第10講

磁場中の固体電子 ~~ 磁場とフェルミ面の意外な関係 ~~

広島大学　井野明洋

固体物理学1

居室： 理D205、 放射光セ308

ホール効果の測定2

VH

B

II

x

zy

ホール効果 の 基本原理3

Bv e-

v Be-

− − − − − − − − −

+ + + + + + + + + x

y

z

(a)

(b)

I

I I

I

過渡

定常

キャリヤの 種類と密度を 実験で決定

より

実験事実

価数 と ホール係数5

Li

NaKRb

CuAg

Au

Be

Mg

Al In

As

SbBi

2

1

0

-1

, nH e /nat

ぴったり -1

あまり
合わない

なぜなのか？

古典論の限界

巨大なホール係数 貴金属の約1000倍

-1

0

Al

アルミニウム Al のホール係数6

弱磁場→強磁場で 符号が反転！！

量子振動現象7

磁場 B

磁化

率 χ

方位

磁化

率 χ

磁化率: de Haas–van Alphen (dHvA) 抵抗率: Shubnikov–de Haas (SdH)

Au の単結晶

何じゃこりゃ？

8

課題

磁場中の 固体が示す 謎の物性

9

方針

電子の運動を 逆空間で考える　

•群速度 •等エネルギー面 •フェルミ面

磁場中の電子の運動10

逆空間の速度ベクトル実空間の速度ベクトル

ローレンツ力

•等エネルギー面 •B に直交する平面切り口の交線に沿って動く

逆空間の電子の軌道 11

B

B

電子面 左回り

ホール面 右回り

板書軌道運動の周期

量子振動

閉じ込めると離散化する13

ボーアの対応規則

n = 0, 1, 2, …γ: 位相定数

S = SFS で D(EF) が増え S ≠ SFS で D(EF) が減る → B の変化とともに物性が振動する

量子振動フェルミ面の
断面積 SFS の観測手段

可能な状態

T: 周期

磁場 B

磁化

率 χ

方位

磁化

率 χ

量子振動 14

Au

断面積 SFS の観測

板書実空間の運動

実空間 と 逆空間 の 軌道 16

X

逆空間

等エネルギー面 に沿った軌道

B

S実空間

等エネルギー面を 90°回して　 倍した軌道

B

周期 強磁場なら T ≪ τ

強磁場ホール係数17

等速成分振動成分

強磁場 T ≪ τ閉軌道 k(τ) = k(0)

電流にならないB

電子面 と ホール面18

(i) 占有側が閉じた軌道

(iii) 開いた軌道 → 磁場を強くしても消えない電流

B

(ii) 非占有側が閉じた軌道

B

ホール係数 の 理論式19

弱磁場

強磁場極限 T ≪ τ

古典と一致

導出略、 紹介のみJ. M. ザイマン、 「固体物性論の基礎」

home.hiroshima-u.ac.jp/tmatsu/Matsumura/Research_files/trnsprt.pdf

松村武、 「磁場中における 電気抵抗とホール効果」

弱磁場p = 0

移動度

Al と In のホール係数 20

第3BZ

第2BZ

第1BZ

n

p − n = +1 × nat

価数 3

p

ホール面

電子面

p = (1+α) nat

n = α nat

Al In

21

補足

電気抵抗のしくみ （解説のみ）

金属抵抗 の 温度依存性22

4

3

2

1

0

電気抵抗率

, ρ

(10-

8 !m

)

4003002001000温度, T (K)

AlAuCu

∝T

周期場 は 抵抗に寄与しない23

•周期場によるブラッグ散乱を取り込んだ固有状態が、
実現する （ブロッホ状態）。

•周期場によるブラッグ散乱は、 電流を散逸せず、
電気抵抗にならない (結晶運動量の保存)。

•電流を散逸させるのは、 周期性 （並進対称性） の破れ。

散乱 の 原因24

不純物 格子欠陥

定数

フォノン 他の電子

低温で∝T5 高温で∝T 低温で∝T

2

他にも、 磁気的な散乱など、 多様な原因がある。

典型金属では 比較的小さい

マティーセン則

高温領域 (T ≫ TD)25

格子振動 振幅の二乗 格子振動のエネルギー

励起されたフォノンの数

エネルギー等分配則 デュロン=プティ

3

2

1

0

, C

v /N

k B

2

2

1

1

0

0

, T/TD

5

4

3

2

1

0

, U

(T)/

Nk B

T D

0

, D

(E) ,

低温領域 (T ≪ TD)26

•後方散乱不可。 k ~ 0 フォノンによる前方散乱のみ。 •散乱回数あたりの、 電気抵抗への寄与が低下。 •散乱角を θ とおくと、 重みは 1 − cosθ ~ θ2 。

(c)(c)

(b)

Cu

1

0

2

3

4

5

6

7

8

, f

(TH

z)

1

0

2

3

4

5

6

7

8

, k

(a)(a) Cu

Δ

Λ

Σ

Γ

L

KX

X (d)(d)

TD = 347 K

50 K

100 K

100 K = 2.1 THz

0 K

フェルミ面

θ前方散乱

後方散乱 不可

ブロッホ＝グリューナイゼンの式27

低温の ∝T5 則と、 高温の ∝T 則を再現する理論式

グリューナイゼン関数28

1.0

0.5

0

F BG(x)

1.00.50x = T/TD

フォノン散乱 による抵抗

グリューナイゼン関数との比較29

3

2

1

0

, ρ

(10-

8 !m

)

300250200150100500, T (K)

Grüneisen fit

Al

Au

Cu

Experiment

(a)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

ρ (T)

− ρ0

(10-

8 !m

)

5 6 7 10 2 3 4 5 6 7 100 2 3 4 5 6 7 1000, T (K)

Experiment

Grüneisen fit

Au Cu Al

(b)

TD

還元温度, T / TD

還元抵抗, ρ

/ρD

フォノンによる抵抗の普遍曲線30

現実の金属では、 フォノン以外の散乱が、大きい。

• 電子ー電子散乱 • 磁気散乱 • 近藤効果

主に、sp 電子系で有効。

まとめ 31

量子振動

強磁場ホール係数

高温フォノン抵抗

フェルミ面の断面積

キャリヤー密度

残された謎 32

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

, ρ

(!m

)

1 10 100 1000, T (K)

AgCu

Au

Si

なぜ、 半導体の抵抗は、 温度とともに低下するのか？

半導体 (Si, Ge など) は、 フェルミ面が無く、 n = 0 。

微弱な電流の担い手？

一般に、 散乱確率は 温度とともに増大する。

そして誰もいなくなった…

次回

第11講　半導体

真空、 からの 対生成

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刺激に敏感な物質

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