стойности имаме 0.33x∆ ≈ см. [0.25т]
Част Б
а) От фигурата се вижда, че
tan2 2
Lb
φ= , откъдето получаваме
7
2arctan2Lb
φ = .[0.5т]
Разстоянието b намираме от формулата 1 1 1 :a b f+ =
afba f
=−
.[0.5т]
Така намираме
о( )2arctan 89.42
L a faf−
φ = ≈ .[1т]
б) Във фотоапарата влиза светлинен поток с мощност 2
0 0 4dP I S I π
= = .[0.75т]
Тази мощност се разпределя върху кръг с приблизителен диаметър fα и площ 2 2
'
4fS πα
=
[0.75т]. Така за мощността на единица площ имаме 2
0'
P dIS f
= α
[0.5т]. За равновесната
температура имаме 2
40 0'
P dТ IS f
σ = = α
,[1т]
откъдето получаваме 1/42
00 390I dТ
f
= ≈ σ α
K. [1т]
1
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Национално пролетно състезание по физика – Бургас, 12 март 2016 г.
Специална тема
Физични константи
Скорост на светлината във вакуум
Гравитационна константа
Универсална газова константа
Число на Авогадро
Земно ускорение
Задача 1. Механика на бадминтона
Перото за игра на бадминтон (вж. фиг. 1.1) е пример за тяло, при чието движение
съществена роля играе силата на съпротивление на въздуха. Означените на фигурата
размери на перото са D = 5.8 cm и L = 7.0 cm, а масата му, съсредоточена основно в
сферичната глава, е m = 4.80 g. Експерименталните данни в задачата се отнасят за
движение на перото във въздух при налягане p = 99.8 kPa и температура T = 297 K.
Приемете, че средната моларна маса на въздуха е .
Фиг. 1.1 Фиг. 1.2
При движение на тяло във флуид с пренебрежим вискозитет, върху тялото действа
сила на съпротивление, която се дава с израза:
където е плътността на флуида, – скоростта на тялото, S – площта на проекцията на
тялото в равнина, перпендикулярна на скоростта му (вж. фиг. 1.2). Безразмерният
коефициент CD се нарича коефициент на челно съпротивление и зависи от формата на
тялото. Целта на задачата е да определите коефициента на челно съпротивление на перото
за бадминтон въз основа на реални експериментални данни.
А) Помощни съотношения. От стробоскопична снимка на движещо се тяло са установени
радиус-векторите на три негови последователни положения през еднакви
DL
S
v
2
интервали от време . Ако приемете, че движението на тялото е равноускорително,
получете изрази за ускорението на тялото и за скоростите му в съответните
три момента, изразени само чрез радиус-векторите и интервала време. [2.5 т]
Б) В случай, че движението на тялото не е равноускорително, получените в точка А
формули дават само приблизителни стойности за скоростта и ускорението в трите
момента. За кой от трите момента, според вас, получените формули дават най-точна
оценка на скоростта и на ускорението? Не е нужно да се аргументирате. [0.5 т]
В) Графиката на фиг. 1.3 изобразява последователните положения на главата на летящо
перо за бадминтон, получени от стробоскопична снимка с интервал между кадрите
. Оста X е хоризонтална, а Y – вертикална. Можете да приемете, че: 1) през
целия полет оста на перото е успоредна на вектора на скоростта на главата; 2) промяната
на ускорението за времето между два кадъра е пренебрежимо малка.
Фиг. 1.3 Последователни положения на главата на перо за бадминтон, получени от стробоскопична снимка с
интервал между кадрите .
В празните полета на таблицата от работния лист нанесете:
- координатите x и у на перото в моментите на дадените кадри (в момента t = 0 перото се
намира в центъра на координатната система);
- пресметнатите компоненти и , и съответно на скоростта и ускорението на
перото.
Запишете формулите, които използвате, за да получите оценка на скоростта и ускорението
в i-тия момент от време (можете да не разглеждате началния и крайния момент). [3 т]
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y (m
)
X (m)
3
Г) Въз основа на дадените и на пресметнатите данни, предложете графичен метод, чрез
който да определите коефициента CD на челно съпротивление на перото. Направете
нужните изчисления и оценете грешката на получения резултат. За построяване на
графики можете да използвате разграфената координатна система в работния ви лист. [4 т]
Внимание! Предайте работния лист заедно с останалите листа от решението.
Задача 2. Гравитационна вълна
Гравитационната вълна представлява смущение в геометрията на пространството,
което се разпространява с крайна скорост c. От практическа гледна точка гравитационната
вълна се проявява като деформация на телата, през които преминава. Гравитационните
вълни се излъчват от масивни обекти, които се движат с ускорение, например: въртящо се
несиметрично тяло, двойка звезди, обикалящи около общия им център на масата,
неизотропен взрив на свръхнова, сблъсък между космически обекти и др.
А) Гравитационната вълна предизвиква деформация на телата в равнина,
перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната. Деформацията се изразява в
еднородно разтягане (свиване) на тялото k пъти в дадено направление X и едновременно
свиване (разтягане) 1/k пъти в перпендикулярното направление Y, както е показано на фиг.
2.1. В случай на слаби гравитационни вълни, породени от далечни космически обекти,
коефициентът на разтягане k се мени по хармоничен закон:
където h << 1 е безразмерната амплитуда на вълната. Тя има смисъл на максимална
относителна деформация, предизвикана от вълната.
Фиг. 2.1 Фиг. 2.2
Нека означим с I интензитета на вълната, т.е. количеството енергия, което вълната
пренася за единица време през единица площ, ориентирана перпендикулярно на посоката
на разпространение. Както при механичните вълни, интензитетът на гравитационната
вълна е пропорционален на квадрата на нейната амплитуда:
X
Y
r
R
4
където коефициентът на пропорционалност f зависи от кръговата честота на вълната и
фундаменталните константи и c. Определете вида на функцията f с точност до
безразмерен множител. [1.5 т]
Б) Гравитационна вълна е породена от двойка звезди с маси M1 и M2, обикалящи около
общия си център на масата на разстояние r една от друга, както е показано на фиг. 2.2.
Съгласно с Общата теория на относителността, амплитудата на вълната на разстояние R от
звездите (R >> r) се дава с израза:
където Еk е кинетичната енергия на звездите, а K е коефициент на пропорционалност,
зависещ само от фундаменталните константи и c. Получете израз за K с точност до
безразмерен множител. [1.5 т]
В) За двойната система от фиг. 2.2 получете, с точност до безразмерен множител, израз за
пълната мощност P, излъчвана под формата на гравитационни вълни, като функция на
масите на звездите, разстоянието между тях и фундаменталните константи и c. [1 т]
Г) Загубата на енергия под форма на гравитационни вълни води до бавно намаляване на
разстоянието между двойката звезди. Получете израз за скоростта , с която се
променя разстоянието между звездите, ако приемете, че относителното изменение на
разстоянието за една обиколка е много малко. Релативистките ефекти не се отчитат.
Всички безразмерни коефициенти от предишните подточки, водят до множител 64/5,
който можете да използвате наготово в окончателния израз. [3 т]
Д) За колко време t разстоянието между звездите в системата ще се промени от
определена начална стойност r0 до крайна стойност r1 (r1 < r0). [1.5 т]
Е) В проведения наскоро експеримент за детектиране на гравитационна вълна е
регистрирана вълна от двойка черни дупки, въртящи се около общия си център на масата.
Честотата на регистрирания сигнал се изменя от 45 Hz до 360 Hz за време t = 0.15 s, след
което се предполага, че двете черни дупки са се сблъскали и сляли.
Ако приемете, че масите на двете черни дупки са еднакви, определете числено тяхната
маса M, началното разстояние r0 между тях и разстоянието rc, при което е настъпил
сблъсъкът. Не е нужно да получавате аналитични изрази за търсените величини.
Релативистките ефекти не се отчитат. [1.5 т]
5
Задача 3. Хексагонална решетка
Много често в природата и в техниката се срещат хексагонални структури, т.е. структури
съставени от правилни шестоъгълни елементи, запълващи плътно двумерна равнина (виж
например фиг. 3.1). Тук, в три независими подусловия, ще изследвате някои физични
свойства на различни такива структури.
Фиг. 3.1 Фиг. 3.2 Фиг.3.3
А) Повърхнинна плътност на графена [2 т]
Графенът (фиг. 3.2) е двумерна форма на въглерода. Състои се от въглеродни атоми,
заемащи върховете на правилни шестоъгълници, които запълват плътно равнината.
Разстоянието между два съседни въглеродни атома е . Колко е повърхнинната
плътност на графена, т.е. колко е масата на единица площ от слой графен. Моларната
маса на въглерода е .
Б) Хексагонална мрежа от резистори [3 т]
За безкрайната хексагонална мрежа от еднакви резистори със съпротивление R всеки (фиг.
3.3), определете еквивалентното съпротивление RAB между точките А и B.
В) Дифузия в хексагонален кристал [5 т]
В някои кристали пренасянето на електричен ток се дължи на т.нар.
„скокова” проводимост. В отсъствие на електрично поле, токовите
носители „блуждаят” по кристала, като извършват случайни скокове
от атом на атом. В хексагоналния кристал, показан на фиг. 3.4, в
даден момент електрон се намира в т. А. Електронът може да
прескочи с еднаква вероятност 1/3 на всеки от трите съседни атома,
после със същата вероятност на някой от следващата тройка съседни
атоми и т.н. Фиг. 3.4
Пресметнете вероятностите след три случайни скока
електронът да се окаже съответно в точките от A до F.
A B
A B C
D E
F
6
Работен лист към задача 1
Предайте заедно с решението!
1
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Национално пролетно състезание по физика – Бургас, 12 март 2016 г.
Примерни решения на специалната тема
Задача 1. Механика на бадминтона
А) Помощни съотношения.
Разглеждаме момента 1 като начален и записваме уравненията за скоростта и
преместването при равноускорително движение в моментите 2 и 3.
От четирите уравнения намираме:
Б) Получените формули дават най-точна оценка за скоростта и за ускорението в средния
(втория) момент.
В) За определяне на ускорението и скоростта в даден момент i, използваме координатите
на перото в същия момент, както и в предходния (i–1), и в следващия (i+1) момент. За
компонентите на скоростта имаме:
а за компонентите на ускорението съответно:
Така пресметнатите стойности са дадени в таблицата.
