GeoGebra a 3D

Petr Volný

Katedra matematiky a deskriptivní geometrieVŠB - Technická univerzita Ostrava

Modam, Ostrava, 2016

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 1 / 21

Abstrakt

Práce s prostorovými objekty je pro studenty velmi zajímavá. Myse v rámci prednášky seznámíme s 3D modulem GeoGebry aposoudíme možnosti, které nám GeoGebra pro 3D zobrazení amanipulace s trojrozmernými objekty nabízí.

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 2 / 21

GeoGebra a 3D

od verze 5 pridán do GeoGebry 3D modulodpovídající nástroje pro tvorbu základních objektu ve 3D -bod, prímka, rovinazákladní telesa - jehlan, hranol, kužel, válec, pravidelnýctyrsten, krychle, koulenástroje pro manipulace s 3D nákresnou - rotace, zoom,posuny nákresny v horizontálním resp. vertikálním smeru,zpusob zobrazení 3D objektu - promítání rovnobežné,perspektivní, anaglyfické a kosoúhlépropojení 3D nákresny s 2D nákresnami

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 3 / 21

GeoGebra

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 4 / 21

Schodište

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 5 / 21

Zadání úlohy

Sestrojte trojboký hranol s podstavnou stenou ležící vpudorysné rovine. Pomocí translace a rotace hranolu vytvortetocité schodište.

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 6 / 21

Pracovní list

1. Klikneme myší do 2D okna - nákresny.

2. Pomocí tohoto nástroje posuneme nákresnu podlepotreby.

3. Zadáme tri body: A=(0,0), B=(2,-3) aC=(3,-2).

4. Sestrojíme trojúhelník ABC.

5. Vytvoríme posuvník; Název: vyska, Interval: od0.1 do 1, Krok: 0.1.

6.

Klikneme do 3D okna. Zvolíme nástroj Vytaženído hranolu nebo válce - klikneme na trojú-helník ve 3D zobrazení a poté do dialogového oknazapíšeme hodnotu danou posuvníkem, zapíšemetedy hodnotu vyska.

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 7 / 21

Pracovní list

7.Zmeníme barvu hranolu na zelenou. Klikneme nahranol v Algebraickém okne a z nabídky (lišta vhorní cásti 3D okna) vybereme zelenou barvu.

8. Zobrazíme 2D nákresnu: Zobrazit→ Nákresna.

9. Zmeríme úhel α =BAC.

10. Vytvoríme posuvník; Název: pocet, Interval: od1 do 20, Krok: 1.

11. Posloupnost[Posun[Rotace[d,n*α],Vektor[(0,0,n*vyska)]],n,1, pocet-1].

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 8 / 21

Zadání úlohy

Rotujte parametricky zadanou krivku kolem osy z.

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 9 / 21

Rotace v rovine

x ′

y ′

x sin vy sin v

v

vv

v

y cos v

x cos v

x

yx ′ = x cos v − y sin vy ′ = x sin v + y cos v

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 10 / 21

Maticová reprezentace - 2D

x ′ = x cos v − y sin vy ′ = x sin v + y cos v

(x ′

y ′

)=

(cos v − sin vsin v cos v

)(xy

)

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 11 / 21

Rotace ve 3D kolem osy z

x ′ = x cos v − y sin vy ′ = x sin v + y cos vz ′ = z

x ′

y ′

z ′

=

cos v − sin v 0sin v cos v 0

0 0 1

x

yz

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 12 / 21

Krivka ve 3D

ζ : R→ R3, (u) 7→ (x(u), y(u), z(u))

Príklad: krivka v rovine xz

x = uy = 0z = 3 sin u

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 13 / 21

Krivka v rovine xz

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 14 / 21

Rotacní plocha

ρ : R× S1 → R3, (u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

x(u, v)y(u, v)z(u, v)

=

cos v − sin v 0sin v cos v 0

0 0 1

x(u)

y(u)z(u)

=

x(u) cos v − y(u) sin vx(u) sin v + y(u) cos v

z(u)

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 15 / 21

Umístíme-li generující krivku do roviny xz (y = 0), pak separametrické vyjádrení odpovídající rotacní plochy výraznezjednodušší.

x(u, v) = x(u) cos vy(u, v) = x(u) sin vz(u, v) = z(u)

Pro náš príklad dostáváme parametrické rovnice rotacní plochy:

x(u, v) = x = u cos vy(u, v) = y = u sin vz(u, v) = z = 3 sin u

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 16 / 21

Kráterová plocha

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 17 / 21

Kráterová plocha - poledníková sít’

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 18 / 21

Kráterová plocha - rovnobežková sít’

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 19 / 21

Kráterová plocha

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 20 / 21

Posuvník: rovnobezka, 1-10

Posloupnost[Krivka[n*cos(v),n*sin(v),3*sin(n), v, 0, 2π], n, 0, π, π/ rovnobezka]

Posuvník: polednik, 1-10

Posloupnost[Rotace[a,2πn /polednik],n,0,polednik-1]

Volný (VŠB - TU Ostrava) GeoGebra a 3D 2016 21 / 21