1

Inecuaciones no lineales

FRANCISCO BARRIENTOS B. Departamento de Matemáticas

Saint Francis College

I. Introducción

Recordemos que una inecuación lineal (o del pri-mer grado) es una inecuación que, llevada a su ex-presión más simple, es de la forma:

o bien El conjunto solución de dichas inecuaciones depen-derá de los valores de “ ” y “ ”.

Estudiaremos a continuación, inecuaciones del tipo

o bien

En las cuales “ ” y “ ” son polinomios. Por ejem-plo, nos referimos a inecuaciones tales como:

a)

b)

c)

d)

En la resolución de este tipo de inecuaciones, se combinan algunas técnicas algebraicas que involu-cran factorización (factor común, factorización del trinomio cuadrado, diferencias de cuadrados y cu-bos, factorización por división sintética), operacio-nes con fracciones algebraicas (suma, resta, multi-plicación y división) y el conocimiento sobre el es-tudio de restricciones de expresiones algebraicas racionales. En el presente texto, pretendemos estu-

2

diar y desarrollar estas técnicas, a partir del aná-lisis de ciertos casos.

II. Caso Estudiaremos este caso a partir de ejemplos con-cretos. Sin embargo, sería bueno primeramente ha-cer un poco de teoría respecto al “signo” del pro-ducto “ ”. Es claro que, respecto al signo de los factores “ ” y “ ”, tendríamos cuatro posibilidades las cuales resumimos a continuación:

Note que la última fila de la tabla anterior resume las distintas posibilidades respecto al signo del pro-ducto “ ”; ahora, como se supone que “ ” y “ ” son expresiones de la misma variable, digamos “ ”, entonces el signo de ambos factores dependerá de los “ceros” de cada factor.

Por ejemplo, si “ ” entonces el signo de di-cha expresión dependerá de si “ ” toma valores anteriores o posteriores a “ ”, dado que di-cho número real es el cero de “ ”. Resumi-mos esta situación en la siguiente Tabla de signos:

Puede observarse en la tabla anterior que, si to-mamos un valor de “ ” menor que “ ” (es decir: ), la expresión “ ” tendrá signo nega-tivo. Veamos, probemos con algunos valores con-cretos: si . Otro: si . Con lo que corroboramos que el signo de “ ” es negativo para “ ”. Un análisis similar se pue-de hacer para el caso “ ”; pero en este caso, la

3

“ ” es positiva ¡Compruébelo usted mismo!

II.1 Ejemplos Ejemplo 1. Resolver la inecuación .

Solución. Tomando factor común a “ ” tenemos que la inecuación es equivalente a:

De donde, los factores “ ” y “ ” serían “ ” y “ ”. Podríamos entonces recurrir a una Ta- bla de signos para estudiar la inecuación anterior; sin embargo, tendríamos primero que determinar los ceros de ambos factores; veamos:

Si

Si

Con estos valores, podemos continuar nuestro aná-lisis con la ayuda de una Tabla de signos:

Como el problema planteado es: Determinar los va-lores reales de “ ” para que ; entonces los valores reales que cumplen con la desigualdad “ ” son aquellos números reales que pertenecen al intervalo , o bien, los números reales que pertenecen al intervalo . Por lo que, la solu-ción podría escribirse como la unión de ambos con-juntos, a saber: . Las “bolitas negras” de la Tabla de signos indica que “ ” puede tomar dichos valores ( ; ).

4

Ejemplo 2. Resolver la inecuación .

Solución. Empecemos observando que el polinomio “ ” es una diferencia de cuadrados, cuya fac-torización es: . Pode-mos entonces utilizar una Tabla de signos para es-tudiar el producto . Empecemos por hallar los ceros de los factores:

Si

Si

Nuevamente, con estos valores, podemos continuar nuestro análisis con la ayuda de una Tabla de sig-nos:

Como el problema es: Determinar los valores reales de

“ ” para que ; entonces los valores reales que cumplen con la desigualdad “ ” son aquellos números reales que pertenecen al interva-

lo

. Por lo que, la solución es

.

Ejemplo 3. Resolver la inecuación .

Solución. Empecemos observando que en este caso, la desigualdad es estricta: nos preguntan por los valores reales de “ ” para que “ ” sea ma-yor que cero ( ), no mayor o igual que cero ( ). Esto tendrá que ver con el intervalo solución.

Tomando factor común a “ ” tenemos que la ine-cuación es equivalente a: .

Luego, determinemos los ceros de ambos factores:

5

Si

Si

Con estos valores, construimos nuestra Tabla de sig-nos:

2

Como el problema planteado es: Determinar los va- lores reales de “ ” para que ; entonces los valores reales que cumplen con la desigualdad “ ” son aquellos números reales que pertenecen al intervalo , pues no se incluye el caso , o bien, los números reales que pertenecen al interva-lo , pues tampoco incluye el caso . Por lo que, la solución es: . Las “bolitas blancas” denotan que se excluyen los casos y . Ejemplo 4. Resolver la inecuación .

Solución. Otra vez, estamos ante una diferencia de cuadrados: “ ”. Por lo tan-to, la inecuación anterior se puede reescribir de la forma:

Pasamos ahora a determinar los ceros de los facto-res:

Si

Si

Podemos continuar nuestro análisis con la ayuda de

6

una Tabla de signos:

En este caso, el conjunto solución sería:

Observemos que los signos de la tabla, para el fac-tor “ ”, son negativos a la derecha del cero

(

), pero positivos a la izquierda de dicho va-

lor; esto suele suceder cuando el coeficiente de la variable “ ” es negativo.

Ejemplo 5. Resolver la inecuación .

Solución. ¡Evidente! ¿Por qué? Porque el tér-mino “ ” es una cantidad no negativa para todo : un número real al cuadrado es siempre no ne-gativo, y al sumar 4 al término anterior, el signo final

de la expresión “ ” es positivo.

Ejemplo 6. Resolver la inecuación .

Solución. ¡Evidente! ¿Por qué? Por lo expues-to en el ejemplo anterior, la expresión “ ” es siempre positiva, independiente del valor numéri-co de “ ”; aunque, a diferencia del ejemplo anterior, es cantidad no es nunca igual a cero.

Ejemplo 7. Resolver la inecuación .

Solución. Tomando factor común a “ ”, la inecua-ción tendría la forma .

Los ceros de cada factor serían y . La

7

Tabla de signos correspondiente es:

0

Detengamos en el análisis de la tabla anterior para obtener mejor el conjunto solución. En la fila co-rrespondiente al factor , el signo de dicha expre-sión es siempre positivo, pero igual a cero sólo en el caso “ ”.

Como el problema es determinar los , para que “ ”, tendríamos que el intervalo so-lución es:

Haciendo la observación de que la “igualdad a cero” se cumple cuando , o bien .

Ejemplo 8. Resolver la inecuación .

Solución. Pregunta: ¿No es la misma inecuación an-terior? Pues no; la del ejemplo actual es una desi-gualdad estricta (¡no incluye el caso igual a cero!). Por lo tanto, el conjunto solución de dicha inecua-ción sería:

dado que habría que descartar los valores que ha-cen que la igualdad a cero se dé (o sea: y ).

Ejemplo 9. Resolver la inecuación .

Solución. Tomando factor común a “ ”, la inecua-ción tendría la forma . Los ceros de

cada factor serían y

; la Tabla de signos

8

correspondiente sería:

De donde observamos que el conjunto solución co-

rresponde a

.

III. Caso

Al igual que el caso , el uso de Tablas de signos puede ser una buena estrategia de solución; sin embargo, este caso involucra el estudio de las restricciones del denominador “ ”, pues algunos

valores de “ ” podrían indefinir la fracción

.

Además, es importante tener presente la siguiente aclaración.

III.1 Aclaración: ¡Cuidado! En inecuaciones con variables en el denominador debemos de ser muy cuidadosos, pues cualquier “movimiento” algebraico debe respetar las Leyes de las desigualdades; principalmente las leyes siguien-tes: Ley 1. Sean y :

Si entonces En otras palabras: al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por una cantidad negativa, la desi-gualdad se invierte.

Ley 2. Sean y :

9

Si entonces

Es decir: al dividir ambos miembros de una desigual-dad por una cantidad negativa, la desigualdad se in-vierte.

III.2 Ejemplos

Ejemplo 1. Resolver la inecuación

.

Solución. Quizás algunos estemos tentados a “pasar” a multiplicar el denominador “ ” al otro miem-bro de la inecuación, lo cual sería un grave error; dado que al ser éste “variable” (pues es nega-tivo para , pero positivo para ), no ten-dríamos la certeza para poder aplicar las leyes ante-riores.

Empecemos entonces estudiando la restricción del

denominador de la expresión

. Veamos:

Si

Lo que nos indica que “ ” no puede tomar el valor numérico de “ ”; o sea: “ ”. Esta restricción se representará en la Tabla de signos con una “do-ble línea” vertical. El “cero” del otro factor, , es . Observemos la Tabla de signos:

Como el problema planteado es: Determinar los va-

lores reales de “ ” para que

; entonces los

valores reales que cumplen con la desigualdad “ ” son aquellos números que pertenecen al intervalo ; pues, recordemos, que ; mien-

10

tras que, cuando , se cumple la igualdad a cero.

Ejemplo 2. Resolver la inecuación

.

Solución. Se nota que en este caso, la restricción es ; lo cual, en la Tabla de signos, designaremos con una “doble línea vertical”. Veamos:

Si

Si

Tengamos presente también que la desigualdad da-da es estricta ( ); o sea: no incluye el caso “igual a cero”. Esto, lógicamente, tendrá consecuencias a la hora de indicar el conjunto solución. Veamos:

5

De la tabla anterior, se deduce que el conjunto solu-

ciones reales de la inecuación

, corresponde

al siguiente:

Note que no se incluyen en el conjunto solución los números , por ser restricción, y , pues la desigualdad es estricta ( ), es decir: se descarta

el caso , pues en dicho valor la fracción

es

igual a cero.

Ejemplo 3. Resolver la inecuación

.

Solución. La restricción de la expresión anterior co-rresponde a . El numerador de dicha fracción

11

algebraica es una constante positiva (9). Por lo que la Tabla de signos sería:

El conjunto solución sería: .

Ejemplo 4. Resolver la inecuación

.

Solución. Empezamos observando que la fracción algebraica dada no será igual a cero para ningún valor de “ ”. El numerador es una constante nega-tiva ( ), por lo cual, a diferencia del ejemplo an-terior, su signo sí pesará en el intervalo solución. La restricción de la fracción es “ ”.

Por lo tanto, . Es muy importante re-saltar en este caso, que si en una inecuación uno de los factores es una constante negativa, ésta debe incluirse en la Tabla de signos, dado que su valor se-rá determinante en el conjunto solución.

Ejemplo 5. Resolver la inecuación

.

Solución. Observemos primero que la fracción alge-braica no posee restricciones dado que para todo . Además, dicho polinomio es una cantidad positiva para todo . El cero del numerador es .

12

Veamos la siguiente Tabla de signos:

El conjunto solución sería .

Ejemplo 6. Resolver la inecuación

.

Solución. El numerador de la fracción algebraica de la inecuación es siempre una cantidad positiva, ade-más “ ” para todo . Por otro lado, el denominador es una diferencia de cuadrados:

Habrá también dos restricciones: y . La Tabla de signos sería:

5

Así, .

Ejemplo 7. Resolver la inecuación

.

Solución. ¡ ! ¿Por qué? Porque tanto el nume-rador como el denominador de la fracción algebrai-ca son expresiones positivas para todo .

Ejemplo 8. Resolver la inecuación

.

13

Solución. ¡ ! ¿Por qué? Por lo indicado en el

ejemplo anterior, la fracción

es siempre posi-

tiva para todo ; aunque, es claro que dicha ex- presión no es igual a cero: “ ” para todo .

Ejemplo 9. Resolver la inecuación

.

Solución. ¡ ! ¡Sí, únicamente cero! ¿Por qué? Porque el numerador, “ ”, es una cantidad no ne-gativa, pero igual a cero cuando “ ”. Mientras que, el denominador, “ ” para todo .

Lo que nos lleva a afirmar que la fracción

no es

negativa, pero sí igual a cero.

Ejemplo 10. Resolver la inecuación

.

Solución. ¡ ! ¿Por qué?... Invitamos al estudian-te a buscar por sí mismo la justificación.

Ejemplo 11. Resolver la inecuación

.

Solución. Factorizando por inspección el numera-dor de la expresión tenemos que:

+

De donde . Por otro la-do, el denominador de la expresión algebraica dada es una diferencia de cuadrados, a saber:

Por lo que, la desigualdad dada es equivalente a:

14

Cuyos ceros son y ; mientras que sus restricciones son y ; por lo que la Tabla de signos incluiría cuatro factores distintos, de los cuales, las restricciones tendrán doble “línea vertical”. Le pedimos al estudiante analizar con cui-dado la siguiente Tabla de signos:

3

De donde el conjunto solución sería la unión:

Ejemplo 12. Resolver la inecuación

.

Solución. ¿Es una diferencia de cuadrados la expre-sión en ¡Sí claro! Pero debemos “disfra-

zar” el número “3” como “ ”. Veamos:

Por otro lado, el denominador se puede factorizar utilizando el método de inspección:

2

+

Así ; sien-do ésta una cantidad no negativa; sin embargo, por

15

ser un factor que está en el denominador su restri-cción es . La Tabla de signos correspondiente sería entonces:

Dado que la desigualdad es estricta ( ) el intervalo solución sería:

O bien:

.

Dado que la restricción es “ ” y se sabe que

.

Ejemplo 13. Resolver la inecuación

.

Solución. Factorizando por inspección tanto el nu-merador como el denominador, la inecuación sería equivalente a

Simplificando el factor “ ”, asumiendo la restri-cción “ ”, la inecuación es equivalente a

Por lo tanto, la Tabla de signos de la inecuación ori-

16

ginal sería esencialmente igual la Tabla de signos de

; la cual sería:

De donde el conjunto solución es .

Detengámonos en el análisis del conjunto anterior:

hemos indicado que la expresión

es equi-

valente a

; sin embargo, esto es cierto para todo

, excepto para ; pues en dicho valor la primera expresión produce una forma indetermi-

nada “

”.

IV. Ejercicios

Determine el conjunto de soluciones en de las ine-cuaciones siguientes.

(a) R:

(b) R:

(c) R:

(d) R:

(e) R:

(f) R:

(g) R:

(h) R:

17

(i) R:

(j) R:

(k)

R:

(l)

R:

(m)

R:

(n)

R:

(o)

R:

(p)

R:

(q)

R:

V. Otros tipos de inecuaciones

Algunas inecuaciones no lineales podrían incluir operaciones con fracciones algebraicas. En estos ca-sos, es recomendable efectuar las operaciones indi-cadas en alguno de los miembros de la inecuación, para que de esta manera podamos construir una Ta-bla de signos, como las estudiadas anteriormente.

V.1 Ejemplos

Ejemplo 1. Resolver la inecuación

.

Solución. ¡Cuidado! Otra vez sería muy tentador multiplicar ambos miembros de la inecuación, por el factor “ ” (por supuesto con la restricción ), para de esa manera simplificar dicho fac-tor del miembro izquierdo; o como decimos de for-

18

ma muy informal: “pasar a multiplicar al miembro derecho el denominador ”; pues, al ser un fac-tor variable, no tendríamos la certeza de aplicar o no las leyes citadas anteriormente (ver págs 8 y 9). Por tal razón, es más recomendable restar “1” a los miembros de la inecuación, para que así, la misma quede “comparada con 0”. En otras palabras:

Tenemos ahora la tarea, nada complicada, de efec-

tuar la operación “

”; cuyo común denomina-

dor es “ ”; de esta manera:

Con lo cual, la inecuación original quedaría:

Estamos ante una inecuación del caso “

”; estu-

diadas anteriormente. Veamos la Tabla de signos:

El conjunto solución sería .

Ejemplo 2. Resolver la inecuación

.

Solución. ¡Cuidado con la tentación de “multiplicar de forma cruzada” los denominadores! Debemos agrupar en alguno de los miembros de la inecuación los términos involucrados; por ejemplo: podríamos

19

“pasar” a restar el término

para que la inecua-

ción quede comparada con cero. Veamos:

Efectuando la resta del miembro izquierdo:

Simplificando, la inecuación original sería equiva-lente:

Tomando “5” a factor común en el numerador:

La Tabla de signos corresponde a:

De donde .

VI. Ejercicios

Determine el conjunto de soluciones en de las ine-cuaciones siguientes.

(a)

R:

20

(b)

R:

(c)

R:

(d)

R:

(e)

R:

(f)

R:

(g)

R:

(h)

R:

(i)

R:

(j)

R:

(k)

R:

(l)

R:

(m)

R:

(n)

R:

(o)

R:

21

22