Střední průmyslová škola strojnická Tábor

Komenského 1670

Studijní obor Technické lyceum

Užití diferenciálního a integrálního počtu v praxi

Závěrečná ročníková práce

Autor: Miroslava Knotová Třída: 4.La

Školní rok: 2005/2006

Vedoucí učitel: Mgr. Markéta Štěpková

Konzultant: Mgr. Marie Jelenová

2

„Prohlašuji, že jsem tuto práci zpracovala samostatně a uvedla jsem veškeré použité

informační prameny.“

V Táboře dne 27. 3 2006

Miroslava Knotová

3

Anotace

Tématem práce je využití diferenciálního a integrálního počtu v praxi. V první části je

popsána historie matematické analýzy. V druhé části je rozebrán diferenciální počet,

ve třetí části integrální počet. Obě tyto části jsou doplněny o praktické příklady. Čtvrtá část

obsahuje další praktické využití derivací a integrálů, konkrétně v technických výpočtech.

The theme of the final work is the use of differential and integral calculus in practise.

There is a history of the mathematical analysis described in the first part. There are

differential and integral calculus described in the other two parts. These parts are

completed with practical examples from different areas. There are other practical

examples of using derivatives and integrals in the technical calculations in the fourth part.

4

Obsah

1 Úvod ……………………………………………………………………………. 5

2 Historie …………………………………………………………………………. 6

3 Diferenciální počet …………………………………………………………….. 8

3.1 Derivace funkce ………………………………………………………. 8

3.1.1 Geometrický význam derivace …………………………………… 8

3.1.2 Fyzikální význam derivace ………………………………………. 10

3.2 Základní vzorce pro počítání derivací ………………………………… 11

3.3 Derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí ……………………. 12

3.4 Derivace složené funkce ………………………………………………. 12

3.5 Vyšší derivace ………………………………………………………… 13

3.6 Užití diferenciálního počtu ……………………………………………. 13

4 Integrální počet ………………………………………………………………… 21

4.1 Primitivní funkce / neurčitý integrál ………………………………….. 21

4.2 Základní vzorce pro určení primitivní funkce ………………………… 22

4.3 Integrační metody……………………………………………………… 23

4.4 Určitý integrál ………………………………………………………… 23

4.5 Používané vzorce při výpočtu určitého integrálu …………………….. 23

4.6 Užití integrálního počtu ………………………………………………. 23

4.7 Ukázkové příklady, kde se využívá integrálního počtu ………………. 24

5 Příklady použití diferenciálního a integrálního počtu v technických výpočtech 31

5.1 Mechanika tekutin ……………………………………………………. 31

5.2 Mechanika tuhého tělesa ……………………………………………… 33

5.3 Kinematika ……………………………………………………………. 42

6 Závěr …………………………………………………………………………… 46

7 Seznam použitých informačních zdrojů ……………………………………….. 47

5

1 Úvod

Studuji technické lyceum, obor architektura. Odbornou praxi jsem absolvovala

v Geodetické kanceláři Ing. Karla Práška v Milevsku. Během praxe jsem měla možnost

pracovat v terénu a vyzkoušet si práci s geodetickými přístroji, zaměřování a částečně se

seznámit s historií geodézie. Praxe byla pro mě velmi zajímavá a poučná.

Pro závěrečnou ročníkovou práci jsem si zvolila téma z matematiky. Mým cílem bylo

poukázat na skutečnost, že se matematika vyučuje za účelem jejího aplikování v praxi a

nikoliv jen jako suma vzorců vytržených z kontextu.

Pro naplnění tohoto cíle jsem vybrala téma diferenciální a integrální počet. V úvodu je

naznačena historie matematické analýzy. Dále je práce rozdělena na tři části. V první části

jsem shrnula teoretická východiska diferenciálního počtu a doplnila je o praktické příklady

jeho využití. V druhé části následuje integrální počet s dalšími ukázkami praktického

využití. Protože studuji technicky zaměřenou školu, zařadila jsem, s pomocí učitelů

odborných předmětů, třetí část týkající se použití derivací a integrálů v technických

výpočtech, např. v kinematice, mechanice tekutin a tuhých těles.

6

2 Historie

Vznik matematické analýzy spadá do doby kolem roku 1670, kdy nezávisle na

sobě anglický matematik, fyzik a astronom Isaac Newton (1643-1727) a německý

matematik, fyzik, filozof, právník a diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

vytvořili diferenciální a integrální počet zvaný dnes matematická analýza. Do

matematických úvah se dostávají veličiny infinitezimální (tj. veličiny nekonečně malé a

nekonečně velké). Pomocí matematické analýzy se podařilo vyřešit mnoho fyzikálních a

technických problémů, které se doposud řešit nedaly.

Práce obou zakladatelů diferenciálního a integrálního počtu navazovaly na řadu

předchůdců. Jeden z nejvýznamnějších byl francouzský matematik René Descartes (1596-

1650), který vyložil základní principy analytické geometrie a významně ovlivnil další

vývoj matematiky. Francouzský matematik Pierre de Fermat (1601-1665) se dostal

k analytické geometrii. Najdeme u něho rovnice přímky a kuželoseček. Ve svých pracích

předjal některé myšlenky infinitezimálního počtu – objevil metodu určování maxim a

minim, určoval tečny ke křivkám, obsahy ploch a objemy těles. Další z předchůdců byl

učitel Newtonův, anglický matematik Isaac Barrow (1630-1677). Styl infinitezimálních

úvah ve svých pracích ukázal také např. německý matematik a astronom Johann Keller

(1571-1663).

Objev infinitezimálního počtu zahájil plodné tvůrčí období matematiků. Leibnizovy

metody převzali bratři Jakob Bernoulli (1654-1705) a Johann Bernoulli (1667-1748).

Nejvýznamnějším matematikem 18. století byl Leonhard Euler (1707-1783). Zajímal

se o všechna odvětví matematiky, která byla známá v jeho době a dal podnět k rozvoji

dalších matematických disciplín. Jeho dílo Introductio in analysis infinitorum vykládá

znalosti potřebné pro diferenciální a integrální počet a lze jej považovat za první učebnici

analytické geometrie.

Další matematici, kteří se zasloužili o rozvoj matematické analýzy: francouzský

matematik Joseph Louis Lagrange (1736-1816), filozof Bernard Bolzano (1781-1848),

francouzský matematik Augustin Louis Cauchy (1789-1857), který kolem roku 1820

zavedl pojem limita funkce a podstatně přispěl k upřesnění základních pojmů matematické

analýzy. Upřesnění matematické analýzy završil německý matematik Karl Weierstrass

(1815-1897) tím, že jí dal aritmetický základ, s čímž souvisely představy o tom, co je

7

reálné číslo. Němečtí matematici Georg Cantor (1845-1918) a Richard Dedekind (1831-

1916) užili různých postupů k vybudování přesného logického základu pojmu reálné číslo.

Cauchy, který je považován za tvůrce moderní matematické analýzy, vybudoval teorii

integrálu pro spojité funkce jedné proměnné. O další pokrok v teorii integrálu se zasloužil

německý matematik Bernard Riemann (1822-1866). Riemannův způsob integrování blíže

vysvětlil a upřesnil francouzský matematik Gaston Darboux (1842-1917). Samozřejmě

matematiků, kteří významně přispěli k rozvoji matematické analýzy bylo zdaleka víc. Zde

jsou uvedeni jen někteří nejvýznamnější.

I čeští matematici přispěli určitou měrou k rozvoji matematické analýzy. V Čechách

žijící Bernard Bolzano matematik, filozof, logik italsko německého původu, který zpřesnil

základní pojmy matematické analýzy, jako je limita, spojitost a derivace funkce. První

původní práci z infinitezimálního počtu v Čechách vydal matematik a astronom Joseph

Stepling (1716-1778). Za další matematiky jmenujme např. Jana Tesánka (1728-1788),

Stanislava Vydru (1741-1804), Františka Josefa Studničku (1836-1903) a mnoho jiných.

8

3 Diferenciální počet 3.1 Derivace funkce

o derivace funkce je speciální případ limity

o pojem derivace funkce označujeme funkci

3.1.1 Geometrický význam derivace

Na obrázku je vidět část grafu funkce y = f(x), tečna t v dotykovém bodě

T[x0 , f(x0)], pak sečna s určená bodem T a bodem S[x0+h, f(x0+h)]. Směrový úhel sečny je

označen ϕ , směrový úhel tečny je označenα . Směrnice sečny je :

hxfhxf

xhxxfhxf

tgks)()(

)()()( 00

00

00 −+=

−+−+

== ϕ .

Ze sečny s se stane tečna ve chvíli, kdy bod S přejde po části grafu funkce )(xfy = do

bodu T. Přitom se stále zmenšuje hodnota h, pro směrnici tečny tedy platí:

hxfhxf

tgtgkhTt

t)()( 00

0limlim

−+===

>−>−αα .

9

Derivace funkce v bodě

o pojem derivace funkce v bodě označujeme konkrétní číslo

o limitu h

xfhxfh

)()( 00

0lim

−+>−

nazýváme derivací funkce )(xfy = v bodě x0,

označujeme ji obvykle )( 0xf ′ a píšeme h

xfhxfxf

h

)()()( 00

00 lim

−+=′

>−

o derivace funkce v bodě geometricky představuje směrnici tečny funkce v bodě,

tečna je určena bodem T [x0 , f(x0)] a směrnicí )( 0xfk ′= , rovnice tečny je

t: )()( 00 xxkxfy −=−

o normála n je kolmice na tečnu v bodě dotyku, její rovnice je:

)(1)( 00 xxk

xfy −−=−

Odvození některých derivací z definice:

a) NnRxxyf n ∈∈= ,,:

102

)1(

)2

)1((2

)()()()()(:

120

10

0

120

10

0

022

011

00

0

00

0

00

000

lim

limlim

limlim

−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+=

=+−+

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

=−+

=−+

=′∈∀

==========

−−−

>−

−−−

>−

−−

>−

>−>−

nhhxnnnx

h

hhxnnnxh

h

xhhxn

hnxx

hxhx

hxfhxf

xyRx

nxnnn

h

nnn

h

nnnnn

h

nn

hh

( ) 1−=′ nn nxx

b) xyf cos: =

022

sin

22

2sin

22

sin22

sin2

2sin2

)cos()cos()()()(:

sinlim

limlim

limlim

0

0

0

0

0

0

00

0

00

000

xhx

h

hhx

h

hhxh

xhxh

xfhxfxyRx

h

hh

hh

−===========>−

>−>−

>−>−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=

=

+−

=

+−

=

=−+

=−+

=′∈∀

Rx∈∀ xx sin)(cos −=′

Použité vzorce: 2

sin2

sin2coscos βαβαβα −+−=− 1sinlim0

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

>− xx

x

10

3.1.2 Fyzikální význam derivace

)()( 12 tftf − …dráha za čas 12 tt −

Derivace s´(t0) funkce s v bodě t0, kde t je čas a s dráha pohybu, je okamžitá rychlost

v čase t0.

Příklad

Po přímce se pohybuje bod, a to tak, že dráha, kterou urazí od zvoleného počátku, je funkcí

času. Vyjádříme to funkční rovnicí s = f(t), kde s je dráha (závisle proměnná) a t čas

(nezávisle proměnná). Jsou-li t1 a t2 dva okamžiky ( t1 < t2 ), udává rozdíl f(t2) – f(t1) dráhu,

kterou bod urazil za čas t2 – t1. Podíl

12

1221

)()(tt

tftftsv

−−

=∆∆=>−

je průměrná rychlost bodu v čase od t1 do t2 (∆ s je přírůstek dráhy a ∆ t přírůstek času).

Tato průměrná rychlost je rovna skutečné rychlosti pohybu jen když jde o pohyb

rovnoměrný. Jinak je třeba, aby časový interval byl co nejkratší, aby průměrná rychlost

charakterizovala nerovnoměrný pohyb.

Bude-li se tedy časový interval (přírůstek) zmenšovat a blížit nule (∆ t −> 0), pak

ttfttfv

t ∆−∆+

=>−∆

)()( 11

01 lim ,

což je okamžitá rychlost zmíněného pohybu v okamžiku t1. 1

1 Derivace rychlosti je zrychlení -> volný pád 2

21 gts = g….konstanta, t…proměnná

)(tsv ′= gtv = ; )(tva ′= ga =

11

3.2 Základní vzorce pro počítání derivací

)(xf podmínky Df )(xf ′ fD ′

k Rk ∈ R 0 R nx Nn∈ R 1−nnx R nx −∈ Zn { }0\R 1−nnx { }0\R

nx ZRn \∈ ),0( +∞ 1−nnx ),0( +∞

xsin R xcos R

xcos R xsin− R tgx { }0cos; ≠∈ xRx

x2cos1 { }0cos; ≠∈ xRx

gxcot { }0sin; ≠∈ xRx x2sin

1− { }0sin; ≠∈ xRx

xe R xe R xa 1,0 ≠> aa R aa x ln R

xln ),0( +∞ x1

),0( +∞

xalog 1,0 ≠> aa ),0( +∞ ax ln

1 ),0( +∞

xarcsin 1,1− 21

1

x−

)1,1(−

xarccos 1,1− 21

1x−

− )1,1(−

arctgx R 21

1x+

R

gxarc cot R 21

1x+

− R

12

3.3 Derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí

o vzorce, které nám usnadňují výpočty derivací

[ ] )()()()( 0000 xgxfxgxf ′+′=′+ [ ] )()()()( 0000 xgxfxgxf ′−′=′−

[ ] )()()()()()( 000000 xgxfxgxfxgxf ′⋅+⋅′=′⋅

)(

)()()()()()(

02

0000

0

0

xgxgxfxgxf

xgxf ′⋅−⋅′

=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Příklad 1.

46)5()4()3(543

2

2

+=′+′+′=′++=

xxxyxxy

Příklad 2.

xxxxyxxy

23)()( 223

23

−=′−′=′−=

Příklad 3.

xtgxxx

xtgxxtgxy

xtgxy

2cos

1)()( 22

22

2

⋅+⋅=′⋅+⋅′=′

⋅=

Příklad 4.

xxxx

xxxxxy

xxy

22

22

2 cos1

cossincos

cos)(cossincos)(sin

cossin

=+=′⋅−⋅′=′

′⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

3.4 Derivace složené funkce

[ ] )())(())(( xgxgfxgf ′⋅′=′

Příklad 1.

( ) ( )xxy

xy

sincos5

)(cos4

5

−⋅=′

=

Příklad 2.

( )xxx

xy

xy

ln211ln

21ln

21

=⋅=′

=−

13

3.5 Vyšší derivace

o má-li funkce )(xf ′ derivaci v určitém bodě Mx ∈0 , pak tuto derivaci

nazýváme druhá derivace funkce )(xf v bodě 0x a značíme ji )(xf ′′

o obdobně definujeme derivaci třetího, čtvrtého, pátého, …, n-tého řádu,

označujeme je VIV fff ,,′′′ nebo )5()4()3( ,, fff

Příklad 1.

666

263 2

=′′+=′

−+=

yxy

xxy

Příklad 2.

22

1

1)(1

1ln

xxy

xx

y

xy

−=⋅−=′′

==′

=

−

−

3.6 Užití diferenciálního počtu

o určování důležitých / význačných vlastností funkce

• Monotónnost funkce

• Lokální extrémy

• Konvexnost a konkávnost funkce, inflexní bod

• Asymptoty grafu funkce

zjištění průběhu funkce a pozdější přesné sestrojení jejího grafu

Při hledání využití diferenciálního počtu v praxi jsem zjistila, že diferenciální počet

nachází největší uplatnění při výpočtu extrémů. Znalost lokálního extrému umožňuje např.

optimalizovat konstrukci nebo provoz zařízení (ukázka výpočtu minimálních nákladů na

pořízení elektrického vedení v příkladu 2. nebo minimálních rozměrů nádrže v příkladu

1.). Diferenciálního počtu se dále využívá při analýze pohybů pro vyloučení kolize při

známých rozměrech prvků, jak je naznačeno v příkladu 5.

14

Příklad 1.

Zjistěte rozměry otevřené požární nádrže se čtvercovým dnem o objemu 32m3 tak, aby na

vyzdění jejích stěn a dna bylo třeba nejmenší množství materiálu.

Ověření:

min0

42

2562

)4(

)4(

3)(

>′′+=′′

+=′′

S

Sa

S a

Rozměry požární nádrže se čtvercovým dnem jsou: stěna dna je 4m a hloubka 2m.

aaS

aaaS

avaS

a128

324

4

2)(

22

2

+=

⋅+=

+=

maa

aa

aa

Sa

aS

a

a

464

1282

01282

0

1282

3

2

2

)(

2)(

==

=

=−

=′

−=′

mv

v

2432

2

=

=

2

2

3

3232

3232

av

vavaa

mV

=

=⋅=⋅⋅

=

15

Příklad 2.

Pořizovací náklady elektrického vedení jsou závislé na průřezu S vedení a na ztrátách

elektrického proudu ve vedení vztahem SkSky 2

1 += , kde 21 , kk jsou kladné konstanty.

Určete průřez S tak, aby pořizovací náklady byly minimální.

Ověření:

min0

2

20

1

2

1

2 3

1

2

2

32

)(

>′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′′

+=′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

kk

kk

s

y

kk

ky

Sky

1

2

1

22

22

1

22

1

)(

22

1)(

21)(

0

0

kkS

kkS

Skk

Skk

ySkky

SkSky

s

s

s

=

=

=

=−

=′

−=′

+=

16

Příklad 3.

Tvrdý papír tvaru obdélníku má rozměry 60cm a 28cm. V rozích se odstřihnou stejné

čtverce a zbytek se ohne do tvaru otevřené krabice. Jak dlouhá musí být strana

odstřižených čtverců, aby objem krabice byl největší?

cmx

x

nevyhovujex

x

Dxx

xx

V

xxV

xxxVxxxV

xxxxVxxxV

cbaV

x

x

x

6

66

363123

6140

65288

27040420883

0168035212

0

123521680

41761680)41761680(

)4561201680()228()260(

2

1

2.1

2

2

)(

2)(

32

)(

2

2

=

==

==

±=

==+−

=+−

=′+−=′

+−=

⋅+−=⋅+−−=

⋅−⋅−=⋅⋅=

Ověření:

Strana musí být 6 cm.

max0

208144352624352

24352

)6(

)6(

)(

<′′−=+−=⋅+−=′′

+−=′′

V

V

xV x

17

( )

( )

037031cos

0cos31

0cos31sin

25

0

cos31sin

25sin

25sin

cos75

cot2560sin

75

5)cot512(15sin

5

2

)(

2)(

22)(

)(

)(

′=

=

=−

=−⋅

=′

−⋅=′

+⋅−=′

⋅−+=

⋅⋅−+⋅=

o

y

y

y

gy

gy

α

α

α

αα

αα

ααα

αα

αα

α

α

α

α

α

Příklad 4.

Průmyslový závod Z je vzdálen 5km od silnice vedoucí do města M. Vzdálenost závodu Z od města M je 13km. Určete, pod jakým úhlemα je třeba vybudovat cestu k silnici, aby doprava materiálu ze Z do M byla nejlevnější. Předpokládané náklady na přepravu 1t materiálu na 1km jsou po silnici 5Kč a po vybudované cestě třikrát větší. 1t, 1km … po silnici 5Kč po vybudované cestě 15Kč

αα

α

α

α

gNM

gON

ONg

ZN

ZN

kmOM

cot512

cot55

cot

sin5

5sin

12144513 22

⋅−=

⋅=

=

=

=

==−=

cena: 515)( ⋅+⋅= NMZNy α Cestu k silnici je potřeba vybudovat pod úhlem 0370 ′o .

18

Příklad 5.

Dva pracovní prvky balícího automatu se pohybují po různoběžných, přímých navzájem kolmých drahách stálou rychlostí 12 −⋅= smv směrem k průsečíku drah. V čase st 00 = je jeden pracovní prvek vzdálen od průsečíku drah 1m, druhý 2m. a) Určete čas t v sekundách, ve kterém bude vzdálenost pracovních prvků balícího automatu nejmenší. b) Určete minimální vzdálenost pracovních prvků balícího automatu d v metrech.

a) ( ) ( )222 2221 ttd −+−= 0)( =′td

( ) ( )22)( 2221 ttd t −+−=

( )51282

121602 +−−=

ttt

22

)( 484441 ttttd t +−++−= 12160 −= t

5128 2)( +−= ttd t st 75,0=

( )

512821216

2)(+−

−=′tt

td t

důkaz, že pro t = 0,75 s nastává minimum

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )min0>

512851284

512845128

1216512832

51284

1216512821212165128216

51282

1216

)(

22

2

)(

2

2

22

)(

2

21

22

)(

21

2)(

t

t

t

t

t

dtt

ttd

tttt

tttd

tt

ttttttd

tt

td

′′+−

+−⋅=′′

+−⋅+−

−−+−⋅=′′

+−⋅

−⋅+−⋅⋅⋅−−+−⋅=′′

+−

−=′

−

19

b) ( ) ( )222 2221 ttd −+−=

( ) ( )

mdd

dd

71,05,0

25,025,075,02275,021

2

222

==

+=⋅−+⋅−=

Pro nejmenší vzdálenost pracovních prvků balícího automatu bude čas 0,75s, minimální vzdálenost pracovních prvků balícího automatu bude 0,71m.

Příklad 6.

Bylo zjištěno, že zisk z prodeje závisí na investicích do reklamy. Určete částku, kterou je třeba investovat do reklamy, aby byl zisk z prodeje maximální?

80200)( 2 ++−= aaaf 1500 ≤≤ a a=investice v tisících Kč

10002002

0)(2002)(

80200)( 2

==+−

=′+−=′

++−=

aaaf

aafaaaf

Ověření:

max0)(2)(

<′′−=′′

afaf

Je třeba investovat 100 000 Kč.

Příklad 7.

Akumulátor má elektromotorické napětí eU a vnitřní odpor iR . Jaký vnější odpor R je nutno zapojit, chceme-li ve vnějším proudovém okruhu získat největší výkon? Určete tento maximální výkon.

iRR + ..celkový odpor R …proměnná

eU , iR …konstanty

( )222

2

i

e

i

e

RRRU

RRU

RIRIUP+⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=⋅=⋅=

20

( )( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )

0

0

0

222

2

32

)(

32

)(

42

)(

4

222

)(

4

2222

)(

4

22

)(

22

)(

=−

=+−

⋅

=′+−

⋅=′

++⋅−

⋅=′

+−

⋅=′

+−−++

⋅=′

++−+

⋅=′

+⋅=

RRRR

RRU

PRR

RRUP

RRRRRR

UP

RRRR

UP

RRRRRRRRR

UP

RRRRRRR

UP

RRRUP

i

i

ie

R

i

ieR

i

iieR

i

ieR

i

iiieR

i

iieR

ieR

iRR = …vnější odpor=vnitřnímu odporu zdroje

( )

( )

i

e

i

ie

i

e

RUP

RRUP

RRRUP

4

22

max

2

2

max

2

2

=

⋅=

+⋅=

Důkaz, že pro iRR = bude výkon maximální:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )( )

max0)(16

2)(

42)(

42)(

33)(

31)(

42

42

42

6

22

6

232

<′′

−=′′

+−=′′

+−=′′

++−−−⋅+=′′

++⋅−−+⋅−=′′

i

i

iei

i

iei

i

ie

i

iiie

i

iiie

RPRRURP

RRRRURP

RRRRURP

RRRRRRRRURP

RRRRRRRRURP

Maximální výkon akumulátoru je i

e

RU4

2

.

21

4 Integrální počet Základním úkolem je určit k dané funkci v daném intervalu funkci primitivní.

4.1 Primitivní funkce / neurčitý integrál

o funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervalu I, jestliže pro všechna Ix∈ platí

)()( xfxF =′

o je-li funkce F v intervalu I primitivní funkcí k funkci f, pak každá primitivní funkce

k funkci f je ve tvaru cxF +)( , kde c je libovolná konstanta, tzv. integrační

konstanta

o ke každé funkci spojité v intervalu existuje v tomto intervalu primitivní funkce

o vyhledáme-li neurčitý integrál dané funkce, říkáme, že jsme danou funkci

integrovali. Integrování je obrácený výkon k derivování

Geometrická interpretace

o když známe graf jedné primitivní funkce F k funkci f v intervalu I, pak grafy

všech primitivních funkcí k funkci f v intervalu I dostaneme posunutím grafu

funkce F ve směru osy y

22

4.2 Základní vzorce pro určení primitivní funkce

)(xf podmínky ∫= dxxfXH )()( H je primitivní funkcí k f v

intervalech

0 C

k Rk ∈ ckx + R nx Nn∈

cnxn

++

+

1

1

R

nx −∈ Zn { }1\ − c

nxn

++

+

1

1

)0,(−∞ , ),0( +∞

nx ZRn \∈ c

nxn

++

+

1

1

),0( +∞

x1

cx +ln )0,(−∞ , ),0( +∞

xsin cx +− cos R

xcos cx +sin R

x2cos1

ctgx + Zkkk ∈⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++− ,

21,

21 ππππ

x2sin1 cgx +− cot Zkkk ∈+ ),,( πππ

xe cex + R xa 1,0 ≠> aa

ca

ax

+ln

R

211

x−

cx +arcsin )1,1(−

211x+

cgxarc +cot R

23

4.3 Integrační metody

o metoda per partes – po částech

∫∫ ⋅′−⋅=′⋅ dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()(

o metoda substituce – nahrazení

[ ] ∫∫ =′⋅ dttfdxxgxgf )()()( , kde )(xgt =

4.4 Určitý integrál

o určitý integrál funkce f v mezích od a do b je rozdíl funkčních hodnot

F(b) – F(a), kde F je primitivní funkce k funkci f v intervalu I

o značí se ∫b

a

dxxf )(

4.5 Používané vzorce při výpočtu určitého integrálu

o obsah rovinného obrazce ∫=b

a

dxxfS )(

o objem rotačního tělesa ∫=b

a

dxxfV )(2π

o délka křivky ( )[ ]∫ ′+=b

a

dxxfl 21

o práce, kterou síla vykoná při přemístění tělesa ∫=b

a

dxxFW )(

o práce při změně objemu plynu ∫=2

1

)(V

V

dVvpW

o dráha přímočarého pohybu ∫+=1

0

)(0

t

t

dttvss 10 , ttt∈

4.6 Užití integrálního počtu

o integrální počet má velký význam při studiu přírodních a technických věd o užití integrálního počtu je velmi široké o pomocí určitého integrálu je možné počítat nejen obsahy některých rovinných

útvarů, ale i objemy a povrchy rotačních těles a délky rovinných křivek o široké je využití integrálního počtu ve fyzice (např. výpočet práce, rychlosti,

dráhy, aj.) a fyzikální chemii

24

4.7 Ukázkové příklady, kde se využívá integrálního počtu:

Příklad 1.

Určete délku křivky : 4,03 ∈∧= xxy

( )[ ]∫ ′+=b

a

dxxfl 21 …délka křivky

( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+=

4

0

231 dxxl

substituce:

Délka křivky je ( ) j11000278 − . 2

2 j … jednotka

dtdx

dxdt

xt

9449

491

=

=

+=

[ ]( ) jl

tl

tl

dttl

dxxl

dxxl

dxxl

11000278

32

94

32

94

94

491

231

1

10

13

10

1

23

10

1

21

4

0

4

0

2

21

4

0

2

23

−=

⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫

∫

∫

∫

25

Příklad 2. Určete objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami

0222 =−+ xyx , xy = kolem osy x .

1)1(112

02

22

22

22

=+−=++−

=−+

yxyxx

xyx

kružnice : [ ]0,1S 1=r

xyfxxyf

=−=

:2:

2

21

meze :

….vzorec pro výpočet objemu rotačního tělesa

Objem tělesa je 3

3jπ .

10

0)1(0

0222

2

2

1

2

2

22

2

21

==

=−=−=−=−=−

=

xx

xxxx

xxxxx

xxx

ff

10

/ 2

==

ba

∫=b

a

dxxfV )(2π

( )( )

( )

( )

3

1

0

32

1

0

2

1

0

2

1

0

21

0

2

1

0

21

0

22

21

3

612

31

212

322

2

22

2

2

jV

V

V

xxV

dxxxV

dxxxV

dxxdxxxV

dxxdxxxV

VVV

π

π

π

π

π

π

ππ

ππ

=

⋅=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

−=

−−=

−−=

−=

∫

∫

∫∫

∫∫

26

Příklad 3. Odvození vzorce pro objem komolého rotačního kužele.

112

12

1

:

:

rxv

rryf

vrrk

rqqkxyf

+⋅−

=

−=

=+=

Komolý kužel s poloměry podstav 21, rr a výškou v vznikne rotací přímky

112 rx

vrr

y +⋅−

= kolem osy x .

∫=b

a

dxxfV )(2π

( )

( ) 32221

21

212121

22

21

2121

2121

22

21

22121

3

2

2121

22

0

21

22121

3

2

2121

22

0

21

12122

2121

22

0

2

112

3

332

32

02

223

2

222

32

22

jrrrrvV

rrrrrrvV

rrrrrrrrvV

vrvv

rrrvv

rrrrV

xrxv

rrrxv

rrrrV

dxrxv

rrrx

vrrrr

V

dxrxv

rrV

v

v

v

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅

−+⋅

+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅

−+⋅

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

−+⋅

+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅

−=

∫

∫

π

π

π

π

π

π

π

27

Příklad 4. Obsah rovinného útvaru omezeného křivkami xy = , 016982 =+−− yxx , 0=y , 3=x .

xyf =:1 … přímka (osa I. a III. kvadrantu)

( )22

2

49

168901698

−=

+−=

=+−−

xy

xxyyxx

( )22 491: −= xyf

parabola [ ]0,4V 0:3 =yf … osa x

21 fafprůsečíky

( )

( )( )

116

1160161701689

491

2

1

2

2

2

==

−−=+−=+−=

−=

xx

xxxxxxx

xx

21 SSS +=

Obsah rovinného útvaru je 2

54251 j .

21

2

)(

1

1

0

2

1

1

01

1

011

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

=

∫

∫

S

xS

xdxS

dxxfS

( )

2726

326

91

1643148369

91

16439

1

16891

)(

2

2

2

3

1

23

2

3

1

22

3

122

=

⋅=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

+−=

=

∫

∫

S

S

S

xxxS

dxxxS

dxxfS

2

21

54251

5479

2726

21

jS

S

S

SSS

=

=

+=

+=

28

Přiklad 5. Kotva o hmotnosti 80kg visí na kotevním laně dlouhém 10m. 1m lana má hmotnost 1kg.

Jakou práci vykonáme, zdvihneme-li kotvu o 10m navinutím lana na buben?

1m … hmotnost 1m lana kgm 11 =

2m …hmotnost kotvy

l …délka lana ml 10=

h …výška, do které bylo těleso zvednuto

x …o kolik m byla kotva vytažena

kgm 80= 210 −⋅= smg

∫=b

a

dxxFW )( … výpočet práce, kterou síla vykoná při přemístění tělesa

21 WWW += 1W … jakou práci vykonáme při zvednutí kotvy

2W … jakou práci vykonáme při zvednutí lana

Při zvedání kotvy vykonáme práci 8,5 kJ.

JWW

hgmWsFW

8000101080

1

1

21

1

=⋅⋅=⋅⋅=

⋅=

[ ]JW

xxW

xxW

dxxW

dxxW

dxxlgmW

dxxFWb

a

500050010005100

210100

)10100(

)10(10

)(

)(

2

100

22

10

0

2

2

10

02

10

02

10

012

=−−=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

−⋅=

−⋅⋅=

=

∫

∫

∫

∫

kJWW

WWW

5,88500500800021

==+=

+=

29

Příklad 6. Určete teoretickou práci ideálně chlazeného kompresoru pro izotermické stlačení 0,2kg vzduchu o teplotě 20°C na polovinu původního objemu. měrná plynová konstanta vzduchu 11287 −− ⋅⋅= KkgJr rovnice izotermické změny mTrVp ⋅⋅=⋅ ; [ ][ ]KCtT 15,273+°= ;

mTrc ⋅⋅= …konstanta

práce při změně objemu plynu ∫=2

1

)(V

V

dVvpW

[ ]

JcWcW

cW

VVcW

VVcW

VcW

dVVcW

V

V

V

V

2ln2ln21ln

2ln

)ln21(ln

ln

1

1

1

11

21

1

1

121

1

−==

=

=

−=

=

=

−

∫

( )( )

kJJWW

mTrW

664,11116632ln2,015,293287

2ln

−=−=⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅−=

Teoretická práce ideálně chlazeného kompresoru je kJ664,11 .

30

Příklad 7. Brzdící vozidlo se pohybuje přímočaře. Závislost rychlosti na čase t v sekundách pro

3,0∈t je [ ] [ ]stsmv −=⋅ − 2,31 . V čase st 00 = byla ujeta dráha ms 80 = . Určete dráhu po 3 sekundách.

∫+=1

0

)(0

t

t

dttvss 10 , ttt∈ …dráha přímočarého pohybu

ttv −= 2,3)(

st 00 = 1,0 tt∈ ms 80 = st 31 =

∫+=1

0

)(0

t

t

dttvss

Dráha po třech sekundách je 13,1m.

mss

tts

dttss

1,1305,46,98

22,38

)2,3(

3

0

2

3

00

=−−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

−+= ∫

31

5 Příklady použití diferenciálního a integrálního počtu v technických

výpočtech 5.1 Mechanika tekutin

o rozbor fyzikální závislosti veličin v obecném tvaru

o nalezením lokálního extrému funkce stanovíme

• podmínky nejvýhodnějšího provozu

• omezení možnosti daného řešení -> technické vylepšení

Příklad 1.

Teoretická účinnost vodního kola s radiálními lopatkami

východiskem je představa pohybující se desky kolmé a velmi rozlehlé vzhledem

k dopadajícímu proudu kapaliny

c … absolutní rychlost proudu

u … unášivá rychlost lopatky

w … relativní rychlost v toku do kontrolního objemu

ucw −=

wH … relativní průtoková hybnost

S … průřez dopadajícího proudu

lopatka nutí proud ke změně hybnosti silou RF , zatímco nerušený proud má původně

vůči lopatce relativní průtokovou hybnost wH

Rw FH =∆

[ ]NwSwwSwVwmH w2⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=∆ ρρρττ

ρ … hustota

τm … hmotnostní průtok ττmm =

τ … doba proudění

směr osy x

Rxwxwwx FwSHHH =⋅⋅−=∆−∆=∆ 212 ρ

Závěr: síla působící od proudu na lopatku je opačná

⇒−= RFF 2wSF ⋅⋅= ρ

32

• teoretický výkon – předávaný proudem kapaliny lopatce

( ) uucSuwSuFP ⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= 22 ρρ

• příkon lopatky – kinetická energie proudu za 1s

2222

1 3222 cSccScVcmemE

P kk

p ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅== ρρρτττ τ

• teoretická účinnost vodního kola

( ) ( ) ( )uccuuc

uucucccS

uucSPP

pteor

2233

223

3

2

. 2222

21

+−⋅=⋅+−⋅=⋅⋅

⋅−⋅⋅==ρ

ρη

- extrém této závislosti na unášivé rychlosti:

( )

( )

624

41216043

0432

432

2,1

222

22

223

223

ccu

cccDccuu

ccuuc

ccuucdu

d

±=

=−=

=+−

=+−⋅

+−⋅=η

cu =1 3 32cu =

%63,292963,0278

278

27962

392

272

3

3333

3

333

3max. ====⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅=

ccccc

cccc

cteorη

Zakreslení grafu:

( ) ( )

ctg

cccc

cu

2

220020 3

22

3

=

==+−⋅==

α

η

3 neuznáme cu =1 , protože by se nekonala práce

33

5.2 Mechanika tuhého tělesa

o rozbor fyzikální závislosti veličin v obecném tvaru

o napjatosti v elementárním objemu

o zobecnění výsledku integrace v jednoduchou poučku (Steinerova věta)

o obecný popis mechanického chování konstrukce

o určení integračních konstant z okrajových fyzikálních podmínek

o výpočet velikosti deformace nosníku, význam kvadratického momentu

Příklad 1.

Výpočet namáhání krutem

předpokládáme čistý krut – tzn. způsobený silovou dvojicí v rovině kolmé k ose prvku

(tedy nikoli obvyklou kombinaci krutu s ohybem od osamělé síly na rameni)

další podmínky odvození

o průřezy zůstávají i po zkroucení prvku rovinné (tzn. předpokládáme kruhový –

zcela symetrický průřez odolává borcení od združených smykových napětí)

o vzdálenost mezi průřezy se nemění

o poloměry zůstávají přímočaré −> lineární průběh deformace na poloměru

(=>předpoklad platnosti Hookova zákona ->stejný průběh jako deformace má i

napětí)

princip odvození: vyjádření elementárního kroutícího momentu vnitřních sil

rmaxτ

ρτ = … podobnost

trojúhelníků

τ … tečné napětí

aFM k ⋅=

rdSdFdM k

ρττρτρ ⋅=⋅⋅=⋅= max;

∫∫ ∫ =⋅⋅

⋅==S

kk dSrr

dSdMM 2maxmax ρτρρτ

34

∫=S

p dSJ 2ρ pJ … polární moment průřezu

rJ

M pk ⋅= maxτ

rJ

W pk = kW … průřezový modul v krutu

Závěr: pevnostní rovnice v krutu

[ ]MPaWM kk ⋅= maxτ

Dk

k

WM ττ ≤=max Dτ … dovolené smykové napětí

Obecné řešení průřezových charakteristik pro kruhový průřez:

ρπρ ddS ⋅= 2

240

42

4222

44

0

4

0

3

0

22 rrddSdJrrr

Sp ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅=⋅⋅== ∫∫∫ ππρπρρπρπρρρ

- prvek je popsán průměrem rdd 2; = −> 2dr =

[ ]44

4

4

32

22

mmdJ

dJ

p

p

π

π

=

⋅=

[ ]33

4

16

322

mmdW

dd

rJ

W

k

pk

π

π

=

⋅⋅==

35

Příklad 2.

Výpočet namáhání ohybem

předpokládáme čistý ohyb – tzn. bez vlivu posouvajících sil

další podmínky odvození jsou u běžných konstrukčních materiálů – tj. ocelí splněny:

o platnost Hookova zákona: εσ ⋅= E

o stejný modul pružnosti E v tahu i v tlaku −> neutrální osa jde těžištěm průřezu

o průřezy se vzájemně natočí, ale zůstanou rovinné

princip odvození: vyjádření elementárního ohybového momentu vnitřních sil

příklad: náprava vagónu

maxmax σε =

0ll∆=ε

σ … normálové napětí

eymaxσσ =

ydSydFdM ⋅⋅=⋅= σ0

∫ ∫∫∫ ⋅⋅⋅=⋅=== dSyye

ydSdFydMM max00

σσ

0maxmax2max

0 WeJ

dSye

M x ⋅⋅== ∫ σσσ

∫=S

x dSyJ 2 xJ … kvadratický moment průřezu

eJ

W x=0 0W … průřezový modul v ohybu

Závěr:

0max0 WM ⋅= σ

DWM σσ ≤=

0

0max … pevnostní rovnice v ohybu

36

Příklady obecného řešení:

a) kruhový průřez – výhodná je úvaha o elementárním kvadratickém momentu:

dSydJ x2= −> dSxdJ y

2=

2222 ; yxdSdJ p +== ρρ −> yxp dJdJdJ += −> yxp JJJ +=

kruh: yx JJ = −> xp JJ 2= −> 2

px

JJ =

32

4dJ pπ=

642

4dJJ p

xπ==

32

22

3

0

0

dW

dJJ

W xx

π=

==

b) další základní průřezy se řeší z definice:

obdélník

1238

23

222332

0

32

0

22 bhhbybdyybdybyJ

hh

x =⋅

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⋅⋅= ∫ ∫

6

2

2

0bh

hJ

W x ==

Závěr: záleží na rozložení průřezu kolem neutrální osy nejen na jeho velikosti

trojúhelník

– zajímavé řešení, které vede k důležitému

obecnému závěru

– pro integraci je výhodné zavést pomocný

souřadnicový systém: 1x a v něm integrovat

elementární kvadratické momenty průřezu:

h

yhbu −= −> ( ) 11 dyyh

hbudydS −==

37

( )

31

333

0

41

0

31

01

31

01

2111

0

21

211

121

1234

43

43

bhJ

bhbhbh

ybhybdyyhdyy

hbdyyh

hbydSyJ

x

hhhhh

Sx

=

−=−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−⋅== ∫∫∫∫

- tj. nalezeno matematické řešení, ovšem z hlediska mechaniky to není charakteristika

„odporu proti ohybu“, protože osa 1x není centrální, tzn. nejde těžištěm <−> rozbor

napjatosti

- je nutné zjistit rozdíl výsledků 1xJ a xJ :

( ) ∫∫∫∫∫ ++=+==SSSSS

x dSaaydSdSydSaydSyJ 222211 2 a = konst

∫=S

x dSyJ 2

=∫S

ydSa2 Ø … statický moment průřezu k centrální ose je nulový

SadSaS

⋅=∫ 22

SaJJ xx ⋅+= 21 … tzn. Steinerova věta – základní pravidlo řešení ohybu složených

průřezů

a … vzdálenost os

33

32

321 216

121892

1121

321

121 bhhbbhhbhbhSaJJ xx

−=−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅−=⋅−=

36

3bhJ x =

Obecný závěr: kvadratický moment průřezu k jeho hlavní centrální ose je nejmenší možný,

to je v souladu s přirozeným chováním konstrukčních materiálů při ohybu

38

Příklad 3.

Deformace nosníku při ohybu

původně přímá osa nosníku se po zatížení ohybovým momentem 0M změní v tzv.

ohybovou čáru s poloměrem zakřivení ρ v daném místě podél nosníku x

o obrázek vyjadřuje představu

natočení sousedních průřezů α∆ a

elementárního prodloužení

krajního vlákna o dx

o při malých deformacích

pokládáme útvary za podobné

pravoúhlé trojúhelníky

ρx

ed x ∆= −>

xde x

∆=

ρ … to je vzorec pro poměrné prodloužení <−> Hookův zákon

EEx

d x ;σε ==∆

… modul pružnosti v tahu

eJW

WM

Ee === 0

0

0 ;; σσρ

Závěr:

00

0

0 MEJ

JeM

eE

WM

eEeE =⋅⋅=⋅=⋅=

σρ

a) zavádíme pojem křivost k:

EJM

k 01 ==ρ

b) úhel natočení

- průřezů

αρ ∆⋅=∆x −> EJ

xMkxx ∆=⋅∆=∆=∆ 0

ρα

- pro sousední průřezy ( x∆ −>Ø ) −> křivost je derivací úhlu natočení: αα ′==dxdk

39

c) průhyb nosníku

- konečné délky od elementárního natočení sousedních průřezů

α∆⋅=∆ xy −> EJ

xxMy

∆⋅⋅=∆ 0 −> pro sousední průřezy ( x∆ −>Ø)je úhel natočení

derivací pohybu:

EJxM

dxEJM

d 00 === ∫ ∫αα ydxdy ′==α

Závěr:

- křivost nosníku je druhá derivace jeho průhybu

- tzv. Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry

)()(

)( 0

xEJxM

xy =′′

- ze známého průběhu zatěžovacích a geometrických charakteristik podél délky nosníku

lze získat dvojí integrací průběh průhybu )(xy <−> integrační konstanty neurčitého

integrálu stanovíme rozborem tzv. okrajových podmínek plynoucích z geometrie

zadání (znaménka odvodíme logickou úvahou nad zadáním, průhybem chápeme posun

těžiště průřezu ve směru kolmém na původní přímou osu nosníku a to vůči jeho

původní poloze – před zatížením, úhel natočení chápeme jako úhlovou odchylku mezi

rovinami dvou různých průřezů)

Početní příklad:

Určete deformaci naplocho vetknuté tyče z oceli )101,2( 5 MPaE ⋅= s průřezem

mmx )550( a s délkou m2 od vlastní tíhy (hustota oceli 3/7850 mkg=ρ ).

Řešení:

a) geometrie – nosník je prismatický, tzn.

s konstantním průřezem ( konstJ = )

433 520550121 mmmmJJ z =⋅⋅==

40

zatížení – konstantní spojité [ ] konstmNq =/

<−> tíha jednoho metru délky tyče je rovnoměrně rozložená podél délky:

( )mNq

mNgSl

glSl

gVl

gmlQq

/3,19

/81,9005,005,07850

=

⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅== ρρρ

- průběh velikosti ohybového momentu určíme metodou řezu; podélnou souřadnici x

je výhodné zavést od volného konce, počítáme náhradní osamělý účinek qx ⋅ :

22

)(2qxxxqxM =⋅⋅=

b) obecný výpočet chování nosníku

- křivost ( )xxyEJ

qxxEJxM

xk α ′=′′=== )(2)(

)()(

20

- úhel natočení ( )∫ ′′=+= dxxycEJ

qxx )(6

)( 1

3

α

- průhyb ( )∫ ′=++= dxxycxcEJ

qxxy )(24

)( 21

4

- okrajové (fyzikální) podmínky – ve vetknutí nedojde k natočení ani k průhybu <−>

místo vetknutí je podle našeho obrázku popsáno podélnou souřadnicí lx = :

0)( =lα => =+ 1

3

6c

EJql Ø =>

EJqlc6

3

1 −=

0)( =ly => =+⋅− 2

34

624cl

EJql

EJql Ø => 2

44

244 c

EJqlql −=− =>

EJqlc8

4

2 =

Závěr: obecné řešení

EJqxxyxk2

)()(2

=′′=

( )3333

666)()( lx

EJq

EJql

EJqxxyx −=−=′=α

( )434434

34248624

)( lxlxEJq

EJqlx

EJql

EJqxxy +−=+⋅−=

41

Extrémy v intervalu lx ;0∈

maxα <−> 0)( =′′ xy => =x Ø => αα =max ( Ø) EJ

ql6

3

−=

maxy <−> 0)( =′ xy => lx = => <−> ( ) ( )=−=+⋅−= 44434 4424

3424

)( llEJqllll

EJqly Ø

−> je to lokální minimum, vidíme to i z obrázku

EJ

qlyy8

)0(4

max ==

c) číselné řešení

- dosazení v základních jednotkách

maxα ( ) °−=−=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅−=−=−

5,13)()(236,01052010101,26

23,196 4365

33

radEJ

ql

( ) mmmEJ

qly 5,3533535,01052010101,28

23,198 4365

44

max ==⋅⋅⋅⋅⋅==

−

d) posouzení výsledků

- číselné výsledky jsou reálné, ale přesnost zaručena není, protože postup odvozování

vztah předpokládá jen malé deformace <−> konstrukce je málo tuhá

- ukázka významu rozmístění plochy průřezu nosníku vůči ose ohybu ( z ) nejen pro

pevnost, ale také pro tuhost konstrukce: vetknutí na výšku

43505121 mmJ z ⋅=

408352 mmJ z = −> mmmy

rad

5,300353,0

14,000236,0

max

max

==

°==α

42

5.3 Kinematika

o kinematika zadaného mechanismu – zdvihová závislost, obecné řešení

o syntéza mechanismu – obrys vačky ze zrychlení

o výpočet zrychlení zdvihátka – praktické hodnoty

Příklad 1.

Kinematika zadaného mechanismu

mechanismus je soustava členů mající jeden stupeň volnosti, to znamená souřadnice

poháněcího členu určuje zároveň polohu všech dalších členů soustavy -> matematický

vztah mezi polohami členů mechanismu (tzv. zdvihová závislost) je klíčem k řešení:

její postupnou derivací získáváme další kinematické veličiny: rychlost, zrychlení

Příklad:

Kulisový mechanismus s posuvným vedením:

o převádí rotační pohyb poháněcí kliky 2 na přímočarý vratný pohyb kulisy 3, (rám stroje

je nehybný a značí se 1)= balící stroj

o kótujeme obecně geometrii a zavádíme souřadnice z výchozí polohy - libovolně

( ) lrrlsA −−+= ϕcos

poloha … ϕcosrrsA −=

rychlost … dt

dsv AA =

zrychlení … 2

2

dtsd

dtdva AA

A ==

ryv … 3

3

dtsd

dtda AA =

dtdrvAϕϕ ⋅= sin ; ωϕ =

dtd … úhlová rychlost

poháněcí kliky, obvykle má pohon stálé otáčky

konst=ω

ωϕ ⋅= sinrvA - obecně součin funkcí času

dtdr

dtdraA

ωϕωϕϕ ⋅+⋅⋅= sincos =dtdω Ø

2cos ωϕ ⋅= raA

43

- extrémní hodnoty parametrů pohybu umožňují v tomto příkladě kontrolu

správnosti postupu, vycházejí výrazy obecně známé z fyziky

Závěr: obecné řešení umožňuje zajistit nastavením parametrů pohonu potřebné parametry

výstupního pohybu

Příklad 2.

Syntéza mechanismu

to znamená návrh mechanismu s požadovanými kinematickými parametry

typickým příkladem je syntéza obrysu vačky

o vačka je rotující neokrouhlý kotouč řídící polohu posuvně vedeného a pružinou

přitlačovaného zdvihátka = rozvodný mechanismus pístových motorů

- pohyb zdvihátka ovládá polohu

ventilu pro výměnu náplně válce

motoru

- základní požadavky na tvar vačky:

zdvih, rychlost přechodů mezi stavy

plného otevření a zavření ventilu,

spolehlivost mechanické vazby −>

zdvihátko nesmí odskočit ani trpět

silnými rázy

Závěr: požadujeme hladký průběh zrychlení – např. sinusový:

ϕχπϕ 2sin)( 0aa = ; χϕ ;0∈

dtd

ddv

dtdva ϕ

ϕ⋅== ; konst

dtd =ϕ

44

ωϕ⋅=

ddva −>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅−⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅−=⋅=

⋅=

∫ ∫ 12cos22

2cos2sin 0

0

0

0 0

0 ϕχπ

πωχ

πχϕ

χπ

ωϕϕ

χπ

ω

ϕω

ϕϕ aad

adv

dadv

v

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅

= ϕχπ

πωχϕ 2cos1

2)( 0a

v

ωϕ

ϕϕ

⋅=⋅==ddh

dtd

ddh

dtdhv ; konst=ω

ωϕ⋅=

ddhv −>

ϕϕ

ϕχπ

πχϕ

πωχϕϕ

χπ

πωχ

ϕω

02

0

0 02

0 2sin22

2cos12 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅

=

⋅=

∫ ∫a

da

dh

dvdh

h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅

= ϕχπ

πχϕ

πωχϕ 2sin

22)( 2

0ah

2

20

max 2)(

πωχχ ⋅

==a

hh => 2max

2

02

χπω h

a⋅

= … maximum zrychlení zdvihátka

- kritickým bodem návrhu jsou otáčky (ω )a náběhové časování ( χ )

Praktický příklad:

o ovládání výfukového ventilu vznětového motoru: 1min0003 −=mn … otáčky motoru

mmh 10max = … zdvih ventilu

gm 300= … hmotnost posuvných součástí zdvíhaných vačkou

°= 30χ … náběhový úhel vačky

Rozbor:

- rozvodová vačka čtyřdobého motoru má otáčky poloviční než klikový hřídel :

1min50012

−== mv

nn

- úhlová rychlost [ ]12 −= snπω

- náběhový úhel se dosazuje v radiánech

45

Řešení:

( )

22

2

0

2max

2

2max

2

0

6555

18030

01,060500122

222

−⋅=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

°⋅°

⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅

=

⋅=

⋅=

sma

hnha v

π

ππ

χππ

χπω

NamF 697165553,0maxmax =⋅=⋅=

46

6 Závěr

Tématem této závěrečné ročníkové práce je využití diferenciálního a integrálního počtu

v praxi.

Nejprve jsem zpracovala přehled teorie, následně uvádím řadu příkladů z různých

oborů. Spolupracovala jsem s dalšími učiteli, kteří mě svými informacemi a názory

pomohli vybrat vhodné typy příkladů.

Jsem ráda, že jsem zvolila toto téma, protože jsem si jednak rozšířila své vědomosti o

diferenciálním a integrálním počtu a zejména proto, že v průběhu práce jsem zjistila

v kolika technických oborech jsou využívány a slouží k dalšímu zdokonalování a rozvoji

nových oborů.

47

7 Seznam použitých informačních zdrojů

Monografická publikace

1. KUBÍČEK, František. Dr. GAJDOŠ, Tadeáš. Dr. SOBOTKA, Bohumil.

Matematika pro III. a IV. Ročník středních průmyslových škol. 5. vydání. Praha:

Státní pedagogické nakladatelství, 1960. 445 s.

2. Dr. PORUBSKÁ, Edita. Dr. CIRJAK, Milan. Doc. Dr. HUŤKA, Vladimír CSc.

Dr. TRENČANSKÝ, Ivan CSc. Doc. Dr. VENCKO, Josef CSc.

Matematika III. pro studium absolventů učebních oborů. 2. vydání. Praha: Státní

pedagogické nakladatelství, 1987. 224 s.

3. OPAVA, Zdeněk. Matematika kolem nás. 1. vydání. Praha: Albatros, 1989. 368 s.

4. PaedDr. TESAŘ, Jiří. Sbírka úloh z matematiky pro fyziky. 1. vydání. České

Budějovice: Pedagogická fakulta JU České, 1995. 103 s.

5. RNDr. ČEMÁK, Pavel. Odmaturuj z matematiky 2 – základy diferenciálního a

integrálního počtu. 1. vydání – dotisk. Brno: DIDAKTIS, 2004. 48 s.

6. RNDr. HRUBÝ, Dag. RNDr. KUBÁT, Josef. Matematika pro gymnázia –

diferenciální a integrální počet. 2. upravené vydání. Praha: Prometheus, 2001.

210 s.

7. DRASTÍK, František a kol. Strojnická příručka – Svazek 2. 1. vydání, Praha:

Verlag Dashofer, 2550. 714 s.

8. HÁJEK, Emanuel. REIF, Pavel. VALENTA, František. Pružnost a pevnost I.

1. vydání. Praha: SNTL, 1988. 432 s.

9. VONDRÁČEK, Vlastimil a kol. Mechanika IV – Mechanika tekutin a

termomechanika. 1. vydání. Praha: SNTL, 1978. 256 s.