SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
1
FELADATOK MEGOLDÁSOKKAL KOMPLEX SZÁMOK TÉMAKÖR
1. Oldjuk meg az adott egyenletet, ahol Ryx , :
a) iyixi 1523123
Megoldás:
iyiyxix 152323
iiyxyx 152323
1532
323
yx
yx
1532
639
yx
yx +
217 x 3x
Behelyettesítve: 233 y 7y
Tehát a megoldás:
7
3
y
x
Ellenőrzés:
iiiii 15221769731323
b) iyixi 746554
Megoldás:
iyiyxix 746554
iiyxyx 746554
4765
5454
yx
yx
282420
202520
yx
yx +
8 y 8y
Behelyettesítve: 4854 x 444 x 11x
Tehát a megoldás:
8
11
y
x
Ellenőrzés:
iiiii 74484055448651154
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
2
2. Végezzük el a műveleteket:
a)
i
ii
2
2134
Megoldás:
ii
iii
ii
ii
i
i
i
iii
i
ii
435
2015
12
5101020
22
2510
2
510
2
6834
2
213422
1
2
1
2
b)
14
31
23
252
i
i
i
i
Megoldás:
i
iiii
ii
ii
i
i
iii
iiiiii
ii
iiii
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
221
406
221
93
221
40693
1011
160176230253
10111011
10111623
1011
1623
28312
1218162428520
1423
23681425
14
68
23
25
14
961
23
25
14
31
23
25
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
c)
20132
11
7
1
1
1
2
i
i
i
i
Megoldás:
2
3
11
22
11
12
1
2
1
222
1
2
11
7 iiii
ii
ii
i
i
i
i
i
i
2
34
4
68
4
69
2
3
1
2
1
222
11
7 iiiii
i
i
iiii
ii
ii
i
i
2
2
11
21
11
11
1
122
1
2
iiii
ii
20132013
2013
1
1
iiii
ii
i
i
i
i2
2
3
2
43
2
34
2
34
1
1
1
2
1
220132
11
7
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
3
d) 32
1
2
117
2
17
3
ii
i
Megoldás:
5
3
12
22
22
21
2
1
2
122
1
2
17
3 iiii
ii
ii
i
i
i
i
i
i
25
68
25
69
5
3
2
1
1
222
17
3 iiii
i
i
13
23
23
23
2323
23
23
1
32
12217
ii
ii
i
iii
ii
iiiiii
ii
i
325
28
325
29
325
2829
325
507578104
325
23256813
13
23
25
68
32
1
2
117
2
17
3
3. Oldjuk meg az adott valós együtthatójú másodfokú egyenletet:
a) 02582 xx
Megoldás:
02582 xx
iii
x 342
68
2
368
2
368
2
25488 22
2,1
Tehát a megoldások:
ix
ix
34
34
2
1
Ellenőrzés:
ix 341
0772524329241625348341
22
iiiii
ix 341
0772524329241625348341
22
iiiii
b) 053182 2 xx
Megoldás:
053182 2 xx
2
59
4
1018
4
10018
4
10018
22
53241818 22
2,1
iiix
Tehát a megoldások:
ii
x
ii
x
2
5
2
9
2
59
2
5
2
9
2
59
2
1
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
4
Ellenőrzés:
2
591
ix
045284528
5345812
905653599
4
259081253
2
5918
2
592
1
22
ii
ii
iiiii
2
592
ix
045284528
5345812
905653599
4
259081253
2
5918
2
592
1
22
ii
ii
iiiii
4. Oldjuk meg az adott komplex együtthatójú másodfokú egyenletet:
a) 03242 izz
Megoldás:
03242 izz
2
124
2
1444
2
1444
2
128164
2
32444 2
1
22
2,1
iiiiiiiiiz
iiii
z 82
16
2
1241
i
iiiz 4
2
8
2
1242
Tehát a megoldások:
iz
iz
4
8
2
1
Ellenőrzés:
iz 81
0323232326432848
1
2222
iiiiii
iz 42
0323232161632444
1
2222
iiiiii
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
5
b) 051342 iziz
Megoldás:
051342 iziz
2
4334
2
2049241634
2
5143434
1
22
2,1
iiiiiiiiiz
biai 43 , ahol Rba ,
abibaibabiabiai 2243 22
1
2222
0mert ,2
2
442
322
bbb
aab
ba
32 2
2
b
b 22
23
4bb
b 24 34 bb 043 24 bb
Legyen tb 2 . Így 0432 tt
2
53
2
253
2
4433 2
2,1
t
42
8
2
531
t 42 b nincs valós megoldás
12
2
2
532
t 12 b 12,1 b
Ha 1b , akkor 21
2a Ha 1b , akkor 2
1
2
a
A kapott megoldások:
1
2
b
a és
1
2
b
a (a két komplex szám egymás ellentettje)
Így ii 243
Mindezek alapján:
2
234
2
43342,1
iiiiz
iiii
z 232
46
2
2341
i
iiiz
1
2
22
2
2342
Tehát a megoldások:
iz
iz
1
23
2
1
Ellenőrzés:
iz 231
0225169812412951233423
1
2222
iiiiiiiiiii
iz 12
02251343421511341
1
2222
iiiiiiiiiii
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
6
5. Végezzük el a négyzetgyökvonás műveletét:
i34
Megoldás:
biai 34 , ahol Rba ,
abibaibabiabiai 2234 22
1
2222
0mert ,2
332
422
bb
aab
ba
42
3 2
2
b
b 22
244
4
9bb
b 24 1649 bb 09164 24 bb
Legyen tb 2 . Így 09164 2 tt
8
2016
8
40016
42
9441616 2
2,1
t
2
9
2
541
t
2
92 b nincs valós megoldás
2
1
2
542
t
2
12 b 2
2
2
12,1 b
Ha 2
2b , akkor
2
23
2
3
2
22
3
a
Ha 2
2b , akkor
2
23
2
3
2
22
3
a
A kapott megoldások:
2
2
2
23
b
a
és
2
2
2
23
b
a
(a két komplex szám egymás ellentettje)
Tehát
ii
2
2
2
2334
Ellenőrzés:
iiiiii 342
13
2
9
4
2
4
2232
4
29
2
2
2
23
2
2
2
23
1
2
22
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
7
6. Oldjuk meg az adott egyenletet, ahol Cz :
a) izz 42
Megoldás:
Legyen biaz , ahol Rba , 22 baz
ibiaba 4222
44
222
bb
aba
2422 aa
22 216 aa feltétel: 02 a
22 4416 aaa
124 a 3a (teljesíti a feltételt)
Tehát a megoldás:
4
3
b
a, azaz a keresett komplex szám iz 43
Ellenőrzés:
iiizz 424354343 22
b) 12 zz Megoldás:
Legyen biaz , ahol Rba , biaz
12
biabia
12
1
222
biaibabia
1222 ibababa
012 vagy 001202
122
ababbab
aba
Ha 0b , akkor
12 aa
012 aa
2
51
2
1411 2
2,1
a
A kapott megoldások:
0
2
51
b
a
2
511
z
0
2
51
b
a
2
512
z
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
8
Ha 012 a , azaz 2
1a , akkor
12
1
2
1 2
2
b
12
1
4
1 2 b
14
3 2 b
4
12 b nincs valós megoldás
Tehát a megoldások:
2
51
2
51
2
1
z
z
Ellenőrzés:
1112
51zzRz
14
4
4
522526
4
522
4
5521
2
51
2
512
2222
51zzRz
14
4
4
522526
4
522
4
5521
2
51
2
512
7. Írjuk fel az adott komplex számokat trigonometrikus alakban:
a) 55 iz
Megoldás:
55 iz 5;5P I. negyed
10555522
r
18045 vagy 45:15
5tg (nem jó)
4
4sin
4cos10
iz
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
9
b) iz 434
Megoldás:
iz 434 4;34 P IV. negyed
864164843422
r
18030 vagy 30:3
3
3
1
34
4tg
(nem jó)
6
112
6
6
11sin
6
11cos8
iz
c) iz2
6
2
2
Megoldás:
iz2
6
2
2
2
6;
2
2P II. negyed
24
6
4
2
2
6
2
222
r
12018060 vagy jó) (nem 60:3
2
2
2
6
tg
3
2
3
2sin
3
2cos2
iz
8. Végezzük el a műveleteket:
a) 8153221 ii
Megoldás:
iz 11 1;1P II. negyed
21111 22r
13518054 vagy jó) (nem 45:11
1tg
4
3
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
10
4
3sin
4
3cos21
iz
4
45sin
4
45cos2215
4
3sin15
4
3cos2 7
1515
1
iiz
4
525
4
45arg
4
452 15
1
z
4
5sin
4
5cos227
i
3222 iz 32;2P I. negyed
4161243222
2 r
18006 vagy 60:32
32tg (nem jó)
3
3sin
3cos42
iz
3
2sin
3
2cos2
3
8sin
3
8cos28
3sin8
3cos4 161688
2
iiiz
3
22
3
8arg
3
82 8
2
z
12
23sin
12
23cos22
3
2
4
5sin
3
2
4
5cos22
3
2sin
3
2cos2
4
5sin
4
5cos223221
2323
1678
2
15
1
815
ii
iizzii
b) 6
7
33
3
i
i
Megoldás:
iz 31 1;3 P IV. negyed
24131322
r
18030 vagy 30:3
3
3
1
3
1tg
(nem jó)
6
112
6
6
11sin
6
11cos21
iz
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
11
6
5sin
6
5cos2
6
77sin
6
77cos27
6
11sin7
6
11cos2 7777
1
iiiz
6
526
6
77arg
6
772 7
1
z
iz 332 3;3 P III. negyed
2318993322
r
22518054 vagy jó) (nem 45:13
3tg
4
5
4
5sin
4
5cos232
iz
2
15sin
2
15cos236
4
5sin6
4
5cos23 36
66
2
iiz
2
323
2
15arg
2
152 6
2
z
2
3sin
2
3cos23 36
i
3
4sin
3
4cos
729
16
3
2sin
3
2cos
729
16
2
3
6
5sin
2
3
6
5cos
3
2
2
3sin
2
3cos23
6
5sin
6
5cos2
33
36
4
36
7
6
2
7
1
6
7
ii
i
i
i
z
z
i
i
3
42
3
2arg0
3
26
2
7
1
z
z
9. Végezzük el a gyökvonás műveletét:
a) 6 31 i
Megoldás:
31 iz 3;1P I. negyed
2431312
2 r
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
12
18006 vagy 60:31
3tg (nem jó)
3
3sin
3cos231
ii
6
23sin
6
23cos231 66
k
i
k
i , ahol ;5;4;3;2;1;0k
18
sin18
cos26
3sin6
3cos20 660
iiwk
18
7sin
18
7cos2
6
23sin
6
23cos21 66
1
iiwk
18
13sin
18
13cos2
6
43sin
6
43cos22 66
2
iiwk
18
19sin
18
19cos2
6
63sin
6
63cos23 66
3
iiwk
18
25sin
18
25cos2
6
83sin
6
83cos24 66
4
iiwk
18
31sin
18
31cos2
6
103sin
6
103cos25 66
5
iiwk
b) 4 3i
Megoldás:
iz 3
3330 222 r
290:
0Im
0Re
z
z
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
13
2sin
2cos33
ii
4
22sin
4
22cos33 44
k
i
k
i , ahol ;3;2;1;0k
8
sin8
cos34
2sin4
2cos30 440
iiwk
8
5sin
8
5cos3
4
22sin
4
22cos31 44
1
iiwk
8
9sin
8
9cos3
4
42sin
4
42cos32 44
2
iiwk
8
13sin
8
13cos3
4
62sin
4
62cos33 44
3
iiwk
c) 5 32
Megoldás:
32z
3232032 222r
180:0Im
0Re
z
z
sincos3232 i
5
2sin
5
2cos3232 55 k
ik
, ahol ;4;3;2;1;0k
5sin
5cos20 0
iwk
5
3sin
5
3cos2
5
2sin
5
2cos21 1
iiwk
sincos25
4sin
5
4cos22 2
iiwk
5
7sin
5
7cos2
5
6sin
5
6cos23 3
iiwk
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
14
5
9sin
5
9cos2
5
8sin
5
8cos24 4
iiwk
d) 3
2
31
i
i
Megoldás:
311 iz 3;1P IV. negyed
2431312
2 r
18060 vagy 60:31
3tg
(nem jó)
3
52
3
3
5sin
3
5cos21
iz
iz 22
2220 222 r
2
3270:
0Im
0Re
z
z
2
3sin
2
3cos22
iz
6sin
6cos
2
3
3
5sin
2
3
3
5cos
2
3sin
2
3cos2
3
5sin
3
5cos2
2
1
ii
i
i
z
z
3
26sin
3
26cos1
2
31 33
2
13
k
i
k
z
z
i
i ahol ;2;1;0k
18sin
18cos
3
6sin3
6cos0 0
iiwk
18
13sin
18
13cos
3
26sin
3
26cos1 1
iiwk
18
25sin
18
25cos
3
46sin
3
46cos2 2
iiwk
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
15
10. A komplex számsíkon határozzuk meg azon z komplex számok mértani helyét, amelyekre
teljesülnek az alábbi feltételek:
a) 2Re1 z
Megoldás:
Legyen yixz , ahol Ryx , xz Re
2Re1 z 21 x
b) 3Im2 z
Megoldás:
Legyen yixz , ahol Ryx , yz Im
3Im2 z 32 y
c) 6
arg4
z
Megoldás:
SZIE GAEK MATEMATIKA II.
ATTI KOMPLEX SZÁMOK
16
d) 22 iz
Megoldás:
Legyen yixz , ahol Ryx ,
iyxiyixiz 1222
22122 yxiz
22 iz 222212 yx 412
22 yx
A keresett mértani hely egy 1;2 középpontú 2 egység sugarú körlap.
e) 2311 iz
Megoldás:
Legyen yixz , ahol Ryx ,
iyxiyixiz 313131
223131 yxiz
2311 iz 2222311 yx 4311
22 yx
A keresett mértani hely egy 3;1 középpontú 1, illetve 2 egység sugarú
koncentrikus körök által meghatározott körgyűrű.