GAUSSOVO KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ V POLEDNÍKOVÝCH PÁSECH
seminární práce
Předmět: Diferenciální geometrie Vedoucí předmětu: Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Katedra: K151 – Katedra matematiky, FSv, ČVUT v Praze Autor: Radek Hampl Datum: leden 2007
– 1 –
1. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY ..................................................................................... 2 1.1 ÚVODNÍ POZNÁMKA .......................................................................................................... 2 1.2 POLOMĚRY KŘIVOSTI NA ROTAČNÍM ELIPSOIDU ................................................................ 2
1.2.1 Meridiánový poloměr křivosti ................................................................................... 2 1.2.2 Příčný poloměr křivosti ............................................................................................. 3
1.3 IZOMETRICKÉ SOUŘADNICE NA ROTAČNÍM ELIPSOIDU ....................................................... 4
2 ODVOZENÍ ZOBRAZOVACÍCH ROVNIC..................................................................... 6 2.1 MATEMATICKÁ FORMULACE PODMÍNKY KONFORMITY...................................................... 6 2.2 ODVOZENÍ ROVNIC GAUSSOVA ZOBRAZENÍ....................................................................... 8
2.2.1 Volba funkce f(q) ....................................................................................................... 8 2.2.2 Odvození derivací f(p)(q)............................................................................................ 9
2.3 VÝSLEDNÉ TVARY ZOBRAZOVACÍCH ROVNIC GAUSSOVA ZOBRAZENÍ ............................. 15 2.4 MERIDIÁNOVÁ KONVERGENCE γ...................................................................................... 16 2.5 VÝPOČET (ϕ, λ) BODU ZE SOUŘADNIC ROVINNÝCH (X, Y)............................................... 20 2.6 TABULKY ϕ1 PRO HODNOTY B = X .................................................................................. 23
3 ZKRESLENÍ V GAUSSOVĚ ZOBRAZENÍ.................................................................... 29 3.1 DÉLKOVÉ ZKRESLENÍ....................................................................................................... 30 3.2 PLOŠNÉ ZKRESLENÍ.......................................................................................................... 33
4 ROZBOR ZOBRAZOVACÍCH ROVNIC ....................................................................... 34 4.1 KOEFICIENTY ŘAD ZOBRAZOVACÍCH ROVNIC .................................................................. 35 4.2 KONVERGENCE ŘAD ZOBRAZOVACÍCH ROVNIC ............................................................... 37
5 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY ............................................................................................. 38 5.1 ÚPRAVA SOUŘADNIC SOUŘADNÉHO SYSTÉMU ................................................................. 38 5.2 MOŽNÉ ZÁMĚNY GAUSSOVA KONFORMNÍHO ZOBRAZENÍ................................................ 39 5.3 PRAVOÚHLÉ SOUŘADNICE (SOLDNEROVY) NA ELIPSOIDU A NA KOULI ............................ 41 5.4 AUTORSTVÍ DOPROVODNÝCH OBRÁZKŮ A TABULEK, ODVOZENÍ ..................................... 41
6 OBRAZOVÉ PŘÍLOHY .................................................................................................... 42
7 POUŽITÁ LITERATURA................................................................................................. 43
– 2 –
1. Základní pojmy a vztahy
1.1 Úvodní poznámka Gaussovo konformní zobrazení je přímé zobrazení z referenčního rotačního elipsoidu do roviny, tedy bez zavedení přechodové koule. V tomto zobrazení se nezkreslují úhly, proto konformní. Zobrazení se také často nazývá Gauss – Krügerovo (zejména ve starší literatuře) a jedná se o zobrazení poledníkových pásů o stejné šířce. V závislosti na měřítku výsledné mapy se používají šířky poledníkových pásů 12°, 6° a 3°. Karl Friedrich Johan Gauss toto zobrazení odvodil v 19. století a bylo dále propracováno německým geodetem Krügerem. Některá další odvození řad a jiné vhodné úpravy provedl také bulharský geodet Prof. Christov. V bývalé ČSSR bylo tohoto zobrazení použito pro konstrukci vojenských topografických map na Krasovského elipsoidu a to v šestistupňových pásech.
1.2 Poloměry křivosti na rotačním elipsoidu Na elipsoidu zavádíme dva poloměry křivosti. Jedná se o meridiánový poloměr křivosti M (poloměr křivosti v poledníku) a příčný poloměr křivosti N (poloměr křivosti v rovině kolmé na poledník). Mějme tedy v bodě P definovanou normálu k elipsoidu. Tou můžeme proložit nekonečně mnoho rovin, které jsou v daném bodě kolmé na tečnou rovinu k elipsoidu. Tyto roviny protínají elipsoid v normálových řezech, z nichž právě dva jsou extremální, respektive křivost v těchto dvou normálových řezech dosahuje extrémních hodnot. A těmto křivostem odpovídají také poloměry křivosti M a N. Oba řezy v bodě P ukazuje obrázek 1.2.a. Meridiánovým řezem je vždy elipsa. Příčným řezem je také elipsa s jedinou výjimkou. Pokud daný bod P leží na rovníku, je příčným řezem přímo rovník, tedy kružnice.
1.2.1 Meridiánový poloměr křivosti Na obrázku 1.2.1.a je znázorněn meridiánový řez (elipsa) sestrojený v bodě P. Jsou zde zavedeny souřadnice x a y s počátkem ve středu meridiánové elipsy. Pro jednoduchost předpokládejme tu část meridiánového řezu, která se nachází v I. kvadrantu (na obecnosti nám to neubere). Elementární oblouk ds budiž nekonečně malým přírůstkem oblouku meridiánu. Proto je možné „trojúhelník“ PP´C považovat skutečně za pravoúhlý trojúhelník. Meridiánový poloměr křivosti M jde po normále k rotačnímu elipsoidu v bodě P. Normála je pak kolmá na diferenciální přírůstek oblouku elipsy ds. Z toho je zřejmé, že úhel ϕ bude také při vrcholu P´ v trojúhelníku PP´C.
P
n
Sp
Jp
x y
z
meridiánový řez
příčný řez
Greenwich
rovník
Obrázek 1.2.a
S
P
P´
x
y
–dx dy
ds
ϕ
dϕ
M
poledník
Obrázek 1.2.1.a
C
– 3 –
Z definice obloukové míry vyplývá, že ds = M⋅dϕ a zároveň z pravoúhlého
trojúhelníka PP´C je ϕsin
dxds −= . Porovnáním těchto dvou rovnic dostáváme
ϕϕ
dMds⋅=−
sin a po jednoduché úpravě:
ϕϕ ddxM
sin1
−= [1]
Rovnice elipsy je z analytické geometrie známa a má v souřadnicích zavedených na obrázku 1.2.1.a tvar:
b2x2 + a2y2 – a2b2 = 0 [2]
Jejím diferencováním dostáváme 2⋅b2⋅x⋅dx + 2⋅a2⋅y⋅dy = 0 . Jednoduchou úpravou dostáváme
výraz pro ϕtan2
2
=−=yaxb
dxdy . Protože funkce tangens je funkcí lichou, platí pro ni postupně
tyto rovnosti: –tan ϕ = tan(–ϕ) = cotg ϕ = cos ϕ / sin ϕ. Můžeme tedy psát:
ϕϕ
sincos
2
2
=yaxb [3]
Umocněním [3] po jednoduché úpravě dostáváme důležitou rovnici:
b4x2sin2 ϕ – a4y2cos2 ϕ = 0 [4] Rovnice [2] a [4] nám dávají dvě jednoduché lineární rovnice o dvou neznámých x2 a y2 jejichž řešením jsou tyto vztahy:
ϕϕ
ϕ2222
2
sincoscos
baax
+=
ϕϕ
ϕ2222
2
sincossin
baby
+= [5]
Odtud nakonec pomocí derivace x podle ϕ vypočteme výraz pro dx/dϕ a dosadíme do [1]. Po úpravách dostáváme výraz pro výpočet meridiánového poloměru křivosti M:
( )( )2
322
2
sin1
1
ϕe
eaM−
−= [6]
Z rovnice [6] je zřejmé, že meridiánový poloměr křivosti M má svoji nejmenší hodnotu pro ϕ = 0° (rovník) a svoji maximální hodnotu pro ϕ = ±90° (oba póly). Velmi důležitou skutečností je, M závisí pouze na zeměpisné šířce!
1.2.2 Příčný poloměr křivosti Rovina příčného řezu (ten obsahuje normálu a je kolmý na meridiánový řez) protíná rotační elipsoid v příčném normálovém řezu, kterým je až na speciální případ, kdy bod P leží na rovníku, opět elipsa.
– 4 –
Všechny normály sestrojené podél rovnoběžky o zeměpisné šířce ϕ, se protínají v jednom bodě V ležícím na vedlejší ose rotačního elipsoidu. Příčný poloměr křivosti N je pak dán podle Meusnierovy věty o křivostech řezů rotačních ploch velikostí úsečky VP (viz. obrázek 1.2.2.a). Z tohoto obrázku je vidět, že x = N ⋅ cos ϕ⋅ Odtud
jednoduchou úpravou: ϕcos
xN = . Dosadíme-li nyní ze
vzorce [5] dostáváme postupně:
( ) ( )21
2221
22 sin1cos1
sin1
cos
ϕϕϕ
ϕ
e
a
e
aN−
=−
=
Takže konečný tvar vztahu definujícího příčný poloměr křivosti je tento:
( )21
22 sin1 ϕe
aN−
= [7]
Příčný poloměr křivosti N opět záleží jen na zeměpisné šířce! Pro úplnost dodávám (již bez odvození, je skutečně jednoduché), že délka normály mezi bodem P a rovníkem je p = N(1 – e2).
1.3 Izometrické souřadnice na rotačním elipsoidu V některých odvozeních se s výhodou používají tzv. izometrické souřadnice. A to
zejména při výpočtech na referenčním rotačním elipsoidu (ale nejen tam). Gaussovo zobrazení jistě nebude výjimkou.
Izometrické souřadnice jsou obecně takové souřadnice, pomocí kterých je možné délkový element čáry (jinak také diferenciál čáry) ds napsat ve tvaru:
( ) ( )222 , ηξηξ ddfds +⋅= [8] kde funkce f je zde libovolná a (dξ2 + dη2) je součet druhých mocnin diferenciálů souřadnic ξ, η, který je podmínkou pro označení souřadnic za izometrické. S výhodou je těchto souřadnic použito při výpočtech na rotačním elipsoidu (Gaussovo zobrazení nevyjímaje) a tak nyní odvodím konkrétní podobu vzorce [8] přímo pro rotační elipsoid při zavedení zeměpisných souřadnic ϕ, λ jako zeměpisné šířky a délky. Mějme body P a Q, kde P(ϕ, λ) a Q(ϕ + dϕ, λ + dλ). Potom délkový element ds čáry na elipsoidu je vzdálenost bodů P a Q, jak ukazuje obrázek 1.3.a. Dle Pythagorovy věty platí v diferenciálním pravoúhlém trojúhelníku PQC pro délkový element ds tento vztah:
222222 cos λϕϕ dNdMds ⋅+=
S
P
x
y
ϕ
N
Obrázek 1.2.2.a V
r
p
ϕ x
y
Q a
b
rovník
Sp dλ
A ds
P
Q
M⋅dϕ
N⋅cos ϕ ⋅ dλ C
Obrázek 1.3.a
– 5 –
Vytknutím N2 ⋅ cos2 ϕ dostáváme:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 22
22
2222
coscos λϕ
ϕϕ dd
NMNds [9]
Položením
222
22
cosϕ
ϕd
NMdq = [10]
a substitucí do vzorce [9] máme:
( )22222 cos λϕ ddqNds += , [11] kde q je izometrická šířka a λ je zeměpisná délka. Souřadnicím q, λ říkáme izometrické, někdy také symetrické případně termické. Podívejme se nyní na izometrickou šířku q. Ze substituce [10] je zřejmé, že
ϕϕ
dN
Mdqcos
= . Integrací této jednoduché diferenciální rovnice dostáváme postupně:
( ) ( )
( ) ( )∫∫ ∫
∫∫∫
−⋅
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+=
−⋅
−=
=−
−−=
−−
==
ϕϕ ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
022
0 022
022
2222
022
2
0
sin1cos45
2tanln
sin1cos
cos
cossin1cossin1
cossin11
cos
de
eede
eed
de
eede
edN
Mq[12]
V rovnostech [12] zavedeme substituci:
dtde
te=⋅⋅
=⋅ϕϕ
ϕcossin
ϕϕϕ
ϕsin
00⋅=⇒=
=⇒=et
t
a dostáváme v návaznosti na další úpravy a konečnou integraci pomocí Newton-Leibnitzovy formule:
( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−⋅+
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+=
⋅−⋅+
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+=
−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+=
⋅⋅
∫
2
2
sin
0
sin
02
sin1sin145
2tanln
sin1sin1ln45
2tanln
sin1sin1ln
245
2tanln
11ln
2145
2tanln
1145
2tanln
e
e
ee
ee
ee
eee
ttedt
teq
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ ϕϕ
Pro přehlednost zde nyní uvedu odvozený vztah pro izometrickou šířku na rotačním elipsoidu:
– 6 –
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+=
2
sin1sin145
2tanln
e
eeq
ϕϕϕ [13]
kde ϕ je zeměpisná šířka. Poznámku na konec této kapitoly, v rovině jsou izometrickými souřadnicemi přímo souřadnice rovinné x, y, neboť platí: ds2 = dx2 + dy2, kde ona libovolná funkce f je identicky rovna jedné. Na referenční kouli se výraz [10] velmi zjednoduší, protože zde je N = M = R, tedy jak meridiánový tak příčný poloměr křivosti jsou rovny přímo poloměru R náhradní koule.
Bude tedy: dUU
dQcos
1= přičemž izometrickou šířku Q získáme jednoduchou integrací.
V tomto případě je U kartografická šířka.
2 Odvození zobrazovacích rovnic
2.1 Matematická formulace podmínky konformity Jak již bylo výše zmíněno, jedná se o konformní zobrazení rotačního elipsoidu přímo do roviny. Podmínkou tohoto zobrazení je tedy konformita (nezkreslují se úhly a směry) a navíc ještě nezkreslený základní (kartografický) poledník každého zobrazovaného pásu. Nutnou a také postačující podmínkou konformity zobrazení je, že délkové zkreslení (tedy zkreslení délkového elementu ds) nezávisí na směru (azimutu). To znamená, že Tissotova indikatrix musí být kružnice. Nyní ukáži, že pokud použijeme pro zobrazovací rovnice, v nichž vystupují na obou stranách rovností izometrické souřadnice, tyto vztahy
( )( )λ
λiqgiYXiqfiYX
−=−+=+
nebo ( )( )λ
λiqgiYXiqfiYX
+=−−=+
[14a, b]
bude se jednat skutečně o konformní zobrazení. Délkový element na rotačním elipsoidu je dán vztahem:
222222 cos λϕϕ dNdMds ⋅+= [15] a také při zavedení izometrických souřadnic vzorcem [11] (přiřadím mu nové číslo)
( )22222 cos λϕ ddqNds += [16] přičemž mějme na paměti, že platí vztah [10]. Kvadrát délkového zkreslení je podíl druhých mocnin délkových elementů v rovině a na rotačním elipsoidu, tedy
( )2222
22
2
22
cos2
λϕ ddqNdYdX
dSdS
melipsoid
E
++
== [17]
Zavedením komplexních čísel do výpočtu je možné součty druhých mocnin diferenciálů rovinných i izometrických souřadnic rozložit na
– 7 –
( )( )( )( )λλϕ iddqiddqN
idYdXidYdXdS
dSm
elipsoid
E
−+−+
== 222
22
cos2 [18]
Diferencováním [14a] (tyto vztahy postačí protože se jedná v případě [14b] o komplexně sdružená čísla a komplexně sdružené funkce) máme:
[ ] ( )[ ]( )( )λλ
λiddqiqfidYdX
iqfiYX++′=+
′+=′+ [ ] ( )[ ]( )( )λλ
λiddqiqgidYdX
iqgiYX−−′=−
′−=′− [19]
Dosaďme nyní z [19] do [18] a po jednoduchých úpravách se výraz pro zkreslení délkového elementu zjednoduší takto:
( )( ) ( )( )( )( )λλϕ
λλλλiddqiddqN
iddqiqgiddqiqfdS
dSm
elipsoid
E
−+−−′⋅++′
== 222
22
cos2
( ) ( )ϕ
λλ22
2
cosNiqgiqfm −′⋅+′
= [20]
Podívejme se na závislost délkového zkreslení na azimutu. Využijeme k tomu obrázek 1.3.a. Zřejmě platí:
ϕλϕ
dMdNA
⋅⋅
=costan [21]
Z rovnice [10] vyplývá, že
ϕϕ
MdN
dqcos1
= [22]
a dosazením z [22] do [21] dostáváme:
dqdA λ
=tan [23]
Závislost zkreslení na směru je tedy dáno poměry dqdλ nebo
ϕλ
dd a nebo v rovině
mapy dXdY . Vzhledem k [20] je tedy vidět, že zkreslení m délkového elementu ds závisí pouze
na zeměpisných souřadnicích daného bodu (izometrická šířka q je opět funkcí zeměpisné šířky) a nikoliv na směru (azimutu). Rovnice [14a, b] jsou tedy rovnicemi konformního zobrazení rotačního elipsoidu do roviny.
– 8 –
2.2 Odvození rovnic Gaussova zobrazení Rovnice [14a, b] vyjadřují obecné tvary zobrazovacích rovnic konformního zobrazení a tedy nezáleží na tom, kterou z těchto rovnic pro odvození Gaussova zobrazení použijeme. Já si vybral první rovnici z rovnic [14a]. Tedy:
( )λiqfiYX +=+ [24] V této rovnici rozvedeme pravou stranu v řadu:
( ) ( ) ( ) ( )L+⋅⋅
∂∂
+⋅⋅∂
∂+⋅⋅
∂∂
+=+ 333
322
2
2
!31
!21 λλλ i
qqfi
qqfi
qqfqfiYX [25]
Symbolem λ rozumíme zeměpisnou délku redukovanou na zeměpisnou délku středního poledníku, tedy λ = λj – λ0, kde λj je zeměpisná délka bodu Pj na elipsoidu a λ0 zeměpisná
délka středního poledníku daného poledníkového pásu. Dále derivace ( ) ( )( )p
p
qqf
∂∂ budeme
označovat (kvůli zkrácení zápisů) f(p)(q). Potom se rovnice [25] zjednoduší takto:
( ) ( ) ( ) ( ) L+⋅⋅′′′+⋅⋅′′+⋅⋅′+=+ 3322
!31
!21 λλλ iqfiqfiqfqfiYX [26]
Rovnice [26] je tedy rovnicí konformního zobrazení, přičemž funkci f(q) je možno
volit libovolně. Pro nás bude její volba vycházet z dalších podmínek, za kterých Gaussovo zobrazení odvozujeme, konkrétně z podmínky nezkresleného středního poledníku v každém poledníkovém pásu. Na levé i na pravé straně rovnosti [26] se jedná o komplexní číslo. Komplexní číslo je možné chápat také jako uspořádanou dvojici reálné a komplexní čísti. Proto jsou si dvě komplexní čísla rovny právě tehdy, jsou-li si rovny jejich reálné části a zároveň jejich komplexní části. Tj., platí-li pro dvě daná komplexní čísla z1 a z2 tyto rovnosti: real(z1) = real(z2) a zároveň img(z1) = img(z2). Vzhledem k tomu můžeme rovnici [26] rozdělit na dvě, jednak pro reálné části a jednak pro komplexní části obou výrazů v rovnosti:
( ) ( ) ( ) ( ) L+⋅−⋅+⋅′′−= 642
!61
!41
!21 λλλ qfqfqfqfX VIIV [27a]
( ) ( ) ( ) ( ) L+⋅−⋅+⋅′′′−⋅′= 753
!71
!51
!31 λλλλ qfqfqfqfY VIIV [27b]
Nyní zbývá jednak volba funkce f(q) a zadruhé vypočítat postupně derivace f(p)(q). Tomu budou věnovány následující samostatné podkapitoly. Odvození derivací do 4. řádu přímo provedu v této práci a další derivace zde jen uvedu výsledným vztahem.
2.2.1 Volba funkce f(q) Určujícími podmínkami pro Gaussovo zobrazení rotačního elipsoidu jako referenční plochy do roviny je jednak konformita (viz. kapitola 2.1 této práce) a jednak nezkreslený základní (střední) poledník zobrazovaných poledníkových pásů o zeměpisné délce λ0.
– 9 –
V kapitole 2.2 jsme položili λ = λj – λ0. Pro všechny body, které leží na základním (středním) poledníku každého zobrazovaného poledníkového pásu, platí λj = λ0 a proto je λ =0. Po dosazení do rovnic [27a] a [27b] dostáváme:
X = f(q) Y = 0 [28] Vzhledem k požadavku délkově nezkresleného základního poledníku musí pro jeho všechny body platit
X = f(q) = B Y = 0, [29] kde B je délka základního poledníku od rovníku až po zeměpisnou šířku ϕj každého zobrazovaného bodu Pj. Bude tedy platit, že
∫ ⋅=ϕ
ϕ0
dMB [30]
Nyní zbývá ještě odvodit jednotlivé derivace f(p)(q). Tomu bude věnována celá následující kapitola.
2.2.2 Odvození derivací f(p)(q) Odvození 1. derivace: Uvažme nyní, že:
( ) ( )dqd
ddB
dqdBqf
dqdqf ϕ
ϕ===′ [31]
Z rovnice [10] po odmocnění vyplývá:
MN
dqd ϕϕ cos
= [32]
a z rovnice [30] po jejím diferencování a jednoduché úpravě máme:
MddB
=ϕ
[33]
Dosadíme nyní vztahy [32] a [33] do [30] výsledkem je výraz pro první derivaci f´(q):
( ) ϕcosNqf =′ [34] Odvození 2. derivace: Je tedy:
( ) ( ) ( ) ( )dqd
dNd
dqNdqf
dqdqf ϕ
ϕϕϕ coscos
==′=′′ [35]
– 10 –
Dosazením postupně z rovnic [6], [7] a [32] do [35] máme výraz pro druhou derivaci funkce f(q):
( )( ) M
N
e
aqf ϕ
ϕ
ϕ cos
sin1
cos
21
22⋅
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
⋅=′′ [36]
Naznačenou derivaci ve vzorci [36] nyní provedeme:
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )21
222
222
21
22
21
222
3222
2222
2
21
22
2221
222
22
221
22221
22
2
22
21
222
23
22
21
22
sin1
cossin1
cossin1
sin1
cossinsin11
cossinsincossin1
cossinsinsin11
cos
sin1
cossinsinsin11
cos
sin1cossinsin1sinsin1
1cossin1
sin1
cos1
sin1
sin1
cos
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
e
ae
e
e
aee
eaea
eaee
a
e
eaee
a
eeeaea
ee
e
aea
e
e
aqf
−
⋅⋅−=
−+−
⋅−
⋅⋅−=
=−−
⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⋅⋅−⋅−⋅
−⋅
−=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
⋅⋅⋅−⋅−⋅
−⋅
−=
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅⋅−⋅+⋅−⋅−
⋅−
−=
=
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
⋅⋅
−−
⋅−
=′′
−
Můžeme tedy psát konečný tvar druhé derivace f´´(q) takto:
( ) ϕϕ sincos ⋅⋅−=′′ Nqf [37] Odvození 3. derivace: Platí
( ) ( ) ( ) ( )dqd
dNd
dqNdqf
dqdqf ϕ
ϕϕϕϕϕ sincossincos ⋅⋅−
=⋅⋅−
=′′=′′′ [38]
Opět dosazením z rovnic [6], [7] a [32] do [38] máme výraz pro třetí derivaci funkce f(q):
( )( ) M
N
e
aqf ϕ
ϕ
ϕϕ cos
sin1
sincos
21
22⋅
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
⋅⋅−=′′′ [39]
– 11 –
A nyní derivaci ve vzorci [39] provedeme:
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )2
222223
2
222223
2
222223
2
22
22222
3
2
22
222
3
2
2
42
2
2
3
2
4222
2
2224222222
21
22
21
22
2222222
2
21
22
222222
122
2
22
2221
2222221
22
2
22
21
222
23
22
21
22
1cos1tan1cos
1cos1tan1cos
1cos1tantan1cos
1
coscossintantan1
cos
1
cos1cossintan1
cos
1cossin
cossin1
cos
1sinsincoscos
1cossinsinsinsincoscos
sin1
cossin1
cossinsincossin11
cos
sin1
cossinsincossin11
cos
sin1cossinsin1cossinsin1
1cossin1
sin1
sincos1
sin1
sin1
cos
eeeeN
eeeeN
eeeN
e
eeN
e
eN
e
eN
eeN
eeee
e
ae
eee
a
e
eee
a
eeeaea
ee
e
aea
e
e
aqf
−+−⋅−−
⋅⋅−=
=−
+−−⋅−⋅⋅−=
=−
−⋅−⋅+−⋅⋅−=
=−
⋅⋅−⋅+−⋅⋅−=
=−
−⋅⋅+−⋅⋅−=
=−
+−⋅⋅−=
=−
+−⋅⋅−=
=−
⋅⋅++−−⋅
−
⋅−=
=−
⋅⋅+−⋅−⋅
−⋅
−=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
⋅⋅+−⋅−
−⋅
−=
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅⋅−⋅++−⋅−⋅
⋅−
−−=
=
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
⋅⋅⋅
−−
⋅−
−=′′′
−
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕ
Nyní zavedeme velmi důležitou substituci (na kterou se budeme v dalších odvozeních i dále odvolávat)
2
222
1cos
ee
−=
ϕη [40]
– 12 –
a dosadíme [40] do posledního výrazu předcházejících rovností. Tím dostáváme konečnou podobu třetí derivace funkce f(q):
( ) ( )223 tan1cos ηϕϕ +−⋅⋅−=′′′ Nqf [41] Odvození 4. derivace: Zřejmě je
( ) ( ) ( )( )dqd
dNdqf
dqdqf IV ϕ
ϕηϕϕ 223 tan1cos +−⋅⋅−
=′′′= [42]
Dosazením z rovnic [6], [7], [32] a [40] do [42] máme výraz pro čtvrtou derivaci funkce f(q):
( )( ) M
Ne
e
e
aqf IV ϕϕϕϕ
ϕ cos1costan1
sin1
cos2
222
21
22
3
⋅
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−−
⋅−= [43]
Před výpočtem derivace je výhodné derivovaný výraz v [43] co nejvíce zjednodušit:
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
⋅+⋅−−⋅−⋅−=
=
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
⋅⋅+⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅−=
=
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
⋅⋅+−⋅−⋅−⋅−⋅−=
=
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
⋅⋅+⋅⋅−⋅−⋅−⋅−=
=
′
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
⋅⋅+
−
⋅⋅−
−
⋅−=
21
222
52232
21
222
5232232
21
222
523232
21
222
522232
21
222
52
21
22
2
21
22
3
sin11
coscos1cos12cos
sin11
coscos1cos1cos1cos
sin11
coscoscos1cos1cos
sin11
cossincos1cos1cos
sin11
cos
sin1
sincos
sin1
coscos
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ee
eeeM
aN
ee
eaeaeaeaM
N
ee
eaeaeaM
N
ee
eaeaeaM
N
ee
ea
e
a
e
aM
Nqf IV
– 13 –
A nyní již můžeme přistoupit k derivování:
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
⋅⋅⋅−−⋅+⋅−−⋅−+
+−−
−−⋅−−+−−
⋅
⋅−
⋅−⋅−=
−
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
2222
221
22252232
2222
21
22242222
2
22
sin11cossinsin11coscos1cos12
sin11sin11sincos5sin1sincos16
1cossin1
eeeeeeee
eeeeeee
eeaqf IV
( )( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )[ ] ( )( )
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅⋅⋅−−⋅+⋅−−⋅−+
+−−⋅−−+−−⋅
⋅−
⋅−=
−ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕ
cossinsin11coscos1cos12
sin11sincos5sin1sincos16
1
cos
221
22252232
21
22242222
32
eeeeee
eeeee
e
a
( )( ) ( )[ ] ( )( )
( )( ) ( )[ ] ( )
( )
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
⋅⋅⋅−⋅+⋅−−⋅−+
+−
−−⋅−−+−−
⋅
⋅−
⋅−=
21
22
2252232
21
22
22242222
32
sin1
cossin1coscos1cos12sin1
sin11sincos5sin1sincos16
1cos
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕ
e
eeeeee
eeeee
ea
( )( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅+−−⋅−+
+−⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−−
⋅−
−=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅⋅−⋅+⋅−−⋅−+
+−−⋅−−+−−⋅
−−=
242222
22222
22
22
3
2252232
22242222
32
cos1cos12
sin1cos5cos116
1sincos
cos1coscos1cos12sin11cos51cos16
1sincos
eeee
eeee
eN
eeeeeeeeee
eN
ϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
– 14 –
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−−⋅−++
+−
−−+−−
+−−⋅
⋅−
−=
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
4422222224
22
2222222
2
22
22
3
cos1cos12sincos5
sincos1sin16cos5
cos116
1sincos
eeeeee
eeeeeee
eN
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+
−−
−⋅
+−
+
+−
−−
+−
−−
+−
−
⋅
⋅−=
22
44
2
2
2
22
22
224
22
22
2
22
22
22
222
3
1cos
11cos2
1sincos5
cos1sin
1sin6
1cos5
cos11
16
sincos
ee
ee
ee
ee
ee
ee
ee
ee
N
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+
−−
−⋅
+−−
+
+−−
−−
−−
+−−
+−
−
⋅
⋅−=
22
44
2
2
2
222
22
24
222
2
22
22
222
2
2
2
3
1cos
11cos2cos1
1cos5
cos1cos11
cos5cos1
1cos116
16
sincos
ee
ee
ee
ee
ee
ee
eee
e
N
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
Zavedením substituce [40] dostáváme dále:
( ) ( )
( ) ( )=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−
−+−
−−
+
+−
+−
−−
−−
+−−
+−
−
⋅
⋅−=
42
22
22
44
22
24
2
2
22
2
2
2
222
2
2
2
3
12
1cos5
1cos5
1cos115
cos116
16
16
sincos
ηηϕϕϕ
ηϕ
η
ϕϕ
ee
ee
ee
ee
ee
eeee
e
N
( ) ( )=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−+−
−
−−
+−
+−
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
⋅⋅
⋅=
4242
22
22
2
2
2
222
2
2
2
3
2515
cos115
cos116
1116
sincos
ηηηη
ϕη
ϕη
ϕϕ
ee
ee
eeee
e
N
– 15 –
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
−+⋅
⋅=
242
2
22
2
2
222
3
2411
1511
1cos
166
sincos
ηηηϕ
η
ϕϕ
ee
eee
e
N
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++
−+⋅= 42
2223 4
coscossin96sincos ηϕ
ϕϕηϕϕN
Následuje velmi jednoduchá úprava a získáváme konečnou podobu čtvrté derivace funkce f(q) pro řadu [27a]:
( ) ( )4223 49tan5sincos ηηϕϕϕ ++−⋅⋅⋅= Nqf IV [44] Další derivace funkce f(q): Odvození dalších derivací zde uvádět již nebudu, neboť se jedná o velmi zdlouhavé úpravy. Princip jejich odvozování je ale totožný s provedenými odvozeními pro f(1)(q), f(2)(q), f(3)(q) a f(4)(q). Další derivace zde tedy uvedu tabulkově:
( ) ( )ϕηηϕϕϕ 222425 tan5814tantan185cos −++−⋅⋅= Nqf V [45]
( ) ( )ϕηηϕϕϕϕ 222425 tan330270tantan5861sincos −++−⋅⋅⋅−= Nqf VI [46]
2.3 Výsledné tvary zobrazovacích rovnic Gaussova zobrazení Pro přehlednost zde uvedu konkrétní tvary zobrazovacích rovnic Gaussova konformního zobrazení rotačního elipsoidu do roviny v poledníkových pásech. Pro zobrazení České republiky (respektive původně pro ČSSR) v šestistupňových pásech byl použito Krasovského elipsoidu s následujícími konstantami:
a = 6 378 245 m f–1 = 298,3 b = 6 356 863,01877 m e2 = 0,00669 34216 22966 c = 6 399 698,90178 m e´2 = 0,00673 85254 14683 [47] (a + b) / 2 = 6 367 554,00939 m n = 0,00167 89791 80658 f = 0,00335 23298 69259 B0
90 = 10 002 137,49754 m A nyní již konkrétní tvary zobrazovacích rovnic:
( ) ( ) ( ) ( ) L+⋅−⋅+⋅′′−= 6
6
4
4
2
2
!61
!41
!21
ρλ
ρλ
ρλ qfqfqfqfX VIIV [48a]
( ) ( ) ( ) ( ) L+⋅−⋅+⋅′′′−⋅′= 7
7
5
5
3
3
!71
!51
!31
ρλ
ρλ
ρλ
ρλ qfqfqfqfY VIIV [48b]
kde oproti rovnicím [27a,b] přibyla ještě hodnota radiantu ρ = 180° / π pro převod zeměpisné délky λ na obloukovou míru.
– 16 –
Funkce f(q) a její derivace pak mají tvar:
( ) ∫ ⋅==ϕ
ϕ0
dMBqf [49a]
( ) ϕcosNqf =′ [49b]
( ) ϕϕ sincos ⋅⋅−=′′ Nqf [49c]
( ) ( )223 tan1cos ηϕϕ +−⋅⋅−=′′′ Nqf [49d]
( ) ( )4223 49tan5sincos ηηϕϕϕ ++−⋅⋅⋅= Nqf IV [49e]
( ) ( )ϕηηϕϕϕ 222425 tan5814tantan185cos −++−⋅⋅= Nqf V [49f]
( ) ( )ϕηηϕϕϕϕ 222425 tan330270tantan5861sincos −++−⋅⋅⋅−= Nqf VI [49g] Funkce f(q) je tedy funkce vyjadřující délku poledníkového oblouku základního poledníku každého poledníkového pásu měřenou od rovníku až k zeměpisné šířce zobrazovaného bodu. Integrace ve vzorci [49a] je provedena v kapitole 2.6. Po dosazení [49] do [48] dostáváme konečný tvar zobrazovacích rovnic Gaussova konformního zobrazení elipsoidu do roviny:
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅+=
ϕηηϕϕϕϕρλ
ηηϕϕϕρλ
ϕϕρλ
2224256
6
42234
4
2
2
tan330270tantan5861sincos!6
1
49tan5sincos!4
1
sincos!2
1
N
N
NBX
[50a]
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅+
++−⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅=
ϕηηϕϕϕρλ
ηϕϕρλ
ϕρλ
2224255
5
2233
3
tan5814tantan185cos!5
1
tan1cos!3
1
cos
N
N
NY
[50b]
2.4 Meridiánová konvergence γ Velmi důležitou hodnotou Gaussova zobrazení je meridiánová konvergence, většinou označovaná symbolem γ. Její důležitost bude zjevnější ve chvíli, kdy si spočítáme její hodnoty pro různá místa v dnešní ČR. Na obrázku 2.4.a je názorně vidět proč se tato hodnota v Gaussově zobrazení vyskytuje a zároveň tento obrázek použiji pro vyvození vztahů, kterými je možné tuto hodnotu vypočítat.
– 17 –
Meridiánová konvergence je tedy úhel, který svírá tečna k obrazu místního poledníku se severním směrem x-ové pořadnice zavedené soustavy rovinných souřadnic (O´xy) v rámci jednoho poledníkového pásu. V této soustavě souřadnic osu x tvoří obraz rovníku a osa y je obrazem základního (v Gaussově zobrazení nezkresleného) poledníku. Na obrázku 2.4.a je tedy p´ obraz místního poledníku a r´ obraz místní rovnoběžky v bodě P. Bod P´ je obrazem bodu P(ϕ, λ) o daných zeměpisných souřadnicích. Zřejmě platí μr + γ = 90° a proto:
rdYdX
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=γtan [51]
Navíc v těchto derivacích je zeměpisná šířka ϕ konstantou, takže můžeme psát:
1
tan−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
rrrrrr ddY
ddX
dYd
ddX
dYd
ddX
dYdX
λλλ
λλ
λγ [52]
Derivace ve vzorci [52] je možné určit derivováním zobrazovacích rovnic [50]. Všechny derivace funkce f(q) v rovnicích [50] jsou však funkcí zeměpisné šířky a proto samotné derivování nebude složité. Máme tedy výrazy pro obě derivace ve výrazu [52]:
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅=
ϕηηϕϕϕϕρλ
ηηϕϕϕρλ
ϕϕρλ
λ
2224256
5
42234
3
2
tan330270tantan5861sincos!5
1
49tan5sincos!3
1
sincos
N
N
NddX
[53a]
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅+
++−⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅=
ϕηηϕϕϕρλ
ηϕϕρλ
ϕρλ
2224255
4
2233
2
tan5814tantan185cos!4
1
tan1cos!2
1
cos1
N
N
NddY
[53b]
Vzhledem k [52] budeme hodnotu tan λ počítat jako podíl (dX / dλ) : (dY / dλ). Výpočet je poměrně pracný a proto jej provedu postupně podle následujícího schématu:
P´
xP
yP
p´ r´
μr
γ
γ
O´ +x
+y
Obrázek 2.4.a
– 18 –
M
M
L
λ
λ
λ
λλ
λλ
ddYPZZ
ddYPZZ
ddYPZZ
ddYP
ddXZ
PPPddY
ddX
iii ⋅−=
⋅−=
⋅−=
⋅−=
+++=
−1
323
212
11
321:
[54]
V tomto schématu jsou pro i = 1, 2, 3, … vždy λd
dYZP ii :1−= členy podílu a Zi zbytky po
dělení, přičemž pro i = 1 je Z0 = dX / dλ. Toto dělení se provede dle pravidel pro dělení mnohočlenů. Máme tedy postupně:
ϕρλ sin1 ⋅=P [55]
a pro zbytek Z1 dostáváme:
( )
( )
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅−
−−++−⋅⋅⋅⋅+
++−⋅⋅⋅⋅−
−++−⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
ϕηηϕϕϕϕρλ
ϕηηϕϕϕϕρ
λ
ηϕϕϕρλ
ηηϕϕϕρλ
ϕϕρλϕϕ
ρλ
2224256
5
2224256
5
2234
3
42234
3
221
tan5814tantan185sincos24
tan330270tantan5861sincos120
tan1sincos2
49tan5sincos6
sincossincos
N
N
N
N
NNZ
( )
L+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−+−
−−++−⋅⋅⋅⋅+
+−+−++−⋅⋅⋅⋅=
ϕηηϕϕ
ϕηηϕϕϕϕ
ρλ
ηϕηηϕϕϕρλ
22242
222425
6
5
2242234
3
1
tan29070tan5tan9025tan330270tantan5861
sincos120
3tan3349tan5sincos6
N
NZ
– 19 –
( )
( )L+
+−+−+⋅⋅⋅⋅+
++++⋅⋅⋅⋅=
ϕηηϕϕϕϕρ
λ
ηηϕϕϕρλ
2224256
5
42234
3
1
tan40200tan4tan3236sincos120
46tan22sincos6
N
NZ
( )
( )L+
+−+−+⋅⋅⋅⋅+
++++⋅⋅⋅⋅=
ϕηηϕϕϕϕρλ
ηηϕϕϕρλ
2224256
5
42234
3
1
tan1050tantan89sincos30
23tan1sincos3
N
NZ
[56]
Následuje výpočet P2:
( )42223
3
2 23tan1sincos3
ηηϕϕϕρλ
+++⋅⋅⋅=P [57]
se zbytkem Z2:
λddYPZZ ⋅−= 212 . [58]
A tak dále. Výsledný výraz pro tan λ dostáváme takto:
L+++= 321tan PPPλ [59] a dosazením z [55] a [57] a dalších do [59] máme pro meridiánovou konvergenci:
( )
( ) L+++⋅⋅⋅+
++++⋅⋅⋅+
+⋅=
ϕϕϕϕρλ
ηηϕϕϕρλ
ϕρλγ
4245
5
42223
3
tan2tan42sincos15
23tan1sincos3
sintan
[60]
Pro naši republiku jsou hodnoty redukované zeměpisné délky λ rovny maximálně 3° a tedy přibližně 0,052360 rad. Jedná se o velmi malé úhly. Navíc první člen rozvoje ve vzorci [61] je roven pro naše zeměpisné šířky (tj. ϕ = 50°) ve své největší hodnotě 0,040110, což odpovídá v radiánech hodnotě úhlu 0,040089 rad. Všechny ostatní členy řady jsou výrazně menší. Proto můžeme dále pro naše potřeby beze ztráty přesnosti psát (v radiánech) tan γ = γ a tak vzorec [60] bude mít jednodušší tvar:
– 20 –
( )
( ) L+++⋅⋅⋅+
++++⋅⋅⋅+
+⋅=
ϕϕϕϕρλ
ηηϕϕϕρλ
ϕλγ
4244
5
42222
3
tan2tan42sincos15
23tan1sincos3
sin
[61]
přičemž v tomto vzorci dosazujeme již λ ve stupních a γ tedy vyjde také ve stupních. Vzorce [61] využíváme pro výpočet meridiánové konvergence v případě, že známe zeměpisné souřadnice zobrazovaného bodu.
2.5 Výpočet (ϕ, λ) bodu ze souřadnic rovinných (X, Y) Vztahy pro zpětný přepočet rovinných souřadnic na zeměpisné je možné najít například inverzí rovnic [50]. Pro redukovanou zeměpisnou délku vyjádřenou v radiánech bude v první aproximaci platit tento vztah:
L+⋅
=ϕ
λcosNY [62]
Dosaďme nyní tento výraz do druhého členu rovnice [50b]. Dostáváme dále:
( ) L++−⋅⋅⋅⋅
⋅+
+⋅⋅=
22333
3
tan1coscos6
1cos
ηϕϕϕ
ϕλ
NN
YNY
.
( ) L++−⋅⋅+
+⋅⋅=
222
3
tan161
cos
ηϕ
ϕλ
NYNY
[63]
a odtud vypočteme λ:
( ) L++−⋅⋅
⋅−⋅
= 223
3
tan1cos6
1cos
ηϕϕϕ
λN
YN
Y [64]
Dosadíme [64] opět do rovnice [50b] a dostáváme vzorec pro výpočet zeměpisné délky v radiánech redukované na zeměpisnou délku základního poledníku:
P C
Sp
Jp
x y
z
místní poledník
zákl. poledník Greenwich
rovník
Obrázek 2.5.a
B
A
– 21 –
( )
( ) L++−⋅⋅
⋅+
++−⋅⋅
⋅−
−⋅
=
ϕϕϕ
ηϕϕ
ϕλ
425
5
223
3
tan9tan25cos120
1
tan1cos6
1cos
NY
NY
NY
[65]
Nyní si odvodíme vztah pro výpočet zeměpisné délky. Geodetická kolmice na základní poledník má patu v bodě C na obrázku 2.5.a. Zeměpisné souřadnice bodu C jsou ale jiné, než zeměpisné souřadnice zobrazovaného bodu P. Označme je symbolem ϕ1. Zeměpisná šířka bodu B je pak ϕ. Je třeba určit rozdíl ϕ1 – ϕ. Rovinné souřadnice bodu P, respektive jeho X-ová souřadnice, jsou vztaženy právě k patě geodetické kolmice C. Naproti tomu hodnota B v rovnicích [50] je délka poledníkového oblouku základního poledníku od rovníku až k zeměpisné šířce bodu P, tedy k hodnotě ϕ. Proto rozdíl ϕ1 – ϕ určíme z rovnice [50a]. Můžeme psát (v radiánech):
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅=−
ϕηηϕϕϕϕλ
ηηϕϕϕλ
ϕϕλ
2224256
42234
2
tan330270tantan5861sincos!6
1
49tan5sincos!4
1
sincos!2
1
N
N
NBX
[66]
Kromě toho ještě je podle literatury znám vzorec (s dostatečnou přesností) vyjadřující rozdíl X – B tento:
( ) ( )21
221 tan
23 ϕϕϕηϕϕ −⋅⋅⋅+−⋅=−VMMBX , [67]
kde V je druhá geodetická funkce a e´ je druhá excentricita. Obě veličiny jdou dány vzorci:
ϕ22 cos´1 ⋅+= eV 2
222´
bbae −
= [68a,b]
Nyní srovnáme vzorce [66] a [67] a dostáváme vztah:
( ) ( )
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅+−⋅
ϕηηϕϕϕϕλ
ηηϕϕϕλ
ϕϕλϕϕϕηϕϕ
2224256
42234
221
221
tan330270tantan5861sincos!6
1
49tan5sincos!4
1
sincos!2
1tan23
N
N
NVMM
A vyjádříme v této rovnosti veličinu λ z rovnice [65] pomocí veličiny Y takto (je třeba mít na paměti, že veličiny λ, ϕ1 a ϕ jsou v radiánech):
– 22 –
( ) ( )
( )
( ) L+++⋅⋅⋅+
+++⋅⋅⋅+
+⋅⋅=−⋅⋅⋅+−⋅
ϕϕϕ
ηϕϕ
ϕϕϕϕηϕϕ
425
6
223
4
22
12
21
tan45tan301tan7201
5tan31tan241
tan21tan
23
NY
NYN
YVMM
[69]
Odtud pak iteračně (podobně jako vzorec [65]) vyjádříme hledaný rozdíl ϕ1 – ϕ, pro který tak v radiánech platí:
( )
( ) L+++⋅⋅⋅+
+−++⋅⋅⋅+⋅⋅=−
ϕϕϕ
ϕηηϕϕϕϕϕ
425
6
22223
42
1
tan45tan301tan7201
tan95tan31tan241tan
21
MNY
MNY
MNY
[70]
V rovnicích [65] a [70] však figurují hodnoty určované zeměpisné šířky ϕ, kterou tedy neznáme. Je třeba nají postup, jak se s tímto problémem vypořádat. Musíme si uvědomit, že se hodnota ϕ1 od ϕ nebude o mnoho lišit, a tak můžeme uvažovat takto:
( )( )11tantan ϕϕϕϕ −+= , [71] kde rozdíl ϕ – ϕ1 je v podstatě diferenciálním přírůstkem (v našem případě záporným) argumentu funkce tangens v bodě ϕ1. Proto můžeme vzorec [71] rozvinout v řadu:
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) L
L
L
+−⋅++=
=+−⋅+=
=+−⋅+=−+==
112
1
11
21
1111
tan1tancos
1tan
tantantantan1
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕdd
[72]
Z rovnice [70] můžeme nyní dosadit za rozdíl ϕ – ϕ1 první člen rozvoje do [72] a dostáváme přibližný (pro nás ale dostatečně přesný – hodnota tohoto rozdílu je dostatečně malá na to, abychom ostatní členy mohli zanedbat) vzorec pro tan ϕ (pozor na změnu znaménka):
( ) 112
2
1 tantan12
tantan ϕϕϕϕ ⋅+−≅MNY [73]
Analogicky je možné vyjádřit i M, N a η2 jako funkce argumentu ϕ1 a po dosazení do [65] a [70] a následných úpravách je:
( )
( )⎥⎦
⎤+++
⎢⎣
⎡+−++−⋅⋅=−
14
12
41
4
211
2211
22
1
2
111
2
1
tan45tan9061360
tan9tan3512
1tan21
ϕϕ
ηϕηϕϕϕϕ
NY
NY
NMY
[74a]
– 23 –
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++++−
⋅= 1
41
24
1
4211
22
1
2
11
tan24tan285120
tan216
1cos
ϕϕηϕϕ
λN
YN
YN
Y [74b]
Při řešení těchto rovnic je třeba nejprve v tabulkách hledat argument ϕ1 pro B = X a pak vypočítat zeměpisné souřadnice ϕ a λ. Tyto tabulky jsou součástí této práce. Vzorce [74] původně odvodil bulharský geodet Christov.
2.6 Tabulky ϕ1 pro hodnoty B = X Délka poledníkového oblouku B od rovníku po zeměpisnou šířku ϕ je dána základním vztahem:
dB = M ⋅ dϕ [75] Dosadíme-li za M z rovnice [6] dostáváme:
( )( )
ϕϕ
de
eadB ⋅−
−=
23
22
2
sin1
1 [76]
a odtud integrací:
( )( )
( ) ( )∫∫ ⋅−⋅−=⋅−
−=
−ϕϕ
ϕ ϕϕϕϕ 0
23
222
0 23
22
2
0 sin11sin1
1 deeade
eaB [77]
Ve vzorci [77] se jedná o eliptický integrál, který nemá uzavřené řešení. Je třeba jej řešit numericky. Například rozvedením integrované funkce v řadu podle obecné binomické věty:
( )
L
L
+++++=
=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅
++=−−
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
88664422
8866442223
22
sin128315sin
1635sin
815sin
231
sin86429753sin
642753sin
4253sin
231sin1
eeee
eeeee
Kvůli snazší integraci nahradíme sudé mocniny funkce sin ϕ kosiny násobků úhlu ϕ. Použitím Moivrovy věty pro mocnění komplexních čísel v goniometrickém tvaru máme:
( ) ϕϕϕϕ 2sin2cossincos 2 ⋅+=⋅+ ii A podle binomické věty pro mocnění dvojčlenu je také:
( ) ϕϕϕϕϕϕ 222 sincossin2cossincos −⋅⋅+=⋅+ ii Z rovnosti komplexních čísel vyplývá také rovnost jejich reálných částí, tedy:
ϕϕϕϕϕϕ 22222 sin21sinsin1sincos2cos −=−−=−=
– 24 –
Z předcházející rovnice vyjádříme sin2 ϕ:
ϕϕ 2cos21
21sin 2 −= [78]
A nyní ukáži, jak vypadá odvození pro sin4 ϕ. Opět z Moivrovy věty máme:
( ) ϕϕϕϕ 4sin4cossincos 4 ⋅+=⋅+ ii A také z binomické věty pro umocnění dvojčlenu dostáváme:
( ) ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 4322344 sinsincos4sincos6sincos4cossincos +⋅⋅−⋅−⋅⋅+=⋅+ iii Opět si musí být reálné části pravých stran předcházejících dvou rovností rovny a proto dostáváme:
( ) ( )ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ4244242
422224224
sin8sin81sinsin6sin6sinsin21sinsinsin16sin1sinsincos6cos4cos
+−=++−+−=
=+⋅−⋅−−=+⋅−=
Nyní jen vyjádříme sin4 ϕ a máme výsledný tvar výrazu:
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
4cos2cos43
12cos444cos12
2cos184cos1sin84cossin8 24
+−=
=−−+=−−
+=−+=
ϕϕϕ 4cos812cos
21
83sin 4 +−= [79]
Analogicky dostaneme výrazy pro sin6 ϕ, sin8 ϕ, …, které si nyní tabulkově uvedeme:
ϕϕϕϕ 6cos3214cos
1632cos
3215
165sin 6 −+−= [80]
ϕϕϕϕϕ 8cos128
16cos1614cos
3272cos
167
12835sin8 +−+−= [81]
Vzorce [78] až [81] nyní musíme dosadit do binomického rozvoje dvojčlenu ( ) 23
22 sin1 −− ϕe
a vzhledem k následujícím úpravám máme:
( ) L+++++=−− ϕϕϕϕϕ 886644222
322 sin
128315sin
1635sin
815sin
231sin1 eeeee [82]
– 25 –
( )
L+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=−
−
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
8cos128
16cos1614cos
3272cos
167
12835
128315
6cos3214cos
1632cos
3215
165
1635
4cos812cos
21
83
8152cos
21
21
231sin1
8
6
4223
22
e
e
eee
( )
L++−+−=
+−+−=
++−+−+=−−
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
8cos16384
3156cos20483154cos
409622052cos
20482205
1638411025
6cos512354cos
2561052cos
512525
256175
4cos64152cos
1615
64452cos
43
431sin1
88888
6666
4442223
22
eeeee
eeee
eeeeee
( )
LLL
L
L
L
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++++=−
−
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
8cos16384
3156cos2048315
51235
4cos40962205
256105
6415
2cos20482205
512525
1615
43
1638411025
256175
6445
431sin1
886
864
8642
864223
22
eee
eee
eeee
eeeee
[83]
Teď dosadíme vzorec [83] do integrálu [77]:
( )
( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
∫
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅−+
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⋅−+
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⋅−+
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−−⋅−+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++++⋅−=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
0
82
0
862
0
8642
0
86422
0
864220
8cos16384
3151
6cos2048315
512351
4cos40962205
256105
64151
2cos20482205
512525
1615
431
1638411025
256175
6445
4311
LL
L
L
L
L
deea
deeea
deeeea
deeeeea
deeeeeaB
a provedeme integraci:
– 26 –
( )( )
( )
( )
( )LL
L
L
L
L
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−+
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⋅
−+
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⋅
−+
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−−⋅
−+
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++++⋅−=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
8sin16384
3158
1
6sin2048315
51235
61
4sin40962205
256105
6415
41
2sin20482205
512525
1615
43
21
1638411025
256175
6445
4311
82
862
8642
86422
864220
eea
eeea
eeeea
eeeeea
eeeeeaB
[84]
A tedy konečně:
L+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ϕϕϕϕϕϕ 8sin6sin4sin2sin 864200 AAAAAB [85] kde postupně jsou koeficienty A rovny:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++++⋅−= L86422
0 1638411025
256175
6445
4311 eeeeeaA [86a]
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++⋅
−−= L8642
2
2 20482205
512525
1615
43
21 eeeeeaA [86b]
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⋅
−= L864
2
4 40962205
256105
6415
41 eeeeaA [86c]
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅
−−= L86
2
6 2048315
51235
61 eeeaA [86d]
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−= L8
2
8 16384315
81 eeaA [86e]
V prvním členu řady [85] je hodnota ϕ počítána v obloukové míře. Toto odvození jsem
počítal s prvními pěti členy rozvoje ( ) 23
22 sin1 −− ϕe v integrálu [77]. S dostatečnou přesností
je možné se omezit právě na těchto prvních pět členů rozvoje. Velikost vlivu pátého členu výše zmíněného rozvoje je dána součtem:
( )⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅+⋅⋅−
−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−
ϕϕ
ϕϕϕ
8sin16384
315816sin
2048315
61
4sin40962205
412sin
20482205
21
1638411025
188
888
2
ee
eeeea [87]
– 27 –
což je ve své extremální hodnotě pro ϕ = 90° rovno 0,01344 metru. Pokud bychom potřebovali výpočty přesnější, bylo by třeba vzít do úvahy i členy vyšších řádů. Pro zeměpisné šířky okolo ϕ = 50° je pak vliv pátého členu rozvoje roven přibližně 0,00044 metru a v případě map ČR v Gaussově zobrazení je podstatě zanedbatelný. Přesnost vzorce [85], kdy jsem počítal s prvními pěti členy rozvoje výrazu
( ) 23
22 sin1 −− ϕe dokládá také následující tabulka (vypočtená pro Krasovského elipsoid):
Srovnejte nyní délku poledníkového oblouku od rovníku po zeměpisný pól, tedy 90
0B , z této tabulky a z hodnot [47]. Rozdíl mnou vypočtené hodnoty od tabelované v literatuře je
–0,00009 metru! Je tedy vidět, že prvních pět členů rozvoje výrazu ( ) 23
22 sin1 −− ϕe co do
přesnosti bohatě postačí. Pro výpočet hodnot ϕ1 k daným obloukům 1
0ϕB = X vyjdeme z rovnice [85].
Vyjádříme z prvního členu na pravé straně rovnosti hodnotu ϕ jako funkci daného 10ϕB :
0
86420 8sin6sin4sin2sinA
AAAAB−
+⋅+⋅+⋅+⋅+−=
Lϕϕϕϕϕ
ϕ
[88]
Tento výraz je platný pro ϕ v radiánech a velmi rychle konverguje. Iteraci jsem zastavil vždy za podmínky, aby se dvě po sobě jdoucí aproximace hodnoty ϕ nelišily o více než 0,1´´. Následující tabulka udává hodnoty ϕ1 (spočtené ze vzorce [88]) pro výpočet zeměpisných souřadnic podle vzorců [74a, b] z rovinných souřadnic X, Y daného bodu v Gaussově konformním zobrazení. Jedná se o zeměpisnou šířku pro X = B a pro Českou republiku:
10ϕB = X ϕ1
10ϕB = X ϕ1
10ϕB = X ϕ1
5346000 48° 14´ 50´´ 5356500 48° 20´ 30´´ 5367000 48° 26´ 10´´ 5347500 48° 15´ 38´´ 5358000 48° 21´ 18´´ 5368500 48° 26´ 58´´ 5349000 48° 16´ 27´´ 5359500 48° 22´ 07´´ 5370000 48° 27´ 47´´ 5350500 48° 17´ 15´´ 5361000 48° 22´ 55´´ 5371500 48° 28´ 35´´ 5352000 48° 18´ 04´´ 5362500 48° 23´ 44´´ 5373000 48° 29´ 24´´ 5353500 48° 18´ 52´´ 5364000 48° 24´ 32´´ 5374500 48° 30´ 12´´ 5355000 48° 19´ 41´´ 5365500 48° 25´ 21´´ 5376000 48° 31´ 01´´
ϕ ϕ0B [m]
10° 1105874,60943 20° 2212405,72425 30° 3320172,40672 40° 4429607,36780 50° 5540944,46760 60° 6654189,09221 70° 7769115,63357 80° 8885293,25144 90° 10002137,49745
Tabulka 2.6.a
Tabulka 2.6.b – 1. část
– 28 –
10ϕB = X ϕ1
10ϕB = X ϕ1
10ϕB = X ϕ1
5377500 48° 31´ 49´´ 5455500 49° 13´ 54´´ 5533500 49° 55´ 59´´ 5379000 48° 32´ 38´´ 5457000 49° 14´ 43´´ 5535000 49° 56´ 48´´ 5380500 48° 33´ 27´´ 5458500 49° 15´ 32´´ 5536500 49° 57´ 36´´ 5382000 48° 34´ 15´´ 5460000 49° 16´ 20´´ 5538000 49° 58´ 25´´ 5383500 48° 35´ 04´´ 5461500 49° 17´ 09´´ 5539500 49° 59´ 13´´ 5385000 48° 35´ 52´´ 5463000 49° 17´ 57´´ 5541000 50° 00´ 02´´ 5386500 48° 36´ 41´´ 5464500 49° 18´ 46´´ 5542500 50° 00´ 50´´ 5388000 48° 37´ 29´´ 5466000 49° 19´ 34´´ 5544000 50° 01´ 39´´ 5389500 48° 38´ 18´´ 5467500 49° 20´ 23´´ 5545500 50° 02´ 27´´ 5391000 48° 39´ 06´´ 5469000 49° 21´ 11´´ 5547000 50° 03´ 16´´ 5392500 48° 39´ 55´´ 5470500 49° 21´ 60´´ 5548500 50° 04´ 05´´ 5394000 48° 40´ 44´´ 5472000 49° 22´ 48´´ 5550000 50° 04´ 53´´ 5395500 48° 41´ 32´´ 5473500 49° 23´ 37´´ 5551500 50° 05´ 42´´ 5397000 48° 42´ 21´´ 5475000 49° 24´ 26´´ 5553000 50° 06´ 30´´ 5398500 48° 43´ 09´´ 5476500 49° 25´ 14´´ 5554500 50° 07´ 19´´ 5400000 48° 43´ 58´´ 5478000 49° 26´ 03´´ 5556000 50° 08´ 07´´ 5401500 48° 44´ 46´´ 5479500 49° 26´ 51´´ 5557500 50° 08´ 56´´ 5403000 48° 45´ 35´´ 5481000 49° 27´ 40´´ 5559000 50° 09´ 44´´ 5404500 48° 46´ 23´´ 5482500 49° 28´ 28´´ 5560500 50° 10´ 33´´ 5406000 48° 47´ 12´´ 5484000 49° 29´ 17´´ 5562000 50° 11´ 21´´ 5407500 48° 48´ 01´´ 5485500 49° 30´ 05´´ 5563500 50° 12´ 10´´ 5409000 48° 48´ 49´´ 5487000 49° 30´ 54´´ 5565000 50° 12´ 59´´ 5410500 48° 49´ 38´´ 5488500 49° 31´ 43´´ 5566500 50° 13´ 47´´ 5412000 48° 50´ 26´´ 5490000 49° 32´ 31´´ 5568000 50° 14´ 36´´ 5413500 48° 51´ 15´´ 5491500 49° 33´ 20´´ 5569500 50° 15´ 24´´ 5415000 48° 52´ 03´´ 5493000 49° 34´ 08´´ 5571000 50° 16´ 13´´ 5416500 48° 52´ 52´´ 5494500 49° 34´ 57´´ 5572500 50° 17´ 01´´ 5418000 48° 53´ 41´´ 5496000 49° 35´ 45´´ 5574000 50° 17´ 50´´ 5419500 48° 54´ 29´´ 5497500 49° 36´ 34´´ 5575500 50° 18´ 38´´ 5421000 48° 55´ 18´´ 5499000 49° 37´ 22´´ 5577000 50° 19´ 27´´ 5422500 48° 56´ 06´´ 5500500 49° 38´ 11´´ 5578500 50° 20´ 15´´ 5424000 48° 56´ 55´´ 5502000 49° 38´ 60´´ 5580000 50° 21´ 04´´ 5425500 48° 57´ 43´´ 5503500 49° 39´ 48´´ 5581500 50° 21´ 53´´ 5427000 48° 58´ 32´´ 5505000 49° 40´ 37´´ 5583000 50° 22´ 41´´ 5428500 48° 59´ 20´´ 5506500 49° 41´ 25´´ 5584500 50° 23´ 30´´ 5430000 49° 00´ 09´´ 5508000 49° 42´ 14´´ 5586000 50° 24´ 18´´ 5431500 49° 00´ 58´´ 5509500 49° 43´ 02´´ 5587500 50° 25´ 07´´ 5433000 49° 01´ 46´´ 5511000 49° 43´ 51´´ 5589000 50° 25´ 55´´ 5434500 49° 02´ 35´´ 5512500 49° 44´ 39´´ 5590500 50° 26´ 44´´ 5436000 49° 03´ 23´´ 5514000 49° 45´ 28´´ 5592000 50° 27´ 32´´ 5437500 49° 04´ 12´´ 5515500 49° 46´ 16´´ 5593500 50° 28´ 21´´ 5439000 49° 05´ 00´´ 5517000 49° 47´ 05´´ 5595000 50° 29´ 09´´ 5440500 49° 05´ 49´´ 5518500 49° 47´ 54´´ 5596500 50° 29´ 58´´ 5442000 49° 06´ 37´´ 5520000 49° 48´ 42´´ 5598000 50° 30´ 47´´ 5443500 49° 07´ 26´´ 5521500 49° 49´ 31´´ 5599500 50° 31´ 35´´ 5445000 49° 08´ 15´´ 5523000 49° 50´ 19´´ 5601000 50° 32´ 24´´ 5446500 49° 09´ 03´´ 5524500 49° 51´ 08´´ 5602500 50° 33´ 12´´ 5448000 49° 09´ 52´´ 5526000 49° 51´ 56´´ 5604000 50° 34´ 01´´ 5449500 49° 10´ 40´´ 5527500 49° 52´ 45´´ 5605500 50° 34´ 49´´ 5451000 49° 11´ 29´´ 5529000 49° 53´ 33´´ 5607000 50° 35´ 38´´ 5452500 49° 12´ 17´´ 5530500 49° 54´ 22´´ 5608500 50° 36´ 26´´ 5454000 49° 13´ 06´´ 5532000 49° 55´ 11´´ 5610000 50° 37´ 15´´
Tabulka 2.6.b – 2. část
– 29 –
10ϕB = X ϕ1
10ϕB = X ϕ1
10ϕB = X ϕ1
5611500 50° 38´ 03´´ 5635500 50° 51´ 00´´ 5659500 51° 03´ 57´´ 613000 50° 38´ 52´´ 5637000 50° 51´ 49´´ 5661000 51° 04´ 45´´ 5614500 50° 39´ 40´´ 5638500 50° 52´ 37´´ 5662500 51° 05´ 34´´ 5616000 50° 40´ 29´´ 5640000 50° 53´ 26´´ 5664000 51° 06´ 22´´ 5617500 50° 41´ 18´´ 5641500 50° 54´ 14´´ 5665500 51° 07´ 11´´ 5619000 50° 42´ 06´´ 5643000 50° 55´ 03´´ 5667000 51° 07´ 59´´ 5620500 50° 42´ 55´´ 5644500 50° 55´ 51´´ 5668500 51° 08´ 48´´ 5622000 50° 43´ 43´´ 5646000 50° 56´ 40´´ 5670000 51° 09´ 36´´ 5623500 50° 44´ 32´´ 5647500 50° 57´ 28´´ 5671500 51° 10´ 25´´ 5625000 50° 45´ 20´´ 5649000 50° 58´ 17´´ 5673000 51° 11´ 14´´ 5626500 50° 46´ 09´´ 5650500 50° 59´ 05´´ 5674500 51° 12´ 02´´ 5628000 50° 46´ 57´´ 5652000 50° 59´ 54´´ 5676000 51° 12´ 51´´ 5629500 50° 47´ 46´´ 5653500 51° 00´ 43´´ 5677500 51° 13´ 39´´ 5631000 50° 48´ 34´´ 5655000 51° 01´ 31´´ 5679000 51° 14´ 28´´ 5632500 50° 49´ 23´´ 5656500 51° 02´ 20´´ 5680500 51° 15´ 16´´ 5634000 50° 50´ 12´´ 5658000 51° 03´ 08´´ 5682000 51° 16´ 05´´
Česká republika je sevřena rovnoběžkami 48° 30´ s. š. a 51° 10´ s. š. a poledníky 12° 00´ v. d. a 19° 00´ v. d.
V tabulce 2.6.b se k dané hodnotě B = X najde pomocí interpolace (nejlépe kvadratické) hodnota ϕ1, kterou pak dosadíme do vzorců [74a, b]. pro výpočet zeměpisných souřadnic zobrazeného bodu.
Z tabulky 2.6.b (tabulkový krok je 1500 metrů) je možné interpolací získat hodnotu ϕ1 velmi přesně. Pro ukázku jsem použil lineární interpolaci. Ze vzorce [85] jsem pro ϕ = 49° 47´ vypočetl B0
ϕ = 5516844,87868 metru. Z tabulky budeme nyní zpětně zjišťovat hodnotu ϕ pro délku poledníkového oblouku B0
ϕ = 5516844,87868 metru. Koeficient lineární interpolace je k = (B0
ϕ – 5515500) / 1500 = 1344,87868 / 1500 = 0,896585787. Rozdíl zeměpisných šířek je (49° 47´ 05´´ – 49° 46´ 16´´) = 49´´. Interpolovaná zeměpisná šířka pro B0
ϕ = 5516844,87868 metru je tedy ϕ1 = 49° 46´ + (16´´ + k ⋅ 49´´) = 49° 46´ 59´´,93270. Rozdíl mezi správnou a interpolovanou zeměpisnou šířkou je 0´´,06730. Kvadratickou interpolací bychom dosáhli samozřejmě lepších výsledků.
V dnešní době výkonných počítačů je sama interpolace hodnot ϕ1 z tabulek pro X = B zastaralým přístupem. Iterační vztah [88] velmi rychle konverguje a tak představuje velmi elegantní a rychlý nástroj, jak v podstatě „libovolně“ přesně vypočítat hledanou hodnotu ϕ1.
3 Zkreslení v Gaussově zobrazení Gaussovo zobrazení je konformní, tj. nezkreslují se úhly. Důkaz jsem provedl v kapitole 2.1. Znamená to, že pro daný zobrazovaný bod je délkové zkreslení nezávislé na směru (azimutu) a proto je Tissotova indikatrix v každém bodě kružnicí. Navíc je Gaussovo zobrazení odvozeno za doplňující podmínky, aby se délkově nezkresloval základní polední každého zobrazovaného poledníkového pásu. V této kapitole si tedy rozebereme zkreslení délek a zkreslení ploch tomto zobrazení.
Tabulka 2.6.b – 3. část
– 30 –
3.1 Délkové zkreslení Zobrazovací rovnice [50] je možné zapsat formálně takto:
X = f(ϕ, λ) [89a] Y = g(ϕ, λ) [89b]
Odvození provedu nejprve obecně pro délkové zkreslení v azimutu a pak zavedu podmínky vyplívající z konformity Gaussova zobrazení. Tedy obecně platí, že zkreslení je kromě zeměpisných souřadnic také závislé na směru, tj. azimutu. Označme nyní délkové zkreslení v konkrétním azimutu symbolem mA. Pro zjednodušení budeme odvozovat druhou mocninu délkového zkreslení. Platí:
22222
22
2
22
cos λϕϕ dNdMdYdX
dsdS
melipsoid
rovinaA ⋅+
+== [90]
Jedná se tedy o poměr délkových elementů v rovně mapy a na elipsoidu. Čitatel zlomku je dán Pythagorovou větou v rovině a jeho jmenovatel zlomku vychází z geometrie situace zobrazené na obrázku 1.3.a. Diferencováním rovnic [89] dostáváme:
λϕλλ
ϕϕ λϕ dfdfdfdfdX ⋅+⋅=
∂∂
+∂∂
= [91a]
λϕλλ
ϕϕ λϕ dgdgdgdgdY ⋅+⋅=
∂∂
+∂∂
= [91b]
při označení ϕϕff
=∂∂ , λλ
ff=
∂∂ , ϕϕ
gg=
∂∂ a λλ
gg=
∂∂ . Dosazením [91] do [90] a umocněním
obou dvojčlenů v čitateli dostáváme:
( ) ( ) ( )22222
222222
22222
222222222
cos2
cos22
λϕϕλϕλϕ
λϕϕλλϕϕλλϕϕ
λϕλϕλλϕϕ
λλϕϕλλϕϕ
dNdMddffggdgfdgf
dNdMdgddggdgdfddffdf
mA
⋅+
⋅⋅+⋅+⋅++⋅+=
=⋅+
⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=
Nyní zkrátíme dϕ2 v celém předcházejícím výrazu:
( ) ( ) ( )
2
2222
2
22222
2
cos
2
ϕλϕ
ϕλ
ϕλ
λϕλϕλλϕϕ
ddNM
ddffgg
ddgfgf
mA
⋅+
⋅+⋅+⋅+++= [92]
Zbývá vyjádřit podíl dλ / dϕ. Z obrázku 1.3.a je vidět, že platí:
ϕλϕ
dMdNA
⋅⋅
=costan
– 31 –
a odtud pak:
AN
Mdd tan
cosϕϕλ=
Dosazením do [92] a následným rozšířením zlomku na pravé straně rovnosti výrazem cos2 A máme:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )2
222
222222
222
222
222222
222
22222
222
222222
222
2222
222
22222
2
sincoscos
2sincos
cos
sincos
sincoscos
2sincos
cos
sincos
coscos
sincoscos
2sincos
cos
tancos
cos
tancos
2tancos
M
AAN
MffggAN
MgfAgf
AAM
AAN
MffggAN
MgfAgf
AN
MNAM
AAN
MffggAN
MgfAgf
AN
MNM
AN
MffggAN
MgfgfmA
⋅⋅+⋅+⋅++⋅+=
=+
⋅⋅+⋅+⋅++⋅+=
=⋅+
⋅⋅+⋅+⋅++⋅+=
=⋅+
⋅+⋅+⋅+++=
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
λϕλϕλλϕϕ
λϕλϕλλϕϕ
λϕλϕλλϕϕ
λϕλϕλλϕϕ
Výsledný vztah pro výpočet délkového zkreslení je:
( ) ( ) ( )AA
MNffgg
AN
gfA
Mgf
mA sincoscos
2sincos
cos 222
222
2
222 ⋅⋅
+⋅+⋅
++⋅
+=
ϕϕλϕλϕλλϕϕ [93]
Pokud nyní položíme A = 0°, dostáváme délkové zkreslení ve směru poledníku, označme mp. A pro A = 90° máme délkové zkreslení ve směru rovnoběžky, to označíme mr. Je tedy:
( )2
222
Mgf
m pϕϕ +
= a tedy ( )
M
gfm p
22ϕϕ +
= [94a]
( )
ϕλλ
22
222
cosNgf
mr+
= a tedy ( )
ϕλλ
cos
22
Ngf
mr
+= [94b]
V obou případech je vidět, že hodnota smíšeného členu v [93] je nulová. Z podmínky konformity (viz kapitola 2.1) vyplývá, že musí platit rovnost mp = mr a zároveň musí být smíšený člen nulový. Délkové zkreslení tedy nezávisí na směru (azimutu) a můžeme psát mA = mp = mr = m. A to je také případ Gaussova konformního zobrazení elipsoidu do roviny.
– 32 –
Při dalším odvozování je v podstatě jedno, z kterého ze vztahů [94] vyjdeme, ale výhodnější, zejména vzhledem k derivacím zobrazovacích rovnic, je vyjít z rovnice [94b]. Při odvozování ještě s výhodou využijeme následující známý vztah pro druhou mocninu n-členného výrazu:
( ) ( )∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑=
−
= +==
−
= +==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ n
i
n
j
n
jkkji
n
i
n
j
n
jkkji
n
ii aaaaaaa
1
1
1 1
2
1
1
1 1
22
1
22 [95]
A nyní již přistoupíme k výpočtu derivací zobrazovacích rovnic tak, jak je naznačeno ve vzorci [94b], který využijeme pro odvození konkrétního vztahu definujícího délkové zkreslení v Gaussově konformním zobrazení.
( )
( ) L+−++⋅−⋅⋅⋅⋅=
+++−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
ϕηηϕϕϕϕλ
ηηϕϕϕλϕϕλλ
2224255
42233
tan330270tantan5861sincos120
49tan5sincos6
sincos
N
NNf
( )
( ) L+−++⋅−⋅⋅⋅=
++−⋅⋅⋅+⋅=
ϕηηϕϕϕλ
ηϕϕλϕλ
2224254
2232
tan5814tantan185cos24
tan1cos2
cos
N
NNg
Tyto derivace dosadíme do pravého ze vzorců [94b] a po následných standardních úpravách (s použitím [95] a obecné binomické věty) dostaneme výsledný vztah pro výpočet délkového zkreslení v Gaussově konformním zobrazení (opět platí pro λ v radiánech):
( ) ( ) L+⋅−⋅⋅++⋅⋅+= ϕϕληϕλ 244
222
tan45cos24
1cos2
1m [96]
V praxi se však jen první dva členy řady [96] s tím, že se závorka ve druhém členu pokládá rovna jedné. Nyní nastává otázka, jakých hodnot může délkové zkreslení nabývat a pro jaké hodnoty není vzorec [96] vůbec definován. Vzhledem k praktickému užití tohoto zobrazení, budeme uvažovat intervaly λ ∈ ⟨–3°; 3°⟩, ϕ ∈ ⟨–90°; 90°⟩. Co se týče redukované zeměpisné délky λ, žádný problém nenastává, protože se vyskytuje ve všech členech vzorce [96] v čitateli a dokonce není ani argumentem nějaké funkce. Proto se do celkové hodnoty délkového zkreslení promítne plnou měrou. U zeměpisné šířky ϕ je situace složitější. Funkce tangens není pro ±90° definována. Ale vzhledem k tomu, že platí:
( )
LL
LLLL
+⋅⋅−⋅⋅+=
=+⋅⋅−⋅+=+⋅−⋅⋅+=
ϕϕλϕλ
ϕϕλϕλϕϕλ
22444
244
44
244
sincos61cos
245
tancos24
4cos24
5tan45cos24
m
– 33 –
tak ani v případě třetího členu vzorce [96] problém nenastává (podobně u členů vyšších řádů) a pro hodnoty ϕ = ±90° je jeho hodnota (i hodnoty členů vyšších řádů) identicky rovna nule. Maximálních hodnot proto nabývá délkové zkreslení na okrajích zobrazovaných poledníkových pásů v oblastech kolem rovníku s největší hodnotou v bodech ležících přímo na rovníku. Základní poledník je délkově nezkreslen. Oblasti s minimálním délkovým zkreslení se nalézají v oblastech pólů (ten se zobrazuje jako bod). Na obrázku 3.1.a je pak zobrazen průběh délkového zkreslení pro severní polovinu poledníkového pásu (hodnoty délkového zkreslení na jižní polovině jsou pak symetrické).
3.2 Plošné zkreslení Plošné zkreslení odvodím z poměru dvou elementárních plošek, jednak na elipsoidu a pak v rovině mapy. Je vhodné zvolit plošky elementárních trojúhelníčků tak, jak ukazuje obrázek 3.2.a. Označíme nyní plošné zkreslení symbolem P. Pak platí:
drdp
drdp
ppP
⋅⋅
⋅⋅⋅==
21
sin´´21
´ ϑ
Podíly délkových elementů dp´ / dp a dr´ / dr nám dávají délková zkreslení ve směru poledníku a ve směru rovnoběžky. Můžeme proto psát:
ϑsin⋅⋅= rp mmP [97] Protože je Gaussovo zobrazení zobrazením konformním, platí rovnost mp = mr = m. Dále se v tomto zobrazení obrazy poledníků a rovnoběžek protínají pod pravým úhlem (konformita) a proto také je sin ϑ = 1. Plošné zkreslení je tak dáno vztahem:
2mP = [98]
dr
dp
rovnoběžka
poledník
dr´
dp´
obraz rovnoběžky
obraz poledníku
ϑ
Obrázek 3.2.a
Obrázek 3.1.a
– 34 –
kde m je definováno vzorcem [96]. Vzhledem k tomu, jsou úvahy o extremálních hodnotách plošného zkreslení analogické jako v případě zkreslení délkového. Tedy, maximální plošné zkreslení je na okrajích poledníkových pásů v oblasti rovníku s maximem v bodech ležících přímo na rovníku. Oblasti minimálního plošného zkreslení jsou oblasti pólové. Plošně nezkreslen je základní poledník a póly (zobrazují se jako body).
4 Rozbor zobrazovacích rovnic Nejprve připomenu tvary zobrazovacích rovnic Gaussova konformního zobrazení rotačního elipsoidu do roviny mapy (hodnotu zeměpisné délky redukované na zeměpisnou délku základního poledníku je tentokrát třeba dosazovat radiánech – vynechal jsem nyní radiant ρ):
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+++−⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅+=
ϕηηϕϕϕϕλ
ηηϕϕϕλ
ϕϕλ
2224256
42234
2
tan330270tantan5861sincos!6
1
49tan5sincos!4
1
sincos!2
1
N
N
NBX
[99a]
( )
( ) L+−++−⋅⋅⋅⋅+
++−⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅=
ϕηηϕϕϕλ
ηϕϕλ
ϕλ
2224255
2233
tan5814tantan185cos!5
1
tan1cos!3
1cos
N
N
NY
[99b]
kde B je dáno vztahem:
L+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ϕϕϕϕϕϕ 8sin6sin4sin2sin 864200 AAAAAB [100] přičemž koeficienty A počítáme podle vzorců [86] a jsou závislé jen na parametrech rotačního elipsoidu. Zeměpisná šířka je v radiánech, hodnota η2 je dána vzorcem [40] a příčný poloměr křivosti N je dán [7]. V obou vzorcích [99] se vyskytuje funkce tangens, která není definována pro úhly o velikostech ϕ = 90° + k ⋅ 180°, k ∈ Z. Tuto nepříjemnost vyřešíme tím, že každou závorku jednotlivých členů řady roznásobíme kosinem ve vhodné mocnině. Potom zobrazovací rovnice nabudou tohoto tvaru:
( )
L+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅−⋅⋅+
++⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅+=
ϕϕηϕη
ϕϕϕϕϕϕλ
ηϕηϕϕϕϕϕλ
ϕϕλ
22242
42246
4222224
2
cossin330cos270sincossin58cos61
sincos!6
1
cos4cos9sincos5sincos!4
1
sincos!2
1
N
N
NBX
[101a]
– 35 –
( )
L+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅−⋅⋅+
++⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅+−⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅=
ϕϕηϕη
ϕϕϕϕϕλ
ϕηϕϕϕλ
ϕλ
22242
42245
22223
cossin58cos14sincossin18cos5
cos!5
1
cossincoscos!3
1cos
N
N
NY
[101b]
Nyní jsou obě zobrazovací rovnice definovány pro všechna reálná čísla. Příčný poloměr křivosti N přitom může nabývat všech hodnot od 6378245 metrů (pro body ležící na rovníku) do 6399698,90178271 metrů (pro severní a jižní pól). Zeměpisná šířka v praxi nabývá hodnot od –90° do +90°. Nicméně hodnota N bude ležet vždy ve výše uvedením intervalu pro libovolnou hodnotu ϕ. Délka poledníkového oblouku B je v praxi počítána od rovníku směrem k pólům. Vzorec je však definován pro libovolnou hodnotu zeměpisné šířky ϕ a nabývá hodnot od nuly do nekonečna (pokud se omezíme na ϕ ∈ ⟨–90°; 90°⟩ je B ∈ ⟨–10 002 137,49754 metrů; 10 002 137,49754 metrů⟩ přičemž B nabývá záporných hodnot pro jižní zeměpisné šířky a kladných hodnot pro severní zeměpisné šířky).
4.1 Koeficienty řad zobrazovacích rovnic Jednotlivé členy řad, které se nacházejí ve zobrazovacích rovnicích obsahují vždy součin λ v některé mocnině počínaje nultou s výrazem, který je funkcí jednak konstant vyplývajících z geometrie zvoleného rotačního elipsoidu a zeměpisné šířky ϕ. Můžeme proto psát:
L+⋅+⋅+⋅+= 66
44
22 λλλ AAABX [102a]
L+⋅+⋅+⋅= 5
53
31 λλλ AAAY [102b] Ze srovnání vzorců [102] a [101] je zřejmé, jaké významy mají koeficienty Ai pro i = 1, 2, …. Jsou funkcemi pouze zeměpisné šířky. Zeměpisná šířka ϕ vystupuje v koeficientech pouze v argumentech goniometrických funkcí (ostatní hodnoty jsou konstantami pro daný elipsoid) a proto budou tyto koeficienty nabývat svých hodnot v určitých periodách. Tyto periody nás samy o sobě příliš nezajímají. Zajímavější budou maxima a minima koeficientů Ai v závislosti na zeměpisné šířce.
Extremální hodnoty koeficientů nám ukazuje přehledně tabulka 4.1.a. Pro jejich zjišťování jsem použil standardní nástroje funkcionální analýzy za podpory výpočetní techniky a vhodných matematických programů (MatLab 6.5). První derivaci každého koeficientu podle proměnné ϕ jsem položil rovnu nule a dále řešil rovnici dAi / dϕ = 0.
maximum [m] minimum [m] A2 +1597238,4851 –1597238,4851 A4 +409505,3626 –409505,3626 A6 +121437,7080 –121437,7080 A1 +6378245,0000 –6378245,0000 A3 +1070204,1610 –1070204,1610 A5 +270774,5377 –270774,5377
Tabulka 4.1.a
– 36 –
Samozřejmě, že se jedná o lokální extrémy. Obecně jich mají koeficienty Ai nekonečně mnoho. V aplikaci na Gaussovo zobrazení je interval zeměpisné šířky ⟨–90°; 90°⟩. Hodnoty koeficientů Ai mají vždy pro danou hodnotu zeměpisné šířky klesající tendenci. Podobný trend mají také extremální hodnoty jednotlivých koeficientů. Důležité ale je, že se jedná vždy o omezené funkce. Hodnota žádného koeficientu neroste nade všechny meze a nebo neklesá pode všechny meze. A navíc pro danou zeměpisnou šířku mají koeficienty Ai ve vzorcích [102] vždy klesající trend. V tabulce 4.1.a jsou uvedeny jen hlavní amplitudy, ty vedlejší jsem zde neuváděl. Pro zajímavost zde ještě na obrázcích 4.1.b – 4.1.g uvedu průběhy koeficientů Ai v závislosti na zeměpisné šířce. I bez použití Fourierovy transformace není problém odhadnout frekvence a vlnové délky tvořící jednotlivé koeficienty. Samozřejmě u koeficientů vyšších řádů by již bylo nutné Fourierovu transformaci spočítat.
Obrázek 4.1.b
Obrázek 4.1.d
Obrázek 4.1.c
Obrázek 4.1.e
Obrázek 4.1.f Obrázek 4.1.g
– 37 –
4.2 Konvergence řad zobrazovacích rovnic Hodnota B je dána řadou [100]. Zde nebude z hlediska konvergence problém. Jedná se o funkci zeměpisné šířky, která se vyskytuje vždy v argumentu goniometrické funkce. Koeficienty v řadě [100] jsou dány vzorci [86], což jsou velmi rychle konvergující řady, protože exponent excentricity e roste a sama excentricita je kladné reálné číslo mnohem menší než jedna. Navíc jsou výrazy v závorkách vzorců [86] řady s kladnými členy. Takže je bezezbytku splněno podílové d´Alembertovo kritérium konvergence řad, kdy musí být pro každé dva po sobě jdoucí členy ak, ak+1 splněny podmínky 0 < q < 1 a ak+1 / ak ≤ q. Vzorec [100] je pak součtem konvergentních řad tedy jako takový také konverguje. Podíváme se nyní na konvergenci řad [102]. Jedná se v podstatě o mocninné řady. Pro libovolnou hodnotu zeměpisné šířky jsou splněny tyto nerovnosti:
|A2| ≥ |A4| ≥ |A6| ≥ … ≥ 0 [103a]
|A1| ≥ |A3| ≥ |A5| ≥ … ≥ 0 [103b] Rovnost nastane v [103a] tehdy, bude-li ϕ = 0° + k⋅180° (pro body na rovníku) a nebo ϕ = 90° + k⋅180° (pro oba póly). V případě [103b] bude rovnost splněna pro ϕ = 90° + k⋅180° (pro oba póly).
Nyní bude záležet na hodnotě zeměpisné délky λ. Pro další úvahy rozdělíme hodnoty λ na dva intervaly. Jednak λ ∈ ⟨–1; 1⟩ a za druhé λ ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞). Samozřejmě, λ je v obloukové míře. V řadách [102] se hodnota λ vyskytuje v různých mocninách (jedná se o mocninné řady). Bude-li tedy λ ∈ ⟨–1; 1⟩, bude platit nerovnost |λn| ≤ |λ|, přičemž rovnost nastane v případě krajních bodů intervalu (nebo pro n = 1). S ohledem na [103] pak také budou platit tyto nerovnosti:
|A2 ⋅ λ2| ≥ |A4 ⋅ λ4| ≥ |A6 ⋅ λ6| ≥ … ≥ 0 [104a]
|A1 ⋅ λ| ≥ |A3 ⋅ λ3| ≥ |A5 ⋅ λ5| ≥ … ≥ 0 [104b] přičemž rovnost nastane tehdy, bude-li λ = 0, tj. bude-li se jednat o bod ležící na základním (nezkresleném) poledníku. Označme nyní poměr dvou po sobě jdoucích členů řad symbolem qk. Potom platí rovnost:
2
2
22 λ⋅= +
k
kk A
Aq [105a]
2
12
12 λ⋅=−
+
k
kk A
Aq [105b]
pro k = 1, 2, 3, …. Vzorec [105a] je pro sudé mocniny λ a vzorec [105b] pak pro mocniny liché. Vzhledem k nerovnostem [103] a [104] bude pro skoro všechny k platit tento vztah:
0 < qk < 1 [106]
– 38 –
Protože jsem při vyšetřování konvergence použil v [103], [104] a [105] absolutní hodnoty, pro které je splněno d´Alembertovo podílové kritérium konvergence řad, jsou řady [102] absolutně konvergentní. A jsou-li řady absolutně konvergentní, jsou také konvergentní (ale pozor, opačně tato věta neplatí!). A mějme stále na paměti, že se pohybujeme na intervalu λ ∈ ⟨–1; 1⟩. Vzhledem k praktické aplikaci Gaussova zobrazení (zobrazení rotačního elipsoidu do roviny mapy) nemá smysl dále uvažovat případ, kdy λ ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞). Ani interval λ ∈ ⟨–1; 1⟩ není vzhledem k aplikaci zobrazení smysluplný. Pro zajímavost, pokud bychom zobrazovali celý poledníkový pás λ ∈ ⟨–57° 17´ 44´´; +57° 17´ 44´´⟩ (v radiánech λ ∈ ⟨–1; 1⟩), pak by bylo délkové zkreslení na okrajích tohoto pásu na rovníku rovno m = 1,711517, což je přibližně 711,5 metru na jeden kilometr!
V praxi se proto používaly pásy o Δλ = 3°, 6° a 12° (pro tehdejší ČSSR byly použity šestistupňové pásy) s délkovým zkreslením popsaným a vypočteným v kapitole 3.1. Zeměpisná šířka pak v praxi nabývá hodnot v intervalu ϕ ∈ ⟨–90°; +90°⟩.
5 Závěrečné poznámky
5.1 Úprava souřadnic souřadného systému Každý zobrazovaný poledníkový pás má svoji vlastní souřadnou soustavu. Osa x je
vložena do obrazu základního poledníku každého pásu a osu y tvoří obraz rovníku. Počátkem takové souřadné soustavy je pak průsečík obrazů základního poledníku a rovníku. Kladná část osy x je od počátku směrem na sever a kladná část osy y je od počátku směrem východním.V takto zvolené souřadné soustavě se však vyskytují záporné hodnoty souřadnic bodů ležících na západ od osy x. Aby byla zajištěna kladnost souřadnic (kvůli přehlednějším výpočtům), přičítala se k hodnotám x-ových souřadnic konstanta 500000 metrů (500 km) s tím, že se před hodnotu souřadnice na první pozici zleva připsalo číslo pásu, ve kterém se daný bod nacházel. Princip je dobře vidět na obrázku 5.1.a.
Obrázek 5.1.a
– 39 –
5.2 Možné záměny Gaussova konformního zobrazení Velmi často se stává, že se zamění Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu do roviny
mapy v poledníkových pásech (o němž byla psána tato práce) s Mercatorovým zobrazením případně s transverzálním Mercatorovým zobrazením (to první se někdy mylně nazývá Gaussovým zobrazení, to druhé se skutečně v některé literatuře jmenuje zobrazení Gaussovo).
Geografická síť Mercatorova zobrazení je na obrázku 5.2.a. Jedná se o zobrazení konformní válcové v normální poloze, kdy se zeměpisné póly zobrazí v nekonečnu a kartografické póly jsou totožné s póly zeměpisnými. Zde dochází v pólových oblastech k výraznému délkovému (a tedy i plošnému) zkreslení. Zobrazovací rovnice tohoto zobrazení můžeme použít jedna pro elipsoid a za druhé pro náhradní kouli.
V případě zobrazení elipsoidu do roviny mapy jsou zobrazovací rovnice tyto:
λ⋅= aX [107a]
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+⋅=
2
sin1sin145
2tanln
e
eeaY
ϕϕϕ [107b]
Pokud jako referenční plochu použijeme kouli o poloměru R, budeme zeměpisnou šířku značit symbolem U a zeměpisnou délku symbolem V. Zobrazovací rovnice budou mít tento tvar (uvědomme si, že e = 0, a = N = R):
VRX ⋅= [108a]
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+⋅= 45
2tanln URY [108b]
Transverzální Mercatorovo zobrazení je také konformní. Jedná se o válcové zobrazení
v transverzální (příčné) poloze, kdy kartografický pól leží na rovníku. V literatuře je někdy nazýváno zobrazením Gaussovým. Zobrazovací rovnice (jako referenční plochy je použita koule o poloměru R) tohoto zobrazení mají tvar:
xX = [109a]
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ °+⋅= 45
2tanln yRY , [109b]
Obrázek 5.2.a
– 40 –
kde x, y jsou pravoúhlé Soldnerovy sférické souřadnice (viz. kapitola 5.3) zobrazovaného bodu. Jsou dány následujícími vztahy:
VURy
Δ⋅= sincossin [110a]
VUU
Rx
Δ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
costantan 0 [110b]
Hodnota U je zeměpisná šířka zobrazovaného bodu a ΔV je rozdíl zeměpisných délek zobrazovaného bodu a základního (tečného) poledníku. Hodnota U0 je zeměpisná šířka počátku soustavy, tedy volitelná hodnota (většinou volená nulová – počátek souřadné soustavy pak leží na obraze rovníku). Obraz geografické sítě je na obrázku 5.2.b. Délkové zkreslení je dáno vztahem:
L+++= 4
4
2
2
2421
RY
RYm [111]
Je tedy funkcí souřadnice Y. Základní dotykový poledník je tedy opět nezkreslen (Y = 0). Zkreslení délkové roste směrem na východ a na západ od tohoto poledníku a pólové oblasti vykazují délkové zkreslení minimální. Největší zkreslení délek je v oblastech kartografických pólů!!! Nikoliv však pólů zeměpisných!!! Kartografický pól je průsečíky osy zobrazovací plochy (v tomto případě válcové) s referenčním tělesem. Velmi často bývají výše zmíněná zobrazení (i zobrazení, kterému je věnovaná tato práce) zaměňovány se zobrazením UTM (z anglického Universal Transverse Mercator). Toto zobrazení je modifikací konformního zobrazení Gaussova v poledníkových pásech. Modifikace spočívá v tom, že se pravé strany zobrazovacích rovnic [50] vynásobí konstantou m0 = 0,9996. To má za následek, že zkreslení základního poledníku nabude právě hodnoty m0 (tedy –40 cm / km) a na okrajích zobrazovaných pásů se hodnota délkového zkreslení rovná m = 1,00017 (což je +17 cm / km). Interval zkreslení je však stejný jako u Gausova konformního zobrazení v poledníkových pásech. Kromě toho se rovinné souřadnice upravují podobně, jak je popsáno v kapitole 5.1 s tím, že se přičítá k souřadnicím Y hodnota 10000 km. Osa x se označuje N (North) a osa y má značení E (East). Kromě multiplikační konstanty m0 je navíc použit elipsoid Hayfordův. Toto zobrazení se používá pro vojenské účely v členských státech NATO.
Obrázek 5.2.b
– 41 –
5.3 Pravoúhlé souřadnice (Soldnerovy) na elipsoidu a na kouli Tak jako v rovině, je možné i na elipsoidu (případně na kouli) použít pravoúhlých souřadnic. Na obrázku 5.3.a je naznačena filozofie a princip zavedení těchto souřadnic. Jako osu x volíme nejčastěji nějaký základní poledník. Na tomto poledníku zvolíme bod Q jako počátek souřadné soustavy a kladná osa x směřuje na sever od počátku (bod Q). Pořadnice y pak měříme po geodetických kolmicích na osu x, které procházejí zobrazovaným bodem P. Pata této geodetické kolmice je na obrázku 5.3.a označena symbolem P1. Souřadnice bodu P jsou potom dány oblouky x = QP1 a y = PP1. Ze sférické trigonometrie pak vyplývají vztahy:
VURy sincossin ⋅= [112a]
VUU
Rx
costantan 0 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + [112b]
5.4 Autorství doprovodných obrázků a tabulek, odvození V práci jsem použil jak autorské obrázky, tak obrázky převzaté. Převzaté obrázky jsou všechny ty, které v této kapitole neuvedu jako autorské a čerpal jsem je z literatur uvedených v kapitole 7 s tím, že jsem si je upravoval dle potřeb této práce. Autorské obrázky: 1.2.a, 2.5.a, 3.1.a, 4.1.b – 4.1.g, 5.3.a Autorské tabulky: 2.6.a, 2.6.b, 4.1.a Všechna uváděná odvození jsem skutečně provedl. V literaturách uvedených v kapitole 7 totiž odvození jako taková nejsou. Jsou zde jen výsledné vztahy případně stručné návody, ale některé vzorce v této práci publikované ani v literaturách mě dostupných nebyly. Jeden příklad za všechny, interační vztah [88].
Q
+x
+y
x
rovník
Obrázek 5.3.a
P
P1
y
90° – U V
– 42 –
Obrázek 6.1.a
Obrázek 6.1.b
6 Obrazové přílohy Obrázek 6.1.a ukazuje rozložení a číslování šestistupňových pásů Gaussova konformního zobrazení elipsoidu do roviny mapy v poledníkových pásech se základním poledníkem nacházejícím se uprostřed každého poledníkového pásu.
Obrázek 6.1.b ukazuje obraz zeměpisné sítě v rovině mapy. Tehdejší Československo padlo do dvou šestistupňových poledníkových pásů o zeměpisných délkách základních poledníků λ = 15° a λ = 21°. Osu y tvoří obraz rovníku (kladná část je směrem na východ) a osu x tvoří obrazy základních poledníků (kladná část je každá severní větev).
– 43 –
7 Použitá literatura /1/ Matematické vzorce Hans Jochen Bartsch, Mladá fronta, Praha, 1996 /2/ Matematická kartografie 10 Petr Buchar, Vladislav Hojovec, ČVUT, Praha, 1996 /3/ Kartografie Vladislav Hojovec a kolektiv, GKP, Praha, 1987 /4/ Úvod do počtu diferenciálního I, II Vojtěch Jarník, Academia, Praha, 1984 /5/ Integrální počet I, II Vojtěch Jarník, Academia, Praha, 1984 /6/ Vyšší geodézie Miloš Cimbálník, Leoš Mervart, ČVUT, Praha, 1997 /7/ <http://www.geogr.muni.cz/ucebnice/kartografie/obsah.php?show=86&&jazyk=cz> /8/ < http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/mapproj/mapproj_f.html> /9/ An Album of Map Projections, Professional Paper 1453 John P. Snyder, Philip M. Voxland, U.S. Geological Survey, Denver, 1989
