Геометриjа 2 - University of Belgradepoincare.matf.bg.ac.rs/~spadijer/G2/Vezbe/5.pdf ·...

Геометриjа 2

Димитриjе Шпадиjер[email protected]

30. новембар 2018.

Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2

Изометриjске трансформациjе равни

Дефинициjа

Нека jе α раван. Пресликавање I : α −→ α, такво да засваки пар тачака (A,B) равни α важи (A,B) ∼= (I(A),I(B)),називамо изомеш—риjском ш—рансформациjом (изомеш—риjом)равни α.



Дефинициjа


биjекциjе



Дефинициjа


биjекциjе

сликаjу праве у праве, полуправе у полуправе, дужи удужи



Дефинициjа


биjекциjе


чуваjу распоред тачака на правоj, тj. ако важиB(A,B,C), онда важи B(I(A),I(B),I(C)))



Дефинициjа


биjекциjе


чуваjу распоред тачака на правоj, тj. ако важиB(A,B,C), онда важи B(I(A),I(B),I(C)))

сликаjу полуравни у полуравни, угаоне линиjе у угаонелиниjе



ако чува ориjентациjу равни, изометриjа jе gирекш—на, ау супротном jе инgирекш—на




композициjа J ◦ I изометриjа I,J такође jе изометриjа





Дефинициjа

Нека су Φ,Φ′ ⊆ α фигура у равни α. Ако постоjи изометриjаI : α −→ α равни α таква да важи Φ′ = I(Φ), онда кажемода jе фигура Φ и–оgуgарна фигури Φ′ и пишемо Φ ∼= Φ′.





Дефинициjа


релациjа ∼= подударности фигура jедна релациjаеквиваленциjе





Дефинициjа



чешће ћемо говорити да су фигуре међусобно и–оgуgарне





Дефинициjа



чешће ћемо говорити да су фигуре међусобно и–оgуgарне

дужи AB,A′B′ су међусобно подударне ако и само аковажи (A,B) ∼= (A′, B′).


Осна рефлексиjа (симетриjа)

Дефинициjа

Нека jе p ⊂ α права равни α и нека jе пресликавање Sp датона следећи начин: ако jе X ∈ p, онда jе Sp(X) = X, а иначеjе Sp(X) = X ′, где jе X ′ тачка таква да jе p медиjатрисадужи XX ′ у равни α. Онда се пресликавање Sp називаосном рефлексиjом (осном симеш—риjом) равни α с осом p.

p

X X ′



слика као лик у огледалу




A

B

A′

B′




A

B

A′

B′

инволуциjа, индиректна




A

B

A′

B′

инволуциjа, индиректна

A

B

C

A′

B′

C′



Теорема

Ако jе I инgирекш—на изомеш—риjа равни α коjа има бар jеgнуфиксну ш—ачку P , онgа jе I осна рефлексиjа Sp чиjа оса p ⊂ α

саgржи фиксну ш—ачку P .

Теорема о трансмутациjи

Нека jе p ⊂ α и–рава равни α, Sp осна рефлексиjа и I

и–роизвољна изомеш—риjа равни α. Ако jе p′ = I(p), онgа jеI ◦ Sp ◦ I

−1 = Sp′.



Дефинициjа

Нека jе Φ ⊆ α фигура равни α. Кажемо да jе права p осасимеш—риjе фигуре Φ ако jе Sp(Φ) = Φ. Ако фигура Φ имабар jедну осу симетриjе, кажемо да jе она осносимеш—рична.

Свака изометриjа равни може се разложити на композициjуосних рефлексиjа, при чему jе њихов броj наjвише 3.

Теорема

Нека jе I и–роизвољна изомеш—риjа равни α. Таgа jе I = Sp занеку и–раву p ⊂ α, или jе I = Sq ◦ Sp за неке и–раве p, q ⊂ α,или jе I = Sr ◦ Sq ◦ Sp за неке и–раве p, q, r ⊂ α.


Осна рефлексиjа и прамен правих

Теорема

Нека су p, q, r ⊂ α и–раве равни α. Онgа jе коми–озициjаSr ◦ Sq ◦ Sp осна рефлексиjа ако и само ако и–раве p, q, r

и–рии–аgаjу jеgном и–рамену. Шш—авише, ш—аgа оса ш—ерефлексиjе (означимо jе са s) и–рии–аgа ш—ом и–рамену и ако jеи–рава a оса симеш—риjе и–ара и–равих p, r, ш—аgа jе и–рава a осасимеш—риjе и и–ара и–равих q, s.

S

p r

q a s

p rq

a

s


Коинциденциjа

Дефинициjа

Пресликавање E : α −→ α такво да jе E(X) = X за свакутачку X ∈ α називамо коинциgенциjом.

идентичко пресликавање



Дефинициjа



Sp ◦ Sp = Id = E



Дефинициjа



Sp ◦ Sp = Id = E

директна



Дефинициjа



Sp ◦ Sp = Id = E

директна

све тачке су фиксне



Дефинициjа



Sp ◦ Sp = Id = E

директна

све тачке су фиксне

Теорема

Ако изомеш—риjа I равни α има бар ш—ри неколинеарне фикснеш—ачке, онgа jе I = E. Ако gирекш—на изомеш—риjа I равни α

има бар gве разне фиксне ш—ачке, онgа jе I = E.


Ротациjа

Дефинициjа

Нека jе S ∈ α тачка равни α и ϕ ориjентисани угао у тоjравни. Пресликавање RS,ϕ : α −→ α такво да jе RS,ϕ(S) = S

и RS,ϕ(X) = X ′ где jе X ′ таква да важи SX = SX ′ и∡XSX ′ = ϕ (подударни су и имаjу исту ориjентациjу), затачке X 6= S, назива се рош—ациjом (ценш—ралном рош—ациjом)око центра S за ориjентисани угао ϕ.

S

X

X ′

ϕ


Ротациjа

Дефинициjа

Нека jе S ∈ α тачка равни α и ϕ ориjентисани угао у тоjравни. Пресликавање RS,ϕ : α −→ α такво да jе RS,ϕ(S) = S

и RS,ϕ(X) = X ′ где jе X ′ таква да важи SX = SX ′ и∡XSX ′ = ϕ (подударни су и имаjу исту ориjентациjу), затачке X 6= S, назива се рош—ациjом (ценш—ралном рош—ациjом)око центра S за ориjентисани угао ϕ.

S

X

X ′

ϕ

Крути штап чиjи jе jедан краj у центру S и коjи jефиксиран, а други краj jе у тачки X; ротациjом штапа заориjентисани угао ϕ добиjемо положаj тачке X ′ = RS,ϕ(X).


Ротациjа

RS,ϕ = Sq ◦ Sp, где се праве p, q секу у тачки S иориjентисани угао од p ка q jе ϕ

2

S p

q

X

X ′

X ′′


Ротациjа


2

S p

q

X

X ′

X ′′

уместо правих p, q можемо узети било коjе праве p′, q′,све док се оне секу у S и ориjентисани угао од p ка q jе ϕ

2


Ротациjа


2

S p

q

X

X ′

X ′′


2

RS,ψ ◦ RS,ϕ = RS,ϕ+ψ


Ротациjа


2

S p

q

X

X ′

X ′′


2


RS,0◦ = RS,360◦ = E


Ротациjа


2

S p

q

X

X ′

X ′′


2


RS,0◦ = RS,360◦ = E

R−1

S,ϕ = RS,−ϕ = RS,360◦−ϕ


Ротациjа

jедина фиксна тачка ротациjе jе њен центар, тj. тачка S

(ако jе ϕ 6= 0◦, 360◦)


Ротациjа


(ако jе ϕ 6= 0◦, 360◦)

Теорема

Ако gирекш—на изомеш—риjа I равни α има ш—ачно jеgнуфиксну ш—ачку S, онgа jе I = RS,ϕ, за неки ориjенш—исаниуı–ао ϕ различиш— оg 0◦, 360◦.


Ротациjа


(ако jе ϕ 6= 0◦, 360◦)

Теорема

Ако gирекш—на изомеш—риjа I равни α има ш—ачно jеgнуфиксну ш—ачку S, онgа jе I = RS,ϕ, за неки ориjенш—исаниуı–ао ϕ различиш— оg 0◦, 360◦.


Нека jе S ∈ α ш—ачка равни α, ϕ ориjенш—исани уı–ао равни α,RS,ϕ рош—ациjа и I и–роизвољна изомеш—риjа равни α. Нека jеS′ = I(S). Ако jе I gирекш—на, онgа jе I ◦ RS,ϕ ◦ I−1 = RS′,ϕ,а ако jе I инgирекш—на, онgа jе I ◦ RS,ϕ ◦ I−1 = RS′,−ϕ, ı–gе jе−ϕ уı–ао и–оgуgаран уı–лу ϕ, суи–рош—не ориjенш—ациjе.


Ротациjа

ако jе −180◦ < ϕ < 180◦ и ϕ 6= 0◦, онда се ротациjом заориjентисани угао ϕ права p слика у праву p′ коjа с њомгради угао ϕ

S

N

P

p

Q

R

p′


Ротациjа


S

N

P

p

Q

R

p′

ако jе угао ротациjе jеднак 180◦, онда за тачкуX ′ = S(X), где jе X 6= S, важи да jе SX ′ = SX и∡XSX ′ = 180◦


Ротациjа


S

N

P

p

Q

R

p′


другим речима, важи SX = SX ′ и B(X,S,X ′)


Ротациjа


S

N

P

p

Q

R

p′


другим речима, важи SX = SX ′ и B(X,S,X ′)

дакле, тачка S jе средиште дужи XX ′.

S XX ′


Централна симетриjа

Дефинициjа

Нека jе S ∈ α тачка равни α. Пресликавање SS : α −→ α

такво да jе SS(S) = S и SS(X) = X ′ где jе X ′ таква да jе S

средиште дужи XX ′ зове се ценш—рална симеш—риjа



Дефинициjа




SS = RS,180◦



Дефинициjа




SS = RS,180◦

S−1

S = SS , тj. централна симетриjа jе инволуциjа



Дефинициjа




SS = RS,180◦

S−1


ако jе SS = Sq ◦ Sp, онда jе ориjентисани угао од праве p

ка правоj q подударан углу 180◦

2= 90◦, тj. важи p ⊥ q



Дефинициjа




SS = RS,180◦

S−1


ако jе SS = Sq ◦ Sp, онда jе ориjентисани угао од праве p

ка правоj q подударан углу 180◦

2= 90◦, тj. важи p ⊥ q

Дефинициjа

Нека jе Φ ⊆ α фигура равни α. Кажемо да jе тачка S

ценш—ар симеш—риjе фигуре Φ ако jе SS(Φ) = Φ. Ако фигураΦ има бар jедан центар симетриjе, кажемо да jе онаценш—ралносимеш—рична.


Транслациjа

Дефинициjа

Нека jе−−→AB вектор у равни α. Пресликавање T−→

AB: α −→ α

дато са T−→AB

(X) = X ′, где jе X ′ таква да jе−−→XX ′ =

−−→AB,

назива се ш—ранслациjом за вектор−−→AB.

A

B

X

X ′

Свака тачка се помера кроз раван у правцу вектора−−→AB



T−→AB

= Sq ◦ Sp, где jе p права коjа садржи A и нормалнаjе на AB, a q jе симетрала дужи AB

A B

p

C

q

X X ′

X ′′



T−→AB

= Sq ◦ Sp, где jе p права коjа садржи A и нормалнаjе на AB, a q jе симетрала дужи AB

A B

p

C

q

X X ′

X ′′

уместо правих p, q можемо узети било коjе праве p′, q′,све док су оне нормалне на AB, растоjање од p′ ка q′ jеAB2

и смер од p′ ка q′ jе смер вектора−−→AB



T−−→BC

◦ T−→AB

= T−→AC



T−−→BC

◦ T−→AB

= T−→AC

T −1−→AB

= T−−→AB

= T−→BA



T−−→BC

◦ T−→AB

= T−→AC

T −1−→AB

= T−−→AB

= T−→BA

T−→0= E



T−−→BC

◦ T−→AB

= T−→AC

T −1−→AB

= T−−→AB

= T−→BA

T−→0= E

транслациjа нема фиксних тачака (ако jе−−→AB 6=

−→0 )

Теорема

Ако gирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних ш—ачака,

онgа jе I = T−→AB

, за неки ненула векш—ор−−→AB равни α.


Нека су A,B ∈ α ш—ачкe равни α,−−→AB векш—ор равни α, R−→

ABш—ранслациjа и I и–роизвољна изомеш—риjа равни α. Ако суA′ = I(A), B′ = I(B)онgа jе I ◦ T−→

AB◦ I−1 = T−−−→

A′B′.


Клизаjућа рефлексиjа

Дефинициjа

Нека jе−−→AB 6=

−→0 ненула вектор равни α. Пресликавање

G−→AB

: α −→ α дато са G−→AB

= SAB ◦ T−→AB

назива се клизаjућом

рефлексиjом за вектор−−→AB у односу на праву AB.

A B

X X ′′

X ′



Дефинициjа



G−→AB


= SAB ◦ T−→AB



A B

X X ′′

X ′

композициjа транслациjе (клизања) и осне рефлексиjе



Дефинициjа



G−→AB


= SAB ◦ T−→AB



A B

X X ′′

X ′


вектор транслациjе jе паралела оси рефлексиjе



Дефинициjа



G−→AB


= SAB ◦ T−→AB



A B

X X ′′

X ′


вектор транслациjе jе паралела оси рефлексиjе

наjчешће се бира представик вектора коjи припада оси,због jедноставниjе ознаке



индиректна




нема фиксних тачака





Теорема

Ако инgирекш—на изомеш—риjа I равни α нема фиксних

ш—ачака, онgа jе I = G−→AB

, ı–gе jе−−→AB неки ненула векш—ор

равни α.





Теорема




равни α.

код клизаjуће рефлексиjе транслациjа и рефлексиjакомутираjу





Теорема




равни α.


G−→AB

= SAB ◦ T−→AB

= T−→AB

◦ SAB





Теорема




равни α.


G−→AB

= SAB ◦ T−→AB

= T−→AB

◦ SAB

клизаjућа рефлексиjа je композициjа триjу оснихрефлексиjа чиjе осе не припадаjу jедном прамену





Теорема




равни α.


G−→AB

= SAB ◦ T−→AB

= T−→AB

◦ SAB


G−1−→AB

=(

SAB ◦ T−→AB

)

−1

= T −1−→AB

◦ S−1

AB = T−→BA

◦ SAB = G−→BA





Теорема




равни α.


G−→AB

= SAB ◦ T−→AB

= T−→AB

◦ SAB


G−1−→AB

=(

SAB ◦ T−→AB

)

−1

= T −1−→AB

◦ S−1

AB = T−→BA

◦ SAB = G−→BA

ниjе инволуциjа



1.p

X X ′

q



3.

A B

a b

p



5.

O

D

E

A

C

Bp

q

r



6.

A B

D C

M

N



7.

AB

β

2

α

2

q p

AB

β

2

α

2

q p



7.

AB

β

2

C

α

2

p q

A Bβ

2

C

α

2

p q


8.

A B

C

D

E

F

T

8.

A B

C

D

E

F

O1

O2

O3


9. A

B C

B′

C′

Sa

Pa

Qa

Ra



10.

A B

C

t



11.

A B

D

C

t

A B

C

D

O1

O2



12.

O1 O2

A

B

D

C

p


Date post:	16-Jul-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	5 times
Download:	0 times

Геометриjа 2 - University of Belgradepoincare.matf.bg.ac.rs/~spadijer/G2/Vezbe/5.pdf ·...

Documents