Gravitace

221

g rmmGF

Newtonův univerzální zákon: Každá částice ve vesmíru přitahuje každou jinoučástici silou, která je úměrná součinu jejich hmotností a nepřímoúměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.

Vzorcem: označíme jejich hmotnosti m1 a m2 jejich vzdálenost r

G=6,67310-11Nm2kg-2

Splňují zákon akce a reakce

m1

m2

Fg

Fg

„jako v nebi tak i na Zemi“

K tomu: síly od různých částic se sčítají (vektorově)…princip superpozice+vliv síly na pohyb dá Newtonův základní zákon dynamiky:

tddpF

● Vše, co potřebujeme znát pro určení pohybu těles vlivem gravitace.

● Matematický popis místo mechanického stroje.

● Vše ostatní jsou důsledky.

Hned tady na Zemi

mgF g

2Z

Zg r

mMGF

Uvidíme odkud se bere zrychlení g:

Z minula:

Nyní: MZ=5.97361024kgrZ=6378km

Porovnáním:

2-2-

26

2411

2Z

Z

2Z

Z

ms10ms106106106

g

rMGg

rmMGmg

Odtud:

Hrubý odhad:

Navíc…skoro konstantní při změně r menší než poloměr Země

Keplerovy zákony pohybu planet

Logicky…důsledky Newtonova zákonaHistoricky…Newton naopak z nich přišel na svůj zákon

1. Všechny planety se pohybují po elipsách se Sluncem v jednom ohnisku.

2. Průvodič od Slunce k planetě pokryjestejné plochy za stejné časové intervaly.

3. Druhá mocnina doby oběhu planety je úměrná třetí mocnině hlavní poloosy elipsy.

1.zákon

a je hlavní poloosab je vedlejší poloosa

Pro vzdálenost ohniska c platí c2=a2-b2

Excentricita e = c/a

● 1. zákon je přímý důsledek závislosti síly na vzdálenosti jako 1/r2 (což nedokážeme).

● Trajektorie planet jsou skoro kružnice (nejvíc excentrický je Merkur…0,4%).

● Naopak trajektorie komet jsou velmi excentrické.

2. zákon

Vektorový součin má velikost plochyrovnoběžníka z obou vektorů.Trojúhelník má poloviční plochu.

Za dobu dt urazí planeta dráhu vdt

L

Lvrvrrr

mtA

tm

tmm

tA

21

dd

d21d

21d

21d

21d

Tímto jsme zavedli moment hybnosti L (více o něm za chvíli).

2. Zákon říká, že se L nemění…uvidíme brzy proč.

3. zákonUkážeme pro kruhovou dráhu, kdy hlavní poloosa je rovná poloměru r.

3

S

22

2

2

P2PS

Pg

2

222

4

4

4/2

rGM

T

TrM

rMMG

aMF

Tr

rTr

rva

Doba oběhu T dá oběhovou rychlost v = 2r / T

Dostředivé zrychlení(z minula)

2. Newtonův zákon

Hmotnost planety se zkrátila mezi oběma stranami rovnice.

Gravitační pole

aaFg

mm

mg

Gravitační síla působí mezi libovolnými dvěma objekty na libovolné vzdálenosti.

Možná interpretace: jeden „zdrojový“ objekt vytváří gravitační pole, které působí na druhý „testovací“ objekt.

Pole působí ve stejném místě. (místo kritizovaného působení na dálku od zdrojového objektu)

Působící síla je úměrná hmotnosti testovacího objektu. Síla vydělená hmotnostítestovacího objektu = intenzita g. Charakterizuje pole samotné.

2rGMg Pro pole od bodové částice: směřuje k zdrojové částici

Tedy intenzita = gravitační zrychlení (už jsme viděli blízko povrchu Země)

Gravitační pole je konzervativní…už jsme se dozvěděli minule a ukázaliblízko povrchu Země, kde je gravitační zrychlení konstantní.

Teď ukážeme pro libovolnou vzdálenost:

if2

11dddf

i

f

i

f

irr

GMmrrGMmrrFW

r

r

r

r

r

r

rF

Takže práce závisí jen na počáteční a koncové vzdálenosti od zdroje, a tudížnezávisí na dráze.

Můžeme proto zavést potenciální energii vůči zvolenému referenčnímu bodu r0:

rr

GMmrrGMmrrFE

r

r

r

r

11~

~d~d~~d~;0

20pot

000

rrFrrr

r

Síla je radiální(ve směru průvodiče)

Blízko povrchu Země

ZZ0ZZ0Z0

0pot /111/1

11111; rhrr

GMmrhrr

GMmhrr

GMmE rr

Ve výšce h je r = rZ + h

hrGMm

rrGMmE 2

ZZ00pot

11;

rr

První člen = potenciální energie místa na povrchu Země

Druhý člen = potenciální energie vůči povrchu Země = mgh jako minule.

Poslední úprava……rozvoj do řady v malém parametru h / rZ přičemž jsme nechali jen první člen.

Takže:

Celková energie…přidáme kinetickou, která je kladná

Pro kruhovou dráhu studovanou výše:

Vzorec pro Epot se zjednoduší, když jako referenční bod r0 zvolíme nekonečno.Pro jednoduchost označení ho pak nebudeme psát:

Pak potenciální energie je vždycky záporná.

022

121

21 pot2

potkin E

rmMG

rmMG

rmMG

rmMGmvEEE

Takže celková energie je záporná.

Volba referenčního bodu pro potenciální energii v nekonečnu pak znamená,že objekt vázaný v gravitačním poli má celkovou energii zápornou.

Volný objekt má energii kladnou.

r

GMmE rpot

Energie rovná nule…na rozhraní mezi volným a vázaným…objekt akorát tak unikne do nekonečna

Musí mít únikovou rychlost

11716

2411

2

kms10ms1012ms106

1061062

2

210

v

rGMv

rmMGmvE

Únikové rychlosti pro různé planety

● planety lehčí než Země…neudrží žádnou atmosféru.

● planety těžší než Země…v atmosféře převládá H2, He.

● u nás tak akorát…při pokojové teplotě převládá N2, O2.

Hrubý odhad pro Zemi:

Důsledky pro atmosféru na planetě (pro nás):

Doposud jsme uvažovali jen bodové zdroje gravitačního pole i tam, kde to nebylapravda:

Gravitační zrychlení na povrchu Země jsme dostali, jako kdyby veškeráhmota Země byla soustředěná v jejím středu.

Důvodem jsou slupkové teorémy o gravitačním poli tenké sférické slupky: (1) Gravitační pole vně slupky je stejné, jako kdyby veškerá její hmota byla soustředěna v jejím středu.(2) Gravitační pole uvnitř slupky je nulové (gravitační Faradayova klec).

Proto gravitační pole vně kulatého zdroje pole je stejné, jako kdybycelá jeho hmotnost byla ve středu.

To věděl už Newton…teorém 30 a 31 v Principiích

Kulatý zdroj (Slunce, Země) gravitačního pole si můžeme představit jako složený ze sférických slupek.

Začneme gravitačním polem od jednoho hmotného bodu hmotnosti M. Toto pole klesáse vzdáleností od zdroje jako 1 / r2 (jako pokles intenzity záření od bodového zdroje).

2větší poloměr…4větší plocha sféry…ale též 4nižší intenzita, takže součinplochy a intenzity se nezmění.

Slupkové teorémy plynou z obecnější vlastnosti gravitačního pole…z Gaussova zákona: tok intenzity gravitačního pole ven z uzavřenéplochy je roven -4G hmotnost uvnitř plochy.

Nejlépe je Gaussův zákon vidět pro sférickou plochu, kde tok je roven součinu plochy a intenzity:

Důkaz slupkových teorémů:

Nejprve proto dokážeme Gaussův zákon:

GMrrGMrg 444 2

22

Znaménko mínus kvůli tomu, že gravitační intenzita směřuje ke zdroji

Tok =

Kvůli superpozici tohle platí, když hmotu M libovolně rozložíme v prostoru(to rozložení si můžeme představit jako složené z hmotných bodů

…též v druhé půlce přednášky)

Obecnou plochu rozdělíme na kousky

Tok gravitační intenzity kouskem plochy…je potřeba vzít kolmý průmět plochy dA

k intenzitě g:

Ωrr

GMArg d1d 22

r2 se zkrátí a integrál po celé ploše dá celkový prostorový úhel 4

GMΩGMArg 4dd

ΩrA dd 2Pak:

kde d je malý prostorový úhel

Proto:

dAdA

r

d

g(r)

M

Tím jsme dokázali Gaussův zákon. (potkáme jej taky v elektrostatice)

Pro sférickou slupku hmotnosti M zvolíme jako uzavřenou plochu sféru se středem ve středu slupky. Tato sféra může být větší nebo menší než slupka.Ze symetrie má intenzita všude na sféře stejnou velikost a směr do středu

● Sféra větší než slupka obsahuje uvnitř celkovou hmotnostslupky M, takže

2

2 44

rGMrg

GMrgr

● Sféra menší než slupka nemá uvnitř žádnou hmotu, takže intenzita je nulová.

Tím jsme dokázali oba slupkové teorémy z Gaussova zákona.

M

r

g

rgrrg 24dA

Důkaz slupkových teorémů z Gaussova zákona:

Jako pro pole od bodové částice

takže

Soustava hmotných bodů

nebo těleso, když nemůžeme zanedbat jeho rozměry (pak nekonečně mnoho bodů)

● Pohyb těžiště je stejný jako pohyb hmotného bodu.

● Rotační pohyb vůči těžišti se řídí podobnými zákony.

Uvidíme, že:

Nejprve zavedeme těžiště

Bod, ve kterém je v průměru veškerá hmota objektu.Proto je těžiště přímo pod jakýmkoliv bodem zavěšení:

Mmm

mmmm

2211

21

2211T

rrrrr

Matematicky:

● Vážený průměr; váha každého bodu je jeho hmotnost.

● M je celková hmotnost soustavy

● Pro nekonečně mnoho bodů v tělese přejde součet na integrál.

Tedy těžiště je bod, do kterého můžeme soustředit celkovou hmotnost a celkový pohyb tělesa.

Slovy: Rychlost těžiště celková hmotnost je celková hybnost.

celk212211TT dd

dd

dd ppprrrv

tm

tm

tMM

Druhou interpretaci těžiště dostaneme derivováním podle času:

Sečteme všechny vnější síly. Podle Newtonova základního zákona dynamikydají celkovou změnu hybnosti.

TTcelkcelk vnejs, dd

dd avpF M

tM

t

Dosazením do rovnice nahoře:

1. věta impulsová

Těžiště se pohybuje po parabole, jako hmotný bod, v němž jesoustředěna veškerá hmotnost.

Co vnitřní síly mezi různými body soustavy?

Uvážíme nejprve jednu dvojici bodů. Podle 3. Newtonova zákona síly mezi nimi tvoří pár akce a reakce. Proto změna hybnosti jednoho z obou bodů je stejně velká a opačného směru vůči změně hybnosti druhého z bodů (viz kladivo a hřebík minule). Příspěvek ke změně celkové hybnosti je proto nula.

Tcelk vnejs, aF M

Toto platí pro všechny dvojice bodů, takže vnitřní síly nemají vliv na pohyb těžiště.

Vnitřní síly nemají vliv na pohyb těžiště, ale mohou mít vliv na pohyb částí.

Nejlépe vidět ve srážkách (rozpadech) a reaktivním pohybu raket.

Hybnost se zachová při srážce vždy.

Pokud se zachová i mechanická energie, srážka je pružná. Jinak je nepružná.

Srážka:

Těžiště si srážky ani nevšimne, ale každá z koulí ano.

Příklad: balistické kyvadlo

● Zařízení na měření rychlosti střely

● Nejprve srážka, pak vychýlení kyvadla

● Z výšky h můžeme určit počáteční rychlost.

Srážka: ze zákona zachování hybnosti dostaneme rychlost po srážce

21

i,11ff21i,11 mm

vmvvmmvm

Energie:

i2

i,1121

12i,11

21

2i,1

212

f21f 21

21

21

21 Evm

mmmvm

mmvm

vmmE

Mechanická energie se nezachovává při srážce…srážka je nepružná.

Energie se zachová při následném pohybu dřeva se střelou

ghmmmv

ghmmE

21

21i,1

21f

Číselně: pro m1=5g, m2=1kg, h = 5cm je 12i,1 ms200m05.0ms102

kg005.0kg005.1 --v

Reaktivní pohyb raketyRaketa se odstrkuje vypouštěním spálených plynů jako puštěný balonek.

● Rychlost výtoku paliva vůči lodi ve

● Změna hybnosti paliva o hmotnosti m je m ve

proti směru pohybu rakety. ● Změna hybnosti rakety o hmotnosti M je stejně velká

ve směru pohybu rakety.● Změna hybnosti rakety je dána změnou rychlosti rakety

v jako M v.● Vytékající palivo zmenšuje hmotnost rakety: m = - M. ● V limitě, kdy změny jdou k nule má zákon zachování

hybnosti tvar:

MvvM dd e

Toto je diferenciální rovnice pro rychlost v rakety jako funkci její hmotnosti M.

M+

m

M

vv+

v

vem

f

ieif

e

e

e

ln

dd

dd

dd

f

i

f

i

MMvvv

MMvv

MMvv

MvvM

M

M

v

v

Potřebujeme co největší rychlost vypouštěných plynů a co největší část hmotnostilodě ve formě paliva.

Rovnici řešíme separací proměnných a integrací:

Rotační pohyb vůči těžištiKrasobruslař dá ruce k sobě a zvýší obrátky.

Množství rotačního pohybu dává moment hybnosti:

● Pro jeden hmotný bod:

2211celk prprL

prL

● Pro soustavu hm. bodů:

● Zvětší se při zvětšení hybnosti nebo vzdálenosti.

● Díky vlastnostem vektorového součinu se sčítá orientace hybnosti vůči těžišti, ne hybnost.

Součet hybností vůči těžišti by dal nulu!

● Pro bodů v tělese: součet přejde na integrál.

Vlastnosti L:

Časová změna pro jeden bod:

τFrprprprL tttt d

ddd

dd

dd

● První člen v derivaci součinu je nula, protože vektory jsou rovnoběžné.

● Pro druhý člen jsme použili Newtonova základního zákona.

● Poslední rovnost definuje moment síly .

Moment radiální síly je nulový…moment hybnosti se nemění…2.Keplerův zákon.

Planeta se chová jako ruce krasobruslaře.

Pro soustavu bodů postupujeme podobně jako u translačního pohybu:

● Sečteme všechny vnější momenty síly a momenty hybnosti.● Páry akce-reakce vnitřních sil

nepřispívají ke změně celkového momentu hybnosti.

celkcelk vnejs, dd Lτt

2. věta impulsová

Tuhé těleso: vzájemné vzdálenosti bodů se nemění

tddθω

tddωα

● Poloha každého bodu vůči těžišti daná úhlem otáčení kolem osy

● Časová derivace úhlu dá úhlovou rychlost

● Jako vektory…ve směru osy rotace podle pravidla pravé ruky (tady směrem k nám)

● Ještě jedna derivace podle času…úhlové zrychlení

● Rychlost daného místa v tělese daná úhlovou rychlostí pomocí vektorového součinu

ii rωv

Veličina J se nazývá moment setrvačnosti.

takže 2. Impulsová věta dostane tvar: ατ Jcelk vnejs,

ii

iiii

iii

i mm rωrvrLL Celkový moment hybnosti soustavy hmotných bodů:

Pokud osa rotace je osou symetrie, dá se vytknout a platí

ωωL Jrmi

ii 2

αωL Jt

Jt

dd

dd

Kinetická energie:

2222

2

21

21

21

21 JrmmvmE

iii

i iiiiikin

rω

Moment setrvačnosti se chová jako hmotnost pro posuvný pohyb.

Časová derivace:

Příklad: moment setrvačnosti válce

22

24

0 0

322

21

242d2d2d MRRLRRLrrLrrrLrmJ

R R

Rozdělíme na slupky sestávající z bodůstejné vzdálenosti r od osy a sečteme jejichmomenty setrvačnosti:

Poloměr R, délka L, hustota

Odtud hmotnost LRM 2

Podobnosti translačního a rotačního pohybu

22

21

21

dd

dd

dd

dd

dd

dd

dd

JEmvE

WW

Jt

mt

Jmtt

tt

kinkin

f

i

f

i

θ

θ

r

r

θτrF

αLτapF

ωLvp

ωαva

θωrv

Příklad: válec na podložce

Válec o hmotnosti m = 1kg a poloměru r = 10cm je roztočen kolem své podélnéosy úhlovou rychlostí 0 = 120 s-1 a položen na drsnou vodorovnou podložku.Účinkem smykového tření, jehož koeficient má hodnotu = 0,2, se válecuvede do zrychleného posuvného pohybu a současně začne být brzděn vesvém pohybu otáčivém. Za jakou dobu válec přejde do čistého valivého pohybubez prokluzování?

T

T

r

m0

v(t)

(t)>0

F=mg F=mg

Čas = 0 Čas = t

…translační a rotační pohyb současně

Rovnice pro posuvný pohyb těžiště: ttvmF

dd

gmmg

mF

ttv

d

d

1d1d Cgttgtgtv

Integrační konstantu C1 určíme z počáteční podmínky v(t = 0)=0

000 11 CCg

Odtud zrychlení:

Integrace dá:

gttv

Takže rychlost těžiště jako funkce času je:

Rovnice pro otáčivý pohyb kolem těžiště: ttJrF

dd

rg

mrmgr

JrF

tt 2

dd

221

22d12d2 Ctrgt

rgt

rgt

Integrační konstantu C2 určíme z počáteční podmínky (t = 0)= 0

0220 02 CCrg

Odtud úhlové zrychlení:

Integrace dá:

trgt 2

0

Takže úhlová rychlost jako funkce času je:

Podmínka pro valivý pohyb bez prokluzování: trtv

t

rgrgt 2

0

grt

30

s2ms102.03

s120m102

11

t

Dosazení za v(t) a (t) dá:

Odtud doba:

Číselně:

I minule (volný pád) i nyní jsme vyřešili diferenciální rovnici z Newtonova zákona pro konstantní sílu nebo konstantní moment síly.

Příště…oscilace…síla závislá na poloze

Navíc oscilace jsou všude, kde je stabilní rovnováha (viz minule).

Když se oscilace mohou šířit v prostoru, vzniká vlnění.