01. 12. 2015 1

FIIFEI-06 Elektromagnetická indukce

http://stein.upce.cz/msfei15.html

http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_06.ppt

Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)

01. 12. 2015 2

Hlavní body• Elektromagnetismus

• Úvod

• Posunující se nebo rotující vodivá tyčka

• Faradayův a Lenzův zákon

• Princip elektromotoru

• Foucaltovy proudy

• Vlastní a vzájemná indukčnost

01. 12. 2015 3

Úvod do elektromagnetismu.

• Elektromagnetismus je disciplína, zabývající se vzájemným vztahem elektrických a magnetických jevů

• Mnoho vědců se v historii tímto vztahem zabývalo. Když bylo známo, že elektrické proudy vytvářejí magnetické pole a interagují s ním, naskytla se přirozená otázka, zda také magnetické pole také produkuje pole elektrické.

• Jednoduché pokusy selhávaly!

01. 12. 2015 4

Faradayův pokus I

• Michael Faraday (1791-1867) používal dvě cívky na jednom toroidálním jádru. Pomocí zdroje vytvářel proud v první cívce a na druhou měl připojen galvanometr. Pravděpodobně nebyl první, kdo zjistil, že galvanometrem netekl proud, ať bylo magnetické pole jakkoli silné.

01. 12. 2015 5

Faradayův pokus II

• Byl ale první kdo si všiml, že galvanometr ukazoval silnou výchylku při připojení zdroje a výchylku na druhou stranu, při jeho odpojení .

• Správně došel k závěru, že galvanometr nereaguje pouze na přítomnost magnetického pole, ale na jeho časové změny.

01. 12. 2015 6

Jednoduchý pokus I• Jev elektromagnetické indukce můžeme ukázat

ještě jednodušeji, pomocí permanentního magnetu a cívky s několika závity drátu, připojených k galvanometru.

• Budeme-li vsouvat magnet do cívky, bude na galvanometru výchylka jedním směrem. Budeme-li jej vysouvat, směr výchylky bude opačný. Když magnet otočíme, bude orientace všech výchylek opačná.

01. 12. 2015 7

Jednoduchý pokus II• Budeme-li v předchozím pokusu navíc sledovat

orientaci magnetu a výchylek, zjistíme, že proud, vzniklý pohybem magnetu má takový směr, že magnetické pole, jím vytvořené, směřuje proti změnám, která ho vyvolala.

• Můžeme si také všimnout, že permanentní magnet může zůstat v určité pevné vzdálenosti a pro vyvolání indukovaného proudu jej stačí naklonit.

01. 12. 2015 8

Pohyblivá vodivá tyč I• Připojme zdroj ke dvěma rovnoběžným

kolejničkám, ležícím v rovině, kolmé k magnetickým siločárám. Položme na ně dvě vodivé tyčinky. V jedné budou nosiče kladné, ve druhé záporné.

• Vidíme, že vzhledem k tomu, že se náboje opačné polarity pohybují při stejném směru proudu na opačnou stranu, bude síla působící na náboje rozdílné polarity a tedy i síla působící na obě tyčky stejná. Je to vlastně princip elektromotoru.

01. 12. 2015 9

Pohyblivá vodivá tyč II• Než uvedeme obecný zákon elektromagnetické

indukce, je užitečné prozkoumat speciální případ vodivé tyčky délky L, pohybující se rychlostí v kolmo na siločáry homogenního magnetického pole o indukci B, které vycházejí z podložky.

• Předpokládejme kladné volné nosiče náboje, které nemohou tyčku snadno opustit. Protože je nutíme pohybovat se v magnetickém poli, působí na ně Lorentzova síla.

01. 12. 2015 10

Pohyblivá vodivá tyč III• Náboje jsou ale v rámci tyčky volné a proto

se budou pohybovat ve směru síly a jeden konec tyčky se nabije kladně.

• Na druhém konci bude kladný náboj scházet, takže se nabije záporně.

• Objevuje se ale nové elektrické pole a s ním i elektrická síla působící na náboj. Má vždy opačnou orientaci než síla Lorentzova.

01. 12. 2015 11

Pohyblivá vodivá tyč IV• Při konstantních podmínkách bude rychle

dosaženo rovnováhy, kdy výslednice sil působících na náboje bude nulová a nabíjení se tím pádem zastaví:

qvB = qE = qU/L UE = BLv• Budou-li volné nosiče náboje opačné

polarity, nic se makroskopicky nezmění! Nezáleží ani na velikosti jejich náboje.

01. 12. 2015 12

Magnetický indukční tok I

• Viděli jsme, že pohyb vodiče v magnetickém poli v něm vede k indukci napětí, tzv. elektro-magnetické indukci.

• Jedná se o speciální případ, kdy dochází k časové změně magnetického indukčního toku nebo magnetického toku.

01. 12. 2015 13

Magnetický indukční tok II

• Magnetický indukční tok je definován:

Reprezentuje míru magnetické indukce , která proteče kolmo malým elementem plochy, která je popsána vektorem své vnější normály .

• Skalárním součinem je ošetřena kolmost.

SdBd m

B

Sd

01. 12. 2015 14

Gaussova věta magnetismu• Celkový tok magnetické indukce procházející skrz

libovolnou uzavřenou plochu je nulový.

• Fyzikálně věta vyjadřuje skutečnost, že nelze oddělit magnetické póly a magnetické siločáry jsou vždy uzavřené.

• Každá siločára, která protne libovolnou uzavřenou plochu ji musí na jiném místě protnout v opačném smyslu.

01. 12. 2015 15

Faradayův zákon I• Elektromagnetickou indukci obecně popisuje

Faradayův zákon, který říká, že velikost indukovaného elektromotorického napětí v určitém obvodu je rovna velikosti časové změny magnetického toku tímto obvodem:

• Znaménko minus popisuje orientaci napětí, což popisuje zvláštní zákon (pravidlo).

dt

SBd

dt

dU m )(

01. 12. 2015 16

Faradayův zákon II

• Magnetický tok je skalární součin vektoru magnetické indukce a vektoru normály plošky . Principiálně se mohou v čase měnit nezávisle tři veličiny: • B … například v transformátorech

• S … například v příkladu s tyčkou

• vzájemná poloha a … generátory

B

B

S

s

01. 12. 2015 17

Lenzův zákon • Lenzův zákon se zabývá orientací indukovaného

elektromotorického napětí:

• Indukované elektromotorické napětí vyvolá proud takového směru, že magnetické pole, jím vyvolané, působí proti změně magnetického toku, která ho vyvolala.

• Není-li obvod uzavřen, můžeme si jeho uzavření, abychom určili směr proudu, představit.

01. 12. 2015 18

Pohyblivá vodivá tyč V• Ilustrujme Lenzův zákon na předchozím příkladu

vodivé tyčky, která se nyní bude pohybovat po dvou paralelních vodičích (kolejnicích) do prava.

• Propojíme-li kolejnice vlevo, magnetický tok roste, protože se zvětšuje plocha, vymezená tyčkou, kolejnicemi a propojkou. Proud v tomto případě musí téct proti směru hodinových ručiček, aby pole, které vytváří bylo orientovéno proti poli původnímu a kompenzoval se růst toku.

01. 12. 2015 19

Pohyblivá vodivá tyč VI• Propojíme-li kolejnice vpravo, magnetický tok

klesá, protože se zmenšuje plocha, vymezená tyčkou, kolejnicemi a propojkou. Proud v tomto případě musí téct ve směru hodinových ručiček, aby pole, které vytváří bylo orientováno shodně s polem původním a kompenzoval se pokles toku.

• Směr proudu vlastní tyčkou je v obou případech shodný a odpovídá předchozímu odvození.

01. 12. 2015 20

Jednoduchý pokus III

• Vraťme se k demonstraci s pevným magnetem a galvanometrem.

• Z výchylky přístroje vidíme směr proudu, když se přibližujeme smyčce a když se vzdalujeme. Můžeme zjistit, který pól magnetu je severní a ověřit to v magnetickém poli Země.

01. 12. 2015 21

Rotující vodivá tyč I • Vodivá tyč o délce L s úhlovou rychlostí kolmo

na siločáry homogenního magnetického pole o indukci B. Jaké je indukované napětí?

• Tyč “kosí” siločáry, takže dochází ke změně magnetického toku a napětí je indukováno. Každý kousíček tyčky se však pohybuje s jinou rychlostí a napětí na něm bude jiné. Celkové napětí ale bude součtem napětí na jednotlivých kousíčcích a stačí tedy integrovat .

01. 12. 2015 22

Pohyblivá vodivá tyč VII

• Otázka :

• Musíme konat práci abychom pohybovali vodivou tyčkou v magnetickém poli?

01. 12. 2015 23

Pohyblivá vodivá tyč VIII

• Odpověď:

• Jen do ustavení rovnováhy, tedy polarizace náboje na tyčce. Potom již NE, protože po ustavení rovnováhy mezi elektrickými a magnetickými silami neteče žádný proud!

• Když ale kolejnice přemostíme, např. Odporem, situace se mění. Proč?

01. 12. 2015 24

Přenos energie• Elektromagnetická indukce je základem

nejčastějšího způsobu výroby a přenosu elektrické energie.

• Výhoda je, že elektrická energie je vyráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno a s malými ztrátami přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno.

• Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.

01. 12. 2015 25

Pohyblivá vodivá tyč IX

• Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí UE = BLv neteče proud.

• Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali :

F = BIL.

01. 12. 2015 26

Pohyblivá vodivá tyč X

• Když tyčkou pohybujeme a kolejnice propojíme tak, že celková rezistance obvodu bude R, poteče proud daný Ohmovým zákonem I =UE/R.

• V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BIlv = U I = RI2, který je tedy roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo.

01. 12. 2015 27

Překonávání momentu síly I• Lze očekávat, že podobně jako je nutné

překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly.

• Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační :

P = Fv = T

01. 12. 2015 28

Překonávání momentu síly II

• Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly.

• Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.

01. 12. 2015 29

Překonávání momentu síly III

• Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = U/R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí musíme dodat výkon : P = T = BIL2/2 = UI = RI2, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.

01. 12. 2015 30

Princip elektromotoru I• Z výše uvedeného vidíme, že rotační i translační

pohyby vedou k obdobným závěrům. Proto se zatím bez újmy na obecnosti vrátíme k vodivé tyčce, která se může pohybovat přímočaře a bez tření po kolejnicích.

• Nechť je tyčka v klidu a ke kolejnicím připojíme vnější zdroj. Poteče rozběhový proud I0, daný napětím zdroje U a rezistancí obvodu R :

I0 = U/R.

01. 12. 2015 31

Princip elektromotoru II• Jemu odpovídá jistá rozběhová síla :

F0 = BLI0 = BLU/R

• Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako kdyby tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho proto elektromotorické proti-napětí (counter EMF).

01. 12. 2015 32

Princip elektromotoru III

• Za pohybu bude celkový proud superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti-napětím a zjevně závisí na rychlosti tyčky:

I(v) = [U - UE(v)]/R = (U – vBL)/R

• Síla působící na tyčku potom závisí právě na tomto celkovém proudu : F(v) = BLI(v)

01. 12. 2015 33

Princip elektromotoru IV• Není-li tyčka mechanicky zatížena bude se zprvu

pohybovat zrychleně. S rostoucí rychlostí se ale zvětšuje indukované elektromotorické napětí, tím i protiproud a tedy se snižuje celkový proud a tudíž i síla, působící na tyčku.

• Děj vede k rovnováze, při které napětí indukované je rovno napětí zdroje. Zde mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně tzv. volnoběžnou rychlostí ve = U/BL.

01. 12. 2015 34

Princip elektromotoru IV

• Volnoběžná rychlost volné tyčky ve tedy závisí na napětí zdroje U.

• Předpokládejme dále, že tyčka je zatížena jistou silou v intervalu od nuly po sílu rozběhovou

F (0, F0)• S rostoucí zátěží proud lineárně poroste a rychlost

bude lineárně klesat :I = F/BL

v = (I0-I).R/BL

01. 12. 2015 35

Princip elektromotoru V

• Úpravou původního vztahu pro proud získáme zajímavou informaci o výkonech :

I = I0 – BvL/R BvL/R = I0 – I

rozšíříme proudem I a zavedeme sílu F = BIL

Pm = Fv = RI0I – RI2 = UI – RI2 = P – Pz

01. 12. 2015 36

Princip elektromotoru VI• Mechanický výkon Pm = Fv nabývá maxima při síle F

= F0/2. Zde jsou také proud a rychlost rovny polovině svých rovnoběžných hodnot.

• Ohmický ztrátový výkon Pz = RI2 roste kvadraticky s růstem zátěže i proudu.

• Výkon zdroje P, který je jejich součtem, roste lineárně.

• Efektivita výkonu Pm/P lineárně klesá. • K obdobným závěrům lze dojít i u elektromotorů

otáčivých.

01. 12. 2015 37

Princip elektromotoru VII

• Elektromotory bývají obvykle optimalizovány na maximální mechanický výkon: Jejich pracovní otáčky jsou polovinou otáček volnoběžných a pracovní proud je polovinou proudu rozběhového. Na tyto parametry je navrženo chlazení, aby je motor mohl dlouhodobě vydržet.

• Chlazení obvykle souvisí s otáčkami a je-li motor přetížen a velmi se zpomalí nebo dokonce zastaví, spálí se, přestože proud je necelým dvojnásobkem proudu pracovního.

01. 12. 2015 38

Foucaultovy proudy I

• Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole.

• Je-li ale vodič třírozměrný a není úplně ponořen nebo pole není homogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovy proudy.

01. 12. 2015 39

Foucaultovy proudy II

• Novým jevem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odpor pohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodáván výkon k jeho udržení.

01. 12. 2015 40

Foucaultovy proudy III • Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení tepla,

takže jsou zdrojem ztrát výkonu.• V případech, kde jsou ztráty naškodu musí být

maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů.

• Mohou ale být také využity, například k plynulému brždění některých pohybů (třeba u magnetických vlaků).

01. 12. 2015 41

Vlastní indukčnost I

• Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, objevuje se elektromotorické protinapětí, které má opačnou polaritu než napět budící.

• Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně.

01. 12. 2015 42

Vlastní indukčnost II • Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý

proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole generovaného tímto jeho vlastním proudem.

• Chceme-li v tomto okamžiku změnit proud, měníme magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, vyvolávající proud jehož účinky působí proti změně, o níž se snažíme.

• Chceme-li proud zvýšit, musíme konat práci, dokonce příslušnou rychlostí.

01. 12. 2015 43

Vlastní indukčnost III • Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N

krát znásobí.

• Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na:• geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru

• rychlosti změny proudu

• Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost (cívky) L.

01. 12. 2015 44

Vlastní indukčnost IV • Potom zákon elektromagnetické indukce píšeme :

• Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektrické pole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili pole magnetické.

• Cívky mají obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.

dtdI

LU

01. 12. 2015 45

Vlastní indukčnost V • Mějme dlouhý solenoid s N závity. • Protéká-li jím jistý proud I, bude procházet jeho

každým závitem stejný magnetický tok m1.• Dojde-li ke změně tohoto toku, indukuje se v

každém závitu stejné elektromotorické napětí. Protože závity jsou vlastně zapojeny do série, bude celkové naindukované napětí N násobek napětí v jednom závitu.

• Mírně přizpůsobíme Faradayův zákon a použijeme předešlou definici indukčnosti.

01. 12. 2015 46

Vlastní indukčnost VI

• Jsou-li N a L konstantní, obdržíme jednoduchou integrací indukčnost:

• Jednotkou magnetického toku je 1 weber

1 Wb = 1 Tm2

• Jednotkou indukčnosti je 1 henry

1H = Vs/A = Tm2/A = Wb/A

dtdI

Ldt

dNU m 1

I

NLLIN m

m1

1

01. 12. 2015 47

Vlastní indukčnost VII • Magnetický tok závity závisí na proudu a

geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí:

• V elektronice a elektrotechnice se používají cívky, součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost.

l

SNL

l

NINSN r

m

20

1

01. 12. 2015 48

Vzájemná indukčnost I • Dvě cívky blízko sebe, se mohou ovlivňovat

prostřednictvím magnetického pole. Toto ovlivňování popisujeme vzájemnou indukčností.

• Jedná se o celkový tok v jedné cívce jako funkce proudu v cívce druhé.

• Mějme dvě cívky Ni, Ii na společném jadře nebo blízko sebe.

• Budiž 21 tok v každém závitu cívky 2, způsobený proudem v cívce 1.

01. 12. 2015 49

Vzájemná indukčnost II • Potom definujeme vzájemnou indukčnost M21 jako

celkový tok ve všech závitech cívky 2 na jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1:

M21 = N221/I1 I1M21 = N221

• Indukované napětí ve 2. cívce přímo z Faradayova zákona a s použitím vzájemné indukčnosti je :

U2 = - N2d21/dt = - M21 dI1/dt

• Použití M21 je jednoduché a má smysl, když se vzájemné působení cívek nemění v čase. Obecně závisí na geometrii obou cívek a vlastnostech prostředí mezi nimi.

01. 12. 2015 50

Vzájemná indukčnost III • Lze dokázat, že vzájemná indukčnost obou

cívek je stejná M21 = M12 .• Skutečnost, že proud v jedné cívce indukuje

napětí v cívce druhé, má řadu praktických aplikací. • Používá se například k napájení

kardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče tkání.

• Nejdůležitějším využitím jsou transformátory.

01. 12. 2015 51

Transformátor I• Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí jedna,

dvě nebo více cívek stejný (časově proměnný) magetický tok. Cívka, ke které je připojeno vstupní napětí a která tento tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. (Existují i autotransformátory s jednou cívkou a odbočkami)

• Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a proudu nebo přizpůsobení vnitřního odporu (impedančnímu přizpůsobení).

01. 12. 2015 52

Transformátor II• Ilustrujme princip funkce transformátoru na

jednoduchém typu se dvěma cívkami, které mají N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud.

• Vstupní napětí musí být časově proměnné.• Každým jedním závitem každé cívky prochází

stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí U1 :

U1 = - d/dt

01. 12. 2015 53

Transformátor III

• Připojíme-li k primární cívce napětí U1, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu:

U1 = N1U1

• Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů:

U2 = N2U1

01. 12. 2015 54

Transformátor IV• Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu

jejich závitů :

• Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 100%, což je velice důležité pro přenos energie.

1

212

1

212

2

2

1

1

NN

UUUU

NNNU

NU

01. 12. 2015 55

Transformátor V• Předpokládejme, že máme transformátor s

účinností blízkou 1.• Lze ukázat, že proudy cívkami jsou

nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci.

P = I1U1 = I1U2N1/N2 = I2U2

I1N1 = I2N2

R1/N12 = R2/N2

2

01. 12. 2015 56

Energie magnetického pole I• Indukčnost brání změnám protékajícího proudu.• Znamená to, že k dosažení stavu, kdy cívkou

protéká určitý proud, bylo potřeba vykonat jistou práci.

• Tato práce se přemění do potenciální energie magnetického pole. Roste při zvyšování proudu a klesá při jeho snižování.

• Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný proudu a také jeho změně v čase, které chceme dosáhnout.

01. 12. 2015 57

Energie magnetického pole II• Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí,

abychom byli schopni posunovat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí :

P = IU = ILdI/dt dW = Pdt = LIdI

• Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat :

W = LI2/2

01. 12. 2015 58

Hustota energie magnetického pole I

• Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém.

• Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu :

• Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B L = 0N2S/l

B = 0NI/l I = Bl/0N

01. 12. 2015 59

Hustota energie magnetického pole II

• Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat soustředěnou většinu energie, můžeme

pokládat za hustotu energie magnetického pole.• Tento výraz platí obecně v okolí každého bodu i v

nehomogenních polích.

SlB

N

Bl

l

SNW

0

22

0

20

2)(

2

0

2

2B

wm

Skalární součin Ať

Definice I (ve složkách)

Definice II

n

iiibac

1

cosbac

bac

Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Vektorový součin I

Ať

Definice (ve složkách)

Velikost vektoru

kjijki bac

sinbac

Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

bac

ba

,

c

Vektorový součin II

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

uuu

c

Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.

ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)}

^

c

a

b

Gaussova věta magnetismu• Přesná definice:

0SdBd m

^

Rotující vodivá tyčka I

• Napřed se zamyslíme nad směry: půjdou-li siločáry z podložky a tyčka se bude otáčet v kladném smyslu proti směru hodinových ručiček, nabíjí se střed otáčení záporně. Napětí dU indukované na kousku dr:

drrBvdU )(

^

• Celkové elektromotorické napětí :

2)(

2

00

LBrdrBdrrvBU

LL

Rotující vodivá tyčka II

• Moment síly působící na na kousek dr vzdálený r od středu otáčení vodivé tyčky délky L , kterou protéká proud I kolmo na magnetické pole B je:

BIrdrrdFdT

^

• Celkový moment síly tedy je:

2

2

0

BILIrdrBT

L

Rotující vodivá tyčka III

• Záporný pól zdroje U připojíme na střed. Je-li odpor obvodu R, budou rozběhový proud I0 a moment T0 :

R

BULT

R

UI

2;

2

00

Otáčí-li se tyčka s jistou úhlovou rychlostí , indukuje se v ní elektromotorické protinapětí a celkový I proud je :

R

LBI

R

UI

BL

2

2

02

2

Rotující vodivá tyčka IV

• Volná tyčka dosáhne rovnovážné úhlové rychlosti e , když se napětí vyrovnají :

2

2

BL

Ue

Při zatížení jistým momentem 0 < T < T0 budou celkový proud I a úhlová rychlost :

202

2)(

2

BL

RII

BL

TI

Rotující vodivá tyčka V

• Závěry pro výkony jsou obdobné jako u pohybu translačního :

zm PPRIUITP

IRIIR

Bl

2

0

2

)(*2

^

Zařízení může pracovat v režimu elektromotoru 0 < < e nebo v režimu generátoru pro vně tohoto intervalu: