+ All Categories
Home > Documents > Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015....

Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015....

Date post: 10-Mar-2021
Category:
Upload: others
View: 6 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
222
Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.1.30/01,0038 Automatizace výrobních procesů ve strojírenství a řemeslech Jitka Roubalová
Transcript
Page 1: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu

1

Jitka Roubalovaacute

Elektrotechnika

Vytvořeno v raacutemci Operačniacuteho programu Vzdělaacutevaacuteniacute pro konkurenceschopnost CZ1071130010038 Automatizace vyacuterobniacutech procesů ve strojiacuterenstviacute

a řemeslech

Jitka Roubalovaacute

2

3

Středniacute průmyslovaacute škola strojnickaacute a Středniacute odbornaacute škola prof Švejcara

Plzeň

ELEKTROTECHNIKA

Jitka Roubalovaacute

4

Anotace

Tato učebnice obsahuje zaacuteklady teoretickeacute elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti

studentů středniacutech průmyslovyacutech škol se strojiacuterenskyacutem zaměřeniacutem

Jsou zde vysvětleny fyzikaacutelniacute zaacuteklady elektrotechniky jejich souvislosti a jejich využitiacute při

řešeniacute praktickyacutech uacutekolů

Učebnice obsahuje vysvětleniacute elektrostatickeacuteho pole obvodů stejnosměrneacuteho proudu

magnetismu obvodů střiacutedaveacuteho proudu a trojfaacutezoveacute soustavy

Jednotliveacute kapitoly jsou doplněny řešenyacutemi přiacuteklady typickyacutemi pro danyacute okruh Přiacuteklady jsou

řešeny i s podrobnyacutem vyacutepočtem aby použiteacute vyacutepočetniacute postupy ukaacutezaly čtenaacuteři že vhodnyacutem

kraacuteceniacutem a praciacute s exponenty je možneacute vyacutepočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb

způsobenyacutech bdquokalkulačkovyacutemi překlepyldquo

Učebnice je rozdělena do pěti čaacutestiacute z nichž každaacute obsahuje uzavřenyacute teacutematickyacute celek

Jednotliveacute čaacutesti

- Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů a teorie elektrostatickeacuteho pole

- Stejnosměrnyacute proud a řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu

- Magnetickeacute pole a elektromagnetickaacute indukce

- Střiacutedavyacute proud a řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu

- Trojfaacutezovaacute soustava

5

Obsah

Anotace 3

Uacutevod 9

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10

12 Předpony jednotek 11

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12

21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12

3 Elektrostatickeacute pole 14

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18

35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21

361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22

37 Kondenzaacutetor 22

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28

310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31

3111 Dielektrika vedle sebe 31

3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37

4 Stejnosměrnyacute proud 38

41 Proudovaacute hustota 38

42 Intenzita proudoveacuteho pole 39

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39

431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47

6

46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83

5 Magnetickeacute pole 88

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89

53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92

534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111

58 Elektromagnetickaacute indukce 119

581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134

59 Energie magnetickeacuteho pole 135

7

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140

6 Střiacutedaveacute proudy 143

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152

651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160

661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162

663 Seacuteriovyacute LC obvod 164

664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168

668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183

68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187

7 Trojfaacutezovaacute soustava 190

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207

76 Točiveacute magnetickeacute pole 207

77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215

8

83 Magnetickeacute pole 217

84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221

Použitaacute literatura 222

9

Uacutevod

Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech

obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich

autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole

Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru

popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem

bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků

elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute

Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto

tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a

ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z

Maxwellovyacutech rovnic

Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a

jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti

aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute

aplikovaneacute elektrotechniky

10

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky

Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou

fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute

veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme

Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)

jednotka = sekunda

Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem

zaacutepisem

Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute

zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI

Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik

zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se

nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International

dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek

a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

Jednotka zkratka jednotky veličina

Metr m deacutelka

Kilogram k hmotnost

Sekunda s čas

Ampeacuter A elektrickyacute proud

Kelvin K teplota

Mol mol laacutetkoveacute množstviacute

Kandela cd sviacutetivost

b) Doplňkoveacute jednotky

doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu

steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu

c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI

vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute

vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami

Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute

vlastniacute naacutezev

11

Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)

protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute

naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev

Coulomb [C]

Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než

jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje

vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a

nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)

Dovoleneacute

Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s

Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg

Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m

3

Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)

Nedovoleneacute

Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm

Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W

12 Předpony jednotek

Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou

Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky

k kilo 103 m mili 10

-3

M mega 106 mikro 10

-6

G giga 109 n nano 10

-9

T terra 1012

p piko 10-12

Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10

-6 F = 0000005 F

Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute

d deka 10 d deci 10-1

h hekto 102 c centi 10

-2

12

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů

21 Elektronovaacute teorie

Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit

Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů

neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho

elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)

označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura

atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a

z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech

(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19

C

Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů

ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy

stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute

Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se

porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však

vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute

naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo

Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem

přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute

elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

22 Vodiče a izolanty

Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při

slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely

nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem

nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem

naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je

složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou

vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem

působeniacutem elektrickeacuteho pole

Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky

označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem

silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)

23 Zdroje elektrickeacute energie

Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu

energie

Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek

zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely

13

zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem

zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)

Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič

Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka

Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute

vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu

na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem

tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji

Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI

soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC

Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda

14

3 Elektrostatickeacute pole

Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky

nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole

Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem

kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek

Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem

elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute

polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute

naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů

Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se

navzaacutejem přitahujiacute

Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole

Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar

Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela

elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli

Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli

Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele

zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na

volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole

osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4

Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje

Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda

volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na

čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami

15

Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů

Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo

uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit

veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole

QEF ( 1 CNCN )

Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj

je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a

tohoto naacuteboje

Z toho

Q

FE ( CNCN 1 )

Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme

toto pole nehomogenniacute

Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto

polem homogenniacutem

Přiacuteklad 1

Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute

pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C

Řešeniacute

5110150010301050 363 QEF (N)

16

32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou

stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a

velikost

Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem

poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se

čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A

lFA ( mNJ )

Po dosazeniacute F=E Q dostaneme

lQElFA

Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak

praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U

Q

AU ( CJV )

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje

o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1

)

Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity

pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)

Protože Q

FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a

Q

AU vypočiacutetat

l

U

Q

l

QU

Q

l

A

Q

FE

( 1mV )

Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U

l

UE ( mVmV 1 )

Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute

(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely

17

Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel

Přiacuteklad 2

Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute

vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V

Řešeniacute

80001083

1024

103

24 33

3

l

UE ( 1mV )

33 Coulombův zaacutekon

Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou

se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a

zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich

vzdaacutelenosti

Obr 8 - Coulombův zaacutekon

Platiacute tedy

2

21

r

QQkonstF

kde konstanta maacute hodnotu

4

1konst

18

kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato

hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute

0 r

kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně

rovna 1

Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute

je

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

Přiacuteklad 3

Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost

1 mm

Řešeniacute

)(1032)101(

106021106021

1085484

1

4

1 22

23

1919

122

21

0

Nr

QQF

r

34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem

většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal

Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje

Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute

ekvipotenciaacutely

Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity

v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy

19

Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q

FE a platiacute Coulombův zaacutekon

2

21

04

1

r

QQF

r

1QQ a CQ 12

Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude

24 r

QE

kde 0 r

je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute

Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však

bude v každeacutem bodu do středu koule

Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem

součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji

Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole

35 Elektrickaacute indukce

Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem

stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest

tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se

elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute

Obr 11 - Elektrickaacute indukce

20

Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do

země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem

Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute

pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle

obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na

destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde

2

1

12 S

S

QQ

a) b)

Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj

Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

Přiacuteklad 4

Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el

naacutebojem 310-12

C

Řešeniacute

)(105974104

103

4)102(

103

4

214

6

12

23

12

2mC

r

Q

S

QD

Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D

Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše

neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity

elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash

čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce

Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute

24 r

Q

S

QD

a

24 r

QE

21

Tedy

ED

kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r

ED r 0

36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů

361 Polarizace dielektrika

Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče

vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem

elektrickyacute proud

U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se

vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se

nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)

Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky

nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu

čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely

9 a) 9 b)

Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)

Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole

polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu

vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute

pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než

původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)

9 a) 9 b)

Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)

22

362 Elektrickaacute pevnost dielektrika

Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a

nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita

elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu

je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu

- proud začne izolantem proteacutekat

Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů

se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů

Materiaacutel r Ep (kVmm)

vzduch 10006 2 až 3

mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30

parafiacuten 19 až 22 20 až 30

kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58

kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10

polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60

sliacuteda 6 až 7 40 až 80

sklo 35 až 4 20 až 50

porcelaacuten 55 až 65 20 až 45

37 Kondenzaacutetor

Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute

elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je

dielektrikum

Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje

opačnyacutech polarit

Obr 15 - Kondenzaacutetor

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute

napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute

naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute

Platiacute tedy

UkonstQ

23

Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C

UCQ

Jednotkou kapacity je farad (F) U

QC a tedy rozměr jednotky farad je (

V

C

U

QF )

Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF

Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je

Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru

Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika

Viacuteme že platiacute

S

QD ED r 0

l

UE

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

l

S

lE

SE

lE

SD

U

QC r

r

0

0

Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich

vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r

Přiacuteklad 5

Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr

elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm

a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V

Řešeniacute

UCQ

l

SC r 0 kde 322 1041020102 S (m

2)

)(4171)(014171

)(1014171601088541010

1044108854

9-

12-12-

3

312-

0

nFF

Fl

SC r

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)

24

381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

1a) 1b)

Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U

Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je

321 QQQQ

Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ

Po dosazeniacute

)( 321321 CCCUCUCUCUQ

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute

CUQ

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

)( 321 CCCUCU

321 CCCC

Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit

jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

25

1a) 1b)

Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute

jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy

všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

QQQQ 321

Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

321 UUUU

Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

1

1C

QU

2

2C

QU

3

3C

QU

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz

)111

(321321

321CCC

QC

Q

C

Q

C

QUUUU

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute

C

QU

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

321

1111

CCCC

Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute

součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 6

Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do

seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute

26

Řešeniacute

CCCCCCvyacutesl

411111 250

4

1

4

CCvyacutesl F

Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute

kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn

Přiacuteklad 7

Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a

kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=

200 nF

Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Řešeniacute

Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem

C45

5454

111

CCC z toho 100

200200

200200

54

5454

CC

CCC (nF) = 01F

Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20

Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat

vyacuteslednou kapacitu C

82102150154321 CCCCC F

Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj

66 10267241082 UCQ C

27

Přiacuteklad 8

Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme

libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby

byl splněn danyacute požadavek

Řešeniacute

Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že

spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita

takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že

potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21

Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 9

Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme

kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na

propojenyacutech kondenzaacutetorech

Řešeniacute

Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je

66

111 109610424 CUQ (C)

Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je

66

222 102410212 CUQ (C)

Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj

666

21 1012010241096 QQQ (C)

Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je

62421 CCC (F)

Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je

20106

101206

6

C

QU (V)

28

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute

hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od

okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi

piacutesmeny

V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U

nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje

určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt

0

V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute

děj na kondenzaacutetoru

Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC

Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)

neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute

t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R

U

R

ui R 0

Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute

maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute

se zpomaluje

Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud

přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0

Průběh proudu a napětiacute je na obr 23

29

Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru

Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je

daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute

konstanty

t

c eUu 10

kde

CR

310 Energie elektrostatickeacuteho pole

Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U

C

QU

Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA

Platiacute Q

AU A = U Q tedy dA bude

dQC

QdQUdA

Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech

diacutelčiacutech praciacute dA

Q

C dQC

QdAW

0

tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je

C

QWC

2

2

Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC nebo takeacute UQWC

2

1

Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho

kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se

na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou

energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24

30

Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute

lSElESElESDUQWC 2

2

1

2

1

2

1

2

1

Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich

vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie

nahromaděnaacute v jednotce objemu je

EDElS

lSE

V

Ww C

C

2

1

2

12

1

2

2

Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole

platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole

Přiacuteklad 10

Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na

kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru

Řešeniacute

Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu

12-12-

3

412-

1

01 10177082108854101

10201108854

l

SC r F

Naacuteboj na kondenzaacutetoru

-12-12

11 10212496101770812 CUQ C

Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek

12-12-

3

412-

2

02 10118053313331088541051

10201108854

l

SC r F

Napětiacute po posunutiacute desek

18101180533

1021249612-

-12

C

QU V

31

Přiacuteklad 11

Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na

napětiacute 230 V

Řešeniacute

1322500101322505290010522301052

1

2

1 66262 UCWC J

311 Složenaacute dielektrika

Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou

3111 Dielektrika vedle sebe

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 25

Obr 25 - Dielektrika vedle sebe

V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole

l

UEEE 21

Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to

ED r 011 a ED r 022

Naacuteboje Q1 a Q2 budou

111 SDQ a 222 SDQ

Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude

21 QQQ

Dosadiacuteme za Q1 a Q2

Ul

SU

l

SQ rr

2

202

1

101

32

Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o

kapacitaacutech 1

1011

l

SC r a

2

2022

l

SC r spojeneacute paralelně

Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou

dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute

3112 Dielektrika za sebou

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum

Obr 26 - Dielektrika za sebou

Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou

materiaacutelech je stejnaacute

S

QDDD 21

Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10

1

r

DE

a pro druheacute

20

2

r

DE

Celkoveacute napětiacute mezi deskami

U = U1 + U2

kde

1

10

111 lD

lEUr

a 2

20

222 lD

lEUr

Pak po dosazeniacute

)(20

2

10

12

20

1

10

2

20

1

10 rrrrrr S

l

S

lQl

S

Ql

S

Ql

Dl

DU

Protože platiacute l

SC r 10 je

110

1 1

CS

l

r

a 220

2 1

CS

l

r

33

Tedy )11

(21 CC

QU a protože C

QU1 pak

převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot

kapacit diacutelčiacutech dielektrik

21

111

CCC

Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory

Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je

10

1

r

DE

a

20

2

r

DE

Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je

1

2

20

10

2

1

r

r

r

r

D

D

E

E

Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech

diacutelčiacutech dielektrik

Lze tedy psaacutet 2

1

21 EE

r

r

a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme

1

2112221

1

222212

1

2221121 )(

r

rr

r

r

r

r llEllElElElElEUUU

Z toho

2112

12

ll

UE

rr

r

Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute

intenzita tohoto dielektrika Ep gt E

Přiacuteklad 12

Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem

tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech

dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute

Materiaacutel r Ep (kVmm)

1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40

2 sliacuteda 7 60

34

Řešeniacute

Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je

92307692141

2400

304207

4600

2112

12

ll

UE

rr

r

Vmm

161538592307694

72

1

21 EE

r

r

Vm

Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost

vyhovuje

312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem

Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva

středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je

24 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

24 r

QDE

Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je

35

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

21

12

04 rr

rrQU

r

Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

3122 Osamocenaacute koule

Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2

Pak kapacita osamoceno koule je

10

12

210 44lim

2

rrr

rrC rr

r

Elektrickaacute indukce na povrchu koule je

2

14 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je

2

100 4 r

QDE

rr

kde UrUCQ r 104

Po dosazeniacute za Q dostaneme

1

2

10

10

2

100 4

4

4 r

U

r

Ur

r

QDE

r

r

rr

Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi

maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute

pevnosti izolantu

36

3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je

lr

Q

S

QD

2

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

lr

QDE

2

Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

1

2

0

ln2 r

r

lr

QU

r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

Přiacuteklad 13

Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je

kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)

37

Řešeniacute

12-12--12

1

2

0 101038136105log32

166894

50

52log32

131088542

log32

2

r

r

lC r F

C = 1038 pF

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi

V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody

odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho

zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země

Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj

dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj

kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba

oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu

uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost

natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu

izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije

Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute

naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo

vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje

elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter

vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute

nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech

měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů

Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů

Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje

uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a

uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič

Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute

omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje

zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem

Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje

Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech

mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute

elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry

Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute

objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena

k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute

38

4 Stejnosměrnyacute proud

Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne

vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I

Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho

naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad

akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)

Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U

Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu

elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute

ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb

Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute

elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče

41 Proudovaacute hustota

Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se

nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru

Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute

Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem

bude průřez vodiče většiacute

V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute

proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se

na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu

Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

39

42 Intenzita proudoveacuteho pole

Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno

l

UE )( 1 mAmV

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon

Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem

většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je

přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute

Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty

obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme

že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor

Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče

Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu

zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute

Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute

Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem

jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute

měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme

napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru

Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako

UkonstI

kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy

UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1

)

Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G

40

GR

1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA

-1)

Pak lze psaacutet

R

UI

Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I

Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon

Rezistory

Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute

odpor R

Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru

Přiacuteklad 14

Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A

Řešeniacute

46050

230

I

UR ()

431 Velikost elektrickeacuteho odporu

Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho

je vodič vyroben

Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu

vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute

i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče

Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu

vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute

Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely

Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

kde l je deacutelka vodiče

S je průřez vodiče

je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je

to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2

při teplotě 20oC

41

Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Rezistivita některyacutech materiaacutelů

Materiaacutel mm2m

-1

Měď 00178

Hliniacutek 00285

Střiacutebro 00163

Ocel 013

Konstantan 05

Chromnikl 11

Cekas 11

Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory

Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely

pro vyacuterobu vodičů

Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu

rezistorů

Přiacuteklad 15

Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m

Řešeniacute

S

lR () kde 0785)50( 22 rS mm

2

430785

15000178

S

lR ()

Přiacuteklad 16

Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3

Řešeniacute

S

lR () z toho plyne

SRl

143)1( 22 rS mm2

52901780

1433

SRl (m)

432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě

S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute

elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky

s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste

42

Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při

zahřaacutetiacute vodiče o 1o

C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se

nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -

(1oK)

Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek

odporu R = R2 - R1 miacutet velikost

1RR

Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude

1112 RRRRR

Tedy

)1(12 RR

Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely

Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu

(K-1

)

Měď 00042

Hliniacutek 0004

Střiacutebro 0004

Ocel 0006

Konstantan 210-6

Chromnikl 2510-4

Cekas 710-5

Přiacuteklad 17

Měděnyacute vodič o teplotě 20o

C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A

Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C

Řešeniacute

Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1

2120

241

I

UR ()

Přiacuterůstek teploty je

)(40206012 Co

Odpor při teplotě 60o C

)(40161)40004201(21)1(12 RR

43

Přiacuteklad 18

Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o

C do +40o C

Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě

Řešeniacute

Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co

Odpor při -25o

C R1

Odpor při -25o

C 1112 2731)65004201()1( RRRR

Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu

Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče

je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q

UQA (J V C)

Protože proud je t

QI lze dosadit

tIUUQA (J V A s)

Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty

elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem

a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute

Protože platiacute Ohmův zaacutekon R

UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah

tR

Ut

R

UUtIUA

2

nebo tIRtIRItIUA 2

Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A

V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute

praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute

v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)

Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo

Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P

IUt

tIU

t

AP

(W V A)

Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1

)

Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon

44

2IRIIRIUP nebo R

U

R

UUIUP

2

Přiacuteklad 19

Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut

Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(6450

230A

R

UI

Vyacutekon )(105864230 WIUP

Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s

Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW

Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně

použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt

hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)

Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute

energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy

ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi

vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ

Platiacute

ZWWW 12

Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost

1

2

W

W a je to vždy čiacuteslo 1

Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 W

W )( JJ

Protože přiacutekon je t

WP 1

1 a vyacutekon je t

WP 2

2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost

1001001001

2

1

2

1

2

P

P

tP

tP

W

W )( WW

45

Přiacuteklad 20

Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po

dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě

v konvici

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(831120

220A

R

UI

Přiacutekon )(34038312201 WIUP

Vyacutekon )(323100

803403 12 WPP

45 Kirchhoffovy zaacutekony

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem

nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit

pomociacute Ohmova zaacutekona

Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost

odporu zaacutetěže R pak proud I

I

UR

Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je

na obr 34

Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

46

Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly

Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu

Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu

Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy

zaacutekony

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje

Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve

vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i

elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud

Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect

54321 IIIII

Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute

lze psaacutet

01

n

k

kI

Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule

Přiacuteklad 21

Obr 36 - Proudy v uzlu

Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li

proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A

Řešeniacute

01

n

k

kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A

47

452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen

uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute

To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule

01

n

k

kU

Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute

+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem

orientace smyčky

- hellip orientace napětiacute je proti směru

orientace smyčky

Tedy U1 + U2 ndash U = 0

Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech

odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce

Přiacuteklad 22

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =

6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38

Obr 38 - Napětiacute ve smyčce

Řešeniacute

Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU

021 ab UUIRIR

0643020 II

250 I

040I A

800402011 IRU V 210403022 IRU V

48

46 Spojovaacuteniacute rezistorů

Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 39

Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

021 UUU

Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

I

URR

URRI

URIRI

21

21

21

)(

0

Vyacuteraz I

Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie

aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je

rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie

21 RRRV

Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz

niV RRRRR 21

Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů

jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie

49

462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 41

Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

21 III

Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle

Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

)11

(2121

21RR

UR

U

R

UIII

21

11

RRU

I kde

VRU

I 1

Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute

21

111

RRRV

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme

vyacuteraz

niV RRRRR

1

1

111

21

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

50

Přiacuteklad 23

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =

12 V Obvod je zapojen podle obr 43

Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

0240500

12

Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je

42024010011 IRU V 69024040022 IRU V

Přiacuteklad 24

Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li

napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44

Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech

odporů

14577

400

400

7

400

214

200

1

400

1

100

11111

321

V

V

R

RRRR

51

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

8531457

220

Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V

Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR

UI 22

100

220

1

1

AR

UI 550

400

220

2

2 AR

UI 11

200

220

3

3

Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit

321 IIII

AI 853 AIII 8531155022321

což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů

Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně

řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu

odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme

celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů

určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a

napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu

Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 25

Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy

ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45

Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25

52

Řešeniacute

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor

2132

111

RRR

tedy odpor 32

3232

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema

Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor

R123 = R1 + R23

Naacutehradniacute obvod pak je

Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů

Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321

1R

UI

Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na

jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu

Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11

53

Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy

Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem

Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1

Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB

2

2R

UI AB

Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III

Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute

Přiacuteklad 26

Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49

Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26

Řešeniacute

Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor

5445

111

RRR

tedy odpor 54

5445

RR

RRR

1

54

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute

Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit

R345= R3 + R45

Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema

Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute

Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je

daacutena vztahem

3452

34522345

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod

Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute

55

Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro

tento obvod je

R12345= R1 + R2345

což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

12345

1R

U

R

UI

C

Napětiacute U1 na rezistoru R1

111 IRU

Napětiacute UAC mezi uzly A a C je

12345 IRU AC

Vypočteme proudy I2 a I3

2

2R

UI AC

345

3R

UI AC

Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3

333 IRU

Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C

54 UUUBC

345 IRUBC

Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5

4

4R

UI BC

5

5R

UI BC

Obvod je kompletně vyřešen

Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve

smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů

56

Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů

Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona

0321 III

Pro uzel B musiacute platit

0543 III

Pro uzel C

01542 IIII

Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona

021 UUU

Pro smyčku y platiacute

0243 UUU

Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků

472 Transfigurace

V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou

zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit

postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech

přiacutekladech

Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute

57

Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)

a) b)

Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy

Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka

rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute

jako působeniacute trojuacutehelniacuteka

Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56

Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu

Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech

přiacutekladech

Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi

stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute

233112

23311212

)(

RRR

RRRRCelk

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute

201012 RRRCelk

Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute

2010

233112

233112 )(RR

RRR

RRR

Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1

58

3020

233112

311223 )(RR

RRR

RRR

3010

233112

231231 )(RR

RRR

RRR

Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro

adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro

adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Přiacuteklad 27

Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li

napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30

R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57

Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27

Řešeniacute

Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a

daacutele zjednodušujeme podle obr 58

59

1 2

3 4 5

Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu

Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc

6100

600

503020

3020

321

21

RRR

RRRa

15100

1500

503020

5030

321

32

RRR

RRRb

10100

1000

503020

5020

321

31

RRR

RRRc

Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

50401044 RRR cc

Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

75601555 RRR bb

Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je

307550

7550

54

5454

bc

bcbc

RR

RRR

Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

3630654 bcacelk RRR

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je

16706

1

36

6

celkR

UI A

60

Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je

56

1305454 IRU bcbc V

Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je

0667015

1

75

5

5

545

b

bcb

R

UI A

Napětiacute rezistoru R5 je

415

160555 bIRU V

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu

Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do

elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii

Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute

U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho

svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0

481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute

Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute

poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se

vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek

nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem

napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno

= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy

nulovyacute)

Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult

U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se

zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje

Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute

61

Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj

Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I

RR

UI

i 0

Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je

iRIUU 0

Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika

zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost

Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je

malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem

odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute

vnitřniacute odpor Ri

Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik

Obr 62 - Proud nakraacutetko

62

U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně

zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů

měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute

Přiacuteklad 28

Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru

proudu 02 A je 58 V

Řešeniacute

Proud nakraacutetko bude

i

kR

UI 0

Svorkoveacute napětiacute U je

iRIUU 0

iR 20685

Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri

120

856

iR

Proud nakraacutetko tedy je

61

60 i

kR

UI A

482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute

podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje

Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute

vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech

zdrojů

Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU

Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR

Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU

Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem

napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute

010 UnU 1UnU 1ii RnR

63

Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho

hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by

hrozilo poškozeniacute zdroje

a) b)

Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně

Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů

Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je

jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se

všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat

z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů

Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute

napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly

vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit

02010 UUU a 21 iii RRR

Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute

21 zZz III

Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute

1zz InI nUUUU 002010 n

RR i

i1

Přiacuteklad 29

Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15

V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A

Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A

Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje

64

Řešeniacute

Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud

01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64

Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů

Celkovyacute vnitřniacute odpor bude

32

23

2

3 1

iiacute

RR

Proud nakraacutetko bude

513

5133 01

i

kR

UI A

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi

Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory

využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny

rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty

491 Dělič napětiacute

Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute

65

a) b)

Obr 65 - Dělič napětiacute

Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

21 RR

UI

tedy U

RR

RR

RR

URIU

21

22

21

22

Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2

platit

z

z

RR

RRR

UI

2

21

a po dosazeniacute

URRRRRR

RR

RR

RR

RR

RRR

U

RR

RRIU

zz

z

z

z

z

zz

z

2121

2

2

2

2

21

2

22

Přiacuteklad 30

Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66

Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič

napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o

odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V

Řešeniacute

Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem

R1 + R2 = 1000

tedy R1 = 1000 ndash R2

66

a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

241000

2

21

22

RU

RR

RU

b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute

24500500)1000()1000(

500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

c)

2415001500)1000()1000(

1500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho

napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič

Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory

492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru

k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek

Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem

67

Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute

bbAA RIRI a tedy A

b

b

A

R

R

I

I

Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to

v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku

Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute

tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku

A

b

Am

A

R

R

II

I

A

b

AA

A

R

R

IIn

I

)1(

n

RR A

b

Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash

viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor

Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem

Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory

předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na

předřadneacutem odporu a na voltmetru

pVm UUU p

V

p

V

R

R

U

U

Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy

Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu

)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p

V

V

V

R

R

nU

U

)1(

Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp

Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet

Přiacuteklad 31

Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo

možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA

68

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 2010

200n kraacutet

Odpor bočniacuteku bude 581)120(

30

)1(

n

RR A

b

Přiacuteklad 32

Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak

aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 5120

600n kraacutet

Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp

493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu

V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute

měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute

zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu

Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou

Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA

naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je

omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV

Velikost odporu RX je

iV

VA

V

VA

V

x

xx

R

UI

U

II

U

I

UR

Přiacuteklad 33

69

Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud

ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70

Řešeniacute 95201680

16

003200200

16

5000

16020

16

iV

VA

Vx

R

UI

UR

494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně

širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem

)1(12 RR

kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty

Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute

teploty

Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty

odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2

)1(12 RR 11

2

R

R

11

2

R

R

1

12

R

RR

Měřenaacute teplota je tedy

1

12112

R

RR

Přiacuteklad 34

Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu

je-li

hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o

velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je

20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71

Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty

Řešeniacute

Odpor při 20o C je R1 = 200

Odpor při o C je R2

70

27020

5400

20

1045

1020

1020306 3

3

3

2

A

AA

I

IRUR

Měřenaacute teplota je tedy

510780

7020

104200

20027020

3

1

1212

R

RR o C

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech

Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly

v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly

lineaacuterniacute obvody

V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale

vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute

Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku

Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na

nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a

odpor je tedy vyššiacute

Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a

pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika

nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

a) b)

Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech

obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute

zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku

Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme

pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je

daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute

charakteristikou zdroje

71

Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu

Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen

nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici

a) b) c)

Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu

c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA

charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem

prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto

hodnoty odečteme z grafu

Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu

Přiacuteklad 35

Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je

napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute

podle obr 76 a)

a) b)

72

Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku

Řešeniacute

Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute

že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash

je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho

a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme

Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou

proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek

křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem

z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP

VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body

U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A

Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35

Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je

Ip = 27 mA

Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom

dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho

proudu s VA charakteristikou rezistoru R1

Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož

vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku

hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN

Přiacuteklad 36

Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka

paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi

hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka

U (V) 1 2 3 4 5 6

73

I (A) 01 0165 022 025 028 03

Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32

Řešeniacute

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky

rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute

charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute

charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky

Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1

Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020

60 iR

UIk A

Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36

Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a

proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je

rovno 188 V

74

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji

Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech

zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute

zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na

uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet

tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute

Ohmova zaacutekona

Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech

rezistorů

Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že

jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet

všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než

byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu

Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute

že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou

orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti

směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80

Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3

Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech

Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci

zvolenyacutech smyček x a y

Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)

321 III (1)

75

Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

01221 UUUU RR (2)

Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

0232 UUU RR (3)

Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho

platiacute

111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)

Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod

Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)

0122211 UURIRI (2a)

023322 URIRI (3a)

Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)

0)( 232122 URIIRI (3b)

Upraviacuteme (3b)

02323122 URIRIRI

0)( 231322 URIRRI

32

3122

RR

RIUI

(3c)

a dosadiacuteme do rovnice (2a)

0122

32

31211

UUR

RR

RIURI (2b)

Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1

0122

32

312

32

211

UUR

RR

RIR

RR

URI

23321

323211

233121

3121322222

32

231

122

32

2

1

122

32

2

32

23111

)(

)(

RRRRR

RURRUI

RRRRRR

RURURURURU

RR

RRR

UURRR

U

I

UURRR

U

RR

RRIRI

Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2

76

I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3

Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a

(6)

Tiacutem je obvod kompletně vyřešen

Přiacuteklad 37

V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

100

Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37

Řešeniacute

Pro uzel A platiacute

321 III

Pro smyčku x platiacute

01122 RR UUUU

Pro smyčku y platiacute

0232 RR UUU

Dosadiacuteme do rovnic

02001010020 12 II 32010 12 II

010010020 23 II 21010 23 II

Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3

20

103 21

II

a

10

102 23

II

Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A

10

102

20

103 22

2 II

I

20

222 20420103 III

77

2507 I

14050

72 I A

Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3

08020

140103

20

103 21

II A

06010

140102

10

102 2

3

I

I A

Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče

v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

16200080111 RIUR V

14100140222 RIUR V

6100-006333 RIUR V

4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů

Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se

postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute

Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute

veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II

Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a

to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy

orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček

Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj

smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou

smyčkovyacutech proudů

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82

Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů

78

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib

Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona

Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba

Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb

Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme

011222 RIUURIRI aba

02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb

32

22

RR

RIUI a

b

01122

32

222

RIUUR

RR

RIURI a

aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute

Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia

01122

32

2

32

222

RIUUR

RR

RI

RR

RURI a

aa

21

32

2212

32

22 UU

RR

RURIR

RR

RIRI a

aa

312132

323121

3121223222

3222312122

1

32

222

21

32

22

RRRRRR

RURURU

RRRRRRRRRR

RURURURURU

RRR

RRR

UURR

RU

Ia

Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32

22

RR

RIUI a

b

a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se

smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

ab III 2

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute

Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

Přiacuteklad 38

79

Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

300 R4 = 200

a) b)

Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 83 b) kde R34 je

1205

600

200300

200300

43

4334

RR

RRR

Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky

a 0)( 1122 RIUURII aba

02001020100)( aba III

b 0)( 2234 RIIURI abb

0100)(20120 abb III

Upraviacuteme a dosadiacuteme

a 02001020100100 aba III 100

10300 a

b

II

b 0100)100

10300(20120

100

10300

a

aa III

Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme

0100103002012360 aaa III

02560 aI

0003571560

2aI A

Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali

Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib

80

0089286100

103000003571-

100

10300

a

b

II A

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je

shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu

smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

0092857)0035710(00892862 ab III A

Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou

10714291200089286343443 RIUU RR V

Proudy rezistory R3 a R4 jsou

0035714300

10714293 I A 0053571

200

10714294 I A

Napětiacute na rezistorech R1 a R2

07142862000003571111 RIUR V

928571000092857222 RIUR V

Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a

napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

020-10)(-0714286-92857

020-107142992857

0089286)(-00035710092857

Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku

Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute

pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by

bylo matematicky obtiacutežneacute

4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute

Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž

je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu

označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute

Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz

jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash

neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a

z nich pak proudy ve větviacutech obvodu

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84

81

Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R

je UA

Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute

321 III

Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a

dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice

32

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

21312321 )()( RRURRUURRUU AAA

21313123221 RRURRURRURRURRU AAA

31322131221 RRURRURRURRURRU AAA

313221

312321

RRRRRR

RRURRUU A

Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

1

11

R

UUI A

2

22

R

UUI A

3

3R

UI A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Přiacuteklad 39

Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30

R4 = 90

82

a) b)

Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 85 b) kde R34 je

12090304334 RRR

Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A

321 III

342

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

120100

20

200

10 AAA UUU

AAA UUU 10)20(12)10(6

AAA UUU 1012240660

107142928

300AU V

Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

-000357200

107142910

200

101

AU

I A

Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru

než byl původniacute předpoklad

928571400100

107142920

100

202

AU

I A

0089286120

1071429

1203 AU

I A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech

83

-071429200-000357111 RIUR V

9285714100928571400222 RIUR V

2678571300089286333 RIUR V

V 8035714900089286434 RIUR

4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice

Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl

připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze

tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86

Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj

jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho

obvodu

a) b)

Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice

84

Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky

je na obr 87 a)

32

3223

RR

RRR

R123 = R1 + R23

123

1

1R

UI

11

1 IRUR

11

RAB UUU

2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na

obr 87 b)

31

3113

RR

RRR

R123 = R2 + R13

123

2

1R

UI

11

1 IRUR

12

RAB UUU

1

1R

UI AB a

3

3

R

UI AB

Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje

Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute

1

11 III

2

22 III

3

33 III

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR

Přiacuteklad 40

Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

110 R4 = 130 R5= 240

1

85

Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34

2401301104334 RRR

Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345

120240240

240240

345

345345

RR

RRR

Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)

a) b) c)

Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)

5454545120100

120100

3452

34522345

RR

RRR

R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545

0039286 25454545

10

12345

1

1 R

UI A

78571430039286200

11

1 IRUR V

2142857785714310

11

RAB UUU V

86

214285700100

2142857

2

2 R

UI AB A

0017857120

2142857

345

345 R

UI AB A

Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)

75120200

120200

3451

34511345

RR

RRR

R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175

0114286 175

20

12345

2

2 R

UI A

1142860114286100

22

2 IRUR V

857142942861120

12

RAB UUU V

0042857200

8571429

1

1 R

UI AB A

0071429120

8571429

345

345 R

UI AB A

Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou

-0003570042857-0039286

1

11 III A

00928572142857000114286

2

22 III A

0089286

345

345345 III A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

-071429200-000357111 RIUR V

928571009285700222 RIUR V

107143212000892863453345 RIUU RAB V

10714325 ABR UU V

0044643240

1071432

5

55

R

UI A

1

1

87

0044643240

1071432

34

43 R

UII AB A

4910731100044643333 RIUR V

5803591300044643334 RIUR V

88

5 Magnetickeacute pole

Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute

magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud

Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda

Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute

předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute

magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute

zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje

vždy k severu

Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety

Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute

elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje

Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute

silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole

Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute

magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka

Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute

směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute

čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje

orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech

čaraacutech

Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar

Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -

označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)

a) b)

Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)

Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute

Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute

89

Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu

a) b) c)

Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely

c) podkovoviteacuteho magnetu

Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute

působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem

Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme

silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a

jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

521 Magnetickeacute pole vodiče

V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech

kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute

takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute

čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute

V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve

středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93

Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči

90

Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem

Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen

na obr 94

Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo

pravotočiveacuteho šroubu

Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute

vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole

Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu

Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve

směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar

91

53 Veličiny magnetickeacuteho pole

531 Magnetickyacute tok

Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem

Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem

poli Popisuje tedy pole jako celek

Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)

532 Magnetickaacute indukce

Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho

toku na jednotku plochy

SB

Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem

magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě

Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce

Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I

tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1

Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To

se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash

viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute

nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do

zeslabeneacuteho pole

a) b)

Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute

v magnetickeacutem poli

lIkonstF

Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a

označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)

lIBF (N T A m)

92

Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem

Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole

lI

FB

(T NA

-1m

-1)

Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole

Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem

jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity

magnetickeacuteho pole

Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel

pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude

sin lIBF viz obr 98

Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute

Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute

se podiacutelejiacute na jeho vzniku

Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)

Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je

magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo

93

Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute

magnetomotorickeacute napětiacute je tedy

Fm = I

Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho

magnetickeacuteho pole je

Fm = I1 - I2 + I3

Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute

danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute

n

i

im IF1

a) b)

Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)

Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet

všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro

tuto indukčniacute čaacuteru

n

i

mim UF1

Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute

Fm = Um1 + Um2 + Um3

534 Intenzita magnetickeacuteho pole

Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute

indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je

l

UH m (Am

-1 A m)

kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um

Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke

křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery

94

Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole

r

I

l

UH m

2

Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy

tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu

vodiče na rovině indukčniacute čaacutery

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi

intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute

Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem

magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem

bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce

indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole

vybudilo

Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B

Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu

souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah

přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB

Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme

v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a

nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute

HB

Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) (H) je jednotka henry ndash jejiacute

rozměr vysvětliacuteme později

Pro ostatniacute materiaacutely platiacute

HB r 0

kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než

vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1

95

Přiacuteklad 41

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud

8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče

5127323954104

1012

8

2

3

3

r

IH (Am)

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

115749051011

40

10112

8

2

2

3

r

IH (Am)

Přiacuteklad 42

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr

101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A

Obr 101 - Svazek vodičů

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku

2815720321 IIIFm A

6366198200

102

1022

8

2

2

2

r

FH m (Am)

Přiacuteklad 43

Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr

102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A

Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli

96

Řešeniacute

Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je

81201560 lIBF N

Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat

do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo

Přiacuteklad 44

Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad

Řešeniacute

0180)15020(60 SB Wb

Přiacuteklad 45

Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T

I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch

Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů

Řešeniacute

HB r 0 0= 410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

r

FH m

2 a

n

i

im IF1

Z toho plyne

r

m

BrHrF

0

22

150102

21015

104

00202 43

7

rFm A

321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A

97

54 Hopkinsonův zaacutekon

Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem

indukčniacutem tokem

Viacuteme že S

B

z toho SB

Protože platiacute HB a l

UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem

mm U

l

SS

l

USHSB

Vyacuteraz mUl

S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je

henry (H)

mm Ul

SG (H)

Platiacute tedy

mm UG

Rozměr jednotky henry

m

mU

G

)()()(2

A

mT

A

WbH

Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm

m

mG

R1

tedy S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku

Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek

Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti

magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku

Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy

deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu

S

lRm

1 kde r 0

Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je

hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny

pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho

magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu

98

Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin

Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute

Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute

Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute

pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny

Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky

poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r

551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů

Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole

Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů

po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin

elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky

se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute

U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute

uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře

materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy

sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4

m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem

magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a

tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu

vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho

pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel

vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost

že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je

zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě

magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika

Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika

99

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace

Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce

strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho

přiacuterůstku magnetickeacute indukce

Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato

čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity

magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při

navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi

body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute

charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute

Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů

Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho

pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť

Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje

tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute

intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou

magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a

značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat

v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity

magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute

hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute

intenzita (koercitivita)

Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom

nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při

snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem

magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba

opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev

popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka

Obr 105 - Hysterezniacute smyčka

100

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety

Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar

hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho

materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na

vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu

Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute

Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute

intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u

takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely

použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj

magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu

wolframu a molybdenu

Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou

koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute

tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech

střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet

Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem

a) b)

Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute

101

Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu

stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel

zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute

odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute

snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne

k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute

s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)

a) b)

Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka

Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am

102

Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu

Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg

103

Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik

104

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute

Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud

kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery l

IH přiacutepadně

l

FH m kde

n

i

im IF1

tedy součet všech proudů ktereacute se

podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole

Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův

zaacutekon

Biot-Savartův zaacutekon

Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon

Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l

je

sin4 2

r

lIH

kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A

Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky

kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov

561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče

Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute

tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu

průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude

stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem

pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)

Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x

IH

2

kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče

Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy

hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r

IH r

2

Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b

IHb

2

105

a) b)

Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)

Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera

Proudovaacute hustota J ve vodiči je

2r

I

S

IJ

Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia

2

22

2 r

aIa

r

ISJI aa

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy

2

2

2

222 r

aI

a

r

aI

a

IH

Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od

středu vodiče je přiacutemkovyacute

Přiacuteklad 46

Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti

15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A

Řešeniacute

Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je

509316000

1052

160

2 3max

r

IH Am

Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je

1273104

40

10160

10)155(2

160

2

33

35

x

IH Am

106

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

a) b)

Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar

nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve

středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit

sin4 2

r

lIH

Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute

24 r

lIH

Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce

zaacutevitu

r

Ir

r

Il

r

I

r

lIH

rr

22

444 2

2

02

2

02

Tedy r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute

2

Dl a

212

DDD

kde D je středniacute průměr ciacutevky 2

12 DDD

Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

107

Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se

podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu

ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr

Přiacuteklad 47

Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A

aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am

Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr a

2

12 DDD

1052

110100

2

12

DD

D mm a 5522

105

2

Dr mm

Počet zaacutevitů v ciacutevce je

5522

10001055222 3

I

HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů

564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute

podmiacutenka lD

Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka

108

Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119

Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem

Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje

severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom

konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)

Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute

magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu

lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je

l

IN

l

UH m

Přiacuteklad 48

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky

kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute

permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

250010505001010

505002

l

INH Am

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde

025132708010800000250080104 -7-7

0 HB r T

a

109

662232 10176714610)2

15()10

2

15( rS m

2

46 10444132201017671460251327 SB Wb

565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o

kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech

kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute

Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole

Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude

intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r

kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute

než d

Magnetickeacute napětiacute Um je

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je

r

IN

l

UH m

2

Přiacuteklad 49

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400

zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro

vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole je

10185923200

10

320

2

10102

80400

22

2

D

INH Am

110

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme

z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1

Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu

662232 107853982105)102

10( rS m

2

46 101115265107853982421 SB Wb

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok

Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly

tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem

dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje

a) b)

Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami

111

Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem

menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto

větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute

větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze

daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je

mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku

kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok

Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že

součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech

toků z uzlu vystupujiacuteciacutech

01

n

k

k

Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute

magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute

n

k

mkm UF1

Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon

m

m

R

U

kde

S

lRm

1 (H

-1) r 0

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem

Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu

Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem

průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se

uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej

v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat

Přiacuteklad 50

Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku

z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4

Wb D = 80 mm

d = 20 mm

Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro

112

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je

SB

kde 662232 101431010)10

2

20( rS m

2

127314

400

10143

1046

4

SB T

Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro

materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute je

31415938025110801250 3 DHlHFm A

Budiacuteciacute proud bude

1570796200

3141593

N

FI m A

Přiacuteklad 51

Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute

permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu

Řešeniacute

Z Hopkinsonova zaacutekona m

m

R

U je

m

m

UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm

44

4107854

4

102314

104

2314

mm

FR H

-1

Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu

S

lRm

1

kde 00010161250

271

H

B (Hm

-1)

633

6

3

100787143

1080

1016

101

10143

1080

0001016

11

S

lRm H

-1

Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem

zaokrouhlovaacuteniacute

Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu

HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7

Hm-1

113

58081008085071250 4

10101270

1250 10 4

271 33

7-

0

H

Br

Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou

Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute

v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2

Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou

Magnetickaacute indukce je S

B

je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute

Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r

BH

0

Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita

feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než

intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu

00

BBH

r

gtgt rFe

Fe

BH

0

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

0

BHUm

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

lB

lHUr

FemFe 0

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

mFemm UUF

Po dosazeniacute

0

BUUF mFemm l

B

r

0

114

Přiacuteklad 52

Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se

vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve

vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet

hodnotu maximaacutelně 08 A

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

100954934

1012

104

21

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

1435395105110095493 36 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

A2997929)5180(21

)10511080(1200)(1200 33

DlHU FemFe

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

173518829979291435395 mFemm UUF A

Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka

2169216898508

1735188

I

FN m zaacutevitů

Přiacuteklad 53

Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500

zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je

vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg

115

Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

1201803009020060500221121 ININFFF mmm A

Intenzita magnetickeacuteho pole

375032

120

l

FH m Am

Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra

B = 12 T

Celkovyacute magnetickyacute tok je

34 10081103321)030030(21 SB Wb

Přiacuteklad 54

Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby

magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro

elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu

Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54

116

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

3182)9070(2 l mm

Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

10127324104

104

61

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

336 10254647910210127324 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

1113103183500 3 lHU FemFe A

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

36595525461113 mFemm UUF A

Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a

provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů

Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak

73195

36595

I

FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a

budiacuteciacute proud bude 4574375800

36595

N

FI m

b A

Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je

znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např

pro dvě čaacutesti obvodu

21 mm

m

RR

U

ndash Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a

proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena

magnetizačniacute křivkou

Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce

)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak

možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm

117

Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a

pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm

Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2

tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm

Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf

Obr 127 - Funkce )( mFf

Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute

naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute

napětiacute z grafu funkce )( mFf

Přiacuteklad 55

Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech

materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle

obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů

Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

118

Řešeniacute

Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu

75051500 INFm A

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je

18090452 plechyl mm

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je

14090252 litinal mm

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm1

Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute

pro oba materiaacutely

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0555556109

1054

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

200 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

3723363610140240010180200 33

1

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm2

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0777778109

1074

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

400 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

8147427210140530010180400 33

2

Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4

Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4

Wb sestrojiacuteme

v Excelu graf funkce )( mFf

119

Fm (A) 372 814

Wb 00005 00007

Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb

58 Elektromagnetickaacute indukce

581 Indukčniacute zaacutekon

Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute

pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy

Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat

elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud

Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem

Indukčniacute zaacutekon

Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje

elektrickeacute napětiacute u

dt

du

kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku

dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d

120

Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon

Pozn

Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu

veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit

Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i

Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud

Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem

ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)

Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem

ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie

Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute

opačnou polaritu u = -e

Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash

viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute

dt

dNu

(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)

Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce

121

Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok

zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li

tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute

Přiacuteklad 56

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky

homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T

a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute

napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)

Řešeniacute

Magnetickyacute tok je

SB

Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0

Po 05 s bude tok

44 106110208 SB Wb

Změna magnetickeacuteho toku bude

44

01 106101061 d Wb

Změna času bude

050dt s

Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to

4801048001032150050

1061150 44

4

dt

dNu V

V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute

je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute

indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute

Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133

Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56

122

582 Pohyboveacute napětiacute

Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute

Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na

jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič

vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto

smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho

toku se neměniacute

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz

obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute

Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute

Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt

du

Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy

zmenšiacute o hodnotu

ltvBlsBSB

Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude

vlBt

ltvB

dt

du

)(

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok

smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity

vlBt

ltvB

dt

du

Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče

elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute

Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem

Lenzův zaacutekon

Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem

polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou

123

Obr 135 - Lenzův zaacutekon

Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute

pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr

proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo

Přiacuteklad 57

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o

magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do

magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor

rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0

o a c) 60

o

Řešeniacute

a) Při uacutehlu 90 o

bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to

180503021 vlBu V

b) Při uacutehlu 0

o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru

indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je

nulovaacute

u = 0

c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka

rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami

rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti

rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem

čaraacutem

250505060cos50 0 kolmaacutev ms

Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky

124

Indukovaneacute napětiacute pak bude

0902503021 kolmaacutevlBu V

583 Vlastniacute indukčnost

Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute

magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude

indukovat napětiacute

dt

dNu

Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky

Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m

m

R

U kde INUm a tedy po dosazeniacute

mR

IN

můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu

za čas dt

mR

diNd

V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute

dt

R

diN

u m

Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute

dt

di

R

N

dt

R

diN

Ndt

dNu

m

m

2

Vyacuteraz mR

N 2

byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet

125

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

mR

NL

2

Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je

di

dtuL

1

)(

)()()(

AsV

A

sVH

Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita

materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky

Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute

nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu

Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute

hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se

v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se

nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

Přiacuteklad 58

Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů

vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm

Řešeniacute

Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka

Indukčnost ciacutevky je

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm

a S = r2 = 52

=7853982 mm2

3

672

0

2

1020

10547810450

l

SNL r

126

66

372 1039320

105478101041025

H

Přiacuteklad 59

Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli

se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm

Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400

Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm

23

3

7

0 )1010(

1051

104

11

S

Rm

66437

102534

10100101051

4

10

H

-1

Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru

23

33

7

0 )1010(

10511080

400104

11

S

lR

r

Fem

6437

4

337

101564004

105781010

10

10511080

4004

10

H

-1

Indukčnost ciacutevky je

0549561532

51

10)561532(

1500 2

6

222

mFemm RR

N

R

NL

H

584 Vzaacutejemnaacute indukčnost

Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2

(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute

tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140

127

Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost

Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i

jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje

elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude

indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet

dt

dikonstu 1

2

Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou

vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona

Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem

napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1

111 INFm

Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost

magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou

12

1112

mR

IN

Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude

dt

diM

dt

di

R

NN

dt

di

R

NN

dt

dNu

mm

11

12

121

12

12

1222

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je

12

12

mR

NNM

Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř

všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem

sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1

128

Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami

Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je

mR

NL

2

11

mR

NL

2

22

Vzaacutejemnaacute indukčnost M je

mR

NNM 12

Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme

21

2

1

2

2

2

2

1

2

22122 )( LLRR

NN

R

NN

R

NNM

mmmm

a tedy

22 LLM

Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute

ciacutevce bude

dt

di

R

N

dt

diLu

m

2

111

a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude

dt

di

R

NN

dt

diMu

m

212

Poměr napětiacute 2

1

u

uje

2

1

21

2

1

2

1

N

N

dt

di

R

NN

dt

di

R

N

u

u

m

m

Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

129

Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale

dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě

o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek

Pak

22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Přiacuteklad 60

Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů

primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr

142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je

800

Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Magnetickyacute odpor RmFe

64273

23

3

7

0

100353678984

10101010320

)1030(

10320

800104

11

S

lR

r

Fem

H-1

Indukčnost prvniacute ciacutevky

28274330353678

1

100353678

10006

22

11

mFeR

NL H

Indukčnost druheacute ciacutevky

636000353678

1051

100353678

150 22

6

22

22

mFeR

NL H

Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek

0381704636002839022 LLM H

130

Přiacuteklad 61

Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho

přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s

Řešeniacute

Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce

770002

01-06282743311

dt

diLu V

Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce

549002

01-0638202

dt

diMu V

Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute

ciacutevce bylo u2ideaacutel

1060288020

50

0353678

150

002

01-06

100353678

15010006

1

12

122

dt

di

R

NNu

m

ideaacutel V

Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667

Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667

Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute

2

1

2

1

N

N

u

u hellip transformačniacute poměr

585 Spojovaacuteniacute ciacutevek

Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je

Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně

Ciacutevky spojeneacute seacuteriově

Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143

to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat

stejneacute napětiacute

Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

131

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu kde dt

diLu 11 a

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )( 2121 LLdt

di

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL

Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute

vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k

kLL1

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute

indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet

Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M

je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash

viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet

132

Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti

soběldquo

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Ciacutevky spojeneacute paralelně

Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr

146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech

indukovat stejneacute napětiacute

Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi

kde dt

diLu 1

11 a dt

diLu 2

22

a tedy dt

diLu 1

1 a dt

diLu 2

2

z toho 1

1

L

u

dt

di a

2

2

L

u

dt

di

133

Po dosazeniacute 21 dididi

21 L

u

L

udi

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu z toho

L

u

dt

di

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21

111

LLL

Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute

vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute

jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k kLL 1

11

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz

obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute

MLMLL

21

111

Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash

viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet

MLMLL

21

111

Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

134

Přiacuteklad 62

Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost

seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute

indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH

Řešeniacute

Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je

MLLL 221

Z toho

202

)40100(180

2

)( 21

LLL

M mH

585 Přechodovyacute jev na indukčnosti

Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce

dt

diLuiL

Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji

stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute

odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor

bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku

poškodil)

V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na

indukčnosti

Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon

V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud

jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0

pak vyacuteraz dt

diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem

Pro t0 platiacute

t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0

135

V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu

největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute

to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = konst di = 0 0dt

di

0dt

diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0

R

U

R

ui R 0

V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud

v obvodu je omezen jen odporem rezistoru

Průběh proudu a napětiacute je na obr 150

Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i

napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na

ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty

t

L eUu

0

kde

R

L

Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti

59 Energie magnetickeacuteho pole

Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově

působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud

Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute

průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute

udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem

mm UW 2

1 (J Wb A)

Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie

nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu

136

HBlS

U

V

U

V

Ww mmm

m

2

1

22

Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke

konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je

lSHBVHBVwW mm 2

1

2

1

Přiacuteklad 63

Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky

Řešeniacute

Energie magnetickeacuteho pole je

mm UW 2

1

kde INUm a mR

IN

Po dosazeniacute

mm

mmR

ININ

R

INUW

22

2

1

2

1

2

1

Protože LR

N

m

2

dostaneme vyacuteraz 2

2

1ILWm

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy

Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech

materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole

Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech

vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve

vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti

přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti

plneacuteho průřezu

137

Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech

Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute

energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou

energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů

Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute

jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety

způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce

Pv f 2 B2

Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute

z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm

transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute

budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute

množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute

vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru

V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu

Hysterezniacute ztraacutety

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky

138

Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute

ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci

Ph f B2

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově

proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi

proudy

PFe = Ph + Pv

V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole

silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce

vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli

lIBF

Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute

vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka

magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute

sin lIBF viz obr 153

Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho

magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho

Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole

působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem

proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela

139

Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Velikost siacutely F

lIBF 21

kde 101 HB r 0=410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

kde r

IH

21

1

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

7-212

17-

21 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

(N A A m m)

Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič

Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute

vodič

7-211

27-

12 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute

a vodiče se tedy odpuzujiacute

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je

zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute

140

Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute

Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi

rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7

N na 1 m deacutelky

vodičů

Přiacuteklad 64

Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm

rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho

proudu v nich je 40 A

Řešeniacute

Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je

3-7-

2

7-21 101920010105

304040210

I2

r

lIF N

5121 Elektromagnety

Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta

ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157

Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute

feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou

Obr 157 - Elektromagnet

141

Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na

pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru

Přitažlivaacute siacutela magnetu

Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce

B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti

magnetickeacute indukce B

Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu

V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou

posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie

magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie

magnetickeacuteho pole

dlSB

dlSB

BdlSHBWm 0

2

0 2

1

2

1

2

1

a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F

dlFA

Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2

02

1

Platiacute že S

B

a mR

IN

kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet

hodnota RmFe zanedbaacutevaacute

Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

142

Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem

přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze

magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute

Přiacuteklad 65

Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm

plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je

66

47

3

47

3

0

1053051656

10100

103102

10

109104

10322

S

lR v

m H-1

Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

9)5305165(42

1010104109

109)105305165(

2300

1042

12

41274

426

22

7

F

65852814303

500

28143032

100010

9281430342

49 3

F N

143

6 Střiacutedaveacute proudy

Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud

se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute

střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T

Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute

čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny

označeniacute přiacuteslušneacute veličiny

Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute

proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je

praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy

harmonickeacute Babyčka

Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu

Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute

jednotkou je hertz značka Hz

Doba jedneacute periody je

fT

1 (s Hz)

Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute

průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz

až MHz

Přiacuteklad 66

Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě

Řešeniacute

02050

11

fT s

144

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii

Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu

Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy

Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel

tft

f

tT

21

22

Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za

jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se

f 2 (rads-1

)

Platiacute tedy

)sin(max tIi

Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel

nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute

Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu

145

Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh

sinusoidy

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje

Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu

Přiacuteklad 67

Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou

hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz

a proud je faacutezově zpožděn o 30o

Řešeniacute

Doba periody je

02050

11

fT s

Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2

Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute

zpožděniacute 30o

30o je 6 radiaacutenů 0001667

12

1020

2

61

Tt s

Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je

)6

00152sin(25)tsin( 0015)( max

fIi

-216207)6

0015314sin(25)6

0015502sin(25 0015)(

i mA

146

62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne

průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163

Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět

Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace

Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory

znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich

působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute

Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe

v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je

vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval

U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy

bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)

bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů

bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)

bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)

631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v

stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute

harmonickyacute proud (napětiacute)

Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině

proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je

tIRUtIW 2

147

2IRUIt

WP

Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval

dt je

dtiRdW 2

dttIRdtiRdW )(sin22

max

2

Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu

bdquoRplocha pod křivkou i2

ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164

rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i

2 po

dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho

proudu daneacuteho průběhu Platiacute

2

2

max2 II

2

maxII což je 7070max II

Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i

silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu

632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost

stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud

Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za

jednotku času

t

QI tIQ

Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165

148

Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod

přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody

a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute

pro stejnosměrnyacute proud QT

Imed 2

a

pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q

Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho

počtu dospět k vyacuterazu

max

2IImed

což je max6370 IImed

Přiacuteklad 68

Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce

Řešeniacute

Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě

230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy

V 32523022max UU

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem

čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho

velikost je

vlBU

kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje

l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole

v je rychlost pohybu vodiče

149

Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se

vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B

magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166

Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute

Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je

velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute

Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute

Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr

168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v

každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli

Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem

pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich

150

obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za

minutu)

Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto

okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a

velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0

a) b) c)

Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli

Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu

v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v

a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to

vlBui

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem

směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato

napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je

max22 UrlBvlBui

Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute

s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu

kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute

indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute

v zaacutevitu v obecneacute poloze je

sinsin22 max UvlBvlBu xi

151

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute

Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden

zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-

kraacutet většiacute

)sin(max tUNui

Přiacuteklad 69

Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm

b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce

B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s

Řešeniacute

Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh

)sin(2 tvlBui

Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je

560

300

60

nf Hz

Uacutehlovaacute rychlost je

431522 f s-1

Rychlost otaacutečeniacute v

rv kde 2

2

1022

104

2

a

r m

6280102431 2 rv ms

Tedy

tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22

Doba jedneacute periody T je

205

11

fT s

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)

152

a) b)

Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69

V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil

praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)

65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže

Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je odpor R

Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež

charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L

Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C

651 Odporovaacute zaacutetěž

Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě

odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a

proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute

vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie

Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

153

Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je

)sin()sin()sin(

max

maxmax tItR

U

R

tUi

Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve

faacutezi

Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R

UI max

max

Pro efektivniacute hodnoty platiacute R

UI

Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži

Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je

2iRiup

Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je

2IRIUP

Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon

jednotkou je watt (W)

652 Induktivniacute zaacutetěž

O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu

připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)

Pak platiacute

dt

diLui

a) b)

Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute

maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu

Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud

neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute

154

Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute

maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj

v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di

lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute

čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax

Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem

indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o

Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah

)sin(max tUu

pak průběh proudu je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak

indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna

proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute

rychlost viz obr 173

Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt

Platiacute

LXILIU maxmaxmax

kde XL je tzv indukčniacute reaktance

LX L ()

Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem

proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze

ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento

odpor minimaacutelniacute)

Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu

LX

UI max

max a LX

UI

Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo

uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL

155

Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce

Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute

do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je

okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute

V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět

zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute

směr

V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie

ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho

efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud

kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute

vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud

653 Kapacitniacute zaacutetěž

O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen

kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)

Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět

156

vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita

elektrickeacuteho pole

a) b)

Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute

pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na

deskaacutech kondenzaacutetoru o dq

dtidq

Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du

C

dti

C

dqdu

Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i

dt

duCi

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute

maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud

napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je

du = 0 a tedy i proud je nulovyacute

Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud

maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t

= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a

proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t

= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax

Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute

proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)

Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute

jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt

Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute

uacutehlovaacute rychlost

157

CUI maxmax

Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde

CX C

1

Pak lze psaacutet

CX

UI max

max a pro efektivniacute hodnoty CX

UI

Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177

CfCX C

2

11

Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute

k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud

neproteacutekaacute

Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu

napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem

kondenzaacutetoru

158

V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se

dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute

do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor

nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje

v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije

nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech

V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze

k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do

zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute

se Q a jeho efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a

nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor

Přiacuteklad 70

Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F

pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz

Řešeniacute

V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf

X C

2

1

Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70

159

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity

indukuje se v niacute napětiacute u1

dt

diLu 1

11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU

V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje

napětiacute u2

dt

diMu 1

2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12

kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou

Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů

Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2

zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2

dt

diLu 2

22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU

V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce

indukovalo napětiacute u1

dt

diMu 2

1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21

Transformačniacute poměr

Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR

NL

2

11 a

mR

NL

2

22

Z toho vyplyacutevaacute že 12

12

mR

NNM

Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1

mR

NILIU

2

11111

a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2

12

12112

mR

NNIMIU

160

Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je

2

1

12

121

2

11

2

1

N

N

R

NNI

R

NI

U

U

m

m

Poměr 2

1

2

1

N

N

U

U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu

zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu

elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit

přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute

přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se

napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute

400230 V

66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech

obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě

indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R

Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů

střiacutedaveacuteho proudu

Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho

proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute

respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu

661 Seacuteriovyacute RC obvod

Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože

je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a

tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu

161

Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je

IRUR

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC

Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z

22 RXZ C ()

Pak

ZIU

Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je

22 RX

U

Z

UI

C

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

181 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 71

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost

faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

C

kde velikost kapacitniacute reaktance je

1592

1000

10501022

1

2

1163

CfC

XC

Proud

0470256

12

200159

12

2222

RX

UI

C

A = 47 mA

162

Napětiacute na rezistoru UR

3990470200 IRUR V

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC

4770470159 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

078247912

399cos

U

U R = 0672159 rad = 385o

Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71

662 Seacuteriovyacute RL obvod

Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je

tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL

163

Impedance obvodu je

22 RXZ L ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22 RX

U

Z

UI

L

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

183 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 72

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho

posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

L

kde velikost induktivniacute reaktance je

1257405022 LfLX L

Proud

154807125

230

2222

RX

UI

L

A

Napětiacute na rezistoru UR

12454180 IRUR V

Napětiacute na ciacutevce UL

1945417125 IXU LL V

Faacutezovyacute uacutehel je

0537029230

124cos

U

U R = 1003885 rad = 57 5o

164

Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72

663 Seacuteriovyacute LC obvod

Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I

Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute

)( CLCLCL XXIIXIXUUU

Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter

Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter

165

664 Seacuteriovyacute RLC obvod

Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy

proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL

Impedance obvodu je

22)( RXXZ CL ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

186 je cos

U

IR

U

U R cos

166

Přiacuteklad 73

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute

diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V

frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

kde velikost induktivniacute reaktance je

4512805022 LfLX L

avelikost kapacitniacute reaktance je

7957747250

1040502

1

2

116

CfC

XC

Proud

109746209

230

120)6794251(

230

)( 2222

RXX

UI

CL

A

Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou

713109741120 IRUR V

2759097414251 IXU LL V

87309741679 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

0572579230

7131cos

U

UR = 0961148 rad = 55 1o

Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73

167

665 Paralelniacute RC obvod

Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RC III

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

188 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

CC

RC

Z

UI

22

11

1

RX

Z

C

22

111

RXZ C

168

666 Paralelniacute RL obvod

Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RL III

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

189 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

LL

RL

Z

UI

22

11

1

RX

Z

L

22

111

RXZ L

169

668 Paralelniacute LC obvod

Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute

CL

CLX

U

X

UIII

Impedance LC obvodu je

CLXXX

U

X

U

U

I

UZ

CLCL

1

1

11

1

Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy

CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0

Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se

opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a

ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li

CL

1

což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence

170

CL

1 Cf

Lf

0

0

22

1

CLf

2

10

669 Paralelniacute RLC obvod

Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCXC

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22)( RCL IIII

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

191 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

171

2222

22 111)(

RXXU

R

U

X

U

X

UIIII

CLCL

RCL

Z

UI

22

111

1

RXX

Z

CL

22

1111

RXXZ CL

Přiacuteklad 74

Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož

odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete

faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =

230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute

Řešeniacute

Velikost proudu rezistorem je

0766667300

230

R

UIR A

Velikost proudu ciacutevkou je

091514180502

230

2

Lf

U

X

UI

L

L A

Velikost proudu kondenzaacutetorem je

072256610321010502230

2

16

Cf

U

X

UI

C

C

Celkovyacute proud je

07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem

096987279050

7670cos

I

IR = 141o

Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR

I = IR =0767 A

A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0

562697782

1000

1010802

1

2

1

60

CLf Hz

172

Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74

Přiacuteklad 75

Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10

kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)

Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce

Řešeniacute

Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem

odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti

rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)

Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

314101005022 3 LfLX L

Proud ciacutevkou

0732113

3141592

230

98696

230

10314

230

2222

RX

UI

L

A

Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je

7321073211310 IRU R V

173

Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je

229880732113314 IXU LL V

Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je

003183230

7321cos

U

UR

1538961 rad 8817594 o

Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute

Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti

na čase

)502sin(2302)sin(max ttUu

přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms

=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)

)5391502sin(7322)sin(max ttIi

přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA

=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)

Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75

Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute

36573203217 IUP R W

Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute

3168073222988 IUQ L VAr

Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute

41680732230 IUS VA

174

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody

Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute

posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory

v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy

s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 76

Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute

indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F

Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz

Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76

Řešeniacute

Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech

Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR

je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute

součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o

předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

62810100100022 3 LfLX L

Proud IRL je

0020325

118084

24

1394384

24

1000628

24

2222

RX

UI

L

RL A

Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je

3252000203251000 IRU R V

12763790020325628 IXU LL V

175

Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je

084687524

32520cos RL

U

U R = 3212661o

Proud kondenzaacutetorem IC je

C

CX

UI

kde 1591549102

10

101010002

1

2

112

6

6

CfCX C

0015081591549

24CI A

Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi

s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka

IRLj

a) b)

Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)

Činnaacute složka IRLč

001721384687500020325cos RLRLRLč II A

Jalovaacute indukčniacute složka IRLj

0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A

Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC

tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy

2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A

09999630172130

0172130cos

I

I RLč = 05o

Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve

větvi RL

176

Přiacuteklad 77

Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o

indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby

byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem

Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77

Řešeniacute

Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka

proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC

Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL

- viz obr 198 a)

a) b) c)

Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77

Proud ve větvi s ciacutevkou

0315547

5188

24

100304002

24

2222

RX

UI

L

RL A

Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou

155473031554710 RLR IRU V

237916603155470304002 RLLL IXU V

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou

o82445d1438937ra

013147824

155473cos

RL

RRL

U

U

177

Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru

na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)

004148701314780315547cos RLRLč II A

031280709913190315547sin RLRLj II A

Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je

tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně

kompenzovaacuten pak platiacute

CRLj II a tedy IC = 0312807 A

Proud kondenzaacutetorem je

0312807C

CX

UI A

a tedy kapacitniacute reaktance je

7672451 0312807

24

C

CI

UX

Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet

CfXC

2

1

CXfC

2

1

666

1051859221072451764002

101

72451764002

1

C F

Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o

kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL

což je 0041487 A

Přiacuteklad 78

Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr

199 Řešte obecně

Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78

Řešeniacute

Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu

178

Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se

zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90

o předbiacutehaacute Vyneseme

tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR

je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U

CL

L

ABL

c

ABC

R

ABR

III

X

UI

X

UI

IRU

UUU

222

Po dosazeniacute

2

2

2222222

AB

c

AB

L

AB

ABCLABABR

UX

U

X

UR

UIIRUIRUUU

2

2

22

2

2 111

cL

ABAB

c

AB

L

AB

XXRUU

X

U

X

URU

2

2

22

2

22 11cL

LcAB

cL

LcAB

XX

XXRU

XX

XXRUU

2

2

1cL

Lc

AB

XX

XXR

UU

Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute

na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU

66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute

zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do

magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute

kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje

Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute

IUP

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon

iup

179

Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute

posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute

nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a

z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a

jejiacute jednotkou je voltampeacuter

IUS (VA V A)

Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute

přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži

Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute

nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je

s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem

pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a

induktivniacute zaacutetěži je cos = 0

Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o

90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute

energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je

voltampeacuter reaktančniacute

sin IUIUQ j (Var V A)

Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem

cos IUP sin IUQ IUS 2

2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS

22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP

Platiacute tedy že

222 SQP

což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200

Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu

180

Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A

měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute

napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a

hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku

Přiacuteklad 79

Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete

zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos

Řešeniacute

1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou

prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se

v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen

jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)

Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI

Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud

předřazenyacutem odporem

a) b)

Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti

2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)

Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute

induktivniacute reaktanciacute XL

Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute

hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL

(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute

indukčnost ciacutevky L

181

I

UZ

22 RZX L f

XL L

2

Z

R

IZ

IR

U

UR

cos

IUS cos IUP sin IUQ

67 Rezonance

Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti

indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute

tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute

Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin

rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme

rezonančniacute frekvence a značiacute se f0

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz

obr 202

Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram

Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro

rezonanci XL = XC

Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je

22)( RXXZ CL

Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji

jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0

Z0 = R

Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to

R

UI 0

182

Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost

ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC

LfCf

0

0

22

1

2

022

1f

CL

CLf

2

10

Rezonančniacute křivka

Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)

2222 )2

12()( R

CfLfRXXZ CL

Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)

Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel

je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0

Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute

R

CfLf

arctg

2

12

Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je

22)2

12( R

CfLf

U

Z

UI

Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute

kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute

odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu

Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R

Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL

183

a napětiacute na kondenzaacutetoru IC

IXU CC

1

Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy

0000 ILUU CL kde R

UI 0

Po dosazeniacute je

UR

L

R

ULILUU CL

0

00000

Vyacuteraz R

L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti

Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti

Pak UQXU CL 00

To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka

napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při

naacutehodneacutem dotyku

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod

Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz

obr 205

Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram

184

K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna

velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute

složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R

reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0

Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat

kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter

Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude

převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter

Proud ciacutevkou je

22222 RLf

U

RX

UI

L

RL

Jalovaacute složka proudu IRL je

RLRLRLj II sin kde 222

2sin

RLf

Lf

Z

X

ZI

XI

U

U

RL

L

RLRL

LRLLRL

Po dosazeniacute

222222 2

2

2

2

2 RLf

ULf

RLf

Lf

RLf

UIRLj

Činnaacute složka proudu IRLč je

222222222

cosRLfI

RI

RLf

U

U

U

RLf

UII

RL

RLRRLRLRLč

222222 222 RLf

RU

RLfI

RI

RLf

UI

RL

RLRLč

Proud kondenzaacutetorem je

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

2

2

1

Pro rezonanci

CRLj II

UCf

RLf

ULf

022

0

0 22

2

C

RLf

L

22

02

0)2( 222

0 LRCCLf

2

0

1

2

1

L

R

CLf

185

Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je

2

22

2

22

2

22

2

22

22

22

2

2

22

2

2)(

RLf

RCf

RLf

LfU

RLf

RUCf

RLf

ULfIIII RLčCRLj

Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy

22

0

02 RLf

RUII RLč

Impedance při rezonanci je

R

RLf

I

UZ

22

0

0

0

2

Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu

je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0

Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna

odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou

Rezonančniacute křivky

Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu

matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute

2

22

2

222

22

2

RLf

RCf

RLf

LfUI

a

I

UZ

Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu

Činitel jakosti obvodu

Činitel jakosti obvodu je Q

R

LQ

0

186

Platiacute

000 IQII RLC

Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud

odebiacuteranyacute ze zdroje

Přiacuteklad 80

Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny

a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci

proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro

paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem

Řešeniacute

Ad a) Rezonančniacute frekvence

Hz

CLf

33

64630

102055602

10100

10210302

1

1021032

1

2

1

Rezonančniacute impedance

Z0 = R =10

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

A4210

240

R

UI

Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci

V 929516421031005522

f2

33

000000

ILILUU LC

Činitel jakosti

387324

95920 U

UQ C

Ad b) Rezonančniacute frekvence

Hz 1985111111111666666672

1

3

10

23

10

2

1

103

10

102103

1

2

11

2

1

249

2

363

2

0

L

R

CLf

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

187

A 016

1500

1024

10398512

1024

1010319852

1024

2

22

22322

0

0

RLf

RUII RLč

Rezonančniacute impedance

150160

24

0

0I

UZ

Proud kondenzaacutetorem při rezonanci

A 059866524102198522

2

16

0

0

0

0

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

Činitel jakosti

3741657160

598700 I

IQ C

Pozn

Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute

se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod

CLf

2

10

Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně

přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)

68 Kompenzace uacutečiniacuteku

Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla

nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute

složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li

faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je

daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy

v elektrickyacutech strojiacutech

188

a) b)

Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci

Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute

energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute

jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute

činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů

Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což

vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy

většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a

tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet

dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena

roste

Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud

kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho

původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute

složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute

zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho

vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku

Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav

paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095

Přiacuteklad 81

Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07

Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na

hodnotu 095

Řešeniacute

Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

Činnyacute vyacutekon je

189

cos IUIUPČ

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

186335470230

300

cos

U

PI A

Činnaacute složka proudu je

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

133070113043481863354 2222 čj III A

Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

coskomp = 095

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

1372998950230

300

cos

komp

kompU

PI

A

Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A

Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute

Cjjkomp III

Proud kondenzaacutetorem tedy bude

090198304287181330701 jkompjc III A

Pro proud kondenzaacutetorem platiacute

Cf

U

X

UI

c

C

2

1

Kapacita kondenzaacutetoru je tedy

6-5- 10124831012483230502

0901983

2

Uf

IC C F = 12483 F

190

7 Trojfaacutezovaacute soustava

Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute

jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina

průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod

elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak

napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena

využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute

trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute

velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci

elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute

magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

sinsin22 max UvlBvlBu xi

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

191

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute

Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově

pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute

harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem

posunem jednotlivyacutech napětiacute

Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou

pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o

se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se

označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211

Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

192

Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuW

Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech

hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule

0 WVU uuu

Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute

Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute

f

o

f UUx2

1)60cos( ff UUy

2

12

Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU

Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0

UU + UV + UW = 0

72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu

Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute

stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou

Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze

statoroveacuteho vinutiacute

Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem

otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)

Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute

obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou

draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je

posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi

193

průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute

U1 V1 W1 konce U2 V2 W2

Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti

Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu

statoru

Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute

Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem

obvodem a statorovyacutem vinutiacutem

Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod

rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na

vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky

stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n

(otmin)

Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru

Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru

Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute

jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute

vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje

elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem

v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto

uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na

elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu

přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů

přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute

Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech

elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou

195

označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla

3000 otmin

Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech

jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute

s předchoziacutem provedeniacutem

Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute

Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem

Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů

Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je

v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech

vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a

označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy

Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi

nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se

označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)

a) b)

Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy

a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem

Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute

faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf

196

fWVU UUUU

Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US

SWUVWUV UUUU

Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho

napětiacute

2

330cos

2 f

o

fS UU

U

fS UU 3

Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi

libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti

Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke

spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a

ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P

Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je

IRU

kde R je odpor vedeniacute

I je přenaacutešenyacute proud

Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je

2IRIIRIUP

Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině

přenaacutešeneacuteho proudu

197

Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou

energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem

vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety

Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se

napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně

niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se

energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory

Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek

Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty

dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou

proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje

v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky

Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru

Z uvedeneacuteho je patrneacute že

2

1

2

1

N

N

U

U (= transformačniacute poměr) a tedy

1

212

N

NUU

Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute

napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se

transformuje na nižšiacute napětiacute

Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že

vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu

P1 = P2 = P

Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak

1

212

N

NUU gt U1

Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute

2

2U

PI a

1

1U

PI

pak I2 lt I1

proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute

198

Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je

2

11

1

21

11

2

112

N

NI

N

NU

UI

U

UII

rarr

2

1

1

2

N

N

I

I

Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie

se sniacutežiacute

Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV

Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV

Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute

vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro

daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie

Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute

zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V

G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor

Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy

74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti

Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři

faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute

sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič

jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute

vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE

Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič

Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před

dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je

takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale

vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem

krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet

zdraviacute ohrožujiacuteciacute

199

Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C

Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S

Ochrana nulovaacuteniacutem

Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute

čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute

Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem

jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute

faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute

pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu

200

Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např

faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se

na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm

aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem

bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li

se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute

proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)

a) b)

Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem

Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při

poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute

je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud

IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho

působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se

danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine

74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti

Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi

Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy

Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy

připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu

a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

201

f

f

fZ

UI

Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel

danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče

Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy

Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven

nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute

žaacutednyacute proud

IN = 0

Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může

vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute

vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem

různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute

trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky

světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit

přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud

možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech

202

obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN

kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou

U

UU

Z

UI

V

VV

Z

UI

W

WW

Z

UI

Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute

fWVU UUUU

a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o

Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže

v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W

Pozor

Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde

přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a

spotřebičem

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka

Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230

Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka

203

Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou

stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o

UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3

Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou

UV

SUV

Z

UI

VW

SVW

Z

UI

WU

SWU

Z

UI

a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže

Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona

IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU

IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV

IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

S

f

S

SS

Z

U

Z

UI

3

Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech

napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče

Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech

Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute

Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute

o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232

2

330cos

2 WU

o

WU

fII

I

WUf II 3

204

Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je

různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz

obr 233

Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute

Přiacuteklad 82

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute

činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na

obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute

ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy

205

Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82

Řešeniacute

Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235

Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234

Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je

400 SWVUWVU UUUU V

Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost

Z

UIIII S

WVUWVU

kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L

76173

400

Z

UI S 230207 A

206

Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost

398730323020733 IIIII fWUV A

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech

Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

cos fff IUP (W V A)

Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

fff IUS (VA V A)

Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

sin fff IUQ (VAr V A)

Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute

Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon

cos33 fff IUPP (W V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon

fff IUSS 33 (VA V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

Přiacuteklad 83

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu

R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a

celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do

trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute

Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude

287580

230

R

UI

f

f A

Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy

661252875230 fff IUP W

207

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

1983752875230333 fff IUPP W

Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute

US Proud každyacutem z rezistorů bude

580

40033

3

f

ffSS I

R

U

R

U

R

UI A

Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy

00025400333 fffSSS PIUIUP W

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

6000200033 SPP W

Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy

751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek

Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na

svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co

nejjednoduššiacute

Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je

znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute

chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do

trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy

a) b) c)

Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do

trojuacutehelniacuteka

76 Točiveacute magnetickeacute pole

Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o

připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř

statoru točiveacute magnetickeacute pole

208

Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti

Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238

V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1

ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W

a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)

V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole

jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)

ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček

a) b) c)

209

d) e) f)

Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole

V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do

W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole

jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako

v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o

Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele

stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute

rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute

Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute

magnetickeacute pole

Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku

daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi

Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech

V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW

2

3)

3

4sin()

3

4sin( maxmaxmax IItIiw

Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy

2

3max w

kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute

Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239

Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole

210

maxmax

0

2

3

2

3

2

32)30cos(2 W

Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy

max2

3

Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute

o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a

velikosti max2

3

Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou

statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem

magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho

pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)

fns 60

Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru

Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory

Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho

magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241

V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)

V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)

v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy

pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček

211

a) b)

Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole

Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr

242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi

přiacutevodniacutemi faacutezemi

Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru

212

77 Kompenzace uacutečiniacuteku

Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny

v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy

Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute

elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat

neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a

vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech

bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute

proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem

Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute

charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem

připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute

Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou

hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je

penalizovaacuten

Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků

kondenzaacutetorů k siacuteti

Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu

Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky

spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou

nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem

přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na

využitiacute spotřebiče

Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru

Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech

rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke

zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při

individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute

jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody

213

Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena

v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti

spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace

Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku

kompenzačniacuteho vyacutekonu

Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry

měřiacute pouze činnou odebranou energii

214

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami

81 Elektrostatickeacute pole

Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)

elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19

C

Q = ke k je celeacute čiacuteslo

I elektrickyacute proud ampeacuter (A)

t

QI

E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )

Q

FE

U elektrickeacute napětiacute volt (V)

Q

AU ( CJV )

l

UE

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem

prostřediacute

permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m

-1)

0 r

0 permitivita vakua 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

r poměrnaacute permitivita r gt = 1

24 r

QE

intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule

s naacutebojem Q

D elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

ED r 0

C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)

U

QC

l

SC r 0

215

Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC 21

Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC

1

1

111

21

Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru

t

c eUu 10

kde

CR

Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

Pak kapacita osamoceneacute koule je

104 rC r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

82 Stejnosměrnyacute proud

J Proudovaacute hustota

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

R elektrickyacute odpor ohm ()

R

UI hellip Ohmův zaacutekon

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

rezistivita materiaacutelu

G vodivost siemens (S)

RG

1

216

Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR

teplotniacute součinitel odporu (1oK)

A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu

tIUUQA (J V A s)

P vyacutekon

2IRIIRIUP (W V A)

uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 P

P )( JJ

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel

01

n

k

kI

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku

01

n

k

kU

Spojovaacuteniacute rezistorů

Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21

Paralelniacute niVyacutesl RRRRR

1

1

111

21

Transfigurace

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute

iRIUU 0

Proud nakraacutetko

i

kR

UI 0

217

83 Magnetickeacute pole

magnetickyacute tok weber (Wb)

B magnetickaacute indukce tesla (T)

SB

lI

FB

lIBF sin lIBF (N T A m)

Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)

n

i

im IF1

Um magnetickeacute napětiacute (A)

n

i

mim UF1

H intenzita magnetickeacuteho pole

l

UH m (Am

-1 A m)

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r

I

l

UH m

2

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

HB r 0

0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) henry (H)

r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r

přibližně 1)

Hopkinsonův zaacutekon

mm U

l

SS

l

USHSB

Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)

mm Ul

SG

Rm magnetickyacute odpor (reluktance)

m

mG

R1

S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

218

Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

r

INH

2 kde

2

Dr

2

12 DDD

Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

l

IN

l

UH m

Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

r

IN

l

UH m

2

Indukčniacute zaacutekon

dt

du

pro ciacutevku o N zaacutevitech

dt

dNu

Pohyboveacute napětiacute

vlBu

L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)

dt

diMu 1

2

12

12

mR

NNM

22 LLM

22 LLM

kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Transformačniacute poměr

2

1

2

1

N

N

u

u

Spojovaacuteniacute ciacutevek

seacuterioveacute 21 LLL

seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

219

paralelniacute 21

111

LLL

paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

Přechodovyacute jev na indukčnosti

t

L eUu

0

kde

R

L

Energie magnetickeacuteho pole

mm UW 2

1 lSHBWm

2

1

Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

sin lIBF

Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu

SR

INF

m

2

22

02

1

84 Střiacutedaveacute proudy

f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)

60

nf

T doba jedneacute periody (s)

fT

1

uacutehlovaacute rychlost

f 2 (rads-1

)

Průběh harmonickeacuteho proudu

)sin(max tIi )sin(max tIi

Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

2

maxII

Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

max

2IImed

220

Odporovaacute zaacutetěž

)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR

Ui

Induktivniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

LX

UI max

max

XL induktivniacute reaktance ()

LX L

Kapacitniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

CX

UI max

max

XC kapacitniacute reaktance ()

CX C

1

Seacuteriovyacute RLC obvod

Z impedance obvodu ()

22)( RXXZ CL U

IR

U

U R cos

Paralelniacute RLC obvod

22)( RCL IIII I

IRcos

Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)

S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)

Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)

222 SQP

cosφ uacutečiniacutek

IU

P

cos

Rezonance

f0 rezonančniacute frekvence

CLf

2

10

221

Q činitel jakosti obvodu je R

LQ

0

84 Trojfaacutezovaacute soustava

Uf faacutezoveacute napětiacute

Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuw

US sdruženeacute napětiacute

fS UU 3

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

cos33 fff IUPP (W V A)

fff IUSS 33 (VA V A)

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

222

Použitaacute literatura

BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-

7333-043-1

Internetoveacute straacutenky (www)

BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt

httpwwwbrush-semczgt

Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-

cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt

Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt

Page 2: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu

2

3

Středniacute průmyslovaacute škola strojnickaacute a Středniacute odbornaacute škola prof Švejcara

Plzeň

ELEKTROTECHNIKA

Jitka Roubalovaacute

4

Anotace

Tato učebnice obsahuje zaacuteklady teoretickeacute elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti

studentů středniacutech průmyslovyacutech škol se strojiacuterenskyacutem zaměřeniacutem

Jsou zde vysvětleny fyzikaacutelniacute zaacuteklady elektrotechniky jejich souvislosti a jejich využitiacute při

řešeniacute praktickyacutech uacutekolů

Učebnice obsahuje vysvětleniacute elektrostatickeacuteho pole obvodů stejnosměrneacuteho proudu

magnetismu obvodů střiacutedaveacuteho proudu a trojfaacutezoveacute soustavy

Jednotliveacute kapitoly jsou doplněny řešenyacutemi přiacuteklady typickyacutemi pro danyacute okruh Přiacuteklady jsou

řešeny i s podrobnyacutem vyacutepočtem aby použiteacute vyacutepočetniacute postupy ukaacutezaly čtenaacuteři že vhodnyacutem

kraacuteceniacutem a praciacute s exponenty je možneacute vyacutepočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb

způsobenyacutech bdquokalkulačkovyacutemi překlepyldquo

Učebnice je rozdělena do pěti čaacutestiacute z nichž každaacute obsahuje uzavřenyacute teacutematickyacute celek

Jednotliveacute čaacutesti

- Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů a teorie elektrostatickeacuteho pole

- Stejnosměrnyacute proud a řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu

- Magnetickeacute pole a elektromagnetickaacute indukce

- Střiacutedavyacute proud a řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu

- Trojfaacutezovaacute soustava

5

Obsah

Anotace 3

Uacutevod 9

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10

12 Předpony jednotek 11

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12

21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12

3 Elektrostatickeacute pole 14

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18

35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21

361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22

37 Kondenzaacutetor 22

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28

310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31

3111 Dielektrika vedle sebe 31

3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37

4 Stejnosměrnyacute proud 38

41 Proudovaacute hustota 38

42 Intenzita proudoveacuteho pole 39

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39

431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47

6

46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83

5 Magnetickeacute pole 88

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89

53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92

534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111

58 Elektromagnetickaacute indukce 119

581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134

59 Energie magnetickeacuteho pole 135

7

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140

6 Střiacutedaveacute proudy 143

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152

651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160

661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162

663 Seacuteriovyacute LC obvod 164

664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168

668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183

68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187

7 Trojfaacutezovaacute soustava 190

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207

76 Točiveacute magnetickeacute pole 207

77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215

8

83 Magnetickeacute pole 217

84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221

Použitaacute literatura 222

9

Uacutevod

Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech

obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich

autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole

Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru

popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem

bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků

elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute

Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto

tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a

ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z

Maxwellovyacutech rovnic

Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a

jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti

aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute

aplikovaneacute elektrotechniky

10

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky

Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou

fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute

veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme

Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)

jednotka = sekunda

Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem

zaacutepisem

Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute

zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI

Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik

zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se

nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International

dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek

a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

Jednotka zkratka jednotky veličina

Metr m deacutelka

Kilogram k hmotnost

Sekunda s čas

Ampeacuter A elektrickyacute proud

Kelvin K teplota

Mol mol laacutetkoveacute množstviacute

Kandela cd sviacutetivost

b) Doplňkoveacute jednotky

doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu

steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu

c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI

vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute

vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami

Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute

vlastniacute naacutezev

11

Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)

protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute

naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev

Coulomb [C]

Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než

jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje

vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a

nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)

Dovoleneacute

Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s

Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg

Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m

3

Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)

Nedovoleneacute

Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm

Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W

12 Předpony jednotek

Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou

Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky

k kilo 103 m mili 10

-3

M mega 106 mikro 10

-6

G giga 109 n nano 10

-9

T terra 1012

p piko 10-12

Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10

-6 F = 0000005 F

Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute

d deka 10 d deci 10-1

h hekto 102 c centi 10

-2

12

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů

21 Elektronovaacute teorie

Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit

Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů

neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho

elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)

označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura

atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a

z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech

(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19

C

Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů

ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy

stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute

Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se

porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však

vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute

naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo

Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem

přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute

elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

22 Vodiče a izolanty

Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při

slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely

nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem

nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem

naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je

složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou

vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem

působeniacutem elektrickeacuteho pole

Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky

označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem

silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)

23 Zdroje elektrickeacute energie

Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu

energie

Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek

zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely

13

zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem

zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)

Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič

Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka

Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute

vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu

na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem

tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji

Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI

soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC

Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda

14

3 Elektrostatickeacute pole

Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky

nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole

Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem

kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek

Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem

elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute

polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute

naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů

Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se

navzaacutejem přitahujiacute

Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole

Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar

Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela

elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli

Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli

Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele

zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na

volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole

osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4

Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje

Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda

volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na

čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami

15

Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů

Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo

uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit

veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole

QEF ( 1 CNCN )

Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj

je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a

tohoto naacuteboje

Z toho

Q

FE ( CNCN 1 )

Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme

toto pole nehomogenniacute

Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto

polem homogenniacutem

Přiacuteklad 1

Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute

pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C

Řešeniacute

5110150010301050 363 QEF (N)

16

32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou

stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a

velikost

Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem

poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se

čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A

lFA ( mNJ )

Po dosazeniacute F=E Q dostaneme

lQElFA

Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak

praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U

Q

AU ( CJV )

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje

o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1

)

Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity

pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)

Protože Q

FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a

Q

AU vypočiacutetat

l

U

Q

l

QU

Q

l

A

Q

FE

( 1mV )

Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U

l

UE ( mVmV 1 )

Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute

(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely

17

Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel

Přiacuteklad 2

Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute

vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V

Řešeniacute

80001083

1024

103

24 33

3

l

UE ( 1mV )

33 Coulombův zaacutekon

Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou

se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a

zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich

vzdaacutelenosti

Obr 8 - Coulombův zaacutekon

Platiacute tedy

2

21

r

QQkonstF

kde konstanta maacute hodnotu

4

1konst

18

kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato

hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute

0 r

kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně

rovna 1

Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute

je

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

Přiacuteklad 3

Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost

1 mm

Řešeniacute

)(1032)101(

106021106021

1085484

1

4

1 22

23

1919

122

21

0

Nr

QQF

r

34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem

většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal

Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje

Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute

ekvipotenciaacutely

Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity

v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy

19

Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q

FE a platiacute Coulombův zaacutekon

2

21

04

1

r

QQF

r

1QQ a CQ 12

Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude

24 r

QE

kde 0 r

je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute

Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však

bude v každeacutem bodu do středu koule

Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem

součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji

Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole

35 Elektrickaacute indukce

Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem

stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest

tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se

elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute

Obr 11 - Elektrickaacute indukce

20

Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do

země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem

Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute

pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle

obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na

destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde

2

1

12 S

S

QQ

a) b)

Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj

Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

Přiacuteklad 4

Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el

naacutebojem 310-12

C

Řešeniacute

)(105974104

103

4)102(

103

4

214

6

12

23

12

2mC

r

Q

S

QD

Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D

Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše

neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity

elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash

čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce

Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute

24 r

Q

S

QD

a

24 r

QE

21

Tedy

ED

kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r

ED r 0

36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů

361 Polarizace dielektrika

Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče

vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem

elektrickyacute proud

U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se

vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se

nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)

Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky

nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu

čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely

9 a) 9 b)

Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)

Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole

polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu

vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute

pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než

původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)

9 a) 9 b)

Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)

22

362 Elektrickaacute pevnost dielektrika

Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a

nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita

elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu

je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu

- proud začne izolantem proteacutekat

Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů

se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů

Materiaacutel r Ep (kVmm)

vzduch 10006 2 až 3

mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30

parafiacuten 19 až 22 20 až 30

kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58

kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10

polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60

sliacuteda 6 až 7 40 až 80

sklo 35 až 4 20 až 50

porcelaacuten 55 až 65 20 až 45

37 Kondenzaacutetor

Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute

elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je

dielektrikum

Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje

opačnyacutech polarit

Obr 15 - Kondenzaacutetor

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute

napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute

naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute

Platiacute tedy

UkonstQ

23

Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C

UCQ

Jednotkou kapacity je farad (F) U

QC a tedy rozměr jednotky farad je (

V

C

U

QF )

Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF

Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je

Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru

Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika

Viacuteme že platiacute

S

QD ED r 0

l

UE

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

l

S

lE

SE

lE

SD

U

QC r

r

0

0

Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich

vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r

Přiacuteklad 5

Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr

elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm

a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V

Řešeniacute

UCQ

l

SC r 0 kde 322 1041020102 S (m

2)

)(4171)(014171

)(1014171601088541010

1044108854

9-

12-12-

3

312-

0

nFF

Fl

SC r

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)

24

381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

1a) 1b)

Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U

Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je

321 QQQQ

Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ

Po dosazeniacute

)( 321321 CCCUCUCUCUQ

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute

CUQ

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

)( 321 CCCUCU

321 CCCC

Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit

jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

25

1a) 1b)

Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute

jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy

všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

QQQQ 321

Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

321 UUUU

Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

1

1C

QU

2

2C

QU

3

3C

QU

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz

)111

(321321

321CCC

QC

Q

C

Q

C

QUUUU

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute

C

QU

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

321

1111

CCCC

Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute

součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 6

Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do

seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute

26

Řešeniacute

CCCCCCvyacutesl

411111 250

4

1

4

CCvyacutesl F

Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute

kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn

Přiacuteklad 7

Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a

kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=

200 nF

Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Řešeniacute

Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem

C45

5454

111

CCC z toho 100

200200

200200

54

5454

CC

CCC (nF) = 01F

Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20

Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat

vyacuteslednou kapacitu C

82102150154321 CCCCC F

Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj

66 10267241082 UCQ C

27

Přiacuteklad 8

Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme

libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby

byl splněn danyacute požadavek

Řešeniacute

Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že

spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita

takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že

potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21

Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 9

Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme

kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na

propojenyacutech kondenzaacutetorech

Řešeniacute

Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je

66

111 109610424 CUQ (C)

Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je

66

222 102410212 CUQ (C)

Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj

666

21 1012010241096 QQQ (C)

Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je

62421 CCC (F)

Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je

20106

101206

6

C

QU (V)

28

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute

hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od

okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi

piacutesmeny

V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U

nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje

určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt

0

V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute

děj na kondenzaacutetoru

Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC

Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)

neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute

t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R

U

R

ui R 0

Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute

maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute

se zpomaluje

Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud

přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0

Průběh proudu a napětiacute je na obr 23

29

Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru

Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je

daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute

konstanty

t

c eUu 10

kde

CR

310 Energie elektrostatickeacuteho pole

Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U

C

QU

Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA

Platiacute Q

AU A = U Q tedy dA bude

dQC

QdQUdA

Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech

diacutelčiacutech praciacute dA

Q

C dQC

QdAW

0

tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je

C

QWC

2

2

Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC nebo takeacute UQWC

2

1

Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho

kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se

na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou

energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24

30

Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute

lSElESElESDUQWC 2

2

1

2

1

2

1

2

1

Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich

vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie

nahromaděnaacute v jednotce objemu je

EDElS

lSE

V

Ww C

C

2

1

2

12

1

2

2

Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole

platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole

Přiacuteklad 10

Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na

kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru

Řešeniacute

Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu

12-12-

3

412-

1

01 10177082108854101

10201108854

l

SC r F

Naacuteboj na kondenzaacutetoru

-12-12

11 10212496101770812 CUQ C

Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek

12-12-

3

412-

2

02 10118053313331088541051

10201108854

l

SC r F

Napětiacute po posunutiacute desek

18101180533

1021249612-

-12

C

QU V

31

Přiacuteklad 11

Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na

napětiacute 230 V

Řešeniacute

1322500101322505290010522301052

1

2

1 66262 UCWC J

311 Složenaacute dielektrika

Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou

3111 Dielektrika vedle sebe

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 25

Obr 25 - Dielektrika vedle sebe

V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole

l

UEEE 21

Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to

ED r 011 a ED r 022

Naacuteboje Q1 a Q2 budou

111 SDQ a 222 SDQ

Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude

21 QQQ

Dosadiacuteme za Q1 a Q2

Ul

SU

l

SQ rr

2

202

1

101

32

Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o

kapacitaacutech 1

1011

l

SC r a

2

2022

l

SC r spojeneacute paralelně

Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou

dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute

3112 Dielektrika za sebou

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum

Obr 26 - Dielektrika za sebou

Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou

materiaacutelech je stejnaacute

S

QDDD 21

Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10

1

r

DE

a pro druheacute

20

2

r

DE

Celkoveacute napětiacute mezi deskami

U = U1 + U2

kde

1

10

111 lD

lEUr

a 2

20

222 lD

lEUr

Pak po dosazeniacute

)(20

2

10

12

20

1

10

2

20

1

10 rrrrrr S

l

S

lQl

S

Ql

S

Ql

Dl

DU

Protože platiacute l

SC r 10 je

110

1 1

CS

l

r

a 220

2 1

CS

l

r

33

Tedy )11

(21 CC

QU a protože C

QU1 pak

převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot

kapacit diacutelčiacutech dielektrik

21

111

CCC

Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory

Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je

10

1

r

DE

a

20

2

r

DE

Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je

1

2

20

10

2

1

r

r

r

r

D

D

E

E

Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech

diacutelčiacutech dielektrik

Lze tedy psaacutet 2

1

21 EE

r

r

a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme

1

2112221

1

222212

1

2221121 )(

r

rr

r

r

r

r llEllElElElElEUUU

Z toho

2112

12

ll

UE

rr

r

Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute

intenzita tohoto dielektrika Ep gt E

Přiacuteklad 12

Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem

tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech

dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute

Materiaacutel r Ep (kVmm)

1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40

2 sliacuteda 7 60

34

Řešeniacute

Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je

92307692141

2400

304207

4600

2112

12

ll

UE

rr

r

Vmm

161538592307694

72

1

21 EE

r

r

Vm

Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost

vyhovuje

312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem

Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva

středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je

24 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

24 r

QDE

Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je

35

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

21

12

04 rr

rrQU

r

Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

3122 Osamocenaacute koule

Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2

Pak kapacita osamoceno koule je

10

12

210 44lim

2

rrr

rrC rr

r

Elektrickaacute indukce na povrchu koule je

2

14 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je

2

100 4 r

QDE

rr

kde UrUCQ r 104

Po dosazeniacute za Q dostaneme

1

2

10

10

2

100 4

4

4 r

U

r

Ur

r

QDE

r

r

rr

Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi

maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute

pevnosti izolantu

36

3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je

lr

Q

S

QD

2

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

lr

QDE

2

Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

1

2

0

ln2 r

r

lr

QU

r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

Přiacuteklad 13

Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je

kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)

37

Řešeniacute

12-12--12

1

2

0 101038136105log32

166894

50

52log32

131088542

log32

2

r

r

lC r F

C = 1038 pF

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi

V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody

odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho

zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země

Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj

dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj

kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba

oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu

uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost

natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu

izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije

Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute

naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo

vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje

elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter

vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute

nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech

měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů

Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů

Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje

uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a

uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič

Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute

omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje

zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem

Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje

Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech

mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute

elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry

Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute

objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena

k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute

38

4 Stejnosměrnyacute proud

Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne

vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I

Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho

naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad

akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)

Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U

Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu

elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute

ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb

Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute

elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče

41 Proudovaacute hustota

Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se

nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru

Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute

Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem

bude průřez vodiče většiacute

V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute

proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se

na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu

Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

39

42 Intenzita proudoveacuteho pole

Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno

l

UE )( 1 mAmV

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon

Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem

většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je

přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute

Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty

obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme

že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor

Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče

Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu

zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute

Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute

Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem

jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute

měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme

napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru

Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako

UkonstI

kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy

UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1

)

Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G

40

GR

1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA

-1)

Pak lze psaacutet

R

UI

Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I

Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon

Rezistory

Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute

odpor R

Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru

Přiacuteklad 14

Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A

Řešeniacute

46050

230

I

UR ()

431 Velikost elektrickeacuteho odporu

Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho

je vodič vyroben

Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu

vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute

i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče

Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu

vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute

Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely

Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

kde l je deacutelka vodiče

S je průřez vodiče

je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je

to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2

při teplotě 20oC

41

Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Rezistivita některyacutech materiaacutelů

Materiaacutel mm2m

-1

Měď 00178

Hliniacutek 00285

Střiacutebro 00163

Ocel 013

Konstantan 05

Chromnikl 11

Cekas 11

Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory

Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely

pro vyacuterobu vodičů

Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu

rezistorů

Přiacuteklad 15

Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m

Řešeniacute

S

lR () kde 0785)50( 22 rS mm

2

430785

15000178

S

lR ()

Přiacuteklad 16

Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3

Řešeniacute

S

lR () z toho plyne

SRl

143)1( 22 rS mm2

52901780

1433

SRl (m)

432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě

S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute

elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky

s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste

42

Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při

zahřaacutetiacute vodiče o 1o

C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se

nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -

(1oK)

Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek

odporu R = R2 - R1 miacutet velikost

1RR

Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude

1112 RRRRR

Tedy

)1(12 RR

Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely

Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu

(K-1

)

Měď 00042

Hliniacutek 0004

Střiacutebro 0004

Ocel 0006

Konstantan 210-6

Chromnikl 2510-4

Cekas 710-5

Přiacuteklad 17

Měděnyacute vodič o teplotě 20o

C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A

Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C

Řešeniacute

Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1

2120

241

I

UR ()

Přiacuterůstek teploty je

)(40206012 Co

Odpor při teplotě 60o C

)(40161)40004201(21)1(12 RR

43

Přiacuteklad 18

Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o

C do +40o C

Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě

Řešeniacute

Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co

Odpor při -25o

C R1

Odpor při -25o

C 1112 2731)65004201()1( RRRR

Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu

Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče

je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q

UQA (J V C)

Protože proud je t

QI lze dosadit

tIUUQA (J V A s)

Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty

elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem

a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute

Protože platiacute Ohmův zaacutekon R

UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah

tR

Ut

R

UUtIUA

2

nebo tIRtIRItIUA 2

Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A

V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute

praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute

v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)

Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo

Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P

IUt

tIU

t

AP

(W V A)

Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1

)

Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon

44

2IRIIRIUP nebo R

U

R

UUIUP

2

Přiacuteklad 19

Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut

Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(6450

230A

R

UI

Vyacutekon )(105864230 WIUP

Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s

Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW

Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně

použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt

hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)

Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute

energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy

ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi

vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ

Platiacute

ZWWW 12

Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost

1

2

W

W a je to vždy čiacuteslo 1

Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 W

W )( JJ

Protože přiacutekon je t

WP 1

1 a vyacutekon je t

WP 2

2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost

1001001001

2

1

2

1

2

P

P

tP

tP

W

W )( WW

45

Přiacuteklad 20

Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po

dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě

v konvici

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(831120

220A

R

UI

Přiacutekon )(34038312201 WIUP

Vyacutekon )(323100

803403 12 WPP

45 Kirchhoffovy zaacutekony

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem

nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit

pomociacute Ohmova zaacutekona

Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost

odporu zaacutetěže R pak proud I

I

UR

Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je

na obr 34

Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

46

Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly

Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu

Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu

Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy

zaacutekony

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje

Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve

vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i

elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud

Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect

54321 IIIII

Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute

lze psaacutet

01

n

k

kI

Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule

Přiacuteklad 21

Obr 36 - Proudy v uzlu

Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li

proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A

Řešeniacute

01

n

k

kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A

47

452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen

uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute

To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule

01

n

k

kU

Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute

+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem

orientace smyčky

- hellip orientace napětiacute je proti směru

orientace smyčky

Tedy U1 + U2 ndash U = 0

Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech

odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce

Přiacuteklad 22

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =

6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38

Obr 38 - Napětiacute ve smyčce

Řešeniacute

Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU

021 ab UUIRIR

0643020 II

250 I

040I A

800402011 IRU V 210403022 IRU V

48

46 Spojovaacuteniacute rezistorů

Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 39

Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

021 UUU

Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

I

URR

URRI

URIRI

21

21

21

)(

0

Vyacuteraz I

Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie

aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je

rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie

21 RRRV

Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz

niV RRRRR 21

Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů

jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie

49

462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 41

Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

21 III

Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle

Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

)11

(2121

21RR

UR

U

R

UIII

21

11

RRU

I kde

VRU

I 1

Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute

21

111

RRRV

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme

vyacuteraz

niV RRRRR

1

1

111

21

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

50

Přiacuteklad 23

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =

12 V Obvod je zapojen podle obr 43

Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

0240500

12

Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je

42024010011 IRU V 69024040022 IRU V

Přiacuteklad 24

Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li

napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44

Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech

odporů

14577

400

400

7

400

214

200

1

400

1

100

11111

321

V

V

R

RRRR

51

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

8531457

220

Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V

Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR

UI 22

100

220

1

1

AR

UI 550

400

220

2

2 AR

UI 11

200

220

3

3

Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit

321 IIII

AI 853 AIII 8531155022321

což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů

Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně

řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu

odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme

celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů

určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a

napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu

Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 25

Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy

ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45

Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25

52

Řešeniacute

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor

2132

111

RRR

tedy odpor 32

3232

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema

Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor

R123 = R1 + R23

Naacutehradniacute obvod pak je

Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů

Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321

1R

UI

Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na

jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu

Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11

53

Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy

Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem

Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1

Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB

2

2R

UI AB

Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III

Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute

Přiacuteklad 26

Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49

Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26

Řešeniacute

Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor

5445

111

RRR

tedy odpor 54

5445

RR

RRR

1

54

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute

Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit

R345= R3 + R45

Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema

Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute

Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je

daacutena vztahem

3452

34522345

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod

Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute

55

Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro

tento obvod je

R12345= R1 + R2345

což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

12345

1R

U

R

UI

C

Napětiacute U1 na rezistoru R1

111 IRU

Napětiacute UAC mezi uzly A a C je

12345 IRU AC

Vypočteme proudy I2 a I3

2

2R

UI AC

345

3R

UI AC

Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3

333 IRU

Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C

54 UUUBC

345 IRUBC

Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5

4

4R

UI BC

5

5R

UI BC

Obvod je kompletně vyřešen

Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve

smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů

56

Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů

Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona

0321 III

Pro uzel B musiacute platit

0543 III

Pro uzel C

01542 IIII

Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona

021 UUU

Pro smyčku y platiacute

0243 UUU

Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků

472 Transfigurace

V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou

zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit

postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech

přiacutekladech

Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute

57

Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)

a) b)

Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy

Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka

rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute

jako působeniacute trojuacutehelniacuteka

Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56

Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu

Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech

přiacutekladech

Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi

stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute

233112

23311212

)(

RRR

RRRRCelk

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute

201012 RRRCelk

Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute

2010

233112

233112 )(RR

RRR

RRR

Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1

58

3020

233112

311223 )(RR

RRR

RRR

3010

233112

231231 )(RR

RRR

RRR

Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro

adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro

adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Přiacuteklad 27

Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li

napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30

R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57

Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27

Řešeniacute

Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a

daacutele zjednodušujeme podle obr 58

59

1 2

3 4 5

Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu

Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc

6100

600

503020

3020

321

21

RRR

RRRa

15100

1500

503020

5030

321

32

RRR

RRRb

10100

1000

503020

5020

321

31

RRR

RRRc

Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

50401044 RRR cc

Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

75601555 RRR bb

Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je

307550

7550

54

5454

bc

bcbc

RR

RRR

Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

3630654 bcacelk RRR

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je

16706

1

36

6

celkR

UI A

60

Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je

56

1305454 IRU bcbc V

Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je

0667015

1

75

5

5

545

b

bcb

R

UI A

Napětiacute rezistoru R5 je

415

160555 bIRU V

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu

Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do

elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii

Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute

U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho

svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0

481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute

Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute

poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se

vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek

nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem

napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno

= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy

nulovyacute)

Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult

U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se

zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje

Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute

61

Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj

Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I

RR

UI

i 0

Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je

iRIUU 0

Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika

zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost

Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je

malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem

odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute

vnitřniacute odpor Ri

Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik

Obr 62 - Proud nakraacutetko

62

U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně

zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů

měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute

Přiacuteklad 28

Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru

proudu 02 A je 58 V

Řešeniacute

Proud nakraacutetko bude

i

kR

UI 0

Svorkoveacute napětiacute U je

iRIUU 0

iR 20685

Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri

120

856

iR

Proud nakraacutetko tedy je

61

60 i

kR

UI A

482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute

podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje

Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute

vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech

zdrojů

Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU

Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR

Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU

Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem

napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute

010 UnU 1UnU 1ii RnR

63

Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho

hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by

hrozilo poškozeniacute zdroje

a) b)

Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně

Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů

Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je

jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se

všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat

z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů

Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute

napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly

vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit

02010 UUU a 21 iii RRR

Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute

21 zZz III

Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute

1zz InI nUUUU 002010 n

RR i

i1

Přiacuteklad 29

Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15

V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A

Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A

Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje

64

Řešeniacute

Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud

01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64

Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů

Celkovyacute vnitřniacute odpor bude

32

23

2

3 1

iiacute

RR

Proud nakraacutetko bude

513

5133 01

i

kR

UI A

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi

Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory

využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny

rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty

491 Dělič napětiacute

Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute

65

a) b)

Obr 65 - Dělič napětiacute

Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

21 RR

UI

tedy U

RR

RR

RR

URIU

21

22

21

22

Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2

platit

z

z

RR

RRR

UI

2

21

a po dosazeniacute

URRRRRR

RR

RR

RR

RR

RRR

U

RR

RRIU

zz

z

z

z

z

zz

z

2121

2

2

2

2

21

2

22

Přiacuteklad 30

Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66

Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič

napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o

odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V

Řešeniacute

Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem

R1 + R2 = 1000

tedy R1 = 1000 ndash R2

66

a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

241000

2

21

22

RU

RR

RU

b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute

24500500)1000()1000(

500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

c)

2415001500)1000()1000(

1500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho

napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič

Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory

492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru

k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek

Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem

67

Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute

bbAA RIRI a tedy A

b

b

A

R

R

I

I

Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to

v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku

Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute

tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku

A

b

Am

A

R

R

II

I

A

b

AA

A

R

R

IIn

I

)1(

n

RR A

b

Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash

viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor

Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem

Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory

předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na

předřadneacutem odporu a na voltmetru

pVm UUU p

V

p

V

R

R

U

U

Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy

Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu

)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p

V

V

V

R

R

nU

U

)1(

Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp

Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet

Přiacuteklad 31

Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo

možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA

68

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 2010

200n kraacutet

Odpor bočniacuteku bude 581)120(

30

)1(

n

RR A

b

Přiacuteklad 32

Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak

aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 5120

600n kraacutet

Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp

493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu

V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute

měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute

zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu

Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou

Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA

naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je

omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV

Velikost odporu RX je

iV

VA

V

VA

V

x

xx

R

UI

U

II

U

I

UR

Přiacuteklad 33

69

Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud

ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70

Řešeniacute 95201680

16

003200200

16

5000

16020

16

iV

VA

Vx

R

UI

UR

494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně

širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem

)1(12 RR

kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty

Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute

teploty

Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty

odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2

)1(12 RR 11

2

R

R

11

2

R

R

1

12

R

RR

Měřenaacute teplota je tedy

1

12112

R

RR

Přiacuteklad 34

Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu

je-li

hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o

velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je

20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71

Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty

Řešeniacute

Odpor při 20o C je R1 = 200

Odpor při o C je R2

70

27020

5400

20

1045

1020

1020306 3

3

3

2

A

AA

I

IRUR

Měřenaacute teplota je tedy

510780

7020

104200

20027020

3

1

1212

R

RR o C

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech

Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly

v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly

lineaacuterniacute obvody

V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale

vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute

Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku

Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na

nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a

odpor je tedy vyššiacute

Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a

pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika

nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

a) b)

Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech

obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute

zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku

Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme

pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je

daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute

charakteristikou zdroje

71

Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu

Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen

nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici

a) b) c)

Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu

c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA

charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem

prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto

hodnoty odečteme z grafu

Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu

Přiacuteklad 35

Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je

napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute

podle obr 76 a)

a) b)

72

Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku

Řešeniacute

Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute

že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash

je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho

a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme

Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou

proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek

křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem

z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP

VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body

U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A

Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35

Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je

Ip = 27 mA

Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom

dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho

proudu s VA charakteristikou rezistoru R1

Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož

vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku

hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN

Přiacuteklad 36

Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka

paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi

hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka

U (V) 1 2 3 4 5 6

73

I (A) 01 0165 022 025 028 03

Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32

Řešeniacute

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky

rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute

charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute

charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky

Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1

Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020

60 iR

UIk A

Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36

Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a

proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je

rovno 188 V

74

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji

Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech

zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute

zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na

uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet

tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute

Ohmova zaacutekona

Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech

rezistorů

Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že

jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet

všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než

byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu

Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute

že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou

orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti

směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80

Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3

Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech

Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci

zvolenyacutech smyček x a y

Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)

321 III (1)

75

Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

01221 UUUU RR (2)

Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

0232 UUU RR (3)

Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho

platiacute

111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)

Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod

Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)

0122211 UURIRI (2a)

023322 URIRI (3a)

Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)

0)( 232122 URIIRI (3b)

Upraviacuteme (3b)

02323122 URIRIRI

0)( 231322 URIRRI

32

3122

RR

RIUI

(3c)

a dosadiacuteme do rovnice (2a)

0122

32

31211

UUR

RR

RIURI (2b)

Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1

0122

32

312

32

211

UUR

RR

RIR

RR

URI

23321

323211

233121

3121322222

32

231

122

32

2

1

122

32

2

32

23111

)(

)(

RRRRR

RURRUI

RRRRRR

RURURURURU

RR

RRR

UURRR

U

I

UURRR

U

RR

RRIRI

Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2

76

I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3

Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a

(6)

Tiacutem je obvod kompletně vyřešen

Přiacuteklad 37

V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

100

Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37

Řešeniacute

Pro uzel A platiacute

321 III

Pro smyčku x platiacute

01122 RR UUUU

Pro smyčku y platiacute

0232 RR UUU

Dosadiacuteme do rovnic

02001010020 12 II 32010 12 II

010010020 23 II 21010 23 II

Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3

20

103 21

II

a

10

102 23

II

Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A

10

102

20

103 22

2 II

I

20

222 20420103 III

77

2507 I

14050

72 I A

Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3

08020

140103

20

103 21

II A

06010

140102

10

102 2

3

I

I A

Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče

v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

16200080111 RIUR V

14100140222 RIUR V

6100-006333 RIUR V

4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů

Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se

postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute

Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute

veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II

Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a

to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy

orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček

Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj

smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou

smyčkovyacutech proudů

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82

Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů

78

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib

Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona

Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba

Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb

Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme

011222 RIUURIRI aba

02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb

32

22

RR

RIUI a

b

01122

32

222

RIUUR

RR

RIURI a

aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute

Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia

01122

32

2

32

222

RIUUR

RR

RI

RR

RURI a

aa

21

32

2212

32

22 UU

RR

RURIR

RR

RIRI a

aa

312132

323121

3121223222

3222312122

1

32

222

21

32

22

RRRRRR

RURURU

RRRRRRRRRR

RURURURURU

RRR

RRR

UURR

RU

Ia

Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32

22

RR

RIUI a

b

a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se

smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

ab III 2

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute

Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

Přiacuteklad 38

79

Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

300 R4 = 200

a) b)

Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 83 b) kde R34 je

1205

600

200300

200300

43

4334

RR

RRR

Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky

a 0)( 1122 RIUURII aba

02001020100)( aba III

b 0)( 2234 RIIURI abb

0100)(20120 abb III

Upraviacuteme a dosadiacuteme

a 02001020100100 aba III 100

10300 a

b

II

b 0100)100

10300(20120

100

10300

a

aa III

Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme

0100103002012360 aaa III

02560 aI

0003571560

2aI A

Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali

Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib

80

0089286100

103000003571-

100

10300

a

b

II A

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je

shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu

smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

0092857)0035710(00892862 ab III A

Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou

10714291200089286343443 RIUU RR V

Proudy rezistory R3 a R4 jsou

0035714300

10714293 I A 0053571

200

10714294 I A

Napětiacute na rezistorech R1 a R2

07142862000003571111 RIUR V

928571000092857222 RIUR V

Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a

napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

020-10)(-0714286-92857

020-107142992857

0089286)(-00035710092857

Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku

Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute

pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by

bylo matematicky obtiacutežneacute

4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute

Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž

je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu

označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute

Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz

jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash

neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a

z nich pak proudy ve větviacutech obvodu

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84

81

Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R

je UA

Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute

321 III

Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a

dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice

32

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

21312321 )()( RRURRUURRUU AAA

21313123221 RRURRURRURRURRU AAA

31322131221 RRURRURRURRURRU AAA

313221

312321

RRRRRR

RRURRUU A

Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

1

11

R

UUI A

2

22

R

UUI A

3

3R

UI A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Přiacuteklad 39

Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30

R4 = 90

82

a) b)

Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 85 b) kde R34 je

12090304334 RRR

Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A

321 III

342

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

120100

20

200

10 AAA UUU

AAA UUU 10)20(12)10(6

AAA UUU 1012240660

107142928

300AU V

Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

-000357200

107142910

200

101

AU

I A

Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru

než byl původniacute předpoklad

928571400100

107142920

100

202

AU

I A

0089286120

1071429

1203 AU

I A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech

83

-071429200-000357111 RIUR V

9285714100928571400222 RIUR V

2678571300089286333 RIUR V

V 8035714900089286434 RIUR

4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice

Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl

připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze

tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86

Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj

jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho

obvodu

a) b)

Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice

84

Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky

je na obr 87 a)

32

3223

RR

RRR

R123 = R1 + R23

123

1

1R

UI

11

1 IRUR

11

RAB UUU

2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na

obr 87 b)

31

3113

RR

RRR

R123 = R2 + R13

123

2

1R

UI

11

1 IRUR

12

RAB UUU

1

1R

UI AB a

3

3

R

UI AB

Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje

Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute

1

11 III

2

22 III

3

33 III

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR

Přiacuteklad 40

Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

110 R4 = 130 R5= 240

1

85

Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34

2401301104334 RRR

Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345

120240240

240240

345

345345

RR

RRR

Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)

a) b) c)

Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)

5454545120100

120100

3452

34522345

RR

RRR

R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545

0039286 25454545

10

12345

1

1 R

UI A

78571430039286200

11

1 IRUR V

2142857785714310

11

RAB UUU V

86

214285700100

2142857

2

2 R

UI AB A

0017857120

2142857

345

345 R

UI AB A

Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)

75120200

120200

3451

34511345

RR

RRR

R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175

0114286 175

20

12345

2

2 R

UI A

1142860114286100

22

2 IRUR V

857142942861120

12

RAB UUU V

0042857200

8571429

1

1 R

UI AB A

0071429120

8571429

345

345 R

UI AB A

Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou

-0003570042857-0039286

1

11 III A

00928572142857000114286

2

22 III A

0089286

345

345345 III A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

-071429200-000357111 RIUR V

928571009285700222 RIUR V

107143212000892863453345 RIUU RAB V

10714325 ABR UU V

0044643240

1071432

5

55

R

UI A

1

1

87

0044643240

1071432

34

43 R

UII AB A

4910731100044643333 RIUR V

5803591300044643334 RIUR V

88

5 Magnetickeacute pole

Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute

magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud

Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda

Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute

předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute

magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute

zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje

vždy k severu

Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety

Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute

elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje

Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute

silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole

Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute

magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka

Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute

směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute

čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje

orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech

čaraacutech

Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar

Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -

označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)

a) b)

Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)

Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute

Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute

89

Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu

a) b) c)

Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely

c) podkovoviteacuteho magnetu

Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute

působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem

Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme

silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a

jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

521 Magnetickeacute pole vodiče

V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech

kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute

takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute

čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute

V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve

středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93

Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči

90

Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem

Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen

na obr 94

Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo

pravotočiveacuteho šroubu

Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute

vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole

Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu

Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve

směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar

91

53 Veličiny magnetickeacuteho pole

531 Magnetickyacute tok

Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem

Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem

poli Popisuje tedy pole jako celek

Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)

532 Magnetickaacute indukce

Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho

toku na jednotku plochy

SB

Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem

magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě

Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce

Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I

tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1

Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To

se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash

viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute

nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do

zeslabeneacuteho pole

a) b)

Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute

v magnetickeacutem poli

lIkonstF

Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a

označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)

lIBF (N T A m)

92

Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem

Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole

lI

FB

(T NA

-1m

-1)

Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole

Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem

jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity

magnetickeacuteho pole

Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel

pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude

sin lIBF viz obr 98

Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute

Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute

se podiacutelejiacute na jeho vzniku

Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)

Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je

magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo

93

Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute

magnetomotorickeacute napětiacute je tedy

Fm = I

Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho

magnetickeacuteho pole je

Fm = I1 - I2 + I3

Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute

danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute

n

i

im IF1

a) b)

Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)

Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet

všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro

tuto indukčniacute čaacuteru

n

i

mim UF1

Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute

Fm = Um1 + Um2 + Um3

534 Intenzita magnetickeacuteho pole

Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute

indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je

l

UH m (Am

-1 A m)

kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um

Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke

křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery

94

Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole

r

I

l

UH m

2

Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy

tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu

vodiče na rovině indukčniacute čaacutery

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi

intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute

Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem

magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem

bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce

indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole

vybudilo

Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B

Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu

souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah

přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB

Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme

v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a

nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute

HB

Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) (H) je jednotka henry ndash jejiacute

rozměr vysvětliacuteme později

Pro ostatniacute materiaacutely platiacute

HB r 0

kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než

vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1

95

Přiacuteklad 41

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud

8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče

5127323954104

1012

8

2

3

3

r

IH (Am)

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

115749051011

40

10112

8

2

2

3

r

IH (Am)

Přiacuteklad 42

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr

101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A

Obr 101 - Svazek vodičů

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku

2815720321 IIIFm A

6366198200

102

1022

8

2

2

2

r

FH m (Am)

Přiacuteklad 43

Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr

102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A

Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli

96

Řešeniacute

Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je

81201560 lIBF N

Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat

do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo

Přiacuteklad 44

Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad

Řešeniacute

0180)15020(60 SB Wb

Přiacuteklad 45

Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T

I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch

Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů

Řešeniacute

HB r 0 0= 410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

r

FH m

2 a

n

i

im IF1

Z toho plyne

r

m

BrHrF

0

22

150102

21015

104

00202 43

7

rFm A

321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A

97

54 Hopkinsonův zaacutekon

Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem

indukčniacutem tokem

Viacuteme že S

B

z toho SB

Protože platiacute HB a l

UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem

mm U

l

SS

l

USHSB

Vyacuteraz mUl

S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je

henry (H)

mm Ul

SG (H)

Platiacute tedy

mm UG

Rozměr jednotky henry

m

mU

G

)()()(2

A

mT

A

WbH

Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm

m

mG

R1

tedy S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku

Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek

Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti

magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku

Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy

deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu

S

lRm

1 kde r 0

Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je

hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny

pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho

magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu

98

Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin

Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute

Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute

Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute

pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny

Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky

poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r

551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů

Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole

Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů

po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin

elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky

se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute

U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute

uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře

materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy

sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4

m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem

magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a

tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu

vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho

pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel

vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost

že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je

zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě

magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika

Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika

99

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace

Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce

strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho

přiacuterůstku magnetickeacute indukce

Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato

čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity

magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při

navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi

body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute

charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute

Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů

Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho

pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť

Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje

tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute

intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou

magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a

značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat

v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity

magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute

hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute

intenzita (koercitivita)

Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom

nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při

snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem

magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba

opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev

popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka

Obr 105 - Hysterezniacute smyčka

100

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety

Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar

hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho

materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na

vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu

Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute

Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute

intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u

takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely

použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj

magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu

wolframu a molybdenu

Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou

koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute

tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech

střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet

Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem

a) b)

Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute

101

Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu

stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel

zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute

odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute

snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne

k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute

s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)

a) b)

Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka

Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am

102

Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu

Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg

103

Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik

104

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute

Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud

kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery l

IH přiacutepadně

l

FH m kde

n

i

im IF1

tedy součet všech proudů ktereacute se

podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole

Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův

zaacutekon

Biot-Savartův zaacutekon

Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon

Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l

je

sin4 2

r

lIH

kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A

Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky

kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov

561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče

Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute

tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu

průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude

stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem

pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)

Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x

IH

2

kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče

Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy

hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r

IH r

2

Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b

IHb

2

105

a) b)

Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)

Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera

Proudovaacute hustota J ve vodiči je

2r

I

S

IJ

Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia

2

22

2 r

aIa

r

ISJI aa

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy

2

2

2

222 r

aI

a

r

aI

a

IH

Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od

středu vodiče je přiacutemkovyacute

Přiacuteklad 46

Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti

15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A

Řešeniacute

Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je

509316000

1052

160

2 3max

r

IH Am

Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je

1273104

40

10160

10)155(2

160

2

33

35

x

IH Am

106

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

a) b)

Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar

nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve

středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit

sin4 2

r

lIH

Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute

24 r

lIH

Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce

zaacutevitu

r

Ir

r

Il

r

I

r

lIH

rr

22

444 2

2

02

2

02

Tedy r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute

2

Dl a

212

DDD

kde D je středniacute průměr ciacutevky 2

12 DDD

Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

107

Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se

podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu

ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr

Přiacuteklad 47

Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A

aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am

Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr a

2

12 DDD

1052

110100

2

12

DD

D mm a 5522

105

2

Dr mm

Počet zaacutevitů v ciacutevce je

5522

10001055222 3

I

HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů

564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute

podmiacutenka lD

Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka

108

Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119

Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem

Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje

severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom

konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)

Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute

magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu

lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je

l

IN

l

UH m

Přiacuteklad 48

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky

kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute

permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

250010505001010

505002

l

INH Am

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde

025132708010800000250080104 -7-7

0 HB r T

a

109

662232 10176714610)2

15()10

2

15( rS m

2

46 10444132201017671460251327 SB Wb

565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o

kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech

kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute

Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole

Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude

intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r

kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute

než d

Magnetickeacute napětiacute Um je

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je

r

IN

l

UH m

2

Přiacuteklad 49

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400

zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro

vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole je

10185923200

10

320

2

10102

80400

22

2

D

INH Am

110

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme

z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1

Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu

662232 107853982105)102

10( rS m

2

46 101115265107853982421 SB Wb

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok

Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly

tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem

dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje

a) b)

Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami

111

Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem

menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto

větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute

větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze

daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je

mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku

kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok

Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že

součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech

toků z uzlu vystupujiacuteciacutech

01

n

k

k

Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute

magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute

n

k

mkm UF1

Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon

m

m

R

U

kde

S

lRm

1 (H

-1) r 0

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem

Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu

Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem

průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se

uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej

v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat

Přiacuteklad 50

Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku

z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4

Wb D = 80 mm

d = 20 mm

Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro

112

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je

SB

kde 662232 101431010)10

2

20( rS m

2

127314

400

10143

1046

4

SB T

Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro

materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute je

31415938025110801250 3 DHlHFm A

Budiacuteciacute proud bude

1570796200

3141593

N

FI m A

Přiacuteklad 51

Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute

permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu

Řešeniacute

Z Hopkinsonova zaacutekona m

m

R

U je

m

m

UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm

44

4107854

4

102314

104

2314

mm

FR H

-1

Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu

S

lRm

1

kde 00010161250

271

H

B (Hm

-1)

633

6

3

100787143

1080

1016

101

10143

1080

0001016

11

S

lRm H

-1

Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem

zaokrouhlovaacuteniacute

Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu

HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7

Hm-1

113

58081008085071250 4

10101270

1250 10 4

271 33

7-

0

H

Br

Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou

Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute

v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2

Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou

Magnetickaacute indukce je S

B

je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute

Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r

BH

0

Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita

feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než

intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu

00

BBH

r

gtgt rFe

Fe

BH

0

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

0

BHUm

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

lB

lHUr

FemFe 0

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

mFemm UUF

Po dosazeniacute

0

BUUF mFemm l

B

r

0

114

Přiacuteklad 52

Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se

vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve

vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet

hodnotu maximaacutelně 08 A

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

100954934

1012

104

21

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

1435395105110095493 36 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

A2997929)5180(21

)10511080(1200)(1200 33

DlHU FemFe

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

173518829979291435395 mFemm UUF A

Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka

2169216898508

1735188

I

FN m zaacutevitů

Přiacuteklad 53

Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500

zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je

vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg

115

Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

1201803009020060500221121 ININFFF mmm A

Intenzita magnetickeacuteho pole

375032

120

l

FH m Am

Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra

B = 12 T

Celkovyacute magnetickyacute tok je

34 10081103321)030030(21 SB Wb

Přiacuteklad 54

Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby

magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro

elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu

Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54

116

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

3182)9070(2 l mm

Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

10127324104

104

61

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

336 10254647910210127324 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

1113103183500 3 lHU FemFe A

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

36595525461113 mFemm UUF A

Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a

provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů

Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak

73195

36595

I

FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a

budiacuteciacute proud bude 4574375800

36595

N

FI m

b A

Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je

znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např

pro dvě čaacutesti obvodu

21 mm

m

RR

U

ndash Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a

proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena

magnetizačniacute křivkou

Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce

)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak

možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm

117

Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a

pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm

Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2

tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm

Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf

Obr 127 - Funkce )( mFf

Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute

naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute

napětiacute z grafu funkce )( mFf

Přiacuteklad 55

Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech

materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle

obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů

Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

118

Řešeniacute

Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu

75051500 INFm A

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je

18090452 plechyl mm

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je

14090252 litinal mm

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm1

Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute

pro oba materiaacutely

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0555556109

1054

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

200 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

3723363610140240010180200 33

1

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm2

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0777778109

1074

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

400 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

8147427210140530010180400 33

2

Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4

Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4

Wb sestrojiacuteme

v Excelu graf funkce )( mFf

119

Fm (A) 372 814

Wb 00005 00007

Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb

58 Elektromagnetickaacute indukce

581 Indukčniacute zaacutekon

Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute

pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy

Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat

elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud

Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem

Indukčniacute zaacutekon

Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje

elektrickeacute napětiacute u

dt

du

kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku

dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d

120

Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon

Pozn

Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu

veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit

Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i

Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud

Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem

ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)

Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem

ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie

Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute

opačnou polaritu u = -e

Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash

viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute

dt

dNu

(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)

Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce

121

Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok

zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li

tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute

Přiacuteklad 56

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky

homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T

a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute

napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)

Řešeniacute

Magnetickyacute tok je

SB

Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0

Po 05 s bude tok

44 106110208 SB Wb

Změna magnetickeacuteho toku bude

44

01 106101061 d Wb

Změna času bude

050dt s

Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to

4801048001032150050

1061150 44

4

dt

dNu V

V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute

je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute

indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute

Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133

Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56

122

582 Pohyboveacute napětiacute

Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute

Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na

jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič

vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto

smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho

toku se neměniacute

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz

obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute

Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute

Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt

du

Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy

zmenšiacute o hodnotu

ltvBlsBSB

Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude

vlBt

ltvB

dt

du

)(

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok

smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity

vlBt

ltvB

dt

du

Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče

elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute

Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem

Lenzův zaacutekon

Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem

polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou

123

Obr 135 - Lenzův zaacutekon

Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute

pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr

proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo

Přiacuteklad 57

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o

magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do

magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor

rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0

o a c) 60

o

Řešeniacute

a) Při uacutehlu 90 o

bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to

180503021 vlBu V

b) Při uacutehlu 0

o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru

indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je

nulovaacute

u = 0

c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka

rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami

rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti

rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem

čaraacutem

250505060cos50 0 kolmaacutev ms

Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky

124

Indukovaneacute napětiacute pak bude

0902503021 kolmaacutevlBu V

583 Vlastniacute indukčnost

Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute

magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude

indukovat napětiacute

dt

dNu

Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky

Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m

m

R

U kde INUm a tedy po dosazeniacute

mR

IN

můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu

za čas dt

mR

diNd

V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute

dt

R

diN

u m

Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute

dt

di

R

N

dt

R

diN

Ndt

dNu

m

m

2

Vyacuteraz mR

N 2

byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet

125

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

mR

NL

2

Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je

di

dtuL

1

)(

)()()(

AsV

A

sVH

Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita

materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky

Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute

nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu

Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute

hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se

v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se

nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

Přiacuteklad 58

Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů

vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm

Řešeniacute

Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka

Indukčnost ciacutevky je

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm

a S = r2 = 52

=7853982 mm2

3

672

0

2

1020

10547810450

l

SNL r

126

66

372 1039320

105478101041025

H

Přiacuteklad 59

Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli

se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm

Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400

Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm

23

3

7

0 )1010(

1051

104

11

S

Rm

66437

102534

10100101051

4

10

H

-1

Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru

23

33

7

0 )1010(

10511080

400104

11

S

lR

r

Fem

6437

4

337

101564004

105781010

10

10511080

4004

10

H

-1

Indukčnost ciacutevky je

0549561532

51

10)561532(

1500 2

6

222

mFemm RR

N

R

NL

H

584 Vzaacutejemnaacute indukčnost

Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2

(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute

tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140

127

Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost

Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i

jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje

elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude

indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet

dt

dikonstu 1

2

Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou

vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona

Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem

napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1

111 INFm

Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost

magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou

12

1112

mR

IN

Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude

dt

diM

dt

di

R

NN

dt

di

R

NN

dt

dNu

mm

11

12

121

12

12

1222

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je

12

12

mR

NNM

Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř

všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem

sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1

128

Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami

Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je

mR

NL

2

11

mR

NL

2

22

Vzaacutejemnaacute indukčnost M je

mR

NNM 12

Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme

21

2

1

2

2

2

2

1

2

22122 )( LLRR

NN

R

NN

R

NNM

mmmm

a tedy

22 LLM

Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute

ciacutevce bude

dt

di

R

N

dt

diLu

m

2

111

a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude

dt

di

R

NN

dt

diMu

m

212

Poměr napětiacute 2

1

u

uje

2

1

21

2

1

2

1

N

N

dt

di

R

NN

dt

di

R

N

u

u

m

m

Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

129

Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale

dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě

o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek

Pak

22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Přiacuteklad 60

Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů

primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr

142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je

800

Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Magnetickyacute odpor RmFe

64273

23

3

7

0

100353678984

10101010320

)1030(

10320

800104

11

S

lR

r

Fem

H-1

Indukčnost prvniacute ciacutevky

28274330353678

1

100353678

10006

22

11

mFeR

NL H

Indukčnost druheacute ciacutevky

636000353678

1051

100353678

150 22

6

22

22

mFeR

NL H

Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek

0381704636002839022 LLM H

130

Přiacuteklad 61

Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho

přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s

Řešeniacute

Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce

770002

01-06282743311

dt

diLu V

Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce

549002

01-0638202

dt

diMu V

Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute

ciacutevce bylo u2ideaacutel

1060288020

50

0353678

150

002

01-06

100353678

15010006

1

12

122

dt

di

R

NNu

m

ideaacutel V

Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667

Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667

Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute

2

1

2

1

N

N

u

u hellip transformačniacute poměr

585 Spojovaacuteniacute ciacutevek

Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je

Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně

Ciacutevky spojeneacute seacuteriově

Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143

to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat

stejneacute napětiacute

Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

131

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu kde dt

diLu 11 a

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )( 2121 LLdt

di

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL

Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute

vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k

kLL1

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute

indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet

Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M

je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash

viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet

132

Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti

soběldquo

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Ciacutevky spojeneacute paralelně

Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr

146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech

indukovat stejneacute napětiacute

Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi

kde dt

diLu 1

11 a dt

diLu 2

22

a tedy dt

diLu 1

1 a dt

diLu 2

2

z toho 1

1

L

u

dt

di a

2

2

L

u

dt

di

133

Po dosazeniacute 21 dididi

21 L

u

L

udi

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu z toho

L

u

dt

di

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21

111

LLL

Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute

vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute

jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k kLL 1

11

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz

obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute

MLMLL

21

111

Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash

viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet

MLMLL

21

111

Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

134

Přiacuteklad 62

Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost

seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute

indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH

Řešeniacute

Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je

MLLL 221

Z toho

202

)40100(180

2

)( 21

LLL

M mH

585 Přechodovyacute jev na indukčnosti

Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce

dt

diLuiL

Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji

stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute

odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor

bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku

poškodil)

V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na

indukčnosti

Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon

V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud

jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0

pak vyacuteraz dt

diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem

Pro t0 platiacute

t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0

135

V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu

největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute

to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = konst di = 0 0dt

di

0dt

diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0

R

U

R

ui R 0

V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud

v obvodu je omezen jen odporem rezistoru

Průběh proudu a napětiacute je na obr 150

Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i

napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na

ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty

t

L eUu

0

kde

R

L

Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti

59 Energie magnetickeacuteho pole

Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově

působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud

Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute

průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute

udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem

mm UW 2

1 (J Wb A)

Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie

nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu

136

HBlS

U

V

U

V

Ww mmm

m

2

1

22

Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke

konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je

lSHBVHBVwW mm 2

1

2

1

Přiacuteklad 63

Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky

Řešeniacute

Energie magnetickeacuteho pole je

mm UW 2

1

kde INUm a mR

IN

Po dosazeniacute

mm

mmR

ININ

R

INUW

22

2

1

2

1

2

1

Protože LR

N

m

2

dostaneme vyacuteraz 2

2

1ILWm

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy

Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech

materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole

Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech

vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve

vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti

přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti

plneacuteho průřezu

137

Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech

Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute

energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou

energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů

Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute

jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety

způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce

Pv f 2 B2

Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute

z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm

transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute

budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute

množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute

vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru

V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu

Hysterezniacute ztraacutety

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky

138

Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute

ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci

Ph f B2

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově

proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi

proudy

PFe = Ph + Pv

V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole

silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce

vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli

lIBF

Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute

vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka

magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute

sin lIBF viz obr 153

Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho

magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho

Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole

působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem

proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela

139

Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Velikost siacutely F

lIBF 21

kde 101 HB r 0=410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

kde r

IH

21

1

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

7-212

17-

21 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

(N A A m m)

Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič

Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute

vodič

7-211

27-

12 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute

a vodiče se tedy odpuzujiacute

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je

zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute

140

Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute

Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi

rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7

N na 1 m deacutelky

vodičů

Přiacuteklad 64

Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm

rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho

proudu v nich je 40 A

Řešeniacute

Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je

3-7-

2

7-21 101920010105

304040210

I2

r

lIF N

5121 Elektromagnety

Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta

ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157

Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute

feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou

Obr 157 - Elektromagnet

141

Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na

pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru

Přitažlivaacute siacutela magnetu

Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce

B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti

magnetickeacute indukce B

Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu

V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou

posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie

magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie

magnetickeacuteho pole

dlSB

dlSB

BdlSHBWm 0

2

0 2

1

2

1

2

1

a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F

dlFA

Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2

02

1

Platiacute že S

B

a mR

IN

kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet

hodnota RmFe zanedbaacutevaacute

Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

142

Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem

přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze

magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute

Přiacuteklad 65

Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm

plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je

66

47

3

47

3

0

1053051656

10100

103102

10

109104

10322

S

lR v

m H-1

Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

9)5305165(42

1010104109

109)105305165(

2300

1042

12

41274

426

22

7

F

65852814303

500

28143032

100010

9281430342

49 3

F N

143

6 Střiacutedaveacute proudy

Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud

se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute

střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T

Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute

čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny

označeniacute přiacuteslušneacute veličiny

Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute

proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je

praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy

harmonickeacute Babyčka

Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu

Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute

jednotkou je hertz značka Hz

Doba jedneacute periody je

fT

1 (s Hz)

Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute

průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz

až MHz

Přiacuteklad 66

Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě

Řešeniacute

02050

11

fT s

144

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii

Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu

Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy

Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel

tft

f

tT

21

22

Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za

jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se

f 2 (rads-1

)

Platiacute tedy

)sin(max tIi

Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel

nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute

Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu

145

Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh

sinusoidy

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje

Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu

Přiacuteklad 67

Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou

hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz

a proud je faacutezově zpožděn o 30o

Řešeniacute

Doba periody je

02050

11

fT s

Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2

Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute

zpožděniacute 30o

30o je 6 radiaacutenů 0001667

12

1020

2

61

Tt s

Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je

)6

00152sin(25)tsin( 0015)( max

fIi

-216207)6

0015314sin(25)6

0015502sin(25 0015)(

i mA

146

62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne

průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163

Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět

Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace

Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory

znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich

působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute

Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe

v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je

vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval

U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy

bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)

bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů

bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)

bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)

631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v

stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute

harmonickyacute proud (napětiacute)

Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině

proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je

tIRUtIW 2

147

2IRUIt

WP

Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval

dt je

dtiRdW 2

dttIRdtiRdW )(sin22

max

2

Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu

bdquoRplocha pod křivkou i2

ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164

rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i

2 po

dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho

proudu daneacuteho průběhu Platiacute

2

2

max2 II

2

maxII což je 7070max II

Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i

silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu

632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost

stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud

Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za

jednotku času

t

QI tIQ

Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165

148

Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod

přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody

a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute

pro stejnosměrnyacute proud QT

Imed 2

a

pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q

Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho

počtu dospět k vyacuterazu

max

2IImed

což je max6370 IImed

Přiacuteklad 68

Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce

Řešeniacute

Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě

230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy

V 32523022max UU

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem

čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho

velikost je

vlBU

kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje

l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole

v je rychlost pohybu vodiče

149

Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se

vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B

magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166

Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute

Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je

velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute

Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute

Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr

168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v

každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli

Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem

pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich

150

obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za

minutu)

Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto

okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a

velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0

a) b) c)

Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli

Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu

v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v

a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to

vlBui

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem

směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato

napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je

max22 UrlBvlBui

Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute

s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu

kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute

indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute

v zaacutevitu v obecneacute poloze je

sinsin22 max UvlBvlBu xi

151

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute

Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden

zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-

kraacutet většiacute

)sin(max tUNui

Přiacuteklad 69

Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm

b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce

B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s

Řešeniacute

Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh

)sin(2 tvlBui

Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je

560

300

60

nf Hz

Uacutehlovaacute rychlost je

431522 f s-1

Rychlost otaacutečeniacute v

rv kde 2

2

1022

104

2

a

r m

6280102431 2 rv ms

Tedy

tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22

Doba jedneacute periody T je

205

11

fT s

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)

152

a) b)

Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69

V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil

praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)

65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže

Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je odpor R

Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež

charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L

Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C

651 Odporovaacute zaacutetěž

Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě

odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a

proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute

vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie

Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

153

Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je

)sin()sin()sin(

max

maxmax tItR

U

R

tUi

Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve

faacutezi

Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R

UI max

max

Pro efektivniacute hodnoty platiacute R

UI

Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži

Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je

2iRiup

Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je

2IRIUP

Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon

jednotkou je watt (W)

652 Induktivniacute zaacutetěž

O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu

připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)

Pak platiacute

dt

diLui

a) b)

Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute

maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu

Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud

neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute

154

Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute

maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj

v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di

lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute

čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax

Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem

indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o

Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah

)sin(max tUu

pak průběh proudu je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak

indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna

proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute

rychlost viz obr 173

Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt

Platiacute

LXILIU maxmaxmax

kde XL je tzv indukčniacute reaktance

LX L ()

Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem

proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze

ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento

odpor minimaacutelniacute)

Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu

LX

UI max

max a LX

UI

Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo

uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL

155

Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce

Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute

do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je

okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute

V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět

zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute

směr

V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie

ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho

efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud

kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute

vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud

653 Kapacitniacute zaacutetěž

O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen

kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)

Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět

156

vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita

elektrickeacuteho pole

a) b)

Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute

pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na

deskaacutech kondenzaacutetoru o dq

dtidq

Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du

C

dti

C

dqdu

Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i

dt

duCi

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute

maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud

napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je

du = 0 a tedy i proud je nulovyacute

Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud

maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t

= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a

proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t

= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax

Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute

proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)

Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute

jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt

Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute

uacutehlovaacute rychlost

157

CUI maxmax

Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde

CX C

1

Pak lze psaacutet

CX

UI max

max a pro efektivniacute hodnoty CX

UI

Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177

CfCX C

2

11

Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute

k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud

neproteacutekaacute

Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu

napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem

kondenzaacutetoru

158

V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se

dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute

do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor

nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje

v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije

nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech

V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze

k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do

zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute

se Q a jeho efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a

nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor

Přiacuteklad 70

Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F

pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz

Řešeniacute

V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf

X C

2

1

Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70

159

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity

indukuje se v niacute napětiacute u1

dt

diLu 1

11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU

V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje

napětiacute u2

dt

diMu 1

2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12

kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou

Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů

Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2

zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2

dt

diLu 2

22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU

V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce

indukovalo napětiacute u1

dt

diMu 2

1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21

Transformačniacute poměr

Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR

NL

2

11 a

mR

NL

2

22

Z toho vyplyacutevaacute že 12

12

mR

NNM

Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1

mR

NILIU

2

11111

a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2

12

12112

mR

NNIMIU

160

Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je

2

1

12

121

2

11

2

1

N

N

R

NNI

R

NI

U

U

m

m

Poměr 2

1

2

1

N

N

U

U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu

zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu

elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit

přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute

přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se

napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute

400230 V

66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech

obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě

indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R

Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů

střiacutedaveacuteho proudu

Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho

proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute

respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu

661 Seacuteriovyacute RC obvod

Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože

je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a

tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu

161

Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je

IRUR

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC

Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z

22 RXZ C ()

Pak

ZIU

Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je

22 RX

U

Z

UI

C

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

181 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 71

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost

faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

C

kde velikost kapacitniacute reaktance je

1592

1000

10501022

1

2

1163

CfC

XC

Proud

0470256

12

200159

12

2222

RX

UI

C

A = 47 mA

162

Napětiacute na rezistoru UR

3990470200 IRUR V

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC

4770470159 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

078247912

399cos

U

U R = 0672159 rad = 385o

Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71

662 Seacuteriovyacute RL obvod

Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je

tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL

163

Impedance obvodu je

22 RXZ L ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22 RX

U

Z

UI

L

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

183 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 72

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho

posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

L

kde velikost induktivniacute reaktance je

1257405022 LfLX L

Proud

154807125

230

2222

RX

UI

L

A

Napětiacute na rezistoru UR

12454180 IRUR V

Napětiacute na ciacutevce UL

1945417125 IXU LL V

Faacutezovyacute uacutehel je

0537029230

124cos

U

U R = 1003885 rad = 57 5o

164

Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72

663 Seacuteriovyacute LC obvod

Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I

Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute

)( CLCLCL XXIIXIXUUU

Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter

Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter

165

664 Seacuteriovyacute RLC obvod

Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy

proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL

Impedance obvodu je

22)( RXXZ CL ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

186 je cos

U

IR

U

U R cos

166

Přiacuteklad 73

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute

diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V

frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

kde velikost induktivniacute reaktance je

4512805022 LfLX L

avelikost kapacitniacute reaktance je

7957747250

1040502

1

2

116

CfC

XC

Proud

109746209

230

120)6794251(

230

)( 2222

RXX

UI

CL

A

Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou

713109741120 IRUR V

2759097414251 IXU LL V

87309741679 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

0572579230

7131cos

U

UR = 0961148 rad = 55 1o

Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73

167

665 Paralelniacute RC obvod

Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RC III

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

188 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

CC

RC

Z

UI

22

11

1

RX

Z

C

22

111

RXZ C

168

666 Paralelniacute RL obvod

Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RL III

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

189 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

LL

RL

Z

UI

22

11

1

RX

Z

L

22

111

RXZ L

169

668 Paralelniacute LC obvod

Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute

CL

CLX

U

X

UIII

Impedance LC obvodu je

CLXXX

U

X

U

U

I

UZ

CLCL

1

1

11

1

Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy

CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0

Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se

opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a

ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li

CL

1

což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence

170

CL

1 Cf

Lf

0

0

22

1

CLf

2

10

669 Paralelniacute RLC obvod

Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCXC

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22)( RCL IIII

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

191 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

171

2222

22 111)(

RXXU

R

U

X

U

X

UIIII

CLCL

RCL

Z

UI

22

111

1

RXX

Z

CL

22

1111

RXXZ CL

Přiacuteklad 74

Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož

odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete

faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =

230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute

Řešeniacute

Velikost proudu rezistorem je

0766667300

230

R

UIR A

Velikost proudu ciacutevkou je

091514180502

230

2

Lf

U

X

UI

L

L A

Velikost proudu kondenzaacutetorem je

072256610321010502230

2

16

Cf

U

X

UI

C

C

Celkovyacute proud je

07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem

096987279050

7670cos

I

IR = 141o

Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR

I = IR =0767 A

A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0

562697782

1000

1010802

1

2

1

60

CLf Hz

172

Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74

Přiacuteklad 75

Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10

kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)

Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce

Řešeniacute

Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem

odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti

rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)

Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

314101005022 3 LfLX L

Proud ciacutevkou

0732113

3141592

230

98696

230

10314

230

2222

RX

UI

L

A

Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je

7321073211310 IRU R V

173

Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je

229880732113314 IXU LL V

Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je

003183230

7321cos

U

UR

1538961 rad 8817594 o

Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute

Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti

na čase

)502sin(2302)sin(max ttUu

přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms

=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)

)5391502sin(7322)sin(max ttIi

přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA

=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)

Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75

Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute

36573203217 IUP R W

Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute

3168073222988 IUQ L VAr

Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute

41680732230 IUS VA

174

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody

Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute

posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory

v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy

s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 76

Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute

indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F

Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz

Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76

Řešeniacute

Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech

Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR

je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute

součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o

předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

62810100100022 3 LfLX L

Proud IRL je

0020325

118084

24

1394384

24

1000628

24

2222

RX

UI

L

RL A

Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je

3252000203251000 IRU R V

12763790020325628 IXU LL V

175

Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je

084687524

32520cos RL

U

U R = 3212661o

Proud kondenzaacutetorem IC je

C

CX

UI

kde 1591549102

10

101010002

1

2

112

6

6

CfCX C

0015081591549

24CI A

Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi

s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka

IRLj

a) b)

Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)

Činnaacute složka IRLč

001721384687500020325cos RLRLRLč II A

Jalovaacute indukčniacute složka IRLj

0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A

Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC

tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy

2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A

09999630172130

0172130cos

I

I RLč = 05o

Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve

větvi RL

176

Přiacuteklad 77

Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o

indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby

byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem

Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77

Řešeniacute

Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka

proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC

Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL

- viz obr 198 a)

a) b) c)

Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77

Proud ve větvi s ciacutevkou

0315547

5188

24

100304002

24

2222

RX

UI

L

RL A

Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou

155473031554710 RLR IRU V

237916603155470304002 RLLL IXU V

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou

o82445d1438937ra

013147824

155473cos

RL

RRL

U

U

177

Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru

na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)

004148701314780315547cos RLRLč II A

031280709913190315547sin RLRLj II A

Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je

tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně

kompenzovaacuten pak platiacute

CRLj II a tedy IC = 0312807 A

Proud kondenzaacutetorem je

0312807C

CX

UI A

a tedy kapacitniacute reaktance je

7672451 0312807

24

C

CI

UX

Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet

CfXC

2

1

CXfC

2

1

666

1051859221072451764002

101

72451764002

1

C F

Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o

kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL

což je 0041487 A

Přiacuteklad 78

Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr

199 Řešte obecně

Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78

Řešeniacute

Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu

178

Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se

zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90

o předbiacutehaacute Vyneseme

tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR

je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U

CL

L

ABL

c

ABC

R

ABR

III

X

UI

X

UI

IRU

UUU

222

Po dosazeniacute

2

2

2222222

AB

c

AB

L

AB

ABCLABABR

UX

U

X

UR

UIIRUIRUUU

2

2

22

2

2 111

cL

ABAB

c

AB

L

AB

XXRUU

X

U

X

URU

2

2

22

2

22 11cL

LcAB

cL

LcAB

XX

XXRU

XX

XXRUU

2

2

1cL

Lc

AB

XX

XXR

UU

Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute

na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU

66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute

zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do

magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute

kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje

Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute

IUP

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon

iup

179

Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute

posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute

nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a

z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a

jejiacute jednotkou je voltampeacuter

IUS (VA V A)

Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute

přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži

Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute

nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je

s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem

pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a

induktivniacute zaacutetěži je cos = 0

Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o

90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute

energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je

voltampeacuter reaktančniacute

sin IUIUQ j (Var V A)

Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem

cos IUP sin IUQ IUS 2

2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS

22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP

Platiacute tedy že

222 SQP

což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200

Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu

180

Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A

měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute

napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a

hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku

Přiacuteklad 79

Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete

zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos

Řešeniacute

1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou

prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se

v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen

jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)

Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI

Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud

předřazenyacutem odporem

a) b)

Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti

2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)

Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute

induktivniacute reaktanciacute XL

Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute

hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL

(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute

indukčnost ciacutevky L

181

I

UZ

22 RZX L f

XL L

2

Z

R

IZ

IR

U

UR

cos

IUS cos IUP sin IUQ

67 Rezonance

Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti

indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute

tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute

Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin

rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme

rezonančniacute frekvence a značiacute se f0

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz

obr 202

Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram

Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro

rezonanci XL = XC

Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je

22)( RXXZ CL

Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji

jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0

Z0 = R

Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to

R

UI 0

182

Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost

ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC

LfCf

0

0

22

1

2

022

1f

CL

CLf

2

10

Rezonančniacute křivka

Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)

2222 )2

12()( R

CfLfRXXZ CL

Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)

Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel

je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0

Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute

R

CfLf

arctg

2

12

Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je

22)2

12( R

CfLf

U

Z

UI

Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute

kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute

odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu

Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R

Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL

183

a napětiacute na kondenzaacutetoru IC

IXU CC

1

Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy

0000 ILUU CL kde R

UI 0

Po dosazeniacute je

UR

L

R

ULILUU CL

0

00000

Vyacuteraz R

L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti

Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti

Pak UQXU CL 00

To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka

napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při

naacutehodneacutem dotyku

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod

Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz

obr 205

Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram

184

K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna

velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute

složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R

reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0

Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat

kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter

Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude

převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter

Proud ciacutevkou je

22222 RLf

U

RX

UI

L

RL

Jalovaacute složka proudu IRL je

RLRLRLj II sin kde 222

2sin

RLf

Lf

Z

X

ZI

XI

U

U

RL

L

RLRL

LRLLRL

Po dosazeniacute

222222 2

2

2

2

2 RLf

ULf

RLf

Lf

RLf

UIRLj

Činnaacute složka proudu IRLč je

222222222

cosRLfI

RI

RLf

U

U

U

RLf

UII

RL

RLRRLRLRLč

222222 222 RLf

RU

RLfI

RI

RLf

UI

RL

RLRLč

Proud kondenzaacutetorem je

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

2

2

1

Pro rezonanci

CRLj II

UCf

RLf

ULf

022

0

0 22

2

C

RLf

L

22

02

0)2( 222

0 LRCCLf

2

0

1

2

1

L

R

CLf

185

Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je

2

22

2

22

2

22

2

22

22

22

2

2

22

2

2)(

RLf

RCf

RLf

LfU

RLf

RUCf

RLf

ULfIIII RLčCRLj

Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy

22

0

02 RLf

RUII RLč

Impedance při rezonanci je

R

RLf

I

UZ

22

0

0

0

2

Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu

je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0

Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna

odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou

Rezonančniacute křivky

Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu

matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute

2

22

2

222

22

2

RLf

RCf

RLf

LfUI

a

I

UZ

Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu

Činitel jakosti obvodu

Činitel jakosti obvodu je Q

R

LQ

0

186

Platiacute

000 IQII RLC

Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud

odebiacuteranyacute ze zdroje

Přiacuteklad 80

Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny

a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci

proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro

paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem

Řešeniacute

Ad a) Rezonančniacute frekvence

Hz

CLf

33

64630

102055602

10100

10210302

1

1021032

1

2

1

Rezonančniacute impedance

Z0 = R =10

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

A4210

240

R

UI

Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci

V 929516421031005522

f2

33

000000

ILILUU LC

Činitel jakosti

387324

95920 U

UQ C

Ad b) Rezonančniacute frekvence

Hz 1985111111111666666672

1

3

10

23

10

2

1

103

10

102103

1

2

11

2

1

249

2

363

2

0

L

R

CLf

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

187

A 016

1500

1024

10398512

1024

1010319852

1024

2

22

22322

0

0

RLf

RUII RLč

Rezonančniacute impedance

150160

24

0

0I

UZ

Proud kondenzaacutetorem při rezonanci

A 059866524102198522

2

16

0

0

0

0

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

Činitel jakosti

3741657160

598700 I

IQ C

Pozn

Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute

se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod

CLf

2

10

Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně

přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)

68 Kompenzace uacutečiniacuteku

Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla

nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute

složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li

faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je

daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy

v elektrickyacutech strojiacutech

188

a) b)

Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci

Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute

energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute

jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute

činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů

Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což

vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy

většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a

tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet

dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena

roste

Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud

kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho

původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute

složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute

zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho

vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku

Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav

paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095

Přiacuteklad 81

Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07

Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na

hodnotu 095

Řešeniacute

Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

Činnyacute vyacutekon je

189

cos IUIUPČ

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

186335470230

300

cos

U

PI A

Činnaacute složka proudu je

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

133070113043481863354 2222 čj III A

Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

coskomp = 095

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

1372998950230

300

cos

komp

kompU

PI

A

Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A

Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute

Cjjkomp III

Proud kondenzaacutetorem tedy bude

090198304287181330701 jkompjc III A

Pro proud kondenzaacutetorem platiacute

Cf

U

X

UI

c

C

2

1

Kapacita kondenzaacutetoru je tedy

6-5- 10124831012483230502

0901983

2

Uf

IC C F = 12483 F

190

7 Trojfaacutezovaacute soustava

Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute

jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina

průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod

elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak

napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena

využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute

trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute

velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci

elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute

magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

sinsin22 max UvlBvlBu xi

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

191

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute

Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově

pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute

harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem

posunem jednotlivyacutech napětiacute

Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou

pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o

se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se

označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211

Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

192

Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuW

Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech

hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule

0 WVU uuu

Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute

Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute

f

o

f UUx2

1)60cos( ff UUy

2

12

Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU

Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0

UU + UV + UW = 0

72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu

Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute

stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou

Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze

statoroveacuteho vinutiacute

Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem

otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)

Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute

obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou

draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je

posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi

193

průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute

U1 V1 W1 konce U2 V2 W2

Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti

Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu

statoru

Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute

Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem

obvodem a statorovyacutem vinutiacutem

Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod

rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na

vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky

stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n

(otmin)

Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru

Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru

Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute

jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute

vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje

elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem

v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto

uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na

elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu

přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů

přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute

Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech

elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou

195

označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla

3000 otmin

Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech

jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute

s předchoziacutem provedeniacutem

Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute

Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem

Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů

Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je

v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech

vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a

označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy

Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi

nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se

označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)

a) b)

Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy

a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem

Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute

faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf

196

fWVU UUUU

Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US

SWUVWUV UUUU

Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho

napětiacute

2

330cos

2 f

o

fS UU

U

fS UU 3

Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi

libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti

Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke

spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a

ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P

Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je

IRU

kde R je odpor vedeniacute

I je přenaacutešenyacute proud

Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je

2IRIIRIUP

Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině

přenaacutešeneacuteho proudu

197

Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou

energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem

vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety

Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se

napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně

niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se

energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory

Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek

Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty

dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou

proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje

v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky

Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru

Z uvedeneacuteho je patrneacute že

2

1

2

1

N

N

U

U (= transformačniacute poměr) a tedy

1

212

N

NUU

Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute

napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se

transformuje na nižšiacute napětiacute

Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že

vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu

P1 = P2 = P

Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak

1

212

N

NUU gt U1

Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute

2

2U

PI a

1

1U

PI

pak I2 lt I1

proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute

198

Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je

2

11

1

21

11

2

112

N

NI

N

NU

UI

U

UII

rarr

2

1

1

2

N

N

I

I

Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie

se sniacutežiacute

Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV

Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV

Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute

vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro

daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie

Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute

zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V

G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor

Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy

74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti

Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři

faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute

sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič

jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute

vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE

Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič

Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před

dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je

takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale

vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem

krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet

zdraviacute ohrožujiacuteciacute

199

Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C

Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S

Ochrana nulovaacuteniacutem

Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute

čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute

Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem

jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute

faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute

pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu

200

Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např

faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se

na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm

aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem

bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li

se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute

proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)

a) b)

Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem

Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při

poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute

je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud

IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho

působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se

danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine

74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti

Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi

Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy

Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy

připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu

a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

201

f

f

fZ

UI

Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel

danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče

Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy

Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven

nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute

žaacutednyacute proud

IN = 0

Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může

vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute

vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem

různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute

trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky

světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit

přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud

možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech

202

obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN

kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou

U

UU

Z

UI

V

VV

Z

UI

W

WW

Z

UI

Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute

fWVU UUUU

a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o

Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže

v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W

Pozor

Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde

přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a

spotřebičem

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka

Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230

Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka

203

Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou

stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o

UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3

Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou

UV

SUV

Z

UI

VW

SVW

Z

UI

WU

SWU

Z

UI

a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže

Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona

IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU

IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV

IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

S

f

S

SS

Z

U

Z

UI

3

Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech

napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče

Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech

Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute

Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute

o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232

2

330cos

2 WU

o

WU

fII

I

WUf II 3

204

Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je

různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz

obr 233

Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute

Přiacuteklad 82

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute

činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na

obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute

ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy

205

Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82

Řešeniacute

Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235

Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234

Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je

400 SWVUWVU UUUU V

Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost

Z

UIIII S

WVUWVU

kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L

76173

400

Z

UI S 230207 A

206

Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost

398730323020733 IIIII fWUV A

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech

Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

cos fff IUP (W V A)

Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

fff IUS (VA V A)

Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

sin fff IUQ (VAr V A)

Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute

Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon

cos33 fff IUPP (W V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon

fff IUSS 33 (VA V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

Přiacuteklad 83

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu

R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a

celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do

trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute

Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude

287580

230

R

UI

f

f A

Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy

661252875230 fff IUP W

207

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

1983752875230333 fff IUPP W

Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute

US Proud každyacutem z rezistorů bude

580

40033

3

f

ffSS I

R

U

R

U

R

UI A

Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy

00025400333 fffSSS PIUIUP W

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

6000200033 SPP W

Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy

751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek

Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na

svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co

nejjednoduššiacute

Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je

znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute

chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do

trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy

a) b) c)

Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do

trojuacutehelniacuteka

76 Točiveacute magnetickeacute pole

Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o

připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř

statoru točiveacute magnetickeacute pole

208

Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti

Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238

V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1

ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W

a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)

V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole

jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)

ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček

a) b) c)

209

d) e) f)

Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole

V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do

W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole

jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako

v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o

Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele

stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute

rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute

Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute

magnetickeacute pole

Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku

daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi

Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech

V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW

2

3)

3

4sin()

3

4sin( maxmaxmax IItIiw

Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy

2

3max w

kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute

Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239

Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole

210

maxmax

0

2

3

2

3

2

32)30cos(2 W

Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy

max2

3

Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute

o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a

velikosti max2

3

Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou

statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem

magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho

pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)

fns 60

Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru

Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory

Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho

magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241

V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)

V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)

v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy

pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček

211

a) b)

Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole

Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr

242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi

přiacutevodniacutemi faacutezemi

Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru

212

77 Kompenzace uacutečiniacuteku

Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny

v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy

Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute

elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat

neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a

vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech

bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute

proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem

Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute

charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem

připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute

Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou

hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je

penalizovaacuten

Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků

kondenzaacutetorů k siacuteti

Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu

Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky

spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou

nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem

přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na

využitiacute spotřebiče

Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru

Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech

rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke

zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při

individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute

jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody

213

Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena

v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti

spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace

Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku

kompenzačniacuteho vyacutekonu

Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry

měřiacute pouze činnou odebranou energii

214

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami

81 Elektrostatickeacute pole

Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)

elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19

C

Q = ke k je celeacute čiacuteslo

I elektrickyacute proud ampeacuter (A)

t

QI

E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )

Q

FE

U elektrickeacute napětiacute volt (V)

Q

AU ( CJV )

l

UE

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem

prostřediacute

permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m

-1)

0 r

0 permitivita vakua 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

r poměrnaacute permitivita r gt = 1

24 r

QE

intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule

s naacutebojem Q

D elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

ED r 0

C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)

U

QC

l

SC r 0

215

Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC 21

Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC

1

1

111

21

Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru

t

c eUu 10

kde

CR

Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

Pak kapacita osamoceneacute koule je

104 rC r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

82 Stejnosměrnyacute proud

J Proudovaacute hustota

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

R elektrickyacute odpor ohm ()

R

UI hellip Ohmův zaacutekon

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

rezistivita materiaacutelu

G vodivost siemens (S)

RG

1

216

Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR

teplotniacute součinitel odporu (1oK)

A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu

tIUUQA (J V A s)

P vyacutekon

2IRIIRIUP (W V A)

uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 P

P )( JJ

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel

01

n

k

kI

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku

01

n

k

kU

Spojovaacuteniacute rezistorů

Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21

Paralelniacute niVyacutesl RRRRR

1

1

111

21

Transfigurace

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute

iRIUU 0

Proud nakraacutetko

i

kR

UI 0

217

83 Magnetickeacute pole

magnetickyacute tok weber (Wb)

B magnetickaacute indukce tesla (T)

SB

lI

FB

lIBF sin lIBF (N T A m)

Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)

n

i

im IF1

Um magnetickeacute napětiacute (A)

n

i

mim UF1

H intenzita magnetickeacuteho pole

l

UH m (Am

-1 A m)

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r

I

l

UH m

2

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

HB r 0

0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) henry (H)

r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r

přibližně 1)

Hopkinsonův zaacutekon

mm U

l

SS

l

USHSB

Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)

mm Ul

SG

Rm magnetickyacute odpor (reluktance)

m

mG

R1

S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

218

Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

r

INH

2 kde

2

Dr

2

12 DDD

Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

l

IN

l

UH m

Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

r

IN

l

UH m

2

Indukčniacute zaacutekon

dt

du

pro ciacutevku o N zaacutevitech

dt

dNu

Pohyboveacute napětiacute

vlBu

L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)

dt

diMu 1

2

12

12

mR

NNM

22 LLM

22 LLM

kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Transformačniacute poměr

2

1

2

1

N

N

u

u

Spojovaacuteniacute ciacutevek

seacuterioveacute 21 LLL

seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

219

paralelniacute 21

111

LLL

paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

Přechodovyacute jev na indukčnosti

t

L eUu

0

kde

R

L

Energie magnetickeacuteho pole

mm UW 2

1 lSHBWm

2

1

Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

sin lIBF

Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu

SR

INF

m

2

22

02

1

84 Střiacutedaveacute proudy

f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)

60

nf

T doba jedneacute periody (s)

fT

1

uacutehlovaacute rychlost

f 2 (rads-1

)

Průběh harmonickeacuteho proudu

)sin(max tIi )sin(max tIi

Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

2

maxII

Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

max

2IImed

220

Odporovaacute zaacutetěž

)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR

Ui

Induktivniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

LX

UI max

max

XL induktivniacute reaktance ()

LX L

Kapacitniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

CX

UI max

max

XC kapacitniacute reaktance ()

CX C

1

Seacuteriovyacute RLC obvod

Z impedance obvodu ()

22)( RXXZ CL U

IR

U

U R cos

Paralelniacute RLC obvod

22)( RCL IIII I

IRcos

Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)

S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)

Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)

222 SQP

cosφ uacutečiniacutek

IU

P

cos

Rezonance

f0 rezonančniacute frekvence

CLf

2

10

221

Q činitel jakosti obvodu je R

LQ

0

84 Trojfaacutezovaacute soustava

Uf faacutezoveacute napětiacute

Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuw

US sdruženeacute napětiacute

fS UU 3

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

cos33 fff IUPP (W V A)

fff IUSS 33 (VA V A)

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

222

Použitaacute literatura

BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-

7333-043-1

Internetoveacute straacutenky (www)

BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt

httpwwwbrush-semczgt

Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-

cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt

Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt

Page 3: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu

3

Středniacute průmyslovaacute škola strojnickaacute a Středniacute odbornaacute škola prof Švejcara

Plzeň

ELEKTROTECHNIKA

Jitka Roubalovaacute

4

Anotace

Tato učebnice obsahuje zaacuteklady teoretickeacute elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti

studentů středniacutech průmyslovyacutech škol se strojiacuterenskyacutem zaměřeniacutem

Jsou zde vysvětleny fyzikaacutelniacute zaacuteklady elektrotechniky jejich souvislosti a jejich využitiacute při

řešeniacute praktickyacutech uacutekolů

Učebnice obsahuje vysvětleniacute elektrostatickeacuteho pole obvodů stejnosměrneacuteho proudu

magnetismu obvodů střiacutedaveacuteho proudu a trojfaacutezoveacute soustavy

Jednotliveacute kapitoly jsou doplněny řešenyacutemi přiacuteklady typickyacutemi pro danyacute okruh Přiacuteklady jsou

řešeny i s podrobnyacutem vyacutepočtem aby použiteacute vyacutepočetniacute postupy ukaacutezaly čtenaacuteři že vhodnyacutem

kraacuteceniacutem a praciacute s exponenty je možneacute vyacutepočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb

způsobenyacutech bdquokalkulačkovyacutemi překlepyldquo

Učebnice je rozdělena do pěti čaacutestiacute z nichž každaacute obsahuje uzavřenyacute teacutematickyacute celek

Jednotliveacute čaacutesti

- Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů a teorie elektrostatickeacuteho pole

- Stejnosměrnyacute proud a řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu

- Magnetickeacute pole a elektromagnetickaacute indukce

- Střiacutedavyacute proud a řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu

- Trojfaacutezovaacute soustava

5

Obsah

Anotace 3

Uacutevod 9

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10

12 Předpony jednotek 11

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12

21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12

3 Elektrostatickeacute pole 14

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18

35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21

361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22

37 Kondenzaacutetor 22

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28

310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31

3111 Dielektrika vedle sebe 31

3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37

4 Stejnosměrnyacute proud 38

41 Proudovaacute hustota 38

42 Intenzita proudoveacuteho pole 39

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39

431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47

6

46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83

5 Magnetickeacute pole 88

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89

53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92

534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111

58 Elektromagnetickaacute indukce 119

581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134

59 Energie magnetickeacuteho pole 135

7

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140

6 Střiacutedaveacute proudy 143

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152

651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160

661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162

663 Seacuteriovyacute LC obvod 164

664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168

668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183

68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187

7 Trojfaacutezovaacute soustava 190

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207

76 Točiveacute magnetickeacute pole 207

77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215

8

83 Magnetickeacute pole 217

84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221

Použitaacute literatura 222

9

Uacutevod

Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech

obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich

autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole

Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru

popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem

bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků

elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute

Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto

tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a

ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z

Maxwellovyacutech rovnic

Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a

jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti

aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute

aplikovaneacute elektrotechniky

10

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky

Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou

fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute

veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme

Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)

jednotka = sekunda

Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem

zaacutepisem

Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute

zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI

Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik

zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se

nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International

dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek

a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

Jednotka zkratka jednotky veličina

Metr m deacutelka

Kilogram k hmotnost

Sekunda s čas

Ampeacuter A elektrickyacute proud

Kelvin K teplota

Mol mol laacutetkoveacute množstviacute

Kandela cd sviacutetivost

b) Doplňkoveacute jednotky

doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu

steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu

c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI

vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute

vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami

Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute

vlastniacute naacutezev

11

Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)

protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute

naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev

Coulomb [C]

Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než

jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje

vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a

nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)

Dovoleneacute

Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s

Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg

Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m

3

Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)

Nedovoleneacute

Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm

Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W

12 Předpony jednotek

Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou

Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky

k kilo 103 m mili 10

-3

M mega 106 mikro 10

-6

G giga 109 n nano 10

-9

T terra 1012

p piko 10-12

Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10

-6 F = 0000005 F

Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute

d deka 10 d deci 10-1

h hekto 102 c centi 10

-2

12

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů

21 Elektronovaacute teorie

Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit

Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů

neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho

elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)

označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura

atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a

z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech

(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19

C

Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů

ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy

stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute

Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se

porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však

vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute

naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo

Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem

přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute

elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

22 Vodiče a izolanty

Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při

slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely

nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem

nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem

naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je

složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou

vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem

působeniacutem elektrickeacuteho pole

Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky

označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem

silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)

23 Zdroje elektrickeacute energie

Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu

energie

Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek

zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely

13

zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem

zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)

Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič

Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka

Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute

vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu

na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem

tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji

Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI

soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC

Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda

14

3 Elektrostatickeacute pole

Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky

nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole

Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem

kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek

Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem

elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute

polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute

naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů

Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se

navzaacutejem přitahujiacute

Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole

Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar

Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela

elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli

Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli

Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele

zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na

volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole

osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4

Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje

Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda

volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na

čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami

15

Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů

Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo

uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit

veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole

QEF ( 1 CNCN )

Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj

je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a

tohoto naacuteboje

Z toho

Q

FE ( CNCN 1 )

Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme

toto pole nehomogenniacute

Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto

polem homogenniacutem

Přiacuteklad 1

Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute

pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C

Řešeniacute

5110150010301050 363 QEF (N)

16

32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou

stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a

velikost

Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem

poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se

čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A

lFA ( mNJ )

Po dosazeniacute F=E Q dostaneme

lQElFA

Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak

praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U

Q

AU ( CJV )

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje

o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1

)

Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity

pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)

Protože Q

FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a

Q

AU vypočiacutetat

l

U

Q

l

QU

Q

l

A

Q

FE

( 1mV )

Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U

l

UE ( mVmV 1 )

Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute

(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely

17

Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel

Přiacuteklad 2

Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute

vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V

Řešeniacute

80001083

1024

103

24 33

3

l

UE ( 1mV )

33 Coulombův zaacutekon

Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou

se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a

zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich

vzdaacutelenosti

Obr 8 - Coulombův zaacutekon

Platiacute tedy

2

21

r

QQkonstF

kde konstanta maacute hodnotu

4

1konst

18

kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato

hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute

0 r

kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně

rovna 1

Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute

je

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

Přiacuteklad 3

Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost

1 mm

Řešeniacute

)(1032)101(

106021106021

1085484

1

4

1 22

23

1919

122

21

0

Nr

QQF

r

34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem

většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal

Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje

Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute

ekvipotenciaacutely

Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity

v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy

19

Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q

FE a platiacute Coulombův zaacutekon

2

21

04

1

r

QQF

r

1QQ a CQ 12

Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude

24 r

QE

kde 0 r

je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute

Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však

bude v každeacutem bodu do středu koule

Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem

součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji

Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole

35 Elektrickaacute indukce

Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem

stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest

tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se

elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute

Obr 11 - Elektrickaacute indukce

20

Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do

země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem

Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute

pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle

obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na

destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde

2

1

12 S

S

QQ

a) b)

Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj

Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

Přiacuteklad 4

Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el

naacutebojem 310-12

C

Řešeniacute

)(105974104

103

4)102(

103

4

214

6

12

23

12

2mC

r

Q

S

QD

Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D

Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše

neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity

elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash

čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce

Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute

24 r

Q

S

QD

a

24 r

QE

21

Tedy

ED

kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r

ED r 0

36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů

361 Polarizace dielektrika

Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče

vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem

elektrickyacute proud

U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se

vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se

nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)

Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky

nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu

čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely

9 a) 9 b)

Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)

Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole

polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu

vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute

pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než

původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)

9 a) 9 b)

Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)

22

362 Elektrickaacute pevnost dielektrika

Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a

nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita

elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu

je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu

- proud začne izolantem proteacutekat

Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů

se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů

Materiaacutel r Ep (kVmm)

vzduch 10006 2 až 3

mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30

parafiacuten 19 až 22 20 až 30

kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58

kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10

polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60

sliacuteda 6 až 7 40 až 80

sklo 35 až 4 20 až 50

porcelaacuten 55 až 65 20 až 45

37 Kondenzaacutetor

Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute

elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je

dielektrikum

Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje

opačnyacutech polarit

Obr 15 - Kondenzaacutetor

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute

napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute

naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute

Platiacute tedy

UkonstQ

23

Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C

UCQ

Jednotkou kapacity je farad (F) U

QC a tedy rozměr jednotky farad je (

V

C

U

QF )

Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF

Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je

Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru

Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika

Viacuteme že platiacute

S

QD ED r 0

l

UE

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

l

S

lE

SE

lE

SD

U

QC r

r

0

0

Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich

vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r

Přiacuteklad 5

Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr

elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm

a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V

Řešeniacute

UCQ

l

SC r 0 kde 322 1041020102 S (m

2)

)(4171)(014171

)(1014171601088541010

1044108854

9-

12-12-

3

312-

0

nFF

Fl

SC r

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)

24

381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

1a) 1b)

Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U

Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je

321 QQQQ

Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ

Po dosazeniacute

)( 321321 CCCUCUCUCUQ

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute

CUQ

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

)( 321 CCCUCU

321 CCCC

Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit

jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

25

1a) 1b)

Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute

jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy

všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

QQQQ 321

Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

321 UUUU

Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

1

1C

QU

2

2C

QU

3

3C

QU

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz

)111

(321321

321CCC

QC

Q

C

Q

C

QUUUU

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute

C

QU

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

321

1111

CCCC

Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute

součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 6

Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do

seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute

26

Řešeniacute

CCCCCCvyacutesl

411111 250

4

1

4

CCvyacutesl F

Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute

kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn

Přiacuteklad 7

Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a

kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=

200 nF

Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Řešeniacute

Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem

C45

5454

111

CCC z toho 100

200200

200200

54

5454

CC

CCC (nF) = 01F

Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20

Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat

vyacuteslednou kapacitu C

82102150154321 CCCCC F

Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj

66 10267241082 UCQ C

27

Přiacuteklad 8

Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme

libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby

byl splněn danyacute požadavek

Řešeniacute

Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že

spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita

takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že

potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21

Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 9

Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme

kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na

propojenyacutech kondenzaacutetorech

Řešeniacute

Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je

66

111 109610424 CUQ (C)

Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je

66

222 102410212 CUQ (C)

Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj

666

21 1012010241096 QQQ (C)

Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je

62421 CCC (F)

Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je

20106

101206

6

C

QU (V)

28

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute

hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od

okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi

piacutesmeny

V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U

nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje

určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt

0

V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute

děj na kondenzaacutetoru

Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC

Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)

neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute

t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R

U

R

ui R 0

Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute

maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute

se zpomaluje

Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud

přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0

Průběh proudu a napětiacute je na obr 23

29

Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru

Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je

daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute

konstanty

t

c eUu 10

kde

CR

310 Energie elektrostatickeacuteho pole

Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U

C

QU

Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA

Platiacute Q

AU A = U Q tedy dA bude

dQC

QdQUdA

Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech

diacutelčiacutech praciacute dA

Q

C dQC

QdAW

0

tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je

C

QWC

2

2

Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC nebo takeacute UQWC

2

1

Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho

kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se

na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou

energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24

30

Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute

lSElESElESDUQWC 2

2

1

2

1

2

1

2

1

Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich

vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie

nahromaděnaacute v jednotce objemu je

EDElS

lSE

V

Ww C

C

2

1

2

12

1

2

2

Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole

platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole

Přiacuteklad 10

Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na

kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru

Řešeniacute

Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu

12-12-

3

412-

1

01 10177082108854101

10201108854

l

SC r F

Naacuteboj na kondenzaacutetoru

-12-12

11 10212496101770812 CUQ C

Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek

12-12-

3

412-

2

02 10118053313331088541051

10201108854

l

SC r F

Napětiacute po posunutiacute desek

18101180533

1021249612-

-12

C

QU V

31

Přiacuteklad 11

Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na

napětiacute 230 V

Řešeniacute

1322500101322505290010522301052

1

2

1 66262 UCWC J

311 Složenaacute dielektrika

Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou

3111 Dielektrika vedle sebe

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 25

Obr 25 - Dielektrika vedle sebe

V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole

l

UEEE 21

Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to

ED r 011 a ED r 022

Naacuteboje Q1 a Q2 budou

111 SDQ a 222 SDQ

Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude

21 QQQ

Dosadiacuteme za Q1 a Q2

Ul

SU

l

SQ rr

2

202

1

101

32

Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o

kapacitaacutech 1

1011

l

SC r a

2

2022

l

SC r spojeneacute paralelně

Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou

dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute

3112 Dielektrika za sebou

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum

Obr 26 - Dielektrika za sebou

Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou

materiaacutelech je stejnaacute

S

QDDD 21

Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10

1

r

DE

a pro druheacute

20

2

r

DE

Celkoveacute napětiacute mezi deskami

U = U1 + U2

kde

1

10

111 lD

lEUr

a 2

20

222 lD

lEUr

Pak po dosazeniacute

)(20

2

10

12

20

1

10

2

20

1

10 rrrrrr S

l

S

lQl

S

Ql

S

Ql

Dl

DU

Protože platiacute l

SC r 10 je

110

1 1

CS

l

r

a 220

2 1

CS

l

r

33

Tedy )11

(21 CC

QU a protože C

QU1 pak

převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot

kapacit diacutelčiacutech dielektrik

21

111

CCC

Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory

Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je

10

1

r

DE

a

20

2

r

DE

Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je

1

2

20

10

2

1

r

r

r

r

D

D

E

E

Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech

diacutelčiacutech dielektrik

Lze tedy psaacutet 2

1

21 EE

r

r

a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme

1

2112221

1

222212

1

2221121 )(

r

rr

r

r

r

r llEllElElElElEUUU

Z toho

2112

12

ll

UE

rr

r

Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute

intenzita tohoto dielektrika Ep gt E

Přiacuteklad 12

Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem

tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech

dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute

Materiaacutel r Ep (kVmm)

1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40

2 sliacuteda 7 60

34

Řešeniacute

Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je

92307692141

2400

304207

4600

2112

12

ll

UE

rr

r

Vmm

161538592307694

72

1

21 EE

r

r

Vm

Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost

vyhovuje

312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem

Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva

středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je

24 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

24 r

QDE

Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je

35

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

21

12

04 rr

rrQU

r

Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

3122 Osamocenaacute koule

Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2

Pak kapacita osamoceno koule je

10

12

210 44lim

2

rrr

rrC rr

r

Elektrickaacute indukce na povrchu koule je

2

14 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je

2

100 4 r

QDE

rr

kde UrUCQ r 104

Po dosazeniacute za Q dostaneme

1

2

10

10

2

100 4

4

4 r

U

r

Ur

r

QDE

r

r

rr

Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi

maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute

pevnosti izolantu

36

3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je

lr

Q

S

QD

2

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

lr

QDE

2

Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

1

2

0

ln2 r

r

lr

QU

r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

Přiacuteklad 13

Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je

kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)

37

Řešeniacute

12-12--12

1

2

0 101038136105log32

166894

50

52log32

131088542

log32

2

r

r

lC r F

C = 1038 pF

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi

V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody

odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho

zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země

Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj

dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj

kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba

oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu

uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost

natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu

izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije

Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute

naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo

vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje

elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter

vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute

nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech

měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů

Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů

Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje

uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a

uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič

Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute

omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje

zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem

Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje

Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech

mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute

elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry

Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute

objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena

k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute

38

4 Stejnosměrnyacute proud

Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne

vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I

Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho

naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad

akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)

Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U

Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu

elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute

ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb

Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute

elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče

41 Proudovaacute hustota

Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se

nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru

Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute

Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem

bude průřez vodiče většiacute

V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute

proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se

na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu

Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

39

42 Intenzita proudoveacuteho pole

Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno

l

UE )( 1 mAmV

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon

Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem

většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je

přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute

Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty

obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme

že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor

Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče

Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu

zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute

Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute

Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem

jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute

měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme

napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru

Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako

UkonstI

kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy

UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1

)

Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G

40

GR

1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA

-1)

Pak lze psaacutet

R

UI

Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I

Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon

Rezistory

Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute

odpor R

Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru

Přiacuteklad 14

Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A

Řešeniacute

46050

230

I

UR ()

431 Velikost elektrickeacuteho odporu

Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho

je vodič vyroben

Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu

vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute

i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče

Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu

vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute

Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely

Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

kde l je deacutelka vodiče

S je průřez vodiče

je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je

to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2

při teplotě 20oC

41

Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Rezistivita některyacutech materiaacutelů

Materiaacutel mm2m

-1

Měď 00178

Hliniacutek 00285

Střiacutebro 00163

Ocel 013

Konstantan 05

Chromnikl 11

Cekas 11

Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory

Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely

pro vyacuterobu vodičů

Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu

rezistorů

Přiacuteklad 15

Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m

Řešeniacute

S

lR () kde 0785)50( 22 rS mm

2

430785

15000178

S

lR ()

Přiacuteklad 16

Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3

Řešeniacute

S

lR () z toho plyne

SRl

143)1( 22 rS mm2

52901780

1433

SRl (m)

432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě

S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute

elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky

s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste

42

Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při

zahřaacutetiacute vodiče o 1o

C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se

nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -

(1oK)

Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek

odporu R = R2 - R1 miacutet velikost

1RR

Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude

1112 RRRRR

Tedy

)1(12 RR

Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely

Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu

(K-1

)

Měď 00042

Hliniacutek 0004

Střiacutebro 0004

Ocel 0006

Konstantan 210-6

Chromnikl 2510-4

Cekas 710-5

Přiacuteklad 17

Měděnyacute vodič o teplotě 20o

C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A

Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C

Řešeniacute

Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1

2120

241

I

UR ()

Přiacuterůstek teploty je

)(40206012 Co

Odpor při teplotě 60o C

)(40161)40004201(21)1(12 RR

43

Přiacuteklad 18

Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o

C do +40o C

Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě

Řešeniacute

Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co

Odpor při -25o

C R1

Odpor při -25o

C 1112 2731)65004201()1( RRRR

Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu

Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče

je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q

UQA (J V C)

Protože proud je t

QI lze dosadit

tIUUQA (J V A s)

Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty

elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem

a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute

Protože platiacute Ohmův zaacutekon R

UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah

tR

Ut

R

UUtIUA

2

nebo tIRtIRItIUA 2

Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A

V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute

praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute

v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)

Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo

Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P

IUt

tIU

t

AP

(W V A)

Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1

)

Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon

44

2IRIIRIUP nebo R

U

R

UUIUP

2

Přiacuteklad 19

Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut

Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(6450

230A

R

UI

Vyacutekon )(105864230 WIUP

Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s

Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW

Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně

použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt

hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)

Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute

energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy

ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi

vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ

Platiacute

ZWWW 12

Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost

1

2

W

W a je to vždy čiacuteslo 1

Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 W

W )( JJ

Protože přiacutekon je t

WP 1

1 a vyacutekon je t

WP 2

2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost

1001001001

2

1

2

1

2

P

P

tP

tP

W

W )( WW

45

Přiacuteklad 20

Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po

dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě

v konvici

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(831120

220A

R

UI

Přiacutekon )(34038312201 WIUP

Vyacutekon )(323100

803403 12 WPP

45 Kirchhoffovy zaacutekony

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem

nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit

pomociacute Ohmova zaacutekona

Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost

odporu zaacutetěže R pak proud I

I

UR

Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je

na obr 34

Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

46

Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly

Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu

Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu

Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy

zaacutekony

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje

Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve

vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i

elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud

Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect

54321 IIIII

Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute

lze psaacutet

01

n

k

kI

Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule

Přiacuteklad 21

Obr 36 - Proudy v uzlu

Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li

proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A

Řešeniacute

01

n

k

kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A

47

452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen

uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute

To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule

01

n

k

kU

Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute

+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem

orientace smyčky

- hellip orientace napětiacute je proti směru

orientace smyčky

Tedy U1 + U2 ndash U = 0

Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech

odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce

Přiacuteklad 22

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =

6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38

Obr 38 - Napětiacute ve smyčce

Řešeniacute

Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU

021 ab UUIRIR

0643020 II

250 I

040I A

800402011 IRU V 210403022 IRU V

48

46 Spojovaacuteniacute rezistorů

Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 39

Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

021 UUU

Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

I

URR

URRI

URIRI

21

21

21

)(

0

Vyacuteraz I

Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie

aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je

rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie

21 RRRV

Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz

niV RRRRR 21

Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů

jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie

49

462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 41

Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

21 III

Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle

Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

)11

(2121

21RR

UR

U

R

UIII

21

11

RRU

I kde

VRU

I 1

Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute

21

111

RRRV

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme

vyacuteraz

niV RRRRR

1

1

111

21

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

50

Přiacuteklad 23

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =

12 V Obvod je zapojen podle obr 43

Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

0240500

12

Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je

42024010011 IRU V 69024040022 IRU V

Přiacuteklad 24

Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li

napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44

Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech

odporů

14577

400

400

7

400

214

200

1

400

1

100

11111

321

V

V

R

RRRR

51

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

8531457

220

Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V

Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR

UI 22

100

220

1

1

AR

UI 550

400

220

2

2 AR

UI 11

200

220

3

3

Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit

321 IIII

AI 853 AIII 8531155022321

což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů

Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně

řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu

odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme

celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů

určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a

napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu

Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 25

Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy

ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45

Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25

52

Řešeniacute

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor

2132

111

RRR

tedy odpor 32

3232

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema

Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor

R123 = R1 + R23

Naacutehradniacute obvod pak je

Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů

Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321

1R

UI

Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na

jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu

Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11

53

Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy

Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem

Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1

Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB

2

2R

UI AB

Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III

Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute

Přiacuteklad 26

Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49

Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26

Řešeniacute

Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor

5445

111

RRR

tedy odpor 54

5445

RR

RRR

1

54

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute

Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit

R345= R3 + R45

Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema

Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute

Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je

daacutena vztahem

3452

34522345

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod

Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute

55

Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro

tento obvod je

R12345= R1 + R2345

což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

12345

1R

U

R

UI

C

Napětiacute U1 na rezistoru R1

111 IRU

Napětiacute UAC mezi uzly A a C je

12345 IRU AC

Vypočteme proudy I2 a I3

2

2R

UI AC

345

3R

UI AC

Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3

333 IRU

Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C

54 UUUBC

345 IRUBC

Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5

4

4R

UI BC

5

5R

UI BC

Obvod je kompletně vyřešen

Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve

smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů

56

Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů

Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona

0321 III

Pro uzel B musiacute platit

0543 III

Pro uzel C

01542 IIII

Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona

021 UUU

Pro smyčku y platiacute

0243 UUU

Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků

472 Transfigurace

V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou

zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit

postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech

přiacutekladech

Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute

57

Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)

a) b)

Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy

Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka

rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute

jako působeniacute trojuacutehelniacuteka

Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56

Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu

Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech

přiacutekladech

Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi

stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute

233112

23311212

)(

RRR

RRRRCelk

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute

201012 RRRCelk

Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute

2010

233112

233112 )(RR

RRR

RRR

Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1

58

3020

233112

311223 )(RR

RRR

RRR

3010

233112

231231 )(RR

RRR

RRR

Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro

adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro

adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Přiacuteklad 27

Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li

napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30

R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57

Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27

Řešeniacute

Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a

daacutele zjednodušujeme podle obr 58

59

1 2

3 4 5

Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu

Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc

6100

600

503020

3020

321

21

RRR

RRRa

15100

1500

503020

5030

321

32

RRR

RRRb

10100

1000

503020

5020

321

31

RRR

RRRc

Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

50401044 RRR cc

Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

75601555 RRR bb

Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je

307550

7550

54

5454

bc

bcbc

RR

RRR

Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

3630654 bcacelk RRR

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je

16706

1

36

6

celkR

UI A

60

Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je

56

1305454 IRU bcbc V

Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je

0667015

1

75

5

5

545

b

bcb

R

UI A

Napětiacute rezistoru R5 je

415

160555 bIRU V

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu

Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do

elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii

Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute

U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho

svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0

481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute

Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute

poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se

vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek

nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem

napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno

= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy

nulovyacute)

Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult

U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se

zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje

Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute

61

Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj

Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I

RR

UI

i 0

Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je

iRIUU 0

Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika

zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost

Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je

malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem

odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute

vnitřniacute odpor Ri

Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik

Obr 62 - Proud nakraacutetko

62

U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně

zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů

měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute

Přiacuteklad 28

Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru

proudu 02 A je 58 V

Řešeniacute

Proud nakraacutetko bude

i

kR

UI 0

Svorkoveacute napětiacute U je

iRIUU 0

iR 20685

Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri

120

856

iR

Proud nakraacutetko tedy je

61

60 i

kR

UI A

482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute

podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje

Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute

vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech

zdrojů

Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU

Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR

Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU

Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem

napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute

010 UnU 1UnU 1ii RnR

63

Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho

hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by

hrozilo poškozeniacute zdroje

a) b)

Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně

Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů

Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je

jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se

všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat

z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů

Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute

napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly

vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit

02010 UUU a 21 iii RRR

Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute

21 zZz III

Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute

1zz InI nUUUU 002010 n

RR i

i1

Přiacuteklad 29

Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15

V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A

Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A

Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje

64

Řešeniacute

Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud

01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64

Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů

Celkovyacute vnitřniacute odpor bude

32

23

2

3 1

iiacute

RR

Proud nakraacutetko bude

513

5133 01

i

kR

UI A

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi

Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory

využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny

rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty

491 Dělič napětiacute

Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute

65

a) b)

Obr 65 - Dělič napětiacute

Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

21 RR

UI

tedy U

RR

RR

RR

URIU

21

22

21

22

Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2

platit

z

z

RR

RRR

UI

2

21

a po dosazeniacute

URRRRRR

RR

RR

RR

RR

RRR

U

RR

RRIU

zz

z

z

z

z

zz

z

2121

2

2

2

2

21

2

22

Přiacuteklad 30

Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66

Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič

napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o

odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V

Řešeniacute

Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem

R1 + R2 = 1000

tedy R1 = 1000 ndash R2

66

a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

241000

2

21

22

RU

RR

RU

b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute

24500500)1000()1000(

500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

c)

2415001500)1000()1000(

1500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho

napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič

Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory

492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru

k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek

Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem

67

Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute

bbAA RIRI a tedy A

b

b

A

R

R

I

I

Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to

v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku

Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute

tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku

A

b

Am

A

R

R

II

I

A

b

AA

A

R

R

IIn

I

)1(

n

RR A

b

Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash

viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor

Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem

Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory

předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na

předřadneacutem odporu a na voltmetru

pVm UUU p

V

p

V

R

R

U

U

Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy

Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu

)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p

V

V

V

R

R

nU

U

)1(

Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp

Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet

Přiacuteklad 31

Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo

možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA

68

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 2010

200n kraacutet

Odpor bočniacuteku bude 581)120(

30

)1(

n

RR A

b

Přiacuteklad 32

Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak

aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 5120

600n kraacutet

Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp

493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu

V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute

měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute

zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu

Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou

Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA

naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je

omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV

Velikost odporu RX je

iV

VA

V

VA

V

x

xx

R

UI

U

II

U

I

UR

Přiacuteklad 33

69

Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud

ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70

Řešeniacute 95201680

16

003200200

16

5000

16020

16

iV

VA

Vx

R

UI

UR

494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně

širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem

)1(12 RR

kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty

Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute

teploty

Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty

odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2

)1(12 RR 11

2

R

R

11

2

R

R

1

12

R

RR

Měřenaacute teplota je tedy

1

12112

R

RR

Přiacuteklad 34

Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu

je-li

hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o

velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je

20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71

Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty

Řešeniacute

Odpor při 20o C je R1 = 200

Odpor při o C je R2

70

27020

5400

20

1045

1020

1020306 3

3

3

2

A

AA

I

IRUR

Měřenaacute teplota je tedy

510780

7020

104200

20027020

3

1

1212

R

RR o C

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech

Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly

v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly

lineaacuterniacute obvody

V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale

vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute

Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku

Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na

nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a

odpor je tedy vyššiacute

Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a

pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika

nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

a) b)

Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech

obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute

zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku

Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme

pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je

daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute

charakteristikou zdroje

71

Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu

Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen

nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici

a) b) c)

Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu

c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA

charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem

prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto

hodnoty odečteme z grafu

Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu

Přiacuteklad 35

Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je

napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute

podle obr 76 a)

a) b)

72

Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku

Řešeniacute

Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute

že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash

je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho

a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme

Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou

proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek

křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem

z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP

VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body

U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A

Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35

Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je

Ip = 27 mA

Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom

dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho

proudu s VA charakteristikou rezistoru R1

Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož

vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku

hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN

Přiacuteklad 36

Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka

paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi

hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka

U (V) 1 2 3 4 5 6

73

I (A) 01 0165 022 025 028 03

Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32

Řešeniacute

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky

rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute

charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute

charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky

Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1

Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020

60 iR

UIk A

Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36

Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a

proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je

rovno 188 V

74

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji

Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech

zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute

zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na

uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet

tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute

Ohmova zaacutekona

Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech

rezistorů

Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že

jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet

všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než

byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu

Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute

že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou

orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti

směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80

Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3

Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech

Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci

zvolenyacutech smyček x a y

Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)

321 III (1)

75

Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

01221 UUUU RR (2)

Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

0232 UUU RR (3)

Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho

platiacute

111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)

Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod

Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)

0122211 UURIRI (2a)

023322 URIRI (3a)

Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)

0)( 232122 URIIRI (3b)

Upraviacuteme (3b)

02323122 URIRIRI

0)( 231322 URIRRI

32

3122

RR

RIUI

(3c)

a dosadiacuteme do rovnice (2a)

0122

32

31211

UUR

RR

RIURI (2b)

Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1

0122

32

312

32

211

UUR

RR

RIR

RR

URI

23321

323211

233121

3121322222

32

231

122

32

2

1

122

32

2

32

23111

)(

)(

RRRRR

RURRUI

RRRRRR

RURURURURU

RR

RRR

UURRR

U

I

UURRR

U

RR

RRIRI

Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2

76

I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3

Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a

(6)

Tiacutem je obvod kompletně vyřešen

Přiacuteklad 37

V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

100

Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37

Řešeniacute

Pro uzel A platiacute

321 III

Pro smyčku x platiacute

01122 RR UUUU

Pro smyčku y platiacute

0232 RR UUU

Dosadiacuteme do rovnic

02001010020 12 II 32010 12 II

010010020 23 II 21010 23 II

Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3

20

103 21

II

a

10

102 23

II

Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A

10

102

20

103 22

2 II

I

20

222 20420103 III

77

2507 I

14050

72 I A

Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3

08020

140103

20

103 21

II A

06010

140102

10

102 2

3

I

I A

Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče

v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

16200080111 RIUR V

14100140222 RIUR V

6100-006333 RIUR V

4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů

Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se

postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute

Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute

veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II

Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a

to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy

orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček

Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj

smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou

smyčkovyacutech proudů

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82

Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů

78

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib

Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona

Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba

Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb

Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme

011222 RIUURIRI aba

02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb

32

22

RR

RIUI a

b

01122

32

222

RIUUR

RR

RIURI a

aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute

Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia

01122

32

2

32

222

RIUUR

RR

RI

RR

RURI a

aa

21

32

2212

32

22 UU

RR

RURIR

RR

RIRI a

aa

312132

323121

3121223222

3222312122

1

32

222

21

32

22

RRRRRR

RURURU

RRRRRRRRRR

RURURURURU

RRR

RRR

UURR

RU

Ia

Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32

22

RR

RIUI a

b

a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se

smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

ab III 2

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute

Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

Přiacuteklad 38

79

Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

300 R4 = 200

a) b)

Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 83 b) kde R34 je

1205

600

200300

200300

43

4334

RR

RRR

Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky

a 0)( 1122 RIUURII aba

02001020100)( aba III

b 0)( 2234 RIIURI abb

0100)(20120 abb III

Upraviacuteme a dosadiacuteme

a 02001020100100 aba III 100

10300 a

b

II

b 0100)100

10300(20120

100

10300

a

aa III

Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme

0100103002012360 aaa III

02560 aI

0003571560

2aI A

Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali

Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib

80

0089286100

103000003571-

100

10300

a

b

II A

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je

shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu

smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

0092857)0035710(00892862 ab III A

Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou

10714291200089286343443 RIUU RR V

Proudy rezistory R3 a R4 jsou

0035714300

10714293 I A 0053571

200

10714294 I A

Napětiacute na rezistorech R1 a R2

07142862000003571111 RIUR V

928571000092857222 RIUR V

Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a

napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

020-10)(-0714286-92857

020-107142992857

0089286)(-00035710092857

Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku

Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute

pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by

bylo matematicky obtiacutežneacute

4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute

Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž

je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu

označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute

Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz

jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash

neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a

z nich pak proudy ve větviacutech obvodu

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84

81

Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R

je UA

Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute

321 III

Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a

dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice

32

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

21312321 )()( RRURRUURRUU AAA

21313123221 RRURRURRURRURRU AAA

31322131221 RRURRURRURRURRU AAA

313221

312321

RRRRRR

RRURRUU A

Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

1

11

R

UUI A

2

22

R

UUI A

3

3R

UI A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Přiacuteklad 39

Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30

R4 = 90

82

a) b)

Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 85 b) kde R34 je

12090304334 RRR

Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A

321 III

342

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

120100

20

200

10 AAA UUU

AAA UUU 10)20(12)10(6

AAA UUU 1012240660

107142928

300AU V

Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

-000357200

107142910

200

101

AU

I A

Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru

než byl původniacute předpoklad

928571400100

107142920

100

202

AU

I A

0089286120

1071429

1203 AU

I A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech

83

-071429200-000357111 RIUR V

9285714100928571400222 RIUR V

2678571300089286333 RIUR V

V 8035714900089286434 RIUR

4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice

Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl

připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze

tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86

Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj

jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho

obvodu

a) b)

Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice

84

Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky

je na obr 87 a)

32

3223

RR

RRR

R123 = R1 + R23

123

1

1R

UI

11

1 IRUR

11

RAB UUU

2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na

obr 87 b)

31

3113

RR

RRR

R123 = R2 + R13

123

2

1R

UI

11

1 IRUR

12

RAB UUU

1

1R

UI AB a

3

3

R

UI AB

Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje

Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute

1

11 III

2

22 III

3

33 III

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR

Přiacuteklad 40

Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

110 R4 = 130 R5= 240

1

85

Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34

2401301104334 RRR

Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345

120240240

240240

345

345345

RR

RRR

Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)

a) b) c)

Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)

5454545120100

120100

3452

34522345

RR

RRR

R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545

0039286 25454545

10

12345

1

1 R

UI A

78571430039286200

11

1 IRUR V

2142857785714310

11

RAB UUU V

86

214285700100

2142857

2

2 R

UI AB A

0017857120

2142857

345

345 R

UI AB A

Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)

75120200

120200

3451

34511345

RR

RRR

R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175

0114286 175

20

12345

2

2 R

UI A

1142860114286100

22

2 IRUR V

857142942861120

12

RAB UUU V

0042857200

8571429

1

1 R

UI AB A

0071429120

8571429

345

345 R

UI AB A

Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou

-0003570042857-0039286

1

11 III A

00928572142857000114286

2

22 III A

0089286

345

345345 III A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

-071429200-000357111 RIUR V

928571009285700222 RIUR V

107143212000892863453345 RIUU RAB V

10714325 ABR UU V

0044643240

1071432

5

55

R

UI A

1

1

87

0044643240

1071432

34

43 R

UII AB A

4910731100044643333 RIUR V

5803591300044643334 RIUR V

88

5 Magnetickeacute pole

Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute

magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud

Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda

Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute

předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute

magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute

zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje

vždy k severu

Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety

Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute

elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje

Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute

silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole

Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute

magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka

Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute

směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute

čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje

orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech

čaraacutech

Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar

Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -

označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)

a) b)

Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)

Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute

Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute

89

Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu

a) b) c)

Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely

c) podkovoviteacuteho magnetu

Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute

působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem

Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme

silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a

jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

521 Magnetickeacute pole vodiče

V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech

kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute

takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute

čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute

V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve

středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93

Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči

90

Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem

Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen

na obr 94

Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo

pravotočiveacuteho šroubu

Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute

vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole

Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu

Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve

směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar

91

53 Veličiny magnetickeacuteho pole

531 Magnetickyacute tok

Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem

Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem

poli Popisuje tedy pole jako celek

Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)

532 Magnetickaacute indukce

Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho

toku na jednotku plochy

SB

Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem

magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě

Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce

Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I

tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1

Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To

se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash

viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute

nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do

zeslabeneacuteho pole

a) b)

Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute

v magnetickeacutem poli

lIkonstF

Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a

označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)

lIBF (N T A m)

92

Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem

Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole

lI

FB

(T NA

-1m

-1)

Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole

Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem

jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity

magnetickeacuteho pole

Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel

pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude

sin lIBF viz obr 98

Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute

Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute

se podiacutelejiacute na jeho vzniku

Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)

Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je

magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo

93

Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute

magnetomotorickeacute napětiacute je tedy

Fm = I

Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho

magnetickeacuteho pole je

Fm = I1 - I2 + I3

Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute

danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute

n

i

im IF1

a) b)

Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)

Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet

všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro

tuto indukčniacute čaacuteru

n

i

mim UF1

Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute

Fm = Um1 + Um2 + Um3

534 Intenzita magnetickeacuteho pole

Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute

indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je

l

UH m (Am

-1 A m)

kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um

Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke

křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery

94

Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole

r

I

l

UH m

2

Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy

tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu

vodiče na rovině indukčniacute čaacutery

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi

intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute

Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem

magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem

bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce

indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole

vybudilo

Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B

Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu

souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah

přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB

Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme

v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a

nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute

HB

Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) (H) je jednotka henry ndash jejiacute

rozměr vysvětliacuteme později

Pro ostatniacute materiaacutely platiacute

HB r 0

kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než

vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1

95

Přiacuteklad 41

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud

8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče

5127323954104

1012

8

2

3

3

r

IH (Am)

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

115749051011

40

10112

8

2

2

3

r

IH (Am)

Přiacuteklad 42

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr

101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A

Obr 101 - Svazek vodičů

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku

2815720321 IIIFm A

6366198200

102

1022

8

2

2

2

r

FH m (Am)

Přiacuteklad 43

Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr

102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A

Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli

96

Řešeniacute

Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je

81201560 lIBF N

Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat

do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo

Přiacuteklad 44

Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad

Řešeniacute

0180)15020(60 SB Wb

Přiacuteklad 45

Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T

I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch

Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů

Řešeniacute

HB r 0 0= 410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

r

FH m

2 a

n

i

im IF1

Z toho plyne

r

m

BrHrF

0

22

150102

21015

104

00202 43

7

rFm A

321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A

97

54 Hopkinsonův zaacutekon

Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem

indukčniacutem tokem

Viacuteme že S

B

z toho SB

Protože platiacute HB a l

UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem

mm U

l

SS

l

USHSB

Vyacuteraz mUl

S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je

henry (H)

mm Ul

SG (H)

Platiacute tedy

mm UG

Rozměr jednotky henry

m

mU

G

)()()(2

A

mT

A

WbH

Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm

m

mG

R1

tedy S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku

Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek

Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti

magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku

Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy

deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu

S

lRm

1 kde r 0

Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je

hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny

pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho

magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu

98

Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin

Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute

Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute

Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute

pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny

Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky

poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r

551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů

Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole

Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů

po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin

elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky

se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute

U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute

uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře

materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy

sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4

m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem

magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a

tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu

vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho

pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel

vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost

že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je

zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě

magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika

Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika

99

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace

Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce

strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho

přiacuterůstku magnetickeacute indukce

Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato

čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity

magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při

navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi

body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute

charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute

Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů

Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho

pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť

Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje

tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute

intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou

magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a

značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat

v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity

magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute

hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute

intenzita (koercitivita)

Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom

nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při

snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem

magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba

opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev

popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka

Obr 105 - Hysterezniacute smyčka

100

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety

Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar

hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho

materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na

vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu

Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute

Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute

intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u

takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely

použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj

magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu

wolframu a molybdenu

Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou

koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute

tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech

střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet

Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem

a) b)

Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute

101

Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu

stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel

zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute

odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute

snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne

k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute

s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)

a) b)

Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka

Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am

102

Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu

Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg

103

Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik

104

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute

Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud

kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery l

IH přiacutepadně

l

FH m kde

n

i

im IF1

tedy součet všech proudů ktereacute se

podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole

Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův

zaacutekon

Biot-Savartův zaacutekon

Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon

Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l

je

sin4 2

r

lIH

kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A

Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky

kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov

561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče

Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute

tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu

průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude

stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem

pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)

Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x

IH

2

kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče

Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy

hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r

IH r

2

Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b

IHb

2

105

a) b)

Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)

Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera

Proudovaacute hustota J ve vodiči je

2r

I

S

IJ

Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia

2

22

2 r

aIa

r

ISJI aa

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy

2

2

2

222 r

aI

a

r

aI

a

IH

Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od

středu vodiče je přiacutemkovyacute

Přiacuteklad 46

Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti

15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A

Řešeniacute

Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je

509316000

1052

160

2 3max

r

IH Am

Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je

1273104

40

10160

10)155(2

160

2

33

35

x

IH Am

106

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

a) b)

Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar

nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve

středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit

sin4 2

r

lIH

Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute

24 r

lIH

Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce

zaacutevitu

r

Ir

r

Il

r

I

r

lIH

rr

22

444 2

2

02

2

02

Tedy r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute

2

Dl a

212

DDD

kde D je středniacute průměr ciacutevky 2

12 DDD

Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

107

Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se

podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu

ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr

Přiacuteklad 47

Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A

aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am

Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr a

2

12 DDD

1052

110100

2

12

DD

D mm a 5522

105

2

Dr mm

Počet zaacutevitů v ciacutevce je

5522

10001055222 3

I

HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů

564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute

podmiacutenka lD

Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka

108

Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119

Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem

Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje

severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom

konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)

Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute

magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu

lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je

l

IN

l

UH m

Přiacuteklad 48

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky

kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute

permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

250010505001010

505002

l

INH Am

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde

025132708010800000250080104 -7-7

0 HB r T

a

109

662232 10176714610)2

15()10

2

15( rS m

2

46 10444132201017671460251327 SB Wb

565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o

kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech

kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute

Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole

Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude

intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r

kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute

než d

Magnetickeacute napětiacute Um je

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je

r

IN

l

UH m

2

Přiacuteklad 49

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400

zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro

vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole je

10185923200

10

320

2

10102

80400

22

2

D

INH Am

110

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme

z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1

Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu

662232 107853982105)102

10( rS m

2

46 101115265107853982421 SB Wb

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok

Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly

tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem

dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje

a) b)

Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami

111

Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem

menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto

větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute

větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze

daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je

mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku

kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok

Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že

součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech

toků z uzlu vystupujiacuteciacutech

01

n

k

k

Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute

magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute

n

k

mkm UF1

Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon

m

m

R

U

kde

S

lRm

1 (H

-1) r 0

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem

Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu

Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem

průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se

uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej

v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat

Přiacuteklad 50

Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku

z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4

Wb D = 80 mm

d = 20 mm

Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro

112

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je

SB

kde 662232 101431010)10

2

20( rS m

2

127314

400

10143

1046

4

SB T

Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro

materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute je

31415938025110801250 3 DHlHFm A

Budiacuteciacute proud bude

1570796200

3141593

N

FI m A

Přiacuteklad 51

Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute

permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu

Řešeniacute

Z Hopkinsonova zaacutekona m

m

R

U je

m

m

UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm

44

4107854

4

102314

104

2314

mm

FR H

-1

Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu

S

lRm

1

kde 00010161250

271

H

B (Hm

-1)

633

6

3

100787143

1080

1016

101

10143

1080

0001016

11

S

lRm H

-1

Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem

zaokrouhlovaacuteniacute

Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu

HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7

Hm-1

113

58081008085071250 4

10101270

1250 10 4

271 33

7-

0

H

Br

Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou

Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute

v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2

Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou

Magnetickaacute indukce je S

B

je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute

Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r

BH

0

Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita

feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než

intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu

00

BBH

r

gtgt rFe

Fe

BH

0

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

0

BHUm

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

lB

lHUr

FemFe 0

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

mFemm UUF

Po dosazeniacute

0

BUUF mFemm l

B

r

0

114

Přiacuteklad 52

Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se

vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve

vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet

hodnotu maximaacutelně 08 A

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

100954934

1012

104

21

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

1435395105110095493 36 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

A2997929)5180(21

)10511080(1200)(1200 33

DlHU FemFe

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

173518829979291435395 mFemm UUF A

Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka

2169216898508

1735188

I

FN m zaacutevitů

Přiacuteklad 53

Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500

zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je

vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg

115

Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

1201803009020060500221121 ININFFF mmm A

Intenzita magnetickeacuteho pole

375032

120

l

FH m Am

Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra

B = 12 T

Celkovyacute magnetickyacute tok je

34 10081103321)030030(21 SB Wb

Přiacuteklad 54

Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby

magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro

elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu

Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54

116

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

3182)9070(2 l mm

Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

10127324104

104

61

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

336 10254647910210127324 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

1113103183500 3 lHU FemFe A

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

36595525461113 mFemm UUF A

Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a

provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů

Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak

73195

36595

I

FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a

budiacuteciacute proud bude 4574375800

36595

N

FI m

b A

Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je

znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např

pro dvě čaacutesti obvodu

21 mm

m

RR

U

ndash Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a

proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena

magnetizačniacute křivkou

Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce

)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak

možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm

117

Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a

pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm

Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2

tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm

Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf

Obr 127 - Funkce )( mFf

Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute

naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute

napětiacute z grafu funkce )( mFf

Přiacuteklad 55

Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech

materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle

obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů

Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

118

Řešeniacute

Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu

75051500 INFm A

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je

18090452 plechyl mm

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je

14090252 litinal mm

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm1

Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute

pro oba materiaacutely

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0555556109

1054

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

200 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

3723363610140240010180200 33

1

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm2

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0777778109

1074

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

400 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

8147427210140530010180400 33

2

Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4

Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4

Wb sestrojiacuteme

v Excelu graf funkce )( mFf

119

Fm (A) 372 814

Wb 00005 00007

Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb

58 Elektromagnetickaacute indukce

581 Indukčniacute zaacutekon

Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute

pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy

Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat

elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud

Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem

Indukčniacute zaacutekon

Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje

elektrickeacute napětiacute u

dt

du

kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku

dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d

120

Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon

Pozn

Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu

veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit

Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i

Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud

Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem

ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)

Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem

ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie

Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute

opačnou polaritu u = -e

Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash

viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute

dt

dNu

(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)

Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce

121

Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok

zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li

tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute

Přiacuteklad 56

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky

homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T

a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute

napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)

Řešeniacute

Magnetickyacute tok je

SB

Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0

Po 05 s bude tok

44 106110208 SB Wb

Změna magnetickeacuteho toku bude

44

01 106101061 d Wb

Změna času bude

050dt s

Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to

4801048001032150050

1061150 44

4

dt

dNu V

V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute

je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute

indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute

Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133

Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56

122

582 Pohyboveacute napětiacute

Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute

Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na

jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič

vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto

smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho

toku se neměniacute

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz

obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute

Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute

Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt

du

Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy

zmenšiacute o hodnotu

ltvBlsBSB

Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude

vlBt

ltvB

dt

du

)(

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok

smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity

vlBt

ltvB

dt

du

Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče

elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute

Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem

Lenzův zaacutekon

Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem

polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou

123

Obr 135 - Lenzův zaacutekon

Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute

pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr

proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo

Přiacuteklad 57

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o

magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do

magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor

rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0

o a c) 60

o

Řešeniacute

a) Při uacutehlu 90 o

bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to

180503021 vlBu V

b) Při uacutehlu 0

o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru

indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je

nulovaacute

u = 0

c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka

rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami

rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti

rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem

čaraacutem

250505060cos50 0 kolmaacutev ms

Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky

124

Indukovaneacute napětiacute pak bude

0902503021 kolmaacutevlBu V

583 Vlastniacute indukčnost

Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute

magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude

indukovat napětiacute

dt

dNu

Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky

Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m

m

R

U kde INUm a tedy po dosazeniacute

mR

IN

můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu

za čas dt

mR

diNd

V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute

dt

R

diN

u m

Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute

dt

di

R

N

dt

R

diN

Ndt

dNu

m

m

2

Vyacuteraz mR

N 2

byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet

125

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

mR

NL

2

Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je

di

dtuL

1

)(

)()()(

AsV

A

sVH

Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita

materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky

Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute

nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu

Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute

hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se

v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se

nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

Přiacuteklad 58

Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů

vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm

Řešeniacute

Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka

Indukčnost ciacutevky je

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm

a S = r2 = 52

=7853982 mm2

3

672

0

2

1020

10547810450

l

SNL r

126

66

372 1039320

105478101041025

H

Přiacuteklad 59

Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli

se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm

Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400

Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm

23

3

7

0 )1010(

1051

104

11

S

Rm

66437

102534

10100101051

4

10

H

-1

Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru

23

33

7

0 )1010(

10511080

400104

11

S

lR

r

Fem

6437

4

337

101564004

105781010

10

10511080

4004

10

H

-1

Indukčnost ciacutevky je

0549561532

51

10)561532(

1500 2

6

222

mFemm RR

N

R

NL

H

584 Vzaacutejemnaacute indukčnost

Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2

(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute

tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140

127

Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost

Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i

jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje

elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude

indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet

dt

dikonstu 1

2

Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou

vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona

Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem

napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1

111 INFm

Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost

magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou

12

1112

mR

IN

Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude

dt

diM

dt

di

R

NN

dt

di

R

NN

dt

dNu

mm

11

12

121

12

12

1222

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je

12

12

mR

NNM

Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř

všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem

sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1

128

Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami

Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je

mR

NL

2

11

mR

NL

2

22

Vzaacutejemnaacute indukčnost M je

mR

NNM 12

Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme

21

2

1

2

2

2

2

1

2

22122 )( LLRR

NN

R

NN

R

NNM

mmmm

a tedy

22 LLM

Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute

ciacutevce bude

dt

di

R

N

dt

diLu

m

2

111

a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude

dt

di

R

NN

dt

diMu

m

212

Poměr napětiacute 2

1

u

uje

2

1

21

2

1

2

1

N

N

dt

di

R

NN

dt

di

R

N

u

u

m

m

Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

129

Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale

dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě

o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek

Pak

22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Přiacuteklad 60

Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů

primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr

142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je

800

Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Magnetickyacute odpor RmFe

64273

23

3

7

0

100353678984

10101010320

)1030(

10320

800104

11

S

lR

r

Fem

H-1

Indukčnost prvniacute ciacutevky

28274330353678

1

100353678

10006

22

11

mFeR

NL H

Indukčnost druheacute ciacutevky

636000353678

1051

100353678

150 22

6

22

22

mFeR

NL H

Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek

0381704636002839022 LLM H

130

Přiacuteklad 61

Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho

přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s

Řešeniacute

Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce

770002

01-06282743311

dt

diLu V

Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce

549002

01-0638202

dt

diMu V

Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute

ciacutevce bylo u2ideaacutel

1060288020

50

0353678

150

002

01-06

100353678

15010006

1

12

122

dt

di

R

NNu

m

ideaacutel V

Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667

Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667

Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute

2

1

2

1

N

N

u

u hellip transformačniacute poměr

585 Spojovaacuteniacute ciacutevek

Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je

Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně

Ciacutevky spojeneacute seacuteriově

Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143

to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat

stejneacute napětiacute

Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

131

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu kde dt

diLu 11 a

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )( 2121 LLdt

di

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL

Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute

vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k

kLL1

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute

indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet

Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M

je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash

viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet

132

Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti

soběldquo

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Ciacutevky spojeneacute paralelně

Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr

146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech

indukovat stejneacute napětiacute

Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi

kde dt

diLu 1

11 a dt

diLu 2

22

a tedy dt

diLu 1

1 a dt

diLu 2

2

z toho 1

1

L

u

dt

di a

2

2

L

u

dt

di

133

Po dosazeniacute 21 dididi

21 L

u

L

udi

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu z toho

L

u

dt

di

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21

111

LLL

Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute

vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute

jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k kLL 1

11

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz

obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute

MLMLL

21

111

Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash

viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet

MLMLL

21

111

Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

134

Přiacuteklad 62

Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost

seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute

indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH

Řešeniacute

Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je

MLLL 221

Z toho

202

)40100(180

2

)( 21

LLL

M mH

585 Přechodovyacute jev na indukčnosti

Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce

dt

diLuiL

Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji

stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute

odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor

bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku

poškodil)

V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na

indukčnosti

Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon

V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud

jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0

pak vyacuteraz dt

diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem

Pro t0 platiacute

t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0

135

V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu

největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute

to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = konst di = 0 0dt

di

0dt

diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0

R

U

R

ui R 0

V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud

v obvodu je omezen jen odporem rezistoru

Průběh proudu a napětiacute je na obr 150

Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i

napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na

ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty

t

L eUu

0

kde

R

L

Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti

59 Energie magnetickeacuteho pole

Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově

působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud

Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute

průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute

udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem

mm UW 2

1 (J Wb A)

Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie

nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu

136

HBlS

U

V

U

V

Ww mmm

m

2

1

22

Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke

konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je

lSHBVHBVwW mm 2

1

2

1

Přiacuteklad 63

Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky

Řešeniacute

Energie magnetickeacuteho pole je

mm UW 2

1

kde INUm a mR

IN

Po dosazeniacute

mm

mmR

ININ

R

INUW

22

2

1

2

1

2

1

Protože LR

N

m

2

dostaneme vyacuteraz 2

2

1ILWm

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy

Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech

materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole

Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech

vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve

vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti

přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti

plneacuteho průřezu

137

Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech

Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute

energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou

energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů

Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute

jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety

způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce

Pv f 2 B2

Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute

z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm

transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute

budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute

množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute

vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru

V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu

Hysterezniacute ztraacutety

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky

138

Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute

ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci

Ph f B2

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově

proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi

proudy

PFe = Ph + Pv

V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole

silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce

vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli

lIBF

Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute

vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka

magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute

sin lIBF viz obr 153

Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho

magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho

Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole

působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem

proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela

139

Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Velikost siacutely F

lIBF 21

kde 101 HB r 0=410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

kde r

IH

21

1

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

7-212

17-

21 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

(N A A m m)

Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič

Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute

vodič

7-211

27-

12 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute

a vodiče se tedy odpuzujiacute

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je

zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute

140

Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute

Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi

rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7

N na 1 m deacutelky

vodičů

Přiacuteklad 64

Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm

rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho

proudu v nich je 40 A

Řešeniacute

Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je

3-7-

2

7-21 101920010105

304040210

I2

r

lIF N

5121 Elektromagnety

Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta

ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157

Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute

feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou

Obr 157 - Elektromagnet

141

Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na

pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru

Přitažlivaacute siacutela magnetu

Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce

B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti

magnetickeacute indukce B

Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu

V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou

posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie

magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie

magnetickeacuteho pole

dlSB

dlSB

BdlSHBWm 0

2

0 2

1

2

1

2

1

a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F

dlFA

Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2

02

1

Platiacute že S

B

a mR

IN

kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet

hodnota RmFe zanedbaacutevaacute

Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

142

Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem

přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze

magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute

Přiacuteklad 65

Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm

plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je

66

47

3

47

3

0

1053051656

10100

103102

10

109104

10322

S

lR v

m H-1

Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

9)5305165(42

1010104109

109)105305165(

2300

1042

12

41274

426

22

7

F

65852814303

500

28143032

100010

9281430342

49 3

F N

143

6 Střiacutedaveacute proudy

Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud

se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute

střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T

Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute

čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny

označeniacute přiacuteslušneacute veličiny

Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute

proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je

praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy

harmonickeacute Babyčka

Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu

Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute

jednotkou je hertz značka Hz

Doba jedneacute periody je

fT

1 (s Hz)

Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute

průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz

až MHz

Přiacuteklad 66

Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě

Řešeniacute

02050

11

fT s

144

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii

Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu

Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy

Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel

tft

f

tT

21

22

Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za

jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se

f 2 (rads-1

)

Platiacute tedy

)sin(max tIi

Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel

nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute

Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu

145

Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh

sinusoidy

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje

Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu

Přiacuteklad 67

Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou

hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz

a proud je faacutezově zpožděn o 30o

Řešeniacute

Doba periody je

02050

11

fT s

Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2

Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute

zpožděniacute 30o

30o je 6 radiaacutenů 0001667

12

1020

2

61

Tt s

Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je

)6

00152sin(25)tsin( 0015)( max

fIi

-216207)6

0015314sin(25)6

0015502sin(25 0015)(

i mA

146

62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne

průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163

Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět

Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace

Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory

znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich

působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute

Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe

v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je

vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval

U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy

bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)

bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů

bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)

bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)

631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v

stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute

harmonickyacute proud (napětiacute)

Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině

proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je

tIRUtIW 2

147

2IRUIt

WP

Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval

dt je

dtiRdW 2

dttIRdtiRdW )(sin22

max

2

Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu

bdquoRplocha pod křivkou i2

ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164

rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i

2 po

dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho

proudu daneacuteho průběhu Platiacute

2

2

max2 II

2

maxII což je 7070max II

Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i

silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu

632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost

stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud

Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za

jednotku času

t

QI tIQ

Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165

148

Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod

přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody

a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute

pro stejnosměrnyacute proud QT

Imed 2

a

pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q

Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho

počtu dospět k vyacuterazu

max

2IImed

což je max6370 IImed

Přiacuteklad 68

Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce

Řešeniacute

Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě

230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy

V 32523022max UU

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem

čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho

velikost je

vlBU

kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje

l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole

v je rychlost pohybu vodiče

149

Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se

vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B

magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166

Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute

Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je

velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute

Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute

Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr

168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v

každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli

Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem

pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich

150

obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za

minutu)

Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto

okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a

velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0

a) b) c)

Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli

Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu

v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v

a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to

vlBui

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem

směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato

napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je

max22 UrlBvlBui

Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute

s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu

kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute

indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute

v zaacutevitu v obecneacute poloze je

sinsin22 max UvlBvlBu xi

151

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute

Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden

zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-

kraacutet většiacute

)sin(max tUNui

Přiacuteklad 69

Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm

b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce

B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s

Řešeniacute

Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh

)sin(2 tvlBui

Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je

560

300

60

nf Hz

Uacutehlovaacute rychlost je

431522 f s-1

Rychlost otaacutečeniacute v

rv kde 2

2

1022

104

2

a

r m

6280102431 2 rv ms

Tedy

tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22

Doba jedneacute periody T je

205

11

fT s

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)

152

a) b)

Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69

V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil

praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)

65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže

Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je odpor R

Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež

charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L

Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C

651 Odporovaacute zaacutetěž

Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě

odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a

proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute

vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie

Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

153

Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je

)sin()sin()sin(

max

maxmax tItR

U

R

tUi

Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve

faacutezi

Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R

UI max

max

Pro efektivniacute hodnoty platiacute R

UI

Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži

Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je

2iRiup

Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je

2IRIUP

Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon

jednotkou je watt (W)

652 Induktivniacute zaacutetěž

O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu

připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)

Pak platiacute

dt

diLui

a) b)

Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute

maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu

Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud

neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute

154

Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute

maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj

v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di

lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute

čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax

Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem

indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o

Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah

)sin(max tUu

pak průběh proudu je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak

indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna

proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute

rychlost viz obr 173

Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt

Platiacute

LXILIU maxmaxmax

kde XL je tzv indukčniacute reaktance

LX L ()

Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem

proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze

ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento

odpor minimaacutelniacute)

Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu

LX

UI max

max a LX

UI

Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo

uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL

155

Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce

Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute

do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je

okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute

V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět

zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute

směr

V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie

ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho

efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud

kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute

vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud

653 Kapacitniacute zaacutetěž

O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen

kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)

Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět

156

vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita

elektrickeacuteho pole

a) b)

Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute

pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na

deskaacutech kondenzaacutetoru o dq

dtidq

Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du

C

dti

C

dqdu

Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i

dt

duCi

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute

maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud

napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je

du = 0 a tedy i proud je nulovyacute

Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud

maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t

= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a

proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t

= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax

Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute

proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)

Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute

jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt

Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute

uacutehlovaacute rychlost

157

CUI maxmax

Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde

CX C

1

Pak lze psaacutet

CX

UI max

max a pro efektivniacute hodnoty CX

UI

Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177

CfCX C

2

11

Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute

k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud

neproteacutekaacute

Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu

napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem

kondenzaacutetoru

158

V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se

dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute

do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor

nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje

v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije

nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech

V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze

k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do

zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute

se Q a jeho efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a

nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor

Přiacuteklad 70

Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F

pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz

Řešeniacute

V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf

X C

2

1

Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70

159

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity

indukuje se v niacute napětiacute u1

dt

diLu 1

11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU

V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje

napětiacute u2

dt

diMu 1

2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12

kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou

Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů

Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2

zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2

dt

diLu 2

22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU

V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce

indukovalo napětiacute u1

dt

diMu 2

1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21

Transformačniacute poměr

Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR

NL

2

11 a

mR

NL

2

22

Z toho vyplyacutevaacute že 12

12

mR

NNM

Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1

mR

NILIU

2

11111

a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2

12

12112

mR

NNIMIU

160

Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je

2

1

12

121

2

11

2

1

N

N

R

NNI

R

NI

U

U

m

m

Poměr 2

1

2

1

N

N

U

U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu

zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu

elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit

přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute

přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se

napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute

400230 V

66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech

obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě

indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R

Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů

střiacutedaveacuteho proudu

Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho

proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute

respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu

661 Seacuteriovyacute RC obvod

Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože

je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a

tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu

161

Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je

IRUR

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC

Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z

22 RXZ C ()

Pak

ZIU

Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je

22 RX

U

Z

UI

C

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

181 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 71

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost

faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

C

kde velikost kapacitniacute reaktance je

1592

1000

10501022

1

2

1163

CfC

XC

Proud

0470256

12

200159

12

2222

RX

UI

C

A = 47 mA

162

Napětiacute na rezistoru UR

3990470200 IRUR V

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC

4770470159 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

078247912

399cos

U

U R = 0672159 rad = 385o

Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71

662 Seacuteriovyacute RL obvod

Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je

tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL

163

Impedance obvodu je

22 RXZ L ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22 RX

U

Z

UI

L

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

183 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 72

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho

posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

L

kde velikost induktivniacute reaktance je

1257405022 LfLX L

Proud

154807125

230

2222

RX

UI

L

A

Napětiacute na rezistoru UR

12454180 IRUR V

Napětiacute na ciacutevce UL

1945417125 IXU LL V

Faacutezovyacute uacutehel je

0537029230

124cos

U

U R = 1003885 rad = 57 5o

164

Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72

663 Seacuteriovyacute LC obvod

Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I

Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute

)( CLCLCL XXIIXIXUUU

Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter

Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter

165

664 Seacuteriovyacute RLC obvod

Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy

proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL

Impedance obvodu je

22)( RXXZ CL ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

186 je cos

U

IR

U

U R cos

166

Přiacuteklad 73

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute

diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V

frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

kde velikost induktivniacute reaktance je

4512805022 LfLX L

avelikost kapacitniacute reaktance je

7957747250

1040502

1

2

116

CfC

XC

Proud

109746209

230

120)6794251(

230

)( 2222

RXX

UI

CL

A

Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou

713109741120 IRUR V

2759097414251 IXU LL V

87309741679 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

0572579230

7131cos

U

UR = 0961148 rad = 55 1o

Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73

167

665 Paralelniacute RC obvod

Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RC III

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

188 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

CC

RC

Z

UI

22

11

1

RX

Z

C

22

111

RXZ C

168

666 Paralelniacute RL obvod

Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RL III

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

189 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

LL

RL

Z

UI

22

11

1

RX

Z

L

22

111

RXZ L

169

668 Paralelniacute LC obvod

Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute

CL

CLX

U

X

UIII

Impedance LC obvodu je

CLXXX

U

X

U

U

I

UZ

CLCL

1

1

11

1

Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy

CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0

Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se

opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a

ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li

CL

1

což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence

170

CL

1 Cf

Lf

0

0

22

1

CLf

2

10

669 Paralelniacute RLC obvod

Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCXC

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22)( RCL IIII

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

191 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

171

2222

22 111)(

RXXU

R

U

X

U

X

UIIII

CLCL

RCL

Z

UI

22

111

1

RXX

Z

CL

22

1111

RXXZ CL

Přiacuteklad 74

Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož

odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete

faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =

230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute

Řešeniacute

Velikost proudu rezistorem je

0766667300

230

R

UIR A

Velikost proudu ciacutevkou je

091514180502

230

2

Lf

U

X

UI

L

L A

Velikost proudu kondenzaacutetorem je

072256610321010502230

2

16

Cf

U

X

UI

C

C

Celkovyacute proud je

07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem

096987279050

7670cos

I

IR = 141o

Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR

I = IR =0767 A

A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0

562697782

1000

1010802

1

2

1

60

CLf Hz

172

Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74

Přiacuteklad 75

Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10

kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)

Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce

Řešeniacute

Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem

odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti

rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)

Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

314101005022 3 LfLX L

Proud ciacutevkou

0732113

3141592

230

98696

230

10314

230

2222

RX

UI

L

A

Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je

7321073211310 IRU R V

173

Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je

229880732113314 IXU LL V

Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je

003183230

7321cos

U

UR

1538961 rad 8817594 o

Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute

Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti

na čase

)502sin(2302)sin(max ttUu

přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms

=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)

)5391502sin(7322)sin(max ttIi

přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA

=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)

Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75

Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute

36573203217 IUP R W

Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute

3168073222988 IUQ L VAr

Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute

41680732230 IUS VA

174

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody

Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute

posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory

v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy

s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 76

Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute

indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F

Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz

Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76

Řešeniacute

Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech

Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR

je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute

součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o

předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

62810100100022 3 LfLX L

Proud IRL je

0020325

118084

24

1394384

24

1000628

24

2222

RX

UI

L

RL A

Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je

3252000203251000 IRU R V

12763790020325628 IXU LL V

175

Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je

084687524

32520cos RL

U

U R = 3212661o

Proud kondenzaacutetorem IC je

C

CX

UI

kde 1591549102

10

101010002

1

2

112

6

6

CfCX C

0015081591549

24CI A

Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi

s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka

IRLj

a) b)

Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)

Činnaacute složka IRLč

001721384687500020325cos RLRLRLč II A

Jalovaacute indukčniacute složka IRLj

0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A

Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC

tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy

2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A

09999630172130

0172130cos

I

I RLč = 05o

Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve

větvi RL

176

Přiacuteklad 77

Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o

indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby

byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem

Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77

Řešeniacute

Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka

proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC

Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL

- viz obr 198 a)

a) b) c)

Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77

Proud ve větvi s ciacutevkou

0315547

5188

24

100304002

24

2222

RX

UI

L

RL A

Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou

155473031554710 RLR IRU V

237916603155470304002 RLLL IXU V

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou

o82445d1438937ra

013147824

155473cos

RL

RRL

U

U

177

Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru

na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)

004148701314780315547cos RLRLč II A

031280709913190315547sin RLRLj II A

Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je

tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně

kompenzovaacuten pak platiacute

CRLj II a tedy IC = 0312807 A

Proud kondenzaacutetorem je

0312807C

CX

UI A

a tedy kapacitniacute reaktance je

7672451 0312807

24

C

CI

UX

Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet

CfXC

2

1

CXfC

2

1

666

1051859221072451764002

101

72451764002

1

C F

Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o

kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL

což je 0041487 A

Přiacuteklad 78

Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr

199 Řešte obecně

Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78

Řešeniacute

Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu

178

Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se

zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90

o předbiacutehaacute Vyneseme

tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR

je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U

CL

L

ABL

c

ABC

R

ABR

III

X

UI

X

UI

IRU

UUU

222

Po dosazeniacute

2

2

2222222

AB

c

AB

L

AB

ABCLABABR

UX

U

X

UR

UIIRUIRUUU

2

2

22

2

2 111

cL

ABAB

c

AB

L

AB

XXRUU

X

U

X

URU

2

2

22

2

22 11cL

LcAB

cL

LcAB

XX

XXRU

XX

XXRUU

2

2

1cL

Lc

AB

XX

XXR

UU

Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute

na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU

66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute

zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do

magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute

kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje

Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute

IUP

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon

iup

179

Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute

posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute

nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a

z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a

jejiacute jednotkou je voltampeacuter

IUS (VA V A)

Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute

přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži

Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute

nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je

s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem

pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a

induktivniacute zaacutetěži je cos = 0

Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o

90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute

energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je

voltampeacuter reaktančniacute

sin IUIUQ j (Var V A)

Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem

cos IUP sin IUQ IUS 2

2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS

22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP

Platiacute tedy že

222 SQP

což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200

Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu

180

Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A

měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute

napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a

hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku

Přiacuteklad 79

Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete

zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos

Řešeniacute

1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou

prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se

v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen

jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)

Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI

Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud

předřazenyacutem odporem

a) b)

Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti

2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)

Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute

induktivniacute reaktanciacute XL

Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute

hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL

(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute

indukčnost ciacutevky L

181

I

UZ

22 RZX L f

XL L

2

Z

R

IZ

IR

U

UR

cos

IUS cos IUP sin IUQ

67 Rezonance

Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti

indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute

tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute

Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin

rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme

rezonančniacute frekvence a značiacute se f0

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz

obr 202

Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram

Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro

rezonanci XL = XC

Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je

22)( RXXZ CL

Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji

jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0

Z0 = R

Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to

R

UI 0

182

Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost

ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC

LfCf

0

0

22

1

2

022

1f

CL

CLf

2

10

Rezonančniacute křivka

Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)

2222 )2

12()( R

CfLfRXXZ CL

Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)

Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel

je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0

Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute

R

CfLf

arctg

2

12

Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je

22)2

12( R

CfLf

U

Z

UI

Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute

kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute

odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu

Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R

Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL

183

a napětiacute na kondenzaacutetoru IC

IXU CC

1

Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy

0000 ILUU CL kde R

UI 0

Po dosazeniacute je

UR

L

R

ULILUU CL

0

00000

Vyacuteraz R

L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti

Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti

Pak UQXU CL 00

To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka

napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při

naacutehodneacutem dotyku

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod

Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz

obr 205

Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram

184

K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna

velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute

složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R

reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0

Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat

kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter

Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude

převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter

Proud ciacutevkou je

22222 RLf

U

RX

UI

L

RL

Jalovaacute složka proudu IRL je

RLRLRLj II sin kde 222

2sin

RLf

Lf

Z

X

ZI

XI

U

U

RL

L

RLRL

LRLLRL

Po dosazeniacute

222222 2

2

2

2

2 RLf

ULf

RLf

Lf

RLf

UIRLj

Činnaacute složka proudu IRLč je

222222222

cosRLfI

RI

RLf

U

U

U

RLf

UII

RL

RLRRLRLRLč

222222 222 RLf

RU

RLfI

RI

RLf

UI

RL

RLRLč

Proud kondenzaacutetorem je

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

2

2

1

Pro rezonanci

CRLj II

UCf

RLf

ULf

022

0

0 22

2

C

RLf

L

22

02

0)2( 222

0 LRCCLf

2

0

1

2

1

L

R

CLf

185

Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je

2

22

2

22

2

22

2

22

22

22

2

2

22

2

2)(

RLf

RCf

RLf

LfU

RLf

RUCf

RLf

ULfIIII RLčCRLj

Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy

22

0

02 RLf

RUII RLč

Impedance při rezonanci je

R

RLf

I

UZ

22

0

0

0

2

Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu

je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0

Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna

odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou

Rezonančniacute křivky

Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu

matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute

2

22

2

222

22

2

RLf

RCf

RLf

LfUI

a

I

UZ

Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu

Činitel jakosti obvodu

Činitel jakosti obvodu je Q

R

LQ

0

186

Platiacute

000 IQII RLC

Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud

odebiacuteranyacute ze zdroje

Přiacuteklad 80

Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny

a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci

proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro

paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem

Řešeniacute

Ad a) Rezonančniacute frekvence

Hz

CLf

33

64630

102055602

10100

10210302

1

1021032

1

2

1

Rezonančniacute impedance

Z0 = R =10

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

A4210

240

R

UI

Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci

V 929516421031005522

f2

33

000000

ILILUU LC

Činitel jakosti

387324

95920 U

UQ C

Ad b) Rezonančniacute frekvence

Hz 1985111111111666666672

1

3

10

23

10

2

1

103

10

102103

1

2

11

2

1

249

2

363

2

0

L

R

CLf

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

187

A 016

1500

1024

10398512

1024

1010319852

1024

2

22

22322

0

0

RLf

RUII RLč

Rezonančniacute impedance

150160

24

0

0I

UZ

Proud kondenzaacutetorem při rezonanci

A 059866524102198522

2

16

0

0

0

0

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

Činitel jakosti

3741657160

598700 I

IQ C

Pozn

Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute

se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod

CLf

2

10

Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně

přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)

68 Kompenzace uacutečiniacuteku

Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla

nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute

složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li

faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je

daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy

v elektrickyacutech strojiacutech

188

a) b)

Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci

Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute

energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute

jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute

činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů

Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což

vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy

většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a

tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet

dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena

roste

Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud

kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho

původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute

složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute

zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho

vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku

Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav

paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095

Přiacuteklad 81

Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07

Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na

hodnotu 095

Řešeniacute

Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

Činnyacute vyacutekon je

189

cos IUIUPČ

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

186335470230

300

cos

U

PI A

Činnaacute složka proudu je

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

133070113043481863354 2222 čj III A

Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

coskomp = 095

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

1372998950230

300

cos

komp

kompU

PI

A

Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A

Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute

Cjjkomp III

Proud kondenzaacutetorem tedy bude

090198304287181330701 jkompjc III A

Pro proud kondenzaacutetorem platiacute

Cf

U

X

UI

c

C

2

1

Kapacita kondenzaacutetoru je tedy

6-5- 10124831012483230502

0901983

2

Uf

IC C F = 12483 F

190

7 Trojfaacutezovaacute soustava

Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute

jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina

průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod

elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak

napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena

využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute

trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute

velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci

elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute

magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

sinsin22 max UvlBvlBu xi

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

191

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute

Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově

pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute

harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem

posunem jednotlivyacutech napětiacute

Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou

pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o

se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se

označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211

Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

192

Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuW

Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech

hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule

0 WVU uuu

Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute

Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute

f

o

f UUx2

1)60cos( ff UUy

2

12

Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU

Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0

UU + UV + UW = 0

72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu

Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute

stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou

Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze

statoroveacuteho vinutiacute

Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem

otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)

Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute

obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou

draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je

posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi

193

průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute

U1 V1 W1 konce U2 V2 W2

Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti

Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu

statoru

Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute

Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem

obvodem a statorovyacutem vinutiacutem

Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod

rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na

vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky

stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n

(otmin)

Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru

Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru

Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute

jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute

vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje

elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem

v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto

uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na

elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu

přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů

přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute

Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech

elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou

195

označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla

3000 otmin

Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech

jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute

s předchoziacutem provedeniacutem

Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute

Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem

Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů

Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je

v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech

vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a

označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy

Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi

nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se

označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)

a) b)

Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy

a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem

Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute

faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf

196

fWVU UUUU

Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US

SWUVWUV UUUU

Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho

napětiacute

2

330cos

2 f

o

fS UU

U

fS UU 3

Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi

libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti

Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke

spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a

ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P

Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je

IRU

kde R je odpor vedeniacute

I je přenaacutešenyacute proud

Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je

2IRIIRIUP

Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině

přenaacutešeneacuteho proudu

197

Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou

energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem

vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety

Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se

napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně

niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se

energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory

Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek

Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty

dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou

proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje

v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky

Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru

Z uvedeneacuteho je patrneacute že

2

1

2

1

N

N

U

U (= transformačniacute poměr) a tedy

1

212

N

NUU

Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute

napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se

transformuje na nižšiacute napětiacute

Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že

vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu

P1 = P2 = P

Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak

1

212

N

NUU gt U1

Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute

2

2U

PI a

1

1U

PI

pak I2 lt I1

proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute

198

Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je

2

11

1

21

11

2

112

N

NI

N

NU

UI

U

UII

rarr

2

1

1

2

N

N

I

I

Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie

se sniacutežiacute

Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV

Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV

Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute

vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro

daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie

Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute

zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V

G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor

Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy

74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti

Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři

faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute

sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič

jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute

vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE

Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič

Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před

dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je

takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale

vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem

krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet

zdraviacute ohrožujiacuteciacute

199

Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C

Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S

Ochrana nulovaacuteniacutem

Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute

čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute

Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem

jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute

faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute

pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu

200

Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např

faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se

na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm

aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem

bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li

se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute

proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)

a) b)

Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem

Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při

poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute

je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud

IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho

působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se

danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine

74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti

Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi

Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy

Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy

připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu

a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

201

f

f

fZ

UI

Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel

danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče

Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy

Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven

nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute

žaacutednyacute proud

IN = 0

Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může

vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute

vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem

různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute

trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky

světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit

přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud

možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech

202

obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN

kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou

U

UU

Z

UI

V

VV

Z

UI

W

WW

Z

UI

Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute

fWVU UUUU

a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o

Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže

v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W

Pozor

Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde

přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a

spotřebičem

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka

Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230

Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka

203

Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou

stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o

UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3

Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou

UV

SUV

Z

UI

VW

SVW

Z

UI

WU

SWU

Z

UI

a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže

Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona

IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU

IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV

IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

S

f

S

SS

Z

U

Z

UI

3

Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech

napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče

Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech

Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute

Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute

o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232

2

330cos

2 WU

o

WU

fII

I

WUf II 3

204

Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je

různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz

obr 233

Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute

Přiacuteklad 82

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute

činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na

obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute

ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy

205

Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82

Řešeniacute

Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235

Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234

Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je

400 SWVUWVU UUUU V

Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost

Z

UIIII S

WVUWVU

kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L

76173

400

Z

UI S 230207 A

206

Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost

398730323020733 IIIII fWUV A

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech

Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

cos fff IUP (W V A)

Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

fff IUS (VA V A)

Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

sin fff IUQ (VAr V A)

Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute

Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon

cos33 fff IUPP (W V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon

fff IUSS 33 (VA V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

Přiacuteklad 83

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu

R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a

celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do

trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute

Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude

287580

230

R

UI

f

f A

Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy

661252875230 fff IUP W

207

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

1983752875230333 fff IUPP W

Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute

US Proud každyacutem z rezistorů bude

580

40033

3

f

ffSS I

R

U

R

U

R

UI A

Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy

00025400333 fffSSS PIUIUP W

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

6000200033 SPP W

Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy

751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek

Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na

svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co

nejjednoduššiacute

Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je

znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute

chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do

trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy

a) b) c)

Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do

trojuacutehelniacuteka

76 Točiveacute magnetickeacute pole

Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o

připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř

statoru točiveacute magnetickeacute pole

208

Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti

Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238

V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1

ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W

a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)

V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole

jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)

ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček

a) b) c)

209

d) e) f)

Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole

V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do

W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole

jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako

v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o

Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele

stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute

rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute

Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute

magnetickeacute pole

Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku

daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi

Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech

V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW

2

3)

3

4sin()

3

4sin( maxmaxmax IItIiw

Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy

2

3max w

kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute

Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239

Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole

210

maxmax

0

2

3

2

3

2

32)30cos(2 W

Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy

max2

3

Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute

o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a

velikosti max2

3

Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou

statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem

magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho

pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)

fns 60

Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru

Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory

Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho

magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241

V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)

V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)

v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy

pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček

211

a) b)

Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole

Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr

242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi

přiacutevodniacutemi faacutezemi

Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru

212

77 Kompenzace uacutečiniacuteku

Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny

v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy

Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute

elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat

neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a

vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech

bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute

proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem

Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute

charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem

připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute

Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou

hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je

penalizovaacuten

Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků

kondenzaacutetorů k siacuteti

Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu

Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky

spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou

nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem

přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na

využitiacute spotřebiče

Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru

Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech

rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke

zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při

individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute

jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody

213

Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena

v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti

spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace

Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku

kompenzačniacuteho vyacutekonu

Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry

měřiacute pouze činnou odebranou energii

214

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami

81 Elektrostatickeacute pole

Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)

elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19

C

Q = ke k je celeacute čiacuteslo

I elektrickyacute proud ampeacuter (A)

t

QI

E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )

Q

FE

U elektrickeacute napětiacute volt (V)

Q

AU ( CJV )

l

UE

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem

prostřediacute

permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m

-1)

0 r

0 permitivita vakua 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

r poměrnaacute permitivita r gt = 1

24 r

QE

intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule

s naacutebojem Q

D elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

ED r 0

C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)

U

QC

l

SC r 0

215

Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC 21

Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC

1

1

111

21

Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru

t

c eUu 10

kde

CR

Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

Pak kapacita osamoceneacute koule je

104 rC r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

82 Stejnosměrnyacute proud

J Proudovaacute hustota

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

R elektrickyacute odpor ohm ()

R

UI hellip Ohmův zaacutekon

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

rezistivita materiaacutelu

G vodivost siemens (S)

RG

1

216

Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR

teplotniacute součinitel odporu (1oK)

A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu

tIUUQA (J V A s)

P vyacutekon

2IRIIRIUP (W V A)

uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 P

P )( JJ

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel

01

n

k

kI

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku

01

n

k

kU

Spojovaacuteniacute rezistorů

Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21

Paralelniacute niVyacutesl RRRRR

1

1

111

21

Transfigurace

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute

iRIUU 0

Proud nakraacutetko

i

kR

UI 0

217

83 Magnetickeacute pole

magnetickyacute tok weber (Wb)

B magnetickaacute indukce tesla (T)

SB

lI

FB

lIBF sin lIBF (N T A m)

Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)

n

i

im IF1

Um magnetickeacute napětiacute (A)

n

i

mim UF1

H intenzita magnetickeacuteho pole

l

UH m (Am

-1 A m)

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r

I

l

UH m

2

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

HB r 0

0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) henry (H)

r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r

přibližně 1)

Hopkinsonův zaacutekon

mm U

l

SS

l

USHSB

Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)

mm Ul

SG

Rm magnetickyacute odpor (reluktance)

m

mG

R1

S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

218

Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

r

INH

2 kde

2

Dr

2

12 DDD

Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

l

IN

l

UH m

Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

r

IN

l

UH m

2

Indukčniacute zaacutekon

dt

du

pro ciacutevku o N zaacutevitech

dt

dNu

Pohyboveacute napětiacute

vlBu

L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)

dt

diMu 1

2

12

12

mR

NNM

22 LLM

22 LLM

kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Transformačniacute poměr

2

1

2

1

N

N

u

u

Spojovaacuteniacute ciacutevek

seacuterioveacute 21 LLL

seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

219

paralelniacute 21

111

LLL

paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

Přechodovyacute jev na indukčnosti

t

L eUu

0

kde

R

L

Energie magnetickeacuteho pole

mm UW 2

1 lSHBWm

2

1

Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

sin lIBF

Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu

SR

INF

m

2

22

02

1

84 Střiacutedaveacute proudy

f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)

60

nf

T doba jedneacute periody (s)

fT

1

uacutehlovaacute rychlost

f 2 (rads-1

)

Průběh harmonickeacuteho proudu

)sin(max tIi )sin(max tIi

Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

2

maxII

Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

max

2IImed

220

Odporovaacute zaacutetěž

)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR

Ui

Induktivniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

LX

UI max

max

XL induktivniacute reaktance ()

LX L

Kapacitniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

CX

UI max

max

XC kapacitniacute reaktance ()

CX C

1

Seacuteriovyacute RLC obvod

Z impedance obvodu ()

22)( RXXZ CL U

IR

U

U R cos

Paralelniacute RLC obvod

22)( RCL IIII I

IRcos

Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)

S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)

Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)

222 SQP

cosφ uacutečiniacutek

IU

P

cos

Rezonance

f0 rezonančniacute frekvence

CLf

2

10

221

Q činitel jakosti obvodu je R

LQ

0

84 Trojfaacutezovaacute soustava

Uf faacutezoveacute napětiacute

Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuw

US sdruženeacute napětiacute

fS UU 3

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

cos33 fff IUPP (W V A)

fff IUSS 33 (VA V A)

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

222

Použitaacute literatura

BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-

7333-043-1

Internetoveacute straacutenky (www)

BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt

httpwwwbrush-semczgt

Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-

cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt

Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt

Page 4: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu

4

Anotace

Tato učebnice obsahuje zaacuteklady teoretickeacute elektrotechniky v rozsahu požadavků na znalosti

studentů středniacutech průmyslovyacutech škol se strojiacuterenskyacutem zaměřeniacutem

Jsou zde vysvětleny fyzikaacutelniacute zaacuteklady elektrotechniky jejich souvislosti a jejich využitiacute při

řešeniacute praktickyacutech uacutekolů

Učebnice obsahuje vysvětleniacute elektrostatickeacuteho pole obvodů stejnosměrneacuteho proudu

magnetismu obvodů střiacutedaveacuteho proudu a trojfaacutezoveacute soustavy

Jednotliveacute kapitoly jsou doplněny řešenyacutemi přiacuteklady typickyacutemi pro danyacute okruh Přiacuteklady jsou

řešeny i s podrobnyacutem vyacutepočtem aby použiteacute vyacutepočetniacute postupy ukaacutezaly čtenaacuteři že vhodnyacutem

kraacuteceniacutem a praciacute s exponenty je možneacute vyacutepočty zjednodušit a tak se vyvarovat chyb

způsobenyacutech bdquokalkulačkovyacutemi překlepyldquo

Učebnice je rozdělena do pěti čaacutestiacute z nichž každaacute obsahuje uzavřenyacute teacutematickyacute celek

Jednotliveacute čaacutesti

- Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů a teorie elektrostatickeacuteho pole

- Stejnosměrnyacute proud a řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu

- Magnetickeacute pole a elektromagnetickaacute indukce

- Střiacutedavyacute proud a řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu

- Trojfaacutezovaacute soustava

5

Obsah

Anotace 3

Uacutevod 9

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10

12 Předpony jednotek 11

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12

21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12

3 Elektrostatickeacute pole 14

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18

35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21

361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22

37 Kondenzaacutetor 22

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28

310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31

3111 Dielektrika vedle sebe 31

3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37

4 Stejnosměrnyacute proud 38

41 Proudovaacute hustota 38

42 Intenzita proudoveacuteho pole 39

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39

431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47

6

46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83

5 Magnetickeacute pole 88

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89

53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92

534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111

58 Elektromagnetickaacute indukce 119

581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134

59 Energie magnetickeacuteho pole 135

7

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140

6 Střiacutedaveacute proudy 143

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152

651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160

661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162

663 Seacuteriovyacute LC obvod 164

664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168

668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183

68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187

7 Trojfaacutezovaacute soustava 190

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207

76 Točiveacute magnetickeacute pole 207

77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215

8

83 Magnetickeacute pole 217

84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221

Použitaacute literatura 222

9

Uacutevod

Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech

obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich

autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole

Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru

popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem

bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků

elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute

Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto

tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a

ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z

Maxwellovyacutech rovnic

Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a

jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti

aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute

aplikovaneacute elektrotechniky

10

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky

Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou

fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute

veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme

Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)

jednotka = sekunda

Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem

zaacutepisem

Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute

zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI

Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik

zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se

nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International

dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek

a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

Jednotka zkratka jednotky veličina

Metr m deacutelka

Kilogram k hmotnost

Sekunda s čas

Ampeacuter A elektrickyacute proud

Kelvin K teplota

Mol mol laacutetkoveacute množstviacute

Kandela cd sviacutetivost

b) Doplňkoveacute jednotky

doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu

steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu

c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI

vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute

vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami

Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute

vlastniacute naacutezev

11

Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)

protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute

naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev

Coulomb [C]

Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než

jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje

vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a

nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)

Dovoleneacute

Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s

Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg

Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m

3

Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)

Nedovoleneacute

Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm

Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W

12 Předpony jednotek

Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou

Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky

k kilo 103 m mili 10

-3

M mega 106 mikro 10

-6

G giga 109 n nano 10

-9

T terra 1012

p piko 10-12

Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10

-6 F = 0000005 F

Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute

d deka 10 d deci 10-1

h hekto 102 c centi 10

-2

12

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů

21 Elektronovaacute teorie

Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit

Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů

neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho

elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)

označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura

atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a

z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech

(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19

C

Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů

ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy

stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute

Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se

porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však

vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute

naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo

Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem

přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute

elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

22 Vodiče a izolanty

Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při

slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely

nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem

nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem

naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je

složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou

vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem

působeniacutem elektrickeacuteho pole

Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky

označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem

silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)

23 Zdroje elektrickeacute energie

Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu

energie

Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek

zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely

13

zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem

zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)

Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič

Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka

Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute

vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu

na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem

tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji

Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI

soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC

Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda

14

3 Elektrostatickeacute pole

Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky

nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole

Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem

kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek

Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem

elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute

polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute

naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů

Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se

navzaacutejem přitahujiacute

Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole

Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar

Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela

elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli

Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli

Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele

zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na

volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole

osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4

Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje

Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda

volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na

čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami

15

Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů

Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo

uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit

veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole

QEF ( 1 CNCN )

Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj

je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a

tohoto naacuteboje

Z toho

Q

FE ( CNCN 1 )

Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme

toto pole nehomogenniacute

Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto

polem homogenniacutem

Přiacuteklad 1

Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute

pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C

Řešeniacute

5110150010301050 363 QEF (N)

16

32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou

stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a

velikost

Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem

poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se

čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A

lFA ( mNJ )

Po dosazeniacute F=E Q dostaneme

lQElFA

Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak

praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U

Q

AU ( CJV )

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje

o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1

)

Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity

pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)

Protože Q

FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a

Q

AU vypočiacutetat

l

U

Q

l

QU

Q

l

A

Q

FE

( 1mV )

Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U

l

UE ( mVmV 1 )

Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute

(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely

17

Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel

Přiacuteklad 2

Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute

vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V

Řešeniacute

80001083

1024

103

24 33

3

l

UE ( 1mV )

33 Coulombův zaacutekon

Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou

se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a

zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich

vzdaacutelenosti

Obr 8 - Coulombův zaacutekon

Platiacute tedy

2

21

r

QQkonstF

kde konstanta maacute hodnotu

4

1konst

18

kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato

hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute

0 r

kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně

rovna 1

Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute

je

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

Přiacuteklad 3

Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost

1 mm

Řešeniacute

)(1032)101(

106021106021

1085484

1

4

1 22

23

1919

122

21

0

Nr

QQF

r

34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem

většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal

Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje

Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute

ekvipotenciaacutely

Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity

v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy

19

Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q

FE a platiacute Coulombův zaacutekon

2

21

04

1

r

QQF

r

1QQ a CQ 12

Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude

24 r

QE

kde 0 r

je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute

Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však

bude v každeacutem bodu do středu koule

Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem

součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji

Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole

35 Elektrickaacute indukce

Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem

stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest

tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se

elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute

Obr 11 - Elektrickaacute indukce

20

Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do

země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem

Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute

pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle

obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na

destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde

2

1

12 S

S

QQ

a) b)

Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj

Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

Přiacuteklad 4

Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el

naacutebojem 310-12

C

Řešeniacute

)(105974104

103

4)102(

103

4

214

6

12

23

12

2mC

r

Q

S

QD

Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D

Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše

neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity

elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash

čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce

Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute

24 r

Q

S

QD

a

24 r

QE

21

Tedy

ED

kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r

ED r 0

36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů

361 Polarizace dielektrika

Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče

vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem

elektrickyacute proud

U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se

vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se

nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)

Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky

nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu

čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely

9 a) 9 b)

Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)

Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole

polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu

vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute

pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než

původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)

9 a) 9 b)

Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)

22

362 Elektrickaacute pevnost dielektrika

Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a

nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita

elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu

je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu

- proud začne izolantem proteacutekat

Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů

se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů

Materiaacutel r Ep (kVmm)

vzduch 10006 2 až 3

mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30

parafiacuten 19 až 22 20 až 30

kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58

kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10

polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60

sliacuteda 6 až 7 40 až 80

sklo 35 až 4 20 až 50

porcelaacuten 55 až 65 20 až 45

37 Kondenzaacutetor

Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute

elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je

dielektrikum

Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje

opačnyacutech polarit

Obr 15 - Kondenzaacutetor

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute

napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute

naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute

Platiacute tedy

UkonstQ

23

Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C

UCQ

Jednotkou kapacity je farad (F) U

QC a tedy rozměr jednotky farad je (

V

C

U

QF )

Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF

Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je

Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru

Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika

Viacuteme že platiacute

S

QD ED r 0

l

UE

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

l

S

lE

SE

lE

SD

U

QC r

r

0

0

Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich

vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r

Přiacuteklad 5

Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr

elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm

a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V

Řešeniacute

UCQ

l

SC r 0 kde 322 1041020102 S (m

2)

)(4171)(014171

)(1014171601088541010

1044108854

9-

12-12-

3

312-

0

nFF

Fl

SC r

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)

24

381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

1a) 1b)

Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U

Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je

321 QQQQ

Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ

Po dosazeniacute

)( 321321 CCCUCUCUCUQ

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute

CUQ

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

)( 321 CCCUCU

321 CCCC

Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit

jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

25

1a) 1b)

Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute

jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy

všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

QQQQ 321

Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

321 UUUU

Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

1

1C

QU

2

2C

QU

3

3C

QU

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz

)111

(321321

321CCC

QC

Q

C

Q

C

QUUUU

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute

C

QU

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

321

1111

CCCC

Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute

součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 6

Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do

seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute

26

Řešeniacute

CCCCCCvyacutesl

411111 250

4

1

4

CCvyacutesl F

Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute

kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn

Přiacuteklad 7

Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a

kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=

200 nF

Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Řešeniacute

Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem

C45

5454

111

CCC z toho 100

200200

200200

54

5454

CC

CCC (nF) = 01F

Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20

Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat

vyacuteslednou kapacitu C

82102150154321 CCCCC F

Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj

66 10267241082 UCQ C

27

Přiacuteklad 8

Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme

libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby

byl splněn danyacute požadavek

Řešeniacute

Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že

spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita

takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že

potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21

Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 9

Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme

kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na

propojenyacutech kondenzaacutetorech

Řešeniacute

Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je

66

111 109610424 CUQ (C)

Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je

66

222 102410212 CUQ (C)

Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj

666

21 1012010241096 QQQ (C)

Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je

62421 CCC (F)

Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je

20106

101206

6

C

QU (V)

28

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute

hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od

okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi

piacutesmeny

V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U

nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje

určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt

0

V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute

děj na kondenzaacutetoru

Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC

Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)

neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute

t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R

U

R

ui R 0

Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute

maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute

se zpomaluje

Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud

přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0

Průběh proudu a napětiacute je na obr 23

29

Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru

Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je

daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute

konstanty

t

c eUu 10

kde

CR

310 Energie elektrostatickeacuteho pole

Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U

C

QU

Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA

Platiacute Q

AU A = U Q tedy dA bude

dQC

QdQUdA

Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech

diacutelčiacutech praciacute dA

Q

C dQC

QdAW

0

tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je

C

QWC

2

2

Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC nebo takeacute UQWC

2

1

Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho

kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se

na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou

energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24

30

Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute

lSElESElESDUQWC 2

2

1

2

1

2

1

2

1

Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich

vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie

nahromaděnaacute v jednotce objemu je

EDElS

lSE

V

Ww C

C

2

1

2

12

1

2

2

Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole

platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole

Přiacuteklad 10

Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na

kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru

Řešeniacute

Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu

12-12-

3

412-

1

01 10177082108854101

10201108854

l

SC r F

Naacuteboj na kondenzaacutetoru

-12-12

11 10212496101770812 CUQ C

Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek

12-12-

3

412-

2

02 10118053313331088541051

10201108854

l

SC r F

Napětiacute po posunutiacute desek

18101180533

1021249612-

-12

C

QU V

31

Přiacuteklad 11

Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na

napětiacute 230 V

Řešeniacute

1322500101322505290010522301052

1

2

1 66262 UCWC J

311 Složenaacute dielektrika

Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou

3111 Dielektrika vedle sebe

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 25

Obr 25 - Dielektrika vedle sebe

V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole

l

UEEE 21

Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to

ED r 011 a ED r 022

Naacuteboje Q1 a Q2 budou

111 SDQ a 222 SDQ

Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude

21 QQQ

Dosadiacuteme za Q1 a Q2

Ul

SU

l

SQ rr

2

202

1

101

32

Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o

kapacitaacutech 1

1011

l

SC r a

2

2022

l

SC r spojeneacute paralelně

Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou

dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute

3112 Dielektrika za sebou

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum

Obr 26 - Dielektrika za sebou

Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou

materiaacutelech je stejnaacute

S

QDDD 21

Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10

1

r

DE

a pro druheacute

20

2

r

DE

Celkoveacute napětiacute mezi deskami

U = U1 + U2

kde

1

10

111 lD

lEUr

a 2

20

222 lD

lEUr

Pak po dosazeniacute

)(20

2

10

12

20

1

10

2

20

1

10 rrrrrr S

l

S

lQl

S

Ql

S

Ql

Dl

DU

Protože platiacute l

SC r 10 je

110

1 1

CS

l

r

a 220

2 1

CS

l

r

33

Tedy )11

(21 CC

QU a protože C

QU1 pak

převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot

kapacit diacutelčiacutech dielektrik

21

111

CCC

Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory

Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je

10

1

r

DE

a

20

2

r

DE

Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je

1

2

20

10

2

1

r

r

r

r

D

D

E

E

Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech

diacutelčiacutech dielektrik

Lze tedy psaacutet 2

1

21 EE

r

r

a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme

1

2112221

1

222212

1

2221121 )(

r

rr

r

r

r

r llEllElElElElEUUU

Z toho

2112

12

ll

UE

rr

r

Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute

intenzita tohoto dielektrika Ep gt E

Přiacuteklad 12

Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem

tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech

dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute

Materiaacutel r Ep (kVmm)

1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40

2 sliacuteda 7 60

34

Řešeniacute

Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je

92307692141

2400

304207

4600

2112

12

ll

UE

rr

r

Vmm

161538592307694

72

1

21 EE

r

r

Vm

Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost

vyhovuje

312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem

Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva

středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je

24 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

24 r

QDE

Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je

35

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

21

12

04 rr

rrQU

r

Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

3122 Osamocenaacute koule

Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2

Pak kapacita osamoceno koule je

10

12

210 44lim

2

rrr

rrC rr

r

Elektrickaacute indukce na povrchu koule je

2

14 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je

2

100 4 r

QDE

rr

kde UrUCQ r 104

Po dosazeniacute za Q dostaneme

1

2

10

10

2

100 4

4

4 r

U

r

Ur

r

QDE

r

r

rr

Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi

maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute

pevnosti izolantu

36

3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je

lr

Q

S

QD

2

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

lr

QDE

2

Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

1

2

0

ln2 r

r

lr

QU

r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

Přiacuteklad 13

Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je

kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)

37

Řešeniacute

12-12--12

1

2

0 101038136105log32

166894

50

52log32

131088542

log32

2

r

r

lC r F

C = 1038 pF

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi

V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody

odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho

zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země

Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj

dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj

kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba

oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu

uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost

natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu

izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije

Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute

naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo

vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje

elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter

vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute

nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech

měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů

Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů

Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje

uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a

uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič

Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute

omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje

zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem

Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje

Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech

mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute

elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry

Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute

objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena

k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute

38

4 Stejnosměrnyacute proud

Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne

vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I

Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho

naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad

akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)

Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U

Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu

elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute

ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb

Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute

elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče

41 Proudovaacute hustota

Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se

nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru

Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute

Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem

bude průřez vodiče většiacute

V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute

proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se

na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu

Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

39

42 Intenzita proudoveacuteho pole

Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno

l

UE )( 1 mAmV

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon

Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem

většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je

přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute

Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty

obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme

že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor

Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče

Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu

zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute

Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute

Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem

jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute

měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme

napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru

Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako

UkonstI

kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy

UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1

)

Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G

40

GR

1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA

-1)

Pak lze psaacutet

R

UI

Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I

Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon

Rezistory

Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute

odpor R

Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru

Přiacuteklad 14

Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A

Řešeniacute

46050

230

I

UR ()

431 Velikost elektrickeacuteho odporu

Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho

je vodič vyroben

Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu

vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute

i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče

Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu

vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute

Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely

Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

kde l je deacutelka vodiče

S je průřez vodiče

je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je

to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2

při teplotě 20oC

41

Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Rezistivita některyacutech materiaacutelů

Materiaacutel mm2m

-1

Měď 00178

Hliniacutek 00285

Střiacutebro 00163

Ocel 013

Konstantan 05

Chromnikl 11

Cekas 11

Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory

Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely

pro vyacuterobu vodičů

Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu

rezistorů

Přiacuteklad 15

Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m

Řešeniacute

S

lR () kde 0785)50( 22 rS mm

2

430785

15000178

S

lR ()

Přiacuteklad 16

Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3

Řešeniacute

S

lR () z toho plyne

SRl

143)1( 22 rS mm2

52901780

1433

SRl (m)

432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě

S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute

elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky

s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste

42

Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při

zahřaacutetiacute vodiče o 1o

C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se

nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -

(1oK)

Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek

odporu R = R2 - R1 miacutet velikost

1RR

Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude

1112 RRRRR

Tedy

)1(12 RR

Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely

Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu

(K-1

)

Měď 00042

Hliniacutek 0004

Střiacutebro 0004

Ocel 0006

Konstantan 210-6

Chromnikl 2510-4

Cekas 710-5

Přiacuteklad 17

Měděnyacute vodič o teplotě 20o

C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A

Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C

Řešeniacute

Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1

2120

241

I

UR ()

Přiacuterůstek teploty je

)(40206012 Co

Odpor při teplotě 60o C

)(40161)40004201(21)1(12 RR

43

Přiacuteklad 18

Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o

C do +40o C

Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě

Řešeniacute

Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co

Odpor při -25o

C R1

Odpor při -25o

C 1112 2731)65004201()1( RRRR

Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu

Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče

je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q

UQA (J V C)

Protože proud je t

QI lze dosadit

tIUUQA (J V A s)

Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty

elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem

a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute

Protože platiacute Ohmův zaacutekon R

UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah

tR

Ut

R

UUtIUA

2

nebo tIRtIRItIUA 2

Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A

V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute

praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute

v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)

Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo

Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P

IUt

tIU

t

AP

(W V A)

Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1

)

Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon

44

2IRIIRIUP nebo R

U

R

UUIUP

2

Přiacuteklad 19

Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut

Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(6450

230A

R

UI

Vyacutekon )(105864230 WIUP

Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s

Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW

Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně

použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt

hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)

Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute

energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy

ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi

vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ

Platiacute

ZWWW 12

Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost

1

2

W

W a je to vždy čiacuteslo 1

Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 W

W )( JJ

Protože přiacutekon je t

WP 1

1 a vyacutekon je t

WP 2

2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost

1001001001

2

1

2

1

2

P

P

tP

tP

W

W )( WW

45

Přiacuteklad 20

Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po

dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě

v konvici

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(831120

220A

R

UI

Přiacutekon )(34038312201 WIUP

Vyacutekon )(323100

803403 12 WPP

45 Kirchhoffovy zaacutekony

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem

nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit

pomociacute Ohmova zaacutekona

Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost

odporu zaacutetěže R pak proud I

I

UR

Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je

na obr 34

Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

46

Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly

Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu

Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu

Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy

zaacutekony

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje

Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve

vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i

elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud

Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect

54321 IIIII

Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute

lze psaacutet

01

n

k

kI

Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule

Přiacuteklad 21

Obr 36 - Proudy v uzlu

Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li

proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A

Řešeniacute

01

n

k

kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A

47

452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen

uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute

To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule

01

n

k

kU

Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute

+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem

orientace smyčky

- hellip orientace napětiacute je proti směru

orientace smyčky

Tedy U1 + U2 ndash U = 0

Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech

odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce

Přiacuteklad 22

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =

6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38

Obr 38 - Napětiacute ve smyčce

Řešeniacute

Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU

021 ab UUIRIR

0643020 II

250 I

040I A

800402011 IRU V 210403022 IRU V

48

46 Spojovaacuteniacute rezistorů

Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 39

Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

021 UUU

Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

I

URR

URRI

URIRI

21

21

21

)(

0

Vyacuteraz I

Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie

aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je

rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie

21 RRRV

Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz

niV RRRRR 21

Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů

jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie

49

462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 41

Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

21 III

Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle

Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

)11

(2121

21RR

UR

U

R

UIII

21

11

RRU

I kde

VRU

I 1

Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute

21

111

RRRV

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme

vyacuteraz

niV RRRRR

1

1

111

21

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

50

Přiacuteklad 23

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =

12 V Obvod je zapojen podle obr 43

Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

0240500

12

Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je

42024010011 IRU V 69024040022 IRU V

Přiacuteklad 24

Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li

napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44

Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech

odporů

14577

400

400

7

400

214

200

1

400

1

100

11111

321

V

V

R

RRRR

51

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

8531457

220

Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V

Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR

UI 22

100

220

1

1

AR

UI 550

400

220

2

2 AR

UI 11

200

220

3

3

Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit

321 IIII

AI 853 AIII 8531155022321

což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů

Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně

řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu

odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme

celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů

určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a

napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu

Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 25

Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy

ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45

Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25

52

Řešeniacute

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor

2132

111

RRR

tedy odpor 32

3232

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema

Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor

R123 = R1 + R23

Naacutehradniacute obvod pak je

Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů

Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321

1R

UI

Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na

jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu

Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11

53

Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy

Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem

Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1

Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB

2

2R

UI AB

Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III

Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute

Přiacuteklad 26

Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49

Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26

Řešeniacute

Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor

5445

111

RRR

tedy odpor 54

5445

RR

RRR

1

54

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute

Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit

R345= R3 + R45

Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema

Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute

Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je

daacutena vztahem

3452

34522345

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod

Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute

55

Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro

tento obvod je

R12345= R1 + R2345

což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

12345

1R

U

R

UI

C

Napětiacute U1 na rezistoru R1

111 IRU

Napětiacute UAC mezi uzly A a C je

12345 IRU AC

Vypočteme proudy I2 a I3

2

2R

UI AC

345

3R

UI AC

Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3

333 IRU

Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C

54 UUUBC

345 IRUBC

Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5

4

4R

UI BC

5

5R

UI BC

Obvod je kompletně vyřešen

Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve

smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů

56

Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů

Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona

0321 III

Pro uzel B musiacute platit

0543 III

Pro uzel C

01542 IIII

Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona

021 UUU

Pro smyčku y platiacute

0243 UUU

Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků

472 Transfigurace

V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou

zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit

postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech

přiacutekladech

Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute

57

Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)

a) b)

Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy

Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka

rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute

jako působeniacute trojuacutehelniacuteka

Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56

Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu

Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech

přiacutekladech

Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi

stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute

233112

23311212

)(

RRR

RRRRCelk

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute

201012 RRRCelk

Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute

2010

233112

233112 )(RR

RRR

RRR

Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1

58

3020

233112

311223 )(RR

RRR

RRR

3010

233112

231231 )(RR

RRR

RRR

Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro

adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro

adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Přiacuteklad 27

Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li

napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30

R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57

Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27

Řešeniacute

Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a

daacutele zjednodušujeme podle obr 58

59

1 2

3 4 5

Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu

Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc

6100

600

503020

3020

321

21

RRR

RRRa

15100

1500

503020

5030

321

32

RRR

RRRb

10100

1000

503020

5020

321

31

RRR

RRRc

Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

50401044 RRR cc

Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

75601555 RRR bb

Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je

307550

7550

54

5454

bc

bcbc

RR

RRR

Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

3630654 bcacelk RRR

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je

16706

1

36

6

celkR

UI A

60

Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je

56

1305454 IRU bcbc V

Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je

0667015

1

75

5

5

545

b

bcb

R

UI A

Napětiacute rezistoru R5 je

415

160555 bIRU V

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu

Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do

elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii

Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute

U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho

svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0

481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute

Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute

poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se

vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek

nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem

napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno

= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy

nulovyacute)

Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult

U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se

zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje

Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute

61

Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj

Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I

RR

UI

i 0

Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je

iRIUU 0

Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika

zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost

Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je

malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem

odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute

vnitřniacute odpor Ri

Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik

Obr 62 - Proud nakraacutetko

62

U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně

zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů

měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute

Přiacuteklad 28

Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru

proudu 02 A je 58 V

Řešeniacute

Proud nakraacutetko bude

i

kR

UI 0

Svorkoveacute napětiacute U je

iRIUU 0

iR 20685

Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri

120

856

iR

Proud nakraacutetko tedy je

61

60 i

kR

UI A

482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute

podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje

Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute

vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech

zdrojů

Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU

Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR

Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU

Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem

napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute

010 UnU 1UnU 1ii RnR

63

Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho

hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by

hrozilo poškozeniacute zdroje

a) b)

Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně

Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů

Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je

jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se

všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat

z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů

Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute

napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly

vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit

02010 UUU a 21 iii RRR

Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute

21 zZz III

Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute

1zz InI nUUUU 002010 n

RR i

i1

Přiacuteklad 29

Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15

V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A

Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A

Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje

64

Řešeniacute

Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud

01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64

Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů

Celkovyacute vnitřniacute odpor bude

32

23

2

3 1

iiacute

RR

Proud nakraacutetko bude

513

5133 01

i

kR

UI A

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi

Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory

využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny

rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty

491 Dělič napětiacute

Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute

65

a) b)

Obr 65 - Dělič napětiacute

Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

21 RR

UI

tedy U

RR

RR

RR

URIU

21

22

21

22

Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2

platit

z

z

RR

RRR

UI

2

21

a po dosazeniacute

URRRRRR

RR

RR

RR

RR

RRR

U

RR

RRIU

zz

z

z

z

z

zz

z

2121

2

2

2

2

21

2

22

Přiacuteklad 30

Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66

Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič

napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o

odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V

Řešeniacute

Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem

R1 + R2 = 1000

tedy R1 = 1000 ndash R2

66

a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

241000

2

21

22

RU

RR

RU

b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute

24500500)1000()1000(

500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

c)

2415001500)1000()1000(

1500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho

napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič

Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory

492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru

k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek

Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem

67

Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute

bbAA RIRI a tedy A

b

b

A

R

R

I

I

Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to

v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku

Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute

tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku

A

b

Am

A

R

R

II

I

A

b

AA

A

R

R

IIn

I

)1(

n

RR A

b

Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash

viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor

Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem

Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory

předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na

předřadneacutem odporu a na voltmetru

pVm UUU p

V

p

V

R

R

U

U

Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy

Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu

)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p

V

V

V

R

R

nU

U

)1(

Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp

Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet

Přiacuteklad 31

Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo

možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA

68

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 2010

200n kraacutet

Odpor bočniacuteku bude 581)120(

30

)1(

n

RR A

b

Přiacuteklad 32

Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak

aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 5120

600n kraacutet

Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp

493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu

V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute

měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute

zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu

Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou

Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA

naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je

omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV

Velikost odporu RX je

iV

VA

V

VA

V

x

xx

R

UI

U

II

U

I

UR

Přiacuteklad 33

69

Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud

ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70

Řešeniacute 95201680

16

003200200

16

5000

16020

16

iV

VA

Vx

R

UI

UR

494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně

širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem

)1(12 RR

kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty

Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute

teploty

Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty

odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2

)1(12 RR 11

2

R

R

11

2

R

R

1

12

R

RR

Měřenaacute teplota je tedy

1

12112

R

RR

Přiacuteklad 34

Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu

je-li

hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o

velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je

20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71

Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty

Řešeniacute

Odpor při 20o C je R1 = 200

Odpor při o C je R2

70

27020

5400

20

1045

1020

1020306 3

3

3

2

A

AA

I

IRUR

Měřenaacute teplota je tedy

510780

7020

104200

20027020

3

1

1212

R

RR o C

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech

Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly

v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly

lineaacuterniacute obvody

V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale

vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute

Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku

Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na

nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a

odpor je tedy vyššiacute

Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a

pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika

nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

a) b)

Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech

obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute

zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku

Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme

pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je

daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute

charakteristikou zdroje

71

Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu

Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen

nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici

a) b) c)

Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu

c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA

charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem

prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto

hodnoty odečteme z grafu

Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu

Přiacuteklad 35

Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je

napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute

podle obr 76 a)

a) b)

72

Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku

Řešeniacute

Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute

že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash

je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho

a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme

Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou

proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek

křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem

z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP

VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body

U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A

Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35

Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je

Ip = 27 mA

Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom

dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho

proudu s VA charakteristikou rezistoru R1

Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož

vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku

hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN

Přiacuteklad 36

Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka

paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi

hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka

U (V) 1 2 3 4 5 6

73

I (A) 01 0165 022 025 028 03

Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32

Řešeniacute

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky

rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute

charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute

charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky

Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1

Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020

60 iR

UIk A

Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36

Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a

proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je

rovno 188 V

74

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji

Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech

zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute

zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na

uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet

tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute

Ohmova zaacutekona

Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech

rezistorů

Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že

jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet

všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než

byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu

Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute

že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou

orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti

směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80

Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3

Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech

Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci

zvolenyacutech smyček x a y

Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)

321 III (1)

75

Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

01221 UUUU RR (2)

Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

0232 UUU RR (3)

Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho

platiacute

111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)

Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod

Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)

0122211 UURIRI (2a)

023322 URIRI (3a)

Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)

0)( 232122 URIIRI (3b)

Upraviacuteme (3b)

02323122 URIRIRI

0)( 231322 URIRRI

32

3122

RR

RIUI

(3c)

a dosadiacuteme do rovnice (2a)

0122

32

31211

UUR

RR

RIURI (2b)

Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1

0122

32

312

32

211

UUR

RR

RIR

RR

URI

23321

323211

233121

3121322222

32

231

122

32

2

1

122

32

2

32

23111

)(

)(

RRRRR

RURRUI

RRRRRR

RURURURURU

RR

RRR

UURRR

U

I

UURRR

U

RR

RRIRI

Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2

76

I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3

Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a

(6)

Tiacutem je obvod kompletně vyřešen

Přiacuteklad 37

V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

100

Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37

Řešeniacute

Pro uzel A platiacute

321 III

Pro smyčku x platiacute

01122 RR UUUU

Pro smyčku y platiacute

0232 RR UUU

Dosadiacuteme do rovnic

02001010020 12 II 32010 12 II

010010020 23 II 21010 23 II

Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3

20

103 21

II

a

10

102 23

II

Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A

10

102

20

103 22

2 II

I

20

222 20420103 III

77

2507 I

14050

72 I A

Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3

08020

140103

20

103 21

II A

06010

140102

10

102 2

3

I

I A

Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče

v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

16200080111 RIUR V

14100140222 RIUR V

6100-006333 RIUR V

4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů

Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se

postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute

Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute

veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II

Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a

to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy

orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček

Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj

smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou

smyčkovyacutech proudů

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82

Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů

78

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib

Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona

Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba

Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb

Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme

011222 RIUURIRI aba

02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb

32

22

RR

RIUI a

b

01122

32

222

RIUUR

RR

RIURI a

aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute

Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia

01122

32

2

32

222

RIUUR

RR

RI

RR

RURI a

aa

21

32

2212

32

22 UU

RR

RURIR

RR

RIRI a

aa

312132

323121

3121223222

3222312122

1

32

222

21

32

22

RRRRRR

RURURU

RRRRRRRRRR

RURURURURU

RRR

RRR

UURR

RU

Ia

Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32

22

RR

RIUI a

b

a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se

smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

ab III 2

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute

Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

Přiacuteklad 38

79

Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

300 R4 = 200

a) b)

Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 83 b) kde R34 je

1205

600

200300

200300

43

4334

RR

RRR

Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky

a 0)( 1122 RIUURII aba

02001020100)( aba III

b 0)( 2234 RIIURI abb

0100)(20120 abb III

Upraviacuteme a dosadiacuteme

a 02001020100100 aba III 100

10300 a

b

II

b 0100)100

10300(20120

100

10300

a

aa III

Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme

0100103002012360 aaa III

02560 aI

0003571560

2aI A

Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali

Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib

80

0089286100

103000003571-

100

10300

a

b

II A

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je

shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu

smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

0092857)0035710(00892862 ab III A

Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou

10714291200089286343443 RIUU RR V

Proudy rezistory R3 a R4 jsou

0035714300

10714293 I A 0053571

200

10714294 I A

Napětiacute na rezistorech R1 a R2

07142862000003571111 RIUR V

928571000092857222 RIUR V

Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a

napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

020-10)(-0714286-92857

020-107142992857

0089286)(-00035710092857

Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku

Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute

pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by

bylo matematicky obtiacutežneacute

4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute

Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž

je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu

označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute

Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz

jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash

neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a

z nich pak proudy ve větviacutech obvodu

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84

81

Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R

je UA

Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute

321 III

Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a

dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice

32

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

21312321 )()( RRURRUURRUU AAA

21313123221 RRURRURRURRURRU AAA

31322131221 RRURRURRURRURRU AAA

313221

312321

RRRRRR

RRURRUU A

Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

1

11

R

UUI A

2

22

R

UUI A

3

3R

UI A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Přiacuteklad 39

Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30

R4 = 90

82

a) b)

Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 85 b) kde R34 je

12090304334 RRR

Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A

321 III

342

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

120100

20

200

10 AAA UUU

AAA UUU 10)20(12)10(6

AAA UUU 1012240660

107142928

300AU V

Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

-000357200

107142910

200

101

AU

I A

Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru

než byl původniacute předpoklad

928571400100

107142920

100

202

AU

I A

0089286120

1071429

1203 AU

I A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech

83

-071429200-000357111 RIUR V

9285714100928571400222 RIUR V

2678571300089286333 RIUR V

V 8035714900089286434 RIUR

4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice

Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl

připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze

tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86

Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj

jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho

obvodu

a) b)

Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice

84

Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky

je na obr 87 a)

32

3223

RR

RRR

R123 = R1 + R23

123

1

1R

UI

11

1 IRUR

11

RAB UUU

2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na

obr 87 b)

31

3113

RR

RRR

R123 = R2 + R13

123

2

1R

UI

11

1 IRUR

12

RAB UUU

1

1R

UI AB a

3

3

R

UI AB

Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje

Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute

1

11 III

2

22 III

3

33 III

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR

Přiacuteklad 40

Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

110 R4 = 130 R5= 240

1

85

Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34

2401301104334 RRR

Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345

120240240

240240

345

345345

RR

RRR

Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)

a) b) c)

Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)

5454545120100

120100

3452

34522345

RR

RRR

R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545

0039286 25454545

10

12345

1

1 R

UI A

78571430039286200

11

1 IRUR V

2142857785714310

11

RAB UUU V

86

214285700100

2142857

2

2 R

UI AB A

0017857120

2142857

345

345 R

UI AB A

Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)

75120200

120200

3451

34511345

RR

RRR

R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175

0114286 175

20

12345

2

2 R

UI A

1142860114286100

22

2 IRUR V

857142942861120

12

RAB UUU V

0042857200

8571429

1

1 R

UI AB A

0071429120

8571429

345

345 R

UI AB A

Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou

-0003570042857-0039286

1

11 III A

00928572142857000114286

2

22 III A

0089286

345

345345 III A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

-071429200-000357111 RIUR V

928571009285700222 RIUR V

107143212000892863453345 RIUU RAB V

10714325 ABR UU V

0044643240

1071432

5

55

R

UI A

1

1

87

0044643240

1071432

34

43 R

UII AB A

4910731100044643333 RIUR V

5803591300044643334 RIUR V

88

5 Magnetickeacute pole

Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute

magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud

Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda

Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute

předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute

magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute

zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje

vždy k severu

Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety

Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute

elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje

Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute

silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole

Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute

magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka

Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute

směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute

čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje

orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech

čaraacutech

Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar

Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -

označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)

a) b)

Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)

Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute

Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute

89

Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu

a) b) c)

Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely

c) podkovoviteacuteho magnetu

Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute

působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem

Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme

silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a

jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

521 Magnetickeacute pole vodiče

V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech

kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute

takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute

čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute

V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve

středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93

Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči

90

Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem

Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen

na obr 94

Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo

pravotočiveacuteho šroubu

Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute

vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole

Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu

Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve

směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar

91

53 Veličiny magnetickeacuteho pole

531 Magnetickyacute tok

Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem

Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem

poli Popisuje tedy pole jako celek

Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)

532 Magnetickaacute indukce

Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho

toku na jednotku plochy

SB

Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem

magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě

Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce

Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I

tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1

Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To

se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash

viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute

nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do

zeslabeneacuteho pole

a) b)

Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute

v magnetickeacutem poli

lIkonstF

Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a

označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)

lIBF (N T A m)

92

Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem

Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole

lI

FB

(T NA

-1m

-1)

Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole

Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem

jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity

magnetickeacuteho pole

Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel

pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude

sin lIBF viz obr 98

Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute

Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute

se podiacutelejiacute na jeho vzniku

Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)

Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je

magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo

93

Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute

magnetomotorickeacute napětiacute je tedy

Fm = I

Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho

magnetickeacuteho pole je

Fm = I1 - I2 + I3

Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute

danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute

n

i

im IF1

a) b)

Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)

Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet

všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro

tuto indukčniacute čaacuteru

n

i

mim UF1

Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute

Fm = Um1 + Um2 + Um3

534 Intenzita magnetickeacuteho pole

Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute

indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je

l

UH m (Am

-1 A m)

kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um

Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke

křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery

94

Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole

r

I

l

UH m

2

Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy

tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu

vodiče na rovině indukčniacute čaacutery

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi

intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute

Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem

magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem

bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce

indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole

vybudilo

Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B

Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu

souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah

přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB

Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme

v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a

nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute

HB

Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) (H) je jednotka henry ndash jejiacute

rozměr vysvětliacuteme později

Pro ostatniacute materiaacutely platiacute

HB r 0

kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než

vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1

95

Přiacuteklad 41

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud

8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče

5127323954104

1012

8

2

3

3

r

IH (Am)

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

115749051011

40

10112

8

2

2

3

r

IH (Am)

Přiacuteklad 42

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr

101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A

Obr 101 - Svazek vodičů

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku

2815720321 IIIFm A

6366198200

102

1022

8

2

2

2

r

FH m (Am)

Přiacuteklad 43

Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr

102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A

Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli

96

Řešeniacute

Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je

81201560 lIBF N

Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat

do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo

Přiacuteklad 44

Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad

Řešeniacute

0180)15020(60 SB Wb

Přiacuteklad 45

Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T

I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch

Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů

Řešeniacute

HB r 0 0= 410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

r

FH m

2 a

n

i

im IF1

Z toho plyne

r

m

BrHrF

0

22

150102

21015

104

00202 43

7

rFm A

321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A

97

54 Hopkinsonův zaacutekon

Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem

indukčniacutem tokem

Viacuteme že S

B

z toho SB

Protože platiacute HB a l

UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem

mm U

l

SS

l

USHSB

Vyacuteraz mUl

S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je

henry (H)

mm Ul

SG (H)

Platiacute tedy

mm UG

Rozměr jednotky henry

m

mU

G

)()()(2

A

mT

A

WbH

Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm

m

mG

R1

tedy S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku

Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek

Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti

magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku

Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy

deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu

S

lRm

1 kde r 0

Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je

hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny

pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho

magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu

98

Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin

Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute

Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute

Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute

pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny

Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky

poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r

551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů

Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole

Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů

po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin

elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky

se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute

U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute

uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře

materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy

sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4

m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem

magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a

tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu

vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho

pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel

vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost

že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je

zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě

magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika

Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika

99

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace

Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce

strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho

přiacuterůstku magnetickeacute indukce

Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato

čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity

magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při

navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi

body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute

charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute

Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů

Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho

pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť

Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje

tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute

intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou

magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a

značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat

v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity

magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute

hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute

intenzita (koercitivita)

Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom

nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při

snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem

magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba

opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev

popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka

Obr 105 - Hysterezniacute smyčka

100

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety

Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar

hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho

materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na

vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu

Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute

Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute

intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u

takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely

použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj

magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu

wolframu a molybdenu

Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou

koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute

tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech

střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet

Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem

a) b)

Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute

101

Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu

stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel

zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute

odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute

snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne

k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute

s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)

a) b)

Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka

Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am

102

Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu

Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg

103

Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik

104

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute

Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud

kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery l

IH přiacutepadně

l

FH m kde

n

i

im IF1

tedy součet všech proudů ktereacute se

podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole

Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův

zaacutekon

Biot-Savartův zaacutekon

Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon

Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l

je

sin4 2

r

lIH

kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A

Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky

kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov

561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče

Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute

tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu

průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude

stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem

pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)

Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x

IH

2

kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče

Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy

hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r

IH r

2

Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b

IHb

2

105

a) b)

Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)

Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera

Proudovaacute hustota J ve vodiči je

2r

I

S

IJ

Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia

2

22

2 r

aIa

r

ISJI aa

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy

2

2

2

222 r

aI

a

r

aI

a

IH

Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od

středu vodiče je přiacutemkovyacute

Přiacuteklad 46

Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti

15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A

Řešeniacute

Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je

509316000

1052

160

2 3max

r

IH Am

Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je

1273104

40

10160

10)155(2

160

2

33

35

x

IH Am

106

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

a) b)

Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar

nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve

středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit

sin4 2

r

lIH

Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute

24 r

lIH

Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce

zaacutevitu

r

Ir

r

Il

r

I

r

lIH

rr

22

444 2

2

02

2

02

Tedy r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute

2

Dl a

212

DDD

kde D je středniacute průměr ciacutevky 2

12 DDD

Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

107

Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se

podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu

ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr

Přiacuteklad 47

Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A

aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am

Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr a

2

12 DDD

1052

110100

2

12

DD

D mm a 5522

105

2

Dr mm

Počet zaacutevitů v ciacutevce je

5522

10001055222 3

I

HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů

564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute

podmiacutenka lD

Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka

108

Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119

Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem

Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje

severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom

konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)

Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute

magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu

lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je

l

IN

l

UH m

Přiacuteklad 48

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky

kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute

permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

250010505001010

505002

l

INH Am

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde

025132708010800000250080104 -7-7

0 HB r T

a

109

662232 10176714610)2

15()10

2

15( rS m

2

46 10444132201017671460251327 SB Wb

565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o

kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech

kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute

Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole

Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude

intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r

kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute

než d

Magnetickeacute napětiacute Um je

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je

r

IN

l

UH m

2

Přiacuteklad 49

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400

zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro

vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole je

10185923200

10

320

2

10102

80400

22

2

D

INH Am

110

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme

z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1

Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu

662232 107853982105)102

10( rS m

2

46 101115265107853982421 SB Wb

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok

Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly

tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem

dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje

a) b)

Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami

111

Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem

menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto

větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute

větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze

daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je

mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku

kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok

Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že

součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech

toků z uzlu vystupujiacuteciacutech

01

n

k

k

Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute

magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute

n

k

mkm UF1

Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon

m

m

R

U

kde

S

lRm

1 (H

-1) r 0

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem

Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu

Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem

průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se

uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej

v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat

Přiacuteklad 50

Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku

z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4

Wb D = 80 mm

d = 20 mm

Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro

112

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je

SB

kde 662232 101431010)10

2

20( rS m

2

127314

400

10143

1046

4

SB T

Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro

materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute je

31415938025110801250 3 DHlHFm A

Budiacuteciacute proud bude

1570796200

3141593

N

FI m A

Přiacuteklad 51

Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute

permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu

Řešeniacute

Z Hopkinsonova zaacutekona m

m

R

U je

m

m

UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm

44

4107854

4

102314

104

2314

mm

FR H

-1

Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu

S

lRm

1

kde 00010161250

271

H

B (Hm

-1)

633

6

3

100787143

1080

1016

101

10143

1080

0001016

11

S

lRm H

-1

Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem

zaokrouhlovaacuteniacute

Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu

HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7

Hm-1

113

58081008085071250 4

10101270

1250 10 4

271 33

7-

0

H

Br

Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou

Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute

v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2

Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou

Magnetickaacute indukce je S

B

je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute

Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r

BH

0

Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita

feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než

intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu

00

BBH

r

gtgt rFe

Fe

BH

0

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

0

BHUm

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

lB

lHUr

FemFe 0

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

mFemm UUF

Po dosazeniacute

0

BUUF mFemm l

B

r

0

114

Přiacuteklad 52

Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se

vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve

vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet

hodnotu maximaacutelně 08 A

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

100954934

1012

104

21

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

1435395105110095493 36 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

A2997929)5180(21

)10511080(1200)(1200 33

DlHU FemFe

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

173518829979291435395 mFemm UUF A

Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka

2169216898508

1735188

I

FN m zaacutevitů

Přiacuteklad 53

Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500

zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je

vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg

115

Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

1201803009020060500221121 ININFFF mmm A

Intenzita magnetickeacuteho pole

375032

120

l

FH m Am

Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra

B = 12 T

Celkovyacute magnetickyacute tok je

34 10081103321)030030(21 SB Wb

Přiacuteklad 54

Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby

magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro

elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu

Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54

116

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

3182)9070(2 l mm

Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

10127324104

104

61

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

336 10254647910210127324 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

1113103183500 3 lHU FemFe A

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

36595525461113 mFemm UUF A

Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a

provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů

Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak

73195

36595

I

FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a

budiacuteciacute proud bude 4574375800

36595

N

FI m

b A

Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je

znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např

pro dvě čaacutesti obvodu

21 mm

m

RR

U

ndash Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a

proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena

magnetizačniacute křivkou

Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce

)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak

možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm

117

Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a

pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm

Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2

tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm

Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf

Obr 127 - Funkce )( mFf

Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute

naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute

napětiacute z grafu funkce )( mFf

Přiacuteklad 55

Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech

materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle

obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů

Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

118

Řešeniacute

Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu

75051500 INFm A

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je

18090452 plechyl mm

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je

14090252 litinal mm

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm1

Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute

pro oba materiaacutely

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0555556109

1054

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

200 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

3723363610140240010180200 33

1

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm2

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0777778109

1074

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

400 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

8147427210140530010180400 33

2

Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4

Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4

Wb sestrojiacuteme

v Excelu graf funkce )( mFf

119

Fm (A) 372 814

Wb 00005 00007

Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb

58 Elektromagnetickaacute indukce

581 Indukčniacute zaacutekon

Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute

pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy

Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat

elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud

Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem

Indukčniacute zaacutekon

Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje

elektrickeacute napětiacute u

dt

du

kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku

dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d

120

Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon

Pozn

Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu

veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit

Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i

Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud

Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem

ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)

Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem

ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie

Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute

opačnou polaritu u = -e

Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash

viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute

dt

dNu

(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)

Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce

121

Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok

zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li

tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute

Přiacuteklad 56

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky

homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T

a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute

napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)

Řešeniacute

Magnetickyacute tok je

SB

Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0

Po 05 s bude tok

44 106110208 SB Wb

Změna magnetickeacuteho toku bude

44

01 106101061 d Wb

Změna času bude

050dt s

Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to

4801048001032150050

1061150 44

4

dt

dNu V

V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute

je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute

indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute

Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133

Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56

122

582 Pohyboveacute napětiacute

Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute

Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na

jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič

vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto

smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho

toku se neměniacute

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz

obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute

Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute

Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt

du

Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy

zmenšiacute o hodnotu

ltvBlsBSB

Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude

vlBt

ltvB

dt

du

)(

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok

smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity

vlBt

ltvB

dt

du

Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče

elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute

Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem

Lenzův zaacutekon

Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem

polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou

123

Obr 135 - Lenzův zaacutekon

Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute

pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr

proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo

Přiacuteklad 57

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o

magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do

magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor

rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0

o a c) 60

o

Řešeniacute

a) Při uacutehlu 90 o

bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to

180503021 vlBu V

b) Při uacutehlu 0

o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru

indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je

nulovaacute

u = 0

c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka

rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami

rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti

rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem

čaraacutem

250505060cos50 0 kolmaacutev ms

Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky

124

Indukovaneacute napětiacute pak bude

0902503021 kolmaacutevlBu V

583 Vlastniacute indukčnost

Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute

magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude

indukovat napětiacute

dt

dNu

Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky

Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m

m

R

U kde INUm a tedy po dosazeniacute

mR

IN

můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu

za čas dt

mR

diNd

V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute

dt

R

diN

u m

Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute

dt

di

R

N

dt

R

diN

Ndt

dNu

m

m

2

Vyacuteraz mR

N 2

byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet

125

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

mR

NL

2

Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je

di

dtuL

1

)(

)()()(

AsV

A

sVH

Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita

materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky

Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute

nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu

Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute

hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se

v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se

nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

Přiacuteklad 58

Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů

vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm

Řešeniacute

Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka

Indukčnost ciacutevky je

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm

a S = r2 = 52

=7853982 mm2

3

672

0

2

1020

10547810450

l

SNL r

126

66

372 1039320

105478101041025

H

Přiacuteklad 59

Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli

se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm

Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400

Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm

23

3

7

0 )1010(

1051

104

11

S

Rm

66437

102534

10100101051

4

10

H

-1

Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru

23

33

7

0 )1010(

10511080

400104

11

S

lR

r

Fem

6437

4

337

101564004

105781010

10

10511080

4004

10

H

-1

Indukčnost ciacutevky je

0549561532

51

10)561532(

1500 2

6

222

mFemm RR

N

R

NL

H

584 Vzaacutejemnaacute indukčnost

Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2

(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute

tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140

127

Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost

Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i

jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje

elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude

indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet

dt

dikonstu 1

2

Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou

vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona

Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem

napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1

111 INFm

Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost

magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou

12

1112

mR

IN

Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude

dt

diM

dt

di

R

NN

dt

di

R

NN

dt

dNu

mm

11

12

121

12

12

1222

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je

12

12

mR

NNM

Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř

všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem

sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1

128

Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami

Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je

mR

NL

2

11

mR

NL

2

22

Vzaacutejemnaacute indukčnost M je

mR

NNM 12

Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme

21

2

1

2

2

2

2

1

2

22122 )( LLRR

NN

R

NN

R

NNM

mmmm

a tedy

22 LLM

Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute

ciacutevce bude

dt

di

R

N

dt

diLu

m

2

111

a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude

dt

di

R

NN

dt

diMu

m

212

Poměr napětiacute 2

1

u

uje

2

1

21

2

1

2

1

N

N

dt

di

R

NN

dt

di

R

N

u

u

m

m

Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

129

Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale

dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě

o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek

Pak

22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Přiacuteklad 60

Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů

primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr

142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je

800

Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Magnetickyacute odpor RmFe

64273

23

3

7

0

100353678984

10101010320

)1030(

10320

800104

11

S

lR

r

Fem

H-1

Indukčnost prvniacute ciacutevky

28274330353678

1

100353678

10006

22

11

mFeR

NL H

Indukčnost druheacute ciacutevky

636000353678

1051

100353678

150 22

6

22

22

mFeR

NL H

Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek

0381704636002839022 LLM H

130

Přiacuteklad 61

Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho

přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s

Řešeniacute

Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce

770002

01-06282743311

dt

diLu V

Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce

549002

01-0638202

dt

diMu V

Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute

ciacutevce bylo u2ideaacutel

1060288020

50

0353678

150

002

01-06

100353678

15010006

1

12

122

dt

di

R

NNu

m

ideaacutel V

Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667

Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667

Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute

2

1

2

1

N

N

u

u hellip transformačniacute poměr

585 Spojovaacuteniacute ciacutevek

Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je

Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně

Ciacutevky spojeneacute seacuteriově

Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143

to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat

stejneacute napětiacute

Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

131

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu kde dt

diLu 11 a

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )( 2121 LLdt

di

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL

Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute

vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k

kLL1

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute

indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet

Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M

je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash

viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet

132

Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti

soběldquo

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Ciacutevky spojeneacute paralelně

Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr

146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech

indukovat stejneacute napětiacute

Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi

kde dt

diLu 1

11 a dt

diLu 2

22

a tedy dt

diLu 1

1 a dt

diLu 2

2

z toho 1

1

L

u

dt

di a

2

2

L

u

dt

di

133

Po dosazeniacute 21 dididi

21 L

u

L

udi

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu z toho

L

u

dt

di

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21

111

LLL

Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute

vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute

jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k kLL 1

11

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz

obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute

MLMLL

21

111

Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash

viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet

MLMLL

21

111

Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

134

Přiacuteklad 62

Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost

seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute

indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH

Řešeniacute

Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je

MLLL 221

Z toho

202

)40100(180

2

)( 21

LLL

M mH

585 Přechodovyacute jev na indukčnosti

Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce

dt

diLuiL

Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji

stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute

odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor

bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku

poškodil)

V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na

indukčnosti

Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon

V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud

jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0

pak vyacuteraz dt

diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem

Pro t0 platiacute

t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0

135

V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu

největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute

to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = konst di = 0 0dt

di

0dt

diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0

R

U

R

ui R 0

V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud

v obvodu je omezen jen odporem rezistoru

Průběh proudu a napětiacute je na obr 150

Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i

napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na

ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty

t

L eUu

0

kde

R

L

Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti

59 Energie magnetickeacuteho pole

Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově

působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud

Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute

průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute

udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem

mm UW 2

1 (J Wb A)

Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie

nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu

136

HBlS

U

V

U

V

Ww mmm

m

2

1

22

Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke

konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je

lSHBVHBVwW mm 2

1

2

1

Přiacuteklad 63

Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky

Řešeniacute

Energie magnetickeacuteho pole je

mm UW 2

1

kde INUm a mR

IN

Po dosazeniacute

mm

mmR

ININ

R

INUW

22

2

1

2

1

2

1

Protože LR

N

m

2

dostaneme vyacuteraz 2

2

1ILWm

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy

Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech

materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole

Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech

vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve

vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti

přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti

plneacuteho průřezu

137

Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech

Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute

energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou

energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů

Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute

jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety

způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce

Pv f 2 B2

Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute

z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm

transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute

budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute

množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute

vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru

V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu

Hysterezniacute ztraacutety

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky

138

Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute

ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci

Ph f B2

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově

proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi

proudy

PFe = Ph + Pv

V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole

silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce

vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli

lIBF

Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute

vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka

magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute

sin lIBF viz obr 153

Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho

magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho

Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole

působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem

proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela

139

Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Velikost siacutely F

lIBF 21

kde 101 HB r 0=410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

kde r

IH

21

1

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

7-212

17-

21 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

(N A A m m)

Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič

Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute

vodič

7-211

27-

12 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute

a vodiče se tedy odpuzujiacute

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je

zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute

140

Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute

Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi

rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7

N na 1 m deacutelky

vodičů

Přiacuteklad 64

Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm

rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho

proudu v nich je 40 A

Řešeniacute

Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je

3-7-

2

7-21 101920010105

304040210

I2

r

lIF N

5121 Elektromagnety

Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta

ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157

Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute

feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou

Obr 157 - Elektromagnet

141

Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na

pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru

Přitažlivaacute siacutela magnetu

Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce

B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti

magnetickeacute indukce B

Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu

V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou

posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie

magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie

magnetickeacuteho pole

dlSB

dlSB

BdlSHBWm 0

2

0 2

1

2

1

2

1

a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F

dlFA

Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2

02

1

Platiacute že S

B

a mR

IN

kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet

hodnota RmFe zanedbaacutevaacute

Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

142

Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem

přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze

magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute

Přiacuteklad 65

Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm

plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je

66

47

3

47

3

0

1053051656

10100

103102

10

109104

10322

S

lR v

m H-1

Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

9)5305165(42

1010104109

109)105305165(

2300

1042

12

41274

426

22

7

F

65852814303

500

28143032

100010

9281430342

49 3

F N

143

6 Střiacutedaveacute proudy

Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud

se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute

střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T

Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute

čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny

označeniacute přiacuteslušneacute veličiny

Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute

proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je

praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy

harmonickeacute Babyčka

Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu

Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute

jednotkou je hertz značka Hz

Doba jedneacute periody je

fT

1 (s Hz)

Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute

průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz

až MHz

Přiacuteklad 66

Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě

Řešeniacute

02050

11

fT s

144

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii

Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu

Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy

Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel

tft

f

tT

21

22

Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za

jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se

f 2 (rads-1

)

Platiacute tedy

)sin(max tIi

Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel

nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute

Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu

145

Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh

sinusoidy

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje

Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu

Přiacuteklad 67

Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou

hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz

a proud je faacutezově zpožděn o 30o

Řešeniacute

Doba periody je

02050

11

fT s

Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2

Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute

zpožděniacute 30o

30o je 6 radiaacutenů 0001667

12

1020

2

61

Tt s

Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je

)6

00152sin(25)tsin( 0015)( max

fIi

-216207)6

0015314sin(25)6

0015502sin(25 0015)(

i mA

146

62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne

průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163

Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět

Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace

Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory

znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich

působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute

Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe

v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je

vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval

U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy

bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)

bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů

bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)

bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)

631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v

stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute

harmonickyacute proud (napětiacute)

Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině

proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je

tIRUtIW 2

147

2IRUIt

WP

Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval

dt je

dtiRdW 2

dttIRdtiRdW )(sin22

max

2

Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu

bdquoRplocha pod křivkou i2

ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164

rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i

2 po

dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho

proudu daneacuteho průběhu Platiacute

2

2

max2 II

2

maxII což je 7070max II

Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i

silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu

632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost

stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud

Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za

jednotku času

t

QI tIQ

Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165

148

Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod

přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody

a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute

pro stejnosměrnyacute proud QT

Imed 2

a

pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q

Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho

počtu dospět k vyacuterazu

max

2IImed

což je max6370 IImed

Přiacuteklad 68

Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce

Řešeniacute

Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě

230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy

V 32523022max UU

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem

čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho

velikost je

vlBU

kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje

l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole

v je rychlost pohybu vodiče

149

Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se

vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B

magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166

Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute

Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je

velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute

Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute

Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr

168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v

každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli

Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem

pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich

150

obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za

minutu)

Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto

okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a

velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0

a) b) c)

Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli

Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu

v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v

a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to

vlBui

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem

směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato

napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je

max22 UrlBvlBui

Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute

s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu

kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute

indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute

v zaacutevitu v obecneacute poloze je

sinsin22 max UvlBvlBu xi

151

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute

Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden

zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-

kraacutet většiacute

)sin(max tUNui

Přiacuteklad 69

Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm

b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce

B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s

Řešeniacute

Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh

)sin(2 tvlBui

Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je

560

300

60

nf Hz

Uacutehlovaacute rychlost je

431522 f s-1

Rychlost otaacutečeniacute v

rv kde 2

2

1022

104

2

a

r m

6280102431 2 rv ms

Tedy

tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22

Doba jedneacute periody T je

205

11

fT s

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)

152

a) b)

Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69

V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil

praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)

65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže

Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je odpor R

Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež

charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L

Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C

651 Odporovaacute zaacutetěž

Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě

odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a

proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute

vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie

Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

153

Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je

)sin()sin()sin(

max

maxmax tItR

U

R

tUi

Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve

faacutezi

Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R

UI max

max

Pro efektivniacute hodnoty platiacute R

UI

Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži

Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je

2iRiup

Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je

2IRIUP

Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon

jednotkou je watt (W)

652 Induktivniacute zaacutetěž

O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu

připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)

Pak platiacute

dt

diLui

a) b)

Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute

maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu

Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud

neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute

154

Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute

maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj

v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di

lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute

čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax

Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem

indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o

Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah

)sin(max tUu

pak průběh proudu je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak

indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna

proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute

rychlost viz obr 173

Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt

Platiacute

LXILIU maxmaxmax

kde XL je tzv indukčniacute reaktance

LX L ()

Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem

proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze

ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento

odpor minimaacutelniacute)

Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu

LX

UI max

max a LX

UI

Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo

uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL

155

Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce

Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute

do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je

okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute

V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět

zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute

směr

V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie

ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho

efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud

kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute

vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud

653 Kapacitniacute zaacutetěž

O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen

kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)

Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět

156

vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita

elektrickeacuteho pole

a) b)

Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute

pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na

deskaacutech kondenzaacutetoru o dq

dtidq

Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du

C

dti

C

dqdu

Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i

dt

duCi

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute

maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud

napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je

du = 0 a tedy i proud je nulovyacute

Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud

maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t

= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a

proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t

= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax

Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute

proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)

Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute

jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt

Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute

uacutehlovaacute rychlost

157

CUI maxmax

Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde

CX C

1

Pak lze psaacutet

CX

UI max

max a pro efektivniacute hodnoty CX

UI

Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177

CfCX C

2

11

Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute

k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud

neproteacutekaacute

Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu

napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem

kondenzaacutetoru

158

V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se

dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute

do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor

nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje

v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije

nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech

V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze

k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do

zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute

se Q a jeho efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a

nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor

Přiacuteklad 70

Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F

pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz

Řešeniacute

V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf

X C

2

1

Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70

159

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity

indukuje se v niacute napětiacute u1

dt

diLu 1

11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU

V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje

napětiacute u2

dt

diMu 1

2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12

kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou

Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů

Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2

zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2

dt

diLu 2

22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU

V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce

indukovalo napětiacute u1

dt

diMu 2

1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21

Transformačniacute poměr

Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR

NL

2

11 a

mR

NL

2

22

Z toho vyplyacutevaacute že 12

12

mR

NNM

Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1

mR

NILIU

2

11111

a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2

12

12112

mR

NNIMIU

160

Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je

2

1

12

121

2

11

2

1

N

N

R

NNI

R

NI

U

U

m

m

Poměr 2

1

2

1

N

N

U

U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu

zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu

elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit

přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute

přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se

napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute

400230 V

66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech

obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě

indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R

Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů

střiacutedaveacuteho proudu

Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho

proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute

respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu

661 Seacuteriovyacute RC obvod

Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože

je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a

tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu

161

Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je

IRUR

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC

Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z

22 RXZ C ()

Pak

ZIU

Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je

22 RX

U

Z

UI

C

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

181 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 71

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost

faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

C

kde velikost kapacitniacute reaktance je

1592

1000

10501022

1

2

1163

CfC

XC

Proud

0470256

12

200159

12

2222

RX

UI

C

A = 47 mA

162

Napětiacute na rezistoru UR

3990470200 IRUR V

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC

4770470159 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

078247912

399cos

U

U R = 0672159 rad = 385o

Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71

662 Seacuteriovyacute RL obvod

Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je

tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL

163

Impedance obvodu je

22 RXZ L ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22 RX

U

Z

UI

L

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

183 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 72

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho

posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

L

kde velikost induktivniacute reaktance je

1257405022 LfLX L

Proud

154807125

230

2222

RX

UI

L

A

Napětiacute na rezistoru UR

12454180 IRUR V

Napětiacute na ciacutevce UL

1945417125 IXU LL V

Faacutezovyacute uacutehel je

0537029230

124cos

U

U R = 1003885 rad = 57 5o

164

Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72

663 Seacuteriovyacute LC obvod

Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I

Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute

)( CLCLCL XXIIXIXUUU

Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter

Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter

165

664 Seacuteriovyacute RLC obvod

Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy

proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL

Impedance obvodu je

22)( RXXZ CL ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

186 je cos

U

IR

U

U R cos

166

Přiacuteklad 73

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute

diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V

frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

kde velikost induktivniacute reaktance je

4512805022 LfLX L

avelikost kapacitniacute reaktance je

7957747250

1040502

1

2

116

CfC

XC

Proud

109746209

230

120)6794251(

230

)( 2222

RXX

UI

CL

A

Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou

713109741120 IRUR V

2759097414251 IXU LL V

87309741679 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

0572579230

7131cos

U

UR = 0961148 rad = 55 1o

Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73

167

665 Paralelniacute RC obvod

Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RC III

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

188 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

CC

RC

Z

UI

22

11

1

RX

Z

C

22

111

RXZ C

168

666 Paralelniacute RL obvod

Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RL III

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

189 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

LL

RL

Z

UI

22

11

1

RX

Z

L

22

111

RXZ L

169

668 Paralelniacute LC obvod

Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute

CL

CLX

U

X

UIII

Impedance LC obvodu je

CLXXX

U

X

U

U

I

UZ

CLCL

1

1

11

1

Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy

CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0

Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se

opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a

ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li

CL

1

což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence

170

CL

1 Cf

Lf

0

0

22

1

CLf

2

10

669 Paralelniacute RLC obvod

Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCXC

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22)( RCL IIII

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

191 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

171

2222

22 111)(

RXXU

R

U

X

U

X

UIIII

CLCL

RCL

Z

UI

22

111

1

RXX

Z

CL

22

1111

RXXZ CL

Přiacuteklad 74

Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož

odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete

faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =

230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute

Řešeniacute

Velikost proudu rezistorem je

0766667300

230

R

UIR A

Velikost proudu ciacutevkou je

091514180502

230

2

Lf

U

X

UI

L

L A

Velikost proudu kondenzaacutetorem je

072256610321010502230

2

16

Cf

U

X

UI

C

C

Celkovyacute proud je

07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem

096987279050

7670cos

I

IR = 141o

Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR

I = IR =0767 A

A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0

562697782

1000

1010802

1

2

1

60

CLf Hz

172

Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74

Přiacuteklad 75

Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10

kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)

Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce

Řešeniacute

Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem

odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti

rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)

Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

314101005022 3 LfLX L

Proud ciacutevkou

0732113

3141592

230

98696

230

10314

230

2222

RX

UI

L

A

Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je

7321073211310 IRU R V

173

Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je

229880732113314 IXU LL V

Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je

003183230

7321cos

U

UR

1538961 rad 8817594 o

Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute

Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti

na čase

)502sin(2302)sin(max ttUu

přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms

=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)

)5391502sin(7322)sin(max ttIi

přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA

=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)

Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75

Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute

36573203217 IUP R W

Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute

3168073222988 IUQ L VAr

Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute

41680732230 IUS VA

174

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody

Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute

posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory

v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy

s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 76

Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute

indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F

Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz

Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76

Řešeniacute

Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech

Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR

je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute

součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o

předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

62810100100022 3 LfLX L

Proud IRL je

0020325

118084

24

1394384

24

1000628

24

2222

RX

UI

L

RL A

Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je

3252000203251000 IRU R V

12763790020325628 IXU LL V

175

Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je

084687524

32520cos RL

U

U R = 3212661o

Proud kondenzaacutetorem IC je

C

CX

UI

kde 1591549102

10

101010002

1

2

112

6

6

CfCX C

0015081591549

24CI A

Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi

s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka

IRLj

a) b)

Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)

Činnaacute složka IRLč

001721384687500020325cos RLRLRLč II A

Jalovaacute indukčniacute složka IRLj

0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A

Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC

tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy

2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A

09999630172130

0172130cos

I

I RLč = 05o

Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve

větvi RL

176

Přiacuteklad 77

Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o

indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby

byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem

Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77

Řešeniacute

Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka

proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC

Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL

- viz obr 198 a)

a) b) c)

Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77

Proud ve větvi s ciacutevkou

0315547

5188

24

100304002

24

2222

RX

UI

L

RL A

Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou

155473031554710 RLR IRU V

237916603155470304002 RLLL IXU V

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou

o82445d1438937ra

013147824

155473cos

RL

RRL

U

U

177

Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru

na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)

004148701314780315547cos RLRLč II A

031280709913190315547sin RLRLj II A

Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je

tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně

kompenzovaacuten pak platiacute

CRLj II a tedy IC = 0312807 A

Proud kondenzaacutetorem je

0312807C

CX

UI A

a tedy kapacitniacute reaktance je

7672451 0312807

24

C

CI

UX

Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet

CfXC

2

1

CXfC

2

1

666

1051859221072451764002

101

72451764002

1

C F

Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o

kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL

což je 0041487 A

Přiacuteklad 78

Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr

199 Řešte obecně

Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78

Řešeniacute

Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu

178

Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se

zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90

o předbiacutehaacute Vyneseme

tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR

je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U

CL

L

ABL

c

ABC

R

ABR

III

X

UI

X

UI

IRU

UUU

222

Po dosazeniacute

2

2

2222222

AB

c

AB

L

AB

ABCLABABR

UX

U

X

UR

UIIRUIRUUU

2

2

22

2

2 111

cL

ABAB

c

AB

L

AB

XXRUU

X

U

X

URU

2

2

22

2

22 11cL

LcAB

cL

LcAB

XX

XXRU

XX

XXRUU

2

2

1cL

Lc

AB

XX

XXR

UU

Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute

na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU

66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute

zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do

magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute

kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje

Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute

IUP

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon

iup

179

Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute

posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute

nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a

z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a

jejiacute jednotkou je voltampeacuter

IUS (VA V A)

Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute

přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži

Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute

nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je

s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem

pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a

induktivniacute zaacutetěži je cos = 0

Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o

90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute

energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je

voltampeacuter reaktančniacute

sin IUIUQ j (Var V A)

Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem

cos IUP sin IUQ IUS 2

2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS

22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP

Platiacute tedy že

222 SQP

což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200

Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu

180

Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A

měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute

napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a

hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku

Přiacuteklad 79

Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete

zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos

Řešeniacute

1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou

prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se

v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen

jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)

Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI

Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud

předřazenyacutem odporem

a) b)

Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti

2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)

Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute

induktivniacute reaktanciacute XL

Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute

hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL

(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute

indukčnost ciacutevky L

181

I

UZ

22 RZX L f

XL L

2

Z

R

IZ

IR

U

UR

cos

IUS cos IUP sin IUQ

67 Rezonance

Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti

indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute

tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute

Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin

rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme

rezonančniacute frekvence a značiacute se f0

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz

obr 202

Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram

Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro

rezonanci XL = XC

Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je

22)( RXXZ CL

Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji

jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0

Z0 = R

Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to

R

UI 0

182

Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost

ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC

LfCf

0

0

22

1

2

022

1f

CL

CLf

2

10

Rezonančniacute křivka

Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)

2222 )2

12()( R

CfLfRXXZ CL

Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)

Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel

je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0

Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute

R

CfLf

arctg

2

12

Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je

22)2

12( R

CfLf

U

Z

UI

Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute

kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute

odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu

Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R

Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL

183

a napětiacute na kondenzaacutetoru IC

IXU CC

1

Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy

0000 ILUU CL kde R

UI 0

Po dosazeniacute je

UR

L

R

ULILUU CL

0

00000

Vyacuteraz R

L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti

Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti

Pak UQXU CL 00

To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka

napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při

naacutehodneacutem dotyku

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod

Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz

obr 205

Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram

184

K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna

velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute

složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R

reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0

Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat

kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter

Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude

převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter

Proud ciacutevkou je

22222 RLf

U

RX

UI

L

RL

Jalovaacute složka proudu IRL je

RLRLRLj II sin kde 222

2sin

RLf

Lf

Z

X

ZI

XI

U

U

RL

L

RLRL

LRLLRL

Po dosazeniacute

222222 2

2

2

2

2 RLf

ULf

RLf

Lf

RLf

UIRLj

Činnaacute složka proudu IRLč je

222222222

cosRLfI

RI

RLf

U

U

U

RLf

UII

RL

RLRRLRLRLč

222222 222 RLf

RU

RLfI

RI

RLf

UI

RL

RLRLč

Proud kondenzaacutetorem je

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

2

2

1

Pro rezonanci

CRLj II

UCf

RLf

ULf

022

0

0 22

2

C

RLf

L

22

02

0)2( 222

0 LRCCLf

2

0

1

2

1

L

R

CLf

185

Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je

2

22

2

22

2

22

2

22

22

22

2

2

22

2

2)(

RLf

RCf

RLf

LfU

RLf

RUCf

RLf

ULfIIII RLčCRLj

Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy

22

0

02 RLf

RUII RLč

Impedance při rezonanci je

R

RLf

I

UZ

22

0

0

0

2

Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu

je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0

Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna

odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou

Rezonančniacute křivky

Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu

matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute

2

22

2

222

22

2

RLf

RCf

RLf

LfUI

a

I

UZ

Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu

Činitel jakosti obvodu

Činitel jakosti obvodu je Q

R

LQ

0

186

Platiacute

000 IQII RLC

Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud

odebiacuteranyacute ze zdroje

Přiacuteklad 80

Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny

a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci

proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro

paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem

Řešeniacute

Ad a) Rezonančniacute frekvence

Hz

CLf

33

64630

102055602

10100

10210302

1

1021032

1

2

1

Rezonančniacute impedance

Z0 = R =10

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

A4210

240

R

UI

Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci

V 929516421031005522

f2

33

000000

ILILUU LC

Činitel jakosti

387324

95920 U

UQ C

Ad b) Rezonančniacute frekvence

Hz 1985111111111666666672

1

3

10

23

10

2

1

103

10

102103

1

2

11

2

1

249

2

363

2

0

L

R

CLf

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

187

A 016

1500

1024

10398512

1024

1010319852

1024

2

22

22322

0

0

RLf

RUII RLč

Rezonančniacute impedance

150160

24

0

0I

UZ

Proud kondenzaacutetorem při rezonanci

A 059866524102198522

2

16

0

0

0

0

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

Činitel jakosti

3741657160

598700 I

IQ C

Pozn

Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute

se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod

CLf

2

10

Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně

přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)

68 Kompenzace uacutečiniacuteku

Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla

nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute

složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li

faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je

daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy

v elektrickyacutech strojiacutech

188

a) b)

Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci

Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute

energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute

jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute

činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů

Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což

vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy

většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a

tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet

dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena

roste

Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud

kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho

původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute

složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute

zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho

vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku

Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav

paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095

Přiacuteklad 81

Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07

Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na

hodnotu 095

Řešeniacute

Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

Činnyacute vyacutekon je

189

cos IUIUPČ

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

186335470230

300

cos

U

PI A

Činnaacute složka proudu je

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

133070113043481863354 2222 čj III A

Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

coskomp = 095

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

1372998950230

300

cos

komp

kompU

PI

A

Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A

Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute

Cjjkomp III

Proud kondenzaacutetorem tedy bude

090198304287181330701 jkompjc III A

Pro proud kondenzaacutetorem platiacute

Cf

U

X

UI

c

C

2

1

Kapacita kondenzaacutetoru je tedy

6-5- 10124831012483230502

0901983

2

Uf

IC C F = 12483 F

190

7 Trojfaacutezovaacute soustava

Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute

jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina

průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod

elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak

napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena

využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute

trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute

velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci

elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute

magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

sinsin22 max UvlBvlBu xi

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

191

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute

Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově

pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute

harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem

posunem jednotlivyacutech napětiacute

Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou

pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o

se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se

označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211

Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

192

Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuW

Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech

hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule

0 WVU uuu

Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute

Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute

f

o

f UUx2

1)60cos( ff UUy

2

12

Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU

Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0

UU + UV + UW = 0

72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu

Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute

stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou

Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze

statoroveacuteho vinutiacute

Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem

otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)

Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute

obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou

draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je

posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi

193

průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute

U1 V1 W1 konce U2 V2 W2

Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti

Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu

statoru

Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute

Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem

obvodem a statorovyacutem vinutiacutem

Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod

rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na

vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky

stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n

(otmin)

Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru

Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru

Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute

jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute

vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje

elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem

v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto

uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na

elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu

přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů

přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute

Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech

elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou

195

označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla

3000 otmin

Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech

jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute

s předchoziacutem provedeniacutem

Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute

Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem

Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů

Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je

v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech

vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a

označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy

Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi

nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se

označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)

a) b)

Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy

a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem

Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute

faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf

196

fWVU UUUU

Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US

SWUVWUV UUUU

Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho

napětiacute

2

330cos

2 f

o

fS UU

U

fS UU 3

Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi

libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti

Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke

spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a

ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P

Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je

IRU

kde R je odpor vedeniacute

I je přenaacutešenyacute proud

Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je

2IRIIRIUP

Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině

přenaacutešeneacuteho proudu

197

Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou

energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem

vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety

Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se

napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně

niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se

energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory

Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek

Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty

dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou

proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje

v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky

Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru

Z uvedeneacuteho je patrneacute že

2

1

2

1

N

N

U

U (= transformačniacute poměr) a tedy

1

212

N

NUU

Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute

napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se

transformuje na nižšiacute napětiacute

Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že

vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu

P1 = P2 = P

Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak

1

212

N

NUU gt U1

Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute

2

2U

PI a

1

1U

PI

pak I2 lt I1

proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute

198

Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je

2

11

1

21

11

2

112

N

NI

N

NU

UI

U

UII

rarr

2

1

1

2

N

N

I

I

Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie

se sniacutežiacute

Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV

Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV

Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute

vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro

daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie

Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute

zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V

G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor

Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy

74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti

Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři

faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute

sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič

jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute

vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE

Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič

Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před

dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je

takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale

vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem

krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet

zdraviacute ohrožujiacuteciacute

199

Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C

Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S

Ochrana nulovaacuteniacutem

Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute

čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute

Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem

jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute

faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute

pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu

200

Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např

faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se

na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm

aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem

bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li

se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute

proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)

a) b)

Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem

Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při

poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute

je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud

IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho

působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se

danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine

74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti

Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi

Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy

Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy

připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu

a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

201

f

f

fZ

UI

Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel

danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče

Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy

Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven

nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute

žaacutednyacute proud

IN = 0

Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může

vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute

vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem

různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute

trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky

světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit

přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud

možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech

202

obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN

kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou

U

UU

Z

UI

V

VV

Z

UI

W

WW

Z

UI

Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute

fWVU UUUU

a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o

Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže

v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W

Pozor

Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde

přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a

spotřebičem

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka

Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230

Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka

203

Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou

stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o

UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3

Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou

UV

SUV

Z

UI

VW

SVW

Z

UI

WU

SWU

Z

UI

a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže

Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona

IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU

IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV

IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

S

f

S

SS

Z

U

Z

UI

3

Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech

napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče

Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech

Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute

Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute

o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232

2

330cos

2 WU

o

WU

fII

I

WUf II 3

204

Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je

různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz

obr 233

Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute

Přiacuteklad 82

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute

činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na

obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute

ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy

205

Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82

Řešeniacute

Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235

Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234

Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je

400 SWVUWVU UUUU V

Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost

Z

UIIII S

WVUWVU

kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L

76173

400

Z

UI S 230207 A

206

Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost

398730323020733 IIIII fWUV A

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech

Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

cos fff IUP (W V A)

Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

fff IUS (VA V A)

Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

sin fff IUQ (VAr V A)

Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute

Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon

cos33 fff IUPP (W V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon

fff IUSS 33 (VA V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

Přiacuteklad 83

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu

R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a

celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do

trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute

Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude

287580

230

R

UI

f

f A

Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy

661252875230 fff IUP W

207

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

1983752875230333 fff IUPP W

Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute

US Proud každyacutem z rezistorů bude

580

40033

3

f

ffSS I

R

U

R

U

R

UI A

Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy

00025400333 fffSSS PIUIUP W

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

6000200033 SPP W

Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy

751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek

Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na

svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co

nejjednoduššiacute

Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je

znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute

chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do

trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy

a) b) c)

Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do

trojuacutehelniacuteka

76 Točiveacute magnetickeacute pole

Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o

připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř

statoru točiveacute magnetickeacute pole

208

Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti

Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238

V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1

ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W

a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)

V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole

jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)

ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček

a) b) c)

209

d) e) f)

Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole

V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do

W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole

jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako

v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o

Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele

stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute

rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute

Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute

magnetickeacute pole

Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku

daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi

Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech

V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW

2

3)

3

4sin()

3

4sin( maxmaxmax IItIiw

Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy

2

3max w

kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute

Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239

Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole

210

maxmax

0

2

3

2

3

2

32)30cos(2 W

Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy

max2

3

Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute

o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a

velikosti max2

3

Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou

statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem

magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho

pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)

fns 60

Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru

Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory

Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho

magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241

V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)

V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)

v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy

pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček

211

a) b)

Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole

Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr

242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi

přiacutevodniacutemi faacutezemi

Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru

212

77 Kompenzace uacutečiniacuteku

Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny

v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy

Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute

elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat

neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a

vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech

bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute

proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem

Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute

charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem

připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute

Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou

hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je

penalizovaacuten

Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků

kondenzaacutetorů k siacuteti

Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu

Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky

spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou

nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem

přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na

využitiacute spotřebiče

Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru

Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech

rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke

zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při

individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute

jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody

213

Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena

v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti

spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace

Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku

kompenzačniacuteho vyacutekonu

Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry

měřiacute pouze činnou odebranou energii

214

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami

81 Elektrostatickeacute pole

Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)

elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19

C

Q = ke k je celeacute čiacuteslo

I elektrickyacute proud ampeacuter (A)

t

QI

E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )

Q

FE

U elektrickeacute napětiacute volt (V)

Q

AU ( CJV )

l

UE

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem

prostřediacute

permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m

-1)

0 r

0 permitivita vakua 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

r poměrnaacute permitivita r gt = 1

24 r

QE

intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule

s naacutebojem Q

D elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

ED r 0

C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)

U

QC

l

SC r 0

215

Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC 21

Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC

1

1

111

21

Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru

t

c eUu 10

kde

CR

Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

Pak kapacita osamoceneacute koule je

104 rC r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

82 Stejnosměrnyacute proud

J Proudovaacute hustota

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

R elektrickyacute odpor ohm ()

R

UI hellip Ohmův zaacutekon

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

rezistivita materiaacutelu

G vodivost siemens (S)

RG

1

216

Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR

teplotniacute součinitel odporu (1oK)

A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu

tIUUQA (J V A s)

P vyacutekon

2IRIIRIUP (W V A)

uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 P

P )( JJ

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel

01

n

k

kI

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku

01

n

k

kU

Spojovaacuteniacute rezistorů

Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21

Paralelniacute niVyacutesl RRRRR

1

1

111

21

Transfigurace

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute

iRIUU 0

Proud nakraacutetko

i

kR

UI 0

217

83 Magnetickeacute pole

magnetickyacute tok weber (Wb)

B magnetickaacute indukce tesla (T)

SB

lI

FB

lIBF sin lIBF (N T A m)

Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)

n

i

im IF1

Um magnetickeacute napětiacute (A)

n

i

mim UF1

H intenzita magnetickeacuteho pole

l

UH m (Am

-1 A m)

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r

I

l

UH m

2

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

HB r 0

0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) henry (H)

r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r

přibližně 1)

Hopkinsonův zaacutekon

mm U

l

SS

l

USHSB

Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)

mm Ul

SG

Rm magnetickyacute odpor (reluktance)

m

mG

R1

S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

218

Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

r

INH

2 kde

2

Dr

2

12 DDD

Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

l

IN

l

UH m

Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

r

IN

l

UH m

2

Indukčniacute zaacutekon

dt

du

pro ciacutevku o N zaacutevitech

dt

dNu

Pohyboveacute napětiacute

vlBu

L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)

dt

diMu 1

2

12

12

mR

NNM

22 LLM

22 LLM

kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Transformačniacute poměr

2

1

2

1

N

N

u

u

Spojovaacuteniacute ciacutevek

seacuterioveacute 21 LLL

seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

219

paralelniacute 21

111

LLL

paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

Přechodovyacute jev na indukčnosti

t

L eUu

0

kde

R

L

Energie magnetickeacuteho pole

mm UW 2

1 lSHBWm

2

1

Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

sin lIBF

Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu

SR

INF

m

2

22

02

1

84 Střiacutedaveacute proudy

f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)

60

nf

T doba jedneacute periody (s)

fT

1

uacutehlovaacute rychlost

f 2 (rads-1

)

Průběh harmonickeacuteho proudu

)sin(max tIi )sin(max tIi

Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

2

maxII

Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

max

2IImed

220

Odporovaacute zaacutetěž

)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR

Ui

Induktivniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

LX

UI max

max

XL induktivniacute reaktance ()

LX L

Kapacitniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

CX

UI max

max

XC kapacitniacute reaktance ()

CX C

1

Seacuteriovyacute RLC obvod

Z impedance obvodu ()

22)( RXXZ CL U

IR

U

U R cos

Paralelniacute RLC obvod

22)( RCL IIII I

IRcos

Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)

S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)

Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)

222 SQP

cosφ uacutečiniacutek

IU

P

cos

Rezonance

f0 rezonančniacute frekvence

CLf

2

10

221

Q činitel jakosti obvodu je R

LQ

0

84 Trojfaacutezovaacute soustava

Uf faacutezoveacute napětiacute

Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuw

US sdruženeacute napětiacute

fS UU 3

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

cos33 fff IUPP (W V A)

fff IUSS 33 (VA V A)

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

222

Použitaacute literatura

BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-

7333-043-1

Internetoveacute straacutenky (www)

BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt

httpwwwbrush-semczgt

Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-

cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt

Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt

Page 5: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu

5

Obsah

Anotace 3

Uacutevod 9

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky 10

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI 10

12 Předpony jednotek 11

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů 12

21 Elektronovaacute teorie 12 22 Vodiče a izolanty 12 23 Zdroje elektrickeacute energie 12

3 Elektrostatickeacute pole 14

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole 14 32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole 16 33 Coulombův zaacutekon 17 34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole 18

35 Elektrickaacute indukce 19 36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů 21

361 Polarizace dielektrika 21 362 Elektrickaacute pevnost dielektrika 22

37 Kondenzaacutetor 22

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 23 381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů 24

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru 28

310 Energie elektrostatickeacuteho pole 29 311 Složenaacute dielektrika 31

3111 Dielektrika vedle sebe 31

3112 Dielektrika za sebou 32 312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem 34

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy 34 3122 Osamocenaacute koule 35 3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy 36

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi 37

4 Stejnosměrnyacute proud 38

41 Proudovaacute hustota 38

42 Intenzita proudoveacuteho pole 39

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon 39

431 Velikost elektrickeacuteho odporu 40 432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě 41

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu 43 45 Kirchhoffovy zaacutekony 45

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon 46 452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon 47

6

46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83

5 Magnetickeacute pole 88

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89

53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92

534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111

58 Elektromagnetickaacute indukce 119

581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134

59 Energie magnetickeacuteho pole 135

7

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140

6 Střiacutedaveacute proudy 143

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152

651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160

661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162

663 Seacuteriovyacute LC obvod 164

664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168

668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183

68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187

7 Trojfaacutezovaacute soustava 190

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207

76 Točiveacute magnetickeacute pole 207

77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215

8

83 Magnetickeacute pole 217

84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221

Použitaacute literatura 222

9

Uacutevod

Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech

obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich

autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole

Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru

popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem

bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků

elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute

Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto

tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a

ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z

Maxwellovyacutech rovnic

Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a

jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti

aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute

aplikovaneacute elektrotechniky

10

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky

Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou

fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute

veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme

Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)

jednotka = sekunda

Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem

zaacutepisem

Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute

zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI

Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik

zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se

nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International

dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek

a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

Jednotka zkratka jednotky veličina

Metr m deacutelka

Kilogram k hmotnost

Sekunda s čas

Ampeacuter A elektrickyacute proud

Kelvin K teplota

Mol mol laacutetkoveacute množstviacute

Kandela cd sviacutetivost

b) Doplňkoveacute jednotky

doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu

steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu

c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI

vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute

vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami

Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute

vlastniacute naacutezev

11

Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)

protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute

naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev

Coulomb [C]

Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než

jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje

vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a

nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)

Dovoleneacute

Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s

Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg

Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m

3

Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)

Nedovoleneacute

Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm

Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W

12 Předpony jednotek

Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou

Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky

k kilo 103 m mili 10

-3

M mega 106 mikro 10

-6

G giga 109 n nano 10

-9

T terra 1012

p piko 10-12

Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10

-6 F = 0000005 F

Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute

d deka 10 d deci 10-1

h hekto 102 c centi 10

-2

12

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů

21 Elektronovaacute teorie

Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit

Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů

neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho

elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)

označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura

atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a

z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech

(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19

C

Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů

ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy

stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute

Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se

porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však

vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute

naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo

Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem

přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute

elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

22 Vodiče a izolanty

Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při

slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely

nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem

nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem

naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je

složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou

vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem

působeniacutem elektrickeacuteho pole

Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky

označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem

silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)

23 Zdroje elektrickeacute energie

Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu

energie

Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek

zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely

13

zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem

zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)

Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič

Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka

Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute

vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu

na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem

tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji

Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI

soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC

Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda

14

3 Elektrostatickeacute pole

Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky

nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole

Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem

kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek

Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem

elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute

polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute

naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů

Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se

navzaacutejem přitahujiacute

Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole

Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar

Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela

elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli

Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli

Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele

zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na

volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole

osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4

Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje

Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda

volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na

čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami

15

Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů

Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo

uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit

veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole

QEF ( 1 CNCN )

Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj

je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a

tohoto naacuteboje

Z toho

Q

FE ( CNCN 1 )

Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme

toto pole nehomogenniacute

Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto

polem homogenniacutem

Přiacuteklad 1

Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute

pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C

Řešeniacute

5110150010301050 363 QEF (N)

16

32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou

stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a

velikost

Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem

poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se

čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A

lFA ( mNJ )

Po dosazeniacute F=E Q dostaneme

lQElFA

Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak

praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U

Q

AU ( CJV )

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje

o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1

)

Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity

pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)

Protože Q

FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a

Q

AU vypočiacutetat

l

U

Q

l

QU

Q

l

A

Q

FE

( 1mV )

Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U

l

UE ( mVmV 1 )

Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute

(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely

17

Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel

Přiacuteklad 2

Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute

vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V

Řešeniacute

80001083

1024

103

24 33

3

l

UE ( 1mV )

33 Coulombův zaacutekon

Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou

se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a

zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich

vzdaacutelenosti

Obr 8 - Coulombův zaacutekon

Platiacute tedy

2

21

r

QQkonstF

kde konstanta maacute hodnotu

4

1konst

18

kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato

hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute

0 r

kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně

rovna 1

Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute

je

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

Přiacuteklad 3

Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost

1 mm

Řešeniacute

)(1032)101(

106021106021

1085484

1

4

1 22

23

1919

122

21

0

Nr

QQF

r

34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem

většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal

Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje

Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute

ekvipotenciaacutely

Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity

v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy

19

Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q

FE a platiacute Coulombův zaacutekon

2

21

04

1

r

QQF

r

1QQ a CQ 12

Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude

24 r

QE

kde 0 r

je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute

Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však

bude v každeacutem bodu do středu koule

Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem

součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji

Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole

35 Elektrickaacute indukce

Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem

stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest

tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se

elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute

Obr 11 - Elektrickaacute indukce

20

Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do

země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem

Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute

pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle

obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na

destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde

2

1

12 S

S

QQ

a) b)

Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj

Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

Přiacuteklad 4

Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el

naacutebojem 310-12

C

Řešeniacute

)(105974104

103

4)102(

103

4

214

6

12

23

12

2mC

r

Q

S

QD

Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D

Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše

neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity

elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash

čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce

Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute

24 r

Q

S

QD

a

24 r

QE

21

Tedy

ED

kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r

ED r 0

36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů

361 Polarizace dielektrika

Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče

vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem

elektrickyacute proud

U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se

vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se

nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)

Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky

nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu

čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely

9 a) 9 b)

Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)

Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole

polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu

vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute

pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než

původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)

9 a) 9 b)

Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)

22

362 Elektrickaacute pevnost dielektrika

Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a

nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita

elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu

je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu

- proud začne izolantem proteacutekat

Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů

se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů

Materiaacutel r Ep (kVmm)

vzduch 10006 2 až 3

mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30

parafiacuten 19 až 22 20 až 30

kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58

kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10

polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60

sliacuteda 6 až 7 40 až 80

sklo 35 až 4 20 až 50

porcelaacuten 55 až 65 20 až 45

37 Kondenzaacutetor

Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute

elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je

dielektrikum

Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje

opačnyacutech polarit

Obr 15 - Kondenzaacutetor

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute

napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute

naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute

Platiacute tedy

UkonstQ

23

Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C

UCQ

Jednotkou kapacity je farad (F) U

QC a tedy rozměr jednotky farad je (

V

C

U

QF )

Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF

Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je

Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru

Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika

Viacuteme že platiacute

S

QD ED r 0

l

UE

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

l

S

lE

SE

lE

SD

U

QC r

r

0

0

Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich

vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r

Přiacuteklad 5

Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr

elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm

a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V

Řešeniacute

UCQ

l

SC r 0 kde 322 1041020102 S (m

2)

)(4171)(014171

)(1014171601088541010

1044108854

9-

12-12-

3

312-

0

nFF

Fl

SC r

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)

24

381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

1a) 1b)

Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U

Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je

321 QQQQ

Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ

Po dosazeniacute

)( 321321 CCCUCUCUCUQ

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute

CUQ

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

)( 321 CCCUCU

321 CCCC

Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit

jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

25

1a) 1b)

Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute

jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy

všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

QQQQ 321

Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

321 UUUU

Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

1

1C

QU

2

2C

QU

3

3C

QU

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz

)111

(321321

321CCC

QC

Q

C

Q

C

QUUUU

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute

C

QU

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

321

1111

CCCC

Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute

součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 6

Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do

seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute

26

Řešeniacute

CCCCCCvyacutesl

411111 250

4

1

4

CCvyacutesl F

Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute

kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn

Přiacuteklad 7

Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a

kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=

200 nF

Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Řešeniacute

Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem

C45

5454

111

CCC z toho 100

200200

200200

54

5454

CC

CCC (nF) = 01F

Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20

Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat

vyacuteslednou kapacitu C

82102150154321 CCCCC F

Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj

66 10267241082 UCQ C

27

Přiacuteklad 8

Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme

libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby

byl splněn danyacute požadavek

Řešeniacute

Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že

spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita

takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že

potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21

Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 9

Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme

kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na

propojenyacutech kondenzaacutetorech

Řešeniacute

Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je

66

111 109610424 CUQ (C)

Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je

66

222 102410212 CUQ (C)

Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj

666

21 1012010241096 QQQ (C)

Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je

62421 CCC (F)

Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je

20106

101206

6

C

QU (V)

28

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute

hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od

okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi

piacutesmeny

V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U

nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje

určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt

0

V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute

děj na kondenzaacutetoru

Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC

Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)

neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute

t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R

U

R

ui R 0

Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute

maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute

se zpomaluje

Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud

přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0

Průběh proudu a napětiacute je na obr 23

29

Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru

Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je

daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute

konstanty

t

c eUu 10

kde

CR

310 Energie elektrostatickeacuteho pole

Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U

C

QU

Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA

Platiacute Q

AU A = U Q tedy dA bude

dQC

QdQUdA

Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech

diacutelčiacutech praciacute dA

Q

C dQC

QdAW

0

tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je

C

QWC

2

2

Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC nebo takeacute UQWC

2

1

Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho

kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se

na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou

energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24

30

Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute

lSElESElESDUQWC 2

2

1

2

1

2

1

2

1

Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich

vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie

nahromaděnaacute v jednotce objemu je

EDElS

lSE

V

Ww C

C

2

1

2

12

1

2

2

Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole

platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole

Přiacuteklad 10

Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na

kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru

Řešeniacute

Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu

12-12-

3

412-

1

01 10177082108854101

10201108854

l

SC r F

Naacuteboj na kondenzaacutetoru

-12-12

11 10212496101770812 CUQ C

Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek

12-12-

3

412-

2

02 10118053313331088541051

10201108854

l

SC r F

Napětiacute po posunutiacute desek

18101180533

1021249612-

-12

C

QU V

31

Přiacuteklad 11

Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na

napětiacute 230 V

Řešeniacute

1322500101322505290010522301052

1

2

1 66262 UCWC J

311 Složenaacute dielektrika

Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou

3111 Dielektrika vedle sebe

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 25

Obr 25 - Dielektrika vedle sebe

V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole

l

UEEE 21

Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to

ED r 011 a ED r 022

Naacuteboje Q1 a Q2 budou

111 SDQ a 222 SDQ

Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude

21 QQQ

Dosadiacuteme za Q1 a Q2

Ul

SU

l

SQ rr

2

202

1

101

32

Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o

kapacitaacutech 1

1011

l

SC r a

2

2022

l

SC r spojeneacute paralelně

Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou

dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute

3112 Dielektrika za sebou

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum

Obr 26 - Dielektrika za sebou

Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou

materiaacutelech je stejnaacute

S

QDDD 21

Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10

1

r

DE

a pro druheacute

20

2

r

DE

Celkoveacute napětiacute mezi deskami

U = U1 + U2

kde

1

10

111 lD

lEUr

a 2

20

222 lD

lEUr

Pak po dosazeniacute

)(20

2

10

12

20

1

10

2

20

1

10 rrrrrr S

l

S

lQl

S

Ql

S

Ql

Dl

DU

Protože platiacute l

SC r 10 je

110

1 1

CS

l

r

a 220

2 1

CS

l

r

33

Tedy )11

(21 CC

QU a protože C

QU1 pak

převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot

kapacit diacutelčiacutech dielektrik

21

111

CCC

Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory

Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je

10

1

r

DE

a

20

2

r

DE

Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je

1

2

20

10

2

1

r

r

r

r

D

D

E

E

Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech

diacutelčiacutech dielektrik

Lze tedy psaacutet 2

1

21 EE

r

r

a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme

1

2112221

1

222212

1

2221121 )(

r

rr

r

r

r

r llEllElElElElEUUU

Z toho

2112

12

ll

UE

rr

r

Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute

intenzita tohoto dielektrika Ep gt E

Přiacuteklad 12

Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem

tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech

dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute

Materiaacutel r Ep (kVmm)

1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40

2 sliacuteda 7 60

34

Řešeniacute

Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je

92307692141

2400

304207

4600

2112

12

ll

UE

rr

r

Vmm

161538592307694

72

1

21 EE

r

r

Vm

Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost

vyhovuje

312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem

Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva

středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je

24 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

24 r

QDE

Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je

35

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

21

12

04 rr

rrQU

r

Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

3122 Osamocenaacute koule

Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2

Pak kapacita osamoceno koule je

10

12

210 44lim

2

rrr

rrC rr

r

Elektrickaacute indukce na povrchu koule je

2

14 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je

2

100 4 r

QDE

rr

kde UrUCQ r 104

Po dosazeniacute za Q dostaneme

1

2

10

10

2

100 4

4

4 r

U

r

Ur

r

QDE

r

r

rr

Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi

maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute

pevnosti izolantu

36

3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je

lr

Q

S

QD

2

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

lr

QDE

2

Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

1

2

0

ln2 r

r

lr

QU

r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

Přiacuteklad 13

Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je

kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)

37

Řešeniacute

12-12--12

1

2

0 101038136105log32

166894

50

52log32

131088542

log32

2

r

r

lC r F

C = 1038 pF

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi

V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody

odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho

zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země

Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj

dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj

kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba

oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu

uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost

natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu

izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije

Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute

naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo

vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje

elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter

vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute

nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech

měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů

Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů

Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje

uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a

uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič

Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute

omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje

zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem

Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje

Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech

mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute

elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry

Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute

objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena

k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute

38

4 Stejnosměrnyacute proud

Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne

vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I

Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho

naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad

akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)

Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U

Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu

elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute

ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb

Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute

elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče

41 Proudovaacute hustota

Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se

nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru

Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute

Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem

bude průřez vodiče většiacute

V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute

proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se

na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu

Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

39

42 Intenzita proudoveacuteho pole

Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno

l

UE )( 1 mAmV

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon

Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem

většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je

přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute

Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty

obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme

že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor

Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče

Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu

zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute

Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute

Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem

jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute

měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme

napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru

Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako

UkonstI

kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy

UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1

)

Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G

40

GR

1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA

-1)

Pak lze psaacutet

R

UI

Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I

Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon

Rezistory

Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute

odpor R

Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru

Přiacuteklad 14

Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A

Řešeniacute

46050

230

I

UR ()

431 Velikost elektrickeacuteho odporu

Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho

je vodič vyroben

Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu

vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute

i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče

Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu

vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute

Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely

Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

kde l je deacutelka vodiče

S je průřez vodiče

je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je

to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2

při teplotě 20oC

41

Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Rezistivita některyacutech materiaacutelů

Materiaacutel mm2m

-1

Měď 00178

Hliniacutek 00285

Střiacutebro 00163

Ocel 013

Konstantan 05

Chromnikl 11

Cekas 11

Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory

Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely

pro vyacuterobu vodičů

Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu

rezistorů

Přiacuteklad 15

Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m

Řešeniacute

S

lR () kde 0785)50( 22 rS mm

2

430785

15000178

S

lR ()

Přiacuteklad 16

Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3

Řešeniacute

S

lR () z toho plyne

SRl

143)1( 22 rS mm2

52901780

1433

SRl (m)

432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě

S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute

elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky

s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste

42

Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při

zahřaacutetiacute vodiče o 1o

C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se

nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -

(1oK)

Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek

odporu R = R2 - R1 miacutet velikost

1RR

Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude

1112 RRRRR

Tedy

)1(12 RR

Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely

Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu

(K-1

)

Měď 00042

Hliniacutek 0004

Střiacutebro 0004

Ocel 0006

Konstantan 210-6

Chromnikl 2510-4

Cekas 710-5

Přiacuteklad 17

Měděnyacute vodič o teplotě 20o

C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A

Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C

Řešeniacute

Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1

2120

241

I

UR ()

Přiacuterůstek teploty je

)(40206012 Co

Odpor při teplotě 60o C

)(40161)40004201(21)1(12 RR

43

Přiacuteklad 18

Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o

C do +40o C

Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě

Řešeniacute

Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co

Odpor při -25o

C R1

Odpor při -25o

C 1112 2731)65004201()1( RRRR

Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu

Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče

je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q

UQA (J V C)

Protože proud je t

QI lze dosadit

tIUUQA (J V A s)

Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty

elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem

a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute

Protože platiacute Ohmův zaacutekon R

UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah

tR

Ut

R

UUtIUA

2

nebo tIRtIRItIUA 2

Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A

V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute

praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute

v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)

Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo

Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P

IUt

tIU

t

AP

(W V A)

Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1

)

Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon

44

2IRIIRIUP nebo R

U

R

UUIUP

2

Přiacuteklad 19

Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut

Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(6450

230A

R

UI

Vyacutekon )(105864230 WIUP

Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s

Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW

Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně

použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt

hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)

Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute

energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy

ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi

vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ

Platiacute

ZWWW 12

Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost

1

2

W

W a je to vždy čiacuteslo 1

Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 W

W )( JJ

Protože přiacutekon je t

WP 1

1 a vyacutekon je t

WP 2

2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost

1001001001

2

1

2

1

2

P

P

tP

tP

W

W )( WW

45

Přiacuteklad 20

Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po

dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě

v konvici

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(831120

220A

R

UI

Přiacutekon )(34038312201 WIUP

Vyacutekon )(323100

803403 12 WPP

45 Kirchhoffovy zaacutekony

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem

nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit

pomociacute Ohmova zaacutekona

Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost

odporu zaacutetěže R pak proud I

I

UR

Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je

na obr 34

Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

46

Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly

Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu

Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu

Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy

zaacutekony

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje

Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve

vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i

elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud

Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect

54321 IIIII

Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute

lze psaacutet

01

n

k

kI

Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule

Přiacuteklad 21

Obr 36 - Proudy v uzlu

Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li

proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A

Řešeniacute

01

n

k

kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A

47

452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen

uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute

To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule

01

n

k

kU

Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute

+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem

orientace smyčky

- hellip orientace napětiacute je proti směru

orientace smyčky

Tedy U1 + U2 ndash U = 0

Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech

odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce

Přiacuteklad 22

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =

6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38

Obr 38 - Napětiacute ve smyčce

Řešeniacute

Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU

021 ab UUIRIR

0643020 II

250 I

040I A

800402011 IRU V 210403022 IRU V

48

46 Spojovaacuteniacute rezistorů

Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 39

Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

021 UUU

Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

I

URR

URRI

URIRI

21

21

21

)(

0

Vyacuteraz I

Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie

aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je

rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie

21 RRRV

Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz

niV RRRRR 21

Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů

jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie

49

462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 41

Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

21 III

Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle

Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

)11

(2121

21RR

UR

U

R

UIII

21

11

RRU

I kde

VRU

I 1

Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute

21

111

RRRV

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme

vyacuteraz

niV RRRRR

1

1

111

21

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

50

Přiacuteklad 23

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =

12 V Obvod je zapojen podle obr 43

Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

0240500

12

Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je

42024010011 IRU V 69024040022 IRU V

Přiacuteklad 24

Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li

napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44

Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech

odporů

14577

400

400

7

400

214

200

1

400

1

100

11111

321

V

V

R

RRRR

51

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

8531457

220

Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V

Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR

UI 22

100

220

1

1

AR

UI 550

400

220

2

2 AR

UI 11

200

220

3

3

Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit

321 IIII

AI 853 AIII 8531155022321

což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů

Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně

řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu

odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme

celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů

určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a

napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu

Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 25

Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy

ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45

Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25

52

Řešeniacute

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor

2132

111

RRR

tedy odpor 32

3232

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema

Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor

R123 = R1 + R23

Naacutehradniacute obvod pak je

Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů

Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321

1R

UI

Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na

jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu

Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11

53

Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy

Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem

Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1

Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB

2

2R

UI AB

Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III

Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute

Přiacuteklad 26

Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49

Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26

Řešeniacute

Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor

5445

111

RRR

tedy odpor 54

5445

RR

RRR

1

54

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute

Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit

R345= R3 + R45

Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema

Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute

Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je

daacutena vztahem

3452

34522345

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod

Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute

55

Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro

tento obvod je

R12345= R1 + R2345

což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

12345

1R

U

R

UI

C

Napětiacute U1 na rezistoru R1

111 IRU

Napětiacute UAC mezi uzly A a C je

12345 IRU AC

Vypočteme proudy I2 a I3

2

2R

UI AC

345

3R

UI AC

Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3

333 IRU

Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C

54 UUUBC

345 IRUBC

Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5

4

4R

UI BC

5

5R

UI BC

Obvod je kompletně vyřešen

Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve

smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů

56

Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů

Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona

0321 III

Pro uzel B musiacute platit

0543 III

Pro uzel C

01542 IIII

Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona

021 UUU

Pro smyčku y platiacute

0243 UUU

Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků

472 Transfigurace

V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou

zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit

postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech

přiacutekladech

Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute

57

Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)

a) b)

Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy

Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka

rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute

jako působeniacute trojuacutehelniacuteka

Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56

Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu

Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech

přiacutekladech

Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi

stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute

233112

23311212

)(

RRR

RRRRCelk

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute

201012 RRRCelk

Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute

2010

233112

233112 )(RR

RRR

RRR

Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1

58

3020

233112

311223 )(RR

RRR

RRR

3010

233112

231231 )(RR

RRR

RRR

Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro

adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro

adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Přiacuteklad 27

Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li

napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30

R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57

Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27

Řešeniacute

Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a

daacutele zjednodušujeme podle obr 58

59

1 2

3 4 5

Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu

Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc

6100

600

503020

3020

321

21

RRR

RRRa

15100

1500

503020

5030

321

32

RRR

RRRb

10100

1000

503020

5020

321

31

RRR

RRRc

Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

50401044 RRR cc

Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

75601555 RRR bb

Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je

307550

7550

54

5454

bc

bcbc

RR

RRR

Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

3630654 bcacelk RRR

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je

16706

1

36

6

celkR

UI A

60

Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je

56

1305454 IRU bcbc V

Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je

0667015

1

75

5

5

545

b

bcb

R

UI A

Napětiacute rezistoru R5 je

415

160555 bIRU V

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu

Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do

elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii

Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute

U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho

svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0

481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute

Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute

poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se

vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek

nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem

napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno

= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy

nulovyacute)

Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult

U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se

zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje

Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute

61

Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj

Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I

RR

UI

i 0

Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je

iRIUU 0

Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika

zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost

Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je

malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem

odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute

vnitřniacute odpor Ri

Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik

Obr 62 - Proud nakraacutetko

62

U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně

zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů

měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute

Přiacuteklad 28

Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru

proudu 02 A je 58 V

Řešeniacute

Proud nakraacutetko bude

i

kR

UI 0

Svorkoveacute napětiacute U je

iRIUU 0

iR 20685

Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri

120

856

iR

Proud nakraacutetko tedy je

61

60 i

kR

UI A

482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute

podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje

Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute

vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech

zdrojů

Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU

Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR

Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU

Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem

napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute

010 UnU 1UnU 1ii RnR

63

Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho

hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by

hrozilo poškozeniacute zdroje

a) b)

Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně

Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů

Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je

jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se

všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat

z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů

Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute

napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly

vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit

02010 UUU a 21 iii RRR

Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute

21 zZz III

Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute

1zz InI nUUUU 002010 n

RR i

i1

Přiacuteklad 29

Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15

V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A

Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A

Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje

64

Řešeniacute

Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud

01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64

Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů

Celkovyacute vnitřniacute odpor bude

32

23

2

3 1

iiacute

RR

Proud nakraacutetko bude

513

5133 01

i

kR

UI A

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi

Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory

využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny

rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty

491 Dělič napětiacute

Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute

65

a) b)

Obr 65 - Dělič napětiacute

Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

21 RR

UI

tedy U

RR

RR

RR

URIU

21

22

21

22

Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2

platit

z

z

RR

RRR

UI

2

21

a po dosazeniacute

URRRRRR

RR

RR

RR

RR

RRR

U

RR

RRIU

zz

z

z

z

z

zz

z

2121

2

2

2

2

21

2

22

Přiacuteklad 30

Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66

Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič

napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o

odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V

Řešeniacute

Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem

R1 + R2 = 1000

tedy R1 = 1000 ndash R2

66

a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

241000

2

21

22

RU

RR

RU

b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute

24500500)1000()1000(

500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

c)

2415001500)1000()1000(

1500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho

napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič

Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory

492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru

k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek

Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem

67

Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute

bbAA RIRI a tedy A

b

b

A

R

R

I

I

Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to

v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku

Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute

tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku

A

b

Am

A

R

R

II

I

A

b

AA

A

R

R

IIn

I

)1(

n

RR A

b

Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash

viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor

Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem

Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory

předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na

předřadneacutem odporu a na voltmetru

pVm UUU p

V

p

V

R

R

U

U

Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy

Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu

)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p

V

V

V

R

R

nU

U

)1(

Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp

Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet

Přiacuteklad 31

Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo

možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA

68

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 2010

200n kraacutet

Odpor bočniacuteku bude 581)120(

30

)1(

n

RR A

b

Přiacuteklad 32

Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak

aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 5120

600n kraacutet

Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp

493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu

V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute

měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute

zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu

Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou

Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA

naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je

omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV

Velikost odporu RX je

iV

VA

V

VA

V

x

xx

R

UI

U

II

U

I

UR

Přiacuteklad 33

69

Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud

ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70

Řešeniacute 95201680

16

003200200

16

5000

16020

16

iV

VA

Vx

R

UI

UR

494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně

širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem

)1(12 RR

kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty

Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute

teploty

Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty

odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2

)1(12 RR 11

2

R

R

11

2

R

R

1

12

R

RR

Měřenaacute teplota je tedy

1

12112

R

RR

Přiacuteklad 34

Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu

je-li

hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o

velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je

20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71

Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty

Řešeniacute

Odpor při 20o C je R1 = 200

Odpor při o C je R2

70

27020

5400

20

1045

1020

1020306 3

3

3

2

A

AA

I

IRUR

Měřenaacute teplota je tedy

510780

7020

104200

20027020

3

1

1212

R

RR o C

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech

Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly

v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly

lineaacuterniacute obvody

V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale

vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute

Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku

Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na

nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a

odpor je tedy vyššiacute

Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a

pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika

nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

a) b)

Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech

obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute

zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku

Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme

pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je

daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute

charakteristikou zdroje

71

Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu

Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen

nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici

a) b) c)

Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu

c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA

charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem

prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto

hodnoty odečteme z grafu

Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu

Přiacuteklad 35

Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je

napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute

podle obr 76 a)

a) b)

72

Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku

Řešeniacute

Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute

že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash

je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho

a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme

Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou

proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek

křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem

z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP

VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body

U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A

Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35

Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je

Ip = 27 mA

Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom

dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho

proudu s VA charakteristikou rezistoru R1

Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož

vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku

hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN

Přiacuteklad 36

Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka

paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi

hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka

U (V) 1 2 3 4 5 6

73

I (A) 01 0165 022 025 028 03

Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32

Řešeniacute

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky

rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute

charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute

charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky

Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1

Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020

60 iR

UIk A

Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36

Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a

proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je

rovno 188 V

74

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji

Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech

zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute

zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na

uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet

tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute

Ohmova zaacutekona

Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech

rezistorů

Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že

jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet

všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než

byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu

Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute

že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou

orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti

směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80

Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3

Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech

Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci

zvolenyacutech smyček x a y

Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)

321 III (1)

75

Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

01221 UUUU RR (2)

Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

0232 UUU RR (3)

Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho

platiacute

111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)

Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod

Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)

0122211 UURIRI (2a)

023322 URIRI (3a)

Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)

0)( 232122 URIIRI (3b)

Upraviacuteme (3b)

02323122 URIRIRI

0)( 231322 URIRRI

32

3122

RR

RIUI

(3c)

a dosadiacuteme do rovnice (2a)

0122

32

31211

UUR

RR

RIURI (2b)

Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1

0122

32

312

32

211

UUR

RR

RIR

RR

URI

23321

323211

233121

3121322222

32

231

122

32

2

1

122

32

2

32

23111

)(

)(

RRRRR

RURRUI

RRRRRR

RURURURURU

RR

RRR

UURRR

U

I

UURRR

U

RR

RRIRI

Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2

76

I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3

Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a

(6)

Tiacutem je obvod kompletně vyřešen

Přiacuteklad 37

V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

100

Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37

Řešeniacute

Pro uzel A platiacute

321 III

Pro smyčku x platiacute

01122 RR UUUU

Pro smyčku y platiacute

0232 RR UUU

Dosadiacuteme do rovnic

02001010020 12 II 32010 12 II

010010020 23 II 21010 23 II

Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3

20

103 21

II

a

10

102 23

II

Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A

10

102

20

103 22

2 II

I

20

222 20420103 III

77

2507 I

14050

72 I A

Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3

08020

140103

20

103 21

II A

06010

140102

10

102 2

3

I

I A

Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče

v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

16200080111 RIUR V

14100140222 RIUR V

6100-006333 RIUR V

4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů

Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se

postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute

Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute

veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II

Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a

to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy

orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček

Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj

smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou

smyčkovyacutech proudů

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82

Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů

78

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib

Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona

Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba

Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb

Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme

011222 RIUURIRI aba

02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb

32

22

RR

RIUI a

b

01122

32

222

RIUUR

RR

RIURI a

aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute

Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia

01122

32

2

32

222

RIUUR

RR

RI

RR

RURI a

aa

21

32

2212

32

22 UU

RR

RURIR

RR

RIRI a

aa

312132

323121

3121223222

3222312122

1

32

222

21

32

22

RRRRRR

RURURU

RRRRRRRRRR

RURURURURU

RRR

RRR

UURR

RU

Ia

Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32

22

RR

RIUI a

b

a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se

smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

ab III 2

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute

Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

Přiacuteklad 38

79

Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

300 R4 = 200

a) b)

Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 83 b) kde R34 je

1205

600

200300

200300

43

4334

RR

RRR

Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky

a 0)( 1122 RIUURII aba

02001020100)( aba III

b 0)( 2234 RIIURI abb

0100)(20120 abb III

Upraviacuteme a dosadiacuteme

a 02001020100100 aba III 100

10300 a

b

II

b 0100)100

10300(20120

100

10300

a

aa III

Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme

0100103002012360 aaa III

02560 aI

0003571560

2aI A

Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali

Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib

80

0089286100

103000003571-

100

10300

a

b

II A

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je

shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu

smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

0092857)0035710(00892862 ab III A

Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou

10714291200089286343443 RIUU RR V

Proudy rezistory R3 a R4 jsou

0035714300

10714293 I A 0053571

200

10714294 I A

Napětiacute na rezistorech R1 a R2

07142862000003571111 RIUR V

928571000092857222 RIUR V

Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a

napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

020-10)(-0714286-92857

020-107142992857

0089286)(-00035710092857

Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku

Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute

pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by

bylo matematicky obtiacutežneacute

4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute

Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž

je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu

označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute

Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz

jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash

neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a

z nich pak proudy ve větviacutech obvodu

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84

81

Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R

je UA

Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute

321 III

Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a

dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice

32

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

21312321 )()( RRURRUURRUU AAA

21313123221 RRURRURRURRURRU AAA

31322131221 RRURRURRURRURRU AAA

313221

312321

RRRRRR

RRURRUU A

Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

1

11

R

UUI A

2

22

R

UUI A

3

3R

UI A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Přiacuteklad 39

Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30

R4 = 90

82

a) b)

Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 85 b) kde R34 je

12090304334 RRR

Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A

321 III

342

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

120100

20

200

10 AAA UUU

AAA UUU 10)20(12)10(6

AAA UUU 1012240660

107142928

300AU V

Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

-000357200

107142910

200

101

AU

I A

Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru

než byl původniacute předpoklad

928571400100

107142920

100

202

AU

I A

0089286120

1071429

1203 AU

I A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech

83

-071429200-000357111 RIUR V

9285714100928571400222 RIUR V

2678571300089286333 RIUR V

V 8035714900089286434 RIUR

4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice

Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl

připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze

tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86

Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj

jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho

obvodu

a) b)

Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice

84

Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky

je na obr 87 a)

32

3223

RR

RRR

R123 = R1 + R23

123

1

1R

UI

11

1 IRUR

11

RAB UUU

2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na

obr 87 b)

31

3113

RR

RRR

R123 = R2 + R13

123

2

1R

UI

11

1 IRUR

12

RAB UUU

1

1R

UI AB a

3

3

R

UI AB

Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje

Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute

1

11 III

2

22 III

3

33 III

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR

Přiacuteklad 40

Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

110 R4 = 130 R5= 240

1

85

Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34

2401301104334 RRR

Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345

120240240

240240

345

345345

RR

RRR

Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)

a) b) c)

Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)

5454545120100

120100

3452

34522345

RR

RRR

R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545

0039286 25454545

10

12345

1

1 R

UI A

78571430039286200

11

1 IRUR V

2142857785714310

11

RAB UUU V

86

214285700100

2142857

2

2 R

UI AB A

0017857120

2142857

345

345 R

UI AB A

Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)

75120200

120200

3451

34511345

RR

RRR

R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175

0114286 175

20

12345

2

2 R

UI A

1142860114286100

22

2 IRUR V

857142942861120

12

RAB UUU V

0042857200

8571429

1

1 R

UI AB A

0071429120

8571429

345

345 R

UI AB A

Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou

-0003570042857-0039286

1

11 III A

00928572142857000114286

2

22 III A

0089286

345

345345 III A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

-071429200-000357111 RIUR V

928571009285700222 RIUR V

107143212000892863453345 RIUU RAB V

10714325 ABR UU V

0044643240

1071432

5

55

R

UI A

1

1

87

0044643240

1071432

34

43 R

UII AB A

4910731100044643333 RIUR V

5803591300044643334 RIUR V

88

5 Magnetickeacute pole

Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute

magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud

Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda

Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute

předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute

magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute

zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje

vždy k severu

Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety

Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute

elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje

Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute

silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole

Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute

magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka

Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute

směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute

čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje

orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech

čaraacutech

Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar

Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -

označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)

a) b)

Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)

Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute

Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute

89

Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu

a) b) c)

Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely

c) podkovoviteacuteho magnetu

Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute

působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem

Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme

silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a

jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

521 Magnetickeacute pole vodiče

V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech

kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute

takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute

čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute

V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve

středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93

Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči

90

Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem

Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen

na obr 94

Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo

pravotočiveacuteho šroubu

Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute

vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole

Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu

Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve

směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar

91

53 Veličiny magnetickeacuteho pole

531 Magnetickyacute tok

Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem

Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem

poli Popisuje tedy pole jako celek

Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)

532 Magnetickaacute indukce

Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho

toku na jednotku plochy

SB

Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem

magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě

Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce

Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I

tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1

Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To

se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash

viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute

nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do

zeslabeneacuteho pole

a) b)

Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute

v magnetickeacutem poli

lIkonstF

Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a

označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)

lIBF (N T A m)

92

Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem

Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole

lI

FB

(T NA

-1m

-1)

Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole

Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem

jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity

magnetickeacuteho pole

Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel

pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude

sin lIBF viz obr 98

Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute

Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute

se podiacutelejiacute na jeho vzniku

Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)

Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je

magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo

93

Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute

magnetomotorickeacute napětiacute je tedy

Fm = I

Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho

magnetickeacuteho pole je

Fm = I1 - I2 + I3

Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute

danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute

n

i

im IF1

a) b)

Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)

Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet

všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro

tuto indukčniacute čaacuteru

n

i

mim UF1

Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute

Fm = Um1 + Um2 + Um3

534 Intenzita magnetickeacuteho pole

Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute

indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je

l

UH m (Am

-1 A m)

kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um

Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke

křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery

94

Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole

r

I

l

UH m

2

Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy

tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu

vodiče na rovině indukčniacute čaacutery

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi

intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute

Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem

magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem

bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce

indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole

vybudilo

Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B

Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu

souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah

přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB

Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme

v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a

nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute

HB

Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) (H) je jednotka henry ndash jejiacute

rozměr vysvětliacuteme později

Pro ostatniacute materiaacutely platiacute

HB r 0

kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než

vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1

95

Přiacuteklad 41

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud

8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče

5127323954104

1012

8

2

3

3

r

IH (Am)

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

115749051011

40

10112

8

2

2

3

r

IH (Am)

Přiacuteklad 42

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr

101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A

Obr 101 - Svazek vodičů

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku

2815720321 IIIFm A

6366198200

102

1022

8

2

2

2

r

FH m (Am)

Přiacuteklad 43

Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr

102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A

Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli

96

Řešeniacute

Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je

81201560 lIBF N

Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat

do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo

Přiacuteklad 44

Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad

Řešeniacute

0180)15020(60 SB Wb

Přiacuteklad 45

Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T

I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch

Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů

Řešeniacute

HB r 0 0= 410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

r

FH m

2 a

n

i

im IF1

Z toho plyne

r

m

BrHrF

0

22

150102

21015

104

00202 43

7

rFm A

321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A

97

54 Hopkinsonův zaacutekon

Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem

indukčniacutem tokem

Viacuteme že S

B

z toho SB

Protože platiacute HB a l

UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem

mm U

l

SS

l

USHSB

Vyacuteraz mUl

S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je

henry (H)

mm Ul

SG (H)

Platiacute tedy

mm UG

Rozměr jednotky henry

m

mU

G

)()()(2

A

mT

A

WbH

Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm

m

mG

R1

tedy S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku

Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek

Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti

magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku

Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy

deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu

S

lRm

1 kde r 0

Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je

hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny

pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho

magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu

98

Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin

Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute

Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute

Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute

pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny

Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky

poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r

551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů

Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole

Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů

po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin

elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky

se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute

U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute

uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře

materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy

sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4

m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem

magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a

tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu

vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho

pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel

vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost

že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je

zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě

magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika

Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika

99

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace

Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce

strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho

přiacuterůstku magnetickeacute indukce

Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato

čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity

magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při

navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi

body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute

charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute

Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů

Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho

pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť

Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje

tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute

intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou

magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a

značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat

v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity

magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute

hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute

intenzita (koercitivita)

Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom

nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při

snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem

magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba

opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev

popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka

Obr 105 - Hysterezniacute smyčka

100

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety

Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar

hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho

materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na

vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu

Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute

Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute

intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u

takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely

použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj

magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu

wolframu a molybdenu

Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou

koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute

tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech

střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet

Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem

a) b)

Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute

101

Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu

stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel

zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute

odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute

snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne

k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute

s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)

a) b)

Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka

Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am

102

Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu

Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg

103

Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik

104

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute

Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud

kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery l

IH přiacutepadně

l

FH m kde

n

i

im IF1

tedy součet všech proudů ktereacute se

podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole

Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův

zaacutekon

Biot-Savartův zaacutekon

Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon

Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l

je

sin4 2

r

lIH

kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A

Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky

kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov

561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče

Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute

tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu

průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude

stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem

pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)

Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x

IH

2

kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče

Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy

hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r

IH r

2

Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b

IHb

2

105

a) b)

Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)

Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera

Proudovaacute hustota J ve vodiči je

2r

I

S

IJ

Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia

2

22

2 r

aIa

r

ISJI aa

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy

2

2

2

222 r

aI

a

r

aI

a

IH

Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od

středu vodiče je přiacutemkovyacute

Přiacuteklad 46

Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti

15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A

Řešeniacute

Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je

509316000

1052

160

2 3max

r

IH Am

Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je

1273104

40

10160

10)155(2

160

2

33

35

x

IH Am

106

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

a) b)

Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar

nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve

středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit

sin4 2

r

lIH

Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute

24 r

lIH

Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce

zaacutevitu

r

Ir

r

Il

r

I

r

lIH

rr

22

444 2

2

02

2

02

Tedy r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute

2

Dl a

212

DDD

kde D je středniacute průměr ciacutevky 2

12 DDD

Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

107

Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se

podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu

ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr

Přiacuteklad 47

Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A

aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am

Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr a

2

12 DDD

1052

110100

2

12

DD

D mm a 5522

105

2

Dr mm

Počet zaacutevitů v ciacutevce je

5522

10001055222 3

I

HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů

564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute

podmiacutenka lD

Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka

108

Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119

Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem

Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje

severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom

konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)

Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute

magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu

lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je

l

IN

l

UH m

Přiacuteklad 48

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky

kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute

permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

250010505001010

505002

l

INH Am

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde

025132708010800000250080104 -7-7

0 HB r T

a

109

662232 10176714610)2

15()10

2

15( rS m

2

46 10444132201017671460251327 SB Wb

565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o

kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech

kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute

Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole

Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude

intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r

kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute

než d

Magnetickeacute napětiacute Um je

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je

r

IN

l

UH m

2

Přiacuteklad 49

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400

zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro

vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole je

10185923200

10

320

2

10102

80400

22

2

D

INH Am

110

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme

z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1

Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu

662232 107853982105)102

10( rS m

2

46 101115265107853982421 SB Wb

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok

Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly

tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem

dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje

a) b)

Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami

111

Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem

menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto

větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute

větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze

daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je

mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku

kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok

Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že

součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech

toků z uzlu vystupujiacuteciacutech

01

n

k

k

Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute

magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute

n

k

mkm UF1

Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon

m

m

R

U

kde

S

lRm

1 (H

-1) r 0

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem

Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu

Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem

průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se

uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej

v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat

Přiacuteklad 50

Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku

z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4

Wb D = 80 mm

d = 20 mm

Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro

112

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je

SB

kde 662232 101431010)10

2

20( rS m

2

127314

400

10143

1046

4

SB T

Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro

materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute je

31415938025110801250 3 DHlHFm A

Budiacuteciacute proud bude

1570796200

3141593

N

FI m A

Přiacuteklad 51

Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute

permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu

Řešeniacute

Z Hopkinsonova zaacutekona m

m

R

U je

m

m

UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm

44

4107854

4

102314

104

2314

mm

FR H

-1

Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu

S

lRm

1

kde 00010161250

271

H

B (Hm

-1)

633

6

3

100787143

1080

1016

101

10143

1080

0001016

11

S

lRm H

-1

Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem

zaokrouhlovaacuteniacute

Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu

HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7

Hm-1

113

58081008085071250 4

10101270

1250 10 4

271 33

7-

0

H

Br

Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou

Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute

v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2

Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou

Magnetickaacute indukce je S

B

je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute

Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r

BH

0

Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita

feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než

intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu

00

BBH

r

gtgt rFe

Fe

BH

0

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

0

BHUm

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

lB

lHUr

FemFe 0

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

mFemm UUF

Po dosazeniacute

0

BUUF mFemm l

B

r

0

114

Přiacuteklad 52

Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se

vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve

vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet

hodnotu maximaacutelně 08 A

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

100954934

1012

104

21

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

1435395105110095493 36 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

A2997929)5180(21

)10511080(1200)(1200 33

DlHU FemFe

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

173518829979291435395 mFemm UUF A

Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka

2169216898508

1735188

I

FN m zaacutevitů

Přiacuteklad 53

Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500

zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je

vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg

115

Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

1201803009020060500221121 ININFFF mmm A

Intenzita magnetickeacuteho pole

375032

120

l

FH m Am

Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra

B = 12 T

Celkovyacute magnetickyacute tok je

34 10081103321)030030(21 SB Wb

Přiacuteklad 54

Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby

magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro

elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu

Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54

116

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

3182)9070(2 l mm

Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

10127324104

104

61

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

336 10254647910210127324 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

1113103183500 3 lHU FemFe A

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

36595525461113 mFemm UUF A

Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a

provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů

Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak

73195

36595

I

FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a

budiacuteciacute proud bude 4574375800

36595

N

FI m

b A

Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je

znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např

pro dvě čaacutesti obvodu

21 mm

m

RR

U

ndash Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a

proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena

magnetizačniacute křivkou

Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce

)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak

možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm

117

Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a

pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm

Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2

tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm

Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf

Obr 127 - Funkce )( mFf

Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute

naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute

napětiacute z grafu funkce )( mFf

Přiacuteklad 55

Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech

materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle

obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů

Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

118

Řešeniacute

Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu

75051500 INFm A

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je

18090452 plechyl mm

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je

14090252 litinal mm

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm1

Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute

pro oba materiaacutely

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0555556109

1054

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

200 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

3723363610140240010180200 33

1

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm2

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0777778109

1074

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

400 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

8147427210140530010180400 33

2

Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4

Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4

Wb sestrojiacuteme

v Excelu graf funkce )( mFf

119

Fm (A) 372 814

Wb 00005 00007

Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb

58 Elektromagnetickaacute indukce

581 Indukčniacute zaacutekon

Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute

pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy

Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat

elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud

Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem

Indukčniacute zaacutekon

Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje

elektrickeacute napětiacute u

dt

du

kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku

dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d

120

Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon

Pozn

Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu

veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit

Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i

Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud

Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem

ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)

Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem

ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie

Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute

opačnou polaritu u = -e

Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash

viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute

dt

dNu

(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)

Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce

121

Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok

zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li

tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute

Přiacuteklad 56

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky

homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T

a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute

napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)

Řešeniacute

Magnetickyacute tok je

SB

Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0

Po 05 s bude tok

44 106110208 SB Wb

Změna magnetickeacuteho toku bude

44

01 106101061 d Wb

Změna času bude

050dt s

Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to

4801048001032150050

1061150 44

4

dt

dNu V

V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute

je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute

indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute

Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133

Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56

122

582 Pohyboveacute napětiacute

Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute

Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na

jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič

vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto

smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho

toku se neměniacute

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz

obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute

Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute

Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt

du

Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy

zmenšiacute o hodnotu

ltvBlsBSB

Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude

vlBt

ltvB

dt

du

)(

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok

smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity

vlBt

ltvB

dt

du

Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče

elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute

Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem

Lenzův zaacutekon

Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem

polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou

123

Obr 135 - Lenzův zaacutekon

Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute

pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr

proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo

Přiacuteklad 57

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o

magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do

magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor

rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0

o a c) 60

o

Řešeniacute

a) Při uacutehlu 90 o

bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to

180503021 vlBu V

b) Při uacutehlu 0

o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru

indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je

nulovaacute

u = 0

c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka

rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami

rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti

rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem

čaraacutem

250505060cos50 0 kolmaacutev ms

Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky

124

Indukovaneacute napětiacute pak bude

0902503021 kolmaacutevlBu V

583 Vlastniacute indukčnost

Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute

magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude

indukovat napětiacute

dt

dNu

Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky

Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m

m

R

U kde INUm a tedy po dosazeniacute

mR

IN

můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu

za čas dt

mR

diNd

V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute

dt

R

diN

u m

Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute

dt

di

R

N

dt

R

diN

Ndt

dNu

m

m

2

Vyacuteraz mR

N 2

byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet

125

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

mR

NL

2

Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je

di

dtuL

1

)(

)()()(

AsV

A

sVH

Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita

materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky

Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute

nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu

Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute

hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se

v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se

nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

Přiacuteklad 58

Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů

vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm

Řešeniacute

Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka

Indukčnost ciacutevky je

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm

a S = r2 = 52

=7853982 mm2

3

672

0

2

1020

10547810450

l

SNL r

126

66

372 1039320

105478101041025

H

Přiacuteklad 59

Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli

se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm

Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400

Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm

23

3

7

0 )1010(

1051

104

11

S

Rm

66437

102534

10100101051

4

10

H

-1

Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru

23

33

7

0 )1010(

10511080

400104

11

S

lR

r

Fem

6437

4

337

101564004

105781010

10

10511080

4004

10

H

-1

Indukčnost ciacutevky je

0549561532

51

10)561532(

1500 2

6

222

mFemm RR

N

R

NL

H

584 Vzaacutejemnaacute indukčnost

Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2

(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute

tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140

127

Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost

Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i

jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje

elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude

indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet

dt

dikonstu 1

2

Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou

vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona

Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem

napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1

111 INFm

Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost

magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou

12

1112

mR

IN

Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude

dt

diM

dt

di

R

NN

dt

di

R

NN

dt

dNu

mm

11

12

121

12

12

1222

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je

12

12

mR

NNM

Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř

všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem

sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1

128

Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami

Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je

mR

NL

2

11

mR

NL

2

22

Vzaacutejemnaacute indukčnost M je

mR

NNM 12

Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme

21

2

1

2

2

2

2

1

2

22122 )( LLRR

NN

R

NN

R

NNM

mmmm

a tedy

22 LLM

Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute

ciacutevce bude

dt

di

R

N

dt

diLu

m

2

111

a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude

dt

di

R

NN

dt

diMu

m

212

Poměr napětiacute 2

1

u

uje

2

1

21

2

1

2

1

N

N

dt

di

R

NN

dt

di

R

N

u

u

m

m

Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

129

Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale

dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě

o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek

Pak

22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Přiacuteklad 60

Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů

primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr

142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je

800

Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Magnetickyacute odpor RmFe

64273

23

3

7

0

100353678984

10101010320

)1030(

10320

800104

11

S

lR

r

Fem

H-1

Indukčnost prvniacute ciacutevky

28274330353678

1

100353678

10006

22

11

mFeR

NL H

Indukčnost druheacute ciacutevky

636000353678

1051

100353678

150 22

6

22

22

mFeR

NL H

Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek

0381704636002839022 LLM H

130

Přiacuteklad 61

Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho

přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s

Řešeniacute

Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce

770002

01-06282743311

dt

diLu V

Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce

549002

01-0638202

dt

diMu V

Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute

ciacutevce bylo u2ideaacutel

1060288020

50

0353678

150

002

01-06

100353678

15010006

1

12

122

dt

di

R

NNu

m

ideaacutel V

Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667

Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667

Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute

2

1

2

1

N

N

u

u hellip transformačniacute poměr

585 Spojovaacuteniacute ciacutevek

Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je

Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně

Ciacutevky spojeneacute seacuteriově

Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143

to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat

stejneacute napětiacute

Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

131

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu kde dt

diLu 11 a

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )( 2121 LLdt

di

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL

Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute

vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k

kLL1

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute

indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet

Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M

je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash

viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet

132

Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti

soběldquo

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Ciacutevky spojeneacute paralelně

Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr

146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech

indukovat stejneacute napětiacute

Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi

kde dt

diLu 1

11 a dt

diLu 2

22

a tedy dt

diLu 1

1 a dt

diLu 2

2

z toho 1

1

L

u

dt

di a

2

2

L

u

dt

di

133

Po dosazeniacute 21 dididi

21 L

u

L

udi

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu z toho

L

u

dt

di

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21

111

LLL

Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute

vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute

jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k kLL 1

11

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz

obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute

MLMLL

21

111

Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash

viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet

MLMLL

21

111

Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

134

Přiacuteklad 62

Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost

seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute

indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH

Řešeniacute

Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je

MLLL 221

Z toho

202

)40100(180

2

)( 21

LLL

M mH

585 Přechodovyacute jev na indukčnosti

Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce

dt

diLuiL

Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji

stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute

odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor

bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku

poškodil)

V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na

indukčnosti

Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon

V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud

jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0

pak vyacuteraz dt

diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem

Pro t0 platiacute

t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0

135

V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu

největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute

to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = konst di = 0 0dt

di

0dt

diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0

R

U

R

ui R 0

V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud

v obvodu je omezen jen odporem rezistoru

Průběh proudu a napětiacute je na obr 150

Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i

napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na

ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty

t

L eUu

0

kde

R

L

Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti

59 Energie magnetickeacuteho pole

Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově

působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud

Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute

průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute

udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem

mm UW 2

1 (J Wb A)

Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie

nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu

136

HBlS

U

V

U

V

Ww mmm

m

2

1

22

Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke

konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je

lSHBVHBVwW mm 2

1

2

1

Přiacuteklad 63

Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky

Řešeniacute

Energie magnetickeacuteho pole je

mm UW 2

1

kde INUm a mR

IN

Po dosazeniacute

mm

mmR

ININ

R

INUW

22

2

1

2

1

2

1

Protože LR

N

m

2

dostaneme vyacuteraz 2

2

1ILWm

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy

Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech

materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole

Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech

vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve

vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti

přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti

plneacuteho průřezu

137

Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech

Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute

energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou

energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů

Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute

jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety

způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce

Pv f 2 B2

Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute

z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm

transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute

budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute

množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute

vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru

V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu

Hysterezniacute ztraacutety

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky

138

Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute

ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci

Ph f B2

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově

proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi

proudy

PFe = Ph + Pv

V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole

silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce

vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli

lIBF

Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute

vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka

magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute

sin lIBF viz obr 153

Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho

magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho

Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole

působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem

proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela

139

Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Velikost siacutely F

lIBF 21

kde 101 HB r 0=410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

kde r

IH

21

1

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

7-212

17-

21 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

(N A A m m)

Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič

Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute

vodič

7-211

27-

12 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute

a vodiče se tedy odpuzujiacute

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je

zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute

140

Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute

Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi

rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7

N na 1 m deacutelky

vodičů

Přiacuteklad 64

Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm

rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho

proudu v nich je 40 A

Řešeniacute

Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je

3-7-

2

7-21 101920010105

304040210

I2

r

lIF N

5121 Elektromagnety

Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta

ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157

Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute

feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou

Obr 157 - Elektromagnet

141

Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na

pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru

Přitažlivaacute siacutela magnetu

Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce

B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti

magnetickeacute indukce B

Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu

V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou

posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie

magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie

magnetickeacuteho pole

dlSB

dlSB

BdlSHBWm 0

2

0 2

1

2

1

2

1

a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F

dlFA

Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2

02

1

Platiacute že S

B

a mR

IN

kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet

hodnota RmFe zanedbaacutevaacute

Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

142

Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem

přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze

magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute

Přiacuteklad 65

Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm

plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je

66

47

3

47

3

0

1053051656

10100

103102

10

109104

10322

S

lR v

m H-1

Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

9)5305165(42

1010104109

109)105305165(

2300

1042

12

41274

426

22

7

F

65852814303

500

28143032

100010

9281430342

49 3

F N

143

6 Střiacutedaveacute proudy

Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud

se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute

střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T

Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute

čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny

označeniacute přiacuteslušneacute veličiny

Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute

proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je

praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy

harmonickeacute Babyčka

Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu

Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute

jednotkou je hertz značka Hz

Doba jedneacute periody je

fT

1 (s Hz)

Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute

průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz

až MHz

Přiacuteklad 66

Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě

Řešeniacute

02050

11

fT s

144

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii

Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu

Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy

Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel

tft

f

tT

21

22

Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za

jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se

f 2 (rads-1

)

Platiacute tedy

)sin(max tIi

Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel

nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute

Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu

145

Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh

sinusoidy

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje

Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu

Přiacuteklad 67

Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou

hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz

a proud je faacutezově zpožděn o 30o

Řešeniacute

Doba periody je

02050

11

fT s

Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2

Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute

zpožděniacute 30o

30o je 6 radiaacutenů 0001667

12

1020

2

61

Tt s

Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je

)6

00152sin(25)tsin( 0015)( max

fIi

-216207)6

0015314sin(25)6

0015502sin(25 0015)(

i mA

146

62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne

průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163

Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět

Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace

Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory

znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich

působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute

Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe

v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je

vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval

U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy

bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)

bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů

bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)

bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)

631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v

stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute

harmonickyacute proud (napětiacute)

Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině

proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je

tIRUtIW 2

147

2IRUIt

WP

Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval

dt je

dtiRdW 2

dttIRdtiRdW )(sin22

max

2

Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu

bdquoRplocha pod křivkou i2

ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164

rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i

2 po

dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho

proudu daneacuteho průběhu Platiacute

2

2

max2 II

2

maxII což je 7070max II

Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i

silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu

632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost

stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud

Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za

jednotku času

t

QI tIQ

Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165

148

Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod

přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody

a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute

pro stejnosměrnyacute proud QT

Imed 2

a

pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q

Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho

počtu dospět k vyacuterazu

max

2IImed

což je max6370 IImed

Přiacuteklad 68

Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce

Řešeniacute

Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě

230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy

V 32523022max UU

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem

čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho

velikost je

vlBU

kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje

l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole

v je rychlost pohybu vodiče

149

Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se

vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B

magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166

Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute

Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je

velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute

Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute

Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr

168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v

každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli

Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem

pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich

150

obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za

minutu)

Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto

okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a

velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0

a) b) c)

Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli

Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu

v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v

a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to

vlBui

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem

směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato

napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je

max22 UrlBvlBui

Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute

s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu

kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute

indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute

v zaacutevitu v obecneacute poloze je

sinsin22 max UvlBvlBu xi

151

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute

Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden

zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-

kraacutet většiacute

)sin(max tUNui

Přiacuteklad 69

Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm

b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce

B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s

Řešeniacute

Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh

)sin(2 tvlBui

Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je

560

300

60

nf Hz

Uacutehlovaacute rychlost je

431522 f s-1

Rychlost otaacutečeniacute v

rv kde 2

2

1022

104

2

a

r m

6280102431 2 rv ms

Tedy

tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22

Doba jedneacute periody T je

205

11

fT s

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)

152

a) b)

Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69

V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil

praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)

65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže

Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je odpor R

Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež

charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L

Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C

651 Odporovaacute zaacutetěž

Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě

odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a

proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute

vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie

Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

153

Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je

)sin()sin()sin(

max

maxmax tItR

U

R

tUi

Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve

faacutezi

Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R

UI max

max

Pro efektivniacute hodnoty platiacute R

UI

Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži

Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je

2iRiup

Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je

2IRIUP

Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon

jednotkou je watt (W)

652 Induktivniacute zaacutetěž

O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu

připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)

Pak platiacute

dt

diLui

a) b)

Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute

maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu

Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud

neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute

154

Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute

maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj

v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di

lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute

čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax

Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem

indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o

Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah

)sin(max tUu

pak průběh proudu je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak

indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna

proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute

rychlost viz obr 173

Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt

Platiacute

LXILIU maxmaxmax

kde XL je tzv indukčniacute reaktance

LX L ()

Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem

proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze

ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento

odpor minimaacutelniacute)

Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu

LX

UI max

max a LX

UI

Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo

uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL

155

Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce

Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute

do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je

okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute

V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět

zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute

směr

V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie

ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho

efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud

kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute

vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud

653 Kapacitniacute zaacutetěž

O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen

kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)

Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět

156

vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita

elektrickeacuteho pole

a) b)

Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute

pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na

deskaacutech kondenzaacutetoru o dq

dtidq

Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du

C

dti

C

dqdu

Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i

dt

duCi

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute

maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud

napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je

du = 0 a tedy i proud je nulovyacute

Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud

maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t

= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a

proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t

= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax

Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute

proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)

Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute

jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt

Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute

uacutehlovaacute rychlost

157

CUI maxmax

Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde

CX C

1

Pak lze psaacutet

CX

UI max

max a pro efektivniacute hodnoty CX

UI

Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177

CfCX C

2

11

Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute

k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud

neproteacutekaacute

Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu

napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem

kondenzaacutetoru

158

V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se

dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute

do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor

nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje

v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije

nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech

V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze

k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do

zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute

se Q a jeho efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a

nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor

Přiacuteklad 70

Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F

pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz

Řešeniacute

V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf

X C

2

1

Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70

159

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity

indukuje se v niacute napětiacute u1

dt

diLu 1

11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU

V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje

napětiacute u2

dt

diMu 1

2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12

kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou

Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů

Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2

zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2

dt

diLu 2

22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU

V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce

indukovalo napětiacute u1

dt

diMu 2

1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21

Transformačniacute poměr

Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR

NL

2

11 a

mR

NL

2

22

Z toho vyplyacutevaacute že 12

12

mR

NNM

Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1

mR

NILIU

2

11111

a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2

12

12112

mR

NNIMIU

160

Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je

2

1

12

121

2

11

2

1

N

N

R

NNI

R

NI

U

U

m

m

Poměr 2

1

2

1

N

N

U

U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu

zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu

elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit

přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute

přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se

napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute

400230 V

66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech

obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě

indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R

Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů

střiacutedaveacuteho proudu

Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho

proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute

respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu

661 Seacuteriovyacute RC obvod

Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože

je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a

tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu

161

Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je

IRUR

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC

Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z

22 RXZ C ()

Pak

ZIU

Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je

22 RX

U

Z

UI

C

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

181 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 71

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost

faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

C

kde velikost kapacitniacute reaktance je

1592

1000

10501022

1

2

1163

CfC

XC

Proud

0470256

12

200159

12

2222

RX

UI

C

A = 47 mA

162

Napětiacute na rezistoru UR

3990470200 IRUR V

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC

4770470159 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

078247912

399cos

U

U R = 0672159 rad = 385o

Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71

662 Seacuteriovyacute RL obvod

Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je

tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL

163

Impedance obvodu je

22 RXZ L ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22 RX

U

Z

UI

L

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

183 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 72

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho

posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

L

kde velikost induktivniacute reaktance je

1257405022 LfLX L

Proud

154807125

230

2222

RX

UI

L

A

Napětiacute na rezistoru UR

12454180 IRUR V

Napětiacute na ciacutevce UL

1945417125 IXU LL V

Faacutezovyacute uacutehel je

0537029230

124cos

U

U R = 1003885 rad = 57 5o

164

Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72

663 Seacuteriovyacute LC obvod

Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I

Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute

)( CLCLCL XXIIXIXUUU

Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter

Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter

165

664 Seacuteriovyacute RLC obvod

Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy

proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL

Impedance obvodu je

22)( RXXZ CL ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

186 je cos

U

IR

U

U R cos

166

Přiacuteklad 73

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute

diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V

frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

kde velikost induktivniacute reaktance je

4512805022 LfLX L

avelikost kapacitniacute reaktance je

7957747250

1040502

1

2

116

CfC

XC

Proud

109746209

230

120)6794251(

230

)( 2222

RXX

UI

CL

A

Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou

713109741120 IRUR V

2759097414251 IXU LL V

87309741679 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

0572579230

7131cos

U

UR = 0961148 rad = 55 1o

Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73

167

665 Paralelniacute RC obvod

Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RC III

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

188 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

CC

RC

Z

UI

22

11

1

RX

Z

C

22

111

RXZ C

168

666 Paralelniacute RL obvod

Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RL III

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

189 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

LL

RL

Z

UI

22

11

1

RX

Z

L

22

111

RXZ L

169

668 Paralelniacute LC obvod

Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute

CL

CLX

U

X

UIII

Impedance LC obvodu je

CLXXX

U

X

U

U

I

UZ

CLCL

1

1

11

1

Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy

CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0

Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se

opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a

ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li

CL

1

což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence

170

CL

1 Cf

Lf

0

0

22

1

CLf

2

10

669 Paralelniacute RLC obvod

Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCXC

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22)( RCL IIII

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

191 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

171

2222

22 111)(

RXXU

R

U

X

U

X

UIIII

CLCL

RCL

Z

UI

22

111

1

RXX

Z

CL

22

1111

RXXZ CL

Přiacuteklad 74

Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož

odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete

faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =

230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute

Řešeniacute

Velikost proudu rezistorem je

0766667300

230

R

UIR A

Velikost proudu ciacutevkou je

091514180502

230

2

Lf

U

X

UI

L

L A

Velikost proudu kondenzaacutetorem je

072256610321010502230

2

16

Cf

U

X

UI

C

C

Celkovyacute proud je

07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem

096987279050

7670cos

I

IR = 141o

Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR

I = IR =0767 A

A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0

562697782

1000

1010802

1

2

1

60

CLf Hz

172

Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74

Přiacuteklad 75

Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10

kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)

Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce

Řešeniacute

Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem

odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti

rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)

Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

314101005022 3 LfLX L

Proud ciacutevkou

0732113

3141592

230

98696

230

10314

230

2222

RX

UI

L

A

Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je

7321073211310 IRU R V

173

Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je

229880732113314 IXU LL V

Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je

003183230

7321cos

U

UR

1538961 rad 8817594 o

Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute

Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti

na čase

)502sin(2302)sin(max ttUu

přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms

=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)

)5391502sin(7322)sin(max ttIi

přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA

=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)

Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75

Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute

36573203217 IUP R W

Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute

3168073222988 IUQ L VAr

Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute

41680732230 IUS VA

174

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody

Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute

posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory

v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy

s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 76

Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute

indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F

Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz

Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76

Řešeniacute

Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech

Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR

je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute

součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o

předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

62810100100022 3 LfLX L

Proud IRL je

0020325

118084

24

1394384

24

1000628

24

2222

RX

UI

L

RL A

Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je

3252000203251000 IRU R V

12763790020325628 IXU LL V

175

Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je

084687524

32520cos RL

U

U R = 3212661o

Proud kondenzaacutetorem IC je

C

CX

UI

kde 1591549102

10

101010002

1

2

112

6

6

CfCX C

0015081591549

24CI A

Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi

s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka

IRLj

a) b)

Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)

Činnaacute složka IRLč

001721384687500020325cos RLRLRLč II A

Jalovaacute indukčniacute složka IRLj

0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A

Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC

tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy

2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A

09999630172130

0172130cos

I

I RLč = 05o

Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve

větvi RL

176

Přiacuteklad 77

Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o

indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby

byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem

Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77

Řešeniacute

Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka

proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC

Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL

- viz obr 198 a)

a) b) c)

Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77

Proud ve větvi s ciacutevkou

0315547

5188

24

100304002

24

2222

RX

UI

L

RL A

Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou

155473031554710 RLR IRU V

237916603155470304002 RLLL IXU V

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou

o82445d1438937ra

013147824

155473cos

RL

RRL

U

U

177

Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru

na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)

004148701314780315547cos RLRLč II A

031280709913190315547sin RLRLj II A

Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je

tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně

kompenzovaacuten pak platiacute

CRLj II a tedy IC = 0312807 A

Proud kondenzaacutetorem je

0312807C

CX

UI A

a tedy kapacitniacute reaktance je

7672451 0312807

24

C

CI

UX

Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet

CfXC

2

1

CXfC

2

1

666

1051859221072451764002

101

72451764002

1

C F

Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o

kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL

což je 0041487 A

Přiacuteklad 78

Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr

199 Řešte obecně

Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78

Řešeniacute

Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu

178

Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se

zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90

o předbiacutehaacute Vyneseme

tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR

je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U

CL

L

ABL

c

ABC

R

ABR

III

X

UI

X

UI

IRU

UUU

222

Po dosazeniacute

2

2

2222222

AB

c

AB

L

AB

ABCLABABR

UX

U

X

UR

UIIRUIRUUU

2

2

22

2

2 111

cL

ABAB

c

AB

L

AB

XXRUU

X

U

X

URU

2

2

22

2

22 11cL

LcAB

cL

LcAB

XX

XXRU

XX

XXRUU

2

2

1cL

Lc

AB

XX

XXR

UU

Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute

na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU

66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute

zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do

magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute

kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje

Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute

IUP

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon

iup

179

Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute

posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute

nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a

z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a

jejiacute jednotkou je voltampeacuter

IUS (VA V A)

Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute

přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži

Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute

nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je

s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem

pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a

induktivniacute zaacutetěži je cos = 0

Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o

90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute

energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je

voltampeacuter reaktančniacute

sin IUIUQ j (Var V A)

Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem

cos IUP sin IUQ IUS 2

2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS

22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP

Platiacute tedy že

222 SQP

což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200

Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu

180

Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A

měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute

napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a

hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku

Přiacuteklad 79

Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete

zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos

Řešeniacute

1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou

prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se

v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen

jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)

Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI

Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud

předřazenyacutem odporem

a) b)

Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti

2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)

Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute

induktivniacute reaktanciacute XL

Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute

hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL

(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute

indukčnost ciacutevky L

181

I

UZ

22 RZX L f

XL L

2

Z

R

IZ

IR

U

UR

cos

IUS cos IUP sin IUQ

67 Rezonance

Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti

indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute

tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute

Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin

rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme

rezonančniacute frekvence a značiacute se f0

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz

obr 202

Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram

Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro

rezonanci XL = XC

Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je

22)( RXXZ CL

Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji

jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0

Z0 = R

Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to

R

UI 0

182

Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost

ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC

LfCf

0

0

22

1

2

022

1f

CL

CLf

2

10

Rezonančniacute křivka

Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)

2222 )2

12()( R

CfLfRXXZ CL

Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)

Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel

je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0

Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute

R

CfLf

arctg

2

12

Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je

22)2

12( R

CfLf

U

Z

UI

Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute

kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute

odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu

Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R

Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL

183

a napětiacute na kondenzaacutetoru IC

IXU CC

1

Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy

0000 ILUU CL kde R

UI 0

Po dosazeniacute je

UR

L

R

ULILUU CL

0

00000

Vyacuteraz R

L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti

Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti

Pak UQXU CL 00

To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka

napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při

naacutehodneacutem dotyku

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod

Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz

obr 205

Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram

184

K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna

velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute

složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R

reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0

Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat

kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter

Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude

převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter

Proud ciacutevkou je

22222 RLf

U

RX

UI

L

RL

Jalovaacute složka proudu IRL je

RLRLRLj II sin kde 222

2sin

RLf

Lf

Z

X

ZI

XI

U

U

RL

L

RLRL

LRLLRL

Po dosazeniacute

222222 2

2

2

2

2 RLf

ULf

RLf

Lf

RLf

UIRLj

Činnaacute složka proudu IRLč je

222222222

cosRLfI

RI

RLf

U

U

U

RLf

UII

RL

RLRRLRLRLč

222222 222 RLf

RU

RLfI

RI

RLf

UI

RL

RLRLč

Proud kondenzaacutetorem je

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

2

2

1

Pro rezonanci

CRLj II

UCf

RLf

ULf

022

0

0 22

2

C

RLf

L

22

02

0)2( 222

0 LRCCLf

2

0

1

2

1

L

R

CLf

185

Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je

2

22

2

22

2

22

2

22

22

22

2

2

22

2

2)(

RLf

RCf

RLf

LfU

RLf

RUCf

RLf

ULfIIII RLčCRLj

Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy

22

0

02 RLf

RUII RLč

Impedance při rezonanci je

R

RLf

I

UZ

22

0

0

0

2

Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu

je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0

Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna

odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou

Rezonančniacute křivky

Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu

matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute

2

22

2

222

22

2

RLf

RCf

RLf

LfUI

a

I

UZ

Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu

Činitel jakosti obvodu

Činitel jakosti obvodu je Q

R

LQ

0

186

Platiacute

000 IQII RLC

Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud

odebiacuteranyacute ze zdroje

Přiacuteklad 80

Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny

a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci

proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro

paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem

Řešeniacute

Ad a) Rezonančniacute frekvence

Hz

CLf

33

64630

102055602

10100

10210302

1

1021032

1

2

1

Rezonančniacute impedance

Z0 = R =10

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

A4210

240

R

UI

Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci

V 929516421031005522

f2

33

000000

ILILUU LC

Činitel jakosti

387324

95920 U

UQ C

Ad b) Rezonančniacute frekvence

Hz 1985111111111666666672

1

3

10

23

10

2

1

103

10

102103

1

2

11

2

1

249

2

363

2

0

L

R

CLf

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

187

A 016

1500

1024

10398512

1024

1010319852

1024

2

22

22322

0

0

RLf

RUII RLč

Rezonančniacute impedance

150160

24

0

0I

UZ

Proud kondenzaacutetorem při rezonanci

A 059866524102198522

2

16

0

0

0

0

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

Činitel jakosti

3741657160

598700 I

IQ C

Pozn

Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute

se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod

CLf

2

10

Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně

přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)

68 Kompenzace uacutečiniacuteku

Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla

nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute

složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li

faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je

daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy

v elektrickyacutech strojiacutech

188

a) b)

Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci

Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute

energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute

jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute

činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů

Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což

vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy

většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a

tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet

dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena

roste

Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud

kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho

původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute

složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute

zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho

vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku

Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav

paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095

Přiacuteklad 81

Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07

Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na

hodnotu 095

Řešeniacute

Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

Činnyacute vyacutekon je

189

cos IUIUPČ

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

186335470230

300

cos

U

PI A

Činnaacute složka proudu je

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

133070113043481863354 2222 čj III A

Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

coskomp = 095

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

1372998950230

300

cos

komp

kompU

PI

A

Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A

Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute

Cjjkomp III

Proud kondenzaacutetorem tedy bude

090198304287181330701 jkompjc III A

Pro proud kondenzaacutetorem platiacute

Cf

U

X

UI

c

C

2

1

Kapacita kondenzaacutetoru je tedy

6-5- 10124831012483230502

0901983

2

Uf

IC C F = 12483 F

190

7 Trojfaacutezovaacute soustava

Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute

jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina

průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod

elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak

napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena

využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute

trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute

velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci

elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute

magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

sinsin22 max UvlBvlBu xi

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

191

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute

Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově

pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute

harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem

posunem jednotlivyacutech napětiacute

Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou

pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o

se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se

označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211

Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

192

Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuW

Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech

hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule

0 WVU uuu

Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute

Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute

f

o

f UUx2

1)60cos( ff UUy

2

12

Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU

Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0

UU + UV + UW = 0

72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu

Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute

stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou

Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze

statoroveacuteho vinutiacute

Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem

otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)

Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute

obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou

draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je

posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi

193

průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute

U1 V1 W1 konce U2 V2 W2

Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti

Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu

statoru

Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute

Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem

obvodem a statorovyacutem vinutiacutem

Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod

rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na

vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky

stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n

(otmin)

Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru

Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru

Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute

jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute

vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje

elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem

v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto

uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na

elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu

přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů

přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute

Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech

elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou

195

označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla

3000 otmin

Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech

jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute

s předchoziacutem provedeniacutem

Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute

Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem

Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů

Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je

v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech

vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a

označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy

Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi

nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se

označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)

a) b)

Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy

a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem

Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute

faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf

196

fWVU UUUU

Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US

SWUVWUV UUUU

Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho

napětiacute

2

330cos

2 f

o

fS UU

U

fS UU 3

Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi

libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti

Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke

spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a

ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P

Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je

IRU

kde R je odpor vedeniacute

I je přenaacutešenyacute proud

Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je

2IRIIRIUP

Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině

přenaacutešeneacuteho proudu

197

Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou

energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem

vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety

Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se

napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně

niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se

energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory

Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek

Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty

dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou

proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje

v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky

Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru

Z uvedeneacuteho je patrneacute že

2

1

2

1

N

N

U

U (= transformačniacute poměr) a tedy

1

212

N

NUU

Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute

napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se

transformuje na nižšiacute napětiacute

Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že

vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu

P1 = P2 = P

Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak

1

212

N

NUU gt U1

Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute

2

2U

PI a

1

1U

PI

pak I2 lt I1

proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute

198

Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je

2

11

1

21

11

2

112

N

NI

N

NU

UI

U

UII

rarr

2

1

1

2

N

N

I

I

Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie

se sniacutežiacute

Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV

Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV

Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute

vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro

daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie

Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute

zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V

G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor

Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy

74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti

Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři

faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute

sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič

jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute

vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE

Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič

Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před

dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je

takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale

vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem

krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet

zdraviacute ohrožujiacuteciacute

199

Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C

Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S

Ochrana nulovaacuteniacutem

Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute

čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute

Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem

jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute

faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute

pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu

200

Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např

faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se

na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm

aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem

bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li

se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute

proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)

a) b)

Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem

Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při

poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute

je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud

IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho

působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se

danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine

74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti

Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi

Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy

Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy

připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu

a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

201

f

f

fZ

UI

Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel

danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče

Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy

Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven

nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute

žaacutednyacute proud

IN = 0

Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může

vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute

vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem

různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute

trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky

světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit

přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud

možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech

202

obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN

kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou

U

UU

Z

UI

V

VV

Z

UI

W

WW

Z

UI

Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute

fWVU UUUU

a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o

Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže

v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W

Pozor

Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde

přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a

spotřebičem

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka

Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230

Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka

203

Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou

stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o

UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3

Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou

UV

SUV

Z

UI

VW

SVW

Z

UI

WU

SWU

Z

UI

a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže

Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona

IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU

IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV

IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

S

f

S

SS

Z

U

Z

UI

3

Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech

napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče

Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech

Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute

Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute

o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232

2

330cos

2 WU

o

WU

fII

I

WUf II 3

204

Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je

různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz

obr 233

Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute

Přiacuteklad 82

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute

činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na

obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute

ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy

205

Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82

Řešeniacute

Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235

Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234

Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je

400 SWVUWVU UUUU V

Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost

Z

UIIII S

WVUWVU

kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L

76173

400

Z

UI S 230207 A

206

Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost

398730323020733 IIIII fWUV A

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech

Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

cos fff IUP (W V A)

Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

fff IUS (VA V A)

Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

sin fff IUQ (VAr V A)

Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute

Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon

cos33 fff IUPP (W V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon

fff IUSS 33 (VA V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

Přiacuteklad 83

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu

R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a

celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do

trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute

Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude

287580

230

R

UI

f

f A

Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy

661252875230 fff IUP W

207

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

1983752875230333 fff IUPP W

Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute

US Proud každyacutem z rezistorů bude

580

40033

3

f

ffSS I

R

U

R

U

R

UI A

Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy

00025400333 fffSSS PIUIUP W

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

6000200033 SPP W

Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy

751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek

Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na

svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co

nejjednoduššiacute

Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je

znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute

chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do

trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy

a) b) c)

Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do

trojuacutehelniacuteka

76 Točiveacute magnetickeacute pole

Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o

připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř

statoru točiveacute magnetickeacute pole

208

Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti

Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238

V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1

ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W

a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)

V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole

jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)

ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček

a) b) c)

209

d) e) f)

Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole

V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do

W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole

jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako

v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o

Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele

stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute

rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute

Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute

magnetickeacute pole

Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku

daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi

Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech

V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW

2

3)

3

4sin()

3

4sin( maxmaxmax IItIiw

Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy

2

3max w

kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute

Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239

Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole

210

maxmax

0

2

3

2

3

2

32)30cos(2 W

Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy

max2

3

Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute

o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a

velikosti max2

3

Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou

statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem

magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho

pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)

fns 60

Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru

Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory

Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho

magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241

V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)

V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)

v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy

pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček

211

a) b)

Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole

Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr

242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi

přiacutevodniacutemi faacutezemi

Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru

212

77 Kompenzace uacutečiniacuteku

Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny

v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy

Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute

elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat

neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a

vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech

bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute

proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem

Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute

charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem

připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute

Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou

hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je

penalizovaacuten

Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků

kondenzaacutetorů k siacuteti

Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu

Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky

spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou

nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem

přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na

využitiacute spotřebiče

Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru

Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech

rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke

zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při

individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute

jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody

213

Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena

v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti

spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace

Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku

kompenzačniacuteho vyacutekonu

Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry

měřiacute pouze činnou odebranou energii

214

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami

81 Elektrostatickeacute pole

Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)

elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19

C

Q = ke k je celeacute čiacuteslo

I elektrickyacute proud ampeacuter (A)

t

QI

E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )

Q

FE

U elektrickeacute napětiacute volt (V)

Q

AU ( CJV )

l

UE

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem

prostřediacute

permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m

-1)

0 r

0 permitivita vakua 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

r poměrnaacute permitivita r gt = 1

24 r

QE

intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule

s naacutebojem Q

D elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

ED r 0

C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)

U

QC

l

SC r 0

215

Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC 21

Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC

1

1

111

21

Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru

t

c eUu 10

kde

CR

Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

Pak kapacita osamoceneacute koule je

104 rC r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

82 Stejnosměrnyacute proud

J Proudovaacute hustota

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

R elektrickyacute odpor ohm ()

R

UI hellip Ohmův zaacutekon

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

rezistivita materiaacutelu

G vodivost siemens (S)

RG

1

216

Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR

teplotniacute součinitel odporu (1oK)

A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu

tIUUQA (J V A s)

P vyacutekon

2IRIIRIUP (W V A)

uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 P

P )( JJ

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel

01

n

k

kI

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku

01

n

k

kU

Spojovaacuteniacute rezistorů

Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21

Paralelniacute niVyacutesl RRRRR

1

1

111

21

Transfigurace

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute

iRIUU 0

Proud nakraacutetko

i

kR

UI 0

217

83 Magnetickeacute pole

magnetickyacute tok weber (Wb)

B magnetickaacute indukce tesla (T)

SB

lI

FB

lIBF sin lIBF (N T A m)

Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)

n

i

im IF1

Um magnetickeacute napětiacute (A)

n

i

mim UF1

H intenzita magnetickeacuteho pole

l

UH m (Am

-1 A m)

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r

I

l

UH m

2

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

HB r 0

0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) henry (H)

r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r

přibližně 1)

Hopkinsonův zaacutekon

mm U

l

SS

l

USHSB

Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)

mm Ul

SG

Rm magnetickyacute odpor (reluktance)

m

mG

R1

S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

218

Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

r

INH

2 kde

2

Dr

2

12 DDD

Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

l

IN

l

UH m

Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

r

IN

l

UH m

2

Indukčniacute zaacutekon

dt

du

pro ciacutevku o N zaacutevitech

dt

dNu

Pohyboveacute napětiacute

vlBu

L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)

dt

diMu 1

2

12

12

mR

NNM

22 LLM

22 LLM

kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Transformačniacute poměr

2

1

2

1

N

N

u

u

Spojovaacuteniacute ciacutevek

seacuterioveacute 21 LLL

seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

219

paralelniacute 21

111

LLL

paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

Přechodovyacute jev na indukčnosti

t

L eUu

0

kde

R

L

Energie magnetickeacuteho pole

mm UW 2

1 lSHBWm

2

1

Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

sin lIBF

Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu

SR

INF

m

2

22

02

1

84 Střiacutedaveacute proudy

f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)

60

nf

T doba jedneacute periody (s)

fT

1

uacutehlovaacute rychlost

f 2 (rads-1

)

Průběh harmonickeacuteho proudu

)sin(max tIi )sin(max tIi

Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

2

maxII

Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

max

2IImed

220

Odporovaacute zaacutetěž

)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR

Ui

Induktivniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

LX

UI max

max

XL induktivniacute reaktance ()

LX L

Kapacitniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

CX

UI max

max

XC kapacitniacute reaktance ()

CX C

1

Seacuteriovyacute RLC obvod

Z impedance obvodu ()

22)( RXXZ CL U

IR

U

U R cos

Paralelniacute RLC obvod

22)( RCL IIII I

IRcos

Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)

S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)

Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)

222 SQP

cosφ uacutečiniacutek

IU

P

cos

Rezonance

f0 rezonančniacute frekvence

CLf

2

10

221

Q činitel jakosti obvodu je R

LQ

0

84 Trojfaacutezovaacute soustava

Uf faacutezoveacute napětiacute

Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuw

US sdruženeacute napětiacute

fS UU 3

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

cos33 fff IUPP (W V A)

fff IUSS 33 (VA V A)

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

222

Použitaacute literatura

BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-

7333-043-1

Internetoveacute straacutenky (www)

BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt

httpwwwbrush-semczgt

Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-

cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt

Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt

Page 6: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu

6

46 Spojovaacuteniacute rezistorů 48

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů 48 462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů 49

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem 51

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů 51 472 Transfigurace 56

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu 60 481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute 60 482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute 62

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi 64 491 Dělič napětiacute 64 492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů 66 493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu 68 494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru 69

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech 70

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji 74

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů 74 4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů 77 4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute 80 4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice 83

5 Magnetickeacute pole 88

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole 88

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem 89 521 Magnetickeacute pole vodiče 89

53 Veličiny magnetickeacuteho pole 91 531 Magnetickyacute tok 91 532 Magnetickaacute indukce 91

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute 92

534 Intenzita magnetickeacuteho pole 93

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem 94 54 Hopkinsonův zaacutekon 97

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek 97 551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů 98

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute 104 561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče 104

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu 106 563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky 106 564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky 107 565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky 109

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů 110

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem 111

58 Elektromagnetickaacute indukce 119

581 Indukčniacute zaacutekon 119 582 Pohyboveacute napětiacute 122 583 Vlastniacute indukčnost 124 584 Vzaacutejemnaacute indukčnost 126 585 Spojovaacuteniacute ciacutevek 130 585 Přechodovyacute jev na indukčnosti 134

59 Energie magnetickeacuteho pole 135

7

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech 136

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole 138 5121 Elektromagnety 140

6 Střiacutedaveacute proudy 143

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů 144 62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin 146 631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 146 632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu 147

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 148 65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 152

651 Odporovaacute zaacutetěž 152 652 Induktivniacute zaacutetěž 153 653 Kapacitniacute zaacutetěž 155

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu 159 66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 160

661 Seacuteriovyacute RC obvod 160 662 Seacuteriovyacute RL obvod 162

663 Seacuteriovyacute LC obvod 164

664 Seacuteriovyacute RLC obvod 165 665 Paralelniacute RC obvod 167 666 Paralelniacute RL obvod 168

668 Paralelniacute LC obvod 169 669 Paralelniacute RLC obvod 170

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody 174 66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu 178 67 Rezonance 181

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod 181

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod 183

68 Kompenzace uacutečiniacuteku 187

7 Trojfaacutezovaacute soustava 190

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute 190 72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu 192

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti 196 74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti 198 74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti 200

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy 200 741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka 202

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu 206 751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek 207

76 Točiveacute magnetickeacute pole 207

77 Kompenzace uacutečiniacuteku 212

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů 214

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami 214 81 Elektrostatickeacute pole 214 82 Stejnosměrnyacute proud 215

8

83 Magnetickeacute pole 217

84 Střiacutedaveacute proudy 219 84 Trojfaacutezovaacute soustava 221

Použitaacute literatura 222

9

Uacutevod

Současnaacute teoretickaacute elektrotechnika je postavena na čtyřech zaacutekladniacutech rovniciacutech

obsahujiacuteciacutech obecnyacute matematickyacute popis elektromagnetickeacuteho pole nazvanyacutech podle jejich

autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice jsou zaacutekladniacute vztahy komplexně popisujiacuteciacute elektromagnetickeacute pole

Mohou byacutet zapsaacuteny buď v integraacutelniacutem nebo v diferenciaacutelniacutem tvaru V integraacutelniacutem tvaru

popisujiacute elektromagnetickeacute pole v jisteacute oblasti kdežto v diferenciaacutelniacutem tvaru v konkreacutetniacutem

bodu teacuteto oblasti Maxwellovy rovnice vychaacutezejiacute ze všech do teacute doby znaacutemyacutech poznatků

elektrotechniky a všem těmto zaacutekonům vyhovujiacute

Matematickaacute uacuteroveň studenta středniacute školy neumožňuje využiacutevat Maxwellovy rovnice proto

tato učebnice využiacutevaacute zaacutekladniacutech vztahů mezi elektrickyacutemi veličinami ktereacute byly odvozeny a

ověřeny empiricky a matematicky různyacutemi fyziky a ktereacute jsou teacutež odvoditelneacute z

Maxwellovyacutech rovnic

Po prostudovaacuteniacute teacuteto učebnice by měl miacutet čtenaacuteř přehled o zaacutekladniacutech jevech procesech a

jejich vzaacutejemnyacutech souvislostech v elektrotechnice a měl by byacutet schopnyacute ziacuteskaneacute vědomosti

aplikovat v praxi a využiacutevat při studiu navazujiacuteciacutech oborů ze silnoproudeacute i slaboproudeacute

aplikovaneacute elektrotechniky

10

1 Fyzikaacutelniacute veličiny a jejich jednotky

Fyzikaacutelniacute veličina je vlastnost hmoty děje nebo jevu kterou je možneacute změřit Jednotkou

fyzikaacutelniacute veličiny je pevně stanoveneacute množstviacute teacuteto veličiny Konkreacutetniacute hodnotu každeacute

veličiny stanoviacuteme počtem jednotek jimiž ji měřiacuteme

Napřiacuteklad veličina = deacutelka (označeniacute l) jednotka = metr veličina = čas (označeniacute t)

jednotka = sekunda

Mezi různyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami platiacute vztahy ktereacute je možneacute vyjaacutedřit matematickyacutem

zaacutepisem

Napřiacuteklad veličina = rychlost (označeniacute v) rychlost je draacuteha s za určityacute čas t matematickyacute

zaacutepis vyjadřujiacuteciacute tento vztah je v = st Jednotkou rychlosti je ms

11 Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI

Pro jednoznačneacute vyjaacutedřeniacute velikosti fyzikaacutelniacutech veličin bylo dohodou stanoveno několik

zaacutekladniacutech veličin jejichž jednotky byly nezaacutevisle na sobě zvoleny Tyto jednotky se

nazyacutevajiacute zaacutekladniacute jednotky a tvořiacute mezinaacuterodniacute soustavu jednotek SI (Systeacuteme International

dUniteacutes) Mezinaacuterodniacute soustava jednotek SI maacute tři kategorie jednotek

a) Zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

Jednotka zkratka jednotky veličina

Metr m deacutelka

Kilogram k hmotnost

Sekunda s čas

Ampeacuter A elektrickyacute proud

Kelvin K teplota

Mol mol laacutetkoveacute množstviacute

Kandela cd sviacutetivost

b) Doplňkoveacute jednotky

doplňujiacute zaacutekladniacute jednotky soustavy SI

radiaacuten rad jednotka rovinneacuteho uacutehlu

steradiaacuten sr jednotka prostoroveacuteho uacutehlu

c) Odvozeneacute jednotky soustavy SI

vznikajiacute kombinaciacute zaacutekladniacutech jednotek podle matematickyacutech vztahů ktereacute popisujiacute

vzaacutejemnou zaacutevislost mezi veličinami

Některeacute odvozeneacute jednotky soustavy SI se vyjadřujiacute pomociacute zaacutekladniacutech jednotek jineacute majiacute

vlastniacute naacutezev

11

Napřiacuteklad elektrickyacute proud (označeniacute I) je množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje (označeniacute Q)

protekleacuteho vodičem za určityacute čas matematickyacute zaacutepis tohoto vztahu je I=Qt Elektrickyacute

naacuteboj je tedy definovaacuten jako Q=It jednotka je As (ampeacutersekunda) a maacute vlastniacute naacutezev

Coulomb [C]

Mimo tyto jednotky SI existujiacute ještě tzv vedlejšiacute jednotky ktereacute majiacute odlišnou definici než

jednotka pro tuteacutež veličinu v SI Mezi vedlejšiacute a odvozenou (zaacutekladniacute) jednotkou existuje

vždy převodniacute vztah Vedlejšiacute jednotky se děliacute na dovoleneacute (uacuteředně se smiacute použiacutevat) a

nedovoleneacute (uacuteředně se nesmiacute použiacutevat)

Dovoleneacute

Čas hodina [h] minuta [min] 1 h=3600 s a 1 min=60 s

Hmotnost tuna [t] 1t = 1000 kg

Objem litr [l] 1l=1dm3=0001 m

3

Uacutehly stupeň je rozdělen na 60 minut a 1 minuta na 60 vteřin (180 rad = 1 stupeň)

Nedovoleneacute

Deacutelka palec [inch] 1 inch=254 cm stopa [ft] 3048 cm yard [y] 1y =914 mm

Vyacutekon kůň [k] 1 k = 73549875 W

12 Předpony jednotek

Předpony a jejich dohodnuteacute zkratky jsou

Předpony zvětšujiacute jednotky Předpony zmenšujiacuteciacute jednotky

k kilo 103 m mili 10

-3

M mega 106 mikro 10

-6

G giga 109 n nano 10

-9

T terra 1012

p piko 10-12

Napřiacuteklad 20 km = 20 103 m = 20 000 m 5 F = 5 10

-6 F = 0000005 F

Doplňkoveacute předpony zvětšujiacute Doplňkoveacute předpony zmenšujiacuteciacute

d deka 10 d deci 10-1

h hekto 102 c centi 10

-2

12

2 Fyzikaacutelniacute zaacuteklad elektrickyacutech jevů

21 Elektronovaacute teorie

Každaacute laacutetka se sklaacutedaacute z atomů což jsou čaacutestice ktereacute neniacute možneacute daacutele chemicky rozdělit

Charakter laacutetky určuje struktura atomu Atomy se sklaacutedajiacute z elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů

neutronů a elektronů Čaacutestice nazyacutevanaacute elektron je nositelem elementaacuterniacuteho zaacuteporneacuteho

elektrickeacuteho naacuteboje (elementaacuterniacute naacuteboj již nelze dělit je to nejmenšiacute možnyacute elektrickyacute naacuteboj)

označuje se -e Čaacutestice nazyacutevanaacute proton je nositelem elementaacuterniacuteho kladneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje označuje se +e Čaacutestice nazyacutevanaacute neutron nemaacute žaacutednyacute elektrickyacute naacuteboj Struktura

atomu je tvořena jaacutedrem atomu složenyacutem z protonů a neutronů (je tedy kladneacute) a

z elektronoveacuteho obalu (je zaacutepornyacute) Velikost elektrickeacuteho naacuteboje se měřiacute v coulombech

(označeniacute C) elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboje e = 1602 10-19

C

Atomy konkreacutetniacutech laacutetek se lišiacute počtem elementaacuterniacutech čaacutestic ndash protonů neutronů a elektronů

ktereacute danyacute atom obsahuje Počet elektronů a protonů v jednom atomu je u daneacute laacutetky vždy

stejnyacute atom v klidoveacutem stavu je tedy z vnějšiacuteho pohledu elektricky neutraacutelniacute

Působeniacutem vnějšiacutech vlivů je u některyacutech materiaacutelů možneacute z atomu oddělit elektron Tiacutem se

porušiacute elektrickaacute rovnovaacuteha atomu a vznikne tzv iont s kladnyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

(kationt) a volnyacute elektron se zaacutepornyacutem elementaacuterniacutem naacutebojem

Jakeacutekoliv elektricky nabiteacute tělěso může tedy byacutet nositelem elektrickeacuteho naacuteboje ten je však

vždy celočiacuteselnyacutem naacutesobkem elementaacuterniacuteho naacuteboje Q = ke kde Q je celkovyacute elektrickyacute

naacuteboj a k je celeacute čiacuteslo

Naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se navzaacutejem

přitahujiacute Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute

elektricky nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

22 Vodiče a izolanty

Jsou-li vzaacutejemneacute vazby mezi nabityacutemi čaacutesticemi v daneacute laacutetce slabeacute mohou se tyto čaacutestice i při

slabeacutem vlivu okolniacuteho prostřediacute v laacutetce pohybovat a přenaacutešet elektrickyacute naacuteboj Tyto materiaacutely

nazyacutevaacuteme vodiče Jednaacute se většinou o kovy (vykazujiacute elektronovou vodivost volnyacutem

nositelem naacuteboje jsou elektrony) přiacutepadně elektrolyty nebo ionizovaneacute plyny (nositelem

naacuteboje jsou kladneacute nebo zaacuteporneacute ionty) Vodiče (kovy) majiacute krystalickou mřiacutežku kteraacute je

složena z kladnyacutech iontů kovu Valenčniacute elektrony jsou ke kationtům vaacutezaacuteny kovovou

vazbou kteraacute je ale velmi slabaacute Valenčniacute elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovyacutem

působeniacutem elektrickeacuteho pole

Jsou-li čaacutestice v daneacute laacutetce pevně chemicky vaacutezaacuteny přenos naacuteboje nenastaacutevaacute Tyto laacutetky

označujeme jako nevodiče (izolanty) Izolanty majiacute valenčniacute elektrony v obalu vaacutezaacuteny velkyacutem

silovyacutem působeniacutem (př chemickaacute vazba)

23 Zdroje elektrickeacute energie

Elektrickyacute zdroj je zařiacutezeniacute ve ktereacutem vznikaacute elektrickaacute energie přeměnou z jineacuteho druhu

energie

Elektrickyacute zdroj rozděliacute elektrickyacute naacuteboj tak aby se na jednom miacutestě udržoval přebytek

zaacuteporneacuteho naacuteboje (elektronů) a na druheacutem miacutestě jeho nedostatek Tato miacutesta nazyacutevaacuteme poacutely

13

zdroje Poacutel s přebytkem zaacuteporneacuteho naacuteboje se označuje jako ndash (minus) poacutel s nedostatkem

zaacuteporneacuteho naacuteboje jako + (plus)

Poacutely jsou vyvedeny na svorky což jsou miacutesta kde se ke zdroji připojuje spotřebič

Obr 1 - Stejnosměrnyacute elektrickyacute zdroj a jeho schematickaacute značka

Nahromaděnyacute naacuteboj vytvaacuteřiacute mezi poacutely zdroje elektrickeacute napětiacute Pokud se poacutely zdroje propojiacute

vodičem přebytek zaacutepornyacutech elektronů ze zaacuteporneacuteho poacutelu je přitahovaacuten ke kladneacutemu poacutelu

na němž je nedostatek elektronů a je tedy nabit kladně Elektrickyacute naacuteboj prochaacuteziacute vodičem

tento jev se nazyacutevaacute elektrickyacute proud I Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Obr 2 - Elektrickyacute proud ve vodiči připojeneacutem ke zdroji

Elektrickyacute proud je tedy pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A) což je jedna ze zaacutekladniacutech jednotek v SI

soustavě Tedy jednotka elektrickeacuteho naacuteboje coulomb maacute v SI rozměr tIQ sAC

Coulomb je teacutež označovaacuten jako ampeacutersekunda

14

3 Elektrostatickeacute pole

Elektricky nabiteacute těleso se ve sveacutem okoliacute projevuje silovyacutem působeniacutem na jinaacute elektricky

nabitaacute tělesa ndash v okoliacute elektricky nabiteacuteho tělesa tedy existuje elektrickeacute pole

Siloveacute působeniacute elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute je v klidu se nazyacutevaacute elektrostatickeacute pole

Elektrickyacute naacuteboj může byacutet zaacutepornyacute což je působeno přebytkem elektronů nad počtem

kladnyacutech protonů nebo kladnyacute tehdy je elektronů v materiaacutelu nedostatek

Elektrostatickeacute pole může existovat v jen v nevodiveacutem prostřediacute ve vodiveacutem by vlivem

elektrickeacuteho pole nastal pohyb elektrickeacuteho naacuteboje až do doby kdy by se naacuteboje různeacute

polarity vyrovnaly siacutela by přestala působit a elektrickeacute pole by přestalo existovat Elektrickyacute

naacuteboj se vyskytuje vždy jen na povrchu vodičů

Viacuteme že naacuteboje se stejnou polaritou se navzaacutejem odpuzujiacute naacuteboje opačneacute polarity se

navzaacutejem přitahujiacute

Obr 3 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute elekrticky nabityacutech čaacutestic

31 Zobrazovaacuteniacute elektrostatickeacuteho pole

Působeniacute elektrostatickeacuteho pole popisujeme pomociacute tzv siločar

Na volnou kladně nabitou čaacutestici umiacutestěnou do elektrostatickeacuteho pole působiacute siacutela

elektrostatickeacuteho pole a vyvolaacutevaacute jejiacute pohyb v poli

Siločaacutery jsou křivky ktereacute by byly draacutehou pohybu volneacute kladně nabiteacute čaacutestice v daneacutem poli

Siločaacutery směřujiacute od pevneacuteho nositele kladneacuteho naacuteboje (kladneacute elektrody) do pevneacuteho nositele

zaacuteporneacuteho naacuteboje (zaacuteporneacute elektrody) a jejich tvar je takovyacute že vektor siacutely působiacuteciacute na

volnou kladnou čaacutestici je vždy tečnyacute k draacuteze pohybu volneacute čaacutestice Elektrostatickeacute pole

osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje jsou radiaacutelniacute ndash viz obr 4

Obr 4 - Radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole osamoceneacuteho kladneacuteho a zaacuteporneacuteho naacuteboje

Na obr 5 je znaacutezorněno elektrostatickeacute pole dvou opačně nabityacutech elektrod Kladnaacute elektroda

volnou kladně nabitou čaacutestici odpuzuje zaacutepornaacute ji přitahuje Elektrostatickeacute pole působiacute na

čaacutestici silou danou vektorovyacutem součtem sil vyvolanyacutech oběma elektrodami

15

Obr 5 - Elektrostatickeacute pole dvou opačnyacutech naacutebojů

Siacutela kteraacute působiacute v elektrostatickeacutem poli na pokusnou elektricky nabitou čaacutestici je přiacutemo

uacuteměrnaacute velikosti naacuteboje Q teacuteto čaacutestice Siloveacute schopnosti elektrostatickeacuteho pole lze vyjaacutedřit

veličinou E ndash intenzita elektrickeacuteho pole

QEF ( 1 CNCN )

Intenzita elektrickeacuteho pole E je siacutela kteraacute v daneacutem miacutestě působiacute na jednotkovyacute kladnyacute naacuteboj

je tedy určena jako podiacutel elektrickeacute siacutely kteraacute by v daneacutem miacutestě působila na bodovyacute naacuteboj a

tohoto naacuteboje

Z toho

Q

FE ( CNCN 1 )

Působiacute-li v různyacutech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela různeacute velikosti nebo směru nazyacutevaacuteme

toto pole nehomogenniacute

Působiacute-li ve všech bodech elektrostatickeacuteho pole siacutela stejneacute velikosti i směru nazyacutevaacuteme toto

polem homogenniacutem

Přiacuteklad 1

Intenzita elektrickeacuteho pole v bodě X je 50 kVm Určete jakou silou působiacute elektrostatickeacute

pole na čaacutestici nabitou naacutebojem 30 C

Řešeniacute

5110150010301050 363 QEF (N)

16

32 Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Homogenniacute pole se vyskytuje mezi dvěma rovnoběžnyacutemi vodivyacutemi deskami ktereacute nesou

stejně velkeacute naacuteboje opačneacute polarity Intenzita tohoto pole maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a

velikost

Obr 6 - Homogenniacute elektrostatickeacute pole

Je-li v prostoru pole volnaacute čaacutestice nabitaacute elektrickyacutem naacutebojem Q působiacute na ni v elektrickeacutem

poli siacutela QEF Tato siacutela urychluje čaacutestici a vyvolaacute jejiacute pohyb po siločaacuteře Přemiacutestiacute-li se

čaacutestice s naacutebojem Q po siločaacuteře z bodu 1 do bodu 2 ve vzdaacutelenosti l vykonaacute se praacutece A

lFA ( mNJ )

Po dosazeniacute F=E Q dostaneme

lQElFA

Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 přemisťovat nabitou čaacutestici s jednotkovyacutem naacutebojem pak

praacuteci potřebnou k tomuto přemiacutestěniacute nazyacutevaacuteme elektrickeacute napětiacute ndash označeniacute U

Q

AU ( CJV )

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je volt (V) 1 V je praacutece kteraacute je potřebnaacute k přemiacutestěniacute naacuteboje

o velikosti 1 C Rozměr (V) je (JC-1

)

Elektrickeacute napětiacute se vždy vztahuje ke dvěma bodům elektrickeacuteho pole na rozdiacutel od intenzity

pole (což je vektor vaacutezanyacute ke konkreacutetniacutemu jednomu miacutestu v poli)

Protože Q

FE lze po dosazeniacute ze vztahů lQElFA a

Q

AU vypočiacutetat

l

U

Q

l

QU

Q

l

A

Q

FE

( 1mV )

Intenzitu elektrickeacuteho pole je tedy možneacute vyjaacutedřit takeacute jako spaacuted napětiacute U

l

UE ( mVmV 1 )

Napětiacute je v poli rozloženo rovnoměrně Miacutesta kteraacute majiacute proti některeacute elektrodě stejneacute napětiacute

(tzv potenciaacutel) se nazyacutevajiacute ekvipotenciaacutely

17

Obr 7 - Vektory intenzity elektrickeacuteho pole a hladiny ekvipotenciaacutel

Přiacuteklad 2

Jakaacute je intenzita elektrickeacuteho pole mezi dvěma kovovyacutemi deskami jejichž vzaacutejemnaacute

vzdaacutelenost je 3 mm je-li mezi nimi napětiacute 24 V

Řešeniacute

80001083

1024

103

24 33

3

l

UE ( 1mV )

33 Coulombův zaacutekon

Dva elektrickeacute naacuteboje na sebe silově vzaacutejemně působiacute Měřeniacutem bylo zjištěno že siacutela kterou

se naacuteboje přitahujiacute (kladnyacute a zaacutepornyacute) přiacutepadně odpuzujiacute (kladnyacute a kladnyacute nebo zaacutepornyacute a

zaacutepornyacute) je přiacutemo uacuteměrnaacute součinu jejich velikosti a nepřiacutemo uacuteměrnaacute druheacute mocnině jejich

vzdaacutelenosti

Obr 8 - Coulombův zaacutekon

Platiacute tedy

2

21

r

QQkonstF

kde konstanta maacute hodnotu

4

1konst

18

kde se nazyacutevaacute permitivita daneacuteho prostřediacute Pokud se naacuteboje nachaacutezejiacute ve vakuu tato

hodnota se označuje 0 ndash permitivita vakua Jejiacute hodnota je 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

V jakeacutemkoliv jineacutem nevodiveacutem prostřediacute platiacute

0 r

kde r je poměrnaacute permitivita daneacuteho prostřediacute r je vždy většiacute než 1 pro vzduch je přibližně

rovna 1

Poměrnaacute permitivita dielektrik se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Tedy siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem prostřediacute

je

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

Přiacuteklad 3

Jak velkou silou na sebe vzaacutejemně působiacute dva elektrony ve vakuu je-li jejich vzdaacutelenost

1 mm

Řešeniacute

)(1032)101(

106021106021

1085484

1

4

1 22

23

1919

122

21

0

Nr

QQF

r

34 Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole

Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole se vyskytuje např v okoliacute osamoceneacuteho elektrickeacuteho

naacuteboje Siloveacute uacutečinky tohoto pole budou tiacutem většiacute čiacutem je většiacute danyacute elektrickyacute naacuteboj a tiacutem

většiacute čiacutem bude zkoumanyacute bod elektrostatickeacuteho pole bliacutež k naacuteboji kteryacute ho vyvolal

Ekvipotenciaacutelami budou soustředneacute kuloveacute plochy se středem v miacutestě elektrickeacuteho naacuteboje

Vliv siloveacuteho působeniacute naacuteboje se tedy rovnoměrně rozložiacute po kuloveacute ploše daneacute

ekvipotenciaacutely

Obr 9 - Ekvipotenciaacutely v okoliacute nabiteacute kuloveacute čaacutestice a intenzita el pole Velikost intenzity

v bodě A a B je tataacutež EA = EB směr je vždy do středu kuloveacute plochy

19

Viacuteme že intenzita elektrickeacuteho pole Q

FE a platiacute Coulombův zaacutekon

2

21

04

1

r

QQF

r

1QQ a CQ 12

Intenzita elektrostatickeacuteho pole E v bodu A ve vzdaacutelenosti r od středu koule tedy bude

24 r

QE

kde 0 r

je konstanta zohledňujiacuteciacute vliv okolniacuteho nevodiveacuteho prostřediacute

Na jedneacute ekvipotenciaacutele bude stejnaacute velikost intenzity elektrostatickeacuteho pole E jejiacute směr však

bude v každeacutem bodu do středu koule

Vyskytuje-li se v prostoru viacutece naacutebojů vyacuteslednaacute intenzita pole bude daacutena vektorovyacutem

součtem intenzit poliacute vyvolanyacutech diacutelčiacutemi naacuteboji

Obr 10 - Vyacuteslednaacute intenzita elektrickeacuteho pole

35 Elektrickaacute indukce

Při přibliacuteženiacute tělesa 1 ktereacute je nabito zaacutepornyacutem naacutebojem k vodiveacutemu tělesu 2 v neutraacutelniacutem

stavu se porušiacute jeho elektrickaacute rovnovaacuteha ndash viz obr Elektrony v tělese 2 se odpuzujiacute a čaacutest

tělesa přivraacutecenaacute k tělesu 1 je tudiacutež nabitaacute kladně Po oddaacuteleniacute tělesa 1 od tělesa 2 se

elektrickaacute rovnovaacuteha tělesa 2 obnoviacute

Obr 11 - Elektrickaacute indukce

20

Pokud bychom těleso 1 neoddaacutelili od tělesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tělesa 2 do

země zůstane těleso 2 nabito kladnyacutem elektrickyacutem naacutebojem

Tento jev se nazyacutevaacute elektrickaacute indukce

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami A a B o ploše S1 nabityacutemi naacutebojem +Q1 a -Q1 je homogenniacute

pole Vložiacuteme-li do prostoru pole dvě navzaacutejem přileacutehajiacuteciacute vodiveacute destičky o ploše S2 podle

obr 12 a) a uvnitř pole je oddaacuteliacuteme ndash viz obr 12 b) a poteacute je z prostoru pole vyjmeme na

destičkaacutech bude indukovanyacute elektrickyacute naacuteboj jeho velikost bude Q2 kde

2

1

12 S

S

QQ

a) b)

Obr 12 - Elektrickaacute indukce ndash indukovanyacute naacuteboj

Pro podiacutel naacuteboje a plochy zavaacutediacuteme veličinu D - elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

Přiacuteklad 4

Jakaacute je hodnota el indukce ve vzdaacutelenosti 2 mm od středu maleacute vodiveacute kuličky nabiteacute el

naacutebojem 310-12

C

Řešeniacute

)(105974104

103

4)102(

103

4

214

6

12

23

12

2mC

r

Q

S

QD

Vztah mezi intenzitou elektrickeacuteho pole E a elektrickou indukciacute D

Elektrickaacute indukce je veličina zaacutevisejiacuteciacute na velikosti elektrickeacuteho naacuteboje a na ploše

neovlivňuje ji druh nevodiveacuteho prostřediacute Na rozdiacutel od elektrickeacute indukce je velikost intenzity

elektrickeacuteho pole zaacutevislaacute na prostřediacute ndash dielektriku Jejich vzaacutejemnyacute vztah je přiacutemo uacuteměrnyacute ndash

čiacutem je většiacute intenzita elektrickeacuteho pole tiacutem je většiacute elektrickaacute indukce

Napřiacuteklad pro kulovyacute naacuteboj platiacute

24 r

Q

S

QD

a

24 r

QE

21

Tedy

ED

kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickeacutem poli) 0 r

ED r 0

36 Elektrickeacute vlastnosti izolantů

361 Polarizace dielektrika

Mohou-li se volneacute elektricky nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu pohybovat nemůže uvnitř vodiče

vzniknout samostatneacute elektrickeacute pole Působeniacutem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole proteacutekaacute vodičem

elektrickyacute proud

U nevodičů ndash izolantů ndash jsou nabiteacute čaacutestice ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a nemohou se

vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Izolant umiacutestěnyacute v elektrickeacutem poli se

nazyacutevaacute dielektrikum (např sliacuteda sklo papiacuter)

Pokud je atom dielektrika umiacutestěn mimo elektrickeacute pole jsou naacuteboje jednotlivyacutech elektricky

nabityacutech čaacutestic uspořaacutedaacuteny symetricky Vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole dochaacuteziacute k posunu

čaacutestic v atomech ndash vznikajiacute tzv dipoacutely

9 a) 9 b)

Obr 13 - Atom vodiacuteku a) v neutraacutelniacutem stavu b) polarizovanyacute (dipoacutel)

Atomy nebo molekuly ze kteryacutech se izolant sklaacutedaacute se vlivem vnějšiacuteho elektrickeacuteho pole

polarizujiacute Tiacutem se v materiaacutelu vytvořiacute vnitřniacute elektrickeacute pole působiacuteciacute proti původniacutemu

vnějšiacutemu elektrickeacutemu poli ktereacute polarizaci dielektrika způsobilo Tiacutem je celkoveacute elektrickeacute

pole (daneacute součtem vnějšiacuteho pole a vnitřniacuteho pole polarizovaneacuteho dielektrika) menšiacute než

původniacute pole To je takeacute důvodem proč r je vždy většiacute než 1 (r =1 pouze pro vakuum)

9 a) 9 b)

Obr 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitřniacute elektrickeacute pole dielektrika b)

22

362 Elektrickaacute pevnost dielektrika

Jak již bylo uvedeno nabiteacute čaacutestice izolantu jsou ve struktuře materiaacutelu pevně vaacutezaacuteny a

nemohou se vlivem elektrickeacuteho pole pohybovat ndash proud neproteacutekaacute Ale překročiacute-li intenzita

elektrickeacuteho pole určitou hodnotu siacutela elektrickeacute pole působiacuteciacute na nabiteacute čaacutestice v materiaacutelu

je většiacute než siacutela vazby v atomu a pak dojde k porušeniacute vazby a dochaacuteziacute k tzv průrazu izolantu

- proud začne izolantem proteacutekat

Hodnota takoveacute intenzity se nazyacutevaacute elektrickaacute pevnost dielektrika Elektrickaacute pevnost izolantů

se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Tabulka elektrickyacutech vlastnostiacute některyacutech izolantů

Materiaacutel r Ep (kVmm)

vzduch 10006 2 až 3

mineraacutelniacute olej 22 až 24 20 až 30

parafiacuten 19 až 22 20 až 30

kondenzaacutetorovyacute papiacuter 2 až 5 30 až 58

kabelovyacute papiacuter 25 až 4 7 až 10

polyelyleacuten 22 až 23 45 až 60

sliacuteda 6 až 7 40 až 80

sklo 35 až 4 20 až 50

porcelaacuten 55 až 65 20 až 45

37 Kondenzaacutetor

Kondenzaacutetor je pasivniacute elektronickaacute součaacutestka sloužiacuteciacute k nahromaděniacute a uchovaacuteniacute

elektrickeacuteho naacuteboje je tvořenaacute dvěma vodivyacutemi deskami (elektrodami) mezi nimiž je

dielektrikum

Pokud na desky připojiacuteme elektrickeacute napětiacute na deskaacutech se nahromadiacute elektrickeacute naacuteboje

opačnyacutech polarit

Obr 15 - Kondenzaacutetor

Mezi dvěma vodivyacutemi deskami vzaacutejemně oddělenyacutemi dielektrikem vznikne po připojeniacute

napětiacute U homogenniacute elektrostatickeacute pole Na deskaacutech kondenzaacutetoru se nahromadiacute elektrickyacute

naacuteboj + Q a -Q Tento naacuteboj je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute připojeneacute napětiacute

Platiacute tedy

UkonstQ

23

Konstanta platiacute pro danyacute kondenzaacutetor nazyacutevaacute se kapacita kondenzaacutetoru a označuje se C

UCQ

Jednotkou kapacity je farad (F) U

QC a tedy rozměr jednotky farad je (

V

C

U

QF )

Jednotka farad (F) je velkaacute běžně se kapacita kondenzaacutetorů měřiacute v F nF a pF

Schematickaacute značka kondenzaacutetoru je

Obr 16 ndash Značka kondenzaacutetoru

Velikost kapacity C je zaacutevislaacute na ploše desek S jejich vzdaacutelenosti l a materiaacutelu dielektrika

Viacuteme že platiacute

S

QD ED r 0

l

UE

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

l

S

lE

SE

lE

SD

U

QC r

r

0

0

Kapacita kondenzaacutetoru C je přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti desek na nepřiacutemo uacuteměrnaacute jejich

vzdaacutelenosti Kapacita se zvyacutešiacute i použitiacutem vhodneacuteho dielektrika o velkeacute relativniacute permitivitě r

Přiacuteklad 5

Jakaacute je velikost naacuteboje na deskoveacutem kondenzaacutetoru ve svitkoveacutem uspořaacutedaacuteniacute je-li rozměr

elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je použit kondenzaacutetorovyacute papiacuter o tloušťce 01 mm

a r = 4 Napětiacute připojeneacute ke kondenzaacutetoru je 24 V

Řešeniacute

UCQ

l

SC r 0 kde 322 1041020102 S (m

2)

)(4171)(014171

)(1014171601088541010

1044108854

9-

12-12-

3

312-

0

nFF

Fl

SC r

38 Spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Kondenzaacutetory je možno spojovat paralelně (vedle sebe) nebo seacuteriově (za sebou)

24

381 Paralelniacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema paralelniacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 17 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 17 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

1a) 1b)

Obr 17 - Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 1a) je patrneacute že napětiacute na všech kondenzaacutetorech je totožneacute a je rovno U

Celkovyacute naacuteboj na paralelniacutem spojeniacute kondenzaacutetorů podle obr 1a) je

321 QQQQ

Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ

Po dosazeniacute

)( 321321 CCCUCUCUCUQ

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor - viz 1b) ndash platiacute

CUQ

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

)( 321 CCCUCU

321 CCCC

Při paralelniacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se vyacuteslednaacute kapacita zapojeniacute rovnaacute součtu kapacit

jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet seacuteriově spojenyacutech kondenzaacutetorů

382 Seacuterioveacute spojovaacuteniacute kondenzaacutetorů

Scheacutema seacuterioveacuteho spojeniacute třiacute kondenzaacutetorů je na obr 18 a)

Chceme-li určit vyacuteslednou kapacitu daneacuteho zapojeniacute nahradiacuteme spojeniacute všech 3

kondenzaacutetorů jedinyacutem kondenzaacutetorem ndash viz obr 18 b) jehož působeniacute bude stejneacute jako

působeniacute všech třiacute propojenyacutech kondenzaacutetorů to znamenaacute že připojiacuteme-li k naacutehradniacutemu

kondenzaacutetoru stejneacute napětiacute musiacute se na něm objevit stejnyacute naacuteboj jako na původniacutem zapojeniacute

25

1a) 1b)

Obr 18 - Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

Z obr 18 a) je patrneacute že se naacuteboje mezi vnitrniacutemi deskami jednotlivyacutech kondenzaacutetorů ktereacute

jsou spojeny vodičem vyrovnaacutevajiacute Naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou tedy

všechny stejneacute a i vyacuteslednyacute naacuteboj je stejnyacute jako naacuteboje na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

QQQQ 321

Celkoveacute napětiacute je daacuteno součtem napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech

321 UUUU

Napětiacute na jednotlivyacutech kondenzaacutetorech jsou

1

1C

QU

2

2C

QU

3

3C

QU

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vyacuteraz

)111

(321321

321CCC

QC

Q

C

Q

C

QUUUU

Pro naacutehradniacute kondenzaacutetor ndash viz 18 b) ndash platiacute

C

QU

Protože se při naacutehradě musiacute při stejneacutem napětiacute na naacutehradniacutem kondenzaacutetoru nahromadit stejnyacute

naacuteboj jako v původniacutem obvodu musiacute byacutet

321

1111

CCCC

Při seacuterioveacutem zapojeniacute kondenzaacutetorů se převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacute kapacity zapojeniacute rovnaacute

součtu převraacutecenyacutech hodnot kapacit jednotlivyacutech kondenzaacutetorů

Tato naacutehrada platiacute pro libovolnyacute počet paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 6

Maacuteme 4 kondenzaacutetory o stejnyacutech kapacitaacutech C = 1 F Tyto kondenzaacutetory jsou spojeny do

seacuterie Určete vyacuteslednou kapacitu tohoto zapojeniacute

26

Řešeniacute

CCCCCCvyacutesl

411111 250

4

1

4

CCvyacutesl F

Obecně platiacute že spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute

kapacita takoveacuteho spojeniacute je Cn

Přiacuteklad 7

Jakaacute je celkovaacute kapacita a celkovyacute el naacuteboj v obvodu podle obr 19 je-li napětiacute 24 V a

kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů jsou C1 = 1 F C2 = 05 F C3 = 12 F a C4 = C5=

200 nF

Obr 19 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Řešeniacute

Kondenzaacutetory C4 a C5 jsou zapojeny do seacuterie nahradiacuteme je kondenzaacutetorem

C45

5454

111

CCC z toho 100

200200

200200

54

5454

CC

CCC (nF) = 01F

Tiacutem jsme ziacuteskali naacutehradniacute zapojeniacute dle obr 20

Obr 20 - Naacutehradniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Nyniacute jsou všechny kondenzaacutetory zapojeny paralelně je tedy možno spočiacutetat

vyacuteslednou kapacitu C

82102150154321 CCCCC F

Vyacuteslednyacute elektrickyacute naacuteboj

66 10267241082 UCQ C

27

Přiacuteklad 8

Pro spraacutevnou funkci elektrickeacuteho obvodu je potřebnaacute kapacita CV = 25 F K dispozici maacuteme

libovolnyacute počet kondenzaacutetorů o kapacitě C = 1 F Navrhněte zapojeniacute kondenzaacutetorů tak aby

byl splněn danyacute požadavek

Řešeniacute

Viacuteme že kapacity paralelně spojenyacutech kondenzaacutetorů se sčiacutetajiacute a daacutele viacuteme že

spojiacuteme-li n kondenzaacutetorů o stejnyacutech kapacitaacutech C vyacuteslednaacute kapacita

takoveacuteho spojeniacute je Cn 25 lze psaacutet jako 1 + 1 + 05 a z toho plyne že

potřebneacute zapojeniacute je seacuterioparalelniacute podle obr 21

Obr 21 - Seacuterioparalelniacute zapojeniacute kondenzaacutetorů

Přiacuteklad 9

Kondenzaacutetor s kapacitou C1 = 4 F je nabityacute na napětiacute 24 V K němu paralelně připojiacuteme

kondenzaacutetor o kapacitě C = 2 F nabityacute na napětiacute 12 V Jakeacute je vyacutesledneacute napětiacute na

propojenyacutech kondenzaacutetorech

Řešeniacute

Naacuteboj na prvniacutem kondenzaacutetoru Q1 je

66

111 109610424 CUQ (C)

Naacuteboj na druheacutem kondenzaacutetoru Q2 je

66

222 102410212 CUQ (C)

Při paralelniacutem spojeniacute se naacuteboje sčiacutetajiacute tedy celkovyacute naacuteboj

666

21 1012010241096 QQQ (C)

Vyacuteslednaacute kapacita tohoto zapojeniacute je

62421 CCC (F)

Napětiacute na spojenyacutech kondenzaacutetorech je

20106

101206

6

C

QU (V)

28

39 Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V naacutesledujiacuteciacute kapitole platiacute že veličiny ktereacute jsou označeny malyacutemi piacutesmeny jsou okamžiteacute

hodnoty veličiny tj veličiny v konkreacutetniacutem okamžiku daneacuteho fyzikaacutelniacuteho děje Na rozdiacutel od

okamžityacutech hodnot se ustaacuteleneacute hodnoty veličiny ktereacute jsou s časem konstantniacute značiacute velkyacutemi

piacutesmeny

V ustaacuteleneacutem stavu je kondenzaacutetor o kapacitě C kteryacute je připojen k elektrickeacutemu napětiacute U

nabit naacutebojem Q = CU a napětiacute na něm se rovnaacute připojeneacutemu napětiacute Kondenzaacutetor potřebuje

určitou dobu t průchodu proudu aby se na jeho deskaacutech nahromadil el naacuteboj dtiQt

0

V okamžiku připojeniacute kondenzaacutetoru ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute

děj na kondenzaacutetoru

Obr 22 - Přechodovyacute jev na kondenzaacutetoru

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon U0 = uR + uC

Při připojeniacute zdroje napětiacute k obvodu s kondenzaacutetorem v čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S)

neniacute na kondenzaacutetoru žaacutednyacute naacuteboj tedy ani žaacutedneacute napětiacute

t0 = 0 uC = 0 uR = U0 ndash uc = U0 ndash 0 = U0 R

U

R

ui R 0

Proud v obvodu čase t0 je omezen jen odporem R Proud je v okamžiku připojeniacute napětiacute

maximaacutelniacute jak s postupem času roste napětiacute na kondenzaacutetoru proud klesaacute a rychlost nabiacutejeniacute

se zpomaluje

Proud nabiacutejiacute kondenzaacutetor až do okamžiku kdy Uc je rovno napětiacute zdroje Tehdy proud

přestaacutevaacute proteacutekat a nastaacutevaacute ustaacutelenyacute stav

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0

Průběh proudu a napětiacute je na obr 23

29

Obr 23 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na kondenzaacutetoru

Naacuterůst napětiacute uC se postupně zpomaluje proud klesaacute klesaacute i napětiacute na odporu uR Průběh je

daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na ose času hodnotu tzv časoveacute

konstanty

t

c eUu 10

kde

CR

310 Energie elektrostatickeacuteho pole

Nabijeme-li na kondenzaacutetor naacutebojem Q bude na něm napětiacute U

C

QU

Pokud na tento kondenzaacutetor chceme přiveacutest dalšiacute malyacute naacuteboj dQ musiacuteme vynaložit praacuteci dA

Platiacute Q

AU A = U Q tedy dA bude

dQC

QdQUdA

Celkovaacute energie kteraacute je potřebnaacute k nabitiacute kondenzaacutetoru na naacuteboj Q je daacutena součtem všech

diacutelčiacutech praciacute dA

Q

C dQC

QdAW

0

tento vyacutepočet se provaacutediacute pomociacute integraacutelniacuteho počtu a vyacutesledek je

C

QWC

2

2

Protože Q = C U je energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC nebo takeacute UQWC

2

1

Nabityacute kondenzaacutetor je zdrojem elektrickeacute energie Spojiacuteme-li elektrody nabiteacuteho

kondenzaacutetoru přes rezistor s odporem R začne rezistorem proteacutekat elektrickyacute proud kteryacute se

na rezistoru měniacute v tepelnou energii tedy energie elektrostatickeacuteho pole se měniacute v tepelnou

energii a kondenzaacutetor se vybiacutejiacute ndash viz obr 24

30

Obr 24 - Vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že Q = DS D = E a U = El Po dosazeniacute těchto vztahů platiacute

lSElESElESDUQWC 2

2

1

2

1

2

1

2

1

Z tohoto vyacuterazu je patrneacute že energie nabiteacuteho kondenzaacutetoru je uacuteměrnaacute ploše desek S a jejich

vzdaacutelenosti l tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenzaacutetoru Energie

nahromaděnaacute v jednotce objemu je

EDElS

lSE

V

Ww C

C

2

1

2

12

1

2

2

Protože D a E jsou veličiny ktereacute se vztahujiacute ke konkreacutetniacutemu miacutestu elektrostatickeacuteho pole

platiacute tento vztah pro libovolnyacute tvar pole

Přiacuteklad 10

Vzduchovyacute kondenzaacutetor maacute plochu desek 20 cm2 jejich vzdaacutelenost je 1 mm a napětiacute na

kondenzaacutetoru je 12 V Po odpojeniacute kondenzaacutetoru od zdroje posuneme desky do vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 15 mm Určete jak se změniacute napětiacute mezi deskami kondenzaacutetoru

Řešeniacute

Kapacita kondenzaacutetoru ve vyacutechoziacutem stavu

12-12-

3

412-

1

01 10177082108854101

10201108854

l

SC r F

Naacuteboj na kondenzaacutetoru

-12-12

11 10212496101770812 CUQ C

Kapacita kondenzaacutetoru po posunutiacute desek

12-12-

3

412-

2

02 10118053313331088541051

10201108854

l

SC r F

Napětiacute po posunutiacute desek

18101180533

1021249612-

-12

C

QU V

31

Přiacuteklad 11

Jak velkou energii ziacuteskaacuteme při uacuteplneacutem vybitiacute kondenzaacutetoru o kapacitě 5 mF je-li nabit na

napětiacute 230 V

Řešeniacute

1322500101322505290010522301052

1

2

1 66262 UCWC J

311 Složenaacute dielektrika

Složenaacute dielektrika je možneacute uspořaacutedat buď vedle sebe nebo za sebou

3111 Dielektrika vedle sebe

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 25

Obr 25 - Dielektrika vedle sebe

V obou dielektrikaacutech je stejnaacute intenzita elektrickeacuteho pole

l

UEEE 21

Elektrickaacute indukce bude v každeacutem dielektriku jinaacute a to

ED r 011 a ED r 022

Naacuteboje Q1 a Q2 budou

111 SDQ a 222 SDQ

Celkovyacute naacuteboj na deskaacutech bude

21 QQQ

Dosadiacuteme za Q1 a Q2

Ul

SU

l

SQ rr

2

202

1

101

32

Z vyacutesledku je patrneacute že toto uspořaacutedaacuteniacute dielektrik se chovaacute jako dva kondenzaacutetory o

kapacitaacutech 1

1011

l

SC r a

2

2022

l

SC r spojeneacute paralelně

Pozor elektrickaacute pevnost uspořaacutedaacuteniacute dielektrik vedle sebe maacute elektrickou pevnost danou

dielektrikem s menšiacute elektrickou pevnostiacute

3112 Dielektrika za sebou

Mějme dvě deskoveacute elektrody odděleneacute dvěma dielektriky s relativniacutemi permitivitami r1 a r2

podle obr 26 ndash tzv vrstveneacute dielektrikum

Obr 26 - Dielektrika za sebou

Naacuteboj i plocha jsou pro obě dielektrika stejneacute to znamenaacute že elektrickaacute indukce v obou

materiaacutelech je stejnaacute

S

QDDD 21

Intenzita elektrickeacuteho pole je pro prvniacute dielektrikum 10

1

r

DE

a pro druheacute

20

2

r

DE

Celkoveacute napětiacute mezi deskami

U = U1 + U2

kde

1

10

111 lD

lEUr

a 2

20

222 lD

lEUr

Pak po dosazeniacute

)(20

2

10

12

20

1

10

2

20

1

10 rrrrrr S

l

S

lQl

S

Ql

S

Ql

Dl

DU

Protože platiacute l

SC r 10 je

110

1 1

CS

l

r

a 220

2 1

CS

l

r

33

Tedy )11

(21 CC

QU a protože C

QU1 pak

převraacutecenaacute hodnota kapacity vrstveneacuteho dielektrika je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot

kapacit diacutelčiacutech dielektrik

21

111

CCC

Vrstveneacute dielektrikum se chovaacute jako dva paralelně spojeneacute kondenzaacutetory

Intenzita elektrickeacuteho pole v obou dielektrikaacutech je

10

1

r

DE

a

20

2

r

DE

Poměr intenzit elektrickeacuteho pole je

1

2

20

10

2

1

r

r

r

r

D

D

E

E

Intenzity elektrickeacuteho pole jsou tedy v opačneacutem poměru než relativniacute permitivity jednotlivyacutech

diacutelčiacutech dielektrik

Lze tedy psaacutet 2

1

21 EE

r

r

a dosazeniacutem ziacuteskaacuteme

1

2112221

1

222212

1

2221121 )(

r

rr

r

r

r

r llEllElElElElEUUU

Z toho

2112

12

ll

UE

rr

r

Pozor elektrickaacute pevnost každeacuteho jednotliveacuteho dielektrika musiacute byacutet většiacute než vypočtenaacute

intenzita tohoto dielektrika Ep gt E

Přiacuteklad 12

Mezi dvěma kovovyacutemi deskami je napětiacute 600 V Desky jsou navzaacutejem izolovaacuteny papiacuterem

tloušťky 02 mm a sliacutedou tloušťky 03 mm Vypočiacutetejte elektrickeacute namaacutehaacuteniacute jednotlivyacutech

dielektrik a zkontrolujte zda jejich elektrickaacute pevnost vyhovuje pro daneacute napětiacute

Materiaacutel r Ep (kVmm)

1 kondenzaacutetorovyacute papiacuter 4 40

2 sliacuteda 7 60

34

Řešeniacute

Intenzita elektrickeacuteho pole ve sliacutedě je

92307692141

2400

304207

4600

2112

12

ll

UE

rr

r

Vmm

161538592307694

72

1

21 EE

r

r

Vm

Obě hodnoty jsou menšiacute než je Ep propřiacuteslušnyacute materiaacutel elektrickaacute pevnost

vyhovuje

312 Kondenzaacutetory s nehomogenniacutem elektrickyacutem polem

Pro vyacutepočet nehomogenniacutech poliacute je nutnaacute znalost vyššiacute matematiky kteraacute neniacute obsahem učiva

středniacutech škol berte tedy některeacute daacutele uvedeneacute vztahy jako platnaacute fakta

3121 Dvě soustředneacute kuloveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi kulovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 27 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od středu kulovyacutech ploch je

24 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

24 r

QDE

Na celeacutem povrchu myšleneacute koule o poloměru r se středem ve středu kulovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 27 je

35

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi kulovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

kulovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

21

12

04 rr

rrQU

r

Obr 28 - Průběh napětiacute v dielektriku v prostoru mezi kulovyacutemi plochami

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

3122 Osamocenaacute koule

Pro osamocenou kouli uvažujeme vnějšiacute poloměr r2

Pak kapacita osamoceno koule je

10

12

210 44lim

2

rrr

rrC rr

r

Elektrickaacute indukce na povrchu koule je

2

14 r

Q

S

QD

Intenzita elektrickeacuteho pole na povrchu koule je

2

100 4 r

QDE

rr

kde UrUCQ r 104

Po dosazeniacute za Q dostaneme

1

2

10

10

2

100 4

4

4 r

U

r

Ur

r

QDE

r

r

rr

Elektrickeacute namaacutehaacuteniacute je tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute poloměr zaobleniacute elektrody u elektrod o velmi

maleacutem poloměru nebo u zašpičatělyacutech elektrod je velkeacute riziko překročeniacute dovoleneacute elektrickeacute

pevnosti izolantu

36

3123 Dvě soustředneacute vaacutelcoveacute plochy

Mezi dvěma soustřednyacutemi vaacutelcovyacutemi plochami je radiaacutelniacute elektrostatickeacute pole

Obr 29 - Elektrostatickeacute pole dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch

Elektrickaacute indukce ve vzdaacutelenosti r od osy vaacutelcovyacutech ploch je

lr

Q

S

QD

2

Intenzita elektrickeacuteho pole na tomto poloměru je

lr

QDE

2

Na celeacutem povrchu myšleneacuteho vaacutelce o poloměru r s osou v ose vaacutelcovyacutech ploch je stejnaacute

velikost vektoru D i E směr vektorů je vždy radiaacutelniacute

Napětiacute mezi dvěma body se vzaacutejemnou vzdaacutelenostiacute dr podle obr 29 je

drEdU kde E je intenzita pole v daneacutem miacutestě

Celkoveacute napětiacute mezi vaacutelcovyacutemi plochami je daacuteno součtem všech diacutelčiacutech napětiacute dU mezi

vaacutelcovyacutemi plochami (vypočiacutetaacute se pomociacute integraacutelniacuteho počtu)

1

2

0

ln2 r

r

lr

QU

r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

Přiacuteklad 13

Jakaacute je kapacita jednoho metru koaxiaacutelniacuteho kabelu Vodič maacute průměr 1 mm izolaciacute je

kabelovyacute papiacuter a plaacutešť kabelu maacute průměr 5 mm (r = 3)

37

Řešeniacute

12-12--12

1

2

0 101038136105log32

166894

50

52log32

131088542

log32

2

r

r

lC r F

C = 1038 pF

313 Elektrostatickeacute jevy v praxi

V praxi se vyskytujiacute objekty ktereacute majiacute znaky kondenzaacutetorů to znamenaacute dvě elektrody

odděleneacute dielektrikem Jednou elektrodou může byacutet napřiacuteklad kovovaacute čaacutest technologickeacuteho

zařiacutezeniacute kteraacute neniacute uzemněnaacute druhou elektrodou je země

Tyto bdquoprovozniacute kondenzaacutetoryldquo se nabiacutejejiacute naacuteboj na nich vznikaacute zpravidla třeniacutem Pokud naacuteboj

dosaacutehne určiteacute hodnoty může dojiacutet k proraženiacute dielektrika a přeskočiacute elektrickyacute vyacuteboj

kteryacutem se elektrickyacute naacuteboj vybije Takovaacute situace nastane napřiacuteklad v okamžiku kdy se osoba

oblečenaacute v oděvu z umělyacutech vlaacuteken po delšiacute době pohybu přibliacutežiacute rukou ke kovoveacutemu

uzemněneacutemu předmětu napřiacuteklad vodovodniacute baterii Při přibliacuteženiacute se zkraacutetiacute vzdaacutelenost

natolik že intenzita elektrickeacuteho pole překročiacute elektrickou pevnost vzduchu a dojde k průrazu

izolantu ndash přeskočiacute jiskra Tiacutem se nahromaděnyacute naacuteboj vybije

Tato situace samozřejmě neniacute nebezpečnaacute Ale jsou přiacutepady kdy nahromaděnyacute elektrickyacute

naacuteboj může způsobovat vaacutežneacute probleacutemy Pokud přeskočiacute jiskra v prostoraacutech s těkavyacutemi nebo

vyacutebušnyacutemi laacutetkami může dojiacutet k vyacutebuchu a důsledky mohou byacutet fataacutelniacute Mimo to způsobuje

elektrostatickeacute pole přitahovaacuteniacute přiacutepadně odpuzovaacuteniacute lehkyacutech objektů (napřiacuteklad papiacuter

vlaacuteknahellip) a tiacutem komplikuje vyacuterobniacute procesy Dalšiacutemi nežaacutedouciacutemi důsledky působeniacute

nahromaděneacuteho elektrickeacuteho naacuteboje jsou napřiacuteklad rušeniacute radiosignaacutelů rušeniacute elektronickyacutech

měřeniacute nebo chemickeacute rozrušovaacuteniacute některyacutech materiaacutelů

Omezovaacuteniacute nežaacutedouciacutech uacutečinků statickyacutech naacutebojů

Nežaacutedouciacute elektrickyacute naacuteboj je nutno co nejrychleji odveacutest do země To se realizuje

uzemněniacutem všech vodivyacutech čaacutestiacute technologickeacuteho zařiacutezeniacute Vodiveacute čaacutesti se pospojujiacute a

uzemniacute ndash stačiacute i velmi tenkyacute uzemňovaciacute vodič

Pro omezeniacute velikosti vznikleacuteho naacuteboje se takeacute využiacutevaacute polovodivyacutech podlah je-li to možneacute

omezujiacute se rychlosti pohybu dopravniacutekovyacutech paacutesů ktereacute jsou zdrojem třeniacute a vzniku naacuteboje

zvyšuje se vodivost okolniacuteho vzduchu zvětšeniacutem vlhkosti nebo ultrafialovyacutem zaacuteřeniacutem

Využitiacute elektrostatickeacuteho naacuteboje

Uacutečinků elektrostatickeacuteho pole se využiacutevaacute napřiacuteklad k čištěniacute plynů od drobnyacutech

mechanickyacutech nečistot kdy pevneacute nabiteacute čaacutestečky jsou přitahovaacuteny k opačně nabiteacute

elektrodě na niacutež se hromadiacute Na tomto principu pracujiacute napřiacuteklad odpopiacutelkovaciacute filtry

Na podobneacutem principu se provaacutediacute uacutespornějšiacute nanaacutešeniacute laků na předměty v lakovnaacutech střiacutekanyacute

objekt je nabit opačnyacutem naacutebojem než naacutedoba s nanaacutešenou barvou Barva je pak přitahovaacutena

k objektu a rozptyl při střiacutekaacuteniacute se omeziacute

38

4 Stejnosměrnyacute proud

Připojiacuteme-li vodič ke zdroji elektrickeacute energie na jehož svorkaacutech je elektrickeacute napětiacute U začne

vodičem proteacutekat elektrickyacute proud I

Směr proudu je dohodou stanoven od + k -

Elektrickyacute zdroj zajišťuje napětiacute na svyacutech svorkaacutech tak že udržuje trvalyacute přebytek zaacuteporneacuteho

naacuteboje ndash elektronů ndash na sveacutem zaacuteporneacutem poacutelu a na kladneacutem poacutelu jeho nedostatek (napřiacuteklad

akumulaacutetor dynamo solaacuterniacute člaacutenekhellip)

Obr 30 Vodič připojenyacute ke zdroji o napětiacute U

Elektrickyacute proud je pohyb elektrickeacuteho naacuteboje ve vodiči a je definovaacuten jako množstviacute

elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute projde průřezem vodiče za jednotku času

t

QI )( sCA

Jednotkou elektrickeacuteho proudu je ampeacuter (A)

Jednotkou elektrickeacuteho napětiacute je 1 volt (V) S jeho definiciacute jsme se seznaacutemili již při vyacutekladu

elektrostatickeacuteho pole Lze takeacute řiacutect že napětiacute o velikosti 1 volt je takoveacute napětiacute ktereacute vykonaacute

ve vodiči praacuteci 1joule projde-li vodičem množstviacute elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb

Pokud vodičem proteacutekaacute elektrickyacute proud vodič se zahřiacutevaacute a v jeho okoliacute vznikaacute

elektromagnetickeacute pole ktereacute se projevuje magnetickyacutemi uacutečinky v okoliacute vodiče

41 Proudovaacute hustota

Vlivem průchodu elektrickeacuteho proudu se vodič zahřiacutevaacute Teplo ktereacute se ve vodiči vyvine se

nazyacutevaacute Lenc-Jouleovo teplo Jeho čaacutest se odvede povrchem vodiče do okolniacuteho prostoru

Aby se vodič přiacuteliš nezahřiacuteval je nutneacute zajistit dostatečnyacute odvod tepla do okolniacuteho prostřediacute

Odvod tepla bude tiacutem většiacute čiacutem většiacute bude povrch vodiče tedy otepleniacute bude tiacutem nižšiacute čiacutem

bude průřez vodiče většiacute

V praxi se udaacutevaacute pro různeacute typy vodičů a jejich izolaciacute tzv proudovaacute hustota což je povolenyacute

proud na 1 mm2 průřezu vodiče pro danyacute typ vodiče Takoveacute zatiacuteženiacute nedovoliacute vodiči ohřaacutet se

na většiacute teplotu než jakaacute je povolena pro danyacute typ izolace a pro bezpečnost provozu

Proudovaacute hustota se značiacute J a je daacutena podiacutelem proudu a plochy průřezu vodiče

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

39

42 Intenzita proudoveacuteho pole

Intenzita proudoveacuteho pole E je poměr napětiacute na vodiči k deacutelce l na ktereacute je napětiacute měřeno

l

UE )( 1 mAmV

43 Elektrickyacute odpor vodičů a Ohmův zaacutekon

Elektrickyacute proud v pevneacutem vodiči je usměrněnyacute pohyb volnyacutech elektronů Proud bude tiacutem

většiacute čiacutem bude většiacute urychlovaacuteniacute elektronů tedy siacutela působiacuteciacute na elektrony a tato siacutela je

přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute

Elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu vodiče a na různeacute nečistoty

obsaženeacute v materiaacutelu Tiacutem se jejich pohyb brzdiacute a tudiacutež musiacute byacutet znovu urychlovaacuteny Řiacutekaacuteme

že vodič klade elektrickeacutemu proudu odpor

Odpor vodiče je zaacutevislyacute na materiaacutelu ze ktereacuteho je vodič vyroben a na rozměrech vodiče

Připojiacuteme-li k vodiči elektrickeacute napětiacute jehož velikost měniacuteme a měřiacuteme velikost proudu

zjistiacuteme že proud je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti připojeneacuteho napětiacute

Obr 31 - Přiacutemaacute uacuteměrnost proudu a napětiacute

Pozn Proud se měřiacute ampeacutermetrem Ampeacutermetr se zapojuje vždy do seacuterie se spotřebičem

jehož proud měřiacuteme ndash pak proud spotřebičem je stejnyacute jako proud ampeacutermetru Napětiacute

měřiacuteme voltmetrem kteryacute se zapojuje paralelně se spotřebičem na ktereacutem měřiacuteme

napětiacute ndash pak napětiacute na spotřebiči je stejneacute jako napětiacute na voltmetru

Vztah pro přiacutemou uacuteměrnost lze zapsat jako

UkonstI

kde konstantu označujeme G ndash vodivost tedy

UGI jednotkou vodivosti G je siemens ndash označeniacute S - (SAV-1

)

Častěji než vodivost G se použiacutevaacute veličina elektrickaacute odpor ndash R Je to převraacutecenaacute hodnota G

40

GR

1 jednotkou odporu R je ohm ndash označeniacute - (VA

-1)

Pak lze psaacutet

R

UI

Čiacutem je většiacute napětiacute U tiacutem je většiacute proud I a čiacutem je většiacute odpor R tiacutem je menšiacute proud I

Tento vztah se nazyacutevaacute Ohmův zaacutekon

Rezistory

Rezistory jsou pasivniacute elektrotechnickeacute součaacutestky jejichž zaacutekladniacute vlastnostiacute je elektrickyacute

odpor R

Obr 32 ndash Schematickaacute značka rezistoru

Přiacuteklad 14

Určete odpor žaacuterovky odebiacuteraacute-li ze siacutetě o napětiacute 230 V proud 05 A

Řešeniacute

46050

230

I

UR ()

431 Velikost elektrickeacuteho odporu

Jak již bylo uvedeno odpor vodiče je zaacutevislyacute na rozměrech vodiče a na materiaacutelu ze ktereacuteho

je vodič vyroben

Vzhledem k tomu že elektrony ve sveacutem pohybu naraacutežejiacute na iontovou mřiacutežku materiaacutelu

vodiče a na různeacute přiacuteměsi a nečistoty je patrneacute že čiacutem bude deacutelka vodiče většiacute tiacutem bude většiacute

i počet koliziacute elektronů s překaacutežkami a tiacutem bude většiacute odpor vodiče

Naopak čiacutem bude průřez vodiče většiacute tiacutem většiacute bude počet volnyacutech elektronů na průřezu

vodiče a tiacutem bude odpor menšiacute

Počet volnyacutech elektronů a struktura mřiacutežky jsou specifickeacute pro různeacute materiaacutely

Odpor vodiče tedy lze vyjaacutedřit vztahem

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

kde l je deacutelka vodiče

S je průřez vodiče

je konstanta platnaacute pro konkreacutetniacute materiaacutel vodiče a nazyacutevaacute se rezistivita materiaacutelu Je

to odpor vodiče z tohoto materiaacutelu o deacutelce 1 m a průřezu 1 mm2

při teplotě 20oC

41

Rezistivita se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se v tabulkaacutech

Rezistivita některyacutech materiaacutelů

Materiaacutel mm2m

-1

Měď 00178

Hliniacutek 00285

Střiacutebro 00163

Ocel 013

Konstantan 05

Chromnikl 11

Cekas 11

Součaacutestky jejichž charakteristickou veličinou je elektrickyacute odpor nazyacutevaacuteme rezistory

Materiaacutely měď hliniacutek a střiacutebro jsou vyacuteborneacute vodiče Cu a Al jsou nejpoužiacutevanějšiacute materiaacutely

pro vyacuterobu vodičů

Materiaacutely konstantan chromnikl a cekas jsou odporoveacute materiaacutely použiacutevaneacute pro vyacuterobu

rezistorů

Přiacuteklad 15

Určete odpor měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 1 mm a deacutelce 150 m

Řešeniacute

S

lR () kde 0785)50( 22 rS mm

2

430785

15000178

S

lR ()

Přiacuteklad 16

Určete deacutelku měděneacuteho vodiče o kruhoveacutem průřezu s průměrem 2 mm je-li jeho odpor 3

Řešeniacute

S

lR () z toho plyne

SRl

143)1( 22 rS mm2

52901780

1433

SRl (m)

432 Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě

S rostouciacute teplotou se zvětšuje kmitaacuteniacute pevneacute iontoveacute mřiacutežky kovoveacuteho materiaacutelu Volneacute

elektrony realizujiacuteciacute elektrickyacute proud jsou tiacutem vystaveny většiacute pravděpodobnosti sraacutežky

s mřiacutežkou čiacutemž se jejich tok zpomaliacute ndash odpor vodiče vzroste

42

Odpor vodiče tedy se vzrůstajiacuteciacute teplotou roste a to lineaacuterně v širokeacutem paacutesmu teplot Při

zahřaacutetiacute vodiče o 1o

C se odpor vodiče o velikosti 1 změniacute praacutevě o hodnotu konstanta se

nazyacutevaacute teplotniacute součinitel odporu a je daacutena druhem materiaacutelu vodiče a uvaacutediacute se v tabulkaacutech -

(1oK)

Pokud se teplota vodiče zvyacutešiacute z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 bude přiacuterůstek

odporu R = R2 - R1 miacutet velikost

1RR

Odpor vodiče po zahřaacutetiacute tedy bude

1112 RRRRR

Tedy

)1(12 RR

Teplotniacute součinitel odporu se pro konkreacutetniacute materiaacutely ziacuteskaacutevaacute měřeniacutem a uvaacutediacute se

v tabulkaacutech

Teplotniacute součinitel odporu pro některeacute materiaacutely

Materiaacutel Teplotniacute součinitel odporu

(K-1

)

Měď 00042

Hliniacutek 0004

Střiacutebro 0004

Ocel 0006

Konstantan 210-6

Chromnikl 2510-4

Cekas 710-5

Přiacuteklad 17

Měděnyacute vodič o teplotě 20o

C je připojen na napětiacute 24 V a proteacutekaacute jiacutem proud 20 A

Určete odpor tohoto vodiče při provozniacute teplotě 60o C

Řešeniacute

Při teplotě 20o C maacute vodič odpor R1

2120

241

I

UR ()

Přiacuterůstek teploty je

)(40206012 Co

Odpor při teplotě 60o C

)(40161)40004201(21)1(12 RR

43

Přiacuteklad 18

Teplota venkovniacuteho měděneacuteho vedeniacute se v průběhu roku měniacute v rozsahu od -25o

C do +40o C

Kolikraacutet bude odpor při maximaacutelniacute teplotě většiacute než odpor při minimaacutelniacute teplotě

Řešeniacute

Teplotniacute rozdiacutel )(65)25(4012 Co

Odpor při -25o

C R1

Odpor při -25o

C 1112 2731)65004201()1( RRRR

Odpor bude praacutevě 1273 x většiacute

44 Praacutece a vyacutekon stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu

Protože napětiacute je vlastně praacutece při průchodu elektrickeacuteho naacuteboje 1 coulomb průřezem vodiče

je tedy praacutece vykonanaacute průchodem elektrickeacuteho naacuteboje Q

UQA (J V C)

Protože proud je t

QI lze dosadit

tIUUQA (J V A s)

Elektrickaacute praacutece kterou vykonaacute stejnosměrnyacute proud při sveacutem průtoku mezi dvěma miacutesty

elektrickeacuteho obvodu je tedy daacutena součinem napětiacute mezi těmito miacutesty s proteacutekajiacuteciacutem proudem

a s časem po kteryacute tento proud proteacutekaacute

Protože platiacute Ohmův zaacutekon R

UI a zaacuteroveň tIUA dostaneme dosazeniacutem vztah

tR

Ut

R

UUtIUA

2

nebo tIRtIRItIUA 2

Tato praacutece se ve vodiči měniacute v tepelnou energii ndash teplo - W = A

V praxi bylo zjištěno že prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vodič se ohřiacutevaacute Elektrickaacute

praacutece potřebnaacute k průchodu stejnosměrneacuteho elektrickeacuteho proudu vodičem se všechna měniacute

v teplo (tento fakt experimentaacutelně ověřili fyzikoveacute Lenc a Joule)

Teplo vznikleacute průtokem elektrickeacuteho proudu vodičem se nazyacutevaacute Joule-Lencovo teplo

Praacutece vykonanaacute za jednotku času je tzv vyacutekon P

IUt

tIU

t

AP

(W V A)

Jednotkou vyacutekonu je watt ndash označeniacute W (W=Js-1

)

Dosazeniacutem Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro vyacutekon

44

2IRIIRIUP nebo R

U

R

UUIUP

2

Přiacuteklad 19

Topnyacute rezistor o odporu R = 50 je připojen na napaacutejeciacute napětiacute 230 V po dobu 20 minut

Jakyacute je vyacutekon a jakaacute je energie odebranaacute ze siacutetě během zapnutiacute topneacuteho tělesa

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(6450

230A

R

UI

Vyacutekon )(105864230 WIUP

Doba provozu t = 20 minut to je 20 60 = 1200 s

Odebranaacute energie 1269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW

Jednotka energie (praacutece) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi malaacute Proto se běžně

použiacutevaacute pro měřeniacute elektrickeacute praacutece jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt

hodina (kWh = 36001000 J =36 106 J)

Pokud je nějakyacute elektrickyacute spotřebič připojen ke zdroji elektrickeacuteho napětiacute neniacute veškeraacute

energie W1 odebranaacute ze siacutetě přeměněna na praacuteci odvedenou spotřebičem W2 existujiacute vždy

ztraacutety napřiacuteklad zahřiacutevaacuteniacute přiacutevodniacutech vodičů ndash čaacutest energie se měniacute v teplo Rozdiacutel mezi

vykonanou praciacute a přivedenou energiiacute nazyacutevaacuteme ztraacutety ndash WZ

Platiacute

ZWWW 12

Poměr mezi energiiacute využitou a přivedenou označujeme jako uacutečinnost

1

2

W

W a je to vždy čiacuteslo 1

Uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 W

W )( JJ

Protože přiacutekon je t

WP 1

1 a vyacutekon je t

WP 2

2 je možneacute vyjaacutedřit uacutečinnost

1001001001

2

1

2

1

2

P

P

tP

tP

W

W )( WW

45

Přiacuteklad 20

Rychlovarnaacute konvice vykazuje odpor R = 120 a je připojena na napaacutejeciacute napětiacute 220 V po

dobu 5 minut Jejiacute uacutečinnost je 80 Vypočtěte velikost tepelneacute energie předaneacute vodě

v konvici

Řešeniacute

Odebiacuteranyacute proud )(831120

220A

R

UI

Přiacutekon )(34038312201 WIUP

Vyacutekon )(323100

803403 12 WPP

45 Kirchhoffovy zaacutekony

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) a druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) jsou zaacutekladem

nutnyacutem pro řešeniacute elektrickyacutech obvodů

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod je tvořen jedinou smyčkou - obr 33 - a lze jej snadno vyřešit

pomociacute Ohmova zaacutekona

Je-li daacuteno napětiacute zdroje U a velikost

odporu zaacutetěže R pak proud I

I

UR

Obr 33 - Nerozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod obsahuje několik větviacute a uzlů Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod je

na obr 34

Obr 34 - Rozvětvenyacute elektrickyacute obvod

46

Miacutesto kde se vodič rozvětvuje (eventuaacutelně spojuje) se nazyacutevaacute uzel A B hellip uzly

Nerozvětvenaacute draacuteha mezi dvěma sousedniacutemi uzly se nazyacutevaacute větev obvodu

Smyčka je uzavřenaacute draacuteha v obvodu

Pro řešeniacute rozvětvenyacutech obvodů využiacutevaacuteme kromě Ohmova zaacutekona dva Kirchhoffovy

zaacutekony

451 Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute elektrickeacuteho naacuteboje

Elektrickyacute proud je daacuten množstviacutem elektrickeacuteho naacuteboje kteryacute prochaacuteziacute vodičem Naacuteboj se ve

vodiči nemůže hromadit ani ztraacutecet Z toho plyne že pokud se vodič rozvětviacute rozděliacute se i

elektrickyacute proud a pokud se vodič opět spojiacute sečte se i proud

Z toho vyplyacutevaacute že veškeryacute proud kteryacute do uzlu přiteče musiacute z něho zase odteacutect

54321 IIIII

Obr 35 - Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon

Pokud poklaacutedaacutem proudy do uzlu přiteacutekajiacuteciacute za kladneacute a proudy z uzlu odteacutekajiacuteciacute za zaacuteporneacute

lze psaacutet

01

n

k

kI

Celkovyacute součet všech proudů v jednom uzlu je roven nule

Přiacuteklad 21

Obr 36 - Proudy v uzlu

Určete velikost proudu I3 na obr 36 jsou-li

proudy I1 = 3 A I2= 5 A a I4 = 6 A

Řešeniacute

01

n

k

kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A

47

452 Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) je zaacutekon o zachovaacuteniacute energie Napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je praacutece na přeneseniacute naacuteboje z bodu A do bodu B Pokud je obvod tvořen

uzavřenou smyčkou vraciacuteme se do teacutehož bodu (A) a vyacuteslednaacute praacutece je nulovaacute

To znamenaacute že součet všech napětiacute v uzavřeneacute smyčce je roven nule

01

n

k

kU

Znameacutenka jednotlivyacutech napětiacute

+ hellip orientace napětiacute souhlasiacute se směrem

orientace smyčky

- hellip orientace napětiacute je proti směru

orientace smyčky

Tedy U1 + U2 ndash U = 0

Obr 37 - Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon je možneacute formulovat i takto Součet všech napětiacute na jednotlivyacutech

odporech v uzavřeneacute smyčce je roven součtu napětiacute všech zdrojů v teacuteto smyčce

Přiacuteklad 22

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 20 a R2 = 30 jsou-li napětiacute zdrojů Ua =

6 V a Ub = 4 V Obvod je zapojen podle obr 38

Obr 38 - Napětiacute ve smyčce

Řešeniacute

Podle druheacuteho Kirchhoffova zaacutekona 021 ab UUUU

021 ab UUIRIR

0643020 II

250 I

040I A

800402011 IRU V 210403022 IRU V

48

46 Spojovaacuteniacute rezistorů

Rezistory je možno spojovat do seacuterie nebo paralelně

461 Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 39

Obr 39 - Seacuterioveacute zapojeniacute rezistorů

Na zaacutekladě 2 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

021 UUU

Dosazeniacutem podle Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

I

URR

URRI

URIRI

21

21

21

)(

0

Vyacuteraz I

Uje velikost odporu kteryacutem je možno nahradit oba odpory R1 a R2 spojeneacute do seacuterie

aniž by se změnily proudoveacute a napěťoveacute poměry v obvodu Vyacuteslednaacute hodnota odporu je

rovna součtu hodnot jednotlivyacutech odporů zapojenyacutech do seacuterie

21 RRRV

Obr 40 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů Dostaneme vyacuteraz

niV RRRRR 21

Vyacuteslednaacute hodnota odporu n seacuteriově zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu hodnot odporů

jednotlivyacutech rezistorů zapojenyacutech do seacuterie

49

462 Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Je znaacutezorněno na obr 41

Obr 41 - Paralelniacute zapojeniacute rezistorů

Podle 1 Kirchhoffova zaacutekona v tomto obvodu platiacute

21 III

Podle 2 Kirchhoffova zaacutekona je na obou rezistorech stejneacute napětiacute U Dosazeniacutem podle

Ohmova zaacutekona ziacuteskaacuteme

)11

(2121

21RR

UR

U

R

UIII

21

11

RRU

I kde

VRU

I 1

Z toho plyne že pro vyacuteslednyacute odpor paralelniacuteho spojeniacute dvou rezistorů RV platiacute

21

111

RRRV

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu dvou paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

Obr 42 - Adekvaacutetniacute naacutehrada seacuteriově zapojenyacutech rezistorů

Obdobnyacutem způsobem lze odvodit vztah pro n paralelně zapojenyacutech rezistorů Dostaneme

vyacuteraz

niV RRRRR

1

1

111

21

Převraacutecenaacute hodnota vyacutesledneacuteho odporu n paralelně zapojenyacutech rezistorů je rovna součtu

převraacutecenyacutech hodnot odporů jednotlivyacutech rezistorů

50

Přiacuteklad 23

Určete proud v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 a R2 = 400 je-li napětiacute zdroje U =

12 V Obvod je zapojen podle obr 43

Obr 43 - Elektrickyacute obvod seacuteriovyacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu je 50040010021 RRRV

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

0240500

12

Napětiacute na jednotlivyacutech odporech je

42024010011 IRU V 69024040022 IRU V

Přiacuteklad 24

Určete proudy v obvodu a napětiacute na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li

napětiacute zdroje U = 220 V Obvod je zapojen podle obr 44

Obr 44 - Elektrickyacute obvod paralelniacute

Řešeniacute

Vyacuteslednyacute odpor v obvodu určiacuteme ze součtu převraacutecenyacutech hodnot jednotlivyacutech

odporů

14577

400

400

7

400

214

200

1

400

1

100

11111

321

V

V

R

RRRR

51

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje je AR

UI

V

8531457

220

Napětiacute na všech jednotlivyacutech odporech je stejneacute U = 220 V

Proudy v jednotlivyacutech větviacutech jsou AR

UI 22

100

220

1

1

AR

UI 550

400

220

2

2 AR

UI 11

200

220

3

3

Pro ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtu můžeme použiacutet 1 Kirchhoffův zaacutekon Musiacute platit

321 IIII

AI 853 AIII 8531155022321

což potvrzuje spraacutevnost vyacutepočtu

47 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s jedniacutem zdrojem

471 Obvody se seacuterioparalelniacutem zapojeniacutem rezistorů

Obvody ve kteryacutech je viacutece rezistorů z nichž některeacute jsou zapojeny do seacuterie a jineacute paralelně

řešiacuteme postupnyacutem zjednodušovaacuteniacutem tak dlouho až dospějeme k jedineacutemu vyacutesledneacutemu

odporu ndash to je celkovyacute odpor daneacuteho seskupeniacute rezistorů Aplikaciacute Ohmova zaacutekona určiacuteme

celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

Postupnyacutem převaacuteděniacutem zjednodušeneacuteho obvodu na původniacute topografii zapojeniacute rezistorů

určiacuteme pomociacute Ohmova zaacutekona a Kirchhoffovyacutech zaacutekonů proudy v jednotlivyacutech větviacutech a

napětiacute na jednotlivyacutech prvciacutech obvodu

Postup řešeniacute nejleacutepe vysvětliacuteme na typickyacutech řešenyacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 25

Určete proud odebiacuteranyacute ze zdroje napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech R1 R2 a R3 a proudy

ve větviacutech pro obvod zapojenyacute podle obraacutezku 45

Obr 45 - Scheacutema zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 25

52

Řešeniacute

Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R23 platiacute pro jeho odpor

2132

111

RRR

tedy odpor 32

3232

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 46 - Zjednodušeneacute scheacutema

Zde jsou rezistory R1 a R23 zapojeny seacuteriově takže jejich vyacuteslednyacute odpor

R123 = R1 + R23

Naacutehradniacute obvod pak je

Obr 47 - Vyacuteslednyacute odpor kombinace rezistorů

Proud I1 odebiacuteranyacute ze zdroje je 321

1R

UI

Obvod opět převedeme na původniacute zapojeniacute a postupně počiacutetaacuteme napětiacute na

jednotlivyacutech rezistorech a proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu

Obr 48 - Původniacute zapojeniacute rezistorů pro vyacutepočet jednotlivyacutech napětiacute a proudů

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme IRU 11

53

Aplikaciacute 2 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 1UUUAB

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pozn Podobneacute přiacuteklady majiacute viacutece spraacutevnyacutech možnostiacute řešeniacute pro jednotlivaacute napětiacute a proudy

Tento přiacuteklad vyřešiacuteme (se stejnyacutemi ndash spraacutevnyacutemi ndash vyacutesledky) teacutež tiacutemto postupem

Zjednodušeniacute obvodu je stejneacute i vyacutepočet celkoveacuteho proudu I1 a napětiacute U1

Dalšiacute postup může byacutet naacutesledujiacuteciacute

Aplikaciacute Ohmova zaacutekona dostaneme 321 RIU AB

2

2R

UI AB

Aplikaciacute 1 Kirchhoffova zaacutekona dostaneme 213 III

Vyacutesledky budou pro oba postupy totožneacute

Přiacuteklad 26

Vypočtěte proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu zapojeneacuteho podle obraacutezku 49

Obr 49 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26

Řešeniacute

Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paralelně takže nahradiacuteme-li je jedinyacutem

rezistorem R45 platiacute pro jeho odpor

5445

111

RRR

tedy odpor 54

5445

RR

RRR

1

54

Ziacuteskaacuteme zjednodušeneacute zapojeniacute

Obr 50 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash prvniacute zjednodušeniacute

Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do seacuterie ndash lze tedy určit

R345= R3 + R45

Dostaneme dalšiacute zjednodušeneacute scheacutema

Obr 51 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash druheacute zjednodušeniacute

Rezistory R2 a R345 spojeneacute paralelně nahradiacuteme rezistorem R2345 jehož velikost je

daacutena vztahem

3452

34522345

RR

RRR

Ziacuteskaacuteme naacutehradniacute obvod

Obr 52 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash třetiacute zjednodušeniacute

55

Odpory R1 a R2345 jsou spojeny seacuteriově vyacuteslednyacute celkovyacute naacutehradniacute odpor pro

tento obvod je

R12345= R1 + R2345

což je celkovyacute odpor původniacuteho zadaneacuteho obvodu - Rc

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje

12345

1R

U

R

UI

C

Napětiacute U1 na rezistoru R1

111 IRU

Napětiacute UAC mezi uzly A a C je

12345 IRU AC

Vypočteme proudy I2 a I3

2

2R

UI AC

345

3R

UI AC

Pomociacute proudu I3 vypočteme napětiacute na rezistoru R3

333 IRU

Nyniacute vypočteme napětiacute mezi uzly B a C

54 UUUBC

345 IRUBC

Z napětiacute UBC vypočteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5

4

4R

UI BC

5

5R

UI BC

Obvod je kompletně vyřešen

Pozn Pro kontrolu spraacutevnosti je možneacute ověřit proudy v uzlech a napětiacute ve

smyčkaacutech pomociacute Kirchhofovyacutech zaacutekonů

56

Obr 53 - Schema zapojeniacute pro přiacuteklad 26 ndash ověřeniacute spraacutevnosti vyacutepočtů

Pro uzel A musiacute platit podle I Kirchhofova zaacutekona

0321 III

Pro uzel B musiacute platit

0543 III

Pro uzel C

01542 IIII

Pro smyčku x platiacute podle II Kirchhofova zaacutekona

021 UUU

Pro smyčku y platiacute

0243 UUU

Splněniacute těchto podmiacutenek potvrdilo spraacutevnost vyacutesledků

472 Transfigurace

V některyacutech obvodech se může vyskytnout takovaacute topografie zapojeniacute v niacutež rezistory nejsou

zapojeny ani do seacuterie ani paralelně - viz obr 54 a tak tyto obvody nelze zjednodušit

postupnyacutem nahrazovaacuteniacutem paralelniacutech a seacuteriovyacutech uacuteseků jak bylo uvedeno v předchoziacutech

přiacutekladech

Obr 54 - Můstkoveacute zapojeniacute

57

Jednaacute se většinou o zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka ndash viz obr 55 a)

a) b)

Obr 55 - Zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka a do hvězdy

Zjednodušeniacute obvodu se v takoveacutem přiacutepadu provaacutediacute přeměnou ndash transfiguraciacute ndash trojuacutehelniacuteka

rezistorů na hvězdu rezistorů ndash viz obr 55 b) ndash tak aby vyacutesledneacute působeniacute hvězdy bylo stejneacute

jako působeniacute trojuacutehelniacuteka

Zjednodušeniacute obvodu se pak provaacutediacute podle obr 56

Obr 56 - Transfigurace trojuacutehelniacuteka na hvězdu

Po teacuteto uacutepravě se již jednaacute o seacuterioparalelniacute obvod a lze postupovat jako v předchoziacutech

přiacutekladech

Vztahy pro přepočet rezistorů trojuacutehelniacuteka na rezistory hvězdy vychaacuteziacute z požadavku že mezi

stejnyacutemi svorkami zapojeniacute musiacute byacutet v obou přiacutepadech stejnyacute odpor pak je naacutehrada spraacutevnaacute

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojuacutehelniacuteku platiacute

233112

23311212

)(

RRR

RRRRCelk

Pro celkovyacute odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojeniacute do hvězdy platiacute

201012 RRRCelk

Při splněniacute požadavku stejneacuteho odporu mezi tyacutemiž svorkami po naacutehradě platiacute

2010

233112

233112 )(RR

RRR

RRR

Stejně ziacuteskaacuteme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1

58

3020

233112

311223 )(RR

RRR

RRR

3010

233112

231231 )(RR

RRR

RRR

Z těchto třiacute rovnic lze vypočiacutetat odpory rezistorů R10 R20 a R30 v zapojeniacute do hvězdy pro

adekvaacutetniacute naacutehradu trojuacutehelniacuteka hvězdou

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

Obdobně lze vypočiacutetat odpory rezistorů R12 R23 a R31 v zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka pro

adekvaacutetniacute naacutehradu hvězdy trojuacutehelniacutekem

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Přiacuteklad 27

Určete vyacuteslednyacute odpor celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje a napětiacute na rezistoru R5 je-li

napaacutejeciacute napětiacute U = 6 V Velikosti odporů jednotlivyacutech rezistorů jsou R1 =20 R2 = 30

R3 =50 R4 =40 R5 =60 zapojeniacute rezistorů je na obr 57

Obr 57 - Zapojeniacute rezistorů pro přiacuteklad 27

Řešeniacute

Trojuacutehelniacutek tvořenyacute odpory R1 =20 R2 = 30 R3 =50 nahradiacuteme hvězdou a

daacutele zjednodušujeme podle obr 58

59

1 2

3 4 5

Obr 58 - Postupneacute zjednodušovaacuteniacute obvodu

Ze vztahů pro transfiguraci vypočteme odpory Ra Rb Rc

6100

600

503020

3020

321

21

RRR

RRRa

15100

1500

503020

5030

321

32

RRR

RRRb

10100

1000

503020

5020

321

31

RRR

RRRc

Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

50401044 RRR cc

Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

75601555 RRR bb

Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paralelně jejich vyacuteslednyacute odpor je

307550

7550

54

5454

bc

bcbc

RR

RRR

Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do seacuterie jejich vyacuteslednyacute odpor je

3630654 bcacelk RRR

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je

16706

1

36

6

celkR

UI A

60

Napětiacute na naacutehradniacutem rezistoru Rc4b5 je

56

1305454 IRU bcbc V

Proud naacutehradniacutem rezistorem Rb5 je

0667015

1

75

5

5

545

b

bcb

R

UI A

Napětiacute rezistoru R5 je

415

160555 bIRU V

48 Zdroje stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu

Zdroj stejnosměrneacuteho napětiacute a proudu je zařiacutezeniacute ktereacute je schopneacute trvale dodaacutevat do

elektrickeacuteho obvodu elektrickou energii

Napětiacute na vyacutestupniacutech svorkaacutech zdroje se nazyacutevaacute svorkoveacute napětiacute

U obvodů ktereacute jsme až doposud řešili jsme předpoklaacutedali že zdroj napětiacute je ideaacutelniacute tj jeho

svorkoveacute napětiacute je konstantniacute nezaacutevisleacute na zatiacuteženiacute zdroje a jeho hodnota je U0

481 Reaacutelnyacute zdroj napětiacute

Skutečneacute zdroje se vyznačujiacute tiacutem že s rostouciacutem odebiacuteranyacutem proudem svorkoveacute napětiacute

poněkud klesaacute Každyacute reaacutelnyacute zdroj totiž maacute určityacute takzvanyacute vnitřniacute odpor na ktereacutem se

vlivem odebiacuteraneacuteho proudu vytvořiacute uacutebytek napětiacute svorkoveacute napětiacute je tedy o tento uacutebytek

nižšiacute Reaacutelnyacute zdroj se chovaacute jako by byl seacuteriově složenyacute z ideaacutelniacuteho zdroje s konstantniacutem

napětiacutem U0 a z rezistoru Ri (kteryacute charakterizuje vnitřniacute odpor zdroje) U0 ndash napětiacute napraacutezdno

= napětiacute nezatiacuteženeacuteho zdroje (ke zdroji neniacute připojen žaacutednyacute spotřebič odebiacuteranyacute proud je tedy

nulovyacute)

Zapojiacuteme-li zdroj do obvodu je zatěžovaacuten proudem a na jeho svorkaacutech naměřiacuteme napětiacute Ult

U0 což je způsobeno uacutebytkem napětiacute na vnitřniacutem odporu zdroje Se zvětšujiacuteciacutem proudem se

zmenšuje svorkoveacute napětiacute zdroje

Obr 50 - Obecnaacute schematickaacute značka ideaacutelniacuteho zdroje napětiacute

61

Obr 60 - Reaacutelnyacute zdroj

Je-li ke zdroji připojen zatěžovaciacute rezistor o odporu R proteacutekaacute obvodem proud I

RR

UI

i 0

Svorkoveacute napětiacute zdroje při tomto zatiacuteženiacute je

iRIUU 0

Zaacutevislost svorkoveacuteho napětiacute na odebiacuteraneacutem proudu se nazyacutevaacute zatěžovaciacute charakteristika

zdroje Ze vztahu je patrneacute že se jednaacute o lineaacuterniacute zaacutevislost

Obr 61 - Zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Podle zatěžovaciacute charakteristiky děliacuteme zdroje na tvrdeacute a měkkeacute Vyacutehodou tvrdeacuteho zdroje je

malyacute pokles svorkoveacuteho napětiacute s rostouciacutem zatiacuteženiacutem zdroje což je daacuteno malyacutem vnitřniacutem

odporem zdroje Ri měkkyacute zdroj vykazuje značnyacute uacutebytek napětiacute protože maacute značně velkyacute

vnitřniacute odpor Ri

Propojiacuteme-li přiacutemo vyacutestupniacute svorky zdroje bude obvodem proteacutekat tzv proud nakraacutetko Ik

Obr 62 - Proud nakraacutetko

62

U tvrdyacutech zdrojů jsou proudy nakraacutetko velkeacute a mohou způsobit technickeacute probleacutemy přiacutepadně

zničeniacute zdroje u měkkyacutech zdrojů je proud nakraacutetko vyacuterazně nižšiacute než u tvrdyacutech zdrojů

měkkeacute zdroje jsou leacutepe zkratuodolneacute

Přiacuteklad 28

Určete proud nakraacutetko zdroje napětiacute je-li napětiacute napraacutezdno 6 V a svorkoveacute napětiacute při odběru

proudu 02 A je 58 V

Řešeniacute

Proud nakraacutetko bude

i

kR

UI 0

Svorkoveacute napětiacute U je

iRIUU 0

iR 20685

Odtud vypočiacutetaacuteme vnitřniacute odpor zdroje Ri

120

856

iR

Proud nakraacutetko tedy je

61

60 i

kR

UI A

482 Spojovaacuteniacute zdrojů napětiacute

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie

Spojovaacuteniacute zdrojů do seacuterie se použiacutevaacute pro ziacuteskaacuteniacute většiacuteho celkoveacuteho napětiacute Zdroje se propojujiacute

podle obr 63 a) ndash poacutel dalšiacuteho zdroje se propojiacute vždy na opačnyacute poacutel předchoziacuteho zdroje

Vyacutesledneacute napětiacute se rovnaacute součtu napětiacute všech jednotlivyacutech seacuteriově spojenyacutech zdrojů Celkovyacute

vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů se rovnaacute součtu všech vnitřniacutech odporů jednotlivyacutech

zdrojů

Napětiacute napraacutezdno seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 02010 UUU

Vnitřniacute odpor seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 iii RRR

Svorkoveacute napětiacute seacuteriově spojenyacutech zdrojů je 21 UUU

Aby byly všechny zdroje stejně vytiacuteženeacute je vhodneacute zapojovat do seacuterie zdroje o stejně velkeacutem

napětiacute napraacutezdno a o stejnyacutech vnitřniacutech odporech Pro n zdrojů v seacuterii pak platiacute

010 UnU 1UnU 1ii RnR

63

Protože zatěžovaciacute proud proteacutekaacute všemi seacuteriově spojenyacutemi zdroji je nutneacute sledovat zda jeho

hodnota nepřekročiacute jmenovitou hodnotu proudu jednotliveacuteho zdroje v takoveacutem přiacutepadě by

hrozilo poškozeniacute zdroje

a) b)

Obr 63 - Spojovaacuteniacute zdrojů a) do seacuterie a b) paralelně

Paralelniacute spojovaacuteniacute zdrojů

Paralelniacute spojeniacute zdrojů se použiacutevaacute pro možnost odběru většiacuteho jmenoviteacuteho proudu než je

jmenovityacute proud jednotliveacuteho zdroje Zdroje se propojujiacute podle obr 63 b) ndash propojiacute se

všechny kladneacute a všechny zaacuteporneacute poacutely zdrojů Celkovyacute proud kteryacute je možneacute odebiacuterat

z paralelně spojenyacutech zdrojů je daacuten součtem proudů odebiacuteranyacutech z jednotlivyacutech zdrojů

Pro spraacutevneacute využitiacute zdrojů je nutneacute aby všechny paralelně spojeneacute zdroje měly stejně velkeacute

napětiacute napraacutezdno a stejně velkeacute vnitřniacute odpory v opačneacutem přiacutepadě by mezi zdroji proteacutekaly

vyrovnaacutevaciacute proudy Musiacute tedy platit

02010 UUU a 21 iii RRR

Pak pro celkovyacute proud proteacutekajiacuteciacute zaacutetěžiacute platiacute

21 zZz III

Pro n paralelně spojenyacutech zdrojů pak platiacute

1zz InI nUUUU 002010 n

RR i

i1

Přiacuteklad 29

Mějme k dispozici libovolnyacute počet stejnosměrnyacutech zdrojů napětiacute o napětiacute napraacutezdno U0 = 15

V a vnitřniacutem odporu Ri = 2 Jmenovityacute proud zdroje je In = 005 A

Sestavte zdroj jehož napětiacute napraacutezdno bude 45 V a jmenovityacute proud bude 01 A

Určete proud nakraacutetko takto navrženeacuteho zdroje

64

Řešeniacute

Pro napětiacute napraacutezdno 45 V musiacute byacutet tři takoveacute zdroje v seacuterii pro jmenovityacute proud

01 A dva zdroje paralelně scheacutema zapojeniacute je na obr 64

Obr 64 - Seacuterioparalelniacute spojeniacute zdrojů

Celkovyacute vnitřniacute odpor bude

32

23

2

3 1

iiacute

RR

Proud nakraacutetko bude

513

5133 01

i

kR

UI A

49 Specifickeacute způsoby využitiacute rezistorů v praxi

Mimo nejběžnějšiacute využitiacute rezistorů jako topnyacutech těles a omezovačů proudu se rezistory

využiacutevajiacute i v některyacutech specifickyacutech přiacutepadech Nejčastějšiacute je využitiacute pro děliče napětiacute změny

rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů a měřeniacute teploty

491 Dělič napětiacute

Na obr 65 a) je nezatiacuteženyacute dělič napětiacute na obr 65 b) je zatiacuteženyacute dělič napětiacute

65

a) b)

Obr 65 - Dělič napětiacute

Pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

21 RR

UI

tedy U

RR

RR

RR

URIU

21

22

21

22

Pokud dělič napětiacute bude zatiacuteženyacute rezistorem s odporem Rz bude pro vyacutestupniacute napětiacute děliče U2

platit

z

z

RR

RRR

UI

2

21

a po dosazeniacute

URRRRRR

RR

RR

RR

RR

RRR

U

RR

RRIU

zz

z

z

z

z

zz

z

2121

2

2

2

2

21

2

22

Přiacuteklad 30

Dělič napětiacute realizujte posuvnyacutem rezistorem o odporu 1k- viz obr 66

Vypočiacutetejte a nakreslete graf zaacutevislosti vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce a) pro dělič

napraacutezdno b) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o odporu 500 a c) je-li dělič zatiacutežen rezistorem o

odporu 1500 Napaacutejeciacute napětiacute je 24 V

Řešeniacute

Obr 66 - Dělič napětiacute s posuvnyacutem rezistorem

R1 + R2 = 1000

tedy R1 = 1000 ndash R2

66

a) pro nezatiacuteženyacute dělič platiacute

241000

2

21

22

RU

RR

RU

b) pro zatiacuteženyacute dělič platiacute

24500500)1000()1000(

500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

c)

2415001500)1000()1000(

1500

2222

2

2121

22

RRRR

RU

RRRRRR

RRU

zz

z

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme tabulku a graf pro zaacutevislost vyacutestupniacuteho

napětiacute na poloze jezdce posuvneacuteho rezistoru pro nezatiacuteženyacute i zatiacuteženyacute dělič

Obr 67 - Zaacutevislost vyacutestupniacuteho napětiacute děliče na poloze jezdce pro různeacute zatěžovaciacute odpory

492 Změny rozsahů měřiacuteciacutech přiacutestrojů pomociacute rezistorů

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu ampeacutermetru dociacuteliacuteme paralelniacutem připojeniacutem rezistoru

k ampeacutermetru ndash viz obr 68 Tento rezistor se nazyacutevaacute bočniacutek

Obr 68 - Ampeacutermetr s připojenyacutem bočniacutekem

67

Měřenyacute proud bAm III a pro vzaacutejemnyacute poměr proudů v obou větviacutech platiacute

bbAA RIRI a tedy A

b

b

A

R

R

I

I

Měřenyacute proud se v uzlu rozděliacute do dvou větviacute ndash do ampeacutermetru a do bočniacuteku a to

v převraacuteceneacutem poměru vnitřniacuteho odporu ampeacutermetru a bočniacuteku

Je-li měřiciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě IA a proud kteryacute potřebujeme změřit bude n x většiacute

tedy Am InI pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost odporu bočniacuteku

A

b

Am

A

R

R

II

I

A

b

AA

A

R

R

IIn

I

)1(

n

RR A

b

Tiacutemto bočniacutekem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah ampeacutermetru praacutevě n-kraacutet

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru

Zvětšeniacute měřiciacuteho rozsahu voltmetru dociacuteliacuteme seacuteriovyacutem připojeniacutem rezistoru k voltmetru ndash

viz obr 69 Tento rezistor se nazyacutevaacute předřadnyacute rezistor

Obr 69 - Voltmetr s předřadnyacutem odporem

Napětiacute na předřadneacutem odporu a na voltmetru se děliacute ve stejneacutem poměru jako jsou odpory

předřadneacuteho rezistoru a voltmetru Celkoveacute měřeneacute napětiacute je rovno součtu napětiacute na

předřadneacutem odporu a na voltmetru

pVm UUU p

V

p

V

R

R

U

U

Je-li měřiciacute rozsah voltmetru praacutevě UV a napětiacute ktereacute potřebujeme změřit bude n x většiacute tedy

Vm UnU pak pro splněniacute předchoziacutech podmiacutenek platiacute pro velikost předřadneacuteho odporu

)1( nUUUnUUU VVVVmp a po dosazeniacute p

V

V

V

R

R

nU

U

)1(

Velikost předřadneacuteho odporu je tedy )1( nRR Vp

Tiacutemto předřadnyacutem odporem jsme zvětšili měřiacuteciacute rozsah voltmetru praacutevě n-kraacutet

Přiacuteklad 31

Navrhněte bočniacutek k miliampeacutermetru o rozsahu 10 mA s vnitřniacutem odporem 30 tak aby bylo

možneacute měřit proudy do velikosti 200 mA

68

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 2010

200n kraacutet

Odpor bočniacuteku bude 581)120(

30

)1(

n

RR A

b

Přiacuteklad 32

Navrhněte předřadnyacute odpor k voltmetru o rozsahu 120 V kteryacute maacute vnitřniacute odpor 5000 tak

aby bylo možneacute měřit napětiacute do velikosti 600 V

Řešeniacute

Rozsah potřebujeme zvětšit 5120

600n kraacutet

Odpor předřadneacuteho rezistoru bude 20000)15(5000)1( nRR Vp

493 Určeniacute velikosti odporu pomociacute měřeniacute napětiacute a proudu

V mnoha přiacutepadech je nutneacute přesně změřit velikost odporu rezistoru K tomu se často využiacutevaacute

měřeniacute napětiacute na rezistoru proudu rezistorem a aplikace Ohmova zaacutekona Často se použiacutevaacute

zapojeniacute podle scheacutematu na obr 70 ndash tzv Ohmovy metody měřeniacute odporu

Obr 70 - Měřeniacute odporu Ohmovou metodou

Napětiacute naměřeneacute voltmetrem je totožneacute s napětiacutem na neznaacutemeacutem odporu RX Proud IA

naměřenyacute ampeacutermetrem se v uzlu děliacute na proud rezistorem IX a proud voltmetrem IV kteryacute je

omezovaacuten vnitřniacutem odporem voltmetru RiV

Velikost odporu RX je

iV

VA

V

VA

V

x

xx

R

UI

U

II

U

I

UR

Přiacuteklad 33

69

Určete velikost neznaacutemeacuteho odporu je-li hodnota naměřenaacute na voltmetru 16 V proud

ampeacutermetrem je 20 mA a vnitřniacute odpor voltmetru je 5000 Scheacutema zapojeniacute podle obr 70

Řešeniacute 95201680

16

003200200

16

5000

16020

16

iV

VA

Vx

R

UI

UR

494 Určeniacute teploty pomociacute měřeniacute odporu rezistoru

Z předchoziacutech kapitol viacuteme že odpor vodičů je zaacutevislyacute na teplotě a to lineaacuterně v poměrně

širokeacutem paacutesmu teplot Tepelnaacute zaacutevislost odporu na teplotě je daacutena vztahem

)1(12 RR

kde R1 je počaacutetečniacute odpor a R2 je odpor po zahřaacutetiacute rezistoru o přiacuterůstek teploty

Rezistory s velkyacutem teplotniacutem součinitelem odporu jsou vhodneacute pro elektrickeacute měřeniacute

teploty

Pokud maacute rezistor při teplotě 20o C znaacutemyacute odpor R1 teplotu určiacuteme z naměřeneacute hodnoty

odporu zahřaacuteteacuteho rezistoru R2

)1(12 RR 11

2

R

R

11

2

R

R

1

12

R

RR

Měřenaacute teplota je tedy

1

12112

R

RR

Přiacuteklad 34

Určete teplotu teplotně zaacutevisleacuteho rezistoru o teplotniacutem součiniteli odporu

je-li

hodnota jeho odporu při 20o C rovna 200 Obvod je napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o

velikosti 6 V proud měřiacuteme miliampeacutermetrem s vnitřniacutem odporem 30 a naměřenyacute proud je

20 mA Scheacutema zapojeniacute podle obr 71

Obr 71 - Scheacutema zapojeniacute při měřeniacute teploty

Řešeniacute

Odpor při 20o C je R1 = 200

Odpor při o C je R2

70

27020

5400

20

1045

1020

1020306 3

3

3

2

A

AA

I

IRUR

Měřenaacute teplota je tedy

510780

7020

104200

20027020

3

1

1212

R

RR o C

410 Nelineaacuterniacute prvky v obvodech

Obvody se kteryacutemi jsme až dosud pracovali se sklaacutedaly z rezistorů ktereacute vykazovaly

v provozniacutech podmiacutenkaacutech vždy konstantniacute velikost odporu R Tyto obvody se nazyacutevaly

lineaacuterniacute obvody

V některyacutech obvodech se vyskytujiacute pasivniacute prvky jejichž charakteristika neniacute lineaacuterniacute ale

vykazuje zaacutevislost odporu na připojeneacutem napětiacute Tyto prvky nazyacutevaacuteme nelineaacuterniacute

Obr 72 - Obecneacute schematickeacute zobrazeniacute nelineaacuterniacuteho prvku

Přiacutekladem nelineaacuterniacuteho prvku je žaacuterovka při nižšiacutem připojeneacutem napětiacute se vlaacutekno nažhaviacute na

nižšiacute teplotu a odpor je tedy většiacute než při jmenoviteacutem napětiacute kdy je vlaacutekno viacutece nažhaveneacute a

odpor je tedy vyššiacute

Na obr 73 je a) je pracovniacute charakteristika rezistoru RL velikost odporu RL je konstantniacute a

pracovniacute charakteristika je přiacutemkovaacute ndash lineaacuterniacute Na obr 73 b) je pracovniacute charakteristika

nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

a) b)

Obr 73 - Charakteristika lineaacuterniacuteho a nelineaacuterniacuteho pasivniacuteho prvku

Pokud obvod obsahuje byť i jen jeden nelineaacuterniacute prvek jeho řešeniacute se lišiacute od řešeniacute lineaacuterniacutech

obvodů Použiacutevaacuteme tzv graficko-početniacute metodu řešeniacute obvodu kteraacute využiacutevaacute grafickeacute

zobrazeniacute voltampeacuterovyacutech charakteristik nelineaacuterniacuteho prvku

Pro použityacute zdroj napětiacute nakresliacuteme jeho pracovniacute zatěžovaciacute charakteristiku a hledaacuteme

pracovniacute bod pro danyacute nelineaacuterniacute prvek na tomto zdroji grafickyacutem řešeniacutem Pracovniacute bod je

daacuten průsečiacutekem voltampeacuteroveacute charakteristiky nelineaacuterniacuteho prvku se zatěžovaciacute

charakteristikou zdroje

71

Postup řešeniacute je podrobně vysvětlen na naacutesledujiacuteciacutem přiacutekladu

Mějme reaacutelnyacute zdroj o napětiacute napraacutezdno U0 a proudu nakraacutetko Ik K němu je připojen

nelineaacuterniacute odpor jehož voltampeacuterovou charakteristiku maacuteme k dispozici

a) b) c)

Obr 74 - a) obvod s nelineaacuterniacutem odporem b) VA charakteristika nelineaacuterniacuteho odporu

c) zatěžovaciacute charakteristika zdroje

Řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute do jednoho grafu zakresliacuteme pracovniacute charakteristiku zdroje a VA

charakteristiku nelineaacuterniacuteho prvku Řešeniacutem je průsečiacutek obou charakteristik ndash na nelineaacuterniacutem

prvku bude po připojeniacute na danyacute zdroj pracovniacute napětiacute Up a bude jiacutem proteacutekat proud Ip Tyto

hodnoty odečteme z grafu

Obr 75 - Grafickeacute řešeniacute nelineaacuterniacuteho obvodu

Přiacuteklad 35

Určete proud nelineaacuterniacutem prvkem RN s VA charakteristikou podle obr 76 b) Obvod je

napaacutejen tvrdyacutem zdrojem napětiacute o velikosti 6 V odpor rezistoru R1 = 100 Scheacutema zapojeniacute

podle obr 76 a)

a) b)

72

Obr 76 - Scheacutema zapojeniacute a VA charakteristika nelineaacuterniacuteho prvku

Řešeniacute

Lineaacuterniacute rezistor R1 a nelineaacuterniacute prvek RN jsou zapojeny v seacuterii to znamenaacute

že napětiacute U1 a UP se sčiacutetajiacute Sestrojiacuteme tedy VA charakteristiku rezistoru ndash

je to přiacutemka odpoviacutedajiacuteciacute velikosti odporu rezistoru R1 - a napětiacute lineaacuterniacuteho

a nelineaacuterniacuteho prvku graficky sečteme

Zatěžovaciacute charakteristika ideaacutelniacuteho zdroje je přiacutemka rovnoběžnaacute s osou

proudu a jejiacute hodnota je konstantně 6 V Zakresliacuteme ji do grafu a průsečiacutek

křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute charakteristiky je pracovniacutem bodem

z něhož odečteme velikost pracovniacuteho proudu IP

VA charakteristika rezistoru R1 je přiacutemka danaacute dvěma body

U = 0 I = 0 a U = 5 V I = 5100 = 005 A

Obr 77 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 35

Grafickyacutem řešeniacutem je graf na obr 77 pracovniacute proud odečtenyacute z grafu je

Ip = 27 mA

Napětiacute na rezistoru R1 je U1 = 1000027 = 27 V Teacutehož vyacutesledku bychom

dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku hodnoty pracovniacuteho

proudu s VA charakteristikou rezistoru R1

Napětiacute Up na nelineaacuterniacutem prvku je Up = U ndash U1 = 6 ndash 27 = 33 V Teacutehož

vyacutesledku bychom dosaacutehli odečteniacutem hodnoty napětiacute z grafu na průsečiacuteku

hodnoty pracovniacuteho proudu s VA charakteristikou nelineaacuterniacuteho prvku RN

Přiacuteklad 36

Ke zdroji o napětiacute napraacutezdno U0 = 6 V a vnitřniacutem odporu Ri = 20 je připojena žaacuterovka

paralelně spojenaacute s rezistorem R1 = 40 VA charakteristika žaacuterovky je daacutena naměřenyacutemi

hodnotami zaacutevislosti proudu žaacuterovky na připojeneacutem napětiacute - viz tabulka

U (V) 1 2 3 4 5 6

73

I (A) 01 0165 022 025 028 03

Obr 78 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 32

Řešeniacute

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru sestrojiacuteme graf pro VA charakteristiku žaacuterovky

rezistoru R1 součtu proudů paralelně spojenyacutech prvků a zakresliacuteme zatěžovaciacute

charakteristiku zdroje Průsečiacutek křivky součtu s přiacutemkou zatěžovaciacute

charakteristiky je pracovniacutem bodem ze ktereacuteho odečteme vyacutesledky

Pro VA charakteristiku rezistoru R1 platiacute Ohmův zaacutekon I1 = UR1

Pro zatěžovaciacute charakteristiku platiacute 3020

60 iR

UIk A

Obr 79 - Grafickeacute řešeniacute přiacutekladu 36

Z grafu odečteme požadovaneacute hodnoty

Celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je 0205 A Proud žaacuterovkou je 0158 A a

proud rezistorem R1 je 0047 A Napětiacute na žaacuterovce i na rezistoru R1 je stejneacute a je

rovno 188 V

74

411 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů stejnosměrneacuteho proudu s viacutece zdroji

Obvody ktereacute obsahujiacute viacutece zdrojů a několik smyček se řešiacute buď aplikaciacute Kirchhoffovyacutech

zaacutekonů a Ohmova zaacutekona na danyacute obvod nebo některou z daacutele uvedenyacutech metod ktereacute řešeniacute

zjednodušiacute Tyto metody ale takeacute vychaacuteziacute z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů a Ohmova zaacutekona

4111 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů s viacutece zdroji aplikaciacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Při řešeniacute postupujeme tak že sestaviacuteme soustavu rovnic aplikaciacute I Kirchhoffova zaacutekona na

uzly v obvodu a aplikaciacute II Kirchhoffova zaacutekona na smyčky v obvodu Soustava musiacute miacutet

tolik rovnic kolik neznaacutemyacutech se v daneacutem obvodu vyskytuje soustavu doplniacuteme aplikaciacute

Ohmova zaacutekona

Při řešeniacute obvodu znaacuteme velikost a polaritu napětiacute zdrojů a velikost odporů použityacutech

rezistorů

Směr proudu v jednotlivyacutech větviacutech označiacuteme šipkou ve směru ve ktereacutem předpoklaacutedaacuteme že

jiacutem proud poteče Pro jednotliveacute uzly sestaviacuteme rovnici vyjadřujiacuteciacute že orientovanyacute součet

všech proudů v uzlu je roven 0 Pokud bude skutečnyacute vyacuteslednyacute proud miacutet opačnyacute směr než

byl původniacute předpoklad vypočiacutetanyacute vyacutesledek bude miacutet zaacutepornou hodnotu

Pro jednotliveacute smyčky obvodu zvoliacuteme orientaci smyčky a poteacute napiacutešeme rovnici vyjadřujiacuteciacute

že součet orientovanyacutech napětiacute v teacuteto uzavřeneacute smyčce je roven 0 Napětiacute kteraacute jsou

orientovaacutena ve směru orientace smyčky jsou kladnaacute napětiacute kteraacute jsou orientovaacutena proti

směru orientace smyčky jsou zaacutepornaacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 80

Obr 80 - Řešeniacute obvodu pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Neznaacutemeacute ktereacute potřebujeme vypočiacutetat jsou proudy I1 I2 a I3 a napětiacute UR1 UR2 a UR3

Potřebujeme tedy 6 rovnic pro vyřešeniacute šesti neznaacutemyacutech

Nejdřiacuteve si zakresliacuteme předpoklaacutedanyacute směr proudů ve větviacutech a zvoliacuteme si orientaci

zvolenyacutech smyček x a y

Poteacute piacutešeme soustavu rovnic s využitiacutem Kirchhoffovyacutech zaacutekonů

Pro uzel A platiacute (podle I Kirchhoffova zaacutekona)

321 III (1)

75

Pro smyčku x platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

01221 UUUU RR (2)

Pro smyčku y platiacute (podle II Kirchhoffova zaacutekona)

0232 UUU RR (3)

Tyto 3 rovnice doplniacuteme na požadovanyacutech 6 rovnic aplikaciacute Ohmova zaacutekona podle ktereacuteho

platiacute

111 RIUR (4) 222 RIUR (5) 333 RIUR (6)

Tiacutem je připravena soustava šesti rovnic Jejiacutem vypočiacutetaacuteniacutem vyřešiacuteme danyacute obvod

Do rovnic (2) a (3) dosadiacuteme (4) (5) a (6)

0122211 UURIRI (2a)

023322 URIRI (3a)

Do rovnice (3a) dosadiacuteme (1)

0)( 232122 URIIRI (3b)

Upraviacuteme (3b)

02323122 URIRIRI

0)( 231322 URIRRI

32

3122

RR

RIUI

(3c)

a dosadiacuteme do rovnice (2a)

0122

32

31211

UUR

RR

RIURI (2b)

Dostali jsme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute tu upraviacuteme a vypočiacutetaacuteme proud I1

0122

32

312

32

211

UUR

RR

RIR

RR

URI

23321

323211

233121

3121322222

32

231

122

32

2

1

122

32

2

32

23111

)(

)(

RRRRR

RURRUI

RRRRRR

RURURURURU

RR

RRR

UURRR

U

I

UURRR

U

RR

RRIRI

Hodnotu proudu I1 dosadiacuteme do (3c) a ziacuteskaacuteme proud I2

76

I1 a I2 dosadiacuteme do (1) a vypočiacutetaacuteme proud I3

Napětiacute UR1 UR2 a UR3 na rezistorech R1 R2 R3 vypočiacutetaacuteme dosazeniacutem I1 I2 I3 do (4) (5) a

(6)

Tiacutem je obvod kompletně vyřešen

Přiacuteklad 37

V obvodu na obr 81 určete proudy ve všech větviacutech a napětiacute na všech rezistorech

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V Odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

100

Obr 81 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 37

Řešeniacute

Pro uzel A platiacute

321 III

Pro smyčku x platiacute

01122 RR UUUU

Pro smyčku y platiacute

0232 RR UUU

Dosadiacuteme do rovnic

02001010020 12 II 32010 12 II

010010020 23 II 21010 23 II

Z těchto rovnic ziacuteskaacuteme vyacuterazy pro I1 a I3

20

103 21

II

a

10

102 23

II

Dosadiacuteme do rovnice pro uzel A

10

102

20

103 22

2 II

I

20

222 20420103 III

77

2507 I

14050

72 I A

Zpětnyacutem dosazeniacutem ziacuteskaacuteme I1 a I3

08020

140103

20

103 21

II A

06010

140102

10

102 2

3

I

I A

Zaacuteporneacute znameacutenko u proudu I3 znamenaacute že skutečnyacute proud teče

v opačneacutem směru než byl původniacute předpoklad

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

16200080111 RIUR V

14100140222 RIUR V

6100-006333 RIUR V

4112 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou smyčkovyacutech proudů

Řešeniacute obvodu Kirchhoffovyacutemi zaacutekony je matematicky naacuteročneacute na vyacutepočet proto se

postupně vyvinuly metody ktereacute vyacutepočet zjednodušiacute

Metoda smyčkovyacutech proudů vychaacuteziacute z II Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Pro každou smyčku zavedeme tzv smyčkovyacute proud smyčkoveacute proudy budou neznaacutemeacute

veličiny ktereacute budeme počiacutetat Poteacute pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II

Kirchhoffova zaacutekona Tiacutem jsme ziacuteskali dostatečnyacute počet rovnic pro řešeniacute soustavy rovnic a

to menšiacute než tomu bylo při řešeniacute Kirchhoffovyacutemi zaacutekony Je vhodneacute smyčkoveacute proudy

orientovat v jednom směru např ve směru hodinovyacutech ručiček

Pokud je některyacute s rezistorů v obvodu společnyacute dvěma smyčkaacutem proteacutekajiacute skrz něj

smyčkoveacute proudy obou smyček Skutečnyacute proud tiacutemto rezistorem je daacuten rozdiacutelem obou

smyčkovyacutech proudů

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 82

Obr 82 - Řešeniacute obvodu metodou smyčkovyacutech proudů

78

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Pro smyčky obvodu zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib

Pro každou smyčku napiacutešeme rovnici podle II Kirchhoffova zaacutekona

Smyčka a 0)( 1122 RIUURII aba

Smyčka b 0)( 223 RIIURI abb

Dostali jsme dvě rovnice pro dvě neznaacutemeacute Soustavu rovnic vyřešiacuteme

011222 RIUURIRI aba

02223 RIRIURI abb 2223 RIURIRI abb

32

22

RR

RIUI a

b

01122

32

222

RIUUR

RR

RIURI a

aa hellip jedna rovnice o jedneacute neznaacutemeacute

Vyřešiacuteme jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute - vypočteme smyčkovyacute proud Ia

01122

32

2

32

222

RIUUR

RR

RI

RR

RURI a

aa

21

32

2212

32

22 UU

RR

RURIR

RR

RIRI a

aa

312132

323121

3121223222

3222312122

1

32

222

21

32

22

RRRRRR

RURURU

RRRRRRRRRR

RURURURURU

RRR

RRR

UURR

RU

Ia

Hodnotu smyčkoveacuteho proudu Ia dosadiacuteme do 32

22

RR

RIUI a

b

a ziacuteskaacuteme smyčkovyacute proud Ib

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I3 je shodnyacute se

smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

ab III 2

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Z postupu řešeniacute je patrneacute že vyacutepočet je vyacuterazně pohodlnějšiacute a rychlejšiacute než při použitiacute řešeniacute

Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

Přiacuteklad 38

79

Metodou smyčkovyacutech proudů vyřešte obvod podle obr 83 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

300 R4 = 200

a) b)

Obr 83 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 38

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 83 b) kde R34 je

1205

600

200300

200300

43

4334

RR

RRR

Zavedeme smyčkoveacute proudy Ia a Ib a napiacutešeme rovnice pro smyčky

a 0)( 1122 RIUURII aba

02001020100)( aba III

b 0)( 2234 RIIURI abb

0100)(20120 abb III

Upraviacuteme a dosadiacuteme

a 02001020100100 aba III 100

10300 a

b

II

b 0100)100

10300(20120

100

10300

a

aa III

Dosazeniacutem jsme ziacuteskali jednu rovnici o jedneacute neznaacutemeacute Ia kterou vyřešiacuteme

0100103002012360 aaa III

02560 aI

0003571560

2aI A

Zaacutepornaacute hodnota udaacutevaacute že orientace proudu je opačnaacute než jsme předpoklaacutedali

Dosadiacuteme do vyacuterazu pro druhyacute smyčkovyacute proud Ib

80

0089286100

103000003571-

100

10300

a

b

II A

Skutečnyacute proud I1 je shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ia skutečnyacute proud I34 je

shodnyacute se smyčkovyacutem proudem Ib Skutečnyacute proud I2 je roven rozdiacutelu

smyčkovyacutech proudů Ib a Ia

0092857)0035710(00892862 ab III A

Napětiacute na rezistorech R3 a R4 jsou stejneacute a jsou

10714291200089286343443 RIUU RR V

Proudy rezistory R3 a R4 jsou

0035714300

10714293 I A 0053571

200

10714294 I A

Napětiacute na rezistorech R1 a R2

07142862000003571111 RIUR V

928571000092857222 RIUR V

Spraacutevnost vyacutepočtu je možneacute ověřit dosazeniacutem vypočtenyacutech hodnot proudů a

napětiacute do rovnic danyacutech Kirchhoffovyacutemi zaacutekony

020-10)(-0714286-92857

020-107142992857

0089286)(-00035710092857

Rovnost praveacute a leveacute strany rovnic dokazuje spraacutevnost vyacutesledku

Vyacutehodnost teacuteto metody se projeviacute zejmeacutena u složitějšiacutech obvodů v nichž by bylo řešeniacute

pomociacute Kirchhoffovyacutech zaacutekonů spojeno s řešeniacutem soustavy o mnoha rovniciacutech a tudiacutež by

bylo matematicky obtiacutežneacute

4113 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou uzlovyacutech napětiacute

Metoda uzlovyacutech napětiacute vychaacuteziacute z I Kirchhoffova zaacutekona

Postup řešeniacute je naacutesledujiacuteciacute

Jeden z uzlů v obvodu zvoliacuteme jako tzv referenčniacute uzel Vyacutehodneacute je volit ten z uzlů v němž

je spojeno nejviacutece větviacute obvodu Napětiacute všech ostatniacutech uzlů proti uzlu referenčniacutemu

označujeme jako tzv uzlovaacute napětiacute

Pro každyacute uzel sestaviacuteme rovnici podle I Kirchhoffova zaacutekona kde proudy tekouciacute skrz

jednotliveacute větve obvodu vyjaacutedřiacuteme pomociacute uzlovyacutech napětiacute Tiacutem ziacuteskaacuteme soustavu rovnic ndash

neznaacutemeacute v teacuteto soustavě jsou uzlovaacute napětiacute Řešeniacutem soustavy vypočiacutetaacuteme uzlovaacute napětiacute a

z nich pak proudy ve větviacutech obvodu

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 84

81

Obr 84 - Řešeniacute obvodu metodou uzlovyacutech napětiacute

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Jako referenčniacute uzel zvoliacuteme uzel označenyacute R Uzloveacute napětiacute v uzlu A k referenčniacutemu uzlu R

je UA

Z I Kirchhoffova zaacutekona pro uzel A platiacute

321 III

Proudy vyjaacutedřiacuteme pomociacute II Kirchhoffova zaacutekona a Ohmova zaacutekona z uzloveacuteho napětiacute a

dosadiacuteme do vyacutechoziacute rovnice

32

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

21312321 )()( RRURRUURRUU AAA

21313123221 RRURRURRURRURRU AAA

31322131221 RRURRURRURRURRU AAA

313221

312321

RRRRRR

RRURRUU A

Z uzloveacuteho napětiacute UA vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

1

11

R

UUI A

2

22

R

UUI A

3

3R

UI A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech vyřešiacuteme aplikaciacute Ohmova zaacutekona

111 RIUR 222 RIUR 333 RIUR

Přiacuteklad 39

Metodou uzlovyacutech napětiacute vyřešte obvod podle obr 85 a)

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 = 30

R4 = 90

82

a) b)

Obr 85 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 39

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme tedy zadanyacute obvod zjednodušit

na obvod podle obr 85 b) kde R34 je

12090304334 RRR

Zvoliacuteme referenčniacute uzel a zapiacutešeme vztah proudů pro uzel A

321 III

342

2

1

1

R

U

R

UU

R

UU AAA

Vypočiacutetaacuteme UA

120100

20

200

10 AAA UUU

AAA UUU 10)20(12)10(6

AAA UUU 1012240660

107142928

300AU V

Vypočiacutetaacuteme proudy ve větviacutech

-000357200

107142910

200

101

AU

I A

Zaacutepornaacute hodnota znamenaacute že proud proteacutekaacute v opačneacutem směru

než byl původniacute předpoklad

928571400100

107142920

100

202

AU

I A

0089286120

1071429

1203 AU

I A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech

83

-071429200-000357111 RIUR V

9285714100928571400222 RIUR V

2678571300089286333 RIUR V

V 8035714900089286434 RIUR

4114 Řešeniacute elektrickyacutech obvodů metodou lineaacuterniacute superpozice

Je-li v elektrickeacutem obvodu zapojeno několik zdrojů pak proud a napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu je daacuten součtem všech proudů napětiacute ktereacute by v obvodu byly pokud by byl

připojen vždy jen jeden ze zapojenyacutech zdrojů samostatně Pozor ndash tato metoda platiacute pouze

tehdy jsou-li všechny prvky v obvodu lineaacuterniacute

Postup vyacutepočtu předvedeme na řešeniacute obvodu podle obr 86

Obr 86 - Řešeniacute obvodu metodou lineaacuterniacute superpozice

V tomto obvodu znaacuteme velikosti a polaritu napětiacute U1 a U2 a velikost odporů rezistorů R1 R2 a

R3

Postupně vyřešiacuteme všechny obvody a to - pokaždeacute s jinyacutem - jedinyacutem zdrojem druhyacute zdroj

jako by nebyl Poteacute sečteme vyacutesledky jednotlivyacutech řešeniacute a ziacuteskaacuteme tiacutem řešeniacute zadaneacuteho

obvodu

a) b)

Obr 87 - Rozděleniacute obvodu při metodě lineaacuterniacute superpozice

84

Nejprve řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U1 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky

je na obr 87 a)

32

3223

RR

RRR

R123 = R1 + R23

123

1

1R

UI

11

1 IRUR

11

RAB UUU

2

2R

UI AB a

3

3R

UI AB

Pak řešiacuteme obvod se zapojenyacutem zdrojem U2 Obvod v němž ziacuteskaacuteme diacutelčiacute vyacutesledky je na

obr 87 b)

31

3113

RR

RRR

R123 = R2 + R13

123

2

1R

UI

11

1 IRUR

12

RAB UUU

1

1R

UI AB a

3

3

R

UI AB

Pokud by v obvodu bylo viacutece zdrojů postupovali bychom stejně i pro přiacutepadneacute dalšiacute zdroje

Celkoveacute řešeniacute proudů v zadaneacutem obvodu ziacuteskaacuteme sečteniacutem všech diacutelčiacutech řešeniacute

1

11 III

2

22 III

3

33 III

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

111 IRUR 222 IRUR 333 IRUR

Přiacuteklad 40

Metodou lineaacuterniacute superpozice vyřešte obvod podle obr 88

Napětiacute zdrojů jsou U1 = 10 V a U2 = 20 V odpory rezistorů R1 = 200 R2 = 100 a R3 =

110 R4 = 130 R5= 240

1

85

Obr 88 - Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Řešeniacute

Rezistory R3 a R4 jsou spojeny seacuteriově můžeme je tedy nahradit odporem R34

2401301104334 RRR

Rezistory R34 a R5 jsou spojeny paralelně můžeme je tedy nahradit odporem R345

120240240

240240

345

345345

RR

RRR

Tiacutem jsme obvod zjednodušili ndash viz obr 89 a)

a) b) c)

Obr 89 - Zjednodušenaacute scheacutemata zapojeniacute pro přiacuteklad 40

Nyniacute vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U1 zdroj U2 neniacute ndash viz obr 89 b)

5454545120100

120100

3452

34522345

RR

RRR

R12345 = R1 + R2345 =200 + 5454545 =25454545

0039286 25454545

10

12345

1

1 R

UI A

78571430039286200

11

1 IRUR V

2142857785714310

11

RAB UUU V

86

214285700100

2142857

2

2 R

UI AB A

0017857120

2142857

345

345 R

UI AB A

Daacutele vyřešiacuteme obvod pro napaacutejeniacute zdrojem U2 zdroj U1 neniacute ndash viz obr 89 c)

75120200

120200

3451

34511345

RR

RRR

R12345 = R2 + R1345 =100 + 75 =175

0114286 175

20

12345

2

2 R

UI A

1142860114286100

22

2 IRUR V

857142942861120

12

RAB UUU V

0042857200

8571429

1

1 R

UI AB A

0071429120

8571429

345

345 R

UI AB A

Skutečneacute proudy v zadaneacutem obvodu jsou

-0003570042857-0039286

1

11 III A

00928572142857000114286

2

22 III A

0089286

345

345345 III A

Napětiacute na jednotlivyacutech rezistorech jsou

-071429200-000357111 RIUR V

928571009285700222 RIUR V

107143212000892863453345 RIUU RAB V

10714325 ABR UU V

0044643240

1071432

5

55

R

UI A

1

1

87

0044643240

1071432

34

43 R

UII AB A

4910731100044643333 RIUR V

5803591300044643334 RIUR V

88

5 Magnetickeacute pole

Magnetickeacute pole se vyznačuje silovyacutemi uacutečinky je to tedy siloveacute pole Vznikaacute v okoliacute

magnetickyacutech materiaacutelů nebo v okoliacute vodičů kteryacutemi proteacutekaacute elektrickyacute proud

Už ve starověku lideacute zpozorovali že některeacute materiaacutely zejmeacutena magnetovec (železnaacute ruda

Fe3O4 kteraacute se nachaacutezela u řeckeacuteho města Magnesie - odtud magnet) přitahujiacute menšiacute železneacute

předměty drobneacute železneacute piliny se na magnetu udržely Pokud se takovyacute předmět z okoliacute

magnetu vyjmul saacutem vykazoval magnetickeacute uacutečinky - zůstal zmagnetovanyacute Mimo to lideacute

zpozorovali že lehkyacute zmagnetovanyacute předmět volně umiacutestěnyacute v prostoru (magnetka) ukazuje

vždy k severu

Tyto magnety nazyacutevaacuteme permanentniacute (staacuteleacute) magnety

Později bylo pozorovaacuteno že stejneacute magnetickeacute pole vznikaacute v okoliacute vodičů jimiž proteacutekaacute

elektrickyacute proud tedy v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje

Magnetickeacute pole se projevuje nejen silovyacutemi uacutečinky na feromagnetickeacute předměty ale takeacute

silovyacutemi uacutečinky na vodiče kteryacutemi proteacutekaacute proud

51 Zobrazovaacuteniacute magnetickeacuteho pole

Magnetickeacute pole zobrazujeme pomociacute magnetickyacutech indukčniacutech čar (někdy se takeacute nazyacutevajiacute

magnetickeacute siločaacutery) Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je uzavřenaacute prostorovaacute orientovanaacute křivka

Jejiacute průběh vně magnetu směřuje od severniacuteho poacutelu k jižniacutemu jejiacute tečna v daneacutem bodě maacute

směr osy velmi maleacute magnetky umiacutestěneacute v tomto bodě (uvnitř magnetu magnetickaacute indukčniacute

čaacutera probiacutehaacute od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu) Směr magnetky od jižniacuteho k severniacutemu poacutelu určuje

orientaci indukčniacute čaacutery Smysl pole vyznačujeme šipkami na magnetickyacutech indukčniacutech

čaraacutech

Velikost siloveacuteho působeniacute magnetickeacuteho pole udaacutevaacute hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar

Čiacutem jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Siloveacute uacutečinky magnetu se nejviacutece projevujiacute na jeho dvou miacutestech ndash tzv poacutelech magnetu -

označujeme je jako poacutel severniacute (N ndash north) a poacutel jižniacute (S ndash south)

a) b)

Obr 90 - Magnetka a) a magnetickeacute pole tyčoveacuteho magnetu b)

Pokud bychom magnet rozdělili každaacute z obou čaacutestiacute bude miacutet opět oba poacutely- severniacute a jižniacute

Poacutely neniacute možneacute oddělit Magnetickaacute indukčniacute čaacutera je vždy uzavřenaacute

89

Obr 91 - Rozděleniacute tyčoveacuteho magnetu

a) b) c)

Obr 92 - Magnetickeacute pole a) mezi nesouhlasnyacutemi poacutely magnetů b) mezi souhlasnyacutemi poacutely

c) podkovoviteacuteho magnetu

Jsou-li magnetickeacute indukčniacute čaacutery rovnoběžneacute a jsou od sebe stejně vzdaacuteleneacute pak je siloveacute

působeniacute tohoto pole ve všech jeho bodech stejneacute Takoveacute pole se nazyacutevaacute homogenniacute

52 Magnetickeacute pole vybuzeneacute elektrickyacutem proudem

Proteacutekaacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v okoliacute vodiče magnetickeacute pole To jak již viacuteme

silově působiacute jednak na předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů (kam patřiacute hlavně železo a

jeho slitiny) a takeacute na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

521 Magnetickeacute pole vodiče

V přiacutepadě dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče majiacute magnetickeacute indukčniacute čaacutery tvar soustřednyacutech

kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu vodiče Siloveacute působeniacute

takoveacuteho pole je tiacutem většiacute čiacutem je danyacute bod pole bliacutež k povrchu vodiče magnetickeacute indukčniacute

čaacutery jsou tedy bliacutež k povrchu vodiče hustšiacute a se zvětšujiacuteciacute se vzdaacutelenostiacute od středu se zřeďujiacute

V grafickeacutem znaacutezorněniacute se proud kteryacute vstupuje do průřezu vodiče zakresluje jako křiacutežek ve

středu průřezu vodiče proud kteryacute z průřezu vystupuje se značiacute tečkou ndash viz obr 93

Obr 93 - Grafickeacute znaacutezorněniacute orientace proudu ve vodiči

90

Obr 94 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče proteacutekaneacuteho proudem

Smysl magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče je daacuten směrem proteacutekajiacuteciacuteho proudu a je zobrazen

na obr 94

Pro snadneacute určeniacute smyslu pole použiacutevaacuteme Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky přiacutepadně pravidlo

pravotočiveacuteho šroubu

Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Uchopiacuteme-li vodič do praveacute ruky tak aby palec ukazoval směr proudu pak prsty obepiacutenajiacuteciacute

vodič ukazujiacute směr indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole

Obr 95 - Ampeacuterovo pravidlo praveacute ruky

Pravidlo pravotočiveacuteho šroubu

Pokud vodič nahradiacuteme pravotočivyacutem šroubem kteryacutem otaacutečiacuteme tak aby se posouval ve

směru proudu pak smysl otaacutečeniacute udaacutevaacute orientaci indukčniacutech čar

91

53 Veličiny magnetickeacuteho pole

531 Magnetickyacute tok

Magnetickyacute tok je vybuzen buď permanentniacutem magnetem nebo elektrickyacutem proudem

Magnetickyacute tok je možneacute znaacutezornit celkovyacutem počtem indukčniacutech čar v daneacutem magnetickeacutem

poli Popisuje tedy pole jako celek

Magnetickyacute tok označujeme jeho jednotkou je weber (Wb)

532 Magnetickaacute indukce

Magnetickaacute indukce se označuje B jejiacute jednotkou je tesla (T) je daacutena velikostiacute magnetickeacuteho

toku na jednotku plochy

SB

Magnetickou indukci je možneacute znaacutezornit počtem indukčniacutech čar na jednotku plochy v daneacutem

magnetickeacutem poli Popisuje tedy pole v jeho konkreacutetniacutem miacutestě

Fyzikaacutelniacute vyacuteznam magnetickeacute indukce

Magnetickeacute pole jak již bylo řečeno silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Vložiacuteme-li do homogenniacuteho magnetickeacuteho pole (označeneacute B1) vodič kteryacutem proteacutekaacute proud I

tak aby jeho osa byla kolmaacute na indukčniacute čaacutery daneacuteho pole nastane situace podle obr 1

Kolem vodiče se vlivem proudu I vytvořiacute magnetickeacute pole (označeneacute B2) ndash viz obr 96 a) To

se sčiacutetaacute s původniacutem homogenniacutem polem a vyacutesledneacute pole bude polem vodiče deformovaacuteno ndash

viz obr 96 b) Vyacutesledneacute magnetickeacute pole bude silově působit na vodič tak že siacutela F se snažiacute

nastolit původniacute klidovyacute stav tedy vytlačuje vodič ze zhuštěneacuteho magnetickeacuteho pole do

zeslabeneacuteho pole

a) b)

Obr 96 - Deformace homogenniacuteho magnetickeacuteho pole vlivem proudu ve vodiči

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti proudu I a teacute deacutelce vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute

v magnetickeacutem poli

lIkonstF

Velikost konstanty zaacutevisiacute na původniacutem magnetickeacutem poli nazyacutevaacuteme ji magnetickaacute indukce a

označujeme ji B Jejiacute jednotkou je tesla (T)

lIBF (N T A m)

92

Obr 97 - Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole na vodič proteacutekanyacute proudem

Magnetickaacute indukce tedy popisuje siloveacute uacutečinky daneacuteho magnetickeacuteho pole

lI

FB

(T NA

-1m

-1)

Magnetickaacute indukce B je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole

Velikost magnetickaacute indukce graficky znaacutezorňuje hustota magnetickyacutech indukčniacutech čar Čiacutem

jsou čaacutery hustšiacute tiacutem je pole silnějšiacute

Magnetickaacute indukce je vektor jeho směr a smysl je stejnyacute jako směr a smysl vektoru intenzity

magnetickeacuteho pole

Pokud vloženyacute vodič nebude kolmyacute ke směru indukčniacutech čar ale bude s nimi sviacuterat uacutehel

pak siacutela působiacuteciacute na vodič bude

sin lIBF viz obr 98

Obr 98 - Vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

533 Magnetomotorickeacute napětiacute a magnetickeacute napětiacute

Přiacutečinou vzniku magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud přiacutepadně souhrn všech proudů ktereacute

se podiacutelejiacute na jeho vzniku

Tento souhrn proudů nazyacutevaacuteme magnetomotorickeacute napětiacute a značiacuteme ho Fm (A)

Magnetickeacute pole vybuzeneacute magnetomotorickyacutem napětiacutem je tiacutem silnějšiacute čiacutem většiacute je

magnetomotorickeacute napětiacute ktereacute toto pole vybudilo

93

Pro přiacutemyacute vodič je původcem magnetickeacuteho pole proud I kteryacute vodičem proteacutekaacute

magnetomotorickeacute napětiacute je tedy

Fm = I

Na obr 99 a) je svazek vodičů s proudy I1 I2 a I3 Magnetomotorickeacute napětiacute přiacuteslušneacuteho

magnetickeacuteho pole je

Fm = I1 - I2 + I3

Obecně platiacute že magnetomotorickeacute napětiacute je rovno algebraickeacutemu součtu všech proudů ktereacute

danaacute indukčniacute čaacutera obepiacutenaacute

n

i

im IF1

a) b)

Obr 99 - Magnetomotorickeacute napětiacute a) a magnetickeacute napětiacute b)

Mezi každyacutemi dvěma body na teacuteže indukčniacute čaacuteře se definuje magnetickeacute napětiacute Um Součet

všech magnetickyacutech napětiacute na jedneacute indukčniacute čaacuteře je roven magnetomotorickeacutemu napětiacute pro

tuto indukčniacute čaacuteru

n

i

mim UF1

Pro přiacutepad na obr 99 b) platiacute

Fm = Um1 + Um2 + Um3

534 Intenzita magnetickeacuteho pole

Intenzita magnetickeacuteho pole je magnetickeacute napětiacute připadajiacuteciacute na jednotku deacutelky magnetickeacute

indukčniacute čaacutery Značiacute se H Je to vektor Jeho velikost je

l

UH m (Am

-1 A m)

kde l je deacutelka teacute čaacutesti magnetickeacute indukčniacute čaacutery na kterou připadaacute daneacute Um

Směr a smysl vektoru H je daacuten směrem indukčniacutech čar vektor H v daneacutem bodě je tečnyacute ke

křivce magnetickeacute indukčniacute čaacutery

94

Obr 100 - Intenzita magnetickeacuteho pole pro přiacutemyacute vodič

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče je intenzita magnetickeacuteho pole

r

I

l

UH m

2

Intenzita je tedy tiacutem většiacute čiacutem je většiacute budiacuteciacute proud a tiacutem většiacute čiacutem je menšiacute deacutelka přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery Velikost intenzity je po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute směr se měniacute ndash je vždy

tečnou k přiacuteslušneacute indukčniacute čaacuteře v daneacutem bodě ndash zde ke kružnici se středem ve středu průřezu

vodiče na rovině indukčniacute čaacutery

535 Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem je vlastně vztahem mezi

intenzitou magnetickeacuteho pole a magnetickou indukciacute

Magnetickeacute pole lze vybudit v každeacutem prostřediacute Jak již bylo uvedeno původcem

magnetickeacuteho pole je elektrickyacute proud ndash tzv budiacuteciacute proud magnetickeacute pole v konkreacutetniacutem

bodě pak popisuje intenzita magnetickeacuteho pole H kteraacute zaacutevisiacute na budiacuteciacutem proudu a na deacutelce

indukčniacute čaacutery Intenzita magnetickeacuteho pole H neniacute nijak zaacutevislaacute na prostřediacute v němž se pole

vybudilo

Siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole popisuje magnetickaacute indukce B

Měřeniacutem bylo zjištěno že oba tyto vektory H a B v každeacutem bodě magnetickeacuteho pole spolu

souvisiacute U většiny materiaacutelů (s vyacutejimkou materiaacutelů feromagnetickyacutech) je mezi nimi vztah

přiacutemeacute uacuteměrnosti HkonstB

Tato konstanta je zaacutevislaacute na materiaacutelu stejnou intenzitou magnetickeacuteho pole dociacuteliacuteme

v různyacutech materiaacutelech různeacute hodnoty magnetickeacute indukce B Konstantu označujeme a

nazyacutevaacuteme ji permeabilita Platiacute

HB

Pro vakuum je = 0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) (H) je jednotka henry ndash jejiacute

rozměr vysvětliacuteme později

Pro ostatniacute materiaacutely platiacute

HB r 0

kde r je relativniacute permeabilita r udaacutevaacute kolikraacutet je daneacute prostřediacute magneticky vodivějšiacute než

vakuum Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1

95

Přiacuteklad 41

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče o průměru 2 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud

8 A Jakaacute bude intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole na povrchu vodiče

5127323954104

1012

8

2

3

3

r

IH (Am)

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 1 cm od povrchu vodiče

115749051011

40

10112

8

2

2

3

r

IH (Am)

Přiacuteklad 42

Určete intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od středu svazku vodičů podle obr

101 Velikost proudů v jednotlivyacutech vodičiacutech je I1 = 20 A I2 = 7 A I3 = 15 A

Obr 101 - Svazek vodičů

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti 2 cm od povrchu svazku

2815720321 IIIFm A

6366198200

102

1022

8

2

2

2

r

FH m (Am)

Přiacuteklad 43

Určete velikost a směr siacutely kteraacute působiacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli ndash viz obr

102 a = 200 mm b = 150 mm o magnetickeacute indukci 06 T proteacutekaacute-li vodičem proud I = 15A

Obr 102 - Vodič v magnetickeacutem poli

96

Řešeniacute

Velikost siacutely působiacuteciacute na vodič je

81201560 lIBF N

Siacutela bude kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B a bude směřovat

do zředěneacuteho pole ndash tedy bdquodo papiacuteruldquo

Přiacuteklad 44

Jakyacute je celkovyacute magnetickyacute tok mezi poacutely pro předchoziacute přiacuteklad

Řešeniacute

0180)15020(60 SB Wb

Přiacuteklad 45

Jakyacute je proud I2 ve vodiči je-li v bodě A na obr 1 magnetickaacute indukce B = 0002 T

I1 = 30 A I3 =40 A r = 15 mm okolniacute prostřediacute je vzduch

Obr 103 - Proudy ve svazku vodičů

Řešeniacute

HB r 0 0= 410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

r

FH m

2 a

n

i

im IF1

Z toho plyne

r

m

BrHrF

0

22

150102

21015

104

00202 43

7

rFm A

321 IIIFm z toho 804030150312 IIFI m A

97

54 Hopkinsonův zaacutekon

Je vztah mezi magnetickyacutem napětiacutem jako zdrojem magnetickeacuteho pole a magnetickyacutem

indukčniacutem tokem

Viacuteme že S

B

z toho SB

Protože platiacute HB a l

UH m ziacuteskaacuteme dosazeniacutem

mm U

l

SS

l

USHSB

Vyacuteraz mUl

S se označuje Gm a nazyacutevaacute se magnetickaacute vodivost (permeance) Jednotkou je

henry (H)

mm Ul

SG (H)

Platiacute tedy

mm UG

Rozměr jednotky henry

m

mU

G

)()()(2

A

mT

A

WbH

Převraacutecenaacute hodnota magnetickeacute vodivosti je magnetickyacute odpor (reluktance) Rm

m

mG

R1

tedy S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

Magnetickyacute odpor je odpor kteryacute klade daneacute prostřediacute průchodu magnetickeacuteho toku

Pro magnetickyacute tok v každeacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu tedy platiacute vztah

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

55 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek

Z Hopkinsonova zaacutekona je patrneacute že celkovyacute magnetickyacute tok je přiacutemo uacuteměrnyacute velikosti

magnetickeacuteho napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnyacute magnetickeacutemu odporu daneacute cesty magnetickeacuteho toku

Magnetickyacute odpor konkreacutetniacute čaacutesti magnetickeacuteho obvodu je danyacute jednak jeho rozměry tedy

deacutelkou a průřezem a jednak velikostiacute permeability materiaacutelu

S

lRm

1 kde r 0

Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r přibližně 1 Pro feromagnetickeacute materiaacutely je

hodnota r mnohonaacutesobně vyššiacute Pro tuto vlastnost jsou feromagnetickeacute materiaacutely využiacutevaacuteny

pro konstrukci magnetickyacutech obvodů Jejich použitiacutem dociacuteliacuteme vyacuterazně silnějšiacuteho

magnetickeacuteho pole při stejneacutem budiacuteciacutem proudu v obvodu

98

Z hlediska magnetickyacutech vlastnostiacute děliacuteme materiaacutely do třiacute skupin

Laacutetky diamagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zeslabujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např měď zlato střiacutebro voda zinek a dalšiacute

Laacutetky paramagnetickeacute kde 1r Tyto laacutetky nepatrně zesilujiacute magnetickeacute pole Patřiacute

sem např hliniacutek platina vzduch a dalšiacute

Laacutetky feromagnetickeacute kde 1 r (až 104 kraacutet) Tyto laacutetky vyacuterazně zesilujiacute magnetickeacute

pole Patřiacute sem železo nikl kobalt a jejich slitiny

Pro praktickeacute vyacutepočty se hodnota r pro všechny diamagnetickeacute i paramagnetickeacute laacutetky

poklaacutedaacute za rovnu jedneacute 1r

551 Magnetickeacute vlastnosti feromagnetickyacutech materiaacutelů

Jak už bylo uvedeno v okoliacute pohybujiacuteciacuteho se elektrickeacuteho naacuteboje vznikaacute magnetickeacute pole

Protože elektrony jsou nosiči elementaacuterniacuteho elektrickeacuteho naacuteboje a pohybujiacute se v raacutemci atomů

po svyacutech drahaacutech okolo atomoveacuteho jaacutedra a mimo to se otaacutečejiacute kolem sveacute osy (tzv spin

elektronu) vybuzuje se v jejich okoliacute elementaacuterniacute magnetickeacute pole Tyto magnetickeacute uacutečinky

se navenek vzaacutejemně většinou rušiacute a materiaacutel se navenek jeviacute jako nemagnetickyacute

U feromagnetickyacutech materiaacutelů nastaacutevaacute tzv spontaacutenniacute magnetizace to je magnetickeacute

uspořaacutedaacuteniacute atomů v určiteacute oblasti nazyacutevaneacute domeacutena ktereacute nastaacutevaacute v krystalickeacute struktuře

materiaacutelu při určityacutech teplotaacutech při zpracovaacuteniacute těchto kovů Feromagnetickyacute materiaacutel se tedy

sklaacutedaacute z takto vzniklyacutech domeacuten o velikosti řaacutedově 10-4

m Každaacute domeacutena tedy je miniaturniacutem

magnetem a vytvaacuteřiacute magnetickeacute pole V nezmagnetizovaneacutem stavu jsou jednotliveacute domeacuteny a

tedy i magnetickaacute pole jednotlivyacutech domeacuten různě orientovaacutena Při zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu

vnějšiacutem magnetickyacutem polem dochaacuteziacute k uspořaacutedaacuteniacute domeacuten do směru působiacuteciacuteho magnetickeacuteho

pole Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel

vykazuje tzv zbytkovyacute magnetizmus

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute se domeacuteny postupně orientujiacute v materiaacutelu Z toho plyne skutečnost

že permeabilita feromagnetika neniacute konstantniacute (jak je tomu u ostatniacutech materiaacutelů) ale je

zaacutevislaacute na velikosti vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole Zaacutevislost magnetickeacute indukce na intenzitě

magnetickeacuteho pole B = f(H) vyjaacutedřenaacute grafem se nazyacutevaacute magnetizačniacute charakteristika

Obr 104 - Magnetizačniacute charakteristika

99

Při prvniacutem zmagnetovaacuteniacute materiaacutelu se jednaacute o tzv křivku prvotniacute magnetizace

Z magnetizačniacute křivky je patrneacute že až do bodu B ndash tzv kolena - roste magnetickaacute indukce

strmě což znamenaacute že malyacutem přiacuterůstkem intenzity magnetickeacuteho pole dosaacutehneme velkeacuteho

přiacuterůstku magnetickeacute indukce

Nad bodem B je většina domeacuten již natočena podle směru vnějšiacuteho magnetickeacuteho pole tato

čaacutest magnetizačniacute charakteristiky se nazyacutevaacute oblast nasyceniacute Se stejnyacutem přiacuterůstkem intenzity

magnetickeacuteho pole dosaacutehneme podstatně menšiacuteho přiacuterůstku magnetickeacute indukce Proto se při

navrhovaacuteniacute magnetickyacutech obvodů snažiacuteme pohybovat se v oblasti magnetizačniacute křivky mezi

body A a B kde maacute permeabilita největšiacute hodnotu V teacuteto čaacutesti křivky maacute magnetizačniacute

charakteristika teacuteměř lineaacuterniacute průběh a je největšiacute

Hystereze feromagnetickyacutech materiaacutelů

Při dalšiacutem zmagnetovaacuteniacute je zaacutevislost magnetickeacute indukce jako funkce intenzity magnetickeacuteho

pole B = f(H) již jinaacute než při prvotniacute magnetizaci ndash materiaacutel vykazuje magnetickou paměť

Po vyjmutiacute z magnetickeacuteho pole zůstaacutevajiacute domeacuteny čaacutestečně uspořaacutedaacuteny ndash materiaacutel vykazuje

tzv zbytkovyacute magnetizmus To znamenaacute že i když bude nulovyacute budiacuteciacute proud (tedy nulovaacute

intenzita magnetickeacuteho pole) bude materiaacutel vykazovat magnetickeacute uacutečinky s určitou hodnotou

magnetickeacute indukce Teacuteto hodnotě řiacutekaacuteme remanentniacute magnetickaacute indukce (teacutež remanence) a

značiacuteme ji Br Abychom zbytkovyacute magnetizmus odstranili musiacute se materiaacutel zmagnetovat

v opačneacutem smyslu ndash to znamenaacute změnit smysl budiacuteciacuteho proudu a tiacutem i smysl intenzity

magnetickeacuteho pole H Pro dosaženiacute nuloveacute magnetickeacute indukce musiacuteme dosaacutehnout určiteacute

hodnoty intenzity magnetickeacuteho pole ndash označujeme ji jako Hc a nazyacutevaacute se koercitivniacute

intenzita (koercitivita)

Pokud bychom daacutel zvětšovali budiacuteciacute proud v tomto opačneacutem smyslu dosaacutehli bychom

nasyceniacute s opačnou orientaciacute domeacuten ndash materiaacutel by byl zmagnetovaacuten v opačneacutem smyslu Při

snižovaacuteniacute proudu na nulovou hodnotu by materiaacutel opět zůstal zmagnetovaacuten zbytkovyacutem

magnetizmem s hodnotou remanentniacute magnetickeacute indukce -Br Pro jejiacute odstraněniacute je třeba

opět obraacutetit smysl proudu ndash celyacute proces přemagnetovaacuteniacute se bude opakovat Graficky tento jev

popisuje křivka nazyacutevanaacute hysterezniacute smyčka

Obr 105 - Hysterezniacute smyčka

100

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu nazyacutevajiacute se hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 106 - Hysterezniacute ztraacutety

Různeacute feromagnetickeacute materiaacutely majiacute různyacute průběh magnetizačniacute charakteristiky a různyacute tvar

hysterezniacute smyčky Je to daacuteno jejich složeniacutem a vnitřniacute krystalickou strukturou konkreacutetniacuteho

materiaacutelu Magnetizačniacute a hysterezniacute křivky materiaacutelu udaacutevaacute vyacuterobce na zaacutekladě měřeniacute na

vzorku přiacuteslušneacuteho materiaacutelu

Podle tvaru hysterezniacute smyčky se materiaacutely děliacute na magneticky tvrdeacute a magneticky měkkeacute

Magneticky tvrdeacute materiaacutely majiacute velkou remanentniacute magnetickou indukci a velkou koercitivniacute

intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je širokaacute a maacute velkou plochu Na likvidaci remanence u

takoveacuteho materiaacutelu by bylo nutneacute velmi silneacute vnějšiacute magnetickeacute pole Proto se tyto materiaacutely

použiacutevajiacute k vyacuterobě trvalyacutech (permanentniacutech) magnetů Jednou zmagnetovanyacute materiaacutel si svůj

magnetismus udržiacute bez jakeacutekoliv vnějšiacute podpory Jednaacute se převaacutežně o slitiny oceli a chromu

wolframu a molybdenu

Magneticky měkkeacute materiaacutely majiacute malou remanentniacute magnetickou indukci a malou

koercitivniacute intenzitu tedy hysterezniacute smyčka je uacutezkaacute a maacute malou plochu Proto se použiacutevajiacute

tam kde dochaacuteziacute k časteacutemu přepoacutelovaacuteniacute magnetickeacuteho pole tedy v obvodech napaacutejenyacutech

střiacutedavyacutem proudem Malaacute plocha hysterezniacute smyčky je zaacuterukou malyacutech hysterezniacutech ztraacutet

Jednaacute se převaacutežně o slitiny železa s křemiacutekem nebo niklem

a) b)

Obr 107 - Materiaacutely magneticky a) tvrdeacute a b) měkkeacute

101

Protože feromagnetickeacute materiaacutely majiacute tendenci vracet se k předchoziacutemu magnetickeacutemu

stavu maacute i po dosaženiacute hodnoty ndash Hc při rychleacutem odpojeniacute budiacuteciacuteho proudu materiaacutel

zachovaacutenu určitou magnetickou indukci k niacutež se vraciacute ndash viz bod X na obr 108 a) Pro uacuteplneacute

odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu je nutneacute při každeacutem cyklu přemagnetovaacuteniacute

snižovat budiacuteciacute proud tedy i intenzitu magnetickeacuteho pole tak dlouho až magnetizmus klesne

k nule Vrcholy takto vzniklyacutech hysterezniacutech smyček ležiacute na křivce kteraacute je teacuteměř shodnaacute

s křivkou prvotniacute magnetizace a nazyacutevaacuteme ji komutačniacute křivka ndash viz obr 108 b)

a) b)

Obr 108 - Odmagnetovaacuteniacute feromagnetickeacuteho materiaacutelu a komutačniacute křivka

Přiacuteklady magnetizačniacutech charakteristik některyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

Obr 109 - Magnetizačniacute charakteristika pro ocel ndash H = 0 ndash 1500 Am

102

Obr 110 - Magnetizačniacute charakteristika pro šedou litinu

Obr 111 - Magnetizačniacute charakteristika pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg

103

Obr 112 - Přiacuteklady vyacutestupů při měřeniacute magnetizačniacutech charakteristik

104

56 Řešeniacute magnetickyacutech poliacute

Indukčniacute čaacutery každeacuteho magnetickeacuteho pole jsou uzavřeneacute křivky obepiacutenajiacuteciacute elektrickyacute proud

kteryacute toto pole vyvolal Intenzita magnetickeacuteho pole H je podiacutel proudu a deacutelky přiacuteslušneacute

indukčniacute čaacutery l

IH přiacutepadně

l

FH m kde

n

i

im IF1

tedy součet všech proudů ktereacute se

podiacutelely na vygenerovaacuteniacute přiacuteslušneacuteho magnetickeacuteho pole

Pro komplikovaneacute tvary se pro vyacutepočet intenzity magnetickeacuteho pole použiacutevaacute Biot-Savartův

zaacutekon

Biot-Savartův zaacutekon

Obr 113 - Biot-Savartův zaacutekon

Intenzita magnetickeacuteho pole H v bodě A vygenerovanaacute proudem I v čaacutesti vodiče o deacutelce l

je

sin4 2

r

lIH

kde je uacutehel mezi přiacuteslušnou čaacutestiacute vodiče l a spojniciacute r mezi čaacutestiacute vodiče a bodem A

Pozn Tento vztah berte jako fakt jeho odvozeniacute neniacute možneacute bez znalosti vyššiacute matematiky

kteraacute neniacute obsahem středoškolskyacutech osnov

561 Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče

Magnetickeacute indukčniacute čaacutery magnetickeacuteho pole přiacutemeacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud I majiacute

tvar soustřednyacutech kružnic ktereacute ležiacute v rovině kolmeacute k ose vodiče se středem ve středu

průřezu vodiče ndash obr 114 a) Intenzita magnetickeacuteho pole maacute na teacuteže indukčniacute čaacuteře všude

stejnou velikost a jejiacute směr je tečnyacute k magnetickeacute indukčniacute čaacuteře Smysl se určuje pravidlem

pravotočiveacuteho šroubu (nebo pravidlem praveacute ruky)

Intenzita magnetickeacuteho pole vně vodiče maacute velikost x

IH

2

kde x je vzdaacutelenost bodu v němž určujeme intenzitu od středu vodiče

Průběh H jako funkce vzdaacutelenosti od středu x pro x gt r je lomenaacute funkce průběh je tedy

hyperbolickyacute ndash obr 1 b) Maximaacutelniacute intenzity dosaacutehne pole na povrchu vodiče r

IH r

2

Ve vzdaacutelenosti b od středu vodiče je intenzita b

IHb

2

105

a) b)

Obr 114 - Magnetickeacute pole přiacutemeacuteho vodiče a) a průběh intenzity magnetickeacuteho pole b)

Intenzitu uvnitř vodiče generuje pouze ta čaacutest proudu kterou obepiacutenaacute přiacuteslušnaacute indukčniacute čaacutera

Proudovaacute hustota J ve vodiči je

2r

I

S

IJ

Budiacuteciacute proud pro poloměr a lt r je Ia

2

22

2 r

aIa

r

ISJI aa

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř vodiče ve vzdaacutelenosti a lt r od středu vodiče je tedy

2

2

2

222 r

aI

a

r

aI

a

IH

Tato funkce H = f (x) je pro x lt r lineaacuterniacute průběh intenzity H v zaacutevislosti na vzdaacutelenosti od

středu vodiče je přiacutemkovyacute

Přiacuteklad 46

Určete maximaacutelniacute intenzitu magnetickeacuteho pole a intenzitu magnetickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti

15 mm od povrchu vodiče o průměru 10 mm proteacutekaacute-li jiacutem proud 160 A

Řešeniacute

Maximaacutelniacute intenzita je na povrchu vodiče a je

509316000

1052

160

2 3max

r

IH Am

Intenzita ve vzdaacutelenosti 5 mm od povrchu vodiče je

1273104

40

10160

10)155(2

160

2

33

35

x

IH Am

106

562 Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

a) b)

Obr 115 - Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu a) pohled na zaacutevit b) řez A ndash A

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu je pole nehomogenniacute Indukčniacute čaacutery majiacute tvar

nesoustřednyacutech kružnic ndash viz obr 115 b) Hodnota intenzity magnetickeacuteho pole se určuje ve

středu zaacutevitu aplikaciacute Biot-Savartova zaacutekona na kruhovyacute zaacutevit

sin4 2

r

lIH

Uacutehel ve středu zaacutevitu je 90o pro kruhovyacute zaacutevit tedy platiacute

24 r

lIH

Celkovaacute intenzita magnetickeacuteho pole H bude daacutena součtem diacutelčiacutech intenzit po celeacute deacutelce

zaacutevitu

r

Ir

r

Il

r

I

r

lIH

rr

22

444 2

2

02

2

02

Tedy r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

563 Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

Za tenkou ciacutevku považujeme takovou ciacutevku pro jejiacutež rozměry platiacute

2

Dl a

212

DDD

kde D je středniacute průměr ciacutevky 2

12 DDD

Obr 116 - Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

107

Pole teacuteto ciacutevky bude podobneacute poli kruhoveacuteho zaacutevitu s tiacutem rozdiacutelem že na jeho vyvolaacuteniacute se

podiacuteliacute proud v N zaacutevitech Fm tedy bude rovno N I a intenzita magnetickeacuteho pole ve středu

ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr

Přiacuteklad 47

Určete kolik zaacutevitů musiacute miacutet tenkaacute ciacutevka o rozměrech podle obr 117 proteacutekaacute-li jiacute proud 2A

aby intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky byla 100 Am

Obr 117 - Tenkaacute ciacutevka pro přiacuteklad 47

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

r

INH

2 kde

2

Dr a

2

12 DDD

1052

110100

2

12

DD

D mm a 5522

105

2

Dr mm

Počet zaacutevitů v ciacutevce je

5522

10001055222 3

I

HrN Ciacutevka bude miacutet 53 zaacutevitů

564 Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Vaacutelcovaacute ciacutevka neboli solenoid ndash viz obr 118 - je takovaacute ciacutevka pro jejiacutež rozměry platiacute

podmiacutenka lD

Obr 118 - Vaacutelcovaacute ciacutevka

108

Obr 119 - Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

Uvnitř solenoidu je homogenniacute magnetickeacute pole ndash viz obr 119

Indukčniacute čaacutery jsou uvnitř ciacutevky rovnoběžneacute s osou ciacutevky a uzaviacuterajiacute se vnějšiacutem prostorem

Tvar magnetickeacuteho pole je totožnyacute s tvarem pole tyčoveacuteho magnetu ndash ciacutevka navenek vykazuje

severniacute poacutel (na tom konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vystupujiacute z ciacutevky) a jižniacute poacutel (na tom

konci ciacutevky kde indukčniacute čaacutery vstupujiacute do ciacutevky)

Protože prostor jiacutemž se vnějšiacute indukčniacute čaacutery uzaviacuterajiacute maacute velikyacute průřez je možneacute

magnetickyacute odpor teacuteto čaacutesti magnetickeacuteho obvodu zanedbat a za deacutelku magnetickeacuteho obvodu

lze pro praktickyacute vyacutepočet považovat deacutelku ciacutevky l Maacute-li ciacutevka N zaacutevitů je magnetickeacute napětiacute

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky v jejiacute ose je

l

IN

l

UH m

Přiacuteklad 48

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok ve středu vaacutelcoveacute ciacutevky

kteraacute maacute 500 zaacutevitů průměr 15 mm deacutelku 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro jehož relativniacute

permeabilita je 80 Ciacutevkou proteacutekaacute proud 05 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole ve středu ciacutevky je

250010505001010

505002

l

INH Am

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde

025132708010800000250080104 -7-7

0 HB r T

a

109

662232 10176714610)2

15()10

2

15( rS m

2

46 10444132201017671460251327 SB Wb

565 Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

Prstencovaacute ciacutevka neboli toroid ndash viz obr 120 ndash maacute N zaacutevitů navinutyacutech na prstenci o

kruhoveacutem průřezu Indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute uvnitř prstence a majiacute tvar soustřednyacutech

kružnic Magnetickeacute pole je teacuteměř homogenniacute

Obr 120 - Toroid a jeho magnetickeacute pole

Pro praktickyacute vyacutepočet poklaacutedaacuteme magnetickeacute pole za homogenniacute v takoveacutem přiacutepadě bude

intenzita magnetickeacuteho pole v celeacutem průřezu prstence stejnaacute Deacutelka indukčniacute čaacutery pak je 2r

kde r = D2 D je středniacute průměr prstence Tento předpoklad je tiacutem přesnějšiacute čiacutem je D většiacute

než d

Magnetickeacute napětiacute Um je

INUm

Intenzita magnetickeacuteho pole uvnitř ciacutevky je

r

IN

l

UH m

2

Přiacuteklad 49

Vypočiacutetejte intenzitu magnetickeacuteho pole a celkovyacute magnetickyacute tok v toroidu kteraacute maacute 400

zaacutevitů průměr průřezu jaacutedra 20 mm středniacute průměr prstence 10 cm a feromagnetickeacute jaacutedro

vyrobeneacute z oceli Ciacutevkou proteacutekaacute proud 08 A

Řešeniacute

Intenzita magnetickeacuteho pole je

10185923200

10

320

2

10102

80400

22

2

D

INH Am

110

Magnetickyacute tok vypočiacutetaacuteme ze vztahu S

B

SB kde hodnotu magnetickeacute indukce B zjistiacuteme

z magnetizačniacute křivky pro materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 1

Obr 121 - Odečteniacute magnetickeacute indukce z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu

662232 107853982105)102

10( rS m

2

46 101115265107853982421 SB Wb

57 Řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Jak již bylo uvedeno magnetickyacute obvod je draacuteha po ktereacute se uzaviacuteraacute magnetickyacute tok

Magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů a přiacutestrojů jsou většinou sestaveny tak aby byly

tvořeny převaacutežně z feromagnetickyacutech materiaacutelů z toho důvodu že i malyacutem budiacuteciacutem proudem

dociacuteliacuteme značneacute magnetickeacute indukce potřebneacute k praacuteci daneacuteho stroje nebo přiacutestroje

a) b)

Obr 122 - Magnetickyacute obvod a) rozvětenyacute b) nerozvětvenyacute se dvěma ciacutevkami

111

Pokud maacute magnetickyacute obod viacutece větviacute magnetickyacute tok se do nich rozděliacute a to tak že čiacutem

menšiacute bude magnetickyacute odpor větve tiacutem většiacute čaacutest magnetickeacuteho toku bude prochaacutezet touto

větviacute Na obraacutezku 1 a) jsou průřezy obou krajniacutech větviacute stejneacute polovičniacute než průřez středniacute

větve takže tok se rozděliacute na dvě stejneacute čaacutesti Teacuteměř 100 toku se bude uzaviacuterat po draacuteze

daneacute feromagnetickyacutem jaacutedrem protože magnetickyacute odpor okolniacuteho prostřediacute (vzduchu) je

mnohonaacutesobně vyššiacute nez odpor feromagnetickeacuteho obvodu Nepatrnaacute čaacutest magnetickeacuteho toku

kteraacute se uzaviacuteraacute vzduchem s nazyacutevaacute rozptylovyacute tok

Pro každeacute miacutesto kde se magnetickyacute tok děliacute (tzv uzel magnetickeacuteho obvodu) obecně platiacute že

součet všech magnetickyacutech toků do uzlu vstupujiacuteciacutech se rovnaacute součtu všech magnetickyacutech

toků z uzlu vystupujiacuteciacutech

01

n

k

k

Pokud se na vygenerovaacuteniacute magnetickeacuteho toku podiacuteliacute viacutece magnetickyacutech napětiacute celkoveacute

magnetomotorickeacute napětiacute je součtem jednotlivyacutech magnetickyacutech napětiacute

n

k

mkm UF1

Při řešeniacute magnetickyacutech obvodů využiacutevaacuteme Hopkinsonův zaacutekon

m

m

R

U

kde

S

lRm

1 (H

-1) r 0

571 Vyacutepočet magnetickyacutech obvodů buzenyacutech elektrickyacutem proudem

Uzavřenyacute toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu

Je-li na uzavřeneacutem toroidniacutem kroužku (jaacutedru) z feromagnetickeacuteho materiaacutelu o konstantniacutem

průřezu navinuta ciacutevka s N zaacutevity kterou proteacutekaacute proud I vznikne magnetickeacute pole ktereacute se

uzaviacuteraacute převaacutežně v jaacutedru rozptylovyacute tok v okolniacutem vzduchu je tak malyacute že je možneacute jej

v praktickeacutem vyacutepočtu zanedbat

Přiacuteklad 50

Vypočiacutetejte velikost budiacuteciacuteho proudu v ciacutevce o 200 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku

z oceli s rozměry podle obr 123 tak aby celkovyacute magnetickyacute tok 410-4

Wb D = 80 mm

d = 20 mm

Obr 123 - Toroidniacute jaacutedro

112

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je

SB

kde 662232 101431010)10

2

20( rS m

2

127314

400

10143

1046

4

SB T

Hodnotu intenzity magnetickeacuteho pole H zjistiacuteme z magnetizačniacute křivky pro

materiaacutel jaacutedra ndash viz obr 123 H = 1250 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute je

31415938025110801250 3 DHlHFm A

Budiacuteciacute proud bude

1570796200

3141593

N

FI m A

Přiacuteklad 51

Vypočiacutetejte velikost magnetickeacuteho odporu jaacutedra z předchoziacuteho přiacutekladu a relativniacute

permeabilitu materiaacutelu při daneacutem budiacuteciacutem proudu

Řešeniacute

Z Hopkinsonova zaacutekona m

m

R

U je

m

m

UR kde Um pro celeacute jaacutedro je rovno Fm

44

4107854

4

102314

104

2314

mm

FR H

-1

Magnetickyacute odpor tohoto jaacutedra je možneacute řešit takeacute ze vztahu

S

lRm

1

kde 00010161250

271

H

B (Hm

-1)

633

6

3

100787143

1080

1016

101

10143

1080

0001016

11

S

lRm H

-1

Vyacutesledek je teacuteměř stejnyacute zanedbatelnyacute rozdiacutel ve vyacutesledku je důsledkem

zaokrouhlovaacuteniacute

Relativniacute permeabilitu vypočteme ze vztahu

HB r 0 kde r 0 a 0= 410-7

Hm-1

113

58081008085071250 4

10101270

1250 10 4

271 33

7-

0

H

Br

Toroidniacute kroužek o konstantniacutem průřezu se vzduchovou mezerou

Pokud je vzduchovaacute mezera ve feromagnetickeacutem jaacutedru malaacute magnetickyacute tok se uzaviacuteraacute

v magnetickeacutem obvodu po stejneacutem průřezu S = r2

Obr 124 - Toroidniacute jaacutedro se vzduchovou mezerou

Magnetickaacute indukce je S

B

je tedy po celeacute deacutelce indukčniacute čaacutery stejnaacute

Intenzita magnetickeacuteho pole H je daacutena vztahem r

BH

0

Protože relativniacute permeabilita vzduchu je vyacuterazně menšiacute než relativniacute permeabilita

feromagnetickeacuteho materiaacutelu bude intenzita ve vzduchoveacute mezeře podstatně většiacute než

intenzita ve feromagnetickeacutem materiaacutelu

00

BBH

r

gtgt rFe

Fe

BH

0

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

0

BHUm

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

lB

lHUr

FemFe 0

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

mFemm UUF

Po dosazeniacute

0

BUUF mFemm l

B

r

0

114

Přiacuteklad 52

Určete jakyacute počet zaacutevitů musiacute miacutet toroidniacute ciacutevka navinutaacute na toroidniacutem kroužku z oceli se

vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 1 tak aby hodnota magnetickeacute indukce ve

vzduchoveacute mezeře byla 12 T D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm Budiacuteciacute proud může miacutet

hodnotu maximaacutelně 08 A

Řešeniacute

Magnetickeacute indukce je 12 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

100954934

1012

104

21

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro ocel HFe = 1200 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

1435395105110095493 36 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

A2997929)5180(21

)10511080(1200)(1200 33

DlHU FemFe

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

173518829979291435395 mFemm UUF A

Pro budiacuteciacute proud I = 08 A musiacute miacutet ciacutevka

2169216898508

1735188

I

FN m zaacutevitů

Přiacuteklad 53

Vypočiacutetejte celkovyacute magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu podle obr 125 Ciacutevka 1 maacute 500

zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 06 A ciacutevka 2 maacute 200 zaacutevitů a proteacutekaacute jiacute proud 09 A Jaacutedro je

vyrobeno z plechů pro elektrotechniku 22 Wkg

115

Obr 125 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 53

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

1201803009020060500221121 ININFFF mmm A

Intenzita magnetickeacuteho pole

375032

120

l

FH m Am

Magnetickou indukci odečteme z magnetizačniacute charakteristiky materiaacutelu jaacutedra

B = 12 T

Celkovyacute magnetickyacute tok je

34 10081103321)030030(21 SB Wb

Přiacuteklad 54

Vypočiacutetejte magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu podle obr 126 tak aby

magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře byla 16 T Jaacutedro je vyrobeno z plechů pro

elektrotechniku 22 Wkg Navrhněte počet zaacutevitů ciacutevky a velikost budiacuteciacuteho proudu

Obr 126 - Magnetickyacute obvod pro přiacuteklad 54

116

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

3182)9070(2 l mm

Magnetickeacute indukce je 16 T a je stejnaacute ve vzduchoveacute mezeře i ve

feromagnetickeacutem jaacutedru

Intenzita magnetickeacuteho pole ve vzduchoveacute mezeře je

66

7

0

10127324104

104

61

BH Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti odečteme z magnetizačniacute

charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash HFe = 3500 Am

Magnetickeacute napětiacute ve vzduchoveacute mezeře je

336 10254647910210127324 HUm A

Magnetickeacute napětiacute ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu je

1113103183500 3 lHU FemFe A

Celkoveacute magnetomotorickeacute napětiacute je

36595525461113 mFemm UUF A

Protože bm INF navrhneme vhodnyacute budiacuteciacute proud dopočiacutetaacuteme počet zaacutevitů a

provedeme korekci proudu pro celeacute čiacuteslo počtu zaacutevitů

Napřiacuteklad je-li pro Ib možneacute použiacutet maximaacutelně 5 A pak

73195

36595

I

FN m - navrhneme tedy např N = 800 zaacutevitů a

budiacuteciacute proud bude 4574375800

36595

N

FI m

b A

Graficko-početniacute metoda řešeniacute magnetickyacutech obvodů

Pokud je magnetickyacute obvod složen z viacutece čaacutestiacute z různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů a je

znaacutemeacute magnetomotorickeacute napětiacute je problematickeacute vypočiacutetat magnetickyacute tok Platiacute že např

pro dvě čaacutesti obvodu

21 mm

m

RR

U

ndash Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickyacute odpor u feromagnetickyacutech materiaacutelů je ale zaacutevislyacute na velikosti magnetizace a

proto ho neniacute možneacute běžnyacutem způsobem spočiacutetat ndash hodnota neniacute konstantniacute ndash je daacutena

magnetizačniacute křivkou

Proto byla vyvinuta tzv graficko-početniacute metoda kteraacute spočiacutevaacute ve vykresleniacute funkce

)( mFf kteraacute je pro maleacute rozdiacutely toku přibližně lineaacuterniacute Z průběhu teacuteto funkce je pak

možneacute odečiacutest magnetickyacute tok pro zadanou hodnotu magnetomotorickeacuteho napětiacute Fm

117

Je-li zadaacutena konkreacutetniacute hodnota Fm při řešeniacute postupujeme tak že zvoliacuteme libovolnyacute tok 1 a

pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm1 Tok voliacuteme tak aby Fm1 lt Fm

Poteacute zvoliacuteme libovolnyacute tok 2 a pro něj vypočiacutetaacuteme přiacuteslušneacute magnetomotorickeacute napětiacute Fm2

tok voliacuteme tak aby Fm2 gt Fm

Tiacutem ziacuteskaacuteme dva body magnetizačniacute křivky a nakresliacuteme průběh funkce )( mFf

Obr 127 - Funkce )( mFf

Při volbě hodnot 1 a 2 se snažiacuteme aby uacutesek mezi nimi byl co nejmenšiacute pak je lineaacuterniacute

naacutehrada magnetizačniacute křivky velmi přesnaacute

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok vyacutesl ziacuteskaacuteme odečtem jeho hodnoty pro zadaneacute magnetomotorickeacute

napětiacute z grafu funkce )( mFf

Přiacuteklad 55

Vypočiacutetejte magnetickyacute tok v magnetickeacutem obvodu ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech

materiaacutelů a to z plechů pro elektrotechniku s měrnyacutemi ztraacutetami 22 Wkg a z šedeacute litiny podle

obr 128 Budiacuteciacute proud je 15 A a ciacutevka maacute 500 zaacutevitů

Obr 128 - Magnetickyacute obvod ze dvou různyacutech feromagnetickyacutech materiaacutelů

118

Řešeniacute

Magnetomotorickeacute napětiacute v magnetickeacutem obvodu

75051500 INFm A

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash plechy - je

18090452 plechyl mm

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery ve feromagnetickeacute čaacutesti obvodu ndash litina - je

14090252 litinal mm

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 1 = 510-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm1

Protože průřez v obou materiaacutelech je stejnyacute bude i magnetickaacute indukce B stejnaacute

pro oba materiaacutely

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0555556109

1054

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

200 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 2400 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 1 je Fm1

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

3723363610140240010180200 33

1

Zvoliacuteme magnetickyacute tok 2 = 710-4

Wb a vypočteme magnetomotorickeacute napětiacute

Fm2

SB

kde 633 1090010301030 S m

2

0777778109

1074

4

SB T

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash plechy - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro plechy pro elektrotechniku 22 Wkg ndash Hplechy =

400 Am

Intenzitu magnetickeacuteho pole ve feromagnetickeacute čaacutesti ndash litina - odečteme

z magnetizačniacute charakteristiky pro šedou litinu ndash Hlitina = 5300 Am

Magnetomotorickeacute napětiacute pro tok 2 je Fm2

A

lHlHUUF LitinaLitinaPlechyPlechymLitinamPlechym

8147427210140530010180400 33

2

Z hodnot Fm1 = 372 A 1 = 510-4

Wb a Fm2 = 814 A 2 = 710-4

Wb sestrojiacuteme

v Excelu graf funkce )( mFf

119

Fm (A) 372 814

Wb 00005 00007

Obr 129 - Graf funkce )( mFf pro přiacuteklad 55

Vyacuteslednyacute magnetickyacute tok odečteme z grafu - vyacutesl = 000067 Wb

58 Elektromagnetickaacute indukce

581 Indukčniacute zaacutekon

Jak již bylo vysvětleno prochaacuteziacute-li vodičem elektrickyacute proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute

pole Řadou pokusů bylo doloženo že i magnetickeacute pole způsobuje elektrickeacute jevy

Pokud se bude měnit magnetickyacute tok skrz vodivou smyčku bude se ve smyčce indukovat

elektrickeacute napětiacute Bude-li smyčka uzavřenaacute začne jiacute proteacutekat elektrickyacute proud

Tento jev je vyjaacutedřen tzv indukčniacutem zaacutekonem

Indukčniacute zaacutekon

Časovou změnou magnetickeacuteho toku spřaženeacuteho s vodivou smyčkou se ve smyčce indukuje

elektrickeacute napětiacute u

dt

du

kde d = změna (přiacuterůstek nebo uacutebytek) magnetickeacuteho toku

dt = změna času za kteryacute se magnetickyacute tok změnil o d

120

Obr 130 - Magnetickyacute tok spřaženyacute se smyčkou a indukčniacute zaacutekon

Pozn

Malaacute piacutesmena označujiacuteciacute veličinu znamenajiacute že se jednaacute o okamžitou hodnotu

veličiny kteraacute se v průběhu času může měnit

Pokud bude smyčka ve ktereacute se indukuje napětiacute uzavřenaacute bude jiacute proteacutekat proud i

Obr 131 - Indukovaneacute napětiacute a proud

Smysl indukovaneacuteho napětiacute bude takovyacute aby proud v obvodu působil magnetickyacutem polem

ktereacute vybudiacute proti změně spřaženeacuteho magnetickeacuteho toku (Lencův zaacutekon)

Vodivaacute smyčka skrz kterou prochaacuteziacute měniacuteciacute se magnetickyacute tok je zaacutekladniacutem principem

ziacuteskaacutevaacuteniacute elektrickeacute energie

Indukovaneacute napětiacute u a vnitřniacute (elektromotorickeacute) napětiacute zdroje e jsou stejně velkaacute a majiacute

opačnou polaritu u = -e

Bude-li prochaacutezet magnetickyacute tok ciacutevkou o N zaacutevitech a bude se měnit v zaacutevislosti na čase ndash

viz obr 132 bude se v ciacutevce indukovat napětiacute

dt

dNu

(zaacutevity jsou bdquospojenyldquo do seacuterie napětiacute se sčiacutetajiacute)

Obr 132 - Elektromagnetickaacute indukce v ciacutevce

121

Napětiacute v zaacutevitu (v ciacutevce) se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit magnetickyacute tok

zaacutevitem (ciacutevkou) Čiacutem rychlejšiacute bude změna toku tiacutem většiacute bude indukovaneacute napětiacute Bude-li

tok konstantniacute indukovaneacute napětiacute je nuloveacute

Přiacuteklad 56

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute v ciacutevce o 150 zaacutevitech je-li v celeacutem prostoru uvnitř ciacutevky

homogenniacute magnetickeacute pole jehož magnetickaacute indukce se měniacute plynule za 005 s z 0 na 08 T

a za naacutesledujiacuteciacute 005 s z 08 T na 0 Vnitřniacute průřez ciacutevky je 2cm2 Vypočiacutetejte indukovaneacute

napětiacute a nakreslete graf zaacutevislosti u = f(t)

Řešeniacute

Magnetickyacute tok je

SB

Na začaacutetku a na konci bude magnetickyacute tok roven 0

Po 05 s bude tok

44 106110208 SB Wb

Změna magnetickeacuteho toku bude

44

01 106101061 d Wb

Změna času bude

050dt s

Protože změna bude plynulaacute indukovaneacute napětiacute bude konstantniacute a to

4801048001032150050

1061150 44

4

dt

dNu V

V průběhu prvniacutech 005 s se magnetickyacute tok plynule zvětšuje indukovaneacute napětiacute

je tedy konstantniacute a kladneacute v průběhu dalšiacutech 005 s hodnota toku plynule klesaacute

indukovaneacute napětiacute bude zaacuteporneacute

Průběh indukovaneacuteho napětiacute v zaacutevislosti na čase je na obr 133

Obr 133 - Průběh indukovaneacuteho napětiacute u = f(t) z přiacutekladu 56

122

582 Pohyboveacute napětiacute

Měniacute-li se magnetickyacute tok vodivou smyčkou indukuje se ve smyčce elektrickeacute napětiacute

Na obr 134 jsou dva rovnoběžneacute vodiče jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost je l ktereacute jsou na

jednom konci vodivě spojeny a na druheacutem konci (v bodu X) na nich kolmo ležiacute dalšiacute vodič

vzaacutejemnyacute dotek vodičů je vodivyacute Toto uspořaacutedaacuteniacute vodičů tvořiacute smyčku Kolmo k ploše teacuteto

smyčky působiacute magnetickeacute pole o magnetickeacute indukci B Velikost ani směr magnetickeacuteho

toku se neměniacute

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v ve směru osy pevnyacutech podeacutelnyacutech vodičů ndash viz

obr 134 ndash z bodu X do bodu Y bude se ve smyčce indukovat napětiacute u ndash tzv pohyboveacute napětiacute

Obr 134 - Vznik pohyboveacuteho napětiacute

Velikost indukovaneacuteho pohyboveacuteho napětiacute vypočiacutetaacuteme z indukčniacuteho zaacutekona dt

du

Za čas t se přiacutečnyacute vodič posune o vzdaacutelenost tvs Magnetickyacute tok smyčkou se tedy

zmenšiacute o hodnotu

ltvBlsBSB

Velikost napětiacute indukovaneacuteho při pohybu vodiče bude

vlBt

ltvB

dt

du

)(

Začne-li se přiacutečnyacute vodič pohybovat rychlostiacute v zpět z bodu Y do bodu X magnetickyacute tok

smyčkou se zvětšiacute o hodnotu a ve smyčce se bude indukovat napětiacute obraacuteceneacute polarity

vlBt

ltvB

dt

du

Pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče

elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute

Smysl indukovaneacuteho napětiacute a proudu je daacuten Lenzovyacutem zaacutekonem

Lenzův zaacutekon

Indukovanyacute elektrickyacute proud v uzavřeneacutem obvodu maacute takovyacute směr že svyacutem magnetickyacutem

polem působiacute proti změně magnetickeacuteho indukčniacuteho toku kteraacute je jeho přiacutečinou

123

Obr 135 - Lenzův zaacutekon

Pokud se magnetickyacute tok zmenšuje je směr proudu takovyacute aby jiacutem vyvolaneacute magnetickeacute

pole původniacute magnetickyacute tok zesilovalo ndash viz obr 135 a naopak pokud se tok zvětšuje směr

proudu bude takovyacute aby jeho magnetickeacute pole původniacute pole zeslabovalo

Přiacuteklad 57

Jakeacute je indukovaneacute napětiacute ve vodiči kteryacute se pohybuje v homogenniacutem magnetickeacutem poli o

magnetickeacute indukci B = 12 T rychlostiacute 05 ms je-li deacutelka jiacutež vodič zasahuje do

magnetickeacuteho pole 30 cm osa vodiče je kolmaacute k magnetickyacutem indukčniacutem čaraacutem a vektor

rychlosti v sviacuteraacute se směrem indukčniacutech čar uacutehel a) 90o b) 0

o a c) 60

o

Řešeniacute

a) Při uacutehlu 90 o

bude indukovaneacute napětiacute největšiacute a to

180503021 vlBu V

b) Při uacutehlu 0

o bude indukovaneacute napětiacute nuloveacute pohyb probiacutehaacute ve směru

indukčniacutech čar a tudiacutež magnetickeacute pole neprotiacutenaacute změna toku ve smyčce je

nulovaacute

u = 0

c) Při uacutelu 60o se bude na elektromagnetickeacute indukci podiacutelet pouze ta složka

rychlosti kteraacute je kolmaacute k indukčniacutem čaraacutem složka s indukčniacutemi čarami

rovnoběžnaacute neovlivniacute velikost indukovaneacuteho napětiacute Vektor rychlosti

rozložiacuteme na dvě kolmeacute složky a vypočiacutetaacuteme složku kolmou k indukčniacutem

čaraacutem

250505060cos50 0 kolmaacutev ms

Obr 136 - Rozklad rychlosti na složky

124

Indukovaneacute napětiacute pak bude

0902503021 kolmaacutevlBu V

583 Vlastniacute indukčnost

Bude-li ciacutevkou o N zaacutevitech prochaacutezet elektrickyacute proud kteryacute se s časem měniacute vznikne v niacute

magnetickyacute tok kteryacute se pochopitelně s časem takeacute měniacute ndash viz obr 137 a v ciacutevce se bude

indukovat napětiacute

dt

dNu

Obr 137 - Vlastniacute indukčnost ciacutevky

Protože platiacute Hopkinsonův zaacutekon m

m

R

U kde INUm a tedy po dosazeniacute

mR

IN

můžeme vyjaacutedřit vztah pro změnu magnetickeacuteho toku v zaacutevislosti na změně budiacuteciacuteho proudu

za čas dt

mR

diNd

V každeacutem zaacutevitu ciacutevky se bude indukovat napětiacute

dt

R

diN

u m

Ciacutevka maacute N zaacutevitů (za sebou) a tak bude celkoveacute indukovaneacute napětiacute

dt

di

R

N

dt

R

diN

Ndt

dNu

m

m

2

Vyacuteraz mR

N 2

byl nazvaacuten vlastniacute indukčnost ciacutevky a značiacute se L Pak lze psaacutet

125

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

mR

NL

2

Jednotkou indukčnosti je henry (H) Rozměr jednotky H je

di

dtuL

1

)(

)()()(

AsV

A

sVH

Velikost vlastniacute indukčnosti zaacutevisiacute na konstrukčniacutech a materiaacutelovyacutech parametrech ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde S je průřez ciacutevky l je jejiacute deacutelka 0 je permeabilita vakua a r je relativniacute permeabilita

materiaacutelu ze ktereacuteho je vyrobeno jaacutedro ciacutevky

Pokud je jaacutedro ciacutevky z neferomagnetickeacuteho materiaacutelu je indukčnost ciacutevky konstantniacute

nezaacutevislaacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu

Ciacutevka kteraacute maacute jaacutedro z feromagnetickeacuteho materiaacutelu maacute indukčnost vyacuterazně většiacute diacutek vyššiacute

hodnotě r ale jejiacute velikost neniacute konstantniacute zaacutevisiacute na velikosti budiacuteciacuteho proudu To se

v praxi řešiacute přidaacutevaacuteniacutem vzduchovyacutech mezer do magnetickeacuteho obvodu jaacutedra ciacutevky čiacutemž se

nelinearita indukčnosti omeziacute na minimum Pro vyacutepočet indukčnostiacute se v praxi využiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

Přiacuteklad 58

Jakeacute je indukčnost ciacutevky s jaacutedrem z elektrotechnickeacute lepenky o průměru 1cm maacute-li 50 zaacutevitů

vinutyacutech těsně v jedineacute vrstvě průměr vodiče je 04 mm

Řešeniacute

Obr 138 - Jednovrstvaacute ciacutevka

Indukčnost ciacutevky je

l

SN

R

NL r

m

0

22

kde l = N 04 = 50 04 = 20 mm

a S = r2 = 52

=7853982 mm2

3

672

0

2

1020

10547810450

l

SNL r

126

66

372 1039320

105478101041025

H

Přiacuteklad 59

Vypočiacutetejte indukčnost toroidniacute ciacutevky o 1500 zaacutevitech navinuteacute na toroidniacutem kroužku z oceli

se vzduchovou mezerou s rozměry podle obr 139 D = 80 mm d = 20 mm = 15 mm

Relativniacute permeabilita materiaacutelu jaacutedra je 400

Obr 139 - Magnetickyacute obvod toroidniacute ciacutevky

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor ve vzduchoveacute mezeře Rm

23

3

7

0 )1010(

1051

104

11

S

Rm

66437

102534

10100101051

4

10

H

-1

Magnetickyacute odpor ve feromagnetickeacutem jaacutedru

23

33

7

0 )1010(

10511080

400104

11

S

lR

r

Fem

6437

4

337

101564004

105781010

10

10511080

4004

10

H

-1

Indukčnost ciacutevky je

0549561532

51

10)561532(

1500 2

6

222

mFemm RR

N

R

NL

H

584 Vzaacutejemnaacute indukčnost

Pokud do bliacutezkosti ciacutevky 1 (primaacuterniacute ciacutevky) kterou proteacutekaacute proud I1 umiacutestiacuteme dalšiacute ciacutevku 2

(sekundaacuterniacute ciacutevku) nastane naacutesledujiacuteciacute situace proud I1 v primaacuterniacute ciacutevce vybudiacute magnetickyacute

tok 1 jehož čaacutest 12 se uzaviacuteraacute i ciacutevkou 2 ndash viz obr 140

127

Obr 140 - Vzaacutejemnaacute indukčnost

Bude-li se proud I1 v ciacutevce 1 v průběhu času měnit bude se měnit i magnetickyacute tok 1 a tiacutem i

jeho čaacutest 12 ciacutevkou 2 Viacuteme že pokud se měniacute magnetickyacute tok ciacutevkou v ciacutevce se indukuje

elektrickeacute napětiacute Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce se bude

indukovat elektrickeacute napětiacute U2 v sekundaacuterniacute ciacutevce Lze psaacutet

dt

dikonstu 1

2

Konstantu v uvedeneacutem vztahu nazyacutevaacuteme vzaacutejemnaacute indukčnost a označujeme ji M Jednotkou

vzaacutejemneacute indukčnosti je henry (H)

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti pro dvě ciacutevky určiacuteme pomociacute Hopkinsonova zaacutekona

Magnetickyacute tok 1 a tiacutem i jeho čaacutest 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou byl vybuzen magnetomotorickyacutem

napětiacutem primaacuterniacute ciacutevky Fm1

111 INFm

Je-li magnetickyacute odpor magnetickeacute cesty mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou Rm12 je velikost

magnetickeacuteho toku 12 sekundaacuterniacute ciacutevkou

12

1112

mR

IN

Napětiacute U2 indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce změnou proudu I1 v primaacuterniacute ciacutevce tedy bude

dt

diM

dt

di

R

NN

dt

di

R

NN

dt

dNu

mm

11

12

121

12

12

1222

Velikost vzaacutejemneacute indukčnosti je

12

12

mR

NNM

Pokud budou obě ciacutevky navinuty na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru - viz obr 141 teacuteměř

všechen magnetickyacute tok 1 vygenerovanyacute primaacuterniacute ciacutevkou se bude uzaviacuterat i prostorem

sekundaacuterniacute ciacutevky V ideaacutelniacutem přiacutepadě bude12 = 1

128

Obr 141 - Vzaacutejemnaacute vazba mezi ciacutevkami

Vlastniacute indukčnost primaacuterniacute ciacutevky L1 a vlastniacute indukčnost sekundaacuterniacute ciacutevky L2 je

mR

NL

2

11

mR

NL

2

22

Vzaacutejemnaacute indukčnost M je

mR

NNM 12

Umocniacuteme-li tento vztah na druhou dostaneme

21

2

1

2

2

2

2

1

2

22122 )( LLRR

NN

R

NN

R

NNM

mmmm

a tedy

22 LLM

Změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce o hodnotu di za čas dt napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute

ciacutevce bude

dt

di

R

N

dt

diLu

m

2

111

a napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce bude

dt

di

R

NN

dt

diMu

m

212

Poměr napětiacute 2

1

u

uje

2

1

21

2

1

2

1

N

N

dt

di

R

NN

dt

di

R

N

u

u

m

m

Tento poměr se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

129

Ve skutečnosti nebyacutevaacute magnetickyacute tok 1 stoprocentně spřažen se sekundaacuterniacute ciacutevkou ale

dochaacuteziacute k jisteacutemu magnetickeacutemu rozptylu magnetickyacute tok 12 je oproti toku 1 menšiacute praacutevě

o tento rozptylovyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute vzduchem nebo konstrukčniacutemi prvky v okoliacute ciacutevek

Pak

22 LLM 22 LLM kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Přiacuteklad 60

Vypočiacutetejte vlastniacute indukčnosti ciacutevek L1 a L2 a jejich vzaacutejemnou indukčnost M Počet zaacutevitů

primaacuterniacute ciacutevky je 1000 počet zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky je 150 magnetickyacute obvod je na obr

142 Činitel vazby mezi ciacutevkami je 09 Relativniacute permeabilita feromagnetickeacuteho materiaacutelu je

800

Obr 142 - Společnyacute magnetickyacute obvod ciacutevek

Řešeniacute

Deacutelka středniacute indukčniacute čaacutery je

320)9070(2 l mm

Magnetickyacute odpor RmFe

64273

23

3

7

0

100353678984

10101010320

)1030(

10320

800104

11

S

lR

r

Fem

H-1

Indukčnost prvniacute ciacutevky

28274330353678

1

100353678

10006

22

11

mFeR

NL H

Indukčnost druheacute ciacutevky

636000353678

1051

100353678

150 22

6

22

22

mFeR

NL H

Vzaacutejemnaacute indukčnost ciacutevek

0381704636002839022 LLM H

130

Přiacuteklad 61

Vypočiacutetejte jakeacute napětiacute se bude indukovat v primaacuterniacute i sekundaacuterniacute ciacutevce z předchoziacuteho

přiacutekladu změniacute-li se proud v primaacuterniacute ciacutevce z 01 na 06 A za 002 s

Řešeniacute

Napětiacute indukovaneacute v primaacuterniacute ciacutevce

770002

01-06282743311

dt

diLu V

Napětiacute indukovaneacute v sekundaacuterniacute ciacutevce

549002

01-0638202

dt

diMu V

Pozn pokud by rozptylovyacute tok byl nulovyacute pak by indukovaneacute napětiacute ve druheacute

ciacutevce bylo u2ideaacutel

1060288020

50

0353678

150

002

01-06

100353678

15010006

1

12

122

dt

di

R

NNu

m

ideaacutel V

Spočiacutetaacuteme-li poměr u1 u2ideaacutel dostaneme 707106 = 667

Spočiacutetaacuteme-li poměr N1N2 dostaneme 1000150 = 667

Z rovnosti vyplyacutevaacute že pro ideaacutelniacute vazbu mezi ciacutevkami platiacute

2

1

2

1

N

N

u

u hellip transformačniacute poměr

585 Spojovaacuteniacute ciacutevek

Schematickaacute značka ciacutevky v elektrotechnickyacutech obvodech je

Ciacutevky se mohou spojovat seacuteriově nebo paralelně

Ciacutevky spojeneacute seacuteriově

Spojiacuteme-li do seacuterie dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute seacuterioveacute spojeniacute ndash viz obr 143

to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech indukovat

stejneacute napětiacute

Obr 143 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

131

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu kde dt

diLu 11 a

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )( 2121 LLdt

di

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21 LLL

Celkovaacute indukčnost dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute magnetickaacute

vazba (M = 0) je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n seacuteriově zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je do seacuterie zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k

kLL1

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute vazba ndash viz obr 144 tedy je nenulovaacute vzaacutejemnaacute

indukčnost M pak pokud se jejich magnetickaacute pole sčiacutetajiacute lze psaacutet

Obr 144 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Celkovaacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech do seacuterie mezi nimiž je vzaacutejemnaacute indukčnost M

je rovna součtu indukčnostiacute jednotlivyacutech ciacutevek a jejich vzaacutejemnyacutech indukčnostiacute

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny bdquoproti soběldquo ndash

viz obr 145 pak se jejich magnetickaacute pole odečiacutetajiacutečiacutetajiacute a lze psaacutet

132

Obr 145 - Naacutehrada seacuteriově spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M zapojenyacutech bdquoproti

soběldquo

Pro prvniacute obvod

21 uuu kde dt

diM

dt

diLu 11 a

dt

diM

dt

diLu 22

Po dosazeniacute )2( 2121 MLLdt

di

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diLu

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že MLLL 221

Ciacutevky spojeneacute paralelně

Spojiacuteme-li paralelně dvě ciacutevky o indukčnostech L1 a L2 můžeme je v obvodu nahradit jedinou

ciacutevkou o indukčnosti L kteraacute maacute stejneacute vnějšiacute uacutečinky jako daneacute paralelniacute spojeniacute ndash viz obr

146 to znamenaacute že při stejnyacutech změnaacutech proudu v obvodu se bude v obou přiacutepadech

indukovat stejneacute napětiacute

Obr 146 - Naacutehrada paralelně spojenyacutech ciacutevek s nulovou vzaacutejemnou indukčnostiacute

Pokud mezi oběma ciacutevkami neniacute žaacutednaacute vazba tedy vzaacutejemnaacute indukčnost M = 0 pro prvniacute

obvod lze psaacutet

21 uuu a 21 iii tedy takeacute 21 dididi

kde dt

diLu 1

11 a dt

diLu 2

22

a tedy dt

diLu 1

1 a dt

diLu 2

2

z toho 1

1

L

u

dt

di a

2

2

L

u

dt

di

133

Po dosazeniacute 21 dididi

21 L

u

L

udi

Pro vyacuteslednou indukčnost platiacute

dt

diLu z toho

L

u

dt

di

Z rovnosti těchto vztahů je patrneacute že 21

111

LLL

Převraacutecenaacute hodnota celkoveacute indukčnosti dvou ciacutevek zapojenyacutech paralelně mezi nimiž neniacute

vzaacutejemnaacute magnetickaacute vazba (M = 0) je rovna součtu převraacutecenyacutech hodnot indukčnostiacute

jednotlivyacutech ciacutevek

Analogicky lze vyjaacutedřit vyacuteslednou indukčnost n paralelně zapojenyacutech ciacutevek

Pokud je paralelně zapojeno několik ciacutevek mezi nimiž neniacute vzaacutejemnaacute vazba platiacute pro

vyacuteslednou indukčnost tohoto zapojeniacute vztah

n

k kLL 1

11

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny paralelně ndash viz

obr 147 pak jejich magnetickaacute pole působiacute souhlasně a analogicky platiacute

MLMLL

21

111

Obr 147 - Vyacuteslednaacute indukčnost paralelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

Pokud je mezi oběma ciacutevkami vzaacutejemnaacute indukčnost M a civky jsou zapojeny antiparallně ndash

viz obr 148 pak jejich magnetickaacute pole působiacute proti sobě a lze psaacutet

MLMLL

21

111

Obr 148 - Vyacuteslednaacute indukčnost antiparalelně spojenyacutech ciacutevek se vzaacutejemnou indukčnostiacute M

134

Přiacuteklad 62

Jakaacute je vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek spolenyacutech do seacuterie je-li celkovaacute indukčnost

seacuterioveacuteho spojeniacute ciacutevek 180 mH vlastniacute indukčnost prvniacute ciacutevky je 100 mH a vlastniacute

indukčnost druheacute ciacutevky je 40 mH

Řešeniacute

Vyacuteslednaacute indukčnost při seacuterioveacutem spojeniacute dvou ciacutevek je

MLLL 221

Z toho

202

)40100(180

2

)( 21

LLL

M mH

585 Přechodovyacute jev na indukčnosti

Napětiacute v ciacutevce se bude indukovat pouze tehdy bude-li se měnit elektrickyacute proud v ciacutevce

dt

diLuiL

Bude-li proud konstantniacute(di = 0) indukovaneacute napětiacute je nuloveacute Ciacutevka připojenaacute ke zdroji

stejnosměrneacuteho napětiacute bude v ustaacuteleneacutem stavu vykazovat pouze ohmickyacute odpor R danyacute

odporem draacutetu z něhož je ciacutevka navinuta (POZOR - většinou se jednaacute o měděnyacute draacutet odpor

bude tedy velmi malyacute a při většiacutech napětiacutech by velkyacute proud během kraacutetkeacute doby ciacutevku

poškodil)

V okamžiku připojeniacute ciacutevky ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute nastaacutevaacute tzv přechodovyacute děj na

indukčnosti

Obr 149 - Přechodovyacute jev na indukčnosti

V obvodu platiacute v každeacutem okamžiku 2 Kirchhoffův zaacutekon

V čase t0 = 0 (tj při sepnutiacute spiacutenače S) musiacute byacutet proud ciacutevkou 0 pokud by měl proud

jakoukoliv jinou hodnotu pak di by bylo di = i - 0 tedy nenuloveacute a dt v čase t = 0 by bylo 0

pak vyacuteraz dt

diLuL by se bliacutežil k nekonečnu a to je v rozporu s 2 Kirchhoffovyacutem zaacutekonem

Pro t0 platiacute

t0 = 0 i = 0 uR = Ri = 0 uL = U0 - uR = U0 ndash 0 = U0

135

V čase t0 = 0 se celeacute napětiacute zdroje U0 objeviacute na ciacutevce na ciacutevce je tedy v tomto momentu

největšiacute napětiacute pro celyacute průběh přechodoveacuteho děje Je-li největšiacute indukovaneacute napětiacute znamenaacute

to že v tomto momentě je největšiacute změna proudu i ndash průběh proudu je nejstrmějšiacute

V ustaacuteleneacutem stavu t (to je po dostatečneacute době po sepnutiacute spiacutenače S - přechodoveacute děje

v elektrotechnice jsou velmi rychleacute čas v němž obvod dosaacutehne ustaacuteleneacuteho stavu je

maximaacutelně v řaacutedu sekund) se veličiny v obvodu již neměniacute jsou konstantniacute Platiacute

t0 i = konst di = 0 0dt

di

0dt

diLuL uR = U0 ndash uL = U0 ndash 0 = U0

R

U

R

ui R 0

V ustaacuteleneacutem stavu se v ciacutevce neindukuje napětiacute celeacute napětiacute zdroje U0 je na rezistoru a proud

v obvodu je omezen jen odporem rezistoru

Průběh proudu a napětiacute je na obr 150

Naacuterůst proudu se postupně zpomaluje indukovaneacute napětiacute ciacutevky klesaacute proud roste a roste i

napětiacute na odporu uR Průběh je daacuten čaacutestiacute exponenciaacutelniacute křivky tečna v jejiacutem počaacutetku vytne na

ose času hodnotu tzv časoveacute konstanty

t

L eUu

0

kde

R

L

Obr 150 - Průběh proudu a napětiacute při přechodoveacutem ději na indukčnosti

59 Energie magnetickeacuteho pole

Viacuteme že v okoliacute vodiče kteryacutem proteacutekaacute elektrickyacute proud vznikaacute magnetickeacute pole a to silově

působiacute na feromafneticleacute předměty nebo na jineacute vodiče jimiž proteacutekaacute proud

Z toho je patrneacute že na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole je potřebnaacute určitaacute energie kterou dodaacute

průchod elektrickeacuteho proudu a ta zůstaacutevaacute v magnetickeacutem poli nahromaděna Na jejiacute

udržovaacuteniacute již neniacute třeba žaacutednou dalšiacute energii (pokud neuvažujeme ztraacutety Jouleovyacutem teplem)

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole je daacutena vztahem

mm UW 2

1 (J Wb A)

Pro magnetickaacute pole zavaacutediacuteme pojem hustota energie označeniacute wm což je množstviacute energie

nahromaděneacute v jednotce objemu V = Sl kde S je průřez a l deacutelka objemu

136

HBlS

U

V

U

V

Ww mmm

m

2

1

22

Tento vztah platiacute obecně v ktereacutemkoliv prostřediacute protože veličiny B a H se vztahujiacute ke

konkreacutetniacutemu miacutestu magnetickeacuteho pole

Celkovaacute energie magnetickeacuteho pole pak je

lSHBVHBVwW mm 2

1

2

1

Přiacuteklad 63

Vypočtěte energii kteraacute je nahromaděna v magnetickeacutem poli ciacutevky

Řešeniacute

Energie magnetickeacuteho pole je

mm UW 2

1

kde INUm a mR

IN

Po dosazeniacute

mm

mmR

ININ

R

INUW

22

2

1

2

1

2

1

Protože LR

N

m

2

dostaneme vyacuteraz 2

2

1ILWm

510 Ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Viacuteřiveacute proudy a ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy

Viacuteřiveacute proudy (takeacute nazyacutevaneacute Foucaultovy proudy) jsou proudy vznikleacute ve vodivyacutech

materiaacutelech vlivem proměnliveacuteho magnetickeacuteho pole

Změnou magnetickeacuteho toku se ve vodivyacutech součaacutestech indukuje napětiacute ktereacute v uzavřenyacutech

vodivyacutech obvodech ndash vodivyacutech materiaacutelech ndash vyvolaacutevaacute proudy Tyto proudy se uzaviacuterajiacute ve

vodiveacutem materiaacutelu cestou nejmenšiacuteho odporu Podle Lenzova zaacutekona působiacute tyto proudy proti

přiacutečině kteraacute je vyvolala a tak zeslabujiacute původniacute magnetickyacute tok a to nejviacutece ve středniacute čaacutesti

plneacuteho průřezu

137

Obr 151 - Viacuteřiveacute proudy v spojiteacutem feromagnetickeacutem materiaacutelu a v izolovanyacutech plechaacutech

Mimo to viacuteřiveacute proudy vyvolaacutevajiacute při sveacutem průtoku materiaacutelem teplo (vyvinutaacute tepelnaacute

energie tIRtPW 2 ) Tato energie je nežaacutedouciacute jednak proto že se jednaacute o ztraacutetovou

energii a jednak proto že vede k nežaacutedouciacutemu ohřiacutevaacuteniacute materiaacutelů

Čiacutem bude většiacute frekvence (počet změn směru proudu za jednotku času) tiacutem budou většiacute

jednak ztraacutety daneacute zeslabeniacutem toku jednak tepelneacute ztraacutety viacuteřivyacutemi proudy Celkoveacute ztraacutety

způsobeneacute viacuteřivyacutemi proudy budou uacuteměrneacute druheacute mocnině frekvence a magnetickeacute indukce

Pv f 2 B2

Viacuteřiveacute proudy je možneacute omezit tiacutem že se magnetickeacute obvody elektrickyacutech strojů sestavujiacute

z tenkyacutech navzaacutejem izolovanyacutech plechů (plechy pro elektrotechniku majiacute tloušťku 05 mm

transformaacutetoroveacute plechy 035 mm) tiacutem se jaacutedro rozděliacute a omeziacute se vyacuteraznějšiacute zeslabovaacuteniacute

budiacuteciacuteho toku ve středu jaacutedra Mimo to se do materiaacutelu pro tyto plechy přidaacutevaacute maleacute

množstviacute křemiacuteku čiacutemž se vyacuterazně zvětšiacute jejich elektrickyacute odpor Plechy se vyraacutebiacute

vaacutelcovaacuteniacutem za studena čiacutemž se zvyacutešiacute jejich magnetickaacute vodivost v jednom směru

V některyacutech speciaacutelniacutech přiacutepadech lze viacuteřiveacute proudy využiacutet napřiacuteklad při indukčniacutem ohřevu

Hysterezniacute ztraacutety

Při změně polarity magnetickeacuteho pole je nutneacute vynaložit určitou energii na přemagnetovaacuteniacute

feromagnetickeacuteho materiaacutelu Tato energie se měniacute v teplo představuje tedy ztraacutety ve

feromagnetickeacutem materiaacutelu ktereacute se nazyacutevajiacute hysterezniacute ztraacutety a jsou uacuteměrneacute ploše hysterezniacute

smyčky

Obr 152 - Plocha hysterezniacute smyčky

138

Čiacutem četnějšiacute je počet přemagnetovaacuteniacute za jednotku času tiacutem budou ztraacutety většiacute hysterezniacute

ztraacutety jsou tedy uacuteměrneacute nejen ploše hysterezniacute smyčky ale i frekvenci

Ph f B2

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech

Celkoveacute ztraacutety ve feromagnetickyacutech materiaacutelech v magnetickyacutech obvodech s časově

proměnnyacutem magnetickyacutem polem jsou daacuteny součtem hysterezniacutech ztraacutet a ztraacutet viacuteřivyacutemi

proudy

PFe = Ph + Pv

V praxi se pro vyacutepočet ztraacutet viacuteřivyacutemi proudy i pro vyacutepočet hysterezniacutech ztraacutet použiacutevajiacute

empirickeacute vzorce

511 Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

Při vyacutekladu fyzikaacutelniacuteho vyacuteznamu magnetickeacute indukce bylo uvedeno že magnetickeacute pole

silově působiacute na vodiče jimiž proteacutekaacute elektrickyacute proud

Velikost teacuteto siacutely je uacuteměrnaacute velikosti magnetickeacute indukce B velikosti proudu I a teacute deacutelce

vodiče l kteraacute se nachaacuteziacute v magnetickeacutem poli

lIBF

Tento vztah platiacute tehdy je-li vodič kolmyacute k indukčniacutem čaraacutem magnetickeacuteho pole Pokud sviacuteraacute

vodič s vektorem magnetickeacute indukce B uacutehel bude na vodič silově působit pouze ta složka

magnetickeacuteho pole kteraacute je na vodič kolmaacute

sin lIBF viz obr 153

Obr 153 - Siacutela působiacuteciacute na vodič v homogenniacutem magnetickeacutem poli

Směr siacutely je daacuten Lenzovyacutem pravidlem vodič bude silou F vytlačovaacuten ze zesiacuteleneacuteho

magnetickeacuteho pole do pole zeslabeneacuteho

Prochaacuteziacute-li vodičem proud vznikaacute v jeho okoliacute magnetickeacute pole Viacuteme že magnetickeacute pole

působiacute silou na vodiče kteryacutemi prochaacuteziacute proud Z uvedeneacuteho vyplyacutevaacute že na vodič kteryacutem

proteacutekaacute proud působiacute v bliacutezkosti jineacuteho vodiče kteryacutem proteacutekaacute proud siacutela

139

Obr 154 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Velikost siacutely F

lIBF 21

kde 101 HB r 0=410-7

(Hm-1

) pro vzduch je r přibližně 1

kde r

IH

21

1

Dosazeniacutem ziacuteskaacuteme vztah

7-212

17-

21 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

(N A A m m)

Stejně velkaacute siacutela působiacute i na druhyacute vodič

Obr 155 - Vzaacutejemneacute siloveacute působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů ndash siacutela působiacuteciacute na druhyacute

vodič

7-211

27-

12 10I2

r2

I 104

r

lIlIlIBF

Smysl siacutely bude vždy ze zesiacuteleneacuteho magnetickeacuteho pole do zeslabeneacuteho

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech opačnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je zesiacuteleneacute

a vodiče se tedy odpuzujiacute

Je-li směr proudů v obou vodičiacutech souhlasnyacute magnetickeacute pole v prostoru mezi vodiči je

zeslabeneacute a vodiče se tedy přitahujiacute

140

Obr 156 - Smysl siacutely při vzaacutejemneacutem siloveacutem působeniacute dvou rovnoběžnyacutech vodičů

Zaacutekladniacute jednotka v soustavě SI pro elektrotechniku je jeden ampeacuter (A) a jeho definice zniacute

Stejnosměrnyacute proud o velikosti 1 A je takovyacute proud kteryacute při průchodu dvěma přiacutemyacutemi

rovnoběžnyacutemi nekonečně dlouhyacutemi vodiči o nekonečně maleacutem průřezu a vzaacutejemneacute

vzdaacutelenosti 1 m vyvolaacute ve vakuu mezi těmito vodiči přitažlivou siacutelu 210-7

N na 1 m deacutelky

vodičů

Přiacuteklad 64

Jakou silou na sebe působiacute při zkratu dva vodiče v rozvaacuteděči jsou-li v deacutelce 30 cm

rovnoběžneacute a jejich vzdaacutelenost je 5 cm Proudy tečou opačnyacutem směrem a velikost zkratoveacuteho

proudu v nich je 40 A

Řešeniacute

Vodiče se odpuzujiacute a velikost siacutely je

3-7-

2

7-21 101920010105

304040210

I2

r

lIF N

5121 Elektromagnety

Elektromagnety se obvykle sklaacutedajiacute z pevneacuteho feromagnetickeacuteho jaacutedra na ktereacutem je navinuta

ciacutevka a z pohybliveacute kotvy ndash viz obr 157

Prochaacuteziacute-li ciacutevkou proud vytvořiacute se magnetickeacute pole jehož indukčniacute čaacutery se uzaviacuterajiacute

feromagnetickyacutem jaacutedrem a přes vzduchovou mezeru feromagnetickou kotvou

Obr 157 - Elektromagnet

141

Viacuteme že magnetickeacute pole přitahuje předměty z feromagnetickyacutech materiaacutelů takže na

pohyblivou kotvu působiacute přitažlivaacute siacutela elektromagnetu a přitahuje kotvu k jaacutedru

Přitažlivaacute siacutela magnetu

Již bylo uvedeno že siloveacute uacutečinky magnetickeacuteho pole charakterizuje jeho magnetickaacute indukce

B Přitažlivaacute siacutela magnetu a to jak permanentniacuteho tak elektromagnetu je zaacutevislaacute na velikosti

magnetickeacute indukce B

Obr 158 - Vyacutepočet přitažliveacute siacutely magnetu

V souladu se zaacutekonem zachovaacuteniacute energie platiacute že pokud magnetickeacute pole vykonaacute praacuteci danou

posunem kotvy o vzdaacutelenost dl silou F musiacute se o stejnou hodnotu sniacutežit energie

magnetickeacuteho pole Je-li magnetickaacute indukce ve vzduchoveacute mezeře B pak změna energie

magnetickeacuteho pole

dlSB

dlSB

BdlSHBWm 0

2

0 2

1

2

1

2

1

a praacutece vykonanaacute posunutiacutem o dl silou F

dlFA

Z rovnosti Wm = A plyne že siacutela SBF 2

02

1

Platiacute že S

B

a mR

IN

kde Rm je magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery Rm gtgt RmFe a proto se pro praktickyacute vyacutepočet

hodnota RmFe zanedbaacutevaacute

Pak vztah pro přitažlivou siacutelu magnetu bude po dosazeniacute

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

142

Při pohybu kotvy se měniacute deacutelka vzduchoveacute mezery a tiacutem i Rm a naacutesledně siacutela F Při uacuteplneacutem

přitaženiacute kotvy k jaacutedru dojde ke styku ploch feromagnetickyacutech materiaacutelů uplatniacute se pouze

magnetickyacute odpor feromagnetickeacute cesty RmFe a magnetickaacute indukce se vyacuterazně zvyacutešiacute

Přiacuteklad 65

Vypočiacutetejte nosnou siacutelu elektromagnetu z obr 157 je-li vzdaacutelenost kotvy od jaacutedra 3 mm

plocha průřezu jaacutedra S je 9 cm2 ciacutevka maacute 300 zaacutevitů a proud ciacutevkou je 2 A

Řešeniacute

Magnetickyacute odpor vzduchoveacute mezery je

66

47

3

47

3

0

1053051656

10100

103102

10

109104

10322

S

lR v

m H-1

Minimaacutelniacute nosnaacute siacutela elektromagnetu je

SR

INS

SF

m

2

22

0

2

2

0 2

1

2

1

9)5305165(42

1010104109

109)105305165(

2300

1042

12

41274

426

22

7

F

65852814303

500

28143032

100010

9281430342

49 3

F N

143

6 Střiacutedaveacute proudy

Střiacutedavyacute proud je takovyacute proud kteryacute v průběhu času měniacute svoji velikost a svůj směr Pokud

se tyto změny ve stejnyacutech časovyacutech intervalech opakujiacute pak se jednaacute o takzvanyacute periodickyacute

střiacutedavyacute proud Čas jednoho cyklu průběhu proudu se nazyacutevaacute perioda a značiacute se T

Střiacutedaveacute proudy se graficky znaacutezorňujiacute svyacutem časovyacutem průběhem na vodorovneacute ose se vynaacutešiacute

čas na svisleacute ose okamžitaacute hodnota proudu Okamžiteacute hodnoty se značiacute malyacutemi piacutesmeny

označeniacute přiacuteslušneacute veličiny

Speciaacutelniacutem přiacutepadem periodickyacutech střiacutedavyacutech proudů je proud harmonickyacute Harmonickyacute

proud je střiacutedavyacute proud jehož časovaacute zaacutevislost je sinusovaacute Proud ve spotřebitelskeacute siacuteti je

praacutevě proud harmonickyacute Střiacutedaveacute proudy použiacutevaneacute v elektrotechnice jsou převaacutežně proudy

harmonickeacute Babyčka

Obr 159 - Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu

Počet period za jednu sekundu se nazyacutevaacute kmitočet nebo takeacute frekvence označuje se f a jejiacute

jednotkou je hertz značka Hz

Doba jedneacute periody je

fT

1 (s Hz)

Průmyslovaacute frekvence použiacutevanaacute v Evropě je 50 Hz v USA a Japonsku se použiacutevaacute

průmyslovaacute frekvence 60 Hz Frekvence použiacutevaneacute v radiotechnice se pohybujiacute v řaacutedech kHz

až MHz

Přiacuteklad 66

Vypočiacutetejte dobu jedneacute periody pro průmyslovyacute kmitočet v Evropě

Řešeniacute

02050

11

fT s

144

61 Časovyacute průběh harmonickyacutech střiacutedavyacutech proudů

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu popisuje vyacuteraz sinmax Ii

Obr 160 - Časovyacute průběh jedneacute periody harmonickeacuteho proudu

Hodnota Imax je maximaacutelniacute hodnota harmonickeacuteho průběhu tedy amplituda sinusoidy

Uacutehel je uacuteměrnyacute času uacutehel 2 odpoviacutedaacute době jedneacute periody T Času t odpoviacutedaacute uacutehel

tft

f

tT

21

22

Protože za jednotku času proběhne f period a jedneacute periodě odpoviacutedaacute uacutehel 2 je uacutehel za

jednotku času praacutevě f2 Hodnota f2 je uacutehlovaacute rychlost značiacute se

f 2 (rads-1

)

Platiacute tedy

)sin(max tIi

Pokud sinusovyacute průběh nezačiacutenaacute nulovou hodnotou ale je na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel

nazyacutevaacuteme uacutehel faacutezovyacute posun Faacutezově posunutyacute průběh sinusoidy je

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se před zaacutekladniacute sinusoidou předbiacutehaacute

Obr 161 - Časovyacute průběh předbiacutehajiacuteciacuteho se proudu

145

Pokud je sinusovyacute průběh na časoveacute ose posunutyacute o uacutehel - je faacutezově posunutyacute průběh

sinusoidy

)sin(max tIi

Tento průběh harmonickeacuteho proudu se za zaacutekladniacute sinusoidou zpožďuje

Obr 162 - Časovyacute průběh zpožďujiacuteciacuteho se proudu

Přiacuteklad 67

Určete za jakyacute čas dosaacutehne okamžitaacute hodnota proudu poprveacute nuloveacute hodnoty a okamžitou

hodnotu proudu v čase 0015 s je-li maximaacutelniacute hodnota proudu 25 mA a frekvence je 50 Hz

a proud je faacutezově zpožděn o 30o

Řešeniacute

Doba periody je

02050

11

fT s

Uacutehel odpoviacutedajiacuteciacute času T je 2

Okamžitaacute hodnota proudu dosaacutehne poprveacute nuloveacute hodnoty za čas odpoviacutedajiacuteciacute

zpožděniacute 30o

30o je 6 radiaacutenů 0001667

12

1020

2

61

Tt s

Okamžitaacute hodnota proudu v čase 0015 s je

)6

00152sin(25)tsin( 0015)( max

fIi

-216207)6

0015314sin(25)6

0015502sin(25 0015)(

i mA

146

62 Faacutezoroveacute zobrazeniacute střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Časovyacute průběh harmonickeacuteho proudu i = f(t) maacute stejnyacute tvar jako křivka kteraacute vznikne

průmětem rotujiacuteciacuteho faacutezoru do svisleacute osy - viz obr 163

Obr 163 - Rotujiacuteciacute faacutezor a jeho průmět

Střiacutedaveacute veličiny majiacute kromě velikosti i směr a rychlost rotace

Faacutezor znaacutezorňujiacuteciacute střiacutedavou harmonickou veličinu plně určuje jejiacute vlastnosti S faacutezory

znaacutezorňujiacuteciacutemi střiacutedaveacute veličiny lze počiacutetat ndash sklaacutedat je vektorově

63 Efektivniacute a středniacute hodnota střiacutedavyacutech harmonickyacutech veličin

Střiacutedaveacute harmonickeacute veličiny majiacute v každeacutem okamžiku jinou velikost a tiacutem je i jejich

působeniacute v každeacutem okamžiku jineacute

Pro praxi jsou podstatneacute uacutečinky střiacutedavyacutech proudů ve většiacutem časoveacutem uacuteseku nejleacutepe

v průběhu jedneacute periody nebo jedneacute půlperiody Pro vyhodnoceniacute uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu je

vhodneacute je porovnat se stejnyacutemi uacutečinky stejnosměrneacuteho proudu za stejnyacute časovyacute interval

U střiacutedavyacutech veličin (napětiacute proud) rozlišujeme tyto pojmy

bull Okamžiteacute hodnoty u i ndash průměty faacutezorů (malaacute piacutesmena)

bull Maximaacutelniacute hodnoty Umax Imax ndash deacutelky faacutezorů

bull Efektivniacute hodnoty U I (velkaacute piacutesmena)

bull Středniacute hodnoty Umed Imed (přiacutepadně Ustř Istř)

631 Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Efektivniacute hodnota proudu (napětiacute) je takovaacute velikost stejnosměrneacuteho proudu (napětiacute) kteraacute v

stejneacutem odporu vyvolaacute za stejnou dobu působeniacute stejnou tepelnou energii jako danyacute střiacutedavyacute

harmonickyacute proud (napětiacute)

Pro stejnosměrnyacute proud platiacute že vyacutekon elektrickeacuteho proudu je uacuteměrnyacute druheacute mocnině

proudu Tepelnaacute energie vyvinutaacute na odporu R stejnosměrnyacutem proudem I za dobu t je

tIRUtIW 2

147

2IRUIt

WP

Pro střiacutedavyacute proud platiacute že energie dW kteraacute se vyvine na odporu R za malyacute časovyacute interval

dt je

dtiRdW 2

dttIRdtiRdW )(sin22

max

2

Obr 164 ndash Efektivniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Pokud sečteme všechny diacutelčiacute energie dW po dobu celeacute periody T dostaneme hodnotu

bdquoRplocha pod křivkou i2

ldquo Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou I2 na obr 164

rovny pak plocha pod přiacutemkou I2 po dobu jedneacute periody je rovna ploše pod křivkou i

2 po

dobu jedneacute periody a tudiacutež stejnosměrnyacute proud 2II je efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho

proudu daneacuteho průběhu Platiacute

2

2

max2 II

2

maxII což je 7070max II

Efektivniacute hodnota je hodnota se kterou je nutneacute počiacutetat při vyhodnocovaacuteniacute tepelnyacutech i

silovyacutech uacutečinků střiacutedaveacuteho proudu

632 Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

Pojem středniacute hodnota maacute vyacuteznam u usměrněneacuteho střiacutedaveacuteho proudu Je to takovaacute velikost

stejnosměrneacuteho proudu kteryacute přenese stejnyacute naacuteboj jako usměrněnyacute danyacute střiacutedavyacute proud

Viacuteme že elektrickyacute proud I je množstviacute naacuteboje kteryacute proteče plochou průřezu vodiče za

jednotku času

t

QI tIQ

Vychaacutezejme z grafu průběhu proudu na obr 165

148

Obr 165 ndash Středniacute hodnota harmonickeacuteho proudu

Jsou-li si vyšrafovaneacute plochy nad a pod přiacutemkou Imed na obr 165 rovny pak plocha pod

přiacutemkou Imed po dobu jedneacute půlperiody je rovna ploše pod křivkou i po dobu jedneacute půlperiody

a tudiacutež stejnosměrnyacute proud Imed je středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu daneacuteho průběhu Platiacute

pro stejnosměrnyacute proud QT

Imed 2

a

pro střiacutedavyacute proud bdquoplocha pod křivkou i po dobu T2ldquo = Q

Z rovnosti přeneseneacuteho naacuteboje pro stejnosměrnyacute a střiacutedavyacute proud lze pomociacute integraacutelniacuteho

počtu dospět k vyacuterazu

max

2IImed

což je max6370 IImed

Přiacuteklad 68

Jakaacute je maximaacutelniacute hodnota napětiacute v běžneacute domaacuteciacute jednofaacutezoveacute zaacutesuvce

Řešeniacute

Napětiacute v zaacutesuvce je 230 V ~ 50 Hz jednaacute se o harmonickeacute napětiacute o efektivniacute hodnotě

230 V Maximaacutelniacute hodnota tohoto napětiacute je tedy

V 32523022max UU

64 Vznik střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie magnetickeacuteho pole viacuteme že pohybujeme-li vodičem v rovině kolmeacute k indukčniacutem

čaraacutem objeviacute se na konciacutech vodiče elektrickeacute napětiacute ndash tzv pohyboveacute indukovaneacute napětiacute Jeho

velikost je

vlBU

kde B je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole v němž se vodič pohybuje

l je deacutelka kterou vodič zasahuje do magnetickeacuteho pole

v je rychlost pohybu vodiče

149

Tento vztah platiacute tehdy je-li vektor magnetickeacute indukce B kolmyacute k ose pohybujiacuteciacuteho se

vodiče a zaacuteroveň rychlost v je kolmaacute k ose vodiče i k vektoru magnetickeacute indukce B

magnetickeacuteho pole ndash viz obr 166

Obr 166 - Vznik ss pohyboveacuteho napětiacute

Je-li rychlost v konstantniacute a velikost ani směr vektoru magnetickeacute indukce B se neměniacute je

velikost indukovaneacuteho napětiacute konstantniacute s časem se neměniacute

Obr 167 ndash Velikost indukovaneacuteho ss pohyboveacuteho napětiacute

Otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr

168 jednaacute se takeacute o pohyb vodiče v magnetickeacutem poli a proto se ve vodiči indukuje v

každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 168 ndash Zaacutevit v magnetickeacutem poli

Čela zaacutevitu (koacuteta a) ležiacute mimo magnetickeacute pole oba boky zaacutevitu (koacuteta b) se otaacutečivyacutem

pohybem o uacutehloveacute rychlosti pohybujiacute v magnetickeacutem poli Rychlost jejich pohybu je jejich

150

obvodovaacute rychlost v v = ∙ r (kde r = a2 ∙f f =n60 n je počet otaacuteček za

minutu)

Je-li zaacutevit v poloze kolmeacute k magnetickeacutemu poli ndash viz obr 169 a) boky zaacutevitu v tomto

okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a o směru rychlosti stejneacutem jako je směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodiče neprotiacutenajiacute magnetickeacute pole a

velikost indukovaneacuteho napětiacute je nulovaacute ui = 0

a) b) c)

Obr 169 ndash Různeacute polohy zaacutevitu při otaacutečeniacute v magnetickeacutem poli

Je-li zaacutevit v poloze shodneacute se směrem magnetickeacuteho pole ndash viz obr 169 b) boky zaacutevitu

v tomto okamžiku majiacute rychlost pohybu o velikosti v a směru rychlosti kolmeacutem na směr

indukčniacutech čar magnetickeacuteho pole To znamenaacute že vodič protiacutenaacute magnetickeacute pole rychlostiacute v

a velikost indukovaneacuteho napětiacute je v něm v teacuteto poloze maximaacutelniacute možnaacute a to

vlBui

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Protože magnetickeacute pole protiacutenajiacute oba boky zaacutevitu oba stejně velkou rychlostiacute se stejnyacutem

směrem ale s opačnyacutem smyslem pohybu v každeacutem boku se indukuje napětiacute vlBui a tato

napětiacute jsou v seacuterii tedy celkoveacute napětiacute indukovaneacute v zaacutevitu v teacuteto poloze je

max22 UrlBvlBui

Je-li otaacutečejiacuteciacute se zaacutevit v obecneacute poloze ndash viz obr 169 c) ve ktereacute normaacutela k ploše zaacutevitu sviacuteraacute

s vektorem magnetickeacute indukce magnetickeacuteho pole uacutehel pak rychlost kterou boky zaacutevitu

kolmě protiacutenajiacute magnetickeacute pole je složka vx rychlosti v složka vy je s vektorem magnetickeacute

indukce rovnoběžnaacute proto se na indukovaacuteniacute pohyboveacuteho napětiacute nepodiacuteliacute Indukovaneacute napětiacute

v zaacutevitu v obecneacute poloze je

sinsin22 max UvlBvlBu xi

151

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Z tohoto vztahu je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je harmonickeacute

Pokud se bude v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B otaacutečet nikoliv jeden

zaacutevit ale N zaacutevitů spojenyacutech do seacuterie ndash tedy ciacutevka o N zaacutevitech bude indukovaneacute napětiacute N-

kraacutet většiacute

)sin(max tUNui

Přiacuteklad 69

Nakreslete průběh napětiacute v zaacutevislosti na čase otaacutečiacute-li se zaacutevit podle obr 168 kde a = 4 cm

b = 8 cm a pro t = 0 je = 0o v magnetickeacutem poli o konstantniacute hodnotě magnetickeacute indukce

B = 07 T rychlostiacute n = 300 otmin Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro čas 005 s

Řešeniacute

Indukovaneacute napětiacute bude harmonickeacute to znamenaacute že bude miacutet sinusovyacute průběh

)sin(2 tvlBui

Frekvence otaacutečeniacute a tiacutem i průběhu napětiacute je

560

300

60

nf Hz

Uacutehlovaacute rychlost je

431522 f s-1

Rychlost otaacutečeniacute v

rv kde 2

2

1022

104

2

a

r m

6280102431 2 rv ms

Tedy

tttvlBui 431sin1070336431sin6280108702sin2 22

Doba jedneacute periody T je

205

11

fT s

V tabulkoveacutem kalkulaacutetoru vytvořiacuteme graf průběhu napětiacute ndash viz obr 170 a)

152

a) b)

Obr 170 ndash Průběh indukovaneacuteho napětiacute a faacutezor napětiacute v čase t = 005 s pro přiacuteklad 69

V čase 005 s napětiacute ui dosaacutehlo sveacute maximaacutelniacute hodnoty tedy faacutezor napětiacute se pootočil

praacutevě o 90o Faacutezorovyacute diagram pro tento čas je na obr 170 b)

65 Typy zaacutetěžiacute v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu jsou tři zaacutekladniacute ideaacutelniacute typy zaacutetěže

Odporovaacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute rezistor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je odpor R

Induktivniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojena ideaacutelniacute ciacutevka jejiacutež

charakteristickou vlastnostiacute je indukčnost L

Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu je ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute připojen ideaacutelniacute kondenzaacutetor jehož

charakteristickou vlastnostiacute je kapacita C

651 Odporovaacute zaacutetěž

Je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen rezistor kteryacute představuje čistě

odporovou zaacutetěž pak proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je ve faacutezi s napětiacutem (vektor napětiacute a

proudu sviacuterajiacute nulovyacute uacutehel) Podle Ohmova zaacutekona platiacute že proud I = UR Na odporu vznikaacute

vlivem proudu teplo veškeraacute energie v obvodu je tepelnaacute energie

Obr 171 - Odporovaacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

153

Okamžitaacute hodnota proudu v obvodu je

)sin()sin()sin(

max

maxmax tItR

U

R

tUi

Proud maacute takeacute harmonickyacute průběh a napětiacute a proud majiacute mezi sebou nulovyacute posun ndash jsou ve

faacutezi

Pro maximaacutelniacute hodnoty platiacute R

UI max

max

Pro efektivniacute hodnoty platiacute R

UI

Vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu při odporoveacute zaacutetěži

Okamžitaacute hodnota vyacutekonu p je

2iRiup

Efektivniacute hodnota vyacutekonu P je

2IRIUP

Tento vyacutekon dodaacute za čas t energii tPW což je Jouleovo teplo Jednaacute se o činnyacute vyacutekon

jednotkou je watt (W)

652 Induktivniacute zaacutetěž

O induktivniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu

připojena ciacutevka kteraacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě induktivniacute zaacutetěž ndash viz obr 172 a)

Pak platiacute

dt

diLui

a) b)

Obr 172 - Induktivniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu proudu je di gt 0 a proto je napětiacute kladneacute

maximaacutelniacute velikost napětiacute se indukuje v momentě kdy je v obvodu maximaacutelniacute změna proudu

Pokud proud klesaacute je hodnota di zaacutepornaacute a napětiacute je zaacuteporneacute V okamžiku kdy se proud

neměniacute je di = 0 a tedy i napětiacute je nuloveacute

154

Proud nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tedy v čase T4 v tomto okamžiku je napětiacute

maximaacutelniacute tedy Umax Nulovyacute přiacuterůstek proudu di = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o tj

v čase t = T2 v tomto okamžiku je napětiacute u = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute proud klesat di

lt 0 a napětiacute u je zaacuteporneacute Proud nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 270o ktereacutemu odpoviacutedaacute

čas t = 3T4 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacuteporneacute napětiacute tedy -Umax

Z toho plyne že pokud ciacutevkou proteacutekaacute střiacutedavyacute harmonickyacute proud v ciacutevce se jeho působeniacutem

indukuje napětiacute ktereacute se faacutezově předbiacutehaacute před proudem o 90o

Platiacute-li pro průběh napětiacute vztah

)sin(max tUu

pak průběh proudu je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

diLui je patrneacute že indukovaneacute napětiacute je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute jednak

indukčnost ciacutevky L a jednak čiacutem je většiacute změna proudu di za časovyacute interval dt Změna

proudu di je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota proudu Imax a čiacutem je většiacute uacutehlovaacute

rychlost viz obr 173

Obr 173 ndash Vliv Imax a na velikost didt

Platiacute

LXILIU maxmaxmax

kde XL je tzv indukčniacute reaktance

LX L ()

Indukčniacute reaktance XL je odpor kteryacute klade indukčnost průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu Indukčniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci při napaacutejeniacute ciacutevky stejnosměrnyacutem

proudem je nulovaacute (U reaacutelneacute ciacutevky je pak proud omezen jen činnyacutem odporem R vodiče ze

ktereacuteho je ciacutevka navinuta a vzhledem k tomu že se ciacutevky vinou z vyacutebornyacutech vodičů je tento

odpor minimaacutelniacute)

Pro maximaacutelniacute a efektivniacute hodnoty platiacute vztah analogickyacute Ohmovu zaacutekonu

LX

UI max

max a LX

UI

Proud se faacutezově zpožďuje za napětiacutem o 90o ndash viz obr 172 b) Velikost proudu je přiacutemo

uacuteměrnaacute připojeneacutemu napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute indukčniacute reaktanci XL

155

Obr 174 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost indukčniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu v ciacutevce je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 175 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacute ciacutevce

Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem s ideaacutelniacute ciacutevkou vyvolaacutevaacute střiacutedaveacute magnetickeacute pole

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 175 ze zdroje se dodaacutevaacute

do ciacutevky energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole V časoveacutem intervalu T2 až 23T je

okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z ciacutevky se vraciacute do zdroje magnetickeacuteho pole zanikaacute

V dalšiacute půlperiodě dochaacuteziacute k přemagnetovaacuteniacute ndash opět se ze zdroje během čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na vytvořeniacute magnetickeacuteho pole opačneacuteho směru ktereacute v naacutesledujiacuteciacute čtvrtperiodě opět

zanikaacute a vraciacute energii do zdroje Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody magnetickeacute pole změniacute

směr

V obvodu ideaacutelniacute ciacutevky se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze k přeleacutevaacuteniacute energie

ze zdroje do ciacutevky a nazpaacutetek Vyacuteměnnyacute vyacutekon nazyacutevaacuteme jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho

efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

kde Var je označeniacute pro jednotku jaloveacuteho vyacutekonu nazyacutevanou voltampeacuter reaktančniacute Proud

kteryacute je zpožděn za napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute proud a nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute

vyacutekon Jednaacute se o magnetizačniacute proud

653 Kapacitniacute zaacutetěž

O kapacitniacute zaacutetěž se jednaacute tehdy je-li ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute sinusoveacuteho průběhu připojen

kondenzaacutetor kteryacute v ideaacutelniacutem přiacutepadě představuje čistě kapacitniacute zaacutetěž ndash viz obr 176 a)

Kondenzaacutetor se střiacutedavě nabiacutejiacute v jednom směru vybiacutejiacute nabiacutejiacute na opačnou polaritu a opět

156

vybiacutejiacute ndash během jedneacute periody změniacute polaritu naacuteboje na svyacutech deskaacutech ndash měniacute se polarita

elektrickeacuteho pole

a) b)

Obr 176 - Kapacitniacute zaacutetěž v obvodu střiacutedaveacuteho proudu

Kondenzaacutetor se nabiacutejiacute a na jeho deskaacutech se hromadiacute elektrickyacute naacuteboj kteryacute vytvaacuteřiacute elektrickeacute

pole mezi deskami kondenzaacutetoru a tiacutem napětiacute mezi deskami Za čas dt se zvětšiacute naacuteboj na

deskaacutech kondenzaacutetoru o dq

dtidq

Tiacutem se zvětšiacute napětiacute na kondenzaacutetoru o du

C

dti

C

dqdu

Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme i

dt

duCi

Z vyacuteše uvedeneacuteho je patrneacute že při naacuterůstu napětiacute je du gt 0 a proto je proud kladnyacute

maximaacutelniacute velikost proudu v obvodu bude v momentě kdy je změna napětiacute maximaacutelniacute Pokud

napětiacute klesaacute je hodnota du zaacutepornaacute a proud je zaacutepornyacute V okamžiku kdy se proud neměniacute je

du = 0 a tedy i proud je nulovyacute

Napětiacute nejviacutece roste při faacutezoveacutem uacutehlu t = 0o tedy v čase t = 0 v tomto okamžiku je proud

maximaacutelniacute tedy Imax Nulovyacute přiacuterůstek napětiacute du = 0 je při faacutezoveacutem uacutehlu t = 90o tj v čase t

= T4 v tomto okamžiku je proud i = 0 Od tohoto okamžiku začiacutenaacute napětiacute klesat du lt 0 a

proud i je zaacutepornyacute Napětiacute nejviacutece klesaacute při faacutezoveacutem uacutehlu t = 180o ktereacutemu odpoviacutedaacute čas t

= T2 v tomto okamžiku je maximaacutelniacute zaacutepornyacute proud tedy -Imax

Z toho plyne že pokud je na kondenzaacutetoru střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute v obvodu proteacutekaacute

proud kteryacute se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o- viz obr 176 b)

Je-li napětiacute na kondenzaacutetoru je )sin(max tUu pak proud v obvodu kondenzaacutetoru je

)2

sin(max

tIi

Ze vztahu dt

duCi je patrneacute že velikost maximaacutelniacute hodnoty proudu je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute

jednak kapacita kondenzaacutetoru C a jednak čiacutem je většiacute změna napětiacute du za časovyacute interval dt

Změna napětiacute du je tiacutem většiacute čiacutem je většiacute maximaacutelniacute hodnota napětiacute Umax a čiacutem je většiacute

uacutehlovaacute rychlost

157

CUI maxmax

Aby platila analogie s Ohmovyacutem zaacutekonem zavaacutediacuteme pojem kapacitniacute reaktance XC kde

CX C

1

Pak lze psaacutet

CX

UI max

max a pro efektivniacute hodnoty CX

UI

Kapacitniacute reaktance XC je odpor kteryacute klade kondenzaacutetor průchodu střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho

proudu obvodem Kapacitniacute reaktance je zaacutevislaacute na frekvenci ndash viz obr 177

CfCX C

2

11

Obr 177 ndash Frekvenčniacute zaacutevislost kapacitniacute reaktance a zaacutevislost proudu na frekvenci

Při napaacutejeniacute obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem stejnosměrnyacutem proudem se XC bliacutežiacute

k nekonečnu ve stejnosměrnyacutech obvodech v ustaacuteleneacutem stavu po nabitiacute kondenzaacutetoru proud

neproteacutekaacute

Proud se faacutezově předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o velikost proudu je přiacutemo uacuteměrnaacute připojeneacutemu

napětiacute a nepřiacutemo uacuteměrnaacute kapacitniacute reaktanci XC

Okamžityacute vyacutekon střiacutedaveacuteho proudu na kondenzaacutetoru je

)2

sin()sin( maxmax

tItUiup

Sestrojiacuteme-li graf zobrazujiacuteciacute tuto rovnici vidiacuteme že okamžityacute vyacutekon maacute opět harmonickyacute

průběh a kmitaacute s dvojnaacutesobnou frekvenciacute kolem časoveacute osy

Obr 178 - Časoveacute průběhy okamžityacutech veličin napětiacute proudu a vyacutekonu na ideaacutelniacutem

kondenzaacutetoru

158

V časoveacutem intervalu t = 0 až T4 je okamžityacute vyacutekon kladnyacute ndash viz obr 178 ze zdroje se

dodaacutevaacute do kondenzaacutetoru energie na vytvořeniacute elektrickeacuteho pole kondenzaacutetor se nabiacutejiacute

V časoveacutem intervalu T4 až T2 je okamžityacute vyacutekon zaacutepornyacute energie z kondenzaacutetoru se vraciacute

do zdroje kondenzaacutetor se vybiacutejiacute elektrickeacute pole zanikaacute V dalšiacute půlperiodě se kondenzaacutetor

nabiacutejiacute v opačneacute polaritě a opět se vybiacutejiacute ndash opět se ze zdroje během třetiacute čtvrtperiody dodaacutevaacute

energie na nabitiacute kondenzaacutetoru a během posledniacute čtvrtperiody se energii vraciacute do zdroje

v důsledku vybiacutejeniacute kondenzaacutetoru Z průběhu veličin je patrneacute že okamžityacute vyacutekon kmitaacute

s dvojnaacutesobnou frekvenciacute což je daacuteno tiacutem že během jedneacute periody se kondenzaacutetor nabije

nejprve s jednou a poteacute s opačnou polaritou naacuteboje na deskaacutech

V obvodu s ideaacutelniacutem kondenzaacutetorem se nespotřebovaacutevaacute žaacutednaacute energie ndash dochaacuteziacute pouze

k přeleacutevaacuteniacute energie za zdroje do kondenzaacutetoru při jeho nabiacutejeniacute a nazpaacutetek z kondenzaacutetoru do

zdroje při vybiacutejeniacute jeho elektrickeacuteho naacuteboje Vyacuteměnnyacute vyacutekon je jalovyacute kapacitniacute vyacutekon značiacute

se Q a jeho efektivniacute velikost je

IUQ (VAr V A)

Proud kteryacute se předbiacutehaacute před napětiacutem o uacutehel 90o se nazyacutevaacute jalovyacute kapacitniacute proud a

nedodaacutevaacute žaacutednyacute činnyacute vyacutekon Jednaacute se o proud nabiacutejejiacuteciacute a vybiacutejejiacuteciacute kondenzaacutetor

Přiacuteklad 70

Nakreslete graf frekvenčniacute zaacutevislosti kapacitniacute reaktance pro kondenzaacutetor s kapacitou 2 F

pro rozsah frekvenciacute 10 Hz až 500 Hz

Řešeniacute

V Excelu sestrojiacuteme graf zaacutevislosti Cf

X C

2

1

Obr 179 ndash frekvenčniacute zaacutevislost kondenzaacutetoru z přiacutekladu 70

159

654 Vzaacutejemnaacute indukčnost v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

Proteacutekaacute-li střiacutedavyacute harmonickyacute proud i1 primaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity

indukuje se v niacute napětiacute u1

dt

diLu 1

11 jehož efektivniacute hodnota je 111 LIU

V sekundaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L2 s N2 zaacutevity se vlivem proudu v primaacuterniacute ciacutevce indukuje

napětiacute u2

dt

diMu 1

2 jehož efektivniacute hodnota je MIU 12

kde M je vzaacutejemnaacute indukčnost mezi primaacuterniacute a sekundaacuterniacute ciacutevkou

Obr 180 ndash Působeniacute vzaacutejemneacute indukčnosti v obvodech střiacutedavyacutech proudů

Pokud by proteacutekal střiacutedavyacute harmonickyacute proud i2 sekundaacuterniacute ciacutevkou o indukčnosti L2 s N2

zaacutevity indukovalo by se v niacute napětiacute u2

dt

diLu 2

22 jehož efektivniacute hodnota je 222 LIU

V primaacuterniacute ciacutevce o indukčnosti L1 s N1 zaacutevity by se vlivem proudu v sekundaacuterniacute ciacutevce

indukovalo napětiacute u1

dt

diMu 2

1 jehož efektivniacute hodnota je MIU 21

Transformačniacute poměr

Pokud je vzaacutejemnaacute vazba obou ciacutevek 100 pak 22 LLM kde mR

NL

2

11 a

mR

NL

2

22

Z toho vyplyacutevaacute že 12

12

mR

NNM

Pak při sinusoveacutem průběhu primaacuterniacuteho proudu se v primaacuterniacute ciacutevce indukuje napětiacute U1

mR

NILIU

2

11111

a v sekundaacuterniacute ciacutevce napětiacute U2

12

12112

mR

NNIMIU

160

Poměr primaacuterniacuteho a sekundaacuterniacuteho napětiacute je

2

1

12

121

2

11

2

1

N

N

R

NNI

R

NI

U

U

m

m

Poměr 2

1

2

1

N

N

U

U se nazyacutevaacute transformačniacute poměr

Schopnost měnit velikost napětiacute v zaacutevislosti na poměru počtu zaacutevitů primaacuterniacute ciacutevky k počtu

zaacutevitů sekundaacuterniacute ciacutevky se využiacutevaacute při transformaci napětiacute Z hlediska ztraacutet při přenosu

elektrickeacute energie je vyacutehodneacute přenaacutešet vyacutekon o co nejvyššiacutem napětiacute ndash P = UI ndash a tiacutem omezit

přenosovyacute proud neboť ztraacutety jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině proudu ndash P = RI2 Pro daacutelkoveacute

přenosy se napětiacute transformuje nahoru na hodnoty 220 kV nebo 400 kV Pro spotřebu se

napětiacute se transformuje dolů na napětiacute distribučniacute siacutetě a daacutele na spotřebitelskeacute napětiacute

400230 V

66 Řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

V praxi se teacuteměř nevyskytujiacute obvody tvořeneacute pouze ideaacutelniacutemi prvky většina funkčniacutech

obvodů je složena z viacutece prvků Teacuteměř vždy se i v obvodu jedneacute ciacutevky projeviacute kromě

indukčnosti L kteraacute je zde vyacuterazně dominantniacute vlastnostiacute i odpor R

Proto je nutneacute ovlaacutedat kromě řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho proudu i řešeniacute obvodů

střiacutedaveacuteho proudu

Princip řešeniacute obvodů střiacutedaveacuteho proudu je podobnyacute jako řešeniacute obvodů stejnosměrneacuteho

proudu vychaacuteziacuteme z Ohmova zaacutekona a z Kirchhoffovyacutech zaacutekonů Kromě toho je nutneacute

respektovat faacutezovyacute posun střiacutedavyacutech veličin danyacutech typy prvků v obvodu a topologiiacute obvodu

661 Seacuteriovyacute RC obvod

Seacuteriovyacutem RC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 181 ndash Seacuteriovyacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Při řešeniacute obvodu je vyacutehodneacute vychaacutezet z veličiny kteraacute je společnaacute pro oba prvky Protože

je obvod tvořen jedinou smyčkou oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IC = I a

tedy společnaacute veličina je proud Proud I zakresliacuteme do faacutezoroveacuteho diagramu

161

Napětiacute na rezistoru UR je ve faacutezi s proudem a jeho velikost je

IRUR

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 181 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU CCRC

Vyacuteraz 22 RXC je zdaacutenlivyacute odpor obvodu nazyacutevaacute se impedance a značiacute se Z

22 RXZ C ()

Pak

ZIU

Velikost proudu proteacutekajiacuteciacuteho obvodem je

22 RX

U

Z

UI

C

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

181 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 71

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

200 a kondenzaacutetor o kapacitě 05 F Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost

faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 12 V frekvence f = 2 kHz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

C

kde velikost kapacitniacute reaktance je

1592

1000

10501022

1

2

1163

CfC

XC

Proud

0470256

12

200159

12

2222

RX

UI

C

A = 47 mA

162

Napětiacute na rezistoru UR

3990470200 IRUR V

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC

4770470159 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

078247912

399cos

U

U R = 0672159 rad = 385o

Obr 182 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 71

662 Seacuteriovyacute RL obvod

Seacuteriovyacutem RL obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 183 ndash Seacuteriovyacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

oběma prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I IR = IL = I společnaacute veličina pro oba prvky je

tedy proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 183 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()( RXIIRIXUUU LLRL

163

Impedance obvodu je

22 RXZ L ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22 RX

U

Z

UI

L

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

183 je cos

U

IR

U

U R cos

Přiacuteklad 72

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

80 a ciacutevka o indukčnosti 400mH Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho

posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22 RX

U

Z

UI

L

kde velikost induktivniacute reaktance je

1257405022 LfLX L

Proud

154807125

230

2222

RX

UI

L

A

Napětiacute na rezistoru UR

12454180 IRUR V

Napětiacute na ciacutevce UL

1945417125 IXU LL V

Faacutezovyacute uacutehel je

0537029230

124cos

U

U R = 1003885 rad = 57 5o

164

Obr 184 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 72

663 Seacuteriovyacute LC obvod

Seacuteriovyacutem LC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 185 ndash Seacuteriovyacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Kondenzaacutetorem i ciacutevkou prochaacuteziacute stejnyacute proud I

Napětiacute na ciacutevce předbiacutehaacute proud o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou v protifaacutezi ndash viz obr 185 platiacute

)( CLCLCL XXIIXIXUUU

Je-li CL XX gt proud se zpožďuje za napětiacutem o 2 obvod maacute induktivniacute charakter

Je-li CL XX lt proud se předbiacutehaacute před napětiacutem o 2 obvod maacute kapacitniacute charakter

165

664 Seacuteriovyacute RLC obvod

Seacuteriovyacutem RLC obvodem se rozumiacute seacuterioveacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 186 ndash Seacuteriovyacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Všemi prvky obvodu proteacutekaacute tentyacutež proud I společnaacute veličina pro všechny prvky je tedy

proud I S niacutem ve faacutezi je napětiacute na rezistoru UR

IRUR

Napětiacute na ciacutevce UL se před proudem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

IXU LL kde induktivniacute reaktance LfLX L 2

Napětiacute na kondenzaacutetoru UC se za proudem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

IXU CC kde kapacitniacute reaktance CfC

X C

2

11

Celkoveacute napětiacute v obvodu je podle 2 Kirchhoffova zaacutekona rovno součtu napětiacute na jednotlivyacutech

prvciacutech obvodu Vzhledem k tomu že napětiacute jsou faacutezově posunuta tento součet je vektorovyacute

ndash viz obr 186 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

222222 )()()()( RXXIIRIXIXUUUU CLCLRCL

Impedance obvodu je

22)( RXXZ CL ()

Pak

ZIU

Proud proteacutekajiacuteciacute obvodem je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

Faacutezoveacute zpožděniacute proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

186 je cos

U

IR

U

U R cos

166

Přiacuteklad 73

Vypočiacutetejte velikost proudu v obvodu v němž je do seacuterie zapojen rezistor jehož odpor je

120 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 40 F Nakreslete faacutezorovyacute

diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U = 230 V

frekvence f = 50 Hz

Řešeniacute

Velikost proudu je

22)( RXX

U

Z

UI

CL

kde velikost induktivniacute reaktance je

4512805022 LfLX L

avelikost kapacitniacute reaktance je

7957747250

1040502

1

2

116

CfC

XC

Proud

109746209

230

120)6794251(

230

)( 2222

RXX

UI

CL

A

Napětiacute na rezistoru UR na ciacutevce UL a na kondenzaacutetoru UC jsou

713109741120 IRUR V

2759097414251 IXU LL V

87309741679 IXU CC V

Faacutezovyacute uacutehel je

0572579230

7131cos

U

UR = 0961148 rad = 55 1o

Obr 187 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 73

167

665 Paralelniacute RC obvod

Paralelniacutem RC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a kondenzaacutetoru

Obr 188 ndash Paralelniacute RC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 188 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RC III

Faacutezovyacute posun proudu před napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

188 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RC obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

CC

RC

Z

UI

22

11

1

RX

Z

C

22

111

RXZ C

168

666 Paralelniacute RL obvod

Paralelniacutem RL obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru a ideaacutelniacute ciacutevky

Obr 189 ndash Paralelniacute RL obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 189 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22

RL III

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

189 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

22

22

22 11

RXU

R

U

X

UIII

LL

RL

Z

UI

22

11

1

RX

Z

L

22

111

RXZ L

169

668 Paralelniacute LC obvod

Paralelniacutem LC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 190 ndash Paralelniacute LC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na obou paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCX C

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu - viz obr 190 Pak platiacute

CL

CLX

U

X

UIII

Impedance LC obvodu je

CLXXX

U

X

U

U

I

UZ

CLCL

1

1

11

1

Při určiteacute frekvenci nastane situace kdy

CL II hellip pak celkovyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje I = 0

Tento stav se nazyacutevaacute paralelniacute rezonance Obvodem prochaacuteziacute tzv cirkulačniacute proud kteryacutem se

opakovaně vzaacutejemně vyměňuje energii mezi kondenzaacutetorem (energie elektrickeacuteho pole) a

ciacutevkou (energie magnetickeacuteho pole) Tato situace nastaacutevaacute tehdy je-li

CL

1

což je při frekvenci f0 - takzvanaacute rezonančniacute frekvence

170

CL

1 Cf

Lf

0

0

22

1

CLf

2

10

669 Paralelniacute RLC obvod

Paralelniacutem RLC obvodem se rozumiacute paralelniacute spojeniacute rezistoru ideaacutelniacute ciacutevky a kondenzaacutetoru

Obr 191 ndash Paralelniacute RLC obvod a jeho faacutezorovyacute diagram

Na všech paralelně spojenyacutech prvciacutech je stejneacute napětiacute Společnaacute veličina pro všechny prvky je

tedy napětiacute

U = UR = UL = UC

Do faacutezoroveacuteho diagramu zakresliacuteme napětiacute U

Proud rezistorem IR je ve faacutezi s napětiacutem a jeho velikost je

R

UIR

Proud ciacutevkou IL se za napětiacutem zpožďuje o 2 a jeho velikost je

L

LX

UI kde indukčniacute reaktance LfLX L 2

Proud kondenzaacutetorem IC se před napětiacutem předbiacutehaacute o 2 a jeho velikost je

C

CX

UI kde kapacitniacute reaktance

CfCXC

2

11

Celkovyacute proud v obvodu je podle 1 Kirchhoffova zaacutekona rovnyacute součtu proudů jednotlivyacutemi

prvky obvodu Vzhledem k tomu že proudy jsou faacutezově posunuty tento součet je vektorovyacute ndash

viz obr 191 Pak z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka platiacute

22)( RCL IIII

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem udaacutevaacute uacutehel kde z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku podle obr

191 je cos

I

IRcos

Celkovaacute impedance paralelniacuteho RL obvodu je Z a vypočiacutetaacuteme ji ze vztahu

171

2222

22 111)(

RXXU

R

U

X

U

X

UIIII

CLCL

RCL

Z

UI

22

111

1

RXX

Z

CL

22

1111

RXXZ CL

Přiacuteklad 74

Vypočiacutetejte velikost všech proudů v obvodu v němž je paralelně zapojen rezistor jehož

odpor je 300 ciacutevka o indukčnosti 800 mH a kondenzaacutetor o kapacitě 10 F Nakreslete

faacutezorovyacute diagram a určete velikost faacutezoveacuteho posunu mezi napětiacutem a proudem Napětiacute U =

230 V frekvence f = 50 Hz Určete frekvenci při niacutež by proud I byl minimaacutelniacute

Řešeniacute

Velikost proudu rezistorem je

0766667300

230

R

UIR A

Velikost proudu ciacutevkou je

091514180502

230

2

Lf

U

X

UI

L

L A

Velikost proudu kondenzaacutetorem je

072256610321010502230

2

16

Cf

U

X

UI

C

C

Celkovyacute proud je

07904837670)72309150()( 2222 RCL IIII A

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem

096987279050

7670cos

I

IR = 141o

Proud bude minimaacutelniacute tehdy bude-li IL = IC velikost proudu I pak bude I = IR

I = IR =0767 A

A to při XL = XC tedy při rezonančniacute frekvenci f0

562697782

1000

1010802

1

2

1

60

CLf Hz

172

Obr 192 ndash Faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 74

Přiacuteklad 75

Určete velikost proudu prochaacutezejiacuteciacuteho ciacutevkou jejiacutež indukčnost je 100 mH a odpor je 10

kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 230 V ~ 50 Hz Nakreslete průběh u = f(t) a i = f(t)

Určete činnyacute jalovyacute a zdaacutenlivyacute vyacutekon na ciacutevce

Řešeniacute

Skutečnou ciacutevku si lze představit jako seacuterioveacute zapojeniacute rezistoru o odporu rovneacutem

odporu vodiče z něhož je ciacutevka navinuta a čistě induktivniacute zaacutetěže o indukčnosti

rovneacute indukčnosti reaacutelneacute ciacutevky (obr 193)

Obr 193 ndash Naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

314101005022 3 LfLX L

Proud ciacutevkou

0732113

3141592

230

98696

230

10314

230

2222

RX

UI

L

A

Činnaacute složka napětiacute kteraacute je ve faacutezi s proudem je

7321073211310 IRU R V

173

Jalovaacute složka napětiacute kteraacute se o 2 předbiacutehaacute před proudem je

229880732113314 IXU LL V

Faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem je

003183230

7321cos

U

UR

1538961 rad 8817594 o

Zaacutetěž ciacutevkou je převaacutežně induktivniacute

Z vypočtenyacutech hodnot je možneacute nakreslit graf průběhu napětiacute a proudu v zaacutevislosti

na čase

)502sin(2302)sin(max ttUu

přepis zaacutevislosti u = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms

=ODMOCNINA(2)230SIN(2PI()50A30001)

)5391502sin(7322)sin(max ttIi

přepis zaacutevislosti i = f(t) pro Excel je-li čas vynaacutešen v ms a proud v mA

=ODMOCNINA(2)732SIN(2PI()50A30001-153896051458503)

Obr 194 ndash Průběh napětiacute a proudu a faacutezorovyacute diagram pro reaacutelnou ciacutevku pro přiacuteklad 75

Činnyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a činneacute složky napětiacute

36573203217 IUP R W

Jalovyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a jaloveacute složky napětiacute

3168073222988 IUQ L VAr

Zdaacutenlivyacute vyacutekon je daacuten součinem proudu a napětiacute

41680732230 IUS VA

174

6610 Seacuterioparalelniacute RLC obvody

Při řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu kde se vyskytujiacute faacutezoveacute

posuny mezi jednotlivyacutemi veličinami ktereacute jsou různeacute od 2 je vhodneacute rozložit vektory

v obecneacute poloze na činneacute a jaloveacute složky Ty je pak možneacute řešit vyacuteše uvedenyacutemi postupy

s využitiacutem trigonometrie pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute seacuterioparalelniacutech obvodů si předvedeme na konkreacutetniacutech přiacutekladech

Přiacuteklad 76

Určete celkovyacute proud a proudy v jednotlivyacutech prvciacutech obvodu podle obraacutezku 195 Ciacutevka maacute

indukčnost L = 100 mH odpor rezistoru je R = 1 ka kapacita kondenzaacutetoru C = 01 F

Obvod je připojen ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 1 kHz

Obr 195 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 76

Řešeniacute

Označiacuteme proudy v jednotlivyacutech větviacutech obvodu a napětiacute na všech prvciacutech

Nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram pro danyacute obvod prvniacute zakresliacuteme proud IRL Napětiacute UR

je s proudem IRL ve faacutezi napětiacute UL se před proudem předbiacutehaacute o 90o Vektorovyacute

součet napětiacute UR a UL je totožneacute s napětiacutem UC URL = UC = U Proud IC se o 90 o

předbiacutehaacute před napětiacutem Celkovyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů IRL a IC

Indukčniacute reaktance ciacutevky je

62810100100022 3 LfLX L

Proud IRL je

0020325

118084

24

1394384

24

1000628

24

2222

RX

UI

L

RL A

Napětiacute na UR a UL na prvciacutech R a L ve větvi RL je

3252000203251000 IRU R V

12763790020325628 IXU LL V

175

Uacutehel RL mezi napětiacutem U a proudem IRL je

084687524

32520cos RL

U

U R = 3212661o

Proud kondenzaacutetorem IC je

C

CX

UI

kde 1591549102

10

101010002

1

2

112

6

6

CfCX C

0015081591549

24CI A

Proud IRL rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Složka kteraacute je ve faacutezi

s napětiacutem je činnaacute složka IRLč a složka kolmaacute na faacutezor napětiacute jalovaacute indukčniacute složka

IRLj

a) b)

Obr 196 ndash Rozklad proudu na činnou a jalovou složku a) a určeniacute vyacutesledneacuteho proudu b)

Činnaacute složka IRLč

001721384687500020325cos RLRLRLč II A

Jalovaacute indukčniacute složka IRLj

0015228074921400203253212661sin0020325sin o RLRLRLj II A

Vyacuteslednyacute proud je daacuten vektorovyacutem součtem proudů v obou větviacutech obvodu IRL a IC

tedy vektorovyacutem součtem proudů IRLč IRLj a IC viz obr 196 b) tedy

2222 0017213)0150800152280()( RLčCRLj IIII 00172133 A

09999630172130

0172130cos

I

I RLč = 05o

Z vyacutesledku je patrneacute že vyacuteslednyacute proud odebiacuteranyacute ze zdroje je menšiacute než proud ve

větvi RL

176

Přiacuteklad 77

Určete jak velkaacute by musela byacutet kapacita kondenzaacutetoru paralelně připojeneacuteho k ciacutevce o

indukčnosti 30 mH a odporu je 10 kteraacute je připojena ke zdroji o napětiacute 24 V ~ 04 kHz aby

byla induktivniacute složka proudu plně vykompenzovaacutena kapacitniacutem proudem

Obr 197 ndash Scheacutema pro přiacuteklad 77

Řešeniacute

Induktivniacute složka proudu bude plně vykompenzovaacutena tehdy bude-li jalovaacute složka

proudu IRL miacutet stejnou velikost jako je velikost proudu kondenzaacutetorem IC

Nejprve nakresliacuteme faacutezorovyacute diagram prvniacute vyneseme proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou IRL

- viz obr 198 a)

a) b) c)

Obr 198 ndash Řešeniacute přiacutekladu 77

Proud ve větvi s ciacutevkou

0315547

5188

24

100304002

24

2222

RX

UI

L

RL A

Složky napětiacute ve větvi s ciacutevkou

155473031554710 RLR IRU V

237916603155470304002 RLLL IXU V

Faacutezovyacute posun proudu za napětiacutem ve větvi s ciacutevkou

o82445d1438937ra

013147824

155473cos

RL

RRL

U

U

177

Proud IRL rozložiacuteme do směru napětiacute U (to bude činnaacute složka proudu IRL) a do směru

na něj kolmeacuteho (jalovaacute složka proudu IRL) - viz obr 198 b)

004148701314780315547cos RLRLč II A

031280709913190315547sin RLRLj II A

Kapacitniacute proud proteacutekajiacuteciacute kondenzaacutetorem IC se předbiacutehaacute před napětiacutem o 90o je

tedy v protifaacutezi k proudu IRLj ndash viz obr 198 c) Maacute-li tento proud byacutet plně

kompenzovaacuten pak platiacute

CRLj II a tedy IC = 0312807 A

Proud kondenzaacutetorem je

0312807C

CX

UI A

a tedy kapacitniacute reaktance je

7672451 0312807

24

C

CI

UX

Kapacita kondenzaacutetoru musiacute byacutet

CfXC

2

1

CXfC

2

1

666

1051859221072451764002

101

72451764002

1

C F

Induktivniacute složka proudu bude plně kompenzovaacutena je-li připojen kondenzaacutetor o

kapacitě 5186 F Pak proud I odebiacuteranyacute ze zdroje je rovnyacute činneacute složce proudu IRL

což je 0041487 A

Přiacuteklad 78

Nakreslete faacutezorovyacute diagram a určete proudy a napětiacute na všech prvciacutech obvodu podle obr

199 Řešte obecně

Obr 199 ndash Scheacutema a faacutezorovyacute diagram pro přiacuteklad 78

Řešeniacute

Nakresliacuteme proudy a napětiacute v obvodu

178

Protože UC = UL = UAB začneme kreslit faacutezorovyacute diagram od tohoto vektoru IL se

zpožďuje za napětiacutem UAB o 90o IC se před napětiacutem UAB o 90

o předbiacutehaacute Vyneseme

tedy tyto vektory Celkovyacute proud I je vektorovyacutem součtem proudů IL a IC Napětiacute UR

je ve faacutezi s celkovyacutem proudem I Vektorovyacute součet UR a UAB daacutevaacute celkoveacute napětiacute U

CL

L

ABL

c

ABC

R

ABR

III

X

UI

X

UI

IRU

UUU

222

Po dosazeniacute

2

2

2222222

AB

c

AB

L

AB

ABCLABABR

UX

U

X

UR

UIIRUIRUUU

2

2

22

2

2 111

cL

ABAB

c

AB

L

AB

XXRUU

X

U

X

URU

2

2

22

2

22 11cL

LcAB

cL

LcAB

XX

XXRU

XX

XXRUU

2

2

1cL

Lc

AB

XX

XXR

UU

Nyniacute můžeme dosadit do vztahů pro vyacutepočet IL a IC a určit celkovyacute proud I a napětiacute

na odporu UR Faacutezovyacute posun φ pak vypočiacutetaacuteme z cosφ cosφ = URU

66 Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho proudu

Z kapitol 651 až 653 tohoto oddiacutelu vyplyacutevaacute že činnyacute vyacutekon vznikaacute pouze na odporoveacute

zaacutetěži induktivniacute zaacutetěž při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute energii ze zdroje do

magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje kapacitniacute zaacutetěž při nabiacutejeniacute

kondenzaacutetoru předaacutevaacute energii ze zdroje do elektrickeacuteho pole a při vybiacutejeniacute ji vraciacute do zdroje

Při konstantniacutem napětiacute a proudu ndash tedy ve stejnosměrnyacutech obvodech ndash pro vyacutekon platiacute

IUP

V obvodech střiacutedaveacuteho proudu je okamžityacute vyacutekon

iup

179

Vzhledem k tomu že ve střiacutedavyacutech obvodech je obecně mezi napětiacutem a proudem faacutezovyacute

posun pak součin efektivniacutech hodnot napětiacute U a proudu I neniacute jen dodavatelem tepelneacute

nebo mechanickeacute pohyboveacute energie ale jeho čaacutest sloužiacute k předaacutevaacuteniacute energie do a

z magnetickeacuteho nebo elektrickeacuteho pole Tato veličina se nazyacutevaacute zdaacutenlivyacute vyacutekon značiacute se S a

jejiacute jednotkou je voltampeacuter

IUS (VA V A)

Proud I je proud odebiacuteranyacute zaacutetěžiacute ze zdroje Tiacutemto proudem je zatěžovaacuten nejen zdroj ale takeacute

přiacutevodniacute vodiče k vlastniacute zaacutetěži

Energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci je takzvanaacute činnaacute energie Ta se spotřebovaacutevaacute jako tepelnaacute

nebo pohybovaacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a teacute složky proudu kteraacute je

s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu Je-li faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem

pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek Při čistě odporoveacute zaacutetěži je cos = 1 při čistě kapacitniacute a

induktivniacute zaacutetěži je cos = 0

Součin napětiacute a jaloveacute složky proudu (tj proudu kteryacute je před přiacutepadně za napětiacutem posunut o

90o) nevykonaacutevaacute na zaacutetěži žaacutednou praacuteci nespotřebovaacutevaacute energii sloužiacute pouze k přeleacutevaacuteniacute

energie do a ze zdroje Tento součin se nazyacutevaacute jalovyacute vyacutekon značiacute se Q a jeho jednotkou je

voltampeacuter reaktančniacute

sin IUIUQ j (Var V A)

Vztah mezi těmito třemi vyacutekony P Q S určiacuteme vyacutepočtem

cos IUP sin IUQ IUS 2

2222 cos IUP 2222 sin IUQ 222 IUS

22222222222222 )sin(cossincos IUIUIUIUQP

Platiacute tedy že

222 SQP

což je vztah pro pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek podle obr 200

Obr 200 ndash Vyacutekony ve střiacutedaveacutem obvodu

180

Na obr 201 je obecnaacute zaacutetěž napaacutejenaacute zdrojem střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute Ampeacutermetr A

měřiacute celkovyacute proud I odebiacuteranyacute ze zdroje Wattmetr W měřiacute činnyacute vyacutekon P voltmetr V měřiacute

napětiacute U Z naměřenyacutech hodnot je možneacute vypočiacutetat zdaacutenlivyacute vyacutekon S jalovyacute vyacutekon Q a

hodnotu cos kteraacute se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

Obr 200 ndash Měřeniacute uacutečiniacuteku

Přiacuteklad 79

Na konkreacutetniacute ciacutevce změřte jejiacute indukčnost L a jejiacute činnyacute odpor R Pro danou frekvenci f určete

zdaacutenlivyacute činnyacute a jalovyacute vyacutekon a uacutečiniacutek cos

Řešeniacute

1 Skutečnou ciacutevku připojiacuteme ke zdroji stejnosměrneacuteho napětiacute ndash viz obr 201 a) Ciacutevkou

prochaacuteziacute stejnosměrnyacute proud proto nedochaacuteziacute ke změně magnetickeacuteho toku a tak se

v ciacutevce v ustaacuteleneacutem stavu neindukuje napětiacute Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem je omezen

jen odporem ciacutevky (f = 0 tedy XL = 0)

Měřiacuteme napětiacute na ciacutevce a proud obvodem odpor R určiacuteme z Ohmova zaacutekona R = UI

Pozor protože je odpor ciacutevky R velmi malyacute je nutno při měřeniacute omezit proud

předřazenyacutem odporem

a) b)

Obr 201 ndash Měřeniacute indukčnosti

2 Ciacutevku připojiacuteme ke zdroji střiacutedaveacuteho napětiacute o znaacutemeacutem kmitočtu f ndash viz obr 201 b)

Proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou je omezen jednak jejiacutem odporem R ale zejmeacutena jejiacute

induktivniacute reaktanciacute XL

Změřiacuteme opět proud a napětiacute na ciacutevce a z naměřenyacutech hodnot U I a z vypočteneacute

hodnoty R ziacuteskaneacute v měřeniacute se stejnosměrnyacutem napaacutejeniacutem určiacuteme vyacutepočtem XL

(naacutehradniacute scheacutema ciacutevky a přiacuteslušnyacute faacutezorovyacute diagram je zakreslen na obr 193) a poteacute

indukčnost ciacutevky L

181

I

UZ

22 RZX L f

XL L

2

Z

R

IZ

IR

U

UR

cos

IUS cos IUP sin IUQ

67 Rezonance

Rezonančniacute obvody jsou RLC obvody a to buď seacuterioveacute nebo paralelniacute Viacuteme že velikosti

indukčniacute reaktance XL i kapacitniacute reaktance XC jsou zaacutevisleacute na frekvenci napaacutejeciacuteho napětiacute

tudiacutež i chovaacuteniacute rezonančniacutech obvodů je frekvenčně zaacutevisleacute

Rezonance RLC obvodu je stav kdy se kapacitniacute a induktivniacute složky přiacuteslušnyacutech veličin

rovnajiacute Tento stav nastaacutevaacute přiacute konkreacutetniacute frekvenci pro danyacute obvod tuto frekvenci nazyacutevaacuteme

rezonančniacute frekvence a značiacute se f0

671 Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod je složen ze seacuteriově spojeneacute reaacutelneacute ciacutevky s kondenzaacutetorem - viz

obr 202

Obr 202 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a jeho faacutezorovyacute diagram

Rezonance nastaacutevaacute tehdy je-li UL = UC Protože IXU LL a IXU CC je tedy pro

rezonanci XL = XC

Impedance Z pro seacuteriovyacute RLC obvod (viz obr 186) je

22)( RXXZ CL

Pro přiacutepad rezonance kdy XL = XC je tedy impedance obvodu je minimaacutelniacute označujeme ji

jako rezonančniacute impedanci s označeniacutem Z0

Z0 = R

Proud kteryacute proteacutekaacute obvodem bude v tomto přiacutepadu maximaacutelniacute a to

R

UI 0

182

Frekvence při ktereacute rezonance nastane se nazyacutevaacute rezonančniacute frekvence f0 a jejiacute velikost

ziacuteskaacuteme z rovnosti reaktanciacute XL = XC

LfCf

0

0

22

1

2

022

1f

CL

CLf

2

10

Rezonančniacute křivka

Je zaacutevislost velikosti impedance Z na frekvenci Z = f(f)

2222 )2

12()( R

CfLfRXXZ CL

Pro f = 0 je impedance Z I = 0 (kondenzaacutetor nepropouštiacute stejnosměrnyacute proud)

Faacutezovyacute posun je takeacute zaacutevislyacute na frekvenci je-li XL gtXC proud se za napětiacutem zpožďuje o uacutehel

je-li XL ltXC proud se před napětiacutem předbiacutehaacute o uacutehel Pro f = f0 je XL gtXC uacutehel = 0

Z faacutezoroveacuteho diagramu pro RLC seacuteriovyacute obvod (viz obr 186) platiacute

R

CfLf

arctg

2

12

Frekvenčniacute zaacutevislost proudu I je

22)2

12( R

CfLf

U

Z

UI

Obr 203 ndash Rezonančniacute křivky pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Činitel jakosti pro seacuteriovyacute rezonančniacute obvod

Skutečnyacute kondenzaacutetor v obvodu maacute teacuteměř stejneacute vlastnosti a chovaacuteniacute jako ideaacutelniacute

kondenzaacutetor Reaacutelnaacute ciacutevka na rozdiacutel od ciacutevky ideaacutelniacute maacute vždy kromě indukčnosti L i ohmickyacute

odpor R protože je navinuta z vodiče konkreacutetniacute deacutelky průřezu a z konkreacutetniacuteho materiaacutelu

Čiacutem bude odpor R ciacutevky většiacute tiacutem bude většiacute hodnota rezonančniacute impedance Z0 Z0 = R

Napětiacute na indukčnosti je ILIXU LL

183

a napětiacute na kondenzaacutetoru IC

IXU CC

1

Pro přiacutepad rezonance platiacute XL = XC a tedy

0000 ILUU CL kde R

UI 0

Po dosazeniacute je

UR

L

R

ULILUU CL

0

00000

Vyacuteraz R

L0 označujeme Q a nazyacutevaacuteme ho činitel jakosti

Obr 204 ndash Seacuteriovyacute rezonančniacute obvod - rezonančniacute křivky s různyacutem činitelem jakosti

Pak UQXU CL 00

To znamenaacute že při rezonančniacute frekvenci f0 je napětiacute na kondenzaacutetoru a induktivniacute složka

napětiacute na ciacutevce praacutevě Q kraacutet většiacute než napětiacute na zdroji Tato napětiacute mohou byacutet nebezpečnaacute při

naacutehodneacutem dotyku

672 Paralelniacute rezonančniacute obvod

Paralelniacute rezonančniacute obvod je složen z reaacutelneacute ciacutevky paralelně spojeneacute s kondenzaacutetorem - viz

obr 205

Obr 205 ndash Paralelniacute rezonančniacute obvod naacutehradniacute scheacutema a faacutezorovyacute diagram

184

K paralelniacute rezonanci dochaacuteziacute je-li velikost jaloveacute složky proudu reaacutelnou ciacutevkou rovna

velikosti proudu kondenzaacutetorem Platiacute tedy že IRLj = IC Vyacuteslednyacute proud I je pak roven činneacute

složce proudu reaacutelnou ciacutevkou I = IRLč a obvod se chovaacute jako by byl zatiacuteženyacute pouze odporem R

reaacutelneacute ciacutevky Tento stav nastane při rezonančniacute frekvenci f0

Pokud je frekvence f gt f0 je kapacitniacute reaktance menšiacute než reaktance indukčniacute bude převlaacutedat

kapacitniacute proud a obvod bude miacutet kapacitniacute charakter

Naopak pokud je frekvence f lt f0 je kapacitniacute reaktance většiacute než reaktance indukčniacute bude

převlaacutedat induktivniacute proud a obvod bude miacutet induktivniacute charakter

Proud ciacutevkou je

22222 RLf

U

RX

UI

L

RL

Jalovaacute složka proudu IRL je

RLRLRLj II sin kde 222

2sin

RLf

Lf

Z

X

ZI

XI

U

U

RL

L

RLRL

LRLLRL

Po dosazeniacute

222222 2

2

2

2

2 RLf

ULf

RLf

Lf

RLf

UIRLj

Činnaacute složka proudu IRLč je

222222222

cosRLfI

RI

RLf

U

U

U

RLf

UII

RL

RLRRLRLRLč

222222 222 RLf

RU

RLfI

RI

RLf

UI

RL

RLRLč

Proud kondenzaacutetorem je

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

2

2

1

Pro rezonanci

CRLj II

UCf

RLf

ULf

022

0

0 22

2

C

RLf

L

22

02

0)2( 222

0 LRCCLf

2

0

1

2

1

L

R

CLf

185

Celkovyacute proud při paralelniacutem spojeni ciacutevky a kondenzaacutetoru je

2

22

2

22

2

22

2

22

22

22

2

2

22

2

2)(

RLf

RCf

RLf

LfU

RLf

RUCf

RLf

ULfIIII RLčCRLj

Při rezonanci bude vyacuteslednyacute proud rovnyacute činneacute složce tedy

22

0

02 RLf

RUII RLč

Impedance při rezonanci je

R

RLf

I

UZ

22

0

0

0

2

Při rezonanci proteacutekaacute paralelniacutem rezonančniacutem obvodem nejmenšiacute proud impedance obvodu

je maximaacutelniacute Při všech frekvenciacutech f f0 je proud vždy většiacute než I0

Při frekvenci f = 0 (což platiacute pro stejnosměrnyacute ustaacutelenyacute proud) je celkovaacute impedance rovna

odporu ciacutevky R (XC XL = 0) proud proteacutekaacute pouze větviacute s ciacutevkou

Rezonančniacute křivky

Rezonančniacute křivky jsou zaacutevislosti I = f(f) a Z = f(f) Ziacuteskaacuteme je zakresleniacutem grafu

matematickeacuteho vyjaacutedřeniacute přiacuteslušnyacutech funkciacute

2

22

2

222

22

2

RLf

RCf

RLf

LfUI

a

I

UZ

Obr 206 ndash Rezonančniacute křivky paralelniacuteho rezonančniacuteho obvodu

Činitel jakosti obvodu

Činitel jakosti obvodu je Q

R

LQ

0

186

Platiacute

000 IQII RLC

Proud prochaacutezejiacuteciacute kondenzaacutetorem a proud prochaacutezejiacuteciacute ciacutevkou jsou Q kraacutet většiacute než proud

odebiacuteranyacute ze zdroje

Přiacuteklad 80

Ciacutevka o odporu 10 a indukčnosti 3 mH a kondenzaacutetor s kapacitou 2 F jsou spojeny

a) seacuteriově a b) paralelně a připojeny na napětiacute 24 V Určete rezonančniacute kmitočet impedanci

proud při rezonanci a činitel jakosti Pro seacuteriovyacute obvod stanovte napětiacute na kondenzaacutetoru pro

paralelniacute obvod stanovte proud kondenzaacutetorem

Řešeniacute

Ad a) Rezonančniacute frekvence

Hz

CLf

33

64630

102055602

10100

10210302

1

1021032

1

2

1

Rezonančniacute impedance

Z0 = R =10

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

A4210

240

R

UI

Napětiacute na kondenzaacutetoru (a i na ciacutevce) při rezonanci

V 929516421031005522

f2

33

000000

ILILUU LC

Činitel jakosti

387324

95920 U

UQ C

Ad b) Rezonančniacute frekvence

Hz 1985111111111666666672

1

3

10

23

10

2

1

103

10

102103

1

2

11

2

1

249

2

363

2

0

L

R

CLf

Proud odebiacuteranyacute ze zdroje při rezonanci

187

A 016

1500

1024

10398512

1024

1010319852

1024

2

22

22322

0

0

RLf

RUII RLč

Rezonančniacute impedance

150160

24

0

0I

UZ

Proud kondenzaacutetorem při rezonanci

A 059866524102198522

2

16

0

0

0

0

UCf

Cf

U

X

UI

C

C

Činitel jakosti

3741657160

598700 I

IQ C

Pozn

Pro praktickeacute vyacutepočty se pro rezonančniacute kmitočet u paralelniacutech obvodů použiacutevaacute vztah totožnyacute

se vztahem pro vyacutepočet rezonančniacute frekvence pro seacuteriovyacute obvod

CLf

2

10

Vzhledem k tomu že u skutečneacute ciacutevky je R vyacuterazně menšiacute než XL je tento vztah dostatečně

přesnyacute (pro ideaacutelniacute paralelniacute LC obvod by byl přesně tentyacutež jako pro seacuteriovyacute)

68 Kompenzace uacutečiniacuteku

Jak bylo uvedeno v kapitole 66 činnaacute energie kteraacute vykonaacutevaacute praacuteci buď ve formě tepla

nebo pohyboveacute energie v elektrickyacutech strojiacutech a přiacutestrojiacutech je daacutena součinem času napětiacute a teacute

složky proudu kteraacute je s napětiacutem ve faacutezi tedy činneacute složky proudu

Jejiacutem měřiacutetkem je činnyacute vyacutekon P kteryacute je daacuten součinem napětiacute a činneacute složky proudu Je-li

faacutezovyacute posun mezi napětiacutem a proudem pak činnaacute složka proudu je

cos IIČ

činnyacute vyacutekon je

cos IUIUPČ

(W V A)

Hodnota cos se nazyacutevaacute uacutečiniacutek

V elektrickyacutech siacutetiacutech se většinou vyskytuje situace kdy je proud zpožděn za napětiacutem To je

daacuteno převahou zaacutetěže induktivniacuteho charakteru v siacuteti což způsobujiacute magnetizačniacute proudy

v elektrickyacutech strojiacutech

188

a) b)

Obr 207 ndash Kompenzace uacutečiniacuteku a) stav před kompenzaciacute b) stav po kompenzaci

Induktivniacute zaacutetěž ve střiacutedavyacutech obvodech při vytvaacuteřeniacute magnetickeacuteho pole pouze předaacutevaacute

energii ze zdroje do magnetickeacuteho pole a zpět z magnetickeacuteho pole do zdroje Induktivniacute

jaloveacute proudy tedy nedodaacutevajiacute žaacutednou činnou energii nicmeacuteně jsou potřebneacute pro zajištěniacute

činnosti elektrickyacutech strojů ktereacute většinou pracujiacute na principu elektromagnetickyacutech jevů

Jalovaacute induktivniacute složka proudu tedy musiacute byacutet dodaacutevaacutena ze zdroje do spotřebiče což

vyžaduje aby zdroj byl dimenzovaacuten na celkovyacute proud nikoliv jen na činnyacute zdroj bude tedy

většiacute těžšiacute a cenově naacutekladnějšiacute Přiacutevodniacute vodiče jsou teacutež zatěžovaacuteny celkovyacutem proudem a

tiacutem se zvyšujiacute tepelneacute ztraacutety 2IRPz na přiacutevodniacutech vodičiacutech Mimo to i vodiče musiacute byacutet

dimenzovaacuteny na zatiacuteženiacute celkovyacutem proudem musiacute tedy miacutet většiacute průřez a tiacutem jejich cena

roste

Pokud do obvodu induktivniacuteho charakteru paralelně připojiacuteme kondenzaacutetor proud

kondenzaacutetorem bude faacutezově posunut o 180o proti jaloveacute induktivniacute složce proudu odebiacuteraneacuteho

původniacute zaacutetěžiacute Tiacutem se celkovyacute vyacuteslednyacute proud sniacutežiacute ačkoliv magnetizačniacute proud (= jalovaacute

složka původniacuteho odebiacuteraneacuteho proudu) zůstaacutevaacute zachovaacuten a funkce elektrickyacutech strojů takeacute

zůstaacutevaacute zachovaacutena Sniacuteženiacutem celkoveacuteho proudu dosaacutehneme odlehčeniacute zdroje i přiacutevodniacuteho

vedeniacute Tento postup se nazyacutevaacute kompenzace uacutečiniacuteku

Pozor nikdy se nesmiacute vyskytnout stav uacuteplneacuteho vykompenzovaacuteniacute na cos = 1 což je stav

paralelniacute rezonance Uacutečiniacutek se kompenzuje na hodnotu přibližně cos = 095

Přiacuteklad 81

Jednofaacutezovyacute asynchronniacute motor o vyacutekonu 03 kW připojenyacute na napětiacute 230 V maacute uacutečiniacutek 07

Určete jakyacute kondenzaacutetor je třeba připojit paralelně k motoru aby byl uacutečiniacutek kompenzovaacuten na

hodnotu 095

Řešeniacute

Před připojeniacutem kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

Činnyacute vyacutekon je

189

cos IUIUPČ

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

186335470230

300

cos

U

PI A

Činnaacute složka proudu je

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

133070113043481863354 2222 čj III A

Po připojeniacute kompenzačniacuteho kondenzaacutetoru

coskomp = 095

Z toho plyne že odebiacuteranyacute proud je

1372998950230

300

cos

komp

kompU

PI

A

Činnaacute složka proudu je stejnaacute tedy

1304348230

300

U

PIč A

Jalovaacute induktivniacute složka proudu je

042871813043481372998 2222 čkompjkomp III A

Pro kapacitniacute proud kondenzaacutetoru platiacute

Cjjkomp III

Proud kondenzaacutetorem tedy bude

090198304287181330701 jkompjc III A

Pro proud kondenzaacutetorem platiacute

Cf

U

X

UI

c

C

2

1

Kapacita kondenzaacutetoru je tedy

6-5- 10124831012483230502

0901983

2

Uf

IC C F = 12483 F

190

7 Trojfaacutezovaacute soustava

Převaacutežnaacute většina běžnyacutech menšiacutech domaacuteciacutech spotřebičů je konstruovaacutena na napaacutejeniacute

jednofaacutezovyacutem střiacutedavyacutem proudem Většiacute spotřebiče ať už domaacuteciacute nebo většina

průmyslovyacutech zařiacutezeniacute jsou napaacutejeny trojfaacutezovyacutem proudem Stejně tak i vyacuteroba a rozvod

elektrickeacute energie v přenosovyacutech siacutetiacutech je realizovaacutena trojfaacutezově Z jednotlivyacutech faacuteziacute jsou pak

napaacutejeny i běžneacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

Vyacuteroba rozvod a použitiacute trojfaacutezovyacutech proudů přinaacutešiacute řadu vyacutehod Největšiacute z nich je daacutena

využitiacutem točiveacuteho magnetickeacuteho pole ktereacute vznikaacute praacutevě v důsledku napaacutejeniacute vinutiacute

trojfaacutezovyacutech motorů trojfaacutezovyacutem proudem a bude popsaacuteno v jedneacute z dalšiacutech kapitol Dalšiacute

velkou vyacutehodou je uacutespora materiaacutelu při realizaci rozvodneacute siacutetě a menšiacute ztraacutety při distribuci

elektrickeacute energie podrobnějšiacute vysvětleniacute teacuteto problematiky bude v dalšiacutem textu

71 Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Z teorie střiacutedavyacutech proudů viacuteme že otaacutečiacute-li se v magnetickeacutem poli s konstantniacute velikostiacute

magnetickeacute indukce B zaacutevit - viz obr 208 ve vodiči se indukuje v každeacutem okamžiku napětiacute u

Obr 208 ndash Vznik jednofaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

sinsin22 max UvlBvlBu xi

kde

B hellip je magnetickaacute indukce magnetickeacuteho pole

l hellip je aktivniacute deacutelka zaacutevitu (tj deacutelka v magnetickeacutem poli)

v hellip je rychlost otaacutečeniacute zaacutevitu

v = r

r = a2

Zaacutevit se otaacutečiacute uacutehlovou rychlostiacute uacutehel je tedy

t

191

a po dosazeniacute dostaneme vztah pro zaacutevislost napětiacute indukovaneacuteho v zaacutevitu otaacutečejiacuteciacutem se

konstantniacute uacutehlovou rychlostiacute v magnetickeacutem poli s konstantniacute magnetickou indukciacute B na

čase t

)sin(max tUui

Obr 209 ndash Jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute harmonickeacute napětiacute

Budou-li se v tomteacutež magnetickeacutem poli otaacutečet tři zaacutevity ktereacute budou navzaacutejem prostorově

pootočeneacute o 120o - viz obr 210 bude se v každeacutem z nich indukovat jednofaacutezoveacute střiacutedaveacute

harmonickeacute napětiacute o shodneacute maximaacutelniacute hodnotě a o shodneacute frekvenci lišit se budou uacutehlovyacutem

posunem jednotlivyacutech napětiacute

Obr 210 ndash Vznik trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

Tato tři napětiacute jejichž průběhy jsou navzaacutejem posunuty o 120o a jejichž faacutezory jsou

pochopitelně takeacute navzaacutejem pootočeny o 120 o

se nazyacutevajiacute faacutezovaacute napětiacute Jednotliveacute faacuteze se

označujiacute L1 L2 a L3 nebo takeacute U V W ndash viz obr 211

Obr 211 ndash Faacutezorovyacute diagram a časovyacute průběh trojfaacutezoveacuteho střiacutedaveacuteho harmonickeacuteho napětiacute

192

Matematickyacute zaacutepis časovyacutech průběhů jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute je

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuW

Z faacutezoroveacuteho diagramu i z časoveacuteho průběhu faacutezovyacutech napětiacute je patrneacute že součet okamžityacutech

hodnot všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je v každeacutem okamžiku roven nule

0 WVU uuu

Obr 212 ndash Součet jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute

Velikost všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute je stejnaacute UU = UV = UW = Uf Platiacute

f

o

f UUx2

1)60cos( ff UUy

2

12

Velikost vektoroveacuteho součtu UV a UW je rovna Uf a smysl je opačnyacute než smysl faacutezoru UU

Součet všech třiacute faacutezorů je tedy 0

UU + UV + UW = 0

72 Vyacuteroba trojfaacutezoveacuteho proudu

Trojfaacutezovyacute proud se vyraacutebiacute ve stroji nazyacutevaneacutem alternaacutetor Alternaacutetor je točivyacute elektrickyacute

stroj kteryacute přeměňuje pohybovou energii rotačniacuteho pohybu na energii elektrickou

Mechanickaacute energie přivaacuteděnaacute na rotor se měniacute na elektrickou energii odebiacuteranou ze

statoroveacuteho vinutiacute

Alternaacutetor se sklaacutedaacute ze dvou hlavniacutech čaacutestiacute pevneacuteho statoru a otaacutečejiacuteciacuteho se rotoru Rotorem

otaacutečiacute pohaacuteněciacute stroj (většinou turbiacutena)

Stator je nepohyblivaacute čaacutest stroje Je tvořen pevnou kostrou ve ktereacute je umiacutestěn magnetickyacute

obvod ve tvaru duteacuteho vaacutelce složenyacute z plechů pro elektrotechniku Na vnitřniacute ploše vaacutelce jsou

draacutežky ve kteryacutech je uloženo trojfaacutezoveacute měděneacute izolovaneacute vinutiacute Vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute je

posunuto o 120o Začaacutetky i konce statoroveacuteho vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute jsou vyvedeny pevnyacutemi

193

průchodkami ze statoru Jednotliveacute faacuteze se označujiacute piacutesmeny U V W začaacutetky se označujiacute

U1 V1 W1 konce U2 V2 W2

Obr 213 ndash Trojfaacutezovyacute alternaacutetor ndash princip činnosti

Obr 214 ndash Sklaacutedaacuteniacute magnetickeacuteho obvodu

statoru

Obr 215 ndash Statoroveacute vinutiacute

Obr 216 ndash Kostra statoru s magnetickyacutem

obvodem a statorovyacutem vinutiacutem

Rotor je pohyblivaacute čaacutest alternaacutetoru je umiacutestěn souose uvnitř statoru Magnetickyacute obvod

rotoru ve tvaru vaacutelce je vykovanyacute z legovaneacute oceli jako jedinaacute čaacutest spolu s hřiacutedelem na

vaacutelcoveacute ploše maacute podeacutelneacute draacutežky ve kteryacutech je uloženo budiacuteciacute vinutiacute napaacutejeneacute přes kroužky

stejnosměrnyacutem proudem Rotor je pohaacuteněn turbiacutenou a otaacutečiacute se jmenovityacutemi otaacutečkami n

(otmin)

Obr 217 ndash Vklaacutedaacuteniacute ciacutevek budiacuteciacuteho vinutiacute do tělesa rotoru

Obr 218 ndash Vklaacutedaacuteniacute rotoru do statoru

Stejnosměrnyacute rotorovyacute budiacuteciacute proud vybudiacute magnetickeacute stejnosměrneacute pole Rotor se otaacutečiacute

jmenovityacutemi otaacutečkami n (otmin) tedy s frekvenciacute f = n60 jeho uacutehlovaacute rychlost je =2f Spolu s rotorem se otaacutečiacute i stejnosměrneacute magnetickeacute pole Jeho indukčniacute čaacutery protiacutenajiacute stojiacuteciacute

vodiče vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute uloženeacute ve statoru a tiacutem se ve statoroveacutem vinutiacute indukuje

elektrickeacute napětiacute Princip vzniku trojfaacutezoveacuteho napětiacute je stejnyacute jako v přiacutepadě popsaneacutem

v kapitole 71 rozdiacutel je jen v tom že se neotaacutečiacute vinutiacute ale magnetickeacute pole Vyacutehodou tohoto

uspořaacutedaacuteniacute je že velkeacute vyacutekony vyrobeneacute přeměnou mechanickeacute energie rotačniacuteho pohybu na

elektrickou energii vyvaacutediacuteme pevnyacutemi průchodkami a vyacuterazně menšiacute vyacutekon budiacuteciacuteho proudu

přivaacutediacuteme do budiacuteciacuteho vinutiacute přes pohybliveacute kroužky Vyvaacuteděniacute vyrobenyacutech velkyacutech vyacutekonů

přes kroužky by bylo z provozniacuteho hlediska značně problematickeacute

Toto provedeniacute alternaacutetoru se použiacutevaacute při vyacuterobě elektrickeacute energie v parniacutech a jadernyacutech

elektraacuternaacutech tj tam kde je alternaacutetor pohaacuteněn parniacute turbiacutenou ndash tyto alternaacutetory jsou

195

označovaacuteny jako turboalternaacutetory Jmenoviteacute otaacutečky turboalternaacutetorů jsou zpravidla

3000 otmin

Pro hydroelektraacuterny je konstrukčniacute provedeniacute rotoru jineacute rotor maacute vynikleacute poacutely na kteryacutech

jsou umiacutestěny ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute Princip vyacuteroby elektrickeacute energie je ale shodnyacute

s předchoziacutem provedeniacutem

Obr 219 ndash Rotor s vyniklyacutemi poacutely na nichž jsou ciacutevky budiacuteciacuteho vinutiacute

Pro alternaacutetory malyacutech vyacutekonů může byacutet rotor realizovaacuten permanentniacutem magnetem

Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetorů

Vzhledem k tomu že součet všech třiacute faacutezovyacutech napětiacute v souměrneacute trojfaacutezoveacute soustavě je

v každeacutem okamžiku roven nule je možneacute spojit konce jednotlivyacutech faacutezovyacutech statorovyacutech

vinutiacute do jedineacuteho uzlu kteryacute maacute proti zemi nuloveacute napětiacute Tento uzel se nazyacutevaacute nulovyacute bod a

označujeme ho N Toto spojeniacute se nazyacutevaacute zapojeniacute do hvězdy

Nulovyacute bod může ale nemusiacute byacutet vyveden Rozvod elektrickeacute energie se pak provaacutediacute třemi

nebo čtyřmi vodiči Jednotliveacute faacutezoveacute vodiče se označujiacute L1 L2 L3 (faacuteze) středniacute vodič se

označuje N (nulovyacute vodič bdquonulaacutekldquo)

a) b)

Obr 220 ndash Zapojeniacute statoroveacuteho vinutiacute alternaacutetoru do hvězdy

a) bez středniacuteho vodiče b) s vyvedenyacutem středniacutem vodičem

Napětiacute na alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi jednotlivyacutemi faacutezemi a nulovyacutem vodičem je napětiacute ktereacute se indukuje ve vinutiacute přiacuteslušneacute

faacuteze ndash takzvaneacute faacutezoveacute napětiacute Uf

196

fWVU UUUU

Obr 221 ndash Faacutezovaacute a sdruženaacute napětiacute na vyacutestupu z alternaacutetoru při zapojeniacute do hvězdy

Mezi dvěma faacutezemi je takzvaneacute sdruženeacute napětiacute US

SWUVWUV UUUU

Velikost sdruženeacuteho napětiacute vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku faacutezovyacutech a sdruženeacuteho

napětiacute

2

330cos

2 f

o

fS UU

U

fS UU 3

Mezi jakyacutemkoliv faacutezovyacutem vodičem a nulovyacutem vodičem je faacutezoveacute napětiacute Uf Mezi

libovolnyacutemi dvěma faacutezovyacutemi vodiči je sdruženeacute napětiacute US

73 Přenos energie v trojfaacutezoveacute elektrizačniacute siacuteti

Elektrickou energii vyrobenou v alternaacutetorech je nutno přeneacutest rozvodnyacutemi siacutetěmi ke

spotřebitelům Protože vedeniacute vykazuje ohmickyacute odpor vznikajiacute na něm uacutebytky napětiacute U a

ztraacutety Jouleovyacutem teplem ndash ztraacutetovyacute vyacutekon je P

Uacutebytek napětiacute na vedeniacute je

IRU

kde R je odpor vedeniacute

I je přenaacutešenyacute proud

Ztraacutetovyacute vyacutekon na vedeniacute je

2IRIIRIUP

Z uvedeneacuteho je patrneacute že ztraacutetovyacute vyacutekon a tedy i ztraacutety na vedeniacute jsou uacuteměrneacute druheacute mocnině

přenaacutešeneacuteho proudu

197

Celkovyacute přenaacutešenyacute vyacutekon je uacuteměrnyacute součinu UI Proto se snažiacuteme přenaacutešet elektrickou

energii s co největšiacutem napětiacutem pak při stejneacutem přenaacutešeneacutem vyacutekonu bude proud menšiacute a tiacutem

vyacuterazněji bude menšiacute jeho druhaacute mocnina jiacutež jsou uacuteměrneacute ztraacutety

Elektrickaacute energie vyrobenaacute v alternaacutetorech maacute různaacute napětiacute podle typu alternaacutetoru Běžně se

napětiacute alternaacutetorů pohybujiacute v řaacutedech 6 až 20 kV Toto napětiacute je pro daacutelkovyacute přenos relativně

niacutezkeacute ztraacutety ve vedeniacute by byly vzhledem k velikosti přenaacutešeneacuteho vyacutekonu značneacute Proto se

energie transformuje na vyššiacute napětiacute pomociacute strojů nazyacutevanyacutech transformaacutetory

Transformaacutetory jsou netočiveacute elektrickeacute stroje využiacutevajiacute vzaacutejemnou indukčnost dvou ciacutevek

Na společneacutem feromagnetickeacutem jaacutedru složeneacutem z transformaacutetorovyacutech plechů jsou nasunuty

dvě ciacutevky primaacuterniacute a sekundaacuterniacute Tyto ciacutevky majiacute různyacute počet zaacutevitů Proteacutekaacute-li prvniacute ciacutevkou

proud I1 vybudiacute magnetickyacute tok kteryacute se uzaviacuteraacute i prostorem druheacute ciacutevky Tok indukuje

v každeacutem jednotliveacutem zaacutevitu obou ciacutevek stejneacute napětiacute tedy napětiacute U1 v prvniacute ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů prvniacute (primaacuterniacute) ciacutevky N1 a napětiacute U2 ve druheacute (sekundaacuterniacute) ciacutevce je uacuteměrneacute

počtu zaacutevitů N2 druheacute ciacutevky

Obr 222 ndash Princip transformaacutetoru

Z uvedeneacuteho je patrneacute že

2

1

2

1

N

N

U

U (= transformačniacute poměr) a tedy

1

212

N

NUU

Maacute-li sekundaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka primaacuterniacute energie se transformuje na vyššiacute

napětiacute naopak pokud maacute primaacuterniacute ciacutevka většiacute počet zaacutevitů než ciacutevka sekundaacuterniacute energie se

transformuje na nižšiacute napětiacute

Velkeacute energetickeacute transformaacutetory majiacute velmi vysokou uacutečinnost lze tedy zjednodušeně řiacuteci že

vstupniacute vyacutekon převaacuteděneacute energie je roven vyacutekonu vyacutestupniacutemu

P1 = P2 = P

Je-li N2 gt N1 vstupniacute napětiacute U1 a proud I1 pak

1

212

N

NUU gt U1

Sekundaacuterniacute napětiacute je většiacute než primaacuterniacute Protože platiacute

2

2U

PI a

1

1U

PI

pak I2 lt I1

proud v sekundaacuterniacutem vinutiacute je menšiacute než proud v primaacuterniacutem vinutiacute

198

Vzaacutejemnyacute poměr proudů při transformaci je

2

11

1

21

11

2

112

N

NI

N

NU

UI

U

UII

rarr

2

1

1

2

N

N

I

I

Pro N2 gt N1 se napětiacute transformaciacute zvyšuje proud naopak snižuje ndash ztraacutety při přenosu energie

se sniacutežiacute

Napětiacute pro daacutelkoveacute přenosy elektrickeacute energie (tzv paacuteteřniacute siacutetě) jsou 220 kV a 400 kV

Distribučniacute siacuteť pracujiacuteciacute v raacutemci regionů maacute napětiacute 110 kV

Velkeacute energetickeacute bloky majiacute vyacutestup z alternaacutetoru připojen k transformaacutetoru kteryacute zvyacutešiacute

vyacutestupniacute napětiacute energie z alternaacutetoru na vyššiacute hodnotu ndash některou z uvedenyacutech hodnot pro

daacutelkovyacute nebo distribučniacute přenos energie

Pro rozvod v konkreacutetniacutem miacutestě spotřeby se energie transformuje zpět na menšiacute napětiacute

zpravidla 22 kV a naacutesledně přiacutemo u spotřebitele na 400 V

G ndash trojfaacutezovyacute alternaacutetor T ndash trojfaacutezovyacute transformaacutetor

Obr 223 ndash Zjednodušeneacute scheacutema rozvodneacute soustavy

74 Připojovaacuteniacute spotřebičů k trojfaacutezoveacute siacuteti

Spotřebitelskeacute siacutetě jsou dvojiacuteho druhu siacutetě TN ndash S a siacutetě TN ndash C Každaacute siacuteť obsahuje tři

faacutezoveacute vodiče označeniacute L1 L2 a L3V siacuteti TN ndash C je vyveden středniacute (nulovyacute) vodič kteryacute

sloužiacute jednak jako zpětnyacute vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče a současně jako ochrannyacute vodič

jeho označeniacute je PEN V siacuteti TN ndash S je zvlaacutešť vyveden středniacute vodič sloužiacuteciacute jako zpětnyacute

vodič pro jednofaacutezoveacute spotřebiče ndash označuje se N a zvlaacutešť ochrannyacute vodič označenyacute PE

Aby bylo zatiacuteženiacute siacutetě co nejrovnoměrnějšiacute zapojujeme jednotliveacute jednofaacutezoveacute spotřebiče

mezi různeacute faacuteze a nulovyacute vodič

Nulovyacute vodič PEN přiacutepadně ochrannyacute vodič PE sloužiacute jako ochrannyacute vodič při ochraně před

dotykem neživyacutech čaacutestiacute elektrickeacuteho zařiacutezeniacute nulovaacuteniacutem Neživaacute čaacutest elektrickeacuteho zařiacutezeniacute je

takovaacute vodivaacute čaacutest zařiacutezeniacute kteraacute za normaacutelniacutech provozniacutech podmiacutenek neniacute pod napětiacutem ale

vlivem poruchy se na niacute může napětiacute objevit napřiacuteklad při poruše izolace Pak na kovoveacutem

krytu nebo kostře může byacutet napětiacute až 230 V a dotyk osoby se zařiacutezeniacutem pod napětiacutem může byacutet

zdraviacute ohrožujiacuteciacute

199

Obr 224 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - C

Obr 225 ndash Spotřebitelskaacute siacuteť TN - S

Ochrana nulovaacuteniacutem

Ochrana nulovaacuteniacutem spočiacutevaacute v automatickeacutem odpojeniacute zařiacutezeniacute od siacutetě objeviacute-li se na neživeacute

čaacutesti zařiacutezeniacute elektrickeacute napětiacute

Pokud elektrickeacute zařiacutezeniacute na obr 226 pracuje bezporuchově proteacutekaacute faacutezovyacutem vodičem

jmenovityacute proud IN daneacuteho zařiacutezeniacute IN = Uf RN kde RN = R21 je jmenovityacute odpor v daneacute

faacutezi Na tento proud je dimenzovaacuten jistiacuteciacute prvek F (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute

pojistka) proud může prochaacutezet zařiacutezeniacutem po libovolnou dobu

200

Dojde-li k poškozeniacute izolace a naacutesledneacutemu doteku živeacute čaacutesti elektrickeacuteho zařiacutezeniacute (např

faacutezoveacuteho přiacutevodniacuteho vodiče) s vodivou neživou čaacutestiacute (napřiacuteklad kostrou zařiacutezeniacute) objeviacute se

na neživeacute čaacutesti faacutezoveacute elektrickeacute napětiacute Je-li zařiacutezeniacute izolovaneacute od země a neniacute na něm

aplikovaacutena žaacutednaacute ochrana proud se nemůže uzaviacuterat jinou cestou než při normaacutelniacutem

bezchybneacutem provozu Zařiacutezeniacute tedy funguje daacutel ale na kostře je nebezpečneacute napětiacute Dotkne-li

se obsluha kostry dojde přes odpor těla k uzavřeniacute obvodu zemiacute přes tělo prochaacuteziacute elektrickyacute

proud a dochaacuteziacute k uacuterazu elektrickyacutem proudem ndash viz obr 226 a)

a) b)

Obr 226 ndash Ochrana nulovaacuteniacutem

Pokud je nulovaciacute svorka zařiacutezeniacute propojena s ochrannyacutem vodičem PE ndash viz obr 226 b) při

poruše izolace začne obvodem prochaacutezet proud kteryacute je omezen jen odporem kostry RK kteryacute

je vyacuterazně menšiacute než provozniacute odpor RN daneacute faacuteze elektrickeacuteho zařiacutezeniacute Prochaacutezejiacuteciacute proud

IK = Uf RK tedy bude vyacuterazně vyššiacute než jmenovityacute faacutezovyacute proud zařiacutezeniacute IN a jeho

působeniacutem se rozpojiacute jistiacuteciacute prvek F21 (zkratovaacute spoušť jističe nebo tavnaacute pojistka) Tiacutem se

danaacute faacuteze zařiacutezeniacute odpojiacute od siacutetě a nebezpečiacute uacuterazu elektrickyacutem proudem pomine

74 Zapojeniacute trojfaacutezovyacutech spotřebičů ve trojfaacutezoveacute siacuteti

Trojfaacutezoveacute spotřebiče majiacute v převaacutežneacute většině stejnou impedanci v každeacute jednotliveacute faacutezi

Faacutezoveacute impedance se vzaacutejemně spojujiacute jednak do hvězdy jednak do trojuacutehelniacuteka

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do hvězdy

Jednotliveacute faacutezoveacute impedance ZU ZV a ZW daneacuteho trojfaacutezoveacuteho spotřebiče majiacute vstupy

připojeny k jednotlivyacutem faacutezovyacutem vodičům L1 L2 a L3 a jejich vyacutestupy jsou spojeny do uzlu

a připojeny ke středniacutemu vodiči N ndash viz obr 227

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance ve všech třech faacuteziacutech stejně velkeacute ZU = ZV = ZW = Zf pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

201

f

f

fZ

UI

Proudy jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech napětiacute uacutehel

danyacute typem impedance ve faacutezi spotřebiče

Obr 227 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do hvězdy

Obr 228 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy a souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Protože IU = IV = IW = If a proudy jsou pootočeny o 120o jejich vektorovyacute součet je roven

nule ndash viz obr 228 Z toho plyne že středniacutem vodičem při souměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute neproteacutekaacute

žaacutednyacute proud

IN = 0

Nulovyacute vodič se jeviacute byacutet v takoveacutem přiacutepadě nadbytečnyacute je však třeba zohlednit že může

vlivem poruchy v některeacute faacutezi spotřebiče dojiacutet k nesouměrnosti a pak se proud danyacute

vektorovyacutem součtem zbyacutevajiacuteciacutech dvou funkčniacutech faacuteziacute uzaviacuteraacute praacutevě středovyacutem vodičem

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute buď vlivem poruchy při souměrneacutem zatiacuteženiacute nebo připojeniacutem

různyacutech jednofaacutezovyacutech spotřebičů na jednotliveacute faacuteze - viz obr 225 Trojfaacutezoveacute motory a dalšiacute

trojfaacutezoveacute spotřebiče budou v bezporuchoveacutem stavu zatěžovat siacuteť rovnoměrně ale zaacutesuvky

světelneacute obvody a dalšiacute jednofaacutezoveacute spotřebiče rovnoměrneacute proudoveacute zatiacuteženiacute mohou porušit

přestože je snaha připojovat v domovniacutech rozvodech jednotliveacute obvody na různeacute faacuteze pokud

možno rovnoměrně nikdy se nedosaacutehne staacutele stejneacute spotřeby všech odběratelů ve všech

202

obvodech Pak prochaacuteziacute středniacutem vodičem zpět do uzlu N napaacutejeciacuteho transformaacutetoru proud IN

kteryacute je vektorovyacutem součtem proudů ve všech třech faacuteziacutech Proudy v jednotlivyacutech faacuteziacutech jsou

U

UU

Z

UI

V

VV

Z

UI

W

WW

Z

UI

Velikosti jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute jsou stejneacute

fWVU UUUU

a faacutezory faacutezovyacutech napětiacute UU UV a UW jsou vzaacutejemně pootočeny o 120o

Obr 229 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do hvězdy při nesouměrneacutem zatiacuteženiacute faacuteziacute

Faacutezovyacute posun mezi proudem a napětiacutem v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W je daacuten typem zaacutetěže

v jednotlivyacutech faacuteziacutech U V W

Pozor

Ve spotřebitelskyacutech siacutetiacutech niacutezkeacuteho napětiacute (230 V 400 V) se nesmiacute středniacute vodič nikde

přerušit Veškereacute jistiacuteciacute a spiacutenaciacute přiacutestroje musiacute byacutet zapojeny mezi faacutezovyacutem přiacutevodem a

spotřebičem

741 Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka

Zapojeniacute trojfaacutezoveacuteho spotřebiče do trojuacutehelniacuteka je zakresleno na obr 230

Obr 230 ndash Trojfaacutezovyacute spotřebič zapojenyacute do trojuacutehelniacuteka

203

Jednotliveacute zaacutetěže ZUV ZVW ZWU jsou připojeny na sdruženaacute napětiacute UUV UVW UWU kteraacute jsou

stejně velkaacute a vzaacutejemně posunutaacute o 120o

UUV = UVW = UWU = US kde fS UU 3

Proudy v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou

UV

SUV

Z

UI

VW

SVW

Z

UI

WU

SWU

Z

UI

a faacutezovyacute posun mezi proudy a napětiacutemi je daacuten typem zaacutetěže

Proudy v přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou podle I Kirchhoffova zaacutekona

IU + IWU - IUV = 0 IU = IUV - IWU

IV - IVW + IUV = 0 IV = IVW - IUV

IW + IVW - IWU = 0 IW = IWU - IVW

Souměrneacute zatiacuteženiacute

Jsou-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute stejně velkeacute ZUV = ZVW = ZWU = ZS pak velikosti proudů

v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech jsou takeacute stejně velkeacute a jejich hodnota je

S

f

S

SS

Z

U

Z

UI

3

Proudy v zaacutetěžiacutech jsou vzaacutejemně posunuty o 120o a jejich faacutezory sviacuterajiacute s faacutezory faacutezovyacutech

napětiacute uacutehel danyacute typem impedance spotřebiče

Napaacutejeciacute napětiacute Proudy v zaacutetěžiacutech

Obr 231 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a souměrneacutem zatiacuteženiacute

Proudy ve všech třech přiacutevodniacutech faacutezovyacutech vodičiacutech jsou stejně velkeacute a navzaacutejem pootočeneacute

o 120o Jejich velikost vypočteme z rovnoramenneacuteho trojuacutehelniacuteku ndash viz obr 232

2

330cos

2 WU

o

WU

fII

I

WUf II 3

204

Obr 232 ndash Proudy v přiacutevodniacutech vodičiacutech při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka při souměrneacutem zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute

Nesouměrneacute zatiacuteženiacute nastaacutevaacute majiacute-li impedance všech třiacute zaacutetěžiacute různeacute parametry Pak je

různaacute i velikost a faacutezovyacute posun proudů v zaacutetěžiacutech a tiacutem i proudů v přiacutevodniacutech vodičiacutech ndash viz

obr 233

Obr 233 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka a nesouměrneacutem zatiacuteženiacute

Přiacuteklad 82

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz je souměrně zatiacuteženyacute zaacutetěže majiacute

činnyacute odpor R = 120 indukčnost L = 04 H a jsou spojeneacute do trojuacutehelniacuteka - viz scheacutema na

obr 234 Určete proud v jednotlivyacutech zaacutetěžiacutech a faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute

ze siacutetě Nakreslete faacutezorovyacute diagram pro napětiacute a proudy

205

Obr 234 ndash Scheacutema zapojeniacute pro přiacuteklad 82

Řešeniacute

Vyjdeme z faacutezoroveacuteho diagramu ndash viz obr 235

Obr 235 ndash Faacutezorovyacute diagram při zapojeniacute do trojuacutehelniacuteka podle obr 234

Napětiacute na všech třech zaacutetěžiacutech je

400 SWVUWVU UUUU V

Proud v zaacutetěžiacutech bude miacutet stejnou velikost

Z

UIIII S

WVUWVU

kde 17376120)40502()2( 222222 RLfRXZ L

76173

400

Z

UI S 230207 A

206

Proud ve všech faacutezovyacutech přiacutevodech bude miacutet stejnou velikost

398730323020733 IIIII fWUV A

75 Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu je daacuten součtem vyacutekonů v jednotlivyacutech faacuteziacutech

Činnyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

cos fff IUP (W V A)

Zdaacutenlivyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

fff IUS (VA V A)

Jalovyacute vyacutekon jedneacute faacuteze je

sin fff IUQ (VAr V A)

Pokud je zaacutetěž ve všech faacuteziacutech stejnaacute platiacute

Celkovyacute trojfaacutezovyacute činnyacute vyacutekon

cos33 fff IUPP (W V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute zdaacutenlivyacute vyacutekon

fff IUSS 33 (VA V A)

Celkovyacute trojfaacutezovyacute jalovyacute vyacutekon

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

Přiacuteklad 83

Trojfaacutezovyacute spotřebič připojenyacute k siacuteti 230400 V 50 Hz obsahuje tři stejneacute rezistory o odporu

R = 80 spojeneacute do hvězdy Určete faacutezovyacute proud kteryacute tento spotřebič odebiacuteraacute ze siacutetě a

celkovyacute odebiacuteranyacute vyacutekon Jak se změniacute vyacutekon zapojiacuteme-li jednotliveacute rezistory do

trojuacutehelniacuteku

Řešeniacute

Každyacute z rezistorů je připojen na jedno z faacutezovyacutech napětiacute Proud jednou faacuteziacute bude

287580

230

R

UI

f

f A

Vyacutekon jedneacute faacuteze je tedy

661252875230 fff IUP W

207

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

1983752875230333 fff IUPP W

Zapojiacuteme-li rezistory do trojuacutehelniacuteka bude na každeacutem z rezistorů sdruženeacute napětiacute

US Proud každyacutem z rezistorů bude

580

40033

3

f

ffSS I

R

U

R

U

R

UI A

Vyacutekon na jednom rezistoru je tedy

00025400333 fffSSS PIUIUP W

Vyacutekon všech třiacute faacuteziacute je

6000200033 SPP W

Vyacutekon při zapojeniacute rezistorů do trojuacutehelniacuteka je 3 x většiacute než při zapojeniacute do hvězdy

751 Svorkovnice trojfaacutezoveacuteho spotřebiče přepojovaacuteniacute hvězda - trojuacutehelniacutek

Začaacutetky a konce zaacutetěžiacute jednotlivyacutech faacuteziacute v trojfaacutezoveacutem spotřebiči jsou většinou vyvedeny na

svorkovnici Ta je uspořaacutedaacutena tak aby přepojeniacute z hvězdy do trojuacutehelniacuteku bylo co

nejjednoduššiacute

Připojeniacute vinutiacute jednotlivyacutech faacuteziacute statoru trojfaacutezoveacuteho motoru ke svorkaacutem svorkovnice je

znaacutezorněno na obr 236 Přepojeniacutem spojek na svorkovnici jednoduše dociacuteliacuteme přepojeniacute

chodu motoru v režimu hvězda do chodu v režimu trojuacutehelniacutek Při provozu v zapojeniacute do

trojuacutehelniacuteka maacute motor trojnaacutesobnyacute vyacutekon než při zapojeniacute do hvězdy

a) b) c)

Obr 236 ndash a) připojeniacute vinutiacute ke svorkovnici b) spojeniacute vinutiacute do hvězdy c) spojeniacute vinutiacute do

trojuacutehelniacuteka

76 Točiveacute magnetickeacute pole

Pokud k ciacutevkaacutem statoroveacuteho vinutiacute jenotlivyacutech faacuteziacute ktereacute jsou zaacutejemně pootočny o 120o

připojiacuteme faacuteze L1 L2 a L3 trofaacutezoveacuteho zdroje ndash viz obr 237 vytvořiacute se v prostoru uvnitř

statoru točiveacute magnetickeacute pole

208

Obr 237 ndash Připojeniacute statoroveacuteho trojfaacutezoveacuteho vinutiacute k trojfaacutezoveacute siacuteti

Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole je patrnyacute z obr 238

V okamžiku t0 bude ciacutevkou faacuteze W proteacutekat proud iW v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku W1

ciacutevky ke konci W2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze U je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iW a iV vybudiacute magnetickaacute pole W

a v uacuteměrnaacute proudům ktereacute je vyvolaly jejich součet je magnetickyacute tok - obr 238 a)

V okamžiku t1 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze V bude proteacutekat proud iV v zaacuteporneacutem smyslu tedy od V2 do

V1 ciacutevka faacuteze W je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iV vybudiacute magnetickaacute pole

jejichž součtem je magnetickyacute tok - obr 238 b) Tok maacute stejnou velikost jako v přiacutepadu a)

ale jeho vektor bude pootočen o 60o ve směru hodinovyacutech ručiček

a) b) c)

209

d) e) f)

Obr 238 ndash Vznik točiveacuteho magnetickeacuteho pole

V okamžiku t2 bude ciacutevkou faacuteze U proteacutekat proud iU v kladneacutem smyslu tedy od počaacutetku U1

ciacutevky ke konci U2 ciacutevkou faacuteze W bude proteacutekat proud iW v zaacuteporneacutem smyslu tedy od W2 do

W1 ciacutevka faacuteze V je v tomto okamžiku bez proudu Proudy iU a iW vybudiacute magnetickaacute pole

jejich součet je magnetickyacute tokem - obr 238 c) Tok bude miacutet opět stejnou velikost jako

v přiacutepadu a) a b) ale jeho vektor bude pootočen o dalšiacutech 60o

Situaci v časech t3 t4 a t5 popisujiacute obraacutezky 238 d) e) a f) Velikost magnetickeacuteho toku je staacutele

stejnaacute vektor magnetickeacuteho toku se otaacutečiacute a to stejnou uacutehlovou rychlostiacute jako je uacutehlovaacute

rychlost napaacutejeciacuteho napětiacute

Magnetickeacute pole charakterizovaneacute otaacutečejiacuteciacutem se magnetickyacutem tokem nazyacutevaacuteme točiveacute

magnetickeacute pole

Velikost celkoveacuteho magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole bude v každeacutem okamžiku

daacutena vektorovyacutem součtem magnetickyacutech toků vybuzenyacutech jednotlivyacutemi faacutezovyacutemi vinutiacutemi

Ty jsou uacuteměrneacute proudům v přiacuteslušnyacutech faacutezovyacutech vinutiacutech

V okamžiku t0 = 0 je velikost proudu iW

2

3)

3

4sin()

3

4sin( maxmaxmax IItIiw

Magnetickyacute tok je uacuteměrnyacute proudu platiacute tedy

2

3max w

kde max je maximaacutelniacute hodnota magnetickeacuteho toku vybuzeneacuteho jednou faacuteziacute

Vektorovyacute součet faacutezorů toků je ndash viz obr 239

Obr 239 ndash Velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole

210

maxmax

0

2

3

2

3

2

32)30cos(2 W

Celkovaacute velikost magnetickeacuteho toku točiveacuteho magnetickeacuteho pole je tedy

max2

3

Zaacutevěrem lze řiacuteci že napaacutejiacuteme-li trojfaacutezovyacutem proudem tři statorovaacute vinutiacute vzaacutejemně pootočenaacute

o 120o vznikne v prostoru uvnitř statoru točiveacute magnetickeacute pole o otaacutečkaacutech fns 60 a

velikosti max2

3

Pokud do prostoru statoru vložiacuteme otočnyacute magnet umiacutestěnyacute na hřiacutedeli o ose společneacute s osou

statoru točiveacute magnetickeacute pole bude silově působit na magnet magnet bude unaacutešen točivyacutem

magnetickyacutem polem a roztočiacute se stejnyacutemi otaacutečkami jako jsou otaacutečky točiveacuteho magnetickeacuteho

pole (takzvaneacute synchronniacute otaacutečky)

fns 60

Obr 240 ndash Princip trojfaacutezoveacuteho elektromotoru

Na principu točiveacuteho magnetickeacuteho pole pracujiacute všechny trojfaacutezoveacute elektromotory

Pokud by se navzaacutejem prohodily dva ze třiacute faacutezovyacutech přiacutevodů smysl otaacutečeniacute točiveacuteho

magnetickeacuteho pole by se změnil na opačnyacute ndash viz obr 241

V okamžiku t0 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 a)

V okamžiku t1 bude faacutezor magnetickeacuteho toku orientovaacuten podle znaacutezorněniacute na obr 241 b)

v dalšiacutech okamžiciacutech podle časoveacuteho průběhu proudů se faacutezor magnetickeacuteho toku vždy

pootočiacute proti směru hodinovyacutech ručiček

211

a) b)

Obr 241 ndash Změna smyslu otaacutečeniacute točiveacuteho magnetickeacuteho pole

Teacuteto vlastnosti točiveacuteho magnetickeacuteho pole se využiacutevaacute při reverzaci chodu motoru ndash viz obr

242 Pozor stykače S1 a S2 musiacute byacutet vzaacutejemně blokovaacuteny aby nedošlo ke zkratu mezi

přiacutevodniacutemi faacutezemi

Obr 242 ndash Reverzace smyslu otaacutečeniacute trojfaacutezoveacuteho motoru

212

77 Kompenzace uacutečiniacuteku

Princip kompenzace uacutečiniacuteku a důvody proč je nutneacute uacutečiniacutek kompenzovat byly popsaacuteny

v čaacutesti učebnice zabyacutevajiacuteciacute se střiacutedavyacutemi proudy

Z předchoziacutech kapitol teacuteto čaacutesti vyplyacutevaacute že připojeneacute transformaacutetory a motory zatěžujiacute

elektrizačniacute siacuteť značnyacutemi induktivniacutemi ndash magnetizačniacutemi ndash proudy Ty je nutneacute kompenzovat

neboť velkeacute jaloveacute vyacutekony by zatěžovaly jak alternaacutetory tak i přenosoveacute transformaacutetory a

vedeniacute a bylo by třeba tato zařiacutezeniacute na ně dimenzovat ndash instalovanyacute vyacutekon elektraacuterenskyacutech

bloků by pak nebyl plně využit na vyacuterobu a přenos činneacute energie Kromě toho velkeacute jaloveacute

proudy při průchodu vedeniacutem způsobujiacute velkeacute ztraacutety Jouleovyacutem teplem

Uacutečiniacutek kompenzujeme na hodnotu cos = 095 až 098 připojeniacutem zaacutetěžiacute ktereacute majiacute kapacitniacute

charakter Uacutečinek kompenzace se projeviacute vždy jen v napaacutejeciacute čaacutesti elektrickeacute siacutetě za miacutestem

připojeniacute kompenzačniacutech bloků směrem ke spotřebiči se na napaacutejeciacutech poměrech nic neměniacute

Velciacute spotřebiteleacute elektřiny jsou povinni uacutečiniacutek sledovat a kompenzovat ho na požadovanou

hodnotu Přiacutepadneacute nedodrženiacute kompenzace je dodavatelem sledovaacuteno a odběratel je

penalizovaacuten

Kompenzace uacutečiniacuteku - Power Factor Corrrection ndash se většinou provaacutediacute připojovaacuteniacutem bloků

kondenzaacutetorů k siacuteti

Metody kompenzace jaloveacuteho vyacutekonu

Individuaacutelniacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutemo na svorky

spotřebiče Tiacutem je odlehčeno celeacute vedeniacute od zdroje ke spotřebiči Dosaženeacute uacutespory jsou

nejvyššiacute Individuaacutelniacute kompenzace je vhodnaacute pro staacutele provozovanou zaacutetěž s konstantniacutem

přiacutekonem např asynchronniacute motory transformaacutetory hospodaacuternost kompenzace zaacutevisiacute na

využitiacute spotřebiče

Obr 243 ndash Individuaacutelniacute kompenzace uacutečiniacuteku trojfaacutezoveacuteho motoru

Skupinovaacute kompenzace maacute kompenzačniacute zařiacutezeniacute připojeno na přiacutepojnice hlavniacutech

rozvaděčů v průmyslovyacutech zaacutevodech Kompenzovaacuten je uacutesek vedeniacute od tohoto rozvaděče ke

zdroji Vlivem nesoudobosti provozu spotřebičů vychaacuteziacute kompenzačniacute vyacutekon menšiacute než při

individuaacutelniacute kompenzaci každeacuteho spotřebiče což je ekonomicky vyacutehodnějšiacute ale je již nutnaacute

jeho regulace kteraacute je realizovaacutena spiacutenanyacutemi elektronickyacutemi silovyacutemi obvody

213

Centraacutelniacute kompenzace je typickaacute pro rozsaacutehleacute napaacutejeneacute systeacutemy obvykle je připojena

v hlavniacute rozvodně zaacutevodu na přiacutepojniciacutech vstupniacute trafostanice Vlivem nesoudobosti

spotřebičů opět klesaacute potřebnyacute kompenzačniacute vyacutekon rovněž je nutnaacute regulace

Kondenzaacutetoroveacute baterie jsou spiacutenaacuteny regulaacutetorem podle aktuaacutelniacuteho požadavku

kompenzačniacuteho vyacutekonu

Maliacute spotřebiteleacute napřiacuteklad domaacutecnosti nejsou povinni kompenzovat uacutečiniacutek elektroměry

měřiacute pouze činnou odebranou energii

214

8 Přehled nejdůležitějšiacutech veličin a vztahů

Přehled obsahuje nejdůležitějšiacute veličiny uvaacuteděneacute v učebnici jejich jednotky včetně jejich

značek a zaacutekladniacute vztahy mezi veličinami

81 Elektrostatickeacute pole

Q elektrickyacute naacuteboj coulomb (C)

elementaacuterniacute elektrickyacute naacuteboj e = 1602 10-19

C

Q = ke k je celeacute čiacuteslo

I elektrickyacute proud ampeacuter (A)

t

QI

E intenzita elektrickeacuteho pole (1CN )

Q

FE

U elektrickeacute napětiacute volt (V)

Q

AU ( CJV )

l

UE

2

21

04

1

r

QQF

r

hellip Coulombův zaacutekon

siacutela jiacutež na sebe navzaacutejem působiacute dva elektrickeacute naacuteboje v obecneacutem nevodiveacutem

prostřediacute

permitivita daneacuteho prostřediacute (CV-1m

-1)

0 r

0 permitivita vakua 0 = 885410-12

(CV-1m

-1)

r poměrnaacute permitivita r gt = 1

24 r

QE

intenzita elektrickeacuteho pole ve vzdaacutelenosti r od středu koule

s naacutebojem Q

D elektrickaacute indukce

S

QD )( 22 mCmC

ED r 0

C kapacita kondenzaacutetoru farad (F)

U

QC

l

SC r 0

215

Paralelniacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC 21

Seacuterioveacute spojeniacute kondenzaacutetorů

nivyacutesl CCCCC

1

1

111

21

Přechodovyacute děj na kondenzaacutetoru

t

c eUu 10

kde

CR

Energie elektrostatickeacuteho pole kondenzaacutetoru

2

2

1UCWC

Kapacita dvou soustřednyacutech kulovyacutech ploch je

12

2104

rr

rr

U

QC r

Pak kapacita osamoceneacute koule je

104 rC r

Kapacita dvou soustřednyacutech vaacutelcovyacutech ploch je

1

2

0

1

2

0

log32

2

ln

2

r

r

l

r

r

l

U

QC rr

82 Stejnosměrnyacute proud

J Proudovaacute hustota

S

IJ )( 22 mAmA

V technickeacute praxi se pro běžneacute typy vodičů použiacutevaacute jednotka Amm2

R elektrickyacute odpor ohm ()

R

UI hellip Ohmův zaacutekon

S

lR )( 2mm nebo )10( 26 mmm

rezistivita materiaacutelu

G vodivost siemens (S)

RG

1

216

Zaacutevislost elektrickeacuteho odporu na teplotě )1(12 RR

teplotniacute součinitel odporu (1oK)

A elektrickaacute praacutece stejnosměrneacuteho proudu

tIUUQA (J V A s)

P vyacutekon

2IRIIRIUP (W V A)

uacutečinnost se většinou vyjadřuje v procentech

1001

2 P

P )( JJ

Prvniacute Kirchhoffův zaacutekon (proudovyacute) ndash platiacute pro uzel

01

n

k

kI

Druhyacute Kirchhoffův zaacutekon (napěťovyacute) ndash platiacute pro uzavřenou smyčku

01

n

k

kU

Spojovaacuteniacute rezistorů

Seacuterioveacute niVyacutesl RRRRR 21

Paralelniacute niVyacutesl RRRRR

1

1

111

21

Transfigurace

233112

311210

RRR

RRR

233112

231220

RRR

RRR

233112

321330

RRR

RRR

30

2010201012

R

RRRRR

10

3020302023

R

RRRRR

20

3010301031

R

RRRRR

Svorkoveacute napětiacute reaacutelneacuteho zdroje při zatiacuteženiacute

iRIUU 0

Proud nakraacutetko

i

kR

UI 0

217

83 Magnetickeacute pole

magnetickyacute tok weber (Wb)

B magnetickaacute indukce tesla (T)

SB

lI

FB

lIBF sin lIBF (N T A m)

Fm magnetomotorickeacute napětiacute (A)

n

i

im IF1

Um magnetickeacute napětiacute (A)

n

i

mim UF1

H intenzita magnetickeacuteho pole

l

UH m (Am

-1 A m)

V okoliacute dlouheacuteho přiacutemeacuteho vodiče r

I

l

UH m

2

Vztah mezi zdrojem magnetickeacuteho pole a jeho silovyacutem působeniacutem

HB r 0

0 = permeabilita vakua 0= 410-7

(Hm-1

) henry (H)

r je relativniacute permeabilita (Pro většinu laacutetek (mimo feromagnetika) je r

přibližně 1)

Hopkinsonův zaacutekon

mm U

l

SS

l

USHSB

Gm magnetickaacute vodivost (permeance) henry (H)

mm Ul

SG

Rm magnetickyacute odpor (reluktance)

m

mG

R1

S

lRm

1 (H

-1) kde r 0

m

m

R

U - Hopkinsonův zaacutekon

Magnetickeacute pole kruhoveacuteho zaacutevitu

r

IH

2 kde r je poloměr zaacutevitu

218

Magnetickeacute pole tenkeacute ciacutevky

r

INH

2 kde

2

Dr

2

12 DDD

Magnetickeacute pole vaacutelcoveacute ciacutevky

l

IN

l

UH m

Magnetickeacute pole prstencoveacute ciacutevky

r

IN

l

UH m

2

Indukčniacute zaacutekon

dt

du

pro ciacutevku o N zaacutevitech

dt

dNu

Pohyboveacute napětiacute

vlBu

L vlastniacute indukčnost ciacutevky henry (H)

dt

diLu kde L je vlastniacute indukčnost ciacutevky

l

SN

R

NL r

m

0

22

M vzaacutejemnaacute indukčnost dvou ciacutevek henry (H)

dt

diMu 1

2

12

12

mR

NNM

22 LLM

22 LLM

kde je činitel vazby obou ciacutevek 1

Transformačniacute poměr

2

1

2

1

N

N

u

u

Spojovaacuteniacute ciacutevek

seacuterioveacute 21 LLL

seacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

antiseacuterioveacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute M MLLL 221

219

paralelniacute 21

111

LLL

paralelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

antiparalelniacute se vzaacutejemnou indukčnostiacute MLMLL

21

111

Přechodovyacute jev na indukčnosti

t

L eUu

0

kde

R

L

Energie magnetickeacuteho pole

mm UW 2

1 lSHBWm

2

1

Siloveacute působeniacute magnetickeacuteho pole

sin lIBF

Přitažlivaacute siacutelu elektromagnetu

SR

INF

m

2

22

02

1

84 Střiacutedaveacute proudy

f frekvence (kmitočet) hertz (Hz)

60

nf

T doba jedneacute periody (s)

fT

1

uacutehlovaacute rychlost

f 2 (rads-1

)

Průběh harmonickeacuteho proudu

)sin(max tIi )sin(max tIi

Efektivniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

2

maxII

Středniacute hodnota střiacutedaveacuteho proudu

max

2IImed

220

Odporovaacute zaacutetěž

)sin(max tUu )sin()sin( maxmax tItR

Ui

Induktivniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

LX

UI max

max

XL induktivniacute reaktance ()

LX L

Kapacitniacute zaacutetěž

)sin(max tUu )2

sin(max

tIi

CX

UI max

max

XC kapacitniacute reaktance ()

CX C

1

Seacuteriovyacute RLC obvod

Z impedance obvodu ()

22)( RXXZ CL U

IR

U

U R cos

Paralelniacute RLC obvod

22)( RCL IIII I

IRcos

Vyacutekon v obvodech střiacutedaveacuteho proudu

P činnyacute vyacutekon cos IUP (W V A)

S zdaacutenlivyacute vyacutekon IUS (VA V A)

Q jalovyacute vyacutekon sin IUIUQ j (Var V A)

222 SQP

cosφ uacutečiniacutek

IU

P

cos

Rezonance

f0 rezonančniacute frekvence

CLf

2

10

221

Q činitel jakosti obvodu je R

LQ

0

84 Trojfaacutezovaacute soustava

Uf faacutezoveacute napětiacute

Časoveacute průběhy jednotlivyacutech faacutezovyacutech napětiacute ve faacuteziacutech U V W

)sin(max tUuU

)3

2sin(max

tUuV

)3

4sin(max

tUuw

US sdruženeacute napětiacute

fS UU 3

Vyacutekon trojfaacutezoveacuteho proudu

cos33 fff IUPP (W V A)

fff IUSS 33 (VA V A)

sin33 fff IUQQ (VAr V A)

222

Použitaacute literatura

BLAHOVEC Antoniacuten Elektrotechnika I Praha Informatorium 2005 ISBN 80-

7333-043-1

Internetoveacute straacutenky (www)

BRUSH SEM sro [online] [cit 2014-09-20] Dostupneacute z WWW lt

httpwwwbrush-semczgt

Vlastnosti magnetickyacutech materiaacutelů [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpfei1vsbczkat410studiumstudijni_materialydpes04-

cviceni20textyMAG20vlastnostiMAG-vl_prehled_03pdfgt

Magnetizačniacute charakteristiky [online] [cit 2014-09-10] Dostupneacute z WWW

lt httpwwwvpichaczsitesdefaultfilesmagnet20charakteristikapdfgt

Page 7: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 8: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 9: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 10: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 11: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 12: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 13: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 14: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 15: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 16: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 17: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 18: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 19: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 20: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 21: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 22: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 23: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 24: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 25: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 26: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 27: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 28: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 29: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 30: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 31: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 32: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 33: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 34: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 35: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 36: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 37: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 38: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 39: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 40: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 41: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 42: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 43: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 44: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 45: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 46: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 47: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 48: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 49: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 50: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 51: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 52: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 53: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 54: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 55: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 56: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 57: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 58: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 59: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 60: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 61: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 62: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 63: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 64: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 65: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 66: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 67: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 68: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 69: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 70: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 71: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 72: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 73: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 74: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 75: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 76: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 77: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 78: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 79: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 80: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 81: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 82: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 83: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 84: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 85: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 86: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 87: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 88: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 89: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 90: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 91: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 92: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 93: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 94: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 95: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 96: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 97: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 98: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 99: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 100: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 101: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 102: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 103: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 104: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 105: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 106: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 107: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 108: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 109: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 110: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 111: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 112: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 113: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 114: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 115: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 116: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 117: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 118: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 119: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 120: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 121: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 122: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 123: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 124: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 125: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 126: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 127: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 128: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 129: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 130: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 131: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 132: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 133: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 134: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 135: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 136: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 137: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 138: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 139: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 140: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 141: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 142: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 143: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 144: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 145: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 146: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 147: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 148: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 149: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 150: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 151: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 152: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 153: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 154: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 155: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 156: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 157: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 158: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 159: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 160: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 161: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 162: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 163: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 164: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 165: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 166: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 167: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 168: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 169: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 170: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 171: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 172: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 173: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 174: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 175: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 176: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 177: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 178: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 179: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 180: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 181: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 182: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 183: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 184: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 185: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 186: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 187: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 188: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 189: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 190: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 191: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 192: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 193: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 194: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 195: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 196: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 197: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 198: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 199: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 200: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 201: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 202: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 203: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 204: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 205: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 206: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 207: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 208: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 209: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 210: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 211: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 212: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 213: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 214: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 215: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 216: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 217: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 218: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 219: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 220: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 221: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu
Page 222: Jitka Roubalová Elektrotechnikadownload.spstrplz.cz/automatizace_vyrobnich_procesu/2... · 2015. 1. 15. · Jitka Roubalová Elektrotechnika Vytvořeno v rámci Operačního programu

Recommended