+ All Categories
Home > Documents > Komplexní čísla

Komplexní čísla

Date post: 02-Jan-2016
Category:
Upload: hedley-griffin
View: 74 times
Download: 1 times
Share this document with a friend
Description:
Komplexní čísla. Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se - PowerPoint PPT Presentation
29
Komplexní čísla • Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť V reálných číslech -1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se značí i = -1 a nazývá se imaginární jednotka. • Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají čistě imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně. 0 2 2 2 x x 1 1 2 2 . 4 4 2 2 4 2 2 , 1 a ac b b x Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Transcript
Page 1: Komplexní čísla

Komplexní čísla

• Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice

nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť

V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se značí i = √-1 a nazývá se imaginární jednotka.

• Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají čistě imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně.

0222 xx

11

2

2.442

2

42

2,1

a

acbbx

Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Page 2: Komplexní čísla

Komplexní čísla

• Imaginární čísla lze přičítat k reálným. Vznikají tak čísla komplexní, např. 3 + i, 2 – 5i, -3 + 4i, -6 – 5i a podobně.

• Množina komplexních čísel se značí C, je uzavřená vůči základním operacím (a tedy je tělesem). Libovolná odmocnina z jakéhokoliv komplexního čísla je opět komplexním číslem.

• Rovnice má řešení

• Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. Gaussově rovině, kdy k reálné číselné ose přibude ještě jedna, která je na ni kolmá. Na té se vynášejí imaginární čísla. Každé komplexní číslo se tak zobrazí jako bod. Je zřejmé, že takto zkonstruo- vanou číselnou množinu nelze seřadit podle velikosti!

0222 xx

i

a

acbbx

111

2

2.442

2

42

2,1

Page 3: Komplexní čísla

Gaussova rovina

• Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel

R yxyxibaz ,],[Takováto dvojice reálných čísel pak může být interpretována jako souřad-nice v rovině. Každému komplexnímu číslu tedy jednoznačně odpovídá právě jeden bod v rovině :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

i8

2 i

i2i3

i7i6

i4i5

i2i3

i

iz 23

iz 62iz 413

iz 310

Page 4: Komplexní čísla

Gaussova rovina

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

i8

2 i

i2i3

i7i6

i4i5

i2i3

i

iz 23

iz 62iz 413

iz 310Karl Friedrich Gauss

1777-1855

Tato dvourozměrná analogie číselné osy se nazývá Gaussova rovina. Reálná čísla se zobrazí na

vodorovné číselné ose, komplexní čísla s nenulovou imaginární složkou pak nad nebo pod ní.

Page 5: Komplexní čísla

Reálná a imaginární část, abs. hodnota

• Číslu a říkáme reálná část, číslu b imaginární část. Značíme

zbzaibaz Im,Re: • Každému číslu z lze přiřadit absolutní hodnotu výrazem

22: bazibaz Geometricky se jedná o vzdálenost čísla z od počátku v Gaussově rovině:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

i8

2 i

i2i3

i7i6

i4i5

i2i3

i

Im z = 6

Re z = 8 iz 68

|z| = 10

Page 6: Komplexní čísla

Operace s komplexními čísly

Definice 22.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Řekneme, že z1 = z2 právě tehdy, když a1 = a2 a b1 = b2.

Definice 23.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součet jako z = z1 + z2 takto : a = a1 + a2 , b = b1 + b2 .

Definice 24.Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součin jako z = z1 . z2 takto : a = a1.a2 - b1.b2 , b = a1.b2 + a2.b1 .

Pozn.: tato definice je zřejmá, roznásobíme-li mechanicky

)(

..

))((

21212121

21212121

221121

abbaibbaa

bbiiaibbiaaa

ibaibazzz

Page 7: Komplexní čísla

Operace s komplexními čísly

Definice 25.Buď z = a + ib komplexní číslo. Řekneme, že číslo z = a - ib je komplexně sdružené k číslu z.

Pozn. : čísla z a z leží symetricky podle osy x. Platí z = z a vždy

Definice 26.Buďte z = a + ib komplexní číslo. Definujme jeho převrácenou hodnotu jako

Tato definice se stane zřejmou, uvědomíme-li si, že zjistit hodnotu výrazu 1/z je možné, pokud zlomek rozšíříme právě komplexně sdruženým číslem:

222

1

ba

iba

z

z

z

2222))((

1111

ba

iba

ibiabiaba

iba

ibaiba

iba

iba

iba

ibaz

z

ibaibaz

222222)())((: babiiabiabaibaibazzz R

*z

V některé literatuře je komplexně sdružené

číslo značeno

Page 8: Komplexní čísla

Operace s komplexními čísly

Příklad

i

iz

2

1Určete

iiiii

iiii

ii

ii

ii

ii

ii

z

53

51

5132

522

14)2)(1(

)2)(2(2

)1(

22

21

)1(2

1)1(

21

2

ii

iz

5

3

5

1

2

1

Page 9: Komplexní čísla

Operace s komplexními čísly

Příkladi

iz

2

1Určete

iiii

iii

ii

ii

i

i

i

i

i

i

i

iz

5

1

5

3

5

3

14

122

14

22

)2)(2(

)2)(1(

2

2

2

1

2

1

2

1

2

Page 10: Komplexní čísla

Mocniny v oboru C

• n-tá mocnina z komplexního čísla z je definována obdobně jako v R :

0pro1

,10 zz

zzn

n

n-krát

Stejně jako v R platí:

zzzzz n

• Speciálně pro imaginární jednotku i platí :

iiiii

iiiiiiiii

iiiii

i

1111

11

1

45

224

3

2

1

0

iiiii

iiii

iiiii

ii

mmm

mmm

mmm

mmm

33434

22424

414

44

1

11

1

11

Page 11: Komplexní čísla

Goniometrický tvar komplexních čísel

• Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel

R yxyxibaz ,],[Tato čísla odpovídají bodu v rovině. Bod lze ale popsat i jinak, než sou-řadnicemi na osách – je možné použít i vzdálenost os počátku a úhel:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

i8

2 i

i2i3

i7i6

i4i5

i2i3

i

[ a , b ]

|z|

φ

r = 1

Jednotková kružnice

cos xcos φ

sin xsin φ

|z| . sin φ

|z| . cos φ

)sin(cos izibaz

Page 12: Komplexní čísla

Goniometrický tvar komplexních čísel

Buď z = a + ib komplexní číslo. Goniometrickým tvarem čísla z nazýváme zápis

Definice 27.

kde pokládáme

2,0,sin,cos zbza

Úhel φ se nazývá argument komplexního čísla. Pro převod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem slouží vzorce

z

z

z

z

bazzz

Imarcsinnebo

Rearccos

)(Im)(Re 2222

)sin(cos izibaz

Page 13: Komplexní čísla

Goniometrický tvar komplexních čísel

1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 346 5

i5

2 ii2i3i4

i6

i4i5

i2i3

i

Z goniometrického tvaru komplexních čísel je zjevné, že všechna čísla se stejným |z| leží na kružnici. Speciálně všechna čísla, pro která |z| = 1 se nazývají komplexní jednotky.

|z|=5

|z|=4

|z|=1

Tj. na rozdíl od reálných čísel, kde rovnice |x| = a má nejvýše dvě řešení,

rovnice |z| = a v oboru komplexním má řešení

nekonečně mnoho!

Page 14: Komplexní čísla

Příklad

iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla

1 2 3 4 5 6 71i

i4

i2

i3

i

iz 3

2

1sin

2

3cos

2413 22

z

6

6sin

6cos23

iiz

Goniometrický tvar komplexních čísel

Page 15: Komplexní čísla

Příklad

iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla

1 2 3 4 5 6 71i

i4

i2

i3

i

iz 3

2

1sin

2

3cos

2413 22

z

6

11

6

6

11sin

6

11cos23

iiz

Goniometrický tvar komplexních čísel

Page 16: Komplexní čísla

Příklad

iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla

1 2 3 4 5 6 71i

i4

i2

i3

i

)1(2 iz

2

2sin

2

2cos

242222

z

4

4sin

4cos2)1(2

iiz

Goniometrický tvar komplexních čísel

Page 17: Komplexní čísla

Příklad

iiii 3,)1(2,3,3 Převeďte na goniometrický tvar čísla

1 2 3 4 5 6 71i

i4

i2

i3

i

iz 3

13

3sin0

3

0cos

330 22

z

2

2sin

2cos33

iiz

Goniometrický tvar komplexních čísel

Page 18: Komplexní čísla

Součin komplexních čísel v geom. tvaru

• Vezměme dvě libovolné komplexní jednotky (tj. čísla, pro která |z1| = |z2| = 1). Ta se dají vyjádřit jako

222111 sincossincos iziz vynásobme je mezi sebou :

)sincoscos(sinsinsincoscos

sinsincossinsincoscoscos

)sin(cos)sin(cos

21212121

212

212121

221121

i

iii

iizz

součtový vzorec součtový vzorec

yxyxyx

yxyxyx

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

)sin()cos( 2121 i

Násobíme-li dvě komplexní jednotky, vyjde opět komplexní jednotka. Argument násobku je součtem argumentů obou činitelů. Zcela obecně pak platí

)sin()cos( 21212121 nnnn izzzzzz

Lze dokázat indukcí – zkuste si

doma.

Page 19: Komplexní čísla

Podíl komplexních čísel v geom. tvaru

• Obdobným způsobem lze ukázat, že podíl dvou komplexních jednotek je

)sin()cos( 21212

1 iz

z

respektive pro nejednotková komplexní čísla

)sin()cos( 21212

1

2

1 iz

zzz

Při odvození těchto vzorců bychom použili rozšíření číslem komplexně sdruženým:

22

22

22

11

22

11

2

1

sincos

sincos

sincos

sincos

sincos

sincos

i

i

i

i

i

i

z

z

Součin ve jmenovateli je zde roven jedné.

Page 20: Komplexní čísla

Moivreova věta

• Z předchozích vzorců vychází Moivreova věta o n-té mocnině komplexního čísla:

)sin()cos( ninzznn

Věta je triviálním důsledkem vzorce pro násobení komplexních čísel v goniomet-rickém tvaru :

)sin()cos( izzzzzzn-krát

n-krát n-krát n-krát

Tato věta může mimo jiné zjednodušit výpočty typu (1 – i )15 :

15)1( i

4

715sin

4

715cos22

4

7sin

4

7cos2

7

1515

i

i

iii 128128)1(2

22128213

4sin213

4cos2128

Page 21: Komplexní čísla

Odbočka : binomický rozklad

• Pro vzorec (x + y)n lze zapsat rozklad obecně jako

nn

nn

nn

nnn

iinn

ii

n

yaxyayxayxayxaxa

yxayx

11

222

222

110

0

)(

Čísla an nazýváme binomické koeficienty a mají velký hlavní význam v kombi-natorice. Pro rozklad binomického členu stačí vědět, že je lze získat z tzv. Pas-calova trojúhelníku. Ten sestavíme následovně:

napíšeme jedničku 1

1 1

1 12

3 3 11

4 6 41 1

dvě jedničky

tři čísla

čtyři čísla

pět čísel

Page 22: Komplexní čísla

Odbočka : binomický rozklad

nn

nn

nn

nnn

iinn

ii

n

yaxyayxayxayxaxa

yxayx

11

222

222

110

0

)(

1

1 1

1 12

3 3 11

4 6 41 1

5 10 101 5

6 15 201 15

7 21 351 35

6

1

1

21 7 1

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

Page 23: Komplexní čísla

Aplikace Moivreovy věty

• Pomocí binomického rozvoje a Moivreovy věty lze snadno odvodit součtové vzorce pro sinus a cosinus n-násobného úhlu:

xxx

xxx22 sincos2cos

cossin22sin

2sin2cossincos 22 iiz

Moivreova věta

222

222

sinsincos2cossincos

)sin(1)sincos(2)(cos1sincos

ii

iii

Binomický rozvoj

22 sinsincos2cos2sin2cos iiRovnost dvou komplexních čísel

Page 24: Komplexní čísla

Aplikace Moivreovy věty

222 sinsincos2cos2sin2cos iiRovnost dvou komplexních čísel

Rovnost platí, pokud se rovnají reálné a imaginární části :

22 sincos2cos sincos22sin

Obdobným způsobem odvoďte vzorce pro sin(3φ), cos(3φ) sin(4φ) a cos(4φ), .

Příklad

23 sincos3cos3cos 32 sinsincos33sin

4224 sinsincos6cos4cos 33 sincos4sincos44sin

Page 25: Komplexní čísla

Komplexní n-tá odmocnina

• Pro každé komplexní a a přirozené n je podle definice komplexní n-tá odmoc- nina čísla a

azaz nn když právě

tj. hledat n-tou odmocninu čísla a znamená řešit rovnici zn = a. Předpokládejme, že a ≠ 0 (pokud ano, je řešení triviálně z = 0) a zapišme si celý problém pomocí goniometrického tvaru a Moivreovy věty:

aninzz

aizznn

n

)sin(cos

)sin(cos

)sin(cos)sin(cos ianinzn

Tato rovnost je splněna právě tehdy, když

Z kknazn 2

Page 26: Komplexní čísla

Komplexní n-tá odmocnina

)sin(cos)sin(cos ianinzn

Tato rovnost je splněna právě tehdy, když

Z kknazn 2

Jednoduchou úpravou dostáváme

1,,2,1,02

,

nknk

az n

Číslo k nemusí probíhat všechna celá čísla, neboť výraz 2kπ / n pro jiná k než z výše uvedené množiny pouze dodá do funkcí sinus a cosinus nějaký násobek 2π navíc – a výsledky rovnice zn = a se začnou opakovat.

Page 27: Komplexní čísla

Komplexní n-tá odmocnina

1,,2,1,02

,

nkn

kaz

Z0

Z1

Z2

Zn-2

Zn-1

n

1

n

2

n-tá komplexní odmoc-nina je nejednoznačná, existuje n variant roz-místěných pravidelně na kružnici. Reálná odmocnina má buď právě jednu variantu (n liché), nebo dvě (n su-dé).

Page 28: Komplexní čísla

Komplexní exponent

Buď z komplexní jednotka. Exponenciálním tvarem čísla z nazýváme zápis

Definice 28.

ieiz sincosPozn. : tento tvar nabude na zřejmosti až probereme rozvoj funkcí v nekonečné řady. Exponenciální zápis komplexních čísel má výhodu, že s mocninou lze praco-vat standardním způsobem, jak je to známo z reálného oboru.

Pozn. : Libovolné komplexní číslo lze zapsat v exponenciálním tvaru jako

iezizz sincos

Pozn. : komplexních čísel se často využívá v elektrotechnických výpočtech, imagi-nární jednotka se v nich ale značí j – jinak by se pletla s elektrickým proudem (který se rovněž značí i).

Page 29: Komplexní čísla

Shrnutí

• Zavedení komplexních čísel, i = √-1

• Gaussova rovina

• Reálná a imaginární část, absolutní hodnota

• Operace s komplexními čísly, číslo komplexně sdružené

• Mocniny v oboru C

• Goniometrický tvar komplexních čísel

• Součin a podíl C čísel v goniometrickém tvaru

• Moivreova věta a její použití

• n-tá odmocnina v C

• Exponenciální tvar komplexních čísel


Recommended