Hraje bůh kostky?

7/29/2019 Hraje bh kostky?

1/48

K A P I T O L A D E V T

CITLIV CHAOS

Chtl bychjen se pokusit,prach tohoto svta smtkapikami rosy.

Ba

Japonsk bsnk Ba se narodil roku 1644 v Uenu v rodin samuraje nihodnosti ve slubch rodiny Td. Ve vku tyiceti let se vydal na prvn s-rii cest, kter zaznamenal v Pamtech kostry vystaven vlivu poas. Jeho ve ci-tovan bse popisuje jaro v Saigjov poustevn: Povstn jaro bylo pesntakov, jak jej bsnk popsal, ronc ir kapky vody za zvuk kapykap.

Ba hledal obnoven sv identity v meditacch o prod a krsu nalzal

i ve vcech tak jednoduchch, jako je padajc kapka vody. Pjdeme v jehostopch, ale budeme hledat krsu na opanm plu, tu matematickou spne tu poetickou. Ty dv spolu souvisej, ob hledaj jednoduchost ve sloi-tosti.

Obrazce tvoen proudc vodou krom Baa fascinovaly mnoho dalchlid. V Krlovsk knihovn ve Windsoru napklad maj mnoho kreseb spleti-tch kaskd od Leonarda da Vinciho (obrzek 68). Vstin zachytit teenpedstavuje vzvu pro kadho umlce. Lid, kte si budou jeho dla pro-

hlet, dobe vd, jak se voda chov, a kdy to obraz nevystihuje dobe, ih-ned si vimnou, e nco nen v podku. Ale nen to dojem formulovanvdom: poznaj, e je tam chyba, ale jen zdka budou tuit, kde by mohlabt. Stejn jako j, kdy se v hospod podvm na obrzek loveckch kon, vi-dm, e vypadaj njak prapodivn, a dokonce i tum, m to je. Mon jepatn hel, jak maj pi bhu nohy, nebo mon vka koskho tla nadzem. Ale ani za nic bych nebyl schopn vysvtlit, jak cvlajcho kon nakreslit.

Leonardo spojil instinkt vdce s vidnm umlce a vdom podnikl kroky

pro zlepen vstinosti svch dl. Peliv prostudoval zvata, lidsk tlo,

175


2/48

176

HRAJE BH KOSTKY?

Obrzek 68. Leonardo da Vinci: Proud (hrad Windsor, krlovsk knihovna Jej velien-stvo krlovna).


3/48

177

CITL IV CHAOS

mraky, stromy cokoli jen me mal i socha chtt zobrazit. A on i jehosouasnci vnovali zvl velkou pozornost vod.

Voda se tehdy povaovala za jeden ze ty ivl, z nich je stvoen cel ves-mr, a tedy byla vc ne pouhou kapalinou. Byl to symbol bhu ivota, pro-toe voda, stejn jako ivot, plyne. Rod se, vyrst, hbe se, mn se, umr.Potek od pramene se promn v bystinu, eku, valc se drav proud, ocen.eka me klikat meandrovat nap rovinou, vyezvat hlubok kaony doprastarch skal uloench na dno moe ped stamiliony let, vrhat se do pro-pasti jako velkolep vodopd nebo se nechat zanst bahnem a rozprostt sedo gigantick delty svho st. Z klidnho moe se me stt zuiv monstrums napnnmi pbojovmi vlnami, moe zmtan bou me znenadnutichnout v klidn a rovn. Nmeck bsnk z konce osmnctho stolet Fri-edrich Leopold, Freiherr von Hardenberg, kter pouval literrn pseudonymNovalis, vodu nazval citliv chaos.

To nen patn vyjden.

Tajemstv vodovodnho kohoutkuObvykle povaujeme vodu za nco samozejmho. Je to nco, co tee z ko-houtku. Mlokdy si vzpomeneme na ohromn dlo techniky v pozad ttovedn skutenosti. A se jednoho dne zt viktorinsk tunel, kter pivd

vodu prv do naeho kraje, zskaj takov mylenky novou dimenzi nalha-vosti, ale prozatm, kdy si myjeme ruce nebo plnme kbl vodou, jsou naemylenky nkde daleko.

Jak nstroj by mohl pi noen se do hloubky citlivho chaosu pomoci lpene obyejn vodovodn kohoutek?

Podvali jste se nkdy, jak tee voda z kohoutku? Myslm opravdu podvali,ne e jste do n strili kartek na zuby. Inspirovn svou vlastn venostjsem to dnes rno pravdpodobn poprv v ivot udlal. Nemu zaruit,

e v kohoutek bude dlat tot, co dlal mj, ale stejn tento pokus dopo-ruuji, zjistte spoustu vc. eknu vm, co jsem vidl j.

Podstatou vdeckch pozorovn je systematinost. Pipoutm, e k mno-hm dleitm objevm, jako je teba antibakteriln psoben penicilnu, sedosplo nhodou, ale i ty musej bt potvrzeny a vyuity metodami systema-titjmi. Kdy bude milion opic buit do psacch stroj, jednou napouurit i Hamleta, ale nechtl bych na to ekat. Take jsem se pustil do syste-matitj innosti. Jak se mn vzhled vody vytkajc z kohoutku, kdy bu-

deme pomalu zvyovat prtok?


4/48

Otevete kohoutek jenom troku. Co se stane? Kohoutek kape, pochopi-teln. Kdy se pohyb ustl, je vidt, e kohoutek kape pravideln a intervalymezi jednotlivmi kapkami jsou konstantn.

Otevete kohoutek o maliko vc. Rychlost kapn se zvyuje, ale stle kapepravideln. Stle po nepatrnch krocch zvyujte prtok: dje se pod tot.Trplivost. ivot vdce je jedno nekonen obdob poklidu peruovan chvil-kami dramatu a vzruen.

Je jist bod, ve kterm se padajc kapky spoj dohromady a utvo ustlenproud. Mte ho? Dobr. Ale jsem nucen poukzat na to, e jsme propslijednu opravdu zajmavou pas. Pedtm, ne se kapky spoj v proud, dojdejet k nkolika dalm fzovm pechodm pomrn rychle za sebou. Pokudjste byli netrpliv a zvyovali prtok po pli velkch krocch, vrate se zptkya zkuste to znovu.

Prvnm z tchto pechod je zmna rytmu padajcch kapek. Z pravidel-nho kapkapkap se stane sp nco jako kapykapkapykapkapykap, dvoji-ce kapek v rychlm sledu za sebou, pauza, dal dvojice. Pod je to pravi-deln, ale je to jin.

S dobrm vybavenm by se vm mohlo podait najt dal zmny v rytmu,zase jin a taky pravideln. Oima a uima se mi to nepodailo. Dl jsem vi-dl nco mnohem podivnjho. Kapky zaaly padat nepravideln. U padaj

pomrn rychle za sebou, ale pod je vidt a slyet oddlen kapky. Rytmickzvuk je pry a vystdalo ho nco mnohem sloitjho.

Take tady je na rozmylen dal pechod: kapky, kter ztrat rytmus.Brzy pot, jak u jsem ekl, se kapky spoj v ustlen tok. Tok se me zpo-

tku jet v doln sti trhat na jednotliv kapky, ale brzy zane bt klidna hladk. Tenk zuujc se provzek z kohoutku do umyvadla. Specialist nadynamiku kapalin tomu kaj laminrn proudn: kapalina se pohybujev tenkch vrstvch (latinsky laminae), kter po sob hladce klouou, jako

kdy se balek karet rozhod po stole.Zvyte prtok na piblin normln rove. Vytkajc proud je stle la-

minrn, i kdy se me vzhled vody zmnit, jako kdyby se proud snail roz-dlit na dv sti, nebo mon do spirly. Te pust vodu pln naplno.Hladk laminrn proudn se rozbije, voda nar na umyvadlo velikou siloua tok je zpnn a zase nepravideln. Je to turbulentn proudn a mme zdedruh dleit pechod: z laminrnho proudn na turbulentn.

Zavete kohoutek, vytete podlahu, pokus je ukonen. Te je na ad ma-

tematika.

HRAJE BH KOSTKY?

178


5/48

Nahromadn chvnVidli jsme dv verze pechodu k turbulenci. Pi prvnm se mn rytmus ka-pek a fakticky mme diskrtn dynamick systm (za pedpokladu, e zaned-bme detailn strukturu jednotlivch kapek). V druhm ppad, kdy se lami-nrn proud mn na turbulentn, se jedn o spojit systm. V obou ppadechse z pravidelnho chovn najednou stane nepravideln.

Turbulence hraj nesmrn dleitou roli v mnoha odvtvch vdy od as-tronomie po meteorologii (obrzek 69). Jsou tak dleit pro inenrskoupraxi. Turbulence me zniit vodovodn trubku nebo ropovod, zlomit lod-n roub a zpsobit pd letadla. Ineni vyvinuli rzn metody zaloen nazkuenostech i na promylench statistikch, jak se s turbulencemi vypo-dat v praxi. Ale prav vnitn podstata turbulence pedstavuje problm vy-ho du.

Zkladn vzkum tohoto druhu je sp lohou pro fyziky ne pro inenry.Co si s turbulencemi pone matematick fyzika klasick koly?

Klasickou rovnici proudn viskznch tekutin z Eulerovy rovnice odvodiliFrancouz Claude Navier a George Stokes z Irska. Proudn tekutin podle Na-vierovy-Stokesovy parciln diferenciln rovnice je deterministick a ped-vdateln. Ped nstupem chaosu se to povaovalo za synonymum pro pra-videln. Ale turbulence je nepravideln. Zvr: s rovnic je nco patn.

To je klidn mon. Rovnice pece popisuj vysoce idealizovanou tekutinu,kter je nekonen dliteln a homogenn. Ale reln tekutina se skldz atom. (Svou oblbenou rove podrobnosti od droboukch pevnchkuliek po kvantov vry pravdpodobnosti si mezi navzjem soupecmiteoriemi vyberte sami.) Zd se, e v turbulenci se vyskytuj nepatrnja nepatrnj vry. Ale vr velikosti men ne atom je fyzikln nesmysl. Po-kud by skuten tekutina mla dodrovat Navierovu-Stokesovu rovnici takdetailn, musela by sv vlastn atomy roztrhat.

Turbulence by se tedy mon dala vysvtlit jako makroskopick projev ato-mov struktury. Nepesnosti atomov dimenze v Navierovch-Stokesovchrovnicch se fyziklnm tokem rozmno, narostou na velikosti a daj se po-zorovat jako turbulence. To byla Lerayova teorie z roku 1934, tedy z doby,kdy byla atomov teorie obzvl novtorsk a mdn.

O deset let pozdji si matematick fyzik Lev Landau uvdomil, e existujejet jin monost. lnek, kter sepsal v roce 1944, zan: Pestoe se o tur-bulentnm chovn rozshle pojednv v literatue, prav podstata tohoto jevu

stle postrd dostaten objasnn. Dle Landau vystihl klovou otzku:

CITL IV CHAOS

179


6/48

O

brzek69.

Turbulencevatmo

sfeJupiterupoblVelkru

dskvrny.

HRAJE BH KOSTKY?

180


7/48

Obrzek 70. Nstup chvn, aneb Jak se z klidovho stavu stane periodick. Mechanismuse k Hopfova bifurkace: stok ztrc stabilitu a stane se zdrojem, z nj se odtrhne limitncyklus. (Reprodukce se svolenm John Wiley & Sons, Ltd. 1986.)

odkud se turbulence bere?Dle autorova nzoru se problm me zat jevit v ji-nm svtle, a bude dkladn prozkoumn proces inicializace turbulence.

Pedstavte si systm usazen v stabilnm stavu. Nkdy, teba kdy sevhodn zmn vnj vlivy, me tento stav pestat bt stabiln. Napklad ob-jekt, kter stabiln le na stole, me sklouznout, kdy stl naklonme, nebobaln me prasknout, kdy ho pli nahustme.

Kdy si nechvm vymnit pneumatiky na aut, automechanik kolo nasadna asn stroj, kter s kolem to dokola. Podle sel, kter se objevuj na dis-pleji, natlue mechanik do rfku zvaka, aby kolo vyvil. Dvodem pro tohlekouzlen je, e nevyven kolo se zane pi pli vysokch otkch chvt.

V dynamice je matematika chvn fundamentln. Jeden z nejzkladnjchzpsob, jak me stav ztratit stabilitu, je prv kvli chvn.

Kdy doposud stabiln stav pejde do chvn, je k jeho stvajcmu pohybupidn nov periodick pohyb. Kolo, kter se hladce otelo, zane vibrovat,take se tu skldaj dva periodick pohyby: rotace a vibrace.

Landau vznik turbulence povaoval za nahromadn chvn. Vyslovil teo-rii, e z potku je turbulence sloenm t nebo ty rznch periodickchpohyb, a kdy se pln rozvine, poet periodickch pohyb zane bt neko-nen.

Zkladnm mechanismem vzniku chvn je takzvan Hopfova bifurkace po-

jmenovan po Eberhardu Hopfovi. Stok (klidov stav) zane bt nestabilna promn se ve zdroj obklopen limitnm cyklem reprezentujcm periodic-k pohyb (obrzek 70). V roce 1948 Hopf navrhl ponkud podrobnj teo-rii ve stejnm duchu jako Landau. Nedlouho pedtm studoval holandsk

CITL IV CHAOS

181


8/48

vdec Johannes Martinus Burgers zjednoduenou verzi Navierovch-Stoke-sovch rovnic a Hopf si osvojil podobnou taktiku. Piel s dalm piblinmmodelem, kter se zcela vjimen dal vyeit explicitn, a ukzal, e postu-puje podle Landauova scne akumulace chvn.

Hopfova-Landauova teorie byla bhem dalch t desetilet obecn pi-jmna a pouvna. Mla nkolik klad. Byla jednoduch a srozumiteln.Mechanismus, kterm se k pohybu pidvala dal frekvence, byl zkladna pirozen. Existovaly modelov rovnice, jako ta Hopfova, ve kterch se tentoscn prokazateln vyskytoval. A fungovaly pro ni klasick techniky jakoteba Fourierova analza take se s n daly provdt vpoty.

Nepravdpodobn scnAle v roce 1970 byl tento hledn obrzek naruen. Nebyl rozttn, protoepochybnosti pily z oblasti mimo dynamiku tekutin, byly vysoce spekula-tivn a postrdaly jakoukoli podporu experimentu. A co horho, nebyly od-vozeny z fyziky proudn tekutin, ale z topologie.

Belgick matematik David Ruelle, kter pracoval na Istitutu des Hautestudes Scientifiques v Pai, a hostujc Floris Takens z Holandska zaalio turbulencch uvaovat z pohledu topologick dynamiky la Smale. Je provznik turbulence njak typick scn, generick proces?

To nen tak jasn. Ale kdy zaneme takhle pemlet, takjejasn, e Hop-fova-Landauova prost neme bt sprvn. Protoe i kdy kad z hromad-nch chvn me z matematickho i z fyziklnho hlediska vypadat pija-teln, tak nen. Jenom to prvn.

Intuice Hopfovi a Landauovi napovdala vyjt do jist mry z hamiltonovskdynamiky. Tam zachovn energie pedepisuje omezen, dky nim jsou mno-hafrekvenn kvaziperiodick chovn bnm jevem. Toto omezen se ovemnevztahuje na nekonzervativn systmy systmy s tenm. A v toku viskzn

tekutiny je ten spousta.Ruelle a Takens dospli k nsledujcmu obrzku.Prvn pechod z klidovho stavu na jedin chvn je typick i pro nekon-

zervativn systmy: vznik periodick chovn. Tady dn skal nen.Druh pechod, pidn dal frekvence, urit me nastat. Zpotku vede

k pohybu, kter je z topologickho hlediska tok na dvojdimenzionlnm torua vypad jako kvaziperiodick sloen dvou nezvislch periodickch pohyb.Ale takov nezstane, protoe takov pohyb nen typick, nen generick.

V praxi jej rozbije sebemen naruen.

HRAJE BH KOSTKY?

182


9/48

Obrzek 71. Fzov zvs: (vlevo) dv nezvisl periodick oscilace sloen dohromady,(vpravo) tok se rozpad a vytv jedin stabiln periodick cyklus (tun) a jeden nesta-biln periodick cyklus. Pro vt pehlednost obrzku byl torus, na kterm se pohyb ode-hrv, rozznut a rozprosten do tverce.

V t dob u existovala klasifikace vech typickch generickch struktu-rln stabilnch tok na toru a vyplval z n jev dobe znm elektroine-nrm, kter se jmenujefzov zvs (obrzek 71). Dva pvodn nezvisl po-hyby se zanou vzjemn ovlivovat a bt provzan, a vznikne sloenperiodick pohyb s jedinou, sloenou periodou.

Pi skldn t frekvenc se to pokaz jet mnohem dramatitji. Ti frek-vence typicky v zvsu nejsou. Msto toho se mohou spojit a utvoit nov ob-jekt, kter Ruelle a Takens nazvali podivn atraktor. Solenoid je podivn atrak-tor a Lorenzv atraktor (jak se v) tak. Podivn atraktory maj podivngeometrie.

Zkladem Ruelleovy-Takensovy teorie je skutenost, e Hopfv-Landauvscn je z topologova hlediska asi stejn pravdpodobn, jako pendlk ba-lancujc na pice. pendlk je nestabiln, Hopfova-Landauova teorie je struk-

turln nestabiln. Kdy se pohne se pendlkem, skc se a spadne na stl.Kdy se rovnice pohybu nepatrn pozmn, Hopfv-Landauv scn se roz-padne a zhrout v podivn atraktor.

FalzifikaceZ Ruelleova a Takensova nvrhu nebyli v dynamice tekutin nadeni zdalekavichni. Vlastn byl docela kontroverzn. Ale pr lid jak se ukzalo, takdost se jm nechalo inspirovat a postoupilo do dal fze.Je to pkn, ale je

to sprvn?

CITL IV CHAOS

183


10/48

Je jeden prastar zpsob, jak ve vd zjistit, jestli teorie plat.Pokus.Pesnji eeno z pokusu lze poznat, e teorie neplat, protoe sprvnost

teorie nen stoprocentn jist nikdy. Matematick vta se dokzat d, ale teo-rie se dokzat ned. Jak zdrazoval filozof Karl Popper, ovovn vdeckteorie nen zleitost verifikace, alefalzifikace. m dle odolv vdeck teo-rie pokusm o falzifikaci experimentem, tm pravdpodobnj je, e plat.Nebo aspo tm ir je psmo podmnek, za kterch sprvn je. Ale nikdy sinememe bt jist absolutn platnost teorie, i kdyby experimentlnch testpestla milion, protoe kdo v? me selhat pi milion prvnm.

Jak se tedy pibliuje tet tiscilet, vdci upoutj od honby za Pravdou.Pitom se samozejm velice sna nedlat chyby. Ale u neijeme v e ab-

solutna. Ume se, i kdy straliv pomalu, nebrat se pli vn.Aby byla teorie povaovna za vdeckou, mus bt v principu falzifikova-

teln. Na ostrov Korfu maj povru, e spatit kudlanku nos bu tst,anebo smlu podle toho, co se potom stane. Toto pesvden se mezi vdeckteorie nepot, ale ne proto, e se ned mit tst, ale proto, e nen mocjasn, jak by experiment mohl teorii vyvrtit, i kdyby tst mit lo.

To vbec neznamen, e obyvatel Korfu nemaj pravdu. Probrme zdeomezen na vdeck znalosti. Na svt mohou bt pravdiv vci, kter ne-

mohou bt znmy ve vdeckm smyslu. Rozeit debaty, kter se o nich ve-dou, pjde ovem tko.

Laboratorn klasikaJe teorie podivnch atraktor falzifikovateln?

Rozhodn nebyla falzifikovateln pmo tak, jak byla pvodn vyslovena.Nememe jt a v prod hledat podivn atraktory, take ani nememedn najt. Matematick popis takovho atraktoru v Ruelleov-Takensov

teorii toti nijak nesouvis s dnou fyzikln mitelnou veliinou. Takez hlediska falzifikovatelnosti to nevypad o moc lpe ne teorie, kter tvrd,e turbulence je dlem neviditelnch per plovoucch tekutinou, per,kter se dnm fyziklnm apartem nedaj zachytit.

Meme to obejt nkolika zpsoby. Jednm je zlepit kontakt mezi ma-tematikou a fyzikou. To v ppad turbulence vypadalo velmi tko prove-diteln co neznamen, e to nen dleit. Dalm je udlat krok stra-nou. Mon bychom mohli podivn atraktory pimt, aby se projevily

nepmo.

HRAJE BH KOSTKY?

184


11/48

Hopfova-Landauova teorie je zjevn falzifikovateln mnohem lpe. Stazmit frekvence jednotlivch sloek pohybu a sledovat, zda se chvn vr pe-depsanm zpsobem. Pokud ne, Hopfova-Landauova teorie to m spotan.

Take msto, abychom se snaili o dkaz, e Ruelle a Takens maj pravdu,meme zkouet ukzat, e Hopf a Landau pravdu nemaj. Historicky to alepesn takhle neprobhlo. Msto toho se experimenttoi pustili do dokazo-vn, e Hopf a Landau pravdu maj.

Ale to u, mohli byste si myslet, mli fyzici urit za sebou. Konec konc,Hopfova-Landauova teorie byla obecn pijmna po nkolik desetilet.

Ne tak docela. Existovala pozorovn prvnch nkolika fz, ale jak se chvnvrila, bylo stle t zmit je dostaten pesn.

K dalmu pokroku byl poteba nov npad.Harry Swinney, fyzik z Texask university v Austinu, zahjil svou kariru

experimenttora prac na fzovch pechodech. Kdy se voda va, kov tav,nebo magnet magnetizuje, jedn se o fzov pechod: makroskopickou zm-nu stavu zaloenou na reorganizaci na molekulrn rovni. V jistm smysluje pechod do turbulence tak jakmsi fzovm pechodem v tekutin. N-kte vznamn odbornci na dynamiku tekutin, jako napklad OsborneReynolds nebo lord Rayleigh, o nich dokonce takto uvaovali. Ale analogievypadala pli voln, pli nepesn na to, aby mohla bt pouiteln mate-

maticky.Nicmn Swinneyho to pimlo k zamylen. Daly by se metody pouvan

na vzkum choulostivch jev pi fzovch pechodech aplikovat na teku-tiny?

Je mnoho zpsob, jak tekutina zan bt turbulentn. Pi navrhovn po-kusu musme ze veho nejdv vybrat vhodn systm. Zkladn vzkum nenzamen na specifick cle, jako napklad zjistit nejlep tvar klapek na kd-lech pro trysk, take si me dovolit pepych vbru systmu, se kterm

bude pracovat. Pro laboratorn pokusy ve vd je dleit, aby byl systmist. Nemm na mysli, e by neml bt upatlan, ale ml by bt snadno se-staviteln a spustiteln, mly by z nj bt pesn vsledky a pi opakovanmsputn by ml dlat tot.

V dynamice tekutin je jeden klasick laboratorn systm, kter pvodn se-stavil francouzsk hydrodynamik Maurice Couette. Chtl zkoumat smykovtoky, ve kterch je tekutina roztrhan, a vymyslel soustavu dvou vlc, je-den uvnit druhho (obrzek 72). Kdy je vnj vlec pevn a vnitn rotuje,

dochz k nemnnmu a ovladatelnmu smyku.

CITL IV CHAOS

185


12/48

Obrzek 72. Aparatura pro Taylorv-Couettev experiment (schematicky). Prostor mezidvma vlci je vyplnn tekutinou a vlce se ot. Mezera mezi vlci je zde pro lep pe-hlednost zvten, obvykle in 1020 % polomru vnjho vlce.

lovk by ekal, e se voda bude toit spolu s vnitnm vlcem, uprostedrychle a na vnjm kraji pomalu. A to tak Couette zjistil.

Anglick odbornk na aplikovanou matematiku Geoffrey Ingram Taylorv roce 1923 pokusn zrychloval rotaci vnitnho vlce a objevil nco zhad-nho. Pi dost vysok rychlosti se voda pestane toit pod hladce dokola,

ale rozdl se do dvojic vr, asi jako Besipky bez obalu. Opravdu se jedn

HRAJE BH KOSTKY?

186


13/48

Obrzek 73. Zvlnn vry pi Taylorov-Couetteov experimentu. Vimnte si naruenzhruba ve dvou tetinch obrzku shora, kde probh proces zmny potu vln.

o krsn pklad nestability Hopfova-Landauova typu, pi kter se vytvonov periodick pohyb. Ale to je jen prvn djstv Hopfova-Landauova sc-ne.

Experimenttoi i teoretici nsledn studovali Couettev-Taylorv systm(nebo tak Taylorv-Couettev systm, jak jej nefrankofilov asto nazvaj)velice podrobn. Dost mon je to ten nejprostudovanj ze vech tok. Nali

nramn rznorod obrazce a formace. Vry mohou bt zvlnn (obrzek 73).

CITL IV CHAOS

187


14/48

Vlny se mohou houpat nahoru a dol jako konk na kolotoi, take vznikajmodulovan zvlnn vry. Jsou tam zkroucen vry a opleten vry. Vyskytujse tam spirlovit tvary, zvlnn spirly, modulovan zvlnn spirlya navzjem se prostupujc spirly.

Pi vysokch rychlostech systm zane bt turbulentn.Takov bohatstv rznch typ chovn se d vytvoit pomoc zazen

o velikosti a tvaru termosky a vechno se to d pesn zopakovat. Take seSwinney a jeho spolupracovnk Jerry Gollub rozhodli provst svj pokus natto laboratorn klasice.

Laserem osvcenMen proudc tekutiny se tehdy obvykle provdla pomoc vloench sondnebo vstknutho pramnku barviva. Tyto metody proudn ovlivovalya nebyly pli citliv ani pesn, ale lid z oboru na takov problmy byli zvy-kl a nic lepho neekali. Swinneymu ovem padla do oka mnohem citlivjvc: laser.

Dnes jsou lasery bn. Pokud mte CD pehrva, mte laser. Jak v ka-d fanouek Hvzdnch vlek, laser je to, m se likviduj csask stre. Lase-ry vydvaj paprsek koherentnho zen svtla, ve kterm jsou vechny vlnyve fzi a navzjem se neru, ale posiluj. Je to velmi pesn a ostr baterka.

A uslyte sirnu pornho auta, kter pojede kolem vs, vimnte si, ekdy auto projede kolem, vka tnu se zdnliv zmn, sirna je najednouni. To je Dopplerv jev pojmenovan po rakouskm vdci ChristianuDopplerovi, kter si ho viml jako prvn v roce 1842. Kdy se hasii bl,jsou zvukov vlny vlastn urychlovny, kdeto kdy se vzdaluj, jsou zpoma-lovny.

Stejn jev funguje i se svtlem, jen se zde pi zmnch frekvence mnbarva. Kdy laserem posvtme na hasisk auto a porovnme barvu odra-

enho svtla s pvodnm, meme urit, jak rychle hasii jedou.Vc k vci: kdy se do tekutiny vmsme nepatrn upinky hlinkovho

prku, meme laser pout na zjitn, jak rychle se upinky a patrn taktekutina pohybuj. Tto technice se k dopplerovsk laserov rychlomr.

Komplikovan signl, kter je smsic rznch frekvenc, potom lze mate-maticky analyzovat a rozdlit na jednotliv sloky. Meme tak zjistit, jaksiln jednotliv komponenty jsou jak moc pispvaj k celku. Pouv sev podstat Fourierova analza: vyjden libovoln kivky jako soutu sino-

vch a kosinovch kivek.

HRAJE BH KOSTKY?

188


15/48

Obrzek 74. asov ada zskan pozorovnm proudn a odpovdajc frekvenn spektra,kter ukazuj, jak se mn intenzita jednotlivch sloek frekvence. Hroty naznauj dobe

definovan frekvence periodickch nebo kvaziperiodickch dj, irok psy znamenajchaos.

Vsledek tto analzy se d shrnout do frekvennho spektra, neboli grafuukazujcho intenzitu jednotlivch sloek frekvence (obrzek 74). Na obrzkuje pt sad pozorovn (lev graf) spolu s jejich frekvennmi spektry (vpravo).Dole jsou uvedeny doba pozorovn (v sekundch, s) a frekvence (v hertzch,1 Hz odpovd jednomu kmitu za sekundu).

Obrzek vlevo nahoe napklad zobrazuje velice pravideln rytmus s jed-

nou oscilac za zhruba deset sekund. V pslunm frekvennm spektru

CITL IV CHAOS

189


16/48

vpravo je to zachyceno jako hrot oznaen f2 pobl 0,1 Hz. Druh adapozorovn je mnohem mn pravideln a v jejm spektru je hrot nkolik.Pro trnovan oko nen tk zjistit, e vechny vznikly postnm nsobkdvou zkladnch frekvencf1 af2 piblin 0,03 Hz a 0,1 Hz.

Tyto hroty na frekvennm spektru odpovdaj pesn definovanm dlmfrekvencm, kter jsou mnohem silnj ne okoln frekvence. Kvaziperiodicksignl m ve svm spektru hlavn ostr hroty jako na hornch tech zzna-mech obrzku 74. Ruen signl m irokopsmov spektrum, jeho dlfrekvence jsou seten jako na poslednm obrzku. Tak je mon kombinacetchto dvou monost, jak je vidt na obrzku tvrtm.

Frekvenn spektrum je nco jako frekvenn otisky prst ady pozoro-vn a d se z nj zjistit ptomnost jistch typ chovn.

Z dat zskanch pomoc svho laseru Swinney a Gollub na potai zjistilifrekvenn spektrum rychlosti tekutiny. To je pesn to, co je poteba na zpo-zorovn vzniku novch frekvenc, jak je pedpovdli Hopf a Landau.

To aspo ekali.Hledali prvn pechod a nali jej. Pokus mnohokrt opakovali a dostali

velmi pesn a jasn data. Tak jasn a tak pesn, a jim to odbornci na dy-namiku tekutin nechtli vit. Jejich vsledky nechtl nikdo publikovata jejich dost o grant byla zamtnuta. Nkte tvrdili, e vsledky nejsou nic

novho, jin jim nevili vbec.Nenechali se odradit a pokroili k hledn dalho pechodu a nenali jej.

Nebyl tam dn jasn vznik nov frekvence. Namsto toho nali postupnvynoovn irokho psma frekvenc (obrzek 75). Zjistili jsme, e to zanebt chaotick.

KontaktVda je rozshl. Nen mon vdt o vem, co se dje. To, co lid potebuj,

se dozvdaj dky osobnmu styku. Swinney a Gollub otestovali Hopfovu-Lan-dauovu teorii a shledali ji nevyhovujc. Ale v t dob nevdli o tom, eRuelle s Takensem navrhli alternativu.

Ale vdli o tom jin a zprvy se zaaly pomalu it. V roce 1974 se ve Swin-neyho laboratoi objevil belgick matematik David Ruelle. Ruelle ml teo-rii, kter pedpovdala chaos. Swinney ml chaos, ale bez teorie. Zbvalo zjis-tit, zda to, co objevil Swinney, padne k tomu, co pedpovdl Ruelle.

Nepmo to naznaovala napklad skutenost, e v ptomnosti podivnch

atraktor se podle vpot d oekvat irokopsmov spektrum.

HRAJE BH KOSTKY?

190


17/48

Obrzek 75. Frekvenn spektrum Taylorova-Couetteova systmu. Nejprve je pozorovnajen jedna frekvence 1 (periodick oscilace), potom se objev druh frekvence 2 (spolus dalmi hroty, kter vyjaduj kombinace 1 a 2) a nakonec je patrn irokopsmov

chaos. (Reprodukce se svolenm John Wiley & Sons, Ltd. 1986.) Popisky: relativn frek-vence

Tou dobou se tempo bdn zrychlovalo. Existenci chaosu si uvdomovalidal a dal vdci a na jeho teoretickch aspektech pracovali dal a dalmatematici. ada pokus, kter zprvu provdl Swinney se svmi spolupra-covnky, ale brzy i dal vdci, vypovdala velmi zeteln, e se podivn atrak-tory vyskytuj v celm spektru turbulentnch tok.

Vsledky se daly aplikovat pouze na vznik turbulenc, ale pinejmenm

v nkterch konkrtnch laboratornch systmech teorie podivnch atraktor

CITL IV CHAOS

191


18/48

v turbulencch obstla a Hopfova-Landauova teorie nemla sebemen ancina spch. Ironi je, e o vtin matematickch podrobnost od Ruellehoa Takense se ukzalo, e jsou nepodstatn nebo dokonce chybn ne po ma-tematick strnce, ale v jejich interpretaci pro experiment. Ale hlavn my-lenka Tam to vypadalo, e narazili na zlato.

Nicmn pod to nebylo jist.Mohlo bt i jin vysvtlen pro pozorovan jevy. Bylo poteba nco pmo-

aejho, nco, co by hypotzu podivnch atraktor udlalo falzifikovatelnoupokusem.

A na to byl poteba dal npad.

Falen pozorovatelnRuellev a Takensv lnek z roku 1970 se ned oznait pln za teorii tur-bulence, ale sp za potek takov teorie. Hlavnm chybjcm prvkem bylopojtko mezi topologi a fyzikou. Pokud by napklad existovala njak hod-nota, kterou bychom mohli zmit, zanst do grafu a ve vsledku vyhledatpodivn atraktor, teorie by byla falzifikovateln. Pokud bychom takov pokusprovedli a podivn atraktor nenali, zjistili bychom, e je teorie chybn.

Co je pokusn pozorovateln? To je veliina zvisl na stavu systmu, kterse pozoruje. V topologick teorii turbulence chyb znalost toho, jak na sob

vci navzjem zvisej. Na prvn pohled je tk najt zpsob, jak to obejt,leda takov pojtko vybudovat. Jednm z monch vzkumnch projekt, jakpostavit Ruelleovu-Takensovu teorii na oviteln zklady, tedy bylo: odvoditpodivn atraktor z Navierovch-Stokesovch rovnic pro proudn tekutiny. To jeproblm, kter vyaduje pokrok sp v matematick strnce vci ne v ex-perimentln, a zatm se jej nepodailo uskutenit. Lorenzv atraktor se ne-pot, protoe se v nm pouvaj aproximace.

Ale je jet jeden zpsob. Pedpokldejme, e tvar atraktoru ze sady po-

zorovn meme zrekonstruovat zpsobem, kter je nezvisl na tom, jakouveliinu pesn sledujeme. Potom na pojtku nezle.

Je to pkn trik. David Ruelle a Norman Packard si mysleli, e by mohl fun-govat, a Floris Takens nael zpsob, jak to dokzat.

Z posloupnosti pokusnch pozorovn v jej nejjednodu form zskmeasovou adu: seznam sel vyjadujcch hodnotu pozorovan veliiny v pra-videlnch asovch intervalech. (Mohou bt i nepravideln, ale nekompli-kujme tm n vklad.) asovou adu tvo napklad teplota na danm mst

kad den v poledne, nco jako

HRAJE BH KOSTKY?

192


19/48

Obrzek 76. Potaov experimenty v rekonstrukcch atraktor pomoc Ruelleovy-Taken-sovy metody, dvojdimenzionln nkres: (a) z periodick asov ady sin t+sin 2t vznikuzaven kivka, (b) dvojfrekvenn asov ada sin t+sin2t dv torus (jeho projekci),(c) asov ada t frekvenc sin t+sin2t +sin3t nem ve dvojdimenzionlnm nakres-len dnou jasnou strukturu, je poteba zakreslit jet tet souadnici, aby asov adaodhalila svou kvaziperiodickou povahu.

17,3; 19,2; 16,7; 12,4; 18,3; 15,6; 11,1; 12,5;

ve stupnch Celsia.Pedpokldejme, e takov data chceme dosadit na podivn atraktor. Pro-

blm je v tom, e oekvme atraktor eknme v tdimenzionlnm prostoru,ale z pozorovn dostvme hodnotu jen jednu. Pi men rychlosti na z-klad Dopplerova jevu zskme jen frekvence odraenho svtla rychlost te-kutiny v jednom konkrtnm bod, kde se laserov svtlo odrazilo. Atraktorje tak stlaen do jedin dimenze. Je vidt, tak kajc, jeho silueta.

Kdybychom se na atraktor mohli podvat i z jinch smr, mohl by jt se-

stavit pln tdimenzionln obrzek, bezmla jako je architektovi tvar bu-

CITL IV CHAOS

193


20/48

Obrzek 77. Rekonstrukce podivnho atraktoru (zde Lorenzova atraktoru) Ruelleovou-Ta-kensovou metodou (srovnejte s obrzkem 54).

dovy jasn z pdorysu, nrysu a bokorysu. Na rekonstrukci tdimenzionl-nho atraktoru potebujeme informace ze t rznch smr.

Ale tyto dal smry nen mon najt v asov ad jedin veliiny, neboje? Jsou poteba dv dal.

Ruelle si uvdomil, e se dv dal falen pozorovateln daj vytvoit z teasov ady posunutm hodnoty asu (obrzek 76). Msto jedn asov adyse porovnaj ti takov, ta pvodn a dv jej kopie, posunut o jedno a o dvmsta:

ada 1 17,3 19,2 16,7 12,4 18,3 15,6 11,1 12,5,

ada 2 19,2 16,7 12,4 18,3 15,6 11,1 12,5,

ada 3 16,7 12,4 18,3 15,6 11,1 12,5,

Tak dostaneme matematickou konfekci: asovou adu tdimenzionlnch po-zorovn vybudovanou z pvodn asov ady pozorovn jednodimenzio-nlnch. Prost se petou po sob jdouc sloupeky trojic. Prvnm z tchtofalench pozorovn je zde tedy trojice (17,3; 19,2; 16,7) vyjadujc bod ve

HRAJE BH KOSTKY?

194


21/48

tdimenzionlnm prostoru, kter le 17,3 jednotek na vchod, 19,2 jedno-tek na sever a 16,7 jednotek nahoru od zvolenho potku. Dal je (19,2;16,7; 12,4) a tak dle. Jak plyne as, pohybuj se tyto trojice prostorem. Ruellevyslovil hypotzu, e drhy tchto trojic vyty piblin tvar atraktoru (obr-zek 77), a Takens tuto hypotzu dokzal. Packard byl mezi prvnmi, kdo tutometodu pouili pi pokusu.

Pro atraktor ve vce dimenzch je poteba tchto posunutch asovch advc, ale funguje t obecn postup. Je to vpoetn metoda, jak zrekonstruo-vat topologii atraktoru z jedin asov ady a nezle na tom, kter veliinase pouije.

V praxi je poteba uvit i jin vci, kter souvisej s efektivitou metody.Nkter veliiny jsou lep ne jin a k teorii se pidvaj velijak vylepen.Ale je to npad, jak pkn obejt potebu nalzt v matematick teorii vbecnjakou fyzikln promnnou!

Podivn chemieChemick reakce mohou oscilovat. Tento jev poprv zdokumentoval WilliamBray v roce 1926 pi rozkladu peroxidu vodku na vodu a kyslk za asti j-dovho katalyztoru. Ale chemici tehdy vili (chybn), e zkony termody-namiky oscilace nedovoluj. Msto aby Brayv objev rozpracovali, snaili se

jej vysvtlit chybnou experimentln metodikou.Tento pstup je zdrel asi o tyicet let. Rusk chemik Boris Blousov vypo-

zoroval periodick oscilace barvy ve smsi kyseliny citrnov, kyseliny srov,bromidu draselnho a soli ceru v roce 1958. V t dob u Ilya Prigogine do-kzal, e v oblastech vzdlench od termodynamick rovnovhy obvykl ter-modynamick zkony neplat, a tak byli lid lpe pipraveni brt vsledekvn. V roce 1963 Anatolij abotinskij upravil Blousovv recept, msto cerupouil soli eleza a doclil dramatick stdn barvy mezi ervenou a modrou.

Ukzal, e pokud je chemick sms rozlita do tenk vrstvy, mohou se v n tvo-it kruhov a spirlovit vlny. Dnes je znmo mnoho oscilujcch chemickchreakc a bn jsou i dynamick jevy sloitj ne periodicita.

Jako vzorek prce z nedvn doby popu lnek, kter v roce 1983 vyelSwinneymu a jeho spolupracovnkm J.-C. Rouxovi a Reubenu Simoyimuv asopisu Physica. Nezabv se turbulencemi v tekutinch, ale chemickmiturbulencemi chemickm chaosem v Blousov-abotinskho reakci.

Pi pokusu mili, jak se prbn mn koncentrace iont bromu. Data

podrobili rznm typm matematickho rozboru, zjistili jejich frekvenn

CITL IV CHAOS

195


22/48

Obrzek 78. Podivn atraktor zrekonstruovan z experimentlnch dat z chaotickch che-mickch oscilac v Blousov-abotinskho reakci a Poincarho zobrazen pro Poincarhoez vyznaen rkovanou arou. (Reprodukce se svolenm John Wiley & Sons, Ltd.1986.)

spektrum a z nj urili dl frekvence oscilac. Zrekonstruovali odpovdaj-c dynamick atraktor (obrzek 78 nalevo) pomoc druh falen asovady. Typick geometrie podivnho atraktoru je jasn patrn. Promnn za-

nesli do grafu pokad, kdy pohyb peel pes rkovanou ru vyznaenouv lev polovin obrzku 78, a dostali tak Poincarho zobrazen v prav stiobrzku. Body se dr pobl jedin kivky, z eho je vidt, e pestoe jedynamika chaotick, je vcelku jednoduch a ne nepodobn logistickmuzobrazen.

Vsledky jsou velice podrobn a v souladu se vemi matematickmi sku-tenostmi znmmi o podivnch atraktorech. Obrzky jsou kadopdnvelmi pesvdiv. Klidn mohly vzniknout na terminlu potaovho gra-

fika, kter kresl njakou analogii Lorenzova atraktoru. Vlastn opravdublzce pipomnaj variantu Lorenzova atraktoru, kterou sestrojil v roce 1976Otto Rssler (obrzek 79).

Chaos se v prod vyskytuje. Vlastn mi pipad asn, jak moc tohoproda asi o matematice chaosu v. A d se pedpokldat, e to vdla dlouhopedtm, ne to zjistili matematici. Pojet chaotick dynamiky nejene funguje,ale funguje jet mnohem lpe, ne mohl kdo doufat. Velmi subtiln jevy ped-povzen spojitm modelem tekutin o nm vme, e na rovni atom mus

bt nesprvn peij aproximace provdn pi nahrazovn moe atom

HRAJE BH KOSTKY?

196


23/48

Obrzek 79. Rsslerv atraktor.

nekonen dlitelnm kontinuem. Mohli bychom to asi snadno pustit z hlavyjako nco samozejmho, ale obvm se, e to jsou jen plan nadje. Rdibychom, aby to byla pravda a, vem zkuenostem navzdory, to pravda je.Cokoli se me pokazit, pokaz se.Ale v tomto ppad tohle slavn pravidloneplat. Skrv se tu tajemstv.

Ale nen to tajemstv, kter bychom museli odhalit dv, ne ten asn z-zrak, e tofunguje, budeme moci njak vyut.

Jet jednou BaTuto kapitolu jsem zaal cittem Baa o poetickm zaujet kapkami vody.Je phodn skonit vyvolnm trochy jejich matematick krsy. Kapajc ko-houtek vyvolv obvykle sp potebu instalatra ne obdivn vkiky, ale ujsme vidli, e na kapajcm kohoutku se d vidt vc ne voda tam, kde nembt. Je to chaos v malm.

Chaotick kapn kohoutku je navc diskrtn dynamick systm, ktermeme snadno pozorovat i analyzovat. Msto laseru sta mikrofon.

Pojme se na formovn kapek podvat podrobnji.

CITL IV CHAOS

197


24/48

Kdy vodu pustme pln maliko, kohoutek normln kape v pravidel-nm rytmu. Voda se pomalu hromad u obrouky kohoutku do kapky, kterse vydouv a nafukuje, a u ji povrchov napt proti psoben gravitace ne-me udret. Zane se po stranch stahovat, utvo zuujc se krek, naese kapka oddl a proces zane znovu od zatku. Jen st nkoho pekvap,e kapky kapou opakovan a rytmicky.

Kdy ale voda pustme o trochu vc, me se stt nco komplikovanjho.Kdy se kapka tvo, zrove tak osciluje. Nedostane anci usadit se do rov-nomrnho, pomalu rostoucho stdia. Vsledkem je, e okamik, kdy pesnse kapka oddl, nezle jen na mnostv nahromadn vody, ale tak na tom,jak rychle se pi svm kmitn pohybuje. Tehdy se kapky mohou tvoitv nepravidelnch, neperiodickch intervalech.

Je tu jasn analogie. Tekutina tee pi mal rychlosti hladce, ale pi vyrychlosti pejde k turbulencm. Pi nzk rychlosti se kapky tvo pravideln,pi vy zanou bt nepravideln. Mohl by oba jevy ovldat stejn matema-tick mechanismus?

Nemusel by. Mon, e kdy tok zane bt nepravideln, je to kvli tomu,e nhodn vlivy jako napklad vzdun proudy maj vliv na formovn ka-pek. I na to m Ba pklad:

Veer, kdy vtr vl,s vtvemi stromu ba si hrl.D, co do msy propadal,j jsem poslouchal.

(Strom ba je druh bannovnku a bsnk ml jeden takov strom, kter rostlped jeho domem, natolik rd, e si jej zvolil za sv tvr jmno.) Tentokrtje za jakoukoli nepravidelnost zodpovdn nhodn pohyb list, nikoliv

jemn dynamika tvorby jedin kapky.Deterministick chaos? Nhodnost?Robert Shaw, Packard a jejich kolegov z University of California v Santa Cruz

to ovili pokusem. Nechali kohoutek kapat na mikrofon. Signl z mikrofonunahrli, aby kad padajc kapka vytvoila dobe definovan cvaknut.

Cvaknut potla vtinu podrobnost o dynamice. Neukazuj, jak kapka na-rst, jen okamik, kdy se oddl. Jsou jako seril diskrtnch snmk dyna-miky. Tvo vlastn nco dost podobnho Poincarho zobrazen, co je tak

seril snmk. Z matematickho hlediska se s nimi d zachzet stejn.

HRAJE BH KOSTKY?

198


25/48

Obrzek 080. Experiment s kapajcm kohoutkem: (vlevo nahoe) aparatura, (vpravo nahoe)sek asov ady, (vlevo dole) tdimenzionln zkres pozorovanch hodnot, (vpravo dole)

jednoduch matematick model.

MIKROFON

VSTUP

ZMIKROFONU

AS

DATAMODEL

Na odvozen dynamiky museli matematici ze Santa Cruz experimentlndata zpracovat. Zmili asov intervaly mezi jednotlivmi cvaknutmi a do-stali tak asovou adu interval o zhruba 5000 lenech. Potom, jak je popsnove, pouili Takensovu metodu rekonstrukce. Posunutm pvodn asovady o jedno a o dv msta vytvoili dv dal, falen asov ady a za po-moci potae nakreslili vslednch 5000 trojic.

Tak byli schopni zrekonstruovat topologii atraktoru dynamiky kapajchokohoutku (obrzek 80). Jak oznmili ve vydn Scientific American z prosince

1986:

CITL IV CHAOS

199


26/48

Vzruujcm vsledkem experimentu byla skutenost, e v neperiodickm re-

imu kapajcho kohoutku byly skuten odhaleny chaotick atraktory. Nhod-

nost kapek by tak mohla bt zpsobena vlivy, kter jsme nezaregistrovali, jako

napklad malmi vibracemi a vzdunmi proudy, ale v tom ppad by mezi po

sob jdoucmi intervaly nebyl dn zvltn vztah a zkres dat by tvoil pouze

beztvarou skvrnu. Skutenost, e se njak struktura v zkresu pozorovat d,

znamen, e nhodnost m deterministick podklad. Mnoh z datovch sou-

bor vykazuj podkovovit tvar, kter je charakteristick pro jednoduch pro-

ces natahovn a skldn.

Zodpovdnost opravdu nese podivn atraktor. Data pipomnaj atraktor po-dobn Hnonovu.

Pi vym prtoku zane bt experimentln atraktor velmi komplikovana jeho struktura stle nen pochopena. Nen znma ani dn pm souvis-lost mezi tmto empirickm modelem a fyzikou utven kapek. Jet zbvspousta prce.

rek z kohoutku je jen jednm z druh turbulence, a to sp specilnm,ale chaos byl dle objeven v mnoha dalch turbulentnch tocch. V roce 1989se Tom Mullin z Oxfordsk univerzity dostal na tituln strnku asopisu Na-ture s krsnm experimentem, pi nm pozoroval podivn atraktor v turbu-

lentnm Taylorov-Couetteov proudn. Pi tomto konkrtnm pokusu bylpouit krtk vlec a pro doclen silnho rotanho urychlen toku se kon-cov destiky nechaly rotovat spolu s vnitnm vlcem. Aparaturu bylo tebaudrovat v konstantn teplot a v prosted bez vibrac, jinak by byl jemnpodpis chaosu seten. Nalezen chaosu nen snadn. U teoretick potaovanalza, kterou Mullin provedl ve spoluprci s Andrewem Cliffem v AERE Har-well pomoc numerickho softwaru ENTWIFE, naznaovala vysokou prav-dpodobnost, e tento systm bude generovat chaos. Experimentln data byla

zrekonstruovna Ruelleovou-Takensovou metodou a vyskoil pkn hlednpodivn atraktor. Byl to dokonce jeden z tch, kter matematici u znali: vy-skytl se u dve v jistch rovnicch, kter odvodil Bill Langford z Guelphuv souvislosti s takzvanou Silnikovovou bifurkac, co je standardn trasak chaosu. Take pi tto pleitosti experimentln rekonstrukce chaotickhoatraktoru vedla k novm informacm o matematickch vlastnostech proudntekutin a dokonce i nabdla vodtka ke zjitn, co chaos zpsobuje.

Skutenost, e chaotick dynamika podivnch atraktor je zodpovdn za

alespo nkter turbulentn jevy, je tedy pevn ustanovena, ale spousta vc

HRAJE BH KOSTKY?

200


27/48

tkajcch se turbulenc zstv zhadou. Pln rozvinut turbulence, pokudse j podivn atraktory vbec tkaj, me vyadovat atraktor enormn di-menze tisc, milion. O takovch se v souasnosti ned ci nic, co by stloza to vdt. Mnoh turbulentn jevy zejm vznikaj kvli rozhranm na-pklad stnm trubek a teorii podivnch atraktor se zatm nepodailos vlivem rozhran propojit.

A nemli bychom bt posedl chaosem jako jedinm monm vysvtlenm.Rusk fyzik V. P. Maslov nedvno objevil dkaz jistho druhu nejednozna-nosti v Navierovch-Stokesovch rovnicch. Rovnice ve skutenosti nemusejurit tok do vech detail: pro dan poten podmnky mohou mt vc e-en, pinejmenm v jistm piblinm smyslu. Maslov k, e efekt se dpopsat obrazn. V Pukinov slavn pohdce Pohdka o popovi a jeho dlnkuBaldovi, Balda provazem zamch vodu a vzbud dmony. Kdy tedy to pro-vazem dost rychle, dmoni zanou nedeterministicky bsnit a zapin tur-bulence.

Mon, e teorie s neviditelnmi perami nakonec nen zas a tak hloup.

CITL IV CHAOS

201


28/48

K A P I T O L A D E S T

FKOVNKY A FEIGENBAUMOVA SLA

Blzen nevid stejn strom jako moudr mu.

William Blake, Pekeln pslov

Nov matematick pojem: chaos. Star problm: turbulence. Nov nstroj,star kol: co by mohlo bt pirozenjho ne nov nstroj uchopit a vyzkou-et, jestli se bude na star kol hodit? A tak to udlali a hodil se.

Ale vda se nepohybuje vdy smrem, kter byste nejvc ekali. A se stdoprkem ene ke vzdlenm obzorm, vdy se najde pr svhlavc nestupnmcch opanm smrem. Jeden z tchto svhlavc zpsobil zsadn zlom.Jednalo se ale o prlom pouze matematick, kter pro teorii turbulenc zna-menal velk pnos a pozdji. Do matematiky importoval nov npad z fyzikyfzovch pechod innou techniku zvanou renormalizace. Tm se zase

prokzalo, e nkter vlastnosti chaosu jsou obecn nezvis na pesnmtvaru rovnic, jen na typu podivnho atraktoru, kter se v nich vyskytuje. Toumonilo ptomnost jistch typ chaosu ovovat jednoduchmi pokusy.Ale abychom se k tomu vemu ponkud nepmo dostali, chci se vrtitk jednomu z pedchozch tmat, kosmick sond Voyager.

Lhev v kosmickm ocenuVelkolep vprava Voyager Slunen soustavou u Uranu neskonila. Stejn

jako jejich pedchdci, sondy Pioneerbudou pokraovat do mezihvzdnhoprostoru. Za 40 000 let se dostanou na vzdlenost jednoho svtelnho rokuke hvzd AC +79 3888. Po miliony let budou proplouvat galaxi a setkvatse mon s jinmi planetrnmi soustavami.

Pro nepravdpodobn ppad, e na jedn z nich budou inteligentn ivbytosti, nesou s sebou Voyagery dvanctipalcov pozlacen mdn disk gramofonovou nahrvku (obrzek 81). V jejch drkch je zakdovno115 fotografi od schmatu kontinentlnho driftu po supermarket a spousta

zvuk od dobr den v akkadtin po Beethovenovu ptou. K zachycen

202


29/48

sondy a pehrn desky me dojt jedin tehdy, pokud v mezihvzdnm pro-storu existuje pokroil civilizace schopn vprav do vesmru, k Carl Sa-gan. Ale vhozen tto lhve do kosmickho ocenu vyjaduje nco nadjepl-nho o ivot na tto planet. Jsem na vkch, jestli mm tohle konkrtnkosmick gesto povaovat za povzbudiv projev nezkruitelnosti lidskho du-cha, kter zaheje u srdce, nebezpen vyzrazen naich vesmrnch souad-nic potencilnmu nepteli nebo nesmysln projev jeitnosti. Opravdu by mzajmalo, co si s tmto pokladem ponou mimozeman, kte jej najdou.Konkrtn fotografie Jane Goodallov a jejch impanz by mohla navoditchybn pedstavy. Ale te u se to ned vzt zpt.

Tet fotografie z nahrvky na Voyageru obsahuje matematick definice. Tra-din se m za to, e s mimozemany se d kontakt navzat nejlpe pes ma-tematiku zejm proto, e vypad jako univerzln mdium mylen. U CarlFriedrich Gauss navrhoval nakreslit na Saharu diagram ilustrujc Pythago-rovu vtu, aby jej Marani a jim podobn mohli spatit dalekohledy. Jin na-vrhovali vysln posloupnosti prvosel nebo desetinnho rozvoje s pedpo-kladem, e je dn civilizovan a inteligentn rod neme nepoznat, tudani neme nepostehnout civilizovanost a inteligenci bytost, kter je vyslaj.

Mm ale podezen, e takov projekty selou na provinnost. Myslm si,e pro pozemskou matematiku pravdpodobn zstane dleit ale moc

bych neszel na jeho setrvn v roli objektu zsadn dleitosti po dalch10 000 let, nato milion. Nemm tuen, co zelenochapadlkovit matemato-idi z Velkho Magellanova mrana povauj za zkladn poznatky. Ve scifi po-vdce Jamese BlisheA Clash of Cymbals (Tsknut inel) matematika na idi-teln planet He na pohled pipomn pozemskou matematiku, ale nar sena skal: Tady napklad Retma pouval d, kter ml Amalfi z analzy za-it jako prstek, jednodue jako oznaen konstanty. Tak pozor!

eknme, e by v lt 1975 njak astronom zaznamenal cosi, co by mohlo,

ale nemuselo bt pirozenho pvodu, stle se opakujc posloupnost binr-nch signl, kter po pevodu do destkov soustavy reprezentuje slo4,669 201 609 Vdeck veejnost by vyslovila jist zklamn, e signl ne-vyjaduje 3,141 592 653, protoe potom by pro argumenty, e je pouhoushodou okolnost, byla poteba opravdu velk pedstavivost. Ale nemohlo byto bt njak jin slo zsadnho vznamu? Vdci by proli sv tabulky z-kladnch matematickch konstant, jako jsou teba zklad pirozenho loga-ritmu e, zlat ez, Eulerova-Mascheroniho konstanta a odmocnina ze dvou

nic. Se vzrstajcm zklamnm by vyhrabali njak mn znm sla, jako je

FKOVNKY A FE IGENBAUMOVA SLA

203


30/48

Obrzek 81. Technici nakldajc gramofonovou nahrvku na Voyager 2.

HRAJE BH KOSTKY?

204


31/48

Catalanova konstanta nebo objem nejmen hyperbolick tdimenzionlnvariety

Ne, na 4,669 201 609 nen nic pozoruhodnho. Astronomov museli za-chytit prodn zdroj, periodick vibrace njak vzdlen neutronov hvzdy,radiaci z ern dry.

Kdyby ale tent signl zachytili v roce 1976

Neperturbujte renormalizujte!Mitchell Feigenbaum je fyzik, kter potkem sedmdestch let pracovalv losalamosk laboratoi. Nkte z jeho koleg by mli vhrady vi slovupracoval, protoe nikdo moc netuil, na em Feigenbaum pracoval, vetn sa-motnho Feigenbauma.

Zajmal se o nelinern systmy. Nejuvanjmi metodami pro prcis nelinernmi systmy tehdy byly poruchov techniky sticov fyziky, a tohlavn Feynmanovy diagramy pojmenovan po svm vynlezci, nositeli No-belovy ceny Richardu Feynmanovi. Jako student se Feigenbaum nauil tytovpoty provdt, usoudil, e se na nelinearitu nehod, a pestaly ho bavit.

Jin odvtv fyziky se zabv fzovmi pechody zmnami stavu hmoty,jako je napklad promna kapaliny na plyn. Matematika fzovch pechodje tak nelinern. Kdy Kenneth Wilson z Cornellu piel na novou metodu

pro fzov pechody zvanou renormalizace, Feigenbaum se do n zamiloval.Wilsonv postup je zaloen na sobpodobnosti, tendenci matematickchstruktur opakovan se vyskytovat na mnoha rovnch. Klasick obrzek tur-bulence m pece prv takovou strukturu: nekonen kaskda stle se zme-nujcch vr. Jak napsal Lewis Richardson v parodii Johnatana Swifta:

Velkm vrm mal vryerou jejich rychlost,

malm vrm men vry,nakonec je vazkost.

Feigenbaum nebyl jedin, kdo si myslel, e by Wilsonova renormalizace mo-hla bt pouiteln na turbulence. Vznik turbulence vypad z matematickhoi z fyziklnho hlediska zrovna jako fzov pechod, jedinm rozdlem je, eturbulence je pechod stavu proudn sp ne fyzick struktury hmoty. A takna t mylence pracovalo nkolik fyzik. Dvody, pro by renormalizace mla

jt pout, byly nicmn chab, a i kdyby pout la, stejn nikdo nevidl jak.


205


32/48

Jako kad jin rozumn vdec se ani Feigenbaum nepokouel vylmat sizuby na pln sloitosti turbulentnho proudn. Msto toho, stejn jako Smale,uvaoval, jak obecn jev v nelinernch diferencilnch rovnicch by mohlturbulenci odpovdat. Usoudil, e v uebnicch nic moc uitenho nen: mu-sel se do toho pustit holma rukama. Take zaal s nejjednodu nelinernrovnic, kter ho napadla, nam starm znmm logistickm zobrazenm.

Logistick zobrazen u zkoumali mnoz. Ekolog Robert May na nm pra-coval v roce 1971 a demonstroval na nm podivnou povahu nelinernch po-pulanch model. V tomt roce Nicholas Metropolis, Paul Stein a MyronStein objevili, e vc je jet sloitj, ne kdo tuil, a proto ped nm PaulStein Feigenbauma varoval, a ten problm na njak as uklidil do uplku.Pokud je nejjednodu zobrazen prakticky nesrozumiteln, jak nadje zbvpro relnou dynamiku?

V roce 1976 se ale Feigenbaum zastnil konference, na kter slyel o dy-namickch systmech mluvit Smalea. Zmnil se o logistickm zobrazen a jehokaskd dvojnsobnch period k chaosu a nadhodil monost, e nco oprav-du matematicky zajmavho by se mohlo dt na mst, kde se vechna zdvo-jovn period nakupila, tam, kde kaskda skonila a zaal chaos. Feigenbaumse nechal znovu inspirovat, vythl problm ze uplku a vrhl se na nj.

Jak je dobr nemt potaAsi si pamatujete, e logistick zobrazen m tvar

x kx(1 x),

kdex le mezi 0 a 1 a kje parametr mezi 0 a 4. Z mnoha jeho vlastnost nsbude zajmat kaskda dvojnsobnch period, kterou jsem na Feigenbaumovupoest pektil nafkovnk.

U jsme si ukzali, e fkovnky rostou, kdy se hodnota parametru k zvy-uje z 3 na 3,58. Pro k mezi 0 a 3 je jeden klidov stav, pro k = 3 se objevcyklus s periodou 2, v k = 3,5 se perioda zmn na 4, v k = 3,56 se znovu zdvoj-nsob a tak dle. Postupn dvojnsoben se kup rychleji a rychleji a obrzek,jak se atraktor v zvislosti na k mn, vypad jako strom s nekonen mnohakratmi a kratmi vtvemi, vtvkami, vtvikami, vhonky, kter se v ka-d fzi rozdvojuj. Smale se zajmal o to, co se stane na plnm konci nej-vrchnjch vtviek fkovnku, kdy je k zhruba 3,57, a Feigenbaum se

pustil do hledn odpovdi.

HRAJE BH KOSTKY?

206


33/48

Jeho prvn krok byl rutinn: pesn spotat posloupnosti hodnot para-metru k, pi kterch dochz k jednotlivm zdvojenm. Dnes by lovk auto-maticky shl po svm potai. Tehdy bylo pouvn potae zdlouhav,lohy se zadvaly v dvkch na drnch ttcch a vsledky se objevily o celdny pozdji. Kdy lovk udlal jakoukoli chybiku, nedostal nic vc ne je-din list papru, pi troe tst s lakonickou chybovou hlkou. Tak Feigen-baum radji pouil programovatelnou kalkulaku HP 65 od firmy Hewlett-Packard.

To se ukzalo jako velice astn npad, protoe kalkulaka byla tak po-mal, e jej opertor ml as o vsledcch pemlet, kdy se objevovaly,a dokonce i pedtm. Vpoet zaal aproximac hledanho sla, kterou pakkrok po kroku vylepoval. m lep poten aproximace, tm krat dobuvpoet trval. Take na ueten asu na to je pi pouvn kalkulaky d-leit myslet se Feigenbaum snail zhruba odhadnout, kter dal slo byv kaskd mohlo bt. Brzy nael pravidlo. Rozdly mezi po sob jdoucmi slymly konstantn pomr, kad zhruba tyikrt vt ne ten dal. Pesnji,pomr byl piblin 4,669.

Matematik by to nazvalgeometrick konvergence a pravdpodobn by se tmdl nezabval, ale pro fyzika, obzvl se znalost fzovch pechod, kon-stantn pomr znamen klovn. Fyzikln jevy, kter se znovu objevuj

v menm a menm mtku. Mal vreky v rmci velkch vr jako tur-bulence. V dan struktue musej bt men kopie te struktury, jejichmtko je uren klovacm pomrem.

Feigenbaum objevil dkazy, e v nejvrchnjch konecch fkovnku musbt njak struktura, kter zstv stejn, kdy se jej velikost 4,669-nsobnzmen. Tato struktura je podoba fkovnku samotnho. Klidov atraktor tvokmen, atraktory pro periodu 2 jsou dv krat hlavn vtve, z tch vyrstajjet o nco krat vtve pro periodu 4, z nich vtviky periody 8, slab vt-

viky pro periodu 16 a tak dle. Pomry velikost kmenu ke hlavnm vtvm,hlavnch vtv k dalm vtvm, vtv k vtvikm, vtviek k vtvekm sestle vc pibliuje k 4,669, tak jak jsou vtviky bl k vrcholu stromu.

Opravdu, kdy se ulom vtev, dostane se piblin kopie celho fkovnku(obrzek 82). Tot plat, kdy se ulom vtvika. Kopie je men a velikost sezmenuje v mtku, kter se bl 4,669. A m se jde dl, tm je podobnostpesnj. To je sobpodobnost. Tady je poteba aplikovat Wilsonovu metodurenormalizace. Feigenbaum pod jet nevidl, jak to udlat, ale vdl, e se

vydal sprvnm smrem.


207


34/48

Obrzek 82. Sobpodobnost fkovnku: v idelnm ppad m kad vtvika tent tvarjako celek, jen zmenen.

Hadi a medvdiMetropolis, Stein a Stein v logistickm zobrazen objevili netuen strukturya tyt struktury objevili jet pinejmenm v jednom dalm zobrazen, tri-gonometrickm zobrazen

x k sinx.

HRAJE BH KOSTKY?

208


35/48

Obrzek 83. Trigovnk: kaskda dvojnsobnch period v trigonometrickm zobrazen (srov-nej s obrzkem 65).

Tm se nechal Feigenbaum inspirovat a zopakoval sv vpoty pro trigono-metrick zobrazen. Opt nael kaskdu zdvojnsobujcch se period (ob-rzek 83). Opt se jednalo o geometrickou konvergenci a pomr velikost vtv

fkovnku konvergoval ke konstant.To nebylo pli pekvapiv, konec konc v slech mus bt njak struk-

tura a musej se zmenovat dostaten rychle, aby se na omezen prostor dalonacpat nekonen mnoho vtviek. Konstantn zmenovn je pravdpo-dobn nejjednodu zpsob, jak to doclit.

Ale pece jenom tam bylo pekvapen. Hodnota klovacho pomru.Bylo to zase 4,669.To bylo opravdu udivujc. Nebyl patrn dn dvod, pro by pro ta dv

zobrazen s pln jinm pedpisem mlo vyjt stejn slo. Ale kalkulaka tvr-dila, e vychz.

Mon to byla jenom nhoda. Mon se sla li na dalm desetinnmmst. Nejjednodu zpsob, jak to rozhodnout, je spotat to pesnji a Feigenbaum ml pocit, e tenadeel as nauit se pouvat pota. Nej-dv myslet, pak potat. To je heslo, kter by mlo bt vyryt na potaovmterminlu kadho vdce.

Feigenbaum rychle zjistil klovac pomr pro logistick zobrazen pesnji:

4,669 201 609 0.


209


36/48

Zopakoval vpoet pro trigonometrick zobrazen. sla zstala na desetdesetinnch mst stejn.

To neme bt nhoda. Ale pro to tak proboha je? James Gleick ve svknize Chaos nabz analogii, kter pkn zachycuje, jak byl Feigenbaum zma-ten:

Pedstavte si, e njak prehistorick zoolog rozhoduje, e nkter vci jsou t

ne jin maj njakou abstraktn vlastnost, kterou nazv vha a on chce

tento pojem vdecky analyzovat. Nikdy dnou vhu nemil, ale mysl si, e

pojmu trochu rozum. Podv se na velk hady a na mal hady, velk medvdy

a mal medvdy a odhadne, e vha by mohla bt v njakm vztahu k jejich ve-

likosti. Vybuduje vhu a zane vit hady. K jeho pekvapen vichni hadi v

stejn. K jeho asu i vichni medvdi v stejn. A k jeho dalmu divu

medvdi v stejn jako hadi. Vichni v 4,669 201 609 0. Vha zjevn nen

to, co si myslel.

Byla to opravdu zhada. Ale te Feigenbaum zahldl strukturu, za kterou sehonil a sledoval horkou stopu.

Byla to nicmn jin cesta, ne ekal.Z tradinho pohledu fyziky a aplikovan matematiky je tou nejdleitj

vc na svt rovnice, kter popisuje zkouman systm. Pi studiu proudnvody v lzni sepite rovnice. Pak meme vodu vypustit a soustedit se na ma-tematiku. Stejn jako z dtte vyroste dospl lovk, z rovnic vyroste vechno,co si jen budete pt.

Feigenbaum tento asem proven postup dodrel a vodu vypustil. Vy-pustil s n oividn ale i dt. klovac pomr nezvisel na rovnici. Logisticknebo trigonometrick, nebyl v tom dn rozdl.

Nael strukturu, dobr.

Ale nedvalo to vbec dn smysl.

RenormalizaceRenormalizace byla proven technika, take se nabzelo mnoho cest, kudyse do problmu pustit. Feigenbaum je vyzkouel vechny. Neformln zvee-

joval sv vsledky a mluvil se spoustou lid. Postupn se matematick erozanalo projasovat. V dob, kdy byl pipraven sv npady publikovat, mlu v podstat pln obrzek toho, co se dje. Skuten za tm vm byla Wil-

sonova metoda renormalizace, jak odhadl hned na zatku: mon ne pesn

HRAJE BH KOSTKY?

210


37/48

ve sv obvykl technick podob, ale v zkladn filozofii. Feigenbaum napsaldv pojednn, v jednom popsal pslun matematick jevy, a ve druhm na-stnil dvody, pro maj rzn zobrazen stejn klovac pomr. V jeho od-vodnn pod jet chybl formln dkaz, ale bylo to pesvdiv a vysvt-lovalo to, e zzrak nebyl vbec zzrakem, ale logickm vystnm matematickstruktury. Posledn dlek skldanky dodali Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmanna Oscar Lanford, kte dkaz sprvnosti Feigenbaumova scne vymysleli.

Zkladn mylenka je skuten ndhern. Pokusm se ji popsat, ale musmvs varovat, e se vm dostane jen malik zlomek celku a lecemu budetemuset prost uvit.

Zanu pirovnnm, ze kterho by mohlo bt trochu vidt, jak renormali-zace funguje. Pipomeme, e proces nebo objekt je sobpodobn tehdy, kdyse zvtenm jeho mal sti dostane nco, co velice pipomn pvodn ce-lek. Jako oknka v logistickm zobrazen. Nebo to, jak se v turbulentnm prou-dn daj mal vreky nafouknout do velkch vr. I zde existuje klovacpomr jak moc je poteba zvtovat.

Kdy vybrme stle men sti, a ty zvtujeme na pvodn velikost celku,me se obrzek stabilizovat ve smyslu, e pi stle vtm zvten obrzkyvypadaj tm toton. Take meme pejt k limit a skonit s jakmsi ome-zen velkm obrzkem infinitezimln geometrie. Tomuto procesu se k re-

normalizace systmu. Jeho vhoda spov v tom, e v renormalizovan verzisobpodobnost nen jen piblin, ale pesn. A jakoukoli vlastnost originluzvislou jen na tto infinitezimln geometrii potom meme vyst rovnouz konen geometrie renormalizovanho objektu.

Take renormalizace je matematick trik, kter slou trochu jako mikro-skop, kter zvtuje sobpodobnou strukturu, odbourv aproximace a od-filtrovv vechno ostatn.

Uvedu analogii, kter zachycuje hlavn matematick vlastnosti: geometrii

malho kousku velk krunice. Krunice m piblinou sobpodobnost. Do-staten mal kousek velk krunice je lehce ohnut hladk kivka. Kdy jizvtme, jej tvar se moc nezmn, zstane to lehce ohnut hladk kivka.Sobpodobnost ovem nen pesn. Kdy zvtme kousek krunice, zmnse jej kivost, i kdy maliko.

Pmka je ale pesn sobpodobn: kdy vezmeme krtkou seku a zvt-me, dostaneme pesnou reprodukci originlu.

Jak vypad velk krunice z pohledu mravence? Je piblin rovn. Stejn

tak velk sfra nm drobnm lidoopm, kte ji obvme, pipad ploch. Jak


211


38/48

Obrzek 84. Renormalizace krunice odhal, e infinitezimln je to vlastn pmka.

by z pohledu nekonen malho mravence vypadala nekonen velk kru-nice? Patrn pln rovn. Ale se slovy nekonen se mus zachzet opatrn.Jak meme z takovho vroku dostat formln pesn tvrzen?

Pomoc renormalizace. K renormalizaci krunice se vyberou men a menoblouky, vechny se nafouknou na stejnou dlku a vsledky se porovnaj.Dostane se posloupnost stle pmjch kivek, kter se bl k pmce jako-

to limit (obrzek 84). Tato limita zachycuje infinitezimln plochost kru-nice a pevd piblinou sobpodobnost na pesnou sobpodobnost.

Pmka takt vykazuje jistou dvku univerzality. Kdy renormalizaci zo-pakujeme pro elipsu, skonme zase u pmky. Tot plat vlastn pro jakou-koli hladkou kivku. A zaneme s kteroukoli hladkou kivkou, proces re-normalizace ji promn v pmku. Pmka je jakmsi atraktorem proceduryrenormalizace.

Kdy ale renormalizaci provedeme na nem, co m roh, tak, e roh v-

dycky zstane ve vezu, vsledkem budou dv polopmky, kter svraj n-jak hel. Pmka je tedy univerzln jen pro vhodnou tdu potench ki-vek, a to kivek hladkch.

Fyzici, kte studovali fzov pechody, objevili podobn kaz univerzality.Jist fyzikln veliiny, znm jako kritick exponenty, nabvaj obvykle bezohledu na konkrtn matematick model stejnch hodnot. Dvodem je to, epi renormalizaci vypadaj rzn modely stejn a kritick exponenty zvisejpouze na renormalizovanm modelu.

HRAJE BH KOSTKY?

212


39/48

Feigenbaumovo zobrazenFeigenbaum piel na to, e by stejn trik mohl fungovat i pro fkovnky. klo-vac pomr fkovnk je analogi kritickch exponent, take univerzalita po-zorovan pi fzovch pechodech mus bt zodpovdn za to, e se ve fkov-nku objevuje vdy tent klovac pomr bez ohledu na to, o kter zobrazense jedn.

Pipomeme, e fkovnk je nkres, kter zachycuje postupn vznikn pe-riodickch cykl s periodami dlky 1,2,4,8,16, pi zmnch parametru k.

Podstata je v tom, e se periody prodluuj stle stejnm mechanismem.Cyklus s periodou 2n zane bt nestabiln a vznikne cyklus s periodou 2n+1.Dje se to tak, e se kad bod z cyklu s periodou 2n rozdl na dva. Kdy nacyklus s periodou 2n+1 zamourme z dlky hned po jeho vzniku, dvojicebod splynou a msto toho bude vidt star cyklus s periodou 2n.

Jeden matematick trik umouje vybrat konkrtn bod z cyklu dlky 2n

a sledovat, jak se bod rozdvoj. Matematickm mikroskopem se sleduje mali-k kousek intervalu mezi 0 a 1. Krom velikosti tohoto malikho intervaluje geometrie pi rozdlovn tm toton. Kdyby se zorn pole matema-tickho mikroskopu vyfotografovalo a zvtilo na standardn velikost, liily byse po sob jdouc snmky jednotlivch zdvojnsoben periody m dl tmmn. Kdy se tedy dlka periody bl nekonenu a dochzme na sam ko-

nec vtv fkovnku, po sob jdouc fotografie vypadaj m dl tm vc jako n-jak limitn obrzek.

Analogie s renormalizac je te jasn. Z matematickho hlediska se jedno stejn postup. To znamen, e analogii meme rozvst a zeptat se, co je li-mitn obrzek a jakmu zobrazen odpovd.

Za prv bychom mohli ekat, e podobn obrzek bude vyhovovat pro jak-koli pvodn zobrazen logistick, trigonometrick, nebo kterkoli jins jedinm hrbem. Klov pozorovn je, e tvar limitnho obrzku je ve vech

tchto ppadech stejn stejn jako z krunic a elips renormalizac vzniknepmka.

Pi hledn zobrazen, kter odpovd univerzlnmu limitnmu obrzku,zaneme pozorovnm, e v krunicov analogii pmka m specilnvlastnost, dky kter vynv jako neobvykl. Pi renormalizaci zstv stej-n pesn sobpodobn. Pedpokldejme, e bychom nali njak velmispeciln zobrazen, pro kter se fotografie zvtovan z mikroskopu nebl- k njak limitn form, ale v kadm kroku jsou pesn tyt. Jeho bi-

furkanm diagramem by tedy byl prototyp z obrzku 82, kter je pesn


213


40/48

Obrzek 85. Pro zobrazen s nkolika hrby nebo s plochm hrbem existuj jin Feigen-baumova sla.

sobpodobn. Potom by toto mimodn zobrazen mlo hrt roli analogic-kou t, kterou hraje pmka. kejme mu Feigenbaumovo zobrazen. Stejn jakopmka, zstv po renormalizaci nezmnn. Feigenbaum tvrdil, e bez ohle-du na to, s jakm zobrazenm zaneme, pi renormalizaci dojdeme k tomutospecilnmu zobrazen stejn jako se libovoln hladk kivka promnv pmku.

Konstantn rychlost zmenovn po sob jdoucch vtvek fkovnku proFeigenbaumovo zobrazen vyplv pmo z definice: jedn se o pomr, vekterm je poteba zvtovat dal fotografie, aby se zskal tent obrzek. Tense d spotat jednou provdy tak, e se zjist, jak mus Feigenbaumovo zo-brazen vypadat. Dostaneme jen jedin slo, protoe je jen jedno Feigenbaumovozobrazen.Jak to tak vypad, to slo je 4,669 201 609 0. No, nco to bt mus.

Pro jin zobrazen jsou ovem postupn zvtovan obrzky nejen stlepesnjmi kopiemi tho, ale jsou stle podobnj obrzkm pro Feigen-baumovo zobrazen. Jejich fkovnky se tedy scvrkvaj rychlost, kter kon-verguje k me pro Feigenbaumovo zobrazen. V limit se tedy dojde k tmupomru 4,669 201 609 0.

Z elips i z krunic se pi renormalizaci stane pmka, a tu meme charak-terizovat pomoc sobpodobnosti. Stejn tak se z logistickho i z trigonomet-rickho zobrazen stane Feigenbaumovo zobrazen, kter takt meme cha-

rakterizovat sobpodobnost.Feigenbaum ml promylenou pedstavu o celm procesu. Je to dynamick

systm, kter ale msto sel pouv zobrazen. Je to diskrtn systm a v ka-dm kroku se dan zobrazen transformuje na jin pohledem do mikroskopu

HRAJE BH KOSTKY?

214


41/48

a zvtenm fotografie. Feigenbaumovo zobrazen je atraktorem tohoto sys-tmu, take ty vlastnosti zobrazen, kter jsou zvisl pouze na pozdjchstdich nafukovacho procesu, jsou velmi podobn vlastnostem Feigenbau-mova zobrazen.

Konkrtn dostaneme jen jedin slo 4,669 201 609 0, protoe v tomto dy-namickm systmu je jen jeden atraktor. Feigenbaumovo magick slo je,stejn jako , zkladn a pirozen matematick konstanta. Pokud se zeleno-chapadlkovit matematoidi z Velkho Magellanova mrana hodn zabvajdynamikou, mohli by za prostedek k vysln signlu zbytku inteligentnhovesmru povaovat prv tohle.

Feigenbaumova slaFyzici, kte zkoumaj fzov pechody, jsou na tento typ univerzality, kdy stej-n slo vychz pro rzn matematick modely, zvykl. Nepodailo se jim do-kzat, e je to tak vdycky, ale stejn se to nauili vyuvat. Pokud ze spoustymodel vyplv stejn odpov, je mon vybrat si ten, ve kterm je vpoetnejjednodu.

V moment, kdy se matematici postarali o technick detaily, byl Feigen-baum v mnohem lep pozici. Mohl dokzat, e rzn zobrazen maj vdyckystejn klovac pomr. V rigorzn verzi jeho teorie se slo 4,669 objevuje

jako vlastn slo opertoru. Vlastn sla m intenzitu natahovn ve zvlvybranm smru. Fyzici nazvaj 4,669 Feigenbaumovo slo.

Univerzalita Feigenbaumova sla nen absolutn, ale relativn. klovacpomr je 4,669 pro vechna zobrazen s jednm hrbem, kter pipomn pa-rabolu. Pro zobrazen s nkolika hrby nebo zobrazen s hrbem znateln jinhotvaru napklad s rovnm hrbem je klovac pomr jin (obrzek 85).Ale potom existuje cel paleta dalch zobrazen, kter maj toto nov slojako svj klovac pomr. Ohromn rozmanit zobrazen se seskup do td

univerzality a v rmci kad tdy je klovac pomr vdy stejn.A jet existuje dal, podobn univerzln slo spojen s dynamikou ne-

linernch zobrazen. klovac pomr 4,669 pro fkovnk je pomr dlek jehovtv nebo sp jejich vodorovnho stnu menho pomoc parametru k. Naobrzku fkovnku je patrn, e se men vtviky nerozevraj tak rychle jakoty vt. Mra, jak rychle se vtve rozevraj, se tak sniuje univerzln kon-stantou, ale jinou: tentokrt je to 2,502 907 875 095 7.


215


42/48

Dvousen meVyplvaj z toho dleit, le nezvykl dsledky pro experimentln testovnchaotickch model. Ukazuje se, e v mnohch relnch systmech dochzk srii zdvojnsobovn period s jednm takovm systmem se za okamiksetkme. Pirozenm modelem je potom dynamick systm podle logis-tickho zobrazen. Podle Feigenbaumovch vsledk o univerzalit memepro experiment udlat dv pedpovdi. Pomr dlek interval mezi po sobjdoucmi zdvojenmi bude zhruba 4,669 a pomr, v nm se mn rozevenvtv, by ml vyjt zhruba 2,502.

Otestovn tchto pedpovd je naprosto pmoar. Provedeme pozoro-vn a spotme sla. Teorie je tud falzifikovateln: pokud je chybn, do-staneme msto toho napklad sla 6,221 a 0,074. Byla by to skuten pozo-ruhodn shoda nhod, kdyby vyla sla blzk Feigenbaumov pedpovdia teorie nebyla v podstat sprvn.

Vimnte si, e z ist kvalitativnho modelu dostaneme kvantitativn, nu-merick pedpovdi. Zzrak!

Ale zzrak nen zadarmo. Tent fenomn, dky nmu je to mon, uni-verzalita tak zpsobuje, e nen mon rozliit mezi jednotlivmi zobra-zenmi z te tdy univerzality. Trigonometrick zobrazen projde stejnmiexperimentlnmi testy jako logistick zobrazen a stejn tak i spousta dalch

zobrazen s jednm hrbem.Za pedpokladu, e z experimentu skuten vyjdou piblin sla 4,669

a 2,502, jak se pedpovdalo, meme si bt celkem jist, e chovn se sku-ten d popsat pomoc diskrtnho dynamickho systmu, kter po fkov-nku plh k chaosu. Kter systm to pesn je, to je zase jin problm. Testfunguje pro celou tdu rovnic, ne pro jednu konkrtn.

Tento proces se velmi li od tradinho pohledu na experiment, kdy sepedpovdi jedin specifick modelov rovnice porovnvaj s realitou.

Dal vc. Pedpokldejme, e nevme, e Feigenbaumovo slo 4,669 je uni-verzln, a pedpokldejme, e logistick zobrazen je jedin znm zobrazens jednm hrbem. Po zopakovn vpot, kter Feigenbauma dovedly k jehoteorii, meme z tto specifick rovnice odvodit slo 4,669. Kdy jej poku-sy potvrd, budeme mt za to, e je to pdn dkaz ve prospch modelovnpomoc logistickho zobrazen. Nikdo nezjist, e pesn stejn slo vyjdei z jinho modelu podobnho typu.

Pedstavte si napklad, e se v dalm ivot v alternativnm vesmru na-

rodte jako Galileo. Vymyslte teorii, e objekt hozen do vzduchu opisuje

HRAJE BH KOSTKY?

216


43/48

parabolu, spotte pr sel, provedete pokus a vyjde dobr shoda teories experimentem. Usoudte z toho, vcelku rozumn, e parabola je sprvn.Nikdy vs ani nenapadne, e tat sla by vyla i pro spoustu jinch teori,e parabola mon vbec nen potvrzen.

Feigenbaumv objev univerzality byl tedy dvousenm meem. Dky nmuse d konkrtn tda chaotickch model relativn snadno experimentlnotestovat, ale testovac metoda nedl rozdl mezi jednotlivmi modely ttotdy.

Jednm eenm by byly citlivj testy: eknme zkoumn detailn struk-tury posloupnost zdvojnsobovn period msto studia chovn pouze v blz-kosti hromadnho bodu na plnch konecch vtv fkovnku.

Pro nkter ely (teba pro zkoumn, jak vypad chovn na plnch ko-necch vtv fkovnku) by ale mohlo bt eenm pipustit, e rozdly mezirznmi modely nehraj roli. Nejen kvalitativn, ale ani kvantitativn. Pro nk-ter ely bude kterkoli teorie z te tdy univerzality fungovat stejn.

Turbulentn vzdun zmkyJak jsem ekl, Feigenbaum zaal pemlenm o turbulencch, tedy se zabvali velice specifickou a komplikovanou soustavou rovnic proudn, Naviero-vmi-Stokesovmi rovnicemi. Msto zkoumn tchto rovnic pracoval se zjed-

noduenou, umlou rovnic logistickm zobrazenm. Tak doel k nedoce-nitelnmu objevu: univerzalit. Nikdy by ji neobjevil ze sloitch rovnic,i kdyby realitu vystihovaly lpe. Realismus je prevt.

Mezi matematick techniky na studium diferencilnch rovnic pat i roz-shl repertor trik na pevod jednoho problmu na zdnliv jin. Jsouv nm substituce promnnch, kter zmn tvar rovnic, i kdy zkladn mo-del zstane zachovn, a redukn metody, kter spoustu promnnch z vahpln vyad. Je sloit aplikovat je na Navierovy-Stokesovy rovnice, ale v-

dycky se d o takov monosti snt, ani by lovk musel vechna skal sku-ten pekonvat.

Ale ekat, e pomoc njakho typu matematick analzy bude monz Navierovch-Stokesovch rovnic odvodit opravdov logistick zobrazen, toje opravdu pehnan. Bez univerzality by analza logistickho zobrazen bylapouhm jedinm pkladem, pravdpodobn necharakteristickm pro nic ji-nho: ojedinl, bezvznamn vpoet. Ale je mnohem pravdpodobnj, ese esence chaosu (nathnout a sloit) najde v turbulentnch tocch. Anej-

jednodu systmy, kter pedvdj natahovn a skldn, jsou kvalitativn


217


44/48

podobn logistickmu zobrazen. Pro vechny takov systmy vyjdou dkyuniverzalit tat Feigenbaumova sla.

Zvr: pokud je tomu tak, e hluboko v Navierovch-Stokesovch rovni-cch je matematick proces zahrnujc jednohrb zobrazen, potom se tam vy-skytne kaskda dvojnsobnch period se klovacm pomrem 4,669. Na ta-kovou pedpov nen poteba zobrazen odvozovat. Jen musme odhadnout, etam takov zobrazen nkde bude. Je to pedpov se vemi vhodamikrdee nad poctivou prac.

Ale pedpov je naprosto v podku, a u je jej etick status jakkoli:meme jt a provst pokus, zda se objev slo 4,669. A pokud ano, je topdn dkaz toho, e chaotick dynamika, podivn atraktor a zobrazens jednm hrbem skuten nkde v Navierovch-Stokesovch rovnicch jsou.Experimentln dkaz na podporu matematick vty!

Bizarn.Kdy si to Feigenbaum takhle rozmyslel, navrhl nov pstup k turbulencm.

Nikoli hromadn dalch nezvislch chvn, ke ktermu se klonili Hopfa Landau. Nikoli jedno, dv a ze t u je chaos, jak navrhovali Ruelle a Takens.Msto toho ada zdvojnsobovn period, kter se dj ve stle rychlejm sledu,lezen po fkovnku, aby se z konek jeho vtv dalo natrhat ovoce chaosu.

Vechno to jsou spekulace. Mnoho lid nechtlo pijmout skok od jedno-

duchho vykonstruovanho zobrazen ke starm dobrm parcilnm dife-rencilnm rovnicm pro tekutiny. Ve Feigenbaumov teorii jim vadil i na-prost nedostatek fyziklnho kontextu. Je to chaotick dynamick systm,ale nezle na tom kter, a systm se ned urit, ani kdyby experiment fun-goval. Vyvolv to jist rozpaky.

Ale Feigenbaumv skok nebyl spekulativn skok k nezaruenm zvrm.Byl to skok pedstavivosti k naprosto zaruenmu zvru. Mlo to vt ancibt sprvn, ne si vtina lid byla ochotna pipustit.

Prvn doklad o tom, e by na tto mylence mohlo bt vc, ne je vidt naprvn pohled, piel z potaovch kalkulac s realistitjmi rovnicemi prou-dn. Nkdy se rovnice nechaly pesvdit k pedveden kaskdy dvojnsob-nch period. Kdy ji pedvedly, bylo mon spotat klovac pomr. Pozo-ruhodn asto se objevovala sla okolo 4,669.

Chybl skuten pokus se skutenou tekutinou, pi kterm by stejn slavyla tak.

Dalm rozmarem osudu a tpnm ve tm, kter je tak charakteristick pro

zkladn vzkum, bylo, e takov experiment u byl proveden. Ale ani Fei-

HRAJE BH KOSTKY?

218


45/48

genbaum, ani experimenttoi, kte u jeho teorii otestovali, nevdli o tom,e jejich vsledky maj nco spolenho.

Zima a tichoKapaln helium je jedna z nejdivnjch substanc na zemi. Kdy jej zchla-dme na teplotu blzkou absolutn nule, doke samo od sebe vylzt z kdinkya makroskopicky projevit kvantovou neuritost. V kvantov teorii nen nikdypln jasn, jestli kapalina v kdince skuten je, a helium utk touto kvan-tovou skulinou. Kapaln helium na ulici nenajdete, ale nikoli proto, e byuteklo, ale protoe se mus vyrobit v laboratoi dmyslnmi technikami vy-tvejcmi extrmn nzk teploty kolem 270C. Ale pro fyzika nzkch tep-lot Alberta Libchabera je kapaln helium starm znmm. A stoj za celou tudinu spojenou s jeho vrobou, protoe je naprosto ryz a pokusy s nm jsouvelice ist.

Pi pokojov teplot vykonvaj atomy tekutiny nhodn tepeln pohyb.To, co vypad jako nehybn kdinka s vodou, je v atomovm mtku kypcocen zmtan vichic. Tyto termln jevy produkuj um ne v obvyklmsmyslu, ale ve smyslu nhodnch perturbac experimentlnch dat. Kdy jepoteba doshnout pesnosti v atomovm mtku, umy kaz vsledky. Je tojako snaha poslouchat zpv slavka bhem verku signl je utopen v n-

hodnm klbosen okol.Na odstrann umu je poteba utiit ruitele klidu, tedy zpomalit tepeln

pohyb, jinmi slovy snit teplotu. Nejni mon teplota je 273C, abso-lutn nula. Pi absolutn nule nejsou dn termln umy, zamrznou i atomy.

Ale s tekutinou, jej atomy jsou zmrzl, se nedaj dlat pokusy s proud-nm tekutin. Je poteba ltka, kter zstane tekut i pi teplotch blzkch ab-solutn nule. Helium je v tomto ohledu jedinen. Vyleuje se jako jedinltka, se kterou se tyto vysoce pesn pokusy daj provdt. Take cht ne-

cht, pokud si dte proudn plus vysokou pesnost, je z vs fyzik nzkchteplot a pracujete s kapalnm heliem. Pokud vs moc nezajmaj jevy kvan-tov, ale sp ty klasick, helium je velice vhodn: kdy se zaheje na pjem-nch 269C, chov se jako klasick tekutina.

Role heliaStejn jako mnoz jin badatel ve fyzice a dynamice proudn se Libcha-ber v roce 1977 zajmal o konvekci. Vdl, e jin experimenttoi jako na-

pklad Swinney a Gollub vyslovili pochybnosti o Hopfov-Landauov teorii


219


46/48

Obrzek 86. Paraleln role pi konvekci tepla v kapalin: sousedc role rotuj v opanchsmrech.

nahromadnho chvn. Kdyby byl Libchaber malem, maloval by miniatury,kdyby byl strojaem, vyrbl by vcarsk hodinky. Ml rd vci mal, hledna precizn, a prv tyto atributy ho na fyzice nzkch teplot lkaly pedevm.Kde by jin studovali proudn v ticetimetrovm vtrnm tunelu, Libchabermohl strit svou aparaturu do kapsy. A mnostv tekutiny, kter nechal prou-dit, nebylo vt ne zrnko psku.

Libchaber vyrobil pesnou malikou nerezovou komrku a naplnil ji ka-palnm heliem. Na nkolika vybranch mstech teplotu kapaliny mil po-moc drobounkch zazenek vyrobench ze safru. Velo se tam tak jednonebo dv. Dno buky zahl na teplotu o zlomek stupn vy ne vrek, mvznikla teplotn inverze, kter nutila teplej tekutinu stoupat vzhru a chlad-nj klesat. V rmci sv komrky mohl Libchaber vytvoit konvekn prou-dn tm bez umu a mit jeho chovn.

Dvno pedtm vymyslel velk fyzik lord Rayleigh, co se v takov buce

stane na zatku konvekce. Tekutina utvo vlcov role poskldan bok poboku jako kmeny pokcench strom, kter rotuj vdy v opanm smru nerole sousedn (obrzek 86). Je to tent systm, kter studoval i Lorenz, aleLibchaber msto piblinho matematickho modelu pracoval se skutenmsystmem.

Libchaberova buka byla tak mal a tak pesn sestrojen, e tam bylomsto na prv dv role. Kdy dno buky lehce zahl, role se zaaly chvta kroutit jako bin tanenice, piem spolu drely krok. To bylo opt ve

shod s klasickm oekvnm.

HRAJE BH KOSTKY?

220


47/48

Obrzek 87. Experimentln dkaz fkovnku v konvekci. Kad dal sada hrot se vysky-tuje uprosted mezi pedchozmi, co znamen zdvojnsoben periody. Je vidt posloup-nost ty zdvojnsoben periody nsledovan chaosem.

To, co se stalo dl, ale u ne. Objevily se dal oscilace, ale narozdl od Hop-fova-Landauova chvn jejich perioda na stvajcm chvn nezvisela. Oscilo-valy s periodou pesn dvakrt vt ne perioda pedchoz. A tsn nad toutoteplotou se daly matn rozeznat periody ty-, osmi- a mon i estncti-nsobn dlky. Potom u ui rvouc termln hluk atom pi 267C menzahltil.

Libchaber tyto oscilace zachytil pomoc vkonovch spekter (obrzek 87)vypotench z pozorovn. Pipomeme, e hroty ve spektrech odpovdaj sil-

nm dlm frekvencm. Pi prohlen posloupnosti obrzk je vidt nejprvejedin hrot, potom nkolik hrot s malmi rozestupy a tak dle. Rozestupyse v kadm kroku zmenuj na polovinu, co znamen, e perioda nepmomrn frekvenci se pokad zdvojnsob. V poslednm frekvennmspektru je vidt irok ps frekvenc charakteristick pro chaos.

Libchaber objevil posloupnost dvojnsobcch se period. Skuten fkov-nk. Byl to pro nj nov a zarejc jev.

V roce 1979 kontaktoval Feigenbauma, a tak zjistil, co jeho pozorovn

znamenaj a co s nimi dlat. Feigenbaum z cylindru chaosu jako kouzelnk


221


48/48

vyaroval krlka univerzality. Libchaberovi stailo pouze spotat klovacpomr sv posloupnosti zdvojnsobench period a ovit, zda vyjde sloblzk 4,669.

Vylo. Dost blzk na to, aby stlo za to udlat dal a pesnj pokusy.Bhem nkolika let Feigenbaumovu teorii do psmene potvrdily pokusy

ady vdc z celho svta. Nejen pro turbulentn toky, ale pro vechny mo-n fyzikln soustavy: elektronick, optick a dokonce i biologick. Lid,msta, kultura a nyn i as byli zral. Vechno do sebe zapadlo.

Chaos pestal bt teorie, je to fakt.Velk vda vyrst z malch fkovnk.

HRAJE BH KOSTKY?

Date post:	04-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	livrocz
View:	221 times
Download:	0 times

Hraje bůh kostky?

Documents