Elipsa chyb a Helmertova křivka

Jiří BunešPavel Hromádka

AbstraktHelmertova křivka a elipsa chyb jako nositel

informace o středních chybách souřadnic v rovině a v prostoru. Geometrický význam HK a elipsy chyb, její odvození. Ukázka výpočetního prostředí Matlab užitého při vykreslení křivek, ploch a tvorbě uživatelského rozhraní.

Význam elipsy chyb jako nositele informace

• Elipsa chyb vyjadřuje velikost středních chyb ve směru svých poloos

• Velikost poloos a,b odpovídá odmocninám vl. čísel kovarianční matice

• Směr poloos odpovídá vl. vektorům kovarianční matice

• Elipsa chyb je geometrické místo koncových bodů vektorů majících stejnou hustotu pravděpodobnosti výskytu

• Poloosy a,b elipsy chyb

21

222222222

21

222222221

42

1

42

1

yxyxyx

yxyxyx

b

a

0

0;

22222

2

2

yxyx

yyx

yxx EDDetD

Význam Helmertovy křivky jako nositele informace

• Helmertova křivka vyjadřuje velikost středních chyb v libovolném směru

• Pro zjištění velikosti střední chyby užijeme zákon hromadění středních chyb a výsledkem je průvodič HK

• Zjednodušené vyjádření bez uvážení korelace

• Průvodič HK

• Průvodič ECH

2

2

2

0

0

y

x

Tf

Dy

x

f

Dffm

22222 sincos yxh

sin

cos

y

x

2222

222

cossin ba

bae

Vznik fce. elipsy chyb z hustoty pravděpodobnosti

• Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 2D chyby

• V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. elipsy

• Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6% případů

2

2

2

2

2

1

2

1, yx

yx

yx

eyx

xosevchybastřx .yosevchybastřy .

22

2

2

2

tyx

yx

yxosáchvchybyDvektort ,2

• Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 2D chyby

• V případě proměnné hustoty pravděpodobnosti (korelované), je rce. elipsy

yxyx

xyyx

yx

eyx

212

1

2

2

2

2

2

2

12

1,

22

2

2

2

22

1

1t

xyyx

yxyx

korelacekoef .

• V případě závislých (korelovaných) stř. chyb má elipsa své poloosy pootočeny a proto je potřeba souřadnice x a y transformovat do nové soustavy pro zjištění velikosti poloos

• Úhel stočení

• Transformační rce

2222

yx

yxtg

cossin

sincos

yx

yx

cossin

sincos

y

x

Helmertova plocha a elipsoid chyb

• HP a ECH mají svou podobu i v 3D, stejně jako v rovině je největší rozdíl mezi oběma plochami to, že ECH zobrazuje stř. chybu v jednotlivých poloosách, kdežto HP v libovolném směru

• Opět je zde volen parametr t jež určuje procento výskytu možných hodnot

• Poloosy a,b,c elipsoidu chyb

• Řešení vl. Čísel této matice vede k rovnici 3. stupně

022

22

0;

2

22222

2

2

2

zxyzxyxzy

xyzyzxzyx

z

zy

zx

yz

y

xz

xy

yxx

EDDetD

Význam HP jako nositele informace

• Pro zjištění střední chyby v libovolném směru zjistíme velikost průvodiče v daném místě

• Pro zjištění rozdělení pravděpodobnosti v požadovaném směru vedeme řez HP a výsledkem je Gaussova křivka rozdělení hustoty pravděpodobnosti

• Zjednodušené vyjádření průvodiče HP a ECH bez uvážení korelace

• Odvození je provedeno pomocí zákona hromadění středních chyb

• Průvodič HP

• Průvodič ECH

2

2

2

2

0

0

00

00

z

y

x

Tf

D

z

y

x

f

Dffm

222222222 sincossincoscos cbarh

sin

sincos

coscos

z

y

x

22222222222

2222

sincossincoscos bacacb

cbare

Vznik fce. elipsoidu chyb z hustoty pravděpodobnosti

• Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 3D chyby

• V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. Elipsoidu

• Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6% případů

2

2

2

2

2

2

2

1

38

1),,( zyx

zyx

zyx

ezyx

zyxosáchvchybyDvektort ,,322

2

2

2

2

2

tzyx

zyx

• Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 3D chyby

2

3

1

det8

1,,

xxT

ezyx

222222 21det yzxzxyyzxzxyzyx

2

2

2

z

zy

zx

yz

y

xz

xy

yxx

222 ,, zyxx

Vysvětlivky

• Geometrické charakteristiky rozptylu

vektorusložekchjednotlivýuEuuEuEuu

diagonálumimoauEuuEuEudiagonále

naobsahujeježDmaticípopsánjeuvektorunáhodnéhoRozptyl

jjiiji

iiiii

,cov

var

rozptylůvlastnostidávajíuuvektoryvlastníačíslaVlastní 2121 ,,

Příklad• Vyrovnání jednoduché vázané sítě kde

byly měřeny pouze délky a ukázka použití ECH a HK v praxi za použití skriptu vytvořeného v prostředí Matlab

• Kovarianční matice

82,44549,6002,5135,1502,12825.69

49,6098,62086,1737,582,4424.24

02,5186,1791,44750,5524,13271,63

35,1537,550,5565,61179,3917,19

02,12882,4424,13279,3966,27766,0

25,6924,2471,6317,1966,067,443

xM

• Parametry a,b elips vypočtené jako vl. čísla diagonálních submatic

• Situační náčrt

g

mmb

mma

bod

25,0

7,16

1,21

407

g

mmb

mma

bod

96,18

8,20

1,25

422

g

mmb

mma

bod

76,180

7,20

3,25

424

• Vykreslení HK a ECH bod 407

• Vykreslení HK a ECH bod 422

• Vykreslení HK a ECH bod 424

Děkuji za pozornost