20. 7. 2003 1

II–2 Mikroskopický pohled na elektrický proud

20. 7. 2003 2

Hlavní body

• Měrný odpor a vodivost.

• Vodiče, polovodiče a izolátory

• Rychlost pohybujících se nábojů.

• Ohmův zákon v diferenciální formě

• Klasická teorie vodivosti.

• Teplotní závislost rezistivity

• Termočlánek

20. 7. 2003 3

Měrný odpor a vodivost I

• Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon:

U = RI

• Rezistance R závisí na geometrii a na vlastnostech materiálu vodiče. Mějme homogenní vodič délky l a průřezu S, definujeme měrný odpor (rezistivitu) a její reciprokou hodnotu, měrnou vodivost :

S

l

S

lR

1

20. 7. 2003 4

Měrný odpor a vodivost II

• Měrný odpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí.

• Jednotkou rezistivity v SI je 1 m.

• Měrná vodivost je naopak schopnost vést proud.

• Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1 -1m-1.

• Jednotka vodivosti je siemens 1 Si = 1 -1.

20. 7. 2003 5

Volné nosiče nábojů I

• Obecně jsou volnými nosiči náboje nabité částice nebo pseudočástice, které se mohou ve vodičích volně pohybovat.

• Mohou jimi být elektrony, díry a různé ionty.

• Vodivostní vlastnosti látek závisí na tom, jak volně se nosiče mohou pohybovat, což hluboce souvisí se strukturou příslušné látky.

20. 7. 2003 6

Volné nosiče nábojů II

• V pevných vodičích, sdílí každý atom své nejslaběji vázané (valenční) elektrony s ostatními atomy.

• V nulovém elektrickém poli se elektrony pohybují chaoticky velkými rychlostmi náhodnými směry a často se sráží s atomy. Připomíná to chaotický pohyb molekul plynu, což vede k ne úplně přesnému názvu elektronový plyn.

20. 7. 2003 7

Volné nosiče nábojů III

• V nenulovém poli mají elektrony též jistou relativně malou driftovou rychlost v opačném směru než je směr pole.

• Srážky jsou hlavním mechanismem zodpovědným za rezistivitu (kovů při normální teplotě) a samozřejmě také za ztráty výkonu ve vodičích.

20. 7. 2003 8

Diferenciální tvar Ohmova z. I

• Uvažujme opět vodič o délce l a průřezu S s nosiči náboje jednoho typu. Při jistém napětí protéká konstantní proud, který závisí na jejich:• hustotě n, tedy počtu v jednotce objemu

• náboji q

• driftové rychlosti vd

20. 7. 2003 9

Diferenciální tvar Ohmova z. II

• V úseku délky x vodiče je náboj Q :

Q = n qx S

• Objem, který proteče určitou plochou za jednotku času je Sx/t = vd S , takže proud I je :

I = Q/t = n q vd S = j S

• Kde j je takzvaná hustota proudu. S použitím Ohmova zákona a definice vodivosti :

I = j S = U/R = El S/l j = E

20. 7. 2003 10

Diferenciální tvar Ohmova z. III

j = E• To je Ohmův zákon v diferenciálním tvaru. • Na rozdíl od Ohmova zákona ve tvaru

integrálním obsahuje pouze mikroskopické a negeometrické veličiny.

• To je počáteční bod pro teorie, které studují vodivost.

• Obecně platí ve vektorové podobě: Ej

20. 7. 2003 11

Diferenciální tvar Ohmova z. IV

• Znamená, že velikost hustoty proudu závisí na schopnosti látky vést proud a intenzitě elektrického pole a náboje se (efektivně) pohybují podél elektrických siločar.

• Pro hlubší porozumění je třeba mít alespoň hrubou představu a velikostech parametrů, které se v Ohmově zákoně vyskytují.

20. 7. 2003 12

Příklad I

• Mějme proud 10 A, protékající měděným vodičem o průřezu 3 10-6 m2.

Jaká je hustota proudu a driftová rychlost nosičů náboje, přispívá-li každý atom jedním volným elektronem?• atomová váha mědi je 63.5 g/mol.

• hustota mědi je = 8.95 g/cm3.

20. 7. 2003 13

Příklad II

• V 1 m3 je 8.95 106/63.5 = 1.4 105 mol.

• Každý atom přispívá jedním volným elektronem. Husota nosičů náboje tedy je : n = 8.48 1028 elektronů/m3.

• Driftová rychlost vd :

vd = I/Snq =

10/(8.48 1028 1.6 10-19 3 10-6) = 2.46 10-4 m/s

20. 7. 2003 14

Mikroskopický obrázek

• Vidíme, že driftová rychlost je velmi malá. Vzdálenost jednoho metru by elektron překonal za 68 minut! Pro srovnání je rychlost chaotického pohybu elektronů řádově 106 m/s.

• Takže v látce existují proudy řádově 1012 A, tečou ale náhodnými směry a navzájem se kompenzují, a relativně malé proudy způsobené elektrickým polem.

• Je to, jako v případě nabíjení vodičů, případ velmi malé nerovnováhy.

20. 7. 2003 15

Otázka

• Driftová rychlost nosičů náboje je řádově 10-4 m/s.

Jak je možné, že se žárovka v místnosti rozsvítí po zapnutí vypínače prakticky okamžitě?

20. 7. 2003 16

Odpověď

• Sepnutím vypínače, připojíme napětí na konce vodiče, čímž vytvoříme elektrické pole poděl něj. To uvede do pohybu nosiče náboje. Protože elektrické pole se vytvoří rychlostí světla c = 3 108 m/s, nosiče náboje se dají do pohybu (prakticky) současně.

20. 7. 2003 17

Klasický model I

• Zkusme vysvětlit driftovou rychlost základnějšími parametry. Předpokládejme, že v průběhu jistého průměrného času mezi srážkami jsou nosiče urychlovány elektrickým polem. A každá nepružná srážka je zastaví.

• Použijeme vztah známý z elektrostatiky :

vd = qE/m

20. 7. 2003 18

Klasický model II

• Dosadíme do vztahu pro hustotu proudu :

j = n q vd = n q2 E/m

• Obdržíme měrnou vodivost a odpor :

= n q2 /m

= 1/ = m/nq2

20. 7. 2003 19

Klasický model III

• Zdá se, že jsme nahradili jedny parametry druhými

• V posledních vztazích ale vystupuje jediný neznámý parametr průměrný čas mezi sražkami, který může být dán do souvislosti se střední rychlostí, závislou na teplotě, kterou předpovídají dobře zavedené teorie, podobné těm, které vysvětlují podobné vlastnosti plynů.

• Tento model předpovídá závislost měrné vodivosti na teplotě, ale ne na elektrickém poli.

20. 7. 2003 20

Teplotní závislost měrného odporu I

• Ve většině případů je teplotní chování blízké lineárnímu .

• Definujeme změnu měrného odporu vzhledem k jisté referenční teplotě t0 (0 nebo 20° C):

= (t) – (t0)

• Relativní změna měrného odporu je přímo úměrná změně teploty :

)1)(()(

)()(

0

00

ttt

tttt

20. 7. 2003 21

Teplotní závislost měrného odporu II

[K-1] je lineární teplotní koeficient. • Je určen teplotní závislostí n a vd. • Může být i záporný, např. u polovodičů (ale ty mají

chování exponencíální).

• V případě většího roszahu teplot nebo vyšší požadované přesnosti musíme přidat další (kvadratický) člen :

/(t0) = (t – t0) = t + (t)2 + … (t) = (t0)(1 + t + (t)2 + …)

20. 7. 2003 22

Termočlánek I• Termočlánek je příkladem čidla, které

převádí nějakou fyzikální veličinu (teplotu) na veličinu elektrickou, obvykle snáze dále zpracovatelnou.

• Na rozdíl od jiných běžných teplotních čidel, odporového teploměru (Pt100) nebo termistoru, u nichž se měří závislost vodivosti na teplotě, je termočlánek zdrojem napětí.

20. 7. 2003 23

Termočlánek II• Činnost termočlánku je založena na

Seebeckovu neboli termoelektrickém jevu (Thomas 1821), který spočívá v tom, že na vodiči, jehož dva konce mají rozdílnou teplotu, se objevuje napětí.

• Toto napětí je úměrné velikosti teplotního rozdílu a materiálovému parametru, tzv. Seebeckově koeficientu.

20. 7. 2003 24

Termočlánek III• Spojme dva vodiče A a B v jednom bodě a

umístěme jej v prostředí o teplotě t1.

• Na opačných koncích vodičů, které jsou v pokojové teplotě t0, budou vůči spoji napětí:

uA=kA(t1-t0) a uB=kB(t1-t0)

• Připojíme-li mezi konce voltmetr naměříme:

uAB = uB - uA= (kB - kA)(t1 - t0)

20. 7. 2003 25

Termočlánek IV• Jako termočlánek se tedy hodí dvojice

vodičů s dostatečně odlišnou hodnotou Seebeckova koeficientu.

• V praxi se užívá asi deseti vybraných dvojic materiálů. Značí se J, K ... a jejich kalibrace je známá. Liší se např. vhodností pro určité rozpětí teplot nebo do různých prostředí.

• Při použití jednoho termočlánku je nepříjemná závislost na pokojové teplotě.

20. 7. 2003 26

Termočlánek V• Jednou z možností, jak se této závislosti

zbavit je použití dvojice termočlánků.• Vytvořme druhý spoj vodičů A a B a umístěme

jej do prostředí o známé teplotě t2.• Jeden z vodičů, např. B potom (v místě s

pokojovou teplotou t0) přerušíme. Napětí bodů přerušení X a Y vůči prvnímu společnému bodu obou vodičů budou:

uX = kB(t1 - t0)

uY = kA(t1 - t2) + kB(t2 - t0)

20. 7. 2003 27

Termočlánek VI• Napětí mezi těmito body potom bude:

uXY = uY - uX = kA(t1 - t2) + kB(t2 - t0) - kB(t1 - t0)

tedy: uXY = (kA- kB)(t1 - t2)

• Závislost na pokojové teplotě tedy skutečně mizí. Ovšem za cenu nutnosti použít lázně s referenční teplotou. Pro ni se obvykle využívá dobře definované teploty fázových přechodů, například u systému voda-led. Pozor ale na závislost na tlaku.

20. 7. 2003 28

Termočlánek VII• Moderní přístroje (s mikroprocesorem) si

často pokojovou teplotu měří a simulují “studený spoj” a stačí jim tedy termočlánek jeden.

• Mohou se ale použít jenom ty typy termočlánků, na který jsou naprogramovány a musí se přesně dodržet instrukce, který vodič se připojuje ke které zdířce.

20. 7. 2003 29

Peltierův jev• Popsaný jev funguje i obráceně. Teče-li elektrický

proud spojem dvou různých vodičů, může se z tohoto bodu odebírat nebo do něj přinášet teplo.

• Tento jev se nazývá jevem Peltierovým

(Jean 1834).

• Komerčně jsou dostupné peltierovy články,.• S jejich pomocí lze elegantně temperovat určitou oblast

v rozpětí teplot cca – 50 až 200 °C. Topí i chladí!

• Ve speciálních případech jich lze použít i jako zdrojů napětí, např. u kosmických sond.

20. 7. 2003 30

Homework

• Please, try to prepare as much as you can for the midterm exam!

20. 7. 2003 31

Things to read

• Chapter 25 – 8 and 26 – 2

• See demonstrations: http://buphy.bu.edu/~duffy/semester2/semester2.html