Teorie míry a integrálu 2010

Kapitoly 2–14 zahrnují nejzákladnější pojmy a výsledky z teorie míry. Výklad sle-duje dvojí cíl: na jedné straně přiblížit fundamentální konstrukce v abstraktní teorii míry(generování vnější míry, Carathéodoryovu metodu vytváření míry z vnější míry, rozšířenípramíry na míru či aplikaci Dynkinových systémů k tvrzením o jednoznačnosti), na druhéstraně ukázat využití abstraktního přístupu ke studiu d-rozměrné Lebesgueovy míry a Le-besgue-Stieltjesovy míry důležité obzvláště v teorii pravděpodobnosti a matematické sta-tistice. Zejména je důraz kladen na vlastnosti a prominentní postavení Lebesgueovy mírymezi Radonovými mírami v Rd.

Prezentace látky je záměrně detailnější než je v textech o teorii míry obvyklé, neboťtext je psán pro posluchace 2. ročníku programu Matematika na Matematicko-fyzikálnífakultě UK.

Tento text užívá pro zavedení Lebesgueovy míry klasický přístup založený na vnějšíaproximaci. Alternativní způsob založený na vnitřní aproximaci, na pojmu vnitřní míry,lze nalézt v textech pro studenty (Lebesgueova míra) na

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~netuka/

V závěru textu (kapitola 15) jsou pro zájemce o hlubší pochopení látky připojeny po-měrně rozsáhlé komentáře, historické poznámky a vybrané bibliografické odkazy.

Upozornění na nedostatky v textu a případné komentáře jsou vítány(netuka@karlin.mff.cuni.cz).

Ivan Netuka

1

Obsah

1 Úvod 3

2 Měřitelný prostor 6

3 Prostor s mírou 7

4 Dynkinův systém 12

5 Úplný prostor s mírou 14

6 Radonova míra v Rd 16

7 Vnější Lebesgueova míra 20

8 Generování vnější míry 21

9 Carathéodoryova věta pro vnější míru 23

10 Lebesgueova míra a Lebesgue-Stieltjesova míra v R 28

11 Pravděpodobnostní míry a distribuční funkce 34

12 Lebesgueova míra v Rd 35

13 Invariantní míry na Rd 38

14 Transformace Lebesgueovy míry při lineárních zobrazeních 40

15 Komentář a historické poznámky 43

16 Významné osobnosti klasické teorie míry a integrálu 64

2

Kapitola 1

Úvod

Teorie míry si klade za cíl vytvořit vhodný abstraktní a dostatečně flexibilní rámecpro adekvátní způsob přiřazení číselné velikosti (= míra) určitým vyvoleným množinám(= množinový systém) ze zadané základní množiny (= prostor). Pod takovou číselnou ve-likostí si můžeme představit obsah rovinných obrazců, pravděpodobnost náhodných jevů,délku křivky v eukleidovském prostoru, hmotnost či objem tělesa v trojrozměrném prosto-ru, elektrický náboj, délku množiny na přímce atd., prakticky cokoli, u čeho lze očekávatvlastnost aditivity : velikost celku sestávajícího ze dvou částí, které nemají nic společného(= jsou disjunktní), je součtem velikostí obou částí. Množiny, kterým umíme velikost při-řadit, se nazývají měřitelné.

Intuitivně nám připadá zřejmé, co je délka úsečky, obsah obdélníku či objem kvádru.Přitom nezáleží na tom, jak jsou v příslušném prostoru umístěny (neboli shodným měřitel-ným množinám přiřazujeme stejnou velikost). Elementární úvaha nás na základě intuitivněpřirozeného požadavku aditivity vede např. k délce lomené čáry v prostoru či k obsahupravoúhlého trojúhelníku: úhlopříčka dělí obdélník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.Proto považujeme za velikost každého z nich polovinu obsahu obdélníku.

Libovolný trojúhelník je výškou rozdělen na sjednocení dvou pravoúhlých trojúhelníků(strany trojúhelníku jsou úsečky v rovině, jejichž velikost považujeme za nulovou). Tedyobsah trojúhelníku takto umíme určit.

Nemáme vlastně žádné pochybnosti o přijetí těchto přirozených pravidel:

(a) jsou-li dvě množiny shodné, mají stejnou míru (= v rovině obsah);

(b) jsou-li A1, . . . , An množiny, z nichž žádné dvě nemají společné body, pak míra mno-žiny A1 ∪ . . . ∪ An je rovna součtu měr množin A1, . . . , An.

Takto nám elementární úvahy stačí např. na určení míry mnohoúhelníků.

Komplikace nastávají, uvažujeme-li o tom, co vlastně je obsah kruhu. Ten již jako ko-nečné sjednocení mnohoúhelníků vyjádřit nelze. Kruh však je možné vyjádřit jako spočetné

3

sjednocení (nepřekrývajících se) trojúhelníků např. takto: vepíšeme do kruhu rovnostrannýtrojúhelník, nad každou jeho stranou sestrojíme zřejmým způsobem rovnoramenný trojú-helník s třetím vrcholem na kružnici a postup opakujeme. Tak vytvoříme trojúhelníkovoumozaiku, která kruh vyplňuje (úsečky zanedbáváme).

Tento příklad dává motivaci pro novou vlastnost, kterou bychom od pojmu velikosti(= míry) očekávali: jestliže A1, A2, . . . je (nekonečná) posloupnost po dvou disjunktníchmnožin, jejichž míry jsou α1, α2, . . ., pak sjednocení

⋃∞n=1An má velikost (= míru)

∑∞n=1αn.

Užitím této vlastnosti (říká se jí σ-aditivita) bychom pomocí výše zmíněné trojúhelníkovémozaiky mohli obsah kruhu definovat. Je to však metoda velice speciální a vzniká navíczřejmý problém: co vyjde, když se užije jiná mozaika?

Z dob školní docházky si připomeneme elementární přístup k zavedení míry rovinnýchobrazců. Uvažujme síť tvořenou přímkami rovnoběžnými s osami a procházejícími mřížo-vými body (tj. body s celočíselnými souřadnicemi). Pak síť zjemníme - přidáme přímkyv poloviční vzdálenosti, proces opakujeme a dostaneme tak postupně čtverečky o délcestrany 2−n, které umožňují přibližně zdola a přibližně shora odhadnout „obsahÿ obrazceD: sečte se obsah čtverečků obsažených v D a obsah čtverečků, jejichž sjednocení D obsa-huje, a to postupně pro síť se vzdáleností přímek 1, 1

2, 14, . . . V jednoduchých případech mají

dolní a horní odhady společnou limitu m(D), kterou je rozumné nazvat mírou (= obsa-hem) obrazce D. Takovou množinu D nazýváme měřitelnou v Jordan-Peanově smyslu (prokrátkost: J.-P. množinu) a číslo m(D) (definované analogicky i v prostorech Rd, d ≥ 1,obecně) se nazývá Jordan-Peanův objem.

Na J.-P. množinách má funkce m vlastnost aditivity, dokonce σ-aditivity, ovšem jenv této formě: jsou-li A1, A2, . . . J.-P. množiny a navíc A :=

⋃∞n=1An je J.-P. množina, pak

m(A) =∑∞

n=1m(An).

Uvedený typ aproximace, který je úspěšný pro množiny s jednoduchou geometrií, senehodí např. pro „změřeníÿ velikosti množiny A := {r1, r2, . . .} všech racionálních číselz intervalu [0, 1]. Každá horní aproximace je ≥ 1, každá dolní aproximace je rovna 0. Při-tom An := {rn} má Jordan-Peanův objem roven 0 a A :=

⋃∞n=1An není J.-P. množina.

Tedy někdy spočetné sjednocení J.-P. množin je J.-P. množina, jindy ne. Dá se řící, že proJ.-P. množiny neplatí příjemná pravila pro množinové počítání, neoperuje se s nimi dobře:systém J.-P. množin není uzavřený ke spočetným sjednocením, dokonce ani ke spočetnýmsjednocením intervalů v R!

Pojem velikosti (= míry) množiny jde, jak víme, ruku v ruce s pojmem integrálu. Např.pro omezenou funkci f : [a, b]→ [0,∞) je

M := {(x, y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}

J.-P. množina, právě když f je riemannovsky integrovatelná (a pak m(M) = (R)∫ b

af).

4

Jedním z významných momentů pro formování teorie míry a integrálu byla snaha ponalezení obecného přístupu k zavedení geometrické míry v Rd definované (pokud možno)na všech podmnožinách. Ovšem zda lze elementární objem např. v R3 rozšířit na σ-aditivnímnožinovou funkci - to je velmi netriviální problém. Prozradíme již nyní, že z požadavkurozšíření na úplně všechny množiny je nutné slevit.

Mírou se rozumí nezáporná σ-aditivní množinová funkce definovaná na množinovémsystému, na němž si přejeme bezproblémově manipulovat (kalkulovat) s množinami; na-příklad takový systém má být uzavřený vzhledem k rozdílu množin a ke spočetným sjed-nocením. Takové požadavky vedou k pojmu σ-algebry.

Na základě pojmu míry se přirozeným způsobem definuje abstraktní integrál, jehožvlastnosti jej předurčují k širokému uplatnění v matematice a jejích aplikacích.

Je to právě σ-aditivita, která

a) stojí v pozadí dostatečně silných vět o limitních přechodech za znamením integrálu;

b) je klíčem k mimořádně cenné vlastnosti prostorů integrovatelných funkcí - totiž k je-jich úplnosti ;

c) v teorii pravděpodobnosti umožňuje dokázat fundamentální limitní věty.

Skutečnost, že se setkáváme se σ-aditivitou v různých situacích, často vzdálených odpůvodních elementárních geometrických úvah, dává možnost rozsáhlého uplatnění teoriemíry v analýze, geometrii a stochastice.

5

Kapitola 2

Měřitelný prostor

Je-li X množina, značíme P(X) systém všech podmnožin množiny X. Pro A ∈ P(X)místo X\A píšeme Ac. Nechť X je množina a A ⊂ P(X). Říkáme, že A je σ-algebra (naX), jestliže platí:

(a) ∅ ∈ A;

(b) pro každou množinu A ∈ A je Ac ∈ A ;

(c) pro každou posloupnost {An}∞n=1 množin z A je⋃∞

n=1An ∈ A.

Je-li A σ-algebra na X, pak se dvojice (X, A) nazývá měřitelný prostor. Zřejměje každá σ-algebra uzavřená vzhledem ke konečným sjednocením a průnikům, k rozdílumnožin a ke spočetným průnikům.

2.1. Jednoduché příklady σ-algeber.

(a) P(X);

(b) {0, X};

(c) systém podmnožin, které jsou spočetné nebo mají spočetný doplněk.

Pro S ⊂ P(X) je průnik všech σ-algeber obsahujících S σ-algebra (plyne bezprostředněz definice). Značí se σ(S) a nazývá se σ-algebra generovaná systémem S.

Je-li X topologický prostor a S je topologie (tj. systém všech otevřených množin v X),pak se σ(S) značí B(X) a nazývá se systém borelovských množin. Pro X := Rd píšemeBd místo B(Rd).

2.2. Cvičení (o disjunktním sjednocení).Nechť {An}∞n=1 je posloupnost podmnožin množiny X, Bn := An\

⋃n−1j=1Aj, n ∈ N.

Potom množiny Bn, n ∈ N, jsou po dvou disjunktní a⋃∞

n=1An =⋃∞

n=1Bn. Platí Bn ==

(Acn ∪

⋃n−1j=1Aj

)c. Jestliže A ⊂ P(X) je systém uzavřený vzhledem k doplňku a ke

konečným sjednocením, pak A je σ-algebra, právě když systém A je uzavřený vzhledem kespočetným disjunktním sjednocením.

6

Kapitola 3

Prostor s mírou

Nechť (X, A) je měřitelný prostor. Funkce µ : A → [0, ∞] se nazývá míra, jestliže

(a) µ(∅) = 0;

(b) je-li {An}∞n=1 posloupnost po dvou disjunktních množin z A, potom µ( ⋃∞

n=1An)=

=∑∞

n=1 µ(An) (tedy µ je σ-aditivní).

Trojice (X, A, µ) se nazývá prostor s mírou. Je-li µ(X) = 1, pak se µ nazývá prav-děpodobnostní míra a (X, A, µ) pravděpodobnostní prostor.

Zřejmě je každá míra µ konečně aditivní, neboli pro množiny A1, . . . , An ∈ A, kteréjsou po dvou disjunktní, platí µ

( ⋃nj=1Aj

)=

∑nj=1 µ(Aj). Jestliže A, B ∈ A, A ⊂ B

a µ(A)

(d) Nechť X je nespočetná množina a A je systém množin, které jsou spočetné nebo majíspočetný doplněk. Pro A ∈ A definujeme µ(A) = 0, pokud A je spočetná, µ(A) = 1,pokud Ac je spočetná. Potom (X, A, µ) je prostor s mírou.

3.2. Fundamentální příklad míry (Lebesgueova míra v Rd).Existuje právě jedna míra λd na Bd, která každému intervalu v Rd přiřazuje jeho objem.

Míra λd je invariantní vůči posunutí, tj. pro každou množinu A ∈ Bd a každé x ∈ Rd platíλd(A+ x) = λd(A).Označme Ld := {A∪N : A ∈ Bd, N ∈ N (λd)}. Potom Ld je σ-algebra a existuje právě

jedno rozšíření míry λd na míru definovanou na Ld (rozšíření budeme značit také λd).Množiny z Ld se nazývají lebesgueovsky měřitelné množiny a míra λd na Ld se

nazývá Lebesgueova míra v Rd.Pro množinu A ⊂ Rd jsou následující podmínky ekvivalentní:

(i) A ∈ Ld;

(ii) pro každé ε > 0 existují kompaktní množina A′ a otevřená množina A′′ takové, žeA′ ⊂ A ⊂ A′′ a λd(A′′\A′) < ε;

(iii) existují množina A′ typu Kσ (tj. spočetné sjednocení kompatních množin) a mno-žina A′′ typu Gσ (tj. spočetný průnik otevřených množin) takové, že A′ ⊂ A ⊂ A′′

a λd(A′′\A′) = 0.

Je-li µ míra na Bd, která je invariantní vůči posunutí a µ([0, 1]d) = 1, potom µ = λd.(Viz věty 12.3 a 13.1 a poznámka 12.4(a).)

3.3. Důležitý příklad (Lebesgue-Stieltjesova míra).Nechť G : R → R je neklesající zprava spojitá funkce. Potom existuje právě jedna míra

µG na B1 taková, že µG((a, b]) = G(b)−G(a), a, b ∈ R, a < b.Označme SG := {A ∪ N : A ∈ B1, N ∈ N (µG)}. Potom SG je σ-algebra a existuje

právě jedno rozšíření míry µG na míru definovanou na SG (rozšíření budeme značit takéµG).Míra µG na SG se nazývá Lebesgue-Stieltjesova míra generovaná funkcí G. (Viz

věta 10.7 a poznámka 10.8(a).)Jestliže G : x 7→ x, pak zřejmě SG = L1 a µG = λ1. Je tedy Lebesgueova míra λ1

definovaná na L1 speciálním případem Lebesgue-Stieltjesovy míry na R.

Následující věta ukazuje, že L1 6= P(R).

3.4. Věta (o existenci neměřitelné množiny). Nechť A je σ-algebra na R, B1 ⊂ A a µje míra na A, která je invariantní vůči posunutí a každému intervalu přiřazuje jeho délku.Je-li A ∈ A a µ(A) > 0, potom existuje B ⊂ A, B /∈ A.

8

Důkaz. Zřejmě existuje otevřený interval I délky 1 takový, že µ(A ∩ I) > 0. Protože µ jeinvariantní vůči posunutí, lze bez újmy na obecnosti předpokládat, že A ⊂ (0, 1).Řekněme, že bod x ∈ R je v relaci s bodem y ∈ R, jestliže x − y ∈ Q. Pišme x ∼ y,

jestliže x je v relaci s y. Zřejmě má tato relace za následek rozklad R na třídy ekvivalence.Označme T systém těchto tříd ekvivalence. Pro každé ∅ 6= T ∈ T je zřejmě T ∩ (0, 1) 6= ∅.Z axiomu výběru plyne, že existuje množina M , která z každé množiny T ∩ (0, 1), T ∈ T ,obsahuje právě jeden prvek. Nechť r1, r2, . . . je prostá posloupnost všech racionálních číselz (−1, 1). Pro každé n ∈ N definujeme Mn := M + rn. Potom

⋃∞n=1Mn ⊂ (−1, 2). Nechť

m 6= n. Kdyby existoval bod z ∈ Mn ∩ Mm, existovaly by body x, y ∈ M takové, žez = x + rn = y + rm. Pak by platilo x− y = rm − rn 6= 0 a x, y by byly různé body z M ,pro něž x ∼ y. Dokázali jsme, že množinyMn, n ∈ N, jsou po dvou disjunktní. Je-li y ∈ R,pak existují r ∈ Q a x ∈M takové, že y = x+ r. Jestliže y ∈ (0, 1), pak |r| = |y − x| < 1,tudíž existuje n ∈ N takové, že r = rn a y ∈Mn. Odtud plyne, že (0, 1) ⊂

⋃∞n=1Mn.

Definujme An := A ∩Mn. Předpokládejme, že An ∈ A pro všechna n ∈ N; odvodímespor. Protože A =

⋃∞n=1An a µ(A) > 0, existuje m ∈ N takové, že µ(Am) > 0. Definujme

Sn := Am − rm + rn, n ∈ N. Potom Sn ∈ A. Jestliže z ∈ Sn, existuje u ∈ Am takové,že z = u − rm + rn. Protože u ∈ Mm, existuje x ∈ M takové, že u = x + rm, neboliz = x+ rn ∈ Mn. Dokázali jsme, že Sn ⊂ Mn pro každé n ∈ N, tudíž množiny Sn jsou podvou disjunktní. Zřejmě µ(Sn) = µ(Am) > 0 pro každé n ∈ N.Jelikož

⋃∞n=1Sn ⊂

⋃∞n=1Mn ⊂ (−1, 2), je µ

(⋃∞n=1Sn

)≤ µ((−1, 2)) = 3. Na druhé

straně, protože µ(Sn) = µ(Am) > 0 pro všechna n ∈ N,

µ( ∞⋃

n=1

Sn)=

∞∑

n=1

µ(Sn) =∞,

což je spor. Existuje tedy n ∈ N takové, že pro B := An, je B ⊂ A a B /∈ A.

3.5. Věta (základní vlastnosti míry). Nechť (X, A, µ) je prostor s mírou. Potom platí:

(a) (monotonie) je-li A,B ∈ A, A ⊂ B, potom µ(A) ≤ µ(B);

(b) (subaditivita) je-li {An}∞n=1 posloupnost množin z A, potom µ( ⋃∞

n=1An)≤

≤∑∞

n=1 µ(An);

(c) (spojitost zdola) je-li {An}∞n=1 posloupnost množin z A, A1 ⊂ A2 ⊂ . . ., potomµ(⋃∞

n=1An)= limn→∞An;

(d) (spojitost shora) je-li {An}∞n=1 posloupnost množin z A, A1 ⊃ A2 ⊃ . . . a µ(A1)

(b) Definujme Bn := An\⋃n−1

j=1Aj, n ∈ N. Víme (cvičení 2.2), že Bn ∈ A, Bn ⊂ An,množiny Bn jsou po dvou disjunktní a

⋃∞n=1An =

⋃∞n=1Bn. Podle (a) je

µ( ∞⋃

n=1

An)= µ

( ∞⋃

n=1

Bn)=

∞∑

n=1

µ(Bn) ≤∞∑

n=1

µ(An).

(c) Nechť A0 := ∅. Můžeme předpokládat, že pro všechna n ∈ N je µ(An)

Důkaz. Nechť 0 ≤ x < y. Protože (0, x] ⊂ (0, y], monotonie míry dává G(x) ≤ G(y). Je-lix < y < 0, je (y, 0] ⊂ (x, 0], tedy µ((y, 0]) ≤ µ((x, 0]), neboli G(x) ≤ G(y). Odtud plyne,že G je neklesající.Nechť x ∈ R a nechť {xn}∞n=1 je nerostoucí posloupnost čísel z intervalu (x, ∞) s limi-

tou x. Je-li x ≥ 0, je {(0, xn]}∞n=1 nerostoucí posloupnost borelovských množin,⋂∞n=1(0, xn] = (0, x] a µ((0, x1])

Kapitola 4

Dynkinův systém

Začněme touto motivační úvahou. Nechť X je množina, S ⊂ P(X) a µ a ν jsou míry naσ(S) takové, že µ(S) = ν(S) pro všechna S ∈ S. Označme T := {A ∈ σ(S) : µ(A) = ν(A)}.Je zřejmé, že pro A1, A2, . . . ∈ T platí

⋃∞n=1An ∈ T , pokud jsou množiny A1, A2, . . . po dvou

disjunktní. Je-li např. navíc X ∈ S a µ(X) 1není D σ-algebra.

4.1. Věta. Nechť D je D-systém. Pak D je σ-algebra, právě když průnik každých dvoumnožin z D je prvkem D.

Důkaz. Víme, že každá σ-algebra je uzavřená vzhledem (dokonce spočetným) průnikům.Předpokládejme, že D je D-systém obsahující s každými dvěma množinami jejich průnik.Je-li A,B ∈ D, pak A∩B ∈ D, A∩B ⊂ A, tudíž A\B = A\(A∩B) ∈ D. Z vlastnosti (c)

12

z definice D-systému plyne, že také A∪B = (A\B)∪B ∈ D. Nechť {An}∞n=1 je posloupnostprvků z D. Položme B0 := ∅, Bn := A1 ∪ . . . ∪ An, n ∈ N. Potom

∞⋃

n=1

An =∞⋃

n=1

(Bn\Bn−1) ∈ D

opět podle (c) z definice D-systému. Tudíž D je σ-algebra.

Je-li S ⊂ P(X) libovolný množinový systém, potom existuje nejmenší D-systém obsa-hující S (ten je definován jako průnik všech D-systémů, které S obsahují). Tento D-systémse značí δ(S) a nazývá D-systém generovaný systémem S. Zřejmě vždy platí δ(S) ⊂ σ(S).

4.2. Věta. Nechť S ⊂ P(X) obsahuje průnik každých dvou množin z S. Potom δ(S) = σ(S).

Důkaz. Protože δ(S) ⊂ σ(S), stačí dokázat, že δ(S) je σ-algebra. Podle věty 4.1 k tomustačí dokázat, že δ(S) obsahuje s každými dvěma množinami jejich průnik. ZvolmeA ∈ δ(S)a vyšetřujme pomocný systém

DA := {Q ∈ P(X) : Q ∩ A ∈ δ(S)}.

Zřejmě X ∈ DA. Je-li Q ∈ DA, je Qc ∈ DA, neboť Qc ∩ A = A\(Q ∩ A) ∈ δ(S). Sjednoceníposloupnosti po dvou disjunktních množin z DA je zřejmě prvkem DA. Dokázali jsme tedy:Pro každé A ∈ δ(S) je DA D-systém. Nechť B ∈ S. Podle předpokladu o S je S ∈ DB, tudížδ(S) ⊂ DB, neboť DB je D-systém. Dokázali jsme, že A ∩ B ∈ δ(S) pro každé A ∈ δ(S)a B ∈ S. Odtud plyne, že pro každé A ∈ δ(S) je S ⊂ DA a tudíž δ(S) ⊂ DA, neboť DA jeD-systém. Jinými slovy: A ∩B ∈ δ(S), kdykoliv A,B ∈ δ(S).

4.3. Věta. Nechť S ⊂ P(X) obsahuje s každými dvěma množinami jejich průnik a nechť{Sn}

∞n=1 je neklesající posloupnost množin z S taková, že X =

⋃∞n=1Sn. Nechť µ a ν jsou

míry na σ(S) takové, že µ(S) = ν(S) pro všechna S ∈ S a nechť µ(Sn) < ∞ pro všechnan ∈ N. Potom µ(A) = ν(A) pro všechna A ∈ σ(S).

Důkaz. Zvolme nejprve množinu B ∈ S takovou, že µ(B)

Kapitola 5

Úplný prostor s mírou

Nechť (X, A, µ) je prostor s mírou. Připomeňme, že množina A ⊂ X se nazývá zaned-batelná (podrobněji: (X, A, µ)-zanedbatelná), jestliže existuje množina B ∈ A taková, žeA ⊂ B a µ(B) = 0. Systém všech zanedbatelných množin značíme N (µ).

5.1. Příklad.Nechť X := {0, 1, 2}, A := {∅, X, {0}, X\{0}} a pro A ∈ A definujeme µ(A) = 1,

pokud 0 ∈ A, µ(A) = 0, pokud 0 /∈ A. Potom (X, A, µ) je prostor s mírou a {1} ∈ N (µ)\A(existuje tedy neměřitelná zanedbatelná množina).Říkáme, že (X, A, µ) je úplný prostor s mírou, jestliže každá zanedbatelná množina

je měřitelná, tedy N (µ) ⊂ A.

5.2. Věta (o zúplnění prostoru s mírou). Nechť (X, A, µ) je prostor s mírou a  je systémvšech množin A ⊂ X, pro něž existuje dvojice (A′, A′′) množin z X taková, že

A′, A′′ ∈ A, A′ ⊂ A ⊂ A′′ a µ(A′′\A′) = 0. (5.1)

Pro A ∈ Â definujemeµ̂(A) := inf{µ(B) : A ⊂ B ∈ A}.

Potom µ̂ = µ na A a (X, Â, µ̂) je úplný prostor s mírou.

Důkaz. Budeme říkat, že dvojice (A′, A′′) je aproximující pro množinu A ⊂ X, jestližeplatí (5.1). Zřejmě je dvojice {∅, ∅} aproximující pro ∅, tedy ∅ ∈ Â. Je-li A ∈ Â a (A′, A′′)je aproximující pro A, potom

((A′′)c, (A′)c

)je aproximující pro Ac, tedy Ac ∈ Â. Je-li

{An}∞n=1 posloupnost množin z Â, (A

′n, A

′′n) je aproximující dvojice pro An, n ∈ N, potom( ⋃∞

n=1A′n,

⋃∞n=1A

′′n

)je aproximující pro

⋃∞n=1An. Dokázali jsme, že  je σ-algebra.

Nechť A ∈ Â a (A′, A′′) je aproximující pro A. Potom

µ(A′) = inf{µ(B) : A′ ⊂ B ∈ A} ≤ inf{µ(B) : A ⊂ B ∈ A}

≤ inf{µ(B) : A′′ ⊂ B ∈ A} = µ(A′′) = µ(A′) + µ(A′′\A′) = µ(A′),

14

tedy

µ̂(A) = µ(A′) = µ(A′′).

Z definice µ̂ vidíme, že µ̂(A) = µ(A) pro každou A ∈ A.Nechť {An}∞n=1 je posloupnost po dvou disjunktních množin z Â. Víme, že A :=⋃∞

n=1An ∈ Â. Nechť (A′n , A

′′n) je aproximující pro An, n ∈ N. Potom

( ⋃∞n=1A

′n,

⋃∞n=1A

′′n

)

je aproximující pro A, tudíž

µ̂(A) = µ( ∞⋃

n=1

A′n)=

∞∑

n=1

µ(A′n) =∞∑

n=1

µ̂(An),

neboť {A′n}∞n=1 je posloupnost po dvou disjunktních množin z A.

Dokázali jsme, že (X, Â, µ̂) je prostor s mírou.Nechť množina N je (X, Â, µ̂)-zanedbatelná. Existuje tedy množina A ∈ Â taková,

že N ⊂ A a µ̂(A) = 0. Nechť (A′, A′′) je aproximující pro A. Potom µ(A′′) = µ̂(A) = 0a (∅, A′′) je aproximující pro N , tedy N ∈ Â.Dokázali jsme, že (X, Â, µ̂) je úplný prostor s mírou.

Prostor (X, Â, µ̂) se nazývá zúplnění prostoru (X, A, µ), Â se nazývá zúplněníσ-algebry A vzhledem k míře µ a µ̂ se nazývá zúplnění míry µ.

5.3. Poznámka.Je-li µ̃ míra na σ-algebře Â, µ̃|A = µ, A ∈ Â a (A′, A′′) je aproximující pro A, pak

µ(A′) = µ̃(A′) ≤ µ̃(A) ≤ µ̃(A′′) = µ(A′′). Víme, že µ̂(A) = µ(A′) = µ(A′′), takže míry µ̃a µ̂ se rovnají na Â. Tudíž µ̂ je jediná míra rozšiřujcí µ z A na míru na Â.Dále je užitečné si uvědomit, že  = {A ∪ N : A ∈ A, N ∈ N (µ)}. Je-li totiž

C ∈ Â a (A′, A′′) je aproximující pro C, stačí zvolit A := A′ a N := A′′\C. Je-li A ∈ Aa N ∈ N (µ), existuje B ∈ A taková, že N ⊂ B a µ(B) = 0. Potom (A, A ∪ B) jeaproximující pro A ∪N a tudíž A ∪N ∈ Â.

15

Kapitola 6

Radonova míra v Rd

Nechť X je topologický prostor a (X, A, µ) je prostor s mírou. Potom µ se nazývátopologická míra, jestliže A obsahuje všechny otevřené množiny (a tudíž B(X) ⊂ A).

Nechť (X, A, µ) je prostor s topologickou mírou. Míra µ se nazývá lokálně konečná,jestliže pro každý bod x ∈ X existuje (otevřené) okolí V bodu x takové, že µ(V )

Důkaz. (i)⇒ (ii) Nechť A ∈ A a ε > 0. Označme L1 := B1, Ln := Bn+1\Bn, An := A ∩ Ln,n ∈ N. Potom µ(An) < ∞ a existuje kompaktní množina Kn ⊂ An taková, že µ(Kn) >> µ(An)− ε · 2−n−1. Definujme F :=

⋃∞n=1Kn. Potom F ⊂ A a

µ(A\F ) =∞∑

n=1

µ(An\Kn) <12ε,

µ(A\F ) = limn→∞

µ(A\

n⋃

j=1

Kj

).

Existuje tedy n ∈ N takové, že pro kompaktní množinu A′ :=⋃n

j=1Kj platí A′ ⊂ A

a µ(A\A′) < 12ε.

Protože Ac ∈ A, existuje (podle první části důkazu) kompaktní množina B taková, žeB ⊂ Ac a µ(Ac\B) < 1

2ε. Potom A′′ := Bc je otevřená množina, A ⊂ A′′ a µ(A′′\A) =

= µ(Bc\A) = µ(Ac\B) < 12ε, tudíž µ(A′′\A′) = µ(A′′\A) + µ(A\A′) < ε.

(ii) ⇒ (iii) Pro každé n ∈ N existují kompaktní množina A′n a otevřená množina A′′n

takové, že A′n ⊂ A ⊂ A′′n a µ(A

′′n\A

′n) < n

−1. Definujme A′ :=⋃∞

n=1A′n, A

′′ :=⋂∞

n=1A′′n.

Potom A′ je typu Kσ, A′′ typu Gδ, A′ ⊂ A ⊂ A′′ a pro každé n ∈ N je µ(A′′\A′) ≤≤ µ(A′′n\A

′n) < n

−1, tedy µ(A′′\A′) = 0.(iii) ⇒ (i) Množina A je sjednocením borelovské množiny A′ a zanedbatelné množiny

A\A′. Protože µ je úplná topologická míra, je A\A′ ∈ A, tedy A ∈ A.

6.2. Věta (charakterizace Radonových měr). Nechť (Rd, A, µ) je prostor s mírou. Potomjsou následující podmínky ekvivalentní:

(i) µ je Radonova míra;

(ii) µ je zúplněním lokálně konečné míry definované na Bd.

Důkaz. (i) ⇒ (ii) Nechť µ je Radonova míra. Víme, že Bd ⊂ A. Označme µ0 := µ|Bd .

Zřejmě je µ0 lokálně konečná míra. Označme (Rd, B̂d, µ̂0) zúplnění prostoru (Rd, Bd, µ0).Nechť A ∈ B̂d a nechť (A′, A′′) je aproximující pro A. Potom A\A′ ⊂ A′′\A′, tedy A\A′

je (Rd, Bd, µ0)-zanedbatelná. Protože µ = µ0 na Bd, je A\A′ také (Rd, A, µ)-zanedba-telná. Jelikož míra µ je úplná, je A\A′ ∈ A, tudíž také A ∈ A, a µ(A) = µ(A′) == µ0(A′) = µ̂0(A).Nechť A ∈ A. Podle věty 6.1 existují borelovské množiny A′, A′′ takové, že A′ ⊂ A ⊂ A′′

a µ(A′′\A′) = 0. Tudíž (A′, A′′) je aproximující pro A, a proto A ∈ B̂d. Protože µ je úplnámíra, je µ(A\A′) = 0 a platí µ(A) = µ(A′) + µ(A\A′) = µ(A′) a µ̂0(A) = µ0(A′) = µ(A′),neboli A = B̂0, µ = µ̂0. Vidíme, že µ je zúplněním míry µ0.

17

(ii) ⇒ (i) Nechť µ0 je lokálně konečná míra definovaná na Bd a µ je její zúplněnídefinované na σ-algebře A. Zřejmě je µ lokálně konečná a úplná. Dokážeme, že µ je zevnitřregulární.Definujeme

R := {A ∈ A : existuje A′ typu Kσ, A′ ⊂ A, µ(A\A′) = 0 },

S := {A ∈ R : Ac ∈ R}.

Nechť {An}∞n=1 je posloupnost množin z R a A :=⋃∞

n=1An. Tvrdíme, že A ∈ R. Je-litotiž Kn spočetný systém kompaktních podmnožin množiny An takový, že µ

(An\

⋃{K :

K ∈ Kn})= 0, pak K :=

⋃∞n=1Kn je spočetný systém kompaktních podmnožin množiny A.

Protože A\⋃

{K : K ⊂ K} ⊂⋃∞

n=1

(An\

⋃{K : K ∈ Kn}

), je µ

(A\{K : K ∈ K}

)= 0

a tedy A ∈ R.Nechť An ∈ R a A :=

⋂∞n=1An. Dokážeme, že A ∈ R. Pro každé n ∈ N existuje

posloupnost {Knk}∞k=1 kompaktních množin taková, že Knk ⊂ An a µ(An\

⋃∞k=1Knk

)= 0.

Definujme K ′nj :=⋃j

k=1Knk. Potom pro každou množinu M ∈ A platí

µ(M ∩ An) = limj→∞

µ(M ∩K ′nj), n ∈ N.

Tudíž pro každé m a každé n ∈ N existuje j(m, n) ∈ N takové, že (za M zvolíme An ∩Bm)

µ((An ∩Bm) ∩K ′nj(m, n)

)≥ µ

((An ∩Bm)

)− 2−(m+n).

Definujme Km :=⋂∞

n=1K′nj(m, n). Potom Km je kompaktní podmnožina množiny A, neboť

K ′nj(m, n) ⊂ An pro každé n. Protože (A ∩Bm)\Km ⊂⋃∞

n=1

((An ∩Bm)\K ′nj(m, n)

), platí

µ((A ∩Bm)\Km

)≤

∞∑

n=1

µ((An ∩Bm)\K ′nj(m, n)

)≤

∞∑

n=1

2−(m+n) = 2−m.

Množina K :=⋃∞

m=1Km je množina typu Kσ, K ⊂ A a pro každé k ∈ N a m ≥ k platí

µ((A ∩Bk)\K

)≤ µ

((A ∩Bm)\Km

)≤ 2−m.

Vidíme, že µ((A ∩ Bk)\K

)= 0 pro každé k ∈ N, tedy µ(A\K) = 0, neboť A\K =

=⋃∞

k=1

((A ∩Bk)\K

). Dokázali jsme, že A ∈ R.

Dokážeme, že S je σ-algebra. Zřejmě ∅ ∈ S (neboť ∅ a Rd jsou typu Kσ). Je-li A ∈ S,je Ac ∈ R a také (Ac)c = A ∈ R, tedy Ac ∈ S.Již víme, že systém R je uzavřený vzhledem ke spočetným sjednocením a spočet-

ným průnikům, tedy S je uzavřený vzhledem ke spočetným sjednocením. Vidíme, že Sje σ-algebra.Každá otevřená množina a každá uzavřená množina je typu Kσ, proto systém otevře-

ných množin je obsažen v S. Tudíž Bd ⊂ S ⊂ A.Nechť A ∈ A. Protože µ je zúplněním míry definované na Bd existuje množina à ∈ Bd,

à ⊂ A, taková, že µ(A\Ã) = 0. Protože Bd ⊂ R, existují kompaktní množiny Kj ⊂ Ã,j ∈ N, takové, že µ

(Ã\

⋃∞j=1Kj

)= 0. Odtud

18

µ(A) = µ( ∞⋃

j=1

Kj

)= lim

n→∞µ( n⋃

j=1

Kj

)≤ sup {µ(K) : K ⊂ A, K kompaktní } ≤ µ(A)

a tudíž µ je zevnitř regulární.

6.3. Poznámka.Nechť (Rd, A, µ) je prostor s Radonovou mírou. Potom A je zúplnění Bd vzhledem

k µ|Bd . Viz úvaha v důkazu implikace (i) ⇒ (ii) věty 6.2.

19

Kapitola 7

Vnější Lebesgueova míra

Body prostoru Rd budeme zapisovat ve tvaru a := (a1, . . . , ad), x := (x1, . . . , xd) apod.Nechť a, b ∈ Rd. Polouzavřeným intervalem zde rozumíme množinu

(a, b] :={x ∈ Rd : aj < xj ≤ bj, j ∈ {1, . . . , d}

}.

Systém všech polouzavřených intervalů značíme J d. Je-li I := (a, b] ∈ J d, pak je buďtoI = ∅ nebo pro každé j ∈ {1, . . . , d} je aj = inf {xj : x ∈ I}, bj = sup {xj : x ∈ I}. Pokudtedy I 6= ∅, vyjádření I ve tvaru (a, b] je jednoznačné. Pro I ∈ J d definujeme objemλd(I) intervalu I takto: položíme λd(I) = 0, pokud I = ∅ a pro I := (a, b] 6= ∅ definujeme

λd(I) =d∏

j=1

(bj − aj).

Pro množinu A ⊂ Rd definujeme

λ∗d(A) := inf{ ∞∑

n=1

λd(In) : In ∈ J d, A ⊂∞⋃

n=1

In

}.

Číslo λ∗d(A) se nazývá vnější d-rozměrná Lebesgueova míra množiny A.

7.1. Poznámky.Zřejmě pro každou množinu A ⊂ Rd a každé x ∈ Rd platí λ∗d(A + x) = λ

∗d(A), tedy

vnější Lebesgueova míra definovaná na P(Rd) je invariantní vůči posunutí. Očekáváme,že pro každý interval I ∈ J d platí λ∗d(I) = λd(I), tedy že λ

∗d je rozšířením objemu. Toto je

pravda, ale tato rovnost není nikterak zřejmá (viz lemma 12.1). Odtud pak plyne z věty 3.4(pro d = 1 a snadnou modifikací pro d > 1), že λ∗d není míra na P(R

d). Ukážeme však,že existuje dostatečně bohatá σ-algebra Ld (obsahující Bd) taková, že (Rd, Ld, λ∗

d|Ld) je

prostor s úplnou mírou (viz věta 12.3 a poznámka 12.4(a)).Postup vytváření vnější míry „zevněÿ pomocí pokrývání užitý v definici λ∗d můžeme

studovat ve zcela abstraktním kontextu.

20

Kapitola 8

Generování vnější míry

8.1. Věta. Nechť X je množina, T ⊂ P(X), ∅ ∈ T , X ∈ T , a nechť funkce τ : T → [0, ∞]splňuje τ(∅) = 0. Pro A ⊂ X definujeme

µ∗(A) := inf{ ∞∑

n=1

τ(Tn) : Tn ∈ T , A ⊂∞⋃

n=1

Tn

}.

Potom množinová funkce µ∗ : P(X)→ [0, ∞] má tyto vlastnosti:

(a) µ∗(∅) = 0;

(b) pro A ⊂ B platí µ∗(A) ≤ µ∗(B);

(c) pro posloupnost {An}∞n=1 množin z X platí µ∗( ⋃∞

n=1An)≤

∑∞n=1 µ

∗(An).

Důkaz. Vlastnosti (a) a (b) plynou bezprostředně z definice. Nechť An ⊂ X, n ∈ N,a A :=

⋃∞n=1An. K dokončení důkazu stačí nerovnost z (c) ověřit pro případ, že∑∞

n=1 µ∗(An) < ∞. Nechť ε > 0. Pro každé n ∈ N existují množiny T(n, j) ∈ T , (n, j) ∈

N × N, takové, že

An ⊂∞⋃

j=1

T(n, j) a∞∑

j=1

τ(T(n, j)) ≤ µ∗(An) + ε · 2−n.

[V tomto místě důkazu se obvykle říkává: jelikož

A ⊂∞⋃

n, j=1

T(n, j) a∞∑

n, j=1

τ(T(n, j)) ≤∞∑

n=1

µ∗(An) + ε,

platí µ∗(A) ≤∑∞

n=1 µ∗(An). Protože µ∗ je formálně vzato definována pomocí jedné pokrý-

vací posloupnosti a nikoli pomocí „dvojných posloupnostíÿ a „dvojné sumyÿ jsme zatímnezavedli, dejme zde přednost pedantskému odůvodnění.]Nechť ϕ je prosté zobrazení N na N×N. Tvrdíme, že A ⊂

⋃∞k=1Tϕ(k). Je-li totiž x ∈ A,

21

existuje n ∈ N takové, že x ∈ An ⊂⋃∞

j=1T(n, j). Tudíž existuje j ∈ N takové, že x ∈ T(n, j).Pro k := ϕ−1

((n, j)

)je pak x ∈ Tϕ(k).

Dokážeme, že∞∑

k=1

τ(Tϕ(k)) ≤∞∑

n=1

∞∑

j=1

τ(T(n, j)).

Zvolme m ∈ N. Existuje p ∈ N takové, že pro každé k ≤ m je

ϕ(k) ∈ Q := {(r, s) ∈ N × N : r ≤ p, s ≤ p }.

Čísla τ(T(n, j)) jsou nezáporná a pro každé (r, s) ∈ Q existuje nejvýše jedno k ∈ N takové,že ϕ(k) = (r, s). Proto

m∑

k=1

τ(Tϕ(k)) ≤p∑

n=1

p∑

j=1

τ(T(n, j)) ≤p∑

n=1

∞∑

j=1

τ(T(n, j)) ≤∞∑

n=1

∞∑

j=1

τ(T(n, j))

≤∞∑

n=1

(µ∗(An) + ε · 2−n

).

Odtud dostáváme∞∑

k=1

τ(Tϕ(k)) ≤∞∑

n=1

µ∗(An) + ε

a

µ∗(A) ≤∞∑

n=1

µ∗(An) + ε.

22

Kapitola 9

Carathéodoryova věta pro vnějšímíru

Nechť µ∗ : P(X) → [0, ∞] je množinová funkce s vlastnostmi (a), (b), (c) z věty 8.1.Potom se µ∗ nazývá vnější míra (na X). Vlastnost (c) se nazývá σ-subaditivita.

9.1. Poznámka.Vnější míra µ∗ z věty 8.1 se nazývá vnější míra generovaná (T , τ). V uvažované

obecnosti nelze očekávat, že µ∗ je rozšířením τ , tj. že pro každou množinu A ∈ T platíµ∗(A) = τ(A); viz příklad 9.2(a).Ani v případě, že (X, T , τ) je prostor s mírou, nemusí být vnější míra µ∗ generovaná

(T , τ) míra tj. σ-aditivní, dokonce obecně µ∗ není aditivní; viz příklad 9.2(b).

9.2. Příklad.

(a) Nechť X := N, T nechť je systém sestávající z konečných množin a z doplňkůkonečných množin a nechť τ(A) = 0, pokud A ⊂ N je konečná, τ(A) = 1, pokud Amá konečný doplněk. Protože jednoprvkové množiny pokrývají N, pro vnější míru µ∗

generovanou (T , τ) platí µ∗(N) = 0 < 1 = τ(N).

(b) Nechť X := {0, 1}, T := {∅, X}, τ(∅) = 0, τ(X) = 1. Potom (X, T , τ) je pros-tor s mírou a pro vnější míru µ∗ generovanou (T , τ) platí µ∗({0}) = 1 = µ∗({1})a µ∗

({0} ∪ {1}

)= 1, tedy µ∗ není aditivní.

(c) Nechť (X, ρ) je metrický prostor a pro A ⊂ X nechť diam A značí průměr mno-žiny A (tedy diam ∅ = 0 a pro A 6= ∅ je diam A := sup { ρ(x, y) : x, y ∈ A}).Nechť p ≥ 0, δ > 0, nechť T je systém všech množin T , pro něž diam T ≤ δ,a τ(T ) := (diam T )p, T ∈ T . Označme Hp, δ vnější míru generovanou (T , τ). Pro0 < δ < η a A ⊂ X je Hp, η(A) ≤ Hp, δ(A). Potom množinová funkce Hp : P(X) →→ [0, ∞] definovaná pro A ⊂ X rovností

Hp(A) := limδ→0+

Hp, δ(A)

23

je vnější míra. Nazývá se p-rozměrná (vnější) Hausdorffova míra v Rd. (Pozna-menejme, že se někdy uvažuje místo funkce τ její násobek zvolený tak, aby Hd = λ∗d;dokázat tuto nesamozřejmou rovnost není snadné.)

Nechť µ∗ je vnější míra na X. Množina A ⊂ X se nazývá µ∗-měřitelná, jestliže prokaždou množinu E ⊂ X platí

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac). (9.1)

(Obrazně nematematicky vyjádřeno: µ∗-měřitelná množina je nůž, který rozřízne každou„testovacíÿ množinu E aditivně.)Systém všech µ∗-měřitelných množin označíme A.Ukážeme, že A je σ-algebra a (X, A, µ∗|A) je prostor s mírou.

9.3. Poznámky.

(a) Nechť vnější míra µ∗ je generovaná (T , τ). Může se stát, že některé množiny z Tnejsou µ∗-měřitelné. Je-li např. X := {1, 2, 3}, T := P(X) a τ(∅) = 0, τ(X) = 2a τ(A) = 1, pokud A 6= X je neprázdná, potom µ∗ = τ a snadno se ověří, že systémµ∗-měřitelných množin je roven {∅, X}. (Např. pro A := {1} a E := {1, 2} rovnost(9.1) neplatí, totéž pro A := {1, 2} a E = {1} atd.)Z tohoto příkladu je také vidět, že pro vnější míru µ∗ není µ∗-měřitelnost množiny Adůsledkem podmínky

µ∗(X) = µ∗(A) + µ∗(Ac).

Např. pro A := {1} rovnost platí (obě strany jsou rovny 2) a A přitom není µ∗-mě-řitelná.

(b) Je-li A ⊂ X, E ⊂ X, pak subaditivita dává µ∗(E) ≤ µ∗(E ∩A) + µ∗(E ∩Ac). Tudížmnožina A je měřitelná, právě když pro každou množinu E ⊂ X, pro niž µ∗(E)

Z definice µ∗-měřitelnosti množiny A („testovacíÿ množina je E), µ∗-měřitelnostimnožiny B („testovacíÿ množiny jsou E ∩A a E ∩Ac) a ze subaditivity µ∗ dostáváme

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac)

= µ∗((E ∩ A) ∩B

)+ µ∗

((E ∩ A) ∩Bc

)+ µ∗

((E ∩ Ac) ∩B

)

+ µ∗((E ∩ Ac) ∩Bc

)

≥ µ∗(E ∩ (A ∪B)

)+ µ∗

(E ∩ (A ∪B)c

).

Vidíme, že A ∪B ∈ A.

3. Vnější míra je na A aditivní: Nechť A, B ∈ A, A ∩ B = ∅. Potom („testovacíÿmnožina je A ∪B)

µ∗(A ∪B) = µ∗((A ∪B) ∩ A

)+ µ∗

((A ∪B) ∩ Ac

)

= µ∗(A) + µ∗(B).

4. Systém A je uzavřený vzhledem ke spočetným sjednocením: Podle cvičení 2.2 stačíověřit, že A je uzavřený vzhledem ke spočetným disjunktním sjednocením. Nechť{An}

∞n=1 je posloupnost po dvou disjunktních množin z A, B0 := ∅, Bj :=

⋃jn=1An,

j ∈ N, A :=⋃∞

n=1An. Nechť E ⊂ X. Potom („testovacíÿ množina je E ∩ Bj) proj ∈ N platí

µ∗(E ∩Bj) = µ∗((E ∩Bj) ∩ Aj

)+ µ∗

((E ∩Bj) ∩ Acj

)

= µ∗(E ∩ Aj) + µ∗(E ∩Bj−1).

Indukcí odtud plyne, že

µ∗(E ∩Bj) =j∑

n=1

µ∗(E ∩ An).

Protože Bj ∈ A, platí pro každé j ∈ N

µ∗(E) = µ∗(E ∩Bj) + µ∗(E ∩Bcj) ≥j∑

n=1

µ∗(E ∩ An) + µ∗(E ∩ Ac),

tedy pro j → ∞ dostáváme (užijeme σ-subaditivitu a subaditivitu)

µ∗(E) ≥∞∑

n=1

µ∗(E ∩ An) + µ∗(E ∩ Ac)

≥ µ∗( ∞⋃

n=1

(E ∩ An))+ µ∗(E ∩ Ac)

= µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac) ≥ µ∗(E).

25

Odtud plyne, že množina A je µ∗-měřitelná a

µ∗(E) =∞∑

n=1

µ∗(E ∩ An) + µ∗(E ∩ Ac).

5. Množinová funkce µ∗ je na A σ-aditivní: V poslední rovnosti stačí zvolit E := A.

6. Jestliže µ∗(A) = 0, potom A ∈ A (odtud plyne, že (X, A, µ∗|A) je úplný prostors mírou): Je-li µ∗(A) = 0 a E ⊂ X, pak

µ∗(E) ≤ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac) = µ∗(E ∩ Ac) ≤ µ∗(E),

tudíž A ∈ A.

9.5. Lemma. Nechť µ∗ je vnější míra generovaná (T , τ). Nechť A ⊂ X a nechť pro každoumnožinu T ∈ T platí T ∩ A ∈ T , T ∩ Ac ∈ T a τ(T ) = τ(T ∩ A) + τ(T ∩ Ac). Potommnožina A je µ∗-měřitelná.

Důkaz. Nechť E ⊂ X a nechť {Tn}∞n=1 je posloupnost množin z T taková, že E ⊂⋃∞

n=1Tn.Potom E ∩ A ⊂

⋃∞n=1(Tn ∩ A), E ∩ A

c ⊂⋃∞

n=1(Tn ∩ Ac), tudíž

µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac) ≤∞∑

n=1

τ(Tn ∩ A) +∞∑

n=1

τ(Tn ∩ Ac) =∞∑

n=1

τ(Tn).

Odtud plyne, že µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac) ≤ µ∗(E), tedy množina A je µ∗-měřitelná.

Z věty 9.4 a lemmatu 9.5 snadno plyne věta o rozšíření pramíry na míru. Nejprve dvědefinice.

Nechť X je množina a R ⊂ P(X). Říkáme, že R je algebra (na X), jestliže platí:

(a) ∅ ∈ R;

(b) pro každou množinu R ∈ R je Rc ∈ R;

(c) jsou-li R1, . . . , Rn ∈ R, potom⋃n

j=1Rj ∈ R.

Je-li R algebra na X, pak funkce ρ : R → [0, ∞] se nazývá pramíra, jestliže

(a) ρ(∅) = 0;

(b) je-li {Rn}∞n=1 posloupnost po dvou disjunktních množin z R a⋃∞

n=1Rn ∈ R, potomρ( ⋃∞

n=1Rn)=

∑∞n=1 ρ(Rn).

26

9.6. Věta. Nechť R ⊂ P(X) je algebra, ρ je pramíra na R a A := σ(R). Potom existujemíra µ na A taková, že µ|R = ρ. Jestliže existuje posloupnost {Rn}∞n=1 množin z R taková,že X =

⋃∞n=1Rn a ρ(Rn)

Kapitola 10

Lebesgueova míra aLebesgue-Stieltjesova míra v R

10.1. Lemma. Nechť n ∈ {1, . . . , d}, c ∈ R a Pn(c) := {x ∈ Rd : xn > c}. Potom Pn(c)je λ∗d-měřitelná množina.

Důkaz. Vnější míra λ∗d je generovaná (Jd, λd). Je-li I ⊂ Pn(c) nebo I ∩ Pn(c) = ∅, je

rovnost λd(I) = λd(I ∩ Pn(c)

)+ λd

(I\Pn(c)

)zřejmá. V ostatních případech je I := (a, b]

a an < c < bn. Nechť J := {1, . . . , d}\{n}, xj := aj pro j ∈ J, xn := c, yj := aj pro j ∈ Ja yn := c. Potom I ∩ Pn(c) = (x, b], I\Pn(c) = (a, y], tudíž

λd(I ∩ Pn(c)

)+ λd

(I\Pn(c)

)= (bn − c) ·

∏

j∈J

(bj − aj) + (c− an) ·∏

j∈J

(bj − aj) = λd(I).

Tvrzení plyne z lemmatu 9.5.

10.2. Věta. Každá borelovská množina v Rd je λ∗d-měřitelná.

Důkaz. Protože systém všech λ∗d-měřitelných množin je σ-algebra, stačí dokázat, že každáotevřená množina je λ∗d-měřitelná. Je-li M ⊂ R

d otevřená množina, pak existuje posloup-nost {In}∞n=1 intervalů z J

d taková, že M =⋃∞

n=1In. Stačí tedy ověřit, že každý polouzav-řený interval je λ∗d-měřitelný.Nechť I := (a, b] ∈ J d. Potom

I =d⋂

n=1

(Pn(an)\Pn(bn)

).

Podle lemmatu 10.1 je I λ∗d-měřitelná množina.

28

10.3. Lemma. Nechť G : R → R je neklesající zprava spojitá funkce. Pro I := (a, b]definujeme µG(I) := F (b)−F (a), pokud a < b, µG(I) = 0, pokud a ≥ b. Nechť µ∗G je vnějšímíra generovaná (J 1, µG). Potom pro každé c ∈ R je množina (c, ∞) µ∗G-měřitelná.

Důkaz. Pro A := (c, ∞) a (T , τ) := (J 1, µG) jsou splněny předpoklady lemmatu 9.5.

10.4. Věta. Každá borelovská podmnožina R je µ∗G-měřitelná.

Důkaz. Plyne z tvrzení 10.3, neboť pro a < b je (a, b] = (a, ∞)\(b, ∞) a zřejmě σ(J 1) = B1,neboť každá otevřená množina v R je spočetným sjednocením intervalů z J 1.

10.5. Lemma. Nechť G, µG a µ∗G mají stejný význam jako v lemmatu 10.3. Je-li I ∈ J1,

potom µ∗G(I) = µG(I).

Důkaz. Nechť I ∈ J 1. Definujme I1 := I, In := ∅ pro n ≥ 2. Z definice µ∗G(I) plyne, žeµ∗G(I) ≤ µG(I).K důkazu obrácené nerovnosti stačí dokázat toto tvrzení:

Je-li I ∈ J 1 a {In}∞n=1 je posloupnost intervalů z J1 taková, že I ⊂

⋃∞n=1In, potom

µG(I) ≤∞∑

n=1

µG(In). (10.1)

Nechť J, J ′ ∈ J 1, J ′ ⊂ J . Protože G je neklesající, je µG(J ′) ≤ µG(J).Je-li I = ∅, je nerovnost (10.1) zřejmá. Nechť I := (a, b], kde a < b. Pro c ∈ R

definujeme P (c) := (c, ∞),

M :={c ∈ [a, b] : µG

((c, b]

)≤

∞∑

n=1

µG(In ∩ P (c))}

a m := infM . Zřejmě M 6= ∅, neboť b ∈ M . Tedy m ∈ [a, b]. Protože P (c) ⊂ P (m) prokaždé c ∈M a G je zprava spojitá v bodě m, platí

µG((m, b]

)= G(b)−G(m) = G(b)−G(m+)

= sup{G(b)−G(c) : c ∈M

}= sup

{µG

((c, b]

): c ∈M

}

≤ sup{ ∞∑

n=1

µG(In ∩ (P (c))

): c ∈M

}

≤∞∑

n=1

µG(In ∩ (P (m))

).

Vidíme, že m ∈M . Dokázat (10.1) znamená ověřit, že m = a.Předpokládejme, že m > a; odvodíme spor.

29

Existuje interval Ij := (cj, dj] obsahující bodm. Položme y := max {cj, a}, takže y < ma (y, dj] = (y, m]∪(m, dj], takže µG

(Ij ∩P (y)

)= G(dj)−G(y) = G(dj)−G(m)+G(m)−

−G(y) = µG(Ij ∩ P (m)

)+G(m)−G(y), tedy (užije se, že m ∈M) platí

∞∑

n=1

µG(In ∩ P (y)

)≥

∞∑

n=1

µG(In ∩ P (m)

)+G(m)−G(y)

≥ µG((m, b]

)+G(m)−G(y) = G(b)−G(m) +G(m)−G(y)

= G(b)−G(y) = µG((y, b]

).

Dokázali jsme, že y ∈M , tedy y ≥ m, což je spor, neboť y < m.

10.6. Lemma. Nechť µ∗ je vnější míra generovaná (T , τ) (viz věta 8.1), A je σ-algebraµ∗-měřitelných množin a µ := µ∗|A. Nechť T ⊂ A, µ = τ na T a nechť existují Xm ∈ σ(T )takové, že X =

⋃∞m=1Xm a µ(Xm) < ∞, m ∈ N. Jestliže A ∈ A, potom existují množiny

A′, A′′ ∈ σ(T ) takové, že A′ ⊂ A ⊂ A′′ a µ(A′′\A′) = 0.

Důkaz. Nechť A ∈ A. Nejprve předpokládejme, že µ(A)

10.7. Věta (Lebesgue-Stieltjesova míra). Nechť G : R → R je neklesající zprava spojitáfunkce. Potom na R existuje právě jedna Radonova míra µG taková, že

µG((a, b]

)= G(b)−G(a), a, b ∈ R, a < b. (10.2)

Důkaz. Pro I := (a, b] ∈ J 1 definujeme µG(I) = G(b)−G(a), pokud a < b, µG(I) = 0 proa ≥ b. Označme µ∗G vnější míru generovanou (J

1, µG) a SG σ-algebru µ∗G-měřitelných mno-žin. Víme (věta 10.4), že B1 ⊂ SG a µ∗G

((a, b]

)= µG

((a, b]

)= G(b)−G(a) (lemma 10.5).

Bez nebezpečí kolize označení definujeme µG := µ∗G|SG . Podle věty 9.4 je (R, SG, µG) úplnýprostor s mírou. Míra µG je zřejmě lokálně konečná, tedy podle věty 6.2 je µG Radonovamíra, neboť je zúplněním míry µG|B1 podle lemmatu 10.6 (za (T , τ) volíme (J 1, µG), při-pomeneme, že σ(J 1) = B1 a užijeme větu 10.4 a lemma 10.5).Zbývá dokázat jednoznačnost. Protože systém J 1 je uzavřený vzhledem k průniku,

σ(J 1) = B1 a µG((−n, n]

) an jeb > a, pokud nenastal následující výjimečný případ: an < 2, an+1 = an+2 = . . . = 2a bn = an + 1, bn+1 = bn+2 = . . . = 0. Pak zřejmě a = b.Nechť C je množina všech čísel z intervalu [0, 1], která lze alespoň jedním způsobem

31

vyjádřit ve tvaru a = 0, a1a2 . . ., přičemž an 6= 1 pro všechna n ∈ N. Snadno sirozmyslíme, že C vznikne postupným odstraněním prostředních třetin (tzv. styčnýchintervalů Cantorova diskontinua): nejprve se odstraní interval (1/3, 2/3), v tomtointervalu totiž leží právě všechna čísla, která mají nutně na prvním místě cifru 1.V druhém kroku se ze zbývajících intervalů [0, 1/3] a [2/3, 1] odstraní prostřednítřetiny, tj. intervaly (1/9, 2/9), (7/9, 8/9). V n-tém kroku se odstraní 2n−1 inter-valů délky 3−n, atd. Označíme-li G := [0, 1]\C, je G otevřená množina sestávajícíz otevřených intervalů, které jsou po dvou disjunktní. Intervalů délky 3−n je 2n−1,proto λ1(G) =

∑∞n=1(2

n−1 · 3−n) = 1. Pro kompaktní množinu C je tudíž λ1(C) = 0.Nechť S je množina těch x = 0, a1a2 . . ., pro něž všechna an s výjimkou konečnéhopočtu jsou rovna nule. Pak S je spočetná a zobrazení f : C\S → [0, 1], které bodu2b1/3 + 2b2/32 + . . . přiřadí bod b1/2 + b2/22 . . . (bn je rovno 0 nebo 1) je prostézobrazení C\S na [0, 1]. Proto je množina C nespočetná.

(e) Dokážeme, že existuje spojitá neklesající funkce ϕ : [0, 1]→ R taková, že ϕ je kons-tantní na každém styčném intervalu Cantorova diskontinua C a ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1.Pro každé x z omezeného styčného intervalu Cantorova diskontinua, jehož koncovýbod má rozvoj tvaru 2a1/3 + · · · + 2an/3n, definujeme ϕ(x) := a1/2 + · · · + an/2n

(aj je 0 nebo 1). Dále položíme ϕ(0) := 0 a pro x ∈ (0, 1] definujeme

ϕ(x) := sup {ϕ(y) : y ∈ [0, 1]\C, y ≤ x}.

Potom je funkce ϕ neklesající. Jelikož pro každé m, n ∈ N, m < 2n, je m/2n ∈ϕ([0, 1]\C

), je funkce ϕ spojitá a ϕ(1) = 1.

Položme ψ(x) :=(x+ ϕ(x)

)/2, x ∈ [0, 1]. Potom ψ zobrazuje spojitě a prostě [0, 1]

na [0, 1], ψ−1 je spojitá a ψ([0, 1]\C

)je otevřená množina, jejíž míra je rovna 1/2.

Proto λ1(ψ(C)

)= 1/2. Z věty 3.4 plyne, že existuje A ⊂ ψ(C) taková, že A /∈ L1.

DefinujmeM := ψ−1(A). PotomM ⊂ C, tudížM ∈ L1. Z níže popsané úvahy plyne,že M /∈ B1.Označme A := {B ∈ B1 : ψ(B) ∈ B1}. Protože ψ−1 je spojité zobrazení, je vzorkaždé otevřené podmnožiny intervalu [0, 1] při ψ−1 otevřená množina, tedy každáotevřená množina padne do A. Protože ψ je prosté, je obraz sjednocení spočetněmnoha množin sjednocením obrazů a obraz doplňku množiny je roven doplňku ob-razu. Je tedy A σ-algebra a odtud plyne, že B1 ⊂ A.

(f) Nechť a < b. Existuje kompaktní množina K ⊂ [a, b] taková, že K má prázdnývnitřek a λ1(K) > 0. Existují tedy řídké množiny kladné Lebesgueovy míry. NechťQ ∩ [a, b] = {r1, r2, . . .}. Pro δ ∈ (0, b− a) definujme interval

In :=(rn − δ/2n+1, rn + δ/2n+1

), n ∈ N,

a definujme Kδ := [a, b]\⋃∞

n=1In. Potom Kδ je kompaktní a

λ1(Kδ) = b− a− λ1( ∞⋃

n=1

In

)≥ b− a−

∞∑

n=1

( δ2n

)= b− a− δ > 0.

32

Jelikož Kδ ∩ (Q ∩ [a, b]) = ∅, vnitřek množiny Kδ je prázdný.Nechť k ∈ N, 1/k < b − a. Definujme ještě L :=

⋃∞n=kK1/n. Potom λ1(L) ≥

≥ λ1(K1/n) ≥ b− a− 1/n, kdykoli n ∈ N, n ≥ k, proto λ1(L) = b−a. Jestliže M :=⋃{L+m · (b−a) : m ∈ Z}, N := R\M , pakM je množina 1. kategorie (tj. spočetnésjednocení řídkých množin) a λ1(N) = 0. Tedy každá množina A ⊂ R je sjednocenímmnožiny 1. kategorie a množiny míry 0, totiž A = (A ∩M) ∪ (A ∩N).

(g) Množina kladné míry tedy nemusí obsahovat (nedegenerovaný) interval. Platí tototvrzení:Je-li A ∈ L1, λ1(A) > 0, potom existuje číslo δ > 0 takové, že (−δ, δ) ⊂ A − A :={x− y : x, y ∈ A}.To lze dokázat např. takto: S odvoláním na větu 6.1 lze předpokládat, že A je kom-paktní a podle téže věty existuje otevřená množina G taková, že A ⊂ G a λ1(G) << 2λ1(A). Protože A je kompaktní množina disjunktní s uzavřenou množinou R\G,existuje δ > 0 takové, že A + x ⊂ G pro každé x ∈ (−δ, δ). Tvrdíme, že (−δ, δ) ⊂⊂ A−A. Zvolme v ∈ (−δ, δ). Potom A ∪ (A+ v) ⊂ G. Kdyby A ∩ (A+ v) = ∅, pakby platilo

2λ1(A) = λ1(A) + λ1(A+ v) = λ1(A ∪ (A+ v)

)≤ λ1(G),

což je ve sporu s nerovností λ1(G) < 2λ1(A). Vidíme, že A∩ (A+ v) 6= ∅, tj. existujíbody x, y ∈ A takové, že x = y + v, neboli v = x− y ∈ A− A.

33

Kapitola 11

Pravděpodobnostní míry adistribuční funkce

Říkáme, že F : R → R je distribuční funkce, jestliže

(a) F je neklesající;

(b) F je zprava spojitá;

(c) F (−∞+) = 0 a F (∞−) = 1.

OznačímeM1(R) množinu pravděpodobnostních měr na B1.

11.1. Věta.

(a) Jestliže µ ∈ M1(R) aF (x) := µ

((−∞, x]

), x ∈ R, (11.1)

potom F je distribuční funkce.

(b) Jestliže F je distribuční funkce, potom existuje právě jedna míra µ ∈ M1(R) taková,že platí (11.1).

Důkaz. Plyne z věty 3.7 a z věty 10.7.

34

Kapitola 12

Lebesgueova míra v Rd

12.1. Lemma. Pro I ∈ J d je λ∗d(I) = λd(I).

Důkaz. Nechť I ∈ J d. Nerovnost λ∗d(I) ≤ λd(I) je zřejmá z definice vnější Lebesgueovymíry. K důkazu obrácené nerovnosti stačí ověřit nerovnost

λd(I) ≤∞∑

n=1

λd(In), In ∈ J d, n ∈ N, I ⊂∞⋃

n=1

In.(N(d)

)

Důkaz provedeme indukcí. Pro d = 1 je N(1) nerovnost (10.1) pro funkci G : x 7→ x, x ∈ R.Předpokládejme, že d ≥ 1 a že platí N(d). Nechť I, In ∈ J d+1, I ⊂

⋃∞n=1In. Nerovnost

N(d + 1) zřejmě platí, pokud I = ∅. Nechť I := (a, b] 6= ∅, In :=(a(n), b(n)

]6= ∅, n ∈ N,

a pro c ∈ R nechť P (c) := {x ∈ Rd+1 : c < xd+1}. Označme v :=∏d

j=1(bj − aj), takžeλd+1(I) = v · (bd+1 − ad+1).Nechť ε > 0. [Faktor 1 + ε v následující definici představuje „malou rezervuÿ, která

v důkazu umožní přejít od nekonečného pokrytí ke konečnému.]Definujme

M :={c ∈ [ad+1, bd+1] : v(bd+1 − c) ≤ (1 + ε)

∞∑

n=1

λd+1(In ∩ P (c)

)}.

Zřejmě bd+1 ∈M , tedy m := inf M ∈ [ad+1, bd+1]. Platí

v(bd+1 −m) = sup{v(bd+1 − c) : c ∈M

}

≤ (1 + ε) · sup{ ∞∑

n=1

λd+1(In ∩ P (c)

): c ∈M

}

≤ (1 + ε) ·∞∑

n=1

λd+1(In ∩ P (m)

),

tudíž m ∈M . Dokážeme, že m = ad+1, neboli

λd+1(I) ≤ (1 + ε)∞∑

n=1

λd+1(In).

35

Protože pak tato nerovnost platí pro každé ε > 0, bude tím dokázána nerovnost N(d+1).Předpokládejme, že m > ad+1; odvodíme spor.Definujme

J :={x ∈ Rd : (x1, . . . , xd,m) ∈ I

},

Jn :={x ∈ Rd : (x1, . . . , xd,m) ∈ In

}, n ∈ N.

Protože I ⊂⋃∞

n=1In, je J ⊂⋃∞

n=1Jn a J, Jn ∈ Jd. Z indukčního předpokladu N(d) plyne,

že

v = λd(J) ≤∞∑

n=1

λd(Jn).

Jelikož J 6= ∅, je v > 0 a tedy existuje k ∈ N takové, že

v ≤ (1 + ε)k∑

n=1

λd(Jn). (12.1)

Pro n ∈ {1, . . . , k} je buďto Jn = ∅ nebo a(n)d+1 < m ≤ b

(n)d+1. Definujme (zde se užije, že jsme

přešli od nekonečné posloupnosti ke konečné)

c := max{{ad+1} ∪ {a

(n)d+1 : n ∈ {1, . . . , k}, Jn 6= ∅}

}.

Potom c < m a pro každé n ∈ N platí

λd+1(In ∩ P (c)

)≥ λd+1

(In ∩ P (m)

)+ (m− c)λd(Jn). (12.2)

Protože m ∈M a P (m) ⊂ P (c), plyne z nerovností (12.1) a (12.2)

v(bd+1 − c) = v(bd+1 −m) + v(m− c)

≤ (1 + ε)∞∑

n=1

λd+1(In ∩ P (m)

)+ (1 + ε)(m− c)

k∑

n=1

λd(Jn)

≤ (1 + ε)∞∑

n=k+1

λd+1(In ∩ P (m)

)+ (1 + ε)

k∑

n=1

λd+1(In ∩ P (c)

)

≤ (1 + ε)∞∑

n=1

λd+1(In ∩ P (c)

),

tedy c ∈M , což je spor, neboť c < inf M .

36

12.2. Lemma. Nechť c ∈ R, j ∈ {1, . . . , d} a Hj(c) := {x ∈ Rd : xj = c}. Potomλ∗d

(Hj(c)

)= 0.

Důkaz. Nechť ε > 0 a

In :={x ∈ Rd; −2n−1 < xk ≤ 2n−1, k ∈ {1, . . . , d}\{j}, c− ε · 2−2n < xj ≤ c

}.

Potom In ∈ J d, λd(In) = 2d−1 ·2n ·ε ·2−2n = 2d−1 ·2−n ·ε, Hj(c) ⊂⋃∞

n=1In a∑∞

n=1 λd(In) == 2d−1ε. Odtud plyne, že λ∗d

(Hj(c)

)= 0.

12.3. Věta (Lebesgueova míra). Na Rd existuje právě jedna Radonova míra λd taková, žeλd přiřazuje každému intervalu z J d jeho objem. Míra λd je invariantní vůči posunutí.

Důkaz. Nechť Ld je σ-algebra všech λ∗d-měřitelných množin. Z věty 10.2 a z lemmatu 12.1víme, že Bd ⊂ Ld a λ∗d(I) je rovno objemu I pro každý interval I ∈ J

d. Bez nebezpečíkolize označení definujeme λd := λ∗d|Ld . Podle věty 9.4 je (R

d, Ld, λd) úplný prostor s mírou.Míra λd je zřejmě lokálně konečná, tedy λd je Radonova míra podle věty 6.2, neboť jepodle lemmatu 10.6 zúplněním míry λd|Bd . (Za (T , τ) volíme (J d, λd), připomeneme, žeσ(J d) = Bd a užijeme větu 10.2 a lemma 12.1.) Protože λ∗d je invariantní vůči posunutí,platí totéž pro λd.Zbývá dokázat jednoznačnost. Protože systém J d je uzavřený vzhledem k průniku,

σ(J d) = Bd a λd((−n, n]d

)

Kapitola 13

Invariantní míry na Rd

Domluvme se, že číslo x ∈ R nazveme dyadicky racionální, když existují p ∈ Za n ∈ N0 := N ∪ {0} taková, že x = p/2n. Bod x := (x1, . . . , xd) ∈ Rd nazveme dyadickyracionální, jestliže x1, . . . , xd jsou dyadicky racionální čísla.

Systém všech intervalů I := (a, b] ∈ J d, pro něž a, b jsou dyadicky racionální body,označíme Id. Zřejmě je Id spočetný systém uzavřený vzhledem k průniku a každá otev-řená množina G ⊂ Rd je sjednocením spočetného systému množin z Id. Odtud plyne, žeBd ⊂ σ(Id), a protože Id ⊂ Bd, je Bd = σ(Id).

Je-li a ∈ Rd dyadicky racionální bod a δ > 0 dyadicky racionální číslo, pak

J := {x ∈ Rd : aj < xj ≤ aj + δ}

nazýváme dyadickou polouzavřenou krychlí o délce hrany δ. Víme, že λd(J) = δd.

13.1. Věta (o jednoznačnosti invariantní míry). Nechť (Rd, Bd, µ) je prostor s mírou, kteráje invariantní vůči posunutí, a nechť c := µ

([0, 1]d

)

pro každé p ∈ Zd. Je-li I ∈ Id, existuje s ∈ N0 takové, že I je sjednocením po dvou disjunkt-ních krychlí z Qs, takže µ(I) = γ ·λd(I). Podle věty 4.3 platí rovnost µ(A) = γ · λd(A) prokaždou množinu A ∈ σ(Id) = Bd. Protože λd

([0, 1]

)= 1 (viz poznámka 12.4(b)), z rovnosti

c = µ([0, 1]d

)= γ · λd

([0, 1]d

)= γ dostáváme, že míra µ je na Bd rovna míře c · λd.

39

Kapitola 14

Transformace Lebesgueovy míry přilineárních zobrazeních

Lebesgueova míra zobecňuje pojem elementárního objemu a je invariantní vůči posu-nutí. Zatím však nevíme, zda se míra zachovává např. při otočení — zřejmé to není anipro interval!

Nechť T : Rd → Rd je lineární zobrazení. Naším cílem je vyjasnit vztah mezi Lebes-gueovou mírou množiny A ⊂ Rd a mírou množiny T (A).

Pro a, b ∈ Rd znamená, a · b skalární součin vektorů a, b.

14.1. Lemma. Nechť T : Rd → Rd je lineární zobrazení. Potom existuje e ∈ Rd, |e| = 1,takové, že T (x) · T (e) = 0, kdykoli x ∈ Rd a x · e = 0.

Důkaz. Existuje e ∈ Rd takové, že |e| = 1 a |T (z)| ≥ |T (e)| pro všechna z ∈ Rd, |z| = 1(spojitá funkce na kompaktní množině). Nechť x ∈ Rd a x · e = 0. Definujme ϕ(t) :=|T (e+ tx)|2, t ∈ R. Zřejmě

ϕ(t) = |T (e)|2 + 2 t T (x) · T (e) + t2|T (x)|2, t ∈ R.

Je-li y = e + tx, t ∈ R, je |y|2 = |e|2 + t2|x|2 ≥ 1. Pro z := y/|y| platí |z| = 1 a tudíž|T (y)| = |y||T (z)| ≥ |T (e)|. Proto platí ϕ(t) ≥ ϕ(0) pro všechna t ∈ R, takže v bodě 0nabývá funkce ϕ minima. To znamená, že ϕ′(0) = 0. Ovšem ϕ′(0) = 2T (x) · T (e).

14.2. Věta (o faktorizaci lineárního zobrazení). Nechť M je regulární (d × d)-matice.Potom existují ortonormální matice P, Q a diagonální regulární matice D takové, žeM = PDQ.

40

Důkaz. Na základě lemmatu se sestrojí ortonormální báze {v1, . . . , vd} prostoru Rd taková,žeMvi ·Mvj = 0, i, j ∈ {1, . . . , d}, i 6= j. Nechť αj := |Mvj|, j ∈ {1, . . . , d} a D je matices (kladnými) prvky αj na diagonále. Dále nechť P je matice o sloupcích wj := (αj)−1Mvj,Q matice o řádcích vj, j ∈ {1, . . . , d}. Pak PD je matice o sloupcích Mvj, j ∈ {1, . . . , d},což je maticeMQ′ (čárka značí transponovanou matici). Je tudíž PDQ =MQ′Q =M .

Nejprve předpokládejme, že lineární zobrazení T : Rd → Rd je prosté. Pak zobra-zení T−1 je spojité, proto obraz každé otevřené množiny při zobrazení T (což je ovšem vzorpři zobrazení T−1) je otevřená množina. Označíme-li tedy

A := {A ⊂ Rd : T (A) ∈ Bd},

pak A je zřejmě σ-algebra obsahující všechny otevřené množiny, tudíž Bd ⊂ A.

Pro A ∈ Bd definujme ν(A) := λd(T (A)

)a ∆(T ) := ν

([0, 1]d

). Protože T

([0, 1]d

)

obsahuje neprázdnou otevřenou množinu T((0, 1)d

), je ∆(T ) > 0. Položme µ(A) :=(

∆(T ))−1

ν(A), A ∈ Bd. Protože zobrazení T je lineární a prosté, snadno se ověří, že µje míra na Bd, která je invariantní vůči posunutí a µ

([0, 1]d

)= 1. Podle věty 13.1 je

µ(A) = λd(A), A ∈ Bd, neboli λd(T (A)

)= ∆(T )λd(A).

Jestliže jsou T1, T2 prostá lineární zobrazení Rd na Rd, potom

∆(T1 ◦ T2) = λd((T1 ◦ T2)

([0, 1]d

))= λd

(T1

(T2

([0, 1]d

)))

= ∆(T1)λd(T2

([0, 1]d

))= ∆(T1)∆(T2)λd

([0, 1]d

)= ∆(T1)∆(T2).

Je-li T : Rd → Rd libovolné lineární zobrazení, označíme detT determinant maticezobrazení T vzhledem ke standardní bázi Rd.

Uvažujme nyní speciální zobrazení. Nechť α1, . . . , αd jsou vesměs nenulová reálná číslaa nechť pro x = (x1, . . . , xd) je T (x) := (α1x1, . . . , αdxd). (Matice tohoto zobrazení má nadiagonále α1, . . . , αd, na ostatních místech nuly, takže detT je pro toto diagonální zob-razení roven α1 · . . . · αd). V tomto případě je T

([0, 1]d

)kompaktní interval o délce hran

|α1|, . . . , |αd|, tedy λd(T

([0, 1]d

))= |α1 · . . . · αd|, takže ∆(T ) = | detT |.

Další speciální zobrazení, které budeme uvažovat, je izometrické lineární zobrazeníT : Rd → Rd. Podle definice tedy platí |T (x)− T (y)| = |x− y|, kdykoli x, y ∈ Rd. (Maticezobrazení T je ortonormální, tudíž detT = ±1.) Je-li B := {x ∈ Rd : |x| ≤ 1}, je protakové zobrazení T (B) = B, takže λd(B) = λd

(T (B)

)= ∆(T )λd(B). Zřejmě je λd(B) > 0,

protože B obsahuje (nedegenerovaný) otevřený interval, tedy ∆(T ) = 1 = | detT |.

41

Tyto speciální informace stačí k tomu, abychom dokázali následující větu. (Užívámeobvyklou definici 0 · ∞ = 0.)

14.3. Věta. Nechť T : Rd → Rd je lineární zobrazení. Potom pro každou množinu A ∈ Ld

je T (A) ∈ Ld aλd

(T (A)

)= | detT |λd(A). (14.1)

Důkaz. Nechť nejprve T je prosté (tedy matice zobrazení T je regulární). Podle věty 14.2existují lineární izometrická zobrazení T1 a T3 prostoru Rd na Rd a diagonální prostézobrazení T2 : Rd → Rd taková, že T = T1 ◦ T2 ◦ T3. Protože pro každou množinu A ∈ Bd

je λd(Tj(A)

)= ∆(Tj)λd(A), j ∈ {1, 2, 3}, ∆(T ) = ∆(T1)∆(T2)∆(T3) a detT =

= detT1 · detT2 · detT3, platí rovnost (14.1) pro A ∈ Bd. S odvoláním na věty 6.1 a 12.3je třeba dokázat (14.1) pro A ∈ Ld, pro niž λd(A) = 0. Existuje však A′′ ∈ Bd, A ⊂⊂ A′′, λd(A′′) = 0. Potom λd

(T (A′′)

)= | detT |λd(A′′) = 0, a protože T (A) ⊂ T (A′′), je

T (A) ∈ Ld a λd(T (A)

)= 0, takže (14.1) platí.

Nechť nyní T je lineární zobrazení, které není prosté. Potom T (Rd) je podprostor v Rd,jehož dimenze je menší než d. Existuje tedy nadrovina N ⊂ Rd taková, že T (Rd) ⊂ N .Označme nyníH := {x ∈ Rd : x1 = 0} a připomeňme, že podle lemmatu 12.2 je λd(H) = 0.Potom existuje prosté lineární zobrazení S : Rd → Rd takové, že S(H) = N . Zřejmě

λd(N) = λd(S(H)

)= | detS|λd(H) = 0.

Je-li A ∈ Ld, je T (A) ∈ Ld, λd(T (A)

)≤ λd(N) = 0 = | detT |λd(A) a tedy (14.1) platí.

42

Kapitola 15

Komentář a historické poznámky

Tato kapitola si neklade (a ani klást nemůže) nároky na úplnost. Jejím cílem je zájem-cům přiblížit v historické perspektivě nejen významnější momenty ve vývoji základníchpojmů a výsledků teorie míry, upozornit na důležité souvislosti, ale také zodpovědět ně-které přirozené otázky, většinou s odkazem na rozsáhlou literaturu věnovanou teorii míry.

1. Úvod: Teorie míry a integrálu v současné době představuje dobře etablovanou, roz-sáhlou a aktivně se rozvíjející matematickou disciplínu. Pro ilustraci uvedeme namátkouněkolik údajů. V MSC 2010 (Mathematics Subject Classification), což je klasi-fikace matematických disciplín užívaná referativními časopisy Mathematical Reviewsa Zentralblatt für Mathematik, je pod číslem 28 vedena disciplína Measure andintegration, která je dále dělena na celkem 6 částí, které zahrnují celkem 65 podčástí.Informace o bibliografických záznamech lze např. z Mathematical Reviews získat prostřed-nictvím databázeMathSciNet. Pod položkou MSC Primary 28 je k září 2010 evidováno15 858 záznamů (převážně publikace od roku 1940). Např. v letech 2000–2010 bylo zpra-cováno 3 733 záznamů, 356 záznamů v roce 2008, v roce 2009 počet činí 333. Zvolíme-liv MSC Primary např. 28-01 [Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.)],28-02 [Research exposition (monographs, survey articles)] a 28-03 [Historical], objeví seúdaje o celkem 235 článcích a knihách. Zadáme-li filtr MSC Primary 28 a PublicationType Books, získáme údaj 455.Již z toho je zřejmé, že od předloženého textu poskytujícího opravdu jen ty nezáklad-

nější poznatky z teorie míry není možno očekávat žádnou originalitu ani úplnost. Novésnad mohou být jen výběr a uspořádání látky, motivace a charakter výkladu.Jako další ilustraci rozsahu vědomostí z teorie míry uvádíme, že např. pětidílná Fremli-

nova monografie encyklopedického charakteru Measure Theory [49] obnáší celkem 2 383stran (formát A4!). Jiný příklad: nedávno vydaná Bogacheova dvoudílná monografie Mea-sure Theory [10] má celkem 1 107 stran. V seznamu literatury je uvedeno 2 038 položek,jen monografií a učebnic lze napočítat (převážně 20. století) na 300.U matematických disciplín není rozumné pátrat po letopočtu vzniku, každá z nich má

své prenatální období.

43

Současná teorie míry vychází ze zásadních příspěvků dvou francouzských matematikůpřelomu 19. a 20. století: Emila Borela a Henri Lebesguea.V knize [11] Leçons sur la théorie des fonctions (1898) Borel vysvětluje, jak ho výzkumy

o řadách racionálních zlomků tvaru An/(z − an)mn (tedy problematika funkcí komplexníproměnné) přivedly k pojmu měřitelných množin a k pojmu míry jako σ-aditivní mno-žinové funkce. Dá se říci, že Borel axiomatiku teorie míry načrtl, aniž by však existencia jednoznačnost míry dokázal.Implicitně zavedl množinový systém, kterému dnes říkáme σ-algebra borelovských mno-

žin. Podrobnosti lze nalézt v [60], s. 97–106.Borelovu myšlenku rozvinul a obohatil zásadním způsobem H. Lebesgue v roce 1901

v [81] a zejména v disertaci Intégrale, longeur, aire otištěné v roce 1902 v [82]. Dokázalexistenci (Lebesgueovy) míry na systému širším než jsou borelovské množiny. Lebesgueovateorie se stala východiskem k novému (Lebesgueovu) integrálu.Různým aspektům historie teorie míry a integrálu jsou věnovány např. tyto publikace:

[7], [13], [18], [25] - [27], [29], [31], [33], [35], [51], [59] - [61], [63], [66], [70], [77], [86],[89] - [92], [95] - [97], [101], [103], [104], [106], [107], [112], [118].Jestliže jsme zmínili prenatální stádium, moderní teorie míry a integrálu ideově čerpá

z velmi starého fundamentálního principu známého více než dvě tisíciletí, z tzv. Eudoxovyexhaustivní metody (Eudoxos, řecký astronom, matematik a filozof, ∼408 př.n.l.–355 př.n.l.). V současném pojetí ji lze, třeba pro rovinné oblasti, popsat zhruba takto: považu-jeme za známý např. pojem obsahu mnohoúhelníku a jeho základní vlastnosti. Chcemeurčit velikost, tj. „obsahÿ, omezené rovinné oblasti A. Jestliže pro každé ε > 0 existujímnohoúhelníky A′, A′′ takové, že A′ ⊂ A ⊂ A′′ a rozdíl obsahů A′′ a A′ je menší než ε, řek-neme, že oblast A je měřitelná (tj. má obsah) a za její velikost (tj. míru) m(A) považujemečíslo (užíváme jazyk současné matematiky)

m(A) := sup {m(A′) : A′ ⊂ A} = inf {m(A′′) : A ⊂ A′′}.

Pokud poslední dvě čísla jsou různá, máme definovanou „vnitřní míruÿ a „vnější míruÿ.V zásadě tento aproximační princip (vyčerpání zevnitř a zevně) nalezl uplatnění v de-

finici Riemannova integrálu či Jordan-Peanova objemu.Idea aproximace shora „jenoduššímiÿ množinami (v našem případě to budou spočetné

systémy intervalů) je klíčem k moderní teorii míry.

2. Měřitelný prostor: Na počátku 20. století lze z hlavních tvůrců teorie míry a integrálujmenovat tyto matematiky: H. Lebesgue, G. Vitali, W. H. Young, J. Radon, C. Carathé-odory, F. Riesz, M. Fréchet, N. Luzin, Ch. de la Vallée Poussin, H. Hahn, F. Hausdorff,M. Suslin, W. Sierpiński, A. Denjoy, P. Daniell. Zhruba do roku 1915 jsou míra a integ-rál studovány v euklidovském prostoru, nejprve na R, později na Rd. Počínaje pracemiM. Frécheta (viz [40], [41], [44], [46], [47]) se začíná postupně prosazovat abstraktní přístup(obecné množinové systémy podmnožin abstraktní množiny a na nich definované množi-nové funkce).Pojem σ-algebry σ(S) generované množinovým systémem S je svou bezelstností zrádný.

44

Nedává (až na triviální případy) představu, jak explicitně popsat prvky σ(S) ze znalosti S.Problém není jednoduchý, ale lze začít uvažovat takto: definujme S1 := S ∪ {Ac : A ∈ S}a pro n > 1 definujme Sn jako systém všech spočetných sjednocení množin, které jsoubuďto obsaženy v Sn−1 nebo jejich doplněk je obsažen v Sn−1. Označme Sω :=

⋃∞n=1Sn.

Obecně rovnost Sω = σ(S) neplatí. Systém Sω je sice uzavřený vzhledem k doplňku, alepokud by např. existovaly množiny An ∈ Sn\Sn−1 pro každé n, není důvod, proč by měloplatit

⋃∞n=1An ∈ Sω. Je tedy třeba proces iterovat. Označme Ω množinu všech spočetných

ordinálních čísel. Pro každé α ∈ Ω se Sα definuje transfinitní indukcí: jestliže α ∈ Ω nenílimitní ordinální číslo a β je jeho předchůdce, definujeme Sα jako systém všech spočetnýchsjednocení množin, které jsou buďto obsaženy v Sβ nebo jejich doplněk je obsažen v Sβ.Pro limitní ordinální číslo α se definuje Sα :=

⋃β c takže (v Cantorově diskontinuu) existují nebo-relovské lebesgueovsky měřitelné množiny. Platí tedy B1 $ L1 $ P(R) (poslední inkluzeviz věta 3.4), podobně Bd $ Ld $ P(Rd), d ≥ 1.Na topologickém prostoru X se zavádí hierarchie borelovských množin. Základní jsou:

množiny otevřené (množiny „typu Gÿ od německého slova Gebiet), jejich komplementy,tj. množiny uzavřené (množiny „typu Fÿ od francouzského slova fermé), dále průnikyspočetných systémů otevřených množin — ty se nazývají množiny typu Gδ nebo jenGδ-množiny (δ je od německého slova Durchschnitt pro průnik), sjednocení spočetnýchsystémů uzavřených množin — ty se nazývají množiny typu Fσ nebo jen Fσ-množiny(σ je od německého slova Summe pro sjednocení) a tak se dále „krok po krokuÿ generujímnožiny typů Gδσδ...δσ a množiny typů Fσδσ...σδ. Transfinitně lze takto popsat všechny bo-relovské množiny.Otázka, zda při budování takové hierarchie při přechodu na vyšší úroveň nové množiny

skutečně „přibývajíÿ, je delikátní. Odpověď je např. v euklidovském prostoru kladná; viznapř. [1], s. 200. Podrobnosti a další informace lze nalézt např. v [68].V teorii míry se kromě algeber (viz kap. 9) a σ-algeber na X zavádějí další systémy

množin. Např. okruh se definuje jako množinový systém obsahující ∅ a uzavřený vzhle-dem ke konečnému sjednocení a k rozdílu množin. (Tedy okruh je algebra, pokud obsahujeX.) Podobně σ-okruh je okruh uzavřený vzhledem ke spočetným sjednocením. V literatuře(zejména starší) se nezřídka lze setkat s výkladem, kdy mírou je množinová funkce defi-

45

novaná na σ-okruhu, nikoli na σ-algebře. (Viz např. [87] nebo [22]; kapitola IV Čechovyknihy [22] je patrně prvním textem o abstraktní teorii míry a integrálu psaným v češtině.)To se může hodit, pokud se pracuje s „velmi velkýmiÿ prostory a požadavek „měřit velmivelké množinyÿ může vést k jistým patologickým jevům. Na druhé straně teorie míry naσ-okruzích není prosta komplikací technického rázu. V současné literatuře pojetí míry jakomnožinové funkce definované na σ-algebře jednoznačně převažuje.Systém J d polouzavřených intervalů nemá dobré vlastnosti vzhledem k množinovým

operacím (např. není uzavřený ke konečným sjednocením a k rozdílům). Proto se někdy,i v abstraktním kontextu, zavádí pojem polookruh a pojem objemu na polookruhu. Zaurčitých okolností lze objem z polookruhu S rozšířit na míru na σ(S) a tak např. z ele-mentárního objemu λ(I) definovaného pro I ∈ J d lze dospět k Lebesgueově míře (vizkapitoly 10 a 12). Takový postup nepostrádá eleganci a logiku postupného budování, aleje technicky a formálně vcelku náročný a z časových důvodů pro úvodní přednášku málodostupný, viz např. [4], [10], Vol. 1, [35].

3. Prostor s mírou: Komentář k Lebesgueově a Lebesgue-Stieltjesově míře odložíme dokap. 10 a 12.

Věta 3.4 (existence neměřitelné množiny): Konstrukce (založená na axiomu výběru)pochází od G. Vitaliho z roku 1905; viz [128]. Z historického hlediska je zajímavý komen-tář S. D. Chatterjiho k Hausdorffově článku [57] v sebraných spisech F. Hausdorffa [59],Band IV, s. 11–18. Uvádí se v něm, že Hausdorff analogickou konstrukci objevil nezávislena Vitalim. S. D. Chatterji píše: It is clear that Hausdorff had discovered it independentlyof Vitali since the latter’s 1905 paper on the subject [128] appears to have been seen by veryfew contemporaries; Vitali’s short paper (the actual text, in Italian, is only 21

2pages long)

seems to have been printed privately and was not to be found in any regular mathematicaljournal.

H. Lebesgue považoval Vitaliův důkaz existence neměřitelné množiny za nepřesvědčivý.Lebesgue, stejně jako Borel, uznávali pouze „efektivníÿ konstrukce, uznávali matematickéobjekty, které lze „popsatÿ. Odkazujeme zde na zajímavý komentář v [35], s. 98 a [91],kap. 3, a připojujeme Lebesgueův názor z [83], vydání z roku 1928, s. 114. Problém mírybudeme studovat pouze pro tyto množiny. Nevím, zda lze definovat, nebo dokonce zda exis-tují jiné množiny, než měřitelné. (. . . ) Pokud jde o existenci neměřitelných množin, odprvního vydání této knihy [z roku 1904] nenastal vůbec žádný pokrok. Taková existenceje ovšem jistá pro ty, kteří připouštějí určitý způsob uvažování založený na faktu, který senazývá Zermelův axiom. Touto úvahou se k takovému závěru skutečně dospěje: neměřitelnémnožiny existují; ale takové tvrzení by nemělo být považováno za protimluv, pokud se podaříprokázat, že pro žádného člověka nebude možné neměřitelnou množinu pojmenovat. (Zdese myslí, zhruba řečeno, pojmenovat charakteristickou vlastnost definovaného objektu; vizkap. 3 v [91].)

46

Obecnější pohled na existenci neměřitelné množiny (věta 3.4) nabízí zajímavé vysvět-lení, proč nemůže existovat „geometrickáÿ míra definovaná na všech množinách z Rd. Výsle-dek byl dokázán S. Banachem a A. Tarskim v roce 1924; viz [3]: Nechť d ≥ 1 a A, B ⊂ Rd

jsou libovolné (případně i neomezené) množiny s neprázdným vnitřkem. Potom existují(spočetný) rozklad {A1, A2, . . .} množiny A (tj. An jsou po dvou disjunktní a jejich sjed-nocení je rovno A) a izometrická zobrazení fn, n ∈ N, taková, že {f1(A1), f2(A2), . . .} jerozklad množiny B.Pozoruhodným způsobem do problematiky (ne)měřitelnosti vnesla světlo práce R. M. So-

lovaye [123] z roku 1970. Aniž bychom vplouvali do hlubokých vod axiomatické teorie mno-žin, jeho výsledek, zhruba řečeno, říká: při důkazu existence lebesgueovsky neměřitelnémnožiny se nelze obejít bez axiomu výběru pro nespočetné systémy množin (zasvěcenýkomentář a řadu odkazů na literaturu lze nalézt v [10], Vol. 1, s. 79–80). G. B. Follandv [39], s. 40, píše: From the point of view of working analyst the effect of Solovay’s theoremis to reaffirm the adequacy of the Lebesgue theory for all practical purposes.V souvislosti s větou 3.4 vzniká otázka, zda existuje množina neměřitelná pro každou

Lebesgue-Stieltjesovu míru, přesněji, při označení z příkladu 3.3, množina A ⊂ R, pro nižA /∈ SG pro každou neklesající zprava spojitou funkci G. Takto je otázka formulována ne-opatrně: je-li G = 0 na (−∞, 0) a G = 1 na [0, ∞), pak µG = ε0 (Diracova míra v bodě 0)a SG = P(R). Spíše nás tedy zajímá, zda existuje A ⊂ R, pro niž A /∈ SG pro každounekonstantní neklesající spojitou funkci G : R → R.Odpověď je ANO a plyne z následující věty, kterou dokázal F. Bernstein [8] v roce

1908 s užitím (ekvivalentní formy) axiomu výběru: Existuje množina A ⊂ R taková, že prokaždou nespočetnou uzavřenou množinu E je E ∩ A 6= ∅ a E ∩ Ac 6= ∅.Předpokládejme, že G : R → R je nekonstantní neklesající spojitá funkce. Připomeňme,

že spočetné množiny mají pak µG-míru rovnou 0 (poznámka 10.8(c)) a míra µG je zevnitřregulární (věta 10.7). Nechť A je množina z Bernsteinovy věty a nechť A ∈ SG; odvodímespor. Potom µG(A) = 0, neboť všechny kompaktní podmnožiny množiny A jsou spočetné.Ze stejného důvodu je µG(Ac) = 0, tedy µG(R) = 0 a G je tudíž konstantní; to je spor.

Věta 3.5: V zásadě jsou vlastnosti spojitosti a σ-aditivity ekvivalentní. Ukazuje toTheorem 3.2 z [4]: Nechť R ⊂ P(X) je okruh a ρ : R → [0, ∞) je konečně aditivní funkce.Potom jsou následující podmínky ekvivalentní:

(i) pro všechny množiny Rn ∈ R, n ∈ N, Rn po dvou disjunktní,⋃∞

n=1Rn ∈ R, platíρ( ⋃∞

n=1Rn)=

∑∞n=1 ρ(Rn);

(ii) pro všechny množiny Rn, R ∈ R, n ∈ N, Rn ր R, platí limn→∞ ρ(Rn) = ρ(R);

(iii) pro všechny množiny Rn, R ∈ R, n ∈ N, Rn ց R splňující ρ(R1) < ∞, platílimn→∞ ρ(Rn) = ρ(R);

(iv) pro všechny množiny Rn ∈ R, n ∈ N, Rn ց ∅ a ρ(R1)

Připomeňme, že symbol Rn ր R znamená: (a) Rn ⊂ Rn+1; (b) R =⋃∞

n=1Rn. Analo-gicky pro Rn ց R.

Chápání σ-aditivity jako určitého vyjádření spojitosti lze podpořit tímto novým po-hledem: Nechť R je algebra na X a nechť ρ : R → [0, ∞) je konečně aditivní funkce.Pro R, S ∈ R definujeme δ(R,S) = ρ(R∆S), kde R∆S := (R\S) ∪ (S\R) (symetrickádiference množin). Zřejmě δ(R,S) = 0, právě když se R a S liší o ρ-nulovou množinu.Jestliže místo R uvažujeme třídy ekvivalence R/ρ množin lišících se o ρ-nulovou množinu,potom lze δ definovat přirozeným způsobem na R/ρ. Není těžké ověřit, že pak (R/ρ, δ) jemetrický prostor (δ je tzv. Fréchet-Nikodymova metrika). Platí tato věta (viz [10], Vol. 1,Theorem 1.12.6):Nechť ρ je konečná nezáporná konečně aditivní funkce na algebře R. Potom

(a) ρ je na R spočetně aditivní, právě když δ(Rn, ∅)→ 0, kdykoli Rn ∈ R a Rn ց ∅;

(b) je-li R σ-algebra a ρ je míra na R, pak metrický prostor (R/ρ, δ) je úplný.

Historie Fréchet-Nikodymovy metriky je poměrně složitá. Relevantní práce: [43], [45],[48], [98], [131]; viz komentář v [10], Vol. 1, s. 418.

Věta 3.8: Toto jednoduché tvrzení spojované se jménem F. P. Cantelliho má četnéaplikace v teorii pravděpodobnosti; viz např. [5].

Všimněme si, že pro charakteristické funkce χAn (libovolných) množin An, n ∈ N, platípro A :=

⋂∞j=1

⋃∞n=jAn rovnost

χA = lim supn→∞

χAn .

Proto se často takto definovaná množina A nazývá limes superior posloupnosti {An}∞n=1a značí se lim supn→∞An.Analogicky se definuje

lim infn→∞

An :=∞⋃

j=1

∞⋂

n=j

An.

Je to množina všech bodů x, které leží ve všech množinách An s výjimkou konečného počtu.Často se místo Cantelliho lemma říkává Borel-Cantelliho lemma. Ve skutečnosti „Bo-

relova částÿ tvrzení se týká jistého obrácení tvrzení z věty 3.8: Nechť (X, A, µ) je prav-děpodobnostní prostor a {An}∞n=1 je posloupnost po dvou nezávislých měřitelných množintaková, že

∑∞n=1 µ(An) =∞. Potom µ(lim supn→∞An) = 1.

Zde již jsme na teritoriu teorie pravděpodobnosti. Připomeňme, že posloupnost {An}∞n=1množin z A se nazývá posloupnost po dvou nezávislých množin, jestliže

µ(Aj ∩ Ak) = µ(Aj) · µ(Ak),

kdykoli j, k ∈ N, j 6= k.Tvrzení se většinou formuluje pro posloupnost vzájemně nezávislých množin ( = jevů),

48

tedy ne jen po dvou nezávislých. Autory výše uvedené zlepšené verze pocházející z roku1959 jsou P. Erdös a A. Rényi; viz [5], s. 70.Cantelliho lemma zajímavým způsobem doplňuje toto tvrzení pocházející od V. Ptáka

z roku 1963; viz [108]: Je-li (X, A, µ) pravděpodobnostní prostor, {An}∞n=1 posloupnostmnožin z A taková, že µ(lim supn→∞An) > 0, potom existuje posloupnost {kj}

∞j=1 přiroze-

ných čísel taková, že µ( ⋂n

j=1Akj)> 0 pro všechna n ∈ N.

Vztahy mezi teorií míry a teorií pravděpodobnosti jsou hluboké. Zájemce odkazujemenapř. na [5] či na článek [24], z něhož citujeme: Since the publication in 1933 of Kol-mogorov’s famous monograph Grundbegriffe der Warscheinlichkeitsrechnung, it has beenwell-known that probability theory is essentially a branch of measure theory, „with its ownspecial emphasis and field of applicationÿ (Doob, Stochastic Processes (1953) Preface).The fact that the branch has invigorated the main tree for many years is emphasized lessoften, even though this cannot be considered to be a secret.

4. Dynkinův systém: Někteří autoři (viz např. [39], [116]) místo techniky Dynkinovýchsystémů užívají alternativní přístup.Nechť X je množina aM ⊂ P(X). PotomM se nazývá monotónní systém, jestliže

M je uzavřený vzhledem ke sjednocení neklesajících posloupností a k průniku nerostou-cích posloupností množin zM. Z definice okamžite plyne, že každá σ-algebra je monotónnísystém. Dále: je-li S ⊂ P(X), pak existuje nejmenší monotónní systém obsahující S, tzv.monotónní systém generovaný S (totiž průnik všech monotónních systémů, které Sobsahují). Význam monotónních systémů je patrný z tohoto tvrzení: Je-li S ⊂ P(X) al-gebra, pak monotónní systém generovaný S splývá se σ(S).Technika Dynkinových systémů je systematicky využívána v knize E. B. Dynkina o Mar-

kovských procesech [34]. (Dynkin užívá termín „λ-systémÿ.) Takové systémy byly vyšet-řovány W. Sierpińskim již v roce 1928; viz [121]. Variantu věty o Dynkinových systémech,tzv. transporter theorem, a její aplikace lze nalézt v [72].

Věta 4.3: Toto je základní věta o jednoznačnosti pro σ-konečné míry. Připomeňme,že prostor s mírou (X, A, µ) se nazývá prostor se σ-konečnou mírou, jestliže existujeposloupnost {Xn}∞n=1 množin z A taková, že X =

⋃∞n=1Xn a µ(Xn)

Zdůrazňujeme, že se definice Radonovy míry v literatuře různí; viz např. [4], [14], [52],[87]. Naše terminologie je shodná s [49], Vol. 2.Pro topologické míry na obecných topologických prostorech je problematika regularity

složitá. Ilustrují to mj. příklady z kap. VIII v [35]; viz též [4], [52], [116]. V [35] je uvedenařada odkazů na četné výsledky disciplíny, která se nazývá topologická teorie míry. Té jemj. věnován 4. díl Fremlinovy Measure Theory [49] (obnáší 986 stran formátu A4).Radonovy míry se přirozeným způsobem objevují v souvislosti s reprezentací lineárních

funkcionálů na prostorech spojitých funkcí. Jako vzorek zmíníme tuto situaci: Nechť Xje lokálně kompaktní topologický prostor (tj. Hausdorffův prostor, v němž každý bod máokolí, jehož uzávěr je kompaktní). Je-li µ topologická míra na X konečná na kompaktníchmnožinách, potom zobrazení

Φµ : f 7→∫

X

f dµ (15.1)

definuje nezáporný lineární funkcionál na prostoru Cc(X) spojitých funkcí s kompaktnímnosičem v X (viz kap. 2 v [116]). Přirozená otázka: existují na Cc(X) jiné nezápornélineární funkcionály? (Myslí se tedy funkcionály, které nejsou tvaru (15.1).) Přesněji: ptámese, zda pro každý nezáporný lineární funkcionál Φ : Cc(X)→ R existuje topologická míraµ konečná na kompaktních množinách taková, že Φ = Φµ. Ještě jinak řečeno: lze každýnezáporný lineární funkcionál na Cc(X) reprezentovat mírou?Rieszova věta o reprezentaci dává kladnou odpověď, avšak reprezentující míra není

obecně určena jednoznačně. Význam Radonových měr je zdůrazněn touto větou (viz [4],Theorem 29.3): Nechť Φ je nezáporný lineární funkcionál na Cc(X). Potom existuje právějedna Radonova míra µ, která Φ reprezentuje, tj.

Φ(f) =∫

X

f dµ, f ∈ Cc(X).

Pro další diskusi o Radonových mírách, o regularitě a o různých verzích Rieszovy větyo reprezentaci odkazujeme např. na [4], [39], [49], Vol. 4, [116].O význam