Faktory a jejich uspořádání

• Faktor (kvalitativní proměnná)factor (= categorial variable = categorical v.)

• Hladina faktorufactor level

• Máme-li dva nebo více faktorů, záleží správná volba modelu ANOVA na jejich vzájemném vztahu (uspořádání, design)

• Faktoriální (factorial design) x hierarchické (nested = hierarchical design)

Faktoriální uspořádání

• Každá hladina určitého faktoru je kombinována s každou hladinou ostatních faktorů

• Mají-li naše faktory jen 2 hladiny, pakpři 2 faktorech máme 4 kombinacepři 3 faktorech máme 8 kombinací ...

• Obecně, mají-li faktory A, B, C,... a, b, c,... hladin, pak je počet kombinací a*b*c*...

Faktoriální uspořádání v terénu - faktory: tvar a vzor

Factorial designs

Completely randomised

Hierarchické uspořádání

• tři lokality

• na každé lokalitě tři kytky

• na každé pět měření

Faktor Kytka je vložen (vnořen) do faktoru Lokalita (Kytka is nested in Lokalita)Kytka 1 (kyt1) z první lokality nemá nicspolečného s kytkou 1 z druhé lokality

Faktoriální uspořádání: vyváženost

• Je nejlepší, pokud máme pro každou kombinaci hladin faktorů stejný počet pozorování, dostáváme pak nejsilnějšía nejvíce robustní test

• Přinejmenším bychom ale měli mít proporční uspořádání

Když jsou faktory “nezávislé”, a design je vyvážený

nemá vlivposlouchajíNedvěda rokenrol marg. Průměry

800 krmeni čokoláda n=10 n=10 800400 noviny n=10 n=10 400

600 600

Vyvážený design

Váhy krys

Když jsou faktory “nezávislé”, a design je proporční

nemá vlivposlouchajíNedvěda rokenrol marg. Průměry

800 krmeni čokoláda n=10 n=20 800400 noviny n=30 n=60 400

500 500

Proporční design

Váhy krys

Když jsou faktory “závislé”, tj. design není vyvážený ani

proporční

nemá vlivposlouchajíNedvěda rokenrol marg. Průměry

800 krmeni čokoláda n=10 n=30 800400 noviny n=30 n=10 400

500 700

Podle marginálnch průměrů se zdá, jako by poslech hudby ovlivňoval váhu krys. (Jsou metody, které si s tím jsou schopny částečně poradit [LS means], ale ztrácí se síla testu pro oba faktory).

Neproporční design

Váhy krys

Statistica spočítá cokoliv, ale

• Pokud mám proporční uspořádání, výsledek by měl být vždy stejný

• Dvoucestnou ANOVu mohu počítat i při neproporčním uspořádání - předvolba, která tam je (Type III sum of squares - orthogonal) je v pořádku, ale mohu se podle situace pokusu rozhodnout i pro jiný (asi Type I - sequential), a měl bych vědět, co který znamená (a proč se tedy výsledky liší).

Dvoucestná ANOVAbez interakce

• Nejprve začneme s modelem, ve kterém předpokládáme, že vlivy hnojení a kosení na počet druhů jsou aditivní:

Xijk = + i + j + ijk

• je celkový (společný) průměr (např. 22.5)

• je vliv kosení (např. 1=-5.0, 2=+5.0)

• je vliv hnojení (např. 1=+2.5, 2=-2.5)

• je náhodná variabilita, nezávislá na hodnotách faktorů

Dvoucestná ANOVAbez interakce

• Aditivitu faktorů často nemůžeme předpokládat a priori, ověřujeme ji použitím neaditivního modelu (s interakcí): test interakčního členu a interaction plot

H0A: 1=2=0 hnojení nemá vliv

H0B: 1=2=0 kosení nemá vliv

H0AB: 11=12=21=22=0 není interakce

SSTotal=SShnojeno+SSkoseno+SShnojeno*koseno+SSerror

Dvoucestná ANOVA s interakcí• Model bez interakce: Xijk = + i + j + ijk

• Přidáme-li interakci: Xijk = + i + j + ij + ijk

• Interakce mezi faktory je symetrická, a tak nám říká buď: „velikost (případně i směr) vlivu hnojení závisí na tom, zda je plocha kosená nebo ne“ nebo

„velikost (případně i směr) vlivu kosení závisí na tom, zda je plocha hnojená nebo ne“

• Speciální případ: “kosení má vliv jen u nehnojených ploch“ (můžeme vyjádřit i „hnojení má vliv jen u kosených ploch“)

Dvoucestná ANOVA s interakcí

• Není interakce:

• Je interakce:

Když popisuji výsledky, nestačí říct,že interakce je průkazná, musím uvéstproč (kde a jaká je odchylka od aditivity)

Je třeba zdůraznit, že spojováníprůměrů tady není interpolací:jde nám o zobrazení interakcepomocí (ne)rovnoběžnosti čar

Hlavní efekt (main effect)

Méně častý typ interakce• Vliv 2 léků (A a B) na snížení teploty testován

faktoriálním experimentem

• Hlavní efekt léku A vyšel neprůkazný, hlavní efekt léku B také, ale vyšla průkazná interakce

• Interaction plot vypadá takto:

Výsledek neznamená,že by léky nebyly účinné!Jejich účinek se přispolečném podání ruší.

F statistika v dvoucestné ANOVAfaktory s pevným efektem

• Fhnojeno, Fkoseno, Fhnojeno*koseno jsou všechny počítány dělením příslušného MS hodnotou MSError

• Například: Fhnojeno=352.8/8.025 = 43.963

• Není tomu ale tak v případě faktorů s náhodným efektem!

Mnohonásobná porovnání

• Ve faktoriální analýze variance (s 2 a více faktory) provádím obdobně jako ve one-way ANOVA

• V našem příkladu nemá smysl: máme jen dvě hladiny pro každý z faktorů

• Mohu porovnávat buď pro hlavní efekty nebo i pro interakci (tj. všechny faktoriálně vytvořené skupiny mezi sebou)

• Co budu porovnávat rozhoduji já (ovšems ohledem na výsledky testu)

F statistika v dvoucestné ANOVAmixed effects (náhodný+pevný)

• Zkoumám vliv kosení na druhovou bohatost, máme tři lokality, na každé mám tři kosené a tři nekosené plochy

Fkoseno = MSkoseno / MSlokalita*koseno tj. 206.72 / 5.39

Experimentální uspořádání:1 – úplně znáhodněné

• Máme experiment se 4 zásahy (K, Z1, Z2, Z3) a se 4 opakováními pro každý typ zásahu (= pro každou hladinu faktoru)

• Je-li všech 16 ploch rozmístěno zcela náhodně (completely randomised design), hodnotím jednocestnou analýzou variance

Experimentální uspořádání:2 – zcela nesprávné

• Vliv zásahu nelze v datech získanýchz tohoto špatného uspořádání odlišit od vlivu umístění v prostoru

• Pojem pseudoreplikace (pseudoreplication)

Experimentální uspořádání:3 – znáhodněné bloky

• Randomised blocks, ale pozor, někdy též jako Completely randomised blocks nebo randomized complete blocks!

• Náhodný faktor Blok, two-way ANOVA bez interakce. Silnější test, pokud se bloky liší

Experimentální uspořádání:4 – Latinský čtverec

• Latin square• Známe směry prostorové variability a buď je

jen jeden (např. vlhkost) nebo jsou kolmé• 3-way ANOVA, náhodné fak. řádek a sloupec

Friedmanův test• Neparametrický test pro úplné znáhodnění

bloky, ale na jiném principu než Wilcoxonův test (tady mi stačí hodnoty v rámci bloku seřadit, nepotřebuju tedy odečítat)

• Založeno na pořadí hodnot (pro jednotlivé hladiny faktoru) uvnitř bloků

a je počet hladin studovaného faktoru

b je počet bloků

Ri je součet hodnot pořadí pro i-tou hladinu

Transformace: problémy s aditivitou 1

• Porovnávám výšky sedmikrásek a slunečnic a jejich odpověď na přidání živin

• Faktoriální uspořádání, 2 faktory s pevným efektem a 2 hladinami (druh a živiny)

• Tři testovatelné hypotézy (2 hlavní efekty plus interakce):

1. výška sedmikrásek a slunečnic se neliší

2. výška rostlin se mění po přidání živin

3. vliv přidání živin je stejný pro oba druhy

Transformace: problémy s aditivitou 2

• Lze očekávat heterogenitu variancí (hodnoty výšky budou mít asi větší varianci u slunečnic než u sedmikrásek) S.D. bude lineárně závislá na průměru (CV bude konstantní)

• Interakce v ANOVA modelu testuje aditivitu, a tedy nárůst výšky díky přidání živin stejný(v cm) u obou druhů – např. 10 cm:

Transformace: problémy s aditivitou 3

• Taková aditivita ale neodpovídá „biologické realitě“ – lze spíše očekávat nárůst proporční, např. o 100%

• Odpovídající model pro vliv druhu (slunečnice je 10-krát vyšší než sedmikráska; hnojení zvýší výšku 2-krát) je:

• Chceme-li dostat model ANOVA, musíme logaritmovat

• Tabulka logaritmů průměrných výšek pak vypadá takto:

)log()log()log()log()log()log( ijkijjiijkX

Logaritmická transformace

• Pokud byla v původních datech S.D. lineárně závislá na průměru, vede k homogenitě var.

• Mění multiplikativní efekty na aditivní

• Mění lognormální rozdělení na normální

• Problém s nulami: v biologických datech časté (pokryvnost či početnost druhu ve vzorku)

• X’ = log(X+c), c by mělo odpovídat škále hodnot X (c=1 vhodné pro počty, procenta)

• Přičtení c narušuje (někdy ne moc) převod multiplikativity na aditivitu

Jiné transformace

• Předpokládáme-li pro závislou proměnnou Poissonovu distribuci:

• Pro procenta a podíly (na škále 0 – 1):

Hierarchické uspořádání(nested design)

• V příkladě je faktor Kytka jasně s náhodným efektem, u faktoru Lokalita si lze představit obě možnosti. Takto vypadají nejčastější případy hierarchické analýzy variance

• Vyrovnanost počtu pozorování je i zde velmi důležitá

• tři lokality

• na každé lokalitě tři kytky

• na každé pět měření

Hierarchické uspořádánípříklad s délkou trubky 1

1

23

Hierarchické uspořádánípříklad s délkou trubky 2

• Při rozkladu sumy čtverců (SS) počítáme čtverce rozdílů každého pozorování (průměru) od jeho hierarchicky nejbližšího vyššího příslušného průměru

• Jsou-li hierarchicky nižší efekty náhodné, je F statistikou poměr MS efektu a MS nejbližšího hierarchicky nižšího efektu

Nejčastější použitíhierarchické analýzy variance

• Rozklad variability znaků mezi jednotlivé hierarchické úrovně (taxonomické / prostorové)

• Často mne zajímá především hierarchicky nejvýše postavený faktor, podřazené faktory umožňují oddělení variability na nižších úrovních zvýšení síly testu

Příklad: vliv pastvy – 6 ohrad: 3 + 3ale v každé 5 ploch (zachytí variabilitu uvnitř ohrad), z každé plochy 3 vzorky pro analýzy (zachytí variabilitu v biomase a v anal. metodě)

Pseudoreplikace ještě jednou

• Pozor na směsné vzorky: umožní zprůměrovat „nezajímavou variabilitu“, ale ztrácí se nezávislost pozorování v nich zahrnutých vzorků!

Tohle nejsou nezávislápozorování !!

Ale pozor – směsné vzorky samy o sobě není nic špatmného, ale musí být replikované

Složitější modely ANOVA

• Faktoriálně a hierarchicky uspořádané faktory se mohou různě kombinovat, přičemž některé budou s pevným a některé s náhodným efektem

• (Tohle nechci ke zkoušce, ale bude se vám to hodit na diplomky apod. – V mnoha diplomkách si s tím, co jste se naučili v tomhle kursu nevystačíte.)

Plot 1 Plot 2 Plot 3

Plot 4 Plot 5 Plot 6

C

P

N

N

P

C

C

N

P

N

CP C

N

P N

P

C

Split plot (main plots and split plots - two error levels)

6 polí (3 vápenec, 3 žula), na každém poli 3 typy zásahů

ANOVA - Repeated measures

• Mám nějaké experimentální uspořádání, a každý objekt sleduji v průběhu času, např.

T0 Treatment T1 T2

Control

Control

Control

Impact

Impact

Impact

Replicated BACI - repeated measures