第 5節　直交wavelet入門

5.1 多重解像度解析5.2 mother wavelet

5.3 waveletの滑らかさとmoment条件5.4 Mallatの分解・再構成algorithm

5.5 コンパクト台をもつscaling関数・wavelet

5.1 多重解像度解析 2

《定義》 tVmumPZ が φ P L2pRq に対応するL2pRqの多重解像度解析 (MRAと略記) であるとは, 各 Vm がL2pRqの閉部分空間であり, 次の性質をもつこと:

(i) tφpx ´ nqunPZ は V0 の正規直交基底.

(ii) ¨ ¨ ¨ Ă V´1 Ă V0 Ă V1 Ă ¨ ¨ ¨(iii) fpxq P Vm ô fp2xq P Vm`1

(iv)Ş

mPZVm “ t0u, Ť

mPZVm “ L2pRq.

《定義》 φ P L2pRq が scaling関数 であるとは, φ に対応する L2pRq の多重解像度解析tVmumPZ が存在すること. (多くの場合, φ が実数値で, L1pRq X L2pRq あるいは次に定義する SrpRq に属する状況を考える.)

《定義》 r P N0 のとき,

Sr “ SrpRq :“␣φ P CrpRq

ˇ̌supxPR

xxyp|φpkqpxq| ă 8 p0 ď @k ď r, @p P N0q(.

3

《記法》 関数 f P L2pRq に対して,

fmnpxq p“ fm,npxqq :“ 2m{2fp2mx ´ nq pm,n P Zq.

例えば上の(i)の関数族は tφ0nunPZ と書かれる. このとき, ∥fmn∥ “ ∥f∥ に注意.

〈注1〉 φ P L2pRq に対して tφpx ´ nqunPZ がL2pRqの正規直交系をなすとき,

• tφpx ´ nqunPZ の生成するL2pRqの閉部分空間を V0 とし,

• 上の(iii)により tVmumPZ を定める.

このとき,

① V0 Ă V1 かつ ② pφpωq が0の近傍で連続で pφp0q ‰ 0

が成り立つならば, (iv)は必然的に満たされ, φ は tVmuPZ に対するMRAとなることが知られている.

4

〈注2〉 (i)を次の(i)1で置き換えて, scaling関数 θ および対応する多重解像度解析を定義することがある.

(i)1 tθpx ´ nqunPZ は V0 の Riesz基底, すなわち正定数 A,B があって

Aÿ

nPZ|cn|2 ď

›››ÿ

nPZcnθpx ´ nq

›››2

ď Bÿ

nPZ|cn|2 @tcnu : 有限数列

を満たし,かつ次の意味でV0を生成する:

V0 “␣ř

ncnθpx ´ nq

ˇ̌tcnu : 有限数列

((L2pRqにおける閉包).

このとき, 上の不等式は @tcnu P ℓ2pZq に対して成立し,

V0 “!ÿ

n

cnθpx ´ nqˇ̌ˇ tcnu P ℓ2pZq

)

となる.

5

補題5.1 scaling関数 φ P L2pRq および対応する MRA tVmumPZ に対して,

(i) tφmnunPZ は Vm の正規直交基底である. 従って, 特に

Dtcnu P ℓ2pZq : φpxq “ÿ

n

cn?2 φp2x ´ nq

´“

ÿ

n

cnφ1npxq¯.

(ii)ÿ

k

|pφpω ` 2πkq|2 “ 1.

［証］ (i) 問5.1で証明する.

(ii) φ P L2pRq より pφ P L2pRq であることに注意. tφpx ´ nqunPZ がV0の正規直交基底, 従ってL2pRqの正規直交系であるから,

δ0n “ż

Rφpx ´ nqφpxq dx “ 1

2π

ż

Rpφpωqe´inω pφpωq dω “ 1

2π

ż

R|pφpωq|2e´inω dω

“ 12π

8ÿ

k“´8

ż 2πpk`1q

2πk

|pφpωq|2e´inω dω “ 12π

8ÿ

k“´8

ż 2π

0

|pφpω ` 2πkq|2e´inω dω

“ 12π

ż 2π

0

Gpωqe´inω dω, Gpωq :“8ÿ

k“´8|pφpω ` 2πkq|2.

これより Gpωq P L1pTq のn次Fourier係数が δ0n であるから, Gpωq “ 1.

6

【問5.1】 補題5.1に関連して, 以下の問いに答えよ.

(o) tφ0nunPZ が正規直交系(i.e. xφ0n, φ0n1 y “ δnn1 @n, n1 P Z) であるための必要十分条件はxφ0n, φy “ δ0n @n P Z であることを示せ.

(i) tφ0nunPZ がV0の正規直交基底であることを仮定して, 各m P Z に対して tφmnunPZ がVm

の正規直交基底であることを示せ. ［ヒント：tφmnunPZ が正規直交系 (すなわちxφmn, φm0y “ δn0 @n P Z) かつ 完全 (すなわち 各f P Vmに対してParsevalの等式ř

nPZ|xf, φmny|2 “ ∥f∥2 が成立) であることを示せばよい.］

(ii) f P L2pRq のとき řkPZ| pfpω ` 2πkq|2 P L1pTq を示せ.

(iii) f P L1pRq X L2pRq のとき, yfmnpωq を pfp¨q を用いて表せ. ［ヒント：置換積分］

【問5.2】 θpxq :“ p1 ´ |x ´ 1|qχr0,2spxq について, 以下の問いに答えよ.

(i) θpxq “ pχr0,1s ˚ χr0,1sqpxq, pθpωq “´1 ´ e´iω

iω

2̄“ e´iω

´ sin ω2

ω2

2̄を確かめよ.

(ii) 次を満たす正定数 A,B が存在することを示せ:

Aÿ

nPZ|cn|2 ď

›››ÿ

nPZcnθpx ´ nq

›››2

ď Bÿ

nPZ|cn|2 @tcnu : 有限数列.

7

以下では, いくつかのscaling関数の例を紹介する.

〔例1〕 (Haarのscaling関数)

φpxq :“ χr0,1spxq.!1 1 2 3

1

〔例2〕 (Franklinのscaling関数)

θpxq :“ p1 ´ |x ´ 1|qχr0,2spxq “ pχr0,1s ˚ χr0,1sqpxqに対して, tθpx ´ nqunPZ の生成するL2pRqの閉部分空間を V0 とすれば, tθpx ´ nqunPZ は V0 の !1 1 2 3

1

Riesz基底となる. θ から V0 を生成する(直交) scaling関数 φ を構成する.

Step 1 : アイデア.

φ P V0 より, φpxq “ÿ

nPZanθpx ´ nq を満たす tanu P ℓ2pZq が存在する(これを決定する). こ

の関係式をFourier変換すれば,

pφpωq “ÿ

n

ane´inωpθpωq “ αpωqpθpωq, αpωq :“

ÿ

n

ane´inω P L2pTq.

8

ここで, 問5.2 (ii) より, pθpωq “ e´iω´ sin ω

2ω2

2̄. また, 補題5.1 (ii)より,

1 “ÿ

k

|pφpω ` 2πkq|2 “ |αpωq|2ÿ

k

|pθpω ` 2πkq|2.

よって,1

|αpωq|2 “ÿ

k

|pθpω ` 2πkq|2 “ÿ

k

ˇ̌ˇ̌ sinpω

2 ` πkqω2 ` πk

ˇ̌ˇ̌4

“ÿ

k

sin4 ω2

pω2 ` πkq4 .

Step 2 :ÿ

k

1pω2 ` πkq4 の計算.

ξ P R z Z を定数として, e´iξx p´π ă x ă πq のFourier級数

e´iξx “ÿ

k

sinπpξ ` kqπpξ ` kq eikx p´π ă x ă πq.

を出発点とする. Parsevalの等式を用いて,

1 “ÿ

n

ˇ̌ˇ̌ sinπpξ ` kqπpξ ` kq

ˇ̌ˇ̌2

“ sin2 πξπ2

ÿ

k

1pξ ` kq2 , すなわち

ÿ

k

1pξ ` kq2 “ π2

sin2 πξ.

9

この式の両辺を ξ R Z で2回まで微分して整理すれば,

ÿ

k

1pξ ` kq3 “ π3 cosπξ

sin3 πξ,

ÿ

k

1pξ ` kq4 “ π4p1 ´ 2

3 sin2 πξqsin4 πξ

.

ここで, ξ “ ω

2πpω R 2πZq を代入して,

ÿ

k

1pω2 ` kπq4 “ 1 ´ 2

3 sin2 ω2

sin4 ω2

, 従ってÿ

k

sin4 ω2

pω2 ` kπq4 “ 1 ´ 2

3sin2 ω

2.

最後の式はすべてのω P Rで成り立つことに注意.

Step 3 : tanu の決定.

Step 1, 2 の結果より, |αpωq| “ `1 ´ 2

3 sin2 ω2

˘´ 12 . 特に, αpωq “ eiω|αpωq| と選べば,

pφpωq “ αpωqpθpωq “ sin2 ω2

pω2 q2

´1 ´ 2

3sin2 ω

2

¯́ 12.

また,`1 ´ 2

3 sin2 ω2

˘´ 12 のFourier係数をtbku とすれば,

αpωq “ÿ

n

ane´inω “ eiω

ÿ

k

bkeikω より, an “ b´n´1 pn P Zq.

10

このとき,`1 ´ 2

3 sin2 ω2

˘´ 12 は実軸の近傍で周期2πの正則関数となるので, bk “ Ope´a|k|q

pk Ñ ˘8q なる定数 a ą 0 が存在し(問5.3),

φpxq “ÿ

n

b´n´1θpx ´ nq “ÿ

k

bkθpx ` k ` 1q

は一様収束(かつL2収束)する. 具体的な値は k P N0 に対して,

b˘k “ 12π

ż π

´π

`1 ´ 2

3sin2 ω

2

˘´ 12 e´ikω dω

“ 1π

ż π

0

`1 ´ 2

3sin2 ω

2

˘´ 12 cos kω dω “ 2

π

ż π2

0

cos 2kωb1 ´ 2

3 sin2 ωdω

“ p´1qk8ÿ

n“k

" p2n ´ 1q!!p2nq!!

*2ˆ kź

j“1

n ´ j ` 1n ` j

˙´23

2̄n

“ p´1qk8ÿ

n“k

p2n ´ 1q!!p2nq!!

ˆ2n

n ´ k

˙´13

2̄n

で与えられる(問5.4). また, いくつかの近似値を計算すると

11

b0 » 1.29168, b˘1 » ´0.17466, b˘2 » 0.03521, b˘3 » ´0.00787, b˘4 » 0.00185, . . .

よって, φpxq “ b0θpx ` 1q ` b1tθpxq ` θpx ` 2qu ` b2tθpx ´ 1q ` θpx ` 3qu ` ¨ ¨ ¨ のグラフの概形は次の通り.

!4 !2 2 4

0.5

1.0

【問5.3】 fpzq が帯状領域 ´a0 ă Im z ă a0 (a0 ą 0は定数)において周期2πの正則関数であるとする. このとき, Cauchyの積分定理を用いて, 任意の a P p0, a0q に対して

ż π

´π

fpxq dx “ż π

´π

fpx ´ iaq dx “ż π

´π

fpx ` iaq dx

が成り立つことを説明せよ. 更に, この事実を用いて,`1 ´ 2

3 sin2 ω2

˘´ 12 のk次Fourier係数 bk

が |bk| ď Ce´a|k| pk P Zq の形に評価されることを示せ(a,Cの具体的な値を1組挙げよ).

12

【問5.4】 第1種完全楕円積分を一般化した積分

Kmpρq :“ż π

2

0

cos 2mθa1 ´ ρ2 sin2 θ

dθ p|ρ| ă 1,m P N0q

を次の指示に従って計算せよ(m “ 0のとき第1種完全楕円積分と呼ばれる).

(1) Ipn,mq :“ż π

2

0

sin2n θ cos 2mθ dθ pn,m P N0q が次の漸化式を満たすことを示せ:

Ipn,m ` 1q “ 2Ipn,mq ´ 4Ipn ` 1,mq ´ Ipn,m ´ 1q pn P N0,m P Nq.(ヒント： cos 2pm ` 1qθ “ cosp2mθ ` 2θq を加法定理で分解し, 得られる式を整理する.)

(2) (1)の漸化式を用いて, Ipn,mq “ p´1qm p2n ´ 1q!!p2nq!!

ˆ mź

j“1

n ´ j ` 1n ` j

˙π2

pn,m P N0q

が成り立つことをmに関する数学的帰納法で示せ.

(3) Kmpρq “8ÿ

n“0

p2n ´ 1q!!p2nq!!

ż π2

0

pρ2 sin2 θqn cos 2mθ dθ と書けることを利用して, 次を示せ:

Kmpρq “ p´1qm π2

8ÿ

n“m

" p2n ´ 1q!!p2nq!!

*2ˆ mź

j“1

n ´ j ` 1n ` j

˙ρ2n

“ p´1qm π2

8ÿ

n“m

p2n ´ 1q!!p2nq!!

ˆ2n

n ´ m

˙´ρ2

2̄n.

13

〔例3〕 (Daubechiesのscaling関数)

scaling関数 φ (実数値)は

φpxq “ÿ

k

ck?2φp2x ´ kq

ˆ“

ÿ

k

ckφ1kpxq˙

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 伸張方程式

の形に表される(補題5.1 (i)). 「直交条件」を満たし, かつなるべく簡単な tcku Ă R を定めることにより, scaling関数 φ を構成する.

まず, tφpx ´ nqunPZ が V0 の正規直交基底であるから,ÿ

kckck´2n “ δ0n. 実際,

δ0n “ xφ, φp¨ ´ nqy “ÿ

j,k

żck

?2φp2x ´ kq cj

?2φp2x ´ 2n ´ jq dx

“ÿ

j,k

2ckcj

żφpy ´ kqφpy ´ 2n ´ jq dy

2“

ÿ

j,k

ckcj δk,2n`j “ÿ

k

ckck´2n.

また, 補題5.1 (ii)より, この条件はÿ

k|pφpω ` 2πkq|2 “ 1 とも同値.

実は, 更に |pφp0q| “ 1 も導かれる(詳細は後で).

14

補題5.2 scaling関数 φ P L2pRq の伸張方程式に現れる tcku に対して,

m0pωq “ÿ

k

ck?2e´ikω

`P L2pTq

˘と定めれば次が成り立つ.

(i) pφpωq “ m0

´ω2

¯pφ´ω2

¯.

(ii)ˇ̌ˇm0

´ω2

¯ˇ̌ˇ2

`ˇ̌ˇm0

´ω2

` π¯ˇ̌

ˇ2

“ 1. (tφpx ´ nqunPZの正規直交性に対応)

［証］ (i) pφpωq “ÿ

n

cn?2

żφp2x ´ nqe´iωx dx “

ÿ

n

cn?2

pφ´ω2

¯e´iωn{2 “ m0

´ω2

¯pφ´ω2

¯.

(ii) 1 “ÿ

k

|pφpω ` 2πkq|2 “ÿ

k

ˇ̌ˇm0

´ω2

` πk¯ˇ̌

ˇ2 ˇ̌

ˇpφ´ω2

` πk¯ˇ̌

ˇ2

“ÿ

j

ˇ̌ˇm0

´ω2

` 2πj¯ˇ̌

ˇ2 ˇ̌ˇpφ

´ω2

` 2πj¯ˇ̌

ˇ2

`ÿ

j

ˇ̌ˇm0

´ω2

` p2j ` 1qπ¯ˇ̌

ˇ2 ˇ̌ˇpφ

´ω2

` p2j ` 1qπ¯ˇ̌

ˇ2

“ˇ̌ˇm0

´ω2

¯ˇ̌ˇ2 ÿ

j

ˇ̌ˇpφ

´ω2

` 2πj¯ˇ̌

ˇ2

`ˇ̌ˇm0

´ω2

` π¯ˇ̌

ˇ2 ÿ

j

ˇ̌ˇpφ

´ω2

` π ` 2πj¯ˇ̌

ˇ2

“ˇ̌ˇm0

´ω2

¯ˇ̌ˇ2

`ˇ̌ˇm0

´ω2

` π¯ˇ̌

ˇ2.

15

tcku Ă R で, m0pωq が有限和で表されるとする pñ m0pωq P C8pTqq. このとき, 補題5.2 (i), (ii)に ω “ 0 を代入して m0p0q “ 1, m0pπq “ 0. これより,

ÿ

k

ck “?2,

ÿ

k

ckp´1qk “ 0,ÿ

k

ckck´2n “ δ0n ((ii)と同値, 既出の条件). p˚1q

ここで, ν P Rとして, ck を?2 c0 “ ´νp1 ´ νq

1 ` ν2,

?2 c1 “ 1 ´ ν

1 ` ν2,

?2 c2 “ 1 ` ν

1 ` ν2,

?2 c3 “ νp1 ` νq

1 ` ν2p˚2q

および他はすべて ck “ 0 と定めれば, 上の条件は満たされる. 更に,ÿ

k

ckp´1qkk “ 0 ¨ ¨ ¨ moment条件 (φの滑らかさに関係, 後述)

を課せば ν “ ˘ 1?3と決まり, tcku が定まって φpxq が再帰的に得られる(既知の関数

で直接表現できる訳ではない). 例えば, φ0pxq “ θpxq を初項として, 漸化式

φnpxq “3ÿ

k“0

ck?2φn´1p2x ´ kq pn P Nq

で逐次近似される : φpxq “ limnÑ8

φnpxq.

16

scaling関数 (Daubechies 2) の近似列

1 2 3

1

1 2 3

1

1 2 3

1

φ0pxq “ θpxq φ1pxq φ2pxq

1 2 3

1

1 2 3

1

1 2 3

1

φ3pxq φ4pxq φ5pxq

《ν “ ´ 1?3の場合》

c0 “ 1 ` ?3

4?2

, c1 “ 3 ` ?3

4?2

, c2 “ 3 ´ ?3

4?2

, c3 “ 1 ´ ?3

4?2

,

他のkでは ck “ 0

1 2 3

1

Daubechies 2

17

【問5.5】 上の〔例3〕に関して次の問いに答えよ.

(1) c0, c1, c2, c3 以外のck がすべて 0 のとき, p˚1qからp˚2qを導け.

(ヒント：まずp˚1qの第3式は c21 ` c21 ` c22 ` c23 “ 2 と c2c0 ` c3c1 “ 0 を表す. 後者はpc0, c3q K pc2, c1q と書ける. pc0, c3q “ νp´c1, c2q とおけることを示すことから始めよ.)

(2) moment条件を用いて ν “ ˘ 1?3を導け.

(3) ν “ 1?3の場合に, 上に対応するグラフを(Mathematica, Maple等を用いて)描け.

5.2 mother wavelet 18

《定義》 ψ P L2pRq が mother wavelet であるとは,

tψmnum,nPZ が L2pRq の正規直交基底となること.

（以下では, φ が実数値で, L1pRq X L2pRq あるいは SrpRq に属する場合を考える.）

scaling関数があれば,

scaling関数を使って mother wavelet を作ることができる.

mother waveletの作り方 — 基本的な考え方

V1 における V0 の直交補空間を W0 とする(従って, V1 “ V0 ‘ W0). このとき,

tψpx ´ nqunPZ が W0 の正規直交基底

となるような ψ P L2pRq を作れれば, それが mother wavelet である. 実際, 条件

gpxq P Wm ô gp2xq P Wm`1 pm P Zq

により(W0から) Wm を定めれば,

19

① tψmnunPZ は Wm の正規直交基底,

② Wm は Vm`1 における Vm の直交補空間.

これより, m, k P N に対し,

Vm “ Vm´1 ‘ Wm´1 “ ¨ ¨ ¨ “ V0 ‘ W0 ‘ W1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Wm,

V0 “ V´1 ‘ W´1 “ ¨ ¨ ¨ “ V´k ‘ W´k ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ W´1.

ŤmVm “ L2pRq, Ş

mVm “ t0u であるから, 上式において m Ñ 8, k Ñ 8 として,

L2pRq “ V0 ‘ˆ 8à

m“0

Wm

˙, V0 “

´1à

m“´8Wm. 6

à

mPZWm “ L2pRq.

よって, tψmnum,nPZ は確かに L2pRq の正規直交基底である.

【問5.6】 上の ①, ② を確かめよ.

20

mother waveletの作り方 — 方法1

まず, tψpx ´ nqunPZ がW0の正規直交基底より, xψ, ψp¨ ´ nqy “ δ0n p@n P Zq. また,

V0 K W0 より, xψ, φp¨ ´ nqy “ 0 p@n P Zq. よって, 補題5.1 (ii)と同様にして,

(a)ÿ

k

| pψpω ` 2πkq|2 “ 1, (b)ÿ

k

pψpω ` 2πkqpφpω ` 2πkq “ 0.

次に, ψ P W0 Ă V1 であるから, ψに対しても “伸張方程式”

ψpxq “ÿ

k

dk?2φp2x ´ kq

ˆ“

ÿ

k

dkφ1kpxq˙

が成り立つはずである. これをFourier変換すれば(補題5.2 (i)),

pψpωq “ m1

´ω2

¯pφ´ω2

¯, m1pωq :“

ÿ

k

dk?2e´ikω.

よって, 上の(a), (b)から, 補題5.2 (ii) と同様にして,

(A)ˇ̌ˇm1

´ω2

¯ˇ̌ˇ2

`ˇ̌ˇm1

´ω2

` π¯ˇ̌

ˇ2

“ 1,

(B) m1

´ω2

¯m0

´ω2

¯` m1

´ω2

` π¯m0

´ω2

` π¯

“ 0.

21

ψ を決定するために, m1pωq を求める. (B)より

|m1pω2 q||m0pω2 q| “ |m1pω2 ` πq||m0pω2 ` πq|.

これと(A)および補題5.2 (ii)とから, |m1pω2 q| “ |m0pω2 ` πq|. ここで再び(B)を見て

m1

´ω2

¯“ e´ip ω

2 `πqm0

´ω2

` π¯ ´

ô m1pωq “ ´e´iωm0pω ` πq¯

と選べば, (A), (B)が満たされる(これを´1倍した形を選ぶことも多い).

【問5.7】 (a), (b) および (A), (B) を導け.

mother waveletの作り方 — 方法2

伸張方程式

φpxq “ÿ

k

ck?2φp2x ´ kq, ψpxq “

ÿ

k

dk?2φp2x ´ kq

を直接用いることもできる. 直交性の条件を伸張方程式の係数を用いて表せば,

22

xφ, φp¨ ´ nqy “ δ0n p@nq ô ①ÿ

kckck´2n “ δ0n p@nq,

xφ, ψp¨ ´ nqy “ 0 p@nq ô ②ÿ

kckdk´2n “ 0 p@nq,

xψ, ψp¨ ´ nqy “ δ0n p@nq ô ③ÿ

kdkdk´2n “ δ0n p@nq.

与えられた φ に対して ψ を作りたいので, ここでの問題は

tckukPZ が①を満たすとき, ②, ③を満たす tdkukPZ を見つけよ.

この問題に対して, 例えば

dk “ c1´k p´1qk (あるいは dk “ c1´k p´1qk´1)

で定まる tdkukPZ は解を与える. また, 実はこの tdkukPZ に対する m1pωq は上で定めた m1pωq と同じものである.

【問5.8】 ここで定めた tdkukPZ について,

(1) ②, ③を満たすことを示せ.

(2) このとき定まる m1pωq は方法1で得た m1pωq と同じものであることを示せ.

23

〔例1〕 (Haar の wavelet)

Haarのscaling関数 φpxq “ χr0,1spxq はφpxq “ φp2xq ` φp2x ´ 1qp?2 c0 “

?2 c1 “ 1, 他は ck “ 0q

を満たすので, 対応する mother wavelet ψpxq はψpxq “ φp2xq ´ φp2x ´ 1qp?2 d0 “ ´

?2 d1 “ 1, 他は dk “ 0q

!1.0 !0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

!1.0

!0.5

0.5

1.0

!1.0 !0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

!1.0

!0.5

0.5

1.0

24

〔例2〕 (Franklin の wavelet)

θpxq “ p1 ´ |x ´ 1|qχr0,2spxq に対応して, scaling関数 φpxq が

pφpωq “ sin2 ω2pω2 q2

´1 ´ 2

3sin2

ω2

¯́ 12

´ô φpxq “

ÿ

k

bkθpx ` k ` 1q¯

の形で与えられた. このとき,

m0

´ω2

¯“

pφpωqpφpω2 q

“ sin2 ω2pω2 q2

pω4 q2sin2 ω4

p1 ´ 23 sin

2 ω2 q´ 1

2

p1 ´ 23 sin

2 ω4 q´ 1

2

“ cos2ω4

ˆ2 ` cos ω22 ` cosω

˙12

,

m1

´ω2

¯“ e´iω

2 m0

´ω2

` π¯

“ e´iω2 sin2

ω4

ˆ2 ´ cos ω22 ` cosω

˙12

(“´1倍した形”)

より, mother wavelet ψ が次で与えられる:

pψpωq “ m1

´ω2

¯α

´ω2

¯pθ´ω2

¯

loooooomoooooonpφp ω

2 q

“?3 sin2

ω4

"2 ´ cos ω2

p2 ` cosωqp2 ` cos ω2 q

*12

pθ´ω2

¯

“?32

p´eiω2 ` 2 ´ e´iω

2 q"

2 ´ cos ω2p2 ` cosωqp2 ` cos ω2 q

*12

¨ 12

pθ´ω2

¯.

25

ここで,!

2 ´ cosωp2 ` cos 2ωqp2 ` cosωq

)12 のFourier係数を tdnu とおけば,

ψpxq “?3

2

ÿ

n

p´dn´1 ` 2dn ´ dn`1qθp2x ` nq.

【問5.9】 pψpωq の式から ψpxq の式が導かれることを説明せよ. また, (Mathematica, Maple等を用いて) dn p´10 ď n ď 10q を計算し, y “ ψpxq のグラフを描け.

!4 !2 2 4

!0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

!4 !2 2 4

!1.0

!0.5

0.5

1.0

1.5

y “ φpxq y “ ψpxq

26

〔例3〕 (Daubechies の wavelet)

scaling関数 φ はφpxq “

3ÿ

k“0

ck?2φp2x ´ kq,

c0 “ 1 ` ?3

4?2

, c1 “ 3 ` ?3

4?2

, c2 “ 3 ´ ?3

4?2

, c3 “ 1 ´ ?3

4?2

であった. このとき, 対応する mother wavelet ψ は

ψpxq “1ÿ

k“´2

c1´kp´1qk?2φp2x ´ kq.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

!1.0 !0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

!1.0

!0.5

0.5

1.0

1.5

y “ φpxq y “ ψpxq

27

〔例4〕 (Shannon のscaling関数に対応する wavelet)

Shannon のscaling関数は

φpxq “ sinπx

πxpô pφpωq “ χr´π,πqpωqq

であった. V0 を π帯域制限関数からなる L2pRq の閉部分空間とすれば, f P V0 に対して Shannonの標本化定理が成り立つ:

fpxq “ÿ

n

fpnqφpx ´ nq.

対応する mother wavelet は, 例えばψpxq “ 2φp2xq ´ φpxqˆあるいは ψpxq “ sinπpx ´ 1

2 q ´ sin 2πpx ´ 12 q

πpx ´ 12 q

˙.

実際, pψpωq “ pφpω{2q ´ pφpωq より, supp pψ “ r´2π,´πs Yrπ, 2πs となり, pφ, pψ の台は共通部分を持たない.

!10 !5 5 10

!0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y “ φpxq

!10 !5 5 10

!0.5

0.5

1.0

y “ ψpxq

28

〔例5〕 (Meyerのscaling関数)

関数 φ のFourier変換 pφ がC80 pRq に属する実数値の偶関数で, 次を満たすとする：

0 ď pφpωq ď 1 in R, pφpωq “"1 p|ω| ď 2π{3q0 p|ω| ě 4π{3q,

pφpωq2 ` pφp2π ´ ωq2 ” 1 p0 ď ω ď 2πq.

この条件を満たす φ をMeyerのscaling関数と呼ぶ. グラフの概形は以下の通り.

(φは, 台がR全体, x Ñ ˘8で非常に速く減衰し, pφp0q “ şR φpxqdx “ 1 を満たす偶関数)

!2 Π !

4 Π

3!

2 Π

3

2 Π

3

4 Π

3

2 Π

1

2 4 6 8!2!4!6!8

!0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

pφpωq のグラフ φpxq のグラフ

29

Meyerのscaling関数 φpxq に対応してm0pωq “

“pφp2ωq p´π ď ω ď πq を周期 2π で拡張した周期関数(実数値)‰

と定めれば, 定理4.1により,

ψpxq “ F´1re´iω{2 m0pω{2 ` πq pφpω{2qs

はwavelet関数となる(Meyerのwavelet). ψpxq のグラフの概形は以下の通り.

(ψpxq は対称軸が x “ 1{2 であって, 台は無限に広がっているが非常に速く減衰しており,

積分すると正の部分と負の部分の面積が等しくなるように振動していることに注意.)

!

8 Π

3!

2 Π

3

2 Π

3

8 Π

3

1

2 4 6 8!2!4!6!8

!0.8

!0.6

!0.4

!0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

m0pω{2 ` πq pφpω{2q のグラフ ψpxq のグラフ

30

【問5.10】 Meyerのscaling関数 φ (直接的には pφ) を以下の手順で構成せよ.

(1) fpωq “"e´1{ω pω ą 0q0 pω ď 0q と定めるとき, f P C8pRq であることを示せ.

(ヒント： ω ‰ 0 において fpωq が C8級であることは明らかだから, ω “ 0での状況を調べればよい. 具体的には, まず, 各 n P N に対して, ω ą 0 で f pnqpωq “ ppnpωq{ω2nqe´1{ω ppnpωq はn ´ 1次多項式q と書けること(従って lim

xÑ0f pnqpxq “ 0) を帰納法で示す. 次に, 各 n P N に対して,

f P CnpRq で f pnqp0q “ 0 となることをやはり帰納法で示す.)

(2) gpωq “c

fpωqfpωq ` fp1 ´ ωq “ fp2ωqa

fpωq ` fp1 ´ ωq と定めるとき, g P C8pRq であり,

0 ď gpωq ď 1, gpωq “"1 pω ě 1q0 pω ď 0q , gpωq2 ` gp1 ´ ωq2 ” 1

を満たすことを示せ.

(3) 前の例の pφpωq の条件式が満たされるように, pφpωq を gpωq を用いて構成せよ.

5.3 waveletの滑らかさとmoment条件 31

scaling関数 φ と wavelet ψ が φ,ψ P Sr を満たすと仮定すれば, 実は

ψ は r次以下の多項式と直交する (moment条件).

定理5.3 ψ P Sr に対し, tψmnum,nPZ が L2pRq の正規直交基底となるならば,ż 8

´8xkψpxq dx “ 0 p0 ď k ď rq.

［証］ k に関する数学的帰納法による.

　k “ 0 の場合から始める. まず, ψpbq ‰ 0 なる2進有理点 b “ 2´j0k0 pj0, k0 P Zq を選んでおく. j ě j0 とすれば 2jb P Z であるから, 直交性より

0 “ 2jż 8

´8ψpxqψp2jx ´ 2jbq dx “

ż 8

´8ψp2´jy ` bqψpyq dy. p˚q

このとき, |ψp2´jy ` bqψpyq| ď C|ψpyq| pC :“ max|ψ| ă 8q かつ |ψpyq| P L1pRq であるから, Lebesgueの収束定理により, 上の式の k “ 0 の場合が示される:

32

0 “ limjÑ8

ż 8

´8ψp2´jy ` bqψpyq dy “

ż 8

´8limjÑ8

ψp2´jy ` bqψpyq dy “ ψpbqż 8

´8ψpyq dy.

　次に, n ď r として, 上の式が 0 ď k ď n ´ 1 に対して成り立つと仮定する(帰納法の仮定).

今度は2進有理点 b を ψpnqpbq ‰ 0 となるように選ぶ. Taylor展開により

ψpxq “nÿ

k“0

ψpkqpbq px ´ bqkk!

` rnpxq px ´ bqn`1

pn ` 1q! , rnpxq “ ψpn`1qpb ` Dθ ¨ px ´ bqq

となる. これを p˚q に代入して, 帰納法の仮定を用いると,

0 “ż 8

´8

" nÿ

k“0

ψpkqpbq p2´jyqkk!

` rnp2´jy ` bq p2´jyqn`1

pn ` 1q!

*ψpyq dy

“ ψpnqpbqż 8

´8

p2´jyqnn!

ψpyq dy `ż 8

´8rnp2´jy ` bq p2´jyqn`1

pn ` 1q! ψpyq dy

この両辺に 2jnn! を掛け, j Ñ 8 とすれば, 再びLebesgueの収束定理を用いて,

0 “ ψpnqpbqż 8

´8ynψpyq dy `

ż 8

´8limjÑ8

2´jrnp2´jy ` bqn ` 1looooooooooooomooooooooooooon

“0

yn`1ψpyq dy.

よって, k “ n でも上の式は成り立ち, 証明が終わる.

33

定理5.4 φ P Sr が(正規直交) scaling関数のとき, pφp0q ě 0 ならば,

(i) pφp2πkq “ δ0k pk P Zq, (ii)ÿ

n

φpx ´ nq “ 1 px P Rq.

［証］ f を pfpωq “ χr0,1spωq なる関数とすれば, f の Vm への正射影は

fmpxq “ÿ

n

xf, φmnyφmnpxq “ÿ

n

ˆ12π

ż 8

´8pfpωqzφmnpωq dω

˙φmnpxq

“ÿ

n

ˆ12π

ż 1

0

2´ m2 pφp2´mωqe´in2´mω dω

˙φmnpxq

であるから, Parsevalの等式(Fourier変換 & Fourier級数)を用いて,

∥fm∥2 “ 2´m

p2πq2ÿ

n

ˇ̌ˇ̌ż 1

0

pφp2´mωqe´in2´mω dω

ˇ̌ˇ̌2

“ 2mÿ

n

ˇ̌ˇ̌ 12π

ż 2π

0

tχr0,2´mspσqpφpσqu e´inσ dσ

ˇ̌ˇ̌2

pσ “ 2´mωq

“ 2m

2π

ż 2π

0

|χr0,2´mspσqpφpσq|2 dσ “ 12π

12´m

ż 2´m

0

|pφpσq|2 dσ.

34

ここで, m Ñ 8 とすれば fm Ñ f in L2pRq であるから,

12π

|pφp0q|2 “ ∥f∥2 “ 12π

ż 1

0

| pfpωq|2 dω “ 12π

.

仮定 pφp0q ě 0 より pφp0q “ 1 を得る. 更に, 既に見たように

tφp¨ ´ nqunPZ が正規直交系 ôÿ

n

|pφpω ` 2πkq|2 “ 1

であるから, ω “ 0 を代入して, pφp0q “ 1 より pφp2πkq “ 0 p@k ‰ 0q. よって, (i)が示された.

　式(ii)を示すために, Fourier級数展開ÿ

n

φpx ´ nq “ÿ

k

ckei2πkx (周期1) を求める. ここで,

ck “ż 1

0

ˆÿ

n

φpx ´ nq˙e´i2πkx dx “

ż 8

´8φpxqe´i2πkx dx “ pφp2πkq “ δ0k.

これから(ii)が従うことは明らか.

5.4 Mallatの分解・再構成algorithm 35

伸張方程式と直交性とから,

異なるscaleにおける係数の関係を導く簡単なalgorithm

が得られる.

　tVmumPZ が L2pRq の多重解像度解析なら (φ : scaling関数, ψ : mother wavelet), 空間 V1 “ V0 ‘ W0 は2組の正規直交基底

t?2φp2x ´ nqunPZ, tφpx ´ nq, ψpx ´ kquk,nPZ

をもつ. よって, 各 f P V1 は

fpxq “ÿ

n

a1n?2φp2x ´ nq “

ÿ

n

a0nφpx ´ nq `ÿ

n

b0nψpx ´ nq (1)

と展開できる. ここで, 右辺に伸張方程式

φpxq “?2

ÿ

k

ckφp2x ´ kq, ψpxq “?2

ÿ

k

dkφp2x ´ kq pdk “ p´1qkc1´kq

を代入して,

36

fpxq “ÿ

n

a0n?2

ÿ

k

ckφp2x ´ 2n ´ kq `ÿ

n

b0n?2

ÿ

k

dkφp2x ´ 2n ´ kq

“ÿ

n

a0nÿ

j

cj´2n

?2φp2x ´ jq `

ÿ

n

b0nÿ

j

dj´2n

?2φp2x ´ jq

“ÿ

j

ˆÿ

n

cj´2na0n `

ÿ

n

dj´2nb0n

˙?2φp2x ´ jq.

よって, (1)で係数比較を行い, 再構成algorithm

a1n “ÿ

k

cn´2ka0k `

ÿ

k

dn´2kb0k pdk “ p´1qkc1´kq

を得る. また,

a0n “ xf, φp¨ ´ nqy “ż 8

´8fpxq

ÿ

k

ck?2φp2x ´ 2n ´ kq dx

“ÿ

k

ck a12n`k “

ÿ

k

ck´2n a1k.

37

同様にして, b0n “ xf, ψp¨ ´ nqy “ÿ

k

dk´2n a1k. これらをまとめて, 分解algorithm

a0n “ÿ

k

ck´2n a1k, b0n “

ÿ

k

dk´2n a1k pdk “ p´1qk c1´kq

を得る. これらはそれぞれのscaleにおいて成り立ち, 次の木構造のalgorithmとしてまとめることができる. 分解については

tbm´1n u tbm´2

n u tb1nu tb0nuÕ Õ Õ Õ Õ Õ

tamn u Ñ tam´1n u Ñ tam´2

n u Ñ ¨ ¨ ¨ Ñ ta1nu Ñ ta0nu Ñ ¨ ¨ ¨また, 再構成については

tb0nu tb1nu tbm´1n u

Œ Œ Œ Œ Œ¨ ¨ ¨ Ñ ta0nu Ñ ta1nu Ñ ta2nu ¨ ¨ ¨ Ñ tam´1

n u Ñ tamn u関数 fpxq から展開係数を1回のみ, 関心のある最大解像度のscale (Vm) で計算する.

あとはこの分解algorithmを使って逐次粗いscaleへ計算を進めればよい.