11

DRE2DRE2

Moderních digitální bezdrátové Moderních digitální bezdrátové komunikacekomunikace

UREL FEKT VUT v Brně

22

22 Teorie radiokomunikačních Teorie radiokomunikačních signálůsignálů

část A – deterministické signályčást A – deterministické signály

část B část B -- stochastické signály stochastické signály

33

2.1 MNOŽINY SIGNÁLŮ2.1 MNOŽINY SIGNÁLŮ

• ZZákladní pojmyákladní pojmy• SignálSignál• Množiny signálůMnožiny signálů• Rozklad množiny signálůRozklad množiny signálů

44

Uspořádaná dvojiceUspořádaná dvojice

Uspořádaná dvojice je pár prvků dvou množin. Např.: [Uspořádaná dvojice je pár prvků dvou množin. Např.: [tt0, 0, xx((tt0)]0)]

RelaceRelace

Relace je množina uspořádaných dvojic.Relace je množina uspořádaných dvojic.

2.1.1. Z2.1.1. Základní pojmyákladní pojmy

A

Není vzoremMnožina vzorů

B

Množina obrazů

55

Kartézský součin A x BKartézský součin A x B Je to množina všech uspořádaných dvojic, kde první složkou dvojice jeJe to množina všech uspořádaných dvojic, kde první složkou dvojice je

prvek množiny A a druhou složkou je prvek množiny B. prvek množiny A a druhou složkou je prvek množiny B.

ZobrazeníZobrazení Zobrazení z množiny A do množiny B je relace R A x B s vlastností: Zobrazení z množiny A do množiny B je relace R A x B s vlastností:

každý prvek každý prvek xx A je prvkem nanejvýš jedné uspo řádané dvojice ( A je prvkem nanejvýš jedné uspo řádané dvojice (xx, , yy) ) RR

Prosté zobrazeníProsté zobrazení Prosté zobrazení R je zobrazení z A do B je zobrazení z B do A . je Prosté zobrazení R je zobrazení z A do B je zobrazení z B do A . je

inverzní relace.inverzní relace.

Rozklad množiny Rozklad množiny Výchozí množinu S rozložíme na podmnožiny SVýchozí množinu S rozložíme na podmnožiny Sii tak, že každý prvek S je tak, že každý prvek S je

právě v jedné podmnožině (třídě). právě v jedné podmnožině (třídě).

66

Ekvivalence na množině Ekvivalence na množině Relace R v množině A se nazývá ekvivalence, jestliže je současně Relace R v množině A se nazývá ekvivalence, jestliže je současně

reflexivní, symetrická a tranzitivní reflexivní, symetrická a tranzitivní ( ~( ~xx, , xx ~ ~yy yy ~ ~ xx, , xx ~ ~yy yy ~ ~ z z xx ~ ~ z z ).).

Zápis množinyZápis množiny Rovnost S = {Rovnost S = {xx; P} označuje, že S je množina všech ; P} označuje, že S je množina všech xx, které mají , které mají

vlastnost P . vlastnost P .

77

2.1.2.1.22. Sign. Signályály

Signály dělíme na signály se spojitým časem (zobrazení z množiny R) a signály s diskrétním časem (zobrazení z množiny Z).

Signály číslicové jsou zobrazením z množiny Z do jisté konečné podmnožiny množiny Z. Jsou to posloupnosti čísel vyjádřených konečným počtem číslic.

0 t0

x(t0)

t

0 n

0 n

-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8

-1-2 1 2 3 4 5 6 7

88

2.1.3 Množiny signálů2.1.3 Množiny signálů

Množina signálů s konečnou energiíPojem energie zde nutno chápat ne ve fyzikálním, ale v přeneseném slova smyslu. Obdobné je to i s pojmem výkon a dalšími pojmy u signálů s diskrétním časem.

0,|)(:|;)(L KKnxnxN ZS

Množina omezených signálů

Množina signálů s konečnou dobou trvání (posloupnosti délky N)

0,)(;)( 2E

KKnxxKn

S

ZS NNnxNnxN ,1,0)(:1,0;)(D

99

Zobecnění množiny signálů s konečnou energiíProstor signálů s konečnou energii se označuje symbolem L2, jde-li o signály se spojitým časem a l2, jde-li o signály s diskrétním časem.

Zobecněním lze zavést prostory Lp, jde-li o signály se spojitým časem a lp, jde-li o signály s diskrétním časem.Množiny signálů vyskytujících se v těchto prostorech lze zapsat takto

0,)(;)(

/1

P

KKdttxxK

p

pS

0,)(;)(/1

P

KKnxxNp

n

pS

1010

2.1.4 2.1.4 Rozklad množiny signálů Rozklad množiny signálůMnožina {S1, S2, …..} podmnožin S1, S2, ….. množiny S tvoří rozklad množiny S, jestliže platí:

)pro()....( 321 jiSSSSSS ji 0

S1

S3

S2

1111

2.1 2.1 ZOBRAZENÍZOBRAZENÍ

Zobrazení z S1 do S2 f: S1 → S2

(y = f(x); S1, S2)D(f) je definiční obor zobrazení, H(f) je obor hodnot zobrazeni

Je-li S1 = D(f) a S2 = H(f), jedná se o zobrazení S1 na S2.

Zobrazení f z S1 do S2 je vzájemně jednoznačné zobrazení S1 na S2 právě když je f zobrazení prosté a zároveň zobrazení S1 na S2.

Zobrazení složené

Libovolné zobrazení f: S1 → S2 generuje ekvivalenci x1~ x2 .

)())(()( 122 xfxffyfz f: S1 →S3

1212

2.3 PROSTORY SIGNÁLŮ2.3 PROSTORY SIGNÁLŮ

• Metrické prostoryMetrické prostory• MetrikyMetriky

1313

2.2.33..11 M Metricketrické prostoryé prostory

Množina X s metrikou d se nazývá metrickým prostorem (X, d).Dvě různé metriky definované na stejné množině prvků vytvářejí různé metrické prostory.

R),(: yxd

Množina signálů s příslušně zavedenou vzdáleností je prostor signálů. Vzdálenost je funkcionál

0),(,0),( yxdyxdNazývá se metrikou, má-li vlastnosti:

a) jen když x = y ,

b) ),,(),( xydyxd c) ),,(),(),( zydyxdzxd

1414

2.2.33.2 M.2 Metriketrikyy

Množina X s metrikou d se nazývá metrickým prostorem (X, d).Dvě různé metriky definované na stejné množině prvků vytvářejí různé metrické prostory.

Množina uspořádaných n-tic čísel reálných nebo komplexníchPříklady metrik:

a)

b)

c)

,),(1

1

n

iiiyxd

,),(2

12

n

iiiyxd

....,2,1;sup),(3 iyxd ii

1515

U funkcí, které jsou si rovny skoro vždy, je

Množina reálných či komplexních funkcí času definovaných na intervalu

Příklady metrik:

a)

b)

c)

,)()(),(1 T

dttytxyxd

,)()(),(2

2 T

dttytxyxd

.T;)()(sup),(3 ttytxyxd

021 dd

1616

Množina reálných či komplexních posloupností délky N.

Příklady metrik:

a)

b)

c)

1

01 )()(),(

N

n

nynxyxd

21

02 )()(),(

N

n

nynxyxd

Z nNnnynxyxd ,1,0;)()(sup),(3

1717

2.4 LINE2.4 LINEÁÁRNRNÍ Í PROSTORYPROSTORY

• DefiniceDefinice• BázeBáze• Normovaný lineární prostorNormovaný lineární prostor• Prostor se skalárním součinemProstor se skalárním součinem• Reprezentace vektorůReprezentace vektorů

1818

2.2.44..11 DefiniceDefinice

A) Pro každý pár vektorů x a y existuje prvek (x + y) uvažované množiny takový, že

xyyx a)

b)

c) množina obsahuje jediný vektor 0 takový, že x + 0 = x

pro libovolné x

d) pro libovolné x existuje jediný vektor (-x) takový,

že x + (-x) = 0

zyxzyx )()(

1919

B) Je dána množina prvků (skalárů) , které tvoří těleso (field) a operace (násobení vektoru skalárem ) přiřazující skaláru a

vektoru x vektor tak, že

a)

b) 1x = x,    0x = 0

c)

d)

)()( xx

yxyx )(

xxx )(

2020

2.2.44..22 B Bázeáze

Lineární kombinací rozumíme výraz

Množina všech lineárních kombinací vektorů tvoří lineární prostor.

Vektory jsou lineárně nezávislé, když je jejich lineární kombinace

n

iii

1

xx

nxxx ,....,, 21

0irovna 0 jen když jsou všechny koeficienty

2121

Bázi lineárního prostoru tvoří n lineárně nezávislých vektorů.

Libovolný vektor

Zvláštní případ:

Pro množinu všech reálných nebo komplexních funkcí času

definovaných na intervalu T je lineárním prostorem, v němž je sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem definováno takto:

Nechť M je libovolný lineární n-rozměrný prostor s bází nii ,....,2,1; u

Mx má jediný rozklad

n

iii

1

ux

),()()(:T tytxtzt yxz

)()(:T txtzt xz

2222

2.2.44..33 Normovaný lineární prostor Normovaný lineární prostor

Příklady norem:

Norma vektoru se zavádí pomocí zobrazení lineárního prostoru do R s vlastnostmi

a)

b)

c)

0,0 xx jen při x = 0.

yxyx

xx

Norma je metrikou.

n

ii

1

2x T

2)( dttxx

2323

2.2.44..44 Prostor se skalárním součinem Prostor se skalárním součinem

Skalární součin generuje normu

Skalární součin označovaný (x, y) nebo < x, y> je zobrazení uspořádaných dvojic vekto rů lineárního prostoru do komplexní roviny C

a)

b)

c)

*),(),( xyyx

),(),(),( zyzxzyx

0),(,0),( xxxx jen když x = 0 .

ta generuje metriku.

),( xxx

2424

Vektory x a y jsou ortogonální, pokud platí: (x, y) = 0

Příklady skalárních součinů:

n

i

niiba

1

* ,;),( Cyxyx

)T(L,;)()(),( 2

T

* yxyx dttytx

2525

2.2.44..55 Vyjádření prvků prostoru se Vyjádření prvků prostoru se ………skalárním součinemskalárním součinem

n

iii

1

ux

n

iijij nj

1

...,,2,1;),(),( uuux

njijiji ...,,2,1,,),( , vu

Báze nii ,....,2,1; u

),(,),(),(1

jj

n

ijiij vxvuvx

2626

Ortonormální báze je báze, pro jejíž prvky platí

njijiji ...,,2,1,,),( , uu

),( ii ux

n

iii

1

),( uuxx

2727

2.2.55 ORTOGONÁLNÍ SOUSTAVYORTOGONÁLNÍ SOUSTAVY

• Úplné ortonormální soustavyÚplné ortonormální soustavy• Příklady ortonormálních Příklady ortonormálních

funkcífunkcí• Walshovy funkceWalshovy funkce

2828

2.5.1 Úplné ortonormální soustavy2.5.1 Úplné ortonormální soustavy

Nechť {gi} je systém ortonormálních funkcí. Označíme

n

iiin

1

),( ggxx

Pak

n

ii

1

22),( xgx

Proto při libovolném n platí:

2929

2.5.2.5.22 Příklady ortonormálních funkcí Příklady ortonormálních funkcí

{gi} je soustavou funkcí ortonormálních s vahou w(t) , jestliže

Zavedeme skalární součin s vahou

Norma s vahou je zavedena výrazem

w(t) je reálná nezáporná funkce.

T

* ,)()()(),( dttytxtwwyx

T

2)()()( dttxtxtw n

jiji gg ),(

3030

Mnohočleny Čebyševovy

Funkce ortonormální v obyčejném smyslu jsou pak funkce

Mnohočleny Legendrovy

Interval

.....,2,1),()()( itgtwt ii

1,1T 1)( twVáha

21

)(0 tg ttg23

)(1 ,21

23

25

)( 22

ttg

Interval 1,1T ]1[)( 2ttw

3131

Funkce Laguerrovy

Interval ,0T )exp()( ttw

Funkce Legendrovy

Interval ,0T

Funkce Čebyševovy

Interval ,0T 21

]1)2[exp()(

pttw

)

π2exp( kn

Nj

Systém funkcí, posloupností délky N

je ortogonální, ale není ortonormální. Proč?

3232

2.2.6 FUNKCE PO ÚSECÍCH 6 FUNKCE PO ÚSECÍCH

…..KONSTANTNÍKONSTANTNÍ

• uspořádání dle kmitočtuuspořádání dle kmitočtu• uspořádání dyadickéuspořádání dyadické• uspořádání přirozenéuspořádání přirozené

Walshovy funkce:Walshovy funkce:

3333

Systémy funkcí ortogonálních nad intervalem mají poměrně dlouhý vývoj. Uvažovalo se např. o jejich nasazení v širokopásmovém rádiovém vysílání. Byl by to do jisté míry předchůdce dnešního UWB.

Zájem o tyto funkce vzrostl po rozšíření číslicových obvodů.

Jejich zřejmě nejvýznamějším praktickým uplatněním je však použití v mobilních rádiových komunikacích.

Z tohoto hlediska jsou významné zejména Walshovy funkce. Nabývají hodnot 1 a -1. Walshovy funkce můžeme chápat jako periodické s periodou 1. Mohou však být definovány a používány i jako funkce nad konečným intervalem

Pak tvoří úplný ortonomovaný systém funkcí nad tímto intervalem.

1,0

3434

2.6.1 Uspořádání dle kmitočtu2.6.1 Uspořádání dle kmitočtu

Pojem kmitočet zde označuje zobecněný kmitočet chápaný jako poloviční počet přechodů funkce přes nulovou hladinu v intervalu délky 1. Funkce uspořádané podle rostoucího kmitočtu se označují

walw(i,Θ ) .

Používá se trojí uspořádání (pořadí) množiny Walshových funkcí. První z nich je uspořádání dle „kmitočtu“.

3535

wal(i, Θ )

1

Θ0

iw ip ih

0 0 0

1 1 8

2 3 12

3 2 4

4 6 6

5 7 14

6 5 10

7 4 2

8 12 3

9 13 11

10 15 15

11 14 7

12 10 5

13 11 13

14 9 9

15 8 1

3636

K  ortonormálním signálům se spojitým časem lze přiřadit

posloupnosti Walw(i, n) s diskrétním časem.

Posloupnosti Walw(i, n) bývají zapisovány do řádků

čtvercové matice N x N

1111

1111

1111

1111

2wH

3737

2.6.2 Uspořádání dyadické2.6.2 Uspořádání dyadické

K časově spojitým funcím funkcím walp(i, Θ) můžeme přiřadit

posloupnosti Walp(i, n) délky N.

Funkce se spojitým časem se v tomto případě označují walp(i, Θ).

1111

1111

1111

1111

log2p NH

3838

2.6.3 Uspořádání přirozené2.6.3 Uspořádání přirozené

K časově spojitým funcím funkcím walh(i, Θ) můžeme přiřadit

posloupnosti Walh(i, n) délky N.

Walshovy - Hadamardovy funkce se spojitým časem se označují

walh(i, Θ ).

11

111hH

)1()1()1()1(

)1()1(hh

hh

hhh

jjj

jjj HH

HH

HHH

3939

2.2.8 NÁHODNÉ PROCESY8 NÁHODNÉ PROCESY Korelační funkceKorelační funkce

Autokorelační funkceAutokorelační funkce

Autokovarianční funkce

)()(),( 2121 tXtXEttRX

))()())(()((),( 221121 tXtXtXtXEttK X

X(t) je obecné označení procesu,  x(t) je hodnota realizace

náhodného procesu v čase t 

4040

2.2.9 DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ9 DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ ….. PROCESY PROCESY

• Signál jako vektorSignál jako vektor• Korelační maticeKorelační matice• Kovarianční maticeKovarianční matice

4141

2.9.1 Signál jako vektor2.9.1 Signál jako vektor

Uspořádaná N-tice prvků signálu délky N může být nahlížena jako vektor

)(

.

)(

)(

2

1

NtX

tX

tX

X

4242

2.9.2 Korelační matice2.9.2 Korelační matice

Pro stacionární proces

),(..),(

....

..),(),(

),(.),(),(

1

2212

12111

NNN

N

ttRttR

ttRttR

ttRttRttR

XR

)0(..))1((

..)(.

.)()0()(

))1((.)()0(

RTNR

TR

TRRTR

TNRTRR

XR

4343

2.9.3 Kovarianční matice2.9.3 Kovarianční matice

TT XXXXK EEE

.

..

....

..

.

211

222112

11122121

NNN

NN

K

TXXRK XX EE

4444

U stacionárních náhodných procesů je

ji

jiij

1.

..

.1

.1

11

11

11

11

2

N

N

XK

4545

2.2.10 KOMPLEXNÍ NÁHODNÉ10 KOMPLEXNÍ NÁHODNÉ ….. . PROCESY PROCESY

• Signál jako vektorSignál jako vektor• Korelační maticeKorelační matice• Kovarianční maticeKovarianční matice

4646

2.10.1 Definice a charakteristiky2.10.1 Definice a charakteristiky

Komplexní náhodný proces je definován vztahem

)()()( tjYtXtZ

Střední hodnota

Korelační funkce

)()()( tYjEtXEtZE

),(),(),(),(

)()()()()()(),(

21212121

22112*

121

ttjRttjRttRttR

tjYtXtjYtXEtZtZEttR

XYYXYYXX

)()()(),( 222tYEtXEtZEttR

),(),( ttRttR YXXY

4747

2.10.2.10.22 Analytický signál Analytický signál

Je-li proces X(t) stacionární v širokém smyslu a má střední hodnotu rovnu nule, je i jeho Hilbertův obraz stacionární a má střední hodnotu rovnu nule. Navíc pro korelační funkci platí

Je tedy

)()()()()( tjYtXtXjtXtZ

)()( YYXX RR

)()( YXXY RR

)()(2)( XYXXZZ jRRR

4848

2.10.2.10.33 Ortogonální rozkladOrtogonální rozklad NP 1

Chceme, aby byly koeficienty nekorelované

Kde

TttctXK

kkk

1

pro)()(

2/

2/

)()()(T

T

dtRt 2T

t

je vlastní číslo a )(t je vlastní funkce

4949

2.10.4 2.10.4 Ortogonální rozkladOrtogonální rozklad NP 2

Koeficienty rozvoje mají nulovou střední hodnotu a jsou nekorelované. Jsou dány skalárním součinem

Vlastní vektory q1, q2, …. qM  tvoří ortonormální množinu za předpokladu, že jsou normalizovány.

Nechť X je vektor náhodných pozorování s nulovou střední hodnotou a s korelační maticí R. X má rozměr Mx1. Nechť q1, q2, …. qM jsou vlastní vektory matice R. Vektor X může být vyjádřen takto:

M

iiic

1

qX

XqHiic Mi ,....,2,1

MicE i ...,2,1pro0][

5050

MicE i ...,2,1pro0][

ji

jiccE i

ji 0][ *

M

iic

1

2X

iicE ][2

Mi ,....,2,1

Vlastnosti koeficientů

5151

2.2.12 PSEUDONÁHODNÉ SIGNÁLY12 PSEUDONÁHODNÉ SIGNÁLY

• SSignály pro ignály pro ssimulaceimulace• RRozprosozprostírací tírací posloupnostposloupnostii

5252

2.12.1 Signály pro simulace2.12.1 Signály pro simulace

Kongruentní gererátory.

Celočíselné algoritmy.

Často se generují čísla rovnoměrně rozložená v intervalu

Všeobecně se požaduje, aby po sobě jdoucí hodnoty byly nanejvýš nepatrně korelované.

Matlab: rand, randn a awgn

1 ,0

Jindy se generují čísla s rozdělením přibližně normálním.

5353

2.12.2 Rozprostírací posloupnosti2.12.2 Rozprostírací posloupnosti

Goldovy sekvence

Sekvence Kasami

m – sekvence

m - sequence

Generovaná sekvence je periodická s periodou

Každá perioda obsahuje

12 mp

p21 12

1 pjedniček a nul

5454

Délka registu Perioda Počet různých sekvencí

2 3 1

3 7 2

4 15 2

5 31 6

6 63 6

7 127 18

8 255 16

9 511 48

10 1023 60

5555

LFSR (Linear Feedback Shift Register)

5656

0 5 10 15 20 25 30

-1

0

1

t

m-s

eque

nce

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

Ra

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

Rc

tau