CHYBY MĚŘENÍ

Opakované měření téže fyzikální veličiny nevede vždy kpřesně stejným výsledkům. Této skutečnosti bychom se nevyhnuli, i kdybychomměření prováděli s největší důkladností a precisností –naopak, čím citlivější a přesnější jsou použité přístroje, tímspíše k tomuto poznatku dojdeme.

Při každém měření fyzikální veličiny vznikají určitéodchylky naměřené hodnoty od skutečné hodnoty danéveličiny. Tyto odchylky nazýváme chybami měření. - příčiny chyb jsou velmi různé- někdy je známe, ale často je také nedovedeme vůbec zjistit.

Chyby měření:

1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele ... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby2. systematické chyby - chybné kalibrace měřidel, přesnost metody ... - zatěžují stejným způsobem výsledek každého měření - není-li udána, uvažujeme hodnotu jedné poloviny nejmenšího dílku měřidla 3. náhodné chyby - v důsledku působení náhodných vlivů - nelze je zjistit ani ovlivnit - lze je „odhadnout“ - užíváme matematickou statistiku

Náhodné chyby

Jednotlivá měření jsou vždy zatížena určitou chybou nemůžeme z naměřených hodnot určit přesnou hodnotu X měřené veličiny.

Eliminace vlivu náhodných chyb na měření:- danou veličinu změříme vícekrát - z naměřených hodnot určíme nejpravděpodobnější hodnotu (hodnotu považovanou za nejbližší skutečné hodnotě)

Je-li každé měření provedeno se stejnou přesností (hrubé chyby vylučujeme), lze ukázat, ženejpravděpodobnější hodnotou je aritmetický průměr.

Náhodné chyby

Označme:

X

X

iX

XXX ii

- skutečná hodnota měřené veličiny

- nejpravděpodobnější hodnota měřené veličiny

- naměřená hodnota (i-té měření)

- absolutní chyba (i-tého měření)

- nejpravděpodobnější chyba (i-tého měření)

XXV ii

n - počet měření dané veličiny

Náhodné chyby

Potom:

dosazením

01

n

iiV

Pokud při hledání nejpravděpodobnější hodnoty požadujeme,aby součet nejpravděpodobnějších chyb byl roven 0

0111

XnXXXVn

ii

n

ii

n

ii

dostávámen

XX

n

ii

1 - tj. aritmetický průměr

Náhodné chyby

Dosazením

n

ii

n

ii

n

ii XnXXXXXn

111

dostáváme

Protože chyby Xi nabývají se stejnou pravděpodobnostíkladných i záporných hodnot, blíží se pravá strana pronekonečný počet měření k nule. Pro nekonečně velkýpočet měření je tedy skutečná hodnota naměřenéveličiny X totožná s aritmetickým průměrem

n

XXX

n

ii

1

ii XXX

n

iiXnXXn

1

odtud

do předchozího vztahu

.X

Náhodné chyby

Nejistotu, s jakou přesností aritmetický průměr určujeměřenou veličinu lze odhadnout různými metodami.

n

XX

n

XX

n

ii

n

ii

11

Průměrná chyba

Pravděpodobnost vzniku kladné a záporné odchylky je stejná při velkém počtu měření je aritmetický průměr chyb ∆Xi roven 0 průměrná chyba se počítá z absolutních hodnot chyb | ∆Xi |.

Zápis výsledku měření:

- měřená veličina

XXX

- zavádíme pro porovnání přesnosti měření

X

X

X- výsledek měření (artimetický průměr)

- absolutní chyba (odchylka) měření

- relativní chyba (odchylka) měřeníX

XX

Zásady pro zápis výsledku měření:- chybu měření uvádíme na nejvýše dvě platné číslice- ve výsledku zaokrouhlujeme v řádu poslední platné číslice chyby

Příklady zápisu výsledku měření:

mml 02,032,6 003,0l

142,032,26 smv 006,1v

Poznámka:Pokud se chyba měření ve výsledku neudává, předpokládá se, že jemenší, než polovina řádu za poslední platnou číslicí výsledku.

Např.: 11 55,345,35,3 smvsmv

Vypočítáme aritmetický průměr z naměřených hodnot.(Považujeme jej za nejpravděpodobnější hodnotu měřené veličiny.)

Zpracování výsledků měření

Pořadové číslo

měření

1. 107,2

2. 107,4

3. 107,4

4. 107,5

5. 107,3

Průměr 107,36

mmil

mmil

n

... n321 lllll

Zpracování výsledků měření

Pořadové číslo

měření

1. 107,2 -0,16

2. 107,4 0,04

3. 107,4 0,04

4. 107,5 0,14

5. 107,3 -0,06

Průměr 107,36 0,088

mmil

mmil

n

... n321 lllll

li – odchylka (chyba) jednotlivého měření

Pro každé měření určíme rozdíl li mezi naměřenou hodnotou li a aritmetickým průměrem.

lll i i

Zpracování výsledků měření

Pořadové číslo

měření

1. 107,2 -0,16

2. 107,4 0,04

3. 107,4 0,04

4. 107,5 0,14

5. 107,3 -0,06

Průměr 107,36 0,088

mmil

mmil

n

... n321 lllll

lll ii

Z jednotlivých odchylek vypočítáme průměrnou odchylkul jako aritmetický průměr absolutních hodnot odchylekjednotlivých měření.

n

... n21 llll

Zpracování výsledků měření

Pořadové číslo

měření

1. 107,2 -0,16

2. 107,4 0,04

3. 107,4 0,04

4. 107,5 0,14

5. 107,3 -0,06

Průměr 107,36 0,088

mmil

mmil

Pomocí aritmetického průměru a průměrné odchylkyurčíme horní a dolní mez intervalu, o kterém předpoklá-dáme, že obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny.

mm 36,107l

mm 088,0l

lll

mm 088,036,107 l

mm 448,107 ; 272,107l

Zpracování výsledků měření

Pořadové číslo

měření

1. 107,2 -0,16

2. 107,4 0,04

3. 107,4 0,04

4. 107,5 0,14

5. 107,3 -0,06

Průměr 107,36 0,088

mmil

mmil mm 36,107l

mm 088,0l

lll

mm 088,036,107 l

mm 448,107 ; 272,107l

Měřením nezjišťujeme skutečnou číselnou hodnotu veličiny,ale horní a dolní mez intervalu, o kterém předpokládáme,že obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny.

Zpracování výsledků měření

Pořadové číslo

měření

1. 107,2 -0,16

2. 107,4 0,04

3. 107,4 0,04

4. 107,5 0,14

5. 107,3 -0,06

Průměr 107,36 0,088

mmil

mmil

%08,0l

l

ll

Pro porovnání přesnosti měření uvádíme průměrnou re-lativní odchylku. Je určena podílem průměrné odchylkya aritmetického průměru z naměřených hodnot.

mm 088,036,107 l

%100.107,36

0,088

Zpracování výsledků měření

Pořadové číslo

měření

1. 107,2 -0,16

2. 107,4 0,04

3. 107,4 0,04

4. 107,5 0,14

5. 107,3 -0,06

Průměr 107,36 0,088

mmil

mmil

Výsledek měření udáváme formou intervalu, o kterém předpokládáme, že obsahuje skutečnou hodnotu měřenéveličiny, s průměrnou relativní odchylkou měření.

mm 088,036,107 l

%08,0l

Chyby fyzikálních veličin určovaných výpočtem

Násobení - veličina X je součinem veličin A, B

BAX

Dělení - veličina X je podílem veličin A, B

B

AX

BAX

BAX Nejpravděpodobnější hodnota

Relativní chyba

Nejpravděpodobnější hodnota

Relativní chyba

Chyby fyzikálních veličin určovaných výpočtem

Posloupnost kroků při určování chyb

XX X

a) Měřená veličina– 1. průměr – 2. absolutní chyba – 3. relativní chyba

b) Počítaná veličina– 1. průměr – 2. relativní chyba – 3. absolutní chyba

Absolutní chyba

Relativní chybaX

XX