ESF projekt Západočeské univerzity v Plzni

reg. č. CZ.02.2.69/0.0/0.0/16_015/0002287

Orbitální moment hybnostiveličina důležitá pro rotační pohyb

Do klasické mechaniky přišel prostřednictvím 2. Keplerova zákona

Přirozeně se objevil v Bohrově modelu atomu jako 𝑟𝑝, protože nás zajímala jen velikost

a pro kruhovou dráhu jsou vektory Ԧ𝑟 a Ԧ𝑝 na sebe kolmé

a tím velikost vektorového součinu je součin jejich velikostí

Plocha opsaná za jednotku času je mu úměrná.

Plocha trojúhelníka je dána vektorovým součinem

Odtud vektorový součin v definici 𝐿 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝑝

Orbitální moment hybnosti v kvantové mechanice

Podle obecného návodu dostaneme jeho operátor z operátoru polohy a hybnosti

stejným předpisem jako v klasické mechanice𝐿 = መԦ𝑟 × መԦ𝑝

Kvůli tomu, že nekomutují operátory polohy a hybnosti v témže směru,

nekomutují ani složky momentu hybnosti

𝐿𝑥 𝐿𝑦 − 𝐿𝑦 𝐿𝑥 = 𝑖ℏ𝐿𝑧

𝐿𝑥 = ො𝑦 Ƹ𝑝𝑧 − Ƹ𝑧 Ƹ𝑝𝑦tj. ve složkách

a ostatní složky cyklickou záměnou 𝑥𝑦𝑧

a další dva vztahy cyklickou záměnou

Tyhle komutační vztahy se přímočaře ale trochu zdlouhavě dostanou

z komutačních vztahů pro operátory polohy a hybnosti

Doporučuju ověřit

Ale s libovolnou složkou komutuje operátor kvadrátu velikosti momentu hybnosti

𝐿2 = 𝐿𝑥2+ 𝐿𝑦

2+ 𝐿𝑧

2

Proto je možné současně měřit kvadrát velikosti momentu hybnosti a jednu jeho složku

To, že moment hybnosti je spojen s rotačním pohybem taky v kvantové mechanice

je nejlépe vidět, když od kartézských souřadnic 𝑥, 𝑦, 𝑧přejdeme ke sférickým souřadnicím 𝑟, 𝜃, 𝜙

Pak všechny tři složky momentu hybnosti

závisejí jen na úhlových proměnných 𝜃, 𝜙,

ne na radiální proměnné 𝑟.

Nejjednodušší tvar má složka

𝐿𝑧 = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝜙

Ƹ𝑝𝑥 = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑥

Podobnost s operátorem hybnosti ve směru 𝑥:

Moment hybnosti je “angular momentum”, “угловый момент”, tj. úhlová hybnost

Proto se nejčastěji studuje právě tahle složka

Vlastní stavy: exp𝑖

ℏ𝑝𝑥𝑥Viděli jsme, že rovinná vlna

je vlastní stav operátoru Ƹ𝑝𝑥 s vlastní hodnotou 𝑝𝑥

Analogicky úhlová rovinná vlna exp𝑖

ℏ𝐿𝑧𝜙

je vlastní stav operátoru 𝐿𝑧 s vlastní hodnotou 𝐿𝑧

Když úhel 𝜙 změníme o 360° tj. o 2𝜋 radiánů, dostaneme tentýž směr, tj.

exp𝑖

ℏ𝐿𝑧 𝜙 + 2𝜋 = exp

𝑖

ℏ𝐿𝑧𝜙 tj. exp

𝑖

ℏ𝐿𝑧2𝜋 = 1

tj. 𝐿𝑧2𝜋

ℏ= 2𝜋𝑚, 𝑚 = 0,±1,±2,…

tj. 𝐿𝑧 = 0,±ℏ,±2ℏ,…

Stará kvantová mechanika dala Bohrův výsledek:

moment hybnosti je celočíselný násobek ℏModerní kvantová mechanika dává podobný výsledek:

velikost jedné složky momentu hybnosti je celočíselný násobek ℏ.

Obě znaménka ± znamenají, že může směřovat nahoru i dolu.

Tady 𝑚 je od slova magnetický

(ne od slova hmotnost=mass),

protože se projeví v magnetickém poli

—viz magnetická rezonance za chvíli

A úhlová rovinná vlna má tvar exp 𝑖𝑚𝜙

Už jsme řekli, že zároveň s jednou složkou momentu hybnosti

můžeme měřit kvadrát jeho velikosti

Ten má ve sférických souřadnicích tvar:

𝐿2 = −ℏ21

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃+

1

sin2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2

Kdyby tam nebyly ty siny, tak je to součet dvou druhých derivací,

čili něco jako ℏ2krát Laplacián, tj. operátor kvadrátu velikosti hybnosti:

Ƹ𝑝2 = Ƹ𝑝𝑥2 + Ƹ𝑝𝑦

2 + Ƹ𝑝𝑧2 = −ℏ2

𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2

Skutečně tento operátor v sférických souřadnicích má tvar

Ƹ𝑝2 = −ℏ21

𝑟

𝜕2

𝜕𝑟2𝑟 +

1

𝑟21

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃+

1

sin2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2= −ℏ2

1

𝑟

𝜕2

𝜕𝑟2𝑟 +

𝐿2

𝑟2

Takže podobně jako v klasické mechanice, pohyb se dá rozložit

do radiálního a úhlových směrů

K tomuto se vrátíme při použití kvantové mechaniky na atom

Opět derivace chápeme jako operátory, tj. působící na všechno, co je před nima

—viz komutační relace mezi polohou a hybností

Je vidět, že komutuje s 𝐿𝑧?

To, že operátor kvadrátu velikosti momentu hybnosti je úhlová část Laplaciánu,

nám může pomoci najít společné vlastní funkce s 𝑧 −ovou složkou

díky souvislosti s elektrostatikou:

𝛻 ∙ 𝐸 =𝜌

𝜀0Gaussův zákon

spolu s vyjádřením elektrické intenzity přes elektrostatický potenciál 𝐸 = −𝛻𝜑

dá Poissonovu rovnici −𝛻2𝜑 =𝜌

𝜀0

neboli ve sférických souřadnicích

−1

𝑟

𝜕2

𝜕𝑟2𝑟 +

1

𝑟21

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃+

1

sin2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2 𝜑 𝑟, 𝜃, 𝜙 =𝜌

𝜀0

Nejjednodušší případ: bodový náboj 𝑄 v počátku

--potenciál nezávisí na směru jenom na vzdálenosti, takže derivace podle úhlů vypadnou

Mimo počátek není náboj, takže tam musí platit1

𝑟

d2

d𝑟2𝑟𝜑 𝑟 = 0

Nulová druhá derivace znamená, že 𝑟𝜑 je lineární funkce

𝑟𝜑 𝑟 = 𝐴 + 𝐵𝑟 ⟹ 𝜑 𝑟 =𝐴

𝑟+ 𝐵

Z parciální derivace se stala obyčejná, protože 𝜑 je funkcí jenom jedné proměnné 𝑟

Konstanta 𝐵 nemá žádné fyzikální důsledky a obvykle se klade rovna nule požadavkem,

aby potenciál byl rovný nule v nekonečnu

Konstanta 𝐴 se určí z Gaussova zákona zintegrovaného přes libovolnou sféru

se středem v počátku a je rovna𝑄

4𝜋𝜀0takže 𝜑 𝑟 =

𝑄

4𝜋𝜀0𝑟

což je známý výsledek, který jsme už použili v Bohrově modelu atomu vodíku

a ještě použijeme ve Schrodingerově rovnici pro atom vodíku

Takže nejjednodušší případ bodového náboje v počátku funguje

Nyní posuneme náboj o vzdálenost 𝑎 ve směru osy 𝑧

𝜃 𝑟

𝑎

𝑟2 − 2𝑎𝑟 cos 𝜃 + 𝑎2 = 𝑟 1 − 2𝑎

𝑟cos 𝜃 +

𝑎

𝑟

2

Cosinová věta

Potenciál už není sféricky symetrický, ale je osově symetrický kolem osy 𝑧,

tj. závisí na 𝑟 a na 𝜃 ale ne na 𝜙

𝜑 𝑟, 𝜃 =𝑄

4𝜋𝜀0 𝑟2 − 2𝑎𝑟 cos 𝜃 + 𝑎2=

𝑄

4𝜋𝜀0𝑟1 − 2

𝑎

𝑟cos 𝜃 +

𝑎

𝑟

2 −12

Daleko od náboje 𝑟 ≫ 𝑎 můžeme převrácenou hodnotu odmocniny rozvést do řady

v mocninách malého parametru 𝑎

𝑟

𝜑 𝑟, 𝜃 =𝑄

4𝜋𝜀0𝑟1 − 2

𝑎

𝑟cos 𝜃 +

𝑎

𝑟

2 −12

=

=𝑄

4𝜋𝜀0𝑟1 + −

1

2−2

𝑎

𝑟cos 𝜃 +

𝑎

𝑟

2

+−12 −

32

2−2

𝑎

𝑟cos 𝜃 +

𝑎

𝑟

2 2

+⋯ =

=𝑄

4𝜋𝜀0𝑟1 +

𝑎

𝑟cos 𝜃 +

𝑎

𝑟

2 1

23 cos2 𝜃 − 1 +⋯

To je speciální případ multipólového rozvoje: monopól, dipól, kvadrupól,…

Je vidět, že každou mocninu 𝑎

𝑟

𝑙v rozvoji násobí polynom stejného řádu 𝑙 v cos 𝜃.

Tyto polynomy se označují 𝑃𝑙 cos 𝜃 a nazývají se Legendreovy polynomy

Takže

𝜑 𝑟, 𝜃 =𝑄

4𝜋𝜀0𝑟

𝑎

𝑟

0

𝑃0 cos 𝜃 +𝑎

𝑟

1

𝑃1 cos 𝜃 +𝑎

𝑟

2

𝑃2 cos 𝜃 +⋯ ≡

≡𝑄

4𝜋𝜀0𝑟

𝑙=0

∞𝑎

𝑟

𝑙

𝑃𝑙 cos 𝜃 =𝑄

4𝜋𝜀0

𝑙=0

∞𝑎𝑙

𝑟𝑙+1𝑃𝑙 cos 𝜃

Odtud porovnáním s předchozí stránkou vidíme první tři Legendreovy polynomy

𝑃0 cos 𝜃 = 1𝑃1 cos 𝜃 = cos 𝜃

𝑃2 cos 𝜃 =1

23 cos2 𝜃 − 1 atd.

Tuto řadu nyní dosadíme do Poissonovy rovnice pro 𝑟 ≫ 𝑎, kde náboj je roven nule

1

𝑟

𝜕2

𝜕𝑟2𝑟 +

1

𝑟21

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃𝜑 𝑟, 𝜃 = 0

Jelikož 𝜑 nezávisí na 𝜙, tak parciální derivace podle 𝜙 můžeme vynechat,

protože jsou nula

Zase máme separaci proměnných v každém členu řady

1

𝑟

𝜕2

𝜕𝑟2𝑟𝑎𝑙

𝑟𝑙+1𝑃𝑙 cos 𝜃 = 𝑎𝑙𝑃𝑙 cos 𝜃

1

𝑟

d2

d𝑟2𝑟−𝑙 = 𝑎𝑙𝑃𝑙 cos 𝜃 −𝑙 −𝑙 − 1 𝑟−𝑙−3

1

𝑟21

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃

𝑎𝑙

𝑟𝑙+1𝑃𝑙 cos 𝜃 =

𝑎𝑙

𝑟𝑙+31

sin 𝜃

d

d𝜃sin 𝜃

d

d𝜃𝑃𝑙 cos 𝜃a

V obou případech se z parciální derivace stala obyčejná,

protože působí na funkci jen jedné proměnné

Takže s pomocí těchto dílčích výsledků můžeme teď dosadit

do levé strany Poissonovy rovnice potenciál ve tvaru nekonečné sumy

1

𝑟

𝜕2

𝜕𝑟2𝑟 +

1

𝑟21

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃

𝑄

4𝜋𝜀0

𝑙=0

∞𝑎𝑙

𝑟𝑙+1𝑃𝑙 cos 𝜃 =

=𝑄

4𝜋𝜀0

𝑙=0

∞𝑎𝑙

𝑟𝑙+31

sin 𝜃

d

d𝜃sin 𝜃

d

d𝜃+ 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 cos 𝜃

Jelikož každá inverzní mocnina 𝑟 má jiný průběh, tahle suma je rovná nule,

pokud je rovný nule každý její člen

takže musí platit−

1

sin 𝜃

d

d𝜃sin 𝜃

d

d𝜃𝑃𝑙 cos 𝜃 = 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 cos 𝜃

takže 𝑃𝑙 cos 𝜃 je vlastní funkce operátoru −1

sin 𝜃

dd𝜃

sin 𝜃dd𝜃

s vlastní hodnotou 𝑙 𝑙 + 1

Tuhle rovnici jsme dostali z úhlové části Laplaciánu tím,

že jsme vynechali parciální derivace podle 𝜙,

protože na 𝜙 potenciál nezávisel a ty derivace byly rovny nule.

Teď je ale ze stejného důvodu můžeme doplnit

a navíc vynásobit obě strany ℏ2, čímž dostaneme

𝐿2𝑃𝑙 cos 𝜃 = −ℏ21

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃+

1

sin2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2 𝑃𝑙 cos 𝜃 = ℏ2𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 cos 𝜃

Tedy 𝑃𝑙 cos 𝜃 je vlastní funkce operátoru kvadrátu velikosti momentu hybnosti

s vlastní hodnotou ℏ2𝑙 𝑙 + 1

Navíc jeho nezávislost na 𝜙 můžeme explicitně vyjádřit jako

𝑃𝑙 cos 𝜃 = 𝑃𝑙 cos 𝜃 exp 𝑖𝑚𝜙 kde 𝑚 = 0

Takže Legendreův polynom je zároveň vlastní funkce

𝑧 −ové složky momentu hybnosti s vlastní hodnotou nula

Legendreovy polynomy můžeme získat buď rozvojem funkce 1 − 2𝑎

𝑟cos 𝜃 +

𝑎

𝑟

2 −12

nebo podobným postupem, jakým jsme hledali Hermiteovy polynomy

pro harmonický oscilátor

Pro jasnější podobnost s Hermiteovými polynomy je dobré změnit proměnné

𝑥 = cos 𝜃 ⇒d

d𝜃=d𝑥

d𝜃

d

d𝑥= −sin 𝜃

d

d𝑥; 1 − 𝑥2 = sin2 𝜃

Levá strana rovnice touto záměnou proměnných získá tvar

−d

d𝑥1 − 𝑥2

d

d𝑥𝑃𝑙 𝑥

Samotný operátor můžeme napsat jako součet dvou členů

−d

d𝑥1 − 𝑥2

d

d𝑥= −

d

d𝑥

d

d𝑥−

d

d𝑥−𝑥2

d

d𝑥= −

d2

d𝑥2+

d

d𝑥𝑥2

d

d𝑥

Teď už je postup podobný jako při hledání Hermiteových polynomů

pro harmonický oscilátor:

Začneme s 𝑥𝑙

Druhý člen v posledním zápisu operátoru dá stejnou mocninu s koeficientem:

d

d𝑥𝑥2

d

d𝑥𝑥𝑙 =

d

d𝑥𝑥2𝑙𝑥𝑙−1 = 𝑙 𝑙 + 1 𝑥𝑙

Takže skutečně dostáváme vlastní hodnotu 𝑙 𝑙 + 1

Zároveň první člen dá −d2

d𝑥2𝑥𝑙 = −𝑙 𝑙 − 1 𝑥𝑙−2 což naruší rovnici

Spravíme to doplněním členu 𝑐𝑙−2𝑥𝑙−2

který jako v případě harmonického oscilátoru

musí splňovat podmínku pro splnění rovnice pro mocninu 𝑥𝑙−2

−𝑙 𝑙 − 1 + 𝑐𝑙−2 𝑙 − 2 𝑙 − 1 = 𝑐𝑙−2𝑙 𝑙 + 1

tedy 𝑐𝑙−2 = −𝑙 𝑙 − 1

4𝑙 − 2

Jenže pak druhá derivace tohohle členu dá −𝑙 𝑙 − 1 𝑙 − 2 𝑙 − 3

4𝑙 − 2𝑥𝑙−4

což spraví člen 𝑐𝑙−4𝑥𝑙−4 jehož koeficient splňuje

𝑙 𝑙 − 1 𝑙 − 2 𝑙 − 3

4𝑙 − 2+ 𝑐𝑙−4 𝑙 − 4 𝑙 − 3 = 𝑐𝑙−4𝑙 𝑙 + 1

tedy𝑐𝑙−4 = +

𝑙 𝑙 − 1 𝑙 − 2 𝑙 − 3

4𝑙 − 2 8𝑙 − 12

atd. až do první nebo nulté mocniny

je záporný

je zase kladný

Opět se střídají znaménka, což opět dá vlnky

Opět mocniny v daném polynomu mají stejnou paritu,

takže opět je každý Legendreův polynom sudý nebo lichý

při záměně 𝑥 → −𝑥, tj. cos 𝜃 → −cos 𝜃, tj. 𝜃 → 𝜋 − 𝜃

Tahle záměna spolu se záměnou 𝜙 → 𝜙 + 𝜋 je operace prostorové parity

Ԧ𝑟 → −Ԧ𝑟

Jelikož Legendreův polynom chápeme jako konstantní funkci úhlu 𝜙,

tak jeho změna při operaci prostorové parity je daná jenom jeho závislostí na 𝜃,

takže pro sudá 𝑙 se polynom nezmění vůbec a pro lichá 𝑙 změní znaménko.

Takže zase Legendreovy polynomy jsou funkce, které při operaci prostorové parity

nanejvýš změní znaménko, přičemž jestli ho změní nebo ne,

závisí na paritě čísla 𝑙:

Při operaci prostorové parity se Legendreův polynom vynásobí číslem −1 𝑙

Je to vidět?

Tím jsme zkonstruovali Legendreovy polynomy jakožto společné vlastní funkce

kvadrátu velikosti momentu hybnosti a 𝑧 −ové složky

s nulovým vlastním číslem 𝑚

exp𝑖

ℏ𝐿𝑧𝜙 = exp 𝑖𝑚𝜙

plyne

𝜕

𝜕𝜙exp 𝑖𝑚𝜙 = 𝑖𝑚 exp 𝑖𝑚𝜙 ⇒

𝜕2

𝜕𝜙2 exp 𝑖𝑚𝜙 = −𝑚2exp 𝑖𝑚𝜙

𝐿2 = −ℏ21

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃+

1

sin2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2→ −ℏ2

1

sin 𝜃

d

d𝜃sin 𝜃

d

d𝜃−

𝑚2

sin2 𝜃

Zase: z parciální derivace se stala obyčejná,

protože už máme jenom jednu proměnnou 𝜃.

Pro nenulové 𝑚 z jejich závislosti na 𝜙:

Dá se ukázat algebraicky z komutačních relací, že platí

−ℏ21

sin 𝜃

d

d𝜃sin 𝜃

d

d𝜃−

𝑚2

sin2 𝜃𝑃𝑙𝑚 cos 𝜃 = ℏ2𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙

𝑚 cos 𝜃

kde 𝑃𝑙𝑚 cos 𝜃 je tzv. přidružený Legendreův polynom

𝑃𝑙𝑚 cos 𝜃 = sin 𝜃 𝑚

d𝑚

d cos 𝜃 𝑚 𝑃𝑙 cos 𝜃

Tak např. pro 𝑙 = 2𝑃2 cos 𝜃 =

1

23 cos2 𝜃 − 1 = 𝑃2

0 cos 𝜃

𝑃21 cos 𝜃 = sin 𝜃

d

d cos 𝜃

1

23 cos2 𝜃 − 1 = sin 𝜃 3 cos 𝜃

𝑃22 cos 𝜃 = sin 𝜃 2

d2

d cos 𝜃 2

1

23 cos2 𝜃 − 1 = 3 sin 𝜃 2

𝑃23 cos 𝜃 = sin 𝜃 3

d3

d cos 𝜃 3

1

23 cos2 𝜃 − 1 = 0

protože 𝑃2 cos 𝜃 je polynom druhého stupně,

takže jeho třetí a vyšší derivace jsou nutně rovny nule

Takže jsme dospěli k tomu, že tzv. sférická funkce

𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙 = 𝑃𝑙𝑚 cos 𝜃 exp 𝑖𝑚𝜙

je společným vlastním stavem operátorů

𝐿𝑧 s vlastní hodnotou 𝑚ℏ

𝐿2 s vlastní hodnotou 𝑙 𝑙 + 1 ℏ2

Tady 𝑙, 𝑚 jsou celá čísla, která splňují 𝑙 ≥ 0, −𝑙 ≤ 𝑚 ≤ 𝑙

Vidíme další projev relací neurčitosti: i při maximálním 𝑚 = 𝑙 je

vlastní hodnota 𝐿𝑧2, tj. 𝑙2ℏ2, menší než vlastní hodnota 𝐿2, tj. 𝑙 𝑙 + 1 ℏ2.

Kdyby byly stejné, pak by ostatní dvě složky momentu hybnosti byly nulové,

tj. všechny tři složky by byly určené

Pak by vlastní stav s 𝑚 = 𝑙 nebo 𝑚 = −𝑙byl také vlastním stavem 𝐿𝑥 a 𝐿𝑦 s vlastní hodnotou 0

Ale dříve uvedené komutační relace 𝐿𝑥 𝐿𝑦 − 𝐿𝑦 𝐿𝑥 = 𝑖ℏ𝐿𝑧

říkají, že tři složky momentu hybnosti nemají žádné společné vlastní vektory

tj. k danému 𝑙 je 2𝑙 + 1 hodnot 𝑚

a

𝑃𝑙𝑚 cos 𝜃 je 𝑚-tá mocnina sinu krát polynom v kosinech řádu 𝑙 − 𝑚,

v němž všechny mocniny mají stejnou paritu.

Rostoucí mocnina sinů a klesající mocnina kosinů s rostoucím 𝑚se projeví v grafech sférických funkcí

Ještě se podívejme na strukturu sférických funkcí:

Při operaci prostorové parity přejde 𝜃 → 𝜋 − 𝜃, takže cos 𝜃 → −cos 𝜃, sin 𝜃 → + sin 𝜃takže se 𝑃𝑙

𝑚 vynásobí číslem −1 𝑙−𝑚

Ovšem při operaci prostorové parity též 𝜙 → 𝜙 + 𝜋,

čímž se exp 𝑖𝑚𝜙 vynásobí exp 𝑖𝑚𝜋 = −1 𝑚

Takže celkově sférická funkce se při operaci prostorové parity vynásobí číslem −1 𝑙,

čili parita sférické funkce závisí jen na 𝑙 a nezávisí na 𝑚,

a proto vyšla stejně jako pro Legendreovy polynomy

Jak je znázornit do grafu?Jedna možnost: v každém směru daném úhly 𝜃, 𝜙 vynést velikost 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙 ,

která závisí jen na 𝜃

Tím dostaneme tvary orbitálů, co jsme potkali v chemii (též v záření anténa a v akustice)

Tam jsme také potkali označení 𝑙 písmeny 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑓, … pro 𝑙 = 0,1,2,3, …

- s

- p

- d

𝑌0,0 = 1𝑌1,0 = cos 𝜃; 𝑌1,1 = sin 𝜃 exp 𝑖𝜙

𝑌2,0 = 3 cos2 𝜃 − 1; 𝑌2,1 = cos 𝜃 sin 𝜃 exp 𝑖𝜙 ; 𝑌2,2 = sin2 𝜃 exp 2𝑖𝜙

Kosiny: protáhlé nahoru-dolu, siny: protáhlé do stran. Proč?

Jiná možnost: hodnotu v daném směru zobrazíme barvou na sféře v tom směru,

čímž též dostaneme závislost na 𝜙

Spin: vlastní moment hybnosti

Populární představa rozšiřuje planetární model atomu

Planeta se otáčí kolem Slunce=má orbitální moment hybnosti

a kolem své osy=má vlastní moment hybnosti

Tahle představa funguje jen do určité míry

—elektron je bod, takže se kolem své osy nemůže otáčet

V každém případě spin je veličina, takže v kvantové mechanice je jí přiřazen operátor

Je to vektorová veličina, takže operátory jsou tři pro tři složky

Označují se መ𝑆𝑥 , መ𝑆𝑦 , መ𝑆𝑧a splňujou přesně stejný komutační vztah jako složky orbitálního momentu hybnosti

መ𝑆𝑥 መ𝑆𝑦 − መ𝑆𝑦 መ𝑆𝑥 = 𝑖ℏ መ𝑆𝑧

Odtud zase plyne, že kvadrát velikosti spinu መ𝑆2 = መ𝑆𝑥2+ መ𝑆𝑦

2+ መ𝑆𝑧

2

komutuje s každou jeho složkou, takže je možné najít společné vlastní stavy

operátorů መ𝑆2 a መ𝑆𝑧 s vlastními hodnotami ℏ2𝑆 𝑆 + 1 pro መ𝑆2 a ℏ𝑆𝑧 pro መ𝑆𝑧

Přičemž opět −𝑆 ≤ 𝑆𝑧 ≤ 𝑆 tj. zase máme 2𝑆 + 1 stavů pro danou hodnotu 𝑆

1. Pro spin už nutně nepožadujeme, aby 𝑆 bylo celé číslo.

Celočíselný musí být jen počet stavů tj. 2𝑆 + 1

Takže máme

Dva rozdíly oproti orbitálnímu momentu hybnosti:

𝑆 = 0,1

2, 1,

3

2, 2,

5

2, 3, … tj. kromě celých hodnot taky polocelé

2. Hodnota 𝑆 je pro danou částici neměnná

(další rozdíl oproti rotaci planety kolem své osy)

Kolik to je?

Pro základní částice přírody (podrobněji později)

to je jedna z jenom tří nejnižších hodnot:

𝑆 = 0 pouze pro jedinou částici, a to poslední objevenou—Higgsův boson

𝑆 = 1/2 pro elektron, neutrino a jim podobné částice (leptony) a pro kvarky

𝑆 = 1 pro foton a jemu podobné částice (W,Z, gluony)

Rozdíl č. 2 má důležitý důsledek:

vlnová funkce částice se spinem bude kromě prostorové závislosti

obsahovat taky spinovou závislost, ale jen na 𝑧-ové složce

𝜓 Ԧ𝑟, 𝑆𝑧

Tady 𝑆𝑧nabývá jen konečně mnoha hodnot, konkrétně 2𝑆 + 1

takže na rozdíl od spojité proměnné Ԧ𝑟 je spinová proměnná 𝑆𝑧 diskrétní

Takže např. pro důležitý případ nejnižšího nenulového spinu, tj. spinu ½,

máme vlastně dvě vlnové funkce

𝜓 Ԧ𝑟,1

2;𝜓 Ԧ𝑟, −

1

2

které můžeme zase přehledně uspořádat do sloupcového vektoru𝜓 Ԧ𝑟,

1

2

𝜓 Ԧ𝑟, −1

2

Takže v daném časovém okamžiku bude mít tvar

a spin je proto popsán konečně rozměrným vektorovým prostorem

jak už jsme inzerovali

Pokud prostorový pohyb a spin jsou na sobě nezávislé,

pak je stejná funkce v obou políčkách, až na konstantu, tj

𝜓 Ԧ𝑟,1

2

𝜓 Ԧ𝑟, −1

2

= 𝜓 Ԧ𝑟𝛼𝛽

V tom případě je chování samotného spinu dáno vektorem 𝛼𝛽

tj. dvěma čísly

Naopak prostorový pohyb je dán nekonečně mnoha čísly:

𝜓 Ԧ𝑟 v každém bodě prostoru Ԧ𝑟

nebo, ekvivalentně, nekonečně mnoha vahami rovinných vln ve Fourierově rozvoji

tj. rozvoji do vlastních funkcí operátoru hybnosti

nebo nekonečně mnoha vahami v rozvoji do vlastních funkcí jiného operátoru,

třeba Hamiltoniánu

መ𝑆𝑧 =ℏ

21 00 −1

To říká, že 10

je vlastní vektor operátoru መ𝑆𝑧 s vlastní hodnotou ℏ/2,

tj. v tomto stavu má z-ová složka spinu hodnotu ℏ/2

Podobně 01

je vlastní vektor operátoru መ𝑆𝑧 s vlastní hodnotou −ℏ/2,

tj. v tomto stavu má z-ová složka spinu hodnotu −ℏ/2

V obecném stavu𝛼𝛽

Jediné, co víme, je, že když budeme měřit 𝑆𝑧, pak s pravděpodobností 𝛼 2 naměříme ℏ/2 a

s pravděpodobností 𝛽 2 naměříme −ℏ/2

není daná hodnota 𝑆𝑧

Normovací podmínka, že s jistotou má 𝑆𝑧 jednu z možných hodnot, je

𝛼 2 + 𝛽 2 = 1 ම

−∞

+∞

𝜓 Ԧ𝑟, 𝑡 2d𝑉 = 1což je obdoba dřívější podmínky

Pro diskrétní proměnnou máme pravděpodobnost,

pro spojitou máme hustotu pravděpodobnosti

Např.

Konkrétně pro spin ½ matice budou mít velikost 2 × 2

Pokud rotační pohyb vykonává nabitá částice, pak vytváří magnetický moment

Pro elektron s nábojem −𝑒 na kruhové dráze o poloměru 𝑟 a dobou oběhu 𝑇

klasicky dostaneme

𝜇 = 𝐼𝑆 =−𝑒

𝑇𝜋𝑟2 =

−𝑒

2𝑚𝑒𝑟𝑚𝑒

2𝜋𝑟

𝑇=

−𝑒

2𝑚𝑒𝑟𝑚𝑒𝑣 =

−𝑒

2𝑚𝑒𝐿

Takže magnetický moment je úměrný momentu hybnosti

a konstanta úměrnosti je polovina měrného náboje,

který jsme potkali v Thomsonově experimentu

Tento vztah platí i v kvantové mechanice a to

jak pro orbitální moment hybnosti tak pro spin (tam je navíc faktor 2)

Jelikož moment hybnosti je násobek ℏ,

je magnetický moment násobek tzv. Bohrova magnetonu 𝜇𝐵 =𝑒ℏ

2𝑚𝑒≅ 0,9 × 10−23Am2

Taky platí pro nukleony v jádře a pro celé jádro

Pak je to vztah mezi operátory magnetického momentu a momentu hybnosti

Energie magnetického momentu v magnetickém poli je klasicky

𝐸 = − Ԧ𝜇 ∙ 𝐵

Pro magnetický moment orbitálního pohybu elektronu

Proto funguje kompas

መԦ𝜇 =−𝑒

2𝑚𝑒

𝐿

takže 𝐻𝑚𝑎𝑔 =𝑒

2𝑚𝑒

𝐿 ∙ 𝐵

Je výhodné zvolit osu 𝑧 jako směr magnetického pole, protože pak

Tento vztah platí taky kvantově, tj. pro operátor magnetického momentu

a tím získáme operátor magnetické energie (magnetický Hamiltonián)

𝐻𝑚𝑎𝑔 = − መԦ𝜇 ∙ 𝐵

𝐻𝑚𝑎𝑔 =𝑒

2𝑚𝑒

𝐿𝑧𝐵 s vlastními hodnotami 𝑒ℏ

2𝑚𝑒𝑚𝐵

danými vlastními hodnotami operátoru 𝐿𝑧, tj. 𝑚ℏ.

Proto se 𝑚 nazývá magnetické kvantové číslo,

jak už víme

Pokud magnetický moment pochází od spinu ½,

pak magnetický Hamiltonián má jenom dvě vlastní hodnoty ±𝜇𝐵

které pocházejí od dvou možných hodnot spinu ve směru magnetického pole

Odtud rozdíl těchto dvou energií je 2𝜇𝐵

Takže tento magnetický moment může absorbovat elektromagnetické záření

o frekvenci splňující tutéž podmínku jako je podmínka pro přeskoky elektronu

mezi energetickými hladinami v atomu

ℏ𝜔 = 2𝜇𝐵

EPR

28 B GHz

RADIKÁLY, PŘENOS

NÁBOJE

NMR

42.5 B MHz

CHEMIE,

STRUKTURA

MAGNETICKÁ REZONANCE

ABSORPCE JE ÚMĚRNÁ KONCENTRACI JADER.

„OČÍSLUJEME-LI“ NĚJAK BODY VZORKU, MŮŽEME

ZJISTIT KOLIK DANÝCH JADER JE V DANÉM MÍSTĚ.

METODA ČÍSLOVÁNÍ : LINEÁRNÉ ROSTOUCÍ

MAGNETICKÉ POLE + SKANOVÁNÍ + MATEMATIKA

+ POČÍTAČ = ZOBRAZOVÁNÍ POMOCÍ MAGNETICKÉ

REZONANCE (MRI)

Pro lepší pochopení maticové formulace kvantové mechaniky:

Úloha nalezení rezonanční frekvence LC obvodu,

která přirozeně přejde na úlohu najít vlastní čísla matice

Analogie jsou užitečné

Z Kirchhoffova zákona pro smyčky dostaneme dvě rovnice

𝐿 ሶ𝐼1 +𝑄1𝐶−𝑄3𝐶′

= 0

𝐿 ሶ𝐼2 +𝑄2𝐶−𝑄3𝐶′

= 0

Navíc platí vztahy mezi proudy a náboji,

tj. rovnice kontinuity na každém kondenzátoru 𝐼𝑛 = ሶ𝑄𝑛 pro 𝑛 = 1,2,3

Celková neutralita: 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 = 0

Derivace podmínky celkové neutrality s využitím rovnic kontinuity na kondenzátorech

dá Kirchhoffův zákon pro uzly A,B: 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0

Pomocí nábojů 𝑄1 a 𝑄2 vyjádříme náboj 𝑄3a jejich derivace dosadíme za proudy 𝐼1 a 𝐼2

Dostaneme soustavu dvou diferenciálních rovnic druhého řádu:

𝐿 ሷ𝑄1 +𝑄1𝐶+𝑄1 + 𝑄2

𝐶′= 0

𝐿 ሷ𝑄2 +𝑄2𝐶+𝑄1 + 𝑄2

𝐶′= 0

Tuhle soustavu můžeme přehledně přepsat v maticovém tvaru

zavedením sloupcového vektoru 𝑄1𝑄2

−𝐿d2

d𝑡2𝑄1𝑄2

=

1

𝐶+1

𝐶′

1

𝐶′1

𝐶′

1

𝐶+1

𝐶′

𝑄1𝑄2

Pak:

Pro přehlednost zápisu jsem nepsal časovou závislost, správně by mělo být𝑄1 𝑡

𝑄2 𝑡

Hledáme vlastní frekvence oscilačního obvodu, tj. hodnoty 𝜔, pro něž

𝑄1 𝑡

𝑄2 𝑡=

𝑄1,0𝑄2,0

exp −𝑖𝜔𝑡 je řešením soustavy diferenciálních rovnic

Znaménko mínus v exponenciále jsem zvolil pro podobnost s kvantovou mechanikou

využijeme toho, že d2

d𝑡2𝑄1 𝑡

𝑄2 𝑡=

𝑄1,0𝑄2,0

d2

d𝑡2exp −𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2

𝑄1,0𝑄2,0

exp −𝑖𝜔𝑡

takže musí platit

𝐿𝜔2𝑄1,0𝑄2,0

=

1

𝐶+1

𝐶′

1

𝐶′1

𝐶′

1

𝐶+1

𝐶′

𝑄1,0𝑄2,0

tj. 𝐿𝜔2 musí být vlastní číslo matice 1

𝐶+1

𝐶′

1

𝐶′1

𝐶′

1

𝐶+1

𝐶′

Převedení levé strany na pravou dá

1

𝐶+1

𝐶′

1

𝐶′1

𝐶′

1

𝐶+1

𝐶′

− 𝐿𝜔2𝑄1,0𝑄2,0

= 0

neboli 1

𝐶+1

𝐶′− 𝐿𝜔2

1

𝐶′1

𝐶′

1

𝐶+1

𝐶′− 𝐿𝜔2

𝑄1,0𝑄2,0

= 0

K tomu musí být determinant matice 1

𝐶+1

𝐶′− 𝐿𝜔2

1

𝐶′1

𝐶′

1

𝐶+1

𝐶′− 𝐿𝜔2

rovný nule:

det

1

𝐶+1

𝐶′− 𝐿𝜔2

1

𝐶′1

𝐶′

1

𝐶+1

𝐶′− 𝐿𝜔2

=1

𝐶+1

𝐶′− 𝐿𝜔2

2

−1

𝐶′

2

= 0

𝐿𝜔2 −1

𝐶+

1

𝐶′= ±

1

𝐶′ Dvě řešení: 𝜔12 =

1

𝐿𝐶𝜔2

2 =1

𝐿𝐶+

2

𝐿𝐶′

Vlastní vektor pro první (nižší) frekvenci:

1

𝐶′

1

𝐶′1

𝐶′

1

𝐶′

𝑄1,0𝑄2,0

= 0

𝜔12 =

1

𝐿𝐶:

⇒𝑄1,0𝑄2,0

=1−1

⇒

Antisymetrický mod: v prostředním vodiči č.3 jdou proudy proti sobě a odečtou se.

Takže to můžem chápat jako dva nezávislé oscilátory s indukčností 𝐿 a kapacitou 𝐶

nebo jako jeden bez prostředního vodiče č. 3,

kde jsou dvě cívky a dva kondenzátory v serii

s celkovou indukčností 2𝐿 a celkovou kapacitou 𝐶/2

V každém případě pro vlastní frekvenci platí

takže prostřední kondenzátor 𝐶′ nehraje žádnou roli

Vlastní vektor pro druhou (vyšší) frekvenci:

−1

𝐶′

1

𝐶′1

𝐶′−1

𝐶′

𝑄1,0𝑄2,0

= 0 ⇒𝑄1,0𝑄2,0

=11

⇒

Symetrický mod: v prostředním vodiči č.3 jdou proudy spolu a sečtou se.

Tím se uplatní kapacita 𝐶′, přesněji její převrácená hodnota 1/𝐶′, což zvýší frekvenci oproti asymetrickému modu

Každá polovina obvodu tak dostane navíc 𝐶′/2 do serie s 𝐶,

takže celková převrácená hodnota kapacity je 1/𝐶 + 2/𝐶′ a tím

𝜔22 =

1

𝐿𝐶+

2

𝐿𝐶′

Pro srovnání s vázanými stavy v potenciálové jámě

dáme do sloupcového vektoru taky prostřední náboj

𝑄1,0𝑄3,0𝑄2,0

=10−1

=+0−

který dostaneme z podmínky celkové neutrality 𝑄1,0 + 𝑄2,0 + 𝑄3,0 = 0

𝑄1,0𝑄3,0𝑄2,0

=1−21

=+−+

+0

-

+-

+

+++ nemůže být kvůli celkové neutralitě: součet tří kladných čísel nemůže dát nulu

Doposud jsme měli jenom jednu částici. Co když jich je víc?

Pak všechny dohromady mají jednu vlnovou funkci

Tak např. dvě částice 𝜓 Ԧ𝑟1, 𝑆𝑧,1, Ԧ𝑟2, 𝑆𝑧,2

Potom𝜓 Ԧ𝑟1, 𝑆𝑧,1, Ԧ𝑟2, 𝑆𝑧,2

2d𝑉1d𝑉2

je pravděpodobnost, že najdeme

první částici v objemu d𝑉1 okolo bodu Ԧ𝑟1 se z-ovou složkou spinu rovnou 𝑆𝑧,1a druhou částici v objemu d𝑉2 okolo bodu Ԧ𝑟2 se z-ovou složkou spinu rovnou 𝑆𝑧,2

Podobně vlnová funkce pro tři částice je 𝜓 Ԧ𝑟1, 𝑆𝑧,1, Ԧ𝑟2, 𝑆𝑧,2, Ԧ𝑟3, 𝑆𝑧,3

atd.

Více částic

Částice stejného druhu jsou v kvantové mechanice nerozlišitelné

Co to znamená?

Musí být popsané takovou vlnovou funkcí,

aby při záměně částic popisovala vlnová funkce tentýž stav

Protože provedení této záměny dvakrát za sebou je jako neudělat nic

(tak jako dvě operace prostorové parity jsou jako neudělat nic),

jsou dvě možnosti, co udělá jedna záměna s vlnovou funkcí:

Může ji nechat stejnou, nebo může přidat znaménko mínus

V prvním případě se částicím říká bosony, ve druhém fermiony:

𝜓𝑏 Ԧ𝑟2, 𝑆𝑧,2, Ԧ𝑟1, 𝑆𝑧,1 = 𝜓𝑏 Ԧ𝑟1, 𝑆𝑧,1, Ԧ𝑟2, 𝑆𝑧,2

𝜓𝑓 Ԧ𝑟2, 𝑆𝑧,2, Ԧ𝑟1, 𝑆𝑧,1 = −𝜓𝑓 Ԧ𝑟1, 𝑆𝑧,1, Ԧ𝑟2, 𝑆𝑧,2

Souvislost se spinem:

bosony mají celočíselný spin, fermiony mají polocelý spin (Pauli, 1940)

takže z dříve uvedeného seznamu spinu částic už víme,

které jsou bosony a které fermiony

Jinými slovy funkce je symetrická nebo antisymetrická vůči záměně dvou částic

Pro více než dvě částice je celková vlnová funkce

symetrická při záměně jakýchkoliv dvou, když částice jsou bosony

antisymetrická při záměně jakýchkoliv dvou, když jsou fermiony

Pokud prostorový pohyb je nezávislý na spinu, pak opět celková vlnová funkce

je součinem prostorové a spinové části

a každá z nich je symetrická nebo antisymetrická tak, aby celková funkce

byla symetrická pro bosony a antisymetrická pro fermiony.

−sin 𝑥1 sin 3𝑥2 + sin 3𝑥1 sin 𝑥2−sin 𝑥1 sin 3𝑥2 − sin 3𝑥1 sin 𝑥2

Tyto dvoučásticové stavy je možné vytvořit z jednočásticových,

např. ze stavů v jednorozměrné nekonečné hranaté jámě, kterou jsme už potkali dříve

sin𝑛𝜋𝑥

𝐿Pro jednoduchost vezmeme 𝐿 = 𝜋

Např. z 1. a 3. stavu dostaneme

symetrický antisymetrický

Jsou do sebe zamotané—není dobře vidět, ze kterých dvou stavů jsou

Odtud vidíme, že antisymetrická vlnová funkce vytvořená ze dvou identických funkcí

je identicky nula:

𝜓 Ԧ𝑟1 𝜓 Ԧ𝑟2 − 𝜓 Ԧ𝑟2 𝜓 Ԧ𝑟1 = 0 pro stejnou funkci 𝜓

Takže dva fermiony nemůžou být ve stejném stavu—Pauliho vylučovací princip

Hraje zásadní roli pro strukturu atomů, molekul, pevných látek a jader, jak uvidíme

Ovšem antisymetrii může v tomhle případě zařídit spinová část

𝜓 Ԧ𝑟1 𝜓 Ԧ𝑟210 1

01 2

−01 1

10 2

Často se zavádí názorné označení10

≡ | ۧ↑ ;01

≡ | ۧ↓

Takže pak tento stav je 𝜓 Ԧ𝑟1 𝜓 Ԧ𝑟2 | ۧ↑ 1| ۧ↓ 2 − | ۧ↓ 1| ۧ↑ 2

To nás učili v chemii:

do jednoho chlívečku můžou přijít dva elektrony, ale s opačným spinem

STRUKTURA KVANTOVÉ TEORIE

( SOUHRN )

STAV :

VLNOVÁ FUNKCE SYSTÉMU,

V BOSONECH SYMETRICKÁ,

V FERMIONECH ANTISYMETRICKÁ

POZOROVATELNÉ

( MĚŘENÉ VELIČINY ) :

ZOBRAZOVANÉ OPERÁTORY

VÝSLEDKY MĚŘENÍ

URČENY VLASTNÍMI HODNOTAMI

OPERÁTORU PŘÍSLUŠNÉMU DANÉ VELIČINĚ

aA ˆ

PRAVDĚPODOBNOSTI VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

URČENY VLNOVOU FUNKCÍ SYSTÉMU

SPECIÁLNĚ PRAVDĚPODOBNOST NALEZENÍ

V OBJEMU dV JE DÁNA |(x, y, z, t)|2dV

ČASOVÝ VÝVOJ

JE POPSÁN

SCHRÖDINGEROVOU ROVNICÍ

STACIONÁRNÍ STAV

URČUJE BEZČASOVÁ

SCHRÖDINGEROVA ROVNICE

= ROVNICE PRO VLASTNÍ HODNOTY

ENERGIE

EH ˆ

𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑡𝜓 Ԧ𝑟, 𝑡 = 𝐻𝜓 Ԧ𝑟, 𝑡

Tento materiál vznikl za podpory

ESF projektu Západočeské univerzity v Plzni

reg. č. CZ.02.2.69/0.0/0.0/16_015/0002287