Fraktance

RC model prvku s konstantní fází

Juraj Valsa, říjen 2009

použití

- simulace pochodů v elektrochemických systémech, včetně superkapacitorů

- regulační obvody v soustaváchzlomkového řádu

- simulace pochodů ve vírových kotváchasynchronních motorů

Ideální prvek s konstantní fází (CPE)

1

1 1

0 11

Operátorový tvar impedance CPE

( ) , -1 1 , C, R, L

v kmitočtové oblasti

( ) ( ) (cos sin )

je modul pro 10 1

/ 2 je argument (konstantní)

je charakteristický exponent

Z s D s

Z j D j D j

D s

1

10

argument je na kmitočtu nezávislý

a je úměrný exponentu , 180 / ve stupních

modul impedance klesá s rostoucím kmitočtem

a charakteristika má sklon (v decibelech na dekádu

kmitočtu)

20log

D

dsklon

1

10

20log

D

d

náhrada činitele sβ diskrétním obvodem

- obvykle se používá rozvoj

exponenciální funkce v řadu,

vedoucí na řetězový zlomek

příklad rozvoje rozvoj vede na příčkový článek

příčkový článek RC

příklad charakteristik RC obvodunavrženého podle rozvoje v řetězový zlomek

„dominový řetězový obvod“celkem 14 rezistorů a 14 kondenzátorů

argumentová (fázová) charakteristika

výsledek je pro většinu aplikacínevyhovující

- vychází příliš veliký počet elementů

obvodu

- prakticky lze dosáhnout pouze

argumentu φ=-45°

ve značně omezeném pásmu kmitočtů

základní schéma navrženého RC modelu

hodnoty prvků progresivně klesajígeometrickou posloupností

0<=a<=1 , 0<=b<=1

mkbCCaRR kk

kk ,....,3,2,, 1

11

1

např. pro a=0.6, b=0.4

2 1

3 1

4 1

2 1

3 1

4 1

0.6*

0.36*

0.216*

....

0.4*

0.16*

0.064*

....

R R

R R

R R

C C

C C

C C

vstupní admitance modelu

součet admitancí jednotlivých větví

m

kk

k

m

k kk

km

kkk

CRabj

Cbj

CRj

CjCjRjY

1 111

11

11

)(1

1)/1/(1)(

v normovaném měřítku

Pro zjednodušení zápisu je výhodné zavést normovaný

kmitočet

x=ω R1 C1

Potom admitance

vstupní impedance

Z(x)=1/Y(x) .

m

kkbkjxa

kjxb

RxY

11111

11)(

argument (fáze) impedance

v úhlových stupních

))]((/))(([./180)( xZrealxZimagarctgx

Příklad argumentové (fázové) charakteristikyRC modelu pro a=0.6, b=0.4, m=40

10-5

100

105

1010

1015

1020

1025

1030

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

x

fi [d

eg]

modulová charakteristikasklon =-7,2 dB/dek

10-5

100

105

1010

1015

1020

1025

1030

10-10

10-5

100

105

x

abs(

Z)

[ohm

]

šířka pásma s konstantní fázía konstantním sklonem

přibližně je dána kmitočtem fmax

max1 11 1 1 1

max1

1 1

2 2

v normalizovaném měřítku pak

1 1

( ) ( )

m m m m

m m

fR a C b R a C b

xab ab

detail fázové charakteristiky

1010

1011

1012

1013

1014

-32.5

-32.45

-32.4

-32.35

-32.3

-32.25

-32.2

-32.15

-32.1

-32.05

-32

x

fi [d

eg]

zvlnění

1/per je počet dekád kmitočtu na jednu periodu zvlnění

per je pak počet period v jedné dekádě

)1

(log

1

1loglog

1

10

1011

10

ab

per

abCR

CR

per kk

kk

velikost (amplituda) zvlnění rostes délkou periody

proto malým hodnotám součinu a*b

odpovídají větší amplitudy ∆φ

a naopak

je-li součin a*b>0.3, je zvlnění zanedbatelné,

ale šířka pásma je velmi malá

charakteristické hodnoty RC modelum>>1, b=1-a

a 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

a*b 0.09 0.16 0.21 0.24 0.25 0.24 0.21 0.16 0.09

per 0.956 1,256 1,475 1,613 1,661 1,613 1,475 1,256 0,956

1/per 1,046 0,796 0,678 0,620 0,602 0,620 0,678 0,796 1,046

φ 86,06 79,04 69,43 57,79 45,00 32,22 20,57 10,96 3,944

∆φ 0,260 0,195 0,135 0,105 0,090 0,105 0,135 0,195 0,260

závislost argumentu na parametru apro b=1-a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

a

fi [d

eg]

aproximace polynomem 3. stupněpro a+b=1

3 2173 225 3.35 88.8a a a

fáze φ v závislosti na parametrech a, b

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

a

fi [d

eg]

b=0.1

b=0.9

argumentové charakteristiky modelupro a=b=0,5, m=5, 10, 20, 40

10-5

100

105

1010

1015

1020

1025

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

x

fi(Z

) [d

eg]

m=5 10 20 40

princip funkce navrženého modelu

s rostoucím kmitočtem se po sekcích

modelu šíří „vlna“

0 5 10 15 20 25 30 35 400

20

40

60

poradové císlo sekce

arg

um

ent

ve s

tupníc

h

a=b=0.5, m=40, omega=1e5, 1e10, 1e15

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

poradové císlo sekce

priru

ste

k a

rgum

entu

princip korekce modelus malým počtem sekcí

náhrada „levé“ a „pravé“ části modelu nekonečné délky

vodivostí Gp a kondenzátorem Cp

2 3

1 1

1 21 1

1 1( ....)

1

( ....)1

p

mm m m

p

aG a a a

R R a

bC C b b b C

b

RC model s korekčními členy Gp, Cp

účinek korekčních členů při m=5

10-6

10-4

10-2

100

102

104

106

108

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

x

fi [d

eg]

účinek korekčních členů při m=10

10-4

10-2

100

102

104

106

108

1010

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

x

fi [d

eg]

účinek korekčních členů při m=20

10-5

100

105

1010

1015

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

x

fi [d

eg]

charakteristiky korigovaného modelum=10, a=0.1 až 0.9, b=1-a

10-5

100

105

1010

1015

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

x

fi [d

eg]

a=0.1

a=0.9

prakticky použitelný model φ=-32,2°, v pásmu 100Hz až 30kHz

výběr kondenzátorů z řady E6 a rezistorů z řady E12 nebo E24

řada E610 15 22 33 47 68 100

řada E1210 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 100

řada E2410 11 12 13 15 26 18 20 22 24 27

30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91 100

některé kombinace pro RC modely s kondenzátory E6 a rezistory E24, m=5

vzorky modelů pro φ=-45° a φ=-60° v pásmu od 100Hz do 30kHz

schéma vzorku m=4, φ=45°

charakteristika vzorku m=4, R1=10kΩ, C1=1µF

100

101

102

103

104

105

106

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

f [Hz]

fi [d

eg]

příklad řešení obvodu v harmonickém ustáleném stavuzákladní schéma Wienova oscilátoru

klasický Wienův oscilátorse dvěma stejnými kondenzátory

kmitočet oscilací a potřebné zesílení

0.3

2

1

0

A

RCfosc

Wienův oscilátor se dvěma stejnými CPEs

022

1

)(3)(

)(

)(

)()(

)(

)(

AjRZjZR

jRZ

jZR

jRZjZR

jZR

jRZ

Ku

)sin(cos)( 1 jDjZ

určení velikosti modulu D1

10-2

10-1

100

101

102

103

104

30

40

50

60

70

80

90

f [Hz]

|Z| [

dB]

výpočet kmitočtu oscilacía potřebného zesílení v ustáleném stavu

kmitočet oscilací

10 D

R

1loglog

0 10

DR

Wienův oscilátorse dvěma stejnými CPEs, R=100Ω

Wienův oscilátor se dvěma rozdílnými CPEs

podmínky oscilací pro případdvou různých CPEs

činitel přenosu

021212

2

2

21

2

2

1

)()()](2)([

)(

)(

)()(

)(

)(

AjZjZjZjZRR

jRZ

jZR

jRZjZR

jZR

jRZ

Ku

z imaginární části přenosuvypočítáme kmitočet oscilací

nelineární rovnici řešíme numericky

0sin

)sin(sin

121

021

211

0122

DD

RDR

porovnání výsledků simulaceR=75Ω

řešení náhradních obvodů v přechodném stavus ideálními CPEs resp. s jejich modely

klasické řešení diferenciálních rovnic je

obtížné, protože dosud neexistují rutinní

postupy podobné metodám Runge-Kutta

pokud je však soustava lineární, použijeme

s výhodou Laplaceovu transformaci

numerická inverze Lapl. obrazů

2 1max

1

1( ) ( )

2

aproximace exponenciální funkce

1. podílem Padého polynomů

( ) Re ( ) , N 12

2. hyperbolickou funkcí

1 ( ) ( 1) Re ( ( )

2

j st

j

Nn n

n

an

n

f t F s e dsj

k kf t F

t t

e af t F j n

t t t

1

výhody

- není nutno počítat póly obrazu a provádět rozklad na parciální zlomky

- lze invertovat iracionální a transcendentní funkce proměnné s včetně funkcí, vedoucích na zpožděné nebo periodické originály

- lze invertovat funkce s exponenty danými necelými čísly- za proměnnou s ve výrazu pro obraz F(s) se dosazují

příslušné komplexní hodnoty zcela stejně jako imaginární jω při výpočtu kmitočtových charakteristik v ustáleném harmonickém stavu

ilustrativní příklad(odezva fraktálního systému na jednotkový skok)

1.15

1.15 2.2 0.9

obraz F(s)

1 20.5 2.7343F(s)=

s 21.5 3.7343 0.8 0.5

s

s s s

výsledný originál f(t)CPU time=0,218 s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

t [s]

h(t)

příklad fraktálních derivací, obvod m=5, s korekcítečkovaně odezva ideálního CPE

0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

t [s]

i(t)

a=0.3

a=0.5a=0.7