Gymnázium, Havířov -Město, Komenského 2, p.o . MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. IV/2-2-2-10 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST – ŘEŠENÉ ÚLOHY. Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová. - PowerPoint PPT Presentation
12
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“ IV/2-2-2-10 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST – ŘEŠENÉ ÚLOHY MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne 18. 9. 2013
Transcript
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o.
Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“
IV/2-2-2-10 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST – ŘEŠENÉ ÚLOHY
MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II
Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová
Zpracováno dne 18. 9. 2013
Úloha 1
Geometrická posloupnost - řešené úlohy 2
Rozhodněte, zda je posloupnost geometrická.
Posloupnost je geometrická.
q = an+1
an
q = 23
Úloha 2
Geometrická posloupnost - řešené úlohy 3
Určete geometrickou posloupnost, ve které je a1 + a4 = 18, a2 + a3 = 12 . Vypočítejte s10.
q´ = 12
a1 + a1 q3 = 18
a1 q + a1 q2 = 12an = a1 · qn – 1
a1(1 + q3) = 18
a1q(1 + q) = 12
2q2 − 5q + 2 = 0
q = 2 a1 = 2
a1´ = 16
Úloha 2
Geometrická posloupnost - řešené úlohy 4
Určete geometrickou posloupnost, ve které je a1 + a4 = 18, a2 + a3 = 12 . Vypočítejte s10.
s10 = 2046
s´10 = 32
.
Úloha 3
Geometrická posloupnost - řešené úlohy 5
Vyhráli jste ve sportce 100 000 000 Kč. Jak byste tuto částku zhodnotili, kdybyste ji uložili na spořící účet s roční úrokovou sazbou 2 % a po dobu 5 let byste žádné peníze z účtu nevybírali ani na něj nevkládali?
an = a0(1 + )n p100
a0 = 108
n = 5
p = 2 %
a5 = 110 408 080,32 Kč
na počátku 1. roku a0
na konci 1. roku a1 = a0 + 0,02a0 = a0(1 + 0,02)
na konci 2. roku a2 = a1 + 0,02a1 = a1(1 + 0,02) = a0(1 + 0,02)2
Úloha 4
Geometrická posloupnost - řešené úlohy 6
Řešte Úlohu 3 za předpokladu, že počítáte s 15% daní z připsaného úroku.
an = a0 (1 + 0,85 · )n p100
a0 = 108
n = 5
p = 2 %
a5 = 108 793 954,9 Kč
na počátku 1. roku a0
na konci 1. roku a1 = a0 + 0,85 · 0,02 a0 = a0(1 + 0,85 · 0,02)
na konci 2. roku a2 = a1 + 0,85 · 0,02a1 = a0(1 + 0,85 · 0,02)2
Úloha 5
Geometrická posloupnost - řešené úlohy 7
Řešte Úlohu 3 za předpokladu, že počítáte s 15% daní z připsaného úroku a úroky se vám připisují čtvrtletně.
an = a0 (1 + 0,85 · )n p100
a0 = 108
n = 20
p = 0,5 %
a5 = 108 852 099 Kč
Z roční úrokové sazby je třeba vypočítat odpovídající úrokovou sazbu čtvrtletní!!
Počet úrokových období bude 4× více (1 rok = 4 čtvrtletí)!!
Složené úrokování
Geometrická posloupnost - řešené úlohy 8
an = a0 (1 + 0,85 · )n p100
je schéma, podle kterého lze vypočítat celkovou částku na konci n-tého úrokovacího období za předpokladu, že: vkladatel vloží částku a0
úroková míra pro jedno úrokovací období je p % daň z úroku je 15 % vkladatel po celou dobu na účet nevkládá a z účtu nevybírá
Úloha 6
Geometrická posloupnost - řešené úlohy 9
Kuřák, který vykouří 10 cigaret denně, prokouří ročně 12 600 Kč. Kolik peněz by uspořil, kdyby tuto částku ukládal po dobu 10 let vždy na počátku roku na spořící účet s ročním úročením 2 %? Počítejte daň z úroků 15 %.
Kuřák, který vykouří 10 cigaret denně, prokouří ročně 12 600 Kč. Kolik peněz by uspořil, kdyby tuto částku ukládal po dobu 10 let vždy na počátku roku na spořící účet s ročním úročením 2 %? Počítejte daň z úroků 15 %.
Uspořenou částku vyjádříme jako součet deseti postupně vložených
a zhodnocených částek a1, ...., a10 .
Tyto tvoří 10 členů GP s kvocientem . (1 + 0,85 · ) p100
s10 = 136 089 Kč .
Použitá literatura
LiteraturaJARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN
104-21-852.
JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852.
KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053.
ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií.1. vyd. Praha: SPN, 1985. ISBN 14-499-85.
ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-357-8.
ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, 2008. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-391-2.
PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 978-807-1960-997.
