Gymnázium, Obchodní akademie a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Hodonín

StatistikaUkazatelé variability

1

Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0266

Číslo materiálu VY_42_INOVACE_PoP_MA_3OA_28

Autor Petr Polách

Tematický celek Matematika – odpovědný přístup k přípravě na hodinu

Ročník 3.

Datum tvorby 4. 8. 2013

Anotace Prezentace slouží jako podpora při výuce statistiky pro obchodní akademie

Metodický pokyn

Prezentace slouží jako podpora při výuce s použitím projektoru nebo programu typu Master Eye. V materiálu jsou zadání příkladů, které majístudenti vypracovat za domácí úlohu. Tím je pěstován zodpovědný přístup kpřípravě na hodinu.

2

3

Ukazatelé variabilityStav zkoumaného stat. souboru popisují střední hodnoty pouze částečně. Často mohou být stejné stř. hodnoty a soubory mohou být zcela rozdílné.

•

Stat. soubory A a B na obrázku mají stejné střední hodnoty, liší se však svou variabilitou (měnlivostí):

o

o o o o oo o

o o

o

oo

oo

o

oo

oo

soubor A soubor B

Průměr

XiB 10 20 0 15 8 7 10 10 10

XiA 10 12 8 11 9 10 11 9 10

4

Ukazatelé variability

Variabilitu stat. souboru popisují ukazatelé variability:

• Variační rozpětí• Průměrná odchylka • Relativní průměrná odchylka• Rozptyl• Směrodatná odchylka • Variační koeficient

5

Variační rozpětíVariační rozpětí je rozdíl mezi nejvyšší a nejnižší hodnotou sledovaného znaku v souboru.

Nevýhoda R- vychází pouze z extrémních hodnot a ostatní vůbec nebere v úvahu:

R X X max min

o

oo o o oo o

o

o

6

Průměrná odchylka

Průměrná odchylka je průměr absolutních hodnot všech

odchylek hodnot od průměru.

Pozn.: Proč absolutních hodnot?

7

Relativní průměrná odchylka

Relativní průměrná odchylka vyjadřuje v procentech poměr mezi průměrnou odchylkou a průměrem (kolik procent průměru činí průměrná odchylka).

8

Příklad – mzdová diferenciacePř.: Zjistěte průměrnou mzdu, variační rozpětí, průměrnou odchylku a relativní průměrnou odchylku ve třech pracovních četách podniku. Seřaďte čety:

a) podle variačního rozpětí, b) podle průměrné odchylka c) podle relativní průměrné odchylky

•Pokuste se interpretovat zjištěné výsledky za předpokladu, že je žádoucí mzdová diferenciace pracovníků. Kde je větší mzdová diferenciace?

1.četa 2.četa 3. četa Dělník mzda

Kč odchylk

a mzda

Kč odchylk

a mzda

Kč odchylk

a Xi |Xi-Xi| Xi |Xi-Xi| Xi |Xi-Xi|

1. 3612 4234 5224 2. 4156 2475 3784 3. 3184 4732 3437 4. 4315 5236 3187 5. 4623 3213 5653

Celkem Průměr

9

Průměrná odchylka z váženého aritmetického průměru

Průměrnou odchylku z váženého aritmetického průměru vypočítáme podle vzorce:

Každá odchylka se opakuje ni-krátRelativní průměrná odchylka se počítá stejně jako z prostého

aritm. průměru.

i

ii

n

nXXd

||

|| XX i

10

PříkladPř. Určete průměrné odchylky a relativní průměrné odchylky u příkladu Výpočet průměrného odpracovaného počtu hodin na jednoho pracovníka. (Vážený aritm. průměr)Průměr X = 187,7 hodin (d= ?; rd = ?)

Odprac. hodiny

Počet pracovníků

Odchylky od průměru

Vážené odchylky

Xi ni |Xi-X| |Xi - X|.ni

185 3 186 2 187 5 188 3 189 4 190 4

Celkem 21 x

11

Rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient

Rozptyl je průměr druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru.

U rozsáhlých souborů byl odvozen jednodušší vzorec:

, kde první člen je průměr druhých mocnin jedn. hodnot a druhý člen je druhá mocnina aritm. průměru.

2

2

( )X X

ni

2 2 2 X Xi

12

PříkladPř.: Zhodnoťte výsledky dvou střelců:

Vypočítejte průměr, průměrnou odchylku a relativní průměrnou odchylku, rozptyl oběma způsoby u obou střelců a porovnejte čí výkony jsou rovnoměrnější a tedy který střelec je lepší.

Zásahy A Pomocné výpočty Zásah B Pomocné výpočtyXi |Xi-X| (Xi-X)2 Xi2 Xi |Xi-X| (Xi-X)2 Xi210 108 76 57 89 98 9

48 48

13

Směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka je druhou odmocninou rozptylu:

jinak

pro vážený aritm. průměr

2

( )X X

ni

2

( )X X n

ni i

i

2

14

Variační koeficient

Variační koeficient vyjadřuje vztah směrodatné odchylky k aritmetickému průměru v procentech (obdoba relativní průměrné odchylky):

Př.: Vypočítejte směrodatnou odchylku a variační koeficient z výsledků příkladu o dvou střelcích

VX

100%

15

Příklad

Př.:Během dne byly na poště expedovány balíky následujícíh hmotností:1 kg 23 ks, 2 kg 37 ks, 5 kg 12 ks, 10 kg 6 ks, 15 kg 4 ks, 20kg 1ks, 50 kg 2 ks.Vypočítejte průměrnou váhu jednoho balíku, modus a medián souboru s vahami balíků a také všechny ukazatele variability tohoto souboru.K výpočtům použijte program MS Excel.

ZDROJEBURDA, Z., STRACHOTA, F., Statistika pro obchodní akademie. 2. vyd. Fortuna 1994. 94 s. ISBN 80-7168-096-6

Použité zdroje

16