Grafy na 2. stupni základních škol - Theses · 2016. 6. 22. · UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI...

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

PEDAGOGICKÁ FAKULTA

Katedra matematiky

Diplomová práce

Petra Machýčková

Grafy na 2. stupni základních škol

v českých a anglických učebnicích matematiky

Olomouc 2016 vedoucí práce: doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc.

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma „Grafy na 2. stupni základních škol

v českých a anglických učebnicích matematiky“ vypracovala zcela samostatně na základě

použité literatury a dalších zdrojů, které řádně cituji, a jsou uvedeny v seznamu použité

literatury.

V Olomouci …………………. Petra Machýčková

...…………………..

Podpis

Poděkování

Mé poděkování patří vedoucí diplomové práce paní doc. RNDr. Jitce Laitochové, CSc.

za možnost uskutečnění mé diplomové práce, za cenné rady a připomínky a především

za zprostředkování řady anglických učebnic. Dále bych chtěla poděkovat

Mgr. Jitce Hodaňové, Ph.D. za vstřícnost při konzultacích a cenných radách při realizaci

empirického šetření. Poděkování patří také ZŠ Kunín a olomouckým školám ZŠ Tererovo

náměstí 1, ZŠ Helsinská a ZŠ Stupkova za možnost realizace empirického šetření a zároveň

všem žákům devátých ročníků těchto škol za ochotu při vyplnění souboru testových úloh.

Dále bych chtěla poděkovat paní Mgr. Miroslavě Poláchové za ochotné jednání, cenné rady

a vypůjčení české řady učebnic.

Velké poděkování patří mé rodině za podporu poskytnutou během celé doby mého

studia, nesmírně si ji vážím.

OBSAH

ÚVOD ........................................................................................................................ 1

TEORETICKÁ ČÁST

1 Graf ..................................................................................................................... 3

1.1 Grafy funkcí .................................................................................................. 3

1.1.1 Vymezení pojmu funkce .......................................................................... 3

1.1.2 Graf funkce.............................................................................................. 5

1.1.3 Graf lineární funkce ................................................................................. 5

1.1.4 Graf kvadratické funkce ........................................................................... 8

1.2 Statistické grafy a diagramy ........................................................................ 12

1.2.1 Základní statistické grafy a diagramy ..................................................... 12

1.2.2 Proces tvorby grafu ................................................................................ 16

1.3 Grafy funkcí, diagramy a statistické grafy v RVP ZV .................................. 19

1.4 Grafy funkcí, diagramy a statistické grafy v národním kurikulu Anglie ....... 20

2 Školský vzdělávací systém v Anglii .................................................................. 22

2.1 Struktura a financování anglického školství ................................................. 22

2.2 Národní kurikulum a vzdělávací reforma ..................................................... 25

2.3 Kurikulum pro sekundární vzdělávání ......................................................... 30

EMPIRICKÁ ČÁST

3 Srovnání českých a anglických učebnic matematiky ...................................... 33

3.1 Charakteristika české řady učebnic .............................................................. 33

3.2 Charakteristika anglické řady učebnic ......................................................... 35

3.3 Grafy funkcí v českých a anglických učebnicích.......................................... 36

3.3.1 Pravoúhlý souřadný systém v rovině ...................................................... 37

3.3.2 Graf konstantní funkce........................................................................... 40

3.3.3 Graf přímé úměrnosti ............................................................................. 43

3.3.4 Graf lineární funkce ............................................................................... 50

3.3.5 Grafické řešení soustavy rovnic ............................................................. 57

3.3.6 Využití grafů funkcí v praxi ................................................................... 60

3.4 Statistické grafy a diagramy v českých a anglických učebnicích .................. 64

3.4.1 Sloupcový graf ...................................................................................... 64

3.4.2 Koláčový diagram ................................................................................. 72

3.5 Závěrečné srovnání učebnic ........................................................................ 80

4 Empirické šetření ............................................................................................. 82

4.1 Cíle a dílčí cíle empirického šetření ............................................................. 82

4.2 Metody empirického šetření ........................................................................ 82

4.3 Podmínky a průběh empirického šetření ...................................................... 83

4.4 Testové úlohy .............................................................................................. 83

4.5 Výsledky empirického šetření ..................................................................... 84

4.5.1 Zpracování dat ....................................................................................... 84

4.5.2 Vyhodnocení úspěšnosti jednotlivých testových úloh žáků 9. ročníku .... 84

4.6 Shrnutí empirického šetření ....................................................................... 102

ZÁVĚR ................................................................................................................. 104

SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ ..................................................................... 106

SEZNAM OBRÁZKŮ .......................................................................................... 110

SEZNAM GRAFŮ ................................................................................................ 111

SEZNAM TABULEK ........................................................................................... 113

SEZNAM ZKRATEK .......................................................................................... 114

SEZNAM PŘÍLOH .............................................................................................. 115

ANOTACE

1

ÚVOD

„Neučíme se pro školu, ale pro život.“

Seneca

Na úrovni celé Evropské unie byly matematické kompetence vyhodnoceny jako

nezbytné pro aktivní občanství, sociální začlenění, osobní naplnění a zaměstnatelnost

ve společnosti 21. století. Na základě zjištění, že vzrůstá počet žáků, kteří mají problémy

se čtením, matematikou a přírodními vědami, došlo v posledních desítkách let k revidování

obsahu matematického vzdělávání s větším důrazem na využití matematiky v každodenním

životě. (Parveta, 2011)

Grafy, z matematického hlediska používané ke schematickému znázornění vztahů,

postupů, závislostí nebo statistických údajů se staly problémovou oblastí matematiky. Práce

s grafy na 2. stupni ZŠ1 je úzce spojena se čtením či rozvojem čtenářské gramotnosti, která

je řazena mezi důležité předpoklady k rozvíjení klíčových kompetencí. Práce s grafy není

obsažena pouze ve vyučovacích hodinách matematiky, ale má i mezipředmětový přesah.

Tématem diplomové práce je výuka grafů funkcí a statistických grafů a diagramů

u českých a anglických žáků ve věku 11 – 15 let. Hlavním cílem diplomové práce

je na základě prostudované literatury objasnit základní grafy funkcí a statistické grafy

a diagramy vyučované na 2. stupni základních škol České republiky, srovnat anglické a české

učebnice z pohledu zmíněného učiva a zjistit úspěšnost českých žáků devátého ročníku při

řešení testových úloh přejatých z anglických učebnic matematiky.

Prvním dílčím cílem je na základě srovnání české a anglické řady učebnic matematiky

z pohledu učiva grafu funkcí a statistických grafů a diagramů sestavit soubor testových úloh,

který je typický pouze pro anglické učebnice a odpovídá znalostem českých žáků. Druhým

dílčím cílem je získat výsledky o úspěšnosti řešení testových úloh jejich zadáním

na základních školách a následné kvalitativní zhodnocení řešení jednotlivých testových úloh.

Z důvodu dosažení dílčích cílů je práce rozdělena na teoretickou a empirickou část.

Teoretická část je zaměřena na charakteristiku a vymezení základních grafů funkcí

a statistických grafů a diagramů vyskytující se na 2. stupni základních škol České republiky,

jejich zakotvení v rámcovém vzdělávacím programu základního vzdělávání

(RVP ZV) České republiky a národního kurikula Anglie, které je objasněno společně

s anglickým školstvím v samostatné kapitole.

1 Základní škola

2

Empirická část je nejprve zaměřena na výběr testových úloh k empirickému šetření

pomocí srovnání české a anglické řady učebnic matematiky a komentáře k učebnicím.

Následuje empirické šetření, v jehož úvodu jsou stanoveny cíle, metody a podmínky šetření.

Výsledkem je kvalitativní shrnutí úspěšnosti žáků devátých ročníků českých škol řešící

soubor matematických anglických úloh (z větší části přeložených do českého jazyka) a tvorba

česko-anglického slovníčku využitelná k metodě CLIL ve vyučovacích hodinách matematiky.

3

TEORETICKÁ ČÁST

1 Graf

Slovo graf je velmi obecný pojem. Nejčastěji je používán ke schematickému

znázornění vztahů, postupů, závislostí nebo statistických údajů. Lze tedy snadno usoudit,

že tento pojem má hned několik významů. Záleží na kontextu, ve kterém je zmíněné slovo

využíváno. Z matematického hlediska Parker (1997) ve svém slovníku uvádí, že graf

je chápán jako graf funkce, jako určité grafické znázornění nebo také (z pohledu teorie grafů)

jako objekt vytvořený z bodů a úseček.

Mnohdy je ke zmíněnému slovu mylně přiřazováno slovo obrazec či diagram jako

synonymum. Graf je ale pojem obecnější, diagram a obrazce jsou pojmy konkrétnější,

nicméně také představující grafické znázornění.

Níže v textu je na graf nahlíženo ze dvou hledisek – graf funkcí a statistický graf

či diagram, který využíváme ke znázornění četnosti nějakého jevu.

1.1 Grafy funkcí

1.1.1 Vymezení pojmu funkce

V praxi při studiu přírodních jevů, ekonomických vztahů či řešení technických

problémů můžeme často zahlédnout, že hodnoty jedné veličiny se mění v závislosti

na hodnotách veličiny druhé. Tuto závislost matematika popisuje pojmem funkce.

V následujícím textu zavedeme pojem funkce pomocí přiřazení a poté pomocí zobrazení.

Ve školské matematice využíváme vymezení pojmu funkce právě pomocí přiřazení.

(Vošický, Lank, Vondra, 2007, s. 32)

Zavedení pojmu funkce pomocí přiřazení

Mějme dánu množinu 𝑀, která je podmnožinou množiny reálných čísel (𝑀 ⊂ ℝ).

Funkce na množině 𝑀 je předpis, podle kterého je každému prvku 𝑥 z množiny 𝑀 přiřazeno

právě jedno reálné číslo. Toto číslo se nazývá hodnota funkce v bodě 𝑥. Množinu

𝑀 označujeme definičním oborem funkce.

Pokud je množina 𝑀 rovna množině reálných čísel ℝ, hovoříme o reálné funkci

jedné reálné proměnné, kterou zapisujeme zápisem 𝑦 = 𝑓(𝑥), kde 𝑓(𝑥) je algebraický výraz

s proměnnou 𝑥. (Synková, 2015)

4

Cizlerová, Zahradníček a Zahradníčková (2014) uvádějí ještě jinou definici funkce.

Definují funkci jako předpis, který každému číslu přiřadí nejvýše jedno reálné číslo. Z této

definice vyplývá, že některým číslům není přiřazeno žádné číslo a některým právě jedno.

Obě definice se shodují. Ty čísla, ke kterým je přiřazené jediné číslo, patří do definičního

oboru funkce.

V definici jsou zmíněné dvě proměnné: 𝑥 a 𝑦. Nezávisle proměnná (často

označovaná jako argument funkce) je označena symbolem 𝑥. Jedná se o libovolné číslo

z definičního oboru. Závisle proměnnou znázorňuje symbol 𝑦. Hodnota závislé proměnné

závisí na zvolené hodnotě proměnné 𝑥.

Zavedení pojmu funkce pomocí zobrazení

K tomu, aby bylo možné definovat funkci pomocí zobrazení, je nutné nejprve

definovat pojem kartézský součin, binární relace a zobrazení. Tyto pojmy ve své knize

vymezuje Janurová, Janura a Svoboda (2011, s. 97):

„Mějme dány dvě neprázdné množiny reálných čísel 𝐴, 𝐵. Kartézský součin množin

𝐴, 𝐵 definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic [𝑥, 𝑦], kde první prvek uspořádané

dvojice patří do množiny 𝐴, druhý prvek uspořádané dvojice patří do množiny 𝐵. Značíme

𝐴 × 𝐵 = {[𝑥, 𝑦]; 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵}.“

Binární relace mezi množinami 𝐴, 𝐵 nazýváme každou podmnožinu kartézského

součinu A × B.

Zobrazením množiny 𝑨 do množiny 𝑩 rozumíme takovou relaci, která každému

prvku z množiny 𝐴 přiřadí právě jeden prvek z množiny 𝐵.

Konečně se dostáváme k pojmu funkce. Funkce reálné proměnné 𝒙 je zobrazení

𝑓 množiny 𝐴 (𝐴 ⊂ ℝ) do množiny reálných čísel. Takovou funkci značíme: 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥).

Definičním oborem funkce 𝑓 je množina všech prvků (vzorů) 𝑥, pro které platí

[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑓. Z definice je pro nás definičním oborem množina 𝐴. Definiční obor značíme 𝐷(𝑓).

Oborem hodnot funkce 𝑓 je množina všech prvků (obrazů) 𝑦, ke kterým existuje

právě jedno 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) tak, že [𝑥; 𝑦] ∈ 𝑓. Obor hodnot značíme 𝐻(𝑓). Zápis 𝑦 = 𝑓(𝑥) čteme

jako hodnota funkce 𝑓 v bodě 𝑥.

Podle Janurové, Janury a Svobody (2011, s. 99) existuje několik způsobů zadání

funkce:

Funkčním předpisem (formulí, rovnicí nebo vzorcem)

5

Tabulkou

Výčtem hodnot (slovním popisem)

Grafem funkce

Následující text je zaměřen na poslední možnost zadání funkce – jejím grafem.

1.1.2 Graf funkce

„Grafem funkce rozumíme množinu všech bodů o souřadnicích [𝑥, 𝑦] ([𝑥; 𝑓(𝑥)]),

kde 𝑥 je libovolný prvek z definičního oboru, 𝑦 (𝑓(𝑥)) je odpovídající funkční hodnota

z oboru hodnot této funkce.“ (Janurová, Janura, Svoboda, 2011, s. 99)

Grafické a tabulární zadání funkce je často v praxi používáno. Většinou se využívá

při výsledcích měření či statistického zjišťování. (Polák, 2000, s. 116)

1.1.3 Graf lineární funkce

Lineární funkce je každá funkce 𝑓 daná předpisem 𝒇: 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 , kde 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅,

𝑎 ≠ 0. (Vošický, Lank, Vondra, 2007, s. 34)

Poznámka:

𝒙 je nezávisle proměnná,

𝒚 je závisle promněnná,

𝒂 je směrnice přímky, která udává monotónnost funkce,

𝒃 je postunutí ve směru osy 𝑦.

Definičním oborem i oborem hodnot je množina reálných čísel. Grafem každé lineární

funkce je přímka, která je různoběžná se souřadnými osami (výjimku tvoří konstantní

funkce). (Synková, 2015, s. 34)

Rozdělení lineárních funkcí podle hodnoty koeficientu 𝑎: Polák (2000, s. 126-127)

Jestliže 𝑎 = 0 , jedná se o funkci konstantní:

𝐷(𝑓) = 𝑅;

𝐻(𝑓) = {𝑏};

Je sudá (pro 𝑏 = 0 je lichá);

Nerostoucí, neklesající;

Není prostá;

Maximum a minimum pro každé 𝑥 ∈ 𝑅;

Spojitá v 𝑅.

6

Graf 1: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 = 0)

Jestliže 𝑎 > 0 :

𝐷(𝑓) = 𝑅;

𝐻(𝑓) = 𝑅;

Není omezená ani shora ani zdola;

Rostoucí;

Prostá;

Nemá maximum ani minimum.

Graf 2: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 > 0)

7

Jestliže 𝑎 < 0 :

𝐷(𝑓) = 𝑅;

𝐻(𝑓) = 𝑅;


Klesající;

Prostá;


Graf 3: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 < 0)

Jestliže 𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 0 jedná se o funkci přímé úměrnosti. Vyjadřuje, kolikrát se zvětší

|𝑥|, tolikrát se zvětší |𝑦|. Graf této funkce prochází počátkem soustavy souřadnic.

𝐷(𝑓) = 𝑅;

𝐻(𝑓) = 𝑅;


Rostoucí;

Prostá;


8

Graf 4: Graf přímé úměrnosti

1.1.4 Graf kvadratické funkce

Kvadratická funkce je každá funkce 𝑓 dána předpisem 𝒇: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, kde

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0. (Vošický, Lank, Vondra, 2007, s. 34)

Pozn. Jestliže by se 𝑎 = 0, poté bychom dostali předpis 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐, což je předpis

lineární funkce, ne funkce kvadratické.

Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel. Obor hodnot závisí

na koeficientech 𝑎, 𝑏, 𝑐. Grafem každé kvadratické funkce je parabola, jejíž osa

je rovnoběžná s osou 𝑦. (Janurová, Janura, Svoboda, 2011, s. 106)

Průsečík paraboly a osy paraboly nazýváme vrchol paraboly a značíme ho 𝑉.

Předpis kvadratické funkce je nejčastěji zapsán vrcholovým tvarem

𝑦 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑛. Ze zápisu zapsaného vrcholovým tvarem lze jednoduše vyčíst

souřadnice vrcholu 𝑉[𝑚; 𝑛]. (Synková, 2015, s. 40)

Rozdělení kvadratických funkcí podle hodnoty koeficientu a podle Poláka

(2000, s. 127)

Jestliže 𝑎 > 0 :

𝐷(𝑓) = 𝑅;

𝐻(𝑓) = ⟨𝑐 −𝑏2

4𝑎, ∞);

Zdola omezená, shora omezená není;

9

Rostoucí pro 𝑥 ∈ (−𝑏

2𝑎; ∞);

Klesající pro 𝑥 ∈ (−∞; −𝑏

2𝑎);

Má minimum v bodě [−𝑏

2𝑎; 𝑐 −

𝑏2

4𝑎], maximum nemá.

Graf 5: Graf kvadratické funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 > 0)

Jestliže 𝑎 < 0 :

𝐷(𝑓) = 𝑅;

𝐻(𝑓) = (−∞; 𝑐 −𝑏2

4𝑎⟩;

Shora omezená, zdola omezení není;

Rostoucí pro 𝑥 ∈ (−∞; −𝑏

2𝑎);

Klesající pro 𝑥 ∈ (−𝑏

2𝑎; ∞);

Má maximum v bodě [−𝑏

2𝑎; 𝑐 −

𝑏2

4𝑎], minimum nemá.

10

Graf 6: Graf kvadratické funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 < 0)

Poznámka: Je-li 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 funkce má předpis 𝑦 = 𝑎𝑥2. Tato funkce prochází

počátkem soustavy souřadnic, který je vrcholem paraboly; osou paraboly je přímo osa 𝑦.

(Synková, 2015, s. 41)

Změna grafu funkce 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 v závislosti na změně koeficientu 𝑎

Vrchol této paraboly má souřadnice [0; 0], neboli počátek soustavy souřadnic.

Synková (2015, s 43) uvádí, že tvar paraboly závisí na hodnotě koeficientu 𝑎:

- pro |𝑎| = 1 se jedná o takzvanou základní parabolu

- pro |𝑎| > 1 má parabola „užší“ tvar

- pro 0 < |𝑎| < 1 má parabola „širší“ tvar

11

Graf 7: Změna grafu funkce 𝑦 = 𝑎𝑥2 v závislosti na změně koeficientu 𝑎

Změny grafu funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientů 𝑚, 𝑛

Koeficienty 𝑚, 𝑛 nám určují posunutí grafu ve směru souřadnicových os. (Synková,

2015, s. 45)

Přesnější vysvětlení podává Cizlerová, Zahradníček, Zahradníčková (2014):

koeficient 𝑚 udává posunutí grafu funkce rovnoběžně s osou 𝑥 o velikost |𝑚|

o 𝑚 > 0 … graf se posouvá ve směru kladné poloosy 𝑥 (doprava)

o 𝑚 < 0 … graf se posouvá ve směru záporné poloosy 𝑥 (doleva)

Graf 8: Graf funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientu 𝑚

12

koeficient 𝑛 udává posunutí grafu funkce rovnoběžně s osou 𝑦 o velikost |𝑛|

o 𝑛 > 0 … graf se posouvá ve směru kladné poloosy 𝑦 (nahoru)

o 𝑛 < 0 … graf se posouvá ve směru záporné poloosy 𝑦 (dolů)

Graf 9: Graf funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑚)2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientu 𝑛

1.2 Statistické grafy a diagramy

Pro prezentaci statistických údajů je vhodné používat různé grafické způsoby.

(Kohout, 2014) Statistické grafy a diagramy většinou zaujmou a vhodně data reprezentují.

Existuje mnoho typů statistických grafů s diagramů, přičemž každý typ tohoto grafického

zobrazení má své výhody i nevýhody. (Hendl, 2014, s. 41)

Mezi často kladenou otázku patří: Jaký je rozdíl mezi statistickými grafy a diagramy?

Graf je pojem obecnější, diagram je pojem konkrétnější. Zásadní rozdíl však spočívá v tom,

že statistický graf je zasazen do soustavy souřadnic. Kdežto diagram nikoliv.

1.2.1 Základní statistické grafy a diagramy

„Sloupcové (sloupkové), čárové (spojnicové), X-Y bodové grafy či koláčové diagramy

patří mezi nejčastěji používané statistické grafy a diagramy. Jejich cílem je zobrazit rozdělení

dat, případně je používáme pro znázornění závislosti.“ (Hendl, 2014, s. 42)

Níže si přiblížíme jednotlivé typy statistických grafů.

13

0

5

10

15

20

25

0:00 4:48 9:36 14:24 19:12

Tep

lota

(°C

)

Čas (h)

Teplota v jednotlivých dnech

Teplota 1. den

Teplota 2. den

Bodový graf (graf 𝑿𝒀)

Hodnoty v tomto grafu jsou zobrazeny pomocí bodů, většinou v pravoúhlé soustavě.

Tento typ grafu je využíván k zachycení závislosti dvou statistických znaků. Používá

se pro zobrazení dat s menší četností. S více četností jeho jednoduchost a přehlednost mizí.

(Kohout, 2014)

Office (2014) uvádí, že se tento typ grafů se nejčastěji využívá pro zobrazení vztahu

mezi číselnými hodnotami v několika datových řadách nebo vykreslují dvě skupiny čísel jako

jednu řadu souřadnic 𝑋𝑌. Nejčastější užití je tedy pro zobrazení a porovnání číselných hodnot,

například vědeckých, statistických nebo technických dat.

Na základní škole mohou žáci využít tento graf například v případě, kdy měří teplotu

vzduchu každou celou hodinu a zaznačí ji do grafu bodově.

Sloupcový (sloupkový graf)

U sloupcového grafu je délka příslušného sloupku funkcí znázorněného údaje. Tímto

stylem ve sloupcovém grafu znázorňujeme množinu dat. (Hendl, 2014, s. 43) Jinými slovy

můžeme říci, že tento graf vyjadřuje závislosti mezi dvěma hodnotami. Jednotlivé prvky

výběru jsou seskupovány do tříd. (Kohout, 2014) Office na svých webových stránkách uvádí

další čtyři základní podtypy sloupcového grafu, které se vyskytují i v prostorovém provedení:

skupinový sloupcový, skládaný sloupcový, 100% skládaný sloupcový graf a prostorový

sloupcový graf. Podtypů však existuje ve skutečnosti mnohem více.

Velmi známým je tzv. histogram. Je velmi podobný sloupcovému grafu. Rozdíl

spočívá v tom, že šířka sloupců vyjadřuje šířku intervalů (tříd) a výška sloupců představuje

četnost sledované veličiny v daném intervalu. „Mezery“ mezi sloupci se zde tedy nevyskytují.

Graf 10: Bodový graf závislosti naměřené teploty na čase

14

Hendl (2014, s. 52) uvádí zásady pro správnou tvorbu grafu tohoto typu. Sloupcové

grafy mohou být tvořeny horizontálními (vodorovnými) nebo vertikálními (svislými) sloupci.

Osy by měly začínat v nule a měly by být jasně označeny. Pokud se vyskytuje výjimka,

je nutné ji zaznačit a objasnit. Všechny sloupce v tomto grafu by měly stejnou šířku a měly by

být vhodně seřazeny. Někdy jsou sloupce řazeny dle délky sloupku, jindy je zohledněna

logika řazení (např. čas).

Žáci mohou v rámci matematiky zjistit například počet sourozenců každého žáka

ze třídy a ze sourozenců vybrat jen nezletilé děti. Zjistí tedy počet nezletilých žáků v rodinách

jedné třídy. Výsledky zakreslují do sloupcového grafu.

Graf 11: Sloupcový graf ukazující počet dětí v rodinách

Koláčový (kruhový, výsečový) diagram

Koláčový diagram je používán k zobrazení hodnot množin údajů, které odpovídají

velikosti části z celku, pomocí kruhových výsečí. Dohromady všechny výseče tvoří celý kruh.

Tento diagram je často modifikován na tzv. prstencový diagram nebo výsečový diagram

s dílčí výsečí.

U koláčového diagramu je vhodné vyhnout se velkému množství kategorií. Nepsaná

domluva uvádí maximálně pět kategorií. Pokud se kategorií vyskytuje více a jsou málo

zastoupené, často jsou zařazeny do jedné kategorie, která je nazvána jako Ostatní. Stejně jako

u sloupcového grafu, i zde jsou jednotlivé kategorie znázorněny ve vhodném pořadí,

například podle velikosti. První kategorie vždy začíná v pozicích hodinových ručiček

ve dvanáct hodin. Dále se postupuje ve směru hodinových ručiček. (Hendl, 2014, s. 52)

5

9

12

7

2 0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4

Po

čet

rod

in

Počet dětí

Počet nezletilých dětí v rodinách

Počet rodin

15

Žáci mohou například provést statistické šetření ve školní jídelně s bufetem. Mohou

zkoumat, jaké položky jsou nejprodávanější a nejžádanější během času oběda. Výsledky poté

zakreslí do koláčového či prstencového grafu a převedou na procenta. Příkladem může být

graf 12 a graf 13.

Graf 12: Koláčový graf ukazující počet položek prodaných během oběda

Prstencový diagram tedy vychází z diagramu koláčového. Oba diagramy vyhovují

stejným účelům. Liší se pouze vzhledem. Při volbě mezi prstencovým a koláčovým

diagramem spíše záleží na estetickém cítění než na vstupních datech. Prstencové diagramy

mají výhodu v tom, že lze do jedné výseče umístit několik datových řad. (Office, 2016)

Graf 13: Prstencový graf ukazující počet položek prodaných v době oběda

Sendviče 11%

Saláty 6%

Polévka 41%

Nápoje 1%

Dezerty 41%

Položky prodané v době oběda

Sendviče

Saláty

Polévka

Nápoje

Dezerty

Sendviče 11% Saláty

6%

Polévka 41% Nápoje

1%

Dezerty 41%

Položky prodané v době oběda

Sendviče

Saláty

Polévka

Nápoje

Dezerty

16

Čárový graf (spojnicový, polygon četností)

Využívá se ke znázornění velkého množství hodnot nebo při vystihnutí průběhu

časové řady. Hodnoty jsou zobrazeny jako body, které jsou poté spojeny čárou. Pokud je

spojnicovým grafem vyjádřeno rozdělení absolutních nebo relativních čerností ve výběru,

poté graf označujeme pojmem polygon četností. (Kohout, 2014)

„Polygon četnosti je získáván obdobným způsobem jako histogram, ale místo

obdélníků jsou spojeny úsečkami četnosti vynesené pro sloupky histogramu ve středu

jednotlivých intervalů.“ (Hendl, 2014, s. 44)

Hendl (2014, s. 52) uvádí základní pravidla pro tvorbu čárového grafu. Pro čárové

grafy platí, že osy začínají v nule a musí být jasně označeny. Pokud se vyskytuje výjimka,

je nutné ji objasnit a vyznačit. V čárovém grafu je povolena existence více čar. Velký počet

čar ale působí zmateně a nepřehledně. Pokud se naskytne situace, že v datech chybí údaje,

je nutné tento úsek v datech vynechat nebo ho doplnit jiným typem čáry.

Žáci mohou například zjistit průměrnou mzdu v ČR za posledních pár let a zakreslit

její růst do grafu, viz graf 14.

Graf 14: Spojnicový graf průměrné mzdy v ČR k 5. 6. 2015

(https://www.czso.cz/csu/czso/cri/prumerne-mzdy-1-ctvrtleti-2015)

1.2.2 Proces tvorby grafu

Následující text obsahuje seznam doporučení, jak správně vytvořit graf tak,

aby nezkresloval informace. Hendl ve své knize (2014, s. 46-52) uvádí čtyř základní kroky

návrhu grafu a následně je popisuje:

Kč22 500

Kč23 000

Kč23 500

Kč24 000

Kč24 500

Kč25 000

Kč25 500

Kč26 000

Kč26 500

2010 2011 2012 2013 2014 2015

Mzd

a

(Kč)

Rok

Průměrná mzda v ČR (k 5.6.2015)

Průměrná mzda

17

1. Určit, co chceme říci.

2. Vybrat typ grafu.

3. Uspořádat data.

4. Připravit a formátovat graf.

1. Určit, co chceme říci

V prvním kroku je nutné položit si otázku: Jaký bude mít náš graf účel? Je snadnější

zvolit typ grafu, pokud je tento důvod známý. V momentně, kdy je volena vhodná prezentace

pro představy o datech, bývá rozlišováno šest důvodů: porovnání; ukázání rozložení dat;

objasnění části celku; dokumentace trendu; odhalení odchylek nebo porozumění vztahu.

2. Vybrat typ grafu

Druhý krok je zaměřen na jednotlivé účely grafického znázornění. Dále jsou uvedeny,

jednotlivé typy grafů, které je vhodné v každém případě využít.

Prvním účelem je porovnávání. V tomto případě je porovnávána jedna množina dat

s jinou. V této situaci jsou nejvíce využity tyto typy grafů: sloupcové grafy s různou orientací;

dvojrozměrné bodové grafy; koláčové diagramy či čárové grafy.

Druhým účelem je ukázka rozložení. Je použit v případě, je-li nutné ukázat rozložení

množiny hodnot, pro informaci o vychýlených hodnotách, intervalu, kde se nalézá většina

hodnot atd. K tomuto účelu jsou nejčastěji využity sloupkové grafy, dvojrozměrné bodové

grafy a čárové grafy.

Jestliže je cílem ukázat, jaký podíl z celku tvoří různé části, účelem je poté objasnění

části celku. V takovém případě se nabízí koláčové diagramy či sloupkové grafy s různou

orientací.

Sloupcové a čárové grafy jsou využity, pokud je cílem porozumět trendu v čase

u zvolených proměnných nebo pokud je dokumentováno, které hodnoty se odchylují

od norem.

Posledním, již zmíněným, účelem je vztah. Tento účel je sledován, pokud je cílem

ukázat vztah mezi dvěma nebo více proměnnými. K těmto situacím se nejvíce využívají grafy

čárové a dvojrozměrné bodové.

„Pokud proměnné máme rozdělené na závisle a nezávisle proměnné, typ grafu volíme

podle toho, na jaké škále byly jednotlivé proměnné měřeny. Přihlížíme k tomu, zda proměnné

18

jsou kvantitativní a nabývají mnoho hodnot, nebo nabývají pouze málo hodnot a jsou

kvalitativní. V mnoha situacích pracujeme se závisle proměnnou kvantitativního typu.“

(Hendl, 2014, s. 49) Volbu vhodného grafu zobrazuje obrázek 1.

Obrázek 1: Rozhodovací schéma pro tvorbu typu grafu

(Hendl, 2014, s. 50)

3. Uspořádat data

V předešlých krocích byl vyjasněn účel grafu a následně vybrán jeho vhodný typ.

Nyní jsou zkoumána data, která jsou k dispozici. Velmi často tato data nejsou ve vhodné

podobě, proto je nutné je jakkoliv transformovat, přepočítat či uspořádat. K tomuto kroku

se většinou využívají statistické programy nebo tabulkové procesory.

19

4. Připravit a formátovat graf

V každém grafu by měl být jasně viditelný název a účel grafu; popsáno, co znamenají

jednotlivé osy, třídy, sloupky aj; popsáno, co znamenají škály každé osy s vyznačením

začátku. Dále je velmi důležité uvést zdroj grafu. V grafu by se nemělo vyskytovat nadbytek

zbytečných čar a grafických prvků.

Mezi nejčastější chyby, kterých se lidé u sestavování grafů dopouštějí, patří například

situace, kdy není popsána jedna z os; když se zbytečně zdůrazňují trendy; nalezení

zavádějících jednotek na jednotlivých osách, či když se nevychází z přesných dat.

1.3 Grafy funkcí, diagramy a statistické grafy v RVP ZV2

S pojmy graf funkce, diagram nebo statistický graf se žáci základní školy podle

Rámcově vzdělávacího programu pro základní vzdělávání (2007) setkávají prostřednictvím

vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace. Tato vzdělávací oblast obsahuje čtyři tematické

okruhy. Následující text je zaměřen na tematický okruh Závislosti, vztahy a práce s daty,

který je v RVP ZV (2007) charakterizován následovně:

„Žáci rozpoznávají určité typy změn a zavilostí, které jsou projevem běžných jevů

reálného světa, a seznamují je s jejich reprezentací. Uvědomují si změny a závislosti známých

jevů, docházejí k pochopení, že změnou může být růst i pokles a že změna může mít také

nulovou hodnotu. Tyto změny a závislosti žáci analyzují z tabulek, diagramů a grafů,

v jednoduchých případech je konstruují a vyjadřují matematickým předpisem nebo je podle

možností modelují s využitím vhodného počítačového software nebo grafických kalkulátorů.

Zkoumání těchto závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce.“

Už na prvním stupni základní školy žáci popisují jednoduché závislosti z praktického

života, doplňují tabulky a schémata. Zároveň je dbáno na to, aby žáci zvládali vyhledávat,

sbírat a třídit data. Velká pozornost by měla být věnována umění čtení a sestavování

jednoduchých tabulek a diagramů.

Na druhém stupni žáci nabyté znalosti z prvního stupně rozšiřují a obohacují. Opět

je kladen důraz na to, aby uměli žáci vyhledávat, vyhodnocovat a zpracovávat data. Zároveň

soubory dat porovnávat. Se zaměřením na pojem funkce určují vztah přímé a nepřímé

úměrnosti. Žák po absolvování druhého stupně vyjadřuje funkční vztah tabulkou, rovnicí

a grafem. Celkově žáci matematizují jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů.

(RVP, 2007)

2 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání

20

1.4 Grafy funkcí, diagramy a statistické grafy v národním

kurikulu Anglie

Národní kurikulum v Anglii vydává ministerstvo školství (Department of education).

Zmíněné ministerstvo, tak, jak na svých webových stránkách www.gov.uk popisuje,

je zodpovědné za vzdělávání a péči o děti v Anglii. Hlavním cílem ministerstva je vypěstovat

vysoce vzdělanou společnost, na které mají možnost se podílet veškeré děti a mládež, a to bez

ohledu na jejich pozadí nebo rodinné poměry.

Národní kurikulum v Anglii se zaměřením na třetí a čtvrté klíčové období (Key

stage 3, Key stage 4)3 pohlíží na matematiku jako na předmět, který je velmi propojený

a ve kterém musí být žáci schopni se plynule pohybovat mezi představami matematických

myšlenek. Studijní program pro třetí klíčové období je rozdělen do zdánlivě odlišných oblastí.

Podmínkou však je, aby žáci vycházeli a využívali základy nabyté z druhého klíčového

období a matematické myšlenky propojovali tak, aby došlo k plynulosti matematického

uvažování a zdokonalení kompetencí při řešení problémů. Žáci by zároveň měli umět uplatnit

své matematické znalosti v oblasti vědy, geografie, výpočetní techniky či v jiných

předmětech.

Očekává se, že většina žáků se bude ve studijním programu pohybovat zhruba

ve stejném tempu. Nicméně vždy je nutné se ujistit, jestli je žák připravený učinit pokrok.

Z toho důvodu je kladen důraz na bezpečné porozumění žákům. Těm, kteří pochopí nové

koncepty rychleji, jsou nabízeny bohaté a složitější problémy ještě dříve, než k nim dojde

prostřednictvím nového obsahu v rámci přípravy na čtvrté klíčové období. Ti žáci, kteří

nemají určité koncepty plynule osvojeny, se doporučuje upevňování svých znalostí

dostatečnou praxí, než dojde k přechodu ke čtvrté klíčové fázi.

Obsah předmětu matematika je rozdělen do několika částí: Číslo (Number); Algebra

(Algebra); Poměr, podíl a rozsah změny (Ratio, proportion and rates of change); Geometrie

a měřítko (Geometry and measures); Pravděpodobnost (Probability) a Statistika (Statistics).

Prostřednictvím oblasti Algebra se žáci učí pracovat se souřadnicemi ve všech čtyřech

kvadrantech pravoúhlé souřadnicové soustavy; rozpoznají, načrtnou a narýsují grafy lineární

funkce jedné proměnné s volbou vhodného měřítka v Kartézské soustavě souřadnic; vysvětlí

matematické vztahy jak algebraicky, tak graficky; upravují dané lineární rovnice dvou

proměnných do standardního tvaru 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, vypočítají a vysvětlí průsečíky grafů těchto

3 Viz kapitola 2.2

http://www.gov.uk/

21

lineárních rovnic graficky i algebraicky; použijí lineární grafy pro odhad hodnoty 𝑦 pro danou

hodnotu 𝑥, naopak a zároveň naleznou přibližné řešení lineárních rovnic.

Z hlediska Ratio, proportion and rates of change oblasti žáci řeší problémy týkající

se přímé a nepřímé úměrnosti, včetně grafické a algebraické prezentace.

Pomocí oblasti Statistics žáci sestaví a interpretují příslušné tabulky, grafy a diagramy,

včetně sloupcových grafů a koláčových diagramů. (The national curriculum in England, 2014)

22

2 Školský vzdělávací systém v Anglii

Ve Velké Británii se setkáváme se třemi nezávislými výchovně vzdělávacími

soustavami (Anglie + Wales, Skotsko, Irsko), které jsou v jednotlivých zemích odlišné. Proto

hovoříme o nejednotném školském systému Velké Británie. Následující text je zaměřen

na výchovně vzdělávací soustavu Anglie a Walesu (dále jen Anglie).

„Podstatným rysem, kterým odlišuje vzdělávací systém ve Velké Británii od většiny

systémů v evropských zemích, je decentralizace správy a řízení školství a rozdělení pravomocí

mezi různé orgány.“ (Váňová, 1994, s. 80) Ústřední státní orgány, místní školské správy

a samostatné školy mají jednotlivé pravomoci rozděleny.

Důležitým rokem pro anglické školství byl rok 1944, kdy byl schválen školský zákon,

který vstoupil v platnost roku 1945. Formuloval princip vzdělávání jako nepřetržitý proces

pro všechny mladé lidi ve věku 5 – 18 let. Tehdy byla zavedena povinná školní docházka

do 15 roku dítěte. Výchovně vzdělávací soustavu tvořily tři stupně: základní, střední a další

vzdělávání.

Délka povinné školní docházky se o dvacet let později, roku 1964, prodlužuje

na jedenáct let. Jedná se o období 5. – 16. roku dítěte. (Kováříček, Urbanovská, 1989,

s. 46 - 47)

Dalším, velmi důležitým rokem pro anglické školství byl rok 1988. V tento rok britský

parlament přijal Zákon o vzdělávací reformě (viz kapitola 2.2).

2.1 Struktura a financování anglického školství

Anglický vzdělávací systém je dle Pejchy (2010) následně rozdělen:

Předškolní výchova (pre-school education)

Základní vzdělávání (primary education)

Střední vzdělávání (secondary education)

Vzdělávání dospělých (further education).

Váňová ve své publikaci Vzdělávací systémy ve vyspělých evropských zemích (1994)

podrobněji rozebírá strukturu školského systému v Anglii následovně:

1. Předškolní výchova (pre – school education)

Předškolní výchova bývá rozdělena pro děti ve věku 3-4 let a pro děti ve věku 4-5 let.

Děti navštěvují buď mateřské školy (nursery school) nebo třídy předškolní výchovy, které

23

jsou zřizovány při základních školách (nursery classes). Kromě toho ještě existují i jiné

neformální skupiny organizující předškolní výchovu, jako je například Pre-school

playgroups. Tyto skupiny už jsou však zřizované ze soukromé iniciativy.

2. Základní škola (Primary education)

Jak už bylo zmíněno výše, povinná školní docházka je v Anglii zavedena od 5 do 16

let žáka. Žák nastupuje poprvé do školy ve školním roce, ve kterém nabyde věku pěti let.

Proto při nástupu do školy je většina žáků ve věku 4 let.

Ve státní sféře základní školu členíme na dva stupně. První stupeň (Infant) navštěvují

žáci ve věku 5-8 let. Druhý stupeň (Junior) je určen pro žáky ve věku 8-11 let.

V anglickém vzdělávacím systému pouze na základě historie přetrvávají

tzv. prostřední školy (Middle school). Ty mají žákům zmírnit přechod ze základní školy

na školu střední. Proto mají děti i jinou možnost a mohou navštěvovat počáteční školy (First

school) a prostřední školy (Middle school). Z hlediska soukromého sektoru jsou zaváděny

školy soukromé (Independent school), které si žáky připravují na školy střední. Některé

soukromé školy mají jako součást i střední školu. Žáci poté tuto školu navštěvují až do 17-18

let, kdy dělají závěrečné zkoušky A – level.

Střední školy (secondary education)

Střední školy zaštiťují závěr povinné školní docházky do 16 let. Historickým vývojem

vzniklo v Anglii několik typů středních škol. Dříve klasické, dnes už ne moc běžné jsou

střední školy (Grammar school), které mají za cíl připravit žáky na studium na vysokých

školách. Střední technické školy (City Technology college) buď poskytují studentům střední

všeobecné vzdělání se zakončením závěrečné zkoušky A- level, nebo vzdělání se zaměřením

na technické obory s velkým důrazem na obchod a průmysl (kadeřnice, automechanik aj.).

V historii fungovaly ještě střední moderní školy (Secondary Modern school), které byly

zřízeny pro žáky, kteří chtěli po splnění povinné školní docházky nastoupit do práce nebo

do druhu odborné přípravy. Dnes tyto školy neexistují. Tento tripartitní systém existoval

v Anglii po druhé světové válce, dnes už tomu tak není.

Dlouholetou tradici v anglickém vzdělávacím systému drží nezávislé střední školy

(Independent school), Většinou jsou tyto školy financovány z jiných zdrojů, než ze státního

rozpočtu. Žáci zde platí školné kolem £20 000 za rok, ne-li více. Většinou se jedná

o internátní formu vzdělávání se zaměřením na školy chlapecké či školy dívčí.

24

Žáci obvykle v 16 letech ukončují střední školu závěrečnou zkouškou GCSE –

General Certificate of Secondary Education. Po ukončení povinné školní docházky mají žáci

na výběr ze tří možností, jak pokračovat dále ve studiu. První možností je studovat tzv. šestý

ročník (Sixth form), zůstat na škole až do 18 let a ukončit školu zkouškou GCE – A – level –

General Cerficate of Education Advanced Level. Tuto zkoušku můžeme srovnávat s českou

maturitou. Zkouška opravňuje ke studiu na vysokých školách. Druhou možností je přihlásit

se do odborně zaměřeného kurzu (Vocational course). Cílem kurzu je připravit žáky

na odborné zkoušky, které je nutné vykonat pro možnost vykonávání určité profese nebo pro

vstup na vyšší stupeň odborných škol. Poslední možností je studium na školách dalšího

vzdělávání (College of further education). Na těchto školách je možné získat střední

technickou kvalifikace pro určitá povolání a některé školy dokonce umožňují i vysokoškolský

titul. (Pejcha, 2010)

Vysoké školy (higher education)

Vysoké školství dříve zahrnovalo univerzity (školy autonomního sektoru),

polytechniky a pedagogické koleje (školy veřejného sektoru). Polytechniky byly ale v roce

1992 zrušeny a staly se z nich vysoké školy – Universities.

Univerzity (Universities) představují dlouholetou tradici. Liší se od sebe svou

velikostí, vnější podobou, strukturou i umístěním. Oxford a Cambridge patří mezi nejstarší,

nejznámější a největší univerzity v Anglii.

V příloze 8 se nachází ukázka školského systému v Anglii platného k roku 1989

(Kovaříček, Urbanovská, 1989).

Vzdělávání v Anglii financuje vláda prostřednictvím dvou ministerstev – ministerstva

mládeže, školství a rodin (Department for Children, Schools and Families) a Ministerstvo pro

inovace, školství a dovednosti (Department for Innovation, Universities and Skills). „Tato

ministerstva poskytují finanční prostředky různým veřejnoprávním a soukromoprávním

agenturám pro vzdělávání včetně Rady pro vzdělávání a kvalifikace (Learning and Skills

Council) a Rady pro financování vysokoškolského vzdělávání pro Anglii (Higher Education

Funding Council for England). Vláda také přiděluje finanční prostředky místním školským

úřadům, které je následně rozdělují školám.“ (Pejcha, 2010)

25

Obrázek 2: Struktura vzdělávacího systému v Anglii k roku 2008/2009

(Pejcha 2010)

2.2 Národní kurikulum a vzdělávací reforma

Zákonem o vzdělávací reformě z roku 1988 vzniklo plno změn. Zákon omezuje

pravomoci místních školních práv. Nechává jim však zodpovědnost za počet a rozmisťování

škol v místě jejich působnosti. Na druhou stranu je zákonem posílena role vedení školy při

zásadních rozhodnutích.

Přijetím zákona se mimo změn v oblasti řízení, financování a zodpovědnosti zavedlo

mimo jiné i celostátně platné národní kurikulum. Zákon stanovuje základní principy

kurikulární politiky, koncepci kurikula, procedury, podle kterých mají být vytvářeny

kurikulární dokumenty a jednotlivé kroky implementace. Kurikulum centrálně stanovené

se vztahuje na všechny žáky ve věku 5 – 16 let.

26

Hlavní vizí národního kurikula bylo zaručit, aby všechny děti získaly vzdělání, které

bude širší, vyváženější a odpovídající jejich potřebám. Kurikulum mělo vést žáky

k zodpovědnosti v dospělosti i v práci a mělo zvýšit úroveň výsledků jednotlivých žáků.

Reforma vyvolala mnoho diskuzí nejen v Anglii, ale také v mezinárodním kontextu.

Začaly se používat nové termíny jako „national curriculum“ (národní, státní kurikulum),

„attainment targets“ (dosažitelné cíle), „key stages“ (klíčová období). Tyto termíny obohatily

mezinárodní pedagogickou terminologii. Analýza anglického národního kurikula v zahraničí

ovlivnila úvahy o kurikulárních reformách i v jiných zemích. (Walterová, 1994)

„Kurikulární dokumenty zahrnují charakteristiky skupin žáků podle věku, povinný

rámec kurikula a závazná kurikula předmětů – osnovy. Vzhledem ke značné diverzifikované

struktuře anglického školství nebyly vyjasněny ani názory ani číselné označení stupňů

a ročníků ve školách. Třídy se dříve označovaly často jako „form“, nikoliv „grade“.

Ve státních školách se používaly také označení A, B, C k odlišení směrů, diferencujících žáky

podle studijních předpokladů. Jednotný systém charakterizující postup žáků během školní

docházky neexistoval. Školy používaly své vlastní charakteristiky a systém tradičně odvozený

od věku 11 let. Východiskem nového systému se stal rok školní docházky vztažený k věku žáka,

jak ukazuje tabulka 1.“ (Walterová, 2014, s. 71)

V lednu roku 1995 došlo k přepracování osnov. Osnovy bylo nutné zbavit strnulosti.

Nové přepracování mělo za cíl poskytnout školám více času (čas, se kterým mohou volně

nakládat), zvýšit flexibilitu a možnost volby pro žáky ve věku 14 – 16 let, zjednodušit způsob

hodnocení, správu a organizaci národních učebních osnov. (Rýdl, 2003, s. 73)

27

Tabulka 1: Systém třídění žáků podle věku vždy k 1. září věku dítěte

(Walterová, 2014, s. 72, redukováno)

Klíčové

období

Nový způsob třídění

žáků

Zkratka Věk většiny žáků

na konci školního

roku

1. Přijetí (recepce) R 5

1. rok šk. docházky Y 1 5


2. 3. rok šk. docházky Y 3 7









Šestý ročník

(Sixth form)



Všechny další kurikulární dokumenty s tímto tříděním žáků pracují. Nové třídění

zdůrazňuje kontinuitu od počátku školní docházky v 5 letech až do 18 let (přičemž povinná

školní docházka končí v 16 letech). Povinná školní docházka tedy trvá 13 let.

Následující obrázek 3 ukazuje čtyři klíčové fáze rozdělené dle národního kurikula, kde

je:

SATs: zkouška z anglického jazyka a matematika (věda byl vyloučena v roce

2011), probíhající v Y6

GCSE (a další kvalifikace): zkouška probíhající v Y11

AS-úroveň: zkouška probíhající v Y12

A-levels: zkouška probíhající v Y13

28

Obrázek 3: Čtyři klíčové fáze podle národního kurikula

(http://poerup.referata.com/wiki/United_Kingdom)

Walterová (2014) rovněž ve své knize poukazuje na 10 předmětů, které povinné

kurikulum zahrnuje. Předměty dělíme do dvou skupin. První skupinou jsou předměty hlavní

(core) a druhou skupinu tvoří předměty vedlejší (foundation). Mezi předměty hlavní patří

matematika, angličtina a přírodověda. Vedlejší předměty tvoří dějepis, zeměpis, technika,

hudba, výtvarné umění, tělesná výchova a cizí jazyky, které jsou povinné pouze v klíčovém

období 3. a 4. Obrázek 4 ukazuje přehled hlavních a vedlejších vyučovacích předmětů

ve školách. Všechny tyto předměty musí být vyučovány ve všech školách pro všechny žáky

po dobu povinné školní docházky.

http://poerup.referata.com/wiki/United_Kingdom

29

Obrázek 4: Přehled vyučovacích předmětů v Anglických školách

(http://poerup.referata.com/wiki/United_Kingdom)

V prvním a druhém klíčovém období jsou žáci vyučováni angličtině, matematice,

přírodním vědám, technice, dějepisu, zeměpisu, výtvarné výchově, hudební výchově

a tělocviku. Ve třetím klíčovém období se k předmětům z prvního a druhého období ještě

přidává jeden moderní cizí jazyk. Čtvrté klíčové období potom obsahuje předměty jako je

angličtina, matematika, přírodní vědy, tělocvik a kratší kurzy v technice a jednom moderním

cizím jazyce. Kromě toho školy, které jsou státem financované, musí nabízet náboženství

a pouze na sekundárních školách i sexuální výchovu. (Rýdl, 2003, s. 74)

„Na každém hlavním stupni existuje pro každý předmět plán výuky, ve kterém

je stanoveno, co se žáci mají učit. Stejně jsou na každém hlavním stupni stanoveny pro každý

předmět cíle, které definují očekávané vědomostní standardy. Na konci prvních tří hlavních

stupňů učitelé hodnotí své žáky v každém předmětu (kromě výtvarné výchovy, hudební

výchovy a tělocviku) na základě osmi výkonnostních stupňů (Level description), jež jsou

seřazeny podle náročnosti; pro mimořádné výkony existuje nad osmým ještě jeden

výkonnostní stupeň. Ve čtvrtém klíčovém období se konají externí zkoušky (GCSE),

viz kapitola 2.1.“ (Rýdl, 2003, s. 74)

http://poerup.referata.com/wiki/United_Kingdom

30

2.3 Kurikulum pro sekundární vzdělávání

Kurikulum pro sekundární vzdělávání nebo-li státní kurikulum pro klíčové studium

3, 4 se vztahuje na žáky ve věku 11 – 16 let. Kurikulum bylo vytvořeno v roce 2007,

ve školách nabylo účinnost od září roku 2008. Za tvorbu kurikula je zodpovědný Úřad pro

kvalifikace a kurikulum, který je v současné době přetvořen do Agentury pro rozvoj

kvalifikací a kurikula. Jedná se o kurikulum státní. Školy si dále dle tohoto kurikula vytváří

své vlastní kurikulum na školní úrovni. (Kocourková, Pastorková, 2011, s. 20)

Kocourková a Pastorková ve své knize (2011) uvádějí strukturu tohoto kurikula.

1. Kurikulum pro sekundární vzdělávání.

V první části kurikula se pojednává o výstupech sekundárního vzdělávání

a o změnách, které byly v kurikulu provedeny. Nechybí ani témata jako

je Rovnost, rozmanitost a inkluze, Společenská soudržnost a Podpora při tvorbě

kurikula na školní úrovni.

2. Cíle, hodnoty a záměr.

3. Vzdělávací obory.

Zde najdeme jednotlivé studijní programy vzdělávacích oborů třetího a čtvrtého

klíčového stádia.

4. Osobní rozvoj.

5. Dovednosti.

Se zaměřením na funkční dovednosti a dovednosti osobní, k učení a myšlení.

6. Průřezová témata.

Kurikulum pro sekundární vzdělávání obsahuje celkem 7 průřezových témat. Patří

mezi ně: Identita a kulturní rozmanitost, Zdravý životní styl, Společenská

participace, Podnikavost, Globální dimenze a udržitelný rozvoj, Technologie

a média, Kreativita a kritické myšlení.

7. Tvorba kurikula na školní úrovni.

8. Hodnocení kurikula.

Tato část nabízí postupy, jak hodnotit dopady navrženého kurikula na školní

úrovni.

9. Hodnocení.

31

10. Případové studie.

Jedná se o případové studie, které objasňují, jak jednotlivé školy aplikovaly

kurikulum na státní úrovni do praxe odlišným způsobem, především v závislosti

na konkrétních podmínkách.

Rámcové vzdělávací programy v české republice, speciálně Rámcový vzdělávací

program pro základní vzdělávání je založen na strategii vzdělávání, ve které jsou zdůrazněny

klíčové kompetence. V RVP ZV (2007, s. 11) jsou klíčové kompetence vymezeny jako

„souhrn vědomostí, dovedností, schopností, postojů a hodnot důležitých pro osobní rozvoj

a uplatnění každého člena společnosti.“ V rámci základního vzdělávání se za klíčové

kompetence v České republice považují: kompetence k učení; kompetence k řešení problémů;

kompetence sociální a personální, kompetence komunikativní; kompetence právní

a kompetence občanské.

V kurikulu pro sekundární vzdělávání v Anglii se klíčové kompetence označují pojmy

funkční dovednosti (funkctional skills) a dovednosti osobní, k učení a myšlení (personal,

learning and thinking skills). Tak jako u nás žáci během vzdělávání rozvíjejí své kompetence

zároveň, i v Anglii jsou tyto skupiny dovedností navzájem propojené. Anglické kurikulum,

tak jako české, obsahuje charakteristiku těchto dovedností, zároveň ale i návod na to, jak

organizovat výuku, aby byl jejich rozvoj podpořen. Funkční dovednosti určují, čeho mají být

jedinci, kteří tyto dovednosti mají, schopni. Konkrétně se jedná o dovednosti matematiky,

ICT a angličtiny. Tyto dovednosti obohacují jedince proto, aby nabyl schopnosti, které jsou

nezbytné pro sebevědomý, efektivní a nezávislý život v komunitě i v práci. Na tvorbě dalších

dovedností (osobních, k učení a myšlení) se podíleli zaměstnanci, rodiče, školy, studenti

i širší veřejnost. Jsou důležité proto, aby se jedinci stali úspěšnými studenty (successful

learners), sebejistými jedince (confident individuals) a zodpovědnými občany (responsible

citizens). Dovednosti osobní, k učení a myšlení dále dělíme do šesti skupin dovedností:

nezávislí tazatelé (independent enquirers), kreativní myslitelé (creative thinkers), přemýšliví

studenti/žáci (refůective learners), týmoví spolupracovníci (team workes), jedinci schopni

řídit sebe sama (self-managers) a efektivní účastníci (effective participants). V kurikulu jsou

popsané jednotlivé charakteristiky těchto dovedností včetně výstupů, které popisují podstatné

dovednosti, chování a osobní kvality (skills, behaviours and personal qualities).

(Kocourková, Pastorková, 2011)

32

Vymezení dovedností v Kurikulu pro sekundární vzdělávání v Anglii definuje

co učit, ale ještě k tomu přikládá, jak učit. Kocourková, Pastorová (2011, s 23) uvádí,

že na stránkách Kurikula pro sekundární vzdělávání jsou uvedeny tedy „nejenom příklady

konkrétních úloh, ale i návod, jak organizovat učení vedoucí k rozvíjení dovedností osobních,

k učení a myšlení a jak rozpoznat, že k efektivnímu rozvíjení těchto dovedností skutečně

dochází. Forma a častost tohoto hodnocení by měla být reálná pro žáky i pro učitele a měly

by být zvážena ve vztahu k ostatnímu hodnocení, ke kterému ve škole dochází.“

33

EMPIRICKÁ ČÁST

3 Srovnání českých a anglických učebnic matematiky

První kapitola empirické části je zaměřena na srovnání řad českých a anglických

učebnic z pohledu učiva grafů funkcí, diagramů či statistických grafů. V kapitole je uvedena

stručná charakteristika vybraných řad učebnic a následně na vybraných kapitolách

představeno, jak dané učebnice prezentují konkrétní učivo a jak žáky tímto učivem provázejí.

Na konci poté najdeme shrnutí a závěrečné srovnání učebnic.

3.1 Charakteristika české řady učebnic

Ke srovnání byla využita řada matematických učebnic vytvořená pro 6. – 9. ročník

základní školy od nakladatelství Nová škola Brno, s.r.o. Učebnice schválilo MŠMT dne

4. 7. 2003 k zařazení učebnic pro základní školy jako součást ucelené řady učebnic

pro vyučovací předmět matematika s dobou platnosti na šest let. Autorem těchto knih

je Zdena Rosecká s kolektivem autorů.

Na webových stránkách (www.novaskolabrno.eu)4 nakladatelství prezentuje základní

informace. Vzniklo v Brně před 20 lety jako nakladatelství učitelské a zaměřené

na vydávání materiálu pro výuku z učitelské praxe. Knihy prezentují činnostní učení.

To znamená, že prostřednictvím těchto knih zkušení učitelé předávají, co za svou praxi

poznali. V roce 1991 – 1992 na školy přicházely první nabídky z tohoto nakladatelství.

Nakladatelství se zaměřuje na to, aby pracovní sešity obsahovaly texty přiměřené věku žáků,

aby se dbalo na dobré procvičení základního učiva i na to, aby žáci předkládané učivo dobře

zvládli. Další podmínkou jsou finance - knihy by měly být cenově dostupné pro všechny

žáky.

Tabulka 2 uvádí, jaké učebnice a pracovní sešity pro daný ročník zmíněné

nakladatelství nabízí pro výuku matematiky. Jak můžeme vidět, nakladatelství Nová škola

rozděluje výuku matematiky na část Geometrie a část Aritmetiky.

Učebnice aritmetiky a algebry kladou důraz na činnostní učení. Od šestého ročníku

učebnice zahrnují souhrnné opakování 1. stupně a učivo předepsané osnovami vzdělávacího

programu základní škola. Výsledky příkladů žáci naleznou vzadu učebnice. Nechybí v nich

náměty pro motivaci, činnostní učení, mnoho příkladů z praxe, podpora rozvoje logického

4 O nás. Nakladatelství Nová škola Brno [online]. Brno, 2013 [cit. 2016-04-27].

Dostupné z: http://www.novaskolabrno.eu/o-nas.aspx

34

usuzování a propojení s učivem z předchozích ročníků. Vhodným doplňkem těchto učebnic

jsou pracovní sešity Aritmetiky pro šestý a sedmý ročník a pracovní sešity Početní chvilky

pro šestý až osmý ročník. Zde se nachází soubor matematických rozcviček, početních

příkladů a slovních úloh poddané zábavnější formou, které mají za cíl procvičit a prohloubit

učivo. V sedmém ročníku nakladatelství přidává ještě pracovní sešit Jak počítat s procenty,

ve kterém je procvičeno celé aritmetické učivo sedmého ročníku. V osmém ročníku se tento

pracovní sešit mění a nese název Rovnice a slovní úlohy a je vydaný i pro ročník devátý.

V posledním ročníku se matematické rozcvičky k procvičení celého algebraického učiva

nacházejí v pracovním sešitě Chvilka s algebrou. (Nakladatelství Nová škola Brno, 2013)

Tabulka 2: Řada učebnic matematiky Nová škola Brno

Učebnice geometrie přináší učivo učebních plánů vzdělávacího programu základní

škola pro každý ročník. Důraz klade na rozvoj představivosti a tvořivosti žáků, pochopení

učiva, jeho propojení s učivem předchozích ročníků, mezipředmětové vztahy, činnostní ráz

5 Počítačový program k učebnicím matematiky 7 6 Počítačový program s ukázkami grafického zobrazování funkcí

6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník

Učebnice Aritmetika 6

Geometrie 6

Aritmetika 7

Geometrie 7

Algebra 8

Geometrie 8

Algebra 9

Geometrie 9

Pracovní

sešity

Aritmetika 6 Aritmetika 7 Geometrie 8 Geometrie 9

Geometrie 6 Geometrie 7 Početní chvilky Chvilka s

algebrou

Početní chvilky Početní chvilky Rovnice a slovní

úlohy

Rovnice a slovní

úlohy 2

Jak počítat s procenty

Navíc Metodika

činnostního

učení v

matematice 6.

ročníku

Program 7P5 Program 9P

6

35

učení a využívání geometrie kolem nás i v praxi. Učebnice devátého ročníku nabízí možnost

zajímavého prověřování nabytých znalostí. Ke každé učebnici je vytvořen pracovní sešit

Geometrie, který zahrnuje geometrické úkoly k procvičení učiva daného ročníku. Důraz

se klade na úlohy z praxe. (Nakladatelství Nová škola Brno, 2013)

3.2 Charakteristika anglické řady učebnic

Ke srovnání byla využita anglická řada matematických učebnic Key Maths. Tato řada

byla vytvořena podle národního kurikula pro klíčové období 3, tedy pro žáky ve věku 12 – 14

let.

Key Maths je nejoblíbenější matematická řada, která je v anglických školách velmi

využívána. Poslední vydání proběhlo v roce 2001, i přesto se dnes při výuce knihy využívají.

Nabízí plně diferencovaný a vyvážený matematický program a plán práce, který poskytuje

plné pokrytí revidovaného národního kurikula. Je navržen jako komplexní

a kompletní prostředek pro každou školu. Key Maths poskytuje jedinečnou a ucelenou řadu

jak papírových, tak elektronických materiálů, které umožňují žákům rozvinout své schopnosti,

znalosti a porozumění. Všechny materiály jsou psány velmi zkušenými učiteli. Mezi tyto

autory patří: David Baker, Paul Hogan, Barbara Job a Renie Verity. Všechny učebnice jsou

barevné a velmi přehledné. Například žlutě jsou vyznačeny klíčové kapitoly a modře

závěrečné shrnutí kapitol. Testování získaných znalostí se poté vyskytuje na konci každé

kapitoly za shrnutím.

Velký rozdíl oproti české řadě učebnic spočívá v tom, že Key Maths učebnice byly

navrženy tak, aby rozvíjely schopnosti žáků různých úrovní. Pro Y7 je například vydána

učebnice Key Maths 71, Key Maths 72, Extra Resource 7 a Special Resource 7. Učebnice

Key Maths 72 obsahuje stejný učební materiál jako učebnice Key Maths 71, jen zde využívá

diferenciace a je zde přidáno více různých a náročnějších cvičení. Extra Resource 7

je učebnice určena pro nadanější děti a vyskytují se v ní cvičení, které žáky posunují

co možná nejvýše. Naopak, Special Resource je kniha pro méně schopné žáky. Podobný

stupeň diferenciace se vyskytuje u všech tří ročníků Y7, Y8, Y97 i v elektronických zdrojích

Key Maths ICT, kde mají žáci na výběr celkem ze tří úrovní. (Key Maths and the Framework

for teaching mathematics, 2001)

Anglické učebnice tedy podporují diferenciaci a individualizaci ve výuce.

V jednotlivých ročnících žáci využívají tři typy učebnic různých úrovní. Pro následné

7 Year 7, Year 8, Year 9

36

srovnání českých a britských učebnic byly vybrány učebnice střední úrovně, tedy Key Maths

72, Key Maths 82 a Key Maths 92 a to z toho důvodu, že předkládají, stejně tak jako české

učebnice, základní učivo (vyžadující kurikulem) plus učivo lehce rozšiřující.

V instrukcích textu Key Maths and the Framework for teaching mathematics (2001)

nakladatelství sady Key Maths zastává názor, že zmíněná sada prostředků pokrývá národní

kurikulum a rámcové osnovy pro vyučování matematiky. Sadu tvoří:

Početní balíčky (Numeracy resource packs), které představují soubor příkladů,

nacházejí se v sekci Otázky a odkazují na jednotlivé kapitoly učebnice.

Tyto soubory příkladů obsahují jednodušší i těžší příklady.

Extra zdroj 7 (Extra resource 7) je učebnice, která doplňuje učebnice

Key Maths 71 a Key Maths 72, viz výše.

Příručka pro učitele (Teacher file), vydaná ke každému ročníku (Y7-Y9)

zaručuje nezbytnou podporu pro všechny Key maths prostředky. Například

všechny klíčové cíle rámcového vzdělávání matematiky jsou v této příručce

zahrnuty. Příručka obsahuje také klíčová slova, které by si žáci v rámci daného

ročníku matematiky měli osvojit.

Sekce matematické činnosti (Maths Activities section) se nachází v každé

příručce pro učitele. Každá sekce se skládá z několika cvičení, aktivit a úkolů,

které se zaměřují na další používání a uplatňování matematiky.

CD a podporující učitelský balíček (CD-ROM and Teacher Support Pack

(ICT))

Domácí podpora na CD (Home Support CD ROM) slouží k tomu,

aby si mohli žáci sami vybírat úroveň obtížnosti a zkoušet se posunout dále

v daném ročníku. Často se této podpory využívá ve formě domácích úkolů.

Důkazový balíček (Proof packs) klade větší důraz na matematické důkazy.

Důkazy můžeme studovat jako samostatnou jednotku nebo zároveň

se souvisejícími kapitolami v učebnicích.

Časopis (Keyed-In Magazine) je komplexní matematický online časopis, který

vychází každý týden. Najdeme v něm řadu soutěží a zajímavých aktivit.

3.3 Grafy funkcí v českých a anglických učebnicích

Z učiva o grafech funkcí bylo vybráno několik kapitol, které jsou v práci využity

ke srovnání české a anglické řady učebnic. Mezi tyto kapitoly patří: pravoúhlý souřadný

37

systém v rovině; graf konstantní funkce; graf lineární funkce; graf přímé úměrnosti; grafické

řešení soustavy lineárních rovnic a kapitola o využití grafu funkcí v praxi. Každou tuto

kapitolu můžeme ještě rozčlenit do tří částí. První část se vždy týká anglických učebnic

a jejich podání vybraného učiva žákům. Druhá část prezentuje podání učiva českými

učebnicemi a poslední část shrnuje a srovnává anglickou a českou řadu učebnic, vztahující

se k vybranému tématu.

3.3.1 Pravoúhlý souřadný systém v rovině

Anglické učebnice

Se zavedením pravoúhlého souřadného systému v rovině se setkáváme v anglických

učebnicích pro Y7. Učivo se zavádí po rozšíření oboru přirozených čísel na čísla celá.

V anglické učebnici Key Maths 72 (Baker, 2000) je pravoúhlý souřadný systém v rovině

popsán pro žáky následujícím způsobem: „Můžeme narýsovat dvě číselné osy, které jsou

na sebe kolmé a označíme je jako osa 𝑥 a osa 𝑦. Tyto dvě číselné osy se protínají v nulové

hodnotě, které říkáme počátek.“ Autoři dále seznamují žáky s rozdělením pravoúhlého

souřadného systému v rovině na čtyři kvadranty a zdůrazňují popisování kvadrantů proti

směru hodinových ručiček. Následují cvičení na polohu bodů v rovině a orientaci

v kvadrantech. Cvičení jsou založena na orientaci souřadnic jednotlivých bodů a úkolem žáků

je zaznačit body do souřadnicového systému a určit, ve kterém kvadrantu, popřípadě na které

ose, se jednotlivé body nacházejí. Příklady jsou zpestřeny různými obrazci, které

v souřadnicovém systému body vytvoří. Souřadnice bodu v anglické učebnici značíme

pomocí kulatých závorek, př. 𝐴 (3,0).

Příklad 1 z učebnice Key Maths 72 (Baker, 2000)

Zadání: Narýsuj osy 𝑥, 𝑦. Zaznač do soustavy souřadnic v centimetrové čtvercové síti body

v tomto pořadí. Následně je spoj.

a) (5,1), (4,0), (2,1), (2,4), (0,1)

b) (0,1), (−3,0), (−4, −1), (0, −1)

c) (0, −1), (2, −2), (2, −1), (4, −1), (5, −2), (5,1)

d) Oko (−2,0)

38

Řešení:

Obrázek 5: Řešení příkladu 1

České učebnice

Česká učebnice Aritmetika pro 7. ročník také zavádí polohu bodu v rovině. „Polohu

bodu v rovině určuje dvojice souřadnic. Souřadnice zjišťujeme na ose 𝑥 a na ose 𝑦.“

(Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 63) Zdůrazněno je zde určení a zápis souřadnic bodu,

vysvětleno čtení a zápis bodu pomocí souřadnic. V českých učebnicích se setkáváme

s označením souřadnic v hranatých závorkách, např. 𝐵 [5,7].

Příklad 2 z učebnice Aritmetika pro 7. ročník (Rosecká, Čuhajová, 1998).

Žáci v příkladu 2 pozorují polohu bodu v rovině (graf 15) a zaznamenávají

ji. Jejich úkolem je například přečíst souřadnice všech bodů vyznačených v soustavě

souřadnic; ukázat na osách 𝑥, 𝑦 souřadnice jednotlivých bodů; určit souřadnice bodů

zobrazených červenou tečkou v soustavě souřadnic; najít souřadnice bodu 𝑀, 𝑁, 𝑂, 𝑃

a podobně. Učebnice nabízí i úlohy, kdy je v souřadnicovém systému načrtnut libovolný útvar

a úkolem žáků je určit souřadnice bodů na vyznačeném útvaru. Například:

39

„Napiš souřadnice bodů A, B, C, D, které jsou vrcholy lichoběžníku ABCD.“

(Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 63)

Graf 15: Graf k příkladu 2

Srovnání

V obou případech je pravoúhlý souřadný systém v rovině zaveden ihned po probrání

učiva o celých číslech. České učebnice zařazují učivo do sedmého ročníku, anglické učebnice

do Y7. Žáci se seznamují s pojmy pravoúhlý souřadný systém, osa 𝑥, osa 𝑦, počátek

souřadnicové soustavy, poloha bodu a souřadnice bodu. Obě učebnice předkládají jak

příklady na nalezení souřadnic bodů, tak i příklady, kde žáci hledají polohu bodu na základě

předem zadaných souřadnic a zakreslí tento bod do pravoúhlého souřadného systému.

Pro zpestření v obou učebnicích najdeme obrazce složené z několika bodů. Žáci jednotlivé

obrazce buď vykreslují dle zadaných souřadnic bodů (příklad 1) nebo hledají souřadnice již

vykreslených bodů v obrazcích (příklad 2).

Jak už bylo zmíněno, anglické učebnice označují souřadnice bodu v kulatých

závorkách, vybrané české učebnice v závorkách hranatých. Existují však i jiné řady českých

učebnic, kde se můžeme setkat s označením souřadnic bodu v závorkách kulatých.

40

Anglické učebnice ještě navíc žáky seznamují s pojmem kvadrant a označení

kvadrantu v pravoúhlém souřadném systému v rovině. V příkladech jsou přidány úlohy

na určení, ve kterém kvadrantu se body nachází. V českých učebnicích se pojem kvadrant

objevuje poprvé až v ročníku devátém.

3.3.2 Graf konstantní funkce

Anglické učebnice

S náznakem grafu konstantní funkce se u anglických učebnic setkáváme už v Y7.

Nesetkáváme se však přímo s předpisem konstantní funkce. Žáci přicházejí na zápis a graf

konstantní funkce pomocí přímek v souřadnicovém systému zadaných několika body, což

nám znázorňuje příklad 3.

Příklad 3 z učebnice Key Maths 72 (Baker, 2000).

Zadání:

Graf 16: Graf k příkladu 3

41

a) Opiš a doplň souřadnice do tabulky

Červená přímka Modrá přímka

(…, 4) (4, …)

(…, 3) (3, …)

(…, 2) (2, …)

(…, 1) (1, …)

(…, 0) (0, …)

(…., -1) (-1, …)

(…., -2) (-2, …)

b) Napiš, čeho sis všiml:

1) o 𝑥-ových souřadnicích červené přímky

2) o 𝑦-ových souřadnicích modré přímky

c) Předpis pro červenou přímku je 𝑥 = 2

Předpis pro modrou přímku je 𝑦 = 3

Označ přímky tímto předpisem v pravoúhlé soustavě souřadnic.

Z příkladu je patrné, že modrá přímka znázorňuje graf konstantní funkce procházející

bodem 3 na ose 𝑦. V učebnici se dokonce nachází předpis pro tuto funkci ve tvaru 𝑦 = 3.

Nikde ale není zmíněno, že se jedná o graf konstantní funkce.

Jelikož doposud v učebnici nebyl zaveden pojem funkce, žáci přicházejí na předpis

i červené přímky. Ta však grafem funkce není, jelikož nesplňuje podmínku, aby pro každé

𝑥 existovalo právě jedno 𝑦. V anglických učebnicích jsou typy těchto příkladů hodně

zastoupeny. Na podobných příkladech jsou vysvětleny i průsečíky dvou přímek a následně

zápis jejich souřadnic. Stejné učivo je poté připomenuto a procvičeno na příkladech

v učebnicích pro Y8.

České učebnice

České učebnice se zabývají grafem konstantní funkce až v ročníku devátém,

po zavedení pojmu funkce. Teorie uvádí, že grafem konstantní funkce je přímka, která

je rovnoběžná s osou 𝑥. Žáci si předpis konstantní funkce osvojují na příkladu 4.

42

Příklad 4 z učebnice Algebra pro 9. ročník (Rosecká, Čuhajová, 2000, s. 82).

Zadání: Sleduj grafy konstantních funkcí a urči jejich rovnice.

Graf 17: Graf konstantních funkcí k příkladu 4

Srovnání

Anglické učebnice pracují s grafem konstantní funkce, jen nepředkládají žákům pojem

funkce. Důraz je kladen na porozumění rovnice přímky 𝑦 = 𝑏, kde 𝑏 ∈ ℝ. Jelikož doposud

nebyli žáci seznámeni s pojmem funkce, není divu, že jejich úkolem v příkladu je také

porozumění rovnice ve tvaru 𝑥 = 𝑎, kde 𝑎 ∈ ℝ. V českých učebnicích je přímo zmíněno,

že grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou 𝑥 a její předpis vypadá následovně:

𝑦 = 𝑏, kde 𝑏 ∈ ℝ. V kapitole o zavedení funkcí je v českých učebnicích pojem funkce

definován a vysvětlen. Na základě toho žáci z grafu poznají, zda jde o graf funkce nebo ne.

Žáci studující matematiku podle českých učebnic by tedy poznali, že přímka zadaná rovnicí

𝑥 = 𝑎, kde 𝑎 ∈ ℝ není grafem funkce.

43

3.3.3 Graf přímé úměrnosti

Anglické učebnice

Anglické učebnice postupují se zavedením jednotlivých grafu funkcí velmi pomalu

a nepřímo. V Y7 se poprvé žáci setkávají s grafem přímé úměrnosti ihned po zavedení

souřadnicového systému. K sestrojení grafu přímé úměrnosti žáci přicházejí neobvyklým

způsobem. Odvození předpisu přímé úměrnosti učebnice prezentuje následující příklad 6.

Příklad 6 z učenice Key Maths 72 (Baker, 2000, s. 256).

Zadání: Mějme soustavu souřadnic v centimetrové čtvercové síti v rozpětí od −5 do 5.

Potřebuješ znát jenom jeden pár souřadnic pro všechny otázky v tomto cvičení.

Řešení:

a) Zakresli do soustavy souřadnic tyto body: (4,4), (3,3), (2,2), (1,1) a (0,0).

b) Umísti pravítko na všechny body.

Narýsuj přímku, která všemi zmíněnými body prochází. Přímku protáhni do třetího

kvadrantu.

c) Níže napiš souřadnice třech bodů na přímce ve třetím kvadrantu. Všechny body

by se měly ležet na přímce.

U všech bodů by měla být hodnota 𝑦-ové souřadnice stejná jako hodnota 𝑥-ové

souřadnice.

Píšeme 𝑦 = 𝑥.

d) Označ přímku rovnicí 𝑦 = 𝑥.

Tato rovnice označuje předpis pro každý bod, který se na přímce nachází.

e) Přepiš tabulky a doplň ji.

𝒚 = 𝒙

𝒙 -4 -3 -2 -1 0 1

2 1 2 3 4

𝒚 -1 2 4

Stejně jako u grafu konstantní funkce, tvoříme graf na základě několika bodů

a tabulky. Žáci vytváří rovnici přímky a tuto rovnici poté ověřují. Opět zde ale není zmíněn

ani pojem funkce, ani pojem přímé úměrnosti. Z tabulky je zřejmé, že přímka s touto rovnicí

vždy prochází počátkem a že hodnota 𝑥-ové souřadnice pro každý bod tohoto grafu

se rovná hodnotě 𝑦-ové souřadnice.

44

Přímá úměrnost má však předpis ve tvaru 𝑦 = 𝑘𝑥, kde 𝑘 je koeficient přímé úměrnosti

(nebo–li konstanta úměrnosti) V příkladu 6 byl koeficient přímé úměrnosti roven jedné

(𝑘 = 1). S koeficientem přímé úměrnosti, který se nerovná jedné (𝑘 ≠ 1) pracují autoři

anglických učebnic až v Y8. Cílem následujících příkladů je naučit žáky sestrojit graf přímé

úměrnosti, uvědomit si význam přímé úměrnosti a vytvořit formuli pro tuto funkci. Autoři

učebnic začínají zmíněnou problematiku příkladem 7.

Příklad 7 z učebnice Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 5).

Zadání: David se zúčastnil závodu s názvem „Sponzorovaná chůze“, který škola pořádá.

Závod spočívá v tom, že David bude sponzorován svou rodinou a to ve výši 2£ (libry)

za jednu míli. Čím více mílí ujde, tím více peněz uspoří a může je věnovat na charitativní

účely. Jeho práci zaznamenává následující tabulka.

Počet mil 1 2 3 4

Množství £ 2 4

Řešení:

a) Přepis tabulku do sešitu.

b) Doplň zbývající údaje v tabulce.

Níže vidíš graf sestavený dle tabulky. Pozoruj u grafu červené čáry.

Kolik liber David dostane, když ujde 5 mil, 6 mil?

Graf 18: Graf závislosti liber na mílích

45

Příklad prezentuje průběh přímé úměrnosti. Podle grafu a zmíněných červených „čar“

si žáci uvědomí, že čím více David ujde mil, tím více liber dostane. Čím více se zvýší počet

mil, tím více se zvýší počet liber. K procvičení v učebnici slouží ještě tři příklady podobného

typu. Následuje zápis závislosti pomocí formule.

Formule Předpis označujeme v algebře jako formule.

Příklad Nicky dostane 3£ za jednu míli.

Celkovou částku (total), kterou dostane, vypočítáme tak, že vynásobíme

3£ počtem mil, co Nicky ujde (𝟑£ × počet 𝐦il).

Zkráceně můžeš psát: 𝒕 = 𝟑 × 𝒎.

Vzpomeň si, že v algebře můžeš znak pro násobení vynechat.

Předpis vypadá následovně: 𝒕 = 𝟑𝒎.

Předpis funkce přímé úměrnosti autoři učebnice zadávají pomocí formule. Z formule

𝑡 = 3𝑚 lze vidět závislost celkové částky (total) na počtu mílí, které Nicky ujde.

Na příkladech z praxe je následně procvičen zápis tvorby podobných formulí. Ve stejné

učebnici pro Y8 později na tvorbu formulí navazuje kapitola, ve které je připomenut graf,

kterým je přímka ve tvaru 𝑦 = 𝑥. Následně se žáci učí přímku zadanou formulí zakreslit

do grafu.


Zadání: Katy má za úkol klast jednotlivé žetony na určitá místa na mřížce, pro která platí,

že 𝑦-ová souřadnice se rovná dvěma × 𝑥-ová souřadnice. Značí si jednotlivé vzniklé body

do mřížky. Když je poté spojí, vznikne přímka.

a) Vyznač body do tvé mřížky, jak to měla Katy za úkol. Spoj je. Spojením bodů

vznikne přímka.

b) Opiš:

Rovnice této přímky je 𝑦 = 2 × 𝑥

V algebře píšeme: 𝑦 = 2𝑥

c) Popiš přímku rovnicí v mřížce.

Žáci dále procvičují zakreslení přímek do pravoúhlé soustavy souřadnic dané

rovnicemi 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = 3𝑥. Na základě těchto přímek vykreslených v grafu určují,

která přímka je „strmější“.

46

Řešení: Při určování souřadnic bodu ležících na přímce se často v anglických učebnicích

setkáváme místo tabulky se schématem. Schéma pro rovnici 𝑦 = 3𝑥 vypadá následovně:

Vlož 𝑥-ovou souřadnici. Dostaneš 𝑦-ovou souřadnici.

Žáci obdrží body (0,0), (𝟏, 𝟑), (𝟐, 𝟔), (𝟑, 𝟗), spojí je a dostanou graf funkce 𝑦 = 𝟑𝑥.

Graf 19: Graf funkce y = 3x

Ostatní příklady procvičují konstrukci grafů přímé úměrnosti s konstantou úměrnosti

různou od jedné (𝑘 ≠ 1).

České učebnice

České učebnice problematiku přímé úměrnosti předkládají také v sedmém ročníku.

Stejně jako u učebnic anglických se objevuje graf přímé úměrnosti i v českých učebnicích

poprvé hned po probrání učiva o zavedení pravoúhlého souřadného systému v rovině.

Graf přímé úměrnosti je v učebnici Aritmetika 7 prezentován na příkladech z praxe.

47

Nevyskytuje se zde předpis funkce přímé úměrnosti. Přímá úměrnost je vysvětlena jako

závislost, což ukazuje například příklad 9.

Příklad 9 u učebnice Aritmetika 7 (Rosecká, Čuhajová, 1998, s. 64).

Zadání: 1 kg mrkve stojí 20 Kč.

a) Vyjádření závislosti ceny zboží na jeho hmotnosti tabulkou

x počet (kg) 1 2 3 4 5 6 7 …

y cena (Kč) 20 100

b) Grafické znázornění v pravoúhlém souřadném systému.

Graf 20: Graf závislosti ceny na hmotnosti

Hmotnost zboží (kg)

Cenu zboží (Kč)

znázorňujeme na ose x

znázorňujeme na ose y

Úkoly:

a) Z grafu přečti cenu za 3,5 kg mrkve.

b) Z grafu přečti, kolik kg mrkve koupíme za 50 Kč.

Následně žáci řeší podobný příklad. Rozdíl je v tom, že tentokrát graf přímé úměrnosti

sestavují sami. Stejně tak jako v anglických učebnicích, i zde je cílem autorů, aby si žáci

uvědomili, že se jedná o závislost jedné veličiny na druhé, kdy se při zvýšení hodnoty jedné

veličiny zvýší i hodnota veličiny druhé.

48

Učivo o přímé úměrnosti je v českých učebnicích ještě zastoupeno v ročníku devátém.

V učebnici nalezneme kapitolu, ve které jsou zopakovány dosavadní znalosti o přímé

úměrnosti na dalších příkladech z praxe (příklady podobné příkladu 9). Učivo je však

rozšířeno o předpis dané funkce. Žákům je uveden příklad, kdy zjišťují, jak závisí celková

částka, kterou platíme za benzín na množství koupeného benzínu. Žáci tvoří tabulku, ze které

vyplývá závislost: čím více litrů benzínu koupí, tím více 𝐾č zaplatí. V učebnici je tento vztah

popsán jako přímá úměrnost. Výpočet pro cenu benzínu u následujícího příkladu vypadá

následovně 𝑦 = 30 ∙ 𝑥. Zápis přímé úměrnosti k tomuto příkladu čteme následovně: „Cena,

kterou zaplatíme za benzín, závisí na množství koupeného benzínu nebo také, že cena

v Kč zaplacená za benzín je funkcí množství benzínu v litrech.“ (Rosecká, 2000, s. 70)

Až se žáci seznámí s předpisem lineární funkce, snadno odhalí i předpis přímé úměrnosti

𝑦 = 𝑘𝑥 (𝑘 ≠ 0, 𝑥 ∈ ℝ).

Následující příklad 10 navádí žáky, aby si uvědomili, že přímá úměrnost je zvláštním

případem lineární funkce. „Grafem přímé úměrnosti je přímka (nebo její část) procházející

počátkem 𝑂 [0,0] pravoúhlé soustavy souřadnic.“ (Rosecká, 2000, s. 83)

Příklad 10 z učebnice Algebra 9 (Rosecká, 2000, s. 83)

Graf 21: Grafy lineárních funkcí k příkladu 10

Úkolem žáků je vybrat z grafu 21 grafy přímé úměrnosti a určit, zda jsou grafy

rostoucí nebo klesající. Za povšimnutí stojí grafy lineárních funkcí, které jsou s grafy přímé

49

úměrnosti na obrázku rovnoběžné. Zde už autoři žáky připravují na rovnici lineární funkce

a její následné posunutí po ose 𝑦. Další příklady jsou založeny na správném přiřazení

předpisu ke grafu funkce, příklad 11.


Zadání: Funkce 𝑓(𝑥) je vyjádřena rovnicí 𝒚 =𝒙

𝟑, 𝑥 ∈ ℝ a také tabulkou. Rozhodni, na kterém

obrázku je graf dané funkce a zdůvodni své rozhodnutí.

x 0 1 3 4 6 …

y 0 1

3 1

4

3 2 …

Graf 22: Grafy lineárních funkcí k příkladu 11

Řešení:

Důležité je, aby si žáci uvědomili, že zápis 𝑦 =𝑥

3 je stejný, jako zápis 𝑦 =

1

3∙ 𝑥.

Jde o předpis přímé úměrnosti. Graf 1 (červený) neprochází počátkem, tudíž se nejedná o graf

přímé úměrnosti. Z výběru je vyřazen. K výběru zbývá graf modrý a zelený, jelikož

50

znázorňují grafy přímé úměrnosti. Tabulka udává, že přímka prochází bodem [3,1]. Tímto

bodem prochází pouze graf modrý, a proto se stává hledaným grafem.

Srovnání

Obě řady učebnic seznamují žáky s problematikou přímé úměrnosti už v sedmých

ročnících ihned po zavedení souřadného systému. Obě učebnice se shodují v podání přímé

úměrnosti prostřednictvím příkladů z praxe, jako je například závislost ceny určitého

množství (nebo hmotnosti) jablek na daném množství jablek. Anglické učebnice zavádějí

předpis funkce přímé úměrnosti formulí, kdy pracují i s konstantou úměrnosti různou

od jedné. Oproti českým učebnicím, které vždy k určení souřadnic bodů ležících na přímkách

využívají tabulky, anglické učebnice zavádějí a více využívají výše zmíněné schéma. České

učebnice více lpí na předpisu funkce přímé úměrnosti a předpis zadávají rovnicí. Vedou žáky

k nalezení vzájemného vztahu mezi funkcí lineární a funkcí přímé úměrností. Kladou důraz

na zapamatování si, že graf přímé úměrnosti prochází počátkem pravoúhlé soustavy. Žáci

podle českých učebnic sestrojí graf přímé úměrnosti i určí předpis této funkce z grafu.

3.3.4 Graf lineární funkce

Anglické učebnice

Graf lineární funkce už byl svým způsobem zaveden v anglických učebnicích v Y7,

když autoři poukazovali na graf přímé úměrnosti. Jak už bylo zmíněno, přímá úměrnost

je zvláštních případem lineární funkce. Co se ale týče zavedení grafu lineární funkce a jejího

předpisu, s tímto učivem se žáci seznamují až v Y8. Žáci z učiva o grafu přímé úměrnosti

rozpoznají, který graf je tzv. „strmější“ a orientují se v jednotlivých předpisech přímé

úměrnosti. K zavádění grafu lineární funkce používají žetony a soustavu souřadnic

s centimetrovou čtvercovou sítí. K prvnímu cvičení se váže následující text z učebnice

Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 216).

„Markus se dívá na žetony poskládané na čtvercové síti. Poskládal je na čtvercovou

síť tak, že hodnota 𝑦-ové souřadnice = hodnotě 𝑥-ové souřadnice + 1. Rovnice této přímky

je 𝑦 = 𝑥 + 1.“

51


Zadání: Budeš potřebovat nějaké žetony.

a) Vytvoř soustavu souřadnic s centimetrovou čtvercovou sítí. Použiješ

ji pro všechny otázky z tohoto cvičení.

b) Pomocí žetonů ve čtvercové síti vytvoř přímku, která má rovnici 𝑦 = 𝑥.

Označ přímku touto rovnicí.

c) Nyní polož další žetony do čtvercové sítě, tak, jako to udělal Markus (z úvodního

textu).

Pamatuj: 𝑦-ová souřadnice = 𝑥-ová souřadnice + 1

d) Označ tyto body.

Spoj je v jednu přímku.

e) Opiš a doplň rovnici pro tuto přímku.

𝑦 = ⋯ + ⋯

f) Označ přímku touto rovnicí.

Graf 23: Graf funkce 𝑦 = 𝑥 a 𝑦 = 𝑥 + 1

Příklad směřuje k rozšíření funkce přímé úměrnosti na funkci lineární funkce

a využívá posunutí grafu po ose y. Následné cvičení vedou k procvičení sestrojení grafů

𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 1; 𝑦 = 𝑥 + 2; 𝑦 = 𝑥 + 3, 𝑦 = 𝑥 + 4, apod. pomocí žetonů. V těchto je vždy

52

graf funkce posunut směrem nahoru (do kladných hodnot). Pomocí již zmíněného schématu

(pod příkladem 8) žáci zjišťují možnost pohybu grafu funkce po ose 𝑦 i ve směru záporných

hodnot a jsou schopni do souřadného systému čtvercové sítě načrtnout přímku danou

například rovnicí 𝑦 = 𝑥 − 2. Jsou schopni s grafem funkce pohybovat ve směru osy 𝑦.

Následují příklady zaměřené na průsečík grafu lineární funkce (přímky) s osou 𝑦. Žáci

hledají, ve kterých bodech graf lineární funkce protíná osu 𝑦. Obecný předpis pro lineární

funkci opět v anglických učebnicích nenajdeme, stejně tak jako pojem funkce. Předpis

lineární funkce je tedy opět zadán rovnicí.


Zadání: Matthew ví, že se přímka s předpisem 𝑦 = 𝑥 + 𝟑 protíná s osou 𝑦 ve 3. Chce zjistit,

zda pravidla posouvání po ose 𝑦 platí i pro předpis přímky 𝑦 = 𝟐𝑥 + 𝟑. Použije schéma pro

snadnější zakreslení grafu do souřadného systému.

a) Opiš a doplň schéma.

b) Nachystej si souřadnicovou soustavu se čtvercovou sítí. Zakresli do grafu body

(𝟏, 𝟓), (𝟐, 𝟕), (3, … ).

Spoj je v jednu přímku.

Označ přímku rovnicí 𝑦 = 𝟐𝑥 + 𝟑.

Platí stále stejné pravidlo?

Schéma pomáhá žákům rozdělit si příklad na dvě části. První část je založena na práci

s konstantou úměrnosti a druhá se znamená posunutí grafu po ose 𝑦. Učebnice dále nabízí

poměrně velké množství příkladů zaměřených na schopnost načrtnutí grafů do souřadného

systému dle zadané rovnice. Samozřejmě se vyskytují i úlohy opačné. V učebnicích jsou

zakresleny jednotlivé grafy lineárních funkcí a žáci k nim přiřazují jejich rovnici. Zpočátku

si pomáhají grafy přímé úměrnosti, které jsou s hledanými grafy rovnoběžné., jak ukazuje

příklad 14.

53


Zadání: Napiš rovnici červené přímky z grafu 24.

Graf 24: Graf funkce 𝑦 = 3𝑥 a graf funkce 𝑦 =?

Červená přímka je rovnoběžná s přímkou danou rovnicí 𝑦 = 𝟑𝑥.

Tím pádem bude rovnice červené přímky vypadat tímto způsobem 𝑦 = 𝟑𝑥 + ⋯

Červená přímka na ose y prochází 2.

Rovnice červené přímky tedy musí být 𝑦 = 𝟑𝑥 + 𝟐

Následně je učivo procvičeno. V učebnici například najdeme předkreslené čtyři grafy

lineárních funkcí a čtyři různé předpisy zadané rovnicí. Úkolem žáků je přiřadit správný

předpis jednomu grafu lineární funkce.

České učebnice

České učebnice také pracují s grafy lineárních funkcí dříve, než je jejich rovnice

zavedena. Nejdříve žáky seznamují s pojmem funkce, dále s jejím definičním oborem

a monotónností (která v anglických učebnicích prozatím zmíněna nebyla). Příklad 15 uvádí

dosavadní znalosti žáků o grafech lineární funkce.

54


Zadání: Sestroj grafy funkcí

a) 𝒇: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏, 𝒙 ∈ ℝ

b) 𝒈: 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟏, 𝒙 ∈ ℝ

Řešení a): Sestavíme tabulku, sestrojíme graf.

Hodnoty proměnné 𝑥 se zvětšují,

x -1 0 1 2 3

y -1 1 3 5 7

funkční hodnoty 𝑦 se také zvětšují.

Graf 25: Graf funkce 𝑦 = 2𝑥 + 1

Pro funkci určenou rovnicí 𝑦 = 2𝑥 + 1 platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné 𝑥,

zvětšují se funkční hodnoty 𝑦 – funkce je rostoucí.

Řešení b): Sestavíme tabulku, sestrojíme graf.

Hodnoty proměnné 𝑥 se zvětšují,

x -1 0 1 2 3

y 3 1 -1 -3 -5

funkční hodnoty 𝑦 se zmenšují.

55

Graf 26: Graf funkce 𝑦 = −2𝑥 + 1

Pro funkci určenou rovnicí 𝑦 = −2𝑥 + 1 platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné

𝑥, zmenšují se funkční hodnoty 𝑦 – funkce klesající.

Žáci 9. ročníku sestaví graf funkce pouze na základě tabulky a funkčního předpisu

(aniž by předem věděli, jaký útvar je grafem konkrétní funkce). Určí definiční obor funkce,

rozpoznají, zda je funkce klesající nebo rostoucí na základě grafu funkce. Neznají však

jednotlivé typy funkcí a jejich grafy. Z toho důvodu je zavedena kapitola o lineární funkci.

Úvod do kapitoly o lineární funkci nabízí následující příklad 16.


Zadání: Narýsuj graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2.

Aleš nakreslil graf: Běta nakreslila graf:

Graf 28:Graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2

na množině ℕ Graf 27: Graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2 na

množině ℝ

56

a) Urči, který z definičních oborů patří ke grafu Aleše a který ke grafu Běty:

𝐷1 = ℝ

𝐷2 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}

𝐷3 = (−∞, 0)

𝐷4 = ⟨0, +∞)

b) Urči hodnotu funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥 + 2 pro 𝑥 = −2

Na základě tohoto příkladu zjistí, že Bětin graf je graf lineární funkce a jeho

definičním oborem je množina reálných čísel. V učebnici Algebra 9 (Rosecká, 2000, s. 81)

se nachází shrnutí znalostí k lineární funkci.

Funkci, jejímž grafem je přímka nebo její část, nazýváme lineární funkce.

Lineární funkce je vyjádřena vzorcem:

𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒒, 𝑥 ∈ ℝ

𝒌… koeficient lineárního členu, 𝑘 ≠ 0

𝒒… absolutní člen, pro 𝑞 = 0 jde o přímou úměrnost.

Grafem lineární funkce je přímka, která prochází bodem ⌈0; 𝑞⌉

a) Je-li 𝑘 > 0 … graf rostoucí funkce

b) Je-li 𝑘 < 0… graf klesající funkce

Autorka učebnice upozorňuje na možnost využití programu 9𝑃. Žáci mají možnost

v hodinách matematiky využívat informační technologie. V matematickém programu

(vytvořeného k českým učebnicím zmíněné řady) žáci mohou do obecného předpisu lineární

funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞 dosazovat za 𝑘 různé číselné hodnoty při stálé hodnotě 𝑞. Pozorují,

k jakým změnám dochází.

Srovnání

Anglické učebnice přímo navazují na rovnici představující přímou úměrnost.

V Y8 opakují rovnici přímky 𝑦 = 𝑘𝑥. Navazují konkrétními příklady, kde je rovnice přímky

ve tvaru 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. Přidává se tedy koeficient 𝑞, který představuje posunutí grafu po ose 𝑦.

Zavedení grafu lineární funkce probíhá pomocí žetonů a čtvercové sítě v souřadnicovém

systému. Ke zjištění souřadnic bodů ležících na přímce jsou opět využity schémata místo

57

tabulek. Žáci zjišťují, v jakém bodě se přímka protíná s osou 𝑦. Anglické učebnice jsou v této

kapitole bohaté na množství příkladů. Procvičeny jsou základní příklady na sestrojení grafu

lineární funkce dle zadaného předpisu (pomocí schémat) a poté i zjištění předpisu přímky

na základě grafu. Žáci začínají zjišťovat předpisy funkce nejprve pomocí grafů přímé

úměrnosti, které jsou s grafy lineární funkce rovnoběžné. Opět nedochází k zavedení pojmu

funkce. Na teorii jsou mnohem bohatší učebnice české. Před zavedením grafu lineární funkce

jsou žáci seznámeni s pojmem funkce, graf funkce, definiční obor funkce, klesající, rostoucí

a lineární funkce. Uvědomí si, že grafem lineární funkce je přímka, jelikož definiční oborem

je množina reálných čísel, ne množina přirozených čísel, jak představuje Alešův graf (příklad

16). Žáci tedy ovládají obecný předpis lineární funkce, z grafu i z předpisu určí, zda je funkce

klesající nebo rostoucí, jaký je její definiční obor a určí alespoň pár bodů, které na přímce

(grafu lineární funkce) leží.

3.3.5 Grafické řešení soustavy rovnic

Anglické učebnice

V anglické učebnici pro Y9 najdeme shrnutí dosavadních znalostí o grafech lineární

funkce (včetně přímé úměrnosti). Při zavádění grafu přímé úměrnosti v učebnicích autoři

zadávají předpis funkce pomocí formule a stejný postup využívají i při řešení soustav dvou

lineárních rovnic, jak početně, tak graficky. Novým učivem žáky provází příklad 17.

Příklad 17 z učebnice Key Maths 92 (Baker, 2001, s. 287)

Zadání: Alex a Tom si v Klubu mládeže koupili jídlo. Alex si koupil dvě sušenky

a jednu minerálku za 10 pencí. Tom si koupil jednu sušenku a dvě minerálky za 14 pencí.

Zjisti, jaká je cena jedné sušenky a jedné minerálky.

Alexova rovnice je 2𝑠 + 𝑚 = 10

Když 𝑠 = 0 ⇒ 𝑚 = 10

Když 𝑚 = 0 ⇒ 𝑠 = 5

Tím jsme získali dva body na přímce:

(0,10) a (5,0).

Tomova rovnice je 𝑠 + 2𝑚 = 14

Když 𝑠 = 0 ⇒ 𝑚 = 7

Když 𝑚 = 0 ⇒ 𝑠 = 14

Tím jsme získali dva body na přímce:

(0,7) a (14,0).

58

Obrázek 6: Grafické řešení soustav lineárních rovnic k příkladu 17

Řešení: Z grafu vidíme, že se přímky protínají v bodě (2,6). To znamená, že 𝑠 = 2 a 𝑚 = 6.

Tedy cena jedné sušenky je 2 pence a cena jedné minerálky je 6 pencí.

Zkouška:

2𝑠 + 𝑚 = 2 × 2 + 6 = 10 𝑠 + 2𝑚 = 2 + 2 × 6 = 14

Žáci řeší soustavu dvou rovnic o dvou neznámých tedy nejprve graficky. Uvědomují

si, že k určení přímky stačí znát dva body. Výsledkem řešení soustav rovnic je jejich průsečík.

Anglické učebnice danou problematiku řeší pouze na příkladech z praxe, při kterých využívají

předpis funkce formulí. Vhodnou ukázkou je ještě zadání příkladu 18.


Zadání:

Využij graf k vyřešení slovní úlohy: Škola prodává dva typy kalkulátorů. Jedením typem

je základní model, druhým typem je kalkulátor vědecký. Cena jednoho základního

a jednoho vědeckého kalkulátoru je celkem 10 liber. Cena tří základních a dvou vědeckých

kalkulátorů je celkem 24 liber. Zjisti, kolik liber stojí jeden základní kalkulátor a kolik stojí

jeden vědecký kalkulátor.

České učebnice

České učebnice seznamují žáky s grafickým řešením soustavy rovnic až v 9. ročníku.

Učivo je zařazeno po probrání lineární funkce. Žáci tedy znají předpis lineární funkce a umí

s ním pracovat. Ví, že grafem lineární funkce je přímka, která je dána dvěma body. Rosecká

59

(2000, s. 85) v učebnici uvádí: „Řešit soustavu rovnic znamená najít hodnotu dvou neznámých

𝑥 𝑎 𝑦, tak, aby splňovaly obě rovnice zároveň.“ Soustavy lineárních rovnic v pravoúhlé

soustavě souřadnic žáci řeší dle učebnice Algebra 9 (2000, Rosecká) pomocí lineárních

funkcí, jak ukazuje řešený příklad 19:

Příklad 19 z učebnice Algebra (Rosecká, 2000, s. 85)

Zadání: Řeš graficky soustavu dvou lineárních rovnic:

2𝑥 + 𝑦 = 0

−𝑥 + 𝑦 = −3

Řešení: Každá z obou rovnic soustavy udává závislost proměnných 𝑥 a 𝑦. V obou případech

vyjádříme, jak závisí 𝑦 na 𝑥:

𝑦 = −2𝑥 𝑦 = 𝑥 − 3

Vidíme, že obě závislosti jsou lineární funkce (grafem jsou přímky), Sestavíme tabulky. Grafy

obou lineárních funkcí zakreslíme do jednoho obrázku, abychom zjistili, jestli mají společný

bod.

Tabulky:

x 0 -2

y 0 4

x 0 3

y -3 0

Graf:

Obrázek 7: Grafické řešení soustav lineárních rovnic k příkladu 19

Vidíme, že narýsované přímky jsou různoběžné. Protínají se v bodě 𝐴 (souřadnice 𝑥 = 1,

𝑦 = −2)

60

Odpověď: Řešením dané soustavy je jediná dvojice čísel: 𝑥 = 1, 𝑦 = −2

Z příkladu 19 je zřejmý postup, který žáci využívají při grafickém řešení soustavy

rovnic. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých má vždy buď jedno řešení (řešením

je průsečík dvou různoběžek) nebo žádné řešení (přímky jsou rovnoběžné) nebo nekonečně

mnoho řešení (přímky splývají). Žáci s českými učebnicemi této teorie využívají a už podle

grafu dokáží odhadnout, zda má soustava řešení a popřípadě kolik. Nechybí zde ani praktické

využití zmíněné teorie. Žáci mají možnost v učebnici nahlédnout na řešený příklad, který

odkazuje na grafické řešení soustavy rovnic (příklad 20).

Příklad 20 z učebnice Algebra (Rosecká, 2000, s. 87)

Zadání: V 7 hodin ráno vyjel z Jihlavy cyklista. Jel rychlostí 20 𝑘𝑚/ℎ. V 8 hodin 30 min

za ním ze stejného místa stejným směrem vyjelo auto rychlostí 80 𝑘𝑚/ℎ. V kolik hodin

a v jaké vzdálenosti od Jihlavy se setkají?

Řešení: Řešení příkladu je opět na stejném principu. Jde o vytvoření tabulky závislosti času

na vzdálenosti pro cyklistu a poté pro auto. Tabulkami zjistíme souřadnice bodů, které leží

na dvou vzniklých polopřímkách. Tyto polopřímky se v určitém bodě protínají a průsečík

polopřímek je řešením slovní úlohy.

3.3.6 Využití grafů funkcí v praxi

Anglické učebnice

V anglických učebnicích nacházíme několik kapitol, které prezentují vhodné využití

grafu funkcí na příkladech z praxe. Graf funkce může být například vyžit při převodu

jednotek. V anglické učebnici se nachází graf, který znázorňuje převod liber na franky

(příklad 21).

Příklad 21 z učebnice Y8 (Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 2).

Zadání:

Třída 8J je v Paříži na výměnném pobytu. Žáci se rozhodli svým přátelům koupit z Paříže

nějaký dárek. Všechny ceny jsou ale uvedené ve francích. Žáci si chtějí převést cenu na libry.

K dispozici mají graf převodu liber na franky.

61

Úkoly:

1. Anne si koupil model Eiffelovy věže. Stál 12 franků.

Najdi na spodní ose grafu 12 franků.

Přečti cenu Eiffelovy věže v librách na boční ose grafu.

2. Ned si koupil pohlednici Paříže. Její cena je 8 franků.

Kolik liber stála tato pohlednice?

3. Terry si chce koupit tři čokoládové bonboniéry. Jedna stojí 16 franků.

a) Kolik stojí jedna bonboniéra v librách?

b) Kolik budou stát všechny tři bonboniéry celkem v librách?

c) Terry má 50 franků. Má dostatek peněz, aby si koupil tři bonboniéry a ještě model

Eiffelovy věže?

Graf 29: Graf závislosti liber na frankách

Učebnice připravuje žáky na praktický život. Autoři žákům předkládají, že grafem

prezentující převod jedné jednotky na druhou jednotku je vždy přímka. V učebnici mají žáci

zobrazen graf reprezentující převod km na míle a převod amerických dolarů na libry. Podobně

jako v příkladu 21 s grafy žáci pracují. Úkolem žáků je uvědomit si závislost jedné veličiny

na veličině druhé.

Další kapitola nese název „Cestovní grafy“. Jsou to grafy vyjadřující závislost

vzdálenosti na čase. Příkladem může být graf 30, který byl využit i v empirickém šetření.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 4 8 12 16 20 24

Libra

Frank

Převod liber na franky

62

Příklad 22 z učebnice Y8 (Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 2)

Zadání:

Graf 30 ukazuje průběh Paulovy cesty do školy.

a) Paul začal jít. Jak dlouho šel?

b) Paul se zastavil v obchodě si koupit propisku.

(1) Jak dlouho se Paul zdržel v obchodě?

(2) Jak se jeho zastávka v obchodě projevila na grafu?

c) Paul si uvědomil, že je dost hodin a do školy nestíhá. Začal utíkat.

Jak dlouho běžel?

d) Kolik času Paulovi zabrala cesta do školy?

e) Jak daleko Pavel do školy cestoval?

Graf 30: Graf zobrazující Paulovu cestu do školy

Žáci plní i opačné úkoly. Dle zadaného příběhu sestrojují graf závislosti vzdálenosti

na čase.

Příklad 23 z učebnice Y8 (Key Maths 82 (Baker, 2001, s. 2)

Zadání: Pan Brown jel autem 30 min rychlostí 70 𝑚𝑖𝑙/ℎ. Poté se zastavil na oběd. Obědval

30 minut. Po obědě jel dalších 45 minut rychlostí 60 𝑚𝑖𝑙/ℎ. Během poslední hodiny jeho

jízdy zpomalil a jel rychlostí 40 mil/h.

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Vzdálenost (km)

Čas (min)

Graf ukazující Paulovu cestu do školy

63

Úkol: Zakresli cestu pana Browna do grafu a použij graf k tomu, abys zjistil, kolik mil pan

Brown za svou cestu ujel.

České učebnice

Jak už bylo zmíněno u grafu přímé úměrnosti, autoři učivo prezentují nejprve

na příkladech z praxe. První příklady závislosti (přímá a nepřímá úměrnosti) se objevují

už v 7. ročníku. V 9. ročníku si poté žáci závislost připomínají. Příklady z běžného života

slouží jako úvod do nového učiva o funkcích. Základním pojmem je zde závislost. V učebnici

Algebry pro 9. ročník (Algebra (Rosecká, 2000, s. 85) nalezneme příklady z běžného

života vyjadřující právě závislost:

Cena jízdenky na železnici závisí na vzdálenosti stanice, do které se chcete

dopravit;

Délka prodloužení pružiny závisí na jejím zatížení;

Výška rtuťového sloupce závisí na okolní teplotě;

Doba, za kterou se postaví zeď, závisí na množství lidí, kteří staví;

Elektrický odpor měděného drátu délky 1m závisí na jeho průřezu.

„Budeme sledovat rozmanité závislosti dvou veličin a různými způsoby jejich závislost

vyjadřovat početně i graficky. To vše v kapitole Funkce. Každou závislost dvou veličin

můžeme vyjádřit grafem, tabulkou nebo rovnicí (vzorcem). Funkce vyjádřené graficky

pomáhají např.: programovat tvary součástek; zobrazovat křivky staveb; navrhovat dráty

raket; sledovat závislosti dvou veličin v mnoha oborech.“ (Rosecká, 2000, s. 85)

Shrnutí

Při pouhém nahlédnutí do anglických učebnic je zřejmé, že jsou tyto učebnice

založeny především na praktických příkladech. Autoři anglických učebnic žákům během

ročníku několikrát grafy funkcí připomínají. Žáci několikrát do roka řeší příklady graficky.

Lpí se na uvědomění si vzájemnosti dvou veličin. České učebnice také předkládají příklady

z praxe, někdy ale pouze slovně. V učebnici je daleko méně praktických příkladů,

než v učebnicích anglických. Většinou se nachází příklad z praxe v úvodu kapitoly, poté

ale už žáci řeší ostatní příklady podle naučeného postupu řešení.

64

3.4 Statistické grafy a diagramy v českých a anglických

učebnicích

Z učiva o statistických diagramech a grafech byly vybrány dvě kapitoly. Kapitoly

slouží ke srovnání české a anglické řady učebnic. Řadíme zde kapitolu

o sloupcových grafech a koláčových diagramech. Opět je každá kapitola rozdělena do tří částí

– první představuje pojetí anglických učebnic, druhá českých učebnic a poslední část

srovnává učebnice na základě vybraného tématu.

3.4.1 Sloupcový graf

Anglické učebnice

Anglické učebnice žáky seznamují se sloupcovým grafem už v Y7. Na začátku

učebnice Key maths 72 (Baker, 2000) se nachází kapitola o statistice, ve které je sloupcový

graf představen jako graf, který je vytvořen ze sloupců. Každý sloupec reprezentuje část dat.

Následují cvičení, ve kterých se učí žáci se sloupcovým grafem pracovat.

Příklad 24 z učebnice Key maths 72 (Baker, 2000, s. 3)

Zadání: Sarah namalovala sloupcový graf.

Graf 31: Způsob dopravy třídy 7M do školy

a) Kolik žáků chodí do školy pěšky?

b) Jaký je nejčastější způsob dopravy žáků do školy? Jak to poznáš ze sloupcového

grafu?

0123456789

101112

auto autobus vlak kolo pěšky

Počet žáků

Způsob dopravy

Způsob dopravy třídy 7M do školy

65

c) Kolik dětí celkem navštěvuje třídu 7M?

Další příklad žákům představuje tzv. sloupcový graf vodorovný, který se řadí do

skupiny grafů sloupcových. V tomto grafu jsou sloupce znázorněny vodorovně.


Zadání: Kevin dělal ve třídě 7M šetření. Ptal se žáků, jaká je jejich nejoblíbenější barva.

O šetření nakreslil graf s vodorovnými sloupky.

Graf 32: Nejoblíbenější barva žáků třídy 7M

a) Jaká je nejoblíbenější barva ve třídě?

b) Kolik lidí si vybralo červenou barvu?

c) Kolik žáků Kevin oslovil celkem?

Další kapitola učebnice Y7 se zabývá sloupcovými grafy, ve kterých řadíme zjištěné

hodnoty do určitých intervalů. Poté tvoříme sloupcový graf. Příklad 26 byl použit při

empirickém šetření.


Zadání: Ve třídě 9. B si žáci měřili rozpětí paží od špičky prstu levé ruky po špičku prstu

pravé ruky. Hodnoty jednotlivých měření v centimetrech jsou tyto:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Růžová

Oranžová

Fialová

Žlutá

Modrá

Červená

Zelená

Počet žáků

Oblíbená barva

Nejoblíběnější barva žáků třídy 7M

66

132

138

142

123

129

136

143

131

147

144

140

135

127

143

137

135

128

133

148

130

124

141

136

140

134

139

146

138

139

130

151

133

Úkoly: Vyplňte tabulku:

Interval

(cm)

Zařazení naměřené hodnoty do příslušného

intervalu

Celkový počet

naměřených

hodnot v intervalu

120 - 124

125 - 129

130 - 134

135 - 139

140 - 144

145 - 149

150 - 154

Celkem:_____

a) Vytvořte sloupcové

grafy, které vyjadřují

kolik žáků s rozpětím

svých paží, se

vyskytuje v daném

intervalu.

b) Který interval je

zastoupen ve třídě

největším počtem

žáků? ____________

Žáci rozdělí jednotlivé naměřené hodnoty do tabulky, sečtou, kolikrát se v každém

intervalu vyskytuje počet naměřených hodnot a následně tyto hodnoty zaznačí

Délka rozpažení u žáků

9. B

67

do sloupcového grafu. Autoři učebnice upozorňují, že se v tomto případě mezi sloupci

ve grafu mezery nevyskytují.

V anglických učebnicích pro Y8 jsou sloupcové grafy připomenuty a procvičeny

na podobných příkladech, jaké byly výše uvedeny. Žáci dle zadání tvoří sloupcové grafy nebo

čtou z grafů potřebné informace. V učebnici pro Y9 je učivo opět opakováno. Přidána je však

kapitola o tzv. „zavádějících grafech a diagramech“. Kapitola naráží na možné zneužití grafů.

Graf je prostředek prezentace jednotlivých dat, který je jednoduchý pro orientaci a lepší

představivost. Bohužel, reklamy, politici, prodejci aj. často předkládají grafy, které jsou

zkreslené, neúplné nebo dokonce i zavádějící. Autoři učebnice Key Maths 92 (Baker, 2001)

radí: „Někdy jsou grafy a diagramy použity ke zmýlení lidí. Změna měřítka grafu může mít

velký vliv na vzhled samotného grafu. Když budete číst statistické grafy či diagramy, měli

byste se vždy pozorně podívat na měřítko.“ Příklad 27 je vhodným příkladem.


Zadání: Robert prodává horská kola. Chtěl by více rozšířit svůj prodej, včetně obchodu.

Potřebuje si půjčit peníze z banky. V bance chce bankovnímu manažerovi dokázat, jak rychle

jeho prodej kol vzrůstá. V tabulce a grafech vidíme jeho prodej kol za posledních 6 měsíců.

Měsíc Leden Únor Březen Duben Květen Červen

Počet

prodaných kol 26 28 30 34 44 56

Robert namaloval dva sloupcové grafy. Graf A využívá celou stupnici. V grafu B

stupnice začíná na 25. Tyto dva grafy ukazují naprosto stejné informace. Vypadají ale velmi

odlišně, protože jejich stupnice na ose 𝑦 jsou různé.

Který graf ukáže Robert bankovnímu manažerovi? Svůj výběr zdůvodni.

68

Graf 33: Sloupcový graf A k příkladu 27

Graf 34: Sloupcový graf B k příkladu 27

Grafy představují stejné informace, přesto vypadají jako grafy odlišné. Robert

s jistotou ukáže bankovnímu manažerovi graf B, ve kterém vypadá, že prodej počtu kol

prudce roste. Podle grafu B je Robert velmi úspěšný prodejce. Podobným způsobem politici

například dokazují, jak se za poslední roky zvýšila minimální mzda, prodejci v reklamách

potřebu jejich produktu a podobně.

Tato kapitola nejen, že žáky obohacuje o teoretické znalosti sloupcového grafu,

ale dává jim „radu do života“. Autoři anglických učebnic učí žáky praktickému využití

získaných znalostí a vědomostí.

České učebnice

České učebnice představují sloupcový (vodorovný) graf už v 6. ročníku. S grafem žáci

pracují v rámci procvičení učiva o dělení desetinných čísel.

0

10

20

30

40

50

60

Leden Únor Březen Duben Květen Červen

Počet prodaných kol

Měsíc

Graf A

25

30

35

40

45

50

55

Leden Únor Březen Duben Květen Červen

Počet prodaných kol

Měsíc

Graf B

69

Příklad 28 z učebnice Aritmetika 6 (Rosecká, Čuhajová, 2007, s. 61)

Zadání: Prohlédni si tabulku, kde jsou ceny 1 litru benzínu přepočítané na naše koruny.

Vzhledem k průměrným příjmům je však pro nás benzín dražší než pro lidi z většiny zemí

západní Evropy. To vše pochopíte, až budete znát ekonomiku

a) Máš 100 Kč.

Kolik litrů benzínu koupíš u nás, ve Francii, v Polsku, v Německu atd..?

b) Řidič motorového vozidla načerpal do auta benzín (1 litr za 22,30 Kč). Kolik litrů

načerpal, když na 1100 Kč dostal nazpět 442, 50 Kč?

c) Z tabulky vyčti, ve kterých zemích bude stačit 300Kč na zaplacení 10 litrů benzínu.

Obrázek 8: Ceny benzínu v Evropě v r. 1997

Pro šestý ročník je příklad jediný, ve kterém žáci pracují se sloupcovým grafem.

Autoři učebnic však tento graf označují pro žáky jako „tabulku“. V 7. ročníku za kapitolou

o procentech jsou vybrány tři základní grafy a diagramy (dle českých učebnic diagramy):

obdélníkový diagram, kruhový diagram a sloupkový diagram. „U sloupkového diagramu

znázorňujeme počet procent jako část výšky sloupce, kterou jsme zvolili za 100%“. ((Rosecká,

Čuhajová, 1998, s. 68) Žáci pracují se sloupcovými diagramy vyjádřené procenty,

což ukazuje graf 35.

35,5 32,1 32,1

31,6 31,1 31

29,9 28,4

26,9 23,9 23,6

20,9 15,41

NorskoŠvédsko

ItálieFinsko

FrancieNizozemí

DánskoBelgie

NěmeckoŠvýcarskoŠpanělsko

ČRPolsko

Ceny benzínu v Evropě (ceny za litr 95 oktanového benzínu v r. 97)

Ceny jsou uvedeny v

Kč.

70

Graf 35: Sloupcový graf vyjádřený procenty

V 7. ročníku se poté ještě v kapitole Opakování vyskytuje jeden příklad, ve kterém

žáci pracují se sloupcovým (vodorovným) grafem.


Zadání:

Graf 36: Průměrná měsíční mzda v r. 1997

a) Přečti z grafu průměrné měsíční mzdy pracovníků v jednotlivých odvětvích našeho

hospodářství v r. 1997. Údaje zapiš.

b) Vypočítej, o kolik procent byla v roce 1997 průměrná měsíční mzda ve stavebnictví

vyšší než v zemědělství.

V sedmém ročníku už autoři používají pojem „graf“. Příklad 29 směřuje žáky

na čtení informací z grafu a také na procvičení výpočtu procent. V učebnici osmého ročníku

70%

30%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Zemědělství

Průmysl

Stavebnictví

Peněžnictví

Školství

Zdravotnictví

Průměrná měsíční mzda

(1. pol. 1997 v ČR)

71

se nachází několik příkladů na procvičení manipulace se sloupcovým grafem. V ročníku

devátém, v kapitole o statistice jsou představeny čtyři základní statistické grafy či diagramy,

mezi něž sloupcový graf patří. Autoři v učebnici rozlišují sloupcový graf svislý a vodorovný

a na příkladech ukazují žákům jejich rozdíl.

Příklad 30 z učebnice Aritmetika 8 (Rosecká, 2010, s. 106)

Zadání: Ve firmě OMEGA měli za 1. Pololetí r. 1998 tyto měsíční tržby: Pozoruj, jak jsou

údaje z tabulky znázorněny pomocí dvou sloupcových diagramů (svislým a vodorovným).

Měsíc Tržba (Kč)

I. 20500

II. 12200

III. 15300

IV. 19800

V. 18000

VI. 23000

Graf 37: Graf sloupcový svislý k příkladu 30

0

5000

10000

15000

20000

25000

I. II. III. IV. V. VI.

Kč

Měsíc

Graf sloupcový svislý

72

Graf 38: Graf sloupcový vodorovný k příkladu 30

Shrnutí

Anglické učebnice nabízí více příkladů k procvičení sloupcových grafů, název grafu,

jeho krátká charakteristika a způsob konstrukce. Žáci grafy tvoří a zároveň i z nich umí vyčíst

potřebné informace. Všechny příklady jsou propojeny s praxí, aby žáci viděli, při jakých

možnostech mohou v budoucnu sloupcové grafy využít. České učebnice nabízí méně příkladů

k procvičení (je však možné, že další příklady k procvičení nalezneme v pracovním sešitě).

České učebnice oproti anglickým nepodávají charakteristiku sloupcového grafu ani neuvádějí

jeho konstrukci. České učebnice rozlišují mezi sloupcovým grafem svislým a sloupcovým

grafem vodorovným. Sloupcové grafy, kde je nutné zjištěná data roztřídit do několika

intervalů, se bohužel v českých učebnicích vůbec nevyskytují. Stejně tak, jako anglické

učebnice, i české pracují s příklady z praxe a vedou žáky k dalším využití sloupcového grafu

v budoucnu.

3.4.2 Koláčový diagram

Anglické učebnice

Co se týče koláčových diagramů, anglické učebnice na ně kladou stejný (ne-li větší)

důraz, jako na grafy sloupcové. V učebnici pro Y7 má koláčový diagram dokonce svou

kapitolu. U koláčového diagramu kruh představuje celý soubor. Jednotlivé výseče představují

jeho jednotlivé části. Pro žáky v ročníku Y7 jsou v učebnici připraveny jednoduché koláčové

diagramy. Žáci se zde s diagramem seznamují, učí se z nich číst a znalosti propojují s učivem

o zlomcích.

0 5000 10000 15000 20000 25000

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

Kč

Měsíc

Graf sloupcový vodorovný

73


Zadání: Koláčový diagram zobrazuje, jak žáci ze třídy 7D obědvají.

a) Napiš, co představuje největší výseč koláčového diagramu.

b) Vyjádři skupinu, která obědvá sendviče, zlomkem.

c) Osm žáků 7D obědvá sendviče. Kolik je celkově žáků ve třídě 7D?

Graf 39: Koláčový graf zobrazující, jak žáci 7D obědvají

V příkladu si musí žáci uvědomit, že zelená část (počet žáků, kteří mívají

na oběd sendviče) je 1

4 z celkového počtu. V zadání za c) je řečeno, že sendviče obědvá

celkem 8 žáků. Třídu 7D navštěvuje 4 ∙ 8 = 32 žáků.

Učebnice pro Y8 žáci opakují učivo z Y7. V samostatné kapitole o koláčovém

diagramu dochází k rozšíření učiva. Plocha kruhu představuje celý získaný soubor. Tedy 360°

představuje 100%. V učebnici se nachází přímý postup, jak ze získaných dat koláčový graf

vytvořit.


Třicet lidi na ulici bylo dotazovaných, jaké národní noviny čtou. Výsledky z výzkumu

představuje tabulka. Tvým úkolem je podle této tabulky sestrojit koláčový graf.

The Guardian 8

Daily Mirror 7

The Times 3

Školní kantýna

Oběd mají doma

Sendviče

Jak žáci 7D obědvají

74

The Sun 6

Daily Express 6

1. Rozděl 360° na menší díly.

Na výzkumu se podílelo celkem 30 lidí, můžeme psát 360° ÷ 30 = 12°. To znamená,

že každá osoba zaujímá 12° z celkového kruhu.

2. Spočítej, jak velký úhel bude každá výseč zaujímat. Pomůže ti tato tabulka

Noviny Počet lidí Postup Úhel

The Guardian 8 8 × 12° = 96°

Daily Mirror 7 7 × 12° = 84°

The Times 3 3 × 12° = 36°

The Sun 6 6 × 12° = 72°

Daily Express 6 6 × 12° = 72°

Celkem 30 360°

3. Zkontroluj, zda úhly po sečtení dají dohromady 360°.

96° + 84° + 36° + 72° + 72° = 360°

A) Narýsuj kruh. Označ střed. B) Narýsuj první úhel (96°).

Vyznač poloměr kruhu.

75

C) K úhlu 96° přičti další úhel 84°. D) Pokračuj tak dlouho, dokud

nezaplníš celý kruh.

E) Vybarvi jednotlivé výseče a přidej legendu.

Další příklady procvičují zmíněný postup sestrojení koláčového diagramu. V učebnici

pro Y9 je postup sestrojení opakován. Další příklady jsou zaměřeny na čtení dat z koláčového

grafu, včetně odhadu, kolik procent která kategorie (výseč kruhu) zastupuje.


Zadání: Koláčový graf ukazuje, jakým způsobem žáci obědvají.

a) Procentově odhadni, kolik žáků si kupuje oběd ve školní jídelně.

b) Procentově odhadni, kolik žáků si nosí zabalený oběd z domu.

76

Graf 40: Graf prezentující způsob obědu žáků

Řešení:

a) Výseč pro „školní kantýnu“ je menší, než polovina kruhu. Procentově bude tedy menší

než 50%. Odhad je 45%.

b) Výseč pro „oběd z domu“ je o něco větší než čtvrtina kruhu. Procentově bude tedy

větší než 25%. Odhad je 30%.

České učebnice

V 7. ročníku se žáci na začátku školního roku učí zlomky, na konci ročníku poté

procenta. K výuce zmíněných vyučovacích témat jsou často doporučovány právě koláčové

diagramy. V českých učebnicích najdeme první zmínku až tedy v 7. ročníku. Aniž by žákům

byly koláčové diagramy jakkoliv vysvětleny či popsány, žáci s nimi pracují. K výuce procent

jsou použity diagramy ve tvaru kruhu, čtverce, obdélníku, šestiúhelníku, které představují

celek 100% (obrázek 9). Učivo o procentech je tedy vysvětlovány nejprve na diagramech.

Vhodnou ukázkou je příklad 34.

Obrázek 9: Procentové diagramy


Zadání: Co dovedeš přečíst ze zprávy, kterou připravily 2 obce? Rozloha pozemků, které

k obcím patří:

oběd z domu

školní kantýna

oběd doma

77

Graf 41: Grafy rozloh pozemků

Diagramům zobrazeným procenty je v učebnici pro 7. Ročník věnována celá kapitola

s názvem Diagramy (procenta). Jak už bylo uvedeno v kapitole 3.4.1, je mezi diagramy

kromě sloupkového grafu zařazen i dle českých učebnic kruhový diagram. „U kruhového

diagramu počet procent odpovídá určité části kruhu (kruhové výseči).“ (Rosecká, Čuhajová,

1998, s. 68) V učebnici je koláčový diagram přímo znázorněn a popsán. Následuje příklad,

ve kterém si žáci osvojí práci s tímto typem diagramu a zapojí zde i znalosti o procentech.


Zadání: V České republice se každý rok vyrobí zhruba 1 160 000 tun obalů. Procentový

kruhový diagram ukazuje podíl jednotlivých materiálů na obalech.

Graf 42: Podíl jednotlivých materiálů na obalech

papír 45%

sklo 25%

plasty 14%

ostatní 8%

kov 8%

Podíl materiálů na obalech

78

a) Kolik tun skleněných obalů se u nás ročně vyrobí?

b) Kolik tun papírových, plastových, kovových a ostatních se u nás ročně vyrobí?

c) Kolik tun papíru seberete na vaší škole, když pořádáte sběr odpadkových surovin?

d) Kolik kg papíru připadá při sběru průměrně na jednoho žáka vaší třídy?

V učebnici pro 7. ročník nalezneme ještě na konci jeden příklad, který pracuje

s kruhovým diagramem vyjádřeným v procentech. Jde o příklad z praxe. Žáci v příkladu čtou

informace zadané koláčovým diagramem. Ačkoliv učebnice nepopisuje, jak kruhový diagram

sestrojit, přesto to autoři učebnice po dětech požadují.


Zadání: Prozkoumej procentový diagram, který uvádí výdaje čtyřčlenné rodiny, která žije

v bytě. Poté do sešitu zakresli po dohodě s rodiči jednoduchý nebo podrobnější diagram

udávající vaše měsíční výdaje domácnosti.

Graf 43: Měsíční výdaje domácnosti

Autoři učebnic 8. ročníku využívají znalosti žáků ze 7. ročníku a v kapitole Základy

statistiky opakují práci s koláčovým diagramem. Tentokrát je ale koláčový diagram upraven

na prstencový. Ukázkou je příklad 37.

bydlení

17%

strava

35%

ošacení

9%

doprava

9%

volný čas

7%

vzdělání

1%

úspory

8%

další výdaje

(např.

služby)

13%

zdraví

1% Výdaje domácnosti

bydlení

strava

ošacení

doprava

volný čas

vzdělání

úspory

další výdaje (např.služby)

79

Příklad 37 z učebnice Aritmetika 8 (Rosecká, 2010, s. 97)

Zadání: Prohlédni si statistiku zpracovanou Českým statistickým úřadem (ČSÚ) ve formě

diagramu. Čti údaje.

Graf 44: Počet soukromých podnikatelů v jednotlivých krajích

Srovnání

Z pohledu srovnání řad českých i anglických učebnic bylo zjištěno, že anglické

učebnice věnují koláčových diagramům mnohem větší pozornost. Anglické učebnice

postupují v tomto učivo pomalými krůčky. Nejprve žákům představí samotný diagram,

popíšou, co a jak diagram zobrazuje. Následně učebnice přecházejí k procentovému

koláčovému diagramu, kdy vysvětlují, že celý kruh představuje celek 100%. V učebnicích

je podrobně znázorněn postup, jak přesně sestrojit koláčový graf v procentech. Autoři učebnic

kladou také důraz na odhad počtu procent z celku, která jednotlivé kruhové výseče

představují. Nechybí zde ani příklady, ve kterých žáci procvičují čtení z grafu a zpracování

předložených informací.

České učebnice samotným diagramům pozornost věnují, ale mnohem méně, než

učebnice anglické. Práce s diagramy je využita až po probrání učiva o procentech, kdy se žáci

setkávají s dvěma hlavními diagramy (diagramy a grafy): koláčovými a sloupcovými. Učivo

je tedy procvičeno převážně na procentových diagramech, kdy úkolem žáků je většinou určit

počet procent, kterou představuje daná kruhová výseč. Jeden příklad po žácích požaduje

sestrojení koláčového diagramu, ovšem není zde zmíněn přesný postup, jak diagram sestrojit.

Oproti anglickým učebnicím ale české učebnice pracují i s alternativou koláčového grafu

a to s grafem prstencovým na praktickém příkladu.

Severomoravský 15,89%

Jihomoravský 18,39%

Východočeský11,80% Hl. m. Praha

16,41%

Středočeský 11,22%

Jihočeský 6,63%

Západočeský 8,56%

Severočeský 11,10%

Soukromí podnikatelé v ČR (k 31.12.97)

1 223 195 podnikatelů

80

3.5 Závěrečné srovnání učebnic

S řadami učebnic, které byly ke srovnání vybrány, pracují čeští i angličtí žáci ve věku

11 – 16 let ve svých základních školách. Učebnice byly srovnány z pohledu učiva grafů

funkcí a statistických grafů a diagramů.

Už na první pohled jsou učebnice rozdílné. Výhodou u anglických učebnic je obsah

velkého množství informací a příkladů k procvičení, oproti učebnicím českým. Rozdíl dle

mého názoru spočívá v tom, že nakladatelství českých učebnic nabízí k učebnicím ještě

pracovní sešity. Anglické učebnice příklady k procvičení obsahují samy o sobě. Další

výhodou anglických učebnic je jejich barevnost, propracovat, systematičnost a hlavně

přehlednost. Ta z mého pohledu u českých učebnic chybí. Jsou sice pěkně ilustrovány,

ale mezi textem a příklady jsou minimální mezery, což často způsobí nepřehlednost

a zmatenost. Nevýhodu anglických učebnic vidím v jejich váze (za kterou může právě velké

množství informací a příkladů k procvičení). Učebnice jsou poměrně těžké a jejich

každodenní nošení do školy může být pro žáky nepříjemné.

Učivo o grafech funkcí je v anglických učebnicích řešeno a nabízeno zcela jiným

způsobem, než v učebnicích českých. Kapitola, ve které se české a anglické učebnice shodují

v jejich podání, se týče zavedení souřadného systému v rovině. Zde můžeme říci, že obě

učebnice prezentují učivo velmi podobným způsobem. Zásadní rozdíl učebnic spočívá v tom,

že v žádné z anglických učebnic nenajdeme pojem funkce. Učebnice sice s grafy funkcí

pracují, pojem funkce ale v učebnicích vysvětlen není. Žáci si dle učebnic uvědomují pouze

závislost jedné jednotky na jednotce druhé. Nerozeznají však, zda se jedná o graf funkce

či ne. Žáci v Anglii hodně pracují s centimetrovou čtvercovou sítí v souřadném systému

a grafy funkcí sestrojují a uvědomují si na základě žetonů, které do čtvercové sítě kladou.

Tímto způsobem se naučí pracovat s grafem konstantní funkce. Autoři anglických učebnic

používají k tvorbě grafu přímé úměrnosti žetony. Graf přímé úměrnosti je ale v anglických

učebnicích poměrně hodně vysvětlen a ilustrován na praktických příkladech. V učebnicích

se také nachází i předpis grafu přímé úměrnosti. Podobně je zaveden graf lineární funkce.

Grafem je přímka, k jejímu sestrojení stačí znát pouze dva body – tohoto postupu anglické

učebnice využívají. Aniž by autoři učebnic nabízeli žákům obecný předpis lineární funkce,

přesto žáci umí s tímto předpisem pracovat. V anglických učebnicích je předpis funkce

udáván formulí. Při řešení soustav rovnic v anglických učebnicích autoři opět využívají

předpis přímky pomocí formule a řeší soustavu rovnic pouze graficky. Grafy v učebnicích

slouží k řešení praktických příkladů.

81

České učebnice k učivu o grafech funkcí přistupují jiným způsobem. Učebnice

zavádějí přímo pojem funkce a graf funkce. Žáci tedy rozliší, zda konkrétní graf je opravdu

grafem funkce či není. Znají základní vlastnosti funkce a čtou tyto informace z jejich grafů.

Autoři českých učebnic lpí na názvech jednotlivých funkcí a jejich předpisech. Předpisy jsou

následně rozebírány (viz lineární funkce). Praktické příklady také v učebnicích nalezneme,

ale bohužel v daleko menším zastoupení, než v učebnicích anglických. Grafy funkcí

se ale v České republice nevyučují pouze v matematice. Jedná se o učivo, které je zastoupeno

ve více předmětech, například fyzice a chemii.

Anglické učebnice seznamují žáky s grafy funkcí už od Y7. České učebnice

ale většinu učiva o grafech funkcí nabízejí až v učebnicích pro 9. ročník.

České učebnice se liší od anglických také svým obsahem vzdělávání. Předkládají

žákům (kromě zmíněných kapitol) také graf funkce nepřímé úměrnosti, graf kvadratické

funkce, v devátém ročníku grafy goniometrických funkcí (které už ale do RVP ZV nejsou

zařazeny) a také již zmíněné vlastnosti jednotlivých funkcí. Tyto témata se v anglických

učebnicích nenachází. Oproti tomu ale v anglických učebnicích nalezneme slovní úlohy, které

jsou řešeny pouze graficky nebo dle návodu žáci dokáží sestrojit graf lineární funkce, jejíž

předpis je zadán implicitně.

Učivo o grafech funkcí bylo dle mého názoru více teoreticky řešeno v českých

učebnicích a anglické učebnice více využívaly praktických příkladů. U učiva o statistických

grafech a diagramech je situace opačná. Anglické učebnice více jednotlivé statistické grafy

a diagramy představují, vysvětlují a procvičují. Samozřejmě k tomu využívají příklady

z praxe. České učebnice obsahují kapitoly, které se těmito grafy a diagramy také zabývají,

ovšem téměř vynechávají teorii a přecházejí rovnou k praxi. Obě řady učebnic kladou důraz

na koláčové diagramy a sloupcové grafy. České učebnice ještě navíc pracují s bodovým

a spojnicovým grafem. Anglické učebnice více kladou důraz na koláčový diagram

a kromě toho ještě diagram rozptylový.

82

4 Empirické šetření

Diplomová práce je zaměřena na porozumění a práci s grafy ve výuce matematiky.

V rámci této práce bylo provedeno empirické šetření na základních školách, jehož základem

je kvalitativní i kvantitativní zpracování testových úloh. Srovnáním anglické a české řady

učebnic matematiky z pohledu grafu funkcí a statistických grafů a diagramů byly vybrány

testové příklady z anglických učebnic, které byly použity při empirickém šetření na žácích

českých škol. Následně byly testové příklady zhodnoceny v kvalitativní podobě. Výsledkem

empirického šetření je shrnutí úspěšnosti českých žáků na základě analýzy testových úloh.

4.1 Cíle a dílčí cíle empirického šetření

Hlavním cílem empirického šetření je zjistit úspěšnost žáků devátého ročníku při

řešení testových úloh přejatých z anglických učebnic matematiky. Dílčí cíle empirické části

jsou:

- na základě srovnání české a anglické řady učebnic matematiky z pohledu učiva grafu

funkcí a statistických grafů a diagramů sestavit soubor testových úloh, který je typický

pouze pro anglické učebnice a odpovídá znalostem českých žáků;

- získat výsledky o úspěšnosti řešení testových úloh jejich zadáním na základních

školách

- zhodnotit kvantitativně i kvalitativně jednotlivé řešení testových úloh

Dílčím cílem empirické části je také zpracování česko-anglického slovníku v oblasti

grafů pro použití metody CLIL8 na 2. stupni ZŠ.

4.2 Metody empirického šetření

Empirické materiály byly získány na základě pedagogického pozorování, diskuze

a analýzy pedagogických dokumentů.

Z časových důvodů nebylo možné se všemi žáky vést po vyřešení testových úloh

rozhovor a následně s každým žákem jednotlivé testové úlohy projít. Z toho důvodu byla

na konci hodiny provedena krátká diskuze zaměřená k testovým úlohám.

V rámci empirického šetření byla využita metoda analýzy pedagogických dokumentů.

Analýzou pedagogických dokumentů je zde myšlena analýza testových úloh vypracovaných

jednotlivými žáky. Cílem analýzy bylo vyhodnocení správnosti žákova řešení, ale také postup

řešení a zjištění nejčastějších chyb či mezer v daném učivu.

8 Content and Language Integrated Learning, tj. obsahově a jazykově integrované učení

83

4.3 Podmínky a průběh empirického šetření

Empirické šetření bylo realizováno na čtyřech základních školách:

ZŠ a MŠ Kunín, ZŠ Tererovo náměstí 1, ZŠ Helsinská a ZŠ Stupkova. Počet respondentů

empirického šetření byl 100 žáků devátého ročníku. Šetření bylo provedeno během čtrnácti

dnů měsíce května roku 2016. Ve všech zmíněných školách byly testové úlohy zadány

osobně. Úvodních pět minut vyučovací hodiny byli žáci s empirickým šetřením a jeho

zpracováním seznámeni. K dispozici měli testovací příklady, čistý bílý papír, psací potřeby,

pravítko s ryskou, a pokud požadovali, také kalkulátor. Žákům byla rozdělena čísla, jelikož

některé příklady vyžadovaly řešení na čistý bílý papír zvlášť. Čísla pomáhala přiřadit řešení

vypracované na papíru společně s testovými úlohami. Následujících 40 minut žáci úlohy řešili

samostatně a na základě čísel i anonymně. Na závěr následovalo několik dotazů ze strany

zadavatele a nabídnuty dotazy k jednotlivým příkladům či celkovému šetření ze strany žáků.

4.4 Testové úlohy

Soubor testových úloh byl přejat z anglických učebnic Key Maths a použit k testování

českých žáků devátého ročníku. Byly vybrány typy příkladů, se kterými se podle srovnání

učebnic čeští žáci obvykle ve výuce matematiky nesetkávají. První čtyři příklady žáci řešili

v českém jazyce. První příklad byl zaměřen na graf přímé úměrnosti, konkrétně graf závislosti

mil na kilometrech. Druhý úkol po žácích vyžadoval předpisy dvou lineárních funkcí a řešení

soustavy dvou lineárních rovnic graficky i početně. Ve třetím příkladu žáci statisticky

zpracovávali předem zadaná data do sloupcového grafu. Ve čtvrtém se měli žáci zamyslet,

zda dva na první pohled odlišné grafy prezentují stejné informace. Tento příklad byl

do šetření zařazen z toho důvodu, aby si žáci později uvědomili klam reklam

a prodejců klamajících právě prostřednictvím grafů. Pátý, poslední příklad žáci řešili

v anglickém jazyce. Byl zaměřen na orientaci a čtení z čárového grafu. Žáci devátých ročníků

mají povinný anglický jazyk na základní škole několik let, anglický jazyk by pro ně neměl být

v tomto šetření překážkou. Pátý příklad je zároveň vhodnou ukázkou, jak je možné používat

v hodinách matematiky metodu CLIL. Soubor testových příkladů se nachází ve vázané příloze

(příloha č. 1).

84

4.5 Výsledky empirického šetření

4.5.1 Zpracování dat

Pro empirické šetření bylo použito celkem 100 ks souborů testových úloh. Návratnost

úloh byla díky osobnímu zadávání stoprocentní. Sběr dat a jejich statistické vyhodnocení byl

ukončen v květnu roku 2016. Ke zpracování získaných údajů byla použita analýza testových

úloh. Pro lepší přehlednost byla analýza získaných dat názorně graficky zpracována a poté

slovně popsána. Při analýze výsledků nebylo přihlíženo ke srovnání výsledků testových úloh

na jednotlivých základních školách. Všichni žáci provádějící výzkum na různých základních

školách vystupují jako jeden výzkumný vzorek.

4.5.2 Vyhodnocení úspěšnosti jednotlivých testových úloh žáků

9. ročníku

První příklad

První příklad byl zaměřen na sestrojení grafu závislosti mil na km. Příklad po žácích

požadoval, aby podle zmíněných údajů z textu vyplnili tabulku, která slouží k jednoduššímu

sestrojení grafu, aby sestrojili graf této závislosti a aby odpověděli slovně na dvě otázky.

U příkladu bylo hodnoceno, zda žáci správně vyplnili tabulku, zda správně sestrojili graf, zda

poznali, co je grafem sestrojené funkce a určili, o jakou funkci se jedná. Následující grafy

ukazují výsledek testování a úspěšnost žáků.

Vyplnění tabulky

Většina žáků s vyplněním tabulky problém neměla, jak ukazuje graf 45. Některé žáky

zmátla k vyplnění tabulka se třemi políčky. Ve třetím políčku většinou určovali, kolik je jedna

míle kilometrů nebo kolik je patnáct mil kilometrů. Většina žáků správně přiřadila počet mil

a počet km. Anonymní vyplnění tabulky žáka/žákyně ukazuje obrázek 10.

Obrázek 10: Ukázka vyplnění tabulky k příkladu 1

85

Graf 45: Úspěšnost při vyplnění tabulky u příkladu 1

Sestrojení grafu

Na základě 78% procentní úspěšnosti ve vyplnění tabulky bylo očekáváno, že žákům

nebude dělat sestrojení grafu problém. Bohužel si v mnoha případech neuvědomili správnou

závislost mil na kilometrech a ve velké většině sestrojili graf závislosti kilometrů na mílích.

Úspěšnost při sestrojení grafu ukazuje graf 46.

Graf 46: Úspěšnost sestrojení grafu u příkladu 1

Obrázek 11 ukazuje správně sestrojený graf závislosti mil na km.

Úspěšně 78%

Neúspěšně 22%

Úspěšnost vyplnění tabulky

Úspěšně Neúspěšně

Úspěšně 30%

Neúspěšně 70%

Úspěšnost při sestrojení grafu

závislosti mil na km


86

Obrázek 11: Ukázka sestrojení grafu závislosti mil na km

Graf funkce a název funkce

Příklad 1 obsahoval dvě otázky, u kterých byla očekávaná slovní odpověď. První

otázka zněla: Co je grafem této funkce? Odpovědi byly různé a všechny jsou zachyceny

v grafu 47. 55% žáků odpovědělo přímka. Mezi tyto žáky patří žáci, kterým se podařilo

sestrojit graf správné závislosti, bohužel i graf špatné závislosti. Pro všechny byla grafem

funkce přímka. Velké množství žáků neodpovědělo na otázku vůbec, i když třeba správně graf

sestrojili. Objevily se odpovědi typu parabola a hyperbola, které jsou řazeny mezi odpovědi

chybné.

Graf 47: Odpovědi na otázku: Co je grafem funkce?

Druhá otázka zněla: Jak zmíněnou funkci nazýváme? Možné odpovědi opět

představuje graf 48. I když byla očekávaná odpověď přímá úměrnost, i lineární funkce nebo

Neodpověděl/a 43%

Přímka 55%

Parabola 1%

Hyperbola 1%

Co je grafem této funkce?

Neodpověděl/a Přímka Parabola Hyperbola

87

rostoucí funkce jsou považovány za odpovědi správné. Chybné odpovědi se nevyskytovaly.

39% žáků však na otázku vůbec neodpovědělo.

Graf 48: Odpovědi na otázku: Jak zmíněnou funkci nazýváme?

Na základě chybného sestrojení grafu a opomíjení odpovědět na všechny otázky úlohy

byla úspěšnost řešení prvního příkladu velmi nízká. Tuto (ne)úspěšnost zobrazuje graf 49.

Graf 49: Úspěšnost řešení příkladu 1

Druhý příklad

Druhý příklad byl zaměřen na předpis lineární funkce a řešení soustavy lineárních

rovnic graficky i početně. U příkladu byl hodnocen předpis funkce 𝑓, předpis funkce 𝑔,

Neodpověděl/a 39%

Přímá úměrnost

12%

Lineární 25%

Rostoucí 24%

Jak zmíněnou funkci nazýváme?

Neodpověděl/a Přímá úměrnost Lineární Rostoucí

Úspěšně 24%

Neúspěšně 76%

Úspěšnost při řešení 1. příkladu


88

souřadnice průsečíku 𝑃, výpočet souřadnic průsečíku a zaznačení průsečíku do grafu. Řešení

druhého příkladu (bez výpočtu souřadnic průsečíku) ukazuje obrázek 12.

Obrázek 12: Ukázka řešení druhého příkladu

Předpis funkcí 𝒇 a 𝒈

Ačkoliv tato úloha spadá do vzdělávacího obsahu základního vzdělávání, žáci

s ní měli potíže. Většina žáků psala místo předpisu body, které na daných přímkách leží.

Pouze 13% všech žáků dokázalo správně určit předpis funkce 𝑓 a 14% žáků správně určit

předpis funkce 𝑔. Úspěšnost u příkladu byla očekávána vysoká vzhledem k tomu, že jde

o učivo 9. ročníku a žáci by měli mít učivo procvičeno i vzhledem k přijímacím zkouškám.

Ti, kteří správě určili předpisy dvou funkcí, je většinou určovali přímo z grafu bez poznámek.

Někteří žáci postupovali pomocí obecné rovnice přímky, což znázorňuje následující obrázek

13.

89

Obrázek 13: Ukázka nalezení předpisu funkce 𝑓 a 𝑔

Průsečík

Souřadnice průsečíku dvou grafů lineárních funkcí žáci z 50% zvládli určit správně.

I když příklad požaduje výpočet souřadnic průsečíku 𝑃, ve většině případů souřadnice žáci

vyčetli přímo z grafu. Pouze tři žáci z celkového počtu určili souřadnice průsečíku výpočtem

pomocí soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Jejich postup je znázorněn na obrázku 12.

Mnozí žáci určili souřadnice průsečíku, ale už nezaznačili průsečík přímo do grafu. Žáci tedy

nevěnovali příkladům plnou pozornost a často zapomněli splnit všechny požadované úkoly.

Úspěšnost řešení druhého příkladu je tedy velmi nízká. Úspěšný řešitel je ten, který vyřešil

příklad celý a zaznačil všechny položky, jak bylo požadováno. Graf 50 je grafem úspěšnosti

při řešení úlohy.

Obrázek 14: Ukázka nalezení souřadnic průsečíku

90


Třetí příklad

Třetí příklad byl zaměřen na statistické zpracování získaných dat. Žákům byly

předloženy naměřené hodnoty rozpětí paží od špičky prstu levé ruky po špičku prstu pravé

ruky celkem 32 žáků. Cílem příkladu bylo vytvořit sloupcový graf, který naměřené údaje

prezentuje. U tohoto příkladu bylo hodnoceno vyplnění tabulky, určení intervalu, který

je zastoupen ve třídě největším počtem a samozřejmě sestrojení sloupcového grafu.

Tabulka

Prvním úkolem žáků bylo vyplnit tabulku, která roztřídí naměřené hodnoty žáků. Žáci

většinou správně zařadili naměřené hodnoty do příslušného intervalu, někteří ale kvůli

nepozornosti špatně určili celkový počet naměřených hodnot v intervalu. Úspěšnost

správného vyplnění tabulky představuje graf 51.

Graf 51: Úspěšnost vyplnění tabulky u příkladu 3

Úspěšně 3%

Neúspěšně

97%



Úspěšně 69%

Neúspěšně 31%

Úspěšnost při vyplnění tabulky


91

Určení intervalu

Žáci měli za úkolem určit interval, který je ve třídě zastoupen největším počtem žáků.

Pokud žáci vyplnili správně tabulku, neměli problém s určením zmíněného intervalu. I přesto

zde hrála roli nepozornost a někteří žáci, ačkoliv měli správně tabulku vyplněnou, zapomněli

na tuto otázku odpovědět. V šetření se vyskytlo několik chybných odpovědí, většina z nich

ale byla správná. Úspěšnost řešení prezentuje graf 52. Ukázka, jak žáci postupovali

u vyplnění tabulky je zobrazena na obrázku 13.

Obrázek 15: Ukázka vyplnění tabulky u příkladu 3

Graf 52: Úspěšnost určení nejpočetnějšího intervalu u příkladu 3

Správně 71%

Špatná (nebo žádná

odpověď) 29%

Určení nejpočetnějšího intervalu

Správně Špatně (nebo žádná odpověď)

92

Sestrojení grafu

Většina žáků, kteří správně v tabulce určili celkový počet naměřených hodnot

v intervalu, poté nemělo problém se sestrojením sloupcového grafu. Nejčastější chybou pro

ostatní žáky bylo sestrojení spojnicového grafu nebo grafu bodového. Úspěšnost sestrojení

grafu znázorňuje graf 53. Ukázku sestrojených grafů žáky ukazuje obrázek 16.

Graf 53: Úspěšnost sestrojení sloupcového grafu u příkladu 3

Obrázek 16: Ukázky sestrojení sloupcového grafu

Dle závěrečné diskuze s žáky a výsledků testových úloh byl tento příklad považován

za nejjednodušší. Graf 54 ukazuje celkovou úspěšnost při řešení tohoto příkladu. Opět

je úspěšným řešitelem žák, který splnil všechny požadované úkoly příkladu.

Úspěšně 58%

Neúspěšně 42%

Sestrojení sloupcového grafu


93

Graf 54: Úspěšnost při řešení příkladu 3

Čtvrtý příklad

Čtvrtý příklad byl zařazen v anglické učebnici pro Y8 v kapitole pod názvem

„Missleading graphs“ (zavádějící aneb mylné grafy). Podle mého názoru se mnozí z českých

žáků s tímto problémem setkali poprvé až prostřednictvím testových úloh. Příklad byl zařazen

do testových úloh z toho důvodu, aby si žáci uvědomili možnost klamání prodejců, politiků aj.

prostřednictvím grafů. V příkladu byly uvedeny dvě situace popsané slovně a dva grafy. Žáci

měli za úkol přiřadit ke každé situace správný graf. Dalším úkolem bylo rozhodnout, zda

grafy prezentují stejné informace nebo zda jsou grafy odlišné a tedy neprezentují stejné

informace. Své rozhodnutí měli žáci slovně zdůvodnit.

Přiřazení situace ke grafu

Žáci z 71% správně přiřadili k situacím správné grafy. Do výseče „neúspěšně“ se řadí

i ti žáci, kteří situace ke grafům vůbec nepřiřadili. První část příkladu byla tedy pro žáky

poměrně jednoduchá. Obtížnější část tvořily další dva úkoly.

Graf 55: Úspěšnost přiřazení situace ke grafu u příkladu 4

Úspěšně 55%

Neúspěšně

45%



Úspěšně 71%

Neúspěšně 29%

Přiřazení situace ke grafu


94

Otázka: Prezentují grafy stejné informace?

Na otázku, zda grafy prezentují stejné informace, žáci odpovídali dvěma odpověďmi.

Polovina výzkumného vzorku odpověděla ano, druhá polovina ne. Výzkumné šetření bylo

zaměřeno převážně na vysvětlení, proč si žáci myslí, že grafy prezentují stejné informace.

Z 50 žáků, kteří tvrdili, že grafy opravdu prezentují stejné informace, uvedlo 23 žáků správné

vysvětlení, mezi které řadíme například tyto:

„Sloupec počtu prodaných aut je jen jinak znázorněn.“

„Jinak znázorněné, ale jinak jsou stejné. Podle osy 𝑦 jsou různé.“

„Stupnice grafu 𝐵 má větší rozsah, ale křivka ukazuje stejné hodnoty v obou

grafech.“

„Grafy jsou stejné, jen v jiném poměru.“

„Křivky ukazující míru prodeje by byly shodné, kdyby na ose 𝑦 bylo měřítko

stejné.“

„Oba grafy představují shodné čísla, jen v jiném rozhraní.“

„Oba grafy označují stejný počet prodaných automobilů v daných měsících.“

„Oba grafy jsou v jiném měřítku.“

„Oba grafy označují úplně tu stejnou věc, akorát počet prodaných automobilů

je v jiném měřítku na grafu 𝐴 a na grafu 𝐵.“

„Grafy se liší pouze tím, že na grafu A je počet prodaných automobilů

zobrazován od počtu 38, zatímco na grafu 𝐵 je počet zobrazován od 0.

Na obou grafech jsou počty prodaných aut stejné.“

„Počet prodaných automobilů v jednotlivých měsících je na obou grafech

stejný.“

„Grafy začínají a končí na stejné hodnotě a průběh grafu je shodný také.

„Osa 𝑦 u obou grafů má jiné hodnoty.“

„Oba jdou ve stejném měsíci buď nahoru, nebo dolů a celkově rostou a mají

stejné hodnoty, akorát v jiném měřítku (A má se zvětšeným měřítkem

a B s celkovým velkým měřítkem).“

Někteří žáci, kteří si uvědomili, že grafy prezentují stejné informace, si počet

prodaných aut hodnotově přímo do grafu zapisovali, jak uvádí obrázek 17 a 18.

95

Obrázek 17: Způsob řešení grafu A u příkladu 4

Obrázek 18: Způsob řešení grafu B u příkladu 4

Pouze 23 žáků tedy správně odpovědělo na otázku, zda grafy prezentují stejné

informace a uvedli správně vysvětlení. Z tohoto počtu se bohužel některým z nich nepodařilo

přiřadit správně k sobě situaci a graf. Proto je úspěšnost řešení čtvrtého příkladu dle grafu 56

podobná úspěšnosti řešení prvního příkladu.

96


Ke konci vyučovací hodiny měli žáci prostor na jakékoliv otázky ohledně empirického

šetření nebo testových úloh. Největší počet otázek se pojil právě se čtvrtým příkladem, kdy

žáky zajímalo, jestli grafy opravdu stejné informace prezentují. Ke čtvrtému příkladu tedy

vedla diskuze ve všech třídách účastnících se empirického šetření. Společně s žáky

byla situace s grafy rozebrána a byly uvedeny příklady, kdo a kde podobných grafů využívá

nebo někdy spíše zneužívá.

Pátý příklad

Pátý příklad se od všech ostatních testových úloh odlišoval jazykem, ve kterém byl

zadán. K zadání byl využit anglický jazyk. V příkladu se vyskytoval graf čárový

(v anglických učebnicích veden jako graf „cestovní“) a otázky ke grafu. Graf představoval

Paulovu cestu do školy a otázky byly zaměřeny na čtení informací z grafu. Graf se skládal

celkem ze tří částí. První část grafu zobrazovala, jak Paul do školy vyrazil a šel pěšky. Druhá

část grafu představovala jeho nákup propisky v obchodě a ve třetí části Paul nestíhal a začal

do školy utíkat. Grafy níže rozebírají odpovědi žáků u jednotlivých otázek.

Úspěšně 21%

Neúspěšně 79%



97

Otázka: Jak dlouho Paul šel?

Graf 57: Úspěšnost řešení otázky a) příkladu 5

V této otázce žáci nejčastěji chybně uváděli dobu 45 minut, což je doba, za kterou

se Paul dostal z domu do školy. Otázka ale po žácích požadovala pouze dobu, ve které Paul

šel (bez obchodu a bez běhu).

Otázka: Jak se projevilo Paulovo nakupování v grafu?

Úspěšnost odpovědi na tuto otázku byla stejná jako u otázky první. U příkladu byla

očekávanou odpovědí konstantní funkce. Mnoho žáků ale otázku pochopilo ve smyslu,

že uvedou dobu z grafu, ve které byl Paul v obchodě. Nakonec i tato odpověď byla uznána

za správnou. Mnoho žáků se nechalo strhnout anglickým zadáním a příklad je natolik zaujal,

že i na otázky odpovídali v anglickém jazyce. Správně odpovědělo 42 žáků. Mezi nejčastější

správné odpovědi se řadily tyto:

„Rozpětí na grafu 20 – 35 minut.“

„Rovnou čarou.“

„Straigh line.“

„Graph shows straight line between 20 min and 35 min.“

„20 – 30 min konstantní funkce.“

„Čára se zastavila, nevzrůstá.“

„Rovnoběžná čára s osou x představuje přestávku v obchodě.“

Úspěšně 42%

Neúspěšně 58%

Odpověď na otázku:

a) Jak dlouho Paul šel?


98

Graf 58: Úspěšnost řešení otázky b1) příkladu 5

Otázka: Jak dlouho Paul nakupoval?

Podle grafu 59 je zřejmé, že tato otázka žákům problém ve velkém případě nedělala.

Chybné odpovědi byly způsobeny anglickou bariérou a záměnou slovního spojení „how long“

a „how far“ (jak dlouho a jak daleko). Mezi neúspěšné odpovědi jsou opět řazeni

i žáci, kteří na otázku vůbec neodpověděli.

Graf 59: Úspěšnost řešení otázky b2) příkladu 5

Úspěšně 42%

Neúspěšně 58%


b1) Jak se projevilo Paulovo nakupování v

grafu?


Úspěšně 71%

Neúspěšně 29%


b2) Jak dlouho Paul nakupoval?


99

Otázka: Paul měl zpoždění a musel začít běžet. Jak dlouho běžel?

Úspěšnost odpovědi na tuto otázku je sice menší než u otázek předchozích, stále ale

z větší části žáci odpověděli správně. Mnoho špatných odpovědí způsobilo, že si žáci

neuvědomili složení grafu ze třech částí.

Graf 60: Úspěšnost řešení otázky c) příkladu 5

Otázka: Jak dlouho Paul cestoval do školy?

Touto otázkou si mnoho žáků uvědomilo rozdělení grafu na tři části. Někteří, kteří

původně chybovali v první otázce, svou odpověď kvůli této otázce měnili. Bohužel, v této

otázce převažují neúspěšné odpovědi nad odpověďmi úspěšnými, jak ukazuje graf 61.

Graf 61: Úspěšnost řešení otázky d) příkladu 5

Úspěšně 60%

Neúspěšně 40%


c) Jak dlouho Paul běžel?


Úspěšně 46%

Neúspěšně 54%


d) Jak dlouho Paul cestoval do školy?


100

Otázka: Když Paul z domu vyšel v 8:05 am, v kolik hodin dorazil do školy?

U této otázky je opět počet úspěšných odpovědí větší než počet neúspěšných

odpovědí.. V některých z odpovědí žáci špatně čas přičetli k času, kdy Paul domov opustil.

Z vlastního pohledu se domnívám, že žáci v tomto případě pořádně nerozuměli zadání kvůli

jazykové bariéře. Graf 62 zobrazuje úspěšnost odpovědí žáků v této otázce.

Graf 62: Úspěšnost řešení otázky e) příkladu 5

Otázka: Jak daleko Paul do školy cestuje?

U této otázky odkazuji na otázku - Jak dlouho Paul nakupoval. Opět si zde žáci velmi

často pletli slovní spojení Jak daleko a Jak dlouho. I přesto ale počet úspěšných odpovědí

převýšil počet odpovědí neúspěšných. Graf 63 je grafem úspěšnosti řešení.

Graf 63: Úspěšnost řešení otázky f) příkladu 5

Úspěšnost řešení posledního (pátého) příkladu odpovídá úspěšnosti řešení první

otázky tohoto příkladu, tedy 42%. Opět je za úspěšného řešitele považován ten žák, který

všechny otázky v úloze odpověděl správně.

Úspěšně 58%

Neúspěšně 42%


e) V kolik hodin Paul dorazil do

školy?


Úspěšně 52%

Neúspěšně 48%


f) Jak daleko Paul do školy cestuje?


101

Pátý příklad obsahoval navíc ještě jednu otázku. Otázka už se netýkala příkladu a čtení

z grafu, ale porozumění matematického textu v anglickém jazyce. Žáci měli vybrat jednu

z možností, která nejvíce vystihovala jejich situaci při řešení pátého příkladu. Možnosti:

a) Umím anglicky a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka do českého jazyka

s porozuměním. Zadání jsem rozuměl a úlohu jsem mohl řešit.

b) Umím částečně anglický jazyk a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka jen

částečně. Zadání úlohy jsem ale porozuměl a úlohu jsem řešil.

c) Umím částečně anglický jazyk a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka

jen částečně. Nedostatečné znalosti anglického jazyka způsobily, že jsem

nerozuměl zadání úlohy a úlohu jsem nemohl vyřešit.

Podle grafu 64 je zřejmé, že anglický jazyk nebyl pro většinu žáků překážkou

k vyřešení matematického příkladu zadaného v anglickém jazyce. 28% žáků nezvolilo žádnou

odpověď. Žáci otázku často přehlédli.

Graf 64: Graf vyjadřující práci s anglickým jazykem

Obrázek 19: Správné odpovědi žáka u příkladu 5

a) 35%

b) 30%

c) 7%

Bez odpovědi

28%

Graf vystihující situaci žáků u 5.

příkladu

a) b) c) Bez odpovědi

102

4.6 Shrnutí empirického šetření

Na základě pedagogického pozorování, diskuze a analýzy jednotlivých žáky

vypracovaných testových úloh mohou být sepsána určitá zjištění.

Soubor testových úloh vytvořených k empirickému šetření byl vybrán z anglických

učebnic pro žáky anglických škol věkově totožných s žáky devátých ročníků českých

základních škol. Byly vybrány typy příkladů, se kterými se žáci většinou běžně v českých

učebnicích matematiky nesetkají.

Hlavním cílem empirického šetření bylo zjistit úspěšnost žáků devátého ročníku

při řešení již zmíněných testových úloh přejatých z anglických učebnic matematiky.

Jednotlivé úspěšnosti řešení jsou:

celková úspěšnost řešení prvního příkladu byla 24%;

celková úspěšnost řešení druhého příkladu byla pouze 3%;

celková úspěšnost řešení třetího příkladu byla 45%;

celková úspěšnost řešení čtvrtého příkladu byla 21%;

celková úspěšnost řešení pátého příkladu byla 42%.

Na základě vzdělávacího obsahu a jednotlivých očekávaných výstupů v rámci

vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace v RVP ZV bylo očekáváno, že úspěšnost

u prvních třech příkladů bude vysoká. Bohužel, zmíněné očekávání bylo vyvráceno.

Nízká úspěšnost řešení jednotlivých příkladů mohla být způsobena několika faktory.

Na první faktor již upozornili sami žáci při řešení testových úloh komentářem

„To jsme se neučili.“ nebo „To už je dávno, co jsme se to učili.“ Z komentářů

vyplývá, že mnoho českých žáků řeší matematické úlohy na základě

memorování si jednotlivých algoritmů či postupů řešení. Vzhledem k tomu,

že zmíněným algoritmům často nerozumí, pouze si je memorují, dochází

snadno k zapomnění postupu řešení či často čeští žáci nedokáží tento

algoritmus přizpůsobit jinému typu příkladu.

Druhým faktorem je vzdělávací obsah vzdělávací oblasti Matematika a její

aplikace v RVP ZV v ČR. Tento vzdělávací obsah byl srovnáván na základě

českých a anglických učebnic matematiky. Jak už nastínila kapitola 3.5,

anglické učebnice nelpí na obecných předpisech, vzorcích, názvech

či memorování jednotlivých postupů. Snaží se žáky motivovat k samostatnému

nalezení řešení jednotlivých úloh. V učebnicích se vyskytuje velké množství

příkladů z praxe. Učivo o grafech funkcí je zaváděno paradoxně bez vysvětlení

103

pojmu funkce. Žáci pracují pouze s pojmem závislost. Ačkoliv neví,

co je funkce a neznají jednotlivé názvy a předpisy funkcí, přesto dokáží

jednotlivé příklady znázornit grafy funkcí a pracovat s nimi.

Třetím faktorem je datum zadání empirického šetření. Testové úlohy byly

žákům zadány v průběhu měsíce května roku 2016. Testové úlohy byly zadány

žákům devátých ročníků, kteří už splnili příjímací zkoušky a byli přijati

na střední školy. Uvědomuji si, že motivace k vyřešení jednotlivých testových

úloh byla o to nižší.

U čtvrté a páté úlohy byla na druhou stranu očekávaná úspěšnost nízká, proto byly

úlohy zařazeny až na konec souboru testových úloh. Dle mého názoru žáci, kteří k vyřešení

matematických úloh nevyužívají naučené postupy, čtvrtý příklad zaujal. Tento poznatek byl

usouzen ze závěrečné diskuze, která byla ve většině zaměřena na řešení čtvrté úlohy.

Pátá úloha byla pro všechny žáky velkou výzvou. Když byla žákům předána

informace, že je jedna úloha zadána v angličtině, žáci působili vystrašeně. Ačkoliv jejich

reakce nebyly z počátku moc kladné, hodně žáků ze zajímavosti řešila příklad zadaný

v anglickém jazyce jako první. Ze šetření lze vidět poměrně velká úspěšnost správných

odpovědí jednotlivých otázek kladených v páté úloze. V závěrečné diskuzi poté žáci uváděli,

že je doslova „bavilo“ řešit matematický příklad zadaný v anglickém jazyce. V tomto případě

by bylo vhodné do hodin matematiky zařadit metodu CLIL.

Metoda CLIL (obsahově a jazykově integrované učení) je jednou ze strategií

dvojjazyčného vzdělávání a patří k významným trendům současného evropského školství.

„Metoda CLIL plně integruje výuku učiva jak daného předmětu, tak i cizího jazyka. CLIL

má výrazný interdisciplinární charakter, kdy dochází k propojení jazykové výuky

a vyučovaného předmětu. Jazyk je prostředkem pro výuku vzdělávacího obsahu, a ten se pak

naopak stává zdrojem pro výuku jazyků.“ (Baladová, 2012)

Jedním z dílčích cílů empirické části bylo zpracování česko-anglického slovníku

v oblasti učiva grafů pro použití metody CLIL na 2. stupni ZŠ v hodinách matematiky.

Slovník se nachází ve vázaných přílohách (příloha č. 7).

Jednotlivé ukázky řešení žáků testových úloh se rovněž nacházejí ve vázaných

přílohách.

104

ZÁVĚR

Hlavním cílem diplomové práce na téma „Grafy na 2. stupni ZŠ v několika českých

a anglických učebnicích“ bylo na základě prostudované literatury objasnit základní grafy

funkcí a statistické grafy a diagramy, srovnat anglické a české učebnice z pohledu zmíněného

učiva a zjistit úspěšnost českých žáků devátého ročníku při řešení testových úloh přejatých

z anglických učebnic matematiky.

Teoretická část práce obsahuje přehled základních grafů funkcí a statistických

diagramů (dále jen grafů), které jsou podle RVP ZV obsahem vzdělávání a které se popřípadě

v českých učebnicích 2. stupně ZŠ vyskytují. Všechny grafy a diagramy byly vytvořeny

v programu Microsoft Excel nebo GeoGebra. Následují dvě kapitoly, které objasňují

očekávané výstupy v rámci učiva grafů v českém kurikulu (RVP ZV) i v anglickém kurikulu

(pro klíčové období 3 a 4). Klíčová období byla vybrána na základě studia anglického

školství, které je popsáno v kapitole Školský vzdělávací systém v Anglii, kde je rozebrána

podrobněji školská soustava, financování školství a také reforma, která se zasloužila o vznik

národního anglického kurikula.

Na základě studia anglického školství byly v empirické části práci vybrány dvě řady

učebnic – česká a anglická. Obě řady jsou určeny pro žáky ve věku 11-16 let. V České

republice zde spadají žáci 2. stupně ZŠ, v Anglii žáci střední školy „secondary school“.

Učebnice byly srovnány z pohledu učiva grafů a byly zjištěny určité odlišnosti: Liší se jak

strukturou, tak především obsahem vzdělávání. Zásadní rozdíl učebnic spočívá v tom,

že anglické učebnice oproti českým vůbec nepracují s pojmem funkce. Učebnice sice s grafy

funkcí pracují, pojem funkce ale v učebnicích vysvětlen není. I přesto s těmito grafy angličtí

žáci pracovat umí. Předpis funkce zadávají formulí. Druhým rozdílem je množství

praktických příkladů a příkladů zaměřených na reálný život, převyšující v učebnicích

anglických. Třetím rozdílem je zařazení učiva o grafech v Anglii během celého vyučovacího

období (v rámci několika kapitol) oproti České republice, kde je učivo procvičováno

v menším počtu kapitol a pouze jednou až dvakrát ročně. Posledním rozdílem je diferenciace

výuky dle anglických učebnic, která podporuje individualizaci a samostatnou práci žáků.

Prvním dílčím cílem empirického šetření bylo na základě srovnání české a anglické

řady učebnic matematiky z pohledu učiva grafů sestavit soubor testových úloh, který

je typický pouze pro anglické učebnice a odpovídá znalostem českých žáků. Zadáním

testových úloh českým žákům devátých ročníků byly zjištěny výsledky o úspěšnosti řešení.

Úspěšnost řešených úloh byla nízká, což mohlo být způsobeno třemi faktory: datem zadání,

105

memorováním postupů řešení a zařazením malého počtu praktických příkladů do vyučovacích

hodin. Přesto se ale v počtu žáků našli jednotlivci, kteří testové úlohy zvládli vypracovat celé

správně.

K práci je přiložen Česko – anglický slovník, který je možné využít při metodě CLIL

ve vyučovacích hodinách matematiky.

106

SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ

Literatura

BAKER D. a kol. Key maths 72. 2. vyd. Cheltenham: Stanley Thornes, 2000.

ISBN 074875525X.


ISBN 074875525X.


ISBN 074875525X.

CIZLEROVÁ, M., ZAHRADNÍČEK M., ZAHRADNÍČKOVÁ A. Matematika pro střední

školy 4. díl: Funkce I. Brno: DIDAKTIS spol. s. r. o., 2014. ISBN 978-80-7358-214-2.

HENDL, J Statistika v aplikacích. Vyd. 1. Praha: Portál, 2014. ISBN 978-80-262-0700-9.

JANUROVÁ, E., JANURA M., SVOBODA Z. Matematika pro každého, aneb, Rychlokurz

matematiky. Olomouc: Rubico, 2011. ISBN 978-80-7346-122-5.

KOVÁŘÍČEK, V., URBANOVSKÁ E. Přehled evropského školství. 1. vyd. Olomouc:

Rektorát Univerzity Palackého, 1989.

PARKER, P. Dictionary of mathematics. Editor Sybil. New York: McGraw-Hill, 1997.

ISBN 0070524335.

POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 80-

7196-196-5.

ROSECKÁ, Z, ČUHAJOVÁ V. Aritmetika: učebnice pro 6. ročník. Ilustrace Jiří Růžička.

Brno: Nová škola, 1997. ISBN 80-85607-54-9.

ROSECKÁ, Z., ČUHAJOVÁ V. Aritmetika: učebnice pro 7. ročník. Ilustrace Jiří Růžička.

Brno: Nová škola, 1998. ISBN 80-85607-74-3

107

ROSECKÁ, Z. Algebra: učebnice pro 8. ročník. Brno: Nová škola, 2010.

ISBN 80-85607-92-1.

ROSECKÁ, Z. Algebra: učebnice pro 9. ročník. Brno: Nová škola, 2000.

ISBN 80-7289-024-7

RÝDL, K. Inovace školských systémů. Vyd. 1. Praha: Nakladatelství ISV, 2003. ISBN

8086642178.

VÁŇOVÁ, M. Vzdělávací systémy ve vyspělých evropských zemích: výstup stěžejního úkolu

PedF UK v Praze. 1. vyd. Praha: Karolinum, 1994. ISBN 8070668482

VOŠICKÝ, Z., LANK V., VONDRA M. Matematika a fyzika: matematika, cvičení z

matematiky, fyzika. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 2007. ISBN 978-80-253-0523-2.

WALTEROVÁ, E. Kurikulum: proměny a trendy v mezinárodní perspektivě. 1. vyd. Brno:

Masarykova univerzita, 1994. ISBN 8021008466.

Elektronické zdroje

About us. GOV.UK [online]. United Kingdom: Government UK [cit. 2016-04-21]. Dostupné

z: https://www.gov.uk/government/organisations/department-for-education/about

BALADOVÁ, G. Výuka metodou CLIL. In: Metodický portál: inspirace a zkušenosti

učitelů [online]. Praha: Národním ústavem pro vzdělávání, poradenským zařízením

a zařízením pro další vzdělávání pedagogických pracovníků, 2012 [cit. 2016-06-09].

Dostupné z: http://clanky.rvp.cz/clanek/o/z/2965/vyuka-metodou-clil.html/

Citáty o škole. Citáty slavných osobností [online]. [cit. 2016-06-13]. Dostupné z:

http://citaty.net/citaty-o-skole/

https://www.gov.uk/government/organisations/department-for-education/about

http://clanky.rvp.cz/clanek/o/z/2965/vyuka-metodou-clil.html/

108

Dostupné typy grafů. Office [online]. Office, 2016 [cit. 2016-04-08]. Dostupné z:

https://support.office.com/cs-cz/article/Dostupn%C3%A9-typy-graf%C5%AF-a6187218-

807e-4103-9e0a-27cdb19afb90#top

KOCOURKOVÁ, Š., PASTOROVÁ M. Pojetí klíčových kompetencí v kurikulech vybraných

zemí [online]. 1. vyd. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, 2011 [cit. 2016-04-25].

ISBN 978-80-87000-71-7. Dostupné z:

file:///C:/Users/user/Desktop/Diplomka/Pojeti_klicovych_kompetenci_v_kurikulech_vybrany

ch_zemi__web.pdf

KOHOUT, V. Základní statistické pojmy. In: Fakulta pedagogická Západočeské univerzity v

Plzni: Oddělení matematiky [online]. Plzeň, 2014 [cit. 2016-04-08]. Dostupné z:

http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/letnisem/SS/stat10.pdf

Key Maths and the Framework for teaching mathematics [online]. United Kingdom: Nelson

Thornes, 2001 [cit. 2016-04-27]. Dostupné z:

http://fdslive.oup.com/www.oup.com/oxed/nt/kmks3_framework.pdf?region=international

O nás. Nakladatelství Nová škola Brno [online]. Brno, 2013 [cit. 2016-04-27]. Dostupné z:

http://www.novaskolabrno.eu/o-nas.aspx

PARVEVA, T a kol. Matematické vzdělávání v Evropě: společná úskalí a politiky

jednotlivých zemí[online]. Brusel: EACEA, 2011, 180 s. [cit. 2016-06-13]. ISBN 978-92-

9201-247-2. Dostupné z:

http://eacea.ec.europa.eu/education/eurydice/documents/thematic_reports/132CS.pdf

PEJCHA, J. Komparace systémů hudebního vzdělávání v České republice a Velké

Británii [online]. Brno, 2010 [cit. 2016-06-10]. Dostupné z:

https://is.muni.cz/th/178595/ff_m/Diplomova_prace.pdf

Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha: Výzkumný ústav

pedagogický v Praze, 2007. 126 s. [cit. 2016-04-13]. Dostupné z

WWW:<http://www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPZV_2007-07.pdf>.

https://support.office.com/cs-cz/article/Dostupn%C3%A9-typy-graf%C5%AF-a6187218-807e-4103-9e0a-27cdb19afb90#top

https://support.office.com/cs-cz/article/Dostupn%C3%A9-typy-graf%C5%AF-a6187218-807e-4103-9e0a-27cdb19afb90#top

http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/letnisem/SS/stat10.pdf

http://fdslive.oup.com/www.oup.com/oxed/nt/kmks3_framework.pdf?region=international

http://www.novaskolabrno.eu/o-nas.aspx

https://is.muni.cz/th/178595/ff_m/Diplomova_prace.pdf

109

The national curriculum in England: Key stages 3 and 4 framework document [online].

Department for education, 2014. 105 s. [cit. 2016-04-20]. Dostupné z:

https://www.gov.uk/government/uploads/system/uploads/attachment_data/file/381754/SECO

NDARY_national_curriculum.pdf

SYNKOVÁ, Karolína. Funkce v matematice na střední škole [online]. Brno, 2015 [cit. 2016-

04-07]. Dostupné z: http://is.muni.cz/th/371642/pedf_m/

https://www.gov.uk/government/uploads/system/uploads/attachment_data/file/381754/SECONDARY_national_curriculum.pdf

https://www.gov.uk/government/uploads/system/uploads/attachment_data/file/381754/SECONDARY_national_curriculum.pdf

http://is.muni.cz/th/371642/pedf_m/

110

SEZNAM OBRÁZKŮ

Obrázek 1: Rozhodovací schéma pro tvorbu typu grafu ............................................. 18

Obrázek 3: Struktura vzdělávacího systému v Anglii k roku 2008/2009 .................... 25

Obrázek 4: Čtyři klíčové fáze podle národního kurikula ............................................ 28

Obrázek 5: Přehled vyučovacích předmětů v Anglických školách ............................. 29

Obrázek 6: Řešení příkladu 1 .................................................................................... 38

Obrázek 7: Grafické řešení soustav lineárních rovnic k příkladu 17 ........................... 58

Obrázek 8: Grafické řešení soustav lineárních rovnic k příkladu 19 ........................... 59

Obrázek 9: Ceny benzínu v Evropě v r. 1997 ............................................................. 69

Obrázek 10: Procentové diagramy ............................................................................. 76

Obrázek 11: Ukázka vyplnění tabulky k příkladu 1 ................................................... 84

Obrázek 12: Ukázka sestrojení grafu závislosti mil na km ......................................... 86

Obrázek 13: Ukázka řešení druhého příkladu ............................................................ 88

Obrázek 14: Ukázka nalezení předpisu funkce 𝑓 a 𝑔 ................................................. 89

Obrázek 15: Ukázka nalezení souřadnic průsečíku .................................................... 89

Obrázek 16: Ukázka vyplnění tabulky u příkladu 3 ................................................... 91

Obrázek 17: Ukázky sestrojení sloupcového grafu .................................................... 92

Obrázek 18: Způsob řešení grafu A u příkladu 4........................................................ 95

Obrázek 19: Způsob řešení grafu B u příkladu 4 ........................................................ 95

Obrázek 20: Správné odpovědi žáka u příkladu 5 .................................................... 101

111

SEZNAM GRAFŮ

Graf 1: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 = 0) ....................................................................6

Graf 2: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 > 0) ....................................................................6

Graf 3: Graf lineární funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 < 0) ....................................................................7

Graf 4: Graf přímé úměrnosti ......................................................................................8

Graf 5: Graf kvadratické funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 > 0) ..............................................................9

Graf 6: Graf kvadratické funkce (𝑝𝑟𝑜 𝑎 < 0) ............................................................ 10

Graf 7: Změna grafu funkce 𝑦 = 𝑎𝑥2 v závislosti na změně koeficientu 𝑎................. 11

Graf 8: Graf funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑚2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientu 𝑚 ........... 11

Graf 9: Graf funkce 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑚2 + 𝑛 v závislosti na změně koeficientu 𝑛 ............ 12

Graf 10: Bodový graf závislosti naměřené teploty na čase ......................................... 13

Graf 11: Sloupcový graf ukazující počet dětí v rodinách ............................................ 14

Graf 12: Koláčový graf ukazující počet položek prodaných během oběda ................. 15

Graf 13: Prstencový graf ukazující počet položek prodaných v době oběda ............... 15

Graf 14: Spojnicový graf průměrné mzdy v ČR k 5. 6. 2015...................................... 16

Graf 15: Graf k příkladu 2 ......................................................................................... 39

Graf 16: Graf k příkladu 3 ......................................................................................... 40

Graf 17: Graf konstantních funkcí k příkladu 4 .......................................................... 42

Graf 18: Graf závislosti liber na mílích ...................................................................... 44

Graf 19: Graf funkce y = 3x ...................................................................................... 46

Graf 20: Graf závislosti ceny na hmotnosti ................................................................ 47

Graf 21: Grafy lineárních funkcí k příkladu 10 .......................................................... 48

Graf 22: Grafy lineárních funkcí k příkladu 11 .......................................................... 49

Graf 23: Graf funkce 𝑦 = 𝑥 a 𝑦 = 𝑥 + 1 ................................................................... 51

Graf 24: Graf funkce 𝑦 = 3𝑥 a graf funkce 𝑦 =? ....................................................... 53

Graf 25: Graf funkce 𝑦 = 2𝑥 + 1 .............................................................................. 54

Graf 26: Graf funkce 𝑦 = −2𝑥 + 1 ........................................................................... 55

Graf 27: Graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2 na množině ℝ ......................................................... 55

Graf 28:Graf funkce 𝑦 = 𝑥 + 2 ................................................................................. 55

Graf 29: Graf závislosti liber na frankách .................................................................. 61

Graf 30: Graf zobrazující Paulovu cestu do školy ...................................................... 62

Graf 31: Způsob dopravy třídy 7M do školy .............................................................. 64

Graf 32: Nejoblíbenější barva žáků třídy 7M ............................................................. 65

112

Graf 33: Sloupcový graf A k příkladu 27 ................................................................... 68

Graf 34: Sloupcový graf B k příkladu 27 ................................................................... 68

Graf 35: Sloupcový graf vyjádřený procenty ............................................................. 70

Graf 36: Průměrná měsíční mzda v r. 1997 ................................................................ 70

Graf 37: Graf sloupcový svislý k příkladu 30 ............................................................ 71

Graf 38: Graf sloupcový vodorovný k příkladu 30 ..................................................... 72

Graf 39: Koláčový graf zobrazující, jak žáci 7D obědvají .......................................... 73

Graf 40: Graf prezentující způsob obědu žáků ........................................................... 76

Graf 41: Grafy rozloh pozemků ................................................................................. 77

Graf 42: Podíl jednotlivých materiálů na obalech ...................................................... 77

Graf 43: Měsíční výdaje domácnosti ......................................................................... 78

Graf 44: Počet soukromých podnikatelů v jednotlivých krajích ................................. 79

Graf 45: Úspěšnost při vyplnění tabulky u příkladu 1 ................................................ 85

Graf 46: Úspěšnost sestrojení grafu u příkladu 1 ....................................................... 85

Graf 47: Odpovědi na otázku: Co je grafem funkce? ................................................. 86

Graf 48: Odpovědi na otázku: Jak zmíněnou funkci nazýváme? ................................ 87

Graf 49: Úspěšnost řešení příkladu 1 ......................................................................... 87


Graf 51: Úspěšnost vyplnění tabulky u příkladu 3 ..................................................... 90

Graf 52: Úspěšnost určení nejpočetnějšího intervalu u příkladu 3 .............................. 91

Graf 53: Úspěšnost sestrojení sloupcového grafu u příkladu 3 ................................... 92

Graf 54: Úspěšnost při řešení příkladu 3 .................................................................... 93

Graf 55: Úspěšnost přiřazení situace ke grafu u příkladu 4 ........................................ 93


Graf 57: Úspěšnost řešení otázky a) příkladu 5 .......................................................... 97

Graf 58: Úspěšnost řešení otázky b1) příkladu 5 ........................................................ 98

Graf 59: Úspěšnost řešení otázky b2) příkladu 5 ........................................................ 98

Graf 60: Úspěšnost řešení otázky c) příkladu 5 .......................................................... 99

Graf 61: Úspěšnost řešení otázky d) příkladu 5 .......................................................... 99

Graf 62: Úspěšnost řešení otázky e) příkladu 5 ........................................................ 100

Graf 63: Úspěšnost řešení otázky f) příkladu 5 ........................................................ 100

Graf 64: Graf vyjadřující práci s anglickým jazykem .............................................. 101

113

SEZNAM TABULEK

Tabulka 1: Systém třídění žáků podle věku vždy k 1. září věku dítěte ........................ 27

Tabulka 2: Řada učebnic matematiky Nová škola Brno ............................................. 34

114

SEZNAM ZKRATEK

aj. a jiné

apod. a podobně

atd. a tak dále

mj. mimo jiné

např. například

resp. respektive

RVP Rámcový vzdělávací program

RVP ZV Rámcový vzdělávací program pro základní

vzdělávání

tj. tj

ZŠ základní škola

CLIL Content and Language Integrated Learning,

tj. obsahově a jazykově integrované učení

Y7 Year 7

Y8 Year 8

Y9 Year 9

ČR Česká republika

MŠMT Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

115

SEZNAM PŘÍLOH

Příloha č. 1: Soubor testových úloh

Příloha č. 2: Ukázka řešení první úlohy

Příloha č. 3: Ukázka řešení druhé úlohy

Příloha č. 4: Ukázka řešení třetí úlohy

Příloha č. 5: Ukázka řešení čtvrté úlohy

Příloha č. 6: Ukázka řešení páté úlohy

Příloha č. 7: Česko – anglický matematický slovníček k učivu o grafech

Příloha č. 8: Ukázka školského systému v Anglii platného k roku 1989

Příloha č. 1 – soubor testových úloh

Milí žáci,

jsem studentkou posledního ročníku na vysoké škole. Obracím se na Vás s prosbou

vyplnění následujícího krátkého šetření zaměřeného na porozumění grafům. Prosím Vás

o vyplněné pěti příkladů, přičemž vyplnění je čistě anonymní. Přesto bych byla ráda, kdybyste

mi pomohli a zkusili se chvilku nad příklady zamyslet. Pozorně si u každého příkladu přečtěte

zadání a odpovídejte na všechny kladené otázky. Na vyplnění máte celou vyučovací hodinu

(45 min). Pokud nebudete čemukoliv rozumět, přihlaste se.

Předem Vám moc děkuji za vyplnění.

Bc. Petra Machýčková

1. Příklad

V Anglii používají lidé k označení vzdálenosti jednotku „míle“. George navštěvoval

v Anglii různé památky a ušel celkem 5 mil, což je v našich délkových jednotkách

vzdálenost 8 km. Kate ušla po památkách v Anglii 10 mil, což se u nás rovná vzdálenosti

16 km.

a) Vyplňte tabulku závislosti mil na km.

b) Sestrojte graf této závislosti samostatně

na čistý bílý papír. Nezapomeňte označit všechny položky.

c) Co je grafem této funkce? ____________________________________________

d) Jak zmíněnou funkci nazýváme? _______________________________________

2. Příklad

Před sebou vidíte dva grafy lineárních funkcí, 𝒇 a 𝒈.

a) Napiš předpis červené funkce 𝑓: ________________________________________

b) Napiš předpis zelené funkce 𝑔: _________________________________________

c) Grafy znázorněných lineárních

funkcí se protínají v bodě P.

Jaké souřadnice má bod P?

Souřadnice bodu P zjistěte

výpočtem. Výpočet napište

na čistý papír a zaznačte bod P

i jeho souřadnice do grafu.

Počet mil

Počet km

3. Příklad

Ve třídě 9. B si žáci měřili rozpětí paží od špičky prstu levé ruky po špičku prstu pravé

ruky. Hodnoty jednotlivých měření v centimetrech jsou tyto:

132

138

142

123

129

136

143

131

147

144

140

135

127

143

137

135

128

133

148

130

124

141

136

140

134

139

146

138

139

130

151

133

c) Vyplňte tabulku:

Interval

(cm)

Zařazení naměřené hodnoty do příslušného

intervalu

Celkový počet

naměřených

hodnot v intervalu

120 - 124

125 - 129

130 - 134

135 - 139

140 - 144

145 - 149

150 - 154

Celkem:_____

d) Vytvořte sloupcové

grafy, které vyjadřují

kolik žáků s rozpětím

svých paží se vyskytuje

v daném intervalu.

e) Který interval je

zastoupen ve třídě

největším počtem

žáků? ____________

Délka rozpažení u žáků

9. B

4. Příklad

Na vyznačené místo na začátku věty napište písmeno A (graf A) nebo písmeno

B (graf B) podle toho, kterou situaci který graf označuje.

_____ Manažer prodeje automobilů se snaží dokázat jednomu ze svých zaměstnanců,

že prodej aut daného zaměstnance nevrůstá v jednotlivých měsících dostatečně rychle.

______Prodejce (zaměstnanec) se naopak snaží manažerovi dokázat, že prodej v jednotlivých

měsících dostatečně vzrůstá.

A)

B)

Reprezentují grafy stejné informace? (Zakroužkuj ANO nebo NE a napiš, proč si to myslíš.)

ANO … proč? _______________________________________________________________

NE … proč? ________________________________________________________________

5. Příklad

The graph shows Paul´s journey from home to school.

a) Paul started by walking. How long did he walk? _____________________________

b) Paul stopped at a shop to buy a pen.

(1) How does this show on the graph?

__________________________________________________________________

(2) How long did Paul stop? ______________________________________________

c) Paul was late and started to run. How long did he run? _________________________

d) How long did Paul´s journey take altogether? ________________________________

e) If he left home at 8:05 am, what time did Paul arrive at school? __________________

f) How far does Paul travel to school? ________________________________________

Úloha číslo 5 byla formulována v anglickém jazyce. Zakroužkujte jednu

z následujících možností, která nejlépe vyjadřuje Vaši situaci při řešení úlohy č. 5:

a) Umím anglicky a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka do českého jazyka

s porozuměním. Zadání jsem rozuměl a úlohu jsem mohl řešit.

b) Umím částečně anglický jazyk a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka

jen částečně. Zadání úlohy jsem ale porozuměl a úlohu jsem řešil.

c) Umím částečně anglický jazyk a text úlohy jsem přeložil z anglického jazyka

jen částečně. Nedostatečné znalosti anglického jazyka způsobily, že jsem nerozuměl

zadání úlohy a úlohu jsem nemohl vyřešit.

Příloha č. 2 – Ukázka řešení první úlohy

Příloha č. 3 – Ukázka řešení druhé úlohy

Příloha č. 4 - Ukázka řešení třetí úlohy

Příloha č. 5 - Ukázka řešení čtvrté úlohy

Příloha č. 6 - Ukázka řešení páté úlohy

Příloha č. 7 – Česko – anglický matematický slovníček k učivu o grafech

bod point

čísla opačná number patterns

definiční obor domain

funkce function

graf graph

graf vyjadřující závislost conversion graph

hodnota value

klesající funkce decreasing function

koláčový diagram pie - chart

konstantní funkce constant function

křivka curve

kvadrant quadrant

legenda (klíč) key

lichá funkce odd function

lineární funkce linear function

mnoho řešení many solutions

mřížka grid

náleží belongs

nemá řešení non solutions

nepřímá úměrnost inverse proportion

obecný tvar general form

obor hodnot range of values

osa x axis x

osa y axis y

počátek origin

proměnná variable

průsečík point of intersection

předpis rule

přímá úměrnost direct proportion

rostoucí funkce increasing function

rovnice equation

rozptylový graf scatter diagram

různoběžky intersecting lines

sestrojit (graf) plot

sloupcový graf bar - chart

souřadnice co-ordinates

soustava rovnic simultaneous equations

sudá funkce even function

určit, stanovit determine

úměrnost propotion

vzor pattern

vzorec formula

v rovině in the plane

Příloha č. 8 – Ukázka školského systému v Anglii platného k roku 1989

(Kovaříček, Urbanovská, 1989)

ANOTACE

Jméno a příjmení: Petra Machýčková

Katedra: Katedra matematiky

Vedoucí práce: doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc.

Rok obhajoby: 2016

Název práce: Grafy na 2. stupni základních škol v českých a anglických

učebnicích matematiky

Název v angličtině: Graphs in lower secondary schools as presented in some

Czech and English texbooks

Anotace práce: Grafy, z matematického hlediska používané

ke schematickému znázornění vztahů, postupů, závislostí nebo

statistických údajů se staly problémovou oblastí matematiky.

Uvedená diplomová práce uvádí základní grafy funkcí

a statistické grafy a diagramy vyučující se na 2. stupni ZŠ

České republiky. V práci je zároveň nastíněno fungování

anglického školství, na jehož základě je postaveno srovnání

české a anglické řady učebnic matematiky z pohledu učiva

o grafech. Na základě srovnání dvou řad učebnic, které

obsahuje škálu příkladů a grafů z učebnic vytvořených

v programech GeoGebra nebo Microsoft Excel, byl sestaven

soubor testových úloh přejatých z anglických učebnic a zadán

českým žákům devátých ročníků základních škol. U testových

úloh byla zjišťována úspěšnost řešení a také postup řešení

jednotlivých úloh. Diplomová práce obsahuje také česko-

anglický slovník k tématu, který je možný využít při metodě

CLIL ve vyučovacích hodinách matematiky.

Klíčová slova: Graf, graf funkce, funkce, graf lineární funkce, graf

kvadratické funkce, statistické grafy, diagramy, anglické

školství, reforma, kurikulum v Anglii, anglické učebnice,

české učebnice, CLIL, RVP ZV, matematika a její aplikace,

testové úlohy, základní škola

Anotace v angličtině: Graphs, mathematical terms used for schematic representation

of relationships, processes, dependencies or statistical data

become problematic areas of mathematics. Those thesis

presents the basic function graphs and statistical charts

and diagrams teaching in secondary school. The thesis

contains an English education, based on which is based

the comparison of Czech and English series of textbooks

of mathematics dealing with graphs. Based on the comparison

of the two series of textbooks that contains variety

of examples and graphs from textbooks created in GeoGebra

or Microsoft Excel was compiled test tasks taken from English

textbooks and entered the Czech pupils. In the test tasks was

determined by the success of solutions and process solutions

to individual problems. The thesis contains also

a Czech-English dictionary on the topic, which can be used

in CLIL lessons in mathematics.

Klíčová slova v angličtině: Graph, Graph of function, Function, Graph linear functions,

Graph quadratic functions, Statistical graphs, Diagrams,

English education, reform, Curriculum in England, English

textbooks, Czech textbooks, CLIL, RVP ZV, Mathematics and

its applications, Quiz questions, Secondary education

Přílohy vázané v práci: Příloha č. 1 – Soubor testových úloh

Příloha č. 2 – Ukázka řešení první úlohy

Příloha č. 3 – Ukázka řešení druhé úlohy

Příloha č. 4 – Ukázka řešení třetí úlohy

Příloha č. 5 – Ukázka řešení čtvrté úlohy

Příloha č. 6 – Ukázka řešení páté úlohy

Příloha č. 7 – Česko – anglický matematický slovník k učivu

o grafech

Příloha č. 8: Ukázka školského systému v Anglii platného

k roku 1989

Rozsah práce: 115 s.

Jazyk práce: Český

Date post:	08-Nov-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Grafy na 2. stupni základních škol - Theses · 2016. 6. 22. · UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI...

Documents