ELEKTROSTATIKAStudijn text pro eitele FO a ostatn zjemce o fyziku

Bohumil Vybral

Obsah

vod 3

1 Elektrostatick pole ve vakuu 51.1 Elektrick nboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Coulombv zkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Intenzita elektrickho pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Pklad 1 intenzita pole nabit krunice . . . . . . . . . . . . 81.4 Tok intenzity elektrickho pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Gaussv zkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Pklad 2 intenzita pole nabit pmky . . . . . . . . . . . . . 12Pklad 3 intenzita pole nabit roviny . . . . . . . . . . . . . 13Pklad 4 intenzita pole nabit elektrick koule . . . . . . . . 14

1.6 Prce sly elektrickho pole pi pemsovn nboje . . . . . . 161.7 Elektrostatick energie nboje, potencil elektrickho pole . . . 171.8 Souvislost potencilu a intenzity elektrickho pole . . . . . . . . 19

Pklad 5 elektrick pole diplu . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Pklad 6 elektrick pole nabit kulov plochy . . . . . . . . . 22Pklad 7 elektrick pole nabitho dielektrickho vlce . . . . 25

1.9 Vlastn elektrostatick energie soustavy nboj . . . . . . . . . 26Pklad 8 energie elektrostatick vazby krystalov me . . . 27Pklad 9 vlastn elektrostatick energie nabit koule . . . . . 28

1.10 Hustota energie elektrickho pole . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Pklad 10 ohyb svazku elektron na nabitm drt . . . . . . 31

2 Elektrostatick pole v dielektriku 342.1 Dielektrikum a jeho polarizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Vliv dielektrika na elektrick pole . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Elektrick indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Kapacita vodi 383.1 Vlastn kapacita vodie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Kapacita kondenztoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Pklad 11 kapacita deskovho kondenztoru . . . . . . . . . . 39Pklad 12 kapacita vlcovho kondenztoru . . . . . . . . . . 40

3.3 Energie nabitho kondenztoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Pklad 13 elektrostatick voltmetr . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Kapacita soustavy kondenztor . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 lohy 45

Fyzikln konstanty pro een loh 54

een loh 55

Literatura 63

vod

Pedloen pojednn je dalm ze srie studijnch text urench nejen proeitele fyzikln olympidy, ale i pro ostatn zjemce o fyziku v hlubm z-bru, ne kter poskytuje stedn kola. Zabv se elektrostatikou, tedy odd-lem fyziky popisujcm elektrick pole vyvolan elektrickmi nboji, kter jsouv uvaovan pozorovac soustav v klidu.

Elektrostatick pole je jednoduchou formou obecnjho elektromagnetic-kho pole, kter je jednm ze ty dosud znmch fundamentlnch fyziklnchpol, resp. fyziklnch interakc, pomoc nich meme vysvtlit vechny znmjevy mezi materilnmi objekty. Jsou to:

1. gravitan pole (gravitan interakce),2. leptonov pole (slab interakce),3. elektromagnetick pole (elektromagnetick interakce),4. mezonov pole (siln interakce).

Z tchto pol m prvn a tet velk (prakticky neomezen) dosah, kdetodosah druhho a tvrtho pole je velmi nepatrn a prakticky je omezen jenna prstor jdra atomu (jeho polomr je du 1015 a 1014 m). Pro plnostje teba dodat, e souasn fyzice vysokch energi a jadern fyzice se poda-ilo najt a experimentln potvrdit vazbu mezi slabou a elektromagnetickouinterakc a uitm kvantov teorie pole spn popsat integrovanou elektro-slabou interakci. Z makroskopickho hlediska vak i souasn fyzika pracujes uvedenmi tymi interakcemi.

Srovnme-li elektrostatickou a gravitan slu mezi dvma protony ve stejnvzdlenosti, zjistme, e elektrostatick interakce je 1,2 1036krt silnj neinterakce gravitan. Gravitan interakce se proto me uplatnit jen u velkchmakroskopickch objekt (d nap. pohyb planet Slunen soustavy) a urujestrukturu vesmru. Naopak elektromagnetick interakce se ve stavb vesmruneuplatuje (celkov nboj vesmru je nulov) a u makroskopickch tles seuplatn, jen kdy se poru rovnovha mezi kladnmi a zpornmi nboji. Do-minantn postaven elektromagnetick interakce je a u mikroskopickch ob-jekt (uruje strukturu atomovho obalu, pout atomy v molekuly). Zbvajcdv interakce (siln a slab) se prakticky uplatuj pi stavb jdra atomu ajeho rozpadu a pi rozpadu elementrnch stic. Siln interakce je 137krt vtne elektromagnetick mezi dvma protony, kdeto slab interakce je 1011krtslab ne elektomagnetick a neme poutat dn stice.

Popis elektromagnetickho pole v soustav, v n jsou jeho zdroje elek-trick nboje v klidu, je nejjednodu (stejn tomu tak je i u ostatnch pol).Proto vklad o tchto statickch jevech podme nejprve. Budou-li se zdrojovstice pole v pozorovac soustav pohybovat, musme provst relativistickou

3

transformaci pslunch interakc a dostaneme pole dynamick. Druhm stup-nm vkladu o elektromagnetickm poli je tedy elektrodynamika, kter budepedmtem dalho studijnho textu.

I kdy by se zdlo, e elektrostatick jevy jsou jednoduch a nezajmav, nentomu tak. To pozn ten po prostudovn pedloenho textu. Z elektrosta-tiky je mon sestavit i adu zajmavch loh. Proto je studijn text doplnn52 problmy. Z toho je 13 eench pklad zaazeno do textu a je zadno39 loh s uvedenmi vsledky een, ppadn u obtnjch i s naznaenmnebo plnm eenm.

4

1 Elektrostatick pole ve vakuu

1.1 Elektrick nboj

Tlesa, kter se bn vyskytuj v prod, jev pouze gravitan interakci; jsouelektricky neutrln. Za uritch okolnost vak mohou na sebe vzjemnpsobit jet jinmi silami ne gravitanmi, zvislmi stejnm zpsobem navzdlenosti, jsou-li ve stavu, kter nazvme elektrick. Do toho stavu pe-chzej zelektrovnm (nap. tenm nebo elektrickou indukc). Na rozdl odgravitanch sil mohou bt elektrick sly pitaliv i odpudiv.

Pokusy ji v 17. stolet ukzaly, e existuj dva druhy elektiny. Elektina,kter vznik tenm tye z olovnatho skla amalgamovanou k nebo hedv-bm, se nazvala kladn. Elektina, kter vznik tenm tye z ebonitu (tvrdhokauuku) srst, se nazvala zporn. Experimentln lze snadno zjistit, e sou-hlasn nabit tye se vzjemn odpuzuj a nesouhlasn nabit tye se vzjemnpitahuj.

Ke kvantitativnmu vyjden elektrickho stavu materilnch objekt (t-les nebo stic) se zavd elektrick nboj jako mra vlastnosti materilnhoobjektu psobit na jin materiln objekt silou souvisejc s polohou vzhledemk nmu a zvislou na elektrickm stavu obou materilnch objekt. Protoenositelem elektromagnetick interakce je elektromagnetick pole, meme elek-trick nboj denovat jako mru schopnosti materilnho objektu vytvet elek-trick pole. Nboj m dvoj polaritu, je kladn nebo zporn. Nboje stejnpolarity se odpuzuj, nboje rzn polarity se pitahuj.

Nboj neexistuje samostatn; je vdy vzn na ltku, resp. na stice.Nositelem kladnch nboj jsou ze stabilnch stic protony a stice , nosi-telem zpornch nboj elektrony. U elektricky neutrlnch tles se psobenkladnch a zpornch nboj vzjemn kompenzuje. Kladn nabit tleso ob-sahuje nekompenzovan kladn nboje, zporn nabit tleso nekompenzovanzporn nboje.

Jednotkou nboje v soustav SI je 1 C (coulomb) = 1 A s. Nboj oznau-jeme Q, ppadn q.

Pro elektrick nboje plat tyto zkladn zkony:

1. Zkon zachovn nboje: v izolovan soustav se celkov nboj zacho-vv; nboj nen mon vytvoit ani zniit.

2. Zkon kvantovn nboje: vechny nboje, kladn i zporn, jsou celist-

5

vmi nsobky dle nedlitelnho 1 elementrnho nboje

e = 1,602 189 2 1019 C .

Nositelem kladnho elementrnho nboje je proton, zpornho elementr-nho nboje elektron.

3. Zkon invariantnosti nboje: velikost nboje je na rozdl od hmotnosti invariantn, tj. nezvisl na rychlosti pohybu nabit stice v pozorovacsoustav.

4. Elektrick nboj vesmru je nulov, tj. algebraick souet vech nbojve vesmru je nulov. (dn astronomick ani astrofyzikln pozorovnnenasvduj, e by tomu tak nemlo bt.)

Pi een problm elektrostatiky se setkvme s tmito modely nboj (veskutenosti maj nboje diskrtn charakter a jejich nositel konen rozmry,i kdy makroskopicky zanedbateln):

1. Nboj bodov rozmry jejich nositel (stic) zanedbvme.

2. Nboj rov nboj uvaujeme spojit rozloen na e s dlkovou(linern) hustotou

= liml0

Ql

=dQdl

. (1)

3. Nboj plon nboj uvaujeme spojit rozloen na ploe s plonouhustotou

= limS0

QS

=dQdS

. (2)

4. Nboj prostorov nboj uvaujeme spojit rozloen v prostoru s ob-jemovou (prostorovou) hustotou

= limV0

QV

=dQdV

. (3)

1Kvarkov model hadron (tj. stic podlhajcch siln interakci, mezi n pat pe-devm proton a neutron), experimentln potvrzen (1973), pracuje s kvarky. Jsou to s-tice, kter maj tetinov elementrn nboje e/3, 2e/3, e/3, 2e/3. Podle souasnchnzor vak nelze hadrony na kvarky roztpit (tzv. teorie o uvznn kvarku v hadronu).

6

1.2 Coulombv zkon

Interakce mezi dvma elektricky nabitmi sticemi se projevuje silov. Vezvl jednoduchm ppad, kdy jsou oba nboje v pozorovac soustav v klidu,jde o elektrickou interakci, kter je pro dva bodov nboje Q, q, nach-zejc se ve vakuu ve vzjemn vzdlenosti r, popsna Coulombovm zko-nem (1785):

F = 140Qqr2

r

0 , (4)

kde F je sla, kterou psob nboj Q (zdrojov) na nboj q (testovac), r 0 jejednotkov vektor veden od Q k q a

0 =107

4{c}2 C2 m2 N1 = 8,854 187 818 1012 F m1

je permitivita vakua a {c} je seln hodnota rychlosti svtla ve vakuu v sou-stav SI. Mezi jednotkami plat vztah C2 m2 N1 = F m1, kde F (farad) == C2 m1 N1 = CV1 je jednotka kapacity a V (volt) = NmC1 = JC1je jednotka potencilu elektrickho pole.

Pro vpoet sly, kterou na sebe psob jin nboje ne bodov, je nutn nej-prve vyjdit element sly mezi elementy tchto nboj a pak provst integracipes uvaovan nebodov nboje.

Coulombv zkon (4) jsme formulovali pro statickou soustavu bodovch n-boj. Jeho platnost meme rozit i na dleit ppad, kdy zdrojov nbojQ sice zstv v pozorovac soustav v klidu, avak testovac nboj q se pohy-buje libovolnou rychlost u < c. Vyplv to ze zkona invariantnosti nboje a jev souladu s pozorovnm (experimentln byla tato skutenost potvrzena s rela-tivn pesnost a 1020). Budou-li v pozorovac soustav oba nboje v pohybu,zmn se elektrostatick pole zdrojovho nboje na pole elektromagnetick a slamezi nboji na slu Lorentzovu (ke Coulombov sle pistoup sla magnetick).Vklad tchto jev bude pedmtem elektrodynamiky.

1.3 Intenzita elektrickho pole

Interakce mezi elektrickmi nboji se nedje pmo, nbr prostednictvm elek-tromagnetickho pole, kter se v okol nboj vytv. V pozorovac soustav,v n je nboj v klidu, je toto pole elektrostatick. V okol kadho elektrickhonboje existuje tedy pole, o nm se meme jednodue pesvdit tm, e douvaovanho msta umstme jin testovac (zkuebn, pokusn) nboj. Nanboj bude psobit elektrick sla a v mst testovacho nboje existuje elek-trick pole. Toto pole lze popsat jednak silov, jednak energeticky. Prvn popis

7

vede k veliin intenzita elektrickho pole, druh k veliin potencil elektric-kho pole.

Intenzitu elektrickho pole denujeme jako slu, kterou psob elektrickpole v uvaovanm mst na kladn jednotkov nboj. Je-li v tomto mst poletestovac nboj q, bude intenzita

E = Fq, [E] = N C1 = V m1 . (5)

Aby testovac nboj q neovlivnil rozloen zdrojovho nboje, je-li nebodov,denuje se intenzita vztahem

E = limq0

F

q.

Meme-li zdrojov objekt povaovat za bodov, bude vraz pro vpoet in-tenzity jednoduch:

E =Q

40r2r

0 . (6)

Pro elektrick pole plat princip superpozice: intenzita elektrickho pole,sloenho z nkolika dlch pol, je dna sumac intenzit tchto pol podlepravidel vektorovho soutu:

E =n

k=1

Ek . (7)

Je-li nboj na objektu rozloen spojit, vyjdme nejprve intenzitu elek-trickho pole jeho vhodnho elementu, piem posuzujeme jednak velikost,jednak smr intenzity pi zmn jeho polohy a pak integrujeme pes cel ob-jekt. Postupujeme zpravidla individuln, jak vyplv z nsledujcch pklad1, 2, 3 a z nkterch loh.

Pklad 1 intenzita pole nabit krunice

Krunice (resp. tenk vodiv kruhov prstenec) o polomru R je rovnomrnnabita nbojem Q. Vypotte intenzitu elektrickho pole na jej ose totons osou x, piem potek souadnicov osy polote do stedu krunice.

een

Nboj je rozloen s dlkovou hustotou = Q/2R =konst. Na krunici uva-ujme element Rd, na kterm je nboj

dQ = R d = Qd2

.

8

Pro jeho vzdlenost od bodu A na ose (obr. 1) a hel plat

r =R2 + x2 , cos =

xR2 + x2

.

dQ

Q

d

R

x

r

dE

dEx

dEy

AO

Obr. 1

Intenzitu dE pole o velikosti dE = dQ/40r2 rozlome na dv kolmsloky dEx, dEy, piem ke kadmu elementu krunice lze najt protilehlelement, pro nj se sloky dEy vzjemn vyru a sloky dEx o velikostidEx = dE cos setou. Integrac pro celou krunici dostaneme

Ex =Q

40 x

(R2 + x2)3

2

2pi0

d2

=Qx

40(R2 + x2)3

, Ey = 0 . (8)

Pro body na ose, pro n x R , meme vsledek (8) zjednoduit do tvaruEx =

Q40x2

. Intenzita pole je tedy stejn jako kdyby nboj Q byl soustedn

ve stedu krunice.

1.4 Tok intenzity elektrickho pole

A

BEA

EB

Obr. 2

Elektrick pole meme vhodn znzornitpomoc siloar. Silorou v elektrickmpoli nazvme mylenou orientovanou ruvedenou tak, e tena v ktermkoliv jejmbod m smr vektoru intenzity elektric-kho pole v tomto bod (obr. 2). Hustotaar se vol tak, aby byla mrn velikostiintenzity v uvaovanm mst pole.

K nejjednodum tvarm pol pat pole radiln, kter vytv nap.osamocen bodov nboj, piem u kladnho nboje je toto pole rozbhav(obr. 3a), u zpornho nboje je toto pole sbhav (obr. 3b). Homogenn polem rovnobn, stejn hust silory (obr. 3c).

9

a) b) c)

Obr. 3

SS0

S

E

Obr. 4

Z pedstavy siloar se zavd tok intenzity elek-trickho pole e jako veliina, jej velikost jemrn celkovmu potu siloar, kter prochzejuvaovanou plochou v poli. Pro homogenn pole(obr. 4) tok rovinnou plochou S je

e = E S = ES cos , (9)

kde S cos = S0 je prmt plochy S do smrukolmho k silorm. Tekou ve vrazu (9) vyja-dujeme skalrn souin dvou vektor.

Je-li pole nehomogenn je nutn vyjdit tok intenzity elementu plochy aprovst integraci pes celou plochu:

e =S

E dS . (10)

Tok vektoru intenzity je zejm skalrn veliina.

1.5 Gaussv zkon

Vypotme nejprve tok intenzity radilnho elektrickho pole uzavenou kulo-vou plochou se stedem v mst nboje o obsahu S0 = 4r20 (obr. 5). Protoepodle Coulombova zkona m intenzita E0 v libovolnm bod tto plochy stlouvelikost

E0 =Q

40r20a smr shodn se smrem normly v tomto bod, bude tok intenzity uzavenouplochou

e = E0S0 =Q

40r204r20 =

Q

0. (11)

Tok je tedy nezvisl na polomru r0 a tud i na poloze nboje Q uvnit kulovplochy.

10

SVQ

r0

dS0

dS0E0

Obr. 5

Zvolme-li msto kulov plochy obecnouuzavenou plochu kolem nboje Q, musz n vychzet stejn poet siloar jako z ku-lov plochy (obr. 5). Protoe celkov tokintenzity plochou S opt neme zvisetna poloze nboje Q, meme si uvnit uza-ven plochy pedstavit n bodovch n-boj a podle principu superpozice budecelkov tok intenzity uzavenou plochoudn algebraickm soutem (tok je skalr)tok od jednotlivch nboj. Tedy

e S

E dS = 10

ni=1

Qi Q0 , (12)

kde krouek u symbolu integrlu vyjaduje integraci pes uzavenou plochu S .Nboj me bt uvnit objemu V vymezenho uzavenou plochou S rozlo-

en spojit s objemovou hustotou . Pak bude mt vsledek (12) tvar

S

E dS = 10

V

dV . (13)

Bude-li nboj uvnit objemu V rozloen spojit na kivce dlky L nebo naploe obsahu A vypoteme jeho celkovou velikost uitm hustoty dan vztahem(1) pp. (2):

Q =L

dl , Q =A

dS . (14)

Vsledky (12) a (13) vyjadujGaussv zkon elektrostatiky pro vakuumv integrlnm tvaru:

Celkov tok intenzity elektrickho pole libovolnou uzavenouplochou se rovn celkovmu nboji v prostoru, kter uzavrtato plocha, dlenmu permitivitou vakua.

Gaussv zkon v integrlnm (a zejmna v diferencilnm) tvaru tvo jednuze ty hlavnch Maxwellovch rovnic elektromagnetickho pole. Je pmmdsledkem Coulombova zkona.

Vedle tohoto zkladnho vznamu Gaussova zkona je jeho vznam i provpoet intenzit elektrickch pol nkterch soustav nboj. Jde o ppady, kdyznme (nebo dovedeme odhadnout) tvar eenho pole, resp. rozloen siloar.

11

Pak volme uzavenou plochu S tak, aby prochzela bodem, kde urujeme in-tenzitu a vedeme ji tak, aby byla kolm na silory nebo rovnobn s nimi.Pak se snadno pot tok intenzity uzavenou plochou. Pouit Gaussova zkonauvidme na nsledujcch pkladech a lohch a posoudme jeho pednosti.

Pklad 2 intenzita pole nabit pmky

Vypotte intenzitu elektrickho pole v bod A ve vzdlenosti R od pmkynabit kladnm nbojem rozloenm s konstantn dlkovou hustotou

a) z denice intenzity,b) uitm Gaussova zkona.

een

a) Uitm denice

dl dl

d

r

R

dE

dE

dEl

dE l

dER

dE RA

Obr.6

Z pmky vytkneme obecn uloen ele-ment dlky dl, na nm je nboj

dQ = dl .Tento nboj vyvol v bod A ve vzdle-nosti r pole o intenzit dE , kterou rozlo-me na sloky dER a dEl. Ke kadmu ele-mentu na jedn polopmce lze nalzt nadruh polopmce soumrn poloen ta-kov element, e sloka dE l jeho intenzitydE se prv vyru se slokou dEl. SlokydER, dE R, se algebraicky setou. Pro ve-likost intenzity dER plat

dER = dE cos = dl cos40r2

.

Tento vraz upravme uitm geometric-kch vztah

dl = dl cos = r d, r =R

cosa vslednou intenzitu dostaneme integrac podle promnnho hlu v mezch/2 , /2:

E = ER =

40R

pi/2pi/2

cos d =

20R. (15)

12

b) een uitm Gaussova zkona je velmi jednoduch.

S

R

l

E

A

Obr. 7

Snadno odhadneme, e silory pole nabit pmky bu-dou polopmky, kter jsou kolm k nabit pmce a radi-ln se od n rozbhaj. Jako uzavenou plochu bude tedyvhodn zvolit vlcovou plochu o polomru R a dlce ls podstavami rovnobnmi se silorami. Silory bu-dou tak kolm k povrchovm pmkm plt vlce(obr. 7). Celkov tok intenzity povrchem vlce tedy budee = 2RlE. Vlec uzavr nboj l. Pouijeme-li nynGaussv zkon (12) dostaneme

2RlE =10l

a odtud plyne vsledek (15).

Pklad 3 intenzita pole nabit roviny

Vypotte intenzitu elektrickho pole vzbuzenho nbojem rovnomrn rozd-lenm na rovin s plonou hustotou . ete uitm:

a) denice intenzity,b) Gaussova zkona.

een

a) Vyjdme nejprve intenzitu pole elementu, za kter vhodn zvolme kruhovprstenec (obr. 8) o polomru r a ce dr, na kterm je nboj dQ = 2r dr.

O

A

x

r

s

dr

dEdEs

dEr

Obr. 8

Sloky dEr intenzity dEs se pro cel prstenec vyrua uplatn se jen sloka dE o velikosti

dE = dEs cos =dQ

40s2cos . (16)

Za integran promnnou zvolme hel .Geometrick vztahy:

r = x tg , s =x

cos, dr =

xdcos2

.

13

Po dosazen do vrazu (16) dostaneme

dE =240

x tgcos2x2

xdcos2

cos =

20sind .

Elementy pokryj celou rovinu pro 0,2 . Integrac tedy dostaneme

E =

20

pi20

sind =

20

[ cos

]pi2

0

=

20. (17)

b) Uitm Gaussova zkona dospjeme k vsledku opt rychleji. Silory polejsou zejm kolm k nabit rovin. Za uzavenou plochu S vhodn zvolmevlcovou plochu protnajc nabitou rovinu (obr. 9), piem jej podstava mplon obsah S0. Celkov tok intenzity vlcovou plochou je e = 2S0E, uza-ven nboj je Q = S0. Z Gaussova zkona (12) plyne

2S0E =S00

.

Odtud pmo plyne vsledek (17). Intenzita elektrickho pole v bod A zejmnezvis na jeho poloze x vzhledem k nabit rovin.

S0

S0

x

E

EA

Obr. 9

Pklad 4 intenzita pole nabit dielektrick koule

Dielektrick koule o polomru R a permitivit 0 je rovnomrn nabitaprostorovm nbojem Q. Vypotte zvislost velikosti intenzity elektrickhopole na vzdlenosti r od jejho stedu, tj. E = E(r), pro vechna r.

14

een

K vpotu vyuijeme Gaussv zkon. Nboj je rozdlen objemovou hustotou

=3Q4R3

= konst.

Pole soustavy je radiln, proto za uzavenou plochu S zvolme kulovou plochuo promnnm polomru r. Existuj dv oblasti tohoto pole (obr. 10).

de

R

rr1

r2S1

S2

E2

E1

Obr. 10

O

E

rR

Obr. 11

O

1. 0 r R: Plocha S1 uzavr nboj Q1 = 43r3, jeho velikost vzrst

s r. Pak podle (12) je

E1 4r2 = 10

43r3 , neboli E1 =

30r =

Q

40R3r.

Uvnit koule vzrst intenzita pole linern se souadnic r (obr. 11).

2. r > R: Plocha S2 uzavr nboj Q2 =43R

3 = Q, kter je ji na r

nezvisl. Pak podle (12) je

E2 4r2 = 10

43R3 , neboli E2 =

R3

30

1r2

=Q

40r2.

Intenzita pole vn koule kles se druhou mocninou (viz obr. 11) podle stej-nho vztahu jako u bodovho nboje viz vraz (6). Vn rovnomrnnabit koule m tedy pole stejn tvar jako pole bodovho nbojeumstnho v jejm stedu.

15

1.6 Prce sly elektrickho pole pi pemsovn nboje

Protoe na kad nboj q psob v elektrickm poli sla F = qE , vykon polepi jeho posunut o dl elementrn prci dA = F dl = qE dl .

Uvaujme nejprve elektrick pole jednoho bodovho nboje. Toto poleje radiln m smr prvodie r : E = Er 0. Pak elementrn prce

Obr. 12

Qq

r

r1

r2

r

0

dr

dl

E

1

2

dA = qEr 0 dl = qE dr,kde dr = dl cos = r 0 dl je veli-kost prmtu elementu dl trajektorienboje do smru intenzity E v uvao-van poloze nboje (obr. 12). Elementprce dA tedy nezvis na sklonu ele-mentu trajektorie a celkov prce, kte-rou pole vykon pi pemstn nbojez polohy 1 (r1) do polohy 2 (r2) je

A = q21

E dl = qr2r1

E(r) dr. (18)

Tato prce nezvis na tvaru trajektorie mezi body 1 a 2. Dosadme-li do (18)za intenzitu z (6) dostaneme

A =qQ

40

r2r1

drr2

=qQ

40

[1r

]r2r1

= qQ

40

(1r1 1r2

). (19)

Pedchoz vaha platila pro jeden bodov nboj. Pjde-li o soustavu bo-dovch nboj meme v uvaovan poloze nboje q potat elementy prceod jednotlivch zdrojovch nboj. Tyto elementy prce meme algebraickysest, protoe prce je skalrn veliina. U soustav se spojit rozloenm n-bojem ve uvaovan souty pechzej v integrly.

Pole, u kterho prce mezi dvma libovolnmi body nezvis na tvaru tra-jektorie pemsovan stice, se nazv konzervativn. Elektrostatick poletuto podmnku podle (18) spluje a je tedy konzervativn. Vykonme-li pe-mstn po uzaven kivce C a bude-li tedy konen poloha toton s polohouvchoz (obr. 13), bude celkov prce nulov:

A =C

F dl = qC

E dl = 0 ,

16

Obr. 13

C

Q

1 2

neboli (po dlen q 6= 0)

C

E dl = 0 , (20)

kde krouek u symbolu integrlu vyjaduje, e jde o kiv-kov integrl po uzaven kivce C.

1.7 Elektrostatick energie nboje, potencil elektrickhopole

Prci, kterou pole vykon pi pemstn nboje mezi body 1, 2 lze vyjdit jakorozdl hodnot jist veliiny pole, kter je funkc pouze polohy nboje v tomtopoli. Dobe to meme vidt na vsledku (19). Nov zaveden veliina se na-zv potenciln (polohov) energie nboje v elektrostatickm poli aoznauje se We 2. Tedy

A = q

r2r1

E dr =We1 We2. (21)

V poli bodovho nboje Q m tud testovac nboj q v obecn poloze poten-ciln energii

We = qQ

40r. (22)

Vraz (21) uruje potenciln energii a na konstantu, kterou lze vhodnvolit podle okrajov podmnky pro vpoet potenciln energie. Volme-li po-tenciln energii nulovou v bod neomezen vzdlenm, kme, e potencilnenergii normujeme. To je ppad vrazu (22), z nho je zejm, e pro r je We = 0.

Potenciln energie testovacho nboje q v elektrickm poli zvis jednakna mohutnosti zdroje (dan zdrojovm nbojem a polohou testovac stice),jednak na testovacm nboji q. Je vhodn vzthnout tuto potenciln ener-gii na kladn jednotkov testovac nboj a vyut ji k energetickmu popisuelektrickho pole. Pslun veliina se nazv potencil elektrickho pole a denuje se jako elektrostatick energie We testovacho nboje v uritm

2Oznaen W pro energii se v teorii elektromagnetickho pole dv pednost ped ozna-enm E, aby nedochzelo ke kolizi s oznaenm pro intenzitu elektrickho pole. Prce seoznauje A msto W.

17

bod pole dlen tmto nbojem q. Neboli je to prce, kterou pole vykon pivzdlen kladnho jednotkovho testovacho nboje z uvaovanho bodu poledo nekonena. Tedy normovan potencil

= Weq

=r

E dl . (23)

Pro normovan potencil bodovho nboje uitm vztahu (22) dostaneme

= Q40r. (24)

Pro soustavu bodovch nboj provedeme skalrn superpozici potencil jed-notlivch nboj Qk v polohch rk od uvaovanho bodu pole a dostaneme

=n

k=1

k =1

40

nk=1

Qkrk

. (25)

Analogicky postupujeme, je-li zdrojov nboj spojit rozloen na e, ploenebo v prostoru s pslunmi hustotami , , resp. :

=1

40

L

dlr

. (26)

=1

40

S

dSr

. (27)

=1

40

V

dVr

. (28)

kde r je vzdlenost uritho elementu nboje od msta, kde urujeme potenciljeho pole.

Pro znzornn pole uvme vedle silor i ploch stejnho potencilu neboliekvipotencilnch ploch, oznaovanch rovn jako hladiny potencilu.Mezi dvma libovolnmi body urit hladiny je rozdl potencilu nulov a prcepi pemstn po hladin je nulov. Pro hladinu tedy plat qE ds cos = 0,

tj. cos = 0 a tud = 2 . Z toho tedy plyne, e E je kolm k hladin.

Silory jsou tedy v bodech ekvipotencilnch ploch kolm k tmto plochm. Jezejm, e ekvipotencilnmi plochami radilnho pole (obr. 3a, b) jsou kulovplochy a homogennho pole (obr. 3c) roviny rovnobn v uvaovanm ppads nabitmi deskami.

Jednotka potencilu: [] = J C1 = V (volt).

18

1.8 Souvislost potencilu a intenzity elektrickho pole

Obr. 14

d

q

dr

r

0E

Ze silovho popisu elektrickho pole jsme dospli k in-tenzit elektrickho pole a z energetickho popisu k po-tencilu elektrickho pole. Abychom nali souvislostmezi tmito veliinami, pedstavme si, e na hladin po-tencilu = (r) je bodov testovac nboj q (obr. 14),kter zde m potenciln energii q.Pole psob na nboj silou qE . Posune-li se nboj o drve smru kolmm k hladin na hladinu d, vykonpole prci qE dr , kter se projev bytkem potencilnenergie nboje. Tato energie v jeho nov poloze budeq( d). Mus tedy platit

qE dr = q d . (29)Vzhledem k tomu, e u radilnho pole je

E = Er 0 , a dle dr = r 0 dr , r 0 r 0 = 1 ,je E dr = E dr a ze vztahu (29) plyne

E dr = E dr = d , (30)

neboli

E = ddr

.

Po vynsoben rovnice jednotkovm vektorem r 0 dostaneme hledan vztah proradiln pole

E = ddr r0 . (31)

Protoe dr je nejmen vzdlenost mezi hladinami a d, je ddr nej-vt spd (gradient) potencilu. Vztah, kter slou k pevodu mezi veliinamiE , , k, e intenzita elektrickho pole je dna nejvtm spdempotencilu, neboli zporn vzatm gradientem potencilu.

Odvozen vztah (31) plat pro jednoduch ppad, kdy potencil je funkc = (r), zvis-li jen na velikosti polohovho vektoru r . U rovinnch loh(viz nap. dipl v nsledujcm pklad 5) je potencil funkc dvou nezvislepromnnch poloh bodu, za kter je vhodn volit polrn souadnice r, .Pak je potencil funkc = (r, ). Z tto funkce lze urit uitm parcilnchderivac polrn souadnice vektoru intenzity E ze vztah, kter uvdme bez

19

odvozen (to lze najt nap. v uebnici [2], str. 70):

Er = r

, E = 1r

. (32)

Potencil lze t vyjdit jako funkci kartzskch souadnic bodu pole,je-li popsn funkc = (x, y, z). Pi odvozen hledanch vraz vyjdeme zevztahu (29) po dlen q 6=0, kde skalrn souin na lev stran vyjdme pomockartzskch souadnic vektor E , dr , rozepeme pln diferencil d vpravoa dostaneme

Ex dx+Ey dy +Ez dz = (

xdx+

ydy +

zdz).

Porovnnm koecient u diferencil dx, dy, dz dostaneme kartzsk souad-nice vektoru intenzity E uitm parcilnch derivac potencilu podle x, y, z:

Ex = x

, Ey = y

, Ez = z

. (33)

Vztah (31) ppadn (32) a (33) slou k vpotu intenzity znme-li po-tencil elektrickho pole. To je asto vhodn postup, protoe potencil jakoskalrn veliina se snadnji pot. Meme jej zskat integrac nkterho zevztahu (26) a (28). Vypoteme-li naopak snadnji intenzitu elektrickho polenap. uitm Gaussova zkona, vypoteme potencil integrac vztahu (29):

= E dr + C , (34)kde integrac konstantuC vypoteme z okrajov podmnky, tj. volme pro uritr velikost potencilu. Zpravidla volme = 0 pro r (pak je potencilnormovan), avak podle lohy me bt volba i jin, nap. = 0 pro r = 0.Integrl ve vztahu (34) je neurit.

Pemstme-li jednotkov nboj mezi dvma body pole o potencilu 1, 2vykon pole prci, kterou dostaneme jako rozdl potencil v uvaovanchbodech. Tento rozdl potencil se oznauje jako elektrick napt U.Vzhledem k (34) dostaneme

U12 = 1 2 =r2r1

E dr . (35)

20

Pklad 5 elektrick pole diplu

Uvaujte elektrick dipl, tj. soustavu dvou nbojQ, +Q umstnch v kon-covch bodech orientovan seky l , kter je uloen v kartzsk soustav podleobr. 15. Vypotte potencil v libovolnm bod A (x, y) resp. A(r, ) roviny(x, y). Dle uvaujte polohu bodu A, jej polrn souadnice r l, a urete vnm potencil a kartzsk a polrn souadnice intenzity E . Specializujte jejichhodnoty pro dv vznamn polohy y = 0 a x = 0, resp. = 0 a = /2.

Obr. 15

O

A

Q +Q x

y

l

E

ErE

Ex

Ey

een

Uitm principu superpozice pro potencil v bod A dostaneme

=Q

40

(1r1 1r2

), (36)

kde pro r1 a r2 podle obr. 15 plat

r21 =(x l

2

)2+ y2 , r22 =

(x+

l

2

)2+ y2 .

Pak potencil

=Q

40

1(x l2

)2+ y2

1(x+ l2

)2+ y2

. (37)

V prakticky vznamnm ppad, kdy r l, meme vztah (36) pepsatdo tvaru

=Q

40

r2 r1r1r2

Q40r2

(r2 r1) p40r2 cos , (38)

21

nebo r1 r2 l cos, piem p = Ql je velikost elektrickho momentup = Ql diplu. Protoe cos = x

ra r2 = x2+y2, meme vraz (38) pepsat

do tvaru s kartzskmi souadnicemi:

=px

40(x2 + y2)3

2

. (39)

Souadnice vektoru E intenzity elektrickho pole vypoteme derivacvraz (39) a (38) uitm vzorc (33) a (32):

Ex = x

=p(2x2 y2)

40(x2 + y2)5

2

, Ey = y

=3pxy

40(x2 + y2)5

2

. (40)

Er = r

=p cos20r3

, E = 1r

=

p sin40r3

. (41)

Pro vslednou intenzitu v bod A uitm sloek (41) dostaneme

E =E2r +E2 =

p

40r3sin2 + 4 cos2 =

p

40r31 + 3 cos2 . (42)

Pro y = 0 (bod A je na ose diplu) je x = r , = 0 a intenzita m souadnice

Ex = Er =p

20r3, Ey = E = 0 .

Pro x = 0 (bod A je na ose soumrnosti diplu) je y = r, = /2 a intenzitam souadnice

Ex = E = p40r3 , Ey = Er = 0 .

Pklad 6 elektrick pole nabit kulov plochy

Vypotte potencil a intenzitu elektrickho pole uzaven kulov plochy o po-lomru R rovnomrn nabit kladnm nbojem o plon hustot = konst.Funkce = (r), E = E(r) urete pro vechna r.

Poznmka: Popsan ppad je modelem situace u nabit vodiv koule, u nse nboj v dsledku vzjemn odpudivosti rozlo jen na povrchu koule.

22

een

Nejprve vypoteme potencil kulov plochy integrac elementu plochy uitmvztahu (27). Zvolme si bod A, v nm budeme pole urovat, nejprve vn plochy(obr. 16). Za element si vhodn zvolme prstenec elementrn ky tak, aby bylkolm k ose jdouc stedem O a bodem A. Na elementu je nboj

dQ = (2R sin)(R d) = 2R2 sind . (43)

Nboj je ve vzdlenosti r od bodu A, piem podle kosinov vty platr2 = R

2 + r2 2Rr cos.Diferenciac (r = konst., R = konst.) dostaneme

2r dr = 2Rr sind . (44)

Obr. 16

O Ar

r

d

Rd

R

Protoe za integran promnnou bude vhodn volit r, vyjdme z (44)sind a dosadme do (43):

dQ = 2R

rr dr .

Pak potencil prstence je

d =dQ

40r=

R

20rdr .

Nyn meme provst integraci pes celou kulovou plochu. Bude-li bod A vnkulov plochy nebo na jejm povrchu, tj. r R, bude se r mnit v mezchr R, r +R. Tedy

r R : = R20r

r+RrR

dr =R2

0r=

Q

40r, (45)

23

kde Q = 4R2 je celkov nboj na kulov ploe.Bude-li bod A leet uvnit plochy (r < R) bude se vzdlenost r mnit

v mezch od R r do R + r. Tedy

r < R : =R

20r

R+rRr

dr =R

0=

Q

40R. (46)

R

R

R

r

r

E0

20

O

O

Obr. 17

Z vsledku (45) je zejm, e vn nabit uzavenkulov plochy vypoteme potencil elektrickhopole tak, jakoby cel jej nboj byl soustednv jejm stedu. Z vsledku (46) je vidt, e uvnitkulov plochy je potencil konstantn a je rovenjeho velikosti na povrchu kulov plochy.Prbh potencilu je znzornn na obr. 17. Jezejm, e potencil je funkce spojit, avak v bo-dech r = R nen hladk. To ovlivuje i inten-zitu elektrickho pole pro r = R, kter pro tentobod nen z matematickho hlediska denovna.Intenzita je podle (31) dna derivac, avak ta pror = R neexistuje (derivace zprava se nerovn de-rivaci zleva). Pro velikost intenzity uitm vztahu(31) na funkce (45) a (46) dostaneme

E = 0 pro r < R, (47)

E =R2

0r2=

Q

40r2pro r > R . (48)

Fyzikln meme dospt k velikosti intenzity pro r = R touto vahou.Plon nboj je idealizovanm matematickm modelem, nebo ve skutenostije nboj vzn na stice ltky konench rozmr. Take, i kdy hovomeo plonm nboji, je nboj rozloen v tenk vrstv a tud i prbh potenciluje popsn funkc hladkou a intenzita pro r = R bude existovat. Pro tento bod sebere jako stedn hodnota intenzity zprava a zleva v blzkm okol bodu r = R(srovnej s [7], s. 65), tedy

ER =

20pro r = R . (49)

24

Pklad 7 elektrick pole nabitho dielektrickho vlce

Je dn dlouh dielektrick vlec o polomru R nabit prostorovm nbojemo hustot =konst. a permitivit 0. Vypotte intenzitu a potencil jehoelektrickho pole pro body roviny prochzejc jeho stedem kolmo k ose vlce.Jednu okrajovou podmnku pro potencil volte (0) = 0, druh vyplyne zpodmnky spojitosti funkce popisujc potencil pro r = R.

een

R

r r

S

l

E1E2

Obr. 18

Protoe silory pole jsou kolm k osevlce, urme intenzitu pole snadno uitmGaussova zkona. Za uzavenou plochu Ssi volme vlcovou plochu promnnho po-lomru r a dlky l (obr. 18). Gaussv zkon

pro r < R : 2rlE1 =10r2l ,

z toho E1 =r20

,

pro r R : 2rlE2 = 10R2l ,

z toho E2 =R2

20r.

Potencil vypoteme uitm vztahu (34).Pro r < R:

1 = 20

rdr + C1 = r

2

40+ C1,

pro r R:

2 = R2

20

drr+C2 = R

2

20ln r+C2 .

Okrajov podmnky:1(0) = 0, z toho C1 = 0,

1(R) = 2(R), neboli R2

40= R

2

20lnR+ C2,

z toho C2 =R2

40(2 lnR 1).

Pak potencil

pro r < R: 1 = r2

40, pro r R: 2 = R

2

40(2 ln R

r 1) .

25

1.9 Vlastn elektrostatick energie soustavy nboj

Mjme soustavu bodovch nboj. Kad z nich je zdrojem elektrickho polea souasn i objektem, na kter pole ostatnch nboj psob. Charakteristi-kou takov soustavy je vlastn elektrick energie soustavy neboli energieelektrostatick vazby (podobn me jt o energii vazby gravitan nap.u galaxie nebo jadern u nukleon v jde). Tuto energii denujeme jako rozdlenergie, kterou m soustava v dan poloze nboj a energie, kterou by soustavamla, kdyby se vzdlenosti neomezen zvtily. Vlastn energie soustavy nbojje tedy rovna normovan elektrostatick energii soustavy (We = 0 pro r ).

Velikost vlastn energie soustavy meme rovn urit jako prci, kterouje teba vykonat na rozklad soustavy do jednotlivch neomezen vzdlenchsloek (element). Naopak pi vzniku soustavy z jednotlivch sloek se vlastnenergie soustavy uvoluje. Soustava je stabiln, je-li jej vlastn energiezporn a minimln. Soustava m zpornou vlastn energii, budou-li slymezi jednotlivmi slokami pitaliv (resp. bude-li u smen interakce vlivpitalivch sil pevldat).

Uvaujme pro jednoduchost nejprve dva bodov nboje Q1, Q2, kter jsouve vzjemn vzdlenosti r12 = r21. Pak potenciln elektrostatick energie n-boje Q1 v elektrickm poli nboje Q2 je

W12 = Q12 = Q1Q2

40r12.

vahu lze obrtit a zjiovat elektrostatickou energii nboje Q2 v elektrickmpoli nboje Q1:

W21 = Q21 = Q2Q1

40r21=W12 .

Vlastn elektrostatickou energii soustavy dvou bodovch nboj meme for-mln vyjdit vztahem

W =12W12 +

12W21 ,

kter je vhodn pro dal zobecnn.Pjde-li nyn o soustavu t nboj, musme brt v vahu psoben kadho

nboje s kadm a vzt jednu polovinu vlastn energie mezi objektem i, j, neboWij =Wji. Tak meme pst

W =12(W12 +W13 +W21 +W23 +W31 +W32) .

Vpoet vlastn elektrostatick energie meme nyn zobecnit na n bodo-vch nboj. Vzjemnou vzdlenost nboje Qi a nboje Qj ozname rij = rji.

26

Pak vlastn elektrostatick energie soustavy je

We =12

ni=1

nj=1,j 6=i

Wij =1

80

ni=1

nj=1,j 6=i

QiQjrij

. (50)

Tento vraz lze jet pepsat do tvaru

We =12

ni=1

Qii , (51)

kde

i =1

40

nj=1,j 6=i

Qirij

, (52)

je potencil elektrickho pole soustavy bodovch nboj v mst nboje Qivzbuzen vemi ostatnmi nboji Qj (st se pouze pro j 6= i).

prava vsledku (50) do tvaru (51) umouje jednoduch pechod na p-pad soustavy se spojit rozdlenm nbojem. Msto nboje Qi uvaujeme jehoelement dQ, piem jeho energie v poli ostatnch element bude dQ, kde je potencil, kter v mst elementu dQ bud vechny ostatn elementy spo-jit rozloenho nboje. Celkov vlastn elektrostatick energie soustavy je pakdna integrac pes cel nboj soustavy, tedy

We =12

Q

dQ . (53)

Pklad 8 energie elektrostatick vazby krystalov me

Obr. 19b

K vznamnm a jednoduchm iontovm krys-talm pat krystal chloridu sodnho (NaCl), je-ho zjednoduen elektrick model je na obr. 19.Sestv se z iont nesoucch po jednom elemen-trnm nboji e: z kladnch iont Na+ (vyzna-ench ernmi kulikami) a zpornch iontCl (vyznaench blmi kulikami) pravidelnuspodanch s cyklujcm znamnkem nbojeve vrcholech krychle o stran b a tvocch pro-storovou krystalovou m s mkovou konstan-tou b = 2,82 1010 m. Vypotte energii elek-trostatick vazby pipadajc na jeden ion krys-talu.

27

een

Teoreticky jde o sloitou lohu, nebo jeden makroskopick krystal NaCl obsa-huje okolo 1020 atom. Pi een je vak mon oekvat, e ionty na jednomkonci makroskopickho krystalu budou mt jen velmi nepatrn vliv na iontyna jeho opanm konci. Lze se proto pi sestavovn ady omezit jen na uritpoet len ady podle poadavku pesnosti vpotu jejho soutu.

Dal zjednoduen problmu spov ve zjitn, e uspodn zpornchiont v okol uritho kladnho iontu je analogick uspodn kladnch iontv okol uritho zpornho iontu (obr. 19). Proto meme pijmout jeden ion,lhostejn zda kladnho i zpornho znamnka, za centrln a vypotat jehoelektrostatickou energii v poli ostatnch iont a zskanou energii vynsobit po-tem N iont a koecientem 1

2, protoe kad pr iont je pi vpotu energie

uvaovn dvakrt. Tak msto obecnjho vrazu (50) dostaneme

We =N

2Q1

Nj=2

j =1

80N

Nj=2

Q1Qjr1j

, (54)

kde j je potencil, kter v mst centrlnho iontu o nboji Q1 (nmi tak libo-voln zvolenho a oznaenho indexem 1) zpsobuje ion o nboji Qj , piem|Q1| = |Qj | = e je elementrn nboj a r1j jsou vzdlenosti zvolenho cen-trlnho iontu od ostatnch iont v makroskopickm krystalu. Energie vazbypipadajc na jeden ion uren z (54) pro nejbli okol centrlnho iontu je

We1 =WeN

=1

80

(6e

2

b+

12e2

b2 8e

2

b3+ . . .

). (55)

Prvn len ady v zvorce je mrn energii od esti nejblich iont ve vzd-lenosti b, druh len energii dvancti iont ve vzdlenosti stranov hlopkyb2, tet len energii osmi iont ve vzdlenosti prostorov hlopky b

3. Pi-

dnm dalch len ady a vpotem jejho soutu na potai dostaneme povytknut e2/b pro numerickou hodnotu soutu v zvorce slo 1,7476. Vazbovenergie pipadajc na jeden ion pak je

We1 = 0,06953 e2

0b. (56)

Po dosazen za konstanty dostaneme numerickou hodnotu energie vazbyWe1 = 7,15 1019 J = 4,46 eV.

Pklad 9 vlastn elektrostatick energie nabit koule

Vypotte vlastn elektrostatickou energii dielektrick koule o polomru R apermitivit 0 nabit prostorovm nbojem Q o hustot =konst.

28

een

OAr

R

r

dr

Q

Obr.20

K vpotu vlastn energie uijeme vraz (53).Nejprve je nutn vypost normovan potencilpro body uvnit koule. Potencil budeme potatv bod A (obr. 20), kter le na mylen koulio polomru r opsan ze stedu O. Tato koule dlnboj koule na dv sti. Pro nboj Q1, kter jeuvnit tto koule, je bod A bodem vnjm a i-nek tohoto nboje je takov, jako by Q1 byl sou-stedn v bod O. Potencil od nboje Q1 tedyje

1 =Q1

40r=

r2

30.

Pro nboj Q2, kter je vn vnitn koule o polomru r, je bod A bodem vnit-nm. V pklad 6 jsme ukzali, e pole uvnit dut koule m konstantn po-tencil. Tedy v bod A bude mt pole od vnj dut koule (vnitnho polomrur a vnjho polomru R) stejn potencil jako od tto koule ve stedu O.Stanovme nyn tento potencil 2. Z vnj sti koule vytkneme elementrnkulovou vrstvu o polomru r a tlouce dr, kter nese nboj dQ2 = 4r2 dr.

Vyjdme element potencilu d2 =dQ240r

a integrujeme v mezch r, R, tedy

2 =

0

Rr

r dr =

20(R2 r2) .

Celkov potencil v bod A je dn superpozic

= 1 + 2 =

60(3R2 r2) = Q

80R3(3R2 r2) , (57)

kde Q je nboj koule.

Tento vsledek meme dostat tak pmm vpotem uitm vztahu (23),kter pepeme do tvaru

=

r

E dr =

Rr

E dr +

R

E dr ,

kde podle pkladu 4 pro intenzitu v naem ppad plat

E =Qr

40R3pro r R a E = Q

40r2pro r > R .

29

Pak

=Q

40

R

r

r drR3

+

R

drr2

= Q

80R3(3R2 r2)

Nyn pistoupme k vpotu vlastn energie podle vztahu (53). Uvnit koulesi vytkneme elementrn kulovou vrstvu o obecnm polomru r a tlouce dr,kter nese nboj dQ = 4r2 dr . Dosadme do (53), vyuijeme vsledku (57)a integrujeme pes celou kouli:

We =2

30

R0

(3R2r2 r4)dr =

=2

30

[R2r3 r

5

5

]R0

=42

150R5 =

3Q2

200R. (58)

Tato energie je kladn a pokud by stice koule nebyly vzny jinmi interak-cemi, koule by se okamit rozpadla.

1.10 Hustota energie elektrickho pole

Nositelem elektrostatick energie nabitch tles a stic je elektrick pole, kterexistuje v jejich okol. Vypoteme nyn hustotu jeho energie, tj. energii pipa-dajc na jednotkov objem.

Obr. 21

R

dR

R dRS

E

F

K vpotu si zvolme jednoduch objekt na-bitou uzavenou kulovou plochu o polomru R,kter meme mnit. Uvaujme malou st po-vrchu o plonm obsahu S (obr. 21), kter obsa-huje nboj Q = S a na kter psob pole silou

F = QER, kde podle (49) je ER =20

. Chceme-li

zmenit polomr kulov plochy o dR, mus vnjsly vykonat prci dA = F dR, kter se projevzvtenm potenciln energie pole o dWe. Tedy

dWe = F dR = QER dR =2

20S dR ,

kde S dR = dV je prstek objemu uvaovanho pole. Toto pole je ji vnkulov plochy, i kdy v jej tsn blzkosti. Jeho intenzita E se proto pot ji

podle vrazu (48), protoe vak dR 0, je E = 0. Pak objemov hustota

30

energie elektrickho pole je

we =dWedV

=2

20.

Tento vraz po zaveden intenzity E = 0

nabv obecnj tvar

we =120E

2 . (59)

Hustotu elektrickho pole meme tak podobnm postupem odvodit va-hou o elektrickm poli dvou rozlehlch rovinnch desek nabitch stejnmi n-boji opanho znamnka (viz l. 3.3 tto broury nebo knihu [8], s. 73).

Pklad 10 ohyb svazku elektron na nabitm drt

Tenk svazek elektron urychlench ve vakuu naptm U na rychlost v0 pro-chz elektrickm polem vytvoenm kladn nabitm tenkm drtem, kter jekolm k rovin trajektorie elektron (obr. 22). Je dna linern hustota nboje =konst. Vypotte celkov hel 0, o kter pole drtu zmn smr trajek-torie elektron (tedy hel ohybu dostaten dlouhho svazku). Posute, zdatento hel zvis na parametru b, tedy na kolm vzdlenosti teny k trajektoriive vzdlen poloze elektronu od osy drtu. ete za tchto zjednoduujcchpodmnek:

a) Drt je dostaten dlouh, aby mohl bt pokldn za nabitou pmku.b) Jsou splnny podmnky pro pouit pohybovch rovnic klasick mechaniky.c) hel 0 je mal a zmny velikosti rychlosti v0 jsou zanedbateln.

b

e

me0

v

v0

drt

Obr. 22

een

Elektrick pole vn drtu je dno vztahem (15), tedy E = 20ra na elektron

psob sla F o velikosti

F = eE =e

20r, (60)

31

smujc k drtu kolmo k jeho ose. Smr sly tedy zvis na okamit po-loze elektronu na trajektorii. Polohu elektronu popeme hlem (obr. 23a),

kter pro neomezenou trajektorii bude v mezch 2 ,2 . Sla F bude

mnit hybnost p elektron; budeme se zajmat jen o zmnu smru hybnosti.Ve vzdlenm bod trajektorie (obr. 23b) bude pro jej kolmou sloku platitp = p sin0 mev00. Odtud pro hledan hel dostaneme

0 pmev0

. (61)

b r

d

r d

v0 dte

0

F

p

F

p

a)

b)

Obr. 23

Velikost sloky p hybnosti urme z celkovho impulsu kolm sloky Fsly F , jej velikost je dna vrazem (60), na cel trajektorii:

p = Ft,

kde

F =e

20

cosr

.

Mezi promnnmi r, a dt plat vztah (obr. 23 a):

v0 dt cos = r d = dt = r dv0 cos

.

Element impulsu sly F tedy bude mt velikost

F dt =e

20

cosr

r dv0 cos

=e

20v0d .

32

Celkov impuls sly F dostaneme integrac v mezch od 2 do2 , tedy

Ft =e

20v0

pi2

pi2

d =e

20v0= p .

Po dosazen do (61) dostaneme hledan een

0 e20mev20=

40U,

kde k prav byl pouit klasick vztah

12mev

20 = eU

pro urychlovac napt U. hel 0 zejm nezvis na vzdlenosti b.Poznmka: Nmtem pro tento pklad byla st zadn jedn lohy na

24. MFO v USA (1993).

33

2 Elektrostatick pole v dielektriku

2.1 Dielektrikum a jeho polarizace

Vlome-li do elektrickho pole vytvoenho ve vakuu ltkov prosted, dojdek interakci pole a posted. Bude-li tmto prostedm vodi, kter se vyznaujeexistenc volnch nboj, dojde psobenm pole k jejich pemisovn a vznikelektrick proud. Druhou skupinou ltek je izolujc prosted (izolant), kterse z hlediska elektrickho pole oznauje jako dielektrikum. U nj jsou nabitltkov stice (elektrony a protony) vcemn vzjemn vzny a psobenmvloenho vnjho pole se nemohou z tohoto msta vzdlit. Psobenm tohotovnjho pole dojde pouze k deformaci mikroskopickch elektrickch pol ato-mrnch element dielektrika. Tento jev se nazv dielektrick polarizace.

Pi dielektrick polarizaci dochz ke kombinaci nsledujcch mechanism:1. Posuv elektron v obalu atomu vi jdrm jde o tzv. elektronovou

polarizaci.2. Posuv jader atom vzhledem k sob tzv. jadern polarizace.3. Orientace polrnch skupin nebo molekul do smru vnjho elektrickho

pole tzv. orientan polarizce.Modelov si lze pedstavit polarizaci dielektrika jako vznik atomrnch nebo

molekulrnch dipl. Jejich inky se superponuj a polarizovan dielektrikumse navenek jev jako jeden makroskopick dipl.

2.2 Vliv dielektrika na elektrick pole

Obr. 24

E

E0

Ep

|

Polarizovan dielektrikum ovlivuje pvodn elektrickpole ve vakuu. Vysvtlme si to na kondenztoru, kternabijeme a pak mezi jeho desky vlome dielektrikum(obr. 24). V dsledku polarizace dielektrika se na jehokrajnch plochch objev povrchov vzan (pola-rizan) nboje. Na stran pilehl ke kladn descevznik zporn vzan nboj, na stran pilehl k z-porn desce vznik stejn velk kladn vzan nboj.Tyto nboje jsou vzny na dielektrikum a nemohou seproto z nj odvst; nemohou se uvnit dielektrika anipohybovat (v dielektriku nevznik vodiv proud). Tmse podstatn li od volnho nboje, kter je ve vo-dii voln pohybliv a d se z nj odvst. V pkladznzornnm na obr. 24 je voln nboj na deskch.

Polarizn vzan nboje bud v dielektriku polarizan elektrick pole o in-tenzit Ep, kter je nameno proti intenzit E0 pvodnho pole ve vakuu

34

(obr. 24). Ozname-li E intenzitu vslednho pole, meme intenzitu Ep po-larizanho pole vyjdit ve tvaru

Ep = pE , (62)

kde p je bezrozmrov veliina, kter se nazv dielektrick susceptibilita.Zvis pedevm na druhu dielektrika, me vak zviset i na intenzit E .

V naem vkladu budeme uvaovat jen izotropn linern dielektrika,u nich p je konstanta nezvisl na intenzit E . Pak je Ep linern funkc E .Z mechanismu dielektrick polarizace vyplv, e u vech dielektrik mus bt p > 0.

Vsledn intenzita elektrickho pole v dielektriku je

E = E0 + Ep = E0 pE .

Z toho

E =E0

1 + p=

E0

r, (63)

kde jsme zavedli oznaen1 + p = r .

Budeme-li aplikovat vraz (63) nap. na pole bodovho nboje (6), memepst

E =1

40r

Q

r2r

0 =Q

4r2r

0 , (64)

kde = 0r je (absolutn) pemitivita dielektrika a

r =0

= 1 + p > 1 (65)

je relativn permitivita dielektrika. Pro plyny je zpravidla jej odchylkaod relativn permitivity vakua (r = 1) zanedbateln, nap. pro vzduch jer = 1,000 594. Pro sklo podle jeho sloen je r = 5 a 7,5, pro petrolejr = 2,1, avak pro glycern r = 41,1 a pro vodu r = 81,1.

V dielektriku se sly mezi nboji zmen rkrt. Zvl vrazn se projevujetato vlastnost u vody a tm se vysvtluje i velk disocian vlastnost vody.Pi rozputn sol, jejich molekuly maj iontovou vazbu (nap. NaCl,CuSO4)se elektrick sla mezi ionty (nap. Na+,Cl) ve vod zmen 81krt, a to vyvolrozpad molekuly na osamocen ionty. Tak vznik elektrolyt, kter je schopenvolnmi kladnmi a zpornmi ionty zprostedkovat veden proudu.

35

2.3 Elektrick indukce

Intenzita elektrickho pole zvis na permitivit danho prosted viz nap.vraz (63). Proto se asto zavd nov veliina elektrostatick indukcetak, aby jej velikost nebyla ovlivnna vlastnostmi dielektrika. Pro linern die-lektrika je elektrick indukce denovna vztahem

D = E . (66)

Tak nap. elektrick pole bodovho nboje bude mt indukci

D =Q

4r2r

0 . (67)

Jednotka elektrick indukce m rozmr [D] = C m2 = A s m2.Podobn jako silory denuj se i indukn ry jako orientovan ry

jejich teny maj ve vech bodech smr vektoru elektrostatick indukce a je-jich hustota je mrn jeho velikosti. Pro linern dielektrika maj silorya indukn ry zejm stejn tvar, avak rznou hustotu. Na rozhran dvourznch dielektrik budou silory nespojit, kdeto indukn ry spojit.

Analogicky toku intenzity elektrickho pole (10) zavdme elektrick in-dukn tok vrazem

=S

D dS . (68)

Mezi obma toky je pro izotropni dielektrika zejm vztah = e. Pak m-eme platnost vraz (12), (13) zobecnit i pro elektrick pole v dielektriku,tedy

S

D dS =n

k=1

Qk Q , (69)

S

D dS = V

dV . (70)

Tyto vztahy reprezentuj Gaussv zkon pro elektrick pole v dielek-triku a zahrnuj i elektrick pole ve vakuu (pak D = 0E ). Nboj na pravstran rovnic (69), (70) je voln. Vliv vzanho (polarizanho) nboje je jizahrnut ve veliin D . Pokud ns bude zajmat intenzita polarizanho elek-trickho pole a velikost vzanho nboje, ppadn jeho hostota, je nutn eentohoto problmu pevst na vakuum, ve kterm v tomto ppad existuje vedleelektrickho pole volnho nboje jet indukovan polarizan pole vzanhonboje.

36

Podobn meme rozit i platnost vrzu (59) pro hustotu energie elek-trickho pole v dielektriku:

we =12E2 =

12ED =

12E D , (71)

kde posledn vyjden plat i pro neizotopn dielektrika, u nich maj obecnvektory E , D rzn smr.

37

3 Kapacita vodi

3.1 Vlastn kapacita vodie

Mjme osamocen izolovan vodi, na kterm je nbojQ. Kolem vodie existujeelektrostatick pole, kter jsme popsali intenzitou a potencilem. Zvtme-linboj na vodii n krt, zvt se rovn intenzita a potencil v jeho okol i napovrchu n krt. Meme to snadno posoudit nap. z vrazu (45), kter platpro jednoduch vodi tvaru koule. Nboj vodie Q a jeho potencil jsou sitedy mrn. Meme proto pst Q = Cv, kde je normovan potencil3

na vodii a konstanta mrnosti

Cv =Q

(72)

se nazv (vlastn) kapacita vodie. M vznam nboje potebnho k tomu,aby se uvaovan vodi nabil na kladn jednotkov normovan potencil. Ka-pacita vodie je mrou jeho schopnosti zskat (nebo udret si) elektrick nboj.

V ppad zmnnho kulovho vodie pro jeho kapacitu ve vakuu uitmvztah (45) a (72) dostaneme

Cv = 40R. (73)

Kapacita m jednotku o rozmru

[Cv] =coulombvolt

= m2 kg1 s4 A2 = F(farad) .Kapacita osamlho vodie je velmi mal. Napklad obrovsk kulov kon-

denztor o polomru rovnm polomru Zem by ml kapacitu pouhch 710 F.

3.2 Kapacita kondenztoru

Kapacitu (osamlho) vodie jsme denovali z potencilu vzbuzenho pouzejeho vlastnm nbojem. Budou-li se nachzet v okol vodie dal nabit vodie,bude podle zkona superpozice potencil v mst prvnho vodie dn superpo-zic (algebraickm soutem) potencil vzbuzench prvnm i ostatnmi vodii.Nboj prvnho vodie se nezmn, zmn se vak jeho potencil. Kapacitu osa-mlho vodie meme proto zvtit tm, e do jeho blzkosti umstme opannabit vodi, kter sn potenciln rozdl mezi obma vodii, a tm vzrostekapacita.

3Potencil je obecn uren a na konstantu viz vraz (34). Aby valstn kapacita vodiebyla denovna jednoznan, musme volit jednoznan potencl tm, e jej normujeme podlevzorce (23), resp. integran konstantu volme tak, aby = 0 v bod nekonen vzdlenm.

38

Prakticky je dleit ppad, kdy jsou blzko sebe umstny dva vodie,na nich jsou stejn nboje, avak opanch znamnek. Tato soustava dvouvodi pedstavuje nabit kondenztor. Pibliujeme-li k sob opan nabitvodie, bude se zmenovat potenciln rozdl mezi nimi pi stejnm nboji, a totm vce, m budou vodie ble k sob. Tak pichzme k veliin vzjemnkapacita dvou vodi, neboli kapacita kondenztoru, kterou denujemevrazem

C = Q1 2 =

QU, (74)

kde Q je kladn nboj, kter by peel z prvnho vodie o potencilu 1 nadruh o potencilu 2 < 1 pi jejich vodivm spojen a U je elektrick naptmezi tmito vodii.

Prostor mezi vodii (deskami, elektrodami) kondenztoru se vypluje vhod-nm dielektrikem. Jak jsme si ukzali, dielektrikum zmenuje intenzitu pole.To vede pi nezmnnm nboji ke zmenen napt mezi elektrodami a to mve shod s (74) za nsledek zvten kapacity kondenztoru.

Pklad 11 kapacita deskovho kondenztoru

Vypotte kapacitu deskovho kondenztoru, sestvajcho ze dvou rovnob-nch desek, kad o ploe S, nachzejcm se ve vzjemn vzdlenosti d. Prostormezi deskami je vyplnn dielektrikem o relativn permitivit r.

een

Pivedeme-li na jednu desku nboj Q, bude se na druhdesce indukovat opan nbojQ (obr. 25). K uren inten-zity elektrickho pole mezi deskami uijeme Gaussv zkon.Pitom budeme pedpokldat, e vzdlenost d je relativnk rozmrm desek tak mal, e nemusme uvaovat rozptylpole na okraji desek (tzv. okrajov jev). Jednu z desek uza-veme do libovoln plochy a uitm Gaussova zkona (69)dostaneme DS = Q , kde D = 0rE. Tedy

E =Q

0rS.

Protoe pole mezi deskami je homogenn, bude napt mezideskami

U = Ed =Qd

0rS.

+Q Q

d

S

E

Obr. 25

39

Pak kapacita deskovho kondenztoru je

C = QU

= 0rSd

. (75)

Pklad 12 kapacita vlcovho kondenztoru

Vypotte kapacitu vlcovho kondenztoru, kter sestv ze dvou souoschvodivch vlcovch ploch o polomrech r1, r2 > r1 a o dlce l, mezi nimi jedielektrikum o relativn permitivit r. Okrajov jev neuvaujte.

een

+QQl

rdr r1

r2E (r)

Obr. 26

Na vnitn plochu pivedeme nboj Q, navnj ploe se bude indukovat nboj Q.Elektrick pole bude soustedno v pro-storu mezi vlcovmi plochami (obr. 26)a jeho intenzita bude kolm k jejich ose.K vpotu indukce D = 0rE pole ui-jeme Gaussv zkon (69), piem za uza-venou plochu zvolme souosou vlcovouplochu o polomru r (r1 r r2). Ne-nulov indukn tok pjde pouze pltmvlcov plochy, tok podstavami bude nu-lov. Tedy

2rl0rE = Q .

Z toho

E =Q

20rlr.

Pro vpoet napt mezi elektrodami pouijeme vraz (35):

U =

r2r1

E dr =Q

20rl

r2r1

drr

=Q

20rllnr2r1

.

Odtud kapacita

C =Q

U=

20rl

ln r2r1

. (76)

40

3.3 Energie nabitho kondenztoru

K vpotu energie kondenztoru meme vyjt z vrazu (71) pro hustotu ener-gie elektrickho pole, pout jej na objemov element pole kondenztoru a pro-vst integraci pro cel objem pole kondenztoru.

Energii elektrostatickho pole meme vypotat rovn jako prci poteb-nou k nabit kondenztoru o kapacit C. Kondenztor postupn nabjme ele-mentem nboje dQ. V uritm okamiku nech je na kondenztoru nboj Q atud mezi elektrodami napt U = Q/C. Zvtme-li nyn nboj o dQ, musmevykonat prci

dA = U dQ =Q

CdQ = dWe ,

kter se projev jako prstek energieWe elektrostatickho pole kondenztoru.Celkov energie po nabit na nboj Q je

We =1C

Q0

Q dQ =12Q2

C=

12QU =

12CU2. (77)

Nyn si meme naopak ovit platnost vrazu (71) pro hustotu energie,pouijeme-li odvozen vztah (77) na deskov kondenztor, ve kterm je homo-genn pole. Plat

We =12CU2 =

12S

dE2d2 =

12E2Sd ,

kde Sd = V je objem pole kondenztoru. Dlme-li tento vraz tmto objememV , dostaneme hustotu energie (71).

Pklad 13 elektrostatick voltmetr

Podstatou elektrostatickho voltmetru je deskov kondenztor se vzducho-vm dielektrikem, jeho jedna deska je pevn, druh pohybliv. Je spojenapes pkov mechanismus s ukazatelem, piem v rovnovn poloze je udr-ovna pruinou. Vypotte slu, kterou se pitahuj desky elektrostatickhovoltmetru pi potencilnm rozdlu U = 500 V. Kad z desek m plochuo obsahu S = 2500 mm2 a jejich vzjemn vzdlenost v rovnovn poloze jed = 1, 20 mm. Okrajov jev neuvaujte.

41

een

a) Prvn zpsob rozborem energie

Obr. 27

F

S

ddx

Prce, kterou pole vykon tm, e silou F pibl deskyo dx (obr. 27), je rovna bytku energie elektrostatic-kho pole mezi deskami. K vpotu vyuijeme hustotuenergie (59) a dostaneme

F dx = weS dx =120E

2S dx ,

neboli

F =0E

2S

2=

0U2S

2d2.

b) Druh zpsob rozborem silovho inku pole

+QQ

Obr. 28

Uvaujme, e v poli jedn desky, nap. nabit nbo-jem +Q (v obr. 28 jsou silory tohoto pole vyzna-eny plnmi arami), se nachz deska s nbojem Q.Pole kladn nabit desky na ni psob silou o velikostiF = E |Q|, kde pro intenzitu pole pouijeme vraz(17) pro nabitou rovinu, piem = Q/S. Pak

F =

20 | Q| = Q

2

20S=

C2U2

20S=

0SU2

2d2,

kde byl vyuit vraz (75) pro kapacitu deskovho kon-denztoru. Numericky F = 1, 92 103 N.

3.4 Kapacita soustavy kondenztor

Soustava (baterie) kondenztor me mt azen paraleln, sriov nebo kom-binovan.

a) Paraleln azen

Chceme-li pi stejnm napt U na svorkch kondenztoru zvtit nboj Qkondenztoru, musme zvtit jeho kapacitu C. Toho doshneme bu vhodnoukonstrukc kondenztoru anebo paralelnm spojenm danch kondenztor.

42

+Q1 +Qi +Qn

Q1 Qi QnC1 Ci CnU

+

Obr. 29

Pi paralelnm spojen jsou jedny desky vech kondenztor spojeny s jed-nm plem a druh desky se druhm plem stejnosmrnho zdroje (obr. 29).Napt U je na vech kondenztorech stejn, kdeto nboje se nahromad v po-mru kapacit:

Q1 = C1U, Q2 = C2U, ... Qi = CiU, ... Qn = CnU .Celkov nboj bude

Q =ni=1

Qi = Uni=1

Ci .

Nahradme-li tuto adu kondenztor jedinm kondenztorem, na kterm mbt pi napt U tento nboj Q, mus mt kapacitu

C = QU

=ni=1

Ci , (78)

kter se rovn soutu kapacit jednotlivch kondenztor.

b) Sriov azen

Poadujeme-li, aby se kondenztor nabil tm nbojem Q na vy napt U ,musme zmenit jeho kapacitu. Toho doshne bu vhodnou konstrukc konden-ztoru anebo sriovm spojenm danch kondenztor podle obr. 30.

+Q +Q +QQ Q Q

UnU1 Ui

C1 Ci Cn

U+

Obr. 30

43

Pi tomto spojen se na kadm kondenztoru nahromad (naindukuje)stejn nboj Q. Napt U se rozdl na jednotliv kondenztory v obrcenmpomru ke kapacitm:

U1 =Q

C1, U2 =

Q

C2, ... Ui =

Q

Ci, ... Un =

Q

Cn.

Souet tchto napt mus dt vloen napt U , tedy

U =ni=1

Ui = Qni=1

1Ci

.

Nahradme-li tuto adu kondenztor jedinm kondenztorem, mus mt kapa-citu C, pro jej pevrcenou hodnotu plat

1C

= UQ

=ni=1

1Ci

. (79)

44

4 lohy

1. Nboj kuliky

Kolik elementrnch nboj obsahuje nboj kuliky o hmotnostim = 1,2 1014 kg, udruje-li se kulika v rovnovze v elektrickm polideskovho kondenztoru s vodorovnmi deskami ve vakuu vzdlenmi odsebe d = 5,0 mm a je-li napt mezi nimi U = 92 V?

2. Sla mezi protony a elektrony

Pro pedstavu velikosti nboj obou znamnek (v normlnm stavu ltkyovem neutralizovanch), kter nesou stice ltky, vypotte velikost pi-taliv sly, kter by psobila mezi protony a elektrony 1 gramu vodku,kdyby vechny protony byly soustedny na severnm plu Zem a vechnyelektrony na jinm plu. Polomr Zem R = 6,38 106 m.

3. Men nboje vyuitm thovho pole

Nboje Q, kter nesou mal kuliky o hmotnosti m zaven na stejnchhedvbnch vlknech o dlce l v uspodn podle obr. 31, lze v thovm poliurit zmenm hlu , kter svraj vlkna. Urete nboj Q, jsou-li znmytyto veliiny: m = 6,0 106 kg, l = 7,0 102 m, 2 = 56, g = 9,81 ms2.

g

m mQQ

l l

2

Obr. 31

F v

x

b

+2e

+e

+e

H2

Obr. 32

!

4. Interakce dvou nabitch kuliek

Dv mal vodiv kuliky jsou zaveny na dlouhch nevodivch vlknechstejn dlky l, jejich druh konec je uchycen na jednom hku. Kulikyjsou nabity stejnmi nboji Q a jsou od sebe vzdleny r l. Co nastane,ztrat-li jedna z kuliek nboj? Do jak vzdlenosti r1 se nyn kuliky ustav?

45

5. Interakce stice s molekulou H2

stice proltne velkou rychlost geometrickm stedem molekuly vodku(obr. 32) po trajektorii, kter je kolm ke spojnici proton, jejich rozteje b. Pro jednoduchost uvaujte b = konst. a neuvaujte elektrick poleelektron. Vypotte:

a) velikost sly F v zvislosti na x,b) pro kter x bude odpudiv sla maximln.

6. Interakce dvou nabitch polokoul

Dut kovov koule o polomru R s tenkmi stnami je rovnomrn nabitanbojem Q a pot rozdlena hlavnm ezem na dv stejn polokoule, kterse zejm budou odpuzovat. Vypotte velikost odpudiv sly pro ppad,kdy polokoule budou tsn u sebe.

7. Dv nabit roviny

Mjme dv rozlehl nabit desky (teoreticky roviny) s konstantnmi hus-totami nboje 1 = 6,0 Cm2, 2 = 4,0 Cm2. Vypotte velikostintenzity elektrickho pole rovin a nakreslete silory pro tyto ppady:

a) Roviny jsou rovnobn a vzdlenost mezi nimi je d = 30 mm.b) Roviny jsou na sebe kolm.

K een vyuijte vsledk pkladu 3.

8. Elektrick pole nabitho kruhu

Tenk kruhov disk (kruh) o polomruR je nabit kladnm nbojem o plonhustot = konst. Disk le v rovin x = 0 a jeho sted v potku souad-nicov soustavy. Vypotte intenzitu jeho elektrickho pole na ose disku vbod o souadnici x > 0.

9. Elektrick pole nabit roviny s kruhovm otvorem

Rovina je rovnomrn nabita elektrickm nbojem s plonou hustotou .V rovin je kruhov otvor o polomru r.

a) Vypotte intenzitu elektrickho pole na kolmici k rovin, kter prochzstedem otvoru. Vzdlenost bodu, v nm potme pole, je y od steduotvoru.

b) Jak je intenzita elektrickho pole ve stedu otvoru?

10. Elektrick pole nabit seky

Vypotte intenzitu a potencil elektrickho pole seky dlky 2l v bod A,lec na ose seky ve vzdlenosti R (obr. 33). seka je nabita kladnmnbojem s konstantn dlkovou hustotou .

46

11. Elektrick pole nabit krunice

U nabit krunice, u n jsme potali intenzitu elektrickho pole v pklad1, vypotte potencil v bod A a uitm vztahu mezi potencilem a in-tenzitou (E = d/dx) ovte sprvnost vsledku pro intenzitu zskanhov pklad 1.

Obr. 33

A

l

l

R

" Obr. 34

E1

E2

d

d/3

#

12. Potencil nabit koule

U dielektrick koule nabit prostorovm nbojem Q, u n jsme intenzituelektrickho pole potali v pkladu 4, vypotte potencil, piem prosted koule zvolte (0) = 0. K een vyuijte vsledk een pkladu 4.

13. Elektrick pole rozlehl kruhov desky

Vypotte potencil a intenzitu elektrickho pole rovnomrn nabit kru-hov desky o polomru R v bodech na ose desky ve vzdlenosti y R.Plon hustota nboje je .

14. Mdlov bublina

Z vodiv mdlov bubliny o polomru r1 = 25 mm a nabit na potencil1 = 1,2 104 V vznikne po prasknut kapika vody o polomrur2 = 5,0 104 m. Jak je potencil 2 kapiky?

15. Rozdlen nboje

V jakm pomru se rozdl nboj na dv kovov koule o polomrechr1 = 50 mm a r2 = 10 mm, kter jsou vodiv spojeny dlouhm tenkmdrtem a v jakm pomru bude plon hustota nboje 1, 2 na tchtokoulch?

16. Elektrick pole t rovnobnch vodivch rovin

Dv velk kovov vzjemn rovnobn desky (teoreticky roviny) jsou vodivspojeny (viz obr. 34). Mezi n je ve vzdlenosti d/3 od horn desky vloenanabit kovov flie, piem plon hustota nboje = konst. Vypottevelikost intenzit E1, E2.

47

17. Vakuov dioda

Obr. 35

d

x

e

K A

O$

Z rozhaven deskov katody K vystupuj ve vakuu k rovno-bn instalovan anod A elektrony (obr. 35). Vzdlenostd mezi elektrodami je mal vzhledem k jejich rozmrm.Potencil mezi deskami je popsn funkc

= kx4/3, x 0, d.

a) Vypotte hustoty K, A povrchovch nboj na ka-tod a anod za pedpokladu = konst.

b) Jak zvis prostorov hustota nboj mezi deskamina x?

18. Bohrv model atomu vodku

Ve vvoji nzor na stavbu atomu zaujm vznamn postaven Bohrvmodel atomu vodku z r. 1913, kter postuluje, e elektron se pohybuje potakovch kruhovch trajektorich o polomru r se stedem v jde pro-tonu, pro n plat 2mevr = nh, kde v je rychlost elektronu o hmotnostime na pslun trajektorii o polomru r, h je Planckova konstanta a n pi-rozen slo udvajc poad trajektorie smrem od jdra. Odvote vztahypro rychlost, polomr trajektorie a frekvenci obhu elektronu a vypottevelikost tchto veliin pro n = 1.

19. Svazek elektron v pnm elektrickm poli

Svazek elektron vstupuje do pnho elektrickho pole vytvoenho rov-nobnmi nabitmi deskami podle obr. 36. Je dno: l = 20,0 mm,d = 6,0 mm, U = 170 V.

Obr. 36v

v0

l

d

d

e meU

%

a) Jak je vstupn rychlost v0 elektron, jestlie do elektrickho pole vstu-puj kolmo na jeho silory, piem napt U mezi deskami nastavmetak, e elektrony na vstupu prv dopadnou na okraj spodn desky.

48

b) Vypotte velikost a smr rychlosti v elektron pi dopadu na okrajdesky.

20. Interakce dvou elektron

Dva elektrony nachzejc se v klidu ve vzjemn vzdlenostib = 2,0 104 m, jsou uvolnny z vazby. Vypotte:a) elektrostatickou energii elektron ped uvolnnm z vazby,b) maximln rychlost, kter elektrony doshnou ve vztan soustav, v n

se nachzely v klidu.

21. stice v poli nabitho prstence

Tenk kovov prstenec o polomru R byl ve vakuu nabit kladnm rovno-mrn rozloenm nbojem Q. Rotan osa prstence nech je osou x vztansoustavy s potkem ve stedu prstence. Jak velkou poten rychlost v0musme udlit stici s kladnm nbojem q a o hmotnosti m, kter se na-chz na ose x ve znan vzdlenosti od stedu prstence (x R), abydoshla stedu prstence? Co nastane, bude-li poten rychlost nepatrnvt nebo men ne vypoten hodnota?

22. Interakce protonu s stic

Proton o rychlosti v a hmotnosti mp se pibliuje radiln z velk vzdle-nosti (teoreticky z nekonena) k voln stici (tj. k jdru helia), kter senachz v klidu v uvaovan inerciln vztan soustav. Psobenm elek-trickho pole protonu se stice uvede do pohybu.

a) Vypotte, do jak nejmen vzdlenosti 1 se proton pibl k stici (vzdlenost mme mezi stedy stic) a jak bude velikost v1 rychlostistice v tomto okamiku.

b) Po dosaen vzdlenost 1 je proton stic dle brzdn, a se zastava zane se vracet zpt. Vypotte vzdlenost 2 protonu od stice v okamiku, kdy bude jeho rychlost v pozorovac soustav nulov. Jakbude v tomto okamiku velikost v2 rychlosti stice ?

c) Stanovte pomry 2/1 a v2/v1.

Dj probh ve vakuu. Pro jednoduchost pedpokldejte, e m 4mp a ejsou splnny podmnky pro pouit klasick mechaniky, tj. v c.

23. Elektrostatick pole soustavy ty nboj

Jsou dny tyi bodov nboje q, 2q, 4q, 2q, kter jsou umstny ve vakuuve vrcholech tverce o stran b podle obr. 37. Ve stedu tverce je nboj q.Vypotte:

49

a) elektrostatickou slu, kterou psob nboje ve vrcholech na nboj q vestedu tverce,

b) elektrostatickou energii nboje q ve stedu tverce v poli nboj v jehovrcholech.

b

b

q

q

2q

2q 4q&

b b

e e+e,m

'

O

H Hb

+e +e

2e

(

Obr. 37 Obr. 38 Obr. 39

24. Soustava t nboj na sece

Jsou dny ti stice o nbojch e, e, e rozmstn na sece podleobr. 38. Vypotte:

a) elektrostatick sly psobc na jednotliv stice soustavy,b) celkovou elektrostatickou energii soustavy.c) Nech stedov stice o hmotnosti m se me pohybovat v pnm

smru. Jak bude hlov frekvence malch vlastnch kmit stice?

25. Molekula vody

Vypotte vazbovou energii osamocen molekuly vody, kterou meme in-terpretovat jako celkovou elektrostatickou energii iont molekuly: zpor-nho iontu kyslku o nboji 2e a dvou kladnch iont vodku (tj. proton)o nboji +e v konguraci podle obr. 39. Je znmo b = 1,54 1010 m, = 105.

26. Elektrostatick energie soustavy nboj

bb

b

e

e

e

e

e

e

e

e

+2e

)

Obr.40

Uvaujme soustavu osmi stic s nbojemelektronu, kter le ve vrcholech krychleo stran b a centrln stici s nbojemdvou proton, kter le ve stedu krychle(obr. 40). Vypotte:

a) elektrostatickou energii centrlnho n-boje 2e v poli osmi nboj e,

b) vlastn elektrostatickou energii soustavyvech devti nboj.

50

27. Vlastn elektrostatick energie linernho etzce iont

Vypotte vlastn elektrostatickou energii pipadajc na jeden ion neome-zen soustavy iont rozmstnch na pmce s rozte b = 3,00 1010 mtak, e ionty maj stdav nboje +e, e.

28. Vlastn elektrostatick energie nabit kulov plochy

Vypotte vlastn elektrostatickou energii uzaven kulov plochy o polo-mru R nesouc rovnomrn rozdlen povrchov nboj Q.

29. Model elektronu

Na zatku 20. stolet existovala hypotza, e klidov hmotnost elektronum ist elektrostatickou povahu. Tato hypotza zskala pozornost zejmnapo vybudovn speciln teorie relativity. Pedstavte si elektron ve tvarunabit koule o polomru r0 s konstantn objemovou hustotou nboje .Vyuitm vsledku een pkladu 9 a relativistickho vztahu W = mec2

vypotte polomr elektronu. Tento model m ovem zjevnou zvadu: elek-trostatick energie vazby je kladn a kdyby v elektronu existovalo ist elek-trick pole, elektron by se okamit rozpadl.

30. Vlastn elektrostatick energie jdra

Uvaujme jdro prvku o atomovm sle Z obsahujc Z proton, kter jsouspolu s neutrony vce i mn rovnomrn rozptleny v jde o polomru r0.Provete piblin vpoet vlastn elektrostatick energie soustavy Z pro-ton v jde. Pi vpotu budete omezen neznalost prostorov konguraceproton. Orientan pedpokldejte, e jejich stedn vzdlenost bude rovnar0, i kdy ve skutenosti bude vzhledem ke konenm rozmrm proton jejich stedn vzdlenost ponkud men.

31. Nabit koule pi zmn dielektrika

Jak mus bt polomr koule, aby ve vakuu po nabit nbojemQ = 4,0 106 C mla potencil = 1,2 105 V. Jak bude potencil koule, ponome-li ji nyn do vody (r = 81) a nboj na n se nezmn.

32. Kapacita kulovho kondenztoru

Odvote vraz pro kapacitu kulovho kondenztoru sestvajcho ze dvousoustednch vodivch kulovch ploch: vnitn o polomru r1, vnj r2.Mezi tmito plochami je dielektrikum o permitivit .

33. Kapacita lidskho tla

Na zklad orientanho vpotu odhadnte kapacitu lidskho tla.

51

34. Deskov kondenztor se sloenm dielektrikem

Vypotte kapacitu deskovho kondenztoru, jeho dielektrikum je lenno:

a) sriov podle obr. 41, piem je dno 1, 2, 3, S, d1, d2, d3.b) paraleln podle obr. 42, piem je dno 1, 2, 3, S, d, l1, l2, l3 a

pedpokld se, e desky maj tvercov nebo obdlnkov tvar.

S

1 2 3

d1 d2 d3*

S1

2

3

l1

l2

l3

d+

r1

r2

r3

r1r2

,

Obr. 41 Obr. 42 Obr. 43

35. Kapacita vlcovho kondenztoru s vrstvenm dielektrikem

Vypotte kapacitu vlcovho kondenztoru sestvajcho ze dvou vodivchvlcovch ploch o polomrech r1, r2, mezi nimi je vloeno vrstven dielek-trikum o relativnch permitivitch r1, r2 s dlcm polomrem r3. Pnez kondenztorem je na obr. 43. Dlka kondenztoru je l. Okrajov jevneuvaujte.

36. Kondenztor s posuvnm dielektrikem

Deskov vzduchov (v 0) kondenztor po nabit na napt U vtahuje doprostoru mezi deskami dielektrikum, kter je v uvaovan situaci v poloze x(viz obr. 44). Obdlnkov desky kondenztoru maj plon obsah S, dlku l,vzdlenost mezi sebou d a dielektrikum m permitivitu = 0r. Vypotte:

a) kapacitu kondenztoru,b) velikost sly, kterou elektrick pole kondenztoru vtahuje dielektrikum

v poloze x.

l

d

x S

F

- Obr. 44

52

37. Elektrostatick energie pi paralelnm spojen kondenztor

Kondenztor o kapacit C1 m po nabit napt U1 a kondenztor o kapacitC2 m napt U2. Vypotte:

a) celkovou elektrostatickou energii samostatnch kondenztor (Wa),b) celkovou elektrostatickou energii kondenztor po jejich paralelnm spo-

jen (Wb).c) Vysvtlete rozdl energi Wa Wb.

38. Soustava kondenztor

Obr. 45

U

C1C3

C2

.

Je dna soustava kondenztor podle obr. 45,pipojench na stejnosmrn zdroj o napt U .Vypotte:

a) kapacitu soustavy,b) nboj na kadm kondenztoru.

39. Kapacita soustavy kondenztor

Jsou dny dv soustavy kondenztor znzornn na obr. 46a), 46b), pi-em ve druhm ppad jde o nekonenou s stejnch kondenztor. Vy-potte kapacitu soustav mezi body A, B.

a) b)

A

A

B

B

C1

C1C2

C2

C3

C C C

C C C

/

Obr. 46

53

Fyzikln konstanty pro een loh

Rychlost svtla ve vakuu c = 2,9979 108 ms1Planckova konstanta h = 6,6262 1034 Js1Elementrn nboj e = 1,6022 1019 CPermitivita vakua 0 = 8,8542 1012 Fm1

140

= 8,9876 109 F1 m.= 9 109 F1 m

Permeabilita vakua 0 = 1,2566 106 Hm1Avogadrova konstanta NA = 6,0221 1023 mol1Faradayova konstanta F = 9,6485 104 Cmol1Elektronvolt 1 eV = 1,6022 1019 JKlidov hmotnost elektronu me = 9,1095 1031 kgKlidov hmotnost protonu mp = 1,6726 1027 kgKlidov hmotnost neutronu mn = 1,6750 1027 kgKlidov hmotnost stice m = 6,6429 1027 kgNormln thov zrychlen g = 9,80665 ms2Rovnkov polomr Zem RZ = 6,3782 106 mGravitan konstanta = 6,6726 1011 m3kg1s2

54

een loh

1. Poet elementrnch nboj n = mgdeU

= 40 .

2. F = 140

(NAme2RMH

)2= 5,14 105 N .

3. Vslednice elektrostatick sly a thov sly mus psobit ve smru vlkna.

Q = 4l sin0mg tg = 3,88 109 C .

4. Kuliky se dotknou, nboj Q se na nich perozdl tak, e kad bude mtnboj polovin (Q1 = Q/2) a kuliky se oddl do vzdlenosti r1. Napeme-li nyn podmnku rovnovhy pro vchoz a konen stav (srovnej s eenmlohy . 3) dostaneme podmnku

4r1r=

4l2 r24l2 r21

1 neboli r1 r4 .

5. a) Obr.47

r

x

b2

+e

+e

+2eF1

F

1

F

0

F1F

= r2x , F1 =2e2

40r2,

r2 = x2 + b2

4 ,

F = e2

0x

(x2 + b

2

4

)3/2.

b) Sla bude mt extrm pro x, pro n dF/dx = 0; to bude pro

1 3x2

x2 + b2

4

= 0 , neboli x1,2 = 24b 0,354 b .

6. Pro intenzitu elektrickho pole dut koule v bodech jejho povrchu uijemevraz (49):

E =

20=

Q

80R2.

Na elementy polokoul budou psobit elementy sil dF = EdS , kter majsmr normly element plochy. Pro odpudiv sly se uplatn prmty ele-ment sil do smru kolmho k rovin ezu koule. Souet tchto prmt

55

element sil bude mrn ploe R2 ezu, kter je prmtem plochy 2R2

povrchu polokoule. Velikost odpudiv sly tedy bude

F = R2E =Q2

320R2.

7. a) (Obr. 48) Ea = Ec =1 |2|

20= 1,13 105 V m1 ,

Eb =1 + |2|

20= 5,65 105 V m1 ,

b) (Obr. 49) E = 120

21 +

22 = 4,07 105 V m1 ,

= arctg

21 = 3340 .

1 2

Ea Eb Ec1

1

2

E E

2

Obr. 48 Obr. 49

8. K een vyuijeme vsledku pro nabitou krunici (pklad 1). Integracintenzit pol elementrnch prstenc dostaneme

Ex =

20

(1 x

R2 + x2

), Ey = Ez = 0 .

9. a) Postup vpotu je stejn jako pi een elektrickho pole nabit roviny.Jin je jen doln mez integrlu.

Ey =

20

yr2 + y2

.

Tento vsledek dostaneme rovn superpozic pole nabit roviny a opannabitho kruhu (s hustotou ), tedy odetenm vsledku pkladu 3 alohy 8.

b) Eo = 0 .

56

10. Intenzita (viz pklad 2): dE = cos d40R,

E =

40R

00

cos d , sin0 =l

l2 +R2, E =

l

20Rl2 +R2

.

Potencil

d =

40

dcos

, =

40

00

dcos

=

40ln

1 + sin01 sin0 .

11. = R20R2 + x2

, E = ddx =Rx

20(R2 + x2)3

.

12. 1. 0 r R : = Q80R3

r2 .

2. r > R : = Q80

(2r 3R

).

13. = 20

(R2 + y2 y

) C 20 y , kde C =

R20

= konst.

E = ddy =20

. . . stejn vztah jako pro nabitou rovinu.

14. Ze zkona zachovn nboje plyne 2 =r1r21 = 6,0 105 V .

15. Koule maj stejnn potencil. Pak Q1Q2

= r1r2

= 51 ,12

= r2r1

= 15 .

16. E1 =230

, E2 =30

.

17. a) Uijeme vztah E = d/dx a Gaussv zkon. Dostaneme = 43k0x

1/3 .

Katoda (x = 0) : K = 0 , anoda (x = d) : A = 43k03d .

b) Uijeme Gaussv zkon pro tenkou vrstvu nboj o tlouce dx ve vzd-lenosti x od K a urme hustotu

= 49k03x2

.

57

18. v = e2

20hn, r = 0h

2n2

mee2 , f =

mee4

420h3n3

,

v1 = 2,19 106 m s1, r1 = 5,29 1011 m , f1 = 6,58 1015 Hz .

19. a) v0 =l2d

eUme

= 9,11 106 m s1 .

b) v = v0

1 +

(2dl

)2=

eUme

[1 +

(l2d

)2]= 1,063 107 m s1 ,

= arctg 2dl= 31,0 .

20. a) We =e2

40b= 1,15 1024 J = 7,20 106 eV .

b) ProtoeWe mec2 = 0,511 MeV, meme pout klasickou mechaniku .

v =e

2

1

0bme= 1130 ms1 .

21. stice m v poli prstence elektrostatickou energii, kterou vypoteme ui-tm vrazu (23), do kterho dosadme vsledek (8) een pkladu 1:

We = q

0

E dx =qQ

40

0

xdx(R2 + x2

)3/2 .Po substituci R2 + x2 = z, 2xdx = dz dostaneme

We =qQ

80

R2

z3

2 dz =qQ

40R.

Tento vsledek je v souladu s poznmkou o poli prstence pro x R, uve-denou na zvr een pkladu 1. M-li stice doshnout stedu prstence,mus zskat stejn velkou poten kinetickou energii. Budeme-li problmeit klasickou mechanikou dostaneme

v0 =

qQ

20mR.

Bude-li poten rychlost nepatrn vt, stice prolet stedem prstencea ve velk vzdlenosti od nj zsk opt rychlost v0. Bude-li naopak rychloststice nepatrn men, vrt se zpt a ve velk vzdlenosti od prstence budemt rychlost v0 .

58

22. a) Pibliujc se proton uvede odpudivou silou do pohybu stici . V oka-miku nejvtho piblen bude rychlost obou stic stejn; ozname jiv1. Pi dji mus bt splnn zkon zachovn energie a zkon zachovnhybnosti. Ve vchoz poloze maj stice tyto energie a hybnosti:

We = 0, Wk =12mpv

2 + 0 =12mpv

2, p = mpv + 0 = mpv .

Pi nejvtm piblen stic bude

We1 =Q1Q2401

=e2

201, Wk1 = (mp +m)

v212

=52mpv

21 ,

p1 = (mp +m)v1 = 5mpv1 .

Ze zkon zachovn energie a zachovn hybnosti dostvme soustavurovnic

12mpv

2 =e2

201+

52mpv

21 , mpv = 5mpv1 .

eenm je 1 =5e2

40mpv2, v1 =

v5 .

b) Ve druhm stavu maj stice tyto energie a hybnosti:

We2 =e2

202, Wk2 =

12mv

22 = 2mpv

22 , p2 = mv2 = 4mpv2 .

Plat opt zkony zachovn (vzhledem k pvodnmu stavu):

12mpv

2 =e2

202+ 2mpv22 , mpv = 4mpv2 .

eenm je 2 =4e2

30mpv2, v2 =

v4 .

c) 21= 1615 ,

v2v1

= 54 .

23. a) F = 5q2

20b2, sla smuje k nboji 4q .

b) We =q22

40b.

24. a) Vsledn sla psobc na stedovou stici m nulovou velikost. Na okra-jov stice psob vsledn sla o velikosti

F0 =3e2

160b2.

59

b) We = 3e2

80b.

c) Pohybovou rovnic Fy = may (obr. 50) upravme na tvar

y + e2

20b3my = 0 ,

hlov frekvence vlastnch kmit je = e

1

20b3m.

e,m

e e y

b

2F F

FyFy 2Fb y

3 Obr. 50

25. We =e2

40b(1 8 sin 2 ) = 8,01 10

18 J = 50,0 eV .

26. a) We = 8e2

30b= e

2

b (1,66 1011) m F1 .

b) W e =e2

0b

(3 + 3

2 7

3

)= e

2

b 3,88 1010 m F1 .

27. WeN

= e2

20b

(1 12 +

13

14 + ...

)= e

2 ln 220b

,

WeN

= 1,066 1018 J = 6,65 eV .Pi een jsme uvili Taylorv rozvoj funkce ln(1 + x) pro x = 1.

28. We =Q2

80R.

29. Polomr elektronu

r0 =30e2

20me, kde 0 =

10c

2 je permeabilita vakua, r0 = 1,69 1015 m.

30. Vlastn elektrostatick energie soustavy n stic je dna vztahem (50), pi-em v naem ppad je Qi = Qj = e. Indexy i, j tvo variace 2. tdy zeZ prvk bez opakovn. Z kombinatoriky je znmo, e jejich celkov poetje (Z1)Z. Bude-li stedn vzdlenost mezi dvma libovolnmi protony r0,bude vlastn elektrostatick energie jdra

We 180 (Z 1)Ze2

r0.

Protoe stedn vzdlenost mezi protony je ponkud men ne r0, bude veskutenosti vlastn elektrostatick energie jdra ponkud vt ne udv

60

odvozen vzorec. V literatue (nap. [1], s. 422) se lze setkat msto sel-nho koecientu 1/8 = 0,125 s koecientem 3/20 = 0,15. Vypoten vlastnelektrostatick energie je kladn a tud nen to ona, kter tvo pevnoustrukturu jdra. V jde je pekryta zpornou energi vazby siln interakcemezi nukleony (tj. protony a neutrony), jej absolutn velikost mnohon-sobn pevyuje elektrostatickou energii vazby mezi protony.

31. R = Q400= 0,30 m, = 0

r= 1480 V .

32. C = 4 r1r2r2 r1 .

33. Tvar tla nahradme pro orientan vpoet tvarem koule; uvaujeme hmot-nost m 80 kg a hustotu 1 103 kgm3 . Pak

C = 403

3m4

= 30 pF .

Tato hodnota piblin odpovd hodnotm zskanch menm.

34. a) K een pouijeme Gaussv zkon, anebo problm pevedeme na sriovazen deskovch kondenztor.

Ca =S

d11

+ d22

+ d33

.

b) Problm pevedeme na paraleln azen deskovch kondenztor.

Cb =S

(l1 + l2 + l3)d(1l1 + 2l2 + 3l3) .

35. C = 20l1r1

ln r3r1

+ 1r2

ln r2r3

.

36. a) Kapacita: C = 0Sd

[1 + (r 1)xl

].

b) Vzdlenost x zvtme na x + dx a vypoteme rozdl elektrostatickchenergi v poloze x a x+dx, kter se mus rovnat prci sly na drze dx:

dWe =Q202C

Q202(C + dC) = F dx, kde Q0 = C0U =

0SUd

je nboj

pro x = 0 .

Po dosazen dostaneme F = 0SU2

2ldr 1[

1 + (r 1)xl]2 .

61

37. a) Wa =12(C1U

21 + C2U

22 ) .

b) Wb =12(C1U1 + C2U2)2

C1 + C2.

c) Rozdl energi Wa Wb = C1C22(C1 + C2)(U1 U2)2 > 0 .

Pi spojen kondenztor se vyrovnalo napt a pitom pechzel n-boj (elektrick proud) z jednoho kondenztoru na druh. Tento pechodprovzel vznik Jouleova tepla na kor sti elektrostatick energie.

38. a) C = C1(C2 + C3)C1 + C2 + C3

.

b) Pro nboje plat vztahy: Q1 = Q2 +Q3 = Q = UC,Q2C2

= Q3C3

.

eenm dostaneme

Q1 = UC1(C2 + C3)C1 + C2 + C3

, Q2 = UC1C2

C1 + C2 + C3, Q3 = U

C1C3C1 + C2 + C3

.

39. a) Ca =2C1C2 + C3(C1 + C2)

C1 + C2 + 2C3.

b) Protoe s kondenztor je nekonen, bude jej kapacita stejn jakokapacita tto st doplnn jet o jeden lnek (tj. jeden kondenztorpipojen paraleln a druh sriov).

Cb =C2 (5 1) .

62

Literatura

[1] Fejnmanovskije lekcii po zike: Zadai i uprannija s otvtami i reenijami.Izd. Mir, Moskva 1969. (Peklad z originlu: The Feynman Lectures onPhysics. Excercises. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading,Massachusetts, London 1964-1965.)

[2] Fuka J., Havelka B.: Elektina a magnetismus. 3.vydn. SPN, Praha 1979.

[3] Hork, Z., Krupka, F., indel, V.: Technick fyzika. SNTL, Praha 1961.

[4] Hork, Z., Krupka, F.: Fyzika. SNTL/SVTL, Praha 1966, 1976, 1981.

[5] Irodov, I. E.: Zadai po obej zike. Izd. Nauka, Moskva 1988.

[6] Kruk, M.: Sbrka loh z fyziky. SPN, Praha 1969.

[7] Purcell E. M.: Elektriestvo i magnetizm. Berkleevskij kurs ziki, II. tom.Izd. Nauka, Moskva 1971. (Peklad z originlu: Purcell E. M.: Elektricityand Magnetism. Berkley Physics Course, volume 2. Mcgrawhill book com-pany.)

[8] Vybral, B.: Fyzikln pole z hlediska teorie relativity. SPN, Praha 1976,SPN, Bratislava 1980.

[9] Vybral, B.: Teorie elektromagnetickho pole. Pedagogick fakulta v HradciKrlov, Hradec Krlov 1984.

63