統計学 講義第 17 回 母平均の区間推定 Part-2

2016 年 6 ⽉ 14 ⽇（⽕）3 限担当教員： 唐渡 広志（からと・こうじ）研究室: 経済学研究棟4階432号室email: kkarato@eco.u−toyama.ac.jpwebsite: http://www3.u−toyama.ac.jp/kkarato/

1

講義の目的 標本平均は正規分布に従うという性質を⽤いて，⺟集団の平均を推定する⽅法を理解する。

質的データ（0-1型変数）の平均である標本⽐率から，⺟⽐率の区間推定を⾏う⽅法について理解する。

推定誤差と調査に必要なサンプルサイズについて理解する。 ⺟分散（⺟標準偏差）が未知の場合の区間推定の⽅法について理解する。

keywords: 中⼼極限定理，信頼区間，推定誤差，t分布，⺟⽐率の区間推定

参考書 ⽩砂 pp.127 – 148

⿃居 pp.145 – 172

⼤屋 pp.171 – 192

2

【復習】二項分布と正規分布 (1)

3

の分布に等しい。で割った値をにしたがう確率変数二項分布

の分布は，個の確率変数の平均また，互いに独立な

に等しい。の分布は，二項分布

個の確率変数の和なにしたがう互いに独立の二項分布試行回数が

nXnXpnBnXXXn

pnBXnpBn

nn

n

i

,

,,11

21

pnpXVnpXEpnBX nnn 1,,~ただし，

npppnp

nXV

nnX

V

pnpn

XEnn

XE

nn

nn

1111

11

2

2

npppN

nX n 1,~ 中⼼極限定理の考え⽅より，成功⽐率

X(n)/nは正規分布に近づく。

【復習】二項分布と正規分布 (2)

4

?は何を意味するかnX n

試行回数

数成功回数を示す確率変

:

:

n

X n

→ 成功する割合（⽐率）を⽰す確率変数

例. サイコロを60回投げて6が x回出る割合の分布

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.00

0.04

0.08

0.12

実現値

確率

で近似できる

60,

61~ 6

561

60 NnX

例 1

5

コインを50回投げて表が出る回数の割合の分布はどのような分布に近似できるか？

の割合（比率）回投げて表が出る回数50:

5050X

npppN

nX n 1,~

の平均値50n

505.05.0,5.0~

5050 N

X

コインを50回投げて表が出る回数の割合の分布は，平均 0.5，分散 0.5×0.5/50 の正規分布に近似できる。

例 2

6

6⽉xx⽇に放映されたあるテレビ番組の真の視聴率（本当はわからない…）が10%であるとしよう。600世帯を対象に視聴率調査を⾏う場合， 600世帯中その番組を⾒た⼈の割合（⽐率）はどのような分布で近似できるか？

見なかった

見た

01

1X 9.00Pr

1.01Pr

1

1

X

X

調査数 n = 600, p = 0.1で⾒る回数（成功回数）の分布 B(600,0.1)

1.0,1~1 BX

1.0,600~600 BX

600⼈中⾒た⼈数の分布

npppN

nX n 1,~

の平均値600n

6009.01.0,1.0~

600600 N

X

調査をすれば平均的にみて10%ぐらいの視聴率がありそうだが，それよりも⾼かったり，低かったりすることもある（誤差がある）。しかしその平均視聴率の分布は正規分布に近似させて考えることができる。

視聴率 X(n) / n の分布

7

6009.01.0,1.0~

6060 N

X

0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

視聴率

確率

±3%ぐらいまでの誤差はありうる

真の視聴率は10% (p = 0.1) であるが，600世帯の標本調査では9.4%になったり，11.6%になったりすることがある。しかしながらその標本調査の結果は正規分布の実現値の⼀つとみなすことができる。

母比率の区間推定 (1)

8

中⼼極限定理の考え⽅から標本の⽐率も正規分布に近似することができる。

【標本⽐率の例】例 1. A県で通勤・通学に⾃家⽤⾞を利⽤している⼈の割合例 2. 25歳⼥性の有配偶率（結婚している⼈の割合）例 3. B市の下⽔道処理普及率（下⽔道処理されている世帯の割合）例 4. 6⽉12⽇放送の⼤河ドラマの視聴率（⾒た⼈の割合）など

npppNX

Xnp1,~正規分布にしたがう。

は比率人調査するときの標本の分布から真の割合（母比率）

真の割合 pのことを⺟集団⽐率（⺟⽐率）とよぶ。

母比率の区間推定 (2)：例. 視聴率

9

⺟集団（ある番組を⾒たか，⾒なかったか）n = 1の⼆項分布 B(1, p)

［平均 p , 分散 p(1-p) の分布］⾒た = 1 Pr (X = 1) = p⾒なかった=0 Pr (X = 0) = 1−p

id 調査結果 Xi

1 ⾒た 12 ⾒なかった 0・・・

・・・・・・

600 ⾒なかった 0合計 Xi = 66 視聴世帯数平均 標本⽐率11.0X %100:

2 標本比率視聴率

本比率とよぶ値変数の標本平均を標

標本抽出

xX Pr

Xp

p1

0 1

質的データは {0, 1} の2値変数に変換して分析する。

2値変数

600世帯を調査 ⺟⽐率 p

⺟集団分布

母比率の区間推定 (3)：例. 視聴率

10

0

0

1

10

1

・・・・・・

p

p1

p1

p

1世帯⽬ 2世帯⽬

・・・・・・・・・・・600世帯⽬

・・・・・・⾒た（成功）

⾒なかった（失敗）

で考えてみる．母集団を二項分布 pnBX n ,~視聴世帯数の分布

と同じ分布

の分布は個の確率変数の平均値なにしたがう互いに独立【復習】

npppN

nX

npB

n 1,~

,1

母比率の区間推定 (4)：例. 視聴率

11

npppNX 1,~

標本平均（標本⽐率）の分布は正規分布で近似できる

1,0~

1: N

npppXZX

を標準化すると

95.096.1

196.1Pr

npppX

標準正規分布における95%の範囲

nppXp

nppX

196.1196.1

きる。に置き換えることがでを

に一致するはが十分に大きいときここで

nXX

npp

pXn

11

,,（詳細は補助資料を参照）

（不等式を整理）

⺟⽐率 pの95%信頼区間

n

XXXpn

XXX

196.1196.1

例題 1 視聴率

12

例．V社が600世帯を対象に，あるテレビ番組の視聴世帯数を調べたところ66世帯が⾒ていたことがわかった。真の視聴率（視聴世帯の⺟⽐率）を信頼係数95%のもとで区間推定しなさい。

135.0600

89.011.096.111.0196.1:

085.0600

89.011.096.111.0196.1:

nXXXb

nXX

Xa

上側信頼限界

下側信頼限界

135.0085.0:%95 p信頼区間

96.1%5.2

11.060066:

600:

臨界値標準正規分布の

視聴率標本比率

サイズ

X

n

95.0Pr%95

bpa信頼区間】【

練習問題 (2)

13

⽇本銀⾏が4000世帯を対象に「現在のくらし向き」について調査したところ 38%の世帯が「ゆとりがなくなってきた」と回答した。「ゆとりがなくなってきた」世帯の⺟⽐率の 95% 信頼区間を求めなさい。

推定誤差

14

よぶを母平均の推定誤差とX

標準正規分布における 95% の確率

つ。の範囲で推定誤差を持はなので，n

Xn

Xn

96.196.196.1

500 550 600 650

0.00

50.

015

100200,~

2

NX

-50 0 50

0.00

50.

015

100200,0

2NX の分布

2.3910020096.1

2?

測定誤差の範囲

の分布標本を抽出するときの

のの母集団から

X

n 100200

2.3910020096.1

2

96.196.1

n

X

推定誤差を小さくするにはサンプルをどれだけ増やせばよいか？

15

を大きくすればよい。つまり

を小さくすればよい。を小さくするには推定誤差

nn

X

96.1

［万円］はのときの推定誤差例 2.39200,100. n

があればよいか？サンプルサイズするにはどれぐらいの

以内に［万円］の範囲をのとき，推定誤差それでは，信頼係数が

n3095.0

n

96.130

い以下になっていればよが上限（下限）の値推定誤差の 3096.1n

2

3096.1

n

7.17030

20096.1 2

n

【結論】信頼係数 0.95のもとで，推定誤差を30万円以内にするには，少なくとも，171⼈以上のサンプルが必要。（170⼈だとちょっと⾜りない）

信頼係数とサンプルサイズ

16

の決め方サンプル・サイズ

要な以内に抑えるために必のもとで，推定誤差を信頼係数

n %100

2

2

2

576.299.0:

96.195.0:

645.190.0:

n

n

n

信頼係数

信頼係数

信頼係数

epsilon: イプシロン

信頼係数

0.9 0.95 0.9950 n = 44 62 107 30 121 171 295 20 271 385 664 10 1,083 1,537 2,655 5 4,330 6,147 10,618 1 108,241 153,664 265,432

0.1 10,824,100 15,366,400 26,543,104 0.01 1,082,410,000 1,536,640,000 2,654,310,400

例. = 200 の⺟集団から標本をとるとき推定誤差を ［万円］以下におさえるため必要なサンプルサイズ

推定誤差を をより⼩さくしようとすると，追加的に必要となるサンプルサイズを⾶躍的に増⼤させる必要がある。

練習問題 (3)

17

ある県の⾼齢者の 1 ⽇のテレビ視聴時間について，推定誤差を信頼係数95 % のもとで 1 分以内に抑えたい。最低限必要なサンプル・サイズを計算しなさい。ただし，⺟標準偏差は = 20 [分]であることがわかっているものとする。

例. 標本比率における推定の精度とサンプルサイズ

18

B 新聞社の世論調査によると，A 内閣の現在の⽀持率は 50% であるという。信頼係数 95% のもとで，真の内閣⽀持率を区間推定しなさい。

推定精度と調査労⼒のトレードオフn = 1,000 の誤差は約 3 %。誤差を 2 %以内にするには n = 2,000 以上にサンプルを増やす必要がある。また，誤差を 1 %以内にするには n = 10,000 以上必要となる。

n下側

信頼限界上側

信頼限界標本比率

(0.5) との差30 0.321 0.679 0.179 50 0.361 0.639 0.139

100 0.402 0.598 0.098 200 0.431 0.569 0.069 400 0.451 0.549 0.049

1000 0.469 0.531 0.031 2000 0.478 0.522 0.022 4000 0.485 0.515 0.015 6000 0.487 0.513 0.013 8000 0.489 0.511 0.011

10000 0.490 0.510 0.010

下側信頼限界

上側信頼限界

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

3050100

200

400

1000

2000

4000

信頼区

間

サンプルサイズ

母比率の推定誤差 (1)

19

96.1

196.1

npppX

で置き換えている。をただし

つ。の範囲で推定誤差をもは

XXppnXX

XpX

11

196.1

測定誤差を 以下に抑えるには

XXn

XXnnXX

196.1

196.1196.1

2

視聴率調査（例題1）での推定誤差以下に抑える）（視聴率のもとで推定誤差を信頼係数 %101.0%95

9.376011.0111.001.096.1 2

n 少なくとも 3761 世帯の調査が必要

標準正規分布における 95% の確率

標本比率の推定誤差 (2)

20

必要なサンプルサイズは「調査前」に必要な情報標本⽐率がわからない状態で推定誤差を考える必要がある。

XXn

196.1 2

を確保しておく高めのサンプルサイズ

によっての最大値を考えることXX 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00

0.10

0.20

0.30

XX 1

X

25.015.0 XXX のとき最大値

25.096.1 2

n必要なサンプルサイズ

視聴率調査（例題1）での推定誤差：標本⽐率が未知（調査前）

960425.001.096.1 2

n

練習問題 (4)

21

25歳以上30歳未満の男性労働者を対象に，現在の仕事にどのくらい満⾜しているかどうかを調べたい。信頼係数 95% のもとで，「仕事に満⾜している⼈の割合」の推定誤差を 5% 以内に抑えるために必要なサンプルサイズを求めなさい。

答え：少なくとも n =385⼈

例題 2. 母標準偏差 （母分散 2 ）が未知の場合

22

C 社の5⽉（⼟⽇祝⽇を除く）の株価変化率 [%] を1⽇毎に調べたところ次のデータが得られた。

{Xi} = {−3.2, −1.3, −1.7, −0.9, 0.3, −1.5, −1.4, 2.3, −3.6, −1.8, 4.1, 0.4, −1.7, 0.0, −3.0, 2.5, −1.3, −2.3, 1.9, −2.1, 2.0}

変化率の⺟平均や⺟分散は未知であるが，⺟集団は正規分布であると考える。⺟平均 の95%信頼区間を推定しなさい。

【問題点】・⺟分散 （⺟標準偏差 ）の値がわからない。ただし，正規分布である。・サンプルサイズはそれほど⼤きくない (n = 21)。標本標準偏差 sを⺟標準偏差 の推定値として代⽤することもできる。サンプル・サイズが⼗分に⼤きければ，標本平均の分布を正規分布に近似して考えることができるが，⼩さい場合には（たとえ⺟集団が正規分布であったとしても）正規分布を利⽤した区間推定はできない。

を s で置き換えた分布

23

が未知2 分布の自由度 tnns

Xtx

1~

布にしたがう。分布と呼ばれる確率分の

は自由度にしたがわない。もはや

は，で置き換えた［標本標準偏差］を

tntNts

11,0

1,0~ Nn

XZ

1

:2

n

XXs ix標本標準偏差

が既知2ができる．正規分布で考えること

の分布は合，の値がわかっている場 X2

⾃由度

t 分布：標準正規分布よりも若干ばらつきが大きい分布

24

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

p ⾃由度1の t分布

⾃由度4の t分布N(0,1)

0を中⼼とする左右対称な分布である。 ⾃由度の値によって分布の形が変わる。⾃由度が⼤きくなると，t分布は標準正規分布に近づく。⾃由度∞でN(0,1)に⼀致。 ⾃由度が⼩さいと，標準正規分布に⽐べてばらつきが⼤きくなる。

分布の5xs

X

分布の2xs

X

t分布の確率密度関数

ガンマ関数

：自由度

:1

nm

【復習】自由度とは

25

1

11

2

n

nXXSn

iixx

自由度は

個だけある。報の数はにおいて意味のある情

である自由度は

個だけ」である。な値をとりうるのは個の偏差のうち「自由すなわち，

。なのでってしまう個は自動的に値が決ま残り

れば，個まで値がわかっていところが，このうち

個の偏差が必要乗和の計算には偏差

11

01

1,,,,

2

121

nnn

XX

nXXXXXXXX

n

i

nn

で割った値である。自由度

乗和をある偏差は，ばらつきの指標で標本分散

1

21

22

nnXX

s ix

t 分布における臨界値: t, m

26

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

自由度4のt分布

t

p4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

自由度10のt分布

t

p10

⽚側確率：2.5%

A = 2.776

B = 2.228

025.0Pr At

025.0Pr Bt

信頼係数95%の区間推定で利⽤

776.24,025.0 tA

228.210,025.0 tB

⽚側確率（有意⽔準）

⾃由度

注意. t分布の臨界値は⾃由度によって異なる

t 分布における 95% の範囲

27

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

両側5%: 自由度4

2.776-2.776

95%

2.5%2.5%

の値となる

分布において，の自由度

AAtAt

95.0Pr4

776.24,025.0 tA776.24,025.0 tA

776.24,025.0 tA

練習問題 (5)

28

の値を求めなさい．となる

分布においての自由度

AAtt 025.0Pr7:]1[

の値を求めなさい．となる

分布においての自由度

BBtBt 90.0Pr24:]2[

7,025.0tA

B臨界値

練習問題 (6)

29

の値を求めなさい．となる

分布において，の自由度

CCtt 005.0Pr24:]1[

の値を求めなさい．となる

分布において，の自由度

DDtt 975.0Pr18:]2[

C

D

母分散 が未知のときの母平均の区間推定

30

信頼区間を考える。

分布上でののが未知なので，自由度母分散

%952012 tnm

95.0Pr 20,025.020,025.0

t

nsXt

ns

tXns

tX xx 20,025.020,025.0

信頼区間）はの範囲（この式を満たす %95

例題2（情報の整理）

より086.220,025.0 t

37.02109.2086.258.0:

53.12109.2086.258.0:

1,025.0

1,025.0

ns

tX

ns

tX

xn

xn

上側信頼限界

下側信頼限界

37.053.1%95 信頼区間は以上より

練習問題 (7)ある⼯場が製造している腕時計⽤電池の寿命を調べるために，30個だけ

ランダムに選んで検査したところ以下の結果が得られた。過去の調査から寿命はほぼ正規分布になることがわかっている。電池の寿命の⺟平均を99%信頼係数のもとで区間推定しなさい。

寿命データ = {0.65, 1.71, 1.11, 1.73, 1.35, 1.11, 1.81, 0.49, 1.42, 1.52, 1.03, 1.33, 1.19, 1.76, 1.89, 1.58, 1.12, 1.54, 1.24, 1.79, 1.25, 1.47, 1.35, 1.2, 1.64, 1.54, 1.76, 1.74, 2.03, 1.79} ［単位: 1万時間］

31

30:358.0

][438.1

nsX

x

サンプル・サイズ

標本標準偏差：

万時間標本平均：

母平均推定のまとめ⺟分散 2 が既知の場合

サンプルサイズが⼤きい場合（ n ≧30 が⽬安） ⺟集団分布が正規分布でなくとも，標本平均を正規分布に近似して区間推定を⾏うことができる。

サンプルサイズが⼩さい場合（ n < 30）

⺟集団分布が正規分布ならば，標本平均を正規分布に近似して区間推定を⾏うことができる。

⺟集団分布が正規分布でないならば，推定できない（標本平均を正規分布に近似できない）。

⺟分散 2 が未知の場合

サンプルサイズが⼤きい場合（ n ≧30 が⽬安） ⺟集団分布が正規分布ならば，t分布または正規分布に近似して区間推定を⾏うことができる。

⺟集団分布が正規分布でないならば，標本平均を正規分布に近似して区間推定を⾏うことができる。

サンプルサイズが⼩さい場合（ n <30）

⺟集団分布が正規分布ならば，t分布を利⽤して区間推定を⾏うことができる。

⺟集団分布が正規分布でないならば，推定できない（標本平均を正規分布に近似できない）。

32