Date post: | 02-Jan-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | hedley-griffin |
View: | 74 times |
Download: | 1 times |
Komplexní čísla
• Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice
nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť
V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se značí i = √-1 a nazývá se imaginární jednotka.
• Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají čistě imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně.
0222 xx
11
2
2.442
2
42
2,1
a
acbbx
Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
do vaší budoucnosti
Komplexní čísla
• Imaginární čísla lze přičítat k reálným. Vznikají tak čísla komplexní, např. 3 + i, 2 – 5i, -3 + 4i, -6 – 5i a podobně.
• Množina komplexních čísel se značí C, je uzavřená vůči základním operacím (a tedy je tělesem). Libovolná odmocnina z jakéhokoliv komplexního čísla je opět komplexním číslem.
• Rovnice má řešení
• Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. Gaussově rovině, kdy k reálné číselné ose přibude ještě jedna, která je na ni kolmá. Na té se vynášejí imaginární čísla. Každé komplexní číslo se tak zobrazí jako bod. Je zřejmé, že takto zkonstruo- vanou číselnou množinu nelze seřadit podle velikosti!
0222 xx
i
a
acbbx
111
2
2.442
2
42
2,1
Gaussova rovina
• Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel
R yxyxibaz ,],[Takováto dvojice reálných čísel pak může být interpretována jako souřad-nice v rovině. Každému komplexnímu číslu tedy jednoznačně odpovídá právě jeden bod v rovině :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
i8
2 i
i2i3
i7i6
i4i5
i2i3
i
iz 23
iz 62iz 413
iz 310
Gaussova rovina
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
i8
2 i
i2i3
i7i6
i4i5
i2i3
i
iz 23
iz 62iz 413
iz 310Karl Friedrich Gauss
1777-1855
Tato dvourozměrná analogie číselné osy se nazývá Gaussova rovina. Reálná čísla se zobrazí na
vodorovné číselné ose, komplexní čísla s nenulovou imaginární složkou pak nad nebo pod ní.
Reálná a imaginární část, abs. hodnota
• Číslu a říkáme reálná část, číslu b imaginární část. Značíme
zbzaibaz Im,Re: • Každému číslu z lze přiřadit absolutní hodnotu výrazem
22: bazibaz Geometricky se jedná o vzdálenost čísla z od počátku v Gaussově rovině:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
i8
2 i
i2i3
i7i6
i4i5
i2i3
i
Im z = 6
Re z = 8 iz 68
|z| = 10
Operace s komplexními čísly
Definice 22.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Řekneme, že z1 = z2 právě tehdy, když a1 = a2 a b1 = b2.
Definice 23.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součet jako z = z1 + z2 takto : a = a1 + a2 , b = b1 + b2 .
Definice 24.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součin jako z = z1 . z2 takto : a = a1.a2 - b1.b2 , b = a1.b2 + a2.b1 .
Pozn.: tato definice je zřejmá, roznásobíme-li mechanicky
)(
..
))((
21212121
21212121
221121
abbaibbaa
bbiiaibbiaaa
ibaibazzz
Operace s komplexními čísly
Definice 25.Buď z = a + ib komplexní číslo. Řekneme, že číslo z = a - ib je komplexně sdružené k číslu z.
Pozn. : čísla z a z leží symetricky podle osy x. Platí z = z a vždy
Definice 26.Buďte z = a + ib komplexní číslo. Definujme jeho převrácenou hodnotu jako
Tato definice se stane zřejmou, uvědomíme-li si, že zjistit hodnotu výrazu 1/z je možné, pokud zlomek rozšíříme právě komplexně sdruženým číslem:
222
1
ba
iba
z
z
z
2222))((
1111
ba
iba
ibiabiaba
iba
ibaiba
iba
iba
iba
ibaz
z
ibaibaz
222222)())((: babiiabiabaibaibazzz R
*z
V některé literatuře je komplexně sdružené
číslo značeno
Operace s komplexními čísly
Příklad
i
iz
2
1Určete
iiiii
iiii
ii
ii
ii
ii
ii
z
53
51
5132
522
14)2)(1(
)2)(2(2
)1(
22
21
)1(2
1)1(
21
2
ii
iz
5
3
5
1
2
1
Operace s komplexními čísly
Příkladi
iz
2
1Určete
iiii
iii
ii
ii
i
i
i
i
i
i
i
iz
5
1
5
3
5
3
14
122
14
22
)2)(2(
)2)(1(
2
2
2
1
2
1
2
1
2
Mocniny v oboru C
• n-tá mocnina z komplexního čísla z je definována obdobně jako v R :
0pro1
,10 zz
zzn
n
n-krát
Stejně jako v R platí:
zzzzz n
• Speciálně pro imaginární jednotku i platí :
iiiii
iiiiiiiii
iiiii
i
1111
11
1
45
224
3
2
1
0
iiiii
iiii
iiiii
ii
mmm
mmm
mmm
mmm
33434
22424
414
44
1
11
1
11
Goniometrický tvar komplexních čísel
• Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel
R yxyxibaz ,],[Tato čísla odpovídají bodu v rovině. Bod lze ale popsat i jinak, než sou-řadnicemi na osách – je možné použít i vzdálenost os počátku a úhel:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
i8
2 i
i2i3
i7i6
i4i5
i2i3
i
[ a , b ]
|z|
φ
r = 1
xφ
Jednotková kružnice
cos xcos φ
sin xsin φ
|z| . sin φ
|z| . cos φ
)sin(cos izibaz
Goniometrický tvar komplexních čísel
Buď z = a + ib komplexní číslo. Goniometrickým tvarem čísla z nazýváme zápis
Definice 27.
kde pokládáme
2,0,sin,cos zbza
Úhel φ se nazývá argument komplexního čísla. Pro převod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem slouží vzorce
z
z
z
z
bazzz
Imarcsinnebo
Rearccos
)(Im)(Re 2222
)sin(cos izibaz
Goniometrický tvar komplexních čísel
1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 346 5
i5
2 ii2i3i4
i6
i4i5
i2i3
i
Z goniometrického tvaru komplexních čísel je zjevné, že všechna čísla se stejným |z| leží na kružnici. Speciálně všechna čísla, pro která |z| = 1 se nazývají komplexní jednotky.
|z|=5
|z|=4
|z|=1
Tj. na rozdíl od reálných čísel, kde rovnice |x| = a má nejvýše dvě řešení,
rovnice |z| = a v oboru komplexním má řešení
nekonečně mnoho!
Příklad
iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla
1 2 3 4 5 6 71i
i4
i2
i3
i
iz 3
2
1sin
2
3cos
2413 22
z
6
6sin
6cos23
iiz
Goniometrický tvar komplexních čísel
Příklad
iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla
1 2 3 4 5 6 71i
i4
i2
i3
i
iz 3
2
1sin
2
3cos
2413 22
z
6
11
6
6
11sin
6
11cos23
iiz
Goniometrický tvar komplexních čísel
Příklad
iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla
1 2 3 4 5 6 71i
i4
i2
i3
i
)1(2 iz
2
2sin
2
2cos
242222
z
4
4sin
4cos2)1(2
iiz
Goniometrický tvar komplexních čísel
Příklad
iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla
1 2 3 4 5 6 71i
i4
i2
i3
i
iz 3
13
3sin0
3
0cos
330 22
z
2
2sin
2cos33
iiz
Goniometrický tvar komplexních čísel
Součin komplexních čísel v geom. tvaru
• Vezměme dvě libovolné komplexní jednotky (tj. čísla, pro která |z1| = |z2| = 1). Ta se dají vyjádřit jako
222111 sincossincos iziz vynásobme je mezi sebou :
)sincoscos(sinsinsincoscos
sinsincossinsincoscoscos
)sin(cos)sin(cos
21212121
212
212121
221121
i
iii
iizz
součtový vzorec součtový vzorec
yxyxyx
yxyxyx
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
)sin()cos( 2121 i
Násobíme-li dvě komplexní jednotky, vyjde opět komplexní jednotka. Argument násobku je součtem argumentů obou činitelů. Zcela obecně pak platí
)sin()cos( 21212121 nnnn izzzzzz
Lze dokázat indukcí – zkuste si
doma.
Podíl komplexních čísel v geom. tvaru
• Obdobným způsobem lze ukázat, že podíl dvou komplexních jednotek je
)sin()cos( 21212
1 iz
z
respektive pro nejednotková komplexní čísla
)sin()cos( 21212
1
2
1 iz
zzz
Při odvození těchto vzorců bychom použili rozšíření číslem komplexně sdruženým:
22
22
22
11
22
11
2
1
sincos
sincos
sincos
sincos
sincos
sincos
i
i
i
i
i
i
z
z
Součin ve jmenovateli je zde roven jedné.
Moivreova věta
• Z předchozích vzorců vychází Moivreova věta o n-té mocnině komplexního čísla:
)sin()cos( ninzznn
Věta je triviálním důsledkem vzorce pro násobení komplexních čísel v goniomet-rickém tvaru :
)sin()cos( izzzzzzn-krát
n-krát n-krát n-krát
Tato věta může mimo jiné zjednodušit výpočty typu (1 – i )15 :
15)1( i
4
715sin
4
715cos22
4
7sin
4
7cos2
7
1515
i
i
iii 128128)1(2
22128213
4sin213
4cos2128
Odbočka : binomický rozklad
• Pro vzorec (x + y)n lze zapsat rozklad obecně jako
nn
nn
nn
nnn
iinn
ii
n
yaxyayxayxayxaxa
yxayx
11
222
222
110
0
)(
Čísla an nazýváme binomické koeficienty a mají velký hlavní význam v kombi-natorice. Pro rozklad binomického členu stačí vědět, že je lze získat z tzv. Pas-calova trojúhelníku. Ten sestavíme následovně:
napíšeme jedničku 1
1 1
1 12
3 3 11
4 6 41 1
dvě jedničky
tři čísla
čtyři čísla
pět čísel
Odbočka : binomický rozklad
nn
nn
nn
nnn
iinn
ii
n
yaxyayxayxayxaxa
yxayx
11
222
222
110
0
)(
1
1 1
1 12
3 3 11
4 6 41 1
5 10 101 5
6 15 201 15
7 21 351 35
6
1
1
21 7 1
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
n = 7
Aplikace Moivreovy věty
• Pomocí binomického rozvoje a Moivreovy věty lze snadno odvodit součtové vzorce pro sinus a cosinus n-násobného úhlu:
xxx
xxx22 sincos2cos
cossin22sin
2sin2cossincos 22 iiz
Moivreova věta
222
222
sinsincos2cossincos
)sin(1)sincos(2)(cos1sincos
ii
iii
Binomický rozvoj
22 sinsincos2cos2sin2cos iiRovnost dvou komplexních čísel
Aplikace Moivreovy věty
222 sinsincos2cos2sin2cos iiRovnost dvou komplexních čísel
Rovnost platí, pokud se rovnají reálné a imaginární části :
22 sincos2cos sincos22sin
Obdobným způsobem odvoďte vzorce pro sin(3φ), cos(3φ) sin(4φ) a cos(4φ), .
Příklad
23 sincos3cos3cos 32 sinsincos33sin
4224 sinsincos6cos4cos 33 sincos4sincos44sin
Komplexní n-tá odmocnina
• Pro každé komplexní a a přirozené n je podle definice komplexní n-tá odmoc- nina čísla a
azaz nn když právě
tj. hledat n-tou odmocninu čísla a znamená řešit rovnici zn = a. Předpokládejme, že a ≠ 0 (pokud ano, je řešení triviálně z = 0) a zapišme si celý problém pomocí goniometrického tvaru a Moivreovy věty:
aninzz
aizznn
n
)sin(cos
)sin(cos
)sin(cos)sin(cos ianinzn
Tato rovnost je splněna právě tehdy, když
Z kknazn 2
Komplexní n-tá odmocnina
)sin(cos)sin(cos ianinzn
Tato rovnost je splněna právě tehdy, když
Z kknazn 2
Jednoduchou úpravou dostáváme
1,,2,1,02
,
nknk
az n
Číslo k nemusí probíhat všechna celá čísla, neboť výraz 2kπ / n pro jiná k než z výše uvedené množiny pouze dodá do funkcí sinus a cosinus nějaký násobek 2π navíc – a výsledky rovnice zn = a se začnou opakovat.
Komplexní n-tá odmocnina
1,,2,1,02
,
nkn
kaz
Z0
Z1
Z2
Zn-2
Zn-1
n
1
n
2
n-tá komplexní odmoc-nina je nejednoznačná, existuje n variant roz-místěných pravidelně na kružnici. Reálná odmocnina má buď právě jednu variantu (n liché), nebo dvě (n su-dé).
Komplexní exponent
Buď z komplexní jednotka. Exponenciálním tvarem čísla z nazýváme zápis
Definice 28.
ieiz sincosPozn. : tento tvar nabude na zřejmosti až probereme rozvoj funkcí v nekonečné řady. Exponenciální zápis komplexních čísel má výhodu, že s mocninou lze praco-vat standardním způsobem, jak je to známo z reálného oboru.
Pozn. : Libovolné komplexní číslo lze zapsat v exponenciálním tvaru jako
iezizz sincos
Pozn. : komplexních čísel se často využívá v elektrotechnických výpočtech, imagi-nární jednotka se v nich ale značí j – jinak by se pletla s elektrickým proudem (který se rovněž značí i).
Shrnutí
• Zavedení komplexních čísel, i = √-1
• Gaussova rovina
• Reálná a imaginární část, absolutní hodnota
• Operace s komplexními čísly, číslo komplexně sdružené
• Mocniny v oboru C
• Goniometrický tvar komplexních čísel
• Součin a podíl C čísel v goniometrickém tvaru
• Moivreova věta a její použití
• n-tá odmocnina v C
• Exponenciální tvar komplexních čísel