Fyzikální pojem energie a jeho použití

nejen ve výuce fyzikyMichal Musílek

leden 2010michal.musilek@uhk.cz

Jak se ve škole buduje pojem energie?➲ Energie je hodně komplexní pojem, který nelze

odbýt jednoduchou definicí.➲ Proto se ve škole probírají postupně jednotlivé

druhy energie. Zpravidla se začíná mechanickou energií.

➲ Lze říci o energii (jako obecném pojmu, nejen o mechanické) vůbec něco zásadního, co je pro tuto veličinu charakteristické?

➲ Zkuste odpovědět na otázky:● Jaká veličina je energie? (přídavné jméno)● Jaký důležitý zákon pro ni platí?

Energie je stavová veličina➲ Energie popisuje stav tělesa, nebo soustavy těles,

nebo termodynamického systému, ...➲ Práce, nebo teplo nejsou stavové, nýbrž dějové

veličiny. Měříme je ve stejných jednotkách, ale mají jinou podstatu.

➲ Analogie mezi energií a stavem konta na jedné a prací a platbami na druhé straně.

➲ Feynmanovo „podobenství“ o energii a kostkách ze stavebnice.

➲ Mimochodem - na otázku: „Jaká veličina je energie?“ lze také odpovědět: „Skalární.“

Energie se zachovává➲ Celková energie v uzavřené (izolované) soustavě

se zachovává. (To platí vždy a všude ve vesmíru!)➲ Jednotlivé typy energie se zachovávat mohou, ale

nemusí. Např. celková mechanická energie zůstává beze změny pouze v systémech, kde nejsou žádné síly odporu proti pohybu (tření, odpor vzduchu, ...).

Různé druhy potenciální energie➲ tělesa v homogenním tíhovém poli➲ tělesa v radiálním gravitačním poli➲ tělesa napínajícího pružinu (pružnosti v tahu)➲ torzní pružnosti (pružnosti ve zkrutu)➲ tlaku v kapalině (tlaková potenciální energie)➲ nabitého tělesa v homogenním elektrostat. poli➲ nabitého tělesa v radiálním elektrostatickém poli➲ nabitého kondenzátoru

Různé druhy kinetické energie➲ tuhého tělesa pohybujícího se translací➲ pohybujícího se tělesa z pohledu STR➲ rotujícího (otáčejícího se) tuhého tělesa➲ pohybující se elektricky nabité částice (jednotka

energie elektronvolt)➲ energie fotonu (fotoelektrický jev)➲ energie cívky protékané elektrickým proudem

m1m2

r1 r2h1h2

Odvození rovnováhy na páce ze ZZE

➲ Představme si soustavu dvojzvratné páky a závaží v rovnovážné poloze volné.

➲ Páku odchýlíme od rovnovážné polohy o malý úhel α od vodorovné polohy, aniž by se rovnováha porušila.

m1 m2

r1 r2h1

h2

Odvození rovnováhy na páce ze ZZE

Δ E1 = Δ E2

G1 h1 = G2 h2

m1 g h1 = m2 g h2

m1 h1 = m2 h2

m1 r1 sin α = m2 r2 sin α m1 r1 = m2 r2

Odvození vztahů pro nakloněnou rovinu

l hF G

W = Δ Ep

F l = G hF = G = G sin α l

h

Intermezzo – energie v chemii➲ V chemii se pracuje s různými termodynamickými

potenciály a zpravidla už na střední škole se máme naučit jejich definiční vzorce (aniž bychom měli šanci jim do hloubky porozuměnt).

➲ Všechny termodynamické potenciály se definují pomocí stavových veličin a jejich diferenciálů.

➲ Zapamatovat si je můžeme pomocí mnemotechnické pomůcky „Velmi Těžce pamatovatelné Schéma“

➲ Co znamenají písmena V – T – p – S ?➲ Začneme tím, že si nakreslíme čtverec

a jeho vrcholy označíme od levého dolního rohu proti směru hod. ručiček V, T, p, S.

Intermezzo – energie v chemii➲ Zatímco vrcholy čtverce jsme označili symboly

stavových veličin, strany čtverce označíme od dolní proti směru hod. ručiček písmeny F, G, H a U:● F … volná energie (angl. Free energy)● G … Gibbsova energie● H … entalpie (H … velké řecké éta)● U … vnitřní energie

V T

pS

F

H

U G

Intermezzo – energie v chemii

➲ Pravidla použití schématu● Zakroužkujeme potenciál, jehož diferenciál hledáme.● Šipky v úhloříčkách čtverce směřují ke straně s kroužkem.● Začátek šipky = veličina; konec šipky = její diferenciál.● Šipka zdola nahorů = plus; shora dolů = mínus.● Např. dU = T dS – p dV .

Úloha č. 1➲ Zadána ve II. Ročníku FO (v kategorii C)➲ Autorské řešení založeno na energetických úvahách➲ Zadání

Vlak o tíze G přijíždí po vodorovné rovině ke kopci, na němž stojí nádraží, rychlostí v1 a setrvačností dojíždí na kopec rychlostí v2. Vypočtěte výšku nádraží nad vodorov. rovinou, je-li délka svahu (o konstantním spádu), který vlak zmáhá, l a třecí síla Ft je rovna n-tině tíhy vlaku.Řešte obecně a také pro hodnoty v1 = 20 m s-1, v2 = 2 m s-1, l = 103 m, n = 250.

Úloha č. 1➲ Autorské řešení používalo ještě pro práci ozn. A➲ Terminologie „práce se získává z kinetické energie“➲ Mimo výše uvedené není třeba na řešení nic měnit

➲ Vyjetím do kopce se zvýší potenciální tíhová

energie vlaku

➲ Současně se snižuje rychlost vlaku, tedy i kinetická energie

∆ E p = m g h

∆ E k =12

m v22−v1

2

Úloha č. 1➲ Třetí změnou energie je zvýšení vnitřní energie

vlaku a kolejí a zejména vzduchu, rozvířeného pohybem vlaku, které je rovno práci proti třecí síle

➲ Nyní můžeme sestavit rovnici, která dává uvedené tři změny energie do souvislosti (a vychází ze ZZE)

∆ U = W = F t l = m gn

l

∆ E p ∆ U ∆ Ek = 0

m g h m gn

l = 12

m v12−v2

2

Úloha č. 1➲ Úpravou rovnice získáme obecné řešení, výška ná-

draží nad vodorovnou rovinou je

➲ Pro zadané hodnoty a g = 9,81 m.s-2 dostaneme

h = 16,2 m

h = 12 g

v12−v2

2 − ln

Úlohy č. 2 a 3➲ Byly zadány před 30 lety účastníkům XXI. Ročníku

FO, kategorie D.➲ Tehdy jsem byl studentem 1. ročníku oboru Měřicí

a automatizační technika na SPŠ elektrotechnické v Pardubicích a soutěže jsem se zúčastnil.

➲ Bohužel si už nepamatuji, zda jsem úlohy řešil pomocí energetických úvah (jako dnes), nebo pomocí dynamických úvah jako autoři úlohy ve vzorovém řešení.

➲ Zadání obou úloh je převzato z ročenky XXI. roč. FO, ale řešení je zcela jiné než v ročence.

Zadání úlohy č. 2Účinkem nárazu lokomotivy se začal vagón pohybovat po přímém úseku trati AB, který svírá s vodorovnou rovinou úhel α. Za dobu t1 = 30 s od počátku pohybu až do zastavení urazil dráhu s = 60 m. Potom se začal pohybovat zpět dolů, projel vzdálenost BA za dobu t2 = 40 s a přejel na vodorovný úsek trati.

Určete délku dráhy po vodorovné trati z bodu A až do zastavení. Součinitel odporu považujeme za stálý.

Řešte nejprve obecně, potom pro zadané hodnoty.

Úloha č. 2➲ Označme h výšku bodu B nad bodem A a potenciál-

ní energii v bodě A položme rovnu nule, pak

➲ Kinetická energie je jiná na počátku samostatného pohybu vagónu, jiná v bodě zvratu (nulová) a jiná při průchodu bodem A opačným směrem

E p A = 0 E p B = m g h

E k 0 =12

m v02 E k 2 =

12

m v22

E k 1 = 0

Úloha č. 2➲ Pohyb vagónu vzhůru z A do B i pohyb zpět (dolů)

z B do A jsou rovnoměrně zrychlené pohyby, díky tomu můžeme určit okamžité rychlosti v bodě A:

➲ Kinetické energie pak vyjádříme jako

E k 1 = 0

v0 = 2 st1

v2 = 2 st 2

E k 0 =2 m s2

t12 E k 2 =

2 m s2

t22

Úloha č. 2Protože síla odporu proti pohybu je stejná při cestě vagónu nahoru jako při cestě dolů a stejná je také dráha s, musí být stejná také práce W = Ft s vykonaná vagónem proti síle odporu, která se projeví zvýšením vnitřní energie vagónu a kolejí a současně snížením celkové mechanické energie vagónu. Toto snížení je stejně velké pro cestu nahoru jako pro cestu dolů:

2 m s2

t12 − m g h = m g h − 2 m s2

t 22

Úloha č. 2Postupnými úpravami rovnice získáme vztahy:

Rozepsat na tabuli!

Nyní už můžeme vypočítat neznámý součinitel odporu f. V původní rovnici ponecháme bezezměny levou stranu a na pravé vyjádřímepráci vagónu proti odporové síle:

g h = s2

t12 s2

t22

sin α = hs= s

g 1t1

2 1t 2

2

A po úpravě a vyjádření cos α pomocí goniometrické jedničky získéme výsledný vztah pro součinitel odporu f :

2 m s2

t12 − m g h = m g h − 2 m s2

t 22

2 m s2

t12 − m g ssin α = s m g f cos α

2 m s2

t12 − m g s s

g 1t1

21t 2

2 = s m g f cos α

Úloha č. 2Vypočtený vztah pro součinitel odporu f

využijeme pro výpočet délky x dráhy po vodorovné trati z bodu A až do zastavení:

f = sg

1t1

2 − 1t2

2

1 − [ sg 1

t12

1t2

2 ]2

Úloha č. 2Práce proti odporové síle na dráze délky x má stejnouvelikost jako změna kietické energie z hodnoty v bodě A k nule v okamžiku zastavení vagónu.

Číselně pro zadané hodnoty a g = 9,81 m.s-2

dostáváme x = 153 m.

x =Ek 2

F t' =

2 m s2

t22

m g f= 2 s2

g f t 22 =

2 s1 − [ sg 1

t12

1t2

2 ]2

t22

t12 − 1

Zadání úlohy č. 3Dva mladí lyžaři Václav a Lída stojí na kopci ve výšce 40 m nad vodor. rovinou a začnou současně sjíždět po spádnici délky 120 m. Trať představuje nakloněnou rovinu, která na úpatí přechází v rovinu vodorovnou. Lída jede po vyjeté stopě, takže při pohybu z kopce lze tření zanedbat. Václav jede v čerstvém sněhu, přičemž součinitel smykového tření je 0,1. Při pohybu obou lyžařů po vodorovné rovině v hlubokém sněhu je součinitel smykového tření 0,2.➲ Který z lyžařů se zastaví dříve? Jaký je časový

rozdíl mezi zastavením obou lyžařů?➲ Který z lyžařů dojede dále? Jaký je dráhový

rozdíl obou lyžařů před zastavením?

Úloha č. 3 – I. jízda ze svahuLída Václav

∆ E p1 = ∆ E k1

m1 g h = 12

m1 v12

v1 = 2 g h

t1I = 2 l

g h

∆ E p2 = ∆ E k2 ∆ U

m2 g h = 12

m2 v22 f čs m2 g l cos α

v2 = 2 g h − f čs l2−h2

t 2I = 2 l

g h − f čsl 2−h2

Úloha č. 3 – II. vodorovný dojezdLída Václav

∆ E k1 = ∆ U 1

∆ E p1 = W 1

m1 g h = f hs m1 g s1

s1 =hf hs

t1II = 2 h

f hsg

∆ E k2 = ∆ U 2

∆ E k2 = W 212

m2 v22 = f hs m2 g s2

s2 =v2

2

2 f hs g=

h− f čsl 2−h2

f hs

t 2II = 2h− f čsl 2−h2

f hs g

Úloha č. 3 – porovnání doby jízdyLída Václav

8,6 s + 14,3 s = 22,9 s 10,1 s + 12,1 s = 22,2 s

Václav zastaví o 0,7 s dříve než Lída.

t1II = 2 h

f hsg t 2II = 2h− f čsl 2−h2

f hs g

t1I = 2 l

g ht 2

I = 2 l

g h − f čsl 2−h2

Úloha č. 3 – II. vodorovný dojezdLída Václav

200 m 143 m

Lída dojede o 57 m dál než Václav.

s1 =hf hs

s2 =h− f čsl 2−h2

f hs

Konstatování na závěrEnergetické úvahy (úvahy založené na pojmu energie a na zákonu zachování energie) jsou cenným nástrojem v rukou fyzika i v rukou studenta střední školy se zájmem o pochopení přírodních jevů a dějů nebo o technické apli-kace fyzikálních principů.

Nabídka seminářů z informatiky

➲ Hlavolamy a hry řešené pomocí orientovaných grafů.

➲ Geometrie, aritmetika a zobrazení grafů funkcí v prostředí dynamické interaktivní geometrie GEONExT.

➲ Piškvorky stokrát jinak, vždy chutné a lehce stravitelné.

Hlavolamy a hry řešené pomocíorientovaných grafů

➲ Různé obměny hry NIM. Cesta figurky po grafu.➲ Klasické hlavolamy (převozník, koza, vlk a zelí).➲ Řešení uvedených her a hlavolamů s využitím

orientovaných grafů. Jak se kreslí jednotažky.➲ Seznámení s Open Source visualizačním nástrojem

GraphViz, pomocí nějž grafy snadno vykreslíme.➲ Hledání strategie náročnějších her pomocí grafů

(Budějovické kostky, Minipylos, Pylos).➲ Hranice možností analýzy her automatizovaným

prohledáváním grafů současnými počítači.

Geometrie, aritmetika a grafy funkcív prostředí DIG GEONExT

➲ DIG … Dynamická interaktivní geometrie.➲ GEONExT … Open Source náčrtník typu DIG,

vyvinutý v prostředí Java, spustitelný z webu jako aplet, nebo s instalací (Mac OS, Linux i Windows).

➲ Pracovní nástroje GEONExTu. Úlohy z geometrie trojúhelníka (těžnice, výšky, kružnice ops. a veps.).

➲ Vytváření dynamických konstrukcí. Od kuželoseček k analytické geometrii a řešení rovnic a soustav.

➲ Stopa objektu. Hvězdy, květiny a dělitenost čísel.➲ Grafy funkcí y = f(x) a funkcí daných

parametricky.

Piškvorky stokrát jinak, vždy chutné a lehce stravitelné

➲ Hry, které mají určitou souvislost s piškvorkami.➲ 3D minipiškvorky a nalezení vyhrávající strategie.➲ Piškvorky na hrací desce Go (Gomoku, Ninuki).➲ Moderní deskové hry Quarto a Gobblet.➲ Hra Othello a její zajímavá historie.➲ Karetní podoba Quarto a netradiční karetní hra Set.➲ Počítačové varianty některých her (piškvorky, 3D

minipiškvorky, Othello, Set).➲ První počítačový program Billa Gatese.

Konec