Didaktika matematiky KAG/MDIM7

Stereometrie a prostorová představivost

„Představivost je překrásnou a ohromující schopností člověka. Rozvinutá prostorová představivost je důležitým prvkem obecné kultury. Geometrie, která vyžaduje představovat si geometrické útvary v jejich ideální přesnosti a logické určenosti, dodává prostorové představivosti na jemnosti, přesnosti a vytříbenosti.

A. D. Alexandrov

Motto:

Geometrii lze chápat jako:

způsob vidění a poznávání světa,podtext některých filosofických směrů,grafickou komunikaci - způsob

„zápisu“ informací,součást matematiky s hojnými

vazbami k praxi,vyučovací předmět, ve kterém se

rozvíjí geometrická představivost.

StereometrieVýchovné cíle :- Rozvoj prostorové představivosti- Rozvoj logického myšlení

Vzdělávací cíle: - Úlohy polohy (vzájemné polohy, ax. systém)- Metrické úlohy (definice, kriteria)- Tělesa (tvary, objemy, povrchy, řezy..)- Shodná zobrazení v prostoru - Zobrazování prostorových situací (VRP, MP)

Problémy prostorové podněty se hůře kládají v mozku obtížnost vztahů 3D situace nelze zobrazit přímo ve 2D, nýbrž

prostřednictvím různých zobrazovacích metod

Volné rovnoběžné promítání

Kombinace VRP a KP

Mnohostěny

- viz DM 14a Mnohostěny - viz DM 14b V prostoru

Geometrická představivost

je schopnost představovat si vlastnosti geometrických útvarů:

tvar,polohu,velikost,umístění.

Nikdy není tak zle…

… aby nemohlo být hůř.

Co to je prostorová představivost ?

Perenčaj a Repáš (1985):

„Mohli by sme povedať, že je to akési videnie priestoru. Problém je v tom, že nestačí priestor vidieť, ale je nutné si ho i zvedomovať.“

Gardner (1999)

Pod pojem prostorová představivost zahrnuje prostorovou inteligenci, jejímž jádrem jsou schopnosti, které zajišťují přesné vnímání vizuálního světa, umožňují transformovat a modifikovat původní vjemy a vytvářejí z vlastní zkušenosti myšlenkové představy, i když žádné vnější podněty nepůsobí.

Geometrická prostorová

představivost

soubor schopností týkajících sereprodukčních i anticipačních,statických i dynamických představ o tvarech, vlastnostech a vzájemných vztazích mezigeometrickými útvary v prostoru.

(Molnár 2004)

Na úroveň prostorové představivosti mají vliv

vnitřní faktoryvnitřní faktory

hladina pohlavních hormonů v prenatálním stadiu vývoje jedince, jejich aktuální stav v organizmu, celkový stav organismu,

vnější faktory vnější faktory

geografické, sociální a kulturní prostředí,

výchova a učení. 

Metodika rozvoje prostorové představivosti

Model (+„vzdušná“ geometrie) Obrázek (+anaglyfy, stereomerické

diapozity, 3-D, počítačové simulace atd.)

Představa

Ze školních kuloárů

„Úroveň prostorové představivosti i znalostí ze stereometrie žáků se snižuje.“

Longitudální šetření …úrovně prostorové představivosti

V letech 1984 – 1987 bylo prověřeno 870 žáků 2. stupně základních škol, všech tří proudů středních škol a studentů učitelství všeobecně vzdělávacích předmětů.

Ve školním roce 2007/2008 byl celkový počet respondentů 536 ze sedmi středních škol.

Zadání didaktického testu

1. úloha: rozviňte plášť krychle všemi možnými způsoby (4 body).

2. úloha: načrtněte těleso, které lze bez mezer protáhnout všemi vyznačenými otvory (4 body).

3. úloha: naviňte na krychli drát podle tří průmětů.(3 body)

bokorys nárys půdorys

4. úloha: načrtněte bokorys a názorný obrázek tělesa, znáte-li jeho nárys a půdorys (4 body).

nárys půdorys

Výsledky

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

rok 1984-1987

rok 2007-2008

…znalostí z učiva stereometrie

V letech 1984/1985 bylo prověřeno 523 žáků 14 základních a středních škol.

V roce 2007/ 2008 bylo prověřeno 451 respondentů z 9 škol.

Test znalostí z učiva stereometrie

Příklad 1Je dán trojboký kolmý hranol (viz obr.). Určete:a) dvě dvojice mimoběžek,b) libovolnou přímku rovnoběžnou s rovinou ABB´,c) dvě různoběžné roviny,d) jejich průsečnici.

Příklad 2Těleso je složeno z válce a polokoule. Válec má výšku 42 cm a průměr 30 cm shodný s průměrem polokoule. Vypočtěte objem tohoto tělesa.

Příklad 3

Věžička má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou 0,8 m. Výška věžičky je 1,2 m. Vypočtěte spotřebu barvy na natření této věžičky, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m2.

Příklad 4Kostka má vždy sousední stěny natřené stejnou barvou. Je rozřezána na malé kostičky. Napište, kolik kostiček je natřeno:a) pouze jednou barvou,b) pouze dvěma barvami,c) pouze třemi barvami,d) žádnou barvou.

Sledovaný jev Relativní četnost v %

(1984/1985) (2007/2008)

1. a) určení mimoběžekb) určení rovnoběžné přímky c) určení různoběžných rovind) určení průsečnice e) symbolické zápisy

6871674965

5142311640

2. NáčrtDosazení do vzorce (válec) Dosazení do vzorce (koule)Určení objemu polokouleUrčení objemu tělesaOdpověď

218559453912

71783626260

3. NáčrtStanovení výpočtu QVzorec pro SZnalost Pythagorovy větyUžití Pythagorovy větyUrčení spotřeby barvyOdpověď

209

142412133

534918241210

4. a) počet kostek s 1 barvoub) počet kostek se 2 barvamic) počet kostek se 3 barvamid) počet kostek bez barvy

30182618

34342826

(1984/1985) (2007/2008)

Výsledky

0

10

20

30

40

50

60

70

80

a b c d e

rok 1984-1985

rok 2007-2008

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6

rok 1984-1985

rok 2007-2008

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8

rok 1984-1985

rok2007-2008

0

5

10

15

20

25

30

35

a b c d

rok 1984-1985

rok 2007-2008

Závěr:

Výsledky poukazují na snižující se

úroveň prostorové představivosti i

znalostí ze stereometrie.

Pomocí Amthauerova I-S-T bylo testováno 60 dívek a 44 chlapců ve věku 15 let (PPP Olomouc – profesní orientace) porovnávány byly výsledky naměřeného IQ s výsledky subtestu č. 8 (Úlohy s kostkami) pomocí programu STATISTICA.

Byla prokázána korelace mezi všeobecnou inteligencí a prostorovou představivostí (korelační koef. 0,425) na hladině významnosti 0,01.

Všeobecná inteligence a geometrická představivost

U 54 chlapců a 54 dívek byla pomocí Studentova t-testu prokázána korelace (0,7212) výsledků subtestu Cubes a všeobecného IQ získaných prostřednictvím Wechslerova testu inteligence WISC III.

IQ a PP - WISC III

Existuje vztah mezi matematickými schopnostmi a všeobecnou inteligencí u nadprůměrně nadaných jedinců?

22 dívek, 24 chlapců, 16-18 let, I-S-T 2000 R, PPP Ostrava (E. Witásková)

IQ Průměr

r

Celkový 126,33 1,00

Verbální 126,57 0,39

Numerický

120,50 0,55

Figurální 119,37 0,46

Některé příčiny nízké úrovně prostorové představivosti

Motto:

„ Geometrie je do školy nevhodná.“

Posluchačka M-X při zkoušce z KG

- nedocenění významu prost. představivosti, - nedostatečná časová dotace,- malá připravenost učitelů,- nerespektování ped.-psych. zásad,- opomíjení stereometrických úloh u přij. zkoušek,- aj.

Zjištěné příčiny:

Analogie ve vyučování stereometrii Využívá se analogie mezi uspořádáním objektů v

rovině (bod, přímka) a v prostoru (bod, rovina) k urychlení výkladu alepšímu zapamatování učiva.

Např.: „V rovině lze vést daným bodem k dané přímce jedinou rovnoběžku.“ Analogicky: „V prostoru lze vést daným bodem jedinou rovnoběžnou rovinu s danou rovinou.“

Ale pozor! „V rovině lze daným bodem vést k dané přímce jedinou kolmici.“ Ale „V prostoru lze daným bodem vést k dané rovině nekonečně mnoho kolmých rovin.“ Analogie zde nefunguje.

Nicméně lze nalézt jinou analogii: „ V prostoru lze daným bodem vést jedinou kolmici k dané rovině.

Další směry výzkumu

Lateralita a prostorová představivost Prostorová představivost mužů a žen Prostorová představivost a mimořádné nadání

(např. pomocí magnetické rezonance)