Petra Surynková
Univerzita Karlova v PrazeMatematicko-fyzikální fakulta
Geometriea
architektura
Přehled
Geometrievznik, vývoj – připomenutí základních faktů
Proč je geometrie důležitá?Dá se geometrie naučit?Několik ukázek studentských pracíJak zvýšit zájem o studium geometrieGeometrie a architektura
starověká a raně křesťanská architektura
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie IŘeckého původu – zn. zeměměřičstvíGeometrie vždy vycházela z praktických potřeb
k rozvíjení geometrických znalostí nejvíce přispívala stavitelská činnost
vyměřování pozemků, stavba obydlí, opevněníve starém Egyptě – již lidé uměli zobrazovat půdorysy budov a používali kolmé průměty (3. tisíciletí př. Kr.)
výroba nástrojů, řemeslnické prácesestavování kalendářůorientace - doprava přes moře či pouštěměření délek, obsahů a objemů
Egypt, Mezopotámie, Indie, Čína - praktická geometrie
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Teprve později studium geometrických útvarů vedlo ke vzniku geometrie jako matematického oboruGeometrie se stala vědou - studována a rozvíjena nejen z praktických ale i z filozofických a teoretických důvodůŘecko – vznik geometrie jako teoretické disciplíny(6. století př. Kr.)
rozvoj abstraktního myšlení, vznik nových obecných pojmů, systémů tvrzení, které lze rozumově vyvodit z tvrzenízákladníchpřechod k deduktivně budovaným teoriímidea důkazů
Geometrie bývá považována za jeden z prvních matematických oborů vůbec
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie II
Geometrie IIIDalší rozvoj geometrie
středověkislámské země (od 7. století)Evropa – opět spíše praktická geometrie (6. – 7. století)
Evropa 16. – 19. stoletírenesance - jako součást malířství se rozvinula nauka o lineární perspektivěspojení geometrie a algebry – vznik analytické geometriepotřeba přesných zobrazovacích metod – vznik deskriptivnígeometrie (G. Monge – 18. století)
Další vývojobjev neeuklidovských geometriídalší propojení geometrie a algebry
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Proč je geometrie důležitá
Zaměříme se na syntetickou geometriipředevším geometrii prostorovou
Geometrie je důležitá pro každého z násnení důležitá jen pro technika, konstruktéra, architekta či stavebního inženýravšichni potřebujeme dobrou geometrickou představivost, abychom se vůbec dokázali pohybovat a vnímat svět kolem nás
Geometrie nás učí mysletdůležitá pro další disciplíny a podporu tvořivostivědomosti se lépe zafixují, když jsou podpořeny obrázkem
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Dá se geometrie naučit?
Studium geometrie je náročnéproto je někdy na ZŠ i SŠ opomíjenapokud nezbývá ve výuce čas, bývá vynechávána právěgeometrie – především v nižších ročnících by však geometrie měla být v matematice na prvním místě
,,K pochopení geometrie nevede žádná královská cesta.“(Euklides – přibližně 325 – 260 př. Kr.)
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
,,Nemám prostorovou představivost, geometrii se tedy nemůžu naučit.“
mýtus, předsudekProstorovou představivost se můžeme naučit, rozvíjet ji a zdokonalovatNutné začít včas
klást důraz na výuku geometrie již na ZŠpozději je obtížné mezery dohnat
na SŠ náročné, na VŠ téměř nemožné! POZOR ! – lze promeškat učení prostorového vidění
Dá se geometrie naučit?
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Žáci i studenti se často potýkají s nedostatečnou zručností při rýsování
i tomu se dá alespoň částečně předejítdůležité, aby se začínalo nejdříve s kreslením náčrtkůrovinných a prostorových objektů – napomoci může i výtvarná výchovateprve poté přejít k rýsování
Geometrie by se měla učit názorněnikdy by nemělo docházet k tomu, že se konstrukce stane naučeným postupem, pod kterým žáci nic nevidí
Různé ,,geometrické hrátky“ na rozvoj představivosti nejsou jen pro mladší žáky – nadchnou i vysokoškoláka
Dá se geometrie naučit?
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Dá se geometrie naučit?
Na žádném stupni výuky geometrie nevystačíme s pouhým rýsováním
zejména ve stereometrii – důležité chápat vztah mezi tělesem a jeho obrazemnezbytné používání modelů, žáci a studenti je mohou sami tvořitve všech případech je nutná názornost
,,Všeho se máme zmocňovati tolika smysly, kolika jen možno.“
(J. A. Komenský – 1592 - 1670)
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Ukázky studentských prací
Vlastní zkušenosti s výukou deskriptivní geometrie na FA ČVUT v Praze
studenti, kteří mají problémy s rýsováním nebo nedokážízrekonstruovat prostorovou situaci z rovinného obrázku –lze je zaujmout jinou částí geometrie
manuálně zruční, umí vytvářet prostorové modely, různévystřihovánky, skládanky – lze použít na ZŠ, SŠ i VŠgeometrie se pro ně stává mnohem zajímavější, baví je
Ukázky prací studentů z FA ČVUT
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Jak zvýšit zájem o geometrii
Učit geometrii zajímavě a logickyUkazovat využití geometrie v praxi
geometrie z praxe přece vždy vycházela
Je nutné zmodernizovat a zkvalitnit výukuStudium geometrie je třeba zatraktivnit (deskriptivnígeometrie je dnes zanikající obor)
využití moderního softwaru a počítačového modelovánípři výuce stereometrie nebo klasické DG lze používat názorné3D počítačové modely, statické modely, animace (dostupnějšínež fyzické modely)počítače pouze usnadní práci, stále je nutné geometrickézákonitosti znát
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrii se věnuji již dlouho, především se zabývám studiem, rozborem a matematickým popisem ploch , které se uplatňují ve stavební praxiUkázky využití modelovacího softwaru
materiály vznikly jako součást mé bakalářské a diplomovéprácev současné době jsou používány jako studijní a výukovémateriály na MFF UK, FA ČVUT
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Jak zvýšit zájem o geometrii
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Cyklická šroubováplocha Přímková šroubová
plocha
Geometrie a architektura
Využití geometrie v praxi je nejviditelnější a nejhmatatelnější v architektuřeProč vyučovat geometrii?
jednoduše proto, že je ,,všude kolem nás“
Podívejme se na některé architektonické zajímavostiStředem našeho zájmu bude evropská architektura
starověká a raně křesťanská architekturaZaměřme se na důležité momenty v architektuře a hlavně na zajímavé a významné stavbyPokusme se odhalovat geometrii zmíněných staveb
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura I
Architektura nás zavádí až do období starověkuvznik a rozvoj prvních civilizací
Antický svět
Řecko (8. stol. př. Kr. – 4. stol. př. Kr.)
kolébka západní architekturyřecká architektura se řídila jednoduchým principem nosníkové konstrukce – sloup a překlad (architrávový systém)stavby – výrazná horizontálnost
Geometrie a architektura II
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Erechteion (406 př. Kr.) –Atény, Řecko
(http://travel.webshots.com/photo)
Parthenón (zbudován v letech 447 př. Kr. - 438 př. Kr.) –
Atény, Řecko(http://travel.webshots.com/photo)
Geometrie a architektura III
Řím (cca 8. stol. př. Kr. – 5. stol. po Kr.)částečně vycházela z řecké architekturyarchitekturu obohatili o nové stavební prvky – římský obloukstavba vodovodů – akvadukty, obloukových mostůvítězné oblouky, silnice, bazilika – později základ křesťanského chrámu, zde tržnice nebo soudní síňobjev nového stavebního materiálu – beton
díky němu se mohl překlenout předtím nepředstavitelný prostorzačali se stavět klenby a kupole – pokrok oproti řeckým architrávovým stavbám
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Koloseum (zbudován v letech 75 po Kr. – 79 po Kr.) – Řím, Itálie
oblouky rozdělené sloupy tvoří římskou arkádujedna z největších římských budov188 m dlouhá, 156 m široká, 52 m vysoká
Akvadukt Pont du Gard – Nimes,
Francie (http://www.trekearth.com)
nejvyšší akvadukt, jaký Římané postavilivelmi dochovanývodu dodával ve třech vrstvách oblouků z Uzès do Nimes
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Traianův most –Alcántara, Španělsko
(http://www.panoramio.com)
klenutý kamenný mostdosud se používá
Akvadukt – Segovia, Španělsko
(http://picasaweb.google.com)
Pantheon – chrám všech bohů(zbudován v letech 120 - 124) -
Řím, Itálie
stavba má kruhový půdorys (netypické) – dokonalá symetrie - zeměkoulemasivní kupole – polokulový tvar
průměr – 43,2 m, největší na světě až do postavení Brunelleschiho kupole nad florentskou katedrálou (15. století)
šířka chrámu = výšce chrámu, polovina výšky připadá na kupolipředchrámí řeckého typu – pochází z původního chrámu z roku 27 př. Kr.kruhové okno – jediné okno o průměru 9 mkupole představuje nebeskou klenbu ozářenou Sluncem
jediný dochovaný římský chrám téměř v původnípodobě
díky nepřetržitému používánípozději vysvěcen jako katolický kostel
kupolovitá konstrukce s betonovým pláštěm
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
(http://commons.wikimedia.org/)
Půdorys Pantheonu(http://www.sacred-destinations.com/italy)
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Odlehčující kupole nik pomáhajísnižovat tlak na okrajích hlavníkupole a přenášejítíhu vertikálně přes zdi na základy
Model niky – výklenek poloválcového tvaru
zakončený čtvrtinou kulovéplochy
tzv. koncha
Pohled na hlavníoltář Pantheonu
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
4. století – obecné přijetí křesťanstvíPrvní významné křesťanské kostelyvycházely z římských baziliknejvýznamnější čtyři římské raněkřesťanské baziliky
Bazilika sv. Jana z LateránuBazilika sv. PetraBazilika Panny Marie VětšíBazilika sv. Pavla za hradbami
typické: východně orientovaná apsida (oltářní nika), velké množství oken
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura IV
jedna z největších raněkřesťanských bazilik v Římě, kterási nejlépe uchovala původnípodobuzbudován za papeže Sixta III. jako trojlodní bazilika s polokruhovou apsidoumnohokrát přestavovánadefinitivní podobu chrám získal v 18. století – přestavěn v barokním stylutak jako všechny římskébaziliky 4. a 5. století nemábazilika klenbu – hlavní loď je kryta stropemtriumfální oblouk, apsida(http://travel.webshots.com/photo)
Bazilika Panny Marie Větší– Santa Maria Maggiore
(5. st.) - Řím, Itálie
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Bazilika sv. Jana v Lateráně – San
Giovanni in Laterano
(4. st.) - Řím, Itálie
první křesťanský chrám vystavěný Konstantinem Velikýmmnohé přestavbypětilodní bazilikahodnostně nejvyššíkostel katolickécírkve – titul matka a hlava všech kostelů Města (Říma) a světa
(http://commons.wikimedia.org)
Pohled na apsidu
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Bazilika Panny Marie Větší(http://www.artinaccommodation.com/photogallery)
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Bazilika sv. Jana v Lateráně(http://commons.wikimedia.org)
postavena nad hrobem apoštola Pavla daleko od středu města2. největší bazilika v Římě (po sv. Petrovi)původní stavba (založena Konstantinem Velikým) se dochovala až do r. 1823 –rozsáhlý požárpoté chrám obnoven – snaha držet se původní podoby (místo zbudování kostela v modernějším stylu)pětilodní bazilika
Bazilika sv. Pavla za hradbami – San Paolo
fuori le mura(4. st.) - Řím, Itálie
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Dvůr kláštera s ambitem byl postaven mezi lety 1220 - 1241
Ozdobná nika
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Bazilika sv. Petra –Basilica di San Pietro
Řím, Itálie
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
v r. 324 nechal římský císařKonstantin Veliký postavit raněkřesťanskou baziliku nad hrobem sv. Petra
ještě dnes jsou v podzemí chrámu k vidění základy sloupů a dolní části stěn původní baziliky
v 15. století rozhodnuto o stavběnového chrámu, neboť původníbazilika velmi zchátralastavba byla zahájena v r. 1506 za papeže Julia II.projekt nové baziliky vypracoval architekt Donato d‘Angelo Bramante
půdorys chrámu měl mít tvar rovnoramenného řeckého křížes ústřední kupolí a čtyřmi postranními kupolemi
Socha sv. Pavla před vchodem do baziliky
Socha apoštola Petra před vchodem do baziliky
Půdorys podle Bramantovanávrhu
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
po Bramantově smrti vedl stavbu RaffaelSanti
plán stavby změněn na podélný půdorys ve tvaru latinského kříže
v r. 1547 jmenoval papež Pavel III. hlavním architektem Michelangela Buonarroti
tehdy 72letýopět se vrátil k Bramanteho koncepcipozměnil – chrám měl mít jedinou majestátníkupolivystavěl apsidu, střed křížezesílil původní zdi, neboť měl obavy, že původní by celou stavbu neuneslyvypracoval model kupolezanechal detailní nákresy kupole a celého chrámuv r. 2007 – nalezena původní Michelangelovakresba části plánu (vzácné neboť většinu svých nákresů zničil) s mnoha matematickými výpočtystavba stále nedokončena
Půdorys podle Michelangela s Madernovým průčelím
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
jedním z nejznámějších představitelů vrcholné italskérenesance a manýrismuproslavil se jako sochař, architekta malířgeniálním umělec, posedlý hledáním dokonalosti a snahou dokázat, že je nejlepší – mnohdy svá díla po dokončení záměrněpoškodil, když s nimi nebyl spokojendílo:
sochařství – Pieta, socha Davidamalířství – Sixtínská kaple(Stvoření světa, Poslední soud)architektura - Bazilika sv. Petra(ústřední prostor a kupole chrámu)
Michelangelo di LodovicoBuonarroti Simoni
1475 – 1564
Michelangelova Pieta
v letech 1564–1573 stavbu po Michelangelově smrti vedl Vignola se svým synempoté stavbu převzal Giacomo dellaPorta
úplně se neřídil Michelangelovýmiplánynicméně hlavní obrys a vnitřníuspořádání zachovalpředevším započal se stavbou kupole
kupoli dokončil teprve r. 1590 Domenico Fontanav r. 1607 byl pověřen stavbou CarloMaderno
protáhl střední loď, tím částečně zastínil kupolidokončil průčelí, fasádu ve stylu raného baroka
v r. 1626 – chrám vysvětil papež Urban II.chrám pojme až 60 tis. lidí
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
poslední architekt - Gian LorenzoBernini
interiér chrámurozšířil Madernou plánované náměstí(1656 – 1667) – obrovská elipsa obklopená kolonádou
kupole – průměr 42 mvýška chrámu v kupoli je137 mprofil kupole změněn oproti Michelangelovupolokulovému tvaru z obavy z nestabilityvystavěna ze dvou plášťů z cihel a kamenů– vnější a vnitřní
vnitřní plášť si podržel polokulový tvar
konstrukci posiluje 16 radiálních žeberkupole je opásána deseti skrytými železnými řetězy, kterévzdorují tlaku na obvodu směrem ven
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Průchod mezi dvěma plášti kupole –přístupný veřejnosti
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Model zaklenutí prostoru –polovina kulové plochy na
čtyřech pendentivech
K zaklenutí čtvercové nebo polygonální základny se užívá tzv. pendentivů– sférických trojúhelníků tvořících přechod mezi kulovou plochou a prostorem
pod ní
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Geometrie a architektura, 2009 Petra Surynková
Na hlavní kupoli navazují valené klenby(klenba leží celou svou vahou na
obvodových zdech)